Un viaje de fin de curso y tres tareas de modelización. Una experiencia en un aula de secundaria

Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL MSEL Modelling in Science Education and Learning Modelling in Science Education and Learning Volume 8(2), 2015 doi: 10.4995/msel.2015.3681. Instituto Universitario de Matem´atica Pura y Aplicada Universitat Polit`ecnica de Val`encia Un viaje de fin de curso y tres tareas de modelizaci´on. Una experiencia en un aula de secundaria A school trip and three modelling tasks. A experience in a secondary classroom Irene Ferrando Palomares Universitat de Val` encia. Irene.F[email protected] Borja Navarro Colegio Genc¸ana b[email protected] Abstract Este trabajo describe una experiencia llevada a cabo en un aula de tercer curso de Educaci´on Secundaria Obligatoria. Para su desarrollo se han dise˜nado tres tareas de modelizaci´on con un contexto com´un cercano a la realidad de los estudiantes: la organizaci´on de un viaje de fin de curso. El objetivo principal es extraer los aspectos que han de tenerse en cuenta al plantear una actividad de modelizaci´on y analizar el resultado de la experiencia en base a las respuestas de los estudiantes para as´ı identificar y clasificar las dificultades encontradas por los alumnos. This paper describes an experimence conducted in a ninth grade classroom. Three modeling tasks have been designed both related with the organization of a school trip. The main objective is to obtain the aspects to be considered when we propose this kind of tasks. For this aim we will analyze the result of experience thought the student’s responses in order to identify and classify the difficulties encountered them. Keywords: Modelling, secondary education, teacher’s interventions Palabras clave: Modelizaci´on educaci´on secundaria, rol del profesor 79 Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL 80 Una experiencia en un aula de secundaria. I. Ferrando, B. Navarro 1 Introducci´on y marco te´orico Este trabajo se enmarca en la resoluci´on de problemas reales siguiendo la l´ınea marcada por Freudenthal durante la d´ecada de los a˜nos 70 del siglo pasado, a partir de su conferencia “How to teach mathematics so as to be useful” (1968). Por tanto lo que se pretende no es algo nuevo ya que, como indica Puig (1997), a partir de la publicaci´on de “Mathematics as an Educational Task” (Freudenthal, 1973) la relaci´on existente entre la vida real y las matem´aticas fue una constante dentro de la educaci´on matem´atica. Posteriormente, a principios de 1990, estas actividades fueron disminuyendo su importancia dentro de las aulas, aunque a finales de esa misma d´ecada se volvieron a retomar (Sol, Gim´enez y Rosich, 2011). Recientemente, con la aparici´on de las pruebas PISA, llevadas a cabo por la OCDE, se vuelve a insistir en la importancia que tienen las aplicaciones matem´aticas dentro del mundo cotidiano y se instauran las competencias como uno de los principales objetivos dentro de la educaci´on (VVAA, 2013b, p.21): La evaluaci´on de las matem´aticas que hace PISA exige a los alumnos que se enfrenten con problemas matem´aticos que est´an basados en alg´un contexto del mundo real, para lo cual, activan las competencias matem´aticas pertinentes para resolver el problema, y se embarcan en un proceso de matematizaci´on (Puig, 2006, p. 7). Una de las formas de trabajar problemas reales es a trav´es de las tareas de modelizaci´on. Hay diferentes puntos de vista sobre lo que es una tarea de modelizaci´on, Borromeo Ferri (2006) presenta en su trabajo una revisi´on sobre los distintos ciclos de modelizaci´on que subyacen en las tareas de modelizaci´on. En este trabajo el ciclo de modelizaci´on de referencia ser´a el de Blum y Leiβ(2007) representado en la Figura 1 Figura 1: Ciclo de modelizaci´on. El recorrido del ciclo de modelizaci´on no se realiza de forma lineal, tal y como muestran algunos estudios emp´ıricos (Borromeo Ferri, 2006). Este proceso c´ıclico de resoluci´on de una tarea de modelizaci´on puede relacionarse con las etapas de resoluci´on de problemas establecidas por Polya (1945): •Comprensi´on del problema •Elaboraci´on de un plan •Ejecuci´on del plan •Examen de la soluci´on Esta relaci´on no es biun´ıvoca, ya que la etapa correspondiente al “examen de la soluci´on” se puede relacionar con las tres ´ultimas etapas del proceso de modelado: interpretaci´on, validaci´on y presentaci´on de la soluci´on. De esta forma se observa que, aparentemente, esta ´ultima etapa establecida por Polya (1945) adquiere mayor importancia al trabajar tareas de modelizaci´on. El objetivo de este trabajo es analizar de forma pormenorizada una experiencia de implementaci´on de tareas de modelizaci´on abiertas en un aula de tercer curso de educaci´on secundaria Obligatoria. No es f´acil encontrar en la literatura una definici´on clara de tarea abierta ISSN 1988-3145 @MSEL Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL Volume 8(2), doi: 10.4995/msel.2015.3681. 81 al referirnos a tareas de modelizaci´on, ya que, en cierto sentido todas lo son, en el trabajo de Maaβ(2006) se entiende como tarea abierta aquella que admite varias formas de resoluci´on . Puesto que el desarrollo de la experiencia se llev´o a cabo por un profesor en formaci´on hemos considerado de inter´es intentar dar respuesta a las siguientes preguntas: •¿C´omo enfocar el dise˜no de las tareas y la preparaci´on de las clases cuando se va a proponer a los alumnos la resoluci´on de tareas de modelizaci´on abiertas? •¿C´omo actuar en el aula durante el proceso de resoluci´on de las tareas? •¿Cu´ales son las dificultades que encuentran los alumnos al enfrentarse a la resoluci´on de tareas de modelizaci´on abiertas? •¿C´omo evaluar las resoluciones de los estudiantes? En la siguiente secci´on explicaremos en detalle c´omo se llev´o a cabo la experiencia, incidiendo particularmente en el dise˜no de las tareas, la preparaci´on de las clases y el rol del profesor, y en la tercera secci´on intentaremos, a partir del an´alisis de la misma, dar respuesta a las dos ´ultimas preguntas. 2 Dise˜no de la experiencia El trabajo se inici´o con una revisi´on bibliogr´afica en dos direcciones, por un lado se revisaron las fuentes relativas a la modelizaci´on (algunas han sido citadas en el apartado anterior), por otro lado se estudi´o en detalle el curr´ıculo de Educaci´on Secundaria Obligatoria en vigor en ese momento (BOE, 2007) para identificar los contenidos susceptibles de trabajarse a trav´es de tareas de modelizaci´on as´ı como las posibles referencias a este tipo de actividades. 2.1 Dise˜no de las tareas Se dise˜naron tres tareas contextualizadas en un marco muy cercano a la realidad de los estudiantes: la organizaci´on de un viaje de fin de curso. Se trata de tres tareas distintas pero relacionadas entre s´ı por el contexto. Todas ellas son originales aunque est´an inspiradas en trabajos desarrollados previamente en el ´ambito de la modelizaci´on (Gallart, Ferrando y Garc´ıa-Raffi, 2015). Lo primero que consideramos al plantear las tareas es que fueran problemas motivadores para el alumnado. Es decir que, desde el principio, el contexto de la actividad les permita observar que son problemas que pueden encontrarse alguna vez a lo largo de su vida. Como dice Alsina, Un reto de la educaci´on matem´atica actual en todos sus niveles, consiste precisamente en incluir entre sus objetivos, m´as all´a de los contenidos, el evidenciar y convencer sobre la necesidad de tener en cuenta a las matem´aticas en todas las acciones de la vida, personales, cotidianas o profesionales. (Alsina, 2011 p.6). Se trataba de que observaran que un tema sin relaci´on aparente con las matem´aticas, como es planear un viaje, puede dar lugar a diferentes problemas, y que cada uno tiene su complejidad e importancia para el problema final. Tambi´en se buscaron tres problemas para que hubiera diversidad a la hora de elegir, y para que hubiera, adem´as, diferentes resoluciones a un mismo problema. Tal y como indican Albarrac´ın y Gorgori´o “el trabajo en resoluci´on de problemas [. . .], con situaciones en las que la complejidad progresara, podr´ıa ser una v´ıa para introducir la modelizaci´on en secundaria” (2011, p. 80). @MSEL ISSN 1988-3145 Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL 82 Una experiencia en un aula de secundaria. I. Ferrando, B. Navarro Los tres problemas planteados fueron Viaje a Port Aventura,Viaje a Barcelona yVisita a Barcelona. Como se ha comentado antes, todos est´an relacionados porque se trata de organizar un viaje, pero cada uno se enfoca hacia un aspecto diferente de la organizaci´on. Por tanto, los enunciados son diferentes, as´ı como los datos que han de tener en cuenta e interpretar y los contenidos matem´aticos que se trabajan. “Viaje a Port Aventura” El objetivo del problema era planificar una ruta por un parque de atracciones, en este caso se escogi´o el parque Port Aventura porque ten´ıa relaci´on con los otros dos problemas. Se impusieron una serie de restricciones (el tiempo est´a limitado, deben tener en cuenta las comidas, las colas, visitar alg´un espect´aculo y maximizar el n´umero de atracciones) y la ´unica informaci´on que pose´ıan para resolverlo era un mapa del parque con un par de distancias, para que ellos mismos pudieran calcular la escala. “Viaje a Barcelona” En el segundo problema deb´ıan planificar el viaje de Valencia a Barcelona, considerando distintos medios de transporte as´ı como distintos alojamientos. En este caso ten´ıan tablas donde estaba recogida la informaci´on y deb´ıan elegir la opci´on que m´as se amoldara a sus necesidades teniendo en cuenta dos restricciones (maximizar el tiempo y minimizar el precio). “Visita a Barcelona” En el tercer problema el objetivo es planificar la ruta para visitar algunos puntos de inter´es de Barcelona. Aqu´ı ten´ıan tres restricciones, el tiempo, el dinero y una elecci´on de preferencias de los alumnos y los profesores. En este caso la informaci´on de que dispon´ıan constaba de unos planos de los diferentes transportes metropolitanos de Barcelona as´ı como un listado de precios de los transportes y de los monumentos. Adem´as se les presentaba una lista con los monumentos m´as importantes de la cuidad de Barcelona y el n´umero de votos que ten´ıan por parte de los alumnos y de los profesores que iban a realizar el viaje. Como se observa, todos los problemas son reales en dos sentidos: corresponden a una necesidad real a la hora de organizar un viaje o una excursi´on en grupo y, adem´as, los datos ofrecidos (mapas, precios de transportes y alojamientos, horario,..) son todos reales. Aunque se debe tener en cuenta que, tanto los precios de transporte como los de alojamiento son fruto de la b´usqueda en un d´ıa concreto, con lo que si se buscaran otro d´ıa, podr´ıan variar. Tal y como se ver´a m´as adelante, los problemas planteados no tienen todos la misma dificultad. El inter´es de la diferencia radica en que esto nos puede permitir observar, a posteriori, si los problemas que pueden parecer m´as dif´ıciles en su resoluci´on experta, realmente lo son para ellos, y para observar si hay diferencia en la resoluci´on entre los que son m´as complejos y los que no. Hay que tener en cuenta que estos problemas son de respuesta abierta en dos sentidos: “tanto en su planteamiento como en su proceso y su final y de esta manera se le da un gran protagonismo al alumno que ser´a quien concrete el trabajo” (Sol, Gim´enez y Rosich, 2011, p.333). En este sentido se asemejan a los Proyectos Matem´aticos real´ısticos inspirados por la Educaci´on Matem´atica Realista impulsada por Freudenthal (1968). 2.2 Resoluci´on experta Una vez dise˜nadas y previamente al desarrollo de la experiencia, se realiz´o una “resoluci´on experta” de las tareas. Esta resoluci´on deb´ıa ayudar, por un lado, a preparar la organizaci´on de la experiencia (observar qu´e contenidos matem´aticos trabajaban, analizar si eran viables teniendo en cuenta tiempo disponible y organizar los grupos de trabajo), adem´as, la resoluci´on ISSN 1988-3145 @MSEL Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL Volume 8(2), doi: 10.4995/msel.2015.3681. 83 previa permiti´o identificar los puntos donde, previsiblemente, los alumnos pod´ıan encontrar dificultades y, as´ı, preparar las posibles intervenciones para ayudar a los estudiantes. Obviamente es imposible considerar todas las posibles soluciones, no es este el objetivo de la resoluci´on experta. Lo que interesaba era saber, realmente, a qu´e se iban a enfrentar los alumnos y c´omo se les pod´ıa reconducir por el buen camino, y esto se consigui´o. No obstante los alumnos no tuvieron, como era de esperar, las mismas ideas y la misma planificaci´on que la obtenida en la resoluci´on experta. Sin embargo las diferencias tampoco eran muy importante y, como cab´ıa esperar, las dificultades que se identificaron durante la resoluci´on experta aparecieron efectivamente durante las resoluciones de los alumnos. En ning´un momento esta resoluci´on se ha hecho para obtener la mejor respuesta al problema, ya que se trata de problemas totalmente abiertos, aunque siempre hay soluciones m´as completas que otras. En el siguiente apartado se describen las conclusiones extra´ıdas a partir de la resoluci´on experta. Es importante destacar que la resoluci´on experta ayud´o a modificar la primera versi´on de los problemas planteados. Por ejemplo en el problema “Viaje a Port Aventura” ya se inclu´ıa una escala en el mapa, pero al realizar la resoluci´on experta se observ´o que era interesante dar, adem´as, dos medidas reales para observar si los alumnos relacionaban esos datos con la escala. Por otro lado, en el problema “Viaje a Barcelona” se eliminaron algunos alojamientos y opciones para el trasporte porque se consider´o que la lista era demasiado extensa para el tiempo de que dispon´ıan los alumnos. 2.3 Organizaci´on La experiencia se desarroll´o durante una semana del mes de marzo de 2014 en un grupo de tercer curso de ESO del centro “Florida Secundaria”. El grupo estaba formado por 30 alumnos, de los cuales cuatro eran alumnos repetidores. Esta organizaci´on se realiz´o posteriormente al an´alisis de la resoluci´on experta que permiti´o, entre otras cosas, estimar el tiempo necesario para realizar las tareas. Durante la experiencia los alumnos trabajaron en grupos heterog´eneos de 3 ´o 4 miembros. Como se contaba con 30 alumnos se formaron tres grupos de 4 alumnos y seis grupos de 3 alumnos. El reparto de las tareas se realiz´o de forma que cada problema fuera resuelto por uno de los tres grupos de cuatro alumnos y dos grupos de tres. De esta forma se podr´ıa observar si el tama˜no del grupo tiene o no influencia en la resoluci´on. Cada grupo escogi´o la tarea que quer´ıa resolver a partir de un orden aleatorio. En lo que respecta a la temporalizaci´on, se dispuso de cuatro sesiones de 50 minutos para realizar la experiencia, tres de las cuales se dedicaron, ´ıntegramente, a la resoluci´on de las tareas en grupos. Durante la primera sesi´on los alumnos pasaron un test que no vamos a describir en este trabajo, formaron los grupos y escogieron las tareas. Una vez escogidos los problemas se le entrego, a cada grupo, la hoja del enunciado as´ı como un legajo de hojas en blanco selladas. En estas hojas los componentes de cada grupo deb´ıan escribir todo lo que iban haciendo durante cada sesi´on. Al final de cada clase se entregaban para, de esta forma, poder controlar que lo que conten´ıan era solamente lo realizado en la sesi´on en clase, no pudiendo as´ı continuar el trabajo en casa. De esta manera se va generando un “rastro continuo de documentaci´on” (Lesh y Doerr, 2003), cuyo an´alisis permitir´a, posteriormente, analizar la ruta de modelizaci´on seguida por los estudiantes. Durante las siguientes tres sesiones cada uno de los grupos trabaj´o de forma aut´onoma (aunque pod´ıan requerir la ayuda del profesor) y adem´as dispon´ıan como m´ınimo de dos ordenadores conectados a internet por grupo, para que pudieran hacer uso de los mismos en cualquier momento si lo necesitaban. Todos los problemas se pod´ıan resolver sin el uso del ordenador, aunque se trata de una herramienta que, bien utilizada, puede resultar fundamental @MSEL ISSN 1988-3145 Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL 84 Una experiencia en un aula de secundaria. I. Ferrando, B. Navarro para encontrar o ampliar informaci´on. 2.4 Rol del profesor Teniendo en cuenta la siguiente cita del profesor Alsina, El rol del profesorado ya no es tanto transmitir informaci´on como conocer al alumno y darle orientaci´on y soporte, planificando y gestionando los proyectos de aprendizaje personalizado mediante los proyectos y grupos de trabajo pertinentes. (Alsina, 2011, p.7). la labor del profesor se limit´o a de orientar al alumnado en el caso de duda o bloqueo. En ning´un caso se mostraba la soluci´on directa a su pregunta. La intervenci´on del profesorado era del tipo verbal en el sentido de Borromeo Ferri y Blum (2011, p.928) y cada vez que el profesor hablaba con un alumno, grababa el di´alogo para as´ı poder analizar sus intervenciones. En el siguiente apartado se presentan los detalles del an´alisis de cada una de las etapas de la experiencia. 3 An´alisis de los resultados de la experiencia La resoluci´on experta de las tres tareas result´o de gran utilidad para obtener informaci´on sobre los siguientes aspectos: •Identificar los aspectos de cada problema que pueden plantear dificultades. •Estimar el tiempo de resoluci´on de cada uno de los problemas. •Comprobar que la soluci´on de las tres tareas no es ´unica e identificar las variables de inter´es en cada una. Esto resulta de gran ayuda a la hora de realizar una propuesta de evaluaci´on ya que permite identificar qu´e soluci´on es m´as completa y cu´al menos. Para cada una de las tres tareas, la resoluci´on previa tuvo, adem´as, una importancia particular en el sentido que se detalla a continuaci´on. Viaje a Port Aventura A partir de la resoluci´on experta observamos que el tiempo en la cola en cada atracci´on depend´ıa de la estaci´on del a˜no, ya que el n´umero de visitantes var´ıa. Visita a Barcelona Observamos que es necesario fijarse en que, tal y como est´an hechas las votaciones por parte de los alumnos y los profesores, podr´ıa surgir un conflicto a la hora de elegir qu´e lugares hab´ıan de visitar, ya que hab´ıa un empate en los monumentos m´as votados. Viaje a Barcelona Comprobamos que la resoluci´on de la tarea obliga a hacer un estudio exhaustivo de las posibilidades para escoger alojamiento y transporte, para as´ı ayudar a los alumnos cuando tuvieran dificultades en este aspecto. Adem´as, la resoluci´on experta permiti´o, en los tres casos, identificar gran parte de las dificultades que pod´ıan encontrar los alumnos en su resoluci´on. Conocer de antemano las posibles dificultades permite prever las intervenciones que pueden surgir durante el proceso de resoluci´on. Asimismo, a partir de la resoluci´on experta, se identificaron los contenidos curriculares que desarrollan durante la resoluci´on de las tareas planteadas. Estos contenidos, seg´un el BOE (2007), corresponden a: ISSN 1988-3145 @MSEL Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL Volume 8(2), doi: 10.4995/msel.2015.3681. 85 •Estrategia para contar o estimar cantidades m´as apropiadas a la precisi´on exigida en el resultado y a la naturaleza de los datos (Segundo curso. Bloque 2. N´umeros, p. 31794). •Obtenci´on, cuando sea posible, del factor de escala utilizado. Raz´on entre las superficies de figuras semejantes. Interpretaci´on y obtenci´on de valores en planos, mapas y maquetas (Segundo curso. Bloque 4. Geometr´ıa, p. 31794). •Perseverancia y flexibilidad en la b´usqueda de soluciones a los problemas y en la mejora de las encontradas. (Tercer curso. Bloque 1. Contenidos comunes, p. 31796). •Reconocimiento del trabajo en equipo mostrando inter´es y respeto por estrategias diferentes a las propias. (Tercer curso. Bloque 1. Contenidos comunes, p. 31796). •C´alculo aproximado y redondeo (Tercer curso. Bloque 2. N´umeros, p. 31797). •Interpretaci´on de mapas y resoluci´on de problemas asociados (Tercer curso. Bloque 4. Geometr´ıa, p. 31797). •Expresi´on de la dependencia entre variables (Tercer curso. Bloque 5. Funciones y gr´aficas, p. 31797). La resoluci´on experta tambi´en resulta fundamental para poder establecer unos criterios de evaluaci´on para este tipo de tareas abiertas. En este caso se ha optado evaluar diez aspectos en cada una de las tareas. De esos diez puntos a evaluar, cuatro eran comunes a todas las tareas: •Ideas propias: los alumnos plantean nuevas ideas al problema a partir de los enunciados y sin salirse de las restricciones. •Terminar: el grupo es capaz de obtener una respuesta al problema. •Extra: el grupo ha intentado trabajar otros aspectos de problema impl´ıcitos en el enunciado inicial. •Interpretaci´on de la soluci´on: los alumnos han interpretado los datos que han obtenido en la soluci´on de la tarea, incluso han modificado su resoluci´on en caso necesario. Los otros seis apartados eran espec´ıficos para cada una de las tareas, y se han establecido en base a la resoluci´on experta. El objetivo era delimitar los aspectos que deb´ıan considerarse en la resoluci´on para poder hacerla lo m´as completa posible. A continuaci´on mostramos los aspectos que se consideraron importantes en la tarea de organizar una jornada en Port Aventura: •Distancias: se han tenido en cuenta las distancias dentro del parque de atracciones (se trabaja con escalas). •Tiempos colas: se ha estimado correctamente y de forma el tiempo en las colas de las atracciones. •E/C: se tiene en cuenta el tiempo y el dinero necesario para el espect´aculo y la comida. •Tiempo andar: se calcula el tiempo necesario en dedicar para andar de una atracci´on a otra (esto est´a relacionado con tener en cuenta las distancias pero aqu´ı se a˜nade una variable m´as, la velocidad). •Elecci´on de sitios: la selecci´on de las atracciones est´a bien justificada o, incluso, es generalizable (si la soluci´on permite realizar un recorrido a la carta). @MSEL ISSN 1988-3145 Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL 86 Una experiencia en un aula de secundaria. I. Ferrando, B. Navarro •Tiempo parque: se han tenido en cuenta las restricciones de tiempo que establec´ıa el problema y otras ajenas al mismo (horario del parque, duraci´on de atracciones o espect´aculos). Puesto que las tareas de modelizaci´on tienen ciertas caracter´ısticas que impiden evaluarlas de la manera habitual (tienen una soluci´on abierta, se trabaja por grupos,. . .) es fundamental reflexionar sobre la evaluaci´on antes de llevar a cabo una experiencia de este tipo. En esta experiencia se ha observado que, tanto la resoluci´on experta como el an´alisis exhaustivo del trabajo de los alumnos son claves para dise˜nar una evaluaci´on adecuada. Otro de los aspectos que hay que tener en cuenta al implementar este tipo de tareas es el cambio de actitud del profesor que debe dirigir a los alumnos, lo justo para que no bloqueen (Gallart, Ferrando, Raffi, en prensa). Para analizar este cambio de paradigma, cada vez que el profesor hablaba con un alumno, se grab´o el di´alogo para as´ı analizar su intervenci´on y poder identificarla seg´un la clasificaci´on realizada por Leiβy Wiegand (2005) y Leiβ(2007). En esta clasificaci´on se distinguen, b´asicamente los siguientes tipos de intervenciones: •Intervenciones relacionadas con el contexto, •Intervenciones metacognitivas, •Intervenciones afectivas, •Intervenciones organizativas. Borromeo Ferri y Blum (2011, p. 929) presentan, para cada nivel de intervenci´on, un objetivo a conseguir, aparece la “no intervenci´on consciente” cuyo objetivo es que, sin una ayuda, los alumnos resuelvan su duda concreta. A continuaci´on mostramos algunas intervenciones que hizo el profesor durante la experiencia y las analizamos a partir de la herramienta que presentan Borromeo Ferri y Blum (2011, p. 929). Conversaci´on 1: Alumno: ¿C´omo s´e qu´e bono tengo que coger? (refiri´endose al bono de transporte para el problema Visita a Barcelona). Profesor: ¿Sabes ya las veces que vas a coger el metro? A: No, por eso no s´e cu´al coger. P: ¿Y el itinerario? A: No. Entonces?¡si s´e el itinerario puedo saber los viajes de metro y elegir! P: ¿Y ya sabes los sitios que vas a visitar? A: No, ¿qu´e tengo que elegir los m´as votados? P: Lo que t´u creas con lo que te pone en las instrucciones. (Lee) A: Bueno, ¡los m´as votados y los m´as baratos! En esta conversaci´on se puede observar c´omo el alumno, en un principio, part´ıa de una duda general y poco a poco se iban concretando las distintas variables a tener en cuenta para resolverla. Adem´as, es el alumno el que va descubriendo, a trav´es de las preguntas, c´omo resolver su duda principal. Esta intervenci´on es de tipo afectivo ya que el profesor intenta influir en el estado mental de los estudiantes dando un consejo de manera indirecta. Conversaci´on 2: Alumno: Ya he elegido hotel, ¡el m´as barato! (Refiri´endose al problema Viaje a Barcelona). Profesor: Pero, ¿sabes d´onde est´a? A: No. ISSN 1988-3145 @MSEL Modelling in Science Education and Learning http://polipapers.upv.es/index.php/MSEL Volume 8(2), doi: 10.4995/msel.2015.3681. 87 P: Entonces, ¿c´omo sabes que es el m´as barato? A: Aaaah, entonces miro d´onde est´a cada uno y el que est´e m´as en el centro y sea el m´as barato lo elijo. En esta segunda conversaci´on se puede observar c´omo el alumno no estaba considerando todas las variables necesarias para resolver el problema. Una vez que se le pone en duda su primer razonamiento es cuando se observa que hay otras variables importantes a la hora de escoger hotel. En este caso se realiz´o una intervenci´on metacognitiva haciendo que el estudiante haga una revisi´on cr´ıtica y eval´ue su soluci´on, sin a˜nadir m´as informaci´on por parte del profesor. Conversaci´on 3: Alumno: ¿C´omo s´e la hora que abren el parque? (Hace referencia al problema Viaje a Port Aventura). Profesor: ¿No lo pone? A: No. P: ¿Y puedes averiguarlo? A: S´ı, mirando el ordenador, ¿puedo? En este caso al alumno le surge la duda porque la informaci´on que necesita no se encuentra disponible en las instrucciones. Sin embargo se le hace ver que puede usar material complementario para poder hacer una mejor resoluci´on a su problema. En esta intervenci´on se presentan dos maneras de actuar por parte del profesor, en un primer momento hay una no intervenci´on cuando se pregunta si la duda del alumnado no est´a en el enunciado, y posteriormente se hace una intervenci´on afectiva ya que se da un consejo de manera indirecta al alumno. Por ´ultimo, se realiz´o un an´alisis de las respuestas de los alumnos, para poder as´ı clasificar las dificultades que iban encontrando los estudiantes en la resoluci´on de los problemas. A partir de este an´alisis se observa que ´estas se pueden agrupar en cinco categor´ıas: identificaci´on de variables, validaci´on, simplificaci´on, matematizaci´on horizontal y resoluci´on matem´atica. A continuaci´on detallamos brevemente a qu´e nos referimos con cada una de ellas: •Identificaci´on de variables: los alumnos no son capaces de identificar variables importantes a la hora de la resoluci´on de la tarea. Estas variables pueden ser importantes para la soluci´on final o para una peque˜na parte de esa soluci´on. En ambos casos, al no tener en cuenta alguna variable la resoluci´on es menos completa que si se tienen todas en cuenta. •Validaci´on: una vez que se da la soluci´on al problema, o a una parte del mismo, los alumnos han de validar que el resultado matem´atico obtenido en t´erminos de la situaci´on real que da lugar al problema. Si no se lleva a cabo esta validaci´on es muy probable que el resultado final sea incoherente o disparatado. •Simplificaci´on: cuando se obvian muchas de las variables implicadas en la tarea el problema se simplifica tanto que su resoluci´on acaba siendo trivial e, incluso, incorrecta. En todos los casos en los que se hay una simplificaci´on excesiva obtenemos una matematizaci´on pobre del problema. •Matematizaci´on horizontal: aparece cuando los alumnos no son capaces de traducir el problema real en t´erminos de un problema matem´atico. Esto hace que, al haber cometido un error en la traducci´on, el resultado obtenido no sea correcto. •Resoluci´on matem´atica: corresponde a los errores puramente matem´aticos. @MSEL ISSN 1988-3145