Estudio de curvas planas proyectivas. Clasi cación proyectiva de curvas de grado tres

Traballo Fin de Grao Estudio de curvas planas proyectivas. Clasicación proyectiva de curvas de grado tres Xiana Pombo Costal Julio, 2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Estudio de curvas planas proyectivas. Clasicación proyectiva de curvas de grado tres Xiana Pombo Costal Julio, 2022 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA iii iv Trabajo propuesto Área de Conocimiento: Álgebra Título: Estudio de curvas planas proyectivas. Clasicación proyectiva de curvas de grado tres. Breve descripción del contenido El estudio de Curvas Algebraicas es un tema clásico del que se estudian algunos conceptos como el Teorema de Bezout en el programa actual del Grado de Matemáticas y explícitamente en la materia Álxebra, Números e Xeometría. No obstante, en este TFG se propone un estudio de las curvas planas proyectivas introduciendo conceptos como el grado de la Curva, puntos singulares, Hessiana, puntos de inexión, deciencia de una curva plana... Como una aplicación interesante de estos conceptos y otros que se mencionan más adelante, se aborda la clasicación proyectiva de las curvas planas de grado 3. En esta clasicación, y en el caso de curvas irreducibles existen esencialmente dos tipos de cúbicas, aquellas que son racionales, y que poseen necesariamente un punto singular, y las cúbicas lisas o carentes de puntos singulares. Las curvas irreducibles racionales aparecen geométricamente mediante proyección de la llamada cúbica racional normal, o cúbica alabeada en el espacio proyectivo 3-dimensional. Las curvas lisas no son curvas racionales, corresponden a los ceros de un polinomio homogéneo genérico de grado 3 en tres variables y poseen lo que se llama deciencia 1. La existencia de estas curvas de grado 3 no racionales justica históricamente la introducción del concepto de género aritmético y género geométrico de una curva algebraica plana arbitraria. Índice Resumen viii Introducción xi 1. Preliminares 1 1.1. Deniciones....................................... 1 1.2. TeoremadeBezout................................... 2 2. Puntos lisos y singulares de una curva 9 2.1. Casoafín ........................................ 9 2.2. Casoproyectivo..................................... 12 2.2.1. Pesliso..................................... 13 2.2.2. Pessingular .................................. 13 2.2.3. Puntos singulares de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3. Clasicación proyectiva de las cúbicas planas 19 3.1. Cúbicasreducibles ................................... 19 3.1.1. Cónicairreducible ............................... 19 3.1.2. Cónicareducible ................................ 20 3.1.3. Cónicas muy degeneradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2. Cúbicasirreducibles .................................. 21 v vi ÍNDICE 3.2.1. Cúbica irreducible con una cúspide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.2. Cúbica irreducible con un nodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3. Racionalidad de una cúbica irreducible singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4. Cúbica irreducible no singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.5. El espacio de Moduli de cúbicas lisas en el plano proyectivo . . . . . . . . . . . . 33 3.6. Clasicación de cúbicas lisas de grado 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4. Estudio de las cúbicas irreducibles 41 4.1. Conguración geométrica denida por las inexiones de una curva lisa . . . . . . 41 4.2. Ley de grupo en los puntos de una cúbica plana no singular . . . . . . . . . . . . 43 Bibliografía 47 2 1. Preliminares Denición 1.3. Sea P (V) el espacio proyectivo asociado a un espacio vectorial V. Una referencia proyectiva son n+ 2 puntos {P0, . . . , Pn+1} tales que n+ 1 puntos cualesquiera entre ellos son proyectivamente independientes. Denición 1.4. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensiones respectivas n+1 y m+1 y sea f:V−→ W una aplicación lineal. Se tiene que existe la siguiente aplicación proyectiva o proyectividad P(f) : P(V)∖ P(Nuc(f)) −→ P(W) bien denida por [x]−→ [f(x)] . 1.2. Teorema de Bezout Sean C y D dos curvas sin componentes comunes de grados n y m respectivamente. Si E2= (0,0,1) ∈ C∩D entonces el cono de rectas que proyectan desde E2 los puntos de intersección de C con D viene dado por la ecuación de la resultante: R x2(x0, x1)=0 obtenida eliminando la variable x2 en las ecuaciones de las curvas. Sobre C , este polinomio es siempre de la forma: R x2(x0, x1)=(α1x1−β1x0)s1. . . (αrx1−βrx0)srtal que s1+. . . +sr=n·m (1.1) Tenemos por otra parte que existen γi(i= 1 . . . r) tales que Pi= (αi, βi, γi) son los puntos de intersección en las ecuaciones de las curvas C y D . Ahora bien, tales γi no están determinados necesariamente de modo único por los (αi, βi) . Consideremos el siguiente ejemplo:        f(x, y) = y2+x2−2x g(x, y) = y2−x En coordenadas proyectivas tendríamos:        F(x, y, z) = x2+y2−2xz G(x, y, z) = y2−xz Las intersecciones con la recta z= 0 son respectivamente: x2+y2= 0 ⇐⇒ (±i, 1,0),2puntos distintos y2= 0 ⇐⇒ (1,0,0),1punto con multiplicidad 2 Por tanto, el punto de coordenadas (0,1,0) que es el punto del innito de la recta de ecuación x= 0 no pertenece a la intersección de ambas curvas, lo cual signica que los 4 puntos de 1.2. Teorema de Bezout 3 intersección del círculo y la parábola están en el plano afín de coordenadas (x, y, 1) . Proyectando desde E1= (0,1,0) sobre la recta y= 0 , se tiene que las x-coordenadas de los puntos de proyección se corresponden con las raíces de la resultante R y(x) eliminando la variable y . De manera explícita: R (x) =  1 0 x2−2x0 0 1 0 x2−2x 1 0 −x0 0 1 0 −x  =x2(x−1)2 Los puntos de intersección de las curva, que son {(0,0),(1,1),(1,−1)} , se proyectan en los puntos (0,0) y (1,0) sobre la recta y= 0 . Estos puntos corresponden a los valores x2= 0 y (x−1)2= 0 . Vemos que las multiplicidades de las raíces no reejan la situación geométrica de los puntos con respecto a las curvas. Es decir, en ambos casos la multiplicidad es 2, sin embargo en el caso x2= 0 , el punto (0,0) es de tangencia para las curvas y la recta proyectante E1(0,0) es tangente a ambas curvas. Mientras que en el caso de (x−1)2= 0 la interpretación es diferente: sobre el punto (1,0) se proyectan 2 puntos diferentes (1,±1) de la intersección. Más aún, vemos que las raíces de R y(x) no permiten deducir el n º de intersecciones propias. La situación es muy diferente si lo que hacemos es proyectar sobre la recta x= 0 desde E0= (1,0,0) que es el punto del innito de la recta y= 0 . En este caso los puntos de intersección de las curvas se proyectan en los 3 puntos de coordenadas (0,1,1),(0,0,1),(0,−1,0) . La Resultante es: R x(y) =  1−2y2 −1y20 0−1y2  =y2(y−1)(y+ 1) Ahora y2= 0 proporciona el punto de intersección (0,0) con multiplicidad 2 y esta multiplicidad sí se interpreta como que ambas curvas tienen en ese punto la tangente común x= 0 . Por otra parte, los valores y= 1 e y=−1 dan los puntos (1,1) y (1,−1) y la multiplicidad 1 se interpreta como la transversalidad de las curvas en dicho punto. Estas interpretaciones geométricas vendrán justicadas mediante la llamada desigualdad fundamental relacionando la multiplicidad de intersección que deniremos en breve con las multiplicidades de un punto dentro de una curva. Por el momento observemos cual es la diferencia entre el primer caso y el segundo. Proyectando desde E1 , tenemos 2 rectas proyectantes que unen E1 con los puntos de intersección: la recta que une E1 con (0,0) la cual es tangente a ambas curvas en el punto (0,0) ; y la 4 1. Preliminares recta que une E1 con (1,1) la cual contiene una intersección más de ambas curvas. En contraposición, proyectando desde E0 , tenemos tantas rectas proyectantes como puntos de intersección propia para ambas curvas. En este caso, si P es un punto de intersección, la recta E0P ni es tangente a alguna de las curvas en P ni contiene otros puntos de intersección diferentes de P . Destacamos esta segunda situación diciendo que E0 está en buena posición con respecto a ambas curvas. De manera explícita: Denición 1.2.1. Sean C y D dos curvas planas. Diremos que están en buena posición con respecto al sistema de coordenadas (x0, x1, x2) o que éste es un sistema de coordenadas admisible para C y D precisamente si: 1. E2∈ C y E2∈ D 2. Para cada P∈C∩D , la recta proyectante E2P no contiene otros puntos de C∩D diferentes de P y no es tangente a alguna de las curvas C o D en P . Supongamos que {P1. . . Pr} son los puntos en C∩D , denotemos por PiPj=Lij la recta que une Pi con Pj . Cuando i≤j incluimos las rectas tangentes principales a C y a D por el punto Pi ; es decir, las rectas en los conos tangentes. Todas las rectas son en n º nito. Por tanto, si consideramos el cerrado C+D+PLij , éste tiene una ecuación H(x0, x1, x2)=0 y un punto P∈ Z(H) es un punto en posición admisible con respecto a C y a D . Más aún, consideramos el espacio afín A9=M(3,C) de matrices 3×3 con coecientes complejos y sean yij las entradas de la matriz. Se tiene que {yij} es un sistema de coordenadas y las matrices que denen una proyectividad constituyen el abierto complementario a la hipersupercie: D(aij) = det(aij)=0 . Una tal matriz dene un cambio del sistema de coordenadas (x0, x1, x2) a un sistema de coordenadas (x′ 0, x′ 1, x′ 2) mediante las ecuaciones X=AX′ , A= (aij) . El punto de coordenadas E2= (0,0,1) en el sistema X′ proviene de un punto de coordenadas AE2= (a02, a12, a22) en el sistema X. Este punto está en posición admisible con respecto a C y D precisamente si H(a02, a12, a22)= 0 . Es decir, las matrices deniendo sistemas de coordenadas admisibles y aplicando un punto P∈ C+D+PLij en el punto de coordenadas E2= (0,0,1) , son los puntos en A9 denidos por el abierto U={A∈Gl(3,C)/ H(a02, a12, a22)= 0}=(aij)∈A9/ D(aij)·H(a02, a12, a22)= 0 . Por tanto, dada la hipersupercie P(yij) = D(yij)·H(y02, y12, y22) , los sistemas de coordenadas admisibles están denidos por las matrices A en el abierto no vacío U:= A9\(P(yij) = 0) con A9=M(3,C) . Por tanto, vemos que siempre existe una proyectividad que coloca dos curvas dadas C y D con respecto al punto E2 en buena posición y las proyectividades que conservan la buena posi- 1.2. Teorema de Bezout 5 ción forman un abierto no vacío. Así pues, la proyectividad genérica conserva la buena posición de 2 curvas. En este caso se tiene la siguiente ventaja: Propiedad: Si C y D están en buena posición con respecto a E2= (0,0,1) , existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de intersección de C con D con raíces (αi, βi) del polinomio R x2(x0, x1)=0 . Es decir, para cada (αi, βi) , existe un único γi∈C tal que (αi, βi, γi) es un punto en C∩D . En esta situación introducimos la siguiente denición. Denición 1.2.2. Sean C y D dos curvas sin componentes comunes en buena posición. Si P= (α, β, γ) es un punto en C∩D , se dene la multiplicidad o índice de intersección de las curvas C y D en P como el mayor natural s(P) tal que (αx1−βx0)s(P) divide a R x2(x0, x1) . Denotamos este número como: s(P) := i(C, D, P) = (C, D)P Nótese que con esta denición, la relación 1.1 establece de manera inmediata el siguiente teorema. Teorema de Bezout. Sean C y D dos curvas proyectivas sin componentes comunes de grados respectivos n y m . Sean {P1. . . Pr} los puntos en la intersección C∩D y s(Pi) = i(C, D, Pi) . Se verica: r X i=1 s(Pi) = r X j=1 i(C, D, Pj) = n·m Observación: Debemos de probar que la denición de multiplicidad de intersección dada anteriormente es independiente del sistema de coordenadas elegido. Ya hemos visto que la proyectividad genérica aplica un sistema de coordenadas admisible en otro de igual naturaleza. En tal situación debemos probar que los números s(Pi) en un sistema y otro son los mismos. Teorema 1.2.3. La multiplicidad de intersección denida anteriormente es un invariante proyectivo. Es decir, si C y D son dos curvas en buena posición con respecto a E2= (0,0,1) y T es una proyectividad genérica, entonces TC y TD están en buena posición y para cada P∈C∩D se tiene: (C, D)P= (TC, TD)T P Demostración: Sea (x0, x1, x2) un sistema de coordenadas de manera que C y D están en buena posición con respecto a E2= (0,0,1) . Veamos cuáles son las proyectividades que llevan 6 1. Preliminares este sistema de coordenadas en otro de igual naturaleza. Si (x′ 0, x′ 1, x′ 2) es otro sistema de coordenadas admisible, estará denido por una transformación lineal ( xi=P3 j=1 aijx′ j ). Un tal sistema es uno en donde el punto E2= (0,0,1) vuelve a estar en buena posición. Las coordenadas de este punto en el sistema inicial son (a02, a12, a22) . Supongamos que H(x0, x1, x2)=0 es la ecuación de C+D+PLij . El conjunto de matrices A= (aij) que proporcionan el sistema de coordenadas admisible es U=: {A∈Gl(3,C)/ H(a02, a12, a22)= 0}=A9∖{P(xij)=0} Dentro de el espacio afín A9=M(3,C) podemos escribir este conjunto como el complementario de la hipersupercie P(yij) = D(yij)·H(y02, y12, y22) = 0 . Vamos a aplicar que como espacio topológico, U es conexo por caminos. Sean A y B dos puntos en U y sea L la recta del espacio afín A9 uniendo A con B . Como A, B ∈ Z(P(yij)) , la recta no está contenida en la hipersupercie Z(P(yij)) = 0 y de hecho, los puntos comunes son un cerrado propio, es decir, un conjunto nito de puntos. Claramente L′=L∖(L∩Z(P)) ⊂U es un camino que contiene a B y a A . Vemos ahora que la multiplicidad de intersección no depende del sistema de coordenadas. Sea sP(C, D) la multiplicidad en el sistema (x0, x1, x2) y s′ P(TC, TD) la multiplicidad en el sistema (x′ 0, x′ 1, x′ 2) . Vamos a probar que son iguales. Si X=AX′ , en donde A dene el paso de x-coordenadas a x'-coordenadas, consideramos en U una curva continua que une ambos sistemas, es decir: {0≤t≤1} −→ At∈U tal que A0=I y A1=A (1.2) y para cada t , At dene un sistema Xt mediante X=AtXt . Para cada t , las curvas C=Z(F), D =Z(G) se transforman en curvas Ct=Z(Ft(xt)), Dt= Z(Gt(xt)) y podemos considerar la Resultante R Ft,Gt(xt0, xt1) . Por construcción R t(x0, x1) := R Ft,Gt(x0, x1) es una familia t-paramétrica continua de polinomios homogéneos de grado n·m . Es decir, se tiene que 1.2 induce una curva continua. {0≤t≤1} −→ P(C[x0, x1]n·m) t⇝ R t(x0, x1) = R Ft,Gt(x0, x1) Como cada xt es admisible, el n º de raíces distintas de R t sin contar multiplicidades coincide con el n º de intersecciones en el conjunto Ct∩Dt que es constante. Ahora bien, como la multiplicidad de cada raíz es un polinomio homogéneo de 2 variables se 1.2. Teorema de Bezout 7 reduce a la de una raíz para un polinomio en una variable, la multiplicidad de cada raíz (αi, βi)t es una función continua de t y en consecuencia es constante por el siguiente resultado de raíces de polinomios en una variable. Lema 1.2.4. Sea f∈C[x] un polinomio de grado d y sea α∈C una raíz de dicho polinomio con multiplicidad s . Supongamos ε > 0 sucientemente pequeño tal que las restantes raíces de f(x)=0 se encuentran a distancia > ε . Entonces existe un δ > 0 para ε tal que cada polinomio cuyos coecientes dieren de los de f en menos de δ tiene exactamente s raíces en el círculo de centro α y radio ε contando con multiplicidad. Demostración: El lema está garantizando lo siguiente: [0,1] −→ P(C[x0, x1]m·n t⇝ R t(F, G) R r R j(F, G) = R F,G(x′ 0, x′ 1) r R t0(F, G) = R Ft,Gt(xt0, xt1) δ r R (F, G) = R F,G(x0, x1) Fijado t0 , el lema dice que en un entorno ( R t0, δi) , cada R t∈( R t0, δi) verica que la multiplicidad de la raíz (αi, βi)t se mantiene constante. Tomando δ=min {δi, i ∈(1 . . . r)} . Se concluye que s(Pi) se mantiene constante para cada raíz Pi= (αi, βi) . Una de las propiedades fundamentales de esta exposición y que curiosamente permite un cálculo explícito de la multiplicidad de intersección sin tener que utilizar el cálculo explícito de resultantes es la llamada Desigualdad Fundamental: relaciona (C, D)P con datos locales de C y D en P . 8 1. Preliminares Teorema de la Desigualdad Fundamental. Sean C y D dos curvas de grados n y m y sea P∈C∩D . Se verica: 1. (C, D)P≥mP(C)·mP(D) 2. La desigualdad es estricta precisamente si C y D poseen una recta tangente común en P . Demostración: Una prueba de este resultado puede verse en el libro de Fulton [F69]. Denición 1.2.5. Sean C y D dos curvas sin componentes comunes, se dene el n º de intersección global de las curvas como: (C, D) := X P∈C∩D i(C, D, P) = X P∈C∩D (C, D)P Corolario 1.2.6. Si C y D son curvas sin componentes comunes de grados n y m se verica: n·m= (C, D) = X P∈C∩D (C, D)P≥X P∈C∩D mP(C)·mP(D) donde la primera igualdad vienen dada por el Teorema de Bezout y el ≥ viene dado por el Teorema de la Desigualdad Fundamental. Capítulo 2 Puntos lisos y singulares de una curva 2.1. Caso afín Momentáneamente comenzamos trabajando en el caso afín: Denición 2.1.1. Supongamos f(x, y)=0 la ecuación de una curva plana y sea P= (α, β) un punto de la curva C(f(x, y) = 0) . El punto P∈C se dice singular cuando verica: ∂f ∂x(P) = ∂f ∂y (P)=0 (2.1) En caso contrario, se dice que P es liso . Por otra parte, si se cumple 2.1 y si alguna de las derivadas parciales de segundo orden es no nula en P , entonces se dice que P es un punto doble . En este caso, la ecuación ∂2f ∂x2(P)(x−α)2+ 2 ∂2f ∂x∂y(P)(x−α)(y−β) + ∂2f ∂y2(P)(y−β)2= 0 se descompone sobre C en dos factores lineales que representan dos rectas que llamaremos rectas tangentes principales a la curva C en P . Una recta tangente principal a C en P es una recta límite de rectas secantes a C pasando por P . Si por el contrario, el punto P satisface 2.1 y además ∂2f ∂x2(P) = ∂2f ∂x∂y(P) = ∂2f ∂y2(P) = 0, pero alguna derivada parcial del tercer orden es no nula en P , diremos que P∈C es un punto triple . 9 10 2. Puntos lisos y singulares de una curva En general se tiene la siguiente denición: Denición 2.1.2. Un punto P∈C es un punto singular de orden r precisamente si todas las derivadas parciales hasta el orden r−1 se anulan en P y existe alguna derivada parcial de orden r no nula en P . En tal caso, la ecuación: r X i=0 r i∂rf ∂xr−i∂yi(P)(x−α)r−i(y−β)i= 0 (2.2) representa r rectas distintas o confundidas pasando por P que se dicen las rectas tangentes principales a C en P . La justicación de la denición anterior, y, en particular, el término de recta tangente principal a P viene dada por el siguiente teorema: Teorema 2.1.3. P es un punto singular de orden r para C precisamente si cada recta pasando por P tiene al menos r intersecciones o puntos sobre P . Las rectas tangentes a C en P son las denidas por 2.2 y están caracterizadas por tener en P más de r puntos de intersección. Demostración: Sea P= (α, β) y escribamos el desarrollo de Taylor del polinomio f(x, y) en (α, β) , se tiene: f(x, y) = f(α, β) + f1(x, y) + f2(x, y) + . . . +fn(x, y) en donde fh(x, y) = 1 h! h X i=0 h i∂hf ∂xh−i∂yi(P)(x−α)h−i(y−β)i Entonces P es singular de orden r precisamente si: f(α, β) = 0 ; f1≡0 ; . . . fr−1≡0y fr≡ 0 con lo cual: f(x, y) = fr(x, y) + fr+1(x, y) + . . . +fn(x, y) Consideremos ahora las rectas pasando por P= (α, β) , es decir: y−β=t(x−α) Nótese que para el calor de la pendiente t=∞ , la recta tiene ecuación x−α= 0 . Las intersecciones de la curva con la recta vienen dadas por el sistema: f(x, y) = 0 ; y−β=t(x−α) 2.1. Caso afín 11 con el cual conseguimos: 1 r! r X i=0 r i(∂rf ∂r−ix ∂iy)(P)(t(x−α))r−i(x−α)i+. . . = 0 Es decir: (x−α)r"1 r! r X i=0 r i∂rf ∂xr−i∂yi(P)tr−i#+. . . + (x−α)n"1 n! n X i=0 n i∂nf ∂xn−i∂yi(P)tn−i#= 0 Con lo cual vemos que cualquiera que sea el valor de la pendiente t , la raíz x=α es una raíz r-múltiple, lo cual dice que el punto P= (α, β) cuenta r veces en la intersección de la curva con la recta. Ahora bien, si llamamos t1, . . . , tr a las r raíces de la ecuación r X i=0 r i∂rf ∂xr−i∂xi(P)tr−i= 0 se tiene entonces que las rectas y−β=ti(x−α) con i= 1 . . . r poseen en P más de r intersecciones. Recíprocamente, si cada recta y−β=t(x−α) tiene al menos r intersecciones con C en P es porque en el desarrollo de Taylor es posible sacar (x−α)r factor común y no menos potencia. Necesariamente, para todo h < r es fh(x, y) = 0 . En consecuencia: ∂hf ∂xh−i∂yi(P) = 0 para todo h < r y todo i ≤h Así pues P= (α, β) es un punto r-singular precisamente si entre las rectas pasando por P , la genérica (todas salvo un número nito) corta a C en P en r puntos confundidos y fuera de P en otros n−r puntos. Cuando P= (0,0) , el desarrollo de Taylor coincide con la descomposición del polinomio en partes homogéneas, es decir: f(x, y) = f1(x, y) + f2(x, y) + . . . +fn(x, y) y se ve directamente que P es simple o no singular precisamente si f1(x, y)≡ 0 . Por otra parte, P= (0,0) es r-singular si se cumple lo siguiente: f1≡0, f2≡0, . . . , fr−1≡0pero fr≡0 en tal caso, la ecuación fr(x, y) = 0 se dice la ecuación del cono tangente a la curva en P , es decir, las r rectas tangentes distintas o confundidas a la curva C en P . 18 2. Puntos lisos y singulares de una curva Capítulo 3 Clasicación proyectiva de las cúbicas planas 3.1. Cúbicas reducibles En todo lo que sigue se consideran curvas en el plano proyectivo complejo P2 C . Supongamos que F(x0, x1, x2) = 0 es la ecuación de una cúbica. Investiguemos las condiciones bajo las que tal ecuación es reducible, es decir, se tenga F=G·H en donde el grado de G y H es <3 . Entonces uno de ellos es de grado 1; sea H(x0, x1, x2)=0 tal que dene una recta. Necesariamente G= 0 dene una cónica. 3.1.1. Cónica irreducible Si tal cónica es no degenerada (irreducible), la recta y la cónica se cortan en 2 puntos P1, P2 . Las posibilidades son:   q P2 qP1G= 0 H= 0 (a) F= 0 tiene dos puntos dobles qP1=P2 G= 0 H= 0 (b) F= 0 tiene dos puntos dobles innitamente próximos Figura 3.1: Cónicas 19 20 3. Clasicación proyectiva de las cúbicas planas Si P1=P2 , la cúbica F= 0 tiene 2 puntos dobles. Cuando P1=P2 veremos que la cúbica tiene también dos puntos pero que se encuentran innitamente próximos. Esto quiere decir que la recta P1P2 , es decir, la recta tangente a la cónica en P1=P2 tiene 4 intersecciones con la cúbica en P1=P2 . 3.1.2. Cónica reducible Si la cónica G(x0, x1, x2)=0 reducible se tiene los casos siguientes:  @ @ @ @ @ @ P1P3 P2 (a)  @ @ @ @     @@@@ P (b) Figura 3.2: Representación en la que se considera a la cónica G reducible que corresponden a cuando no existen componentes múltiples. Es decir, la cúbica posee 3 puntos dobles o un punto triple. 3.1.3. Cónicas muy degeneradas Este caso corresponde a cónicas en las cuales una de las rectas es múltiple. Si observamos la ilustración que tenemos a continuación se tiene que en el primer caso se trata de una cónica reducible pero en el segundo no. En ambos casos la cúbica una innidad de puntos singulares.     J J J J J J J J G= 0 H= 0 (a)       F=H3= 0 (b) Figura 3.3: Representación en el caso de que existan componentes múltiples 3.2. Cúbicas irreducibles 21 Por tanto, si una cúbica es reducible, posee al menos 2 puntos dobles o un punto simple. Estas condiciones resultan sucientes para la reducibilidad. En efecto, si la cúbica tiene 2 puntos dobles P1, P2 entonces la recta P1P2 corta a la cúbica en 4 puntos (2 confundidos en P1 y 2 confundidos en P2 ), por tanto, debe estar contenida en la cúbica y ésta es reducible. Análogamente si existe P punto triple, tomando cualquier otro punto Q=P , en la cúbica, la recta PQ tiene 4 = 3 + 1 intersecciones con la cúbica y debe estar contenida en la cúbica. Así pues: Teorema 3.1. (de reducibilidad de las cúbicas) . Una cúbica C⊂P2 C es reducible ⇐⇒ tiene o un punto triple, o, al menos, dos puntos dobles que eventualmente pueden ser innitamente próximos. Podemos traducir esta caracterización en términos del polinomio homogéneo F(x0, x1, x2)=0 . Un tal polinomio de grado 3 es reducible precisamente si: o bien el sistema ∂F ∂x0= 0 , ∂F ∂x1= 0 , ∂F ∂x2= 0 tiene al menos 2 soluciones eventualmente coincidentes o bien el sistema ∂2F ∂xi∂xj= 0 con 0≤i, j ≤2 tiene 1 solución. 3.2. Cúbicas irreducibles Supongamos ahora que C es una cúbica irreducible. Si existe un punto singular P∈C , sea Q=P otro punto en C ; la recta PQ debe cortar a C en exactamente n+ 1 = 3 puntos siendo n≥2 por ser P singular. Necesariamente n= 2 y vemos que si hay puntos singulares, sólo puede haber 1 y ser doble. Ocurre de forma clara que si P=Q son ambos puntos singulares, la recta PQ corta a C en m puntos con m≥2 + 2 = 4 y obliga a C a ser reducible. Así pues, una cúbica irreducible: o es no singular, o es singular y posee exactamente un punto singular doble que o es un nodo o una cúspide. Estudiemos ahora su clasicación proyectiva. 3.2.1. Cúbica irreducible con una cúspide Sea C una cúbica irreducible con un punto cuspidal P0 y sea r1 la recta tangente a P0 . Sea P2=P0 otro punto sobre C , necesariamente liso y sea r2 la recta tangente a P2 . Ejemplicamos esta situación grácamente: 22 3. Clasicación proyectiva de las cúbicas planas r1  H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H r2 P0 P1 P2 x0= 0 x1= 0 x2= 0 Figura 3.4: Cúbica irreducible con cúspide Como r1 corta a C en P0 con multiplicidad 3, no contiene más puntos en común con C . Como r2=TP2(C) y C es irreducible, r2=P0P2 , por tanto, P1=r1∩r2/∈C satisface {P0, P1, P2} son no alineados. Existe una proyectividad φ:P2−→ P2 tal que φ(Pi) = (0 : 1i: 0) . De este modo, las ecuaciones de las rectas r1 y r2 son: r1:x2= 0 ; r2:x0= 0 Como C es irreducible x0 no divide a la ecuación de C , sea F(x0, x1, x2) = 0 homogéneo de grado 3. Podemos escribir: F(x0, x1, x2) = f0(x1, x2)x3 0+f1(x1, x2)x2 0+f2(x1, x2)x0+f3(x1, x2) = 0 (3.1) en donde cada fi(x1, x2) es homogéneo de grado i . Nótese que ciertamente x0 aparece en la ecuación de C , de lo contrario, cada fi sería homogéneo de grado 3 y F(x0, x1, x2) = F(x1, x2) es homogéneo de grado 3 en 2 variables y se descompone en 3 rectas. Pero C es irreducible. Tomando coordenadas no homogéneas x=x1 x2 y y=x2 x0 , la ecuación 3.1 resulta: f0(x, y) + f1(x, y) + f2(x, y) + f3(x, y)=0 con fihomog´eneo grado i Puesto que P0= (1,0,0) es doble, f0≡0 ; f1≡0 y f2(x, y) = 0 proporciona las tangentes por P0 . Como P0 es cuspidal con tangentes x2 2= 0 , encontramos que f2(x, y) = y2 y la ecuación 3.1 es de la forma: x2 2x0+f3(x1, x2) = 0 con f3≡ 0ya que C es irreducible (3.2) 3.2. Cúbicas irreducibles 23 Sabemos que P2= (0,0,1) es un punto en C con tangente x0= 0 , es decir, en 3.2 vemos que f3(0,1) = 0 , con lo cual x1 divide a f3(x1, x2) . Así pues, existe g2(x1, x2) homogéneo de grado 2 tal que f3(x1, x2) = x1·g2(x1, x2) . Más aún, como x0= 0 es tangente a C en P2 , las soluciones del sistema: (x2 2x0+x1g2(x1, x2)=0 x0= 0 proporcionan el punto P2= (0,0,1) con solución doble. Así pues, necesariamente g2(x1, x2) = g1(x1, x2) y la ecuación es de la forma: x2 2x0+x2 1g1(x1, x2) = x2 2x0+x2 1(ax1+bx2)=0 Se tiene que a= 0 , de lo contrario, x2 dividiría a la ecuación y C sería reducible. Veamos ahora qué ocurriría si se da b= 0 . La ecuación de C sería de la forma: x2 2x0+x3 1= 0 (3.3) Nótese que en este caso las intersecciones de la tangente a P2 con la curva vienen dadas por x0= 0 ; x3 1= 0 ; luego: P2 tiene multiplicidad 3 y así P2 es un punto de inexión. Ahora bien, ya hemos razonado que los puntos de inexión están en la curva F= 0 y su Hessiana H(F) = 0 . Por Bezout hay a lo sumo un número nito. En todo caso, es posible elegir P2 no singular y no punto de inexión, en cuyo caso b= 0 . Mediante la proyectividad:     y0 y1 y2     =    1 0 0 0a0 0 0 b        x0 x1 x2     La ecuación de la cúbica es de la forma: x2 2x0+x2 1(x1+x2)=0 Conclusión : Todas las cúbicas irreducibles con un punto cuspidal son proyectivamente equivalentes. Más aún, como la ecuación y2=x3 es una tal cúbica con un punto cuspidal, se tiene que todas las cúbicas de este tipo son equivalentes a la de ecuación y2=x3 . Esta ecuación se dice la forma canónica de las cúbicas irreducibles con un punto cuspidal . 24 3. Clasicación proyectiva de las cúbicas planas Nótese que la ecuación proyectiva de esta forma canónica es precisamente la ecuación 3.3 que era: x2 2x0+x3 1= 0 Por un cálculo directo comprobamos que esta cúbica tiene en (0,0,1) su único punto de inexión. Así pues: Conclusión : Toda cúbica irreducible con un punto cuspidal posee un único punto de inexión. 3.2.2. Cúbica irreducible con un nodo Suponemos ahora que P∈C es el nodo y que r1 y r2 son las dos tangentes pasando por P que cortan a C en P con multiplicidad 3. Podemos considerar una proyectividad φ:P2−→ P2 que transforme P en el punto (1,0,0) , r1 en la recta de ecuación x1= 0 y r2 en la recta de ecuación x2= 0 . x1=0 x2=0 P La ecuación de C es ahora de la forma: x0x1x2+f3(x1, x2) = 0 que se puede explicitar en la forma: x0x1x2+ax3 1+bx2 1x2+cx1x2 2+dx3 2= 0 (3.4) Agrupando términos podemos escribir: x1x2(x0+bx1+cx2) + ax3 1+dx3 2= 0 3.3. Racionalidad de una cúbica irreducible singular 25 Considerems la siguiente proyectividad:     y0 y1 y2     =    1b c 010 001        x0 x1 x2     La curva 3.4 se transforma en la curva x0x1x2+ax3 1+dx3 2= 0 Necesariamente a= 0 =d , de lo contrario C sería reducible. Si consideramos ahora otra proyectividad:     y0 y1 y2     =    1 3 √ad 0 0 03 √a0 0 0 3 √d        x0 x1 x2     En este caso, la curva se transforma en: x0x1x2+x3 1+x3 2= 0 Conclusión : todas las cúbicas irreducibles con un nodo ordinario son proyectivamente equivalentes. Se puede elegir, por ejemplo: y2=x(x−1)2 (3.5) como forma canónica de una cúbica irreducible con un nodo. La ecuación proyectiva correspondiente es: x0x2 2=x1(x1−x0)2 Un cálculo directo muestra que esta cúbica irreducible tiene 3 puntos de inexión: 2 a distancia nita y el tercero (0,0,1) en el innito. 3.3. Racionalidad de una cúbica irreducible singular Se tiene que una cúbica singular o posee un nodo o posee un punto cuspidal y, además, en este último caso hay un único punto de inexión. 26 3. Clasicación proyectiva de las cúbicas planas Proposición 3.3.1. Todas las cúbicas planas nodales son proyectivamente equivalentes, admitiendo como ecuación una de la forma x3+y3=xyz . Para ésta, (0,0,1) es un punto doble y el haz de rectas y=tx permite dar una parametrización de la cúbica, a saber x=t;y= t2;z= 1 + t3. Igualmente, todas las cúbicas cuspidales son proyectivamente equivalentes, admitiendo como ecuación una de la forma y2z=x3. Para ésta, (0,0,1) es un punto doble y el haz de rectas y=tx permite dar una parametrización de la cúbica, a saber: x=t2;y=t3;z= 1 . Demostración: Sea C una cúbica nodal, podemos suponer que P= (0,0,1) es el nodo y que x, y = 0 son las rectas tangentes. La ecuación afín será de la forma f(x, y) = xy +ax3+bx2y+cxy2+dy3 en donde no aparecen términos en x2 e y2 . Además se tiene que a= 0 y d= 0 al ser y= 0, x = 0 tangentes en un punto doble. Ahora la curva proyectiva es: f(x, y, z) = xyz +ax3+bx2y+cxy2+dy3=ax3+dy3+xy(z+bx +cy) Podemos considerar la transformación proyectiva x=x;y=y;z=z+bx +cy con lo cual f(x, y, z) = ax3+dy3+zxy. Nuevamente la transformación proyectiva x=3 √ax;y= 3 √dy;z=−3 √a3 √dz permite llegar a la ecuación f(x, y, z) = x3+y3−xyz que afínmente sería f(x, y, 1) = x3+y3−xy cortando ahora con y=tx conseguimos x3+ (tx)3−tx2= 0; x2((1 + t3)x−t) = 0 que proporciona x=y= 0 doble y x=t 1+t5. Entonces y=t2 1+t3 y así x=t;y=t2;z= 1+t3 es una parametrización. Consideremos ahora C la cúbica cuspidal. Podemos suponer que P= (0,0,1) e y= 0 es tangente. La ecuación afín de la curva sería: f(x, y, 1) = y2+ax3+bx2y+cxy2+dy3 en donde a= 0 , al ser y= 0 tangente en un punto doble. Ahora bien, C posee un punto de inexión Q . Podemos suponer Q= (0,1,0) , la tangente inexional la puedo tomar x= 0 o bien z= 0 . Nótese que si tomamos z= 0 , se determina completamente la referencia proyectiva. Existe una transformación proyectiva T que lleva P en (0,0,1) , Q en (0,1,0) , TP(C) en y= 0 ; PQ(C) en z= 0 ; luego la recta PQ en x= 0. Para imponer estas últimas condiciones, proyectivizamos la curva: f(x, y, z) = y2z+ax3+bx2y+cxy2+dy3 3.4. Cúbica irreducible no singular 27 y tomamos la restricción afín y= 1 , teniéndose: f(x, 1, z) = z+ax3+bx2+cx +d Como f(0,1,0) = 0 , entonces d= 0 y como z= 0 es tangente inexional se tiene que a= 0 pero b=c= 0 . Así pues: f(x, y, z) = y2z+ax3 Ahora hacemos la transformación proyectiva x=−3 √ax y la ecuación de la cúbica es: f(x, y, z) = y2z−x3 Afínmente: y2=x3 Intersecando con las rectas y=tx encontramos x2(x−t)2= 0; que dice que x=y= 0 es doble y x=t2 , luego y=t3 , nos da el otro punto de corte. Así pues: (x, y, z)=(t2, t3,1) es una parametrización. 3.4. Cúbica irreducible no singular Supongamos ahora que C es una cúbica no singular: cada punto de C que verique la ecuación de su Hessiana es un punto de inexión. De hecho, ciertamente C tiene puntos de inexión. Sea A tal punto y r=TA(C) la recta tangente. Por tanto r corta a C en A con multiplicidad exactamente 3. Mediante una proyectividad podemos suponer que r es la recta x0= 0 y el punto A es el punto A= (0,0,1) . Esto signica que tomando coordenadas no homogéneas x=x1 x0 ; y=x2 x0 , A está en la recta del innito del plano afín de coordenadas (x, y) , como se puede ver en el siguiente ejemplo ilustrativo: x0=0 rA=(0,0,1) 34 3. Clasicación proyectiva de las cúbicas planas Así pues, substituimos los representantes de P1 y P2 por aP1, bP2 y ahora {aP1, bP2, P3} es una referencia proyectiva. Las coordenadas homogéneas (y0, y1) de P4= (λ4, µ4) en esta referencia son: y0 λ1a µ1a!+y1 bλ2 bµ2!= λ4 µ4!⇐⇒ y0= λ4bλ2 µ4bµ2  aλ1bλ2 aµ1bµ2 ;y1= λ1a λ4 µ1a µ4  aλ1bλ2 aµ1bµ2 Así pues, las coordenadas no homogéneas: y1 y0 = a λ1λ4 µ1µ4 b λ4λ2 µ4µ2 = λ3λ2 µ3µ2 λ1λ4 µ1µ4  λ1λ3 µ1µ3 λ4λ2 µ4µ2 = λ3λ2 µ3µ2 λ4λ1 µ4µ1  λ3λ1 µ3µ1 λ4λ2 µ4µ2 Nótese que cuando P4=P1, P2, P3 se obtienen respectivamente los valores y1 y0= 0,∞,1 . El signicado de la razón doble es que constituye un variante proyectivo, es decir: Teorema 3.5.2. Sean P1 1 , P1 2 rectas proyectivas y sean {P1, P2, P3, P4} ⊂ P1 1 y {Q1, Q2, Q3, Q4} ⊂ P1 2 con {P1, P2, P3} distintos y {Q1, Q2, Q3} distintos. Existe un isomorsmo f:P1 1−→ P1 2 tal que f(Pi) = Qi precisamente, si β(P1, P2, P3, P4) = β(Q1, Q2, Q3, Q4) (la razón doble coincide). Demostración: Es la misma que la del Teorema Fundamental pero caracterizando esta vez las proyectividades. Supongamos Pi= [vi] ; Qi= [wi] . Entonces f viene inducido por una aplicación lineal φ:V1−→ V2 tal que φ(vi) = wi con i= 1,2,3 . Si P4 tiene coordenadas homogéneas (y0, y1) en el referencial proyectivo {P1, P2, P3} entonces f(P4) tiene las mismas coordenadas que P4 pero con respecto al referencial {Q1, Q2, Q3} . Por tanto, por denición de razón doble : β(P1, P2, P3, P4) = y0 y1 =β(Q1, Q2, Q3, f(P4)) Entonces : f(P4) = Q4 precisamente si Q4 tiene coordenadas homogéneas (y0, y1) y esta condición es equivalente a : β(Q1, Q2, Q3, Q4) = y0 y1 y así concluye la prueba. Resulta claro que dados 4 puntos en P2 , su razón doble depende del orden en que se consideren. Ahora bien, sean P1, P2, P3, P4 todos distintos, es decir, la situación más general. Calculando la razón doble de todas sus permutaciones se obtienen exactamente 6 valores : B=β= (P1, P2, P3, P4) ; 1 β; 1 −β;1 1−β;β−1 β;β β−1 3.5. El espacio de Moduli de cúbicas lisas en el plano proyectivo 35 Deseamos encontrar una función que se mantenga constante sobre este conjunto y por tanto que caracterice las cuaternas de puntos sobre la recta. Una función J debe vericar que J(β) = J(β′) para β, β′∈C ∖ {0,1} precisamente si β′∈nβ, 1 β,1−β, 1 1−β,β−1 β,β β−1o . Para ello consideremos la situación general en que el conjunto de valores B son todos distintos y construyamos el polinomio mónico de grado 6 que tiene por raíces precisamente al conjunto mencionado, que va a ser: q(x)=(x2−x+ 1)3−j(β)x2(x−1)2 en donde j(β) = (β2−β+1)3 β2(β−1)2 es una función racional denida para todo β∈C ∖ {0,1} . Por construcción : j(β) = j(β′)⇐⇒ β′∈B Hay ocasiones en las que los valores de B no son todos distintos. Esto sucede cuando se dan los siguientes valores de β : β=−1,2,1 2,−ε, −ε2 siendo ε=−1 2+√3 2i una raíz cúbica primitiva de la unidad. En los casos β=−1,2,1 2 resulta que j(β) = 27 4 y en tal caso el polinomio es q(x) = (x+ 1)2(x−2)2(x−1 2)2 y B=1,1,2,2,1 2,1 2 . En los casos β=−ε, −ε2 resulta que j(β)=0 y el polinomio es q(x)=(x2−x+ 1)3= (x+ε)3(x+ε2)3 y las raíces son B=−ε, −ε, −ε, −ε2,−ε2,−ε2 . Por tanto, en todo caso : Lema 3.5.3. Dada la función racional j(β) = (β2−β+1)3 β2(β−1)2 denida en C ∖ {0,1} se verica : j(β) = j(β′)⇐⇒ β′∈B Por tanto, si bien es cierto que la razón doble de una cuaterna de puntos distintos en una recta proyectiva depende del orden en que sean considerados, hemos encontrado una función racional j(β) que no depende de tal orden. Así pues : si P1, P2, P3, P4 son 4 puntos distintos, está bien denido j(β(P1, P2, P3, P4)) que se dice el módulo de la cuaterna y se verica el siguiente teorema. Teorema 3.5.4. Sean {P1, P2, P3, P4} y {Q1, Q2, Q3, Q4} 2 cuaternas no ordenadas de puntos distintos sobre una recta proyectiva. Éstas son equivalentes ⇐⇒ j(β(P1, P2, P3, P4)) = j(β(Q1, Q2, Q3, Q4)) . 36 3. Clasicación proyectiva de las cúbicas planas Demostración: si {P1, P2, P3, P4} y {Q1, Q2, Q3, Q4} son proyectivamente equivalentes, existe f:P1−→ P1 tal que {f(P1), f(P2), f(P3), f(P4)}={Q1, Q2, Q3, Q4} . En tal caso se tiene: β(P1, P2, P3, P4) = β(f(P1), f(P2), f(P3), f(P4) por el teorema previo, y por el lema anterior j(P1, P2, P3, P4) = j(f(P1), f(P2), f(P3), f(P4) = j(Q1, Q2, Q3, Q4) . Recíprocamente, si j(P1, P2, P3, P4) = j(Q1, Q2, Q3, Q4) por el lema previo, después de haber permutado Q1, Q2, Q3, Q4 se tiene: β(P1, P2, P3, P4) = β(Qi1, Qi2, Qi3, Qi4) y entonces, por el teorema anterior existe una proyectividad aplicando Pj en Qij . Todavía necesitamos un resultado auxiliar: el comportamiento de multiplicidades de intersección frente a una proyectividad. Proposición 3.5.5. Sea T:P2 1−→ P2 una proyectividad con matriz inversible N , de manera que (x0, x1, x2) coordenadas homogéneas en el P2 1 se transforman de la siguiente manera: NX =Y . Sea F(x0, x1, x2) = 0 una curva C y sea TC su transformada. Sean P, Q dos puntos, r la recta que los une y TP, TQ, Tr sus transformados. Se verica: mp(C, r) = mT P (T C, Tr) Demostración: sea G(y0, y1, y2) = 0 la ecuación de la curva transformada TC . Los puntos (y0, y1, y2)∈TC se corresponden biunívocamente con los (x0, x1, x2)∈C mediante (y0, y1, y2) = N(x0, x1, x2) . Es decir : F(x0, x1, x2) = F(N−1(y0, y1, y2)) = FN−1(y0, y1, y2) Con lo cual : G(y0, y1, y2)=0 ⇐⇒ FN−1(x0, x1, x2)=0 Sea r={λP +µQ} con (λ, µ)∈P1 , las intersecciones de C=Z(F) con la recta r corresponden a las raíces contadas con multiplicidad del polinomio F(λP +µQ)=0 . Ahora sean TP =NP ; TQ =NQ . Las intersecciones de la curva TC con la recta Tr ={λTP +µT Q} con (λ, µ)∈P1 corresponden a las raíces contadas con multiplicidad de G(λTP +µQ) = 0 . Ahora bien: G(λTP +µTQ) = G(λNP +µNQ) = G(N(λP +µQ)) = FN−1N(λP +µQ) = F(λP +µQ) Con lo cual (λ0, µ0) es solución de F(λP +µQ)=0 con cierta multiplicidad no necesariamente igual a la multiplicidad de G(λTP +µTQ) = 0 . En particular la proposición queda probada. Corolario 3.5.6. Se verican las propiedades siguientes: 1. El grado de una curva plana es un variante proyectivo. 3.5. El espacio de Moduli de cúbicas lisas en el plano proyectivo 37 2. Un punto P∈C de inexión se aplica por una proyectividad en un punto de inexión. 3. Una proyectividad aplica un punto múltiple de orden r en otro de igual orden. Proposición 3.5.7. Sea C una cúbica lisa. Se verica: A y B son 2 puntos de inexión, la recta r que pasa por ellos corta a C en un tercer punto de inexión. Demostración: Podemos considerar para C su ecuación normal o de Weierstrass y2=φ(x) en donde x=x1 x0;y=x2 x0;x0= 0 es la recta del innito correspondiente al plano afín A2 xy . También podemos suponer que A=E2= (0,0,1) . Dada esta situación por ser B un punto de inexión ha de ser distinto de los puntos Pi= (1,0,0),(1,1,0),(1, λ, 0) . Por tanto B= (1,0, b) con b= 0 . Consideramos la proyectividad denida por: x′=x;y′=y Esta proyectividad deja invariante la curva y2=φ(x) y transforma la recta h=E2B en otra recta TE2TB =T E2B′ en donde TE2 y B′ son de inexión. Ahora bien, B= (a, b) se aplica en B′= (a, −b) , con lo cual vemos que B′ y B están sobre la recta x=a , cuya dirección es x1= 0 y por tanto contiene al punto del innito E2 . En consecuencia, el tercer punto de corte de E2B es B′ y es de inexión. Teorema 3.5.8. (Teorema débil de Salmon) Sea C una cúbica lisa y P∈C un punto de inexión. La cúbica C posee exactamente 4 tangentes distintas que pasan por P , incluyendo la tangente inexional. El módulo de las 4 tangentes es independiente de la elección de P . Demostración: Supongamos primero para C su forma normal: entonces E2= (0,0,1) es un punto de inexión con tangente x0= 0 . Las otras 3 tangentes pasando por P vienen dadas por las rectas de ecuación x= 0; x= 1; x=λ con λ= 0,1 . Sea ahora C una cúbica no singular cualquiera y P un punto de inexión, hemos razonado que existe una proyectividad φ:P2−→ P2 que aplica P en E2= (0,0,1) . Mediante esta proyectividad las rectas del haz pasando por P se corresponden biunívocamente con las tangentes a TC por E2 . Más aún, los puntos de tangencia Q1, Q2, Q3 están alineados con el punto de intersección de esta recta con la tangente inexional; sea Q4 , entonces éstos corresponden con los P1, P2, P3, P∞ en la forma normal. Entendiendo la razón doble de las 4 tangentes como la de los 4 puntos alineados obtenidos intersecando con una recta, vemos que β(Q1, Q2, Q3, Q4) = β(P1, P2, P3, P∞) . Ahora bien, en la forma normal : P1= (1,0,0), P2= (1,1,0), P3= (1, λ, 0) y P∞= (0,1,0) . Encontramos que : β(P3, P2, P1, P∞) = λ 38 3. Clasicación proyectiva de las cúbicas planas y en consecuencia: j(C) = j(λ) = (λ2−λ+ 1)3 λ2(λ−1)2 Corolario 3.5.9. Dadas C y C′ dos cúbicas no singulares en P2 se tiene: C y C′son proyectivamente equivalentes ⇐⇒ j(C) = j(C′) Demostración: Sean C y C′ proyectivamente equivalentes, entonces ambas son equivalentes a una misma cúbica dada en forma normal y2=x(x−1)(x−λ) y en consecuencia se tiene que j(C) = j(C′) = j(λ) . Recíprocamente sean C y C′ dos cúbicas lisas y consideremos sus formas normales: y2=x(x−1)(x−λ) ; y2=x(x−1)(x−λ′) y supongamos que j(λ) = j(λ′) . Si λ′=λ , las posibilidades para λ′ son los 5 siguientes valores: 1 λ; 1 −λ;1 1−λ;λ−1 λ;λ λ−1 Será suciente probar la existencia de una proyectividad que transforma y2=x(x−1)(x−λ) en y2=x(x−1)(x−λ′) cuando λ′=1 λ,1−λ , dado que en los demás casos serán composiciones de entre las siguientes: Si λ′=1 λ , encontramos y2=x(x−1)(x−λ)⇐⇒ λ3y2=λx(λx−λ)(λx−1) = (λ3 2)2y2= (λ3 2y)2 y vemos que la substituación x′=λx ; y′=λ3 2y proporciona la proyectividad. Si λ′= 1−λ , tenemos y2=x(x−1)(x−(1−λ)) = x(x−1)(x−1+λ) = x(x−1)(−(−x+1− λ)) . Hagamos −x+1 = x′ ; x= 1−x′ ; y2= (1−x′)(−x′)(−(x′−λ)) = (x′−1)(x′)(x′− λ)(−1) = x′(x′−1)(x′−λ)(−1) Es decir (−1)y2=i2y2= (iy)2=x′(x′−1)(x′−λ) ; haciendo y′=iy se concluye. 3.6. Clasicación de cúbicas lisas de grado 3 Primero hacemos un comentario acerca del cálculo del módulo de una cúbica lisa. Basándonos en el Teorema débil de Salmon, en general no es fácil encontrarlo, ya que supone haber calculado de antemano los puntos de inexión. Sin embargo, Salmon ha dado un resultado relevante: Teorema fuerte de Salmon. Sea C una cúbica plana no singular. Si P∈C no es un punto de inexión, existen 4 rectas tangentes a C desde P distintas entre sí y distintas a la tangente a C en P . 3.6. Clasicación de cúbicas lisas de grado 3 39 Cuando el punto P se aproxima al punto de inexión una de las 4 rectas tangentes tiende a la tangente por P y proporcionan la tangente de inexión. Demostración: Dada una cúbica lisa, sabemos que desde un punto genérico del plano se pueden trazar 6 rectas tangentes a la cúbica. Los puntos de contacto de tales tangentes son los puntos de intersección de la curva con su curva polar respecto al punto. Vamos a estudiar cuántas rectas tangentes se pueden trazar a la cúbica si el punto yace en ésta. Se trata de calcular explícitamente el 0-ciclo intersección de la cúbica con su polar, que es de grado 6. Veremos que la multiplicidad de intersección de un punto es 1 si el punto no es P y vale 2 o 3 dependiendo de si P es simple ordinario o de inexión. Suponemos que P= (0,0,1) y que y= 0 es la tangente. La ecuación de la cúbica es: f(x, y, z) = z2y+z(αx2+βxy +γy2)+(ax3+bx2y+cxu2+dy3) y la polar respecto a (0,0,1) es ∂f ∂z = 2zy +αx2+βxy +γy2 En particular P está en la intersección de la cúbica y su polar. Supongamos que P es ordinario, entonces y= 0 corta a f en P con multiplicidad 2, por lo que α= 0 . Considerando las curvas en el plano z= 1 se tiene: f(x, y, z) = y+αx2+βxy +γy2+ (ax3+bx2y+cxu2+dy3) ∂f ∂z (x, y, 1) = 2y+αx2+βxy +γy2 con lo cual P es liso en ambos con y= 0 tangente común. La multiplicidad de intersección es 1+ puntos próximos. Para calcular los puntos próximos aplicamos la transformación cuadrática especial x=x;xy =y . Entonces: f(x, y) = xy +αx2+βx2y+. . . = 0 ⇔y+αx +βxy +. . . = 0 ∂f ∂z (x, y) = αxy +αx2+βx2y+. . . = 0 ⇔αy +αx +βxy +. . . = 0 Vemos que P es simple con tangentes distintas, luego se tiene que el número de puntos próximos es 1. Así, la multiplicidad de intersección es P es 2. Si suponemos que P es una inexión, entonces α= 0 y a= 0 . Ahora la polar es reducible: ∂f ∂z =y(2z+βx +γy)tal que 2z+βx +γy = 0 no contiene a P, por lo tanto la multiplicidad de intersección es (f, y)P= 3 . 40 3. Clasicación proyectiva de las cúbicas planas Sea ahora Q=P un punto de contacto de una recta tangente a la cúbica desde P . Como una recta y una cúbica se cortan en 3 puntos, Q debe de ser ordinario. Es decir, si suponemos que y= 0 es la tangente en Q , la ecuación de la cúbica es: f(x, y, z) = z2y+z(αx2+βxy +γy2) + ax3+bx2y+cxy2+dy3 en donde α= 0 . Como el punto P yace en y= 0 es de la forma (x, 0, z) y además debe ser x= 0 pues P=Q . Como f(x, 0, z) = zαx2+ax3=x2(zα +ax) = 0 deducimos que zα +ax = 0 , luego P= (x, 0,−ax α)≡(α, 0,−a) y eventualmente a pudiera ser 0. La polar respecto a P es: α∂f ∂x −a∂f ∂z = 0 Ahora bien, se tiene que ∂f ∂x = 2αzx +βzy + 3ax2+ 2bxy ∂f ∂z = 2zy +αx2+βxy +γy2 (3.7) con lo cual α∂f ∂x −a∂f ∂z =α(2αzx +βzy)−a2zy +α(3ax2+ 2bxy)−a(αx2+βxy +γy2) Así Q es liso con tangentes y= 0 para f y α(2αx +βy)−2ay = 0 para la polar que, como α= 0 , es diferente de y= 0 . Así pues la multiplicidad de intersección en Q vale 1. En consecuencia, desde un punto de una cúbica se pueden trazar exactamente 4 tangentes a la cúbica y son distintas. Si el punto no es de inexión se excluye la tangente por el punto y si es de inexión, se incluye. Consideremos el módulo J(λ) = (λ2−λ+1)3 λ2(λ−1) . Veamos que la ecuación J(λ) = c con c∈C tiene siempre solución excepto cuando λ= 0, λ = 1 en cuyo caso J(λ) = ∞ . Vemos entonces que llamando C={c´ubicas no singulares}/ equivalencia proyectiva existe un isomorsmo J:C−→ P1∖{(0,1)}=A1 Este es el primer ejemplo de Espacio de moduli, el espacio que clasica las cúbicas lisas es isomorfo con una variedad algebraica: la recta afín A1 . Capítulo 4 Estudio de las cúbicas irreducibles 4.1. Conguración geométrica denida por las inexiones de una curva lisa Ya hemos visto que una cúbica lisa posee 9 puntos de inexión. Recordemos que una recta corta a la cúbica en 3 puntos contados con multiplicidad. Nos será útil en el estudio que vamos a hacer el siguiente resultado: Proposición 4.1.1. Dada una cúbica lisa C , si L es una recta uniendo 2 puntos de inexión, L corta a C en un tercer punto de inexión. Demostración: La familia de cúbicas planas depende de 9 parámetros. Imponiendo 8 condiciones independientes tenemos un haz de cúbicas C+λC′= 0 . Las cúbicas pasando por los 8 puntos que determinan tales condiciones son las cúbicas de este haz. Pero por Bezout, C y C′ se cortan en 9 puntos y toda C+λC′ tiene en común esos 9 puntos. Así pues, las cúbicas que pasan por 8 puntos, pasan también por un noveno punto. Sea L una recta uniendo 2 puntos de inexión P1, P2 en la cúbica. Sea P3 el tercer punto de corte. Llamemos L1, L2, L3 a las tangentes en P1, P2, P3 . Entonces L1·L2·L3 es una cúbica que pasa por 8 puntos de los 9 de intersección de la cúbica C= 0 con la cúbica L3= 0 . Sin embargo se cumple también que L1·L2·L3 pasa también por el noveno. Así L3 corta a C en P3 con multiplicidad 3 y P3 es un punto de inexión. Teorema 4.1.2. Existen 12 rectas, cada una de ellas conteniendo 3 puntos de inexión de una cúbica lisa. Estas rectas se pueden distribuir en 4 triángulos cada uno de ellos conteniendo los 9 puntos de inexión de la cúbica. La conguración de los punto de inexión de una cúbica 41 42 4. Estudio de las cúbicas irreducibles lisa y las rectas que los contienen en un espacio afín nito: el espacio afín sobre el cuerpo Z3 . Demostración: La haremos en varios pasos para explicarla de forma exhaustiva y así entenderla lo mejor posible. Sean {P1, . . . , P9} los puntos de inexión de la cúbica lisa C . Fijemos uno de ellos, por ejemplo P1 . Dado P2 , la recta P1P2 corta a C en un tercer punto de inexión. Sea P1P2P3 dicha recta, tomemos P4 otro punto de inexión distinto, la recta P1P4 corta a C en un punto de inexión distinto de P2 y P3 ya que no puede haber más de 3 puntos comunes a una cúbica y una recta. Así tenemos otra recta P1P4P5 . Con igual razonamiento encontramos las rectas P1P6P7 y P1P8P9 . Así pues, tenemos que por cada punto de inexión existen 4 rectas distintas conteniendo todos los 9 puntos de inexión. Podemos contar el número total de tales rectas: cada punto de inexión da lugar a 4 rectas, pero entre todas estas 36, la recta que une 3 inexiones está contada 3 veces (una por cada punto que contiene). Así pues el número de rectas se reduce a 12. Ahora veamos que cada recta de las que pasa por P1 da lugar a un triángulo conteniendo 9 inexiones. Fijemos la recta l=P1P2P3 , de ella salen 9 rectas conteniendo a los 9 puntos de inexión. En consecuencia faltan por determinar 2 rectas l′ y l′′ distintas de l y distintas de las 9 a las que da lugar l . La recta l′ pasa por 3 inexiones que no pueden ser las contenidas en l pues de lo contrario l′ sería o bien l o una de las 9 rectas que salen de l . Entonces podemos suponer l′=P4P5P6 . Ahora, la otra recta l′′ es distinta de l , de l′ y de las 9 rectas que salen de l , sin embargo es claro que estas 9 rectas unen P1P2P3 con P4P5P6 . En consecuencia, l′′ tiene que ser la recta uniendo los 3 puntos de inexión restantes P7, P8 y P9 . En consecuencia l= 1,2,3; l′= 4,5,6; l′′ = 7,8,9 constituyen un triángulo conteniendo los 9 puntos de inexión. La recta r= 1,4,7 determina un segundo triángulo: la recta r′ que pasa por 2 debe contener por igual razón que antes un punto de inexión en l′ y otro en l′′ . Si tomamos por ejemplo la recta 2,5 , llamemos 8 al punto donde corta a l′ . Ahora queda necesariamente r′′ conteniendo a 6,8,9 . Distribuyendo los puntos en una matriz 3×3 , encontramos que las las, por un lado, y las columnas, por otro, dan 2 triángulos conteniendo las 9 inexiones. Con esta información podemos identicar los otros 2 triángulos que se denen a partir de las otras 2 rectas pasando por 1 . Claramente una es 1,5,9 pues la elección de 6 u 8 implica 4 inexiones sobre una recta y la otra es 1,6,8 . El triángulo construido a partir de s= 1,5,9 está formado por ésta y las rectas s′ y s′′ que 4.2. Ley de grupo en los puntos de una cúbica plana no singular 43 identicamos a continuación. Se tiene que la recta que pasa por 2 , 6 y por el tercer punto de corte no puede estar en r′ ni en r′′ ni en l′ ni en l′′ pues habría 4 inexiones en una de esas rectas, luego tal punto es r∩l′′ = 7 , por tanto tenemos s′= 2,6,7 . Con un razonamiento análogo obtenemos s′′ = 4,8,3 . Vemos que, con respecto a la matriz numérica, un tercer triángulo viene denido por las 3 rectas correspondientes a los términos positivos en el desarrollo del determinante. El cuarto triángulo está denido por t= 1,6,8 y t′, t′′ son los otros 2 sumandos que junto con t dan los términos negativos en el determinante. 4.2. Ley de grupo en los puntos de una cúbica plana no singular Vamos a introducir una operación en los puntos de una cúbica no singular mediante la cual, dichos puntos estructuran algebraicamente como un grupo. Ello permitirá obtener algunos resultados geométricos muy cómodamente usando el formalismo algebraico. Denición 4.3.1. Sea C un cúbica no singular y jemos como referencia un punto O∈C . Dados A, B dos puntos cualesquiera en C consideramos la recta AB =L ; entendiendo que si A=B , L es la tangente a C en el punto A . Por ser C de grado 3, existe un tercer punto R tal que L∩C={A, B, R}. Ahora sea H la recta denida por O y R , cortará a C en un tercer punto que denotaremos por A+B . Esta construcción geométrica permite denir una aplicación C×C−→ C y vamos a probar que dicha aplicación es una operación con la cual (C, +) es un grupo abeliano. Se tiene que la conmutatividad es inmediata pues la recta determinada por 2 puntos es única; luego, A+B=B+A . Además O∈C es el elemento neutro. Sea A∈C , busquemos −A tal que A+(−A) = O . Por lo tanto, si R es la tercera intersección de A(−A) con C , ”O” debe ser la tercera intersección de la recta OR con C . Es decir, OR debe ser tangente en O . Como O es jo, consideremos dicha tangente, entonces está determinado el tercer punto R y (−A) es el tercer punto de intersección entre la recta AR y C . Los 3 dibujos siguientes ilustran lo que acabamos de explicar: