Os números índice

Traballo Fin de Grao Os números índice Martín Arnaiz Iglesias Xullo, 2022 (Curso 2021-2022) UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO DE MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Os números índice Martín Arnaiz Iglesias Xullo, 2022 (Curso 2021-2022) UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Traballo proposto Área de Coñecemento: Estatística e Investigación Operativa Título: Os números índice Breve descrición do contido Revisión bibliográca dos números índice ilustrando a súa utilidade práctica en problemas reais coma a análise do prezo dos carburantes ou do mercado enerxético. Recomendacións Outras observacións iii Índice Resumo viii Introdución xi 1. Os números índice 1 2. Números índice simples 7 2.1. Números índice simples en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1. Algúns exemplos de números índice simples en serie . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2. Algunhas consideracións para números índice simples en serie . . . . . . . 11 2.2. Números índice simples en cadea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3. Relacións entre números índice simples en cadea e en serie . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.1. Variación porcentual dos números índice simples . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.2. Taxa media de variación ou taxa media de crecemento acumulativo . . . . 17 3. Números índice complexos 19 3.1. Números índice complexos non ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.1. Índice de Sauerbeck .............................. 20 3.1.2. Media xeométrica de índices simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.3. Media harmónica de índices simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1.4. Índice de Bradstreet-Dûtot ........................... 23 v vi ÍNDICE 3.1.5. Índice de Carli ................................. 24 3.1.6. Índice de Jevons ................................ 25 3.1.7. Índice de Dûtot ................................. 25 3.2. Números índice complexos ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.1. Índice de Laspeyres ............................... 27 3.2.2. Índice de Paasche ............................... 29 3.2.3. Índice de Marshall-Edgeworth ......................... 30 3.2.4. Índice de Fisher ................................ 31 3.2.5. Índice de Bradstreet-Dûtot ........................... 32 4. Análise do mercado enerxético en España 33 4.1. Prezosdaelectricidade................................. 33 4.2. Aenerxíadepeche................................... 36 4.3. Demanda de certas comunidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5. Conclusións 43 Bibliografía 45 xiv INTRODUCIÓN Capítulo 1 Os números índice Antes de introducir os distintos tipos de números índice, cómpre formalizar o propio concepto de número índice e establecer unha clasicación previa para poder expor, posteriormente, a teoría dunha maneira máis sinxela. Denición 1. Un número índice é unha medida estatística usada para comparar magnitudes sinxelas ou complexas ao longo do tempo ou do espazo, tomando unha delas como referencia. Ao elemento que se xa para facer a comparación denomínase período base ou referencia , que, idoneamente deberá ser o que máis se axuste aos datos que dispoñamos. Cabe mencionar que se dene como magnitude sinxela calquera característica dos corpos que se pode expresar en cantidades e que non depende doutras, coma por exemplo o prezo dun artigo ou dunha acción dunha empresa que cotiza en bolsa. As magnitudes complexas en cambio, dependen de varias magnitudes sinxelas á vez. Por exemplo a produción total dun país ou unha cesta da compra entendida como se contempla no ámbito da economía. Por outro lado, chámase período actual ou corrente ao que comparamos co período base ou referencia. Así a notación será a seguinte. Denotaranse ás magnitudes sinxelas como Xi={x0, x1, x2, .., xT}(i∈ {1,2, ..., n}), sendo estes os seus valores en determinados momentos temporais ou espaciais. Débese ter en conta, tamén, que os subíndices empezan dende o 0. Polo tanto; cando se toma unha mangnitude da mesma forma que anteriormente, estase a considerar que dispón de T+1 elementos. Ademais, denotaremos por xref ao período base ou referencia, que non é necesariamente xo, aínda que o t varíe (pode ser t−1 , por exemplo, ou pode ser calquer elemento da magnitude). Por isto, en ocasións, en vez de xref , usaremos xt0 , cando queiramos especicar que a referencia mantense xa. Ás magnitudes complexas, denotarémolas coma X= (X1, X2, ..., Xn) , sendo cada elemento 1 2 1. Os números índice Xi, i ∈ {1,2, ..., n} , unha magnitude sinxela. Desta maneira, engadiremos o índice j∈ {1,2, ..., T} para designar dentro de cada variable Xi ao elemento no intre j . Polo tanto, para cada variable i , temos os datos Xi={xi0, xi1, ..., xij, ..., xiT } , podendo formar así un cadro ou matriz de observacións de dimensións i×j . Exemplo 1. Introduciranse agora os datos de prezos de carburantes e combustibles mensuais rexistrados en 2021 obtidos a partir dos informes do Ministerio para a Transición Ecolóxica e o Reto Demográco ( https://energia.gob.es/petroleo/Informes/InformesMensuales/ Paginas/InformesMensuales.aspx ) presentados no Cadro 1.1. Gasolina 95 Gasóleo A GLP GNC GNL Biodiesel Bioetanol XAN 121.36 109.69 68.00 84.32 72.32 108.18 145.85 FEB 125.81 114.00 69.57 84.38 72.22 112.23 148.56 MAR 131.05 118.38 71.59 84.45 72.19 116.77 150.33 ABR 132.12 118.18 72.56 85.21 73.21 116.48 150.63 MAI 134.79 120.61 72.85 85.45 73.95 118.63 152.67 XUÑ 137.20 123.55 73.52 85.23 74.13 122.26 158.76 XUL 140.54 126.37 75.63 88.19 79.16 125.36 158.17 AGO 141.71 126.45 77.46 88.41 79.74 125.12 161.08 SET 143.29 128.01 78.69 88.95 80.06 126.24 161.77 OUT 148.28 135.51 81.41 99.93 91.37 134.22 165.47 NOV 151.07 138.13 84.19 107.13 98.80 136.41 168.65 DEC 147.95 134.69 84.89 115.85 106.98 132.46 164.98 Cadro 1.1: Prezos de carburantes e combustibles en España ao longo de 2021 en cts/ Litro para a gasolina 95, gasóleo A (automoción), GLP (gas licuado do petróleo), biodiesel e bioetanol e en cts/Kg no caso do GNC (gas natural comprimido) e GNL (gas natural licuado). A Figura 1.1 representa os distintos dipos de números índices que aparecen na literatura. Números índice Simples En serie En cadea Complexos Non ponderados Ponderados Figura 1.1: Tipos de números índice 3 Os números índices simples son aqueles que analizan a variación dunha única magnitude en dous momentos espaciais ou temporais distintos. Clasifícanse en:  Os números índices simples en serie , que son aqueles na que a referencia é un valor constante.  Os números índices simples en cadea se a referencia é un valor variable. Os números índices complexos , agregados ou compostos son aqueles que estudan a variación de fenómenos ou magnitudes complexas que engloban unha certa cantidade de variables. Diferéncianse entre:  Os números índices complexos ponderados , que son aqueles nos que existe a posibilidade de darlle máis importancia aos cambios producidos nalgunhas variables en concreto.  Os números índices complexos non ponderados , nos que todos os elementos teñen a mesma importancia. A continación, presentaremos varias propiedades xerais dos números índice que permitirán familiarizarse con eles e poder entender, de mellor maneira, os conceptos que trataremos posteriormente. Traballaremos as propiedades para os números índices simples, aínda que para os complexos estas son as mesmas e a súa xeneralización é similar. Ensinaremos primeiro, a fórmula xeral dos números índice simples. ISt ref =xt xref ·100, sendo xref a referencia, e sendo t∈ {0,1,2, ..., T}. As propiedades serán entón, as seguintes. Existenza: O número índice debe ser un valor real e nito distinto de cero. Isto apréciase na denición que demos con anterioridade. Identidade: Os índices sempre son iguais a 100 para o período de referencia Sexa cal sexa a referencia, temos: ISref ref =xref xref ·100 = 1 ·100 = 100. Independencia das unidades utilizadas: Os índices non cambiarán, aínda que se modique a unidade utilizada para as medicións. 4 1. Os números índice Supóñase que se cambian as unidades, logo xt·c unidade1 = xt unidade2. Así, podemos escribir o seguinte: ISt ref =c·xt c·xref ·100 = xt xref ·100. Que, tras simplicar, podemos apreciar que ambas expresións son idénticas. Adimensionalidade: Os números índice non presentan unidades. Sexa u unha unidade de medida: ISt ref =xt u xref u ·100 = xt xref ·100. Considérase agora o coeciente asociado que deniremos da seguinte maneira: Ct ref =xt xref . Ensinemos as súas propiedades. Calcando o razonamento utilizado anteriormente, chégase á conclusión de que tamén verica as propiedades anteriores, xa que este coeciente non é máis que o número índice en tanto por un. Ademais, satisfai as seguintes propiedades: Inversión: O produto de dous índices nos que se inverte o período de referencia e o de comparación é a unidade Ct ref ·Cref t=xt xref ·xref xt = 1. Circular: Xeneraliza a inversión. Supoñamos tres períodos: t , t1 , ref ; Temos: Ct1 ref ·Ct t1·Cref t=xt1 xref ·xt xt1 ·xref xt = 1. Proporcionalidade: Se existe na magnitude unha variación, en proporción de 1 + K , sendo K∈R o periodo de comparación xado, entón o número índice varía da mesma forma proporcionalmente. Supóñase: (xt),=xt+K·xt= (1 + K)·xt, entón 5 (Ct ref ),=(xt), xref =(1 + K)·xt xref =xt xref +K·xt xref =Ct ref +K·Ct ref . Agora desenvolverenos os anteriores conceptos de manera moito máis extensa nos seguintes capítulos, xunto cos exemplos comentados. 6 1. Os números índice Capítulo 2 Números índice simples Tal e como se comentou, os números índice simples son unha medida estatística que indica a variación dunha magnitude en dous momentos temporais ou espaciais diferentes. Distínguense entre números índices simples en serie e en cadea dependendo do elemento escollido para a referencia. Se a referencia é un dato xado, estase a falar dun número índice simple en serie . En cambio, se tomamos como referencia o dato inmediatamente anterior dentro da serie que se está a estudar (referencia variable), fálase de número índice simple en cadea . 2.1. Números índice simples en serie Nesta sección revisaranse os números índices simples en serie. Estes caracterízanse por contar cunha referencia xa, que xeralmente é o dato inicial. Así, tomando a fórmula anteriormente presentada e modicándoa lixeiramente, obtemos a seguinte denición. Denición 2. Sexa Xi={x0, x1, x2, ..., xT} unha certa magnitude medida nos instantes {0,1,2, ..., T} e sexan os instantes t e t0 , este ultimo o noso período de referencia, xo, que é un calquera dos instantes presentados. Sexa entón xt0 a referencia considerada como base. Enténdese como o número índice simple en serie dunha magnitude Xi en t con referencia xt0 como: It t0(Xi) = xt xt0 ·100. (2.1) Aínda así, xeralmente tomarase como referencia x0 . Desta maneira: It 0(Xi) = xt x0 ·100. (2.2) Para calquera t da serie, indica a porcentaxe de variación da magnitude no instante t de tempo con respecto á referencia base. 7 8 2. Números índice simples A continuación ilustramos o seu uso no Exemplo 2. Exemplo 2. Consideramos os prezos da gasolina 95 contidos no Cadro 1.1 e tomamos como dato de referencia o relativo a xaneiro de 2021. XAN FEB MAR ABR MAI XUÑ XUL AGO SET OUT NOV DEC GASOLINA 95 121.36 125.81 131.05 132.12 134.79 137.20 140.54 141.71 143.29 148.28 151.07 147.95 N.I.S.SERIE 100.00 103.67 107.98 108.87 111.07 113.05 115.80 116.77 118.07 122.18 124.48 121.91 Cadro 2.1: Prezo medio mensual da gasolina 95 en 2021 en cts. de euro/ litro xunto co seu número índice simple en serie na parte inferior. Como se pode comprobar, os prezos con respecto a xaneiro de 2021 incrementáronse progresivamente ata acadar os seus máximos nos últimos meses do ano. A representación gráca da súa evolución detállase na Figura 2.1: Figura 2.1: Números índice en serie da gasolina 95 en 2021 tomando xaneiro como referencia. É dicir, dende xaneiro ata decembro o prezo aumenta nun 21.2%, unha cantidade considerable se se está a falar dun ben necesario para gran parte da poboación. É máis, chega a aumentar ata nun 24.5%. A continuación analízase o caso do bioetanol. Exemplo 3. Considérense, os prezos do bioetanol. Os números índices simples en serie coa mesma referencia, xaneiro de 2021, son os recollidos no Cadro 2.2. XAN FEB MAR ABR MAI XUÑ XUL AGO SET OUT NOV DEC BIOETANOL 145.85 148.56 150.33 150.63 152.67 158.76 158.17 161.08 161.77 165.47 168.65 164.98 N.I.S.SERIE 100.00 101.86 103.07 103.27 104.68 108.85 108.45 110.44 110.92 113.45 115.63 113.12 Cadro 2.2: Prezo medio mensual do bioetanol en 2021 en cts./ litro xunto co seu número índice simple en serie. 2.1. Números índice simples en serie 9 Nestes prezos, vese tamén unha tendencia moi similar á da gasolina e pódese apreciar que non é tan acusada, pois mentres que a primeira incrementa o seu prezo un 21.2%, o Bioetanol só aumenta un 13.1% con respecto ao prezo de xaneiro de 2021. Nótese que esta diferenza é bastante considerable. A Figura 2.2 recolle a súa representación gráca. Figura 2.2: Números índice en serie do bioetanol en 2021 tomando xaneiro como referencia. 2.1.1. Algúns exemplos de números índice simples en serie Aínda que a teoría dos números índices se establece para unha magnitude xenérica, existen múltiples referencias que abordan o estudo da evolución de magnitudes especícas no eido económico. Por exemplo, destacan as enumeradas a continuación: Chámase prezo relativo do produto i ou prezo índice simple a: pt 0=pit pi0 , sendo pit o prezo do produto i no instante t e pi0 o prezo do produto no período de referencia. Indica canto se modicou o prezo respecto ao intre inicial. Ilustremos o seu funcionamento co seguinte exemplo. Exemplo 4. Para este exemplo usarase o seguinte cadro de prezos do xoguete A. Como se pode ver, selecciónase un exemplo distinto pois búscanse magnitudes especícas. XAN FEB MAR ABR MAI XUÑ XUL AGO SET OUT NOV DEC Prezo 5.4 5.4 5.5 5.4 5.6 5.7 5.7 5.9 5.8 6 6 6.2 Cadro 2.3: Prezo medio mensual do xoguete A en 2021 en euros. Compútese agora o prezo índice simple do xoguete A no Cadro 2.4, sendo o prezo de xaneiro o prezo do produto no período de referencia. 16 2. Números índice simples Usando o exposto na sección 2.3, tense que: It2 t1(Xi) = ICt2(Xi)·ICt2−1(Xi)·... ·ICt1+1(Xi). Se se seleccionan t2 e t1 como observacións inmediatamente consecutivas ( t e t−1 ) chégase a un caso especial, que se denota e se calcula da seguinte maneira: Taxat(Xi) = xt−xt−1 xt−1 ·100 = ICt(Xi)−100. Por outro lado, se t1= 0 é a referencia chégase a: Taxat 0=xt−x0 x0·100 = xt x0 −1 =xt x0 ·100 −100 = It 0−I0 0, que non é máis que a porcentaxe de variación entre calquera período e o período de referencia. Así mesmo, a taxa de variación denomínase como taxa de variación interanual, intertrimestral ou intermensual se as observacións corresponden a anos, trimestres ou meses consecutivos, respectivamente. Exemplo 12. Calcularase agora as taxas mensuais para a gasolina 95 e o bioetanol a partir do Cadro 1.1. Como se pode ver, ao ser taxas de variación mensuais obtéñense de maneira moi sinxela a partir do cadro dos números índices simples en cadea, grazas á fórmula presentada neste mesmo apartado. Así, o único que hai que facer neste caso é dividir entre 100 os datos obtidos no cadro de números índices simples en cadea: FEB MAR ABR MAI XUÑ XUL AGO SET OUT NOV DEC GASOLINA 95 125.81 131.05 132.12 134.79 137.20 140.54 141.71 143.29 148.28 151.07 147.95 TAXA 3.67 4.17 0.82 2.02 1.79 2.43 0.83 1.11 3.48 1.88 -2.18 Cadro 2.10: Prezo mensual medio da gasolina 95 en 2021 en cts. de euro/ litro xunto coa súa taxa de variación. FEB MAR ABR MAI XUÑ XUL AGO SET OUT NOV DEC BIOETANOL 148.56 150.33 150.63 152.67 158.76 158.17 161.08 161.77 165.47 168.65 164.98 TAXA 1.86 1.19 0.20 1.35 3.99 -0.37 1.84 0.43 2.29 1.92 -2.18 Cadro 2.11: Prezo mensual medio do bioetanol en 2021 en cts. de euro/ litro xunto coa súa taxa de variación. 2.3. Relacións entre números índice simples en cadea e en serie 17 2.3.2. Taxa media de variación ou taxa media de crecemento acumulativo Sen embargo, hai outras ocasións nas que se desexa obter o promedio de variación entre o intre t e o intre t+k . Para estas ocasións, defínese o seguinte concepto. Denición 5. Sexa t∈ {0,1, ..., T −k} . Sexa un k > 0 . Coñécese como taxa media de variación ou taxa media de crecemento acumulativo da magnitude Xi entre os intres t e t+k ( [t, t +k] ) á taxa constante que permite obter a observación xt+k no intre t+k a partir da observación xt no intre t . Denótase por Tk . É dicir, búscase que para os instantes t+ 1 , t+ 2 , e así, ata t+k , se teña que, xt+1 =xt+Tk 100 ·xt=1 + Tk 100·xt=100 + Tk 100 ·xt, xt+2 =xt+1 +Tk 100 ·xt+1 =1 + Tk 100·xt+1 =100 + Tk 100 ·xt+1 =100 + Tk 100 2 ·xt ··· xt+k=xt+k−1+Tk 100 ·xt+k−1=1 + Tk 100·xt+k−1 =100 + Tk 100 ·xt+k−1=100 + Tk 100 k ·xt. Logo, para o instante t+k , tense que, xt+k=100 + Tk 100 k ·xt, e despexando, xt+k xt =100 + Tk 100 k =⇒k rxt+k xt =1 + Tk 100. Polo tanto, Tk=k rxt+k xt −1·100. Finalmente ilustrarase o seu uso sobre o exemplo do combustible. Exemplo 13. Ensinarase agora un exemplo cos datos obtidos. Usando o Cadro 1.1, calcularase tanto para a gasolina 95 como para o Bioetanol a taxa media de variación dende xaneiro ( t= 0 ) ata decembro ( t= 11 ). Primeiro para a gasolina, onde: 18 2. Números índice simples T11 = 11 r121.36 147.95 −1!·100 = 1.78, e para o Bioetanol: T11 = 11 r145.85 164.98 −1!·100 = 1.11. Como se pode apreciar, estes datos veñen demostrar que o crecemento medio da gasolina 95 é maior que o que presenta o bioetanol. Capítulo 3 Números índice complexos En ocasións, máis que estudar variables concretas, estúdanse fenómenos ou conxuntos de variables que pertencen a un grupo en concreto. Búscase así, unha única medida que indique cal é a variación desta colección de fenómenos ou variables. Son estes casos os que utilizan os números índices complexos , tamén coñecidos como números índices compostos ou agregados. Dentro deles distínguense dous tipos. Os números índices complexos non ponderados, nos que todas as variables presentan a mesma importancia, xa sexa por buscar a sinxeleza, ou por motivo de que a ponderación non teña sentido como tal; e, por outro lado, están os números índices complexos ponderados, cando se quere recalcar a importancia que presentan unhas variables sobre outras, e, ademais, xeralmente búscase un resultado máis exacto. Así, coma exemplo de número índice complexo está o IPC ( Índice de Prezos de Consumo ), o cal mide a variación do custo de vida en España. Para medir isto, mira a variación, en conxunto, dos prezos de bens e servizos extraídos do que formalmente se coñece coma cesta básica alimentaria (CBA) , determinada a partir da enquisa básica de presupostos familiares, que reicten unha cantidade de bens e servizos adquiridos de maneira regular pola poboación española. Así, o IPC, é un perfecto indicador da inación, e do custo de vida en España. 3.1. Números índice complexos non ponderados Os números índices complexos non ponderados caracterízanse polo uso de magnitudes complexas (conxunto doutras magnitudes simples) que son avaliadas ao longo do tempo para ver a súa variación. Xunto con isto, tense que ter en conta que, neste tipo de números índice en particular, non se dá máis importancia a algunhas variables sobre outras, ao supoñer que todas son determinantes. 19 20 3. Números índice complexos A continuación preséntanse algún dos máis coñecidos: 3.1.1. Índice de Sauerbeck Sexan n magnitudes para o índice complexo. Se queremos medir a variación no intre t∈ {0,1, ..., T} , e as variables X , débense obter primeiro os números índices simples en serie en t , para cada magnitude i . O índice de Sauerbeck non é máis que a media aritmética non ponderada dos mesmos. A súa expresión, para cada t∈ {0,1, ..., T} é a que segue. St(X) = 1 n n X i=1 xit xi0 ·100 = 1 n n X i=1 It 0(Xi). (3.1) A continuación, ilústrase o seu funcionamiento. Exemplo 14. Para o exemplo computarase o índice de Sauerbeck para o Cadro 1.1, e así calcular a evolución dos prezos dos carburantes en España ao longo de 2021. É dicir: XAN FEB MAR ABR MAI XUÑ XUL AGO SET OUT NOV DEC 100.00 102.21 104.60 105.22 106.58 108.46 111.52 112.45 113.47 121.12 125.66 127.20 Cadro 3.1: Índice da Sauerbeck para os carburantes ao longo de 2021. Como se pode apreciar, existe un crecemento continuo dos prezos en xeral dende xaneiro ata decembro, sendo a subida total, a nal do ano, dun 27.2%. Gracamente, a evolución conxunta vén detallada na Figura 3.1: Figura 3.1: Números de Sauerbeck para os carburantes ao longo de 2021. 3.1. Números índice complexos non ponderados 21 3.1.2. Media xeométrica de índices simples Sexan n magnitudes á hora de determinar un índice complexo. Para obter o índice media xeométrica de índices simples para o intre t∈ {0,1, ..., T} , e a variable X , e, tras obter os números índices simples en serie en t , para cada magnitude, basta repetir o procedemento anterior, pero nesta ocasión, coa media xeométrica. É dicir, Gt(X) = n v u u t n Y i=1 xit xi0 ·100 = n v u u t n Y i=1 xit xi0 ·100n=n v u u t n Y i=1 It 0(Xi) (3.2) para cada t∈ {0,1, ..., T} . De novo, ilústrase o seu funcionamento sobre o exemplo dos combustibles. Exemplo 15. Calcularase neste exemplo os valores do índice media xeométrica de índices simples , sobre os datos do Cadro 1.1. Así: XAN FEB MAR ABR MAI XUÑ XUL AGO SET OUT NOV DEC 100.00 102.19 104.54 105.18 106.52 108.36 111.44 112.38 113.39 121.05 125.53 126.77 Cadro 3.2: Índice da media xeométrica para os carburantes ao longo de 2021. Os valores que se obteñen da media xeométrica son moi similares aos do índice de Sauerbeck. Isto é debido a que, esencialmente, ambos calculan unha media. Gracamente, os resultados son os seguintes: Figura 3.2: Índices media xeométrica de índices simples para os carburantes ao longo de 2021. 22 3. Números índice complexos 3.1.3. Media harmónica de índices simples Repetimos o plantexamento pero esta vez coa media harmónica. Sexan n magnitudes para o índice complexo. Para obter o índice media harmónica de índices simples ( Ht(X) ) para o intre t∈ {0,1, ..., T} , e a variable X , basta con obter os números índices simples en serie en t , para cada magnitude, e así: Ht(X) = n Pn i=1 xit xi0 ·100, (3.3) para cada t∈ {0,1, ..., T} . Equivalentemente, Ht(X) = n Pn i=1 Cit i0 ·100. O Exemplo 16 ilustra o seu funcionamiento. Exemplo 16. Usaranse para o exemplo novamente os datos do Cadro 1.1 e calcularase así o índice media harmónica de índices simples dos carburantes. Queda así: XAN FEB MAR ABR MAI XUÑ XUL AGO SET OUT NOV DEC 100.00 102.18 104.49 105.13 106.46 108.26 111.37 112.31 113.31 120.98 125.40 126.35 Cadro 3.3: Índice da media harmónica para os carburantes ao longo de 2021. Visualmente, como veremos na Figura 3.3, seguen a mesma tendencia que os resultados anteriores polo xa comentado. Figura 3.3: Índices media harmónica de índices simples para os carburantes ao longo de 2021. 3.1. Números índice complexos non ponderados 23 3.1.4. Índice de Bradstreet-Dûtot O concepto de media agregativa é empregado unicamente xunto cos números índice. Entendemos por media agregativa , como a razón entre a media aritmética simple das n variables no intre t de comparación, e a media aritmética simple no período 0. Así, sexan n magnitudes para o índice complexo. Para obter o índice de Bradstreet-Dûtot ( BDt ) para o intre t∈ {0,1, ..., T} , e a variable X , basta con obter os números índices simples en serie en t , para cada magnitude, e usando a media agregativa obtemos: BDt=Pn i=1 xit Pn i=1 xi0 ·100, (3.4) para cada t∈ {0,1, ..., T} . A continuación ilústrase o seu uso. Exemplo 17. Para este exemplo, usaranse novamente os datos do Cadro 1.1. Calcularanse, desta maneira os índices de Bradstreet-Dûtot dos carburantes ao longo do ano 2021. Son os mostrados no Cadro 3.4. XAN FEB MAR ABR MAI XUÑ XUL AGO SET OUT NOV DEC 100.00 102.40 104.94 105.44 106.94 109.15 111.79 112.72 113.71 120.64 124.61 125.09 Cadro 3.4: Índice da media agregativa para os carburantes ao longo de 2021. Como se ve no Cadro 3.4 os resultados son moi similares aos anteriores, e gracamente detállanse na Figura 3.4. Figura 3.4: Índice de Bradstreet-Dûtot para os carburantes ao longo de 2021. 24 3. Números índice complexos 3.1.5. Índice de Carli Aínda así, estes non son os únicos números índices complexos non ponderados que existen. Se se toma como referencia o dato inmediatamente anterior ao seleccionado da mesma maneira que facíamos cos números simples en cadea, obtéñense novos índices complexos non ponderados. Sexan así n magnitudes para o índice complexo X . Sexa t∈ {0,1, ..., T} . Calcúlanse os números simples en cadea para todo t . Se usamos a media aritmética obtemos o índice de Carli : Ct=1 n n X i=1 xit xit−1 ·100 = 1 n n X i=1 ICt(Xi). (3.5) para todo t∈ {0,1, ..., T} . Vexamos o seu uso a continuación: Exemplo 18. Apliquemos entón no Cadro 1.1 esta fórmula para calcular o índice de Carli dos carburantes durante o ano 2021 e poder ver as diferenzas: XAN FEB MAR ABR MAI XUÑ XUL AGO SET OUT NOV DEC 100.00 102.21 102.31 100.61 101.28 101.74 102.86 100.85 100.90 106.84 103.73 101.09 Cadro 3.5: Índice de Carli para os carburantes ao longo de 2021. Como vemos no Cadro 3.5 os valores varían bastante con respecto aos cadros anteriores (Cadro 3.4, Cadro 3.3, Cadro 3.2 e Cadro 3.1). Isto débese ao xa comentado, que basicamente este índice complexo non é máis que un índice complexo en cadea, é dicir, que fundamentalmente mide a variación dun periodo respecto ao anterior. Pódese ver, desta maneira, que en todos os meses existe un crecemento constante que chega a ser de ata un 6.8% en novembro. Vexamos agora estes datos na Figura 3.5. Figura 3.5: Índice de Carli para os carburantes ao longo de 2021. 3.1. Números índice complexos non ponderados 25 3.1.6. Índice de Jevons Por último, se consideramos a media xeométrica tomando como referencia o periodo anterior, chégase ao coñecido coma Índice de Jevons : Jt(X) = n v u u t n Y i=1 xit xit−1 ·100 = n v u u t n Y i=1 xit xit−1 ·100n=n v u u t n Y i=1 ICt(Xi). (3.6) para todo t∈ {0,1, ..., T} . Co Exemplo 19 ilustremos o seu funcionamento. Exemplo 19. Usando os datos do Cadro 1.1, buscamos calcular o Índice de Jevons para os carburantes ao longo de 2021. Unha vez realizadas as operacións: XAN FEB MAR ABR MAI XUÑ XUL AGO SET OUT NOV DEC 100.00 102.19 102.30 100.61 101.28 101.73 102.84 100.85 100.90 106.76 103.70 100.98 Cadro 3.6: Índice de Jevons para os carburantes ao longo de 2021. Gracamente a súa evolución queda reectida na Figura 3.6. Figura 3.6: Índice de Jevons para os carburantes ao longo de 2021. Sucede, entón, o mesmo que nos casos anteriores, un crecemento constante ao longo do ano. 3.1.7. Índice de Dûtot Repitamos agora o razonamento efectuado nos apartados anteriores pero esta vez coa media agregativa. Conseguimos así o chamado Índice de Dûtot : Dp=Pn i=1 xit Pn i=1 xit−1 ·100. (3.7) 32 3. Números índice complexos 3.2.5. Índice de Bradstreet-Dûtot Xunto con estes índices, existe a posibilidade de presentar outro índice complexo ponderado. Este non é máis que un índice de cantidades do índice de Bradstreet-Dûtot . Para isto, temos que coller a visión das variables como se comentou ao principio do tema, relativa a prezos e cantidades. Sexa p a matriz de prezos, q a matriz de cantidades, e sexa v o valor. Así, defínese coma: IV t 0(p, q) = Vt(p, q) V0(p, q)·100 = Pn i=1 pitqit Pn i=1 pi0qi0 ·100, (3.13) cumprindo o seguinte: IV t 0(p, q) = Lt(p0, q)·Pt(p0, q) = Lt(p, q0)·Pt(p, q0) = Ft(p0, q)·Ft(p, q0). Exemplo 25. Aplicarase agora aos datos do Cadro 1.1 sen produtos relativos ao gas natural, usando os do Cadro 3.8 coma ponderación. O Cadro 3.13 recolle os seus valores. XAN FEB MAR ABR MAI XUÑ XUL AGO SET OUT NOV DEC 100.00 108.24 139.39 125.23 139.11 153.62 165.53 156.53 156.89 164.60 168.72 160.67 Cadro 3.13: Índice IV t 0 para os carburantes ao longo de 2021. Como pódese ver, dada a denición de índice de cantidades, os datos deste Cadro 3.13 distan moito dos cadros do resto dos números índice complexo ponderados (Cadro 3.12, Cadro 3.11, Cadro 3.10 e Cadro 3.9). Gracamente, a Figura 3.12 completa a análise. Figura 3.12: Índice de cantidades de Bradstreet-Dûtot para os carburantes ao longo de 2021. Capítulo 4 Análise do mercado enerxético en España Tras traballar ao longo da revisión bibliográca, principalmente, co caso do prezo dos carburantes en España durante 2021 (xunto co exemplo dos xoguetes), examinarase agora outro tema que presenta certa importancia neste país: a enerxía. A razón do tratamento deste tema está motivada polo feito de que a enerxía é un elemento moi presente no noso día a día, pois a enerxía forma parte de practicamente todo o que nos rodea. Por isto é que se escolle este tema sobre outros. Ademais, ten a vantaxe de contar cunha gran cantidade de datos, algo indispensable para facer un estudo exhaustivo. A súa vez, trataranse de introducir os comandos utilizados ao longo do traballo, extraídos de librería de R IndexNumber([32])(pode consultarse máis sobre esta libraría no link https: //cran.r-project.org/web/packages/IndexNumber/index.html ). Os datos que se van utilizar foron tomados directamente da páxina web ocial da Rede Eléctrica de España ( https://www.ree.es/es ). Nesta páxina pódese obter multitude de información acerca da enerxía en España, xa sexa da súa xeración, da súa demanda ou dos seus intercambios con distintos países. 4.1. Prezos da electricidade Deste modo, primeiro falarase dos prezos da electricidade da rede eléctrica española dende xaneiro de 2014 ata abril de 2022, de maneira mensual. Debido ao gran volume de información dispoñible, esta non será mostrada aínda que si é consultable no link da páxina web ocial da rede eléctrica de España, xa mencionado anteriormente. Traballarase con grácas que resuman 33 34 4. Análise do mercado enerxético en España a información de xeito conciso. Así, presentaranse inicialmente os prezos que tivo a electricidade dende 2014 ata abril de 2022. Como se pode observar, os prezos comezan en 2014 en torno aos 50e/MW h , e, continúan esta tendencia ata aproximadamente mediados de 2021, onde os prezos da electricidade se disparan ata superar os 250e/MW h . Xa en abril do 2022 semella que empeza unha pequena baixada de prezos tras a inmensa subida. Saberase isto a medida que pase o tempo. Vemos isto na Figura 4.1. Figura 4.1: Prezos da electricidade en España dende 2014 ata abril de 2022. Así, observaranse os números índice en serie relativos a este conxunto de datos, tomando como base o prezo de xaneiro de 2014. Obviamente, a Figura 4.2, será moi similar á dos números índices, pois nela pódense apreciar as subidas e baixadas que se verán na seguinte gráca. Desta maneira, a gráca dos números índice en serie dos prezos da electricidade é: Figura 4.2: Números índice simples en serie do prezo da electricidade en España dende 2014 ata abril de 2022. Como se comentou antes, pódese observar aquí mellor cal é a variación porcentual sufrida nos prezos. Se un se xa na gráca, vese que chega a medrar máis dun 400% dende 2014, 4.1. Prezos da electricidade 35 concretamente, chega a ser un 482.72% superior á inicial en marzo de 2022. Ademais, a suba é moi súbita, pois aproximadamente a principios de 2021, os prezos son similares aos de 2014, e é no propio ano 2021, no que se produce este crecemento de ata un 400%. Para a obtención da gráca dos números índices simples en serie úsase o comando da librería IndexNumber: index.number.serie( ) Tratarase agora, polo tanto, para ver mellor estas variacións puntuais, coa gráca dos números índices en cadea. Esta permitirá ter un maior coñecemente inmediato do que sucede co prezo de electricidade ao longo dos anos do estudo. A gráca está na Figura 4.3. Figura 4.3: Números índice simples en cadea do prezo da electricidade en España dende 2014 ata abril de 2022. Vese así o xa exposto. Cómo hai un maior crecemento nos últimos anos. Así, pódese ver que chega a haber ata un 40% de crecemento no prezo dun mes a outro no 2021. A pesar disto, é certo que hai baixadas puntuais grandes, como a de febreiro de 2020 (intre 85 aproximadamente) cercana a un 50% ou a de abril de 2022, superior a un 30%. Para obter a gura dos números simples en cadea, aplícase o comando: index.number.chain( ) 36 4. Análise do mercado enerxético en España 4.2. A enerxía de peche Analizarase agora a enerxía de peche en MWh no período 2014-2022 . Entendemos como enerxía de peche a enerxía total utilizada durante un período de tempo. A evolución desta mesma vese na Figura 4.4. Figura 4.4: Enerxía de peche en España dende 2014 ata abril de 2022. Apréciase máis ou menos unha tendencia crecente constante, aínda que é certo que nas últimas etapas existe un lixeiro decrecemento. Nótese, tamén, a variación que produce a aparición da COVID-19 e a correspondente corentena, marcada na gráca cun punto vermello, pois reduce en gran cantidade a enerxía de peche. Isto pódese apreciar mellor nos números índice simples en cadea. En cambio, se se atende aos números índices simples en serie, temos a Gráca 4.4. Figura 4.5: Números índice en serie da enerxía de peche en España dende 2014 ata abril de 2022. Como vemos, nos períodos máis recentes, a enerxía de peche é menor, é máis, no intre máis recente estamos falando que é algo máis que un 10% menor do que era en xaneiro de 2014. 4.3. Demanda de certas comunidades 37 Tratarase agora a gráca dos números índice simples en cadea na Figura 4.6. Figura 4.6: Números índice en cadea da enerxía de peche en España dende 2014 ata abril de 2022. Cabe mencionar que se pode ver de maneira perfecta a baixada producida pola COVID-19 coma se comentaba antes. Pódese apreciar, de feito, que esta é dun 15%, a máis notable de todas as do gráco. 4.3. Demanda de certas comunidades Tras estudar o prezo da electricidade e a enerxía de peche, é conveniente estudar a demanda, máis concretamente a demanda b.c. que deduce os consumos en bombeo e as exportacións. Escolleranse as comunidades autónomas de Galicia e de Andalucía, e traballarase con elas como conxunto, de maneira que así se poida introducir no noso estudo os números índice complexos. A Figura 4.7 recolle a demanda enerxética de Galicia e a Figura 4.8 a correspondente de Andalucía. Figura 4.7: Demanda enerxética de Galicia dende xaneiro de 2014 ata xaneiro de 2022. 38 4. Análise do mercado enerxético en España Figura 4.8: Demanda enerxética de Andalucía dende xaneiro de 2014 ata xaneiro de 2022. Se se atende á información, mentres os datos de Galicia mantéñense relativamente constantes ata a chegada da COVID-19, onde se pode ver unha gran baixada seguida dunha tímida recuperación, os de Andalucía teñen unha lixera tendencia alcista, sen contar a baixada, producida de novo, pola COVID-19. Estudaranse agora os datos no seu conxunto. Para isto, usaranse os números índices complexos, empezando polos números índices complexos non ponderados. O índice de Sauerbeck (Expresión 3.1.1) para os nosos datos, será o da Figura 4.9, e conseguirase grazas ao comando: aggregated.index.number(base=serie, type=arithmetic) Figura 4.9: Índice de Sauerbeck de Galicia e Andalucía dende xaneiro de 2014 ata xaneiro de 2022. Se se presta atención, o conxunto en xeral, remata cunha tendencia descendente en canto á 4.3. Demanda de certas comunidades 39 demanda. Nótese, tamén aquí, o efecto da pandemia. Calcularase agora o índice de Jevons, co comando: aggregated.index.number(base=chain, type=Jevons) Estudarase a evolucion inmediata do conxunto. A Figura 4.10 detalla a serie correspondente. Figura 4.10: Índice de Jevons de Galicia e Andalucía dende xaneiro de 2014 ata xaneiro de 2022. Pódese tamén, apreciar mellor aquí o efecto da pandemia que, como xa se viu, produciu un descenso superior a un 10%. En canto ao maior crecemento, prodúcese ao nal do 2020, froito desta contracción pola pandemia. Adentrémonos agora cos números índices complexos ponderados. Para a ponderación úsase a xeración total de enerxía en MWh por autonomía. Por comunidades, a Figura 4.11 detalla a xeración enerxética de Galicia, e a Figura 4.12 a de Andalucía. Figura 4.11: Xeración enerxética de Galicia dende xaneiro de 2014 ata xaneiro de 2022. 40 4. Análise do mercado enerxético en España Figura 4.12: Xeración enerxética de Andalucía dende xaneiro de 2014 ata xaneiro de 2022. Como se pode apreciar, a xeración de Galicia presenta unha tendencia descendente, mentras tanto, a de Andalucía, todo o contrario, pois, aínda a pesar da pandemia, presenta un repunte nos últimos datos. Tras presentar os datos das ponderacións, traballaranse entón os números índices complexos ponderados. A Figura 4.13 representa gracamente a evolución de acordo co índice de Laspeyres: laspeyres.index.number( ) Figura 4.13: Índice de Laspeyres da demanda enerxética de Galicia e Andalucía dende xaneiro de 2014 ata xaneiro de 2022. Que, como se pode apreciar, non hai unha gran diferencia cos índices complexos non ponderados expostos anteriormente. Estudemos agora o índice de Paasche mediante a Figura 4.14, co comando: 4.3. Demanda de certas comunidades 41 paasche.index.number( ) Figura 4.14: Índice de Paasche da demanda enerxética de Galicia e Andalucía dende xaneiro de 2014 ata xaneiro de 2022. Que, como vemos, varía un pouco con respecto aos anteriores. Especialmente observamos esta diferenza nos meses nais seleccionados para o estudo. Por último, sería interesante observar que sucede co índice de Marshalll-Edgewort, co comando: edgeworth.index.number( ) e tamén o índice de Fisher, que se obtén co comando: sher.index.number( ) Os resultados destas funcións ao ser usadas sobre o conxunto dos nosos datos resultan nas Figuras 4.15 e 4.16.