Resolución de ecuacións non lineares. Estratexias de globalización do método de Newton-Raphson

T aballo Fin de G ao
Resolución de ecuacións non linea es.
Es a exias de globalización do
mé odo de New on-Raphson
Lucía Re uel a Flo es
2020/2021
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
GRAO DE MATEMÁTICAS
T aballo Fin de G ao
Resolución de ecuacións non linea es.
Es a exias de globalización do
mé odo de New on-Raphson
Lucía Re uel a Flo es
Xullo, 2021
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
T aballo p opos o
Á ea de Coñecemen o: Ma emá ica Aplicada
Tí ulo: Resolución de ecuacións non linea es. Es a exias de
globalización do mé odo de New on-Raphson.
B e e desc ición do con ido
Na ma e ia de Cálculo Numé ico nunha Va iable es údanse os mé o-
dos clásicos de dico omía e o mé odo de New on-Raphson pa a ap o-
xima as aíces dunha ecuación numé ica non linea . Nes e aballo
á ase de es uda , ademais, os mé odos da secan e, egula alsi e o
mé odo de Mülle . Na p ác ica, ningún des es mé odos clásicos se
usa de o ma illada debido as súas debilidades, senón que se acompa-
ña dou os mé odos ou écnicas que lles apo an obus ez e ecacia.
En pa icula , es uda anse es a exias de globalización do mé odo de
New on-Raphson.
Recomendacións
Te cu sado a ma e ia de Cálculo Numé ico nunha Va iable e e
dominio na linguaxe de p og amación de Ma lab.
iii

Índice xe al
Resumo
iii
In odución
xi
1. Mé odos clásicos 1
1.1. Mé ododedico omía............................... 1
1.1.1. Con e xencia e es imación do e o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. As an axes e incon enien es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Mé odode egula alsi .............................. 7
1.2.1. As an axes e incon enien es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Mé odo de New on-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Con e xencia e e o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2. As an axes e incon enien es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Mé ododasecan e ................................ 16
1.4.1. As an axes e incon enien es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5. Mé ododeMülle ................................. 21
1.5.1. As an axes e incon enien es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2. Es a exias de globalización do mé odo de New on-Raphson 27
2.1. Mé odo híb ido de Dico omía e New on-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1. Resul ados ................................ 30
2.1.2. Conclusións................................ 33
2.2. Mé odo híb ido: dico omía e egula alsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1. Resul ados ................................ 35
2.2.2. Conclusións................................ 37
2.3. Mé odo de Dekke -B en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1. In e polación cad á ica in e sa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.2. Algo i mo de Dekke -B en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
i
ÍNDICE XERAL
2.3.3. Conclusións................................ 44
Apéndice 47
A. Código Ma lab pa a os mé odos clásicos 47
A.1. Mé ododedico omía .............................. 47
A.2. Mé odode egula alsi.............................. 49
A.3. Mé odo de New on-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
A.4. Mé ododasecan e ............................... 51
A.5. Mé ododeMülle ................................ 52
B. Código Ma lab pa a os mé odos híb idos 55
B.1. Mé odo híb ido de dico omía e New on-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . 55
B.2. Mé odo híb ido de dico omía e egula alsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
B.3. Mé odo de Dekke -B en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Bibliog a ía 61
2
CAPÍTULO 1. MÉTODOS CLÁSICOS
Se
(x0)6= 0
, en ón
(x0)
en o mesmo signo que
(a0)
ou que
(b0)
.

Se
(x0)
e
(a0)
eñen o mesmo signo en ón
α∈(x0, b0)
e conside amos
a1=x0
e
b1=b0
.

Se
(x0)
e
(a0)
eñen signos opos os en ón
α∈(a0, x0)
e omamos
a1=a0
e
b1=x0
.
Chegamos ó seguin e:
[a1, b1]⊂[a0, b0], b1−a1=1
2(b0−a0),
sign
( (a1)) 6=
sign
( (b1)), α ∈(a1, b1).
En xe al, supoñendo que se cons úe
In= [an, bn]
ense que sign
( (an)) 6=
sign
( (bn))
con
α∈(an,, bn)
. Sexa ago a
xn=an+bn
2,
necesa iamen e oco e algunha das seguin es posibilidades:
Se
(xn)=0
en ón
α=xn
e ema amos.
Se
(xn)6= 0
, en ón
(xn)
en o mesmo signo que
(an)
ou
(bn)
.

Se
(xn)
e
(an)
eñen o mesmo signo en ón
α∈(xn, bn)
e omamos
an+1 =xn
e
bn+1 =bn
.

Se
(xn)
e
(an)
eñen signos opos os en ón
α∈(an, xn)
e omamos
an+1 =an
e
bn+1 =xn.
En calque a caso, cúmp ese que:
[an+1, bn+1]⊂[an, bn], bn+1 −an+1 =1
2(bn−an),
sign
( (an+1)) 6=
sign
( (bn+1)), α ∈[an+1, bn+1].
Obse ación
1.1
.
Ó implemen a o mé odo nunha compu ado a necesi amos conside a os
e ec os do e o de edondeo. Po exemplo, o cálculo do pun o medio no in e alo
[an, bn]
debe íase a opa a pa i da ecuación
xn=an+bn−an
2
en luga de
xn=an+bn
2,
cump índose así unha no ma xe al de análise numé ico que indica que é mello calcula
unha can idade engadindo unha pequena co ección a unha ap oximación p e ia.

1.1. MÉTODO DE DICOTOMÍA
3
A con inuación, de allamos na gu a 1.1 a in e p e ación xeomé ica do mé odo de
dico omía. Conside amos unha unción
e o in e alo
I0= [a0, b0]
que con én á aíz
α
.
Repe imos o p oceso i e a i o un núme o ni o de eces a a chega a unha ap oximación
sucien emen e boa da aíz. Di a aíz,
α
, es a á con ida no in e alo
In= [an, bn]
.
x
yy= (x)
x0
(x1)
x1x2
α
I0
I1
I2
In
(b0 (b0)
(a0, (a0)
(x0)
(x2)
Figu a 1.1: Mé odo de dico omía: in e p e ación xeomé ica
1.1.1. Con e xencia e es imación do e o
Teo ema 1.2.
Sexa
: [a, b]⊂R→R
unha unción con inua al que
(a) (b)<0
(o
que ga an e a exis encia de polo menos unha aíz
α
no in e alo (a,b)). En ón, a sucesión
{xn}n≥0
xe ada polo algo i mo de dico omía con e xe a
α
e ademais cúmp ese que:
|n|=|xn−α| ≤ b−a
2n+1 .
Demos ación.
En e ec o, po cons ución ense que pa a calque a
n≥0
:
a0≤a1≤a2≤... ≤an< xn< bn≤bn−1≤... ≤b1≤b0.
Des a cadea de desigualdades, dedúcese que a sucesión dos
{an}n≥0
é monó ona c e-
cen e pois cada e mo é meno ou igual que o e mo pos e io . Ademais, di a sucesión
4
CAPÍTULO 1. MÉTODOS CLÁSICOS
es á aco ada in e io men e (xa que exis e un alo
a0
meno ou igual que odos os e -
mos da sucesión) e aco ada supe io men e (po un alo
xn
maio que odos os e mos de
{an}n≥0
). É dici , a sucesión es á aco ada. Ago a, como
{an}n≥0
é unha sucesión monó-
ona e aco ada de núme os eais en ón é con e xen e. Seguindo un azoamen o análago,
deducimos que
{bn}n≥0
é unha sucesión monó ona dec ecen e e aco ada. Polo an o, po-
demos deduci que
{bn}n≥0
é con e xen e. En deni i a, ambas sucesións son con e xen es.
Sexan ago a
e
s
os seus espec i os lími es
= l´ım
n→∞ an, s = l´ım
n→∞ bn.
Como
bn−an=bn−1−an−1
2=b0−a0
2n,
aplicando lími es
l´ım
n→∞(bn−an) = l´ım
n→∞
b0−a0
2n=b0−a0
∞= 0
e séguese que
= l´ım
n→∞ an= l´ım
n→∞ bn=s.
Así mesmo, sabemos que
an< xn< bn
polo que
= l´ım
n→∞ an= l´ım
n→∞ xn= l´ım
n→∞ bn.
Ademais, como
(an) (bn)<0
pa a odo
n≥0
, a con inuidade de
asegu a que:
0≥l´ım
n→∞[ (an) (bn)] = l´ım
n→∞ (an) l´ım
n→∞ (bn) = ( ) ( ) = [ ( )]2.
Polo an o, necesa iamen e cúmp ese que
( )=0
, pois se
( )<0
en ón
( ) ( )>0
,
ou o que é o mesmo,
(an) (bn)>0
e non es a iamos nas hipó eses do enunciado. Final-
men e, como
pe ence ao in e alo
[a, b]
e
( )=0
en ón
é unha aíz (que deno a emos
a pa i de ago a como
α
) da ecuación
(x)=0
nese in e alo.
P oba emos po úl imo que se e ica a co a do e o sinalada no enunciado. En e ec o,
pa a odo
n≥0
, cúmp ese
bn−an=b−a
2n
e
α∈(an, bn).
1.1. MÉTODO DE DICOTOMÍA
5
Como
xn=an+bn
2
pa a odo
n≥0
, ense po cons ución que:
|xn−α| ≤ 
bn−an
2
.
Ademais, como
bn> an
pa a odo
n≥0
, en ón
|xn−α| ≤ 
bn−an
2
=bn−an
2.
En xe al, comezando pa a
n= 0
no in e alo de pa ida, e median e un p oceso de indución,
as
n
i e acións, o alo absolu o do e o come ido sa is ace a desigualdade
|xn−α| ≤ 
bn−an
2
=... =b−a
2n+1 .
Obse ación
1.3
.
Se ao eo ema (1.2) lle engadimos a hipó ese de que a aíz
α
é sepa ada
no in e alo
(a, b)
en ón a demos ación é máis sinxela. En e ec o, po cons ución sabemos
que
0≤ |en|=|xn−α| ≤ b−a
2n+1 .
Ademais, po paso ao lími e cúmp ese que
l´ım
n→∞ 0=0
e
l´ım
n→∞
b−a
2n+1 = 0,
en ón, polo eo ema de compa ación ou amén chamado eo ema do sandwich, podemos
concluí que
l´ım
n→∞ |xn−α|= 0
. Con is o, deducimos que a sucesión xe ada polo algo i mo
de dico omía con e xe á aíz
α
en
(a, b)
.
Obse ación
1.4
.
A co a do e o enunciada no eo ema 1.2 pe mi e de e mina de an emán
can os elemen os da sucesión son necesa ios cons uí pa a ga an i unha ap oximación a
α
cun e o meno que
.
Des e modo, se á sucien e que o núme o
n
de i e acións cump a
que:
n≥
ln
b−a

ln
(2) −1.
(1.1)
6
CAPÍTULO 1. MÉTODOS CLÁSICOS
Demos ación.
Bas a e en con a que pa a
n
, nesas condicións, cúmp ese que
|xn−α| ≤ b−a
2n+1 < 
ou o que é o mesmo:
|xn−α| ≤ b−a
<2n+1.
Aplicando loga i mos nepe ianos a ambos lados da úl ima desigualdade, ense que
ln
b−a
<
ln
2n+1
e ago a, po p opiedades de loga i mos, esul a que:
ln
b−a
<(n+ 1) ·
ln
(2) .
Finalmen e, ope ando chegamos a que
n≥
ln
b−a

ln
(2) −1.
1.1.2. As an axes e incon enien es
Es e mé odo en a p opiedade impo an e de que baixo as hipó eses es ablecidas, con-
e xe semp e a unha solución. Po es a azón, emp égase ecuen emen e pa a pó en
ma cha mé odos máis ecien es. Ademais, é un dos escasos algo i mos onde se pode ase-
gu a que non ai en a nun bucle inni o debido a que en cada i e ación di ídese po 2
o amaño do in e alo
[a, b]
. Polo an o, ao aballa cunha a i mé ica de p ecisión ni a
nun núme o ni o de i e acións aise cump i que
a=b
e, en consecuencia, o algo i mo
pa a á.
A maio des an axe des e mé odo é a súa ex emada len i ude. O algo i mo p opo ciona
só unha aíz da ecuación e ningunha in o mación adicional sob e a posible exis encia de máis
aíces no mesmo in e alo. Ademais, como non se emp ega in o mación no e e en e a o ma
da cu a que ep esen a a p opia unción
, o algo i mo pode p opo ciona ap oximacións
xa boas sen e que a anza a a o nal.
1.2. MÉTODO DE REGULA FALSI
7
1.2. Mé odo de egula alsi
Sexa
: [a, b]⊂R→R
con inua en
[a, b]
al que
(a) (b)<0
. Cons úese
{xn}n≥0
da
o ma:







x0=a, x1=b
xn+1 =xm (xn)−xn (xm)
(xn)− (xm)=xn− (xn)xn−xm
(xn)− (xm)
(1.2)
sendo
m=m(n)
o maio en ei o meno que
n
al que
(xn) (xm)<0.
O mé odo de egula alsi consis e en acha a i e ación
xn+1
a pa i da abscisa do pun o
de co e co eixe das x da ec a que une os pun os
(xn, (xn))
e
(xm, (xm)).
A con inuación, amosamos na gu a 1.2 a in e p e ación xeomé ica do mé odo de
egula alsi. Conside amos unha unción
e omamos
x0=a
e
x1=b
, seguidamen e
achamos os sucesi os i e an es emp egando a ó mula i e a i a desc i a en (1.2).
x
y
y= (x)
x2
(x3)
x3
Raíz
α
(x1, (x1))
(x0, (x0))
(x2)
Figu a 1.2: Mé odo de egula alsi: in e p e ación xeomé ica

8
CAPÍTULO 1. MÉTODOS CLÁSICOS
Teo ema 1.5
(Con e xencia global do mé odo de egula alsi)
.
Sexa
: [a, b]⊂R→R
con inua con
(a) (b)<0
e
α∈(a, b)
unha aíz de
sepa ada en
[a, b]
. A sucesión
{xn}n≥0
cons uída co mé odo de alsa posición con e xe a
α
.
Ve a demos ación en [9].
1.2.1. As an axes e incon enien es
A con e xencia global do mé odo de egula alsi p oba que di o mé odo ai con e xe
semp e baixo ce as condicións a o ables. Po én, en ocasións, pode p esen a si uacións
de con e xencia moi len a. O seguin e exemplo amosa unha impo an e des an axe do mé-
odo da alsa posición: a súa unila e alidade. É dici , con o me se a anza nas i e acións,
un dos pun os limi an es do in e alo ende a pe manece xo. Is o pode le a a unha
mala con e xencia, especialmen e en uncións cunha cu a u a impo an e. Pa a en ende
a p oblemá ica da que es amos a ala analicemos o seguin e exemplo desc i o en [9] e
ep esen ado na gu a 1.3.
0 0,511,5 2
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
x
(x)
4(1+
δ
)(x-
x2
)-1
δ
Figu a 1.3: Con e xencia len a
Conside emos a unción denida po
(x) = 


δ,
se
0≤x≤1
2
4(1 + δ)(x−x2)−1,
se
1
2≤x≤1
onde
0< δ < 1
. Cla amen e,
(x)
e
0(x)
son con inuas no in e alo
[0,1]
. Tomamos
x0=a= 0
e
x1=b= 1
, des e modo,
(a) = δ
e
(b) = −1
. Ago a, subs i uíndo na
1.2. MÉTODO DE REGULA FALSI
9
ó mula do mé odo da alsa posición, emos que
x2= 1 + 1 ·1−0
−1−δ= 1 −1
1 + δ.
En xe al, men es que
xn−1≤1
2
, ense que
xn= 1 −1
(1 + δ)n−2.
Supoñendo que
δ
é moi pequeno, o núme o de i e acións pa a que
xn≥1
2
, i á dado po
xn= 1 −1
(1 + δ)n−2≥1
2,
ago a aplicando loga i mos nepe ianos a ambos lados da desigualdade chegamos a que:
ln
1
(1 + δ)n−2≤
ln
1
2.
Logo,
n≥
ln
(2)
ln
(1 + δ)+ 2.
Se
δ
é moi pequeno, o núme o de i e acións é moi ele ado. Po exemplo, se omamos
δ= 10−6
necesí anse a edo de 639.000 i e acións pa a chega ao pun o
0
.
5
(que aínda
non é a aíz). Pola con a, o mé odo de dico omía con e xe cun e o meno a
2−49
en
49
i e acións.
A o ixe des a con e xencia an len a é debido a que as sucesi as i e acións es án semp e
no mesmo lado da aíz.
Polo xe al, es e exemplo ilus a que non é posible ealiza xene alizacións cos mé odos
de ob ención de aíces. Aínda que o mé odo de egula alsi é case semp e supe io ao de
dico omía, hai exemplos, coma es e, que e u an es a conclusión.
10
CAPÍTULO 1. MÉTODOS CLÁSICOS
1.3. Mé odo de New on-Raphson
Supoñamos que
∈C2([a, b])
. Se
x0∈[a, b]
é unha ap oximación da solución
α
, de al
o ma que
0(x0)6= 0
e
|α−x0|
é pequeno, en ón o polinomio de Taylo de p imei o g ao
cen ado en
x0
a aliado en
α
, exp ésase do seguin e xei o:
(α) = (x0)+(α−x0) 0(x0) + 1
2 00(ξ)(α−x0)2
onde
ξ
es á en e
α
e
x0
. Como
(α)=0
, esul a que
0 = (x0)+(α−x0) 0(x0) + 1
2 00(ξ)(α−x0)2
e uncando o e o, a ecuación queda educida a
0≈ (x0)+(α−x0) 0(x0).
Despexando ago a o alo de
α
, chegamos a que
α≈x0− (x0)
0(x0).
Is o mo i a a cons ución de sucesións de ap oximacións da o ma seguin e:



x0
dado
xn+1 =xn− (xn)
0(xn)
(1.3)
A in odución do mé odo de New on median e o desen ol emen o de Taylo esal a a
impo ancia dunha boa ap oximaión inicial. A suposición c ucial é que o e mo que con én
(α−xn)2
pode se eliminado. Es a se á unha suposición alsa a menos que
xn
sexa unha
boa ap oximación a
α
. En pa icula , se
x0
non es á sucien emen e p e o da aíz, o mé-
odo de New on pode non con e xe nela.
A con inuación, p esen amos na gu a 1.4 a in e p e ación xeomé ica do mé odo de
New on-Raphson.
1.3. MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
11
x
y
y= (x)
(x0, (x0)
(x1)
x1
Penden e
0(x0
)
Raíz
α
Pendeen e
0(x1
)
Figu a 1.4: Mé odo de New on-Raphson: in e p e ación xeomé ica
1.3.1. Con e xencia e e o
Teo ema 1.6
(Teo ema de con e xencia local)
.
Sexa
: [a, b]⊂R→R
cunha aíz
α∈(a, b)
. Supoñemos
de i able nun en o no
(α−δ1, α +δ1)⊂[a, b]
,
0
con inua en
α
e
0(α)6= 0.
En ón:
1. A aplicación
g(x) = x− (x)
0(x)
es á denida nun en o no
(α−δ2, α +δ2), δ2< δ1.
2. Exis e un en o no
(α−δ3, α +δ3)
al que pa a odo
x0∈(α−δ3, α +δ3)
a sucesión
{xn}n≥0
con
xn+1 = (xn)
con e xe a
α
e ademais
xn∈(α−δ3, α +δ3)
pa a odo
n≥0.
3. Pa a odo
x0∈(α−δ3, α +δ3)
a con e xencia de
{xn}n≥0
é supe lineal:
l´ım
n→∞ |xn+1 −α|
|xn−α|= 0.
A demos ación comple a pode e se en [9].
De aco do con suposicións azoables, o eo ema es ablece que semp e que se seleccione
unha ap oximación inicial sucien emen e p óxima á aíz, o mé odo de New on con e xe.
18
CAPÍTULO 1. MÉTODOS CLÁSICOS
n+1 ≈n−
(n−n−1) 0(α)n+2
n
2
00 (α)
0(α)+...
0(α)(n−n−1)1 + 1
2(n+n−1) 00(α)
0(α)+...
ou o que é o mesmo:
en+1 ≈n−n+2
n
2
00(α)
0(α)+...1 + 1
2(n+n−1) 00(α)
0(α)+...−1
=
n−n+2
n
2
00(α)
0(α)+...1−1
2(n+n−1) 00(α)
0(α)+...=
n−n+2
n
2
00(α)
0(α)−1
2n(n+n−1) 00(α)
0(α)+O(n2
n−1) + O(n−12
n).
Así,
n+1 ≈n−n+1
2
00(α)
0(α)(2
n−2
n−nn−1)=nn−1
00(α)
2 0(α).
En pa icula , ob ense a seguin e elación:
n+1 ≈nn−1
00(α)
2 0(α)
sendo
M= 00(α)
2 0(α).
Ago a, calculemos o alo de
p
:
Supoñamos que dado
p > 0
e
C > 0
, exis e o
l´ım
n→∞ |n+1|
|n|p=C.
Po ou o lado, como
l´ım
n→∞
n+1
nn−1
=M
cúmp ese que
l´ım
n→∞ |n+1|= l´ım
n→∞ |nn−1M|.
En pa icula ,
l´ım
n→∞ |n+1|
|n|p= l´ım
n→∞ |nn−1M|
|n|p= l´ım
n→∞ |n|1−p
|n−1|−1|M|=C
e ademais e i ícase que
l´ım
n→∞ |n|1−p
|n−1|−1= l´ım
n→∞ |n+1|1−p
|n|−1=C
|M|.

1.4. MÉTODO DA SECANTE
19
Polo an o, emos dous lími es que elacionan a
n+1
e
n
:
l´ım
n→∞ |n+1|1
|n|p=C
e
l´ım
n→∞ |n+1|1−p
|n|−1=C
|M|.
En ón, a única manei a de que o cocien e des es e mos con e xa a un alo ni o
dis in o de ce o é que as elacións dos e mos dos cocien es dos expoñen es sexan iguais.
Is o signica que:
1
p=1−p
−1
ou o que é o mesmo:
p2−p−1=0.
Resol endo a ecuación de segundo g ao, chegamos a que:
p=1 + √5
2≈1
.
618.
Finalmen e, como xa coñecemos o alo de
p
, é sinxelo acha o alo de
C
. Sabemos que
l´ım
n→∞ |n+1|
|n|p=C
(1.7)
e
l´ım
n→∞ |n+1|1−p
|n|−1=C
|M|.
Ago a, se ele amos a
(1 −p)
o lími e (1.7), emos que
l´ım
n→∞ |n+1|1
|n|p1−p
=C1−p= l´ım
n→∞ |n+1|1−p
|n|−1=C
|M|.
Logo,
C1−p=C
|M|,
é dici ,
C=|M|
1
p=
00(x)
2 0(x)
p−1
.
1.4.1. As an axes e incon enien es
A an axe p incipal des e mé odo espec o ao mé odo de New on é que non necesi a
coñece o alo da de i ada. Ademais, p esen a unha con e xencia ápida (non an o como
o mé odo de New on) que supe a aos mé odos de dico omía e egula alsi.
20
CAPÍTULO 1. MÉTODOS CLÁSICOS
É un e o moi común pensa que se se comeza con dúas ap oximacións iniciais que
ence an a aíz, o mé odo da secan e p oduci á i e acións de o ma que a aíz es á no in-
e alo de ex emos
xn
e
xn−1
. Is o non é así necesa iamen e. De ei o, bas a e a gu a 1.9.
Ago a ben, cando as ap oximacións es án moi p e o da aíz, poden apa ece p oblemas
de ipo compu acional. Son si uacións de ines abilidade numé ica que hai que e i a na
medida do posible. Téñense dado moi as al e na i as pa a o cálculo da seguin e i e ación
median e o mé odo da secan e. Todas eñen a súas an axes e incon enien es.
A ó mula
xn+1 =xn (xn−1)−xn−1 (xn)
(xn)− (xn)
(1.8)
é moi insa is ac o ia dende o pun o de is a compu acional. A azón é a pe da de díxi os
signica i os que se p oduce cando as i e acións
xn
e
xn−1
es án moi p e o da solución.
Un algo i mo pa a o mé odo da secan e basado na o ma usual
xn+1 =xn− (xn)xn−xn−1
(xn)− (xn−1)
(1.9)
ou na o ma
xn+1 =xn− (xn)
(xn)− (xn−1)
xn−xn−1
(1.10)
en a dicul ade dunha moi posible apa ición de
o e ow
.
As posibilidades de pe da de díxi os signica i os e
o e ow
edúcense no posible esc i-
bindo
xn+1 =xn−
(xn−1−xn)( (xn)
(xn−1))
1− (xn)
(xn−1)
.
(1.11)
Supoñendo que
| (xn)|<| (xn−1)|
es a ó mula e i a as posibles dicul ades e o ece unha o ma exac a de compu a
xn+1.
A súa ez, o mé odo da secan e pode non se axei ado po alguna das seguin es azóns:
Pode oco e que
(xn) = (xn−1)
de modo que non es a ía denido o pun o
xn+1
.
Is o ap éciase na gu a 1.10.
Tamén pode da se o caso de que algún i e an e
xn
non pe enza ao dominio de
denición de
. Sexa
=x2−4
cuxo
Dom
= [0,3]
. Tomemos como pun os iniciais
1.5. MÉTODO DE MÜLLER
21
x
y
y= (x)
x0x1
(x0) (x1)
Figu a 1.10: P oblemá ica 1:
(x0) = (x1)
x0= 0,24
e
x1= 0,59
. Como pode ap ecia se na gu a 1.11 ob ense que o i e an e
seguin e
x3= 5,65
non pe ence ao dominio de denición de
.
x
y
y= (x)
x0x1x2
(x0)
(x1)
Figu a 1.11: P oblemá ica 2: i e an e non pe ence ao dominio de
.
1.5. Mé odo de Mülle
O mé odo de Mülle emp ega es ap oximacións iniciais dadas:
x0, x1, x2
e de e mina
a seguin e ap oximación
x3
conside ando a in e sección do eixe x coa pa ábola que pasa
22
CAPÍTULO 1. MÉTODOS CLÁSICOS
polos pun os
(x0, (x0)),(x1, (x1)),(x2, (x2))
.
O p ocedemen o de Mülle comeza conside ando o polinomio cad á ico
p(x) = a(x−x2)2+b(x−x2) + c
(1.12)
que pasa po
(x0, (x0)),(x1, (x1)),(x2, (x2))
. T a a emos de a opa alo es de
a, b, c
pa-
a que a pa ábola pase polos pun os indicados, pa a iso esol emos o sis ema de ecuacións:
p(x0) = a(x0−x2)2+b(x0−x2) + c= (x0)
(1.13)
p(x1) = a(x1−x2)2+b(x1−x2) + c= (x1)
(1.14)
p(x2) = c= (x2)
(1.15)
Deducimos da úl ima ecuación que:
c= (x2).
Polo an o, subs i uíndo es e alo nas dúas p imei as ecuacións chegamos a que:
a(x0−x2)2+b(x0−x2) = (x0)− (x2)
(1.16)
a(x1−x2)2+b(x1−x2) = (x1)− (x2)
(1.17)
Pa a esol e es e sis ema imos deni as di e enzas que nel apa ecen. Nomea emos:
h0=x1−x0
(1.18)
h1=x2−x1
(1.19)
δ0= (x1)− (x0)
x1−x0
(1.20)
δ1= (x2)− (x1)
x2−x1
(1.21)
Des a o ma, se manipulamos as ecuacións an e io es emos:
(h0+h1)b−(h0+h1)2a=h0δ0+h1δ1
h1b−h2
1a=h1δ1)
(1.22)
Se esol emos o sis ema an e io chegamos a:
a=δ1−δ0
h1−h0
b=ah1+δ1
c= (x2)







(1.23)
1.5. MÉTODO DE MÜLLER
23
Unha ez achados os coecien es do polinomio de segundo g ao, emos denida a pa ábola
y=a(x−x2)2+b(x−x2) + c.
A con inuación, pa a a opa a ap oximación da aíz emos que ace
y= 0
na exp esión
an e io . Das dúas solucións posibles, omamos aquela que minimice a exp esión:
|x3−x2|.
A no a ap oximación da aíz,
x3
, i á dada pola solución de
p(x3)=0
. Polo an o:
a(x3−x2)2+b(x3−x2) + c= 0.
De aquí, emos que
x3−x2=−b±√b2−4ac
2ac
(1.24)
Nas ecuacións de segundo g ao onde
b24ac
a di e enza no nume ado pode se moi
pequena. Nes e caso, podemos esc ibi a di e enza
x3−x2
do seguin e xei o:
x3−x2=−2c
b±√b2−4ac
(1.25)
Se despexamos
x3
, ense que:
x3=x2+−2c
b±√b2−4ac
(1.26)
Toma emos ago a o signo de o ma que a di e enza
x3−x2
sexa o meno posible en
alo absolu o. Pa a iso, conside a emos o signo de modo que coincida co signo de b, des a
o ma o denominado se á máis g ande e polo an o a aíz se á máis p óxima a
x2
.
Así:
x3=x2−2c
b+signo(b)√b2−4ac
(1.27)
Onde
a, b, c
es án dadas polas exp esións an e io es. Unha ez se de e mina
x3
, o p o-
cedemen o einíciase usando
x1, x2, x3
en luga de
x0, x1, x2
pa a de e mina a seguin e
ap oximación
x4
. O mé odo con inúa a a que se ob én unha conclusión sa is ac o ia. Xa
que o mé odo in oluc a en cada paso ó adical
√b2−4ac
, o mé odo ap oxima á aíces
complexas cando sexa ap opiado. En xe al,
xn+1 =xn−2cn
bn+signo(bn)pb2
n−4ancn
(1.28)
A con inuación, examos na seguin e gu a 1.12 a in e p e ación xeomé ica do mé odo
de Mülle .

24
CAPÍTULO 1. MÉTODOS CLÁSICOS
x
(x)
y= (x)
y=ax2+bx +c
x0
x1
x2
Figu a 1.12: Mé odo de Mülle : in e p e ación xeomé ica
1.5.1. As an axes e incon enien es
A an axe p incipal que p esen a es e mé odo é que pe mi e ob e an o aíces comple-
xas como aíces eais. O mé odo de Mülle es á basado no mé odo da secan e pe o emp ega
unha ap oximación cad á ica en ez dunha ap oximación lineal. Is o implica unha con e -
xencia máis ápida que o mé odo da secan e.
x
(x)
y= (x)
x0
x2
Figu a 1.13: Mé odo da secan e
1.5. MÉTODO DE MÜLLER
25
x
(x)
y= (x)
y=ax2+bx +c
x0
x1
x2
Figu a 1.14: Mé odo de Mülle
Así mesmo, unha deciencia a sinala nes e mé odo é a seguin e: supoñamos que pa a
algún
n≥0
cúmp ese que
(xn) = (xn+1) = (xn+2)6= 0
, dese xei o a ecuación cad á ica
edúcese a unha unción cons an e dis in a de ce o e nunca in e seca ó eixe x. Vexámolo
na gu a 1.15.
x
(x)
x0x1x2p(x) = c
Figu a 1.15: Mé odo de Mülle : p oblemá ica
26
CAPÍTULO 1. MÉTODOS CLÁSICOS
Capí ulo 2
Es a exias de globalización do
mé odo de New on-Raphson
No capí ulo 1 in oducimos os mé odos clásicos pa a esol e ecuacións non linea es
nunha a iable e ademais p esen amos di os mé odos de manei a illada coas súas an axes
e os seus incon enien es. Tal como imos, o mé odo de New on p esén ase ápido, mais
ca en e de con e xencia global. En consecuencia, na p ác ica compu acional os mé odos clá-
sicos nunca se emp egan de o ma illada, senón acompañados dou os mé odos ou écnicas
que lles ag egan obus ez. Nes e capí ulo, p esen a emos mé odos híb idos elemen ais pe o
obus os. En pa icula , es uda emos o mé odo híb ido de dico omía e New on-Raphson
e o mé odo híb ido de dico omía e egula alsi. Pa a ema a , p esen a emos o mé odo
híb ido de Dekke -B en que emp ega secan e, in e polación cad á ica in e sa e dico omía.
2.1. Mé odo híb ido de Dico omía e New on-Raphson
O obxec i o des a sección consis e en c ea un mé odo obus o e ecien e que se ca-
ac e ice po ap o ei a as boas p opiedades do mé odo de dico omía e New on-Rahpson.
Un p imei o algo i mo que podemos es ablece consis e en aplica o mé odo de dico omía
a a acha un in e alo sucien emen e pequeno. A nalidade é acada a exión onde o
mé odo de New on en con e xencia local e a pa i de aí emp ega di o algo i mo. Con
odo, a exión onde con e xe localmen e é descoñecida e, en consecuencia, non podemos
p edici can as i e acións do mé odo de dico omía se án sucien es. Po unha banda, pou-
cas i e acións poden p o oca que o algo i mo de New on non con e xa. Po ou a banda,
demasiadas i e acións iniciais poden causa que a con e xencia sexa moi len a e non se
ap o ei e a con e xencia cad á ica do mé odo de New on. Polo an o, aínda que se a a
dunha o ma in e esan e de p ocede , examos que exis e ou a máis ace ada.
27
34
CAPÍTULO 2. ESTRATEXIAS DE GLOBALIZACIÓN DO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
egula alsi. O p oceso epí ese as eces p ecisas a a chega a cump i un c i e io de pa ada
axei ado ou un núme o máximo de i e acións.
Seguidamen e, p esen amos o pseudocódigo do mé odo híb ido de dico omía e egula
alsi:
En ada:
,
a
,
b
,
ol
,
imax
.
Saída:
Raíz
x
e o in e alo que a con én.
men es
i < imax
ace
m=a+b
2
E m =| (m)|
s=a− (a)(b−a)
(b)− (a)
E s =| (s)|
se
E m < E s
en ón
x=m
E a =E m
se
(a) (x)<0
en ón
b=x
se non
a=x
n se
se non
x=s
E a =E s
se
(a) (x)<0
en ón
b=x
se non
a=x
n se
i=i+ 1
n se
n men es

2.2. MÉTODO HÍBRIDO: DICOTOMÍA E REGULA FALSI
35
2.2.1. Resul ados
Unha ez explicado o p ocedemen o eó ico des a es a exia de globalización, imos
p esen a un exemplo p ác ico p og amado en Ma lab que pe mi e co obo a a in o mación
que es amos a da . Pa a elo, conside emos a ecuación
=x4−x3−1=0
e supoñamos que
ol
= 10−6
, imax
= 100
,
a=−0,7
e
b= 1,5
. P esen amos os esul ados co esponden es
nas seguin es áboas:
Mé odo de dico omía
[-0.7,1.5]
n x (x)
1 0.400000 -1.038400
2 0.950000 -1.042869
3 1.225000 -0.586390
4 1.362500 -0.083109
5 1.431250 0.264374
6 1.396875 0.081749
7 1.379688 -0.002832
8 1.388281 0.038912
9 1.383984 0.017905
10 1.381836 0.007503
11 1.380762 0.002327
12 1.380225 -0.000254
13 1.380493 0.001036
14 1.380359 0.000391
15 1.380292 0.000068
16 1.380258 -0.000093
17 1.380275 -0.000013
18 1.380283 0.000028 0.000062
19 1.380279 0.000008
20 1.380277 -0.000002
21 1.380278 0.000003
22 1.380278 0.000000
Mé odo de egula alsi
[-0.7,1.5]
n x (x)
1 0.130478 -1.001931
2 0.942685 -1.048014
3 1.279227 -0.415478
4 1.362390 -0.083612
5 1.377311 -0.014186
6 1.379791 -0.002335
7 1.380198 -0.000382
8 1.380265 -0.000063
9 1.380275 -0.000010
10 1.380277 -0.000002
11 1.380278 0.00000
36
CAPÍTULO 2. ESTRATEXIAS DE GLOBALIZACIÓN DO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
Mé odo híb ido de dico omía e egula alsi
[-0.7,1.5]
n a x b (a) (x) (b)
1 -0.700000 0.130478 1.500000 -0.416900 -1.001931 0.687500
2 0.130478 0.942685 1.500000 -1.001931 -1.048014 0.687500
3 0.942685 1.279227 1.500000 -1.048014 -0.415478 0.687500
4 1.279227 1.378722 1.389614 -0.415478 -0.007453 0.045481
5 1.378722 1.380256 1.389614 -0.007453 -0.000105 0.045481
6 1.380256 1.380277 1.389614 -0.000105 -0.000001 0.045481
7 1.380277 1.380278 1.389614 -0.000001 -0.000000 0.045481
y
x
αa0
b0=b1
m0
s0=x0=a1
x1=a2
Figu a 2.2: Mé odo híb ido: dico omía e egula alsi
A con inuación, especicamos a cons ución dos dous p imei os i e an es do mé odo
híb ido pa a acili a o seu en endemen o. Realizando os cálculos pe inen es, emos que
m0= 0
.
4, s0= 0
.
130478
e ademais, sa is ácese que
1
.
001931 = | (s0)|<| (m0)|= 1
.
038400
polo que deducimos que a mello ap oximación á aíz é
x0=s0
. A con inuación, ac uali-
zamos o in e alo
[a, b].
(a) (x0) = (−0
.
7) (0
.
130478) = −0
.
4169 ·(−1
.
001931) = 0
.
417705 >0
2.3. MÉTODO DE DEKKER-BRENT
37
en ón, necesa iamen e
a1=x0e b0=b1.
En pa icula ,
a1= 0
.
130478 e b1= 1
.
5
Na segunda i e ación, calculamos o i e an e
x1
a pa i de
m1= 0
.
815239
e
s1= 0
.
9427
.
Como
1
.
1 = |−1
.
1|=| (m)|>| (s)|=|−1
.
048|= 1,0480
omamos como aíz o pun o
s1=x1= 0
.
9427
. Ademais, ao cump i se que
(a1) (x1)>0
, emos necesa iamen e que
a2=s1=x1
e
b2=b1
. Repe imos o p oceso un núme o ni o de eces a a acha unha
boa ap oximación da aíz da ecuación.
2.2.2. Conclusións
O mé odo híb ido de dico omía e egula alsi consegue sol en a a p oblemá ica da
unila e alidade que, en ocasións, p esen a o mé odo illado da alsa posición. Des e modo,
e í ase que o mé odo quede xado nun pun o do in e alo e ademais, mello a o núme o de
i e acións con espec o aos mé odos clásicos de dico omía e egula alsi.
2.3. Mé odo de Dekke -B en
O mé odo de Dekke -B en é un mé odo híb ido que combina dico omía, secan e e in-
e polación cad á ica in e sa con algunhas ca ac e ís icas adicionais que o an moi obus o
e xe almen e moi ecien e. Os mé odos de dico omía e secan e o on analizados xa no
capí ulo 1. Nes a sección examina emos b e emen e o mé odo de in e polación cad á ica
in e sa.
2.3.1. In e polación cad á ica in e sa
O mé odo de in e polación cad á ica in e sa é unha écnica que se emp ega pa a e-
sol e a ecuación
(x)=0
, po én, es e algo i mo a a ez se emp ega po si só. Nes e
caso, mos a émolo o mando pa e do mé odo de Dekke -B en . Di a écnica consis e en
ap oxima a unción
po unha pa ábola que pasa po 3 pun os consecu i os
(xi, (xi))
sendo
i={n, n −1, n −2}.
A con inuación, conside amos o seguin e exemplo pa a xene aliza di o mé odo.
Sexa unha aplicacion
y= (x)
, en pa icula , sexa
(x) = x3−x2−x−1
e omemos os
pun os
x0= 0
,
x1= 1
e
x2= 2
. Emp egando o polinomio de in e polación de Lag ange:
38
CAPÍTULO 2. ESTRATEXIAS DE GLOBALIZACIÓN DO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
p(x) = (x1)·x−x2
x1−x2·x−x3
x1−x3
+ (x2)·x−x1
x2−x1·x−x3
x2−x3
+ (x3)·x−x1
x3−x1·x−x2
x3−x2
e subs i uíndo os alo es de
x0, x1, x2
en
p(x)
, esul a que
p(x) = 2x2−3x−1.
A súa ez, podemos calcula median e
as imaxes dos pun os
x0, x1
e
x2
. Logo,
y0=
(x0) = −1
,
y1= (x1) = −2
e
y2= (x2) = 1
. Ago a, asumindo que
en unha unción
cad á ica in e sa
g
, dedúcese que
x0=g(−1)
,
x1=g(−2)
e
x2=g(−3)
.
O obxec i o é acha a pa ábola que pasa po eses es pun os dados e oma a in e sección
da pa ábola co eixe x como a no a es imación da aíz. Así,
g(y) = x1·y−y2
y1−y2·y−y3
y1−y3
+x2·y−y1
y2−y1·y−y3
y2−y3
+x3·y−y1
y3−y1·y−y2
y3−y2
.
Subsi uíndo ago a os alo es
y0, y1, y2
en
g(y)
, chegamos a que:
g(y) = 2y2
3+y+1
3.
Finalmen e, conside ando
y= 0
, dedúcese que
g(0) = 1
3.
Es e alo induce a es imación da no a aíz:
x3=1
3
.
Ago a, xe alizando pa a
n≥2
, emos que:
g(y) = xn−2·y−yn−1
yn−2−yn−1·y−yn
yn−2−yn
+xn−1·y−yn−2
yn−1−yn−2·y−yn
yn−1−yn
+xn·y−yn−2
yn−yn−2·y−yn−1
yn−yn−1
e conside ando
y= 0
, esul a que:
xn+1 =xn−2·0−yn−1
yn−2−yn−1·0−yn
yn−2−yn
+xn−1·0−yn−2
yn−1−yn−2·0−yn
yn−1−yn
+xn·0−yn−2
yn−yn−2·0−yn−1
yn−yn−1
.
2.3. MÉTODO DE DEKKER-BRENT
39
En deni i a, chegamos ó seguin e mé odo i e a i o:
xn, xn−1, xn−2
dados pa a odo
n≥2.
xn+1 =xn−2·yn−1yn
(yn−2−yn−1)(yn−2−yn)+xn−1·yn−2yn
(yn−1−yn−2)(yn−1−yn)+
+xn·yn−2yn−1
(yn−yn−2)(yn−yn−1)
2.3.2. Algo i mo de Dekke -B en
O mé odo de Dekke -B en é a base da u ina
ze o
en Ma lab. A idea xe al pa a a
p ocu a da aíz é, semp e que sexa posible, emp ega secan e ou in e polación cad á ica
in e sa. No caso de que is o xe e un esul ado inacep able, é dici , unha es imación da
aíz que es é demasiado p e o dun pun o nal do in e alo ou demasiado p e o a un pun o
inicial do in e alo, o algo i mo ol e ao mé odo de dico omía. Aínda que o mé odo de
dico omía pode se máis len o, xe a unha es imación da aíz con ga an ía de es a den o
da exión de con e xencia debido á súa con e xencia global.
Comezamos conside ando unha unción
, o ex emo in e io
a
do in e alo
[a, b]
, o
ex emo supe io do in e alo
[a, b]
, unha ole ancia
ol = 10−6
e
δ= 4|b|+ ol
sendo

o épsilon da máquina. Ao inicio, elíxese un e cei o pun o
c
coinciden e con
a
. Cando o
algo i mo p og esa, en cada paso calcúlase un conxun o de es no os pun os
a, b, c
, onde:
b
é a no a ap oximación da aíz.
a
é o alo p e io de
b
.
c
é o pun o máis ecen e pa a o cal
(b) (c)<0
.
De o ma que
b
e
c
semp e ence an á aíz.
Máis p ecisamen e, en cada paso es udamos se
| (b)|<| (a)|
e en caso con a io
in e cambiamos
a
po
b
e
b
po
a
. A con inuación, se
(a)6= (c)
e
(b)6= (c)
en ón
calculamos
s
median e a écnica de in e polación cad á ica in e sa.
s=a (b) (c)
( (a)− (b)( (a)− (c))+b (a) (c)
( (b− (a))( (b)− (c))+c (a) (b)
( (c)− (a))( (c)− (b)).

40
CAPÍTULO 2. ESTRATEXIAS DE GLOBALIZACIÓN DO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
En caso con a io, op amos po emp ega o mé odo da secan e
s=b− (b)b−a
(b)− (a).
Ago a ben, B en ai adicións moi p ecisas pa a e i a que o algo i mo con e xa de o ma
len a. Se se cump e algunha das seguin es condicións, ie,
1. Se
s /∈[3a+b
4, b]
ou
2.
|s−b| ≥ |b−c|
2
ou
3.
|s−b| ≥ |c−d|
2
ou
4.
|b−c|<|δ|
ou
5.
|c−d|<|δ|
en ón emp egamos o mé odo de dico omía e polo an o ecalculamos
s
como segue:
s=a+b
2.
Finalmen e, conside amos
d=c
,
c=b
e ac ualizamos o in e alo
[a, b]
. Se
(a) (s)<0
en ón
b=s
e senón
a=s
. Repe imos o p oceso de busca da aíz a a que se cump a un
dos seguin es c i e ios de pa ada
abs( (b)) < ol
ou
|b−a|< ol
ou
(s)< ol
.
De ol emos o alo de
b
que é a no a aíz.
Expoñemos un exemplo p ác ico pa a acili a o seu en endemen o.
Supoñamos que
=x3+x2−5x+3
e sexa o in e alo
[a0, b0]=[−4,4
3] = [4,1
.
333333]
,
e
δ= 2bn
ol
= 10−6
. Se a aliamos en
os ex emos
a0
e
b0
, esul a que
(a0) = −25
e
(b0)=0
.
481481
. Ademais, como se cump e que
(a0) (b0)<0
, en ón podemos a ma
a exis encia de polo menos unha aíz no in e alo
[a0, b0]
.
A con inuación, comp obamos que se sa is ace a condición
| (b0)|<| (a0)|.
En e ec o,
0
.
481481 <25
. Ago a (soamen e na p imei a i e ación) omamos
c0=a0
, é dici ,
c0=−4
(nas es an es i e acións, suponse que
cn=bn
pa a odo
n≥1
). Como
(c0) = (a0)
debemos emp ega o mé odo da secan e:
s0=b0− (b0)b0−a0
(b0)− (a0)=4
3− 4
3
4
3+ 4
0
.
481481 + 25 = 1
.
232558.
2.3. MÉTODO DE DEKKER-BRENT
41
Pola con a, es e alo
s0
aínda non é decisi o. Como ben imos, no caso de cump i se
unha ou máis condicións es ablecidas no algo i mo, calcula iamos
s0
emp egando dico o-
mía e exei a iamos o alo de
s0
an e io men e achado.
O seguin e paso é ealiza as comp obacións pe inen es.
a p imei a é e se
s /∈3a0+b0
4, b0.
É cla o que is o non é ce o xa que
1
.
232558 = s∈[−2
.
666666,1
.
33333]
. A segunda
comp obación se á e se se cump e a seguin e desigualdade:
|s0−b0| ≥ |b0−c0|
2.
Di a condición non se cump e pois
0
.
100775 2
.
666666.
Pola con a, como
dn
só es á denido pa a
n≥1
, non es udamos a e cei a e quin-
a condición exp esada no algo i mo xa que es as elacionan o alo de
d0
. Finalmen e,
examos se sa is ace a cua a:
|b0−c0|<|δ|.
É cla o que non se cump e xa que:
|1
.
333333 + 4|= 5
.
333333 ≮|4··4
3+ ol|.
En conclusión, como ningunha condición se sa is ace, concluímos que o mello mé odo
pa a acha
s0
é u iliza secan e.
A con inuación, supoñamos
d1=c0
en pa icula ,
d1=−4
e
c1=b0
, ie,
c1= 1
.
333333
.
Como
(a0) (s0) = −5,722766 <0
, en ón necesa iamen e
b0=s0
e, polo an o, o no o
in e alo de es udo se á
[a1, b1]=[−4,1
.
232558]
. Finalmen e, como
|b0−a0|≮ ol
ou
abs
( (s0)) ≮ ol
ou abs
( (b0)) ≮ ol
en ón necesa iamen e emos que segui i e ando.
Vexamos ago a dunha o ma máis b e e o p ocedemen o a segui na segunda i e ación.
Nes e caso,
a1=−4
,
(a1) = −25
,
b1= 1
.
232558
e
(b1)=0
.
228910
. Logo,
(a1) (b1)<0
e podemos asegu a que exis e polo menos unha aíz nese in e alo. Ademais, comp óbase
que se cump e a condición
| (b1)|<| (a1)|
. Ago a, como
c1= 1
.
333333
e
(c1)=0
.
481481
en ón deducimos que
(c1)6= (a1)
e
(b1)6= (c1)
e es amos en condicións de emp ega
42
CAPÍTULO 2. ESTRATEXIAS DE GLOBALIZACIÓN DO MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON
o mé odo de in e polación cad á ica in e sa. Ope ando, esul a que
s1= 1
.
142052
.
Comp obemos se o cálculo do alo
s
median e es e mé odo é o ace ado, ou se pola con a,
debe iamos emp ega dico omía. Pois ben, con unhas sinxelas ope acións, p óbase que non
se cump e ningunha das 5 condicións impos as no algo i mo,daquela, a écnica a segui
se á in e polación cad á ica in e sa.
Sexa
d2=c1= 1
.
333333
e
c2=b1= 1
.
232558
. Como
(a1) (s1)<0
en ón
a2=−4
e
b2= 1
.
142052
. Debemos segui i e ando pos o que nin
|b1−a1|≮ ol
nin abs
( (s1)) ≮ ol
nin abs
( (b)) ≮ ol.
Pa a concluí , ealicemos unha e cei a i e ación no in e alo
[a2, b2]=[−4,1
.
142052]
. É
cla o que
(a2) (b2)<0
, polo que podemos asegu a a exis encia de polo menos unha aíz
nese in e alo. Ademais, cúmp ese que
| (b2)|<| (a2)|
,
c2= 1
.
232558
e
(c1) = 0
.
228910
.
Como
(c2)6= (a2)
e
(b2)6= (c2)
, des e xei o emp egamos o mé odo de in e polación
cad á ica in e sa e
s= 1
.
090317
. Po én, nes a ocasión emos que non é o mello mé odo
pa a p ocede xa que se sa is ace a seguin e condición:
|b2−c2|
2≤ |s2−b2|.
Pois,
0
.
045253 ≤0
.
0517
, así que debemos e ocede na nosa busca e aplica o mé odo de
dico omía
s2=b2+a2
2=−1
.
428974.
Ago a, como
(s2) (a2)<0
, en ón necesa iamen e
a3=−4
e
b3= 1
.
428974
. Po se
(s2)≮ ol
ou
(b2)≮ ol
,
|b2−a2|≮ ol
seguimos i e ando un núme o ni o de eces a a
que se cump a un dos es c i e ios de pa ada es ablecidos. Despois de 7 i e acións máis,
chegamos a que a aíz ap oximada é
−3
.
000000
. A con inuación, amosamos o pseudocódigo
do mé odo de Dekke -B en .
2.3. MÉTODO DE DEKKER-BRENT
43
En ada:
,
a
,
b
,
ol
.
Saída:
aíz
b
.
men es
abs( (b)) >0
ou
abs( (s)) >0
ou
|b−a|> ol
ace
se
| (a)|<| (b)|
en ón
in e cambiamos
(a, b)
n se
c=a
se
(a)6= (c)
e
(b)6= (c)
en ón
s=a (b) (c)
( (a)− (b))( (a)− (c)) +b (a) (c)
( (b− (a))( (b)− (c))+
+c (a) (b)
( (c)− (a))( (c)− (b))
(in e polación cad á ica in e sa)
se non
s=b− (b)b−a
(b)− (a)
(mé odo da secan e)
n se
se
s /∈3a+b
4, b
ou
|s−b| ≥ |b−c|
2
ou
|s−b| ≥ |c−d|
2
ou
|b−c|<|δ|
ou
|c−d|<|δ|
en ón
s=a+b
2
( mé odo de dico omía)
n se
d=c
c=b
se
(a) (s)<0
en ón
b=s
se non
a=s
n se
n men es
50
APÉNDICE A. CÓDIGO MATLAB PARA OS MÉTODOS CLÁSICOS
A.3. Mé odo de New on-Raphson
1
clea
2
clc
3
o ma long
4
syms x
5
Fun=x^4+3
*
x^3
=
15
*
x^2
=
2
*
x+9;x0=1.88; a=0;b=2; ol=10^
=
6;imax=100;
6
=inline (Fun) ;
7
D =di (Fun) ;
8
d =inline (D ) ;
9
i =1;
10
p in (' i p Eabs E el | (x) | n ' ) ;
11
while i<imax
12
x=x0
=
(x0)/d (x0) ;
13
X( i )=x ;
14
Eabs=abs(x
=
x0) ;
15
E el=abs(Eabs/x) ;
16
En=abs( (x) ) ;
17
p in (' %4d %11.6 %11.6 %11.6 %11.6 n ' , i ,x , Eabs , E el , abs
( (x) ) )
18
i o ( E el< ol , Eabs< ol )
19
p in ('La ap oximacion a la aiz es : %12.9 n ' ,x ')
20
b eak;
21
else
22
x0=x ;
23
end
24
i=i +1;
25
end
26
%Elabo acion da g a ica
27
z=
=
4:0.01:4;
28
plo (z , (z) , ' ')
29
hold on
30
plo (X, (X) , '+:b ' )
31
ex (X(end) , (X(end) ) , '<
==
aiz ')
32
g id on
33
hold o

A.4. MÉTODO DA SECANTE
51
A.4. Mé odo da secan e
1
syms x
2
o ma long
3
Fun=exp(
=
x)+cos (x) ; x0=
=
2; x1=2; ol=10^
=
5; imax=100;
4
=inline (Fun) ;
5
i =1;
6
y0= (x0) ;
7
y1= (x1) ;
8
p in (' n x0 x x1 (x0)
| (x) | (x1) E abs n ' ) ;
9
while i<imax
10
x=x1
=
y1
*
(x1
=
x0) /(y1
=
y0) ;
11
X( i )=x ;
12
E abs=abs(p
=
p1) ;
13
p in (' %4d %11.6 %11.6 %11.6 %11.6 %11.6 %11.6 %11.6 n
', i , x0 ,x , x1 , (x0) , (x1) , E abs , abs( (x) ) ) ;
14
i E abs< ol | | abs( (x) )< ol
15
p in (' O alo da ap oximacio e : % 12.9 n ' ,x)
16
b eak;
17
else
18
x0=x1 ;
19
y0=y1 ;
20
x1=x ;
21
y1= (x) ;
22
end
23
i=i +1;
24
end
25
%Elabo acion da g a ica
26
z=x
=
2:0.01:x+2;
27
plo (z , (z) , ' ')
28
hold on
29
plo (X, (X) , '+:b ' )
30
ex (X(end) , (X(end) ) , '<
==
aiz ')
31
g id on
32
hold o
52
APÉNDICE A. CÓDIGO MATLAB PARA OS MÉTODOS CLÁSICOS
A.5. Mé odo de Mülle
1
clc
2
clea
3
syms x
4
x0=
=
1;x1=0;x2=1; ol =10^
=
5; imax=100; Fun=exp(
=
x)+cos (x) ;
5
=inline (Fun) ;
6
i =1;
7
h1=x1
=
x0 ;
8
h2=x2
=
x1 ;
9
del a1=( (x1)
=
(x0) )/h1 ;
10
del a2=( (x2)
=
(x1) )/h2 ;
11
d=(del a2
=
del a1 ) /(h2+h1) ;
12
i =3;
13
p in (' i x0 x1 x2 x
(x) n ' ) ;
14
15
while i<imax
16
b=del a2+h2
*
d;
17
D=sq ((b^2
=
4
*
(x2)
*
d) ) ;
18
i abs (b
=
D)<abs(b+D)
19
E=b+D;
20
else
21
E=b
=
D;
22
end
23
h=
=
2
*
(x2)/E;
24
x=x2+h ;
25
i abs (h)< ol
26
p in (' nA solucion ap oximada e x=%11.8 n: ' ,x) ;
27
b eak;
28
end
29
p in (' %4d %11.6 %11.6 %11.6 %11.6 %11.6 n ' , i , x0 , x1 , x2 ,x ,
(x) ) ;
30
x0=x1 ;
31
x1=x2 ;
32
x2=x ;
A.5. MÉTODO DE MÜLLER
53
33
h1=x1
=
x0 ;
34
h2=x2
=
x1 ;
35
del a1=( (x1)
=
(x0) )/h1 ;
36
del a2=( (x2)
=
(x1) )/h2 ;
37
d=(del a2
=
del a1 ) /(h2+h1) ;
38
i=i +1;
39
end
54
APÉNDICE A. CÓDIGO MATLAB PARA OS MÉTODOS CLÁSICOS
Apéndice B
Código Ma lab pa a os mé odos
híb idos
B.1. Mé odo híb ido de dico omía e New on-Raphson
1
unc ion HDN
2
syms x
3
Fun=exp(
=
x)+cos (x) ; a=
=
2; b=2; ol =10^
=
5; imax=100; del a=10^
=
5
4
A=a ;B=b;
5
=inline (Fun) ;
6
D =di (Fun) ;
7
d =inline (D ) ;
8
i (a)
*
(b)<0
9
x=(a+b) /2;
10
i =1;
11
p in (' i a x b (a)
(x) (b) n ' ) ;
12
while x >= ol && i<imax
13
X( i )=x ;
14
p in (' %4d %11.6 %11.6 %11.6 %11.6 %11.6 %11.6 n ' , i ,a ,x ,b
, (a) , (x) , (b) ) ;
15
i d (x)< del a
16
x=x
=
(x)/d (x) ;
17
else
18
[ a ,b]= biseccion (a ,b , x ,Fun) ;
55

56
APÉNDICE B. CÓDIGO MATLAB PARA OS MÉTODOS HÍBRIDOS
19
x=(a+b) /2;
20
end
21
i a<=x && x>=b
22
[ a ,b]= biseccion (a ,b , x ,Fun) ;
23
x=(a+b) /2;
24
end
25
i=i +1;
26
end
27
end
28
29
unc ion [ a ,b]= biseccion (a ,b ,x ,Fun)
30
=inline (Fun) ;
31
i (a)
*
(x)>0
32
a=x ;
33
else
34
b=x ;
35
36
end
37
%Elabo acion da g a ica
38
z=A:0.01:B;
39
igu e(gc )
40
plo (z , (z) , ' ')
41
hold on
42
plo (X, (X) , '+b ' )
43
g id on
44
ex (X(end) , (X(end) ) , '<
==
aiz ')
45
hold o
46
end
B.2. MÉTODO HÍBRIDO DE DICOTOMÍA E REGULA FALSI
57
B.2. Mé odo híb ido de dico omía e egula alsi
1
clc
2
clea
3
syms x
4
o ma long ;
5
Fun=x^4
=
x^3
=
1; a=
=
0.7; b=1.5; ol =10^
=
6; imax=100;
6
=inline (Fun) ;
7
p in (' n a x b (a)
(x) (b) n ' ) ;
8
while i<imax
9
m=(a+b) /2;
10
E m=abs( (m) ) ;
11
s=a
=
(a)
*
(b
=
a) /( (b)
=
(a) ) ;
12
E s=abs( ( s ) ) ;
13
i E m< E s % o me odo de dico omia de e mina o no o
in e alo e a aiz
14
x=m;
15
i abs ( (x) )< ol
16
p in (' nA solucion ap oximada e p=%11.8 n: ' ,x) ;
17
b eak;
18
end
19
E a=E m;
20
i (a)
*
(x)>0
21
a=x ;
22
else
23
b=x ;
24
end
25
else % emp egamos o me odo de alsa posicion
26
x=s ;
27
%X( i )=x ;
28
p in (' %4d %11.6 %11.6 %11.6 %11.6 %11.6 %11.6 n ' , i , a ,x ,
b, (a) ,( (x) ) ,( (b) ) ) ;
29
E a=E s ;
30
i abs ( (x) )< ol
31
p in (' nA solucion ap oximada e p=%11.8 n: ' ,x) ;
58
APÉNDICE B. CÓDIGO MATLAB PARA OS MÉTODOS HÍBRIDOS
32
b eak;
33
end
34
i (a)
*
(x)<0
35
b=x ;
36
else
37
a=x ;
38
end
39
end
40
i=i +1;
41
end
42
43
%Elabo acion da g a ica
44
z=
=
p :0 .01: p ;
45
plo (z , (z) , ' ')
46
hold on
47
plo (P, (P) , '+:b ' )
48
ex (P(end) , (P(end) ) , '<
==
aiz ')
49
g id on
50
hold o
B.3. MÉTODO DE DEKKER-BRENT
59
B.3. Mé odo de Dekke -B en
1
clea
2
clc
3
syms x
4
(x)=x^3+x^2
=
5
*
x+3;
5
a=
=
4;
6
b=4/3;
7
ol =10^(
=
6) ;
8
i (a)
*
(b)>0
9
%disp ( 'Non exis e aiz no in e alo [a ,b] ')
10
e u n ;
11
else
12
%disp ( ' Exis e aiz en al in e alo [ a ,b ] ')
13
end
14
15
i abs ( (b) )<=abs( (a) )
16
% disp ( 'Cump ese a condicion desexada ')
17
else
18
emp=a ;
19
a=b;
20
b= emp ;
21
end
22
c=a ;
23
d=b;
24
N=100;
25
i =1;
26
p in (' i a s b (a)
( s ) (b) c d (3a+b)/4 n '
)
27
while i<=N | | abs(b
=
a)< ol | | abs( ( s ) )< ol | | abs( (b) )< ol
28
29
i (a)~= (c) && (b)~= ( c)
30
31
s=double (a
*
(b)
*
(c) /(( (a)
=
(b) )
*
( (a)
=
( c) ) )+b
*
(a)
*
(c ) /(( (b
)
=
(a) )
*
( (b)
=
( c) ) )+c
*
(a)
*
(b) /(( ( c)
=
(a) )
*
( (c)
=
(b) ) ) ) ;