E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo torsor en elementos de hormigón armado

Estructuras de Hormigón Miguel Troyano Moreno CONTENIDO: 1. Introducción ............................................................................................................................. 2 2. Comportamiento de las piezas de hormigón armado sometidas a torsión pura. ........................... 2 2.1 Estado I: Elástico ................................................................................................................. 2 2.2 Estado II: De fisuración ....................................................................................................... 4 2.3 Estado III: De prerrotura ...................................................................................................... 5 3. Analogía de la celosía tridimensional ........................................................................................ 6 3.1 Torsor absorbido por las armaduras transversales ................................................................. 9 3.2 Torsor absorbido por las bielas de compresión ................................................................... 10 3.3 Torsor absorbido por las armaduras longitudinales ............................................................. 11 4. Torsión según EHE ................................................................................................................. 12 4.1 Clasificación ...................................................................................................................... 12 4.2 Torsión Pura ...................................................................................................................... 14 4.2.1 Definición de la sección hueca eficaz ....................................................................... 14 4.2.2 Comprobaciones que hay que realizar ...................................................................... 15 4.2.2.1 Obtención de Tu1 ................................................................................................. 15 4.2.2.2 Obtención de Tu2 ................................................................................................. 16 4.2.2.3 Obtención de Tu3 ................................................................................................. 16 4.2.3 Disposición de armaduras ........................................................................................ 16 4.3 Interacción entre torsión y otros esfuerzos .......................................................................... 17 4.3.1 Torsión combinada con flexión y axil ....................................................................... 17 4.3.1.1 Cabeza de compresión......................................................................................... 17 4.3.1.2 Armadura longitudinal ........................................................................................ 18 4.3.2 Torsión combinada con cortante ............................................................................... 18 4.3.2.1 Bielas de compresión .......................................................................................... 18 4.3.2.2 Armadura transversal .......................................................................................... 19 Tema 12: E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo torsor en elementos de hormigón armado E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo torsor en elementos de hormigón armado 12 Pág. 2 de 19 1. INTRODUCCIÓN En este tema se hace un estudio de las piezas lineales de hormigón armado sometidas a solicitaciones de torsión. Este tipo de esfuerzo no suele presentarse aisladamente sino en combinación con las solicitaciones normales (flectores y axiles) y el esfuerzo cortante, y al igual que este último también provoca tensiones tangenciales sobre la sección. Al igual que para el esfuerzo cortante veremos primeramente cómo se comportan las piezas de hormigón armado sometidas a torsión hasta alcanzar la rotura, con el fin de poder establecer un mecanismo resistente para este tipo de solicitación. Veremos que este mecanismo consiste en una celosía tridimensional. A partir de este modelo deduciremos la respuesta estructural (torsor de agotamiento) que nos va a permitir justificar la comprobación del E.L.U. de agotamiento por torsor realizada por la Instrucción EHE. 2. COMPORTAMIENTO DE LAS PIEZAS DE HORMIGÓN ARMADO SOMETIDAS A TORSIÓN PURA. Se dice que una pieza trabaja a torsión pura cuando está sometida únicamente a un momento torsor, como por ejemplo la pieza de la Fig. 2-1. Si estudiamos el comportamiento de esta pieza hasta alcanzar la rotura, al igual que se ha hecho con el resto de solicitaciones, podemos observar como ésta pasa por tres estados claramente diferenciados. 2.1 Estado I: Elástico Para pequeños esfuerzos de torsión puede admitirse un comportamiento elástico y lineal, donde las únicas tensiones que aparecen en la sección trasversal, en los casos normales de secciones macizas y de pared delgada cerradas 1 , son tensiones tangenciales. Según el tipo de sección, la distribución tensiones tangenciales tiene la forma:  Secciones macizas. La tensión tangencial máxima viene dada por: máx t T W  [2-1] y el ángulo girado por: ct T GI    [2-2] donde: T: Momento torsor. Wt: Módulo resistente de la sección a torsión. : Longitud de la pieza. It: Momento de inercia polar de la sección. Gc: Módulo de deformación transversal del hormigón, de valor: c c E G2(1 )  1 En estos casos se admite que las secciones transversales pueden alabearse libremente de tal forma que no se producen tensiones normales a la sección (es lo que se conoce como torsión libre o no restringida). T Fig. 2-1 E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo torsor en elementos de hormigón armado 12 Pág. 3 de 19 b h Fig. 2-2 donde: Ec: Modulo de deformación del hormigón. : Coeficiente de Poisson del hormigón. La relación entre el torsor aplicado en la pieza y el ángulo girado por la misma, ecuación [2-2], se puede poner de la forma: ct t GI T T k       [2-3] donde a la constante ct t GI k  se le denomina rigidez a torsión de la pieza, y representa el momento torsor que es necesario aplicar en sus extremos para producir entre estos un giro unidad. Para el caso particular de la sección rectangular, con hb , se tiene: 2 t W b h   3 t I b h   donde los valores de  y  son los indicados en la Tabla 2–1, y siendo la distribución de tensiones tangenciales la representada en la Fig. 2-2. h b 1,00 1,25 1,50 2,00 3,00 4,00 6,00 10,00   0,140 0,171 0,196 0,229 0,263 0,281 0,299 0,313 0,333  0,208 0,221 0,231 0,246 0,267 0,282 0,299 0,313 0,333 Tabla 2–1  Secciones de pared delgada cerradas. En este tipo de secciones el esfuerzo torsor provoca un flujo constante de tensiones tangenciales, de valor: e T t2A    [2-4] donde t es el espesor de la sección en el punto donde se evalúa la tensión , y Ae el área de la sección encerrada por la línea media de la sección hueca (línea de trazos en la Fig. 2-3). En la Fig. 2-3 se representa la distribución de tensiones tangenciales en una sección de pared delgada cerrada producida por un momento torsor. La tensión tangencial máxima se produce donde el espesor es mínimo, y tiene de valor: máx e mín T 2 A t   [2-5] Conocida la distribución de tensiones tangenciales que provoca el momento torsor sobre la pieza, es posible, al igual que se hizo con el esfuerzo cortante, calcular las tensiones principales. Éstas, en las caras laterales de la pieza, forman un ángulo de 45º respecto a la directriz de la misma tal y como se muestra en la Fig. 2-4-a. Una vez que las tensiones principales de tracción superan la resistencia a tracción del hormigón se produce una fisuración en forma helicoidal que sigue la dirección de las tensiones principales de compresión (ver Fig. 2-4-b, donde se ha transparentado la pieza para poder apreciar las fisuras en las caras posterior e inferior de la misma). Fig. 2-3 t  Línea media de la sección hueca E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo torsor en elementos de hormigón armado 12 Pág. 4 de 19 Si representamos la relación Torsor-Giro (Fig. 2-5) esta fase termina en el punto A, y está caracterizada por una relación lineal, donde la pendiente es exactamente la rigidez de la pieza a torsión kt. 2.2 Estado II: De fisuración Una vez finalizada la fase elástica con la aparición de las primeras fisuras, es necesario disponer armaduras para que la pieza pueda seguir soportando más carga. Sin esta armadura o si ésta no está correctamente diseñada, la pieza rompe de forma brusca siguiendo la curva AB' de la Fig. 2-5. La rotura de la pieza en el punto B' , es como la representada en la Fig. 2-6, donde la superficie de rotura contiene a tres fisuras helicoidales consecutivas (AB, BC y CD) y una cuarta (DA) que une los extremos de aquellas. En las figuras 2-7 y 2-8 se muestra la forma de disponer estas armaduras. En el primer caso la armadura se dispone en forma helicoidal siguiendo las direcciones de las tensiones principales de tracción, esto es, cosiendo las fisuras. Esta disposición sería en principio la más efectiva, sin embargo, debido a las dificultades constructivas que presenta y a que solamente es efectiva para un sentido del torsor, no siendo válida para torsores de sentido contrario, no se suele utilizar. T I  I  II  II  a) b) T Fig. 2-4 T  u T t k A B' B C O Fig. 2-5 T A B C D Fig. 2-6 E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo torsor en elementos de hormigón armado 12 Pág. 5 de 19 En la Fig. 2-8 se muestra la disposición que se suele emplear en la práctica, formada por armaduras longitudinales en combinación con cercos cerrados distribuidos a lo largo de la pieza. Se ha comprobado experimentalmente que no es suficiente con disponer únicamente los cercos, siendo necesario disponer la armadura longitudinal, al menos una en cada esquina. En esta fase fisurada la pieza pierde rigidez produciéndose, para un determinado torsor, giros muy superiores a los calculados elásticamente. La pieza evoluciona siguiendo la curva AB de la Fig. 2-5 2.3 Estado III: De prerrotura En las proximidades de la rotura la situación anterior llega a su extremo, iniciándose el proceso de rotura de la pieza, que como siempre, se produce bien por agotamiento del hormigón, bien por plastificación de las armaduras o bien por ambos simultáneamente. Se recorre el tramo BC de la Fig. 2-5. T Fig. 2-8. Armadura longitudinal en combinación con cercos cerrados T Fig. 2-7. Armadura helicoidal E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo torsor en elementos de hormigón armado 12 Pág. 6 de 19 b h 0 b 0 h e h A t A Fig. 3-1 3. ANALOGÍA DE LA CELOSÍA TRIDIMENSIONAL Experimentalmente se ha observado que el comportamiento de una pieza de sección maciza convexa 2 , correctamente armada, es el mismo que el de otra pieza cuya sección no fuese maciza sino hueca, de espesor ficticio he, e igualmente armada. Es decir, en la fase de prerrotura puede prescindirse del núcleo de la sección, y considerar, a efectos resistencia a torsión, la sección como si fuese hueca, tal y como se muestra, para una sección rectangular, en la Fig. 3-1. Esta constatación experimental tiene su justificación en los siguientes hechos:  Como se desprende de lo visto en el apartado 2.1, incluso en la fase elástica, el núcleo de la sección de hormigón tiene una colaboración muy pequeña a la resistencia del esfuerzo torsor porque es donde se producen las tensiones tangenciales más pequeñas (las tensiones tangenciales máximas se producen en los centros de las caras de la sección), y porque el brazo mecánico de éstas es también muy pequeño.  Al producirse el giro de la pieza, las caras laterales de ésta se deforman convirtiéndose en paraboloides hiperbólicos, de tal forma que el hormigón situado entre dos fisuras consecutivas de una de estas caras (biela de compresión) experimenta una flexión en la dirección del eje de la biela (ver Fig. 3-2). Esta flexión provoca que las fibras exteriores se encuentren en compresión y las interiores en tracción. Cuando estas tracciones sean superiores a la resistencia a tracción del hormigón, éste se fisura, quedado únicamente la zona exterior sin fisurar y por lo tanto, convirtiendo, a efectos resistentes, la sección maciza en hueca. 2 Se dice que una sección es convexa cuando la tangente en cualquier punto de su contorno exterior deja toda la sección a un mismo lado. T Fig. 3-2 E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo torsor en elementos de hormigón armado 12 Pág. 7 de 19 Por lo tanto si consideramos la pieza compuesta por cuatro paredes de espesor he, y sustituimos el torsor por dos pares de fuerzas equivalentes, FF y F' F' , resulta que las paredes verticales tienen que absorber las fuerzas F y las horizontales las F' . Cada una de estas fuerzas puede imaginarse que se absorbe estableciéndose un mecanismo similar al del cortante, formado por una celosía plana donde los cordones, inferior y superior, están constituidos por la armadura longitudinal, los montantes por la rama del cerco contenida en la correspondiente pared, y las diagonales por el hormigón existente entre dos fisuras consecutivas. En la Fig. 3-3 se muestra la correspondiente analogía para la pared frontal. Finalmente si superponemos los cuatro mecanismos resistentes se obtiene un mecanismo que corresponde con una celosía tridimensional. En la Fig. 3-4 se muestra esta celosía, donde las bielas de compresión se han representado por líneas a trazos. Para una mejor comprensión de este mecanismo resistente vamos a ver como efectivamente el torsor T, o lo que es lo mismo los pares de fuerzas estáticamente equivalentes, pueden estar en equilibrio con los esfuerzos axiles que se desarrollan en los elementos de esta celosía tridimensional. Para que esta celosía se pueda representar de forma discreta, formando las bielas de compresión igual ángulo en todas las caras, la sección trasversal de la pieza tiene que ser cuadrada. En este caso las cuatro fuerzas son iguales, y por lo tanto cada celosía plana tiene que soportar la misma fuerza F (cortante). En la Fig. 3-5 se representa una de estas celosías planas. Los esfuerzos se obtienen simplemente planteando el equilibrio de los nudos. En la figura se indica con signo positivo los axiles de compresión y con signo negativo los de F F F' F' Fig. 3-4 F F F' F' F Bielas de compresión Fig. 3-3 E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo torsor en elementos de hormigón armado 12 Pág. 8 de 19 tracción. Se observa como todas las bielas absorben una compresión de valor 2F y las ramas de los cercos una tracción de valor F. Como cada armadura longitudinal pertenece simultáneamente a dos celosías planas, para obtener sus esfuerzos tenemos que superponer los correspondientes a las distintas celosías planas. Si se hace esto resulta finalmente que las armaduras longitudinales absorben una tracción constante de valor F. En la Fig. 3-6 se indican los esfuerzos en los distintos elementos de la celosía tridimensional y cómo se cumple el equilibrio tridimensional de un nudo genérico 3 . 3 En la figura no se han representado las barras correspondientes a las bielas de las caras posterior e inferior para clarificar el dibujo. F F 2 F 2 2F 1F 2  1F 2  2F F F F F F 2F 2F 2F 2F 2F 1F 2 3F 2 5F 2 7F 2 9F 2 3F 2  5F 2  7F 2  9F 2  11F 2  Fig. 3-5 Fig. 3-6 2F F F F F 2F F F F F Bielas de compresión: 2F Armadura transversal (cercos): F Armadura longitudinal: F   E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo torsor en elementos de hormigón armado 12 Pág. 9 de 19 Al igual que sucedía con la solicitación de esfuerzo cortante, en la situación real el mecanismo resistente no es discreto, como se representa en la Fig. 3-4, sino continuo, y la inclinación teórica de las fisuras de 45º, dependiendo de la existencia de otros esfuerzos, puede variar. En lo que sigue, utilizando como modelo de cálculo o mecanismo resistente una celosía tridimensional, donde las bielas de compresión se distribuyen de forma continua en el alma de una sección hueca rectangular de espesor he 4 , determinaremos el torsor que provoca el agotamiento de cada uno de los elementos de la celosía, para una inclinación de las fisuras genérica, . En la Fig. 3-7 se representa la sección transversal y los dos pares de fuerzas FF y F' F' estáticamente equivalentes al torsor T, y que cumplen por lo tanto que: 00 T F b F' h    [3-1] 3.1 Torsor absorbido por las armaduras transversales Si estudiamos el equilibrio vertical del trozo de cara frontal existente entre la sección A-A y la sección quebrada a-a que atraviesa el alma de ésta con la dirección de las fisuras (ver Fig. 38), se tiene que la fuerza F se equilibra con la resultante de las fuerzas que absorben las ramas de los cercos contenidos en esta cara, es decir: t yt,d F n A f   [3-2] donde: n: nº de cercos que atraviesan la fisura inclinada un ángulo . At: Sección de una rama del cerco fyt,d: Resistencia de cálculo de la armadura transversal Si st es la separación en la dirección de la directriz de la pieza de la armadura transversal, el número, n, de cercos que atraviesa la fisura será: 0 t h cotg ns   [3-3] y sustituyendo [3-3] en [3-2], se tiene: 0 t yt,d t h cotg F A f s     [3-4] Si hacemos lo mismo con una de las caras horizontales, por ejemplo la superior, se obtiene igualmente que: t yt,d 0 t yt,d 0t t F' n' A f b cotg F' A f b cotg n' s s             [3-5] Finalmente si sustituimos las expresiones de las fuerzas F y F' , dadas por [3-4] y [3-5], en la expresión del torsor [3-1], nos queda: 4 El espesor ficticio a considerar, he, se determina en base a la experimentación. Fig. 3-8 F 0 h t yt,d Af  t s t s t s 0 h cotg A A a a F' 0 b t yt,d Af  t s t s 0 b cotg A A a' a' Fig. 3-9 b h 0 b 0 h e h F T F' F' F Fig. 3-7 E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo torsor en elementos de hormigón armado 12 Pág. 16 de 19 1. c e e 2 cotg T 2 A h 1 cotg       Si en esta expresión introducimos la máxima tensión de compresión que es capaz de soportar dichas bielas, f1cd, e introducimos un término corrector, k, obtenemos el torsor que provoca el agotamiento por compresión oblicua del alma: u1 1cd e e 2 cotg T 2 k f A h 1 cotg         que si llamamos 2k  , nos queda: u1 1cd e e 2 cotg T f A h 1 cotg       donde: f1cd: Resistencia a compresión del hormigón, de valor 1cd cd f 0,60 f  = 1,20 Si hay estribos únicamente a lo largo del perímetro exterior de la pieza 1,50 Si se colocan estribos cerrados en ambas caras de la pared de la sección hueca equivalente o de la sección hueca real. Para secciones rectangulares con  = 45º queda:     u1 cd e e T 0,36 f A h 4.2.2.2 Obtención de Tu2 El máximo torsor que son capaces de resistir las armaduras transversales fue deducido, según el modelo de la celosía, en el apartado 3.1, y coincide con el adoptado por EHE para esta situación de agotamiento. Por lo tanto: e u2 t yt,d t 2A T A f cotg s      donde: At: Área de las armaduras utilizadas como cercos o armadura transversal. st: Separación longitudinal entre cercos o barras de la armadura transversal. fyt,d: Resistencia de cálculo del acero de la armadura transversal, con yt,d 2 N f 400mm  4.2.2.3 Obtención de Tu3 El máximo torsor que son capaces de resistir las armaduras longitudinales fue deducido, según el modelo de la celosía, en el apartado 3.3, y coincide con el adoptado por EHE para esta situación de agotamiento. Por lo tanto: e u3 y ,d e 2A T A f tg u      donde: A : Área total de las armaduras longitudinales. y ,d f : Resistencia de cálculo del acero de la armadura longitudinal 4.2.3 Disposición de armaduras La separación máxima entre estribos debe cumplir la mínima de las condiciones siguientes: e t u s8  o bien E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo torsor en elementos de hormigón armado 12 Pág. 17 de 19 t s 0,80 a   d u1 1 30cm si T T 5  t s 0,60 a   u1 d u1 12 30cm si T T T 53  t s 0,30 a   u1 d 2 20cm si T T 3 donde a es la menor dimensión de los lados que conforman el perímetro ue. 4.3 Interacción entre torsión y otros esfuerzos En la Tabla 4-1 se muestran los distintos elementos que hay que comprobar en toda pieza lineal de hormigón, y debajo de cada esfuerzo si éste condiciona o no dicha comprobación. Elemento Flexo-compresión-tracción Cortante Torsión Cabeza de compresión   Bielas de compresión   Armaduras longitudinales  Se tiene en cuenta en el decalaje  Armaduras transversales   Tabla 4-1 4.3.1 Torsión combinada con flexión y axil La existencia de un esfuerzo torsor junto con solicitaciones normales (flexión y axil) va ha hacer que se acople la comprobación de la cabeza de compresión así como la de las armaduras longitudinales 4.3.1.1 Cabeza de compresión Deberá comprobarse que la tensión principal de compresión cd  en el punto crítico de la sección cumple: cd 1cd f   donde: 2 2 md md cd td 22          cm  : Tensión normal de compresión debida a la flexión compuesta en el punto considerado, que podrá calcularse de acuerdo a la teoría clásica. td  : Tensión tangencial de torsión en el mismo punto, que se podrá calcular de la forma: d td ee T 2 A h  .  = 1,20 Si hay estribos únicamente a lo largo del perímetro exterior de la pieza 1,50 Si se colocan estribos cerrados en ambas caras de la pared de la sección hueca equivalente o de la sección hueca real. 1cd cd f 0,60 f E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo torsor en elementos de hormigón armado 12 Pág. 18 de 19 4.3.1.2 Armadura longitudinal Las armaduras longitudinales necesarias para torsión y flexo-compresión-tracción se calcularán por separado suponiendo la actuación de ambos tipos de esfuerzo de forma independiente. Queda del lado de la seguridad la superposición de estas armaduras, teniendo en cuenta que la correspondiente a torsión debe distribuirse uniformemente en el contorno de la sección (al menos una en cada esquina) y la correspondiente a flexo-compresión-tracción en la zona de tracción y, si es necesaria en la de compresión. La Fig. 4–6 indica la forma de hacer esta superposición. Como la armadura longitudinal de torsión trabaja a tracción, en la zona comprimida, la instrucción EHE permite disminuir la amadura a añadir por torsión en esta zona, en la misma cantidad que el esfuerzo de compresión que se produce en el hormigón, lo cual implica una reducción de sección aproximadamente igual a: d yd M 0,9 d f 4.3.2 Torsión combinada con cortante La existencia de un esfuerzo torsor junto con esfuerzos cortantes va ha hacer que se acople la comprobación de las bielas de compresión así como la de las armaduras transversales. 4.3.2.1 Bielas de compresión Los esfuerzos torsores y cortantes de cálculo concomitantes deberán satisfacer la siguiente condición para asegurar que no se producen compresiones excesivas en el hormigón: Debida a la Flexo-Compresión Se dimensiona como si únicamente existiesen los esfuerzos de flexo-compresión. Se ha supuesto flexo-compresión recta, en el caso de que fuese esviada existiría además una armadura vertical en los laterales de la sección. s2 F A s1 F A Debida a la torsión Se dimensiona como si únicamente existiese el esfuerzo torsor: 3ud TT  con: e u3 y ,d e 2A T A f tg u      Armadura total s2 s2 FT A A m A   s1 s1 FT A A m A   donde m es el porcentaje de la armadura longitudinal de torsión que se dispone en la armadura superior e inferior. En el caso de flexo-compresión esviada, la armadura vertical se obtendría de la misma forma que la horizontal.    A 4 1 A 2 1 m      A 8 1 A 8 3 m      A 12 1 A 3 1 m   Fig. 4–6 E.L.U. de Agotamiento por esfuerzo torsor en elementos de hormigón armado 12 Pág. 19 de 19 dd u1 u1 TV 1 TV               donde: e h 21 b       b: Anchura del elemento, igual a la anchura total para sección maciza y la suma de las anchuras de las almas para sección cajón. Esta comprobación equivale a admitir el diagrama de interacción torsión-cortante que se muestra en la Fig. 4–7. 4.3.2.2 Armadura transversal Los cálculos para el dimensionamiento de los estribos se realizarán de forma independiente para la torsión y el esfuerzo cortante, utilizando en ambos cálculos el mismo ángulo  para las bielas de compresión. Las armaduras así calculadas se sumarán teniendo en cuenta que las de torsión deben disponerse en el perímetro de la sección, lo cual no es preceptivo en el cortante. En la Fig. 4–8 se muestra la forma de superponer estas armaduras. BIBLIOGRAFÍA:  EHE-08. Instrucción de Hormigón Estructural  Jiménez Montoya y otros. “Hormigón armado”. GG.  Calavera, J. “Proyecto y Cálculo de Estructuras de Hormigón (en masa, armado y pretensado)”. INTEMAC.  Calavera, J. “Cálculo, construcción patología y rehabilitación de forjados de edificación.”. INTEMAC. Armadura por unidad de longitud debida al cortante Se calcula para soportar el esfuerzo cortante, suponiendo que no existe el esfuerzo torsor: 90 d cu 90 Cortante t y90,d Cortante VV A As 0,9 d f    90 A corresponde al área de las n ramas del estribo. Armadura por unidad de longitud debida al torsor Se calcula para soportar el esfuerzo torsor, suponiendo que no existe el esfuerzo cortante: td tTorsor t e yt,d Torsor AT As 2 A f   At corresponde al área del redondo del cerco. Armadura total t 90 t total Cor tan te Torsión 1 A A A n  donde n es el número de ramas de la armadura transversal. Conocida la armadura transversal total, por unidad de longitud, ttotal A , se fija su diámetro, y se obtiene la separación a la que hay que disponer dicha armadura: t t ttotal A Se fija el diámetro: A s A     Fig. 4–8 d u1 T T 1 1 1 2 d u1 V V Fig. 4–7