Espazos vectoriais

Vicerreitoría de eStUdaNteS, cUltUra e ForMaciÓN coNtiNUa Unha colección orientada a editar materiais docentes de calidade e pensada para apoiar o traballo do profesorado e do alumnado de todas as materias e titulacións da universidade Grao en Matemáticas Espazos Vectoriais e Cálculo Matricial José Manuel Fernández Vilaboa Celso Rodríguez Fernández 3 Espazos vectoriais 9788498 879551 Departamento de Álxebra Facultade de Matemáticas Espazos vectoriais 3 José Manuel Fernández Vilaboa Celso Rodríguez Fernández Departamento de Álxebra Facultade de Matemáticas ADVERTENCIA LEGAL: reservados todos os dereitos. Queda prohibida a duplicación, total ou parcial desta obra, en calquera forma ou por calquera medio (elec-trónico, mecánico, gravación, fotocopia ou outros) sen consentimento expreso por escrito dos editores. Dep. Legal: C 58-2013 ISBN 978-84-9887-955-1 © Universidade de Santiago de Compostela, 2013 Esta obra atópase baixo unha licenza Creative Commons BY-NC-SA 3.0. Calquera forma de reprodución, distribución, comunicación pública ou transformación desta obra non incluída na licenza Creative Commons BY-NC-SA 3.0 só pode ser realizada coa autorización expresa dos titulares, salvo excepción prevista pola lei. Pode acceder Vde. ao texto completo da licenza nesta ligazón: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/es/legalcode.gl Deseño Unidixital Servizo de Edición Dixital da Universidade de Santiago de Compostea Edita Vicerreitoría de Estudantes, Cultura e Formación Continua da Universidade de Santiago de Compostela Servizo de Publicacións da Universidade de Santiago de Compostela Imprime Unidixital UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos vectoriais - 3 MATERIA: Espazos Vectoriais e Cálculo Matricial TITULACIÓN: Grao en Matemáticas PROGRAMA XERAL DO CURSO Localización da presente unidade didáctica Unidade 1. Sistemas de ecuacións lineais -Matrices. Operacións con matrices e propiedades. Matriz trasposta e matriz inversa. Operacións elementais dunha matriz. Matrices elementais. -Matrices equivalentes por filas e matrices equivalentes por columnas. -Sistemas de ecuacións lineais. Transformacións elementais dun sistema de ecuacións lineais. -Resolución de sistemas de ecuacións lineais: o método de Gauss. -Factorización LU dunha matriz. -Factorización dunha matriz invertible. Unidade 2. Determinantes e as súas aplicacións -Determinantes de orde 2 e 3. -Definición xeral de determinante: propiedades. -Determinante dun produto de matrices. -Determinante da matriz trasposta. -Cálculo de determinantes de orde n. -Inversa dunha matriz, regra de Cramer. -Rango dunha matriz. Unidade 3. Espazos vectoriais -Definición de espazo vectorial: exemplos. -Subespazos vectoriais. Intersección e suma de subespazos vectoriais. -Dependencia e independencia lineal. Sistemas de Xeradores. -Base e dimensión dun espazo vectorial. Coordenadas dun vector. -Subespazos vectoriais e solucións dun sistema homoxéneo. -Ecuacións dun subespazo vectorial. Unidade 4. Aplicacións Lineais -Definición de aplicación lineal. Exemplos. -Núcleo e Imaxe dunha aplicación lineal. Aplicacións lineais inxectivas e sobrexectivas. -Matriz dunha aplicación lineal. -Cambio de base para aplicacións lineais. -Aplicacións Lineais e Sistemas de Ecuacións Lineais Unidade 5. Introdución ó espazo afín -Variedades lineais. -Ecuacións lineais dunha variedade. -Posicións relativas de rectas no plano e de rectas e planos no espazo n-dimensional. UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos vectoriais - 5 ÍNDICE Presentación ................................................................................. 7 Os obxectivos ............................................................................... 7 A metodoloxía ............................................................................... 8 Os contidos básicos ................................................................... 9 1. Introdución ...................................................................... 9 2. Definición de espazo vectorial. Exemplos ...................... 9 3. Subespazos vectoriais ................................................... 11 4. Dependencia e independencia lineal. Sistema de Xeradores .................................................. 12 5. Base e dimensión dun espazo vectorial. Coordenadas dun vector ............................................... 16 6. Subespazos vectoriais e solucións dun sistema homoxéneo. Ecuacións dun subespazo vectorial ......... 19 Actividades propostas ................................................................. 21 Avaliación da U.D. ..................................................................... ... 21 Bibliografía ..................................................................... 22 UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos vectoriais - 7 PRESENTACIÓN Esta unidade didáctica enmárcase dentro dos contidos relativos á materia de Espazos Vectoriais e Cálculo Matricial, de 6 créditos ECTS impartida no segundo semestre do primeiro curso do Grao en Matemáticas e que pertence ó módulo de Álxebra e Xeometría. Os contidos de Álxebra Lineal, nos que se inclúe esta materia, son unha parte fundamental das ferramentas matemáticas necesarias para o estudo en moitas áreas, como as ciencias do comportamento, da natureza, físicas ou sociais, economía, enxeñaría ou informática e por suposto nas matemáticas. Esta materia é fundamental para una boa formación matemática. Está precedida da materia Linguaxe Matemática, Conxuntos e Números onde se introducen conceptos básicos das matemáticas, e resulta indispensable para poder abordar con éxito as materias Álxebra Lineal e Multilineal e Xeometría Lineal de segundo curso do grao en matemáticas. A finalidade desta unidade é a de presentar de maneira gradual os conceptos fundamentais de Espazos Vectoriais e as técnicas básicas para o estudo da dependencia e independencia lineal, cálculo de bases e coordenadas e dos distintos tipos de ecuacións dun subespazo vectorial. Será a primeira vez que o estudantado se aproxima ó estudo de estruturas alxebraicas como modelos que engloban moitas situacións particulares e que serán fundamentais para a súa formación matemática xa que serán utilizadas no resto das disciplinas do Grao. Á parte dos propios contidos matemáticos, esta unidade contribuirá ó desenvolvemento da capacidade de razoamento e da capacidade de formalización de demostracións matemáticas. OS OBXECTIVOS Os obxectivos que se pretenden cubrir nesta unidade didáctica son:  comprender a definición de espazo vectorial;  establecer as diferenzas conceptuais entre dependencia e independencia lineal;  comprender o significado de base dun espazo vectorial;  recoñecer cando un conxunto de vectores constitúe unha base do espazo vectorial;  ser capaces de completar bases a partir dun conxunto de vectores linealmente independentes;  expresar e comprender a definición de dimensión dun espazo vectorial;  aprender a operar con vectores, bases e subespazos;  relacionar o concepto de subespazo coas solucións dun sistema de ecuacións lineais homoxéneo. 14 - UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos vectoriais Exercicio Probar que: 1) {(1, 0, 1, 0, 3), (0, 2, 1, 1, 2), (1, 2, 2, 1, 0)} é un conxunto de vectores de 5 linealmente independentes. 2) {1 + 2x + x3 , 2x - 3x2, 1 + x, x + x2 } é un conxunto de vectores do - espazo vectorial [x], linealmente independentes. 3)           320 201 ,         311 201 ,            311 100 é un conxunto de vectores do -espazo vectorial Mat2x3(), linealmente independentes. Definición Sexa (V, K,  ) un espazo vectorial. Un conxunto de vectores S de V dise ligado ou linealmente dependente se non é libre. É dicir: existen i K, vi  S, i = 1, …, n, con todos os vi distintos e algún i  0 e 1v1 + 2  v2 + .... + n  vn = 0. Nota Sexa (V, K,  ) un espazo vectorial. Entón: S = { 0 } é un conxunto linealmente dependente Se vV, v  0, entón S = {v} é un conxunto linealmente independente. Nota Sexa (V, K,  ) un espazo vectorial e S un conxunto de vectores de V. Entón: Se S é un conxunto linealmente independente e S'S, entón S' é un conxunto linealmente independente. Se S é un conxunto linealmente dependente e SS', entón S' es un conxunto linealmente dependente. Nota Calquera conxunto de vectores que conteña o vector 0 é linealmente dependente. Proposición Se S é un conxunto de vectores dun espazo vectorial (V, K,  ), entón: S é linealmente dependente se, e só se, existe v  S tal que v  <S-{v}>. Ademais nesta situación temos que <S> = <S-{ v }>. Proposición Se (V, K,  ) é un espazo vectorial, S é un conxunto de vectores linealmente independente e v  <S>, entón S  {v} é un conxunto linealmente independente. Definición Sexa V un espazo vectorial sobre K e S un conxunto de vectores de V. Dise que S é un sistema de xeradores de V se <S> = V. É dicir, S é un UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos vectoriais - 15 sistema de xeradores de V se calquera vector de V é combinación lineal dos vectores de S. Exemplos - {(1, 1), (1, 2)} é un conxunto de xeradores de 2. - {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 2, 1)} é un conxunto de xeradores de 3. - {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (-1, -2, 1)} non é un conxunto de xeradores de 3. Exercicio Proba que: 1) S = {(1, 1, 1), (5, 0, 3)} é un conxunto de xeradores do subespazo vectorial de 3, V = {(x, y, z) / 3x + 2y -5z = 0}. 2) S = {(6, 3, -2), (-5, 4, 6)} é un conxunto de xeradores do subespazo vectorial de 3, V = {(x, y, z) / 2x - 2y + 3z = 0}. 3) S = {1 + 2x + x3 , 2x - 3x2, 1 + x, x + x2 } é un conxunto de vectores xeradores do -espazo vectorial 3[x], dos polinomios con coeficientes reais de grao menor ou igual que 3. 4) S =           10 21 ,         20 21         30 41 ,            61 83 é un conxunto de vectores xeradores do -espazo vectorial Mat2x2() ¿É un conxunto linealmente independente?. Proposición Sexa S = {v1, v2, ..., vn} un conxunto de vectores dun espazo vectorial V. 1) Se intercambiamos dous vectores, entón <{v1, …, vi, …, vj, ..., vn}> = <{v1, …, vj, …, vi, ..., vn}>. 2) Se multiplicamos un vector, por un escalar   , entón <{v1, …, vi, ..., vn}> = <{v1, …, vi, …, vn}>. 3) Se substituímos un vector polo resultado de sumarlle outro vector multiplicado por un escalar , por exemplo substituímos vi por vi + vj , entón <{v1, …, vi, …, vj, ..., vn}> = <{v1, …, vi + vj …, vj, ..., vn}>. Nota-Corolario Sexan {v1, v2, ..., vn} un conxunto de vectores de n e A a matriz que ten eses vectores como filas. Como consecuencia da proposición anterior, se B é unha matriz equivalente por filas a A, os vectores fila desta matriz B xeran o mesmo subespazo vectorial que os vectores {v1, v2, ..., vn}. Exemplo 1) Os conxuntos S = {(1, 1, 0), (1, 0, 1)} e S’ = {(3, 2, 1), (0, 1, -1)} xeran o mesmo subespazo vectorial de 3. 2) Os conxuntos S = {(1, 1, 0), (2, 0, 2)} e S’ = {(3, 2, 3), (0, 1, 0)} non xeran o mesmo subespazo vectorial de 3. 16 - UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos vectoriais 5. Base e dimensión dun espazo vectorial. Coordenadas dun vector Definición Un conxunto de vectores de V, B = { E1 , ..., En }, é unha base de V se: 1. B é un conxunto linealmente independente 2. B é un conxunto de xeradores de V. Exercicio Obtén: - Bases dos -espazos 2, 3, ..., - Bases dos -espazos , 2, 3, ......, - Bases dos -espazos , 2, 3, ......, - ¿Coñeces algunha base do -espazo vectorial [x]? Proposición Se V é un espazo vectorial, L = { E1 , ..., Er } é un conxunto de vectores linealmente independentes e v =   r i1 i  Ei, entón os escalares 1, 2, …, r, son únicos. Corolario Se V é un espazo vectorial e B = { E1 , ..., En } é unha base de V, entón cada vector v  V pode expresarse de forma única como combinación lineal dos elementos de B. Definición Se B = { E1 , ..., En } é unha base dun espazo vectorial V e v =   n iiiE 1  , entón os escalares (  1,  2, ...,  n), que están univocamente determinados, denomínanse coordenadas do vector v respecto da base B. Obsérvese que fixada a base B, entón coñécese v  V se, e só se, se coñecen as súas coordenadas respecto de B. Exemplos 1) Sexa B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} unha base de 3. Calcular o vector v3, tal que as súas coordenadas respecto de B son (1, 8, 7), é dicir v = (1, 8, 7)B. 2) Se n é un enteiro positivo, entón n é un -espazo vectorial e o conxunto B = { e1 , ..., en }, con ei = (0,..., 0, ) 1 i, 0, ..., 0), é unha -base de n que denominaremos base canónica. Teorema (de existencia de base) Sexa V  {0} un espazo vectorial cun conxunto finito de xeradores S. Entón, existe un subconxunto B de S que é unha base de V. UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos vectoriais - 17 Proposición Sexa V un K-espazo vectorial. Se B = {E1, E2, …, En} é unha base de V con n vectores, entón un conxunto S={v1, v2, …, vm} con m > n non pode ser linealmente independente. Corolario Sexa V un K -espazo vectorial. Se B = {E1, E2, …, En} é unha base de V con n vectores, entón calquera outra base ten que ter necesariamente n vectores. Definición Chámase dimensión dun K-espazo vectorial V ao número de vectores dunha base (como acabamos de ver todas as bases teñen o mesmo número de vectores). Denótase dimK(V). Proposición Se V é un espazo vectorial de dimensión n e L = {E1, E2, …, Er} é un conxunto de vectores linealmente independentes, entón pódese construír unha base de V que conteña a L (engadir n – r vectores para completar unha base de V). Proposición Se V1 e V2 son subespazos dun espazo vectorial V, entón dimK(V1+V2) = dimK(V1) + dimK(V2) - dimK(V1  V2) Definición Se V1 e V2 son subespazos dun espazo vectorial V e V1  V2 = {0}, dirase que V1+V2 é a suma directa de V1 e V2 e denotarase por V1  V2. Proposición Se V1 e V2 son subespazos dun espazo vectorial V, entón V1 + V2 é a suma directa  Cada vector de V1 + V2 pode expresarse de forma única como a suma dun vector de V1 e outro de V2. Corolario Sexa V un K -espazo vectorial de dimensión n. As seguintes afirmacións son equivalentes: 1) B = {E1, E2, …, En} é unha base de V. 2) B = {E1, E2, …, En} é un conxunto de vectores de V linealmente independentes. 3) B = {E1, E2, …, En} é un conxunto de xeradores de V. Exemplos dim = 1 dim 2 = 2 ….. dim n = n. 18 - UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos vectoriais Proposición Se a matriz A  Mnxm() é equivalente por filas a unha matriz cunha fila de ceros, entón os vectores fila de A son vectores de m linealmente dependentes. Proposición Se AMnxm() é unha matriz en escaleira sen ningunha fila nula, entón os vectores fila de A son vectores de m linealmente independentes e polo tanto xeran un subespazo de m de dimensión n. Nota-Corolario Sexa A  Mnxn() unha matriz cadrada e B unha matriz en escaleira equivalente por filas á matriz A. Sabemos que os vectores fila de A e B xeran o mesmo subespazo e a súa dimensión coincide co número de vectores fila de A (ou de B) linealmente independentes e polo tanto os vectores fila de A son linealmente independentes se, e só se, o son os de B. Como consecuencia temos que: det(A) = 0  os vectores fila de A son linealmente dependentes. Corolario 1) Se BMmxn() é unha matriz en escaleira, as filas non nulas de B son linealmente independentes e polo tanto a dimensión do subespazo vectorial de n que xeran coincide co número de pivotes de B. 2) Se A  Mnxn() é unha matriz cadrada e B unha matriz en escaleira equivalente por filas á A, o subespazo vectorial de n xerado polas filas de A coincide co subespazo vectorial xerado polas filas de B e polo tanto a dimensión do subespazo vectorial de n xerado polas filas de A coincide co número de pivotes da matriz en escaleira B. 3) Se B  Mmxn() é unha matriz en escaleira sen ningunha fila nula, entón se ás filas de B lle engadimos as filas que proporcionan os vectores da base canónica de Rn, ei, que corresponden ás columnas sen pivote, obtemos unha matriz cadrada de orde n coas filas linealmente independentes (base de n). 4) Se B  Mmxn() é equivalente por filas a unha matriz en escaleira C, sen ningunha fila nula, entón se ás filas de B lles engadimos as filas que proporcionan os vectores da base canónica de n, ei, que corresponden ás columnas de C sen pivote, obtemos unha matriz cadrada de orde n coas filas linealmente independentes (base de n). Exemplos 1) Se B =                 000000 110000 102100 010121  M4x6(), entón as filas de B xeran un subespazo de R6 de dimensión 3. UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos vectoriais - 19 2) A matriz A =                   222342 110242 102021 010121  M4x6() é equivalente por filas á matriz B do apartado 1) e polo tanto as filas de A xeran un subespazo de R6 de dimensión 3. 3) A matriz B =             110000 102100 010121  M3x6() ten pivotes nas columnas 1, 3 e 5, entón as filas da matriz C =                       100000 001000 000010 110000 102100 010121 forman unha base de R6. 4) A matriz A =              110242 102021 010121  M3x6() é equivalente por filas á matriz B do apartado 3) e polo tanto as filas da matriz cadrada C =                        100000 001000 000010 110242 102021 010121 forman unha base de 6. . 6. Subespazos vectoriais e solucións dun sistema homoxéneo. Ecuacións dun subespazo vectorial Se V é un espazo vectorial sobre K de dimensión n, e U un subespazo vectorial de V xerado polos vectores u1, ... us, linealmente independentes, existe un sistema de n – s ecuacións lineais (independentes) do cal U é a solución. 20 - UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos vectoriais Ditas ecuacións chámanse ecuacións lineais do subespazo. (Nota: o sistema non é único). As ecuacións paramétricas de U veñen dadas por: v = 1u1 + 2u2 + … + sus. As ecuacións lineais obteñense do feito de que v  <{ u1, ... us }> se é un vector linealmente dependente deses vectores. Se consideramos a matriz A que ten por filas as coordenadas dos vectores u1, ... us, entón dicir que v<{u1, ... us }> é equivalente a que o vector de Kn que ten por coordenadas as de v é un linealmente dependente dos vectores fila dunha matriz en escaleira equivalente por filas á matriz A. Cálculo das ecuacións lineais dun subespazo de n, do que coñecemos un conxunto de xeradores: Exemplo 1 Calcular as ecuacións lineais do subespazo de 4 xerado polos vectores u1 = (1, 1, 0,0) e u2= (1, 0, 1, 0). Exemplo 2 Calcular as ecuacións lineais do subespazo de 5 xerado polos vectores u1 = (1, 1, 0, 0, 1), u2= (1, 0, 1, 0, 2). Exemplo 3 Calcular as ecuacións lineais do subespazo de 7 xerado polos vectores u1 = (1, 0, 1, 1, 1, 1, 0), u2= (1, 0, 1, 1, 0, 0, 0), u3 = (2, 0, 3, 5, 2, 2, 0), u4 = (3, 0, 2, 0, 0, 0, 0). Exemplo 4 Calcular as ecuacións lineais do subespazo de 7 xerado polos vectores u1 = (1, 0, 1, 1, 1, 1, 0), u2= (0, 0, 1, 1, 0, 0, 0), u3 = (2, 0, 5, 5, 2, 2, 0) ACTIVIDADES PROPOSTAS  Comprobación dos exemplos e realización dos exercicios propostos ó longo da Unidade.  Tamén se deberán resolver os exercicios propostos nun boletín con cuestións teóricas e prácticas.  Os alumnos poden resolver os exercicios de forma individual ou en grupos pero deben comprender os fundamentos e desenvolver as capacidades que lles permitan enfrontarse a exercicios de dificultade análoga.  Adicionalmente poderase realizar algunha proba curta. UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos vectoriais - 21 AVALIACIÓN DA U Esta Unidade Didáctica forma parte da materia Espazos Vectoriais e Cálculo Matricial e a súa avaliación enmárcase no contexto global desa materia. Ó longo do curso requirirase do alumnado a resolución de exercicios correspondentes a cada unha das unidades e a participación activa nas clases de laboratorio e seminario. Ademais poderanse realizar probas escritas teórico-prácticas ó longo do cuadrimestre. A puntuación conxunta destas actividades (C) representará o 25% da nota final. O 75 % restante sairá do exame final (E). Este exame será escrito e conterá preguntas de teoría, cuestións teórico-prácticas e exercicios. Para superar a materia os estudantes deberán obter cando menos o 40% da nota do exame. Para o cómputo da cualificación final (F) terase en conta a avaliación continua (C) e a cualificación do exame final (E) e aplicarase a seguinte fórmula: F = max(E, 0,25*C + 0,75*E) NIDADE DIDÁCTICA 22 - UNIDADE DIDÁCTICA 3. Espazos vectoriais BIBLIOGRAFÍA BURGOS, J. (2006): Álgebra Lineal y Geometría Cartesiana. Madrid: McGraw Hill. CASTELLET, M.; LLERENA, I. (1991): Álgebra Lineal y Geometría. Barcelona: Reverté/UAB. HERNÁNDEZ, E., VÁZQUEZ, M.J., ZURRO, M.A. (2012): Álgebra lineal y Geometría. Madrid: Pearson. MERINO, L., SANTOS, E. Álgebra Lineal con métodos elementales. Madrid: Thomson. VILLA, A. (1994): Problemas de Álgebra. Madrid: CLAGSA-I.C.A.I.