Modelos de regresión non lineais con erros nos regresores: unha aplicación á xestión de recursos pesqueiros

Tese de Doutoramento Modelos de regresión non lineais con erros nos regresores: unha aplicación á xestión de recursos pesqueiros Juan Carlos Estévez Núñez Universidade de Santiago de Compostela Departamento de Economía Cuantitativa D. José Carlos de Miguel Domínguez, Catedrático da Universidade de Santiago de Compostela e D. Manel Antelo Suárez, Profesor Titular da Universidade de Santiago de Compostela Autorizan a presentación da memoria adxunta, titulada Modelos de regresión non lineais con erros nos regresores: unha aplicación á xestión de recursos pesqueiros, realizada por D. Juan Carlos Estévez Núñez baixo a dirección de ambos, para optar ao grao de Doutor en Economía. E para que así conste, expídese a presente autorización en Santiago de Compostela, o 29 de Nadal de 2011. Asdo: D. José Carlos de Miguel Domínguez Asdo: D. Manel Antelo Suárez Agradecementos Facer público nun traballo como é unha Tese de Doutoramento, o meu agradecemento a aquelas persoas que dun ou doutro xeito tiveron unha participación directa ou indirecta na súa elaboración, quizais non debera entenderse só como un xesto que reflicte un sentimento de gratitude, senón tamén como un exercicio de honestidade e xustiza. Por iso de xustiza e gratitude é recoñecer a axuda dos directores, Manel Antelo, revisor incansable de ingratas versións previas deste traballo e exemplo de amizade radicalmente comprometida, e José Carlos de Miguel, orixe do cerne desta investigación e alentador entusiasta nos momentos máis críticos. Grazas. Tamén é de gratitude e xustiza, nomear ao profesor Xosé Luís Quiñoá, polas súas ensinanzas e pola súa axuda desinteresada, así como aos meus outros compañeiros e compañeiras do Departamento de Economía Cuantitativa da USC, tantos anos xa embarcados na mesma travesía con inesquecibles mostras de aprecio persoal mesmo na diferenza. En especial, a inspiración emocional de Isabel, a amizade de Agustín, Ánxela, Chus, Fernando, Luciano, Rosalía e Xulio, e a axuda no terreo docente de Ana, Carmen, Mila, Xosé Antón, Xulia e as demais compañeiras da sección de Econometría, foron ventos que axudaron neste navegar. Igualmente é de xustiza lembrarme dos profesores Luís Lamas e Conchita del Valle, mestres sempre presentes na miña memoria. Grazas a todas elas e a todos eles. Aos profesores Carlos Ricoy, Fidel Martínez, Manolo Xordán e Xan Carmona lles agradezo terme permitido compartir a gran calidade humana que todos eles desbordan, e darme forzas e ánimos cando o mal tempo obriga a vogar. Agradecido tamén. Amoso a miña gratitude ás sucesivas xeracións de estudantes que teñen sufrido ás miñas desventuras docentes pola deferencia con que sempre me teñen tratado e a paciencia que teñen demostrado coas miñas manías e eivas profesionais. Á miña familia máis achegada, Ari, Flora, Manuel, Manolo, Begoña e Fran, e aos amigos Anxo Doval, Blas Charlín, Rafa Trelles e Abel Losada, lles debo simplemente cada segundo de vida que ven acubillarse ao meu humilde corazón. Mar de fondo. Dicir grazas é mesmo insuficiente ... E finalmente expresar, non só gratitude senón tamén emocionada admiración, polo guaje profesor Eduardo ‘Manosiempreabiertas’, alma inqueda que como o noso mar é fonte inesgotable de novos achados académicos, científicos e culturais que sempre está disposto a compartir. ‘Gracies’. ÍNDICE INTRODUCIÓN 1 1. O ESTADO DA ARTE 11 1.1 Introdución 13 1.2 O modelo de xestión de Gordon-Schaefer-Munro no marco do paradigma tradicional 15 1.3 A estimación de modelos con erros nas variables 18 1.3.1. O caso linear 19 1.3.2. O caso non linear 21 Bibliografía 23 2. ESTIMACIÓN DUN MODELO SIMPLE DE CRECEMENTO CON ERROS NO REGRESOR 27 2.1 Introdución 29 2.2 Modelos sigmoidais na xestión de recursos pesqueiros: unha proposta de formalización 31 2.3 Estimación co método de mínimos cadrados cando existen perturbacións pero non erros de medida no regresor 39 2.4 Estimación co método de mínimos cadrados se non existen perturbacións pero si existen erros de medida no regresor 46 2.5 Estimación co método de mínimos cadrados se existen perturbacións e erros de medida no regresor 49 2.5.1. Simulacións con información centrada no punto de inflexión do modelo latente 60 2.5.1.1. Modelo simulado I 61 2.5.1.2. Modelo simulado II 67 2.5.2. Simulacións con información non centrada no punto de inflexión do modelo latente 70 2.5.2.1. Modelo simulado III 71 2.5.2.2. Modelo simulado IV 72 2.6 Conclusións 75 Bibliografía 77 3. ESTIMACIÓN DE MODELOS CUADRÁTICOS CON ERROS NO REGRESOR 79 3.1 Introdución 81 3.2 Modelos cuadráticos na xestión de recursos pesqueiros: unha proposta de formalización 82 3.3 A estimación do modelo cuadrático xeral co método de mínimos cadrados (MC) 85 3.3.1. Consistencia dos estimadores de mínimos cadrados con información do regresor centrada no parámetro β2 88 3.3.1.1. Disposición simétrica da información 88 3.3.1.2. Propiedades das mostras de observacións con disposición simétrica 90 3.3.1.3. Consistencia do estimador b1 92 3.3.1.4. Consistencia do estimador b0 102 3.3.2. Consistencia dos estimadores de mínimos cadrados con información do regresor non centrada no parámetro β2 104 3.3.2.1. Disposición simétrica da información 104 3.3.2.2. Consistencia do estimador b1 104 3.3.2.3. Consistencia do estimador b2 107 3.3.2.4. Consistencia do estimador b0 110 3.4 A estimación dun modelo cuadrático particular 113 3.4.1. Estimadores MC dispoñendo dos valores verdadeiros da biomasa 115 3.4.2. Consistencia dos estimadores MC cando o regresor ten erros de medida 119 3.4.3. Simulación 127 3.4.4. Información sobre a biomasa latente non centrada no valor que maximiza a variación natural 131 3.5 Implicacións que se derivan da inconsistencia dos estimadores MC cando o regresor ten erros de medida, sobre o modelo de Gordon-Schaefer-Munro 136 3.5.1. Ecuacións do modelo teórico orixinal 136 3.5.2. Simulacións comparativas 138 3.5.3. Consecuencias económicas 143 3.6 Conclusións 145 Bibliografía 147 4. HIPÓTESE DE DISTRIBUCIÓN ASIMÉTRICA DE PROBABILIDADE DO REGRESOR NUN MODELO CUADRÁTICO PARTICULAR 149 4.1 Introdución 151 4.2 Distribucións de probabilidade asimétricas de variables con valores non negativos 154 4.3 Distribución de probabilidade de tipo Gamma (α, β, δ) para a biomasa latente e os erros de medida 155 4.4 Distribución de probabilidade da suma de dúas variables con distribución Gamma con tres parámetros 162 4.5 Momentos da convolución de dúas distribucións de probabilidade particulares Gamma con tres parámetros 166 4.6 Distribución de probabilidade de tipo Beta (α, β, t1, t2) para a biomasa latente e os erros de medida 168 4.7 Conclusións 174 Bibliografía 176 INTRODUCIÓN 4 Dende ese punto de vista resulta imprescindible revisar minuciosamente cada un dos detalles que caracterizan os modelos que se propoñen, e con máis razón se eses detalles están enunciados como hipóteses ou representados como parámetros que é necesario determinar. Na medida na que este tipo de modelo biolóxico de crecemento loxístico (ou sigmoidal) utiliza ecuacións non lineais nos parámetros e/ou nas variables para representar as relacións entre as variables que considera, demostrar as implicacións de estimar ese tipo de ecuacións sen ter en conta a posible existencia de erros de medida, é o detalle que se converte en pedra angular sobre a que xira a idea principal desta Tese de Doutoramento. A outra, non menos importante é a necesidade de reflexionar sobre a validez estatística das inferencias que se derivan dos modelos así estimados, así como tamén sobre as consecuencias que comporta ese proceder á hora de xestionar os recursos pesqueiros. Cremos que estas reflexións son pertinentes pois con demasiada frecuencia a investigación nalgúns campos da ciencia se contenta coa utilización de técnicas e métodos de investigación que no seu momento deron bos resultados en determinados eidos, pero dos que non está acreditada a súa validez en outras áreas de investigación. Por outra banda tamén é frecuente acudir a metodoloxías que son especialmente engaiolantes pola súa novidade, sen facer previamente un serio exercicio de reflexión sobre a súa idoneidade. Relevancia Neste último senso debe terse en conta a profusión con que se vén utilizando o modelo antes mencionado para representar os aspectos máis salientables tanto do comportamento biolóxico de certos recursos renovables como son os pesqueiros, como das liñas de actuación que se propoñen para a súa xestión tendo en conta criterios económicos e de sustentabilidade. Así, a constante alusión ao mesmo tanto na investigación teórica como en informes técnicos auspiciados por entidades de gran prestixio internacional (FAO, ICES, etc.), sitúao como chanzo de obrigado paso no proceso de deseño de calquera política Introdución 5 pesqueira, cando menos como punto de referencia. Agora ben, o nivel de atención que se ten prestado ata agora á mellora deste tipo de modelos mediante a utilización de diferentes ecuacións alternativas que se adapten mellor a cada caso particular, ou mediante o intento de enriquecer a información estatística dispoñible, non foi parello á análise da idoneidade do método de estimación das ecuacións que os constitúen no contexto que aquí se propón. E iso a pesar de que é habitual atoparse comentarios nos informes técnicos que evidencian dúbidas sobre a información estatística dispoñible ou sobre o papel que desempeña a incerteza na determinación de liñas estratéxicas de política de xestión de recursos como os pesqueiros, como se comenta no Capítulo 1. Aínda que as decisións políticas que se observan a cotío fan pensar que, na práctica, os postulados e intereses ‘pseudo-científicos’ son os que tenden a ter máis peso á hora de planificar a xestión destes recursos, cabe pensar que o esforzo por formalizar e racionalizar ese proceso de xestión non é obviado nin polos axentes que toman esas decisións nin polos que poden influír en que se tomen. Nese senso, é de supoñer que os informes técnicos de organismos como a FAO ou o ICES, ou o traballo de moitos grupos de investigación especializados no eido que nos ocupa, non caen en saco baleiro. E desde ese punto de vista, resulta evidente a importancia estratéxica de todo aquilo que poida facer máis eficiente e sustentable a xestión dos recursos pesqueiros, como pretende o obxectivo último desta Tese de Doutoramento. Outra cuestión de especial relevancia é a de dilucidar ata qué punto resulta aconsellable refinar un aspecto dun modelo cando, por definición, este refinamento supón sempre unha solución de compromiso entre a necesidade de representar de xeito simplificado unha realidade (tendo en conta uns criterios de corrección, verosimilitude, intuición...) e o intento de recoller os matices máis relevantes desa realidade. A este respecto cómpre enfocar esta cuestión tendo en conta a relación entre o custo adicional de mellorar un modelo sobre o comportamento dun determinado recurso renovable e os beneficios que isto reportará. E desde ese punto de vista, as propostas que se ofrecen nesta Tese de Doutoramento probablemente suporían un escaso custo adicional en termos de tempo e 14 Tendo en conta estes aspectos, na seguinte etapa da análise recompílase información sobre as variables coa esperanza de que permitan estimar os parámetros do modelo de forma que ofrezan unha descrición simplificada, pero axustada, das características que representan. E, finalmente, indícanse as propostas que se deriven da aplicación do mesmo en exercicios de predición e/ou simulación. A liña discursiva desta breve exposición correspóndese co perfil das investigacións que se desenvolveron a partir da II Guerra Mundial e que serviron de base para a toma de decisións de política pesqueira en países como Canadá ou os EEUU ata os anos 70 do século pasado, e aínda están presentes nos fundamentos de moitos dos documentos técnicos da Organización Mundial para a Alimentación e a Agricultura (FAO) dende que publicou o seu código de conduta para a pesca responsable en 1995 (FAO, 1995) e nas recomendacións da Organización para a Cooperación e o Desenvolvemento Económico (OECD, 1997) para unha pesca sostible. O modelo de Gordon-Schaefer-Munro segue esa tradición. Pero aínda coa boa intencionalidade desta metodoloxía, compre resaltar o relativo fracaso na xestión dos recursos pesqueiros dende que se tomou conciencia da importancia de xestionalos responsablemente. Se ben é certo que os informes de organismos como a FAO (2002), o Servizo Nacional de Pesca Marítima dos EEUU (NMFS, 1998) ou o Consello Internacional para a Explotación do Mar (ICES, 2003) evidencian exemplos de sobreexplotación e mesmo colapso de recursos deste tipo a pesar de xestionarse de acordo con directrices de explotación baseadas na metodoloxía que se indicou antes, non é menos certo que non permiten concluír que tería pasado cos recursos se non se tiveran seguido as mesmas para así poder facer unha comparación. De todas formas, os feitos son contundentes e obrigan a facer una revisión das razóns deses fracasos, cualifíquense de absolutos ou de relativos. As pretensións económicas á hora de xestionar estes recursos vense habitualmente enfrontadas ás restricións que propoñen os axentes que teñen unha perspectiva puramente biolóxica da xestión, e os que en última instancia realizan a explotación do recurso acostuman a ceder a argumentos económicos case sempre moi simplistas. E isto débese en parte a razóns existenciais do propio ser humano como ser que asume a necesidade Capítulo 1. O estado da arte 15 primitiva de vivir un presente. Por iso quizais sexan razóns máis ben de tipo ético as que permiten relativizar esa actitude, subliñando a importancia de non ter en conta só o presente, determinando cando se pode cualificar unha xestión como éxito ou fracaso, ou contextualizándoa nun determinado momento histórico. Agora ben, aínda deixando de lado as actitudes éticas dos axentes involucrados na explotación dos recursos pesqueiros, tamén está claro que as investigacións científicas non dan acadado propostas que funcionen como se agardaba. E ante esta situación caben cando menos dúas actitudes: a que descarta a validez do paradigma científico tradicional cos seus modelos defectuosos, e a que trata de revisalo aportando novos matices. Esta Tese de Doutoramento pretende aportar coñecemento a este segundo punto de vista. O resto do capítulo está organizado da seguinte forma. Na sección 1.2 revisamos o modelo de xestión de Gordon-Scahefer-Munro. Na sección 1.3. analizamos a problemática relacionada coa estimación de modelos con erros nas variables, diferenciando entre o caso linear e o caso non linear. 1.2 O modelo de xestión de Gordon-Schaefer-Munro no marco do paradigma tradicional O modelo Gordon-Schaefer-Munro (de aquí en adiante, GSM) (Gordon, 1953; Schaefer, 1954; Munro, 1979) é un modelo bioeconómico porque integra unha parte que describe o comportamento de variables biolóxicas con outra parte que representa variables de tipo económico. Ademais trátase dun modelo dinámico pois sitúa nun primeiro plano o papel que xoga o tempo na especificación do mesmo tanto na vertente biolóxica como na económica. Os seus primeiros antecedentes atópanse nos modelos que Lotka (1925) e Volterra (1926) utilizaron para analizar a evolución de poboacións biolóxicas. Esa clase de modelos denomínanse modelos xeneralizados de produción, modelos globais ou modelos de biomasa dinámica. Posteriormente Gordon (1953) e Schaefer (1954) utilizaron outros modelos deste 16 tipo para unha pesquería sometida a capturas e representaron con ecuacións as relacións existentes entre variables biolóxicas e variables tecnolóxicas. Entre estas están a abundancia do recurso (medida cun indicador do seu peso total e que denomínase biomasa), a presión á que se ve sometido o recurso por causa da acción humana (medida cun indicador chamado esforzo pesqueiro) e a produtividade do recurso (recollida nos indicadores de capturas). Unha hipótese pola que os seus modelos son distinguidos é a da relación non linear que propoñen para recoller as variacións na biomasa do recurso, apoiada na expresión matemática de Verhulst-Pearl (1838) coñecida como función loxística. Na actualidade existen outras alternativas ao modelo de Schaefer. Por un lado están os modelos que propoñen unha ecuación diferente para representar as variacións na biomasa. Cabe citar aquí o modelo de Pella e Tomlinson (1969) que propón unha función matemática que xeneraliza á de Schaefer, e o modelo de Fox (1970) que propón substituír a función loxística por unha función de Gompertz. Ambos os dous, en xeral propoñen puntos de referencia biolóxicos menos restritivos que os que se derivan do modelo de Schaefer. Por outro lado, a forte simplificación que supoñen as hipóteses destes modelos fixo que os biólogos amosasen preferencia por utilizar os chamados modelos analíticos (modelos estruturados por idades ou modelos de rendemento por recruta) para explicar mellor a dinámica das poboacións de recursos renovables. Pero, segundo Munro e Scott (1985) a complexidade deste tipo de modelos fai polo de agora que a súa integración coa parte económica sexa moi complicada. Ademais, tamén pódense atopar recentes investigacións que se cuestionan a ‘superioridade’ destes modelos analíticos (FAO, 2006). En canto á dimensión económica do modelo, esta recóllese na incorporación de variables que pretenden axudar a medir a rendibilidade da explotación do recurso. Entre estas están as valoracións das capturas (utilizando indicadores de prezos), as valoracións dos medios de produción utilizados (con indicadores de custos de produción), e as actualizacións dos beneficios acadados durante un horizonte temporal (usando indicadores de taxas de desconto). Tamén se considera a necesidade de facer explícitos cales son os obxectivos económicos prioritarios e os mecanismos para conseguilos. Isto habitualmente faise coa perigosa simplificación de que o obxectivo é unicamente obter uns beneficios e os Capítulo 1. O estado da arte 17 mecanismos ideais son os que permiten maximizalo. En consonancia con isto, o aspecto dinámico é fundamental. De aí que se preste especial coidado tanto en representar a evolución temporal do stock biolóxico, como en atopar unha solución de xestión que optimice o beneficio descontado da explotación do recurso durante un período finito de tempo utilizando técnicas de optimización dinámica como propón Munro (1979). As últimas tendencias respecto da revisión do paradigma tradicional fan explícitos dous aspectos adicionais. Por unha parte a importancia de incorporar unha reflexión sobre o papel tanto dos axentes que interveñen na explotación directa do recurso, como das institucións con soberanía para decidir as políticas de xestión, estean ou non arraigadas en sociedades democráticas e estruturadas. Co fin de incorporar ese novo aspecto aos modelos "bioeconómicos" tense acudido na última década do século pasado á incorporación formal, como parte dos mesmos, do xeito en que se adoptan decisións racionais nun contexto de conflito de intereses utilizando a teoría de xogos. Deste xeito é posible facer unha comparación simplificada entre a solución que se acada ao tratar de lograr o obxectivo prioritario nun entorno cooperativo e a que se consegue nun entorno non cooperativo. Nesa liña desenvólvense investigacións de Munro (1990), Armstrong (1994, 2001), Sumaila (1997, 1999) e Domínguez e Surís (2007). Por outra banda tamén é crecente a preocupación pola presenza de incerteza na xestión deste tipo de recursos renovables, tanto respecto ás variables de tipo económico ou institucionais tal como expoñen autores como Lewis (1981) ou Andersen (1982), como tamén respecto ás variables biolóxicas tal como indican Rosenberg e Restrepo (1994), Clark et al. (1995) ou Francis e Shotton (1997).1 Seguindo o criterio máis simplista (Ulltang, 1997), clasifícanse en incertezas obxectivas e incertezas subxectivas. E seguindo un criterio algo máis detallado (Rosenberg e Restrepo, 1994), distínguense os seguintes tipos de incertezas: 1 En Cerviño (2004) atópase unha recompilación dos tipos de incerteza que foron identificando estes últimos autores. 18  de observación, que está presente cando se miden as magnitudes que forman parte do modelo, e xustifica o temor a que estas estean medidas con erro, de aí que resulte neste punto fundamental entender como podería afectar este feito ás conclusións que se podan derivar do manexo dese modelo,  de proceso, que se refire á aleatoriedade da dinámica das poboacións naturais, na maior parte debida á variabilidade nas condicións ambientais,  de modelo, que recolle a idea da mala especificación dos modelos,  na estimación, que fai referencia ao erro que se comete ao estimar as magnitudes que son obxecto de interese,  de aplicación, que indica a posibilidade de que se produzan erros no control das medidas de xestión, como sucede por exemplo cando non se declaran as capturas reais realizadas, e  institucional, derivada da relación entre individuos ou grupos involucrados na xestión. O noso interese ao longo dos seguintes capítulos radica en analizar as consecuencias das incertezas de observación, combinadas coas incertezas na estimación, pois como se verá poden provocar que se apliquen métodos de estimación dos parámetros que non sexan apropiados si se dan certos supostos. 1.3 A estimación de modelos con erros nas variables No contexto no que nos estamos a desenvolver, as variables que forman parte do modelo GSM vincúlanse mediante ecuacións que inclúen parámetros de importancia capital no mesmo. Coas medicións dispoñibles desas variables, estímanse os parámetros desas ecuacións mediante métodos de estimación que habitualmente redúcense a aplicar a metodoloxía de mínimos cadrados facendo unha regresión con cada unha delas. Normalmente a estimación obtida serve como guía para que os axentes involucrados tomen decisións. Se como consecuencia da incerteza de observación aludida antes, resultase que as Capítulo 1. O estado da arte 19 variables estivesen medidas con erros, sería conveniente analizar as consecuencias disto, de cara a conseguir os obxectivos de xestión que se pretenden. Que a variable dependente dunha regresión estea medida con erros non supón ningunha novidade que non estea contemplada xa nas hipóteses de partida dos modelos que tratan de estimar. Pero non sucede o mesmo se as variables que están medidas con erros son as variables explicativas (regresores ou preditores). A problemática da regresión na que os preditores están medidos con erros estúdase nos chamados modelos con erros nas variables (EVM) e ata moi recentemente centrouse nos modelos lineais de regresión. Con esa denominación recóllese un tópico que na literatura econométrica forma parte de análises que se denominan de xeito moi diverso: modelos con variables latentes, modelos con variables instrumentais, modelos con erros de medida2... 1.3.1. O caso linear O punto que serviu de inicio ao desenvolvemento do tópico dos erros de medida nas variables nas investigacións econométricas é a demostración da existencia dun nesgo atenuante no estimador de mínimos cadrados do coeficiente angular dun modelo de regresión linear simple, cando o regresor presenta erros aditivos.3 Con posterioridade foi Frisch (1934) quen demostrou que nos EVM lineais e baixo certas condicións, o nesgo atenuante cometido pola regresión directa da variable explicada observable sobre a variable explicativa observada con erros vai nunha dirección, respecto 2 Para conseguir unha visión xeral do papel que representan este tipo de modelos na investigación econométrica pode consultarse Aigner et al. (1983). Unha visión máis detallada e completa dos mesmos no ámbito máis xenérico da estatística recóllese en Fuller (1987) e o caso especial dos modelos nos que se incumpre a hipótese de linearidade está estudado por Carroll et al. (1995). 3 Segundo apunta Leamer (1987), a constatación desta propiedade débese a Gini (1921). 20 do verdadeiro parámetro, oposta ao nesgo amplificador provocado pola regresión inversa. Polo tanto, os estimadores acadados con ambos os dous tipos de estimación acoutan consistentemente o verdadeiro coeficiente angular. Posteriormente, tamén publicaron interesantes resultados outros autores como Koopmans (1937), Wald (1940), Geary (1942), Neyman e Scott (1948), e Reiersøl (1950). Os modelos lineais con erros de medida clasifícanse segundo un criterio principal que distingue entre o modelo funcional e o modelo estrutural (Kendall e Stuart, 1961). A diferenza entre ambos os dous atinxe ao suposto que se fai sobre a existencia ou non existencia dunha distribución probabilística a priori das variables explicativas verdadeiras (variables inobservables ou variables latentes). No modelo funcional linear (EVM-f), considerando por interese expositivo aquel que ten só un regresor, non se introduce ningún suposto a priori sobre a distribución do regresor4. Neste senso a estimación do modelo faise considerando os posibles valores da variable explicativa como parámetros descoñecidos; de aí que se lles chame habitualmente parámetros incidentais (Neyman e Scott, 1948), e que resulte preciso estimalos ao igual que a varianza das perturbacións ( 2   ), a varianza dos erros de medición ( 2 e  ), a ordenada na orixe (  0) e o coeficiente angular (  1). Pero a súa estimación máximo-verosímil non permite acadar estimadores consistentes debido a que no espazo paramétrico o punto obtido das condicións de primeira orde correspóndese cun punto de cadeira da superficie de verosimilitude, provocado pola existencia dos parámetros incidentais (Neyman e Scott, 1948; Malinvaud, 1970). Pola contra, no modelo estrutural linear (EVM-e), supoñéndoo tamén con un só regresor, ás hipóteses asumidas no modelo funcional linear engádese un novo suposto acerca da distribución do regresor, en xeral de tipo Normal. De aí que o proceso xerador dos datos sexa agora lixeiramente diferente ao que resulta no modelo funcional linear , e o número de parámetros a estimar resulte moito menor pois xa non é preciso estimar para cada valor do regresor observado, cal sería o valor da magnitude latente que o xeraría con 4 Simplemente non se consideran as implicacións que tería esa posibilidade, o cal non quere dicir necesariamente que se supoña que non ten distribución algunha. Capítulo 1. O estado da arte 21 maior probabilidade. Por desgraza, o cálculo dos estimadores máximo-verosímiles non é posible neste caso, polo que só engadindo algún suposto novo será viable. Isto faise incorporando información adicional sobre a varianza dos erros de medida, sobre a varianza das perturbacións aleatorias ou sobre o ratio entre ambas as dúas varianzas. 1.3.2. O caso non linear Aínda que o estudo de modelos de regresión nos que os conceptos de interese están representados mediante variables con erros5 xa ten unha dilatada traxectoria, a especificación non linear da forma funcional deste tipo de modelos non se ten utilizado ata agora con profusión no eido da economía. Esta circunstancia débese principalmente ao mesmo motivo que desalentou o seu uso en outros campos da ciencia, é dicir, á dificultade - só recentemente superadapara estimar modelos non lineais cun razoable custo en termos de medios e de tempo. Nunha segunda orde de importancia tamén se deben apuntar outros dous motivos a considerar: o aceptable comportamento da simplificación linear para representar comportamentos claramente estilizados como non lineais, así como a falta de estudos que detallen a relación existente entre as variables observables (proxys, instrumentos...) e as magnitudes que estas representan (magnitudes inobservables ou latentes). Isto explica por qué a literatura sobre este tópico dificilmente vai máis alá da análise dos distintos tipos de información dispoñibles para estimar modelos lineais con erros nas variables. A pesar da desalentadora perspectiva que isto supón de cara a acadar o obxectivo principal desta Tese de Doutoramento, os enfoques metodolóxicos utilizados no caso linear resultan ser técnicas de análise igualmente axeitadas para o caso non linear. A formalización non linear con variables explicativas medidas con erros tomou corpo a partir dos anos 80 do século pasado cos traballos de Prentice (1982), Stefanski e Carrol (1985), Armstrong (1985), Amemiya (1985) e Stefanski (1985). No traballo de Carroll et al. (1995) repásase este tipo de modelos partindo do caso xeral no que a variable que se pretende explicar faise depender de variables latentes (χ) expresadas mediante 5 O propio modelo de regresión clásico pódese considerar, dende certa óptica, un caso particular deste tipo de modelos con erros de medida pois a perturbación pódese interpretar como un tipo de erro na terminoloxía que aquí se adopta para estes. 22 variables observadas (x) que poden ter erros (e) e de variables que se observan directamente (Z) sen erros. Ademais, considerando o tipo e a natureza dos erros de medición ou observación, consideran fundamental especificar un submodelo que aproxime o proceso de xeración do erro de medición. Carroll et al. (1995) distinguen dous tipos de submodelos. Por unha parte, os Modelos de Erro (Modelos Clásicos do Erro de Medición e Modelos de Calibrado do Erro) nos que se formaliza a distribución dos regresores observables condicionada respecto das magnitudes latentes que pretenden representar e do resto de regresores sen erros. No caso no que se utiliza soamente un regresor (x) medido con erros e un regresor (Z) sen erros, o Modelo Clásico do Erro de Medición fai referencia a xénese de erros non sistemáticos cando se tenta medir o regresor verdadeiro (x = χ + e ), namentres que no Modelo de Calibrado do Erro pode recollerse un proceso de xeración sistemática de erros (x = a + b χ + c·Z + e ). Por outra parte, nos Modelos de Calibrado da Regresión (Modelos de variable controlada ou Modelos de Erro de Berkson, por exemplo) se formaliza a distribución das magnitudes latentes (χ) condicionada respecto das observacións das mesmas (x) e do resto de regresores medidos sen erro (Z). Carroll et al. (1995) tamén destacan a importancia de distinguir entre o caso da existencia do erro non diferencial de medida, no que as observacións relacionadas co verdadeiro regresor non conteñen información adicional sobre a variable explicada (é dicir que se trata de meras substitutas do verdadeiro regresor) e o caso contrario do erro diferencial, que si a engaden. Xa máis recentemente, Hong e Tamer (2003) describen o xeito de atopar un estimador consistente dos parámetros en calquera tipo de modelo non linear, baixo certos supostos. E Chen et al. (2009) fan unha clasificación dos diferentes tipos de modelos de erro, e prestan especial atención á utilización de variables instrumentais lembrando os resultados de Amemiya (1985) nos que se demostra que, en xeral, os estimadores de variables instrumentais non son consistentes en modelos non lineais salvo que a orde da magnitude dos erros de medida decreza cara a cero a medida que a mostra tenda a infinito. Capítulo 1. O estado da arte 23 Bibliografía AIGNER, D.J.; HSIAO, C.; KAPTEYN, A.; WANSBEEK, T. (1983): “Latent variable models in Econometrics”. Griliches, Z.; Intriligator, M.D. (ed.).: Handbook of Econometrics, cap. 23. Ed. North-Holland. AMEMIYA, Y. (1985): “Instrumental variable estimator for the nonlinear errors in variables model”. Journal of Econometrics, 28: pp. 273-289. ANDERSEN, P. (1982): “Commercial fisheries under price uncertainty”. Journal of Environmental Economic Management, vol. 9, nº 1: pp. 11-28. ARMSTRONG, B. (1985): “Measurement error in generalized linear models”. Communications in Statistics, Series B, 14: pp. 529-544. ARMSTRONG, C.W. (1994): “Co-operative solutions in a transboundary fishery: the Russian-Norwegian co-management of the Arcto-Norwegian Cod Stock”. Marine Resource Economics, 9: pp. 329-351. ARMSTRONG, C.W.; SUMAILA, U.S. (2001): “Optimal allocation of TAC and the implications of implementing an ITQ management system for the North-East Arctic cod”. Land Economics, 77 (3): pp. 350-359. CARROLL, R. J.; RUPPERT, D.; STEFANSKI, L.A. (1995): Measurement Error in Nonlinear Models, Ed. Chapman & Hall. CERVIÑO, S. (2004): Estudio sobre la incertidumbre asociada a los métodos de evaluación de las poblaciones de peces. Tese doutoral. Universidade de Vigo. CHEN, X.; HONG, H.; NEKIPELOV, D. (2009): Nonlinear Models of Measurement Errors. Standford University Working Paper. CLARK, C.W.; LAUCK, T.; MUNRO, G.R. (1995), Managing Uncertain Fishery Resources: The Case for Protected Reserves. British Columbia University Working Paper. DOMÍNGUEZ, M.; SURÍS, J.C. (2007): “Cooperation and Non-cooperation in the IberoAtlantic Sardine Shared Stock Fishery”. Fisheries Research, 83: pp. 1-10 FAO (1995): Code of Conduct for Responsible Fisheries. FAO. FAO (2002): The State of World Fisheries and Aquaculture. Dirección WEB en <http://www.fao.org/sof/sofia/index_en.htm> FAO (2006): Stock assessment for fishery management. FAO. Technical Paper 487. Capítulo 2. Estimación dun modelo simple de crecemento con erros no regresor 31 tipo de ecuación, e propoñemos unha formulación que nos permita distinguir nas seguintes seccións entre o que daremos en chamar variables latentes (e os modelos subxacentes que as relacionarán) e as variables observadas. Na sección 2.3 deducimos as expresións dos estimadores de MC para o caso no que existan perturbacións aleatorias con distribución normal na variable explicada do modelo sigmoidal latente, e na sección 2.4 indicamos o modelo a estimar e a función obxectivo no caso de que existan erros normais de medida no regresor, así como unha interesante intuición xeométrica. Por último, na sección 2.5 deducimos os estimadores MC cando existen perturbacións e erros de medida, e demostramos a aparición de nesgos nos estimadores MC de algúns dos parámetros mediante métodos de simulación. Tamén demostramos a influencia que ten o feito de dispoñer de información de todos os tramos relevantes que caracterizan a función, sobre a magnitude dos nesgos de algúns parámetros. 2.2 Modelos sigmoidais na xestión de recursos pesqueiros: unha proposta de formalización Como se indicou no Capítulo 1, a ecuación do crecemento da biomasa do modelo de Gordon-Schaefer-Munro ten como precedente a proposta de Verhulst (1838) para representar de xeito sinxelo o crecemento natural dunha poboación mediante unha ecuación matemática de tipo sigmoidal: a función loxística ou función de Verhulst-Pearl. A función loxística se ten utilizado en infinidade de análises sobre o crecemento de todo tipo de poboacións, e Schaefer (1954) adoptouna para representar a evolución da biomasa dun recurso pesqueiro a medida que pasa o tempo. Coa notación que se utiliza habitualmente, a evolución temporal da biomasa, Bt, pódese representar mediante a expresión 32 , 1 trt K B= +e (2.1) onde K, K>0, denota a capacidade de carga máxima, r, r>0, indica a taxa de crecemento, e representa a base do logaritmo neperiano e t fai referencia ao tempo. A representación gráfica da función definida en (2.1) é a que aparece na Figura 2.1: Figura 2.1. Representación gráfica do crecemento da biomasa ao longo do tempo. A estimación da función (2.1) para avaliar a biomasa dun recurso pesqueiro non chegou a acadar excesiva importancia dentro do paradigma de investigación tradicional sobre a xestión dese tipo de recursos. As razóns son varias. En primeiro lugar porque o seu comportamento dinámico facía moi complicado dispoñer de datos que permitisen facer dita estimación. En segundo lugar porque a estimación de modelos non lineais foi unha tarefa moi laboriosa durante moitos anos, ata o relativamente recente desenvolvemento dos algoritmos de estimación do tipo Gauss-Newton, Newton-Raphson, Levenberg-Marquardt, Davidon-Fletcher-Powell, gradiente conxugado e outros. E en terceiro lugar porque bastou con facer unha leve modificación da función definida en (2.1) para poder recoller a dinámica do comportamento biolóxico de xeito máis operativo que con esa función. Capítulo 2. Estimación dun modelo simple de crecemento con erros no regresor 33 A modificación aludida consistiu en representar a mesma hipótese de crecemento loxístico que en (2.1), pero utilizando a expresión que recolle a variación temporal da biomasa de xeito que        2 1 tt tB K Br= t B. (2.2a) No caso de que o recurso estea sometido a explotación e polo tanto teñamos que introducir as capturas en cada período t, Yt, a expresión (2.2a) convértese en ttt tYB K Br= t B        2 1, (2.2b) se asumimos un contexto temporal continuo, ou ben en 2 1 1 t+ t t t t B B=r B B Y K     , (2.2c) se admitimos un contexto temporal discreto. A expresión con forma de S do modelo loxístico tense utilizado en moitos casos. Por exemplo, en Hannah et al. (2009) utilízase para estimar a probabilidade de que os peixes sexan adultos, coñecida a súa idade ou lonxitude. E tamén pódese atopar unha xeneralización deste tipo de expresión, con tres parámetros, en Simmonds et al. (2010) para estimar a mortalidade por capturas dunha cohorte de peixes dunha especie nun determinado momento de tempo en función da idade relativa dos mesmos. Un aspecto que consideramos de vital importancia nesta formalización dos modelos sigmoidais é analizar as consecuencias de que este tipo de modelos poidan ter erros de observación na variable explicativa. Este aspecto non está contemplado nestes modelos, ou o que é o mesmo, a distorsión que poida haber na estimación non se ten en conta. Ademais, con esta análise preténdese introducir algúns conceptos relevantes para unha mellor compresión dos resultados acadados nesta investigación. 34 Así, se consideran de seguido as consecuencias de utilizar métodos paramétricos de estimación dun modelo sigmoidal de crecemento simétrico moi xeral, do que a función loxística tradicional é un caso particular. Concretamente, proponse un modelo que utiliza catro parámetros. Para elo, resulta fundamental clarificar o obxectivo que se persegue, así como lembrar algúns conceptos relativos aos procesos que poden estar xerando os datos así como outros relacionados coa propia función sigmoidal. En primeiro lugar, e dado que se pretende analizar se existe algún tipo de paralelismo entre as consecuencias que ten a introdución de erros de medida no regresor no caso linear e as que se derivan de introducilos no caso sigmoidal, comezamos avaliando os métodos de estimación. De aí que sexa comprensible supoñer a dispoñibilidade de suficientes observacións como para que ofrezan información sobre todos os tramos relevantes da función. Así, suponse que a información observable sobre o modelo abonda para poder obter estimadores cando menos consistentes dos coeficientes do mesmo, pero dita obtención depende obviamente de que se escolla un método de estimación axeitado; é dicir, suponse que a mostra observable proporciona información sobre todos os tramos relevantes da función sigmoidal (tramo convexo, tramo cuasi-linear e tramo cóncavo) para evitar que a falta de información sobre algún deles poida condicionar os resultados das simulacións. Ademais é conveniente establecer unha metodoloxía de análise que comece propoñendo un modelo básico de referencia con respecto ao cal poder realizar comparacións cos resultados acadados. Deste xeito introducirase máis adiante o suposto de que os valores observables do regresor están centrados no punto de inflexión da función que expresa o modelo latente, para que sirva de referencia ao que sucedería cando esa información estivese centrada en puntos doutros tramos significativos da función sigmoidal. En segundo lugar, e tendo en conta os conceptos manexados nos capítulos precedentes, cando se formula o conxunto de expresións que describen o proceso que xera os datos, facemos os seguintes supostos: Hipótese 2.1: O comportamento esperado da variable explicada, por exemplo a mortalidade por capturas, depende dun único regresor (a idade, por exemplo) e Capítulo 2. Estimación dun modelo simple de crecemento con erros no regresor 35 represéntase mediante unha ecuación sigmoidal de catro parámetros con crecemento simétrico respecto ao punto de inflexión, do que o modelo habitual recollido en (2.1) é un caso particular con dous parámetros. A variable explicada latente representarase coa notación habitual: Yt. Hipótese 2.2: As diferenzas entre os valores observados da variable explicada, yt, e os valores verdadeiros correspondentes, Yt, recóllense mediante variables aleatorias (perturbacións representadas mediante ξt) con distribución normal de probabilidade. Hipótese 2.3: As diferenzas entre os valores observados da variable explicativa, xt, e os valores verdadeiros correspondentes, χt, recóllense mediante variables aleatorias (erros de medida representados por et) con distribución normal de probabilidade e independentes das perturbacións. Hipótese 2.4a2: Non se establece ningún suposto en canto á distribución de probabilidade do regresor latente (se propón entón un modelo funcional do erro de medición), polo que tanto o regresando como o regresor observables recollen as propiedades que se derivan do feito de que as perturbacións e os erros, respectivamente, teñan distribucións de probabilidade normais. Tendo en conta as Hipóteses 2.1-2.4a, as variables observables ttt ξ+Y=y (2.3) e ttt e+χ=x , (2.4) así como a distribución de erros e perturbacións 2 A Hipótese 2.4a será reformulada posteriormente nas Hipóteses 2.4b e 2.4c nas seccións 2.5 e 2.5.2 respectivamente. Véxanse as páxinas 58 e 70, respectivamente. 36                                                                                  2 2 2 2 1 1 000 00 000 000 , 0 0 0 0 ξ ξ e e T T σ σ σ σ NID ξ ξ e e           , (2.5) o modelo latente xeral de catro parámetros que propoñemos queda representado da seguinte forma: 031 2 1 () t t Y=β+ β βχ β+e (2.6) ou ben 0321 2 11 (ln ) 1 t t Y=β+ β ββχ β+e       t Z β +β= 2 0 1 t A+β=0. (2.7) Con este xeito de representar a función latente, os coeficientes ou parámetros  0,  1,  2 e  3 capturan as seguintes características da mesma:  β0 é o mínimo valor que se supón que podería tomar a variable explicada, Yt, e recolle en exclusiva o efecto que se produce ante unha posible translación vertical da función;  β1 é proporcional á distancia entre os dous puntos de inflexión da primeira derivada Capítulo 2. Estimación dun modelo simple de crecemento con erros no regresor 37 da función (coa mediación dunha constante), polo que canto maior sexa ese parámetro, o paso do valor mínimo da variable explicada ata o seu valor máximo se produce máis rapidamente;  β2 indica a inversa da distancia entre o mínimo e o máximo valor da variable explicada, polo que canto maior sexa, menor será a amplitude de posibles valores da mesma;  β3 recolle en exclusiva o efecto que se produce ante unha posible translación horizontal da función. En terceiro lugar, resulta importante establecer as seguintes definicións respecto das características do modelo latente co fin de clarexar algunhas demostracións matemáticas que se fan máis adiante: Definición 1 (Punto de inflexión). O punto de inflexión da función latente ven dado por  32 0 12 ln( ) 1 2 INFLEX INFLEX ββ χ,Y = , β+ β β      . (2.8) Definición 2 (Máximo valor de Yt). O máximo valor de Yt é 2 0 1 β +β=MaxYt. (2.9) Definición 3 (Mínimo valor de Yt). O mínimo valor de Yt é 0 β=MinYt. (2.10) 38 Definición 4 (Diferenza entre Yt e MinYt). A diferenza entre Yt e MinYt ven dada por 321 2 11 (ln() ) 1 t t A= β ββχ β+e       1 2 11 () 1tINFLEX =βχ χ β+e      t Z β = 2 1. (2.11) Definición 5 (Diferenza entre MaxYt e Yt). A diferenza entre MaxYt e Yt ven dada por 321 321 2 (ln() ) 1 (ln() ) 1 t t t βββχ e B= β ββχ β+e            1 1 2 1 1 tINFLEX tINFLEX βχ χ e =βχ χ β+e         2 11t =Z β. (2.12) Definición 6 (Outras relacións). 2 1 β =B+A tt tt MinYMaxY=  , (2.13) Capítulo 2. Estimación dun modelo simple de crecemento con erros no regresor 39 321 (ln() ) tt t A β ββχ =e B    1tINFLEX βχ χ =e  . (2.14) MI N Y t MAX Y t Y INFLEX INFLEX A t B t  t Y t Figura 2.2. Características do modelo sigmoidal. Para analizar o efecto que produce a existencia de erros de medida no regresor sobre as propiedades dos estimadores de mínimos cadrados do modelo, é necesario analizar previamente as propiedades da estimación en dous contextos diferentes: en primeiro lugar, cando existen perturbacións pero non erros de medición; en segundo lugar, cando non hai perturbacións pero hai erros de medida. 2.3 Estimación co método de mínimos cadrados cando existen perturbacións pero non erros de medida no regresor Se existen perturbacións pero non existen erros de medida no regresor (et=0), o modelo quedaría constituído polas Hipóteses 2.1, 2.2 e 2.4a xunto coas expresións (2.3), 40 (2.6), (2.7), e unha versión reducida de (2.5). Polo tanto as variables observables son:       ttttt ξ+Y,χ=y,χ (2.15) e a distribución das perturbacións é: 2 1 2 00 , 00 ξ Tξ ξσ NIID ξσ                              . (2.16) Neste caso o modelo latente (2.6) escríbese como: 031 2 1 t t y=β+ β βχ β+e 0321 2 11 (ln() ) 1t β+ βββχ β+e       t Z β +β= 2 0 1 t A+β=0. (2.17) Como é sabido, a estimación dos parámetros  0,  1,  2 e  3 de (2.17) polo método de mínimos cadrados (MC) trata de atopar a relación 031 2 1 ˆtt bb y=b+ χ b+e  0 2 1ˆt =b + z b 0ˆt =b +a (2.18) Capítulo 2. Estimación dun modelo simple de crecemento con erros no regresor 47 2 1 2 00 , 00 e Te eσ NIID eσ                              (2.28) e o modelo latente é o dado por: 031 2 1 t t Y=β+ β βx β+e 0321 2 11 ln( ) 1t β+ β ββx β+e       0 2 1 =β+ β 0t = β +A . (2.29) Neste caso, a estimación MC dos parámetros trata de atopar a relación 031 2 1 ˆt t Y=b+ bbx b+e  0 2 1ˆt b+ Z b  0ˆt =b +A, (2.30) onde b1>0, b2>0, a partir da solución do problema  2 1 ˆ T tt t= min SCE = Y Y  48 2 0 131 2 1 ˆˆˆ ˆ T t t= t =Yβ β βx β+e          2 0 1 ˆˆ T tt t= =Y β A  (2.31) suxeita ás dúas restricións correspondentes. Do proceso de minimización de SCE resultan expresións equivalentes ás propostas na sección 2.3. A distribución de probabilidade dos pares (xt , Yt) graficamente sería a das Figuras 2.4a e 2.4b: Figura 2.4a Figura 2.4b En particular, a perspectiva da Figura 2.4b con relación á Figura 2.4a revela como no límite que suporía ter un tamaño da mostra que tende a infinito, non se produce un efecto como o do apartado anterior pois para cada valor observable do regresor (xt*), a media dos valores observables do regresando non ten por que coincidir co valor esperado dada a evidente asimetría dos mesmos, percibida na forma do arco da superficie de probabilidade desa figura. Polo tanto, resulta intuitivo que a regresión de Y sobre x non ten por que proporcionar estimadores nin sequera consistentes. Capítulo 2. Estimación dun modelo simple de crecemento con erros no regresor 49 2.5 Estimación co método de mínimos cadrados se existen perturbacións e erros de medida no regresor Nesta sección retómanse as Hipóteses 2.1-2.4a da sección 2.2 e as igualdades (2.3)-(2.7), e estúdase a estimación dos parámetros polo método de mínimos cadrados. Trátase deste xeito de atopar a relación 031 2 1 ˆt t y=b+ bbx b+e  0 2 1ˆt =b + z b 0ˆt =b +a , (2.32) onde b1>0, b2>0, a partir da minimización da seguinte expresión  2 1 ˆ T tt t= SCE = y y  2 0 131 2 1 ˆˆˆ ˆ T t t= t =yβ β βx β+e          2 0 1 ˆˆ T tt t= =y β A  (2.33) suxeita ás dúas restricións correspondentes. A función obxectivo (2.33) tamén se pode expresar como 2 0 12321 11 ˆˆˆˆˆ ln 1 T t t= t SCE = y βββββx +e                 50 2 0 12 1 ˆˆ ˆ T tt t= =y β Z β     . (2.34) Agora, do proceso de minimización de SCE resultan as seguintes expresións:  1 0 ˆ 2 ˆ T tt t= SCE =yy β    0 1 ˆˆ 2 T tt t= y β A    0 12 1 ˆˆ 2ˆ T tt t= =y β Z β     , (2.35a)  2 1 231 2 1 ˆ 2 ˆˆˆ ˆ T tt t= t SCE =yy β ββx β+e       , (2.35b)  2 31 1 331 2 ˆˆ 1 ˆ 2 ˆˆˆ ˆ T t tt t= t SCE β βx =yy e βββx β+e             (2.35c) e  2 31 1 131 2 ˆˆ 1 ˆ 2 ˆˆˆ ˆ T t tt t t= t SCE ββx =yy e x βββx β+e            . (2.35d) Capítulo 2. Estimación dun modelo simple de crecemento con erros no regresor 51 En (2.35a)-(2.35d), e tras anular estas primeiras derivadas, obtense: 0321 11 2 0 11 0 ˆln() 1 TT t t t= t= SCE =y=Tb+ bbbx b β+e        0 1 2 1ˆ T t t= =Tb + z b  , (2.36a)  2 2321 12 2 11 ˆ 0 ... ˆln() 1 T tt t t= SCE =yy bbbx b β+e           2 2 12 1 ˆˆ ... 0 T tt t t= =yy z= b  , (2.36b)  2 31 31 1 32 1 ˆ 0 ... ˆ T t tt t t= SCE bbχ =yy e= bbχ βb+e             2 2 1 1 ˆˆ ... 0 ˆ T ttt t= t =yya b= a      (2.36c) e  2 31 31 1 12 1 ˆ 0 ... ˆ T t tt t t t= SCE bbx =yy ex= bbx βb+e             2 2 1 1 ˆˆ ... 0 ˆ T ttt t t= t =yya bx= a     . (2.36d) Por último, manipulando (2.36a) e (2.36b) os estimadores MC dos catro parámetros deste modelo son os que resultan das catro expresións seguintes: 52 0 2 1ˆ y =b + z b, (2.37a)  22 0 11 2 ˆ ˆˆˆ 0 TT t ttt t t t= t= z y yz= y b z= b      , (2.37b)  0 11 2 ˆ ˆˆˆ 0 TT t ttt t t t= t= z y yz= y b z= b      (2.37c) e 2 00 11 22 ˆˆ ˆˆ TT tt tttttt t= t= zz y bzx=ybzx bb       . (2.37d) Respecto das condicións (suficientes) de segundo orde, non parece existir ningunha garantía a priori de que a matriz hessiana que as recolle sexa definida positiva para así garantir a existencia dun mínimo na solución do sistema formado por (2.37a)- (2.37d). Todo depende da información dispoñible sobre a función. En efecto, a matriz hessiana correspondente é a dada por4      2 22 11 1 32 2 002 02 11 1 2 02 0 1 ˆˆˆ ˆˆ 11 33 3 ˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ 22121 22 2 233 ˆˆ ˆ ˆ 212 22 TT T ttt ttt t= t= t= TT T t tt t tt t t tt tt t= t= t= T tttt tt t= Ta aba abax yb aa yb aa ba yb aa bax yb aa ba yb a                                 2 2 1 22 0 02 12 ˆˆ 1 ˆ 3ˆˆˆ 21 ˆ 221 T ttt t= T tt tt ttt t= t abax yba yb a a bax ba                                       (2.38) e da análise dos seus menores principais non se pode desprender ningunha conclusión inequívoca a menos que se engada algunha nova hipótese ou se modifique algunha das anteriores. 4 A matriz é igual que a dada en (2.26b) pero cambiando χ por x. Capítulo 2. Estimación dun modelo simple de crecemento con erros no regresor 53 A solución do sistema formado por (2.37a)-(2.37d), que constitúen as catro ecuacións do vector gradiente, pode enfocarse analizando de preto o concepto definido por t Z, e que se relacionou co punto de inflexión da función cando en (2.11) se indicou a diferenza entre Yt e Min Yt, é dicir,  1 1 ˆ 1 t tINFLEX =Z βχ χ +e . (2.39) Á vista da expresión (2.39), podemos resolver ás catro ecuacións (2.37a)-(2.37d) determinando os catro parámetros que se denotan como  0,  1,  2 e  3 , ou estimando tres deles e tamén o valor do regresor no punto de inflexión (en lugar de estimar 3 β). Así, tomando a expresión (2.37a), e despexando resulta 0 2 1ˆ by z b  (2.40) e substituíndo (2.40) en (2.37c) chegamos a 122 ˆ 1ˆˆ 0 T t tt t= z y yz z bb           12 1ˆˆˆ T ttt t= =yy zzz b            11 2 1 ˆˆˆˆ TT tt tt t= t= =yyz zzz b    (2.41) ou tamén 54   11 2 1 ˆˆˆˆ TT tt tt t= t= y yz= z zz b   . (2.42) Finalmente despexando b2, resulta   1 2 1 ˆˆˆ ˆ T tt t= T tt t= zzz b= y yz    , (2.43) e tendo en conta as propiedades da media aritmética chegamos a    1 2 1 ˆˆˆˆ ˆˆ T tt t= T tt t= zzzz b y yz z     . (2.44) Dado que o numerador do cociente de (2.44) coincide co numerador do estimador da varianza mostral de ˆt z, que representamos como 2 ˆ z S, e o denominador coincide co numerador do estimador da covarianza entre t y e ˆt z, que podemos denotar por ˆ , yz S, podemos expresar (2.44) como 2 2 ˆ ˆ , z yz S bS . (2.45) Iso significa que (2.40) pódese expresar como   1 02 1 ˆˆ ˆ ˆˆ T tt t= T t t= yyzz b=y z zz           (2.46) Capítulo 2. Estimación dun modelo simple de crecemento con erros no regresor 55 ou, alternativamente, como 02 ˆ , ˆ ˆ yz z S b=y z S     . (2.47) Por outra parte, substituíndo agora (2.40) en (2.37b) resulta 2 122 ˆ 1ˆˆ 0 T t tt t= z y yz z bb           2 12 1ˆˆˆ T ttt t= =yy zzz b            22 11 2 1 ˆˆˆˆ TT tt tt t= t= =yyz zzz b    (2.48) ou tamén   22 11 2 1 ˆˆˆˆ TT tt tt t= t= y yz= z zz b   . (2.49) Despexando b2 chegamos a   2 1 2 2 1 ˆˆˆ ˆ T tt t= T tt t= zzz b= y yz    , (2.50) polo tanto, igualando (2.43) e (2.50) temos 56     2 11 2 11 ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆ TT tt tt t= t= TT tt tt t= t= zzz zzz = y yz y yz     . (2.51) Ademais, tendo en conta as propiedades da media aritmética, (2.50) queda como      22 1 2 22 1 ˆˆˆ ˆ ˆˆ T tt t= T tt t= zzz z b y yz z     . (2.52) Dado que o numerador do cociente de (2.52) coincide co numerador do estimador da covarianza mostral de ˆt z e 2 ˆt z, que representamos como 2 2 ˆ z S, mentres que o denominador coincide co numerador do estimador da covarianza entre t y e 2 ˆt z, que podemos denotar como 2 ˆ , yz S, podemos expresar (2.52) como 2 2 2 2 ˆ ˆ , z yz S bS . (2.53) Polo tanto, atopando a solución para o parámetro  1 e para o valor do regresor no punto de inflexión, xa se poden determinar as estimacións MC dos dous parámetros  0 e  2. E esa solución pasa por reducir o sistema que forman as catro ecuacións (2.37a)-(2.37d) a un sistema de dúas no que a primeira é (2.51) ou, alternativamente, o resultado de igualar as expresións (2.45) e (2.53), mentres que a segunda é o resultado de substituír (2.40) e (2.45) en (2.37d). Chegados a este punto pódese formular a seguinte proposición: Proposición 2.1. Asumindo as Hipóteses 2.1-2.4a, a solución da estimación polo método de mínimos cadrados do modelo sigmoidal de catro parámetros de (2.6) Capítulo 2. Estimación dun modelo simple de crecemento con erros no regresor 63 curtose igual a 3, os tests de normalidade6 que se lles aplican presentan probabilidades asociadas obviamente moi elevadas. Media 0 Varianza 900 Asimetría 0 Erros en χ Curtose 3 Media 0 Varianza 625 Asimetría 0 Perturbacións en Y Curtose 3 Táboa 2.2. Propiedades dos erros e das perturbacións simulados do modelo I. Os resultados da estimación do modelo simulado I son os que se presentan na seguinte táboa: Parámetro Característica Valor Estimación β0 Mínimo da variable explicada 100 100,46559053 β 1 Velocidade de crecemento da variable explicada 0,09 0,03087325 β 2 Inversa da amplitude da variable explicada 0,02 0,02037954 β 3 Desprazamento horizontal da función -14,08797699 -2,28142526 β 0 +1 β 2 Máximo da variable explicada 150 149,53440971 β 0 +1 2β 2 Valor da variable explicada no punto de inflexión 125 125,00000012 −ln (β2)−β3 β1 Valor do regresor no punto de inflexión 200 199,99999998 2.63391579 β 1 Distancia entre os puntos inflexión da 1ª derivada 29,26573104 85,31386241 Táboa 2.3. Resultados da estimación do modelo simulado I. 6 Jarque-Bera, Shapiro-Wilk e Kolmogorov-Smirnov (revisión de Lilliefors). 64 Como xa se pode apreciar neste caso, cando se estima por MC o parámetro β1=0,09, o seu estimador b1=0,03087325 presenta un nesgo atenuante no contexto que estamos a supoñer, confirmando así a intuición enunciada no comentario á Figura 2.7c. Outros datos da estimación serían: Valores observables Estimación Media 200 -- Regresor (x) Varianza 1.900 -- Media 125 125,00000013 Variable explicada (y) Varianza 950,99503392 154,45076102 Táboa 2.3 (continuación). Resultados da estimación do modelo simulado I. Dos resultados acadados, cabe mencionar en especial que se mantén o mesmo punto de inflexión na función estimada que no modelo latente. E isto estase vendo que acontece na situación extrema na que os erros e as perturbacións teñen varianzas moi grandes.7 Polo tanto, establecemos o resultado da seguinte proposición: Proposición 2.2. Baixo as Hipóteses 2.1, 2.2, 2.3 e 2.4b, o punto de inflexión da función estimada á que fai referencia a Proposición 2.1, coincide co punto de inflexión da función latente; e dicir coincide cando: (i) as perturbacións na variable explicada e os erros da variable explicativa son independentes e teñen distribución normal; (ii) a información dispoñible sobre as variables está disposta de xeito simétrico entorno a ese punto de inflexión. 7 Ao tratar de simular exemplos nos que algún dos parámetros teña valores moi pequenos pode darse a circunstancia de que aos algoritmos lles resulte moi dificultoso poder acadar os mínimos porque a non linearidade de algúns deles, fai moi sensible a suma de cadrados dos residuos a lixeiras modificacións nestes. Capítulo 2. Estimación dun modelo simple de crecemento con erros no regresor 65 De todo o dito se deduce que, para estimar o valor do regresor no punto de inflexión, bastará con tomar a media mostral do mesmo. Deste xeito pode expresarse  1 1 ˆ 1 t tINFLEX zbx x +e   1 1 1t bx x +e  . (2.56) Polo tanto, realmente a solución do sistema de catro ecuacións (2.37a)-(2.37d) pode acadarse resolvendo unha calquera das dúas expresións que resultan de substituír (2.56) en calquera das dúas igualdades (2.53) ou (2.54) da Proposición 2.1, e que resultan ser ecuacións implícitas que dependen só do estimador (b1) e da información dispoñible das variables. Proposición 2.3. Asumindo as Hipóteses 2.1, 2.2, 2.3 e 2.4b, para acadar a minimización de SCE (2.33) basta con resolver unha ecuación implícita dun único estimador: b1. Coa condición expresada en (2.56), dita ecuación admite a expresión dada en (2.54) ou a expresión dada en (2.55). A relación entre o estimador de mínimos cadrados b1 e a SCE pode verificarse observando as Figuras 2.8a e 2.8b que revelan como varía SCE a medida que se modifica o valor dese estimador, unha vez fixadas as medias, varianzas e asimetrías das variables latentes, das perturbacións e dos erros. Os datos utilizados para realizar os cálculos son os do exemplo descrito nas Táboas 1-3 e ilustrado nas Figuras 2.7a-2.7c, polo que loxicamente o mínimo atópase preto do valor b1=0,03087325. 66 Figura 2.8a. Influencia de ˆ1 β na suma de cadrados dos residuos. ou ampliando a zona delimitada polo rectángulo, Figura 2.8b (continuación). Influencia de ˆ1 β na suma de cadrados dos residuos. Capítulo 2. Estimación dun modelo simple de crecemento con erros no regresor 67 2.5.1.2. Modelo simulado II No exemplo que se presenta de seguido, se analiza a posibilidade de que a información sobre a variable explicativa do modelo latente estea tamén centrada no punto de inflexión do modelo latente como no modelo simulado I, pero concentrada no tramo case linear da función. Deste xeito haberá pouca información observable sobre os posibles límites inferior e superior da variable explicada. As Figuras 2.9a, 2.9b e 2.9c mostran como estaría agora disposta a información nesta segunda simulación. Como era de agardar, ante ese tipo de nube de puntos, a estimación MC propón unha sigmoide que máis ben semella unha recta no tramo que se estima, como se aprecia na Figura 2.9c. Figura 2.9a Figura 2.9b Figura 2.9c Os valores simulados das variables do modelo latente cumpren neste caso as propiedades indicadas na Táboa 2.4. É dicir que abonda con reducir a varianza do regresor latente simulado para ter os datos necesarios para realizar estimación desta segunda simulación. 68 Media na mostra 200 Regresor (χ) Varianza na mostra 50 Media 125 Varianza máxima 2 2 1 4     625 Variable explicada (Y) Varianza na mostra 52,99703725 Táboa 2.4. Propiedades das variables do modelo latente simulado II. Os valores que expresan os erros e as perturbacións teñen que cumprir as mesmas características de asimetría e curtose que na simulación anterior, polo que se poden utilizar os descritos polas propiedades ás que fai referencia a Táboa 2.2. Pois ben, os resultados da simulación son agora os seguintes: Parámetro Característica Valor Estimación β 0 Mínimo da variable explicada 100 113,08447940 β 1 Velocidade de crecemento da variable explicada 0,09 0,03019973 β 2 Inversa da amplitude da variable explicada 0,02 0,04196208 β 3 Desprazamento horizontal da función -14,08797699 -2,86895785 β 0 +1 β 2 Máximo da variable explicada 150 136,91551941 β 0 +1 2β 2 Valor da variable explicada no punto de inflexión 125 124,99999941 −ln (β2)−β3 β1 Valor do regresor no punto de inflexión 200 199,99999487 2,63391579 β 1 Distancia entre os puntos inflexión da 1ª derivada 29,26573104 87,21652100 Táboa 2.5. Resultados da estimación do modelo simulado II. Capítulo 2. Estimación dun modelo simple de crecemento con erros no regresor 69 E tamén verifícanse os seguintes resultados Valores observables Estimación Media 200 -- Regresor (x) Varianza 950 -- Media 125 125,00000025 Variable explicada (y) Varianza 950,99450339 12,85919777 Táboa 2.5 (continuación). Resultados da estimación do modelo simulado II. nos que pode observarse de novo que, ao estimar o parámetro  1, prodúcese un nesgo atenuante no estimador b1, neste caso máis acusado que no primeiro modelo. Polo tanto, chegados a este punto e considerando que os dous modelos simulados que expuxemos son só unha mostra de moitos outros que simulamos e nos que obtivemos sempre o mesmo tipo de resultado, formulamos a seguinte: Proposición 2.4. Baixo as Hipóteses 2.1, 2.2, 2.3 e as igualdades (2.3)-(2.7), o estimador MC do parámetro β1 que é proporcional á velocidade de crecemento da función sigmoidal non se garante que sexa consistente, nin sequera asumindo o caso máis favorable expresado na Hipótese 2.4b. Pola contra, nese caso presenta sempre un nesgo atenuante. Chegados a este punto, a conxectura que propoñemos é que este nesgo atenuante depende dalgún tipo de relación non linear entre o parámetro β1, a varianza do regresor latente e a varianza dos erros de medida. Agora ben, neste momento aínda non estamos en disposición de poder confirmar este extremo nin de formular matematicamente esa relación se existe. No caso de que iso fose posible, abondaría con incorporar o dato da varianza dos erros de medida do regresor á estimación de b1, para corrixila de forma apropiada. A falta da demostración que permita relacionar formalmente o estimador b 1 coa varianza dos erros de medida presentamos, na Figura 2.10, cómo evoluciona aquel a medida que se modifica a varianza destes no modelo simulado I, , lembrado que o parámetro que se trata de estimar é β1=0,09. 70 Figura 2.10. Evolución de b1 a medida que cambia a varianza dos erros de medida. 2.5.2. Simulacións con información non centrada no punto de inflexión do modelo latente Como derradeiro apuntamento, outra cuestión a ter en conta é cómo se comportan os estimadores MC do modelo definido polas Hipóteses 2.1-2.3 se asumimos a hipótese de simetría pero a información observable sobre o regresor non está centrada no punto de inflexión. É dicir: Hipótese 2.4c: A información dispoñible sobre a variable explicativa está disposta de xeito simétrico respecto dun valor do regresor que non coincide co que lle corresponde ao punto de inflexión da función latente. Para observar as consecuencias diso, presentamos dúas simulacións feitas cos mesmos datos do modelo simulado I, pero con unha lixeira modificación. O que damos en chamar modelo simulado III terá as observacións do regresor centradas nun punto que queda por debaixo do punto de inflexión da función latente. E o modelo simulado IV, as terá centradas nun punto que queda por riba, pero equidistante ao do modelo simulado III. Capítulo 2. Estimación dun modelo simple de crecemento con erros no regresor 71 2.5.2.1. Modelo simulado III Os valores simulados das variables do modelo latente cumpren as propiedades indicadas na Táboa 2.6, onde anotamos que a media do regresor latente é 130, cando no modelo simulado I era 200. Media na mostra 130 Regresor (χ) Varianza na mostra 1000 Media 101,69092203 Varianza máxima 2 2 1 4     625 Variable explicada (Y) Varianza na mostra 29,97333421 Táboa 2.6. Propiedades das variables do modelo latente simulado III. Os resultados da simulación son agora Parámetro Característica Valor Estimación β 0 Mínimo da variable explicada 100 99,86228425 β 1 Velocidade de crecemento da variable explicada 0,09 0,03829079 β 2 Inversa da amplitude da variable explicada 0,02 0,03282918 β 3 Desprazamento horizontal da función -14,08797699 -5,36099572 β 0 +1 β 2 Máximo da variable explicada 150 130,32298904 β 0 +1 2β 2 Valor da variable explicada no punto de inflexión 125 115,09263664 −ln (β2)−β3 β1 Valor do regresor no punto de inflexión 200 229,23090864 2,63391579 β 1 Distancia entre os puntos inflexión da 1ª derivada 29,26573104 68,78718379 Táboa 2.7. Resultados da estimación do modelo simulado III. 72 E tamén Valores observables Estimación Media 200 -- Regresor (x) Varianza 950 -- Media 101,69092203 101,69092215 Variable explicada (y) Varianza 654,97333421 9,53680310 Táboa 2.7 (continuación). Resultados da estimación do modelo simulado III. As Figuras 2.11a, 2.11b e 2.11c ilustran como se comporta o modelo estimado neste caso, considerando as mesmas premisas que nas figuras similares indicadas nas seccións precedentes. Figura 2.11a Figura 2.11b Figura 2.11c 2.5.2.2. Modelo simulado IV Os valores simulados das variables do modelo latente cumpren neste caso as propiedades indicadas na Táboa 2.8. Advertimos que a media aritmética do regresor latente establecemos aquí que sexa igual a 270, mentres que no modelo simulado I propuxemos que fora igual a 200, e no modelo simulado III o determinamos que fora igual a 130. E a varianza da mostra de observacións simuladas da variable explicada é a mesma que a proposta no modelo simulado III pois estamos situando as variables observables nun lugar Capítulo 3 ESTIMACIÓN DE MODELOS CUADRÁTICOS CON ERROS NO REGRESOR Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 81 3.1 Introdución Coa denominación de modelos de regresión cuadráticos nos referimos a un tipo xeral de modelo non linear tanto nas variables como nos parámetros, aínda que con determinadas restricións ten versións que só son non lineais nas variables, como se verá máis adiante neste capítulo. Non sería pertinente a discusión sobre a utilidade deste tipo de modelo en moi diversos eidos da investigación científica, pois está fora de toda dúbida razoable. No campo que nos resulta de especial interese ao desenvolver esta Tese de Doutoramento utilízase habitualmente para formular unha ecuación que exprese a variación natural da biomasa dun recurso pesqueiro, ou para formalizar a relación entre o esforzo pesqueiro ao que se somete ese recurso e o rendemento que se acada del.Neste senso podemos atopar referencias a este tipo de modelo en múltiples informes técnicos da FAO, en investigacións dos grupos de traballo do ICES, ou mesmo en manuais do Fisheries Training Programme da United Nations University. Ao noso xuízo a forma en que se estiman estas ecuacións cuadráticas é de importancia capital á hora de establecer a fiabilidade dos resultados que ofrecen e ás consecuencias que permiten inferir. Por iso vaise demostrar ao longo deste capítulo que aplicar o método de estimación de mínimos cadrados (MC) pode non ser recomendable se asumimos que a biomasa preditora ou o esforzo pesqueiro son variables medidas con erros que poden ter unha variabilidade significativa. En particular, veremos que ao aplicar ese método de estimación a un modelo cuadrático coas especificacións que se propoñen neste capítulo, os estimadores MC non serán consistentes e mesmo poderá determinarse nalgúns casos o nesgo das estimacións que ofrecen. Na sección 3.2 facemos unha proposta de formalización xeral dos modelos cuadráticos utilizando tres parámetros lle concedan certa flexibilidade. Na sección 3.3 deducimos as expresións que permitirían estimar eses parámetros co método de MC, para a 82 continuación demostrar no apartado 3.3.1 a aparición de nesgos atenuantes en dous dos estimadores cando supoñemos a información do regresor centrada no terceiro, e demostrar no apartado 3.3.2 que eses nesgos non dependen do tramo na función sobre o que se dispón de información. Na sección 3.4 propoñemos o modelo cuadrático particular que se emprega habitualmente para representar a variación da biomasa, e que na terminoloxía econométrica se considera un tipo de modelo non linear só nas variables. No apartado 3.4.1 dedúcense os estimadores MC do modelo latente correspondente, para pasar a analizar as propiedades que terían eses estimadores cando se asume a existencia de erros de medida no regresor centrado nun punto moi particular, nos apartados 3.4.2 e 3.4.3. E continuaremos no apartado 3.4.4 coa análise das propiedades dos estimadores MC cando a información sobre o regresor está centrada en calquera outro punto do tramo de valores razoables do mesmo. Finalmente, na sección 3.5 exporemos as implicacións que se poden derivar da utilización dun método de estimación sobre o modelo GSM que resulte pouco axeitado, e as consecuencias económicas que previsiblemente tería. 3.2 Modelos cuadráticos na xestión de recursos pesqueiros: unha proposta de formalización Na sección 2.2 do Capítulo 2 destacouse a importancia da función loxística para representar o crecemento da biomasa dun recurso pesqueiro no modelo de Gordon-Schaefer, e como a dita función acaba formalizándose mediante unha expresión cuadrática. Neste Capítulo 3 analizamos cales son as consecuencias que se derivan de estimar ese tipo de expresións co método de mínimos cadrados, se non se ten en conta a posibilidade de que existan erros na variable explicativa do mesmo. Para facer máis intelixibles esas consecuencias, comezamos propoñendo unha formalización moi xeral dos modelos cuadráticos, de tal xeito que a utilizada no modelo de Gordon-Schaefer pode considerarse un caso particular, que se analizará polo miúdo máis Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 83 adiante. Os supostos de partida máis relevantes neste contexto serían os seguintes: Hipótese 3.1: No modelo latente a variable explicada depende dun único regresor e esa relación recóllese cunha función matemática cuadrática con 3 parámetros. Hipótese 3.2: A diferenza entre cada un dos valores observados da variable explicada (que se representa mediante yt) e o valor verdadeiro correspondente recóllese cunha variable aleatoria (ou perturbación, ξt) que ten distribución normal de probabilidade. Hipótese 3.3: A diferenza entre un dos valores observados da variable explicativa (representada con xt) e o valor latente correspondente, recóllese cunha variable aleatoria (denominada erro de medida e representada mediante et) que ten distribución normal de probabilidade, e que é independente das perturbacións. Hipótese 3.4a1: Non se establece ningún suposto explícito en canto á distribución de probabilidade do regresor latente, polo que na terminoloxía dos modelos con erros nas variable se trataría dun modelo funcional. O modelo latente que relaciona as dúas variables ao que se refire a Hipótese 3.1 decidimos formalizalo dun xeito algo particular, co obxectivo de que cada un dos tres parámetros puidese ser interpretado inmediatamente de forma intuitiva. Por iso proponse a expresión,  2 1 02 2 tt β Y= β χβ (3.1) onde β1 >0. Yt representa o valor verdadeiro ou latente da variable explicada nun momento de tempo t, e χt o valor latente do regresor no mesmo momento t. 1 A Hipótese 3.4a será reformulada máis adiante nas Hipóteses 3.4b e 3.4c nas seccións 3.3.1.1 e 3.3.2.1 respectivamente. Véxanse as páxinas 90 e 104, respectivamente. 84 Na Figura 3.1 representase este tipo de función e destácase o papel que representan dous dos parámetros, β0 e β2. Figura 3.1. Modelo cuadrático con tres parámetros. Os coeficientes β0 , β1 e β2 expresan as seguintes peculiaridades da función:  β0 recolle o máximo valor que se admite que podería tomar a variable explicada;  β1 indica o maior ou menor grao de curvatura da función, dado que 2 12 t t Y β=χ   mide a súa concavidade;  β2 expresa o valor do regresor que se corresponde co valor máximo da variable explicada. As Hipóteses 3.2 e 3.3 sobre as distribucións de probabilidade dos erros e das perturbacións se recollerían nas seguintes expresións ttt y=Y+ξ (3.2) ttt x=χ+e (3.3) Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 85 e 2 1 2 .. 2 1 2 00 0 0 000 0,00 0 0 000 0 e Te sd T e eNID                                                                . (3.4) Por outro lado, a densidade de probabilidade conxunta das variables observables (yt , xt) ilústrase na Figura 3.2 Figura 3.2. Densidade conxunta de (yt , xt). 3.3 A estimación do modelo cuadrático xeral co método de mínimos cadrados (MC) Cando se estima o modelo (3.1) utilizando o método de mínimos cadrados, tratase de atopar a seguinte relación  2 1 02 ˆ2 tt b y =b x b, (3.5) 86 onde b1>0, a partir da minimización da expresión   2 2 21 02 11 ˆ ˆˆ ˆ2 TT tt t t t= t= β SCE = y y = y β+xβ         , (3.6) onde 1 ˆ0 β >. Do proceso de minimización de (3.6) resultan as seguintes expresións:   2 1 02 11 0 ˆ ˆˆ ˆ 22 ˆ2 TT tt t t t= t= β SCE=yy=yβ+xβ β           , (3.7a)    222 1 2022 11 1 ˆ ˆˆˆˆ ˆ ˆ2 TT ttt t t t t= t= β SCE=yyx β =yβ+xβxβ β         (3.7b) e    2 1 2022 11 2 ˆ ˆˆˆˆ ˆ 22 ˆ2 TT ttt t t t t= t= β SCE=yyx β =yβ+xβxβ β        . (3.7c) A matriz hessiana correspondente é: Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 87      222 2 221 2 00102 11 22 43 21 2 211 112 22 2 12 21 2 ˆˆ ˆ 22 ˆˆˆˆˆ 1ˆˆ ˆ ˆˆˆ 2 ˆˆ 2 ˆ TT tt t= t= TT tt t= t= T t t= SCE SCE SCE Txββxβ βββββ SCE SCE xββxβ βββ SCE βxβ β                                    . (3.7d) Como é sabido, a solución pasa por anular as expresións (3.7a), (3.7b) e (3.7c); isto é  2 1 02 1 0 00 ˆ2 T tt t= b SCE=yb+xb= β      , (3.8a)  22 1 022 1 1 00 ˆ2 T ttt t= b SCE= yb+ xb xb= β       (3.8b) e  2 1 022 1 2 00 ˆ2 T ttt t= b SCE=yb+xbxb= β      . (3.8c) Considerando (3.8a), concluímos    2 22 11 020 11 1 22 TT T t tt t= t= t= x b bb y=T·b x b y=b T     (3.9) 88 e tamén  2 2 1 0 1 2 Tt t= xx+xb b y=b T        2 1 02 ˆ 2x b =b v + x b     , (3.10) onde y representa a media mostral da variable explicada observada, x a media mostral do regresor observado e ˆ x v a varianza mostral do mesmo. Para aclarar a influencia das hipóteses que implican simetría en erros, perturbacións e regresores sobre a estimación deste modelo, presentamos de seguido un caso particular que sirva como punto de referencia. Este consiste en supoñer que a información observable sobre a variable explicativa está centrada no valor do mesmo que maximiza o valor da variable explicada. Deste xeito, dentro do problema que supón non dispoñer dos valores verdadeiros do regresor latente, esa situación pode considerarse a ‘menos mala’. Pero a continuación se demostra que, aínda así, o método MC proporciona estimadores que non cumpren a propiedade de consistencia. 3.3.1. Consistencia dos estimadores de mínimos cadrados con información do regresor centrada no parámetro β 2 3.3.1.1. Disposición simétrica da información Baixo as hipóteses de normalidade, cando a mostra tenda a infinito, as observacións das variables do modelo tenderán a disporse xeometricamente arredor do modelo latente de xeito similar ao representado nas Figuras 3.3 e 3.4, e no límite esa disposición sería perfectamente simétrica. Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 95 Por outro lado as Propiedades I-VII, enunciadas anteriormente, cúmprense aquí polo que en adiante debemos ter en conta que 1 0 T i t t= d   (3.22a) cando i é un enteiro positivo impar, e 1 0 T j t t= D   (3.22b) cando j é un enteiro positivo impar. Da expresión (3.17a) dedúcese que para obter o estimador b 0 é suficiente con calcular previamente o estimador b1, e utilizar a información observable das variables, en termos da media aritmética do regresando e da varianza estimada do regresor, pois 2 1 0 1 2 T t t= d b y=b T  1 0ˆ 2 x b b·v , (3.23) e 1 0ˆ 2 x b by+·v . (3.24) Con ese resultado, a expresión (3.17c) convértese en 96  31 1 111 ˆ 22 TTT x tt t t t= t= t= bv b y yd · d + · d   , (3.25) permitindo así confirmar que a variable dependente e o regresor estarán incorrelados xa que o lado dereito da igualdade (3.25) anúlase por (3.22a). Ademais, a igualdade (3.17b) queda reducida a 22 11 1 ˆ0 22 T x ttt t= b·v b yy+ +dd          (3.26) ou, o que é o mesmo,  224 11 111 ˆ 22 TTT x tt t t t= t= t= bv b y yd ·d ·d    , (3.27) é dicir,  242 1 11 ˆ 2 TT tt tx t= t= b y y·d d T·v       . (3.28) Finalmente, despexando en (3.28) é posible deducir a seguinte ecuación que expresa a dependencia explícita do estimador b 1 respecto dos valores observables das variables,  2 1 1 42 1 2 ˆ T tt t= T tx t= y y·d b dT·v       (3.29) ou tamén Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 97    22 1 12 22 1 2 T tt t= T t t= y y·d d b dd       . (3.30) É dicir, b1 é proporcional ao cociente entre a covarianza da variable explicada e as desviacións cadradas do regresor respecto da súa media, por un lado, e a varianza desas desviacións cadradas, polo outro. É evidente que se non existisen erros nin perturbacións a expresión (3.29), tendo en conta (3.18b), transformaríase en   2 1 12 22 1 2 T tt t= T t t= YY·D β· DD      , (3.31) polo que xa só resta atopar unha relación entre as expresións (3.29) e (3.31). Para atopar esta relación lembramos a igualdade (3.2) que relaciona o regresando observable, o regresando latente e as perturbacións, consideramos tamén a parte da expresión (3.4) na que se asume que as perturbacións teñen esperanza nula, e substituímos (3.20) e (3.21) en (3.29). De todo elo resulta    22 1 12 222 1 2 2 ˆ 2 T tt t ttt t= T tttt e t= Y+ξY·D +De+e b· D+De+e D v      , (3.32) ou, alternativamente, 98    22 22 11 12 22 2 1 22 2 ˆ2 TT tttttttttt t= t= T ttett t= YY·D+De+e+ ξ·D + De+e b· DD+ev+De        . (3.33) No lado dereito de (3.33) pódese simplificar o primeiro agregado de produtos do numerador. En efecto, considerando (3.1) e (3.23) chegamos a  2 11 00 ˆ 22 ttχ ββ YY β Dβv        ,  2 1ˆ 2tχ βDv   , (3.34) o que permite utilizar a Propiedade I dos momentos cruzados de (3.11) para concluír que   2 11 20 TT ttttt t= t= YY·De+ YY·e    , (3.35) que xunto coa nulidade do segundo agregado de produtos do numerador de (3.33), virtude tamén da Propiedade I,  22 1 20 T tt tt t t= ξ·D + ·D·e+e   (3.36) permite concluír finalmente que o único termo que non se anula no numerador de (3.33) é   222 1 11 ˆ 2 TT tt tχt t= t= β Y Y ·D D v ·D        42 1 1 ˆ 2 T tχt t= βDv·D    Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 99 42 1 11 ˆ 2 TT tχt t= t= βDv·D        22 1ˆˆ 3 2χχ βT· ·v T·v   2 1ˆχ β ·T·v (3.37) Por outra parte, a análise do denominador do lado dereito de (3.33) esixe detallar os seis sumandos das ecuacións (3.38a)-(3.38f) que se expoñen de seguido. Tendo en conta a Propiedade VII establecida en (3.13f) resulta, en primeiro lugar,   2 22 22 11 ˆ TT ttχ t= t= DD χχ v       42 1 ˆ T tχ t= χχ Tv  22 ˆˆ 3T χχ vTv 2 ˆ 2χ ·T·v, (3.38a) en segundo lugar,  2 242 11 ˆˆ TT te t e t= t= ev eTv   22 ˆˆ 3T ee vTv 2 ˆ 2e ·T·v, (3.38b) e para os restantes catro sumandos, considerando as Propiedades I e II establecidas en (3.11) e (3.12), respectivamente, resulta 100  222 11 24 TT tt t t t= t= De D e  ˆˆ 4χe ·T·v ·v  , (3.38c)    2 222 2 11 ˆˆˆ 22 TT tte tχte t= t= DD·ev ·χχ v·e v      0  , (3.38d)  22 3 2 111 444 TTT ttttt tt t= t= t= DDDe De DDe   0  , (3.38e) e  23 111 ˆˆ 444 TTT tett tt e tt t= t= t= evDe eD vDe   0  . (3.38f) Entón o denominador de (3.33) redúcese a 22 ˆˆˆˆ 224 χeχe ·T·v + ·T·v + ·T·v ·v (3.39a) ou ben   2 ˆˆ 2χe ·T· v + v , (3.39b) o cal permite concluír que a expresión final que demostra a relación entre o estimador e o Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 101 parámetro que trata de estimar é    2 1 12 ˆ 2ˆˆ 2 χ χe β·T·v b· ·T· v + v    2 12 ˆ ˆˆ χ χe v β v+v . (3.40) Demóstrase deste xeito que o estimador mínimo cuadrático do parámetro que representa o grao de curvatura da función cuadrática da presente sección, presentará un nesgo atenuante cando a información de que se dispoña cumpra as condicións expresadas con anterioridade. E isto sucederá, por exemplo, cando o número de observacións tenda a infinito e as distribucións do regresor e dos erros tendan a ser simétricas. É dicir, que este estimador non será consistente, de xeito similar ao que acontece co estimador de mínimos cadrados do coeficiente angular dun modelo de regresión linear con erros no regresor, tal como demostrou Gini (1921). En consecuencia, propoñemos os resultados establecidos nas dúas seguintes proposicións: Proposición 3.1. O estimador de mínimos cadrados do parámetro β1 do modelo definido en (3.1) non é consistente cando existen erros de medida no regresor observable, nin sequera na situación máis favorable na que as observacións dese regresor estean distribuídas de xeito simétrico en torno ao punto no que a función acada o seu máximo. Proposición 3.2. Baixo as Hipóteses 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4b, o estimador ao que fai referencia a Proposición 3.1 presenta un nesgo atenuante dado polo cociente entre o cadrado da varianza do regresor latente e o cadrado da suma de varianzas do regresor latente e do erro de medida. 102 3.3.1.4. Consistencia do estimador b0 O comportamento do estimador b 0 no contexto de información sobre o regresor centrada no parámetro β2, dedúcese doadamente tendo en conta dous aspectos. Por un lado que a media da variable dependente observable coincide coa media da variable latente correspondente como se demostrou en (3.15b). Por outro lado, se non existen erros de medida, as expresións (3.23) e (3.24) quedarían 1 0ˆ 2χ β β Y+ ·v (3.41) e 1 0ˆ 2χ β Y β ·v , (3.42) respectivamente. Entón substituíndo sucesivamente na expresión (3.24), as igualdades (3.15b), (3.42), (3.40) e (3.21), temos 11 00 ˆˆ 22 χx βb b β ·v + ·v      2 11 02 ˆ ˆˆ 22 ˆˆ χ χx χe v ββ β ·v + · ·v v+v     , (3.43) expresión que se pode simplificar de modo que  2 1 00 2 ˆ ˆ1 2ˆˆ χ χ χe v β bβ·v · v+v           . (3.44) Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 103 Tendo en conta que o parámetro β1 é positivo por definición do modelo (3.1), a varianza ˆ x v tamén é sempre positiva e o termo entre corchetes tamén é sempre positivo, podemos enunciar o seguinte resultado. Proposición 3.3. Baixo as Hipóteses 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4b,o estimador de mínimos cadrados do parámetro β0 da función (3.1) presenta un nesgo atenuante. A magnitude dese nesgo é maior ou menor segundo o grao da curvatura desa función, medida co parámetro β1 , e as varianzas do regresor latente e do erro de medida. Nos seguintes gráficos trátase de ilustrar o contido das anteriores proposicións. A Figura 3.5a representa unha función cuadrática coa relación entre as variables latentes. A Figura 3.5b permite apreciar como estarían dispostos xeometricamente nun plano os valores observables das variables (en cor verde), coa hipótese de simetría e se unicamente hai erros no regresor. Por último, a Figura 3.5c representa tanto a nube de puntos mostral (en cor azul celeste) cando engadimos as perturbacións da variable explicada, como a ecuación cuadrática que resultaría estimada (en cor azul mariño) utilizando o método de mínimos cadrados. Figura 3.5a. Función latente Figura 3.5b. Valores observables Figura 3.5c. Estimación MC 104 3.3.2. Consistencia dos estimadores de mínimos cadrados con información do regresor non centrada no parámetro β2 Na estimación de modelos non lineais con erros no regresor resulta de especial relevancia, tal como se indicou no Capítulo 2, sobre qué tramo concreto da función se ten información observable. Por iso na anterior sección 3.3.1 analizouse o que pode interpretarse como a situación máis favorable no tipo de modelos cuadráticos con erros de medida. Na presente sección se completan os resultados da sección 3.3.1 establecendo o suposto de que as observacións do regresor están dispostas arredor de outro punto calquera da función que non ten por que ser necesariamente o punto no que esta acada o seu máximo valor. 3.3.2.1. Disposición simétrica da información Nesta sección retomamos o modelo xeral exposto nas ecuacións (3.1)-(3.4) cuxa estimación polo método MC permitiu definir as igualdades (3.5)-(3.10), asumimos as Hipóteses 3.1-3.3 e reformulamos a Hipótese 3.4b da sección 3.3.1.1. Hipótese 4c: A información dispoñible sobre o regresor está disposta de xeito simétrico. Nestas condicións pasamos a analizar en primeiro lugar a consistencia do estimador b1, e a continuación a dos estimadores b2 e b0 que dependen del. 3.3.2.2. Consistencia do estimador b1 Asumindo as Hipóteses 3.1-3.3 e 3.4c as expresións (3.8a), (3.8b) e (3.8c) poden representarse, respectivamente, como Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 111  2 1 02 ˆ 2x b yb v+xb     , (3.63) unha relación que no modelo latente é  2 1 02 ˆ 2χ β Yβv+χβ      . (3.64) Dado que as hipóteses do modelo fan que se igualen (3.63) e (3.64) como se demostrou en (3.15b), substituíndo b1 e b2 segundo de desprende de (3.40) e (3.61) resulta   22 11 00 2 2 ˆˆ 22 χx βb bβv+χβ +v+xb              2 22 11 02 2 2 ˆ ˆˆˆ 22 ˆˆ χ χχe χe v ββ βv+χβ +v+v+χb v+v                2 2 22 11 02 2 22 ˆˆ ˆ ˆˆˆ ˆ 22 ˆˆ χe χ χχe χ χe v+v v ββ βv+χβ +v+v+β+χv v+v                    2 2 22 11 02 2 22 ˆˆ ˆ ˆˆˆ ˆ 22 ˆˆ χe χ χχe χ χe v+v v ββ βv+χβ +v+v+β+χv v+v               2 11 0 ˆ ˆ 22 ˆˆ χ χ χ e v ββ β·v + · v+v  . (3.65) Pódese comprobar entón que este resultado coincide co xa exposto en (3.44), de aí que se poda enunciar a seguinte proposición. Proposición 3.6. Baixo as Hipóteses 3.1-3.3 e 3.4c, o estimador de mínimos cadrados do parámetro β0 do modelo conformado polas expresións (3.1)-(3.3) presentará un nesgo atenuante igual ao exposto na Proposición 3.3; é dicir, non depende do tramo da función cuadrática sobre a que se dispoña de observacións. 112 O contido das Proposicións 4, 5 e 6 pódese ilustrar a través das seguintes figuras nas que a interpretación é similar á das figuras anteriores. Figura 3.6a. Función latente Figura 3.6b. Valores observables Figura 3.6c. Estimación MC Na Figura 3.6a represéntase un exemplo cos valores das variables latentes cando o regresor está centrado nun valor que é menor que o parámetro β2. Na Figura 3.6b recóllese ademais os valores observables das variables se existisen erros de medida, pero non perturbacións. E finalmente na Figura 3.6c, ilústrase a nube de puntos mostral (en cor azul celeste) cando engadimos as perturbacións da variable explicada, e a ecuación cuadrática que resultaría estimada (en cor azul mariño) utilizando o método de mínimos cadrados. Figura 3.7a. Función latente Figura 3.7b. Valores observables Figura 3.7c. Estimación MC As Figuras 3.7a-3.7c representan un exemplo similar ao das Figuras 3.6a-3.6c pero cos valores do regresor latente centrados nun valor que é maior que o parámetro β2. Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 113 3.4 A estimación dun modelo cuadrático particular Nesta sección do Capítulo 3 imos demostrar que, cando se aplica o método de estimación de mínimos cadrados á ecuación cuadrática que utiliza o modelo de GordonSchaefer para representar a variación natural da biomasa, e o regresor desa ecuación presenta erros de medida, prodúcese un nesgo aínda no caso favorable de ter un gran número de observacións e de que estás estean centradas onde a función acada o seu máximo. Como xa se indicou no Capítulo 2, a mencionada ecuación ten unhas características especiais. Estas se recollen coa linguaxe matemática mediante unha formulación que representa un caso particular do modelo cuadrático xeral que se expuxo ata agora neste capítulo. Desenvolvendo o modelo (3.1) queda    22 11 0122 22 ttt ββ Y= β χ+ββ χ β (3.66) e da ecuación do modelo de Gordon-Schaefer de (2.4) dedúcese que, coa hipótese de crecemento sigmoidal da biomasa, a variación natural desta (Vt) exprésase como 2 1 ttt V=r B B K     2 tt r =rB B K , (3.67) onde r>0, K>0, e Bt denota a biomasa no período t. Entón formalmente, a expresión (3.67) é un caso particular de (3.66) no cal se cumpren as tres restricións que se detallan: 114 1 1 2 2 βrr =β= KK  (3.68a) 12 2 2 K r= β ββ=, (3.68b)  2 1 02 0 0 24 βrK ββ=β= , (3.68c) onde β1>0, β2>0. Co obxectivo de facilitar a comprensión do resto deste capítulo e evitar confusións coa sección anterior, propoñemos reformular a ecuación (3.67) utilizando a expresión 2 12ttt V= ρ BρB, (3.69) onde 1 ρ r e 2 r ρK  . Na Figura 3.8 que representa a ecuación (3.69), apreciase a importante restrición da mesma que a obriga a pasar pola orixe de coordenadas. Figura 3.8. Función de crecemento natural da biomasa. Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 115 Esa restrición condiciona en grande medida a análise que se vai facer de seguido, e impide que se poidan utilizar exactamente os mesmos resultados acadados na sección anterior para explicar este caso, aínda que, como veremos, existen evidentes paralelismos entre ambos casos. Os parámetros da ecuación (3.69) expresan as seguintes peculiaridades da función:  ρ1 é a taxa de crecemento da función sigmoidal implícita no modelo;  ρ2 indica o maior ou menor grao de curvatura da ecuación cuadrática dado que se cumpre a igualdade 2 22 t t V ρ= B    . 3.4.1. Estimadores MC dispoñendo dos valores verdadeiros da biomasa A continuación imos deducir as expresións que permitirían obter os estimadores MC dos parámetros da ecuación (3.69) se as observacións dispoñibles fosen as do modelo latente. Por suposto, ao supoñer que non hai perturbacións na variación natural nin erros de medida na biomasa, estes estimadores serán os verdadeiros parámetros, pero precisamos definir esas expresións para demostracións posteriores. Trataríase nese caso de acadar o modelo estimado 2 12 ˆttt V=rB rB, (3.70) onde r1 representa o estimador MC de ρ1 e r2 expresa o estimador MC de ρ2, mediante a minimización da expresión  2 1 ˆ T tt t= SCE = V V   2 2 12 1 ˆˆ T tt t t= VρB+ρB  (3.71) 116 respecto dos estimadores, que deben cumprir 1 ˆ0 ρ > e 2 ˆ0 ρ >. Resulta así:  1 1 ˆ 2 ˆ T ttt t= SCE =VVB ρ    2 12 1 ˆˆ 2 T tt tt t= =V ρ B+ρBB  , (3.72a)  2 1 2 ˆ 2 ˆ T ttt t= SCE=VVB ρ    22 12 1 ˆˆ 2 T tt tt t= =V ρ B+ρBB  (3.72b) xunto coa matriz hessiana 22 23 2 11 121 22 34 211 12 2 22 ˆˆˆ 22 ˆˆ ˆ TT tt t= t= TT tt t= t= SCE SCE B B ρρρ SCE SCE BB ρρ ρ                       . (3.72c) Avaliando (3.72a) e (3.72b) na solución, obtemos  2 12 1 1 00 ˆ T tt tt t= SCE =VrB+rBB= ρ   (3.73a) o que implica, por un lado,   23 12 11 TT tt t t t= t= VB= rB rB  , (3.73b) Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 117 e, por outro lado,  22 12 1 2 00 ˆ T tt tt t= SCE =VrB+rBB= ρ   (3.73c) que leva a   234 12 11 TT tt t t t= t= VB = rB rB  . (3.73d) Despexando os estimadores r1 e r2 das igualdades (3.73b) e (3.73d) obtemos 432 11 11 1 42 33 11 11 TT TT tttttt t= t= t= t= TT TT tt tt t= t= t= t= B BV B B V r= BB BB                   (3.74a) e 322 11 11 2 42 33 11 11 TT TT ttt ttt t= t= t= t= TT TT tt tt t= t= t= t= B BV B B V r= BB BB                   , (3.74b) que como indicamos anteriormente coinciden neste caso con ρ1 e ρ2, respectivamente. Considerando (3.69), no modelo latente a variación natural acada o seu máximo no punto no que o valor da biomasa (BRMS) cumpre a seguinte relación 1 2 0 2 t RMS t V ρ B= B ρ   , (3.75) 118 tal como xa se ilustrou na Figura 3.8. Vexamos agora algunhas propiedades se admitimos que a biomasa ten unha distribución normal. Hipótese 3.5: A variable Bt segue unha distribución normal de probabilidade  2 tB BNormalEB,σ     . (3.76) Entón con unha mostra suficientemente grande cumpriranse as Propiedades I a VII, polo que tamén poderían deducirse as seguintes propiedades, onde B indica a media mostral da biomasa e ˆB s a súa desviación típica. Propiedade VIII:  222 1 ˆ T tB t= B T· B + s . (3.77a) Propiedade IX:  332 1 ˆ 3 T tB t= B TB+Bs . (3.77b) Propiedade X:  44224 1 ˆˆ 63 T tBB t= B T· B + B s + s . (3.77c) Propiedade XI:  223 2 11 2 2 1 ˆˆ 3 T tt B B t= BV T· ρ B+ρsρBρBs . (3.77d) Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 119 Propiedade XII:  2324224 11 22 2 1 ˆˆˆ 3ρ63 T tt B B B t= BV T· ρ B+ Bs ρBρBs ρs . (3.77e) Coas substitucións correspondentes das Propiedades VIII a XII en (3.74a) e (3.74b), o denominador dos dous estimadores cumpre 2 42 32426 11 1 ˆˆ 3 TT T tt t BB t= t= t= B BBT·Bs+s            , (3.78) o numerador de (3.74a) resulta 4322426 1 11 11 ˆˆ 3 TT TT tttttt BB t= t= t= t= BBVBBVT· ρ ·Bs + s                  , (3.79a) e, finalmente, o numerador de (3.74b) cumpre 3222426 2 11 11 ˆˆ 3 TT TT ttt ttt BB t= t= t= t= BBVBBVT· ρ ·Bs + s                  . (3.79b) 3.4.2. Consistencia dos estimadores MC cando o regresor ten erros de medida Na práctica, cando se decide estimar un modelo do tipo (3.69) co método de mínimos cadrados, estase dando por suposto que os valores observables (ut) da variación natural, se relacionan cos valores verdadeiros (Vt) mediante a expresión 120 ttt u=V+ξ, (3.80) onde ξt é a perturbación aleatoria. E si se admite que os valores observables da biomasa teñen erros de medida aditivos, temos ttt w=B+e. (3.81) Tendo en conta ademais que a Hipótese 3.2 asume a distribución normal de probabilidade das perturbacións, e que a Hipótese 3.3 asume a distribución normal de probabilidade dos erros de medida e a súa independencia das perturbacións tal como se expresa en (3.4), a estimación do modelo (3.69) será agora 2 12 ˆttt u=rw rw, (3.82) onde cumprirase 432 11 11 12 42 3 11 1 TT TT tttttt t= t= t= t= TT T tt t t= t= t= wwuwwu r= ww w                   (3.83a) e 322 11 11 22 42 3 11 1 TT TT ttt ttt t= t= t= t= TT T tt t t= t= t= wwu wwu r= ww w                   . (3.83b) Polo tanto, no modelo estimado con erros de medida na biomasa e perturbacións na variación natural temos Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 127 Polo tanto nas condicións nas que se utiliza habitualmente este tipo de modelo, se existen erros de medida no regresor e si se admiten as hipóteses da Proposición 3.9, o método MC ten tendencia a sobreestimar o valor da biomasa que permite acadar o rendemento máximo sostible. Este resultado permítenos formular a seguinte proposición. Proposición 3.9. Baixo as Hipóteses 3.2, 3.3, 3.5 e 3.6, a estimación MC do modelo definido polas expresións (3.69), (3.80) e (3.81) sobreestima o valor do regresor que fai máximo o valor da variable explicada. Nomeadamente, R MS RMS wB. 3.4.3. Simulación A continuación preséntanse algúns resultados acadados mediante simulación do modelo definido polas Hipóteses 3.2, 3.3, 3.5 e 3.6, e as expresións (3.69), (3.80) e (3.81) coa metodoloxía descrita na sección 2.5.1 do Capítulo 2. Na Táboa 3.2 indícanse as propiedades estatísticas máis relevantes das variables latentes desta simulación. Media na mostra 100 Regresor (B) Varianza na mostra 1.000 Media na mostra 450 Variable explicada (V) Varianza na mostra 5.000 Táboa 3.2. Propiedades das variables simuladas do modelo latente cuadrático. De igual xeito, na Táboa 3.3 indicamos as propiedades dos erros e das perturbacións utilizados nesta simulación. 128 Media 0 Varianza 400 Asimetría 0 Erros en B Curtose 3 Media 0 Varianza 100 Asimetría 0 Perturbacións en V Curtose 3 Táboa 3.3. Propiedades dos erros e das perturbacións simulados. Finalmente na Táboa 3.4 mostramos os valores iniciais do modelo latente da simulación e os resultados da estimación para poder comparalos. Táboa 3.4. Resultados da estimación do modelo simulado. Na Táboa 3.4, ademais da evidente constatación dos resultados das Proposicións 7 e 8 sobre o comportamento dos estimadores r1 e r2, cabe destacar especialmente o comportamento do punto onde a función acada o seu valor máximo. En este particular modelo latente simulado (modelo I), ese punto é (Bt, Vt) = (100, 500) e no modelo estimado correspondente resulta (wt ,ˆt u)=(106,89234523, 505,50174054). Isto quere dicir que se está sobreestimando tanto o valor da biomasa no que se produce a máxima variación natural do recurso, como o propio crecemento máximo do mesmo. Parámetro Característica Valor Estimación ρ1 Taxa de crecemento da función sigmoidal implícita 10 9,45814669 ρ2 Grao de curvatura da ecuación cuadrática 0,05 0,04424146 1 2 2   Valor de Bt que maximiza a variable explicada 100 106,89234523 2 1 2 4   Máximo da variable explicada 500 505,50174054 Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 129 Outros datos da estimación serían: Valores observables Estimación Media 100 -- Regresor (w) Varianza 1.400 -- Media 450 441,46203249 Variable explicada (u) Varianza 5.100 8.193,33442389 Táboa 3.4 (continuación). Resultados da estimación do modelo simulado. A Figura 3.9a representa cómo se dispersan os valores das variables latentes na función cuadrática (3.69) supoñendo que se cumpren as Hipóteses 3.5 e 3.6. A Figura 3.9b ilustra como serían os valores observables das variables (en cor verde), se unicamente hai erros no regresor. Por último, a Figura 3.9c representa tamén a nube de puntos mostral (en cor azul celeste) cando engadimos as perturbacións da variable explicada, e a función cuadrática que resultaría estimada (en cor azul mariño) utilizando o método de MC e que, como xa se indicou, debe cumprir a restrición de pasar pola orixe de coordenadas. Figura 3.9a. Función latente Figura 3.9b. Valores observables Figura 3.9c. Estimación MC Como pode apreciarse na Figura 3.9c a curva axustada ‘estírase’ cara á dereita respecto da curva verdadeira ou latente, polo que o valor da biomasa no que a súa variación natural acada o seu máximo resulta sobreestimado. E isto pode ter importantes consecuencias á hora de decidir como xestionar a biomasa dun recurso pesqueiro. En efecto, a reiteración con que os organismos que deciden as políticas pesqueiras que desenvolven institucións nacionais e internacionais, acoden aos informes técnicos do 130 Departamento de Pesca e Acuicultura da FAO, e aos principios propostos no seu código de conduta (FAO, 1995), entre os cales destacamos o principio de precaución, veríase así seriamente afectada pola posible sobreestimación dos puntos de referencia que estes informes conteñen. No informe técnico de Cadima (2003) para a FAO explícase con detalle como este principio materialízase na práctica na determinación duns puntos de referencia2: (i) Puntos obxectivo das funcións de rendemento da biomasa ou de rendemento das capturas por unidade de esforzo (CPUE) que habitualmente son aqueles que permiten determinar o rendemento máximo sostible (BRMS)3, (ii) Puntos límite que dependen da mínima biomasa observada, e (iii) Puntos de referencia de precaución (BPA, no caso da biomasa), que dependen dos puntos límite e da incerteza por mortalidade por pesca. Se as estimacións das funcións cuadráticas de rendemento tenden a sobreestimar o valor de BRMS cando existen erros de medida na biomasa observada4, obviamente provocarán que os xestores deste tipo de recursos excedan os límites que se derivarían de aplicar o principio de precaución á biomasa sen eses erros (ou con erros con varianza máis pequena). No seguinte apartado imos analizar ata que punto é precisa a Hipótese 3.6 para acadar os resultados da Proposición 3.9 dada a evidente importancia que semella ter á hora de asumir o principio de precaución na xestión do tipo de recursos que se analizan nesta Tese de Doutoramento. 2 En Nakken et al. (1996) se describe a forma en que se relacionaron os puntos de referencia óptimos cos Totais Admisibles de Capturas (TAC) na pesca de bacallau. 3 Son os denominados puntos RMS (Rendemento Máximo Sostible) ou MSY (Maximum Sustainable Yield) 4 Con unha determinada varianza. Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 131 3.4.4. Información sobre a biomasa latente non centrada no valor que maximiza a variación natural A función de crecemento da biomasa de (3.69) raramente se estima con series temporais da mesma cumpran exactamente a Hipótese 3.6, sobre a disposición de información arredor do punto que permite acadar o máximo rendemento sostible. De aí que analicemos neste apartado cáles son as consecuencias de que non se cumpra. Na expresión (3.87) podemos establecer a seguinte relación RMS BB  , (3.96) de xeito que a diferenza δ será negativa se a información sobre o regresor latente esta centrada nun valor que se corresponde ao tramo crecente da función, δ será positiva se está centrada nun valor do tramo decrecente, e δ será nula no caso contemplado na Hipótese 3.6. Se consideramos o cociente da última expresión de (3.69),     4 2 42 42 24 6 52 3 22 42 24 2 32 22 4 42 2 22 4 2 6 42 24 24 ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ 2633 3 3 ˆˆˆˆ ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 22 2 34 RMS B e B e B e B e B e B e B e RMS e Be e RMS e Be B B Be e Be B Bs+Bs+ss+ss s Bs+Bss+Bss+Bss B Bs Bss Bs B Bs+Bss Bs s ss Bs ss    (3.69a) e logo dun proceso moi laborioso de substitución, chegamos a que a diferenza entre o numerador e o denominador pode escribirse como      2222222 ˆˆ ˆˆˆ eB BBe N umerador Denominador s B B s B s s s        42222422 ˆˆˆˆˆ 5322 B eBBe B Bs Bs s ss       222 2 ˆˆ 2eB Bs s B   , (3.97) aínda que non podemos determinar se esta expresión ten signo positivo ou negativo sen considerar algún caso particular. 132 Na literatura máis recente existe unha crecente preocupación pola fiabilidade das medicións das variables que indican aspectos como a taxa de mortalidade natural, o esforzo pesqueiro ou a propia biomasa reprodutora. Neste senso xa no traballo de Cotero e Green (1997) advírtese de que as estimacións de biomasa de bocarte no Golfo de California teñen un coeficiente de variación (CV) de ata 0.44 por causa da imprecisa estimación que obteñen da mortalidade das ovas, que é un elemento fundamental do seu método de estimación da biomasa. Máis recentemente podemos atopar numerosos estudios nos que se fan explícitos os coeficientes de variación da biomasa estimada nun determinado ano, dando así un indicio dunha das compoñentes do erro de medida que pode estar incorporado na estimación da biomasa. E tamén, en Hill et al. (2009) pódese atopar unha comparación de varios métodos que se utilizan para estimar a biomasa de sardiña no Pacífico que, entre outros resultados, constata as discrepancias entre eses métodos de ata un 30% no montante total estimado de biomasa. Á súa vez, Simmonds et al. (2010) analizan a concordancia entre diferentes modelos para estimar a biomasa de xarda no nordés atlántico usando métodos baiesianos. Estas referencias xustifican en certa medida que as Hipóteses 3.7, 3.8a e 3.8b que propoñemos de seguido, podan considerarse razoables para representar o comportamento tanto da biomasa anual dun recurso pesqueiro como o da sucesión de valores de biomasa que van sucedéndose no tempo, sen perder de vista que estamos establecendo un modelo coas eivas inevitables nas simplificacións que implican os modelos globais, é dicir os modelos que non consideran a estrutura por idades da poboación como o proposto por Beverton-Holt (1957). Con estas consideracións propoñemos os seguintes supostos: Hipótese 3.7: A varianza do erro de medida asociado a cada valor de biomasa, non é maior ca varianza da propia biomasa latente. Iso significa que se 1 M , temos ˆˆ Be sMs  . (3.98) Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 133 Hipótese 3.8a: Se a variable biomasa está centrada nun punto superior ao que determina o máximo da función cuadrática, a súa desviación típica non é maior que a distancia da súa media coa biomasa máxima, tal como se ilustra na Figura 3.10a. Figura 3.10a. Información centrada nun valor de biomasa do tramo decrecente Se RMS B B e 1K, cúmprese ˆ 2B B Ks  . (3.99) Nesta situación, a diferenza entre o numerador e o denominador de (3.97) pódese expresar mediante    34 322 22 2 22 ˆˆˆ 812 2 133 eee Numerador Denominador s KM s K M s KM M K M       32 2 22 2 42 ˆ337 4 1 e sM K KM M KM                432 222 ˆ12 e sKM K KM M         (3.100) que resulta sempre positiva dadas as restricións de (3.98) e (3.99). Isto significa que tamén nesta situación a estimación MC do modelo con erros 134 sobreestima o valor da biomasa onde se acada o rendemento máximo sostible. Polo que podemos enunciar a seguinte proposición: Proposición 3.10. Baixo as Hipóteses 3.2, 3.3, 3.5, 3.7 e 3.8a, a estimación MC do modelo definido polas expresións (3.69), (3.80) e (3.81) sobreestima o valor do regresor que maximiza o valor da variable explicada. E finalmente, propoñemos tamén unha hipótese alternativa á Hipótese 3.8a, que consideramos razoable naquelas situación nas que a biomasa estea centrada nun punto inferior. Hipótese 3.8b: Se a variable biomasa está centrada nun punto inferior ao que determina o máximo da función cuadrática, a súa desviación típica non é maior que a súa media, tal como se ilustra na Figura 3.10b. Figura 3.10b. Información centrada nun valor de biomasa do tramo crecente Entón, se RMS B B e 1K, temos ˆB B Ks. (3.101) Neste contexto, a diferenza entre o numerador e o denominador de (3.87) é agora: Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 135    52 2 22 ˆ 21 e Numerador Denominador s KM M K M   2222242 ˆ23 2 5 e sM K M KM KM    23 22 2 2 ˆ21 e sKM KM M K   . (3.102) Os catro parámetros ( ˆe s, δ, K e M) que definen o valor desta expresión dan lugar a múltiples combinacións que non semellan permitir enunciar un resultado inequívoco sobre o comportamento do signo de (3.102) se admitimos a Hipótese 3.8b. Agora ben, mediante un exercicio de simulación con unha folla de cálculo pódese deducir que, como norma xeral, o signo da diferenza de (3.102) virá determinado polas relacións recollidas na Táboa 3.5. Relación entre B e R MS B , sendo B < R MS B B ≈ 0 B ≈ 2 R MS B B öRMS B Desviación típica da biomasa → ˆ B s ≈ 0 ˆ B s ≈2 B ˆ B s ≈ B ˆ B s ≈ 0 ˆ B s ≈ 2 B ˆ B s ≈ B ˆ B s ≈ 0 ˆ B s ≈ 2 B ˆ B s ≈ B ˆe s ≈ 0   +   +   + ˆe s ≈ ˆ 2 B s   +   +  + + Desviación típica do erro de medida ˆe s ≈ ˆ B s   +  + +  + + Táboa 3.5. Signo da diferenza definida en (3.102). Da análise da Táboa 3.5, despréndese que só pode garantirse que a estimación MC subestima o valor de BRMS cando a varianza da biomasa é excesivamente reducida. 136 3.5 Implicacións que se derivan da inconsistencia dos estimadores MC cando o regresor ten erros de medida, sobre o modelo de Gordon-Schaefer-Munro Da análise das seccións anteriores deste capítulo tíranse dúas conclusións. En primeiro lugar, a estimación de ecuacións cuadráticas xerais presenta nesgos atenuantes nos estimadores dos parámetros de crecemento. En segundo lugar, ese tipo de nesgos tamén aparecen cando se utiliza a ecuación (3.69) que se propón habitualmente para representar a variación natural da biomasa. Non quixéramos deixar de comentar, chegados a este punto, que as propiedades matemáticas da análise desenvolvida na sección 3.4 son tamén aplicables á ecuación que se utiliza frecuentemente para explicar o rendemento dunha pesquería en función do esforzo pesqueiro, pois formalmente é o mesmo tipo de expresión que se propuxo en (3.69). Polo tanto, se supoñemos que ás variables que expresan o esforzo pesqueiro teñen as propiedades que se lle atribuíron na sección 3.4 á biomasa, e tamén admitimos a posibilidade de que estean medidas con erros, poderemos tirar conclusións equivalentes ás indicadas nas Proposicións 3.7-3.10 pero nese outro contexto. Como expuxemos no apartado 2 do Capítulo 1, o modelo de Gordon-Schaefer é parte integral da proposta que G. Munro fixo para analizar a xestión bioeconómica dunha pesquería pero localizada nunha zona xeográfica compartida, o cal permite incorporar a metodoloxía da teoría de xogos (Munro, 1979). Nesa proposta se utiliza unha ecuación5 que, formalmente, equivale ao tipo de ecuacións expresado en (3.69), para representar o comportamento dinámico da biomasa dun recurso pesqueiro, polo que é moi verosímil que xurdan nesgos nos estimadores MC cando se aplique na práctica. Co obxecto de analizar esta posibilidade, presentamos a continuación o modelo orixinal GSM. 3.5.1. Ecuacións do modelo teórico orixinal O modelo orixinal de GSM inclúe dúas ecuacións básicas. Unha ecuación 5 Trátase da ecuación que expresamos máis adiante na expresión (3.104). Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 143 A Figura 3.13 ilustra a situación representada na Táboa 3.10. Figura 3.13. Axuste do modelo estimado da Táboa 3.10. Naturalmente, estes resultados non dan unha idea exacta sobre si existe unha alta ou baixa probabilidade de que se estean a producir comportamentos como os verificados nestas simulacións cando se fan aplicacións prácticas do modelo GSM ou de algunha das súas variantes. Non obstante, cremos que si xustifican a necesidade de ter en conta os posibles efectos dos erros de medida na variable explicativa á hora de determinar os puntos de referencia aos que se fixo alusión no apartado 3.4.3. Ter en conta os nesgos que provoca a estimación MC nos estimadores dos parámetros (e consecuentemente no valor de BRMS) e que foron determinados nas Proposicións 7-10, sería certamente de gran axuda nesa tarefa. 3.5.3. Consecuencias económicas Dado que non é posible establecer unha dirección inequívoca do nesgo na estimación MC do modelo de (3.69) con erros de medida no regresor, salvo cando a información está centrada no valor de BRMS ou nalgún punto superior, tampouco é posible determinar inequivocamente a repercusión económica deste feito no modelo GMS. Pero do que non cabe ningunha dúbida é de que, de utilizar esa metodoloxía de estimación con este tipo de modelos, será frecuente a tendencia da mesma a suxerir valores de rendemento máximo sostible do recurso maiores aos que se obterían se tivésemos información sen erros. 144 Previsiblemente cabe agardar que os rendementos económicos actualizados da xestión do recurso pesqueiro veranse máis afectados canto máis sensibles sexan estes aos parámetros da ecuación (3.69). Dado que se demostrou analiticamente a dimensión do nesgo que se produce ao realizar a estimación MC, tamén será posible determinar en cada caso unha avaliación do rendemento máximo latente que pode ser maior ou menor que o inferido do modelo estimado. Pódese conxecturar que, en caso de ser menor, os rendementos económicos do modelo estimado van tender a sobreestimar aos que se obterían cos valores dos parámetros estimados con un método que dispuxese de estimadores consistentes. A razón é que podemos dar por suposto que tanto os niveles de biomasa nos que o recurso é sostible, como os límites máximos dos mesmos, son maiores do que o principio da precaución suxeriría polo que as capturas do modelo latente tenderán a ser menores. Así e todo, non é banal a posibilidade de que a estimación MC poda estar sobreestimando o valor da biomasa que maximiza a variación natural da biomasa (ou o nivel de capturas que permite acadar o rendemento máximo sostible) e, ao mesmo tempo, subestimando o propio valor do rendemento máximo. Isto dependerá da relación entre o nesgo do estimador r1 e o nesgo do estimador r2. Quérese dicir que pode darse a situación na que o modelo latente propoña un valor da biomasa que maximiza a variación natural que sexa menor que o proposto polo modelo estimado, pero que simultaneamente supoña unha maior velocidade de crecemento do recurso. Por outra banda, é ben coñecido que nos modelos de optimización que comparan as solucións cooperativas coas solucións non cooperativas como acontece co modelo GSM, a solución cooperativa comporta beneficios en xeral maiores que a solución non cooperativa. Agora ben, habería que determinar se a avantaxe dunha solución sobre a outra, en termos de beneficios, é moi sensible ou non á posibilidade de que as estimacións dos parámetros da ecuación da variación temporal da biomasa poidan presentar nesgos, sobre todo se estes implican unha sobreestimación de BRMS, que como se indicou é a posibilidade máis verosímil. Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 145 3.6 Conclusións Podemos concluír a análise feita neste capítulo dicindo que o método de estimación de mínimos cadrados non é recomendable para estimar modelos cuadráticos con unha única variable preditora, que inclúan erros de medida na mesma (salvo que se corrixan os resultados que proporciona). En efecto, ao estimar co método MC unha ecuación cuadrática xeral con información sobre o regresor simétrica e centrada no valor deste que a fai máxima, demostramos dous importantes resultados. En primeiro lugar, o estimador do parámetro que representa a concavidade da función non é consistente, pois presenta un nesgo atenuante dado pola relación entre o cadrado da varianza do regresor latente e o cadrado da suma desa varianza e a varianza do erro de medida. En segundo lugar, o estimador do parámetro que representa o valor máximo que pode tomar a función, tampouco é consistente, pois presenta un nesgo atenuante que ven dado pola relación entre o parámetro que expresa a concavidade da función, a varianza do regresor latente e a varianza do erro de medida. Adicionalmente, se a información sobre o regresor latente non está centrada no valor do regresor latente que maximiza a función, obtivemos dúas conclusións. Por unha parte, os estimadores dos parámetros que representan a concavidade da función e o valor máximo da mesma manteñen o mesmo nesgo atenuante que se produce na situación enunciada no parágrafo anterior. Por outra parte, o estimador que permite calcular o valor do regresor onde a función se fai máxima ten un nesgo que o esaxera (atenúa) se a información está centrada no tramo crecente (decrecente) da función latente. Por último, verificouse que cando se estima con MC unha función cuadrática moi particular que se utiliza habitualmente para representar o crecemento natural da biomasa ou o rendemento dunha pesquería en termos de capturas, os estimadores MC da concavidade da función cuadrática, do valor do regresor que fai máxima esa función e da taxa de crecemento da función sigmoidal implícita na mesma, presentan nesgos cando o regresor ten distribución normal de probabilidade e os valores observables do mesmo incorporan erros de medida estatisticamente independentes do regresor e con distribución normal de 146 probabilidade. Aínda que a dirección deses nesgos depende do tramo da función sobre o que se dispoña de información observable, en xeral son nesgos que convidan a subestimar a curvatura da función cuadrática latente e a taxa de crecemento da función sigmoidal implícita, e a sobreestimar o valor do regresor latente que maximiza a función cuadrática, coa excepción de que a información do regresor latente teña pouca dispersión. Capítulo 3. Estimación de modelos cuadráticos con erros no regresor 147 Bibliografía AGÜERO, M.; GONZÁLEZ, E. (1996): “Managing Transboundary Stocks of Small Pelagic Fisheries: Problems and Options”. World Bank Fisheries Series. Discussion Paper nº 329. ALIAGA, B.; GÓMEZ, D.; NEIRA, S. (2001): “Análisis bioeconómico de la pesquería de sardina (Sardinops sagax) y anchoveta (Engraulis ringens) de la zona norte de Chile”. Investigaciones Marinas, vol. 29, nº 2: pp. 15-23. ARMSTRONG, C.W.; FLAATEN, O. (1991): “The Optimal Management of a Transboundary Resource: The Arcto-Norwegian Cod Stock”. Arnson, R.; Bjørndal, T. (ed.): Essays on the Economics of Migratory Fish Stocks, Ed. Springer-Verlag: pp. 137-152. BEVERTON, R.J.H.; HOLT, S.J. (1957): “On the Dynamics of Exploited Fish Populations”. Fishery Investigations, Ministry of Agriculture, Fisheries and Food, Great Britain, series II, vol. XIX. CADIMA, E.L. (2003): Manual de evaluación de resursos pesqueros. FisheriesTechnical Paper 383. FAO. CERDÁ, E. (2001): Optimización dinámica, Ed. Prentice Hall. CHOW, G.C. (1997): Dinamic Economics: optimization by the Lagrange method, Ed. Oxford Univ. Press. CONRAD, J.M. (1999): Resource Economics, Ed. Cambridge Univ. Press. COTERO, C.E.; GREEN, Y. (1997): “Spawning Biomass of hte Northern Anchovy (Engraulis Mordax) in the Gulf of California during 1991”. Col COFI Rep., 38: pp. 171-179. DOMÍNGUEZ, M.; SURÍS, J.C. (2007): “Cooperation and non-cooperation in the Iberoatlantic sardine shared stock fishery”. Fisheries Research, 83: pp. 1-10. FAO (1995): Code of Conduct for Responsible Fisheries. FAO. GINI, C. (1921): “Sull'interpolazione de una retta quando i valori della variable indipendente sono affetti da errori accidentali”. Metroeconomica, 1: pp. 63-82. HADDON, M. (2001): Modelling and Quantitative Methods in Fisheries, Ed. Chapman & Hall. 148 HENDERSON, J. V.; TUGWELL, M. (1979): “Exploitation of the lobster fishery: Some empirical results”. Journal of Environmental Economics and Management, vol. 6(4): pp. 287-296. HILL, K.T.; LO, N.C.H; MACEWICZ, B.J.; CRONE, P.R.; URAGA, R.F. (2009): “Assessment of the Pacific Sardine Resource in 2009 for U.S. Management in 2010”. NOAA Technical Memorandum NMFS, SWFSC-452. LÓPEZ VEIGA, E.C. (200): Manual de política pesqueira, Ed. Xunta de Galicia. MUNRO, G. R. (1979): “The Optimal Management of Transboundary Renewable Resources”. Canadian Journal of Economics, 12 (3): pp. 355-376. NAKKEN,O.; SANDBERG, P.; STEINSHAMM; S.I. (1996). “Reference points for optimal fish stock management: A lesson to be learned from the Northeast Arctic cod stock”. Marine Policy, vol. 20, nº 6: pp. 447-462. ROMERO, C. (1994): Economía de los recursos ambientales y naturales. Ed. Alianza Editorial. SIMMONDS, E. J.; PORTILLA, E; SKAGEN, D.; BEARE, D.; REID, D.G. (2010: “Investigating agreement between different data sources using Bayesian state-space models: an application to estimating NE Atlantic mackerel catch and stock abundance”. ICES Journal of Marine Science, nº 67: pp. 1138-1153. SUMAILA, U.R. (1997): “Cooperative and non-cooperative exploitation of the ArctoNorwegian Cod Stock”. Environmental and Resource Economics, 10: pp. 147-165. SURÍS, J. C. (1993): “Regulation of the Iberoatlantic Sardine”. Environmental and Resource Economics, vol. 3, nº 5: pp. 457-470. TRENKEL, V. M. (2008): “A two-stage biomass random effects model for stock assessment without catches: what can be estimated using only biomass survey indices?”. Canadian Journal of Fisheries and Aquatic Sciences, 65: pp. 1024– 1035. VARELA, M.M.; SURÍS, J.C. (1994): “Modelo de explotación de recursos pesqueros”. AZQUETA, D.; FERREIRO, A. (eds): Análisis económico y gestión de recursos naturales, Ed. Alianza Editorial. VILLASANTE, S.; SUMAILA, R. (2009): “Estimating the economic benefits of cooperative and non-cooperative management of the Illex argentinus fishery in South America”. Latin American and Caribbean Enviromental Economics Working Paper Series, nº 2009-WP14. Capítulo 4 HIPÓTESE DE DISTRIBUCIÓN ASIMÉTRICA DE PROBABILIDADE DO REGRESOR NUN MODELO CUADRÁTICO PARTICULAR Capítulo 4. Hipótese de distribución asimétrica de probabilidade do regresor nun modelo cuadrático particular 151 4.1 Introdución Tal e como vimos polo miúdo nos capítulos anteriores, a estimación polo método MC dos parámetros dos modelos non lineais considerados nos mesmos non garante en absoluto que se estean a utilizar estimadores que cumpran cando menos a propiedade de consistencia. En efecto, no Capítulo 2 demostramos, mediante simulacións, que é suficiente con que a variable explicativa dun modelo sigmoidal siga unha distribución simétrica de probabilidade, independente das variables de erro e de perturbación, para que se produzan nesgos atenuantes no estimador do fundamental parámetro que representa a taxa de crecemento da sigmoide. Tamén comprobamos a influencia que ten o tramo da función sobre o que se dispón de información na determinación dos nesgos nos estimadores MC. Baixo condicións similares, no Capítulo 3 verificamos que se produce tamén un comportamento semellante nos modelos cuadráticos, e mesmo puidemos determinar con precisión como se poden calcular os nesgos que se producen nos estimadores. Igualmente, analizamos con detalle un modelo cuadrático particular que se utiliza tradicionalmente na formulación de Gordon-Schaefer do crecemento natural da biomasa dun recurso pesqueiro. Do antedito despréndese que sería recomendable buscar algunha vía de solución ao problema que supón esa falta de consistencia dos estimadores MC, pois defendemos que é preferible utilizar metodoloxías que sexan acordes coas hipóteses máis realistas que sustentan os modelos1 e coherentes cos principios que están na base da súa proposta e utilización. Nese sentido, cremos que a solución podería seguir dúas vías. Unha primeira vía de solución é operativa se podemos coñecer con precisión de antemán o nesgo que se produce nos estimadores MC. Neste caso podería ‘corrixirse’ a estimación con esa información, sempre e cando esa corrección permitise á súa vez obter resultados consistentes. Esa vía de solución é posible investigala cos resultados que acadamos no Capítulo 3, no que se detallaron as expresións matemáticas dos nesgos tanto no 1 Como é o caso da hipótese de que a variable explicativa poda estar medida con erros. 152 modelo cuadrático con tres parámetros como no caso particular do modelo de crecemento loxístico de (3.69) de Gordon-Schaefer. Para elo é preciso dispoñer de información sobre a relación entre a varianza dos erros de medida e a varianza do regresor observado, así como garantir que se poidan soster as hipóteses sobre as distribucións normais de probabilidade das variables. Respecto a este último punto, indicamos neste capítulo un primeiro paso para investigar no futuro as consecuencias que se derivarían de utilizar outra distribución de probabilidade quizais máis razoable que a distribución normal no modelo de (3.69). Propoñemos unha función de distribución Gamma con tres parámetros que recollan o valor mínimo da variable, a escala da función e a forma da mesma. A súa utilización obrigaría, como veremos, a investigar as propiedades dun tipo de funcións de distribución relativamente que non foron propostas na literatura científica ata hai pouco máis de vinte anos e que se denominan K-distribucións2. Esta primeira vía non sería posible nos modelos sigmoidais analizados no Capítulo 2, ata atopar unha expresión que determine ou aproxime con suficiente precisión os nesgos que se producen en función de algúns momentos das variables como poderían ser:  a media do regresor latente e a súa distancia respecto do valor que se corresponde co punto de inflexión da función;  a varianza do regresor observado; e  a varianza dos erros de medida. Unha segunda vía de solución podería pasar por propoñer un método de estimación alternativo a MC. Cremos que sería posible avanzar nesta dirección, investigando a viabilidade da estimación máximo-verosímil dos modelos que se formularon nesta Tese de Doutoramento. Isto esixe determinar as funcións de distribución das variables observables e, consecuentemente, propoñer previamente as hipóteses sobre cómo se distribúe o regresor latente, os erros de medida e as perturbacións. A partir desas hipóteses se debería investigar se é posible atopar funcións de densidade de probabilidade que poidan ser razoablemente manexables e estimables para: 2 Ver Jakeman e Pusey (1978).