UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA
Depa amen o de Ingenie ía Mecánica y de Ma e iales
TESIS DE MÁSTER
APLICACIÓN DE CRITERIOS DE
ORIENTACIÓN DE GRIETA EN
PROBLEMAS DE CRECIMIENTO DE
GRIETA POR FATIGA BAJO CARGA NO
PROPORCIONAL
P esen ada po D. F ancisco Gela do Rod íguez
Di igida po D . D. Eugenio Gine Ma a illa
Valencia, Diciemb e de 2014
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A mis pad es, he manos, compañe os de piso y amigos.
A Lau a.
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RESUMEN
Es e abajo se ealiza como pa e del Más e de Ingenie ía
Mecánica y de Ma e iales impa ido en la Uni e sidad Poli écnica de
Valencia.
En es e abajo se hace un es udio de los pa áme os que pueden
a ec a a la de e minación de la o ien ación de la g ie a en un p oblema
de e ing a iga bajo ca ga no p opo cional con con ac o comple o. Los
pa áme os in es igados han sido las ca gas aplicadas, cons an e y
a iable, la elación de ensiones R que e alúa el ni el de ensión media
y la di e encia de igidez en e la p obe a y el inden ado . El c i e io que
se emplea pa a de e mina la di ección de c ecimien o de g ie a es el
c i e io del mínimo inc emen o de la ensión angencial ∆τ
mín
.
A al obje o se ha empleado el so wa e de elemen os ini os
ABAQUS® pa a ealiza el modelo, mallado y cálculo de esul ados.
Median e el uso de dis in as u inas de Ma lab® c eadas po el
Depa amen o de Ingenie ía Mecánica, se han lle ado a cabo los análisis
pa a de e mina la in luencia de cada pa áme o sob e la o ien ación de la
g ie a.
Es e abajo se ealiza median e el MEF s anda d, ya que se a a
de un análisis cuali a i o del e ec o de los dis in os pa áme os.
Finalmen e se ealiza un análisis en X-FEM pa a con i ma los esul ados
y dejando abie a la posibilidad de ealiza es udios pos e io es en es e
campo.
Palab as cla e: Mecánica de la ac u a, o ien ación de g ie a,
e ing a iga, c i e io del mínimo inc emen o de la ensión angencial,
MEF.
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ABSTRACT
This wo k is done as pa o he Mas e o Mechanical
Enginee ing and Ma e ials gi en by he Uni e sidad Poli écnica de
Valencia.
In his wo k a s udy o he pa ame e s ha can a ec he
o ien a ion o he c ack p oblem o e ing a igue unde non-
p opo ional loading wi h ull con ac is done. The pa ame e s
in es iga ed a e he cons an and a iable load applied, he s ess a io R
ha assesses he medium s ess le el and he di e ence in s i ness
be ween he specimen and he inden e . The c i e ion used o calcula e
he di ec ion o c ack g ow h is he c i e ion o minimum inc ease o
shea s ess ∆τ
min
.
Fo his pu pose he so wa e ABAQUS® is used o model he
geome y model, mesh and sol e he p oblem. By using di e en
Ma lab® ou ines c ea ed by he Depa men o Mechanical Enginee ing,
di e en analyses ha e been un o assess he in luence o each pa ame e
on he c ack o ien a ion.
This wo k is done by using s anda d FEM, since his is a
quali a i e analysis o he e ec o di e en pa ame e s. Finally, an X -
FEM analysis is pe o med o e i y he esul s and p o ides he
oppo uni y o u he s udies in his ield.
Keywo ds: F ac u e mechanics, c ack o ien a ion, e ing
a igue, c i e ion o minimum ange o shea s ess, FEM.
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Figu a 4.12: ∆τ en cada subs ep del s ep 4. Caso 1. ________________________ - 67 -
Figu a 4.13: ∆τ en cada subs ep del s ep 4. Caso 3. ________________________ - 68 -
Figu a 4.14: ∆τ en cada subs ep del s ep 4. Caso 5. ________________________ - 69 -
Figu a 4.15: ∆τ en cada subs ep del s ep 4. Caso 7. ________________________ - 70 -
Figu a 4.16: ∆τ en cada subs ep del s ep 4. Caso 13. _______________________ - 71 -
Figu a 4.17: ∆τ en cada subs ep del s ep 4. Caso 13. _______________________ - 72 -
Figu a 4.18: Modelo mallado. ________________________________________ - 73 -
Figu a 4.19: De alle de la malla en las inmediaciones de la zona donde se si úa la
g ie a. P opagación 1. ______________________________________________ - 74 -
Figu a 4.20: ∆τ en cada subs ep del s ep 6. P opagación 1. _________________ - 75 -
Figu a 4.21: ∆σ en cada subs ep del s ep 6. P opagación 1. _________________ - 76 -
Figu a 4.22: De alle de la malla en las inmediaciones de la zona donde se si úa la
g ie a. P opagación 2. ______________________________________________ - 77 -
Figu a 4.23: P opagación de la g ie a 1-2-3._____________________________ - 77 -
Figu a 4.24: P opagación de la g ie a 4-5. ______________________________ - 78 -

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1 In oducción al p oblema
1.1 P esen ación del p oblema
El p oblema de la p edicción y con ol de g ie as es un ema de
g an in e és en la ac ualidad. Los cos es de las ma e ias p imas y de la
ene gía hacen indispensable el a a de diseña los componen es con el
coe icien e de segu idad más bajo posible, asegu ando la in eg idad
es uc u al de los elemen os que se es én diseñando. Es po ello que se
hace necesa io dispone de unas he amien as al amen e iables que
pe mi an calcula con p ecisión la ida a a iga de un de e minado
componen e, pa a lo que es necesa ia la co ec a es imación y p edicción
de la di ección de p opagación de las g ie as que pueden apa ece bajo
de e minados es ados ensionales.
En es e p oyec o se lle a á a cabo el es udio de o ien ación de
g ie a en p oblemas de e ing a iga. El p oblema de e ing a iga
p esen a un es ado mul iaxial de ensiones, en muchos casos con
a iación no p opo cional, y equie e el empleo de c i e ios de a iga
mul iaxial, adap ados a las pa icula idades del e ing.
Los p oblemas en los que apa ece a iga bajo ca ga no
p opo cional es án ca ac e izados po la aplicación de dos ca gas las
cuales no su en la misma a iación en el iempo.
1.2 Obje o
En p oblemas de a iga 2D bajo ca ga no p opo cional, la
a iación de los ac o es de in ensidad de ensiones, K, en modo I y
modo II no gua da la misma elación a lo la go de odo el ciclo, po lo
que no es posible p edeci una única di ección de p opagación a lo la go
del ciclo. Po an o, no son de aplicación c i e ios muy u ilizados, como
el c i e io de la máxima ensión ci cun e encial, MTS. Es necesa io
u iliza c i e ios que engan en cuen a las a iaciones de las magni udes
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ele an es ( ac o es de in ensidad de ensiones, ensión no mal al plano
de g ie a, ensión angencial) a lo la go de odo el ciclo. Además, pa a
elaciones de ensiones de a iga que impliquen ca gas de comp esión
(p.ej. R=-1), apa ece con ac o con icción en e las ca as de g ie a, cuyo
e ec o debe se conside ado y puede condiciona la di ección de
p opagación.
El obje o de es e abajo es comp oba cómo a ec a la a iación de
pa áme os en la o ien ación de g ie a una ez o iginada. Se ealiza án
simulaciones a iando los pa áme os de ca ga cons an e, ca ga
al e nan e, R y igidez de los ma e iales pa a un mismo alo de ca ga
al e nan e, la ca ga cons an e. También se ealiza pa a un mismo alo de
ca ga cons an e, a ios alo es de R.
1.3 El p oblema de e ing a iga
En el ámbi o de la ingenie ía, a iga es un é mino que se u iliza
pa a de ini la educción de la esis encia mecánica al some e un
ma e ial o componen e a es ue zos cíclicos que acaban po p oduci una
educción de la ida del componen e en compa ación con las p opiedades
in ínsecas del ma e ial. El p oblema de e ing a iga se ca ac e iza
po que las ensiones que o iginan y hacen c ece inicialmen e las g ie as
son debidas al con ac o en e dos componen es mecánicos.
Habi ualmen e es os componen es en con ac o, expe imen an
desplazamien os ela i os de pequeña ampli ud, lo que ocasiona un
desgas e supe icial conocido como e ing wea . El e ec o de ensiones
de con ac o es análogo al de los concen ado es de ensión: las al as
ensiones ce ca de la supe icie hacen que la g ie a se inicie. Además, en
las p ime as ases de c ecimien o de g ie a, es as mismas ensiones,
unidas a las globales, p o ocan un c ecimien o más acele ado. En la
Fig.1.1 se mues a esquemá icamen e la disposición de las ue zas en una
si uación ípica de e ing a iga.
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Figu a 1.1: Esquema de las ca gas que apa ecen en e ing a iga,
donde A
s
es el á ea de la sección donde se aplica la ensión σ.
La ue za P man iene en con ac o los dos sólidos. La ue za
angencial a iable, Q, induce el deslizamien o en e las dos piezas.
Gene almen e, ambién exis e una ensión global, σ, a iable o no,
aplicada a uno de los sólidos llamada “bulk”.
En p incipio el e ing puede apa ece en cualquie máquina
donde haya componen es en con ac o como es el caso de los álabes y ejes
acanalados de las u binas y ansmisiones, y en las uniones cubo-eje.
No malmen e, es ácil de iden i ica a pos e io i po que se obse an
ma cas en las zonas que han es ado en con ac o. És as pueden ene un
pol o ca ac e ís ico o ene un aspec o compac o.
El p oblema de e ing se abo da desde dos pe spec i as
dis in as:
•
F e ing wea : Es udia el desgas e de las supe icies en con ac o
en e dos cue pos some idos a ca gas oscilan es y los e ec os
asociados.
•
F e ing a iga: Es udia la iniciación y c ecimien o de g ie as po
a iga, donde además de la ensión aplicada sob e el componen e
se supe ponen las ensiones debidas al con ac o.
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B yggman y Söde be g (1986) [3] dis inguie on dos egímenes de
deslizamien o: deslizamien o pa cial y deslizamien o global.
Concluye on que, esencialmen e, el e ing a iga ocu e en las
condiciones de deslizamien o pa cial y el e ing wea en deslizamien o
global.
Pa a ob ene in o mación sob e la na u aleza del con ac o, es ú il
clasi ica los ipos de con ac o:
1. Con ac o comple o: El á ea de con ac o es independien e de la
ca ga aplicada.
2. Con ac o incomple o: El á ea de con ac o es dependien e de la
ca ga aplicada.
Habi ualmen e, de o ma expe imen al, se suelen es udia dos
con igu aciones de con ac o incomple o: cilínd ico (2D) y es é ico (3D).
A con inuación se ha á sólo un b e e esumen del con ac o comple o y
del con ac o incomple o cilínd ico en dos dimensiones.
1.3.1 Con ac o comple o
Hay muchos disposi i os mecánicos que in oluc an con ac o
comple o, donde el e ing a iga es el p incipal mecanismo del allo.
Un modelo de con ac o comple o se mues a en la Fig. 1.2
cons i uido po un inden ado con un de e minado ángulo en con ac o con
o o cue po de supe icie plana. El inden ado es á some ido a una ca ga
de comp esión cons an e P, y al mismo iempo a una ca ga angencial
cíclica Q pa alela a la supe icie del con ac o y/o ca ga cíclica σ aplicada
a la p obe a.
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Figu a 1.2: Esquema de un p oblema de con ac o comple o.
Pa a la con igu ación de la Fig. 1.2 de un inden ado con esquinas
a 90º sob e un semiplano in ini o, la dis ibución de p esión no mal
debida a una ca ga P po unidad de espeso , y en ausencia de icción
iene dada po la Ec. 1.1.
22
)( xa
P
xp −
=
π
(1.1)
Donde se obse a que la ecuación an e io es singula en los
ex emos de la zona de con ac o x=±a.
En es e esquema, 2a, de ine el ancho de la zona de con ac o.

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Figu a 1.3: Dis ibución de ensiones no mal a lo la go de la zona de
con ac o 2ª.
Dicha dis ibución se mues a con línea discon inua y de o ma
ap oximada en la Fig. 1.3 donde se obse a que la ensión iende a
in ini o al ap oxima se a los bo des del inden ado (Hills e al., 1993;
Hills y No ell, 1994) [4, 5].
Muchos au o es han es udiado el p oblema analí icamen e,
suponiendo dis in as hipó esis simpli ica i as como po ejemplo a a el
p oblema con un inden ado ígido, semiplano incomp esible, inden ado
con deslizamien o o adhesión o al, o inden ado con esquinas
edondeadas, e c. (Sack ield e al., 2001, 2002; Mugadu y Hills, 2002) [6,
7, 8]. O os in es igado es han p opues o esol e el p oblema u ilizando
un en oque análogo al de la mecánica de la ac u a, debido a la simili ud
del campo de ensiones al ededo de los bo des del modelo de dos g ie as
la e ales en una placa. Es e en oque se denomina “c ack like analogue”
(Giannakopoulus e al., 2002; Conne e al., 2004) [9, 10].
En e ing es impo an e conoce las ensiones in e nas y en la
supe icie. Exis en mé odos de la Teo ía de la Elas icidad que pe mi en el
cálculo de las ensiones y los desplazamien os (Muskhelish ili, 1953)
[11]. Hills y Nowell (1994) [5] desa olla on es os mé odos aplicándolos
al p oblema de con ac o comple o.
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1.3.2 Con ac o incomple o
Como su nomb e indica, el con ac o incomple o cilínd ico es el
que se p oduce en e dos cilind os. En los ensayos de e ing, en
pa icula , uno de los cilind os iene un adio in ini o, es deci , se p oduce
el con ac o en e un cilind o y un plano, como mues a la Fig.1.4. En un
ensayo de e ing se aplica una ca ga no mal cons an e P que man iene
en con ac o los sólidos y pos e io men e se aplica la ca ga a iable Q y la
ensión σ. Debido a ellas, se dis inguen dos ipos de zonas en la zona de
con ac o, una en el in e io , de amaño 2c, donde las supe icies se
man ienen adhe idas, y o a en ambos ex emos de la zona de con ac o,
donde se p oduce un deslizamien o pa cial. Si la ensión axial σ es nula,
la zona de adhesión es a á cen ada espec o a la zona de con ac o. Si
dicha ca ga es dis in a de ce o, la zona de adhesión se desplaza hacia un
la e al una dis ancia e (excen icidad) (Hills y Nowell, 1994) [5].
Figu a 1.4: Con ac o cilínd ico con las ue zas aplicadas; el semiancho
de la zona del con ac o es a, el de la zona de adhesión es c y la
excen icidad es e.
En es a geome ía, a di e encia de las an e io es, la dis ibución de
ensiones bajo la zona de con ac o no p esen a singula idades. Es a
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geome ía es una de las más usadas en ensayos de e ing si se desea
ene una buena ap oximación de las ensiones p oducidas en el con ac o
y al mismo iempo ene la posibilidad de de e mina las analí icamen e.
Po el con a io, iene la des en aja de que exis en pocos casos eales de
a iga po e ing en los que apa ezca es a geome ía en el con ac o.
La exp esión analí ica pa a el campo de ensiones bajo el con ac o
en unción de las ca gas aplicadas en la supe icie se puede encon a en
Johnson (1985) [12]. En unción de los alo es de Q y de σ, pueden
apa ece dos casos muy dis in os, uno en el que el deslizamien o se
p oduce en el mismo sen ido en odo el con ac o y o o en el que los
deslizamien os se p oducen en sen idos con a ios en las dos zonas de
deslizamien o exis en es (deslizamien o e e so) (Hills y Nowell, 1994;
Tu e al., 2002) [5, 13].
1.4 Hipó esis aplicadas
Du an e la ealización de es e p oyec o se asumi á que el con ac o
se p oduce en la o alidad de la supe icie en e ambos componen es, po
lo que se end á un p oblema de con ac o comple o. Pa a modela el
p oblema se a a conside a una ca ga P cons an e y una ensión σ
Bulk
a iable. Es habi ual dis ingui dos e apas cla amen e di e enciadas:
nucleación de g ie a y su pos e io p opagación. Debido a las ue es
ensiones en la zona de con ac o es ecuen e que los p ocesos de
nucleación en p oblemas de con ac o comple o ocu an elozmen e,
consumiéndose la mayo pa e de la ida en la ase de p opagación. En
la ealización de es e p oyec o no se conside a á la ase de nucleación o
iniciación y se asumi á que la g ie a es á plenamen e o mada, con un
amaño su icien e pa a conside a su en o no como un medio con inuo.
Po an o, pa a analiza la e apa de la p opagación de g ie a en es as
condiciones es absolu amen e necesa io ene en cuen a la in e acción
con ac o-g ie a pa a la es imación de los FIT, lo que ecuen emen e hace
necesa io el modelado numé ico de es a in e acción, po ejemplo,
median e el mé odo de los elemen os ini os ex endido (X-FEM).
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2 Re isión de undamen os
2.1 In oducción
En es e apa ado se ha á una e isión de las soluciones p opues as
desde el inicio del es udio del p oblema de e ing- a iga y se comen a á
la e olución de los di e en es mé odos que han sido u ilizados pa a su
esolución.
El Mé odo de los Elemen os Fini os se ha consolidado du an e las
úl imas cua o décadas como el mé odo numé ico más e sá il pa a el
análisis de p oblemas de la mecánica del sólido. T as el es ablecimien o
de las bases del mé odo, muy p on o su gie on aplicaciones di ec as a la
Mecánica de la F ac u a (Wa wood, 1969; Dixon y Pool, 1969) [14, 15].
Desde en onces el núme o de e e encias en la li e a u a ace ca de la
aplicación del MEF y sus a ian es como el X-FEM (Moës e al., 1999)
[16] a la Mecánica de la F ac u a ha c ecido de o ma impa able.
A lo la go de los úl imos 40 años han apa ecido pe iódicamen e
e isiones de los mé odos que pe mi en aplica el MEF a la mecánica de
la F ac u a. La década de los 70 ue especialmen e uc í e a y p on o
su gió la necesidad de e isa y o dena la mul i ud de abajos
apa ecidos y que es ablecie on la mayo ía de los mé odos disponibles
hoy en día. Así se pueden des aca los abajos de Rice y T acey (1973)
[17] y de Gallaghe (1978) [18]. Pos e io men e apa eció el lib o de
Owen y Fawkes (1983) [19], de ca ác e in oduc o io y que incluye
de alles ace ca de la implemen ación de la mayo ía de los mé odos, y la
de allada e isión edi ada po A lu i (1986) [20]. Raju y Newman (1984)
[21] que p esen a on un comple o esumen ace ca de la aplicación de
mé odos numé icos pa a el análisis de g ie as 3D, incluyendo
compa aciones en base a ejemplos.
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Una ensión in ini a no puede exis i en un ma e ial eal. Si la
ca ga aplicada no es demasiado ele ada, el ma e ial puede acomoda la
exis encia de una g ie a inicial ideal de o ma que la ensión eó icamen e
in ini a se eduzca a un alo ini o. En ma e iales dúc iles, como es el
caso de muchos me ales, apa ecen g andes de o maciones plás icas en las
inmediaciones del ex emo de g ie a. La egión en la que el ma e ial luye
se denomina zona plás ica. La de o mación en el ex emo de g ie a da
luga a un ex emo de g ie a con un adio de cu a u a pequeño (pe o no
in ini amen e pequeño), de o ma que el aspec o del ex emo de g ie a es
omo. De es e modo, la ensión no iende a in ini o, y la g ie a se ab e en
su ex emo una can idad
δ
, denominada desplazamien o de ape u a de
ex emo de g ie a (CTOD).
En odos los casos, el ex emo de g ie a expe imen a una g an
de o mación y se desa olla una sepa ación ini a en el ex emo de g ie a,
se edis ibuyen en una zona mayo . En el ex emo de g ie a se alcanza
un alo ini o de la ensión que puede se esis ido po el ma e ial,
aunque a pa i de una cie a dis ancia del ex emo de la g ie a, las
ensiones son supe io es a las co espondien es a la g ie a ideal, de o ma
que se e i ique el equilib io global de ca gas. En cualquie caso, en
MFEL la zona plas i icada es muy pequeña y queda englobada po los
campos elás icos dominados po el FIT (hipó esis de small scale
yielding).
De odo lo an e io se deduce que en el Plan eamien o Local de la
MFEL es muy impo an e encon a exp esiones explíci as de K. Es e a
su ez depende de la con igu ación y geome ía del p oblema, incluyendo
la p opia longi ud de g ie a a, como se puede e en la siguien e
ecuación:
aCK
nom
⋅=
πσ
Donde C es el llamado ac o geomé ico, siendo un pa áme o
dependien e del modo de ape u a de la g ie a, el ipo de ca ga aplicada y
ob iamen e, de la geome ía del componen e analizado. La ensión
nominal
σ
nom
ambién depende del p oblema conside ado y de las
solici aciones ( lexión, o sión,…). En es a ecuación, a es el amaño de
(2.6)

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g ie a. Es impo an e ema ca que el FIT iene unidades [
mMPa
] en el
SI.
Las ecuaciones 2.1, 2.2 y 2.3 son básicas en MFEL y como se
obse a es án desc i as en unción de los Fac o es de In ensidad de
Tensiones (FIT) como únicos pa áme os ca ac e izan es. Cuando a
inales de los años 60 el MEF comenzó a se aplicado a p oblemas de la
MFEL, p on o su gió la necesidad de ep esen a co ec amen e el es ado
ensional dado po las ecuaciones 2.1, 2.2 y 2.3, ya que la o mulación
adicional del MEF no es á especialmen e indicada pa a el modelado del
compo amien o singula .
Du an e los úl imos 50 años se han desa ollado nume osos
mé odos pa a la de e minación del ac o de in ensidad de ensiones.
Desde que I win es ableció que el alo de los FIT ca ac e iza de o ma
uní oca el es ado ensional en el en o no del ex emo de una g ie a en
MFEL, su e aluación ha sido un obje i o p io i a io en la aplicación de la
Mecánica de la F ac u a, lo que ha dado luga a una g an di e sidad de
écnicas disponibles. Muchos de los plan eamien os iniciales, de ca ác e
analí ico, han sido en la ac ualidad supe ados po la e sa ilidad que
o ecen los mé odos numé icos. En es e capí ulo, la a ención se cen a
undamen almen e en es e úl imo ipo de mé odos, y en pa icula , en
aquellos elacionados con el empleo del Mé odo de los Elemen os Fini os
(MEF) y del Mé odo de los Elemen os Fini os Ex endido (X-FEM).
Una isión global de las bases pa a la de e minación de los FIT se
puede encon a en la colección de abajos edi ada po Sih (1973) [28],
muchos de ellos de ca ác e analí ico, y sob e odo, en el lib o de
Aliabadi y Rooke (1991) [29] (con una pa e sus ancial o ien ada a la
aplicación del mé odo de los elemen os de con o no a la Mecánica de la
F ac u a) o el comple o esumen de Rooke (1994).
2.2.4 Plan eamien o global de la MFEL
El p ime en oque u ilizado en el es udio de la p opagación de una
g ie a en un cue po ca gado con compo amien o elás ico lineal ue el
llamado “plan eamien o global” o equi alen emen e “plan eamien o
- 34 -
ene gé ico”. En 1921, A.A. G i i h [22] publicó sus abajos en los que
u iliza el concep o cla e de asa de libe ación de ene gía (s ain ene gy
elease a e) deno ada con el símbolo G en su hono . A eces, G es
denominada ambién elocidad de elajación de ene gía.
Figu a 2.4: Cue po ca gado con g ie a de longi ud a y supe icie de
g ie a a·B.
Pa a comp ende el plan eamien o ene gé ico, amos a conside a
el cue po de la Fig.2.4 bajo la acción de unas ca gas ex e io es que lo
de o man, es e almacena á una ene gía po encial. Si se supone que
con iene una g ie a de longi ud a, en el momen o en el que es a g ie a
a ance un cie a can idad
∆
a, cambia á su geome ía, la dis ibución de
sus ensiones, los pun os de aplicación de las ca gas, e c. En gene al, ese
cambio supond á una a iación en la ene gía disponible:
•
Si la a iación de ene gía disponible es igual o mayo que la
necesa ia pa a ompe la cohesión del ma e ial exis en e en el
ex emo de g ie a, esa g ie a p og esa á. Puede se que el
c ecimien o sea de o ma ines able, p opagándose ápidamen e y
ocasionando en úl imo é mino la o u a o al de la pieza.
•
Si la a iación de la ene gía disponible es meno que la necesa ia
pa a ompe el ma e ial, la g ie a no p og esa á.
- 35 -
G i i h exp esó es a idea del siguien e modo:
“El c ecimien o de g ie a sólo puede ocu i si la ene gía
eque ida pa a o ma nue as supe icies de g ie a dA puede se
suminis ada po el sis ema”.
Se debe en ende ”sis ema” como el conjun o del p opio sólido
que con iene la g ie a como las ca gas ex e io es que ac úen sob e el
cue po. Esas “ uen es” de ene gía necesa ia pueden ene el siguien e
o igen:
1.
El sólido es capaz de p opo ciona ene gía libe ando pa e de su
ene gía de de o mación elás ica.
2.
Las ca gas ex e io es son capaces de p opo ciona ene gía a pa i
del abajo que desa ollan cuando desplazan su pun o de
aplicación.
Pa a o maliza una exp esión ma emá ica de G, se conside a el
caso más gene al idimensional en el que un cue po (elás ico o no) es á
some ido a unas ca gas y p esen a una g ie a con un á ea A. Como se ha
comen ado, si las ca gas cambian con el iempo es posible que la g ie a
a ance; po la ley de conse ación de la ene gía es necesa io que se
cumpla pa a un cue po en equilib io:
Γ+++= &
&&&& KUUT
pe
Donde T es el abajo ealizado po las ue zas ex e io es
(supues as cons an es); U
e
es la ene gía po encial de de o mación
elás ica; U
p
es el abajo ealizado en el caso que exis a de o mación
plás ica; K es la ene gía ciné ica del cue po;
Γ
es la ene gía consumida en
gene a el á ea de g ie a, po o u a de la es uc u a del ma e ial en el
ex emo de la g ie a.
Como odos los cambios con espec o al iempo son debidos a un
cambio en el á ea de g ie a, se puede esc ibi :
dA
d
A
d
d
=
(2.7)
(2.8)
- 36 -
Po an o es equi alen e habla de a iación con espec o al
iempo que a iación con espec o al á ea de g ie a. La ley de
conse ación de la ene gía queda:
dA
d
dA
dK
dA
dU
dA
dU
dA
dT
pe
Γ
+++=
En el supues o de ca gas cons an es con el iempo y si la g ie a se
supone que c ece len amen e, se conside a el p oblema como cuasi
es á ico y se puede desp ecia el é mino que iene en cuen a la ene gía
ciné ica K. La ecuación se puede eo dena como:
dA
d
dA
dU
dA
UTd
pe
Γ
+=
−
)(
En elas icidad se de ine el é mino de la ene gía po encial o al
(
Π
) de un sis ema a la di e encia:
TU
e
−=Π
Y po an o:
dA
d
dA
dU
dA
d
p
Γ
+=
Π
−
El sen ido ísico implíci o en es a ecuación es que la a iación
(dec ecimien o) en el alo de
Π
cuando c ece una g ie a es igual a la
a iación de la ene gía consumida en de o mación plás ica y gene ación
de nue as supe icies de g ie a.
En el caso elás ico, el abajo consumido en de o mación plás ica
se puede conside a desp eciable y la conse ación de la ene gía queda
dA
d
dA
d
Γ
=
Π
−
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
- 37 -
El p ime é mino de la ecuación an e io es la de inición o mal
de G, es deci la asa de libe ación de ene gía po unidad de á ea de
g ie a:
dA
d
G
Π
−=
Po o o lado, el é mino del lado de echo iene que e con la
o mación de nue as supe icies de g ie a. A eces se esc ibe de las
siguien es o mas equi alen es:
G=R o bien G=Gc
Donde R se denomina enacidad a ac u a.
Es deci , G ep esen a la ene gía disponible pa a el c ecimien o de
g ie a y R (Gc) ep esen a la esis encia del ma e ial que debe se encida
pa a que la g ie a p og ese. Es lógico pensa que R es una p opiedad de
cada ma e ial.
De lo an e io se deduce el siguien e c i e io de allo en Mecánica
de la F ac u a Elás ico Lineal:
•
Si G < R la g ie a no llega a p og esa .
•
Si G
≥
R la g ie a c ece. Su c ecimien o puede se es able o
ines able.
2.3 Mé odo de los Elemen os Fini os (FEM)
Pa a ca ac e iza las ecuaciones 2.1, 2.2 y 2.3 a a és de los
Fac o es de In ensidad de Tensiones (FIT) es necesa ia la
implemen ación de un mé odo que pe mi a ob ene el esul ado de los
FIT eniendo en cuen a la singula idad p oducida po la p opia g ie a.
Pa a la aplicación del Mé odo de los Elemen os Fini os aplicado a
la simulación del c ecimien o de g ie a se aplica el siguien e esquema:
(2.14)
(2.15)

- 38 -
•
Modelado de la geome ía del p oblema.
•
Gene ación de la malla, eniendo p esen e la g ie a. Po lo an o se
end á que ealiza una malla que llegue has a una de las ca as de
la g ie a, la bo dee y con inúe po la o a ca a, gene ando la
discon inuidad como puede ap ecia se en la Fig. 2.5. Hay que
ene en cuen a que un ac o de e minan e se á el e inamien o en
o no a la singula idad, con el co espondien e cos e
compu acional asociado.
Figu a 2.5: De alle de malla según el plan eamien o FEM
•
Aplicación del FEM pa a la esolución de las ecuaciones del
apa ado an e io . Se ob ienen sendos alo es pa a el Fac o de
In ensidad de Tensiones a a és, po ejemplo, de écnicas de
ex apolación de ensiones, ex apolación de desplazamien os o
aplicación de in eg ales de dominio.
•
Resolución del c i e io co espondien e (en unción de los FIT)
pa a la ob ención del ángulo que segui á el siguien e inc emen o
de g ie a.
•
Gene ación de la nue a geome ía añadiendo el nue o inc emen o
de g ie a con su co espondien e ángulo calculado en el paso
- 39 -
an e io . No a que se ha de desecha la geome ía an e io con su
malla asociada.
•
Mallado de la nue a geome ía eniendo en cuen a los 2
inc emen os de g ie a.
•
Y así sucesi amen e has a alcanza la longi ud de g ie a deseada o
p o oca la o u a de la pieza.
Como puede obse a se, el Mé odo de los Elemen os Fini os
aplicado a la MFEL equie e de un g an consumo de iempo, an o de
in e acción con el usua io como compu acional ya que pa a cada nue o
inc emen o de g ie a se ha de gene a una nue a malla que enga en
cuen a el nue o amo de g ie a que se ha calculado pa a pos e io men e
calcula los FIT y aplica el c i e io co espondien e de o ien ación de
g ie a.
2.4 Mé odo de los Elemen os Fini os
Ex endido (X-FEM)
En la o mulación con encional de elemen os ini os, la exis encia
de una g ie a se modela explíci amen e median e la on e a de los
elemen os. En con as e, en el mé odo X-FEM los lados de los elemen os
no ienen po que coincidi con la posición de la g ie a, lo que
p opo ciona una g an e sa ilidad. Los mé odos que no equie en mallas,
como el “Elemen F ee Gale kin Me hod”, o mé odos sin malla
(Bely schko e al., 1994) [30], se empeza on a u iliza en la mecánica
compu acional pa a da solución a p oblemas que ep esen aban
di icul ades con el MEF. No obs an e, es as écnicas equie en cálculos
compu acionales más complejos, elacionados con la gene ación de
unciones ep esen a i as y cuad a u as adicionales. Además p esen an
di icul ades pa a sa is ace las condiciones de con o no de Di ichle .
El mé odo X-FEM se basa en el en iquecimien o del modelo de
elemen os ini os con g ados de libe ad adicionales en los elemen os
geomé icamen e in e sec ados po la g ie a. De es a o ma la
discon inuidad se inco po a sin modi ica la disc e ización de la malla,
que es gene ada sin conside a la posición de la g ie a. Ob iamen e, en la
- 40 -
implemen ación del X-FEM, es necesa io conoce opológicamen e la
posición de la g ie a espec o a la malla. Con es e in, se u iliza la écnica
LS (Le el Se Me hod) [31] pa a ca ac e iza los elemen os y nodos
a ec ados po la g ie a (denominados nodos y elemen os en iquecidos).
En la Fig. 2.6 se mues a una po ción de la malla u ilizada en es e abajo
mos ando con cí culos los nodos en iquecidos con 2gdl adicionales
( o al 4 gdl) y con cuad ados los nodos en iquecidos con 8 gdl
adicionales ( o al 10gdl). Los elemen os en iquecidos son aquellos que
con ienen al menos un nodo en iquecido.
Figu a 2.6: De alle de una malla X-FEM
Los nodos con 2 gdl adicionales (uno pa a cada di ección del
plano) ienen de inidas unciones de o ma que incluyen la unción de
Hea iside H(x) (módulo uni a io y cambio de signo en la ca a de la
g ie a). Físicamen e, es a unción in oduce la discon inuidad en e ca as
de g ie a. Los nodos con 8gdl adicionales son en iquecidos en las dos
di ecciones del plano con 4 unciones F
j
(x) que ep oducen el
compo amien o singula de la MFEL en ensiones. De es a o ma, en el
caso bidimensional, la in e polación de elemen os ini os, conside ando
un pun o de coo denadas x, esul a:
∑ ∑
= =





++= malla
nn
i
j
i
jjiiie
bxFaxHuxNxu
1
4
1
)()()()(
(2.16)
- 41 -
Donde nn
malla
es el núme o o al de nodos de la malla, N
i
(x), u
i
son las unciones de o ma y gdl con encionales de cada nodo i y a
i
,
j
i
b
los gdl de libe ad adicionales asociados a las unciones de Hea iside
H(x) y de ex emo de g ie a F
j
(x). Es impo an e indica que en la
ecuación los gdl adicionales a
i
y
j
i
b
sólo se añaden pa a aquellos nodos
que son en iquecidos, según la opología g ie a-malla.
Como sucede en el MEF, es necesa io ealiza in eg aciones
numé icas en el dominio del elemen o pa a el cálculo de la ma iz de
igidez. Sin emba go, el hecho de que exis a la discon inuidad debida a la
g ie a, exige di idi p e iamen e los elemen os in e sec ados po ella en
subdominios en los que la g ie a sea uno de sus lados.
- 48 -
Las ensiones máximas p incipales ienen di ección ho izon al en
los ex emos de la ba a de e minada po la ensión aplicada como se
mues a en la Fig.3.5; excep o en la zona de la g ie a; donde és a se ab e
como se puede ap ecia en la Fig.3.4 c eándose una discon inuidad y un
concen ado de ensiones que p o oca que las líneas de ue za se
concen en en el en e de g ie a.
Figu a 3.5: Ba a some ida a acción. O ien ación y magni ud de las
ensiones máximas p incipales.
En la Fig.3.6 se obse a el alo de las ensiones no males en
elación con el ángulo en el que se oman en un elemen o si uado en el
en e de g ie a en el úl imo s ep. También se ep esen a
∆τ
12
. El c i e io
pa a es ablece el o igen de los ángulos se puede e en la Fig.3.7.
En és e g á ico queda pa en e que el caso de ca ga es
p opo cional, po que la máxima y la mínima ensión se p oducen en la
misma di ección y en la g á ica se puede aza una e ical que una los
máximos y mínimos de cada subs ep.

- 49 -
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
1
2
3
4
5
6
7
8
σ
2
max
σ
2
min e ec
σ
2
min no e ec
∆ σ
2
e ec
∆ σ
y
no e ec
∆ τ
12
Figu a 3.6: Tensiones no males en el ondo de g ie a y su a iación con
el ángulo de es udio θ (º)
En la Fig.3.6, los alo es mos ados co esponden a:
-
Los alo es de las ensiones no males
σ
2
pa a cada uno de los 8
subs eps, nume ados a la de echa de la g á ica, que componen el
úl imo s ep en el que se aplica una ca ga de acción de 20MPa.
-
La ensión
σ
2
máxima que coincide con la ensión del subs ep 8.
-
La ensión
σ
2
mínima e ec i a, al se los alo es de la ensión
mínima nega i os pa a odos los ángulos en el subs ep 1 po es a
aplicando una ca ga de comp esión, la ensión e ec i a es 0.
-
La ensión
σ
2
mínima no e ec i a que coincide con la ensión del
subs ep 1 cuando la
σ
b
es oda ía de comp esión y es á ce ando
la g ie a.
- 50 -
-
El inc emen o de la ensión e ec i a
∆σ
2
e ec; es la di e encia
en e la ensión máxima y mínima e ec i a, en es e caso al se
σ
2
min=0,
∆σ
2
e ec=
σ
2
max.
-
El inc emen o de la ensión no e ec i a
∆σ
y
no e ec=
σ
2
max-
σ
2
min; en es e caso es di e encia en e las ensión en el subs ep 8
menos el subs ep 1.
-
El inc emen o de la ensión angencial
∆τ
12
.
Figu a 3.7: C i e io de o ien ación de g ie a.
El c i e io pa a es ablece la o ien ación del ángulo es como se
indica en la Fig.3.7, alo en e 0 y 90º pa a los ángulos si uados en el 3
e
cuad an e y en e 0 y -90º pa a los ángulos si uados en el 4º cuad an e. El
o igen se es ablece en el ondo de g ie a.
La Fig.3.8 mues a las ensiones máximas en azul y las ensiones
angenciales en ojo que se p oducen en un elemen o si uado en el
ex emo de g ie a, en el úl imo s ep, pa a cada subs ep. El úl imo s ep es
un ciclo que comienza con la pieza some ida a comp esión, -20MPa, y
acaba en acción a 20MPa. De ahí que du an e los 3 p ime os subs eps
las ensiones en el eje x sean de comp esión. En el 4º subs ep, la ensión
a la que se some e a la pieza es 0, con lo que las ensiones son nulas. Es a
- 51 -
pa i del 5º subs ep cuando la pieza es some ida a acción y las
ensiones p incipales se hacen posi i as y p oducen la ape u a de la
g ie a.
Figu a 3.8: Valo de las ensiones no males y angenciales en e al
ángulo del elemen o di e encial en el ex emo de g ie a.
El ángulo
θ
de la Fig.3.8 es la o ien ación de un elemen o
di e encial en el ex emo de la g ie a que mues a el ángulo en el que se
es udian las ensiones al i a iando el ángulo
θ
, de acue do al c i e io de
o ien ación is o en la Fig.3.7.
- 52 -
Figu a 3.9: Rep esen ación de las ensiones en un elemen o di e encial.
La ep esen ación del
∆τ
12
pa a las o ien aciones comp endidas
en e 90 y -90º en el en e de g ie a en el úl imo s ep de ca ga se puede
e en la Fig. 3.10. En és e g á ico queda muy pa en e si el caso de ca ga
es p opo cional, como sucede en es e caso, donde la máxima y la mínima
ensión siemp e se p oducen en la misma di ección y en la g á ica se
puede aza una e ical que una los máximos y mínimos de cada
subs ep; o si el caso es no p opo cional como pasa en el caso de ene una
ca ga cons an e y una ca ga a iable; es el caso de las simulaciones de
a iga e ing que se expond án en és e abajo.
De acue do al c i e io
∆τ
min
, la o ien ación de g ie a es a 0, 90º, -
90º. Se desca a -90º po que en esa di ección no hay ma e ial po el cual
pueda p og esa la g ie a. Y en e 0 y 90º, el c i e io es ablece que el
ángulo en el que la ensión p incipal máxima es mayo de e mina la
o ien ación, que según la Fig.3.10, es a 90º.
- 53 -
Como conclusión la g ie a p og esa a 90º, o almen e e ical,
dominada po el modo I de ape u a de, al como se puede comp oba
expe imen almen e.
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
θ (º)
[MPa]
12345678
τ12 max
τ12 min
∆ τ12
Figu a 3.10: Valo de las ensiones angenciales en e al ángulo del
elemen o di e encial en el ex emo de g ie a.

- 54 -
4 Modelado y esul ados.
4.1 Modelo numé ico MEF
El modelo de e ing a iga analizado en es e p oyec o
co esponde al p oblema en condiciones de con ac o comple o de 2D
esquema izado en la Fig. 4.1.
Figu a 4.1. P oblema e ing- a iga con con ac o comple o.
Las dimensiones del modelo son h=2c=2B=10mm, 2L=40mm. El
coe icien e de icción que se ha omado pa a modela el con ac o en e el
inden ado y la p obe a es
µ
in
=0,8 [39] [40].
Con obje o de minimiza el núme o de elemen os empleados,
eniendo en cuen a que la geome ía de la pieza es simé ica an o en el
eje X como espec o del eje Y se modela sólo un cua o de pieza y se
aplican condiciones de con o no de sime ía en la línea e ical izquie da
(U1=0), y en la línea ho izon al in e io (U2=0). Es a simpli icación es
- 55 -
álida según los di e en es ensayos co elacionados con las simulaciones
ealizadas [34] [35].
La Fig.4.2 mues a una máquina de ensayos de acción donde se
ealizan los ensayos de e ing- a iga de con ac o comple o. Se pueden
e los u illajes empleados pa a ga an iza la ca ga cons an e P aplicada
en los inden ado es en di ección pe pendicula a la p obe a.
Figu a 4.2: Máquina de ensayos de con ac o comple o, mos ando los
elemen os en con ac o.
El ma e ial de la p obe a en o ma de c uz con las dimensiones
indicadas, es á ab icada en aluminio EN AW-7075-T6 según no ma EN-
485-2. Las ca ac e ís icas mecánicas de es e aluminio pa a el espeso
dado son:
Es ado de
a amien o Espeso
(mm) Resis encia
a la
acción
R
m
(MPA)
Lími e
elás ico
R
p0,2
(MPA)
Ala gamien o
mín. A50
(%)
Du eza
HBW
T6 5 545 475 8 163
Tabla 1. P opiedades del aluminio 7075 T6.
- 56 -
El módulo de Young conside ado pa a es e ma e ial es de 72GPa.
Las dimensiones de la p obe a pe mi en que el concen ado de
ensiones no a ec e a los ex emos de la pieza, donde se e i ican las
condiciones de con o no aplicadas. La dimensión de la g ie a inicial es de
0.3mm.
Una ez de inido el modelo se ealiza el mallado empleando las
he amien as de ABAQUS.
Figu a 4.3: Modelo mallado.
En la siguien e igu a se puede obse a un zoom de la malla
an e io en la zona e inada donde se si úa la g ie a, que se puede e
jus o en la esquina.
- 57 -
Figu a 4.4. De alle de la malla en las inmediaciones de la zona donde se
si úa la g ie a.
La malla se ha hecho de al modo que en el con o no de la g ie a,
se iene un mallado es uc u ado de elemen os cuad ilá e os cuad á icos
CPE8R de amaño a
0
/20, que en es e p oblema es de 0,015mm. En las
zonas colindan es se hace un mallado en ba ido has a alcanza un
amaño de elemen o de 0,5mm. En los ex emos se uel e a ealiza un
mallado es uc u ado de amaño 0,5mm. Es o pe mi e limi a el núme o
de elemen os del modelo sin pe juicio de su ep esen a i idad y aco a el
iempo empleado en ejecu a cada cálculo. Al es a la malla o mada po
elemen os más pequeños en la zona donde se p oduce la singula idad y
que se quie e es udia y de mayo amaño en las zonas alejadas que no
son obje o de es udio como en el caso de un e inamien o h-adap a i o.
El modelo comple o con iene un o al de 61985 nodos y 20444
elemen os.
4.2 Aplicación del ciclo de ca ga.
En las simulaciones ealizadas en es e p oyec o, se han
conside ado 4 pasos de ca ga pa a lle a a cabo cada análisis. En el
p ime paso se aplica la ca ga cons an e
σ
P
has a alcanza su alo
máximo; es a ca ga pe manece cons an e du an e el es o de pasos (s eps)
siguien es. En los siguien es pasos se aplica la ca ga cíclica en la p obe a
- 64 -
Figu a 4.9: Caso 15. O ien ación de las ensiones máximas p incipales.
Los casos 16 al 21 hacen un ba ido aplicando la misma ca ga
cons an e y al e nan e
σ
P y
σ
B, pe o inc emen ando la igidez del
inden ado de 20000 MPa a 600000 MPa pa a e cómo la el ángulo de la
g ie a a disminuyendo po debajo de 90º has a los 77º donde se
es abiliza al asigna la igidez del aluminio an o al inden ado como a la
p obe a.
En los casos 22, 23 y 24 lo que se hace es man ene muy al a la
igidez del inden ado , 1000000 MPa y a ia la ca ga al e nan e que
disminuye has a los 10 MPa pa a cons a a que pese a ene una igidez
muy al a y aplica una ca ga cons an e ambién muy al a en e a la ca ga
al e nan e ho izon al, es o no epe cu e en la o ien ación inal de la g ie a.
En la Fig.4.10 se puede obse a el caso 21 donde aplicando en un
inden ado de E=600000 MPa, con una ca ga cons an e de 200 MPa y
disminuyendo la ca ga al e nan e a 50 MPa, el ángulo se sigue
man eniendo en 79º.

- 65 -
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
θ (º)
[MPa]
1
2
3
4
5
6
7
8
τ12 max
τ12 min
∆ τ12
Figu a 4.10: ∆τ en cada subs ep del s ep 4. Caso 21.
4.3.3 P opo cionalidad del caso de ca ga
Una de las ca ac e ís icas que de ine el p oblema de e ing a iga
modelado es que se a a de un p oblema de ca gas no p opo cionales.
Es o se debe a que la ca ga que se aplica en el inden ado es cons an e,
mien as que la ca ga aplicada en la p obe a de ensayo es al e nan e.
- 66 -
En el caso que se ha mos ado de ejemplo de comp obación de la
me odología, la ba a some ida a acción-comp esión, és a es á some ida
únicamen e a una ca ga al e nan e, po lo que la ensión angencial
máxima se da du an e odos los subs eps en la misma o ien ación del
elemen o di e encial a 45º haciéndose el
∆τ
=0 a 0 y 90º, donde se
p oduce la máxima ensión p incipal.
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
θ (º)
[MPa]
12345678
τ12 max
τ12 min
∆ τ12
Figu a 4.11: ∆τ en cada subs ep del s ep 4. Caso ba a some ida a
acción-comp esión.
Con o me en los casos aumen a la ensión cons an e
σ
P
, se
obse a que el des ase en e la máxima y la mínima ensión angencial
τ
aumen a. Resul ando es e des ase en una medida de la no
- 67 -
p opo cionalidad del caso de ca ga. Es o se ap ecia en los ejemplos
siguien es.
Pa a el Caso 1, Fig.4.12; siendo
σ
P
(MPa) =1e-6 /
σ
B
(MPa) = 200
/ R = -1 se mide el ángulo en el que se p oduce el máximo de la ensión
angencial en el subs ep 1, es 32 g ados, la mínima en el subs ep 8 se
p oduce a 34 g ados.
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
θ (º)
[MPa]
1
2
3
4
5
6
7
8
τ12 max
τ12 min
∆ τ12
Figu a 4.12: ∆τ en cada subs ep del s ep 4. Caso 1.
- 68 -
En el Caso 3, Fig.4.13; siendo
σ
P (MPa) =50 /
σ
B (MPa) = 200 /
R = -1 se mide el ángulo en el que se p oduce el máximo de la ensión
angencial en el subs ep 1, es 15 g ados, la mínima en el subs ep 8 se
p oduce a 42 g ados.
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
θ (º)
[MPa]
1
2
3
4
5
6
7
8
τ12 max
τ12 min
∆ τ12
Figu a 4.13: ∆τ en cada subs ep del s ep 4. Caso 3.
- 69 -
En el Caso 5, Fig.4.14; siendo
σ
P (MPa) =100 /
σ
B (MPa) = 200 /
R = -1 se mide el ángulo en el que se p oduce el máximo de la ensión
angencial en el subs ep 1, es 5 g ados, la mínima en el subs ep 8 se
p oduce a 49 g ados.
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
θ (º)
[MPa]
1
2
3
4
5
6
7
8
τ12 max
τ12 min
∆ τ12
Figu a 4.14: ∆τ en cada subs ep del s ep 4. Caso 5.

- 70 -
En el Caso 7, Fig.4.15; siendo
σ
P (MPa) =200 /
σ
B (MPa) = 200 /
R = -1 se mide el ángulo en el que se p oduce el máximo de la ensión
angenciales en el subs ep 1, es -3 g ados, la mínima en el subs ep 8 se
p oduce a 59 g ados.
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
θ (º)
[MPa]
1
2
3
4
5
6
7
8
τ12 max
τ12 min
∆ τ12
Figu a 4.15: ∆τ en cada subs ep del s ep 4. Caso 7.
- 71 -
En el Caso 13, Fig.4.16; siendo
σ
P (MPa) =200 /
σ
B (MPa) = 10 /
R = -1 se mide el ángulo en el que se p oduce el máximo de la ensión
angencial en el subs ep 1, es -15 g ados, la mínima en el subs ep 8 se
p oduce a 74 g ados.
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
θ (º)
[MPa]
1
234
567
8
τ12 max
τ12 min
∆ τ12
Figu a 4.16: ∆τ en cada subs ep del s ep 4. Caso 13.
En es e úl imo caso, se obse a que al se un caso donde la ca ga
σ
B
<<
σ
P
, es p ác icamen e un caso es á ico donde no exis e a iga como se
puede ap ecia po el inc emen o de la ensiones angenciales
∆τ≈
0.
- 72 -
4.4 O ien ación de g ie a aplicando XFEM.
Pa a ilus a el es ado ac ual en el que se encuen a el cálculo y
p edicción de la o ien ación de g ie a en la ingenie ía mecánica, se
ejecu a una simulación u ilizando el mé odo de elemen os ini os
ex endido, ab e iado XFEM.
Pa a ello se modela una p obe a que iene las dimensiones
indicadas en la Fig.4.17:
Figu a 4.17: ∆τ en cada subs ep del s ep 4. Caso 13.
Las dimensiones del modelo son h=16mm; c=2B=10mm;
L=50mm y con un espeso de 1mm. El coe icien e de icción que se ha
omado pa a modela el con ac o en e el inden ado y la p obe a es
µ
in
=0,8 como se ha omado an e io men e en los modelos. Se c ea una
g ie a de amaño a
0
=0,1mm e inclinada és a 60º sob e la ho izon al.
El ma e ial empleado en es a simulación es aluminio EN AW-
7075-T6 según no ma EN-485-2 cuyas ca ac e ís icas se pueden
consul a en la Tabla 1, y cuyo módulo de elas icidad E es 72GPa.
- 73 -
Con obje o de minimiza el núme o de elemen os empleados,
eniendo en cuen a que la geome ía de la pieza es simé ica en el eje X
como espec o del eje Y se modela sólo la mi ad supe io de la pieza y se
aplican condiciones de con o no de sime ía en la línea ho izon al in e io
(U2=0). Dado que la zona de es udio es el con o no de la g ie a, se
es ingen los mo imien os de la línea e ical izquie da (U1=0) pa a que
la pieza sea isos á ica.
En el caso que nos ocupa, en la Fig.4.18, se puede e una igu a
con la malla c eada y un de alle en la Fig.4.19 de es a malla al ededo de
la g ie a. En es a Fig.4.19 se puede e cómo se modela una g ie a sin
modi ica la malla al como se explicaba en el capí ulo 2.4; en el ex emo
de g ie a se en los 4 nodos en iquecidos con 10gdl adicionales señalados
en ojo donde se e alúa su p opagación, en los al ededo es de las ca as
de la g ie a se en los 8 elemen os en iquecido con 4gdl adicionales
ma cados en azul; y ya más alejados se pueden e los elemen os
en iquecidos con 2gdl en na anja. El modelo comple o iene un o al de
34944 nodos y 34488 elemen os.
Figu a 4.18: Modelo mallado.
- 80 -
79º. En ese caso, el modo de ape u a de la g ie a es á más
a ec ado po el modo II de ape u a.
-
El aumen o del módulo de Young E del inden ado p oduce que
las líneas de ue za de acción-comp esión o iginalmen e en la
di ección de la ca ga al e nan e
σ
B
“ uguen” hacia el inden ado ,
p o ocando el cambio de di ección de las ensiones al ededo de
la g ie a y p o ocando la disminución en el ángulo de
p opagación.
-
Se con i ma la no p opo cionalidad de los casos de ca ga a a és
de las simulaciones ealizadas, lo que indica la necesidad de
emplea un c i e io álido bajo es as condiciones como es el que
se ha empleado en es e p oyec o in de mas e : el c i e io de la
mínima a iación de la ensión angencial
∆τ
min
.
5.2 T abajos u u os
En es e apa ado se plan ean una se ie de posibles es udios que
pueden lle a se a cabo omando como base los esul ados y conclusiones
ob enidos en es e abajo de in es igación.
-
E alua el e ec o de cambia el ma e ial del inden ado a o os
di e en es con igideces dis in as de la de la p obe a, como se ha
ealizado y documen ado en el capí ulo 4, u ilizando XFEM y
ealizando ensayos expe imen ales pa a con i ma y co elaciona
con las écnicas numé icas más a anzadas los esul ados
an icipados en es e abajo.
-
Aplica a di e en es ipos de ensayos, como pudie an se ensayos
de lexión, el cambio de igidez del inden ado pa a p edeci la
o ien ación de la g ie a en es os casos y gene aliza o
pa icula iza las conclusiones de es e abajo.

- 81 -
6 Bibliog a ía
[1] ABAQUS, Inc. ABAQUS 10.6, 2010.
[2] Ma hwo ks, Inc. MATLAB R3013b, 2013.
[3] U. B yggman and S. Söde be g. Con ac condi ions in e ing. Wea ,
110:1-17, 1986.
[4] D.A. Hills, D. Nowell and A. Sack ield. Mechanics o Elas ic
Con ac s. Bu e wo h-Heinemann, Ox o d, 1993.
[5] D.A. Hills and D. Nowell. Mechanics o F e ing Fa igue, Solid
mechanics and i s applica ions, olume 30. Kluwe Academic P ess,
1994.
[6] A. Sack ield, A. Mugadu and D.A. Hills. The in luence o an edge
adius on he local s ess ield a edge o a comple e e ing con ac .
In e na ional Jou nal o Solid and S uc u es, 39, 2002.
[7] A. Sack ield, C.E. T uman, and D. A. Hills. The il ed punch unde
no mal and shea load (wi h applica ion o e ing es ). In e na ional
Jou nal o Mechanical Sciences, 43, 2001.
[8] A. Mugadu and D.A. Hills. A gene alised s ess in ensi y app oach o
cha ac e ising he p ocess zone in comple e e ing con ac s.
In e na ional jou nal o Solid and S uc u es, 39, 2002.
[9] A.E. Giannakopoulos, T.C. Lindley, and S. Su esh. O e iew no. 129
– Aspec s o equi alence be ween con ac mechanics and ac u e
mechanics: Theo e ical connec ions and a li e-p edic ion me hodology
o e ing- a igue. Ac a Ma e ialia, 46(9):2955-2968, 2002.
[10] B.P. Conne , S. Su esh, and T.C. Lindley. Applica ion o ac u e
mechanics based li e p edic ion me hod o con ac a igue. In e na ional
Jou nal o Fa igue, 26:511-520, 2004.
[11] N.I Muskhelish ili. Some basic p oblems o he ma hema ical heo y
o elas ici y. Noo dho , G oningen, 1953.
- 82 -
[12] K.L. Johnson. Con ac Mechanics. Camb idge Uni e si y P ess,
1985.
[13] M. Tu , F.J. Fuenmayo , and J.J. Ródenas. In luence o bulk s ess
on con ac condi ions and s esses du ing e ing a igue. Jou nal o
S ain Analysis o Enginee ing Design, 37(6):479-492, 2002.
[14] V.B. Wa wood, J . The ini e elemen me hod o p edic ion o c ack
beha iou . Nuclea Enginee ing and Design, 11:323-332, 1969.
[15] J.R. Dixon and L.P. Pook. S ess in ensi y ac o s calcula ed
gene ally by he ini e elemen echnique. Na u e, 224:166-167, 1969.
[16] N. Moës, J. Dolbow, and T. Bely schko. A ini e elemen me hod o
c ack g ow h wi hou emeshing. In e na ional Jou nal o Nume ical
Me hods in Enginee ing, 46(1):131-150, 1999.
[17] J.R. Rice and D.M. T acey. Compu a ional ac u e mechanics. In
S.J. Fen es, N. Pe one, A.R. Robinson, and W.C. Schnob ich, edi o s,
Nume ical and Compu e Me hods in S uc u al Mechanics, pages 585-
623, New Yo k, 1973. Academic P ess.
[18] R.H. Gallaghe . A e iew o ini e elemen echniques in ac u e
mechanics. In D.R.J. Owen and A.R. Luxmoo e, edi o s, Nume ical
Me hods in F ac u e Mechanics, P oceedings 1s Con e ence, pages 1-25,
Swansea, 1978. Pine idge P ess.
[19] D.R.J. Owen and A.J. Fawkes. Enginee ing F ac u e Mechanics:
Nume ical Me hods and Applica ions. Pine idge P ess, L d. Swansea,
UK., 1983.
[20] S.N. A lu i. Compu a ional Me hods in he mechanics o F ac u e,
olume 2 o Compu a ional Me hods in Mechanics. No h Holland
(Else ie Science), Ams e dam, 1986.
[21] I.S. Raju and J.C. Newman, J . Me hods o analysis o c acks in
h ee-dimensional solids. Jou nal o Ae o. Soc. O India, 36(3):153-172,
1984.
- 83 -
[22] A.A. G i i h. The phenomena o up u e and low in solids, olume
221:163-198 o Se eis A. Philosophical T ansac ions o he Royal
Socie y o London, S . Louis, Missou i, 1921.
[23] G.R. I win. F ac u e Dynamics. Am. Soc. Me als, Cle eland, 1948.
[24] H.M. Wes e gaa d. Bea ing P essu e and C acks, olume 6. Jou nal
o Applied Mechanics, 1937.
[25] M.L. Williams. S ess singula i ies esul ing om Va ious Bounda y
condi ions in Angula Co ne s o Pla es in Ex ension. Jou nal o Applied
Mechanics 19:526-528, 1952.
[26] E.E. Gdou os. F ac u e Mechanics: an In oduc ion. Solid
Mechanics and i s Applica ions. Kluwe Academic Publishe s,
Do d ech , Holanda, 1993.
[27] T.L. Ande son. F ac u e Mechanics: Fundamen als and
Applica ions. CRC P ess, Boca Ra ón, Flo ida, 2
nd
edi ion, 1995.
[28] G.C. Sih. Me hods o Analysis and Solu ions o C ack P oblems,
olume 1 o Mechanics o F ac u e. Noo dho In e na ional Publishing,
Leyden, Ne he land, 1973.
[29] M.H. Aliabadi and D.P. Rooke. Nume ical F ac u e Mechanics.
Compu a ional Mechanics Publica ions: Solid Mechanics and i s
Applica ions. Kluwe Academic Publishe s, Uni ed Kingdom, 1991.
[30] T. Bely schko, Y.Y. Lu, and L.Gu. Elemen - ee Gale kin Me hods.
In e na ional Jou nal o Nume ical Me hods in Enginee ing, 37, 1994.
[31] E. Gine , A. Ve che , J.E. Ta ancón, O.A. González and F.J.
Fuenmayo . Análisis median e X-FEM de la o ien ación de g ie a en un
p oblema de e ing- a iga con con ac o comple o. In Anales de
mecánica de la ac u a, olume 23, pages 141-146. Alba acín, 2006.
[32] P.J.E Fo sy h. A wo s age p ocess o a igue c ack g ow h. In: P oc
c ack p opaga ion symposium, he College o Ae onau ics, ol. 1.
C an ield; 1961. p. 76-94.
- 84 -
[33] M.C. Dubou g and V. Lamacq. S age II c ack p opaga ion di ec ion
de e mina ion unde e ing a igue loading: a new app oach in
acco dance wi h expe imen al obse a ions. In: Hoeppne D.W., e al.,
edi o s. F e ing a igue: cu en echnology and p ac ices, ASTM STP
1367, Wes Conshohocken; 2000. p. 436-50.
[34] M. Sabsabi. Modelado de g ie a y es imación de ida en F e ing
Fa iga median e el Mé odo de los Elemen os Fini os Ex endido X-FEM.
PhD Thesis, Uni e sidad Poli écnica de Valencia, 2010.
[35] E.Gine , M. Sabsabi, J.J. Ródenas, F.J. Fuenmayo . Di ec ion o
c ack p opaga ion in a comple e con ac e ing- a igue p oblem.
In e na ional jou nal o Fa igue 58:172-180. 2014.
[36] B. Co e ell, J.R. Rice. Sligh ly cu ed o kinked c acks. In J F ac
1980;16:155–69.
[37] R. Ribeaucou , M.C Baie o-Dubou g, A. G a ouil. A new a igue
ic ional con ac c ack p opaga ion model wi h he coupled X-
FEM/LATIN me hod. Compu Me hods Appl Mech Eng 2007;196:3230–
47.
[38] Gine E, Sabsabi M, Fuenmayo FJ. Calcula ion o KII in c ack ace
con ac s using X-FEM. Applica ion o e ing a igue. Eng F ac Mech
2011;78(2):428–45.
[39] Gine E., Sukuma N., Denia F.D., and Fuenmayo F.J. Ex ended
Fini e Elemen me hod o e ing a igue c ack p opaga ion.
In e na ional Jou nal o Solid and S uc u es, 45:5675-5687, 2008.
[40] Mu oh Y., Xu J.Q., and Kondoh K. Obse a ion and analysis o
e ing a igue c ack ini ia ion and p opaga ion. In S.E. Kinyon, D.W.
Hoeppne , and Y.Mu oh edi o s, Ad anced in Basic Unde s anding and
Applica ions, pages 61-75, Wes Conshohocken, 2003. Ame ican Socie y
o Tes ing and Ma e ials ASTM STP 1425.