Análise matemática dalgúns modelos de cuantificador borroso

Traballo Fin de Grao Análise matemática dalgúns modelos de cuantificador borroso Mariña Canabal Juanatey 2020–2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA GRAO EN MATEMÁTICAS Traballo Fin de Grao Análise matemática dalgúns modelos de cuantificador borroso Mariña Canabal Juanatey 2020–2021 UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA Traballo proposto Área de Coñecemento: Análise Matemática Título: Análise matemática dalgúns modelos de cuantificador borroso Breve descrición do contido Multitude de fenómenos reais están suxeitos a factores imprecisos, que non poden ser expresados de xeito exacto e requiren do emprego de variables e conxuntos borrosos. Así, a predición da evolución dos mencionados fenómenos estará vinculada necesariamente ao emprego de expresións imprecisas que, na linguaxe natural, se corresponden con enunciados que inclúen termos como “bastante”, “moitos”, “pouco”, “normalmente”, “case todo”, “case sempre”, “con frecuencia”, etc. Os números borrosos son, entón, un mecanismo esencial para poder describir esta imprecisión. Dende o punto de vista matemático, un número borroso é unha función definida nun certo espazo base con valores no intervalo [0,1], que permite asignar a cada elemento do dominio un grao de pertenza a un certo conxunto, expresando o grao de certeza dunha afirmación. Un dos problemas fundamentais que xorde á hora de determinar o grao de veracidade dunha expresión como as anteriores referida a un conxunto de datos é que o valor deste grao de certeza depende do modelo de cuantificación que se empregue, podendo ofrecer un resultado que non sexa representativo da realidade dos datos. Isto está relacionado coas propiedades matemáticas do modelo escollido. Neste traballo, proponse estudar en detalle as propiedades matemáticas de diferentes modelos de cuantificador borroso. iii Índice xeral Resumo vii Introdución ix 1. Preliminares 1 1.1. Conxuntosborrosos................................. 2 1.2. Operacións con conxuntos borrosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1. T-normas .................................. 6 1.2.2. T-conormas................................. 8 1.2.3. Negaciónsestritas ............................. 9 1.2.4. Dualidade.................................. 10 1.2.5. Implicacións borrosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Númerosborrosos.................................. 15 2. A cuantificación borrosa 19 2.1. O marco tradicional de Zadeh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. O cardinal dun conxunto borroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1. Cardinais escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2. Cardinais borrosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. Modelos de cuantificación borrosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.1. ModelodeZadeh.............................. 32 2.3.2. Familia de modelos G........................... 33 3. Propiedades dos modelos de cuantificación borrosa 37 3.1. Propiedades..................................... 38 v vi ÍNDICE XERAL 3.2. Discusión ...................................... 45 3.2.1. ModelodeZadeh.............................. 45 3.2.2. Familia de modelos G........................... 47 4. Conclusións e posibles ampliacións 57 A. Código en Python dos modelos estudados 59 Bibliografía 71 Resumo Multitude de fenómenos reais están suxeitos a factores imprecisos, que non poden ser expresados de xeito exacto e requiren do emprego de variables e conxuntos borrosos. Así, a predición da evolución dos mencionados fenómenos estará vinculada necesariamente ao emprego de expresións imprecisas que, na linguaxe natural, se corresponden con enunciados que inclúen termos como “bastante”, “moitos”, “pouco”, “normalmente”, “case todo”, “case sempre”, “con frecuencia”, etc. Os números borrosos son, entón, un mecanismo esencial para poder describir esta imprecisión. Dende o punto de vista matemático, un número borroso é unha función definida nun certo espazo base con valores no intervalo [0,1], que permite asignar a cada elemento do dominio un grao de pertenza a un certo conxunto, expresando o grao de certeza dunha afirmación. Un dos problemas fundamentais que xorde á hora de determinar o grao de veracidade dunha expresión como as anteriores referida a un conxunto de datos, é que o valor deste grao de certeza depende do modelo de cuantificación que se empregue, podendo ofrecer un resultado que non sexa representativo da realidade dos datos. Isto está relacionado coas propiedades matemáticas do modelo escollido. Neste traballo, proponse estudar en detalle as propiedades matemáticas de diferentes modelos de cuantificador borroso. Abstract Many real phenomena are subject to imprecise factors, which cannot be expressed exactly and require the use of fuzzy variables and sets. Thus, the prediction of the evolution of these phenomena will necessarily be linked to the use of imprecise expressions that, in natural language, correspond to statements that include terms such as ‘quite’, ‘many’, ‘little’, ‘normally’, ‘almost everything’, ‘almost always’, ‘frequently’, etc. Fuzzy numbers are then an essential mechanism for being able to describe this inaccuracy. From a mathematical point of view, a vii 4CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Observación 1.6.Nótese que todo conxunto borroso é un subconxunto borroso de si mesmo e do conxunto universal. Definición 1.7 (Igualdade).Sexan dous conxuntos borrosos ˜ A, ˜ B⊆X. Diremos que ˜ Ae˜ B son iguais, escribindo ˜ A=˜ B, cando ˜ A⊆˜ Be˜ B⊆˜ A, é dicir, se se cumpre que: µ˜ A(x) = µ˜ B(x),∀x∈X. Definición 1.8 (Conxunto de partes borrosas).Oconxunto de partes borrosas dun conxunto nítido X, denotado por ˜ P(X), é o conxunto nítido formado por todos os subconxuntos borrosos de X. Observación 1.9.De agora en diante, escribiremos ˜ A∈˜ P(X)para indicar, de xeito máis breve, que ˜ Aé un subconxunto borroso do conxunto universal X. Definamos agora unha serie de conceptos fundamentais relacionados cos conxuntos borrosos que serán de grande utilidade en capítulos posteriores. Definición 1.10 (α-cortes).Dado ˜ A∈˜ P(X)eα∈[0,1], definimos un α-corte de ˜ A, que denotaremos ˜ Aα, como o conxunto nítido formado polos elementos de Xque presentan grao de pertenza a ˜ Amaior ou igual que α, é dicir: ˜ Aα:= {x∈X|µ˜ A(x)≥α}. O conxunto nítido formado polos elementos de Xque teñen grao de pertenza a ˜ Amaior que αdenomínase α-corte estrito de ˜ Aα, e notarémolo como ˜ Aα+: ˜ Aα+:= {x∈X|µ˜ A(x)> α}. Definición 1.11 (Soporte).Sexa ˜ A∈˜ P(X), definimos o seu soporte, que denotaremos Supp( ˜ A), como o conxunto nítido formado polos elementos de Xque teñen grao de pertenza a˜ Aestritamente maior que 0, é dicir, o 0-corte estrito de ˜ A: Supp(˜ A) := {x∈X|µ˜ A(x)>0}. Definición 1.12 (Núcleo).Sexa ˜ A∈˜ P(X), definimos o seu núcleo, que denotaremos Core( ˜ A), como o conxunto nítido formado polos elementos de Xque teñen grao de pertenza a˜ Aigual a 1, é dicir, o 1-corte de ˜ A: Core(˜ A) := {x∈X|µ˜ A(x) = 1}. Definición 1.13 (Altura).Dado ˜ A∈˜ P(X), definimos a súa altura, que denotaremos h(˜ A), da seguinte forma: h(˜ A) = sup x∈X µ˜ A(x). 1.2. OPERACIÓNS CON CONXUNTOS BORROSOS 5 Na figura 1.2, atopamos representados o núcleo, o soporte, un α-corte e a altura dun conxunto borroso ˜ A. Figura 1.2: Atributos dun conxunto borroso ˜ A. Finalmente, definimos o concepto de normalidade. Definición 1.14 (Conxunto borroso normal).Diremos que ˜ A∈˜ P(X)énormal se o seu núcleo contén algún elemento, é dicir, se algún elemento de Xten grao de pertenza a ˜ Aigual a1. 1.2. Operacións con conxuntos borrosos Na Teoría de Conxuntos, defínense tres operacións fundamentais: a intersección, a unión e o complementario. Estes conceptos poderíanse xeneralizar facilmente para os conxuntos borrosos facendo uso das súas funcións de pertenza do seguinte xeito. Dados ˜ A, ˜ B∈˜ P(X), poderíamos definir a intersección de ambos, ˜ A∩˜ B, a unión de ambos, ˜ A∪˜ B, e o complementario de ˜ A, ˜ Ac, como os conxuntos borrosos caracterizados polas seguintes funcións de pertenza: µ˜ A∩˜ B(x) = m´ın µ˜ A(x), µ ˜ B(x),∀x∈X, µ˜ A∪˜ B(x) = m´ax µ˜ A(x), µ ˜ B(x),∀x∈X, µ˜ Ac(x)=1−µ˜ A(x),∀x∈X. Os tres operadores anteriores coñécense como operadores estándar dos conxuntos borrosos. Non obstante, é ben sabido que non son os únicos que xeneralizan os conceptos de intersección, unión e complementario entre dous conxuntos borrosos. En realidade, para cada un deles, existe unha familia de operadores caracterizada por unha serie de axiomas, de forma que tamén supoñan unha xeneralización das operacións clásicas. Estes operadores que representan a intersección, unión e complementario entre conxuntos borrosos coñécense como T-normas, T-conormas enegacións estritas, respectivamente. 6CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Como estas operacións non teñen unha representación única, será elixido un ou outro operador en función de cal é a máis apropiado para cada aplicación. Daquela, non só as funcións de pertenza dos conxuntos borrosos poden ser dependentes do contexto, senón que tamén o serán os operadores escollidos para representar a intersección, unión e complementario de dous conxuntos borrosos. 1.2.1. T-normas Neste epígrafe presentamos as T-normas, a familia de operadores que utilizaremos para modelar a intersección entre conxuntos borrosos. Definición 1.15 (T-norma).Unha T-norma é unha función T: [0,1] ×[0,1] →[0,1] que cumpre as seguintes condicións: (1) Té conmutativa, i.e., T(x, y) = T(y, x), para todo x,y∈[0,1]. (2) Té asociativa, i.e., T(x, T (y, z)) = T(T(x, y), z), para todo x, y, z ∈[0,1]. (3) Té monótona crecente, i.e., se x,y∈[0,1] son tales que x≤y, entón T(z, x)≤T(z, y) para todo z∈[0,1]. (4) Tcumpre a condición de fronteira T(x, 1) = T(1, x) = xpara todo x∈[0,1]. Observación 1.16.Nótese que o cumprimento das condicións (1) e (3) implican que Ttamén é monótona crecente na segunda variable. Así mesmo, as condicións (1), (3) e (4) esixen que T(x, 0) = T(0, x)=0para todo x∈[0,1], xa que: T(x, 0) ≤T(1,0) = 0 ⇒T(x, 0) = T(0, x)=0. A continuación, móstranse exemplos das T-normas máis utilizadas como intersección de conxuntos borrosos. Exemplo 1.17. En todos os casos seguintes, a comprobación de que se trata de T-normas é trivial: 1. Intersección estándar: m´ın (x, y). 2. Produto alxébrico: Prod (x, y) := x·y. 3. Operación de Lukasiewicz: W(x, y) := m´ax (0, x +y−1). 4. Produto drástico: Z(x, y) :=          xse y= 1, yse x= 1, 0noutro caso. A representación gráfica das T-normas anteriores móstrase na figura 1.3. 1.2. OPERACIÓNS CON CONXUNTOS BORROSOS 7 (a) Intersección estándar (b) Produto alxébrico (c) Operación de Lukasiewicz (d) Produto drástico Figura 1.3: Exemplos de T-normas. Na figura 1.3, podemos observar que, dados x, y ∈[0,1], o produto drástico sempre alcanza un valor menor ou igual que o resto de T-normas, mentres que o valor para a intersección estándar é sempre maior ou igual. En xeral, dados x, y ∈[0,1], vai suceder que o valor alcanzado por calquera T-norma vai estar comprendido entre o valor tomado por estes dous operadores. Formalicemos este resultado co seguinte teorema. Teorema 1.18. Dados x, y ∈[0,1], cúmprese que Z(x, y)≤T(x, y)≤m´ın (x, y) para calquera T-norma T. Demostración. Dados x, y ∈[0,1], polas condicións (3) e (4) da definición 1.15, temos que T(x, y)≤T(x, 1) = x. Ademais, utilizando as condicións anteriores xunto coa condición (1), sabemos que T(x, y) = T(y, x)≤T(y, 1) = y. Polo tanto, cúmprese que T(x, y)≤xe T(x, y)≤y, e, entón, T(x, y)≤m´ın (x, y). Para a cota inferior, se y= 1, utilizando a condición (4) temos que T(x, y) = x≥Z(x, y) = x. Se x= 1, pola mesma condición anterior temos que T(x, y) = y≥Z(x, y) = y. Noutro caso, como T(x, y)∈[0,1],T(x, y)≥0≥Z(x, y) = 0. 8CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 1.2.2. T-conormas Para modelar a unión entre conxuntos borrosos faremos uso dunha familia de operadores coñecidos como T-conormas, os cales definimos a continuación. Definición 1.19 (T-conorma).Unha T-conorma é unha función C: [0,1] ×[0,1] →[0,1] que satisfai as seguintes condicións: (1) Cé conmutativa, i.e., C(x, y) = C(y, x)para todo x, y ∈[0,1]. (2) Cé asociativa, i.e., C(x, C (y, z)) = C(C(x, y), z)para todo x, y, z ∈[0,1]. (3) Cé monótona crecente, i.e., se x, y ∈[0,1] son tales que x≤y, entón C(z, x)≤C(z, y) para todo z∈[0,1]. (4) Ccumpre a condición de fronteira C(x, 0) = C(0, x) = xpara todo x∈[0,1]. Observación 1.20.De xeito análogo ao que acontecía coas T-normas, as condicións da definición anterior implican que Cé monótona crecente tamén na segunda variable e que cumpre C(x, 1) = C(1, x)=1para todo x∈[0,1]. Os exemplos que veñen deseguido son algunhas das T-conormas máis utilizadas na práctica como unión de conxuntos borrosos. Exemplo 1.21. Igual que no caso da intersección, a proba de que os seguintes operadores pertencen á familia das T-conormas é trivial: 1. Unión estándar: m´ax (x, y). 2. Suma-produto: Sum(x, y) := x+y−x·y. 3. Operación dual de Lukasiewicz: W∗(x, y) := m´ın (1, x +y). 4. Suma drástica: Z∗(x, y) :=          xse y= 0, yse x= 0, 1noutro caso. A representación gráfica dos operadores anteriores móstrase na figura 1.4: Analogamente ao que sucedía no caso das T-normas, dados x, y ∈[0,1], o valor de calquera T-conorma vai estar comprendido entre o valor que alcanza o operador m´ax e o valor de Z∗. Vexámolo no seguinte teorema. Teorema 1.22. Dados x, y ∈[0,1], cúmprese que m´ax (x, y)≤C(x, y)≤Z∗(x, y) para calquera T-conorma C. 1.2. OPERACIÓNS CON CONXUNTOS BORROSOS 9 Demostración. Omítese pola súa total analoxía coa proba do teorema 1.18. (a) Unión estándar (b) Suma alxébrica (c) Operación dual de Lukasiewicz (d) Suma drástica Figura 1.4: Exemplos de T-conormas. 1.2.3. Negacións estritas Neste epígrafe, abordamos os operadores que utilizaremos para modelar o complementario dun conxunto borroso, as negacións estritas. Definición 1.23 (Negación estrita).Definimos a negación estrita como unha función N: [0,1] →[0,1] que satisfai as seguintes condicións: (1) Né monótona decrecente, i.e., se x, y ∈[0,1] son tales que x≤y, entón N(y)≤N(x). (2) Ncumpre as condicións de fronteira N(0) = 1 eN(1) = 0. (3) Né involutiva, i.e., N(N(x)) = xpara todo x∈[0,1]. Vexamos agora os exemplos máis comúns de negacións estritas utilizados na práctica. Exemplo 1.24. Existen dúas familias de negacións estritas amplamente utilizadas para calcular o complementario dun conxunto borroso: 10 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 1. Negacións de Sugeno: Nλ(x) = 1−x 1+λx, con λ > −1, para todo x∈[0,1]. 2. Negacións de Yager: Nω(x) = (1 −xω)1 ω, con ω > 0, para todo x∈[0,1]. No caso das negacións de Yager, a proba de que pertencen á familia das negacións estritas é moi sinxela, polo que a omitiremos. Para as negacións de Sugeno, a comprobación das condicións (2) e (3) da definición 1.23 tamén é trivial. Para probar a condición (1), supoñamos que x, y ∈[0,1] son tales que x≤y. Agora, se λ > −1, temos que: N0 λ(x) = −1−λx −λ+λx (1 + λx)2=−1−λ (1 + λx)2<0. Daquela, Nλé monótona decrecente en [0,1]. A figura 1.5 mostra a representación dalgunhas destas funcións para distintos valores de λe de ω. λ =-0.9 λ =0 λ =-0.5 λ =2 λ =10 1 1 0 0 𝑁𝑁 𝜆𝜆 (a) Negacións de Sugeno. 𝜔=5 𝜔=1 𝜔=2 𝜔=0.5 𝜔=0.25 1 1 0 0 𝑁𝜔 (b) Negacións de Yager. Figura 1.5: Exemplos de negacións estritas. En particular, o complementario estándar non é máis que un exemplo das negacións de Sugeno tomando λ= 0 e das negacións de Yager tomando ω= 1, polo que de aquí en diante notarémolo como N0. 1.2.4. Dualidade Na Teoría de Conxuntos, as operacións de intersección e unión son duais respecto do complementario, no sentido de que satisfán as leis de De Morgan, é dicir, dados dous conxuntos nítidos AeB, cúmprese que: (A∩B)c= (Ac)∪(Bc)e(A∪B)c= (Ac)∩(Bc). 1.2. OPERACIÓNS CON CONXUNTOS BORROSOS 11 Para os conxuntos borrosos, esta dualidade só se dará para certas combinacións de T-normas, T-conormas e negacións estritas. Definición 1.25 (Dualidade).Dise que unha T-norma Te unha T-conorma Cson duais respecto a unha negación estrita Nse, para todo x, y ∈[0,1], cumpren as condicións: N(T(x, y)) = C(N(x), N (y)) eN(C(x, y)) = T(N(x), N (y)) . Cando TeCsexan duais respecto de N, diremos que hT, C, Nié unha 3-tupla de De Morgan. Exemplo 1.26. Os operadores estándar, m´ın,m´ax eN0, forman unha 3-tupla de De Morgan. En efecto, podemos tomar, sen perda de xeneralidade, x, y ∈[0,1] tales que x≤y, entón: m´ax (N0(x), N0(y)) = N0(x) = N0(m´ın (x, y)) e m´ın (N0(x), N0(y)) = N0(y) = N0(m´ax (x, y)) . Nos seguintes teoremas, construiremos un mecanismo para obter, dada unha T-norma e unha negación estrita, unha T-conorma dual e, dada unha T-conorma e unha negación estrita, unha T-norma dual. Teorema 1.27. Dadas unha T-norma Te unha negación estrita N, o operador binario C: [0,1] ×[0,1] →[0,1] definido por: C(x, y) = N(T(N(x), N (y))) para todo x, y ∈[0,1] é unha T-conorma, de forma que hT, C, Nié unha 3-tupla de De Morgan. Demostración. Vexamos que Ccumpre as condicións da definición 1.19: (1) A conmutatividade de Cdedúcese da de T. En efecto, para todo x, y ∈[0,1]: C(x, y) = N(T(N(x), N (y))) = N(T(N(y), N (x))) = C(y, x). (2) Utilizando que Té asociativa e Ninvolutiva, temos que, para todo x, y, z ∈[0,1]: C(x, C (y, z)) = N(T(N(x), N (C(y, z)))) =N(T(N(x), N (N(T(N(y), N (z)))))) =N(T(N(x), T (N(y), N (z)))) = N(T(T(N(x), N (y)) , N (z))) =N(T(N(N(T(N(x), N (y)))) , N (z))) = C(C(x, y), z). (3) Dados x, y, z ∈[0,1], con y≤z, temos que N(y)≥N(z)por ser Nmonótona decrecente. Ademais, por ser Tmonótona crecente, entón T(N(x), N (y)) ≥T(N(x), N (z)). Polo tanto, N(T(N(x), N (y))) ≤N(T(N(x), N (z))). 12 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES (4) Usando que Né involutiva, N(0) = 1 e a condición de fronteira de T, temos que, para todo x∈[0,1]: C(x, 0) = N(T(N(x), N (0))) = N(T(N(x),1)) = N(N(x)) = x. Agora, pola definición de Ce utilizando que Né involutiva, temos que, para todo x, y ∈[0,1], hT, C, Nié unha 3-tupla de De Morgan: N(C(x, y)) = N(N(T(N(x), N (y)))) = T(N(x), N (y)) e C(N(x), N (y)) = N(T(N(N(x)) , N (N(y)))) = N(T(x, y)) . Teorema 1.28. Dada unha T-conorma Ce unha negación estrita N, o operador binario T: [0,1] ×[0,1] →[0,1], definido por: T(x, y) = N(C(N(x), N (y))) para todo x, y ∈[0,1], é unha t-norma, de forma que hT, C, Nié unha 3-tupla de De Morgan. Demostración. As condicións (1), (2) e (3) da definición 1.15 cúmprense e a súa proba é totalmente análoga á do teorema1.27. Agora, utilizando que Né involutiva, N(1) = 0 e a condición de fronteira de C, temos que, para todo x∈[0,1]: T(x, 1) = N(C(N(x), N (1))) = N(C(N(x),0)) = N(N(x)) = x, polo que a condición (4) tamén se cumpre. Finalmente, pola propia definición de Te utilizando que Né involutiva, temos que, para todo x, y ∈[0,1],hT, C, Nié unha 3-tupla de De Morgan: N(T(x, y)) = N(N(C(N(x), N (y)))) = C(N(x), N (y)) e T(N(x), N (y)) = N(C(N(N(x)) , N (N(y)))) = N(C(x, y)) . 1.2.5. Implicacións borrosas Para rematar co estudo das operacións entre conxuntos borrosos, ademais da intersección, unión e complementario, imos introducir unha nova familia de operadores, as implicacións borrosas, que representarán o grao de inclusión dun conxunto borroso noutro conxunto borroso. Definición 1.29 (Implicación borrosa).Defínese unha implicación borrosa como unha función I: [0,1] ×[0,1] →[0,1] que satisfai as seguintes condicións: (1) Ié monótona decrecente na primeira variable, i.e., se x, y, z ∈[0,1] son tales que x≤y, entón I(x, z)≥I(y, z). 1.2. OPERACIÓNS CON CONXUNTOS BORROSOS 13 (2) Ié monótona crecente na segunda variable, i.e., se x, y, z ∈[0,1] son tales que y≤z, entón I(x, y)≤I(x, z). (3) Icumpre as condicións de fronteira I(1,0) = 0, I(0,0) = I(1,1) = 1. Deseguido, introducimos os casos particulares máis habituais de implicacións borrosas, a familia das S-implicacións e a familia das R-implicacións, definidas a partir dunha T-conorma e unha negación estrita, e dunha T-norma, respectivamente. Definición 1.30 (S-implicación).Definimos a S-implicación asociada á T-conorma Ce á negación estrita N, como o operador binario IC,N : [0,1] ×[0,1] →[0,1] dado por: IC,N (x, y) = C(N(x), y)para todo x, y ∈[0,1]. Proposición 1.31. Unha S-implicación é unha implicación borrosa. Demostración. Sexa IC,N (x, y) = C(N(x), y)para todo x, y ∈[0,1] unha S-implicación. Vexamos que se cumpren as tres condicións da definición 1.29. En primeiro lugar, sexan x, z ∈[0,1] tales que x≤z. Entón, N(x)≥N(z)por ser N monótona decrecente e, por ser Cmonótona crecente, C(N(x), y)≥C(N(z), y), logo IC,N é monótona decrecente na primeira variable. Ademais, por ser Cmonótona crecente, IC,N tamén o é na segunda variable. Finalmente, as condicións de fronteira cúmprense: IC,N (1,0) = C(N(1),0) = C(0,0) = 0, IC,N (0,0) = C(N(0),0) = C(1,0) = 1 e IC,N (1,1) = C(N(1),1) = C(0,1) = 1. Facendo uso dalgunhas das T-conormas vistas anteriormente e da complementario estándar, vexamos algúns exemplos de S-implicacións. Exemplo 1.32. Se Né o complementario estándar e Ca unión estándar, a suma-produto e a operación dual de Lukasiewicz, respectivamente, obtemos as seguintes S-implicacións: 1. Implicación de Kleene-Dienes: Im´ax,N0(x, y) := m´ax (1 −x, y). 2. Implicación de Reichenbach: ISum,N0(x, y) := 1 −x+x·y. 3. Implicación de Lukasiewicz: IW,N0(x, y) := m´ın(1 −x+y, 1). A representación gráfica das S-implicacións anteriores móstrase na figura 1.6: 20 CAPÍTULO 2. A CUANTIFICACIÓN BORROSA frecuentemente, de cando en vez, moitos de, etc.” como exemplos dos relativos. Zadeh aclara que existen cuantificadores que poden ser clasificados como dun ou outro tipo dependendo do contexto no que se atopen. A aproximación que propón Zadeh comeza por identificar a semántica asociada a un cuantificador lingüístico cun número borroso. Máis concretamente, un cuantificador borroso absoluto será un número borroso Qabs con función de pertenza µQabs :R+∪{0} → [0,1] e un cuantificador borroso relativo será un número borroso Qrel con función de pertenza µQrel : [0,1] →[0,1]. Vexamos a continuación dous exemplos concretos da representación dun cuantificador borroso absoluto e dun cuantificador borroso relativo mediante números borrosos. Exemplo 2.1. Consideremos a frase “arredor de 10 alumnos da clase sacaron boa nota no exame”, onde a expresión “arredor de 10” representa unha cantidade absoluta con límites ambiguos, é dicir, un cuantificador borroso absoluto. Polo tanto, seguindo o marco que propón Zadeh para a cuantificación borrosa, é posible modelar esta expresión mediante un número borroso µQabs :R+∪ {0} → [0,1], que se podería definir como se mostra a continuación: µQabs (x) =            x−7 3se 7≤x≤10, 13 −x 3se 10 ≤x≤13, 0noutro caso. Nótese que se trata do número borroso triangular Qabs = (10,3,3), o cal se representa na figura 2.1(a). Exemplo 2.2. Consideremos agora a frase “sobre o 70-80 % do alumnado vive preto da facultade”. A expresión “sobre o 70-80 %” é unha cantidade relativa que presenta vaguidade, polo que se trata dun cuantificador borroso relativo. Seguindo a aproximación de Zadeh, é posible identificalo mediante un número borroso µQrel : [0,1] →[0,1], que podería ser definido como se mostra deseguido: µQrel (x) =              x−0.6 0.1se 0.6≤x≤0.7, 1se 0.7≤x≤0.8, 0.9−x 0.1se 0.8≤x≤0.9, 0noutro caso. Neste caso, a expresión anterior coincide co número borroso trapezoidal Qrel = (0.7,0.8,0.1,0.1), que atopamos representado na figura 2.1(b). 2.1. O MARCO TRADICIONAL DE ZADEH 21 (a) Qabs =“arredor de 10”. (b) Qrel =“sobre o 70-80 %”. Figura 2.1: Representación de dous cuantificadores borrosos. Ademais do cuantificador, as sentenzas cuantificadas inclúen outros dous elementos de interese de cara a avaliar a veracidade da mesma. Por unha banda, atopamos o conxunto de elementos ao que fai referencia o cuantificador e que se afirma que cumpre unha certa característica, o cal denominaremos conxunto referencial. Será sempre un conxunto nítido e finito, que notaremos como E={e1, e2, ... , en}, onde né o número de elementos que o conforman. Como exemplos de referenciais podemos pensar nos estudantes dunha clase, nos habitantes dun país, nos días dunha semana, nos concellos de Galicia, etc. Por outra banda, temos as cualidades ou características que a sentenza afirma que existen no conxunto referencial. Normalmente, estas están asociadas a cualidades imprecisas, polo que serán representadas mediante conxuntos borrosos, que denominaremos argumentos. Exemplos de argumentos poderían ser cualidades como ser novo, presentar unha incidencia baixa de coronavirus nos últimos sete días, ter unha temperatura máxima alta, ser de cor escura, etc. Tendo en conta estes tres elementos clave das sentenzas cuantificadas, imos realizar unha simplificación do problema clasificándoas en dous posibles grupos: frases de tipo Ie frases de tipo II. As frases de tipo Iseguen o esquema “Qde Eson ˜ A”, mentres que as de tipo II responden a “Qde (˜ DE)son ˜ A”, sendo Qun cuantificador borroso (absoluto ou relativo), E o conxunto referencial e ˜ Ae˜ Dos argumentos. Obsérvense os seguintes exemplos: Ambos tipos de frases definidos admiten tanto cuantificadores borrosos absolutos como relativos, polo que estamos dividindo o problema en catro subtipos. No capítulo seguinte, veremos que un bo comportamento teórico do modelo de cuantificación implicará que a avaliación de 22 CAPÍTULO 2. A CUANTIFICACIÓN BORROSA sentenzas cuantificadas se poida restrinxir ás frases de tipo Icon cuantificadores borrosos absolutos e ás frases de tipo II con cuantificadores borrosos relativos, xa que é desexable que os dous casos restantes se poidan transformar nunha destas dúas combinacións. Para Zadeh, un modelo de cuantificación consiste nun método que nos permita combinar os cuantificadores borrosos cos argumentos da sentenza, de forma que se obteña unha medida da veracidade da sentenza cuantificada. Denotaremos a esta medida como grao de verdade ou grao de certeza, e será un número real pertencente ao intervalo [0,1], de xeito que, canto máis preto de 1estea, máis se axustará a sentenza cuantificada á realidade dos datos. O procedemento habitual nas aproximacións que seguen o marco de Zadeh consiste en buscar unha medida para representar o cardinal dos argumentos sobre o referencial e atopar o grao de compatibilidade desta medida co cuantificador borroso. Daquela, unha cuestión importante á hora de estudar os modelos de cuantificación borrosa será determinar as posibles formas de calcular o cardinal dun conxunto borroso. Na seguinte sección, trataremos este tema con detalle. Observación 2.3.Para obter o grao de certeza dunha sentenza cuantificada, será necesario avaliar os argumentos da mesma sobre o conxunto referencial. Para iso, se ˜ A∈P(X)é un argumento, precisamos dunha función m:E−→ X, denominada función de medida de Een X, que asigne a cada elemento e∈Eo seu valor en X. Na práctica, se o conxunto referencial está formado por estudantes dunha clase e ˜ Arepresenta a cualidade de ser novo, mserá a función que identifica a cada persoa coa súa idade. É dicir, para obter o grao de pertenza dos elementos do referencial ao conxunto borroso que representa o argumento da sentenza, utilizaremos a seguinte composición: E X [0,1] em(e)µ˜ A(m(e)). mµ˜ A Cómpre notar que, se unha sentenza cuantificada contén máis dun argumento, ambos farán referencia ao mesmo conxunto E, pero as funcións de medida para cada un poderían ser diferentes, xa que os conxuntos borrosos que os representan non teñen por que estar definidos no mesmo universo do discurso. Por exemplo, na sentenza “arredor da metade dos xogadores novos son altos”, os argumentos “ser novo” e“ser alto” fan referencia ao mesmo conxunto de xogadores, E, pero o universo do primeiro estará formado por posibles idades dos xogadores, polo que terá asociada unha medida mque identifique a cada xogador coa súa idade, mentres que o universo do segundo estará constituído por valores de estatura, de forma que terá asociada unha medida m0que identifique a cada xogador coa súa estatura. De aquí en diante, cando teñamos dous argumentos ˜ Ae˜ Dque estean definidos sobre universos diferentes, que notaremos XeX0, terá sentido realizar operacións entre eles (como ˜ A∩˜ Dou 2.2. O CARDINAL DUN CONXUNTO BORROSO 23 ˜ A∪˜ D), xa que ambos conxuntos borrosos están sendo avaliados sobre o mesmo conxunto E a través das funcións de medida. Malia todo o exposto nesta observación, no que segue omitiremos as funcións de medida e escribiremos directamente µ˜ A(e)entendendo que nos referimos en realidade a µ˜ A(m(e)), sendo eun elemento de Eema medida correspondente ao argumento ˜ A. 2.2. O cardinal dun conxunto borroso Os conxuntos nítidos clasifican ao referencial en dous grupos ben diferenciados: os elementos que pertencen a el e os que non. Deste xeito, calcular a súa cardinalidade non é máis que contar o número de elementos que pertencen a dito conxunto. É posible formalizar este concepto de cardinal clásico facendo uso da función característica, tal e como se mostra na seguinte definición. Definición 2.4 (Cardinal clásico).Sexa A∈P(X)un conxunto nítido, definimos o cardinal de Asobre E,|A|E, como segue: |A|E:= X e∈E χA(e). Ademais, é posible definir o cardinal relativo dun conxunto nítido con respecto a outro conxunto nítido como a proporción de elementos do segundo que se atopan no primeiro. Definición 2.5 (Cardinal relativo clásico).Sexan A∈P(X)eD∈P(X0)dous conxuntos nítidos avaliados sobre o mesmo referencial Etales que |D|E6= 0. Definimos o cardinal relativo de Arespecto a Dsobre E,|A/D|E, como segue: |A/D|E:= |A∩D|E |D|E . En caso de que |D|E= 0, definimos |A/D|E= 0. No entanto, cando se trata dun conxunto borroso, a pertenza dun elemento ao conxunto exprésase cun grao entre 0 e 1, polo que determinar o seu cardinal xa non resulta tan intuitivo. Como consecuencia, existen diferentes propostas por parte de varios autores para medir a cardinalidade dun conxunto borroso, estendendo dalgún xeito razoable o cardinal clásico. As aproximacións máis comúns para o cálculo do cardinal dun conxunto borroso son os cardinais escalares e os cardinais borrosos, que trataremos nos seguintes epígrafes. No que resta de capítulo, consideraremos que ˜ A∈˜ P(X)e˜ D∈˜ P(X0)representan dous conxuntos borrosos avaliados sobre o mesmo referencial E={e1, ... , en}a través das respectivas funcións de medida. Ademais, cando non haxa lugar a confusión, omitiremos o referencial nas notacións dos cardinais, supoñendo que se trata de E. 24 CAPÍTULO 2. A CUANTIFICACIÓN BORROSA 2.2.1. Cardinais escalares Os cardinais escalares tratan de estender o concepto de cardinal dun conxunto nítido asignando unha medida escalar á cardinalidade dun conxunto borroso. Aínda que na bibliografía (por exemplo, en [10]) podemos atopamos outras propostas por parte de autores como Ralescu, Wygralak ou Dubois e Prade, a máis coñecida é a denominada PCount, introducida por Zadeh en [27] e que definimos a continuación. Definición 2.6 (Cardinal PCount).Definimos o cardinal PCount de ˜ Asobre Eda seguinte forma: XCount(˜ A) := X e∈E µ˜ A(e).(2.1) Ademais, é posible estender esta medida para expresar a proporción de elementos dun conxunto borroso que se atopan noutro conxunto borroso. Definición 2.7 (Cardinal PCount relativo).Se Pe∈Eµ˜ D(e)6= 0, definimos o cardinal PCount relativo de ˜ Ae˜ Dsobre Eda seguinte forma: XCount(˜ A/ ˜ D) := PCount(˜ A∩˜ D) PCount(˜ D)=P e∈E m´ın µ˜ A(e), µ ˜ D(e) P e∈E µ˜ D(e).(2.2) En caso de que Pe∈Eµ˜ D(e)=0, definimos PCount(˜ A/ ˜ D)=0. Exemplo 2.8. Sexa E={e1, e2, e3}o referencial e consideremos os conxuntos borrosos ˜ A={(0.5, e1),(0.8, e2),(1, e3)}e˜ D={(1, e1),(0.7, e2),(0.2, e3)}. O cardinal PCount de ˜ A sobre EéPCount(˜ A)=2.3e o cardinal PCount relativo de ˜ Ae˜ Dsobre Eé: XCount(˜ A/ ˜ D) = 0.5+0.7+0.2 1.9=1.4 1.9≈0.74. Esta medida é das máis coñecidas e utilizadas para o cálculo do cardinal dun conxunto borroso, debido principalmente á súa simplicidade e á súa reducida complexidade computacional. Así e todo, os cardinais escalares presentan importantes inconvenientes. Unha das principais críticas é o seu comportamento acumulativo, no que afondaremos no seguinte capítulo, que provoca que un número grande de elementos con pequenos graos de pertenza alcancen o mesmo cardinal que un pequeno número de elementos con alto grao de pertenza ao conxunto. En xeral, estas medidas escalares supoñen unha perda de información sobre o cardinal dos conxuntos borrosos a cambio dunha medida sinxela e fácil de manexar. Como consecuencia das limitacións que presentan, xorden os cardinais borrosos, que tratamos deseguido. 2.2. O CARDINAL DUN CONXUNTO BORROSO 25 2.2.2. Cardinais borrosos Moitos autores consideran que a cardinalidade dun conxunto borroso debe ser expresada por outro conxunto borroso definido nos enteiros non negativos. Aínda que existen moitas máis definicións, a continuación recollemos algúns dos cardinais borrosos amplamente utilizados. Cardinal Zde Zadeh En [26], Zadeh introduciu a súa primeira proposta para a definición dun cardinal borroso, coñecido como Zde Zadeh. Esta medida baséase no cardinal dos α-cortes do propio conxunto borroso. Definición 2.9 (Cardinal Zde Zadeh).Definimos o cardinal borroso Zde Zadeh de ˜ Asobre Ecomo o conxunto borroso caracterizado pola seguinte función de pertenza: µZ:Z+∪ {0} −→ [0,1] k7−→ µZ(k) =    0se @α:|˜ Aα|E=k, sup α∈[0,1] {α:|˜ Aα|E=k}noutro caso. (2.3) Por ser máis axeitada para os nosos propósitos, utilizaremos a notación Z(˜ A, k)en lugar de µZ(k)para todo k∈Z+∪ {0}. Exemplo 2.10. Sexan E={e1, e2, e3}o referencial e ˜ A={(0.5, e1),(0.8, e2),(1, e3)}un conxunto borroso. O cardinal Zde Zadeh de ˜ Asobre Ecalcúlase como segue: Z(˜ A, 0) = 0; Z(˜ A, 1) = 1; Z(˜ A, 2) = 0.8; Z(˜ A, 3) = 0.5; Z(˜ A, k)=0para todo k > 3. Esta primeira medida non verificaba algunhas propiedades matemáticas do cardinal clásico que Zadeh consideraba relevantes, polo que definiu un segundo cardinal borroso en [27], coñecido como FECount. Ademais, partindo dende distintos enfoques, outros autores como Ralescu [17] e Wygralak [23] chegaron a unha formulación equivalente desta mesma medida de cardinalidade. Cardinal FECount de Zadeh Previo á definición de FECount, Zadeh introduciu a medida F GCount que definimos a continuación. Definición 2.11 (Cardinal FGCount).Definimos o cardinal F GCount de ˜ Asobre Ecomo o conxunto borroso caracterizado pola seguinte función de pertenza: µFGCount :Z+∪ {0} −→ [0,1] k7−→ µF GCount(k) =    0se @α:|˜ Aα|E≥k, sup α∈[0,1] {α:|˜ Aα|E≥k}noutro caso. 26 CAPÍTULO 2. A CUANTIFICACIÓN BORROSA onde µFGCount(k)pode interpretarse como o grao de certeza da proposición “o conxunto ˜ A contén, polo menos, kelementos de E”. Observación 2.12.Supoñamos que o conxunto {µ˜ A(ei), ei∈E}está ordenado de forma decrecente, sendo indiferente a orde en caso de graos de pertenza iguais, e notemos por akao k-ésimo valor deste conxunto. Entón, definindo a0:= 1 eak:= 0 para k > n, é sinxelo comprobar que µFGCount(k) = akpara todo k∈Z+∪ {0}. Definición 2.13 (Cardinal FECount).Definimos o cardinal FECount de ˜ Asobre Ecomo o conxunto borroso caracterizado pola seguinte función de pertenza: µFECount :Z+∪ {0} −→ [0,1] k7−→ µF ECount(k) = m´ın µF GCount(k),1−µF GCount(k+ 1),(2.4) onde µFECount(k)pode interpretarse como o grao de certeza da proposición “O conxunto ˜ A contén exactamente kelementos de E”. Notaremos FECount(˜ A, k)en lugar de µFECount(k) para todo k∈Z+∪ {0}. Exemplo 2.14. Seguindo co exemplo anterior, onde ˜ A={(0.5, e1),(0.8, e2),(1, e3)}, o cardinal FECount de ˜ Asobre Ecalcúlase como segue: FECount(˜ A, 0) = m´ın µFGCount(0),1−µF GCount(1)= m´ın(1,0) = 0; FECount(˜ A, 1) = m´ın µFGCount(1),1−µF GCount(2)= m´ın(1,0.2) = 0.2; FECount(˜ A, 2) = m´ın µFGCount(2),1−µF GCount(3)= m´ın(0.8,0.5) = 0.5; FECount(˜ A, 3) = m´ın µFGCount(3),1−µF GCount(4)= m´ın(0.5,1) = 0.5; FECount(˜ A, k) = 0 para todo k > 3. Familia de cardinais E En [10], realízase unha xeneralización do cardinal FECount de Zadeh introducindo a familia de cardinais borrosos E. Para iso, é necesario primeiro definir o cardinal L, que non é máis que unha xeneralización da medida FGCount dada previamente por Zadeh. Definición 2.15 (Cardinal L).Definimos o cardinal Lde ˜ Asobre Ecomo o conxunto borroso caracterizado pola seguinte función de pertenza: µL:Z+∪ {0} −→ [0,1] k7−→ µL(k) =          1se k= 0, 0se k > n, L (i1,...,ik)∈Ikµ˜ A(ei1) ···  µ˜ A(eik),se 1≤k≤n, (2.5) onde Ik={(i1, ... , ik)|i1< i2<··· < ikcon ij∈ {1, ... , n}para todo j∈ {1, ... , k}e⊕e son unha T-conorma e unha T-norma, respectivamente. 2.2. O CARDINAL DUN CONXUNTO BORROSO 27 Definición 2.16 (Familia de cardinais E).Definimos o cardinal Ede ˜ Asobre Ecomo o conxunto borroso caracterizado pola seguinte función de pertenza: µE:Z+∪ {0} −→ [0,1] k7−→ µE(k) = µL(k)µL(k+ 1),(2.6) onde unha T-norma e µL(k+ 1) representa unha negación estrita de µL(k+1). Utilizaremos a notación E(˜ A, k)en lugar de µE(k)para todo k∈Z+∪ {0}. A expresión (2.6) define unha familia de cardinalidades borrosas, xerada a partir dunha T-norma e unha T-conorma en (2.5) e dunha T-norma e unha negación estrita en (2.6). Proposición 2.17. O cardinal borroso FECount é un membro da familia E. Demostración. Consideremos os operadores m´ın em´ax como T-norma e T-conorma, respectivamente, en (2.5). Dado que toda T-norma é monótona crecente en ambos argumentos, o maior valor de m´ın µ˜ A(ei1), ... , µ ˜ A(eik)para (i1, ... , ik)∈Ik, con Ikexpresado como na definición 2.15 e 1≤k≤n, obterase para os kmaiores valores de µ˜ Ae será o menor destes valores, o cal denominábamos ak. Tomando agora de novo o m´ın como T-norma e o complementario estándar como negación estrita en (2.6), obtemos o cardinal FECount. A definición dun dos modelos de cuantificación nos que nos centraremos na seguinte sección baséase no cardinal ED, un membro da familia Eque introducimos a continuación. Definición 2.18 (Cardinal ED).Definimos o cardinal ED de ˜ Asobre Ecomo o conxunto borroso caracterizado pola seguinte función de pertenza: µED :Z+∪ {0} −→ [0,1] k7−→ µED(k) = ak−ak+1,(2.7) onde akestá definido como na observación 2.12 para todo k∈Z+∪ {0}. Notaremos ED(˜ A, k) en lugar de µED(k)para todo k∈Z+{0}. Exemplo 2.19. Continuando co mesmo exemplo, onde ˜ A={(0.5, e1),(0.8, e2),(1, e3)}, o cardinal ED de ˜ Asobre Ecalcúlase como segue: ED(˜ A, 0) = 1 −1 = 0; ED(˜ A, 1) = 1 −0.8=0.2; ED(˜ A, 2) = 0.8−0.5 = 0.3; ED(˜ A, 3) = 0.5−0=0.5; ED(˜ A, k) = 0 para todo k > 3. Proposición 2.20. O cardinal borroso ED é un membro da familia E. Demostración. O cardinal ED obtense tomando os operadores m´ax em´ın como T-conorma eT-norma, respectivamente, en (2.5) e utilizando a complementario estándar como negación estrita e a operación de Lukasiewicz Wcomo T-norma na expresión (2.6). 28 CAPÍTULO 2. A CUANTIFICACIÓN BORROSA Proposición 2.21. O cardinal ED cumpre que Pn k=0 ED(˜ A, k) = 1 para todo conxunto borroso ˜ A∈˜ P(X). Demostración. Sexa ˜ A∈˜ P(X), entón: n X k=0 ED(˜ A, k)=(a0−a1)+(a1−a2) + ··· + (an−1−an)+(an−an+1) = a0−an+1 = 1. Cardinais borrosos relativos Logo de coñecer algúns cardinais borrosos, o seguinte paso debería ser introducir as correspondentes medidas de cardinalidade borrosa relativas. O concepto de cardinal relativo será fundamental para a avaliación de sentenzas cuantificadas de tipo II. Aínda que non houbo moitos intentos de xeneralizar o cardinal relativo clásico a un conxunto borroso, destacan as definicións dos cardinais ES eER [10], que tratamos a continuación. Ata que se indique o contrario, neste epígrafe imos supoñer que ˜ Dé un conxunto borroso normal. Esta restrición vén obrigada porque, de non selo, teríamos |˜ D1|= 0, e nese caso os cardinais ES eER de ˜ Arespecto a ˜ Dnon estarían definidos, como veremos deseguido. Cando non o sexa, realizaremos unha normalización dividindo os graos de pertenza de ˜ De de ˜ A∩˜ D polo factor nf(˜ D) := m´axe∈Eµ˜ D(e). Antes de introducir os cardinais ES eER, cómpre dar algunhas definicións previas. Definición 2.22. Definimos os seguintes conxuntos nítidos: M(˜ A) := {µ˜ A(ei) : ei∈E}∪{1}e (2.8) M(˜ A/ ˜ D) := M(˜ A∩˜ D)∪M(˜ D),(2.9) onde a intersección entre conxuntos borrosos modélase mediante unha T-norma. Escribiremos, sen perda de xeneralidade, M(˜ A/ ˜ D) = {α1, ... , αm}verificando que: 1 = α1> α2>··· > αm> αm+1 = 0 . Definición 2.23. Dado α∈M(˜ A/ ˜ D), denotaremos por C(˜ A/ ˜ D, α)ao seguinte valor: C(˜ A/ ˜ D, α) := |(˜ A∩˜ D)α| |˜ Dα|∈[0,1] ∩Q.(2.10) Definición 2.24. Denotaremos por CR(˜ A/ ˜ D)ao seguinte conxunto nítido: CR(˜ A/ ˜ D) := {C(˜ A/ ˜ D, α) : α∈M(˜ A/ ˜ D)}.(2.11) 2.2. O CARDINAL DUN CONXUNTO BORROSO 29 Definición 2.25 (Cardinal relativo ES).O cardinal relativo ES de ˜ Arespecto a ˜ Dsobre E é o conxunto borroso caracterizado pola seguinte función de pertenza: µES : [0,1] −→ [0,1] c7−→ µES (c) = (m´ax α∈M(˜ A/ ˜ D) : c=C(˜ A/ ˜ D, α)se c∈CR(˜ A/ ˜ D), 0noutro caso. (2.12) Utilizaremos a notación ES(˜ A/ ˜ D, c)en lugar de µES(c)para todo c∈[0,1]. Exemplo 2.26. Sexan E={e1, e2, e3}o referencial e ˜ A={(0.5, e1),(0.8, e2),(1, e3)}e ˜ D={(1, e1),(0.7, e2),(0.2, e3)}. Logo, considerando a función m´ın como T-norma, tense que M(˜ A∩˜ D) = {0.7,0.5,0.2}, M(˜ D) = {1,0.7,0.2}eM(˜ A/ ˜ D) = {1,0.7,0.5,0.2}. Entón: C(˜ A/ ˜ D, 1) = 0; C(˜ A/ ˜ D, 0.7) = 0.5; C(˜ A/ ˜ D, 0.5) = 1; C(˜ A/ ˜ D, 0.2) = 1, polo que CR(˜ A/ ˜ D) = {0,0.5,1}. Finalmente, o cardinal relativo ES de ˜ Arespecto a ˜ Dsobre Ecalcúlase como segue: ES(˜ A/ ˜ D, 0) = 1; ES(˜ A/ ˜ D, 0.5) = 0.7; ES(˜ A/ ˜ D, 1) = m´ax(0.5,0.2) = 0.5; ES(˜ A/ ˜ D, c)=0noutro caso. Proposición 2.27. Sexa Dun conxunto nítido avaliado sobre Etal que |D|=pe consideremos ED={e∈E:µD(e) = 1}. Entón, ES ˜ A/D, k p=ZED(˜ A, k)para k∈ {0, ... , p}. Demostración. En primeiro lugar, temos que M(˜ A/D) = M(˜ A)∪ {1}. Ademais, |Dα|=p para todo α∈M(˜ A/D), polo que CR(˜ A/D) = n|˜ Aα| p:α∈M(˜ A/D)o. Das definicións 2.9 e 2.25, séguese o resultado. Definición 2.28 (Cardinal relativo ER).O cardinal relativo ER de ˜ Arespecto a ˜ Dé o conxunto borroso definido no intervalo [0,1] caracterizado pola seguinte función de pertenza: µER : [0,1] −→ [0,1] c7−→ µER(c) = X C(˜ A/ ˜ D,αi)=c (αi−αi+1).(2.13) Notaremos ER(˜ A/ ˜ D, c)en lugar de µER(c)para todo c∈[0,1]. Exemplo 2.29. Seguindo o exemplo anterior, o cardinal relativo ER de ˜ Arespecto a ˜ Dsobre Ecalcúlase como segue: ER(˜ A/ ˜ D, 0) = 1 −0.7=0.3; ER(˜ A/ ˜ D, 0.5) = 0.7−0.5=0.2; ER(˜ A/ ˜ D, 1) = (0.5−0.2) + (0.2−0) = 0.5; ER(˜ A/ ˜ D, c)=0noutro caso. Proposición 2.30. Sexa Dun conxunto nítido avaliado sobre Etal que |D|=pe consideremos ED={e∈E:µD(e) = 1}. Entón, ER ˜ A/D, k p=EDED(˜ A, k)para k∈ {0, ... , p}. 36 CAPÍTULO 2. A CUANTIFICACIÓN BORROSA Observación 2.51.Substituíndo na expresión (2.30) a definición de ER2, é sinxelo ver que unha formulación alternativa para GD2Qrel (˜ A/ ˜ D)é a seguinte: 1 nf(˜ D)X (αi,βj)∈M2( ˜ A/ ˜ D) (αi−αi+1)·(βj−βj+1)·µQ(C2( ˜ A/ ˜ D, αi, βj)). Exemplo 2.52. Sendo E, ˜ A, ˜ DeQcomo nos exemplos anteriores e utilizando os resultados obtidos no exemplo 2.36, o grao de certeza da sentenza de tipo II “gran parte dos bos xogadores do equipo son altos” segundo o modelo GD2é: GD2Q(˜ A)=0.25 ·µQ(0) + 0.04 ·µQ1 3+ 0.15 ·µQ1 2+ 0.06 ·µQ2 3+ 0.5·µQ(1) = 0.54. Capítulo 3 Propiedades dos modelos de cuantificación borrosa Como vimos na sección 2.3, existen distintos modelos de cuantificación borrosa e cada un deles pode responder a un esquema diferente. Para avaliar e comparar o comportamento que presentan, no sentido de que se obteñan resultados coherentes e apropiados, varios autores propuxeron unha serie de propiedades matemáticas que todo modelo debería satisfacer. Neste capítulo, comezaremos enumerando ditas propiedades, para logo discutir o seu cumprimento por parte dos modelos estudados anteriormente. Cómpre destacar que a adecuación dun modelo de cuantificación a un contexto dado non require, necesariamente, que se satisfagan todas as propiedades propostas. É posible que algunhas delas non resulten de interese para o campo de aplicación do modelo ou que o cumprimento dunha propiedade supoña unha contradición con algunha restrición do dominio de aplicación, por exemplo. Antes de continuar, fixemos a notación que manteremos ao longo deste capítulo. Notación 3.1.Consideraremos, como ata o de agora, que ˜ A∈˜ P(X)e˜ D∈˜ P(X0)son dous conxuntos borrosos avaliados sobre o mesmo referencial E={e1, ... , en}e que Qé un cuantificador borroso. Entón, denotaremos por ΓQ(˜ A)ao resultado da avaliación mediante un modelo de cuantificación borrosa da sentenza cuantificada de tipo I“Qde Eson ˜ A”e por ΓQ(˜ A/ ˜ D)ao resultado da avaliación da frase de tipo II “Qde (˜ DE)son ˜ A”. Notación 3.2.Utilizaremos a notación ∃para referirnos ao cuantificador borroso relativo que representa a expresión “algún” e ∀para o cuantificador borroso relativo “todos”. As definicións máis habituais para as súas funcións de pertenza son as seguinte: µ∃: [0,1] −→ [0,1] µ∀: [0,1] −→ [0,1] x7−→ µ∃(x) = (0se x= 0, 1se x6= 0.x7−→ µ∀(x) = (0se x6= 1, 1se x= 1. 37 38 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES DOS MODELOS DE CUANTIFICACIÓN BORROSA Se non se especifica o contrario, utilizaremos as expresións anteriores para estes cuantificadores, as cales se coñecen como as súas definicións usuais. Porén, outras definicións máis “relaxadas”, de forma que os conxuntos definidos non resulten nítidos, poderían ser interesantes para certas aplicacións. 3.1. Propiedades Nesta sección, presentamos o conxunto de propiedades matemáticas seleccionadas para avaliar o comportamento dun modelo de cuantificación borrosa. Algunhas delas representan casos nos que o resultado da avaliación se coñece intuitivamente, mentres que outras responden a requirimentos relacionados coa utilidade práctica dos modelos. As dúas primeiras propiedades, enunciadas deseguido, establecen a forma na que o modelo induce os operadores entre conxuntos (T-norma, T-conorma, negación estrita e implicación borrosa), de xeito que sexan coherentes coa definición dos cuantificadores ∃e∀. Propiedade 1 (Operadores inducidos).Se E={e}, debe ocorrer que: Γ∃(˜ A/ ˜ D) = µ˜ D(e)µ˜ A(e),(3.1) Γ∀(˜ A/ ˜ D)=[µ˜ D(e)g−→ µ˜ A(e)],(3.2) onde representa unha T-norma e g−→ unha implicación borrosa. Estes operadores denomínanse operadores inducidos. Propiedade 2 (Coherencia coa lóxica).Se eg−→ representan a T-norma e a implicación borrosa inducidas na propiedade anterior, respectivamente, e ⊕é unha T-conorma tal que  e⊕son duais respecto dalgunha negación estrita, debe cumprise que: Γ∃(˜ A) = n M k=1 µ˜ A(ek),(3.3) Γ∀(˜ A) = n K k=1 µ˜ A(ek),(3.4) Γ∃(˜ A/ ˜ D) = n M k=1 (µ˜ D(ek)µ˜ A(ek)),(3.5) Γ∀(˜ A/ ˜ D) = n K k=1 (µ˜ D(ek)g−→µ˜ A(ek)).(3.6) No capítulo anterior, diferenciamos catro casos posibles para as sentenzas cuantificadas, como resultado de combinar os cuantificadores absolutos e relativos coa distinción entre as frases de tipo Ie as de tipo II. O cumprimento das dúas propiedades seguintes garanten que o noso 3.1. PROPIEDADES 39 estudo se pode restrinxir ás frases de tipo Icon cuantificadores borrosos absolutos e ás de tipo II cos relativos, xa que, de acordo coa intuición, as dúas combinacións restantes poden converterse nunha destas dúas combinacións conservando o significado. Propiedade 3 (Transformación absoluto-relativo).Sexa Qabs un cuantificador borroso absoluto e Qrel un cuantificador borroso relativo tales que µQrel x n=µQabs (x),para todo x∈[0, n]. Entón, a avaliación de frases de tipo Idebe cumprir que: ΓQabs (˜ A)=ΓQrel (˜ A).(3.7) Propiedade 4 (Transformación tipo I−tipo II).Debe cumprirse que: ΓQabs (˜ A/ ˜ D)=ΓQabs (˜ A∩˜ D)e(3.8) ΓQ(˜ A/E)=ΓQ(˜ A),(3.9) onde a intersección ˜ A∩˜ Dse modela mediante unha T-norma. Nótese que (3.8) non se cumpre cando o cuantificador é relativo. Por exemplo, a frase “case todos os nenos morenos da clase teñen os ollos de cor escura” ten un significado ben distinto ao de “case todos os nenos da clase son morenos e teñen os ollos de cor escura”. A utilización dun cuantificador relativo nunha frase como a primeira, “case todos” está a representar a cantidade de rapaces de ollos escuros que hai na clase en relación aos que son morenos, e non en relación a todos os rapaces da clase. O cumprimento de (3.9) permitiranos centrar o estudo unicamente nas frases de tipo II, xa que demostra que as frases de tipo Inon son máis ca un caso particular cando a propiedade ˜ Dé cumprida para todo o referencial con grao 1. A seguinte propiedade é unha das máis relevantes neste contexto, xa que establece que o modelo se comporte como é de esperar no caso en que os argumentos sexan conxuntos nítidos. Propiedade 5 (Xeneralización correcta).Sexan AeDdous conxuntos nítidos avaliados sobre Etales que |D| 6= 0. Debe cumprirse que: ΓQabs (A) = µQabs (|A|),(3.10) ΓQrel (A) = µQrel |A| |E|,(3.11) ΓQabs (A/D) = µQabs (|D∩A|)e(3.12) ΓQrel (A/D) = µQrel |D∩A| |D|.(3.13) 40 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES DOS MODELOS DE CUANTIFICACIÓN BORROSA A propiedade enunciada deseguido garante a monotonía no resultado da avaliación respecto ao cuantificador. Intuitivamente, supón que, se un cuantificador Q1é máis restritivo que outro Q2, debe ser máis difícil verificar unha sentenza con Q1que con Q2. Propiedade 6 (Monotonía respecto ao cuantificador).Sexa I⊆Run intervalo e consideremos Q1, Q2∈˜ P(I)dous cuantificadores borrosos tales que Q1⊆Q2. Entón, debe cumprirse que: ΓQ1(˜ A)≤ΓQ2(˜ A),(3.14) ΓQ1(˜ A/ ˜ D)≤ΓQ2(˜ A/ ˜ D).(3.15) Outra propiedade de suma importancia é a continuidade respecto aos argumentos. Por unha banda, todo o proceso está sometido a erros de medida, de forma que a descontinuidade do modelo podería ocasionar avaliacións radicalmente diferentes dunha mesma situación. Por outra, pode resultar difícil de interpretar que dúas situacións con diferenzas non significativas produzan resultados distintos. Non obstante, cómpre destacar que, para certas aplicacións, pode resultar de interese que dúas situacións moi próximas sexan claramente distinguidas. Antes de enunciar a propiedade de continuidade, é preciso introducir a definición de distancia entre dous conxuntos borrosos e entre dúas duplas de conxuntos borrosos. Definición 3.3. Sexan ˜ A, ˜ A0∈˜ P(X)dous conxuntos borrosos avaliados sobre E. Definimos adistancia de ˜ Aa˜ A0,dI˜ A, ˜ A0, como segue: dI˜ A, ˜ A0:= m´ax e∈Eµ˜ A(e)−µ˜ A0(e). Se, ademais, ˜ D, ˜ D0∈˜ P(X0)son dous conxuntos borrosos tamén avaliados sobre E, definimos adistancia de (˜ A, ˜ D)a(˜ A0,˜ D0),dII (˜ A, ˜ D),(˜ A0,˜ D0), como segue: dII (˜ A, ˜ D),(˜ A0,˜ D0):= m´ax m´ax e∈Eµ˜ A(e)−µ˜ A0(e),m´ax e∈Eµ˜ D(e)−µ˜ D0(e). Lema 3.4. Se ˜ A, ˜ A0∈˜ P(X)e˜ D, ˜ D0∈˜ P(X0)son conxuntos borrosos avaliados sobre o mesmo referencial E,dIedII definen unha distancia en ˜ P(X)e˜ P(X)ט P(X0), respectivamente. Demostración. Sexan ˜ A, ˜ A0,˜ A00 ∈˜ P(X)e˜ D, ˜ D0,˜ D00 ∈˜ P(X0)conxuntos borrosos avaliados sobre o mesmo referencial E. Vexamos que dII satisfai o seguinte: 1. Carácter definido positivo: dII (˜ A, ˜ D),(˜ A0,˜ D0)= m´ax m´ax e∈Eµ˜ A(e)−µ˜ A0(e),m´ax e∈Eµ˜ D(e)−µ˜ D0(e)≥0, 3.1. PROPIEDADES 41 dII (˜ A, ˜ D),(˜ A0,˜ D0)= 0 ⇐⇒ m´ax e∈Eµ˜ A(e)−µ˜ A0(e)= m´ax e∈Eµ˜ D(e)−µ˜ D0(e)= 0 ⇐⇒ µ˜ A(e) = µ˜ A0(e)eµ˜ D(e) = µ˜ D0(e)para todo e∈E ⇐⇒ ˜ A=˜ A0e˜ D=˜ D0⇐⇒ (˜ A, ˜ D)=(˜ A0,˜ D0). 2. Simetría: dII (˜ A, ˜ D),(˜ A0,˜ D0)= m´ax m´ax e∈Eµ˜ A(e)−µ˜ A0(e),m´ax e∈Eµ˜ D(e)−µ˜ D0(e) = m´ax m´ax e∈Eµ˜ A0(e)−µ˜ A(e),m´ax e∈Eµ˜ D0(e)−µ˜ D(e) =dII (˜ A0,˜ D0),(˜ A, ˜ D). 3. Desigualdade triangular: en primeiro lugar, aplicando a desigualdade triangular do valor absoluto en Re a monotonía do máximo obtemos: m´ax e∈Eµ˜ A(e)−µ˜ A00 (e)= m´ax e∈Eµ˜ A(e)−µ˜ A0(e) + µ˜ A0(e)−µ˜ A00 (e) ≤m´ax e∈Eµ˜ A(e)−µ˜ A0(e) | {z } u + m´ax e∈Eµ˜ A0(e)−µ˜ A00 (e) | {z } v . Analogamente: m´ax e∈Eµ˜ D(e)−µ˜ D00 (e)≤m´ax e∈Eµ˜ D(e)−µ˜ D0(e) | {z } w + m´ax e∈Eµ˜ D0(e)−µ˜ D00 (e) | {z } z . Ademais, u+v, w +z≤m´ax(u, w) + m´ax(v, z). Logo: dII (˜ A, ˜ D),(˜ A00,˜ D00)≤m´ax(u+v, w +z)≤m´ax(u, w) + m´ax(v, z) =dII (˜ A, ˜ D),(˜ A0,˜ D0)+dII (˜ A0,˜ D0),(˜ A00,˜ D00). A comprobación de que dIé unha distancia en Xé a mesma, considerando que ˜ D=˜ D0. Propiedade 7 (Continuidade respecto aos argumentos).Sexan ˜ A∈˜ P(X),˜ D∈˜ P(X0)dous conxuntos borrosos avaliados sobre o mesmo referencial E. Para a continuidade con respecto aos argumentos na avaliación de sentenzas de tipo I, dado εI>0, debe existir δI>0tal que, para todo ˜ A0∈˜ P(X), se dI(˜ A, ˜ A0)< δI, entón: ΓQ(˜ A)−ΓQ(˜ A0)< εI.(3.16) Analogamente, para sentenzas de tipo II, dado εII >0, debe existir δII >0tal que, para todo ˜ A0∈˜ P(X),˜ D0∈˜ P(X0)dous conxuntos borrosos tamén avaliados sobre E, se dII (˜ A, ˜ D),(˜ A0,˜ D0)< δII, entón: ΓQ(˜ A/ ˜ D)−ΓQ(˜ A0/˜ D0)< εII.(3.17) 42 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES DOS MODELOS DE CUANTIFICACIÓN BORROSA As tres seguintes propiedades que imos enunciar están relacionadas cun concepto lingüístico fundamental: a negación. Na sección 1.2, definimos o complementario dun conxunto borroso ˜ A∈˜ P(X),˜ Ac, que tamén denominaremos negación externa de ˜ A. Na linguaxe natural, o complementario adoita obterse antepoñendo a partícula “non” ao concepto orixinal. A continuación, definimos outros dous tipos de negacións para os conxuntos borrosos: o antónimo ou negación interna e o dual. Definición 3.5 (Antónimo).Sexa X= [a, b]e˜ A∈˜ P(X). Definimos o antónimo ou negación interna de ˜ A,˜ Aant, mediante a función de pertenza dada pola expresión: µ˜ Adual (x) = µ˜ Aant (x) = µ˜ A(b−x),para todo x∈X. Como é de esperar, na linguaxe natural isto tradúcese no antónimo do concepto orixinal. Nótese que, a diferenza do complementario, se ben sempre se vai poder obter a función de pertenza do antónimo dun conxunto borroso, non sempre se poderá atopar un termo lingüístico que se adecúe a ela. Definición 3.6 (Dual).Sexa X= [a, b]e˜ A∈˜ P(X). Definimos o dual de ˜ A,˜ Adual, como o antónimo de ˜ Ac, que vén dado pola función de pertenza: µ˜ Acant (x) = N(µ˜ A(b−x)),para todo x∈X. Observación 3.7.Notemos que a definición do dual dun conxunto borroso ˜ Atamén se corresponde co complementario de ˜ Aant. Ilustremos estes tres conceptos relacionados coas negacións mediante un exemplo. Exemplo 3.8. Consideremos o cuantificador borroso relativo ∀coa definición usual. Se utilizamos o complementario estándar como negación estrita, o complementario, o antónimo, e o dual, defínense coas funcións de pertenza µ∀c, µ∀ant , µ∀dual : [0,1] −→ [0,1] dadas polas expresións: µ∀c(x)=(1se x6= 1, 0se x= 1,µ∀ant (x) = (1se x= 0, 0se x6= 0,µ∀dual (x) = (0se x= 0, 1se x6= 0. Estes tres conxuntos representan o significado das expresións “non todos”, “ningún” e “algún”, respectivamente. Na figura 3.1, móstranse todas as relacións de negacións que existen entre estes catro cuantificadores lingüísticos. Estamos xa en condicións de enunciar as tres seguintes propiedades relacionadas cos tres tipos vistos de negación. 3.1. PROPIEDADES 43 Figura 3.1: Relacións entre os cuantificadores “todos”, “non todos”, “ningún” e “algún”. Propiedade 8 (Negación externa).Se Qé un cuantificador borroso e Qco seu complementario, debe cumprirse o seguinte: ΓQ(˜ A) = NΓQc(˜ A),(3.18) ΓQ(˜ A/ ˜ D) = NΓQc(˜ A/ ˜ D),(3.19) sendo Nunha negación estrita. Propiedade 9 (Negación interna).Se Qé un cuantificador borroso e Qant o seu antónimo, debe cumprirse o seguinte: ΓQ(˜ A)=ΓQant (˜ Ac),(3.20) ΓQ(˜ A/ ˜ D)=ΓQant (˜ Ac/˜ D).(3.21) Propiedade 10 (Dualidade).Se Qé un cuantificador borroso, Qant o seu antónimo e Qco seu complementario, do cumprimento simultáneo das dúas propiedades anteriores, dedúcese o seguinte: ΓQant (˜ Ac) = NΓQc(˜ A),(3.22) ΓQant (˜ Ac/˜ D) = NΓQc(˜ A/ ˜ D),(3.23) sendo Nunha negación estrita. O incumprimento dalgunha das tres propiedades anteriores ten consecuencias importantes na avaliación de sentenzas cuantificadas. Para ilustrar este posible impacto, poñamos por exemplo as tres frases seguintes, cuxo significado é o mesmo: 1. “Ningún neno moreno da clase ten os ollos dunha cor escura”. 2. “Non é certo que algún neno moreno da clase teña os ollos dunha cor escura”. 3. “Todos os nenos morenos da clase teñen os ollos dunha cor non escura”. Se un modelo non cumpre a propiedade de negación externa, a avaliación das frases 1e2 podería ofrecer un resultado radicalmente diferente. O mesmo ocorrería coas frases 2e3se o 44 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES DOS MODELOS DE CUANTIFICACIÓN BORROSA modelo non cumprise a propiedade de negación interna e coas frases 1e3se non satisfai a dualidade. Porén, as tres sentenzas son semanticamente equivalentes. A derradeira propiedade garántenos que, se podemos descompoñer un cuantificador borroso noutros dous mediante unha T-norma, será posible obter o resultado da avaliación dunha sentenza con ese cuantificador a partir dos resultados das avaliacións cos cuantificadores nos que se descompón. Antes de enunciar dita propiedade, vexamos un exemplo gráfico dun cuantificador descomposto noutros dous mediante o operador m´ın. Exemplo 3.9. Consideremos o cuantificador borroso absoluto Q−=“arredor de 5ou menos” definido pola función de pertenza dada pola gráfica azul da figura 3.2. Da mesma forma, o cuantificador absoluto Q+=“arredor de 5ou máis” podería definirse mediante a gráfica verde da figura 3.2. Utilizando o operador m´ın, podemos obter a do cuantificador borroso absoluto Q=“arredor de 5” a partir de Q−eQ+, tal e como se mostra na figura 3.2 1 0 0 4 10 2 Q-: Arredor de 5 ou menos Q+: Arredor de 5 ou máis 8 6 Q: Arredor de 5 Figura 3.2: Gráfica das funcións de pertenza dos cuantificadores Q,Q+eQ−. Vexamos agora, mediante a última propiedade, como un modelo ideal debería trasladar esta descomposición nos cuantificadores á avaliación das sentenzas correspondentes a cada un deles. Propiedade 11 (Descomposición).Sexa I⊆Run intervalo e Q, Q+, Q−∈˜ P(I)cuantificadores borrosos tales que é posible descompoñer Qda seguinte forma: µQ(x) = µQ+(x)µQ−(x)para todo x∈I, sendo unha T-norma. Entón, debe cumprirse: ΓQ(˜ A)=ΓQ+(˜ A)ΓQ−(˜ A),(3.24) ΓQ(˜ A/ ˜ D)=ΓQ+(˜ A/ ˜ D)ΓQ−(˜ A/ ˜ D).(3.25) Xunto coas propiedades de negación e negación interna, a propiedade anterior pode ser de grande utilidade para avaliar frases que conteñen cuantificadores borrosos non monótonos mediante métodos que requiren que si o sexan. 3.2. DISCUSIÓN 45 3.2. Discusión En último lugar, comprobaremos o cumprimento ou non das propiedades enunciadas na sección anterior por parte dos modelos de cuantificación borrosa estudados. 3.2.1. Modelo de Zadeh O modelo de cuantificación proposto por Zadeh e descrito no epígrafe 2.3.1 é probablemente o método máis coñecido e utilizado para a avaliación de sentenzas cuantificadas borrosas. A pesar disto, o seu comportamento teórico atópase lonxe de ser o máis adecuado ao incumprir moitas das propiedades desexables xa mencionadas. Antes de centrarnos nas propiedades que non se cumpren, estudaremos cales si son satisfeitas polo modelo. En primeiro lugar, as propiedades de monotonía respecto ao cuantificador,transformación absoluto-relativo etransformación tipo I-tipo II cúmprense de maneira trivial pola propia definición do modelo. En particular, o cumprimento da última implica que será suficiente con probar as restantes propiedades para as frases de tipo II. Proposición 3.10. O modelo de Zadeh cumpre a propiedade de xeneralización correcta. Demostración. A cardinalidade PCount na que se basea o modelo non é máis que o cardinal clásico cando os argumentos son nítidos, polo que se segue o resultado. Proposición 3.11. O modelo de Zadeh cumpre a propiedade de negación externa. Demostración. Utilizando a propiedade involutiva das negacións estritas, tense que: NZQc(˜ A/ ˜ D)=NµQcXCount(˜ A/ ˜ D)=NNµQXCount(˜ A/ ˜ D) =µQXCount(˜ A/ ˜ D)=ZQ(˜ A/ ˜ D). Proposición 3.12. O modelo de Zadeh cumpre a propiedade de descomposición. Demostración. Se Q, Q+eQ−son cuantificadores borrosos tales que µQ(x) = µQ+(x)µQ−(x)para todo x∈I, entón: ZQ(˜ A/ ˜ D) = µQXCount(˜ A/ ˜ D)=µQ+XCount(˜ A/ ˜ D)µQ−XCount(˜ A/ ˜ D) =ZQ+(˜ A/ ˜ D) ZQ−(˜ A/ ˜ D). 52 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES DOS MODELOS DE CUANTIFICACIÓN BORROSA Proposición 3.27. O modelo GD cumpre a propiedade de negación externa cando se utiliza o complementario estándar como negación estrita. Demostración. Utilizando a proposición 2.31, tense que: 1− GDQc(˜ A/ ˜ D) = 1 −X c∈CR(˜ A/ ˜ D) ER(˜ A/ ˜ D, c)·(1 −µQ(c)) = 1 −X c∈CR(˜ A/ ˜ D) ER(˜ A/ ˜ D, c) + X c∈CR(˜ A/ ˜ D) ER(˜ A/ ˜ D, c)·µQ(c) =X c∈CR(˜ A/ ˜ D) ER(˜ A/ ˜ D, c)·µQ(c) = GDQ(˜ A/ ˜ D). Proposición 3.28. O modelo GD cumpre a propiedade de continuidade respecto aos argumentos cando a intersección en (2.9) se modela mediante unha T-norma continua. Demostración. Sexa ε > 0fixado e escollamos δ:= m´ın ε 4n,m´ın αi∈M(˜ A/ ˜ D) |αi−αi+1|!. Supoñamos que dII (˜ A, ˜ D),(˜ A0,˜ D0)= m´ax m´ax e∈E|µ˜ A(e)−µ˜ A0(e)|,m´ax e∈E|µ˜ D(e)−µ˜ D0(e)|< δ. Para maior claridade, consideremos M(˜ A/ ˜ D) = {α1, ... , α2n}eM(˜ A/ ˜ D) = {α0 1, ... , α0 2n} como sucesións monótono decrecentes, é dicir, tendo en conta tamén os elementos repetidos. Nótese que esta escolla non afecta ao resultado ofrecido polo modelo, xa que as diferenzas αi−αi+1 anúlanse neses casos. Entón, por ser continua a T-norma utilizada para modelar a intersección, tense que |αi−α0 i|< δ para todo i∈ {1, ... , 2n}. Definamos agora mem0como o número de elementos distintos en M(˜ A/ ˜ D)eM(˜ A0/˜ D0), respectivamente. Distinguimos tres casos: m=m0. Neste caso, C(˜ A/ ˜ D, αi) = C(˜ A0/˜ D0, α0 i) = cipara todo i∈ {1, ... , 2n}. Daquela: |GDQ(˜ A/ ˜ D)− GDQ(˜ A0/˜ D0)| =X αi∈M(˜ A/ ˜ D) (αi−αi+1)·µQ(ci)−X α0 i∈M(˜ A0/˜ D0) (α0 i−α0 i+1)·µQ(ci) = 2n X i=1 (αi−αi+1 −α0 i+α0 i+1)·µQ(ci)≤ 2n X i=1 (|αi−α0 i|+|αi+1 −α0 i+1|)<4nδ ≤ε. m<m0. En particular, suporemos m0−m= 1 (se m0−m > 1, o razoamento sería análogo). Entón, existe i0∈ {1, ... , 2n−1}tal que αi0=αi0+1 pero α0 i0> α0 i0+1. Entón, 3.2. DISCUSIÓN 53 C(˜ A0/˜ D0, α0 i) = cipara todo i6=i0. Daquela: |GDQ(˜ A/ ˜ D)− GDQ(˜ A0/˜ D0)|=X i6=i0 (αi−αi+1 −α0 i+α0 i+1)·µQ(ci) + (αi0−αi0+1)·µQ(C(˜ A/ ˜ D, αi0)) + (α0 i0−α0 i0+1)·µQ(C(˜ A0/˜ D0, α0 i0)) ≤X i6=i0|αi−α0 i|+|αi+1 −α0 i+1|+|α0 i0−α0 i0+1|<(2(2n−1) + 2) ·δ= 4n·δ≤ε, xa que |α0 i0−α0 i0+1|=|α0 i0−αi0+αi0−α0 i0+1|≤|α0 i0−αi0|+|αi0−α0 i0+1|<2δ. m>m0. O razoamento sería análogo ao caso anterior. Nótese que a propiedade anterior non ten por que cumprirse se a T-norma que modela a intersección en (2.9) non é continua. Vexamos o seguinte contraexemplo. Exemplo 3.29. Sexan E={e1, e2},˜ A=˜ A0={(1, e1),(0.9, e2)},˜ D={(1, e1),(1, e2)}e ˜ D0={(1, e1),(1−ξ, e2)}, con ξ > 0. Se utilizamos o produto drástico definido no exemplo 1.17 para modelar as interseccións entre conxuntos borrosos, temos que M(˜ A/ ˜ D) = {1,0.9}e M(˜ A0/˜ D0) = {1,1−ξ}para ξsuficientemente pequeno. Entón: GD∀(˜ A/ ˜ D) = (1 −0.9) ·µ∀(0.5) + 0.9·µ∀(1) = 0.9, mentres que: GD∀(˜ A0/˜ D0) = (1 −(1 −ξ)) ·µ∀(1) + (1 −ξ)·µ∀(0.5) = ξ. Para rematar o estudo do modelo GD, centrarémonos naquelas propiedades non satisfeitas polo modelo. No seguinte contraexemplo, próbase o incumprimento das propiedades de negación interna edualidade. Exemplo 3.30. Sexan E={e1, e2},˜ A={(1, e1),(0.9, e2)}e˜ D={(1, e1),(0.9, e2)}. Entón: M(˜ A/ ˜ D) = {1,0.9}eCR(˜ A/ ˜ D) = {1}. Logo, para o cardinal ER, tense que: ER(˜ A/ ˜ D, 1) = (1 −0.9) + (0.9−0) = 1. Por outra banda, ˜ Ac={(0, e1),(0.1, e2)}, polo que: M(˜ Ac/˜ D) = {1,0.9,0.1}eCR(˜ A/ ˜ D) = {0,0.5}. 54 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES DOS MODELOS DE CUANTIFICACIÓN BORROSA Así, calculamos o cardinal ER como: ER(˜ Ac/˜ D, 0) = (1 −0.9) + (0.9−0.1) = 0.9, ER(˜ Ac/˜ D, 0.5) = 0.1−0=0.1 Finalmente, utilizando o método GD, tense que: GD∀(˜ A/ ˜ D)=1·µ∀(1) = 1, mentres que GD∀ant (˜ Ac/˜ D)=0.9·µ∀ant (0) + 0.1·µ∀ant (0.5) = 0.9. Agora, utilizando os dous resultados anteriores e a propiedade de negación externa, é inmediato comprobar que o modelo tampouco satisfai a propiedade de dualidade. Malia que o modelo GD non cumpre a propiedade de negación interna, si que o fai no caso particular en que o conxunto ˜ Dsexa nítido, como se demostra no seguinte resultado. Proposición 3.31. Se Dé un conxunto nítido, GDQ(˜ A/D) = GDQant (˜ Ac/D), cando se utiliza o complementario estándar como negación estrita. Demostración. Supoñamos que |D|=peED={e∈E:µD(e) = 1}. Entón, pola proposición 2.30 sabemos que ER ˜ A/D, k p=EDED(˜ A, k). Ademais, é sinxelo comprobar que EDED(˜ A, k) = EDED(˜ Ac, p −k), polo que ER ˜ A/D, k p=ER ˜ Ac/D, 1−k p. Agora, como Dé nítido, CR(˜ A/D) = nk p:k∈ {0, ... , p}oe é fácil ver que: k p∈CR(˜ A/D)⇔1−k p∈CR(˜ Ac/D). Polo tanto: GDQ(˜ A/D) = X k/p∈CR(˜ A/D) ER ˜ A/D, k p·µQk p =X (1−k/p)∈CR(˜ Ac/D) ER ˜ Ac/D, 1−k p·µQ1−k p=GDQant (˜ Ac/D). En último lugar, vexamos que GD non cumpre a propiedade de descomposición. Exemplo 3.32. Supoñamos E, ˜ A, Q−eQ+como no exemplo 3.23. Entón: GDQ(˜ A) = (1 −0.8) ·µQ(1/3) + (0.8−0.3) ·µQ(2/3) + 0.3·µQ(1) = 0.2·µQ+(1/3) + 0.5·µQ−(2/3) + 0.3·µQ−(1) = 0.2·2/3+0.5·2/3≈0.47, GDQ−(˜ A)=0.2·µQ−(1/3) + 0.5·µQ−(2/3) + 0.3·µQ−(1) ≈0.53, GDQ+(˜ A)=0.2·µQ+(1/3) + 0.5·µQ+(2/3) + 0.3·µQ+(1) ≈0.93, pero m´ın(0.53,0.93) 6= 0.47. 3.2. DISCUSIÓN 55 Modelo GD2 Antes de proceder a discutir o cumprimento ou non da lista de propiedades enunciadas para o modelo GD2, vexamos unha proposición que o relaciona co modelo GD, da que faremos uso para simplificar as probas. Proposición 3.33. Unha formulación alternativa para GD2Qrel (˜ A/ ˜ D)é a seguinte: GD2Qrel (˜ A/ ˜ D) = X βj∈M2( ˜ D) βj−βj+1 nf(˜ D)· GDQrel (˜ A/ ˜ Dβj). Demostración. En efecto, GD2Qrel (˜ A/ ˜ D) = X (αi,βj)∈M2( ˜ A/ ˜ D) βj−βj+1 nf(˜ D)·(αi−αi+1)·µQ(C2( ˜ A/ ˜ D, αi, βj)) =X βj∈M2( ˜ D) βj−βj+1 nf(˜ D)·X αi∈M(˜ A) (αi−αi+1)·µQ(C(˜ A/ ˜ Dβj, αi)) =X βj∈M2( ˜ D) βj−βj+1 nf(˜ D)· GDQ(˜ A/ ˜ Dβj). Corolario 3.34. Se D é un conxunto nítido, GD2Q(˜ A/D) = GDQ(˜ A/D). Proposición 3.35. O modelo GD2cumpre a propiedade de xeneralización correcta. Demostración. Trivial utilizando a proposición 3.33. Proposición 3.36. O modelo GD2cumpre a propiedade de negación externa cando utilizamos o complementario estándar como negación estrita. Demostración. Pola proposición 2.31, Pc∈CR(˜ A/ ˜ D)ER(˜ A/ ˜ D, c) = 1. Logo: 1− GDQc(˜ A/ ˜ D) = 1 −X c∈CR(˜ A/ ˜ D) ER(˜ A/ ˜ D, c)·(1 −µQ(c)) = 1 − X c∈CR(˜ A/ ˜ D) ER(˜ A/ ˜ D, c)−X c∈CR(˜ A/ ˜ D) ER(˜ A/ ˜ D, c)·µQ(c)  =GDQ(˜ A/ ˜ D). Proposición 3.37. O modelo GD2cumpre a propiedade de negación interna utilizando o complementario estándar como negación estrita. Demostración. Séguese a partir dos proposicións 3.33 e 3.31. 56 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES DOS MODELOS DE CUANTIFICACIÓN BORROSA Proposición 3.38. O modelo GD2cumpre a propiedade de dualidade utilizando o complementario estándar como negación estrita. Demostración. A proba é inmediata utilizando as dúas proposicións anteriores. Proposición 3.39. O modelo GD2cumpre a propiedade de continuidade respecto aos argumentos. Demostración. A proba é análoga á da proposición 3.28. En canto ás propiedades que non satisfai GD2, o incumprimento da descomposición está probado co exemplo 3.32 e o das propiedades de operadores inducidos ecoherencia coa lóxica pode demostrarse cos seguintes contraexemplos. Exemplo 3.40. Se E={e},˜ A={(0.8, e)}e˜ D={(0.5, e)}, entón: M2( ˜ A/ ˜ D) = {(0.8,0.5),(1,0.5)}, CR2( ˜ A/ ˜ D) = {1,0}e GD2∃(˜ A/ ˜ D) = 1 nf(˜ D)·ER 2( ˜ A/ ˜ D, 0) ·µ∃(0) + ER 2( ˜ A/ ˜ D, 1) ·µ∃(1)=0.8·0.5 0.5= 0.8, pero 0.80.5≤m´ın(0.8,0.5) = 0.5, logo (3.1) non se cumpre. Exemplo 3.41. Sexan E={e1, e2},˜ A={(0.8, e1),(0, e2)}e˜ D={(0.5, e1),(0, e2)}. Entón, igual que no exemplo anterior, GD2∃(˜ A/ ˜ D)=0.8, pero: (0.80.5) ⊗(0 0) = (0.80.5) ⊗0 = 0.80.5≤m´ın(0.8,0.5) = 0.5. Logo (3.5) non se cumpre. No cadro 3.1, resúmese a validez das diferentes propiedades estudadas neste capítulo para cada modelo de cuantificación. O signo de interrogación na cela correspondente ao modelo GD e á propiedade de coherencia coa lóxica indica que, malia non satisfacerse para os operadores coñecidos, non se descarta que sexa posible probar a súa validez. Cadro 3.1: Resumo das propiedades cumpridas ou incumpridas polos modelos. Capítulo 4 Conclusións e posibles ampliacións A utilización de cuantificadores lingüísticos imprecisos como “moitos”, “uns poucos” ou “aproximadamente a metade” é constante na linguaxe natural. O manexo de sentenzas cuantificadas supón un piar fundamental para a representación do coñecemento e razoamento humano, onde non só o cuantificador pode presentar certa vaguidade, senón que tamén é habitual que o faga a cualidade que describe (“Arredor de tres xogadores son altos”). Neste traballo realizamos unha revisión do marco proposto por Lofti A. Zadeh para modelar o problema da cuantificación lingüística en presenza da vaguidade propia da linguaxe natural. Para iso, foi necesario primeiro establecer os conceptos fundamentais da Teoría de Conxuntos Borrosos introducida polo mesmo Zadeh. A proposta de Zadeh distingue dous tipos de cuantificadores (absolutos e relativos) e identifica o cuantificador cun número borroso. Así, os modelos de cuantificación para Zadeh son un mecanismo para medir a compatibilidade entre o número borroso asociado ao cuantificador e a cardinalidade do conxunto borroso que representa a semántica asociada á cualidade á que se refire. Despois de introducir distintas propostas para o cálculo do cardinal dun conxunto borroso, formalizamos algúns dos modelos de cuantificación borrosa máis coñecidos e utilizados na práctica seguindo esta aproximación. Co obxectivo de medir e comparar o comportamento dos distintos modelos de cuantificación propostos, atopamos na bibliografía unha serie de propiedades matemáticas que un modelo ideal debería satisfacer. Deste xeito, tras presentar os principais modelos de cuantificación, este traballo inclúe unha análise detallada das súas propiedades máis relevantes. Como resultado, comprobamos que ningún dos modelos estudados cumpre todas as propiedades enunciadas, provocando comportamentos incorrectos en determinadas situacións que é importante ter en conta á hora de utilizar os modelos na práctica. De feito, no TFG de Enxeñaría Informática “Quanversa: modelos de cuantificación aplicados 57 58 CAPÍTULO 4. CONCLUSIÓNS E POSIBLES AMPLIACIÓNS a un agente conversacional”, realizado pola propia autora deste traballo, estúdase, dende un punto de vista práctico, o impacto do incumprimento da propiedade de negación interna e o problema do efecto acumulativo durante a interacción entre un axente conversacional e os seus usuarios, cando se utiliza o modelo de cuantificación de Zadeh para procesar a información. Ademais do incumprimento de certas propiedades, unha crítica importante á aproximación proposta por Zadeh é que o fenómeno da cuantificación lingüística non está limitado, nin moito menos, á dicotomía absoluto/relativo. Por exemplo, a sentenza “hai tantos traballadores novos como traballadores de mediana idade na empresa” contén un cuantificador lingüístico que non se pode englobar en ningún destes dous tipos. Estas e outras razóns provocaron a definición de novos marcos de estudo para a cuantificación borrosa, cuxa análise podería ser de moito interese como posibles ampliacións ao presente traballo. Por unha banda, paralelamente ao marco proposto por Zadeh, e non tan populares no campo da intelixencia artificial, atopamos traballos que seguen a Teoría de Cuantificadores Xeneralizados (siglas en inglés TGQ) [16,18], que recoñece máis de trinta tipos de cuantificadores, pero só trata a cuantificación de forma nítida, sen manexar a vaguidade da linguaxe. Un pouco máis tarde, Glökner [13] propuxo unha xeneralización da TGQ utilizando un procedemento para transferir un cuantificador nítido ao seu correspondente cuantificador borroso, coñecido como Mecanismo de Borrosificación de Cuantificadores (siglas en inglés QFM), utilizando tamén a Teoría de Conxuntos Borrosos desenvolvida por Zadeh. Así e todo, os QFMs xurdidos desta proposta tampouco cumpren todas as propiedades matemáticas enunciadas. Recentemente, en [19], os autores introducen unha nova teoría para representar conxuntos que presentan borrosidade, a Representación por Niveis (siglas en inglés RL), como alternativa á Teoría de Conxuntos Borrosos. Isto permitiulles desenvolver mecanismos para a cuantificación que si verifican todas as propiedades matemáticas desexables, debido a que as operacións definidas nos niveis presentan unha estrutura de Álxebra de Boole. Apéndice A Código en Python dos modelos de cuantificación borrosa estudados Neste apéndice incluímos o código, na linguaxe de programación Python, que permite operar cos modelos de cuantificación borrosa estudados neste traballo. Cada modelo está representado mediante unha clase, que contén os métodos necesarios para calcular as correspondentes cardinalidades e obter o grao de certeza dunha sentenza cuantificada. En todos os casos, a T-norma utilizada para modelar a intersección en (2.9) é o operador m´ın. class Zadeh(): def sigmaCount(self, data): sigmaCount = 0.0 for xin data: sigmaCount += x return sigmaCount def sigmaCountRel(self, dataA, dataD): sigmaCountRel = 0.0 sigmaCountD = self.sigmaCount(dataD) if sigmaCountD != 0.0 and len(dataA) == len(dataD): for iin range(0, len(dataA)): sigmaCountRel += min(dataA[i], dataD[i]) return sigmaCountRel/sigmaCountD else: return 0.0 def Z_typeI_abs(self, A, Q_abs): 59 60 APÉNDICE A. CÓDIGO EN PYTHON DOS MODELOS ESTUDADOS return round(Q_abs.getMembershipValue(self.sigmaCount(A)),2) def Z_typeI_rel(self, A, Q_rel): return round(Q_rel.getMembershipValue(self.sigmaCount(A)/len(A)),2) def Z_typeII_abs(self, A, D, Q_abs): AyD = [] if len(A) == len(D): for iin range(0, len(A)): AyD.append(min(A[i],D[i])) return self.Z_typeI_abs(AyD, Q_abs) def Z_typeII_rel(self, A, D, Q_rel): return round(Q_rel.getMembershipValue(self.sigmaCountRel(A, D)),2) class Delgado_GZ(): def alpha_corte(self, data, alpha): alpha_corte = [] for iin range(0, len(data)): if data[i] >= alpha: alpha_corte.append([data[i], i]) return alpha_corte def es_normal(self, data): if 1.0 in data: return True else: return False def normalizar(self, data, factor): for iin range(0, len(data)): data[i] = data[i]/ factor return data def cardinal_Z(self, data): Z = [] flag = False data = sorted(data, reverse=True) for kin range(0, len(data)+1): 61 flag = False for alpha in data+[1.0]: alpha_corte = self.alpha_corte(data, alpha) if len(alpha_corte) == k and alpha != 0.0: Z.append(alpha) flag = True break if flag == False: Z.append(0.0) return Z def M(self, A): M=list(set(A+[1.0])) for alpha in M: if alpha == 0.0: M.remove(alpha) return sorted(M, reverse = True) def M_rel(self, A, D): AyD = [] M = [] if len(A) == len(D): for iin range(0, len(A)): AyD.append(min(A[i],D[i])) if self.es_normal(D) is False: D = self.normalizar(D, max(D)) AyD = self.normalizar(AyD, max(D)) M = self.M(AyD) + self.M(D) return sorted(M, reverse = True) def C(self, A, D, alpha): AyD = [] if len(A) == len(D): for iin range(0, len(A)): AyD.append(min(A[i],D[i])) if self.es_normal(D) is False: D = self.normalizar(D, max(D)) AyD = self.normalizar(AyD, max(D)) return len(self.alpha_corte(AyD, alpha))/len(self.alpha_corte(D, alpha 68 APÉNDICE A. CÓDIGO EN PYTHON DOS MODELOS ESTUDADOS c = CR2[k][0] i = CR2[k][1] j = CR2[k][2] if i == len(alphas)-1: alpha_siguiente = 0 else: alpha_siguiente = alphas[i+1] if j == len(betas) - 1: beta_siguiente = 0 else: beta_siguiente = betas[j+1] aux = (alphas[i] - alpha_siguiente) * (betas[j] - beta_siguiente) for lin range(k+1, len(CR2)): if c == CR2[l][0]: usados.append(l) i = CR2[l][1] j = CR2[l][2] if i == len(alphas)-1: alpha_siguiente = 0 else: alpha_siguiente = alphas[i+1] if j == len(betas) - 1: beta_siguiente = 0 else: beta_siguiente = betas[j+1] aux += (alphas[i] - alpha_siguiente) * (betas[j] - beta_siguiente) ER2.append([c, aux/max(D)]) return ER2 def GD2_typeI_abs(self, A, Q_abs): GD = 0.0 ED = self.cardinal_ED(A) for kin range(0, len(A)+1): GD += ED[k] * Q_abs.getMembershipValue(float(k)) return round(GD, 2) 69 def GD2_typeI_rel(self, A, Q_rel): GD = 0.0 ED = self.cardinal_ED(A) for kin range(0, len(A)+1): GD += ED[k] * Q_rel.getMembershipValue(k/len(A)) return round(GD, 2) def GD2_typeII_abs(self, A, D, Q_abs): AyD = [] if len(A) == len(D) and sum(D)!=0.0: for iin range(0, len(A)): AyD.append(min(A[i],D[i])) return self.GD2_typeI_abs(AyD, Q_abs) else: return 0.0 def GD2_typeII_rel(self, A, D, Q_rel): GD2 = 0.0 if len(A) == len(D) and sum(D) != 0.0: for c, ER2 in self.cardinal_ER2(A, D): print(c, ER2) GD2 += ER2 *(Q_rel.getMembershipValue(c)) Bibliografía [1] S. Barro, A. Bugarín, P. Cariñena e F. Díaz-Hermida. A framework for fuzzy quantification model analysis. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 11(1):89–99, 2003. [2] B. Bede. Mathematics of Fuzzy Sets and Fuzzy Logic, volume 295. 2013. [3] I. Blanco, M. Delgado, M. J. Marín-Bautista, D. Sánchez e M. A. Vila. Quantifier guided aggregation of fuzzy criteria with associated importances. Studies in Fuzziness and Soft Computing, pages 272–287, 2002. [4] A. Celikyilmaz e I. B. Türksen. Modeling uncertainty with fuzzy logic: with recent theory and applications. Springer, 2009. [5] J. Chamorro-Martínez, D. Sánchez, J. M. Soto-Hidalgo e P. M. Martínez-Jiménez. A discussion on fuzzy cardinality and quantification. Some applications in image processing. Fuzzy Sets and Systems, 25:85–101, 2014. [6] G. Chen e T. Pham. Introduction to Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, and Fuzzy Control Systems, volume 54. CRC Press, 2000. [7] A. Dasgupta. Set theory: With an introduction to real point sets. Birkhäuser, 2014. [8] F. Díaz-Hermida. Modelos de cuantificación borrosa basados en una interpretación probabilística y su aplicación en recuperación de información. Tese doutoral, 2006. [9] M. Delgado, M. D. Ruiz, D. Sánchez e M. A. Vila. Fuzzy quantification: a state of the art. Fuzzy Sets and Systems, 242:1–30, 2014. [10] M. Delgado, D. Sánchez, M. J. Martín-Bautista e M. Amparo Vila. A probabilistic definition of a nonconvex fuzzy cardinality. Fuzzy Sets and Systems, 126:177–190, 2002. [11] M. Delgado, D. Sánchez e M. A. Vila. Fuzzy cardinality based evaluation of quantified sentences. International Journal of Approximate Reasoning, 23:23–6, 2000. [12] D. Dubois e H. Prade. Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications. Academic Press, Inc., 1997. 71 72 BIBLIOGRAFÍA [13] I. Glöckner. Fuzzy Quantifiers: A computational Theory. Springer, 2006. [14] G. J. Klir e B. Yuan. Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applications. Prentice-Hall, Inc., USA, 1994. [15] K. Lee. First Course on Fuzzy Theory and Applications. Springer, 2005. [16] S. Loebner. Natural Language and Generalized Quantifier Theory, volume 31. 1987. [17] D. Ralescu. Cardinality, quantifiers, and the aggregation of fuzzy criteria. Fuzzy Sets and Systems, 69:355–365, 1995. [18] M. D. Ruiz, D. Sánchez e M. Delgado. On the relation between fuzzy and generalized quantifiers. Fuzzy Sets and Systems, 294:125–135, 2016. [19] M. D. Ruiz, D. Sánchez e M. Delgado. Level-based fuzzy generalized quantification. Fuzzy Sets and Systems, 345:24–40, 2018. [20] D. Sánchez. Adquisición de relaciones entre atributos en bases de datos relacionales. Tese doutoral, 1999. [21] A. Sengupta e T. K. Pal. Fuzzy Preference Ordering of Interval Numbers in Decision Problems. Springer, 1st edition, 2009. [22] H. Sola, F. Herrera e J. Montero. Fuzzy Sets and Their Extensions: Representation, Aggregation and Models. 2008. [23] M. Wygralak. Questions of cardinality of finite fuzzy sets. Fuzzy Sets and Systems, 24:185–210, 1999. [24] R. R. Yager. On Ordered Weighted Averaging Aggregation Operators in Multicriteria Decisionmaking. Fuzzy Sets and Systems, 24:185–210, 1999. [25] L. A. Zadeh. Fuzzy sets. Information and Control, 8:338–353, 1965. [26] L. A. Zadeh. A theory of approximate reasoning. Machine Intelligence, 9:149–194, 1979. [27] L. A. Zadeh. A computational approach to fuzzy quantifiers in natural languages. Computers & Mathematics with Applications, 9(1):149–184, 1983.