As representações matemáticas e a argumentação na formação inicial de professores do Ensino Básico

ESCOLA DE DOUTORAMENTO INTERNACIONAL DA USC Adriana Matias Pereira Ferreira Tese de doutoramento As representações matemáticas e a argumentação na formação inicial de professores do Ensino Básico Santiago de Compostela, 2024 Programa de Doutoramento en Educación TESE DE DOUTORAMENTO AS REPRESENTAÇÕES MATEMÁTICAS E A ARGUMENTAÇÃO NA FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES DO ENSINO BÁSICO Autor Adriana Matias Pereira Ferreira Directores: Pablo González Sequeiros e María Salgado Somoza Titor: Pablo González Sequeiros PROGRAMA DE DOUTORAMENTO EN EDUCACIÓN SANTIAGO DE COMPOSTELA AGRADECIMENTOS Foi uma longa caminhada, uma caminhada repleta de desafios, de conquistas, de alegrias, uma caminhada que se moldou de um caráter solitário em muitos momentos, mas que também contou com o diálogo e a partilha que ajudaram a enriquecer esta trajetória que culmina com a conclusão deste trabalho. Começo por agradecer à Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico do Porto e à Universidade de Santiago de Compostela pela parceria que me pemitiu ingressar no Doutoramento em Educação. Agradeço aos professores que orientaram este meu trabalho: Professor Doutor Pablo González Sequeiros, pela disponibilidade e cuidado, pelas partilhas e palavras de força e pela segurança que sempre me transmitiu; e Professora Doutora María Salgado Somoza, por acompanhar todo processo e pela simpatia demonstrada. Agradeço também a todos os professores com quem já me cruzei e que tanto me ensinaram. Uma palavra especial para aqueles que continuam a marcar presença e a inspirar-me na profissão que partilhamos. Agradeço aos estudantes que participaram nesta investigação e a todos os alunos e estudantes que acompanho e com quem também aprendo. Agradeço à minha família, aos meus pais e irmão, pelo apoio incondicional e pela confiança que sempre me transmitiram. Agradeço, por fim, ao Sérgio, meu marido, pelo carinho e aconchego e pela paciência com que lidou com a minha ausência. ÍNDICE RESUMO............................................................................................... 21 RESUMEN............................................................................................ 23 ABSTRACT........................................................................................... 25 RESUMO LONGO EN GALEGO...................................................... 27 1. INTRODUÇÃO................................................................................. 35 1.1. APRESENTAÇÃO, PERTINÊNCIA E MOTIVAÇÕES............................ 35 1.2. O PROBLEMA EM ESTUDO, AS QUESTÕES DE INVESTIGAÇÃO E OS OBJETIVOS......................................................................................... 40 1.3. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO.............................................................. 41 2. ENQUADRAMENTO TEÓRICO.................................................. 43 2.1. A FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES.......................................... 43 2.1.1. Diretivas internacionais....................................................................... 44 2.1.2 A Formação Inicial de Professores em Portugal................................. 46 2.2. AS TAREFAS MATEMÁTICAS................................................................... 50 2.2.1. A importância das tarefas matemáticas............................................. 52 2.3 AS REPRESENTAÇÕES MATEMÁTICAS................................................. 53 2.4 A ARGUMENTAÇÃO EM MATEMÁTICA................................................ 58 3. ENQUADRAMENTO METODOLÓGICO.................................. 68 3.1. OS PARADIGMAS EM INVESTIGAÇÃO.................................................. 68 3.2. OPÇÕES METODOLÓGICAS DO ESTUDO............................................. 69 3.2.1. Os participantes.................................................................................... 72 3.2.2. A recolha de dados................................................................................ 75 3.2.2.1. O teste inicial individual........................................................... 76 3.2.2.2. As tarefas.................................................................................. 78 3.2.2.3. O teste final com alternativas de resolução.............................. 80 3.2.3. As categorias de análise de dados........................................................ 85 4. ANÁLISE DE DADOS E RESULTADOS..................................... 87 4.1. ANÁLISE DO TESTE INICIAL INDIVIDUAL.......................................... 87 4.1.1. Questão 1 - Na fila................................................................................ 88 4.1.2. Questão 2 - O pagamento..................................................................... 92 4.1.3. Questão 3 - Os animais domésticos..................................................... 97 4.1.4. Questão 4 - O número mistério........................................................... 103 4.1.5. Discussão geral dos resultados analisados.......................................... 108 4.2. ANÁLISE DAS TAREFAS COLABORATIVAS......................................... 114 4.2.1. Tarefa 1.................................................................................................. 114 4.2.2. Tarefa 2.................................................................................................. 119 4.2.3. Tarefa 3.................................................................................................. 128 4.2.4. Tarefa 4.................................................................................................. 136 4.2.5. Discussão geral dos resultados analisados.......................................... 144 4.3. ANÁLISE DO TESTE FINAL....................................................................... 149 4.3.1. Questão 1 - Na fila................................................................................ 149 4.3.2. Questão 2 - O pagamento..................................................................... 151 4.3.3. Questão 3 - Os animais domésticos..................................................... 153 4.3.4. Questão 4 - O número mistério........................................................... 154 4.1.5. Discussão geral dos resultados analisados.......................................... 156 5. CONCLUSÕES E REFLEXÕES FINAIS..................................... 159 6. REFERÊNCIAS................................................................................ 167 7. ANEXOS............................................................................................ 176 ANEXO 1. O TESTE INICIAL INDIVIDUAL.................................................. 177 ANEXO 2. TAREFA COLABORATIVA 1........................................................ 179 ANEXO 3. TAREFA COLABORATIVA 2........................................................ 180 ANEXO 4. TAREFA COLABORATIVA 3........................................................ 181 ANEXO 5. TAREFA COLABORATIVA 4........................................................ 182 ANEXO 6. O TESTE FINAL COM ALTERNATIVAS DE RESOLUÇÃO... 183 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1. Tipologias de tarefas, de acordo com o grau dificuldade e de abertura (adaptado de Ponte, 2005).................................................................................................. 51 Figura 2. Esquema simples da argumentação (adaptado de Toulmin, 1993).................... 63 Figura 3. Esquema da argumentação com exemplo (elaboração própria)......................... 63 Figura 4. Esquema da microestrutura da argumentação (adaptado de Toulmin, 1993).... 64 Figura 5. Esquema da argumentação dos alunos (adaptado de Krummheuer, 1995)........ 64 Figura 6. Esquema da argumentação (adaptado de Forman et al., 1998).......................... 65 Figura 7. Enunciado da questão 1 (elaboração própria).................................................... 76 Figura 8. Enunciado da questão 2 (elaboração própria).................................................... 77 Figura 9. Enunciado da questão 3 (elaboração própria).................................................... 77 Figura 10. Enunciado da questão 4 (elaboração própria).................................................. 78 Figura 11. Tarefa 1 (elaboração própria)........................................................................... 79 Figura 12. Tarefa 2 (elaboração própria)........................................................................... 79 Figura 13. Tarefa 3 (elaboração própria)........................................................................... 80 Figura 14. Tarefa 4 (elaboração própria)........................................................................... 80 Figura 15. Questão 1 e sugestões de resolução (elaboração própria)................................ 81 Figura 16. Questão 2 e sugestões de resolução (elaboração própria)................................ 82 Figura 17. Questão 3 e sugestões de resolução (elaboração própria)................................ 83 Figura 18. Questão 4 e sugestões de resolução (elaboração própria)................................ 85 Figura 19. Representação pictórica (elaboração própria).................................................. 88 Figura 20. Representação icónica (elaboração própria)..................................................... 88 Figura 21. Representação semi-formal (elaboração própria)............................................. 89 Figura 22. Cálculo horizontal (elaboração própria)........................................................... 89 Figura 23. Situação argumentativa A (elaboração própria)............................................... 90 Figura 24. Situação argumentativa B (elaboração própria)............................................... 91 Figura 25. Representação simbólica matemática aritmética organizada (elaboração própria)................................................................................................................................ 93 Figura 26. Representação simbólica matemática algébrica (sistema de equações com representação decimal) (elaboração própria)...................................................................... 94 Figura 27. Representação simbólica matemática algébrica (sistema de equações com representação fracionária) (elaboração própria)................................................................. 94 Figura 28. Representação formal com erro de raciocínio (elaboração própria)................ 95 Figura 29. Situação argumentativa C (elaboração própria)............................................... 96 Figura 30. Representações do tipo (a) (elaboração própria).............................................. 98 Figura 31. Representações do tipo (b) (elaboração própria).............................................. 98 Figura 32. Representações do tipo (c) (elaboração própria).............................................. 98 Figura 33. Resolução mista da questão 3 (elaboração própria)......................................... 99 Figura 34. Tentativa de diagrama de Venn 1 (elaboração própria)................................... 100 Figura 35. Tentativa de diagrama de Venn 2 (elaboração própria)................................... 100 Figura 36. Resolução proposta pela investigadora para reflexão (elaboração própria)..... 101 Figura 37. Representação do estudante M enquanto argumentava (elaboração própria).. 102 Figura 38. Situação argumentativa D (elaboração própria)............................................... 102 Figura 39. Cálculos horizontais (elaboração própria)........................................................ 104 Figura 40. Verificação com incorreções (elaboração própria).......................................... 104 Figura 41. Resolução incompleta através de uma equação com duas incógnitas (elaboração própria)............................................................................................................ 105 Figura 42. Resolução incompleta através de um sistema de duas equações com três incógnitas (elaboração própria)........................................................................................... 105 Figura 43. Tradução da pista um com recurso à formalização (elaboração própria)......... 106 Figura 44. Registo realizado no momento de discussão final (elaboração própria).......... 107 Figura 45. Situação argumentativa E (elaboração própria)............................................... 108 Figura 46. Representação pictórica e aritmética (expressão numérica) (elaboração própria)................................................................................................................................ 115 Figura 47. Representação pictórica e aritmética (adição e subtração) (elaboração própria)................................................................................................................................ 115 Figura 48. Representação pictórica e aritmética (duas subtrações) (elaboração própria). 115 Figura 49. Representação icónica e simbólica algébrica (elaboração própria).................. 116 Figura 50. Situação argumentativa F (elaboração própria)................................................ 118 Figura 51. Representação icónica A (elaboração própria)................................................. 120 Figura 52. Representação icónica B (elaboração própria)................................................. 121 Figura 53. Representação icónica incompleta (1.ª tentativa) (elaboração própria)........... 122 Figura 54. Representação icónica incompleta (2.ª tentativa) (elaboração própria)........... 122 Figura 55. Representação aritmética com erros (elaboração própria)............................... 124 Figura 56. Situação argumentativa G (elaboração própria)............................................... 126 Figura 57. Representação no quadro para refutar AN e AO (elaboração própria)............ 127 Figura 58. Situação argumentativa H (elaboração própria)............................................... 127 Figura 59. Representação icónica e numérica da sucessão (elaboração própria).............. 129 Figura 60. Representação aritmética de confirmação (elaboração própria)...................... 129 Figura 61.Representação aritmética em função do primeiro termo (elaboração própria). 130 Figura 62. Conjetura A e respetiva simplificação (elaboração própria)............................ 131 Figura 63. Conjetura B e respetiva simplificação (elaboração própria)............................ 131 Figura 64. Conjeturas C, D e E (elaboração própria)........................................................ 131 Figura 65. Conjeturas F e Verificação para n=2 (elaboração própria).............................. 131 24 revelaron una mayor tasa de éxito en el uso de cualquiera de los tipos de representaciones cuando trabajaban en grupos pequeños. Además, la resolución conjunta promovió la discusión de ideas, el cuestionamiento de procesos, la formulación de argumentos y la negociación de diferentes puntos de vista, aspectos que revelan el enorme potencial de esta metodología de trabajo. Estos momentos de intercambio dieron lugar a episodios argumentativos muy significativos, durante los cuales los estudiantes discutían para comunicar, verificar o refutar, explicar, sistematizar y descubrir, a veces con un carácter narrativo, a veces combinado con rasgos esquemáticos. Se cree que la discusión en torno a las tareas, las diferentes representaciones y los procesos de resolución contribuyeron para el desarrollo de las habilidades argumentativas de los participantes. Palabras clave: Formación inicial docente; Educación básica; Representaciones matemáticas; Argumentación; Tareas matemáticas; Trabajo colaborativo. 25 ABSTRACT Mathematical representations and argumentation increasingly occupy a central place in mathematical education in terms of planning meaningful tasks that involve thinking and doing, rather than memorizing definitions and procedures. Legislation and the main reference documents for mathematical education point to the knowledge and use of multiple representations as one of the central objectives of mathematical learning and the development of argumentative skills as essential to achieve proficiency in this subject. In this sense, the main objective of the present study is to identify different types of representation used by Higher Education students, future Basic Education teachers, in search of developing the ability to understand and use different conventional representations of mathematics, choosing the most appropriate ones for each problematic situation. The way these students argue about the representations they produce will also be subject to analysis, seeking to understand the arguments formulated, their function and the context in which they occur. The investigation is part of a qualitative and interpretative approach, developed with a total of sixty-eight students attending the Degree in Basic Education, who began by individually solving an initial test consisting of four questions; they subsequently solved a set of four different mathematical tasks in small groups; and, finally, they revisited the initial test, this time with two alternative solutions for each question, to choose the one that most resembles their way of thinking and justify their choice. All mathematical tasks are simple, capable of being solved by Basic Education students, and formulated to request a diversity of mathematical representations for their understanding, exploration, recording and solution. As data collection instruments, documentary collection of student productions, observation, field notes and audio recording are used. The results show that students are able to construct a variety of mathematical representations, with symbolic representations of the arithmetic type predominating to solve the proposed challenges, although iconic representations, more informal, also appear prominently, mainly for the analysis and understanding of the statement. At the opposite pole appear algebraic mathematical symbolic representations which, in addition to being the least used, are also those that represent the highest failure rate. Participants reveal openness to accepting other ways of representing different from those they themselves produce, as long as there is an explanation and consequent understanding of them. The nature of the task seems to influence the choice of one or another type of representation, with the simplest tasks and those disconnected from specific mathematical content tending to be solved using a greater diversity of representations, where the more informal and formal ones come together or even complement each other. Another very relevant conclusion is the valuable contribution of collaborative work to positive performance in mathematical activity. These students revealed a higher success rate in using any of the types of representations when working in small groups. Furthermore, the joint resolution promoted the discussion of ideas, the questioning of processes, the formulation of arguments and the negotiation of different points of view, aspects that reveal the enormous potential of this work methodology. These moments of 26 sharing gave rise to very significant argumentative episodes, during which students argued to communicate, to verify or refute, to explain, to systematize and to discover, sometimes with a narrative character, sometimes combined with diagrammatic features. It is believed that the discussion around the tasks, different representations and resolution processes contributed to the development of the participants' argumentative skills. Key words: Pre-service teachers education; Basic education; Mathematical representations; Argumentation; Mathematical tasks; Collaborative work. 27 RESUMO LONGO EN GALEGO As representacións matemáticas, xunto á argumentación, ocupan cada vez máis un lugar central na educación matemática no que atinxe á planificación de tarefas significativas que implican pensar e facer, máis que memorizar definicións e procedementos. A normativa e as principais referencias que regulan a educación matemática sinalan o coñecemento e o uso de representacións múltiples como un dos obxectivos centrais da aprendizaxe matemática e o desenvolvemento da destreza argumentativa como imprescindible para acadar o dominio desta disciplina. Neste sentido, o presente estudo ten como obxectivo principal identificar diferentes tipos de representación empregadas polo alumnado de Educación Superior, futuros docentes de Educación Básica, na procura de desenvolver a capacidade de comprender e utilizar diferentes representacións matemáticas convencionais, escollendo as máis adecuadas para cada situación problemática. Tamén será obxecto de análise o xeito de argumentar destes alumnos sobre as representacións que producen, procurando comprender os argumentos formulados, a súa función e o contexto no que se producen. A elección deste tema está relacionada con varios factores. En primeiro lugar, considérase moi pertinente que a investigación no ámbito educativo abranga a formación do profesorado, dende a crenza de que a calidade da formación matemática do profesorado é de vital importancia para que o noso alumnado consiga unha aprendizaxe eficaz, sobre todo se falamos de profesorado de primeiro ciclo. Enténdese que gran parte das investigacións no contexto da formación inicial do profesorado en Portugal céntranse na parte xeral da didáctica, é dicir, no desenvolvemento profesional en canto aos coñecementos sobre a práctica docente e todo o que implica a planificación, selección, preparación e elaboración de tarefas lectivas, creación de ambientes de aprendizaxe e realización de clases. Por iso, consideramos relevante investir na dimensión coñecemento das matemáticas para o ensino, que implica o contacto e a apropiación de conceptos e procedementos e a capacidade de representalos de forma diferente e de atopar relacións entre eles. Pensouse deste xeito nas capacidades transversais das matemáticas, máis concretamente as representacións matemáticas e a argumentación, como temas centrais desta investigación. A experiencia profesional da investigadora como docente de Educación Básica, pero fundamentalmente como docente da unidade técnico-científica de matemáticas, ciencia e tecnoloxía, impartindo docencia no Grao en Educación Básica, na Escola Superior de Educación do Politécnico do Porto, permítelle identificar as lagoas nestas capacidades. Estas dificultades que impiden ao alumnado ler o enunciado dunha tarefa, entendela na súa totalidade, definir unha estratexia de resolución organizada e eficiente e xustificar as súas ideas e opcións, reforzan a importancia de estudar este tema e buscar solucións para formar futuro profesorado máis competente. Definimos así cinco obxectivos específicos deste estudo: (i) identificar os tipos de representacións matemáticas empregadas polo alumnado de Grao en Educación Básica e avaliar a taxa de éxito asociada a cada unha delas; (ii) relacionar os tipos de representacións matemáticas empregadas coa natureza da tarefa matemática que se propón; (iii) valorar as funcións das representacións matemáticas utilizadas; (iv) investigar como o traballo 28 colaborativo pode favorecer o uso de representacións matemáticas diversas e progresivamente estruturadas; e (v) describir a forma en que argumentan estes estudantes. Despois de introducir o estudo, presentando a súa relevancia, as motivacións que levaron á súa realización e os obxectivos definidos para a súa consecución, é importante destacar os principios normativos que orientan a práctica docente e o ensino das matemáticas, así como os presupostos teóricos sobre tarefas na clase de matemáticas, representacións matemáticas e argumentación. Neste sentido, o segundo capítulo – Marco teórico – presenta un marco sobre a formación inicial do profesorado, que inclúe unha lectura reflexiva de documentos de carácter normativo e teórico, buscando comprender a organización e funcionamento do sistema educativo nacional e internacional en termos de a traxectoria formativa para a titulación docente. Referímonos aquí aos modelos de ensino e ás políticas educativas derivadas das decisións adoptadas por organismos internacionais, que permiten reflexionar sobre a internacionalización e globalización da educación e a aparición dun espazo educativo europeo. Dado que a presente investigación se implantou en Portugal, este marco está restrinxido á lexislación portuguesa, onde a Lei básica do sistema educativo (Lei n.º 46/86, do 14 de outubro) e as súas derrogacións, así como os Decretos-leis a partir del para definir os perfís competenciais necesarios para o desempeño das funcións docentes ou os principios sobre a formación da profesionalidade docente, xogan un papel destacado. Posteriormente, a reflexión céntrase no ensino e aprendizaxe das matemáticas a través do enfoque de conceptos centrais desta investigación. Iníciase coas tarefas matemáticas e a súa importancia na educación matemática, reflexionando sobre a construción de coñecementos e a atribución de sentido ás novas aprendizaxes, relacionándoas con redes de coñecementos previos, promovidas pola selección e presentación de tarefas estimulantes e significativas. O papel do profesor é fundamental, non só na citada selección, senón tamén na forma en que se implementan na aula, coa función de animar, pedir explicacións, desafiar a súa capacidade de ir máis aló, apoiar, orientar e presentar suxestións. Conclúese que as tarefas son unha actividade sumamente relevante e pertinente no ensino e aprendizaxe das matemáticas, xa que potencian o desenvolvemento de competencias transversais como a multiplicidade de representacións ou a argumentación. As representacións son o tema que se explora no seguinte subcapítulo, asumidas como ferramentas privilexiadas para organizar as ideas en matemáticas, rexistralas, comunicalas e discutilas. Son procesos e produtos flexibles e dinámicos, empregados para articular, aclarar e explicar razoamentos, que nos permiten comprender un concepto ou relación matemática e expresalos (Woleck, 2001; Goldin, 2002; NCTM, 2007; Velez, 2020). Considérase fundamental que o alumnado sexa capaz de crear representacións diversas e coherentes cos enunciados das tarefas que se lle propoñan (NGA & CCSSO, 2010). Porén, estudos recentes revelan que os docentes e futuros docentes poden presentar algunhas limitacións no desenvolvemento desta capacidade no seu alumnado, experimentando dificultades para anticipar estratexias, establecer conexións entre elas e coñecer diferentes formas de representar en matemáticas (Delgado et al., 2017; Mendes, et al., 2022; Martins et al., 2023). Finalmente, xorde unha aproximación á argumentación, como proceso de razoamento, a partir de referencias ancestrais que retoman o razoamento dialéctico da proposta aristotélica, nomeadamente Chaïm Perelman e Stephen Toulmin. O marco creado permítenos comprender a importancia da argumentación no ámbito das matemáticas e xustifica que o NCTM (2007) a sinale como un dos cinco procesos centrais que permiten a adquisición e aplicación de diferentes contidos matemáticos e que os Common Core State Standards for Mathematics (NGA & CCSSO, 2010) fagan referencia á construción de argumentos viables e ao cuestionamento do razoamento dos compañeiros como esenciais para 29 acadar a competencia matemática. Esta revisión bibliográfica resultou esencial para ampliar significativamente a visión da investigadora sobre os temas que propuxo traballar e imprescindible para definir as categorías de análise de datos utilizadas no estudo empírico. A investigación enmárcase nun enfoque cualitativo e interpretativo, desenvolvido cun total de sesenta e oito estudantes de Educación Superior, que asisten a clases de Números e Estruturas, integrada no segundo curso do plan de estudos do Grao en Educación Básica nunha Escola Superior de Educación dun Instituto Politécnico de Portugal. Os participantes comezaron por resolver individualmente unha proba inicial composta por catro preguntas; posteriormente resolveron un conxunto de catro tarefas matemáticas diferentes en pequenos grupos; e, finalmente, revisaron a proba inicial, esta vez con dúas solucións alternativas para cada pregunta, para escoller a que máis se asemellaba á súa forma de pensar e xustificar a súa elección. Para iso, organizáronse un total de seis sesións: unha para a proba inicial, unha para cada unha das catro tarefas colectivas e outra para a proba final. Cada sesión tivo unha duración aproximada de dúas horas e dividiuse fundamentalmente en dúas partes: (i) realización da actividade; (ii) discusión colectiva. Estas propostas de actividades realizáronse espaciadas, deixando sempre uns quince días entre cada intervención, para conseguir que todo o explorado nunha sesión fose ben asimilado antes de pasar á seguinte. As tarefas matemáticas elixidas son sinxelas, susceptibles de ser resoltas polo alumnado de Educación Básica, e formuladas para solicitar unha diversidade de representacións matemáticas para a súa comprensión, exploración, rexistro e solución. Nun estudo destas características cobran especial relevancia os métodos e instrumentos de recollida de datos e a súa posterior análise, que foron elixidos para responder con claridade ao obxectivo do estudo e articularse co marco epistemolóxico elixido. Neste sentido, esta investigación utiliza a recollida documental de producións do alumnado, a observación non participante e participante, as notas de campo recollidas durante a realización das tarefas e as gravacións de audio do momento en que se realizaron as tarefas grupais e os debates finais. A investigación realizouse tendo en conta os principios das boas prácticas investigadoras, dimensión ética que chegou a bo porto coa achega do Código Ético da AERA (AERA, 2011), que establece os principios fundamentais para a realización de estudos no ámbito educativo. Destacamos a participación voluntaria dos participantes, que asinaron o consentimento informado tras ser informados da investigación de forma clara e transparente, así como a anonimización dos datos persoais recollidos para o seu tratamento e presentación. Aínda no que se refire ao marco metodolóxico, aclaramos as categorías de análise de datos definidas, tanto para a análise das representacións matemáticas do alumnado como para os episodios argumentativos acontecidos. No que respecta ás representacións, despois de analizar os modelos propostos por diferentes autores, optouse por unha adaptación da categorización de Vélez (2020), que deu lugar á definición das seguintes categorías: (i) Representacións pictóricas, nas que predomina o uso de símbolos non matemáticos directamente relacionados coa situación problema presentada; (ii) Representacións icónicas, que xa están afastadas da realidade, presentando un maior nivel de abstracción, a pesar de seguir empregando símbolos non matemáticos; (iii) Representacións simbólicas verbais, que se caracterizan polo uso da linguaxe oral e/ou escrita, normalmente nun discurso máis próximo á linguaxe natural que á linguaxe matemática; 30 (iv) Representacións simbólicas matemáticas, nas que se consideran dúas subcategorías, a saber: a) aritmética, que se relaciona co uso de representacións numéricas, operacións sinxelas (como suma, resta, multiplicación, división, potenciación...) e as súas propiedades; b) alxébrica, que inclúe a aplicación de fórmulas e xeneralizacións, normalmente mediante o uso de variables, permitindo a expresión do que é xenérico para varios valores numéricos, independentemente de cales sexan; (v) Representacións mixtas, nas que se combinan dous ou máis tipos das representacións anteriormente mencionadas, ben por incapacidade para continuar unha iniciada, ben por complementarse as que se consideran. En canto á forma de argumentar do alumnado de Educación Superior en relación coas representacións que empregan para resolver un determinado desafío matemático, as estratexias que definen e a forma de razoar, optamos por un modelo de situación argumentativa, proposto por Cornejo-Morales et al. (2021), que está formado por cinco eixos fundamentais: (i) Argumento, que inclúe a posición do alumno e a razón que apoia esta posición; (ii) Interacción, que fai referencia aos axentes implicados no momento da argumentación, xa que nesta investigación houbo episodios argumentativos en pequenos grupos (entre dous e catro elementos), sen intervención do docente/investigador, e en gran grupo ( grupo clase), con intervención do docente/investigador; (iii) Función, eixo que se centra na finalidade do argumento, procurando enmarcar calquera intervención nun posible motivo polo que se levou a cabo, a saber, comunicación, comprobación ou refutación, explicación, sistematización e descubrimento; (iv) Carácter, que nos dá respostas sobre a forma de argumentar do alumnado, é dicir, se utiliza representacións ou materiais, ou se organiza a súa argumentación en enunciados, que se suceden, co obxectivo de chegar a unha conclusión; (v) Matemáticas, eixo a través do cal se explica o tema matemático tratado durante o episodio argumentativo. En relación cos tipos de representacións matemáticas empregadas e a taxa de éxito asociada a cada unha delas, os resultados demostran que o alumnado ten facilidade para construír unha variedade de representacións matemáticas, predominando as representacións simbólicas de tipo aritmético para resolver os desafíos propostos, aínda que tamén aparecen de forma destacada representacións icónicas, máis informais, principalmente para a análise e comprensión do enunciado. A maioría recorre a cálculos horizontais, realizando unha operación á vez. A nivel individual, a taxa de éxito no uso destas representacións resulta ser inferior ao esperado, chegando só ao redor do sesenta e catro por cento. Ao resolver tarefas en grupo, a taxa de éxito das representacións simbólicas matemáticas aritméticas aumenta ata un oitenta e dous por cento. Nas tarefas que foron resoltas de xeito colaborativo, estas representacións xa non son as máis utilizadas, gañando protagonismo ás representacións mixtas. Non obstante, é importante destacar que as representacións aritméticas aparecen na maioría destes híbridos, combinándose esencialmente con representacións informais, como 31 representacións pictóricas ou icónicas. Tanto no traballo individual como no traballo en pequeno grupo, o alumnado parece ter máis éxito usando representacións mixtas que co uso exclusivo de representacións simbólicas matemáticas aritméticas. No polo oposto aparecen representacións simbólicas matemáticas alxébricas que, ademais de ser as menos utilizadas, tamén son as que representan a maior taxa de fracaso. A maioría dos estudantes non favorecen este tipo de representación formal, pero cando o fan, o máis habitual é que non sexan capaces de determinar ningunha resposta ou que presenten respostas incompletas. Outra situación recorrente foi que iniciaban a solución con representacións alxébricas, pero, debido á súa incapacidade para continuar co seu razoamento, abandonábanas para continuar con representacións que lles proporcionaban máis seguridade. Este fracaso está asociado con malos resultados coas matemáticas, en xeral, ou con malas experiencias coa linguaxe alxébrica, en particular, e parece ter moito impacto no rendemento dos participantes neste estudo. Pola súa banda, as representacións icónicas son as segundas máis utilizadas na resolución de tarefas individualmente. Este é un tipo de representación a través do que os estudantes teñen éxito. Porén, as representacións icónicas non foron un recurso para resolver tarefas colaborativas dun xeito exclusivo, xa que foron utilizadas por algúns grupos no que catalogamos como representacións mixtas. As representacións pictóricas, así como as representacións simbólicas verbais, utilízanse de xeito residual, aparecendo máis nas representacións mixtas. Aínda así, o alumnado que as utiliza amosa resultados moi satisfactorios. Os participantes revelan apertura para aceptar outras formas de representar diferentes ás que eles mesmos producen, sempre que exista unha explicación e a consecuente comprensión das mesmas. Puidemos relacionar os tipos de representacións matemáticas empregadas coa natureza da tarefa matemática que se propón, sendo que as tarefas máis sinxelas, que están menos vencelladas a contidos matemáticos concretos, tenden a resolverse mediante unha maior diversidade de representacións, onde conflúen as máis informais e as formais ou mesmo se complementan. Estas tarefas máis sinxelas, que nun principio poderían parecer as menos desafiantes tendo en conta que estaban a ser presentadas ao alumnado de Educación Superior, foron as que máis marxe deron para explorar diferentes tipos de representacións matemáticas. Por unha banda, foi nas resolucións destas tarefas onde apareceu unha maior diversidade de representacións e, por outra, deron pé a discusións finais moi ricas en canto a capacidade argumentativa e espírito crítico, en relación co proceso e as súas vantaxes e inconvenientes e o resultado. Ademais, consideramos que á hora de resolver tarefas que se poden presentar ao alumnado de primeiro e segundo ciclo, futuro alumnado destes futuros docentes, estes últimos aprenden dun xeito moi significativo sobre os contidos que van impartir, sobre os procesos de razoamento e sobre os distintos tipos de representación. As dificultades coas que se atopan poden ser as dificultades coas que se atoparán o seu futuro alumnado, o que garante que se preparen de forma máis coherente para o seu futuro labor docente. Estas tarefas amosáronse moi interesantes para que o alumnado experimente de primeira man o importante papel que poden ter as representacións e os procesos informais para a actividade matemática, dándolles a certeza de que permiten a construción de coñecementos, incluso para quen non os utiliza como pertencentes á disciplina. Estes alumnos tamén foron quen de recoñecer o valor destas representacións informais para o desenvolvemento doutros procesos e estratexias progresivamente máis formais. 32 En canto ás funcións das representacións matemáticas utilizadas, conclúese que este alumnado utilizounas para diferentes fins, dende organizar a información que se transmite no enunciado da tarefa para comprender mellor o problema ou axudar a definir unha estratexia, ata concretar razoamentos, explorar diferentes posibilidades e rexistralas, verificar ou refutar respostas ou comunicar ideas a compañeiros e/ou profesores. As representacións informais son privilexiadas, especialmente as icónicas, para organizar as ideas presentes no enunciado, traspoñendo a información da linguaxe cotiá á linguaxe simbólica. Este tipo de representación deixa claro o reto que se lles formula e, polo tanto, facilita a definición de estratexias de resolución. Para poñer en práctica as estratexias definidas, a maioría dos alumnos xa optan por representacións simbólicas matemáticas cun maior nivel de formalismo. Así, as representacións aritméticas e as representacións alxébricas xorden esencialmente para buscar unha resposta á tarefa, materializándose, por exemplo, en cálculos ou algoritmos horizontais ou na construción e resolución dunha ecuación ou dun sistema de ecuacións. Tamén se empregan para este fin esquemas, diagramas ou táboas, que catalogamos como representacións icónicas, aínda que representan unha pequena minoría. As representacións simbólicas matemáticas aritméticas tamén cumpren outra función na resolución de tarefas dos participantes neste estudo: verificar ou refutar respostas. Ademais, na comunicación de ideas e nos episodios argumentativos estas aparecen de forma destacada. Polo que expresaron estes alumnos, cremos que o fixeron porque sentían certa confianza con este tipo de representación, pero tamén en gran medida porque consideran que son representacións máis axeitadas para o nivel de estudos no que se atopan, tendo en conta que o que se espera deles é esta capacidade para presentar ideas matemáticas con claridade, nun discurso organizado e formal, que inclúa estruturas matemáticas específicas. Aínda no que se refire á comunicación, tamén concluímos que as representacións simbólicas verbais eran empregadas polo alumnado para garantir a eficacia nesta destreza. Outra conclusión moi relevante é sobre a forma en que o traballo colaborativo pode favorecer o uso de representacións matemáticas diversas e progresivamente estruturadas, asumindo como unha valiosa contribución a un rendemento moi positivo na actividade matemática. As dúas probas principais son a taxa de éxito na resolución das tarefas e a diversidade e riqueza das representacións matemáticas xurdidas nesta etapa. De feito, se comparamos os resultados das preguntas iniciais da proba resoltas individualmente cos das tarefas colaborativas, vemos que a taxa de éxito é maior cando se empregan todo tipo de representacións matemáticas, o que significa que o alumnado ten máis éxito, independentemente do tipo de representación que utiliza, cando traballa en grupo. Ademais, non podemos obviar o feito de que están xurdindo tipos de representacións máis diversos e alternativos á hora de resolver tarefas colaborativas. As representacións mixtas, que corresponden só ao redor do doce por cento do total das representacións en resolucións individuais, tradúcense agora nun corenta e seis por cento, cando analizamos os resultados das tarefas resoltas en pequenos grupos, converténdose no tipo de representación máis empregado. O traballo entre iguais fixo que os estudantes fosen máis competentes. Comezaron comentando os problemas e explicando os enunciados, buscando formas de resolvelos. Xuntos, foron máis áxiles á hora de analizar datos, atopar relacións e correlacións, construír conxecturas e verificalas. Estes estudantes revelaron entón unha maior flexibilidade para moverse entre diferentes tipos de representación cando se traballa en equipo, moitas veces motivada pola diversidade de razoamentos e ritmos de traballo dispares dentro do grupo. Nestes momentos notáronse correspondencias entre expresións numéricas e un diagrama, ou 33 entre unha táboa e unha descrición verbal, ou entre un debuxo e unha ecuación, para tentar buscar unha resolución clara e que tivese sentido para todos. Por último, tamén se sacaron diversas conclusións sobre a forma de argumentar do alumnado do Grao en Educación Básica. Demostraron capacidade para estruturar os seus argumentos, defender unha posición e sinalar unha ou varias razóns para apoiala. Os últimos momentos de posta en común e reflexión, durante os que se orquestraron debates con toda a clase, axudaron a que todos eles, incluso aqueles que nun principio tiñan dificultades para estruturar as súas ideas e expresalas, melloraran a súa capacidade de comunicación e argumentación. Debater as diferentes estratexias de resolución de problemas e representacións empregadas, pero tamén comparar a súa eficacia, potenciou o espírito crítico do alumnado e favoreceu a exposición de argumentos, a toma de posicións fundamentadas e a capacidade de negociación e aceptación de diferentes puntos de vista. Os episodios argumentativos, acontecidos tanto nun grupo reducido como nun grupo clase coa posible participación do profesor/investigador, contribuíron a promover un coñecemento matemático significativo. Estaba moi claro que nas súas intervencións os estudantes adoitan utilizar a linguaxe natural para describir e xustificar os seus razoamentos, predominando o carácter narrativo, aínda que en ocasións combinado con trazos esquemáticos. Estes estudantes argumentaron maioritariamente para comunicar a súa posición e para explicar ideas, razoamentos ou procesos de resolución. Fixérono de forma eficaz e completa, explicando de diferentes xeitos e presentando exemplos sempre que fose necesario para ser esclarecedores. Ao mesmo tempo, os episodios argumentativos tamén permitiron aclarar os significados das informacións do problema e as ideas ou conclusións dalgúns alumnos, servindo á finalidade de sistematización. Sobre todo cando se trataba dunha resolución por ensaio-erro, estes momentos resultaron sumamente interesantes para organizar as ideas e sistematizar unha estratexia máis eficiente e económica, que combinase as suxestións de varias persoas nunha única resolución. Crese, polo tanto, que a discusión arredor das tarefas, as diferentes representacións e os procesos de resolución contribuíron ao desenvolvemento das habilidades argumentativas dos participantes. Palabras chave: Formación inicial do profesorado; Educación básica; Representacións matemáticas; Argumentación; Tarefas matemáticas; Traballo colaborativo. Introdução ao estudo 41 Objetivo 2: Relacionar os tipos de representações matemáticas utilizados com a natureza de tarefa matemática que é proposta. O enunciado de uma tarefa matemática influencia as representações produzidas e as estratégias adotadas para a resolver. Pretende-se estabelecer pontes entre o tipo de tarefas que se propõem e o tipo de representações que podem delas advir, por forma a conceber tarefas que dêem margem para o aparecimento de representações diversas e sua discussão. Objetivo 3: Aferir quais as funções das representações matemáticas utilizadas. As representações podem ser utilizadas para organizar a informação veiculada no enunciado de uma tarefa, para auxiliar na definição de uma estratégia de resolução, para resolver uma questão, para comunicar com os demais o nosso raciocínio. São, então, utilizadas representações diferentes com funções diferentes, pretendendo-se, portanto, averiguar se existem tipologias de representações mais associadas a determinadas funções ou a outras. Objetivo 4: Averiguar de que forma é que o trabalho colaborativo pode favorecer a utilização de representações matemáticas diversas, progressivamente estruturadas. Através da análise comparativa entre os resultados obtidos com a resolução de tarefas de um modo individual e a resolução colaborativa em pequenos grupos, pretendemos averiguar o potencial do trabalho partilhado para o conhecimento e apropriação de distintas formas de representar em matemática. Objetivo 5: Descrever o modo como argumentam os estudantes da LEB. A argumentação é peça fundamental no presente estudo pretendendo-se caracterizar os argumentos apresentados pelos estudantes da LEB, dando resposta a questões como o que se argumenta e porquê, quem argumenta, para que é que argumenta, como argumenta e sobre o que é que se argumenta. 1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO Exceptuando o presente capítulo – Introdução ao estudo – e o último – Referências –, este documento desenrola-se ao longo de quatro capítulos, que seguem uma ordem lógica para possibilitar o conhecimento da investigação que foi levada a cabo. O capítulo que se segue, o segundo capítulo – Enquadramento teórico –, inclui uma revisão de pressupostos teóricos fundamentais sobre as temáticas centrais do estudo, começando pela formação inicial de professores, quer a nível internacional, quer em Portugal, e terminando com a abordagem das tarefas matemáticas, das representações matemáticas e da argumentação em matemática. O terceiro capítulo – Enquadramento metodológico – encontra-se dividido em dois subcapítulos: os paradigmas em investigação eopções metodológicas do estudo. Assim, através da sua leitura ficamos a conhecer as principais conceções epistemológicas e paradigmáticas no âmbito da investigação em educação e os princípios metodológicos que nortearam o presente estudo de natureza qualitativa e interpretativa, através da caracterização ADRIANA FERREIRA 42 dos participantes e da apresentação das técnicas de recolha e análise de dados. Para além disso, este capítulo termina com a síntese das categorias de análise de dados, essenciais para a leitura do capítulo seguinte. É no quarto capítulo que encontramos a Análise de dados e resultados. Ele encontra-se dividido em três subcapítulos, correspondentes à análise dos três instrumentos de recolha de dados fundamentais desta investigação: análise do teste inicial individual,análise das tarefas colaborativas eanálise do teste final. Cada um destes subcapítulos contém a análise descritiva detalhada de cada uma das questões que constitui o instrumento, bem como uma discussão geral dos resultados obtidos com esse instrumento. Para finalizar, é no quinto capítulo – Conclusões e reflexões finais – que encontramos uma súmula dos resultados desta investigação, procurando analisar cada um dos objetivos definidos e dar resposta às questões orientadoras que nortearam a investigação. 43 2 ENQUADRAMENTO TEÓRICO A concretização de um estudo desta dimensão deve ser antecedida pela apresentação dos princípios normativos que orientam a prática docente e o ensino da matemática, bem como dos pressupostos teóricos sobre as tarefas na aula de matemática, as representações matemáticas e a argumentação. Neste sentido, este capítulo, apresentará, primeiramente, um quadro sobre a formação inicial de professores, que contempla uma leitura reflexiva de documentos de natureza legal e teórica, procurando compreender a organização e o funcionamento do sistema educativo nacional e internacional no que ao percurso formativo de habilitação para a docência diz respeito. Posteriormente, a reflexão concentrar-se-á no ensino e aprendizagem da matemática através de tarefas que requeiram distintos tipos de representação e conduzam a episódios argumentativos de interesse para a construção de conhecimento. 2.1 A FORMAÇÃO INICIAL DE PROFESSORES Se a qualidade das práticas pedagógicas é um dos fatores determinantes dos resultados dos alunos, importa reconhecer a importância da formação inicial de professores e a necessidade de refletir sobre a sua conceção e organização (Miguéns, 2015, p. 9). Nas últimas décadas assistiu-se a uma evolução significativa da sociedade em geral e do sistema educativo em particular, quadro que reforça a necessidade dos professores adquirirem, cada vez mais, competências e capacidades diversificadas, a fim de se prepararem para desenvolver uma educação de qualidade. Neste sentido, é evidente e amplamente reconhecido o papel da formação inicial de professores na construção desse perfil. De acordo com os Decreto-Lei n.º 79/2014, de 14 de maio, essa formação deve “ser muito exigente, em particular no conhecimento das matérias da área de docência e nas didáticas respetivas” (DL n.º 79/2014, preâmbulo, p. 2819). Pensar nas potencialidades e nos constrangimentos dos diferentes modelos de formação é essencial, tornando-se também muito importante compará-los com os que são utilizados noutros países da Europa. Embora não seja um tema muito investigado, é urgente que se procure estudar as temáticas inerentes à formação inicial de professores, na busca de mais e melhores práticas de ensino e numa perspetiva de melhoria, inovação e adequação dos modelos de ensino àquelas que são as realidades atuais. ADRIANA FERREIRA 44 2.1.1 Diretivas internacionais Os modelos de ensino que conhecemos e as políticas educativas que vão surgindo resultam, naturalmente, de decisões que são tomadas por organizações internacionais, como a União Europeia (UE), a Organização para a Cooperação e o Desenvolvimento Económico (OCDE), a Organização das Nações Unidas para a Educação, a Ciência e a Cultura (UNESCO), e outras plataformas e fóruns, pelo que assistimos a um intenso e crescente processo de internacionalização e globalização da educação que permite o aparecimento de um espaço europeu de educação e, até, de “uma nova ordem educativa mundial” (Laval & Weber, 2002; Zarate, 1999). Este processo coloca, naturalmente, novos desafios a todos os agentes educativos, em especial aos professores, que são “elementos insubstituíveis (…) na promoção da aprendizagem” (Nóvoa, 2008, p.22). Também a Comissão das Comunidades Europeias (CCE) reforça, numa comunicação ao Conselho e ao Parlamento Europeu, em 2007, o peso da qualidade da formação académica e profissional dos professores para um melhor desempenho dos alunos e, consequentemente, para a melhoria da qualidade do ensino. De acordo com Almeida e Lopo (2015), são vários os estudos que demonstram uma grande diversidade de programas de formação inicial de professores na Europa, “em função das conceções nacionais do que se entende por bom professor” (p. 103). Essas divergências podem verificar-se “ao nível da organização (…) e matrizes curriculares, construídas para incluir, além de um tronco de saberes científicos gerais e disciplinares, outros saberes técnicos (…), organizacionais (…) e metodológicos” (p. 103, 104). Com vista a uma melhoria das políticas e dos resultados educacionais, a OCDE organiza o Programa Internacional de Avaliação de Alunos (PISA) para avaliar as competências dos jovens de quinze anos de idade nos domínios da leitura, da matemática e das ciências. Em 2022, este estudo contou com 81 países avaliados distribuídos pelos diferentes continentes e cerca de 690 000 alunos. Os resultados de Portugal foram semelhantes à média da OCDE, embora tenham sido inferiores aos de 2018, no que diz respeito à matemática. O país alcançou a 29.ª posição no ranking, com 472 pontos, menos 103 do que a Singapura, que ocupou o primeiro lugar. Importa ainda referir que países como a Lituânia, a Alemanha, a França, a Espanha, a Hungria, a Itália, a Noruega e os Estados Unidos da América apresentaram resultados semelhantes aos de Portugal, não se afastando da média dos países da OCDE (Instituto de Avaliação Educativa, I. P. [IAVE], 2022). Embora se fale em “ordem educativa mundial”, a verdade é que estes resultados refletem as divergências dos vários países no que às decisões, medidas e políticas educativas diz respeito. Essa diferenciação também se verifica nos critérios de admissão à formação inicial de professores, que podem ser estabelecidos pela instituição, pela autoridade educativa ou por ambos. De acordo com o Relatório Eurydice (2013), na maioria dos países, os candidatos são selecionados de acordo com um conjunto de critérios, dos quais se destacam ser titular de um certificado de conclusão do Ensino Secundário, o aproveitamento correspondente a esse nível de ensino e um exame geral de admissão ao Ensino Superior. Ainda assim, um número significativo de países da Europa adota apenas um destes critérios para o acesso à formação inicial de professores. Portugal é um destes países, apresentando um grau de seletividade baixo, o que tem, certamente, consequências ao nível das práticas de ensino e dos resultados dos alunos. A este propósito, Almeida e Lopo (2015) apresentam um exemplo pertinente: em Singapura o processo de seleção para o acesso à formação inicial passa por uma série de fases, desde ser um dos 30 melhores diplomados da sua idade, a testes de avaliação para verificação Enquadramento teórico 45 de conhecimentos e entrevistas para aferir atitudes e aptidões, podendo ainda ser excluído durante a formação. Com o intuito de construir um Espaço Europeu de Ensino Superior (EEES) equilibrado, nivelado e harmonioso surge, em 1998, a Declaração de Sorbonne e, em 1999, o Processo de Bolonha, que, de acordo com Antunes (2005), reestruturou o Ensino Superior recorrendo a sistemas de graus e de transferência de créditos acordados e regulados por sistemas de garantia de qualidade e de creditação. Em 2007, com o intuito de promover práticas de ensino mais eficazes, acreditando que para atingir um ensino de qualidade é também precisa uma formação de professores de qualidade, os Estados Membros da União Europeia mobilizam-se novamente e a União Europeia vê-se obrigada a criar novas reformas nos sistemas de ensino (Rodrigues, 2015). Na formação de professores destaca-se o aparecimento de um “novo diploma de estudos (…) um mestrado habilitador para a docência; uma formação que privilegia o modelo simultâneo e uma universidade que passa a ter um papel mais importante por se tornar mais presente” (Rodrigues, 2015, p. 224). Assim, o Processo de Bolonha impõe uma melhoria na qualidade da formação profissional dos professores, aumentando a duração dos cursos e propondo graus superiores. Contudo, da análise dos estudos necessários para a formação de professores nos países da União Europeia, não se verifica uma tendência clara, denotando-se sim um desequilíbrio de influências nas opções tomadas. É importante destacar que A comparação entre os anos necessários para a formação de professores da educação pré-escolar e 1.º e 2.º CEB e os resultados obtidos na classificação de PISA 2009 e 2012 mostra que o número de anos de formação não é sinónimo de qualidade em termos de resultados positivos das aprendizagens dos alunos (Rodrigues, 2015, p. 235). Deste modo, torna-se claro que o aumento do número de anos de estudos associado à obtenção de um diploma de formação superior (de mestrado) não é condição suficiente para se verificar uma melhoria na qualidade da formação dos docentes e, consequentemente, na aprendizagem dos alunos. Este é um trabalho que tem de ser desenvolvido de forma contínua, procurando a equidade e a qualidade, considerando sempre, como refere a Comissão das Comunidades Europeias, a educação e a formação elementos essenciais para superar dificuldades económicas e sociais. Entendendo a dimensão que a educação alcança numa sociedade, a Comissão das Comunidades Europeias propõe, num comunicado de 2007, algumas orientações para os estados-membros, das quais se destacam o acesso de todos os docentes ao domínio didático, nomeadamente a conhecimentos, atitudes e competências que lhes permitam ser melhores professores; a promoção de uma cultura reflexiva e investigativa; a organização e coordenação do sistema de ensino e de formação de professores, bem como a disponibilidade de recursos; e o reconhecimento e valorização da profissão docente. O relatório da Comissão Internacional de Educação da UNESCO para o século XXI recomenda aos governos especial empenho em reafirmar a importância dos professores da educação básica, pois “se o primeiro professor que a criança ou o adulto encontra na vida tiver uma formação deficiente ou se revelar pouco motivado, são as próprias fundações sobre as quais se irão construir as futuras aprendizagens que ficarão pouco sólidas" (Delors et al., 1998, p. 159). ADRIANA FERREIRA 46 Todas estas aceções, realidades e opções trarão, certamente, desenvolvimentos futuros neste entendimento de uma “nova ordem educativa mundial” com políticas educativas globais. 2.1.2 A Formação Inicial de Professores em Portugal A construção do perfil docente deve ser perspetivada à luz dos quadros legislativos que são inerentes à definição e organização do sistema educativo. Neste sentido, importa aqui refletir em torno de um conjunto de normativos que regulamentam a atual formação de professores em Portugal. Relembre-se que é na Lei de Bases do Sistema Educativo – Lei n.º 46/86, de 14 de outubro1– que se apresenta o quadro geral do sistema educativo, podendo encontrar-se nos artigos 30.º e 31.º o enquadramento jurídico referente à formação de educadores de infância e de professores dos Ensinos Básico e Secundário. De acordo com este documento, a formação de professores deve proporcionar “a informação, os métodos e as técnicas científicos e pedagógicos de base”, de tal forma que se perspetiva uma “formação integrada quer no plano da preparação científico-pedagógica quer no da articulação teórico-prática” (LBSE, 1986, art.º 30º, p. 3075). Pode também ler-se na mesma Lei que compete ao Governo a definição dos perfis de competência exigidos para o desempenho das funções docentes, perfis estes que surgem explicitamente nos Decretos-Lei n.º 240/2001 e n.º 241/2001, ambos de 30 de agosto. O primeiro apresenta o perfil de competência comum aos educadores de infância e aos professores dos Ensinos Básico e Secundário, traçado a partir de quatro dimensões, nomeadamente a dimensão profissional, social e ética, a dimensão de desenvolvimento do ensino e da aprendizagem, a dimensão de participação na escola e de relação com a comunidade e, por último, a dimensão de desenvolvimento profissional ao longo da vida. Por sua vez, o Decreto-Lei n.º 241/2001 apresenta os perfis de desempenho específicos de qualificação profissional para a docência, no que diz respeito ao educador de infância e ao professor do 1.º ciclo do Ensino Básico, tendo em conta a conceção e desenvolvimento do currículo, bem como a sua perspetivação de forma integrada. Este documento corrobora a aceção apresentada no artigo 8.º da Lei de Bases do Sistema Educativo ao conceber o ensino no 1.º ciclo como “globalizante e da responsabilidade de um professor único, o qual pode ser coadjuvado em áreas especializadas” (DL n.º 241/2001, preâmbulo, p.5572). Ainda na Lei de Bases do Sistema Educativo, um dos princípios gerais sobre a formação da profissionalidade docente é o cariz participado que esta deve abarcar. Esta referência a um modelo de aprendizagem que implica um papel ativo por parte do aluno/profissional em formação parece que vem antecipar o aparecimento do processo de Bolonha, concretizado no Decreto-Lei n.º 74/2006, de 24 de março. No preâmbulo deste documento pode ler-se: Questão central no Processo de Bolonha é o da mudança do paradigma de ensino de um modelo passivo, baseado na aquisição de conhecimentos, para 1Esta lei foi sofrendo alterações ao longo dos anos, pelo que devem ser consultadas também a Lei n.º 115/97, de 19 de setembro (alteração à Lei n.º 46/86 - Lei de Bases do Sistema Educativo), a Lei n.º 49/2005, de 30 de agosto (segunda alteração à Lei de Bases do Sistema Educativo e primeira alteração à Lei de Bases do Financiamento do Ensino Superior), a Lei n.º 85/2009, de 27 de agosto (estabelece o regime da escolaridade obrigatória para as crianças e jovens que se encontram em idade escolar e consagra a universalidade da educação pré-escolar para as crianças a partir dos 5 anos de idade) e a Lei n.º 16/2023, de 10 de abril (valoriza o Ensino Politécnico, alterando a Lei de Bases do Sistema Educativo e o regime jurídico das instituições de Ensino Superior). Enquadramento teórico 47 um modelo baseado no desenvolvimento de competências, onde se incluem quer as de natureza genérica — instrumentais, interpessoais e sistémicas — quer as de natureza específica associadas à área de formação, e onde a componente experimental e de projecto desempenham um papel importante (DL n.º 74/2006, preâmbulo, p. 2243). Por forma a responder a esta exigência e tendo sempre em vista a melhoria “da qualidade e da relevância das formações oferecidas” (DL n.º 74/2006, preâmbulo, p.2242) o percurso de habilitação para a docência foi sofrendo reestruturações, estando na atualidade organizado em ciclos de formação. O primeiro ciclo de estudos, denominado de Licenciatura (em Educação Básica), representa uma etapa de formação inicial, que não confere habilitação profissional, intitulada por Ponte (2006) como “banda larga”. De acordo com o mesmo Decreto-Lei, “no ensino politécnico, o ciclo de estudos conducente ao grau de licenciado tem 180 créditos e uma duração normal de seis semestres curriculares de trabalho dos alunos” (DL n.º 74/2006, art.º 8.º, p.2245). Já no Ensino Universitário, o número de créditos pode estender-se até aos 240 e, portanto, o ciclo prolongar-se até aos oito semestres curriculares. É ainda de realçar que deste total de créditos são atribuídos no mínimo 125 à componente de formação na área da docência, sendo que destes no mínimo 30 correspondem à matemática (DL n.º 79/2014). No contexto da presente investigação importa referir que, por exemplo, na Escola Superior de Educação do Politécnico do Porto, todas as unidades curriculares de matemática da Licenciatura em Educação Básica são semestrais e existe sempre pelo menos uma em cada semestre, conforme mostra o quadro 1. Quadro 1. Unidades curriculares de matemática na Licenciatura em Educação Básica (elaboração própria) 1.º semestre 2.º semestre 1.º ano Cultura e Conhecimento Matemático Linguagem, Lógica e Comunicação 2.º ano Números e Estruturas Geometria 3.º ano Matemática, Materiais e Tecnologias Didática da Matemática Matemática Elementar e Materiais ou Resolução de Problemas Por sua vez, o segundo ciclo de estudos designa-se por Mestrado e destina-se à especialização. A sua duração está subjacente ao plano de estudos e à estrutura curricular de cada mestrado, podendo ter de “90 a 120 créditos e uma duração normal compreendida entre três e quatro semestres curriculares de trabalho dos alunos” (DL n.º 74/2006, art.º 18.º, p.2247). O Despacho n.º 7856/2010, de 4 de maio, refere que para a obtenção do grau de mestre na Escola Superior de Educação do Politécnico do Porto, instituição que acolhe os futuros professores investigados, são obrigatórias as seguintes áreas científicas: Ciências da Educação, Língua Portuguesa, Ciências Sociais, Matemática, Ciências da Natureza, Artes e Motricidade e Supervisão Pedagógica. O mesmo despacho normativo refere o desenvolvimento deste Mestrado em dois contextos que se articulam, nomeadamente a Escola de Formação e as Instituições de Prática Educativa. Esta bipartição vem confirmar a importância decretada à Supervisão Pedagógica, que é a área científica predominante do curso. De facto, esta representa um “momento privilegiado, e insubstituível, de aprendizagem da mobilização dos conhecimentos, capacidades, competências e atitudes, adquiridas nas outras áreas” (DL n.º 43/2007, preâmbulo, p. 1321). O processo de Bolonha, aprovado pelo referido decreto, contempla ainda um terceiro ciclo denominado de Doutoramento, cuja obtenção não é necessária para quem pretende ADRIANA FERREIRA 48 abraçar a profissão docente. Todas estas alterações têm em vista a uniformização das estruturas educativas, confirmando-se um “empenhamento na construção de um espaço europeu de ensino superior tendo em vista a qualidade, a mobilidade e a comparabilidade dos graus académicos e formações” (Ponte, 2006, p.1). No que toca à formação de professores, surge, na sequência do Processo de Bolonha, o Decreto-Lei n.º 43/2007, de 22 de fevereiro, que determina as condições de acesso à habilitação profissional docente. Este normativo apresenta um novo sistema de organização que privilegia “o alargamento dos domínios de habilitação do docente generalista que passam a incluir a habilitação conjunta para a educação pré-escolar e para o 1.º ciclo do ensino básico ou a habilitação conjunta para os 1.º e 2.º ciclos do ensino básico” (DL n.º 43/2007, preâmbulo, p. 1320). Esta maior abrangência de níveis e ciclos possibilita um acompanhamento mais prolongado dos alunos e permite uma maior flexibilidade no que toca à gestão de recursos humanos, embora exija um maior domínio de conteúdos e conhecimentos por parte do professor. Ainda, “o aumento do nível geral da formação de professores tende a ter um efeito mensurável e muito significativo na qualidade do sistema de ensino” (DL n.º 79/2014, preâmbulo, p. 2819), acreditando-se que um domínio mais consistente das matérias a lecionar pode conduzir a práticas mais autónomas e seguras, o que é sinónimo da melhoria da qualidade do ensino e, consequentemente, da aprendizagem. Neste sentido, o Decreto-Lei n.º 79/2014, de 14 de maio, vem revogar o Decreto-Lei n.º 43/2007, introduzindo alterações no percurso de formação de professores, sendo o seu principal objetivo “reforçar a qualificação dos educadores e professores designadamente nas áreas da docência, das didáticas específicas e da iniciação à prática profissional” (DL n.º 79/2014, preâmbulo, p. 2820). Este documento normativo contempla, essencialmente, três medidas que interferem na organização dos Mestrados em Ensino. Destas medidas consta o aumento da duração dos ciclos de estudos, nomeadamente do Mestrado em Educação Pré-Escolar ou em Ensino do 1.º ciclo do Ensino Básico de dois para três semestres e do Mestrado conjunto de três para quatro semestres. No que diz respeito ao Mestrado em Ensino dos 1.º e 2.º ciclos do Ensino Básico este vê fixada a sua duração em quatro semestres. Outra medida que importa mencionar é o desdobramento do último Mestrado em variantes, ou seja, serão separadas as formações de professores do 2.º ciclo em Português e História e Geografia de Portugal ou em Matemática e Ciências Naturais. O quadro 2 mostranos os Mestrados disponíveis atualmente e a correspondente habilitação. Quadro 2. Habilitação para a docência na Classificação Internacional Tipo da Educação, nos níveis 0 e 1, em Portugal (elaboração própria) Licenciatura Mestrado Habilitação Educação Básica Educação Pré-Escolar - Educador de Infância Ensino do 1.º ciclo do Ensino Básico (E.B.) - Professor do 1.º ciclo do E.B. Educação Pré-Escolar e Ensino do 1.º ciclo do E.B. - Educador de Infância - Professor do 1.º ciclo do E.B. Ensino do 1.º ciclo do E.B. e Matemática e Ciências Naturais do 2.º ciclo do E.B. - Professor do 1.º ciclo do E.B. - Professor do 2.º ciclo do E.B. apenas nas disciplinas de Matemática e de Ciências Naturais Ensino do 1.º ciclo do E.B. e Português e História e Geografia de Portugal do 2.º ciclo do E.B. - Professor do 1.º ciclo do E.B. - Professor do 2.º ciclo do E.B. apenas nas disciplinas de Português e de História e Geografia de Portugal Enquadramento teórico 49 Naturalmente, esta alteração preocupa quem realizou o Mestrado nos moldes anteriores, colocando em dúvida as habilitações obtidas. A este respeito, o Decreto-Lei mais recente esclarece: Aqueles que tenham adquirido habilitação profissional para a docência no âmbito de legislação anterior à entrada em vigor do presente decreto-lei mantêm essa habilitação para a docência no grupo ou grupos de recrutamento em que a tenham obtido (DL n.º 79/2014, art.º 29.º, p. 2825). Estas alterações colocam novamente por terra o alargamento da habilitação do professor generalista até ao final do 2.º ciclo do Ensino Básico, opção de vários países pertencentes à União Europeia. Desta forma, depreende-se que as desvantagens deste sistema pesaram mais do que as vantagens, ignorando-se o argumento tão referido por vários autores e professores que consiste na transição menos penosa do 1.º para o 2.º ciclo do Ensino Básico. Por fim, o Decreto-Lei em análise também procede à fixação do número de vagas, quer para a Licenciatura quer para os Mestrados, com o intuito de se adequar às necessidades do sistema educativo. A melhoria da qualidade da formação dos professores é uma preocupação patente quer no Decreto-Lei n.º 79/2014 quer na grande maioria dos normativos que dizem respeito à habilitação para a docência. Neste âmbito, é de destacar também o Decreto-Lei n.º 146/2013, de 22 de outubro, que propõe a realização de uma prova de avaliação de conhecimentos e capacidades com o intuito de “integrar no sistema educativo aqueles que estão melhor preparados e vocacionados para o ensino” (DL n.º 146/2013, preâmbulo, p.6208). Com a entrada em vigor deste Decreto-Lei, para além da obtenção do grau de licenciado seguida da do de mestre, os candidatos a abraçar a profissão docente teriam de realizar a referida prova e obter aprovação na mesma. Importa, ainda, referir que a prova contempla domínios “como a leitura e a escrita, o raciocínio lógico e crítico ou a resolução de problemas”, visando a harmonização da “natural diferenciação formativa na diversidade das instituições responsáveis pela formação inicial de professores” (DL n.º 146/2013, preâmbulo, p. 6208). O tema foi amplamente discutido, despoletando diferentes opiniões, uma vez que pode ser visto como um equilíbrio entre as diferentes formações proporcionadas pelas diferentes instituições de ensino, mas também como um atestado de incompetência para as mesmas. Na verdade, a medida acabou por não avançar, não se tendo verificado a sua obrigatoriedade em nenhum ano de concurso. O Decreto-Lei n.º 79/ 2014 foi alterado pelos Decretos-Leis n.º 176/2014, de 12 de dezembro, e n.º 16/2018, de 7 de março. A primeira alteração vem esclarecer as especialidades do grau de mestre, os requisitos mínimos de formação para o ingresso e grupos de recrutamento para o qual habilitam e o segundo cria o grupo de recrutamento da Língua Gestual Portuguesa. Recentemente surgiu a terceira alteração, consagrada no Decreto-Lei n.º 112/2023, de 29 de novembro. Este trouxe novas alterações ao regime jurídico de habilitação profissional para a docência que se quer mais flexível e eficaz, essencialmente para responder ao envelhecimento da classe docente e às crescentes dificuldades da sua renovação pela pouca atração pela profissão, através da adoção de “medidas que reforcem a quantidade e a qualidade daqueles profissionais, para que, com qualificação adequada, possam dar resposta às necessidades identificadas no âmbito do sistema de ensino público” (DL n.º 112/2023, preâmbulo, p. 4). ADRIANA FERREIRA 50 Para tal, o despacho n.º 12214/ 2022 criou uma equipa de trabalho que se debruçou na análise do decreto original (Decreto-Lei n.º 79/ 2014) e na elaboração de propostas de sugestão. Entretanto, surge a última alteração ao Decreto-Lei n.º 79/ 2014 e primeira alteração ao Decreto-Lei n.º 112/2023 com o Decreto-Lei n.º 23/ 2024, de 19 de março, que visa “flexibilizar o modelo de realização da prática de ensino supervisionada de modo a reforçar a autonomia científica e pedagógica dos estabelecimentos de ensino superior” (preâmbulo, p. 1). Destes dois decretos mais recentes destaca-se a reorganização da formação dos cursos de habilitação profissional em função dos documentos normativos de política educativa em vigor, a saber, do Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória, das Aprendizagens Essenciais e da Educação para a Cidadania. Para além disso, também se introduzem condições específicas para determinados candidatos, como aqueles que iniciaram os cursos, mas não os concluíram. Por fim, passa a haver remuneração para os estagiários, que se encaixam, de acordo com o horário atribuído, no índice 167 da escala (1.º escalão), e reconhece-se algum estatuto aos professores cooperantes das escolas (desde a Educação de Infância ao Ensino Secundário) que acolhem e orientam os estagiários na iniciação à profissão. Assim, regressa um estágio mais robusto com características bem diferentes das que regulavam os documentos anteriores, já que o estagiário vai lecionar doze horas letivas com contrato de trabalho com o Ministério da Educação. Acredita-se que a valorização dos professores cooperantes, que passam a ter no seu horário horas destinadas ao acompanhamento dos estagiários, pode ser uma excelente oportunidade para envolver as escolas na formação inicial e criar pontes entre a formação inicial e a formação contínua, existindo, todavia, algum receio de que esta medida seja apenas para responder às necessidades urgentes de falta de professores. Acredita-se que todas estas alterações ao nível da reorganização do percurso formativo para habilitação para a docência que têm ocorrido ao longo dos anos são estruturadas para que a legislação se adapte aos novos desafios que a escola enfrenta, sendo que um desses desafios é a revogação dos documentos curriculares das diferentes disciplinas. Relativamente à matemática, as mais recentes alterações podem revelar-se uma oportunidade para o reforço da qualidade da formação de professores, preparando-os para um eficaz exercício da profissão através do domínio dos conteúdos e das capacidades transversais da disciplina, temas que se abordam neste estudo, assim como do conhecimento didático e pedagógico. 2.2 ASTAREFAS MATEMÁTICAS As tarefas assumem um papel preponderante na educação matemática por permitirem a descoberta de conceitos matemáticos, de processos ou de estratégias e por fomentarem o desenvolvimento do raciocínio matemático, da argumentação e da comunicação. A apresentação de tarefas estimulantes e significativas aos estudantes envolve-os na construção de conhecimento e na atribuição de sentido às novas aprendizagens, relacionando-as com as redes de conhecimentos prévios que já possuem. Em tempos, os conceitos tarefa e atividade não se distinguiam claramente, contudo, alguns autores, como Christiansen e Walther (1986) vêm esclarecer que não são sinónimos, já que é a tarefa que vai colocar o aluno em atividade. Portanto, a tarefa é a proposta apresentada aos estudantes, isto é, o que eles vão ter de fazer; já a atividade é tudo o que decorre dessa tarefa, envolvendo o estudante, os pares, o professor, possíveis materiais a que se recorra. Focando-se apenas no conceito de tarefa, Ponte (2005) distingue quatro tipologias: os exercícios, os problemas, as investigações e as explorações, conforme sugere a figura 1. Enquadramento teórico 57 A exploração das representações, quer sejam internas ou externas, requer um trabalho cuidadoso, já que é desejável que se estabeleçam conexões entre as diferentes tipologias de representação, para que elas não sejam “entendidas como autónomas, independentes ou alternativas umas às outras. Na verdade, podem ser usadas simultaneamente ou segundo várias combinações que estão presentes ao longo de toda a vida” (Boavida et al., 2008, p.71). A par disto, devem, naturalmente, ser coerentes com os enunciados das tarefas que lhes são sugeridas (NGA & CCSSO, 2010). No entanto, esta é uma tarefa difícil, para a qual professores e futuros professores podem apresentar algumas limitações. É isso que nos diz um estudo de Martins et al. (2023) sobre o estudo de aula na formação inicial de professores de matemática: confirma que os futuros professores numa fase mais avançada de preparação de aulas revelam dificuldades em resolver uma tarefa utilizando diferentes representações, mostrando “preocupação em antecipar as estratégias de resolução e as dificuldades que os alunos poderiam apresentar” (p. 131). Outros estudos destacam que pode ser um verdadeiro desafio para os professores estabelecer conexões entre estratégias de resolução diversas de uma determinada tarefa matemática, o que implica conhecer diferentes modos de representar em matemática, conseguir criar elos entre eles e organizar as ideias matemáticas associadas a cada um (Delgado et al., 2017; Mendes et al., 2022). Quando se fala de representações matemáticas podemos, então, identificar diferentes tipologias, embora possamos também analisar o nível de formalidade das produções realizadas pelos estudantes. Assim, Webb et al. (2008), focam-se nesta característica das representações e apresentam-nos uma espécie de modelo de aprendizagem e apropriação das representações, associado a uma ideia de progressão, não só no que diz respeito às representações, mas também ao conhecimento matemático. Para estes autores, em primeira instância todos nós utilizamos representações informais, que contêm conceitos concretos representados em contextos familiares. Posteriormente, começam a utilizar-se representações pré-formais, que já são mais abstratas e, consequentemente, com maior complexidade. Por fim, passamos a ser capazes de produzir representações formais, nas quais já se utilizam notações matemáticas formais, com recurso a símbolos matemáticos, números, operações, fórmulas. Naturalmente, não há uma linha que defina claramente cada um destes níveis, pelo que podemos oscilar entre eles, o que conduz ao aparecimento de um nível de formalidade híbrido, que pode ser designado por semi-formal. Neste contexto, Pinto e Canavarro (2012), ao estudar o papel das representações na resolução de problemas com estudantes do Ensino Básico e Secundário evidenciam a utilização de diferentes modos de representação com funções distintas na compreensão de um problema e na sua desconstrução, coexistindo, muitas vezes, representações formais e informais. Deste modo, uma só representação pode conter traços característicos de dois ou dos três níveis de formalidade referidos anteriormente. Esta conceção é reforçada por Ponte e Velez (2011) que num estudo exploratório com professores do 1.º ciclo do Ensino Básico concluíram que, apesar de os estudantes recorrerem aos vários níveis de formalidade, os professores valorizam particularmente as representações formais. Goldin (1998), bem como Webb et al. (2008), referem que perante um novo contexto ou situação problema que possa de algum modo trazer insegurança ou incertezas aos alunos, estes tendem a regredir no nível de formalidade e voltar a utilizar as representações informais e/ ou pré-formais que já tinham deixado de utilizar. Partindo da análise da literatura acima mencionada, optámos por considerar, no presente estudo, cinco principais tipos de representações matemáticas, a saber: representações pictóricas, representações icónicas, representações simbólicas verbais, representações ADRIANA FERREIRA 58 simbólicas matemáticas aritméticas e representações simbólicas matemáticas algébricas. A estes tipos acrescem as representações mistas, que podem resultar da combinação de quaisquer dois ou mais tipos de representações principais. O quadro 4 contém as categorias através das quais vai ser realizada a análise das representações dos estudantes que participaram na presente investigação, definidas em função dos tipos de representações matemáticas. Nele também se encontra uma breve explicação da cada uma e a referência o nível de formalidade que pode representar. Quadro 4. Categorias de análise de dados em função das tipologias de representações matemáticas (elaboração própria) Representação Nível de formalidade Pictórica Desenhos com grande proximidade à realidade Informal Icónica Símbolos não convencionais, mais abstratos Simbólica verbal Linguagem verbal escrita ou falada Semi-formal Simbólica matemática aritmética Linguagem matemática, com recurso a operações simples Formal algébrica Linguagem matemática, com recurso a construção de equações ou similar Mista Híbrido de duas ou mais representações anteriores Semi-formal Para que melhor se entenda o que se pretende dizer com cada um destes tipos de representação, apresentamos, de seguida, para uma situação matemática simples um exemplo de cada um deles. Considere-se a questão: “A Rita tinha doze rebuçados e distribuiu-os pelos seus primos, oferecendo três a cada um. Quantos primos tem a Rita?”. O quadro 5 contém um exemplo de representação matemática que permite determinar a resposta para cada tipo categorizado. Quadro 5. Exemplos de resolução para cada tipo de representação matemática (elaboração própria) Tipo de representação Exemplo Pictórica Icónica Simbólica verbal Para descobrir o número de amigos da Rita posso organizar os doze rebuçados que ela tem em conjuntos de três rebuçados cada. Como consigo formar quatro conjuntos posso concluir que a Rita tem quatro amigos. Simbólica matemática aritmética 12 ÷3 = 4 algébrica 12 ÷ x = 3 <=> x = <=> x = 4 Mista Híbrido de duas ou mais representações anteriores 2.4 A ARGUMENTAÇÃO EM MATEMÁTICA O raciocínio matemático bem como o estudo de diferentes formas de pensar em matemática (raciocínio dedutivo, indutivo, abdutivo e por analogia) têm ganho relevo nas investigações de vários autores. O projeto Raciocínio Matemático e Formação de Professores (REASON) é um Enquadramento teórico 59 bom exemplo do trabalho que tem vindo a ser feito neste âmbito em Portugal, já que se propõe a estudar o conhecimento matemático e didático necessário para termos professores capazes de conduzir práticas que promovam e desenvolvam o raciocínio matemático dos seus alunos e a sugerir formas de apoiar os profissionais ou futuros profissionais nessa tarefa. A par deste projeto outras investigações vão permitindo concluir como raciocinam os nossos alunos. Um estudo de Ponte at al. (2012) salienta sobretudo o recurso ao raciocínio de natureza indutiva por parte de estudantes do Ensino Secundário assim como do Ensino Superior numa fase inicial, embora exista uma tendência crescente para raciocinar dedutivamente. Os mesmos autores referem que “os processos de raciocínio incluem a formulação de questões, a formulação e teste de conjeturas e a realização de justificações” (p. 358). Neste sentido, importa distinguir brevemente cada um dos tipos de raciocínio acima mencionados que ocupam um lugar de destaque na aprendizagem da matemática, principalmente no que diz respeito a demonstrações (Reid & Knipping, 2010). De acordo com estes autores, o raciocínio dedutivo parte de uma regra geral para determinar conclusões específicas e, assim, produzir novos conhecimentos. Normalmente, o raciocínio dedutivo é associado a tarefas de verificação, como forma de obter certezas, até porque, muitas vezes, é ensinado com esse fim. Por outro lado, o raciocínio indutivo tem como ponto de partida um caso particular e como finalidade a obtenção de uma conclusão geral. Já o raciocínio abdutivo fomenta a formulação de novas hipóteses, através de relações que podem ser estabelecidas com raciocínios dedutivos ou indutivos. Por fim, Reid e Knipping (2010) explicam que se fala de raciocínio por analogia quando se parte da análise de semelhanças entre dois casos para criar uma conjetura, sendo que um dos casos, a fonte, é amplamente conhecido, e o outro, o alvo, é menos popular. Se os tipos de raciocínio têm um papel de destaque nas investigações em matemática, a relação entre os modos de representar e o seu papel na compreensão e no desenvolvimento do conhecimento, isto é, a análise das representações dos alunos, a sua evolução e a forma como esta intervém na capacidade de raciocinar, ainda não tem o enfoque desejado. Ainda assim, Valério (2005) explora a estreita relação entre a representação e a construção da compreensão matemática com alunos do 1.º ciclo do Ensino Básico, destacando a evolução das representações externas sob influência do professor, dos pares e de conceções prévias. O autor conclui que há indicadores que revelam compreensão no decorrer da construção de representações diversas, principalmente de representações esquemáticas que os alunos utilizam para visualizar o problema, resolvê-lo e comunicar a solução ao grupo. Outro aspeto também apontado que revela compreensão matemática é a adaptação de uma forma de representar a situações problema diferentes, procedendo a pequenas alterações. Por sua vez, Quaresma e Ponte (2013) apresentam um estudo para um tópico específico da matemática, nomeadamente os números racionais, destacando a utilização de diferentes representações, mas uma dificuldade evidente na produção de generalizações ou na justificação de respostas. Henriques e Ponte (2014) descrevem uma investigação com alunos do Ensino Superior que evidenciam as mesmas dificuldades, apesar de serem capazes de utilizar tanto o raciocínio indutivo como o dedutivo. Os autores concluem que as representações são utilizadas como suporte para compreender, explorar e registar, mas, muitas vezes, são usadas de um modo pouco flexível. Ora, aspetos como a formulação de conjeturas, a apresentação de explicações ou a justificação de processos parecem remeter-nos para abordagens quase filosóficas, tradicionais ADRIANA FERREIRA 60 na matemática, que se relacionam com a argumentação, com a certeza que é através dela que “uma pessoa — ou um grupo — tenta conduzir um auditório a adoptar uma posição recorrendo a apresentações ou asserções — argumentos — que visam mostrar a sua validade ou fundamento” (Oléron, 1996, p. 4). Ora, se o elemento central deste processo discursivo e sociocultural são os argumentos, importa referir que um argumento é uma expressão discursiva expositiva, através da qual se apresenta uma posição e a(s) razão(ões) que a sustenta(m). A posição pode ser uma proposição que afirma ou refuta determinada ideia, uma oração ou uma ação; a justificação, que não inclui a posição, é o conjunto de razões que sustentam a veracidade ou a aceitabilidade da posição (Camargo et al., 2023; Perelman, 1993). É a argumentação enquanto processo de raciocínio que mais importa no presente estudo, uma vez que se procurou concentrar a atenção na análise e caracterização da argumentação apresentada pelos estudantes do Ensino Superior para suportar as suas decisões no que diz respeito a representações e estratégias na resolução de tarefas matemáticas. Acredita-se que Aristóteles foi “o primeiro autor que expôs uma concepção sistemática da argumentação” (Oléron, 1996, p. 5) nas suas obras Tópicos eRetórica. Começou por distinguir duas formas de raciocinar: a demonstração analítica e a argumentação dialética (Coelho, 1999). A primeira está diretamente relacionada com proposições evidentes, que por si só garantem a própria certeza. Perelman (1993) explica que “os raciocínios analíticos são demonstrativos e impessoais” porque “uma propriedade das proposições, independente da opinião dos homens” (p. 22) é a verdade. Para este autor, foi o trabalho apresentado por Aristóteles no âmbito do raciocínio analítico que o levou a ter o título de pai da lógica formal. Por outro lado, a argumentação dialética, como refere Coelho (1999), leva-nos apenas a uma conclusão verosímil a partir de proposições prováveis. Estas, segundo Perelman (1993), são construídas através de opiniões razoáveis, geralmente aceites, pelo que conduzirão à criação de teses dabatíveis, que podem ser admitidas ou rejeitadas, e nunca à construção de inferências válidas e impessoais. Se, para este autor, a demonstração analítica valeu um título a Aristóteles no campo da lógica formal, o estudo da argumentação dialética faz do mesmo filósofo o pai da teoria da argumentação. Na verdade, Chaïm Perelman, assim como Stephen Toulmin, foram dois filósofos do século XX, que procuraram retomar o raciocínio dialético da proposta aristotélica, que entretanto, ao longo dos tempos, se perdera em grande parte pela redução da lógica àquilo que é formal e pela associação da dialética a um mero conjunto de técnicas de persuasão (Coelho, 1999). Neste contexto, Perelman concentrou uma boa parte dos seus estudos na questão da razão, defendendo a autonomização da argumentação, já que, como explica, se limitarmos o raciocínio àquilo que é analítico e puramente formal, os argumentos utilizados em diversas situações que se desviam da lógica formal desviam-se também necessariamente da razão (Perelman & Olbrechts-Tyteca, 1999). A este propósito, Grácio (1993) explica-nos o conceito de racionalidade defendido por Perelman, quando explica que é uma racionalidade que implica continuidade, atenção aos precedentes, justificação do novo a partir de uma referência ao pré-existente; uma racionalidade dialéctica em que a razão e a vontade não estão separadas, mas articuladas numa conjunção de exigências que são as do razoável; uma racionalidade ligada, não à ideia de verdade, mas às ideias de adesão e de justificação; não às ideias extremas de necessidade ou arbitrariedade, mas à Enquadramento teórico 61 ideia de razão em situação, exigindo essa situação que a ordem da razão seja, antes de mais, uma ordem adaptativa (p. 82). Esta crença de que se pode enquadrar a produção de conhecimento científico num determinado contexto leva-nos a admitir argumentos apresentados que até possam ser falíveis, mas que são, aos olhos das pessoas envolvidas nesse contexto, geralmente aceites e considerados razoáveis. A este propósito, mas numa ligação mais direta com a educação matemática, Pedemonte (2002) mostra-se convicto a dialética pode corresponder à argumentação em matemática, já que não conduz necessariamente a verdadeiras conclusões mas que parte de princípios verdadeiros para aquele que argumenta [...]. Quando a Matemática está em construção, quando se está a procurar ver se um enunciado é verdadeiro, quando se procura a solução para um problema, a argumentação utilizada é a dialéctica. Não é analítica porque as premissas não são necessariamente verdadeiras. Também não é retórica porque aquele que argumenta em Matemática crê que os princípios de que parte são verdadeiros (p. 26). Também Perelman se posiciona em relação à retórica, que considera aliada da argumentação, por entender que ambas se desenvolvem em função do auditório (Perelman & Olbrechts-Tyteca, 1999). Como se sabe, a retórica vive da adesão do público ao posicionamento que lhe é apresentado pelo orador, ideal também aplicável à argumentação. Todavia, Perelman afasta-se, em parte, do conceito de retórica da antiguidade, uma vez que a teoria da argumentação que defende “diz respeito aos discursos dirigidos a todas as espécies de auditório [...] quer nos dirijamos a um único indivíduo ou a toda a humanidade” (Perelman, 1993, p. 24). O filósofo vai mais longe e afirma até que “ela examinará mesmo os argumentos que dirigimos a nós mesmos aquando de uma deliberação íntima” (idem). A palavra adesão, já mencionada, ou recetividade do auditório, se preferirmos, assume um lugar de destaque no posicionamento de Perelman. Note-se que, numa aula de matemática, a formulação de um teorema e sua prova depende muito do grupo de alunos que está perante o professor. A comunicação poderá ser rápida e facilmente aceite por todos num determinado grupo e noutro ser mais demorada e até receber contestação por parte de alguns elementos. O mesmo poderá acontecer quando é o aluno que, atribuindo sentido às suas ideias matemáticas e a determinados processos, explica aos pares o seu raciocínio ou as estratégias de resolução para determinado problema, com o intuito que eles os compreendam. No que diz respeito a técnicas argumentativas, Perelman distingue argumentos de ligação, que transportam a aceitação das proposições para a conclusão, de dissociação de noções, que se centram na separação de ideias que eram consideradas ligadas (Perelman, 1993). São conhecidas três categorias nos argumentos de ligação, a saber: (i) argumentos quase lógicos, que assumem um caráter não formal, mas que suportam uma argumentação que pode constituir um raciocínio formal, aproximando-se, portanto, da lógica formal (Perelman & Olbrechts-Tyteca, 1999); ADRIANA FERREIRA 62 (ii) argumentos baseados na estrutura do real, que não são mais do que ligações de sucessão, onde as causas de determinado acontecimento e as suas consequências ocupam lugar determinante, e de coexistência, “que unem uma pessoa a seus actos, um grupo aos indivíduos que dele fazem parte e, em geral, uma essência a suas manifestações” (Perelman & Olbrechts-Tyteca, 1999, p. 299); (iii) argumentos que fundam a estrutura do real, que normalmente consistem, muitas vezes, na generalização de um caso particular ou na aplicação daquilo que é válido numa determinada área, noutra área (Perelman, 1993). Como já foi referido, também Toulmin se debruçou sobre a argumentação, procurando separá-la do campo da lógica formal, uma vez que considera que a validade formal de um raciocínio não é condição suficiente para que ele tenha valor e interesse (Toulmin, 1993). A sua obra The uses of argument traz para debate a importância da argumentação, com o intuito de levantar certos problemas, e não de os resolver; de atrair a atenção para um campo de investigação, em vez de o examinar exaustivamente; de suscitar a discussão mais do que servir de tratado sistemático (Toulmin, 1993, p. 1). Segundo Carrilho (1992), Toulmin moldou o seu trabalho em torno de dois eixos: se, por um lado, se preocupou em criar um modelo universal para qualquer argumento, por outro também reuniu esforços para mostrar que a argumentação está intimamente ligada ao domínio em que ocorre. São vários os autores que apontam para uma diversidade de funções da argumentação. Na verdade, argumentamos para apresentar um conceito e explicá-lo, para defender ou contestar um enunciado, para interpretar uma tese e os seus resultados, para comunicar uma ideia em reflexão ou uma conclusão. Contudo, a principal função dos argumentos, de acordo com Toulmin é a justificação, pelo que o filósofo se interessa pelos argumentos justificativos destinados a sustentar asserções, pelas estruturas através das quais poderão ser apresentados, pelo valor que podem pretender e pelos diferentes modos pelos quais se pode classificá-los, avaliálos e criticá-los. [...] outras funções que lhe atribuímos, são de certo modo secundárias e parasitas do seu papel justificativo que lhe é primordial (Toulmin, 1993, p. 14). A natureza muito diversa de diferentes episódios argumentativos justificativos leva Toulmin a definir um novo conceito: o campo de argumentação. Esta noção permite-lhe agrupar os argumentos, de acordo com a sua forma/ estrutura e o modo como podem ser avaliados. Assim, dois argumentos pertencem ao mesmo campo quando os dados e as conclusões que constituem cada um destes dois argumentos são respectivamente do mesmo tipo lógico. Dir-se-á que eles participam de campos diferentes quando os fundamentos ou as conclusões não são do mesmo tipo lógico (Toulmin, 1993, p. 17). Enquadramento teórico 63 Numa tentativa de encontrar pontos em comum entre diferentes campos de argumentação, este filósofo definiu três fases de construção de um argumento, que acredita serem válidas para a argumentação em diferentes circunstâncias, no âmbito de diferentes áreas do conhecimento (Toulmin, 1993). Inicialmente há que identificar um problema, sobre o qual se vai argumentar. De seguida, há espaço para se formularem possíveis soluções. Estas, na terceira fase, serão confrontadas com o conhecimento que já se possui sobre o tema, procurando relações que permitam estudar a sua validade. É assim que se pode encontrar uma solução que se eleve perante todas as outras propostas, que se pode escolher aquela que parece mais provável, que se podem eliminar soluções que inicialmente pareciam plausíveis ou que se podem acrescentar pequenos detalhes que auxiliem no processo de descoberta de uma conclusão. Estas fases gerais permitem, posteriormente, uma análise mais pormenorizada do argumento, que é onde entra o diagrama proposto por Toulmin, na sua obra já referida, tão reconhecido em diversas áreas do saber, desde o direito às ciências da computação. Importa começar por reconhecer que qualquer conclusão (C) se deve basear em factos que não são postos em causa, embora não tenham necessariamente de ser empíricos, aos quais Toulmin chama de dados (D). Pode acontecer que esses dados não sejam suficientes para suportar a conclusão, tornando-se necessário apresentar “regras, princípios, enunciados [...] normas ou cânones práticos da argumentação” (Toulmin, 1993, p. 120-121). Estes elementos que permitem uma passagem legítima dos dados para a conclusão são designados por garantias (G). A figura 2 apresenta uma adaptação do diagrama de Toulmin, na sua versão minimalista, constituído pelos elementos presentes em qualquer situação argumentativa: Concretizando com um exemplo, podemos afirmar que se o André é do terceiro ano da Escola das Flores, então ele é destro, visto que todos os alunos dessa turma o são. Assim, o André ser do terceiro ano da Escola das Flores é o nosso dado e a conclusão é ele ser destro. No entanto, para nos assegurarmos disso, precisamos da garantia: todos os alunos do terceiro ano da Escola das Flores são destros. Esquematicamente temos: Estes três elementos nem sempre são suficientes para sustentar um argumento, pelo que Toulmin também apresenta uma versão mais completa, acrescentando a esta mais simples Fig. 2. Esquema simples da argumentação (adaptado de Toulmin, 1993) Fig. 3. Esquema da argumentação com exemplo (elaboração própria) ADRIANA FERREIRA 64 outros três constituintes. Os qualificadores modais (Q) indicam a força da conclusão, onde podemos incluir expressões como certamente ou provavelmente. Também as condições de refutação (R) se associam à conclusão, sendo essenciais quando se verifica que uma determinada circunstância anula a conclusão. Por sua vez, o fundamento (F) é o elemento do argumento que justifica a garantia, caso haja essa necessidade, explicando a sua validade. O esquema presente na figura 4 esclarece estas pontes, isto é, o modo como estes qualificadores, condições de refutação e fundamento se relacionam com a estrutura mínima apresentada na figura 2. Os estudos de Toulmin têm grande impacto na educação matemática, auxiliando, segundo vários autores, tarefas matemáticas relacionadas com a demonstração e a prova matemática. Krummheuer (1995) suporta várias investigações no pensamento de Toulmin, embora recorra ao esquema proposto por este último ignorando os qualificadores modais e as condições de refutação para analisar a “argumentação colectiva” (p. 232) que ocorre na sala de aula de matemática. Por outro lado, reforça a necessidade de analisar pormenorizadamente os elementos discursivos e os elementos não discursivos, como gesticular ou apontar. Este matemático considera a argumentação um fenómeno social, através do qual “indivíduos que cooperam tentam ajustar as suas intenções e interpretações apresentando verbalmente as razões das suas acções” (p. 229). O autor apresenta-nos um exemplo esclarecedor, cuja questão de ponto de partida era determinar o produto de quatro por quatro, após descoberta de um processo para calcular o produto de dois por quatro, com um grupo de crianças que estavam a introduzir a multiplicação. Forman et al. (1998) recorrem ao modelo de Toulmin e aos contributos de Krummheuer para analisar aspetos da atividade argumentativa na aula de matemática. Os autores apresentam um exemplo no âmbito da geometria que se resume na figura 6. Para além destes, de acordo com Inglis et al. (2007), foram vários os investigadores que se debruçaram sobre este esquema mais reduzido proposto por Krummheuer, tendo em conta os valiosos Fig. 4. Esquema da microestrutura da argumentação (adaptado de Toulmin, 1993) Fig. 5. Esquema da argumentação dos alunos (adaptado de Krummheuer, 1995) Enquadramento teórico 65 contributos de Toulmin, em várias áreas da matemática. Yackel (2001) adotou-o para estudar generalizações, Hoyles e Küchemann (2002) para deduções lógicas, na geometria encontramos estudos de Knipping (2003) e de Pedemonte (2005) e Evens e Houssart (2004) usaram-no para analisar competências numéricas básicas. Todavia, há um conjunto mais reduzido de investigadores que recorrem ao esquema da microestrutura do argumento proposto por Toulmin não ignorando nenhum dos seus elementos, como Alcolea Banegas (1998), Aberdein (2005, 2006) e Inglis et al. (2007). Estes consideram que o modelo integral consegue abarcar de um modo mais completo e abrangente aquilo que são os episódios argumentativos no decorrer de uma aula de matemática, tendo em conta as certezas e as dúvidas que tantas vezes os estudantes assumem enquanto apresentam as suas ideias. Estes e outros autores reconhecem grande mérito ao modelo proposto por Toulmin, embora alguns lhe apontem limitações. Pedemonte (2002), por exemplo, aponta-o como “um utensílio poderoso para analisar as argumentações dos alunos e para comparar argumentação e demonstração” (p. 105), referindo, no entanto, que não contempla aspetos observáveis na resolução de um problema, como um desenho que pode estar na base de um raciocínio. Já Knipping (2004) afirma que o modelo do matemático é ideal para a análise de argumentos individuais, mas que se revela improfícuo para analisar episódios de argumentação coletiva, por surgirem vários argumentos em simultâneo, que se vão desenvolvendo e dando origem a justificações variadas para chegar a uma conclusão. Todo este enquadramento explica, de facto, a importância da argumentação como forma de raciocínio no âmbito da matemática e justifica que o NCTM (2007) aponte a argumentação como um dos cinco processos centrais que permitem adquirir e aplicar os diferentes conteúdos matemáticos e que os Common Core State Standards for Mathematics (NGA & CCSSO, 2010) refiram a construção de argumentos viáveis e o questionamento do raciocínio dos pares como essencial para atingir a proficiência matemática. De facto, a par da resolução de problemas, da modelação ou da comunicação matemática, a argumentação deve fazer parte das planificações de atividades matemáticas, para elevar esta ciência, colocando os alunos a pensar e a fazer e não apenas a memorizar definições e a aplicar procedimentos ou fórmulas. A argumentação é uma atividade essencial para desenvolver o raciocínio e tornar os alunos cidadãos críticos e reflexivos, já que é através dela que pensamos e comunicamos a nossa posição e a razão que a justifica. Com o intuito de estabelecer uma estreita ligação entre a argumentação e a aprendizagem, Cornejo-Morales et al. (2021) referem que: Fig. 6. Esquema da argumentação (adaptado de Forman et al., 1998) ADRIANA FERREIRA 66 para nosotros el aprendizaje es una co-construcción conjunta y dialógica de significados, discursiva, participativa y colaborativa, donde los participantes de la actividad construyen y reconstruyen el conocimiento como producto y medio para solucionar problemas y llegar a comprensiones compartidas sobre un tema (p. 161). Deste modo, podemos entender que existe uma espécie de relação biunívoca entre a aprendizagem e a argumentação, sendo essencial aprender a argumentar, tanto como argumentar para aprender (Andriessen et al., 2003). Este processo não tem necessariamente de ser individual, existindo vários autores que estudam a argumentação como parte integrante de um processo colaborativo, ao qual Miller (1987) dá o nome de argumentação coletiva, designação também utilizada por Krummheuer (1995), como já aqui foi referido. Os dois autores reforçam a importância da interação e do trabalho de grupo para a capacidade de argumentar, que se vai desenvolvendo e tornando cada vez mais sustentada quanto maiores são as oportunidades dadas aos alunos para apresentar ideias, compará-las, explicar, justificar, validar, desafiar, refutar, testar, contrapor. Esta temática da discussão na sala de aula de matemática também é analisada por Ferguson (2013), que acredita no potencial destes momentos, vendo-os como oportunidades de aprendizagem por excelência, uma vez que é frequente vermos as estratégias de raciocínio de um estudante serem esclarecidas no decorrer de uma explicação de outros estudantes que pensam de uma forma distinta. Cornejo-Morales et al. (2021) apresentam um modelo para analisar a argumentação na educação matemática infantil, tendo por base elementos comunicativos e contextuais. Esta proposta teórico-metodológica é constituída por cinco componentes que se relacionam e que procuram responder a questões simples como o que se argumenta e porquê, quem argumenta, para que o faz e como o faz e, por fim, sobre que tópico matemático argumenta. Numa tentativa de alargar a aplicação do modelo situação argumentativa apresentado pelos referidos autores, procurou-se neste estudo analisar a argumentação utilizada pelos estudantes do Ensino Superior à luz do mesmo. Consideram-se, portanto, as seguintes categorias para análise de dados recolhidos relativos a situações argumentativas relevantes: (i) Argumento: inclui a posição defendida e a(s) razão(ões) que a sustenta(m); (ii) Interação: refere-se aos participantes na argumentação; neste estudo analisaremos situações argumentativas de dois tipos, a saber, interação em grande grupo (turma) com intervenção da professora/ investigadora e interação em pequeno grupo (apenas entre os pares); (iii) Função da argumentação: corresponde aos motivos que levam os estudantes a argumentar; De Villiers, citado por Cornejo-Morales et al. (2021), apresenta comunicar, verificar/ refutar, explicar, sistematizar e descobrir como as cinco funções da argumentação: (1) verificación, concerniente al establecimiento de la inferibilidad de una afirmación dentro de una cierta teoría; (2) explicación, concerniente al esclarecimiento y comprensión de las nociones y relaciones que permiten la inferencia; (3) sistematización, concerniente a la organización de varios resultados dentro de un sistema de axiomas, conceptos fundamentales y teoremas; (4) descubrimiento, concerniente al hallazgo o invención de nuevos Enquadramento metodológico 73 Quadro 9. Curso frequentado no Ensino Secundário e Mestrado pretendido pelos participantes da turma A (elaboração própria) Curso frequentado no Ensino Secundário TOTAL Ciências e Tecnologias ou similar Línguas e Humanidades ou similar Curso profissional sem enfoque na Matemática Mestrado pretendido Educação Pré-Escolar 0 3 4 7 Educação Pré-Escolar e Ensino 1º ciclo E. B. 6 7 0 13 Ensino 1º ciclo E.B. e Matemática e Ciências Naturais 2º ciclo E.B. 4 1 1 6 Ensino 1º ciclo E.B. e Português e História e Geografia de Portugal 2º ciclo E.B. 1 2 0 3 Dúvida 0 1 0 1 TOTAL 11 14 5 30 Na turma A quase cinquenta por cento dos estudantes frequentaram o curso de Línguas e Humanidades ou outro similar no Ensino Secundário, o que significa que na sua formação no decorrer dos três anos que constituem este ciclo de estudos tiveram pouco ou nenhum contacto com a matemática. Se a estes, juntarmos os que vêm de cursos profissionais com equivalência ao Ensino Secundário (importando realçar que destes quatro, dois frequentaram o curso Profissional de Técnico de Apoio à Infância, de certo modo relacionado com o ramo educacional escolhido para o Ensino Superior), verifica-se que com cerca de sessenta e três por cento dos estudantes têm este afastamento relativamente à disciplina. Estes números parecem combinar com o facto de uma percentagem muito reduzida destes estudantes pretender seguir o seu percurso no mestrado com maior incidência na matemática (Mestrado em Ensino no 1.º ciclo do E.B. e em Matemática e Ciências Naturais no 2.º ciclo do E.B.). No entanto, note-se que treze dos trinta estudantes que constituem esta turma pretendem enveredar pelo Mestrado em Educação Pré-Escolar e Ensino no 1.º ciclo do E. B., que também tem um enfoque na matemática, disciplina basilar no 1.º ciclo do Ensino Básico em Portugal. No geral, os alunos desta turma são interessados, participam ativamente nas propostas de aula e colaboram entre si, ajudando-se uns aos outros sempre que necessário, sem que para tal seja necessário o incentivo do professor. Apesar de serem poucos os que afirmam convictamente gostar de matemática, a verdade é que existe um grupo de estudantes nesta turma que apresenta resultados satisfatórios e muito satisfatórios às anteriores unidades curriculares de matemática da Licenciatura em Educação Básica, a saber Cultura e Conhecimento Matemático eLinguagem, Lógica e Comunicação. As conclusões apresentadas para a turma A parecem muito similares àquelas que se retiram da leitura atenta do quadro 10, que apresentamos mais abaixo, referente à turma B: continuamos a ter um predomínio de estudantes que provêm de cursos do Ensino Secundário pouco ou nada relacionados com a matemática e a preferência nesta turma também é pelo Mestrado em Educação Pré-Escolar e Ensino no 1.º ciclo do E. B. Importa destacar que um dos estudantes que frequentou o curso de Ciências e Tecnologias no Ensino Secundário e que tem interesse em seguir para o mestrado com maior incidência na matemática é mestre em Bioengenharia, formação concluída anos antes de entrar para a Licenciatura em Educação Básica. ADRIANA FERREIRA 74 Na turma B é evidente o interesse e empenho dos estudantes na concretização das tarefas propostas. No entanto, é de realçar que, de um modo geral, são estudantes com menos confiança em relação à matemática, motivo pelo qual nem sempre participam, mesmo quando têm propostas de resolução, com receio de errar. Ainda assim, trata-se de um grupo muito simpático e com espírito colaborativo e de entreajuda. Quadro 10. Curso frequentado no Ensino Secundário e Mestrado pretendido pelos participantes da turma B (elaboração própria) Curso frequentado no Ensino Secundário TOTAL Ciências e Tecnologias ou similar Línguas e Humanidades ou similar Curso profissional sem enfoque na Matemática Mestrado pretendido Educação Pré-Escolar 0 0 1 1 Educação Pré-Escolar e Ensino 1º ciclo E. B. 4 10 1 15 Ensino 1º ciclo E.B. e Matemática e Ciências Naturais 2º ciclo E.B. 4 0 0 4 Ensino 1º ciclo E.B. e Português e História e Geografia de Portugal 2º ciclo E.B. 0 1 2 3 Dúvida 2 1 0 3 TOTAL 10 12 4 26 No que concerne à turma C, já se verificam ligeiras diferenças (cf. Quadro 11). Metade dos estudantes desta turma afirma pretender seguir o Mestrado em Educação Pré-Escolar, por acreditarem que o nível de exigência relativamente à matemática será inferior. De facto, são estudantes, na sua maioria provenientes de cursos de Ensino Secundário sem enfoque na matemática, que revelam pouca confiança relativamente à disciplina, reforçada, entretanto, pela reprovação em unidades curriculares de matemática no decorrer da Licenciatura. Estes estudantes são participativos e tendencialmente expõe as suas dúvidas para que as vejam esclarecidas. Nota-se, nestes momentos, que grande parte dessas dificuldades estão relacionadas com tópicos basilares da matemática que já não são explorados nas unidades curriculares no Ensino Superior. Quadro 11. Curso frequentado no Ensino Secundário e Mestrado pretendido pelos participantes da turma C (elaboração própria) Curso frequentado no Ensino Secundário TOTAL Ciências e Tecnologias ou similar Línguas e Humanidades ou similar Curso profissional sem enfoque na Matemática Mestrado pretendido Educação Pré-Escolar 2 2 2 6 Educação Pré-Escolar e Ensino 1º ciclo E. B. 0 3 0 3 Ensino 1º ciclo E.B. e Matemática e Ciências Naturais 2º ciclo E.B. 0 2 0 2 Ensino 1º ciclo E.B. e Português e História e Geografia de Portugal 2º ciclo E.B. 0 0 1 1 TOTAL 2 7 3 12 Enquadramento metodológico 75 3.2.2 A recolha de dados Importa começar por referir que a recolha de dados ocorreu no primeiro semestre do ano letivo 2019/2020, entre os meses de setembro de 2019 e janeiro de 2020, sendo que no final de setembro foi realizado o teste inicial individual, no decorrer dos meses de outubro, novembro e dezembro foram realizadas quatro tarefas em grupo e em janeiro foi revisitado o teste inicial, embora tenha sido apresentado aos estudantes com uma estrutura diferente, já que continha diferentes percursos possíveis de resolução para cada uma das questões. Estas atividades propostas foram realizadas de forma espaçada, deixando-se sempre cerca de quinze dias entre cada intervenção, de maneira a garantir que se assimilava bem tudo o que tinha sido explorado numa sessão antes de avançar para a seguinte. O quadro 12 contêm o cronograma da intervenção realizada. Quadro 12. Cronograma de intervenção (elaboração própria) Momento Mês Atividade 1.º momento Final de setembro Teste inicial individual 2.º momento outubro 2.ª semana Tarefa 1 4.ª semana Tarefa 2 novembro 1.ª semana Tarefa 3 3.ª semana Tarefa 4 3.º momento Início de janeiro Teste final O teste inicial assim como o teste final com duas alternativas de resolução para cada questão foram atividades realizadas individualmente, ao contrário das tarefas um a quatro, que foram realizadas em pequenos grupos com constituição entre os dois e os quatro elementos. Cada uma das atividades foi realizada numa aula de duas horas, dividida essencialmente em duas partes: (i) concretização da atividade; (ii) discussão coletiva. Num estudo desta natureza, os métodos e instrumentos de recolha de dados e a posterior análise dos mesmos, assumem especial relevância, devendo responder de forma clara ao objetivo do estudo e articular-se com o enquadramento epistemológico pelo qual se optou. Creswell (2014), bem como McMillan e Schumacher (2014), referem a importância de serem selecionados diversos métodos e instrumentos de recolha de dados nas investigações no âmbito educativo. Neste sentido, segue-se uma breve abordagem aos principais métodos de recolha de dados aos quais se recorreu no presente estudo: recolha documental das produções dos estudantes, observação não participante e participante, notas de campo recolhidas durante a realização das tarefas e registo áudio do momento da realização das tarefas em grupo e das discussões finais coletivas. A análise documental está associada à leitura e interpretação de documentos de diferentes tipologias (Leavy, 2017), sejam eles, textos, fotografias, vídeos. Creswell e Creswell (2019) apontam os documentos como excelentes recursos para obtenção de informação numa investigação qualitativa, reforçando a grande vantagem de se encontrarem com a linguagem dos participantes. Na presente investigação foram analisadas as resoluções dos estudantes em dois momentos: em primeira instância, na realização do teste inicial de um modo individual; depois em cada uma das quatro tarefas que foram realizadas em pequenos grupos. Para além disso, também foi analisado o texto reflexivo que cada estudante produziu para cada questão do teste com resoluções realizado em janeiro, explicando a resolução escolhida e apontando motivos para não optar pela outra. A observação permitiu atentar no discurso dos participantes e nas suas ações e entender, não só as suas perspetivas, como também o significado que atribuíam a determinadas ADRIANA FERREIRA 76 informações, conforme indica também Erickson (1986). Verificaram-se dois tipos de observação no decorrer da recolha de dados, nomeadamente a observação não participante e a observação participante. No primeiro momento e no terceiro momento, durante a realização dos dois testes, não houve qualquer intervenção por parte da professora/ investigadora. Já no final destas duas atividades, no momento de discussão coletiva, a observação tornou-se participante, com o objetivo de direcionar as reflexões que eram realizadas e de estimular novas formas de pensar e de fazer. Também no segundo momento de recolha de dados, isto é, nas aulas em que foram realizadas as tarefas em pequenos grupos, a professora/ investigadora adotou uma posição de observação participante, procurando, na parte de realização da tarefa, interagir com os grupos e motivar a interação entre os elementos do grupo, na descoberta de diferentes percursos de resolução e no debate sobre vantagens e desvantagens de cada um deles; na parte de discussão final, também se verificou a observação participante, por forma a solicitar a participação de todos e garantir que resoluções diferentes fossem trazidas para debate. Durante a observação não participante foram redigidas pela investigadora notas de campo que constituíram uma espécie de diário de bordo, onde se registavam todas as ações e diálogos, ideias e inquietações dos participantes mais relevantes. O registo áudio assumiu o papel destas notas de campo nos momentos de discussão coletiva, embora registasse apenas som e não gestos nem expressões faciais ou corporais. 3.2.2.1 O teste inicial individual O teste inicial (cf. Anexo 1) era constituído por quatro questões sobre diferentes tópicos da matemática dentro do domínio Números e Operações e que permitissem representações diversas para a sua resolução, desde formas de representar mais simples, pictóricas ou icónicas, a formas de representar mais complexas, através da construção de equações matemáticas, por exemplo. O teste foi realizado individualmente, tendo sido reforçada a necessidade do registo do percurso utilizado para determinar a resposta e a importância de não rasurar nenhuma resolução, mesmo que se abandone ou que seja considerada incorreta. Apresenta-se, de seguida, uma explicação de cada questão e das expectativas da investigadora em relação a elas. Na fila... Fig. 7. Enunciado da questão 1 (elaboração própria) Enquadramento metodológico 77 Fig. 8. Enunciado da questão 2 (elaboração própria) Fig. 9. Enunciado da questão 3 (elaboração própria) Com a questão1 pretende-se perceber de que modo é que os estudantes escrevem em linguagem simbólica a informação que é apresentada em linguagem corrente. A informação surge no enunciado e também no diálogo entre duas personagens, sendo essencial combinar os dados provenientes desses dois lugares para determinar a resposta. Pretendia-se que os estudantes não encontrassem grandes dificuldades logo à partida na primeira questão, para não desanimarem. Por isso, trata-se de uma questão simples, para a qual se espera facilidade e celeridade na sua resolução. De qualquer modo, esperam-se também representações muito diversas, desde as mais informais, com desenhos de pessoas, às mais formais, com representações simbólicas matemáticas do tipo algébrico. O pagamento... O objetivo da questão 2 é determinar a quantidade de moedas de dois euros de um mealheiro que também contém moedas de cinquenta cêntimos, num total de trinta moedas e de trinta e três euros. Espera-se que os estudantes distingam de imediato o total de moedas e o seu valor em euros, mas que utilizem estratégias diversificadas para determinar a quantidade de moedas de cada tipo. Esta questão acaba por ter um grau de dificuldade mais elevado porque envolve números não inteiros se pensarmos no valor de cada moeda de cinquenta cêntimos em euros. Ainda assim, seria de prever que alguns estudantes contornem essa situação, agrupando as moedas de cinquenta cêntimos de duas em duas. Há alguma expectativa em perceber se os estudantes vão privilegiar a tentativa erro, com recurso a representações simbólicas matemáticas do tipo aritmético ou se conseguem formalizar o enunciado através da álgebra. Os animais domésticos... ADRIANA FERREIRA 78 Fig. 10. Enunciado da questão 4 (elaboração própria) Com a questão 3 pretende-se perceber de que modo é que os estudantes interpretam a informação já organizada no tally-chart apresentado e a mobilizam para determinar o número de crianças que constitui o grupo. O contacto com uma forma de representação diferente no próprio enunciado pode causar estranheza aos estudantes, mas traz-lhes certamente abertura para a utilização de formas de representar em matemática diferentes, esclarecedoras e organizadas. O grau de dificuldade desta questão é também reduzido, embora seja necessária cautela pelo facto de nem todas as crianças do grupo terem, conforme sugere o enunciado, o mesmo número de animais domésticos em casa. Há a expectativa que alguns estudantes procurem resolver a questão recorrendo a um diagrama de Venn. O número mistério... Considera-se que a questão 4 é a que apresenta maior grau de dificuldade, exigindo já alguma abstração, uma vez que não se fala de elementos contáveis. O facto de surgirem duas pistas para descobrir o número mistério poderá ajudar aqueles estudantes que não conseguirem entender as duas dicas e a sua relação, procurando, então, seguir as descobertas que resultam da exploração de uma das pistas para encontrar diferentes cenários de resposta, optando pela formulação de hipóteses e teste para verificação. Trata-se de uma questão que envolve conceitos básicos da matemática, como algarismo, numeral, unidades, dezenas, o triplo de, o décuplo de e a terça parte de. 3.2.2.2 As tarefas Foi pensado um conjunto de quatro tarefas para implementação em momentos distintos e realização em pequenos grupos constituídos por um mínimo de dois elementos e um máximo de quatro. Não houve intervenção por parte da professora/ investigadora na formação dos grupos, uma vez que se pretendia que estes fossem constituídos por estudantes que estivessem habituados a trabalhar juntos e que não tivessem qualquer tipo de constrangimento em verbalizar a sua forma de pensar e as suas ideias matemáticas aos pares. Procurou-se que ao longo das sessões os grupos se fossem mantendo os mesmos, à exceção de pequenas alterações justificadas pela ausência de determinados estudantes em algumas aulas. As tarefas, à semelhança das questões do teste inicial, foram pensadas de modo a que Enquadramento metodológico 79 Fig. 11. Tarefa 1 (elaboração própria) Fig. 12. Tarefa 2 (elaboração própria) promovessem uma representação diversificada de ideias, conceitos, quantidades, em matemática. Durante a realização do trabalho em pequenos grupos, a professora/ investigadora foi orientando para que todos participassem e discutissem as suas ideias antes de escolher o percurso a seguir para determinar a resposta. Foi também reforçada a necessidade de manterem todos os registos no documento de trabalho, não apagando nem rasurando nenhuma resolução, mas, ao invés disso, explicando o erro, caso se apercebessem dele, ou o motivo pelo qual abandonavam as resoluções iniciais. Apresenta-se, de seguida, cada uma das tarefas propostas aos estudantes. Tarefa 1 (cf. Anexo 2) A tarefa 1 tem como principal objetivo determinar a distância que separa dois amigos, tendo em conta as distâncias que os dois já percorreram partindo cada um de sua casa e conhecendo a metragem a que dista uma casa da outra. É uma tarefa muito simples que se resolve em poucos passos, com recurso à subtração e, eventualmente, à adição. Ainda assim, espera-se que alguns grupos utilizem representações pictóricas ou icónicas para auxiliar na procura da resposta. Tarefa 2 (cf. Anexo 3) O objetivo da tarefa 2 é o de encontrar todas as diferentes combinações possíveis de confeção de cinco pratos num fogão que tem apenas dois bicos. Para tal, espera-se que os estudantes formulem, testem e justifiquem conjeturas, ainda que o possam fazer informalmente. Tendo em consideração os conceitos básicos envolvidos nesta segunda tarefa, a expectativa é que os estudantes a resolvam com facilidade. ADRIANA FERREIRA 80 Fig. 13. Tarefa 3 (elaboração própria) Fig. 14. Tarefa 4 (elaboração própria) Tarefa 3 (cf. Anexo 4) A tarefa 3 envolve regularidades e sequências. Pretende-se que os estudantes encontrem um padrão, que sejam capazes de o explicar e prolongar e, por fim, que o formalizem. A expectativa é que os estudantes consigam responder com facilidade à questão colocada na tarefa, mas já se esperam algumas dificuldades no que diz respeito à criação de uma conjetura, principalmente se o tentarem fazer utilizando linguagem simbólica matemática, através da definição do termo geral da sucessão. Tarefa 4 (cf. Anexo 5) Por fim, com a tarefa 4 pretende-se que os estudantes analisem a informação do fim para o início, envolvendo a operação da divisão e a sua identidade fundamental. Tendo em consideração as dificuldades que normalmente os estudantes revelam no estudo e aplicação desta operação, esperam-se algumas dificuldades na resolução desta tarefa. Para além disso, a tarefa conta com duas possíveis soluções, o que muitas vezes não é considerado pelos alunos quando resolvem problemas matemáticos, já que, alguns, assim que encontram uma solução, dão a tarefa por terminada. 3.2.2.3 O teste final com alternativas de resolução O terceiro momento de recolha de dados foi concebido através da revisão do teste apresentado no primeiro momento, o teste inicial resolvido individualmente. Contudo, desta vez, o teste apresentava, para cada uma das questões, duas resoluções possíveis, com recurso a representações matemáticas diferentes uma da outra (cf. Anexo 6). Importa referir que esta versão foi concebida numa fase inicial deste projeto de investigação, ao mesmo tempo que os dois instrumentos de recolha de dados apontados anteriormente e, portanto, antes da análise Enquadramento metodológico 81 Fig. 15. Questão 1 e sugestões de resolução (elaboração própria) dos dados recolhidos com eles, que não tiveram qualquer influência na escolha dos dois percursos de resolução distintos. Foi pedido aos estudantes que selecionassem a opção que se assemelhava mais com a sua forma de pensar o problema e que fizessem um texto breve reflexivo sobre a outra alternativa, tentando explicar a resolução apresentada e o motivo pelo qual não se identificavam com ela. Este momento procura responder a um dos grandes objetivos do presente estudo, que consiste em aferir quais as representações matemáticas privilegiadas pelos participantes. Ao mesmo tempo, o facto de apresentarmos duas resoluções, garante o contacto com diferentes modos de representar em matemática, uns mais estruturados do que outros, uns mais adequados a determinadas tarefas e outros mais convenientes noutros contextos matemáticos. Conhecê-los e refletir sobre eles, justificando a escolha de um em detrimento de outro, implica, ainda que por vezes em parte, que compreendam os dois e que apontem vantagens e desvantagens para cada um. De facto, se se tornarem professores de matemática encontrarão certamente alunos que os surpreenderão com resoluções diferentes das suas. Será importante que, nessa altura, sejam capazes de compreender essas resoluções e de avaliar a sua validade matemática. Apresentam-se, de seguida, as questões deste teste e as propostas de resolução apresentadas aos estudantes. Na fila... A primeira sugestão contém uma representação simbólica matemática com caráter algébrico, uma vez que traduz o problema através da construção de uma equação de primeiro grau e determina a resposta com a sua resolução. A variável xrepresenta o valor que se pretende determinar (o número de pessoas que estão atrás do Manuel) e os restantes termos do ADRIANA FERREIRA 82 Fig. 16. Questão 2 e sugestões de resolução (elaboração própria) primeiro membro representam as pessoas que estão à frente da Alice, a Alice e o Manuel. O único termo do segundo membro representa o número total de pessoas que estão na fila. Por sua vez, a proposta B enquadra-se nas representações icónicas, apresentando um esquema de palavras ordenado que corresponde à fila referida no enunciado da questão, garantindo que se ocupam um total de onze posições. A primeira resolução apresenta, sem dúvida, um nível de formalidade superior à segunda, já que esta última é, de acordo com as categorias de análise definidas, uma resolução com recurso a representações informais. O pagamento... Análise de dados e resultados 89 Fig. 22. Cálculo horizontal (elaboração própria) representações formais do tipo simbólico matemático aritmético e representações mais informais do tipo icónico. Outros, para confirmar a sua resposta, apresentam um cálculo horizontal, no qual as palavras “Alice” e “Manuel” surgem como parcelas (figura 22). Há ainda um estudante que combina uma representação icónica, um esquema com recurso a tracinhos, com uma do tipo simbólica verbal, através da qual, num texto estruturado, recorre aos numerais ordinais para explicar o esquema construído primeiramente. Apenas dois estudantes optaram por resoluções simbólicas verbais, recorrendo a linguagem corrente e não a linguagem matemática para resolver o problema. Apesar de não terem usado vocabulário específico nem de um nível formal, os estudantes utilizaram os números ordinais para determinar a resposta e fizeram-no corretamente. No que diz respeito aos estudantes que apresentaram representações simbólicas matemáticas, comecemos por abordar as do tipo aritmético. Dos nove estudantes que as utilizaram, sete resolveram o problema em dois passos, realizando duas subtrações (ora primeiro subtrair ao total as sete pessoas e, de seguida, subtrair dois, o Manuel e a Alice, ora o contrário). Os outros dois que seguiram o mesmo tipo de representação resolveram o problema apenas num passo, construindo e resolvendo a expressão numérica 11 – (7 + 1 + 1). Por fim, apenas um estudante utilizou uma representação simbólica matemática algébrica, construindo uma equação na qual a sua incógnita representava o valor desconhecido, isto é, o número de pessoas que se encontravam atrás do Manuel. Por tudo isto, predomina claramente a utilização de representações do tipo icónico para resolver esta questão e estas parecem ser representações adequadas tendo em conta a taxa de sucesso da sua utilização. Recorde-se que apenas três estudantes apresentaram uma resposta incorreta, dos quais dois não realizaram qualquer tipo de representação, limitando-se a escrever uma resposta. Esta questão foi considerada por praticamente todos os estudantes como “simples” e “muito acessível, de fácil resolução”. A par disto, a verdade é que todos a resolveram num curto período de tempo. Pela análise das resoluções acima realizada, pode afirmar-se que a maioria dos estudantes raciocinou de uma forma organizada, tendo entendido bem a questão e definido uma estratégia simples e rápida de resolução. Ainda assim, foi curioso perceber, no momento de discussão coletiva final, que foram poucos os estudantes que referiram as representações icónicas para comunicar o seu raciocínio aos pares; pelo contrário, predominou deste diálogo a referência às operações para explicar a forma mais rápida e, portanto, mais eficiente, de determinar a resposta certa. Fig. 21. Representação semi-formal (elaboração própria) ADRIANA FERREIRA 90 Fig. 23. Situação argumentativa A (elaboração própria) Apresenta-se, de seguida, uma situação argumentativa relevante no decorrer deste momento, que começou com a exposição de um estudante. Estudante A: Numa primeira fase pensei no total de pessoas e em quantas sobrariam se tirasse as sete que estavam à frente da Alice... depois das quatro que sobraram tirei o Manuel e a Alice e deu dois. Estudante B: Eu não pensei assim. Acho mais fácil somar. Eu juntei as sete pessoas que estavam à frente da Alice com a Alice e o Manuel e depois pensei quanto faltava para fazer o total de onze pessoas. Estudante A: Pois, não sei. Estudante C: Mas assim também estás a subtrair. Estudante D: Eu também prefiro as contas de mais. Aqui não, mas se for números maiores a subtrair às vezes engano-me. Na figura 23, abaixo apresentada, resume-se a situação argumentativa referente ao diálogo anterior, tendo em consideração as categorias de análise apresentadas. Antes de atentarmos nesta situação argumentativa, na qual se reflete sobre o modo mais simples e eficiente de determinar a resposta, tendo em conta a posição apresentada pelos estudantes B e D, considere-se ainda um outro diálogo que nos traz mais informação sobre o mesmo tema: Estudante E: Eu construi uma equação. Estudante F: Ai, não. Estudante G: Equação? Estudante E: Ao escrever foi o que me pareceu melhor, mas acho que fiz mentalmente. Estudante H: Eu fiz um desenho, mas não sei se era o que a professora queria. Prof./ inv.: Mas pensem no que vos parece mais adequado à questão, na estratégia mais eficiente... Análise de dados e resultados 91 Fig. 24. Situação argumentativa B (elaboração própria) Estudante G: Pois, as contas era melhor: era só onze menos sete, oito, nove. Estudante H: Mais rápido do que fazer desenhos, mas eu acho mais fácil, porque vejo e consigo ter a certeza. Mais do que discutir resoluções corretas ou incorretas, mais uma vez, aborda-se a pertinência e eficácia dos percursos de resolução diferentes. Vejamos a síntese desta situação argumentativa, presente na figura 24. Na primeira situação discute-se um só tipo de representação matemática: a representação simbólica matemática aritmética. O que está em causa é a utilização da operação subtração duas vezes, ambas com o significado de retirar, ou o recurso à adição, ao invés da subtração, num primeiro momento, embora fosse depois preciso subtrair, desta feita com o significado de completar. Entre realizar duas subtrações ou uma adição e uma subtração, a resposta foi praticamente unânime para a segunda opção. No entanto, recorde-se que apenas dois estudantes recorreram a esta alternativa para resolver a questão individualmente. Na situação B já se discutem representações diferentes: icónica, simbólica matemática do tipo aritmético ou simbólica matemática do tipo algébrico. A primeira opção é apontada como simples por facilitar a organização da informação visualmente e a descoberta da resposta com elevado grau de certeza. Todavia, a maioria dos estudantes reconheceu rapidez na representação aritmética, considerando-a e mais adequada à resolução desta questão. O estudante que referiu ter recorrido a uma representação algébrica, acabou, mais tarde, por concordar que “as contas” eram “um caminho mais intuitivo”, tendo construído a equação apenas por considerar que era o mais adequado, tendo em conta o elevado nível de formalidade da referida representação. Note-se que nas duas situações a interação com o grupo, isto é, a partilha de ideias com os pares, auxiliou claramente a construção da argumentação por parte dos intervenientes. Os episódios iniciaram-se com a intervenção da investigadora, que põe em discussão as diferentes representações utilizadas para resolver a questão, mas depois são os estudantes que criam momentos de reflexão em torno das diferentes possibilidades. Apesar da questão inicial ser aberta a todo o grupo, a verdade é que nem todos participaram, muito embora seja certo que todos assistiram ao episódio e, por isso, retiveram alguma informação. ADRIANA FERREIRA 92 Relativamente à função da argumentação, considera-se que predomina, nos dois episódios, a função de explicar, apesar de em determinados momentos esta se entrelaçar com a função de comunicar, principalmente quando os estudantes revelam assertividade na sua escolha, comunicando a sua posição e o conhecimento matemático que detêm. O estudante B parece basear-se nas suas estratégias pessoais de cálculo para explica que é mais fácil somar; já o estudante D explica que será mais provável enganar-se se recorrer à subtração; o estudante H utiliza a simplicidade visual para explicar a sua resolução, embora reconheça mais rapidez noutras. Às funções de comunicar e explicar poderíamos aqui acrescentar uma outra que está implicitamente nos dois episódios argumentativos apresentados que é a de convencer. Na verdade, estes estudantes argumentam também para atestar o que é melhor, mais rápido ou mais fácil, procurando a anuência dos pares. É comum às duas situações argumentativas o seu caráter narrativo, já que em nenhum momento os estudantes recorreram a materiais ou a qualquer tipo de representação pictórica para formularem os seus argumentos. Há, com o estudante H, uma referência a representações pictóricas e às suas características, mas não foi detetada qualquer visualização ou construção dessas representações durante as intervenções do referido estudante. Por último, o tópico matemático aqui em causa insere-se nos números e operações, mais concretamente na exploração da adição e da subtração no conjunto dos números naturais, essenciais para a resolução desta primeira questão, conteúdo para o qual os estudantes, no geral, assumem e revelam não ter dificuldades acentuadas. 4.1.2 Questão 2 - O pagamento... Para responder a esta segunda questão os estudantes recorreram a tipos de representações diferentes, uns com mais sucesso do que outros, conforme demonstra o quadro 14 abaixo apresentado. Quadro 14. Tipos de representação utilizados para responder à questão 2 e seu sucesso/ insucesso (elaboração própria) Representação Resposta correta Resposta incorreta Sem resposta Total Pictórica 0 0 0 0 Icónica 0 0 2 2 Simbólica verbal 0 0 0 0 Simbólica matemática aritmética 23 6 14 43 algébrica 4 1 6 11 Mista 4 0 2 6 Sem representação Só resposta 0 2 ----- 2 Em branco ----- ----- 4 4 Total 31 9 28 68 Há notoriamente um predomínio pela utilização de representações formais para responder a esta questão, já que nenhum estudante recorreu a representações pictóricas e apenas dois apresentaram representações icónicas. Destes últimos, um deles começou por representar trinta bolinhas, aparentemente as trinta moedas que refere o texto, mas depois não se alonga mais, acabando por não dar continuidade ao seu raciocínio nem resposta à questão; o outro constrói aquilo que parece ser um diagrama de Venn, embora incompleto. Nele constam duas linhas curvas fechadas, com as designações A e B, em baixo legendadas como “2€” e “0,50€”, Análise de dados e resultados 93 Fig. 25. Representação simbólica matemática aritmética organizada (elaboração própria) respetivamente. Na interseção das duas linhas estão representadas as trinta moedas. Este estudante também abandona a representação e a questão sem chegar a qualquer resposta. A representação mais utilizada foi a do tipo simbólica matemática aritmética. Os estudantes que seguiram esta via utilizaram maioritariamente a tentativa-erro para determinar a sua resposta, mas nem todos foram capazes de definir uma estratégia de resolução organizada que lhes permitisse encontrar uma resposta e ter a certeza de que era a correta. De facto, a análise das representações destes estudantes leva-nos a concluir que são vários aqueles que tentam resolver de forma desorganizada, sem método, limitando-se a fazer tentativas inúmeras até encontrar uma resposta em concordância com o enunciado. Na maior parte das vezes, acabam por se perder nas suas representações ou devido a erros de cálculo ou devido à confusão entre número de moedas e respetivo valor em euros. Há também aqueles que raciocinam de forma sistemática e organizada, refletindo sobre as tentativas que realizam e definindo, em função dos resultados, as tentativas seguintes. Analise-se, a este propósito, a figura 25 que se apresenta de seguida. O próprio estudante que apresentou esta resolução, no momento final de discussão coletiva conseguiu explicar-se: Estudante I: Eu não sabia por onde começar. Então pensei que podia haver quinze moedas de cada, fiz os cálculos e deu-me trinta e sete euros e meio. Eu queria o mesmo número de moedas, mas menos dinheiro [valor, em euros], tinha que reduzir nas moedas maiores. Experimentei com dez moedas de dois euros e vinte de cinquenta [cêntimos] e foi ao contrário, já deu pouco dinheiro, só trinta [euros]. Então experimentei o doze [doze moedas de dois euros] e já deu. Estudante J: Eu fiz mais ou menos a mesma coisa, mas fixei o valor em vez do número de moedas. Imagina, sabia que tinha de dar trinta e três euros, por isso experimentei vinte [euros, em moedas de dois euros] mais treze [euros, com moedas de cinquenta cêntimos], mas dava trinta e seis moedas e eu queria só trinta. Então, para manter o mesmo valor, mas diminuir o número de moedas... Espera... O que é que eu fiz? Pois, aumentei o número de moedas de dois euros porque valem mais. ADRIANA FERREIRA 94 Fig. 26. Representação simbólica matemática algébrica (sistema de equações com representação decimal) (elaboração própria) Fig. 27. Representação simbólica matemática algébrica (sistema de equações com representação fracionária) (elaboração própria) Esta exposição por parte do estudante I, responsável pela representação presente na figura 25, mas também do estudante J, evidencia, de facto, alguma reflexão sobre o processo e organização de ideias no momento de o pôr em prática. Também há um número significativo de estudantes que escreveram vários múltiplos de dois e vários múltiplos de cinquenta centésimas e foram fazendo combinações até alcançar um total de trinta múltiplos, cujos valores somados desse trinta e três. Concentremo-nos agora nos estudantes que recorreram a representações do tipo simbólico matemático algébrico, através da construção e resolução de um sistema de equações. Dos onze que o fizeram, apenas quatro conseguiram determinar a resposta certa. Começaram por identificar duas incógnitas e legendá-las e depois construíram duas equações literais de modo a traduzir a informação presente no enunciado, uma delas sobre o número total de moedas e outra sobre o valor total em euros. É de registar que alguns estudantes utilizaram a dízima 5,0 para representar a moeda de cinquenta cêntimos e outros utilizaram a representação fracionária 2 1 , conforme consta nas figuras 26 e 27. Um outro estudante, apesar de ter construído corretamente o sistema de equações, determinou uma resposta incorreta devido a um erro de cálculo no decorrer da resolução. Dos estudantes que tentaram a formalização através de representações algébricas, mas não apresentaram resposta, três construíram corretamente o sistema, mas não foram capazes de o resolver até ao fim, dois escreveram uma equação literal corretamente e a outra com informação que não constava no enunciado e um só conseguiu construir uma das equações literais. Relativamente ao uso de representações mistas, verifica-se que foi um número reduzido de estudantes que iniciou a resolução com um tipo de raciocínio e depois o alterou. Analisemos o caso concreto de um estudante que alterou a sua forma de pensar duas vezes ao longo da resolução. Inicialmente tentou formalizar o enunciado, construindo uma só equação com apenas uma incógnita, a saber 2x+ 0,5x= 33, considerando, portanto, que número de moedas de dois euros e de cinquenta cêntimos é igual, informação que não consta no enunciado. Ao resolver a equação apresentada constatamos que a solução não é um número natural, pelo que não pode corresponder ao número de moedas. No entanto o estudante não chega a concluir isso mesmo, já que simplifica a equação, mas não chega a terminá-la, abandonando essa representação. Ela revela-se demasiado formal e as dificuldades que o estudante encontra levam-no a iniciar uma nova tentativa de resolução. Desta vez, começa por determinar o quociente entre trinta e três e dois, explicando posteriormente na discussão final: Estudante K: Metade do valor vai ser em moedas de dois euros e a outra metade nas moedas de cinquenta cêntimos. Análise de dados e resultados 95 Fig. 28. Representação formal com erro de raciocínio (elaboração própria) Estudante L: Porquê? Estudante K: Na altura achei que fazia sentido, depois descobri que não, porque não cheguei à resposta. Mas eu nem reparei que a divisão dava resto 1, ignorei. Então a partir daqui, como o resultado era dezasseis, eu multipliquei-o por dois... Mas agora estou a ver que não faz sentido... O dezasseis já era euros e eu voltei a multiplicar por dois, que era as moedas de dois euros, ainda vai dar mais euros. Estou confusa... De facto, neste momento em que era privilegiada a comunicação matemática, a própria estudante ao explicar a sua resolução encontra erros que não lhe permitiram encontrar uma solução. É evidente que confundiu o número de moedas com o valor em euros que elas representavam, o que levou a uma resolução errada. O mesmo estudante ainda iniciou uma resolução por tentativa erro, mas acabou por desistir sem encontrar a solução, revelando-se incapaz de definir uma estratégia organizada e sistemática que lhe permitisse descobrir a resposta de um modo mais simples e rápido. Outro estudante que utilizou uma estratégia mista, também começou com uma representação formal, mas não conseguiu completá-la, apresentando apenas uma equação com duas incógnitas que traduz de forma errada o enunciado, já que misturou o número que moedas com o seu valor em euros (figura 28). Posteriormente, o estudante optou pela tentativa-erro, tendo conseguido determinar a resposta certa, apesar de não utilizar um raciocínio regular. Quando comunicou a sua resolução ao grande grupo, apercebeu-se de imediato do erro na equação, sem nenhuma intervenção. Depois explicou “Fui alternando, ou mexia no valor, ou mexia no número de moedas e à quarta tentativa consegui”. Estes dois casos são exemplo do percurso mais comum destes estudantes que apresentaram mais do que um tipo de representação: iniciam com uma representação formal do tipo algébrico, mas as dificuldades que encontram levam-nos a abandonar essa representação e a seguir pelo tipo simbólico matemático aritmético, através da criação de hipóteses e sua verificação. Há, no entanto, a salientar um estudante que faz o percurso inverso, isto é, inicia a sua resolução com tentativa-erro, mas, ao fim de duas tentativas, acaba por desistir, constrói um sistema de equações corretamente e resolve-o sem percalços. No momento de discussão coletiva final, os estudantes assumiram alguma dificuldade na resolução desta questão. Alguns deles, principalmente aqueles que não tinham conseguido determinar uma resposta, estavam até ansiosos pelo momento de partilha, durante o qual sabiam que iriam escutar diferentes modos de resolver a questão. Foi um desses estudantes que começou a expor o seu raciocínio, assim que a professora/ investigadora iniciou o momento de discussão, recordando a questão. ADRIANA FERREIRA 96 Fig. 29. Situação argumentativa C (elaboração própria) Estudante M: Eu comecei por pensar que este número destas moedas de cinquenta cêntimos tinha de ser par e, por isso, o número de moedas de dois euros também. Estudante N: Par? Porquê? Não diz nada na pergunta... Estudante M: Não, foi por causa do valor. Se ele tem trinta e três euros certos, não pode ter moedas de cinquenta ímpar que não faça um euro inteiro, percebes? Mas depois eu não cheguei à resposta, enganei-me numa conta de vezes. [...] Estudante O: Eu achei que no máximo podia ter dezassete moedas de dois euros, para não passar os trinta e três do total. Estudante N: Neste caso só podiam ser dezasseis para ser par... Estudante O: Nem é por isso, pensei mal, porque dezassete mais dezassete já dá trinta e quatro, já passa. Esquece... Tinha de ser mesmo dezasseis no máximo. [...] Estudante P: Isso até me ajudava, mas não pensei nisso. Eu pensei quase como a tabuada do dois e a do zero vírgula cinquenta e a seguir fiz combinações para dar trinta moedas e trinta e três euros. Até foi rápido. Nesta conversa entre pares, os estudantes começam por partilhar as suas formas de pensar a questão e, enquanto comunicam uns com os outros, vão chegando a conclusões que podem completar-se e permitir a descoberta célere da resposta que se procura. A figura 29 contém a síntese deste episódio argumentativo. O estudante M apresentou uma sugestão que, aparentemente, não tinha sido pensada por mais nenhum: afirma convictamente que o número de moedas de cinquenta cêntimos terá de ser par (e, por consequência, também o de moedas de dois euros), uma vez que o valor que o Manuel tem é um número inteiro de euros. A razão é apontada apenas depois da incompreensão revelada por um colega, o estudante N, que o questiona imediatamente, procurando compreender a sua posição. Já o estudante O apresenta outro argumento que pode completar a ideia sugerida anteriormente: para este o Manuel pode ter no máximo dezasseis moedas de dois euros, já que estas perfazem um total de trinta e dois euros e mais uma moeda Análise de dados e resultados 97 de dois euros levaria a que o Manuel tivesse mais dinheiro do que o que é mencionado no enunciado. Note-se que, este estudante, começou por apresentar um argumento e acaba, ele próprio, por identificar um erro no mesmo e corrige-o. A interação ocorre em grande grupo, essencialmente com a intervenção dos estudantes. É interessante perceber que o estudante N, sempre muito inquieto, procura questionar para compreender os raciocínios dos colegas e não só os compreende como tenta utilizá-los para acelerar outros percursos possíveis de resolução, propostos ao longo deste episódio. Outros estudantes, como o P, demonstraram compreender as ideias que estavam a ser debatidas e ver nelas potencial facilitador na resolução, mesmo tendo conseguido determinar a resposta utilizando outras vias. Também é de notar que os estudantes que utilizaram um raciocínio errático, ao assistir a estas partilhas revelaram compreensão, embora alguns acabassem por afirmar não serem capazes de chegar a estas conclusões sozinhos. 4.1.3 Questão 3 - Os animais domésticos... Os estudantes apresentaram representações diversas para procurar dar resposta a esta questão: representações icónicas, representações simbólicas verbais, representações simbólicas matemáticas do tipo aritmético e do tipo algébrico e representações mistas (que combinaram as representações de caráter aritmético ora com explicação verbal, ora com representações icónicas). Houve ainda estudantes que não apresentaram qualquer tipo de representação, deixando a questão em branco ou indicando apenas a resposta. O quadro 15, que surge abaixo, resume o modo como os estudantes resolveram esta questão. Quadro 15. Tipos de representação utilizados para responder à questão 3 e seu sucesso/ insucesso (elaboração própria) Representação Resposta correta Resposta incorreta Sem resposta Total Pictórica 0 0 0 0 Icónica 0 0 1 1 Simbólica verbal 0 1 0 1 Simbólica matemática aritmética 37 8 0 45 algébrica 0 2 0 2 Mista 5 5 0 10 Sem representação Só resposta 2 2 ----- 4 Em branco ----- ----- 5 5 Total 44 18 6 68 Antes de iniciarmos a análise dos diferentes tipos de representações utilizados para responder a esta questão, importa referir a necessidade de alguns estudantes organizarem a informação presente no enunciado, completando o tally-chart que o acompanha. Assim, contabilizam-se vinte e nove estudantes que acrescentaram uma coluna com a frequência absoluta correspondente à contagem e um estudante que o fez na forma de frequência absoluta acumulada (sem nenhum deles lhe ter atribuído estas designações), dezassete estudantes que acrescentaram uma linha final com o total (em todos os casos o total foi representado utilizando os algarismos e nunca a contagem) e um estudante que acrescentou uma linha ao tally-chart para representar as crianças que não têm animais domésticos. Analisando, agora, o quadro 15 é evidente o predomínio na utilização de representações simbólicas matemáticas do tipo aritmético, correspondendo à opção de mais de sessenta e cinco por cento dos estudantes. Ainda assim, dentro do mesmo tipo de representações, ADRIANA FERREIRA 98 Fig. 30. Representações do tipo (a) (elaboração prórpia) Fig. 31. Representações do tipo (b) (elaboração própria) Fig. 32. Representações do tipo (c) (elaboração própria) conseguimos distinguir diferentes percursos para determinar a resposta, que dividimos em três grupos: (a) estudantes que determinaram o total da contagem, subtraíram quatro unidades correspondentes às crianças que deram duas respostas e adicionaram três unidades relativas às crianças que não responderam por não terem animais domésticos, ou viceversa (figura 30); (b) estudantes que determinaram o total da contagem, subtraíram oito unidades para determinar o número de crianças que tem apenas um animal doméstico e adicionaram, por fim, o número de crianças que não têm animais com as que têm um animal e com as que têm dois animais (figura 31); (c) estudantes que apresentaram raciocínio similar a (a) ou a (b), mas representaram todos os passos numa só expressão numérica (figura 32). Importa referir que nestes três grupos constam apenas representações formais (cálculos horizontais ou algoritmos) para determinar as respostas. Relativamente a (a) e (b), o problema foi resolvido em três passos pelos estudantes, recorrendo a três operações simples, duas adições e uma subtração. Alguns estudantes que utilizaram a categoria acima definida por (b) afirmaram considerar mais organizada a sua resolução pois precisavam de saber exatamente “o número de crianças com zero animais, o número de crianças com um animal e o número de crianças com dois animais para só somar os três resultados”. Ainda assim, todos eles demonstraram compreender estas três formas de resolver o problema. Outra nota também importante relativa a estas resoluções é um erro apresentado por dois estudantes, que apresentam o seguinte registo: 21 – 4 = 17 + 3 = 20. Estes estudantes, apesar de determinarem a resposta certa, cometem um grave erro matemático ao considerar que as expressões 21 – 4 e 17 + 3 são iguais, quando na verdade não são. Estes estudantes determinam o resultado da primeira subtração e a esse resultado pretendem adicionar uma outra quantidade, fazendo-o indevidamente na mesma operação. Também é curioso referir o caso de um outro estudante que iniciou as representações com o intuito de resolver a questão seguindo um percurso similar ao descrito em (b), mas Análise de dados e resultados 105 Fig. 41. Resolução incompleta através de uma equação com duas incógnitas (elaboração própria) Fig. 42. Resolução incompleta através de um sistema de duas equações com três incógnitas (elaboração própria) Note-se que se trata de um erro de representação formal e não propriamente de raciocínio, não tendo qualquer impacto na procura pela solução. Há ainda um total de cinco estudantes que não apresentaram as três hipóteses de resposta à primeira pista, mas apenas a opção “93”, que é a única que cumpre o imposto na segunda pista. Estes fizeram a verificação da segunda pista apenas para este valor. Destes dois universos apresentados acima, registaram-se seis estudantes que apresentaram uma resposta incorreta, sendo importante referir que metade deu como resposta “Há 31 espécies diferentes cultivadas na estufa”, confundindo o numeral que se procurava com o resultado que obtiveram nos cálculos de verificação ( 31131031393  ). Estes estudantes aperceberam-se do engano ao apresentar a sua resolução ao grupo, corrigindo de imediato. As representações simbólicas matemáticas do tipo algébrico surgiram também em algumas resoluções. Os seis estudantes que tentaram resolver a questão utilizando unicamente este tipo de representações formais com recurso à utilização de incógnitas não conseguiram determinar uma resposta. Dois destes começaram por definir três incógnitas, nomeadamente x para o número de espécies, upara o algarismo das unidades e dpara o algarismo das dezenas. A partir daqui, escreveram uem função de de vice-versa, interpretando a pista um, e construiram corretamente uma equação que traduzia a informação contida na pista dois. No entanto, esta equação, ainda que simplificada, acabava por ficar sempre com duas incógnitas, não lhes permitindo determinar o resultado (figura 41). Um outro estudante também definiu três incógnitas, mas em vez de construir uma equação, construiu um sistema de equações, que apesar de não apresentar nenhuma incorreção matemática na tradução de cada uma das pistas para linguagem matemática, não lhe permite determinar uma solução, por ter três incógnitas num sistema de apenas duas equações (figura 42). Este estudante não avança sequer com a resolução do sistema, por se aperceber que não conseguirá determinar a resposta à questão colocada através dele. ADRIANA FERREIRA 106 Fig. 43. Tradução da pista um com recurso à formalização (elaboração própria) Os outros três estudantes que optaram unicamente por representações algébricas, cometeram erros na tradução das pistas para linguagem matemática: um deles fez um erro de inversão ao considerar que o algarismo das dezenas era xe o das unidades era 3x, o que não se coaduna com a informação “sendo o algarismo das dezenas o triplo do algarismo das unidades”; os outros dois não aplicaram o teorema fundamental da numeração escrita, pois consideraram a igualdade 3x x = 3x+x, em vez de 3x x = 10 x3x+x, ignorando o valor posicional do sistema de numeração indo-árabe, bem como a sua base decimal. Os estudantes restantes recorreram a representações mistas para resolver esta questão. Todos eles combinaram representações simbólicas matemáticas do tipo algébrico com representações matemáticas do tipo aritmético, por esta ordem, embora quatro tenham conseguido determinar a resposta certa, um respondeu incorretamente (cometendo o mesmo erro já enunciado anteriormente de considerar que a resposta era “31”, resultado da verificação da pista e não número de espécies determinado) e um não conseguiu apresentar resposta, deixando a resolução inacabada por falta de tempo para conclusão. Todos estes estudantes, recorreram à formalização do enunciado, utilizando as incógnitas xey, ou similar, para representar os algarismos das dezenas e das unidades, respetivamente. No entanto, apenas as utilizaram para determinar os três numerais que respeitavam a pista um, conforme mostra a figura 43, optando, depois, na pista dois, por fazer a verificação, recorrendo a cálculos horizontais, para cada uma das hipóteses criadas. No momento de partilha foi debatida a possibilidade de formalizar o problema utilizando apenas uma incógnita. Depois de se esclarecer a relação entre o algarismo das dezenas e o das unidades apresentada na pista um, a investigadora sugeriu que pensassem sobre o valor posicional do sistema de numeração indo-árabe. Nesse momento, várias vozes se fizeram ouvir, conforme o excerto abaixo: Estudante W: Professora, não dava para resolver só com uma incógnita? Prof./inv.: Podemos refletir sobre isso... Vamos começar pela pista um e pela relação que já identificaram. Estudante W: Posso ir ao quadro? Prof./inv.: Claro! Estudante W: [Enquanto escrevia] Vou usar u, de unidades, e assim 3u para as dezenas. Análise de dados e resultados 107 Fig. 44. Registo realizado no momento de discussão final (elaboração própria) Prof./ inv.: Está ótimo! Agora pensemos todos sobre o nosso sistema de numeração, que sabemos que é posicional decimal. Isso permite-me escrever esse numeral na forma de polinómio, sem usar esses “tracinhos” que representam as unidades e as dezenas [confrontar com figura 44]. Estudante X: Como assim? Prof./ inv.: Vamos pensar, por exemplo, no numeral vinte e sete, nos algarismos que o constituem e no valor de cada um deles para representar essa quantidade. [Silêncio] Estudante W: Ok, já sei! Vai ficar este [aponta para 3u] vezes dez, mais este [aponta para u]. Vários: Hum? Estudante W: Este [3u] está nas dezenas, daí vezes 10. Estudante Y: Vinte e sete não é dois mais sete. Estudante Z: É vinte mais sete. Estudante X: Ahh!! Vinte é dois vezes o dez, como noventa é nove vezes o dez. Estudante W: Sim, porque está nas dezenas. Então fica isto [3ux10 + u], que posso simplificar para 31u. Agora já sei, se o número é 31u, o algarismo das unidades é ue o das dezenas é 3u, já consigo escrever a segunda pista usando só esta incógnita. Este episódio argumentativo surgiu da questão de um estudante acerca da possibilidade de resolver a questão através da construção de uma equação com uma só incógnita e foi acompanhado do registo no quadro, presente na figura 44. Apresenta-se resumido na situação argumentativa E, da figura 45. ADRIANA FERREIRA 108 Fig. 45. Situação argumentativa E (elaboração própria) O estudante W pretende descobrir como resolver a questão recorrendo apenas a uma incógnita e percebe que a dificuldade estará em escrever o número de espécies diferentes cultivadas na estufa em função de u, o seu algarismo das unidades. Torna-se necessária a intervenção da professora/ investigadora, que recorda duas das principais características do sistema de numeração indo-árabe, o seu valor posicional e a base decimal, que permitem estabelecer esta relação que o estudante procura. Foi ainda preciso fazer referência a um exemplo concreto, para que os estudantes começassem a refletir sobre o que se pretendia. Depois de compreender que 27 = 20 + 7 = 2 x10 + 7, rapidamente o estudante W fez a generalização que se pretendia para um numeral constituído por algarismos desconhecidos. Depois da descoberta, explica que o algarismo das dezenas é multiplicado por dez e, de seguida, adiciona-se ao resultado obtido o algarismo das unidades. Os restantes estudantes, em conjunto, uns participando no momento de comunicação, outros fazendo os seus registos nos seus cadernos, compreenderam a utilização do teorema fundamental dos sistemas de numeração posicionais decimais. Apesar desta compreensão revelada, a maioria foi afirmando ser incapaz de “pensar desta maneira”. O recurso ao registo realizado no quadro, os momentos em que se aponta para os mesmos e os rascunhos que alguns estudantes iam realizando nos seus cadernos durante a situação argumentativa atribuem-lhe um caráter diagramático. No entanto, este serve de suporte ao discurso organizado que os vários estudantes vão exteriorizando, tornando este momento também narrativo. 4.1.5 Discussão geral dos resultados analisados Depois da análise detalhada de cada uma das quatro questões que constitui o teste, pretende-se agora analisar os principais pontos em comum entre todas as questões, refletindose sobre a relação entre o tipo de tarefa e os tipos de representação, bem como sobre a taxa de êxito associada ao uso de cada um desses diferentes tipos de representação. Procura-se, ainda, refletir sobre a importância dos episódios argumentativos para a construção de conhecimento matemático. Este teste é constituído por quatro questões que podem ser apresentadas a alunos dos primeiro e segundo ciclos do Ensino Básico. No entanto, o desempenho destes estudantes da Licenciatura em Educação Básica na resolução destas questões não foi o esperado, Análise de dados e resultados 109 principalmente nas segunda e quarta propostas, nas quais a percentagem de sucesso não atingiu os cinquenta por cento. A primeira questão, pelo contrário, teve uma taxa de êxito muito elevada, acima dos noventa e cinco por cento. Nas resoluções apresentadas predomina claramente a utilização de representações icónicas, o que se pode explicar pela forma como a informação é apresentada no enunciado, que sugere a existência de pessoas organizadas numa fila. A visualização que a situação implica levou muitos estudantes a representá-la esquematicamente. No momento de discussão final as representações icónicas foram apontadas como as mais simples por facilitarem a organização da informação visualmente e a descoberta da resposta com elevado grau de certeza. No entanto, foram poucos os estudantes que referiram as representações icónicas para comunicar o seu raciocínio aos pares, optando por fazer referências regulares às representações simbólicas matemáticas aritméticas, mais concretamente às operações para explicar a forma mais rápida e eficiente de determinar a resposta. Muitos reconheceram estas representações como as mais adequadas à resolução da questão. Por sua vez, as representações simbólicas matemáticas algébricas foram apenas referidas pelo seu elevado nível de formalidade, tendo, um número significativo de alunos assumido dificuldades no âmbito da álgebra. Parece evidente que os estudantes alteraram o tipo de representação do momento de compreensão do enunciado e resolução para o momento de comunicação coletivo, selecionando para esta segunda parte representações mais formais. Pelo modo como argumentaram conseguimos concluir que estes estudantes consideram que a forma mais correta de comunicar em matemática requer um nível de formalismo mais elevado, embora sintam a necessidade de recorrer a registos mais informais na hora de resolver o problema. Ao mesmo tempo, podemos também conceber que depois de entender bem o problema e de o resolver, ainda que com recurso a representações pictóricas ou icónicas, as representações mais formais (diga-se: as representações simbólicas matemáticas aritméticas) tornam-se menos ambíguas e até mais adequadas para comunicar a solução. Possivelmente o mesmo não se aplica às representações simbólicas matemáticas de caráter algébrico pelas lacunas que um número significativo de estudantes sente neste âmbito. Importa também relacionar a simplicidade da questão e a sua possível aplicação a um público do Ensino Básico a algumas representações que surgiram na sua resolução. Apesar de serem solicitadas aos estudantes estratégias de resolução que se adequem às suas formas de pensar os problemas, alguns acabaram por resolver a questão como se fossem crianças, procurando a resposta através de passos simples e com caráter mais informal. Sendo o grande objetivo recolher representações distintas para resolver a mesma questão, esta tarefa parece-nos muito adequada. O facto de surgirem representações matemáticas de todos os tipos categorizados permitiu uma reflexão mais profunda sobre as potencialidades de cada tipo de representação, para além do evidente contacto destes estudantes com essas formas diversificadas de pensar e resolver um problema em matemática. A simplicidade desta questão também teve impacto nos episódios argumentativos que se criaram no momento de discussão final. Ao contrário do que se poderia esperar, não se discutiram resultados, respostas corretas ou incorretas. Os estudantes discutiram antes sobre as diferentes estratégias de resolução e sobre diferentes tipos de representação que poderiam aqui ser utilizados, apresentando as suas perspetivas sobre as vantagens de alguns deles. Houve espaço para se identificar a insegurança de vários com a álgebra e se encontrarem percursos de resolução alternativos, mas igualmente formais. Também se debateram pequenos ADRIANA FERREIRA 110 pormenores que podem trazer mais certezas no alcance de uma resposta, como o recurso à adição, se possível, em vez da subtração, ou a organização da informação em esquema, que facilita a visualização e a escolha da operação adequada. O enunciado da segunda questão já tinha características bem distintas das do enunciado da primeira proposta. A dependência algébrica presente na sua formulação condicionou claramente as representações utilizadas pelos estudantes, à semelhança do que se verificou também com a questão quatro. Ao invés de se constatar um predomínio pelas representação mais informais, como aconteceu na primeira questão, nesta foram as representações simbólicas matemáticas do tipo aritmético as mais comuns. Ainda assim, poderia ser de esperar que a par destas também se verificasse um elevado número de estudantes a optar pelas representações algébricas, como a construção de um sistema de duas equações, por exemplo, que quase vai aparecendo à medida que se lê o enunciado. Acredita-se que muitos não o fizeram pelas dificuldades que têm e assumem no cálculo algébrico. Note-se que a taxa de sucesso para os estudantes que recorreram a operações aritméticas ultrapassou os cinquenta por cento e a dos que optaram por representações algébricas é apenas de cerca de trinta e seis por cento, o que confirma as suas dificuldades neste domínio. As dificuldades em contextos algébricos parecem ser também confirmadas pelos estudantes que recorreram a representações mistas, já que cinco dos seis que o fizeram iniciaram com tentativas de formalização do enunciado através da construção de equações. Contudo, as limitações neste âmbito levaramnos a abandonar essas representações e a optar por representações simbólicas matemáticas do tipo aritmético. Tendo em conta as dificuldades que vários estudantes encontraram na resolução desta questão, as situações argumentativas serviram um propósito diferente do apontado para a primeira proposta. Os estudantes iam apresentando as suas formas de pensar a questão ou algumas conclusões simples a que chegaram a partir da leitura do enunciado para se auxiliarem na compreensão do problema e na construção de uma resolução conjunta que considerassem simples e de fácil entendimento para todos. Quando a opção de resolução foi a tentativa-erro, os episódios argumentativos ajudaram a sistematizar as diferentes ideias sugeridas e a organizá-las para apurar uma estratégia mais económica. Neste momento em que se privilegiou a comunicação matemática recolheram-se vários indícios de que, de facto, a resolução de tarefas matemáticas de forma colaborativa pode trazer enormes benefícios para a construção de um conhecimento matemático sólido e estruturado. Esta questão não possibilitou a exploração tão diversificada de tipos de representações matemáticas como aconteceu com a questão anterior. Recorde-se o quadro 14, no qual podemos verificar a insignificante representatividade das representações de caráter informal como as pictóricas (não utilizadas) ou as icónicas (usadas apenas por dois estudantes). Consideramos, portanto, que a complexidade da questão, assim como os traços algébricos presentes no seu enunciado, podem ter dificultado o recurso a tipologias de representação diversas. Na terceira questão conseguimos encontrar mais diversidade de representações, verificando-se todavia o predomínio pelas representações simbólicas matemáticas do tipo aritmético, como já foi referido. Estas foram consideradas por quase todos como uma opção “intuitiva”, “simples” e “muito mais rápida”. A taxa de sucesso dos estudantes que recorreram a estas representações de cerca de oitenta e dois por cento, principalmente quando comparada com as restantes, reitera esta adjetivação. Análise de dados e resultados 111 O enunciado da questão, para além de linguagem corrente, contém uma tabela com dados organizados, sendo que nem todos são essenciais para encontrar a resposta. Esta estatística aparente na representação dos dados pode explicar parte do insucesso nesta tarefa. Apesar de se apresentarem os dados desse modo, era esperado que os estudantes optassem tendencialmente por representações do tipo aritmético, conforme aconteceu. Estas resoluções em poucos passos foram compreendidas por todos, mas as outras representações distintas, principalmente as representações icónicas com recurso à construção de um diagrama de Venn, causaram alguma estranheza. A maioria revelou compreensão, assumindo, no entanto, que não conseguiria construir uma representação similar sem auxílio, considerando que não é facilitadora. Considera-se que é uma tarefa com potencial para o trabalho de exploração de diferentes tipos de representação que se pretendia realizar, por ter permitido colocar os estudantes em contacto com estratégias de resolução que não conseguiriam imaginar para a questão, antecipando, assim, dificuldades futuras que poderiam vir a sentir nomeadamente no contacto com os diagramas de Venn. Mais uma vez constatamos que o momento de discussão foi essencial para os estudantes partilharem diferentes formas de pensar e organizarem e afinarem uma estratégia eficiente de resolução. As situações argumentativas permitiram resolver pequenas dificuldades de alguns estudantes com as sugestões e/ ou esclarecimentos de outros. A questão quatro, conforme já foi referido, também condicionou os tipos de representação apresentados, pela dependência algébrica do enunciado. Só se recolheram representações simbólicas matemáticas do tipo aritmético ou do tipo algébrico, ou representações mistas que combinavam os dois tipos. Foi a questão em que a taxa de sucesso foi mais baixa: apenas cerca de trinta e três por cento dos estudantes conseguiram determinar a resposta certa. Estes resultados também se explicam pelo elevado número de estudantes que não resolveu a questão, deixando em branco ou apenas com pequenas notas, sem qualquer tipo de tentativa de resolução. As representações mais comuns foram as simbólicas matemáticas aritméticas, sendo que no conjunto de estudantes que por elas optaram a taxa de sucesso não alcançou os cinquenta por cento, ficando muito próxima da percentagem de estudantes que tendo optado pelo mesmo tipo de representação não conseguiram concluir a resolução, não tendo apresentado resposta à questão. Por outro lado, nenhum dos estudantes que optou pelas representações simbólicas matemáticas algébricas conseguiu determinar uma resposta. À semelhança do que já se concluiu em questões anteriores, muitos estudantes revelam dificuldades e insegurança em contextos algébricos, o que não lhes permite ter sucesso nas representações deste tipo. Apesar das limitações, é evidente o interesse pela aprendizagem em muitos estudantes, o que se confirma com os episódios argumentativos que ocorreram, através dos quais os estudantes estabelecer importantes relações entre os conhecimentos que possuem e as informações presentes no enunciado da questão para a conseguirem resolver. Em conjunto, encontraram um percurso de resolução que todos compreenderam, apesar de nem todos se mostrarem capazes de o pôr em prática sozinhos. Considera-se uma questão pertinente, que poderia gerar diversos tipos de representação, não só produzidas por diferentes estudantes, mas também por um só estudante, uma vez que teria de respeitar duas condições (as duas pistas apontadas no enunciado), podendo cumprir uma delas utilizando um tipo de representação e a outro com outro tipo. Contudo, as ADRIANA FERREIRA 112 dificuldades de um número significativo de estudantes não permitiram a recolha desta diversidade. Importa, por fim, mencionar que, tendo em conta o tipo de questão, se esperavam essencialmente representações simbólicas matemáticas. É evidente que estes estudantes sentem mais conforto e segurança recorrendo às do tipo aritmético ao invés das do tipo algébrico, o que se pode concluir pela sua utilização predominante, pela maior taxa de sucesso e pelo discurso dos próprios estudantes que assumem, muitas vezes, incapacidade de pensar em contextos algébricos que exigem abstração e recurso a incógnitas. No quadro 17 apresentam-se os totais relativos aos tipos de representações matemáticas utilizados pelos estudantes para responder às quatro questões, bem como o sucesso/ insucesso de cada um deles. Quadro 17. Tipos de representação utilizados para responder às quatro questões e seu sucesso/ insucesso (elaboração própria) Representação Resposta correta Resposta incorreta Sem resposta Total Taxa de êxito Pictórica 3 0 0 3 100 % Icónica 38 1 3 42 ≈ 90 % Simbólica verbal 2 1 0 3 ≈ 67 % Simbólica matemática aritmética 88 20 30 138 ≈ 64 % algébrica 5 3 12 20 25 % Mista 23 6 3 32 ≈ 72 % Sem representação Só resposta 4 6 ----- 10 40 % Em branco ----- ----- 24 24 ----- Total 163 37 72 272 60 % O destaque vai evidentemente para as representações simbólicas matemáticas do tipo aritmético, já que são as mais privilegiadas pelos estudantes na resolução destas tarefas, correspondendo a mais de metade das ocorrências. No polo oposto surgem as representações pictóricas a par das simbólicas verbais. Note-se que, ainda que pontualmente, estes dois tipos de representação também foram recurso dos estudantes em híbridos com outros tipos, naquilo que designamos de representações mistas. No que concerne à taxa de êxito, as representações pictóricas surgem com cem por cento, o que pode ser um valor desajustado tendo em conta o reduzido número de utilizações deste tipo de representação. Também se deve considerar que estas apareceram na situação problema mais simples, que implicava menos conhecimento matemático. De seguida, com noventa por cento de êxito, surgem as representações icónicas, através das quais os estudantes revelam segurança. Ainda assim, convém lembrar que a grande maioria destas representações foi recurso para responder à primeira questão, aquela que tinha o grau de dificuldade mais reduzido. Parece-nos também relevante atentar na percentagem de êxito das representações mistas, muito próxima dos três quartos. Neste tipo de representações podemos ter essencialmente dois cenários: estudantes que iniciaram a tarefa com uma representação e sentiram necessidade de a alterar, porque se afigurava demasiado formal ou porque não estava a permitir-lhes determinar um resultado; estudantes que complementaram um tipo de representação com outra, ora para verificar o resultado, ora para deixar claro o seu processo de resolução e de raciocínio (não só para quem corrige, mas também para eles próprios, como orientação). Em qualquer um dos casos, esta combinação de diferentes tipos de representações para resolver um problema parece ser uma boa alternativa para alcançar o sucesso. Análise de dados e resultados 113 Por outro lado, as representações simbólicas matemáticas do tipo algébrico aparecem como as que conduzem a uma maior taxa de insucesso. De facto, o recurso a este tipo de representação que exige mais formalismo refletiu-se numa menor eficácia na resolução das tarefas matemáticas. Como já foi referido, muitos destes estudantes evidenciam lacunas no domínio da álgebra e assumem-nas, afirmando que a falta de conhecimento e o fracasso em situações passadas não lhes permite recorrer a este tipo de representações com segurança nem grau de certeza. No geral, este baixo desempenho dos estudantes na resolução de tarefas simples que poderiam eles próprios apresentar aos seus alunos já no papel de professores vai ao encontro das conclusões de vários estudos que revelam que os futuros professores apresentam lacunas no campo do conhecimento matemático (Ponte & Chapman, 2006; Baumert et al., 2010; Fernandez & Zilliox, 2011; Vieira et al., 2022). Autores como Stylianides et al. (2013) e Tatto (2018) explicam que estas dificuldades são mais acentuadas em futuros professores que lecionarão nos primeiros anos de escolaridade, ou seja, no Ensino Básico, como é o caso dos participantes nesta investigação. Paralelamente, conclui-se que os estudantes conhecem diversos tipos de representações, mas nem todos se sentem confortáveis com o seu uso, sendo importante lembrar que assumem estranheza perante alguns tipos de representação. Esta questão pode se preocupante na medida em que estes estudantes podem vir a sentir dificuldades em antecipar estratégias de resolução dos seus alunos e em compreender e aferir sobre a validade de representações apresentadas que difiram das que pensaram ou foram capazes de produzir, o que já é reiterado por Martins et al. (2023). Tudo isto, parece revelador da importância de incluir e até priorizar nos programas de formação inicial de professores atividades que auxiliem na construção bem como na compreensão de diferentes tipos de representações matemáticas na resolução de tarefas. Na mesma linha de ideias, parece-nos igualmente importante criar momentos que estimulem o raciocínio matemático, que ampliem a compreensão de processos de raciocínio e que possibilitem o seu desenvolvimento. Desfitri (2018) menciona a importância de explorar diferentes formas de trabalhar esta capacidade transversal na formação inicial de professores e Mendes et al. (2022) referem que é uma necessidade promover atividades que facilitem o seu entendimento e evolução. Parece-nos que as situações argumentativas promovidas no final da sessão em que os estudantes responderam a este conjunto de questões pode se uma boa aposta para o fazer. A discussão de ideias, de formas de representação, de processos e de resoluções distintas, o questionamento por parte dos pares, a verificação conjunta, a refutação e explicação foram verdadeiras oportunidades para trabalhar o raciocínio matemático no geral e a argumentação em particular e para desenvolver nestes estudantes um conhecimento matemático mais sustentado e aprofundado. Um aspeto amplamente consensual nos diferentes estudos sobre o conhecimento matemático na formação inicial de professores com o qual concordamos é que as dificuldades que os futuros professores evidenciam não seriam necessariamente resolvidas com a criação de mais disciplinas na área da matemática (Viera et al., 2022). O que parece ser essencial é criar oportunidades nas unidades curriculares já existentes para que os estudantes possam resolver problemas práticos passíveis de serem aplicados por eles próprios no futuro enquanto professores, experimentando diferentes formas de representação e diversos processos de resolução e procurando explicá-los aos pares, num momento que privilegia a comunicação ADRIANA FERREIRA 114 matemática e a argumentação com enorme potencial para o desenvolvimento de diferentes formas de raciocinar em matemática. 4.2 ANÁLISE DAS TAREFAS COLABORATIVAS Neste subcapítulo encontra-se a análise das quatro tarefas realizadas colaborativamente pelos estudantes ao longo de dois meses. Recorde-se que cada tarefa foi resolvida numa aula de cerca de duas horas, dividida em dois momentos: realização da tarefa matemática em pequeno grupo e discussão coletiva de resoluções. É também essencial ter em conta que os grupos mantiveram praticamente conservada a sua constituição, excetuando-se pequenas situações devido à ausência de um ou outro estudante. A análise está organizada por tarefa por forma a facilitar a organização dos dados e a sua leitura. À semelhança do que se verificou no subcapítulo anterior, no final da análise das quatro tarefas surge um apartado de discussão geral dos resultados obtidos com este instrumento de recolha de dados. 4.2.1 Tarefa 1 Esta primeira tarefa era claramente a que apresentava menor grau de dificuldade, ideia também apoiada pelos estudantes no final da implementação do conjunto de todas as tarefas. Prova disso é o sucesso obtido na sua resolução, considerando que todos os grupos conseguiram determinar a resposta certa para a questão colocada na tarefa. No que diz respeito ao tipo de representações utilizadas, verificou-se alguma diversidade, já que se registaram representações simbólicas matemáticas do tipo aritmético e representações mistas, nas quais se apresentaram híbridos entre representações pictóricas e aritméticas; entre representações icónicas e aritméticas e entre representações icónicas e algébricas. Dos vinte grupos que se formaram para dar resposta a esta tarefa, apenas dois deles apresentaram unicamente representações simbólicas matemáticas aritméticas. Ambos resolveram a tarefa através de duas operações simples, já que começaram por adicionar a distância percorrida pelo Sérgio com a distância percorrida pelo Diogo e, posteriormente, subtraíram esse valor à distância que os separava inicialmente. O que distingue estes dois grupos é o facto de um deles ter recorrido a uma terceira operação, apenas para verificação do resultado. Para tal, adicionaram as duas distâncias percorridas pelos dois amigos fornecidas no enunciado e a distância a que se encontravam um do outro depois de as percorrerem (valor obtido através da resolução já referida), certificando-se que o total eram os mil e trezentos metros apontados como a distância entre as casas um do outro. Os restantes grupos recorreram representações mistas, tendo todos eles iniciado a resolução com uma espécie de esquema para organizar a informação apresentada no enunciado da tarefa e posteriormente avançado para representações aritméticas ou algébricas, estas últimas bem menos comuns. Mas comecemos pelo primeiro passo destes grupos: a organização da informação do enunciado. Metade destes grupos (nove, a saber) recorreu a representações pictóricas e a outra metade recorreu a representações icónicas para o fazer. Os primeiros tiveram a necessidade de representar a rua onde vivem os dois amigos e uma casa ou um menino em cada extremidade (confrontar com figuras 46, 47 e 48). O passo seguinte foi de um dos três tipos que a seguir se identificam: Análise de dados e resultados 121 Fig. 52. Representação icónica B (elaboração própria) necessários noventa minutos (40 + 35 + 15 = 90). Todavia, este erro que conseguimos identificar através da análise da figura 51 não teve impacto na resolução da tarefa. Já o grupo que apresentou a resolução presente na figura 52, depois de organizar os pratos por ordem decrescente de tempo de confeção, construiu uma tabela, na qual na primeira coluna registaram todas as combinações possíveis de confeção de pratos dois a dois, ignorando a ordem pela qual eram confecionados (isto é, cozinhar primeiro P1e, de seguida, P2, é o mesmo que os cozinhar pela ordem contrária); na coluna seguinte colocaram os três pratos restantes. A terceira coluna contém registo dos tempos de confeção das combinações presentes nas primeira e segunda colunas, sendo que foi dado destaque, através do sublinhado, ao maior tempo de confeção. Este valor surge na quarta e última coluna, como “tempo final”, isto é, o menor tempo em que é possível cozinhar os cinco pratos, de acordo com as condições definidas em cada linha. Na figura 52 não surgem os cálculos auxiliares que em algumas situações os elementos deste grupo necessitaram de registar, alguns horizontais outros em algoritmo, para determinar os tempos de confeção. Apesar de não constar na tarefa a unidade de tempo em que deve ser apresentada a resposta, este grupo fez a conversão do valor em minutos para a forma complexa, fazendo corresponder setenta e cinco minutos a uma hora e quinze minutos, à semelhança do que fez o grupo cuja resolução foi analisada anteriormente. As representações icónicas combinadas com as simbólicas matemáticas aritméticas foram a escolha de um outro grupo. Este começou por fazer aquilo que parece ser um diagrama em árvore (figura 53), com cinco ramos, registando na extremidade de cada um deles as letras A, B, C, D e E que, segundo os elementos do grupo, correspondiam aos cinco pratos a confecionar; no ramo também incluíram a informação da duração de confeção de cada prato. ADRIANA FERREIRA 122 Fig. 53. Representação icónica incompleta (1.ª tentativa) (elaboração própria) Fig. 54. Representação icónica incompleta (2.ª tentativa) (elaboração própria) Depois de terminar esta primeira tentativa, tal e qual como ela está na figura 53, os elementos do grupo iniciaram uma fase de debate: Estudante AH: Está muito bem. E agora? Estudante AI: Não sei. Deixa pensar. Tens alguma ideia, tu, é? Estudante AH: Não, mas acho que isto não tem saída. É que temos cinco alternativas para o fogão um e agora à frente querias colocar o fogão dois, era? Não faz sentido, porque vamos cozinhar mais do que um prato no fogão um. Estudante AI: Só se fizermos um gráfico [diagrama] destes para o fogão um e outro para o fogão dois e aqui [aponta para “fogão 1”] fica primeiro prato e depois à frente segundo prato. [...] [Enquanto constroem uma segunda tentativa, presente na figura 54] Estudante AI: Esquece. Isto assim nunca mais vai acabar, porque dá muitas possibilidades. Estudante AH: E agora ainda precisamos do terceiro prato. Ou não? Eu acho que vamos fazer dois pratos num fogão e três pratos no outro. Estudante AI: Ah, mas espera, estamos a fazer coisas a mais. Tens aqui o A e o B e depois tens o B e o A, que é a mesma coisa. Estudante AH: Isto está muito confuso. Vamos pensar noutra maneira! Agora tínhamos de fazer outro para o fogão dois, mas já não podia ter as letras que fizemos, ou os pratos que fizemos no fogão um. Esquece. De facto, apesar de conseguirem organizar algumas ideias e retirar conclusões acertadas, o diagrama em árvore que o grupo tentava construir trazia-lhes mais dúvidas do que certezas, tornando-se um modo de representação desadequado para a tarefa em questão. Destaque-se a persistência, principalmente do estudante AI, que não queria desistir deste tipo de Análise de dados e resultados 123 representação sem tentar. No entanto, é também de valorizar a capacidade que todos demonstraram em testar e perceber que eventualmente este não era o tipo de representação mais conveniente tendo em conta a informação fornecida e o objetivo da tarefa. A partir daqui o grupo optou por uma estratégia diferente, iniciando tentativas de combinação de confeção dos cinco pratos em dois grupos, através de representações simbólicas matemáticas do tipo aritmético, com construção de diversos algoritmos da adição ora com duas parcelas ora com três. Conseguiram determinar a resposta certa, embora não tenham testado todas as combinações possíveis. Para além dos três grupos já analisados, apenas mais um recorreu a representações mistas, tendo intercalado representações do tipo simbólico matemático aritmético com representações do tipo simbólico verbal. Começaram por determinar o tempo total de confeção dos cinco pratos e, posteriormente, dividiram esse valor por dois, recorrendo ao algoritmo usual da adição e ao da divisão. Partindo dos valores determinados (145 e 72,5) os estudantes elaboraram uma espécie de composição matemática na qual se podia ler: Percebemos que o menor tempo para fazer estes cinco pratos num fogão que tem dois bicos é 72,5 minutos. Como não podemos trocar os tachos de fogão, não pode ser este tempo, então pensamos que tem de ser tempos muito próximos deste. O ideal era dar 70 e 75 porque são os dois mais próximos do 72,5. O 72 e o 73 também não dão nem o 71 e o 74, porque o tempo que demora são múltiplos de cinco e estes números não são. O 70 e o 75 dá se pusermos num fogão os pratos que demoram 40 minutos e 35 minutos e no outro fogão os pratos de 45 minutos, de 15 e de 10. Apesar de alguma desorganização no discurso, estes estudantes recorrem ao conceito de múltiplo, neste caso, múltiplo de cinco, para determinar a resposta. Revelaram uma estratégia única que foi amplamente discutida no momento final de reflexão sobre diferentes representações, momento que será analisado nas próximas páginas. Concentremo-nos agora num grupo que recorreu apenas a representações simbólicas verbais para resolver a tarefa. O grupo em causa definiu que teriam de ser cozinhados os pratos por ordem decrescente de tempo de confeção, motivo pelo qual 1.º vamos cozinhar os pratos que demoram mais tempo, os de 45 e 40 minutos. Quando o prato de 40 min. estiver pronto coloca-se o seguinte que demora mais tempo, ou seja o de 35 min., neste bico temos um total de 75 min. Quando o de 45 min. terminar colocar o de 15 min. e por fim o de 10 min. Este foi o único registo do grupo que conseguiu determinar a resposta acertada, embora tenha, no momento de discussão final, ficado na dúvida se esta estratégia teria resultado com outros tempos de confeção. Relativamente aos restantes grupos, todos utilizaram apenas representações simbólicas matemáticas do tipo aritmético, embora se consigam identificar algumas subcategorias. A maior parte dos grupos que optou por este tipo de representações seguiu uma lógica de tentativa-erro, experimentando várias combinações dos cinco tempos em dois grupos, com recurso ao algoritmo da adição. Apenas um grupo apresentou cálculos para seis combinações/ tentativas, deixando de parte as combinações que implicavam colocar no bico do fogão que ia ADRIANA FERREIRA 124 Fig. 55. Representação aritmética com erros (elaboração própria) cozinhar somente dois pratos o prato mais rápido de confecionar (dez minutos), explicando que, sendo de célere confeção, deveria ser cozinhado no bico do fogão que confecionasse mais pratos. Os restantes apresentaram entre uma e três tentativas, importando referir que se foram registando em praticamente todos estes grupos verbalizações que demonstravam alguma orientação das tentativas a realizar, como “vamos juntar primeiro os dois pratos mais demorados [...] depois o mais com um intermédio” ou “juntamos estes primeiro e depois fomos ajustando como se fosse os pratos de uma balança que tem de ficar equilibrada”. Este último argumento, talvez pela sua natureza tão visual, acabou por convencer muitos estudantes no momento de discussão final que se preocupavam com a questão de ter a certeza que realmente não existiria outra resposta com um tempo ainda menor. Ainda sobre este conjunto de grupos registaram-se apenas dois que não conseguiram determinar o menor tempo necessário para confecionar os cinco pratos, conforme sugeria no enunciado da tarefa. É também de referir que dois grupos apresentaram a resposta na forma complexa, isto é, em horas e em minutos, e fizeram-no corretamente, sendo que os restantes apresentaram a resposta em minutos. Para além da tentativa-erro, tivemos também dois grupos que se orientaram pela metade do tempo total de confeção dos cinco pratos, à semelhança do grupo que combinou representações matemáticas aritméticas com simbólicas, já analisado anteriormente. Assim, estes começaram por determinar o tempo total de confeção e a sua metade e, a partir daí, equilibraram os tempos para ficarem o mais próximo possível da referida metade. Apesar dos dois terem determinado a resposta certa, um dos grupos apresenta alguns erros matemáticos numa primeira fase em que tentam trabalhar com os tempos na forma complexa, em horas e em minutos. Analisemos a figura 55 que dá conta desses lapsos. Começamos por nos aperceber desde logo de um erro que já foi mencionado anteriormente a propósito de outras tarefas que está relacionado com a questão de querer realizar a adição iterada, mas não representar todas as parcelas desde logo na expressão numérica, mas ir acrescentando uma parcela de cada vez à medida que se vai calculando a soma das duas parcelas anteriores, o que acaba por conduzir à representação de uma igualdade que não o é (45 + 40 = 85 + 15, por exemplo). Posto isto, os estudantes do grupo pretendem representar os cento e quarenta e cinco minutos totais em horas e minutos, recorrendo, para tal, à decomposição desse valor em parcelas de sessenta minutos, que fazem, depois, corresponder a uma hora. No entanto, note-se que voltam a cometer o mesmo lapso representando uma não igualdade. Também se verifica um lapso na identificação da unidade de tempo já nos passos finais desta representação (“72,5 h”, no lugar de “72,5 min”), mas que acreditamos ter sido por distração, uma vez que a unidade de tempo surge corretamente no passo seguinte. O outro erro que observamos aqui está relacionado com a base sexagesimal do tempo, no que diz respeito às horas, aos minutos e aos segundos. O grupo faz corresponder meio minuto a cinco segundos e não a trinta. No entanto, como foi já mencionado, o grupo acabou por determinar a Análise de dados e resultados 125 resposta certa, uma vez que não recorreu a esta representação na forma complexa, mas sim à da forma incomplexa, para orientar a sua procura pela resposta. Por último, registaram-se dois grupos que, recorrendo apenas a representações simbólicas matemáticas aritméticas, consideraram a hipótese de a tarefa ser resolvida através do conceito de máximo divisor comum. Um destes grupos limitou-se a fazer o registo “m.d.c.(40,15,35,10,45)”, acabando por não determinar o máximo divisor comum nem realizar mais nenhum cálculo nesse sentido. Seguiram para um conjunto de três tentativas que os levaram à resposta certa. O outro grupo, que também determinou a resposta do mesmo modo, foi mais longe na primeira estratégia, já que apresentou a decomposição em fatores primos dos cinco tempos de confeção fornecidos no enunciado. O quadro 19 que se apresenta de seguida contém os tipos de representações utilizados para responder a esta segunda tarefa, sintetizando a informação explanada anteriormente de análise das representações. Quadro 19. Tipos de representações utilizados para responder à tarefa 2 (elaboração própria) Tipo de representação Resposta correta Resposta incorreta Total Simbólica verbal 1 0 1 Simbólica matemática aritmética 14 2 16 Mista Icónica + Simbólica matemática aritmética 3 0 3 Simbólica matemática aritmética + Simbólica verbal 1 0 1 Total 19 2 21 No decorrer desta tarefa, foram registadas diversas situações argumentativas relevantes, sendo agora importante debruçarmo-nos sobre uma delas. O diálogo que se segue ocorreu no momento de discussão final entre estudantes de grupos diferentes: Estudante AJ: Eu só não sei é como é que posso garantir que não há uma resposta melhor, professora. Estudante AK: Ha, nós conseguimos garantir, porque escrevemos todas as maneiras possíveis na tabela e escolhemos a melhor. [As representações do tipo icónico já tinham sido projetadas e analisadas] Estudante AJ: Sim, eu percebi a vossa ideia. Mas quando nós estávamos a resolver por tentativas não nos lembramos disso e a nossa dúvida era essa... Será que há alguma resposta ainda melhor? Estudante AL: Nós juntamos os tempos todos e dividimos por dois. Deu... Já não sei... Mas depois só tivemos de ver uma tentativa... Já sei, deu setenta e dois e meio. Depois combinamos para que os tempos dos dois fogões fosse perto do setenta e dois e meio. Foi fácil: escolhemos o setenta que é o múltiplo de cinco abaixo de setenta e dois virgula cinco e o setenta e cinco que era o múltiplo de cinco acima. Depois foi só juntar os tempos para dar esses números, foi logo à primeira. [...] Estudante AM: Porquê múltiplos de cinco? Estudante AL: Como os números... Estudante AM: [interrompendo] Já sei... Porque o quarenta, o quarenta e cinco, o dez, por aí, são múltiplos de cinco. ADRIANA FERREIRA 126 Fig. 56. Situação argumentativa G (elaboração própria) Estudante AL: Sim... E a soma de dois ou três desses nunca poderia dar setenta e dois, por exemplo. Começamos por resumir este episódio na situação argumentativa que apresentamos na figura 56. Este diálogo foi realmente muito profícuo, uma vez que o estudante AL procurou explicar as escolhas do seu grupo, tendo repetido a ideia ainda uma outra vez, de maneira a chegar a todos os estudantes da turma. Na verdade, esta estratégia de resolução e os tipos de representação utilizados suscitaram a curiosidade de muitos, que demonstraram interesse em compreender o raciocínio. O mais difícil não foi explicar o motivo pelo qual se optou por determinar a metade do tempo total ou a necessidade dos tempos de cada bico do fogão terem de ser o mais próximos possível desse valor. A grande explicação teve de ser acerca da escolha dos tempos setenta e setenta e cinco e não de outros como o setenta e dois e o setenta e três. No entanto, o estudante AL recorreu muito bem a um dos teoremas a propósito dos conceitos de múltiplo e de divisor, lembrando que a soma de dois múltiplos de um número né ainda um múltiplo de n. Assim, se os cinco tempos de confeção eram múltiplos de cinco, qualquer combinação desses tempos em qualquer dos dois bicos do fogão teria de ser um múltiplo de cinco. Note-se que no decorrer da sua explicação o estudante AL recorre a uma série de afirmações, encadeadas entre si, que o ajudam a explanar a estratégia do grupo, sem necessidade de recorrer a qualquer tipo de representação, pelo que este episódio se enquadra num caráter narrativo. Este diálogo sobre diferentes formas de pensar a tarefa continuou e consideramos pertinente analisar ainda um outro excerto: Estudante AN: Nós fizemos de outra maneira e também temos a resposta certa sem ter de escrever as combinações todas. Estudante AO: Nós não fizemos combinação nenhuma, chegamos logo à resposta certa. Análise de dados e resultados 127 Fig. 57. Representação no quadro para refutar AN e AO (elaboração própria) Fig. 58. Situação argumentativa H (elaboração própria) Estudante AN: Pensamos que tinham de ser cozinhados primeiro os pratos mais demorados. Sempre que acabasse um colocávamos o seguinte mais demorado. Só isso. Estudante AO: [perante algumas expressões de incompreensão] Imaginem que é o fogão A e o fogão B. Colocamos no A o prato de quarenta e cinco minutos e no B o de quarenta, porque são os pratos mais demorados. O prato do fogão B vai acabar primeiro, por isso colocamos lá o prato de trinta e cinco minutos. Entretanto acaba o primeiro prato do outro fogão e colocamos lá o de quinze e ainda dá para colocar nesse o de dez sem o fogão B ter acabado. Estudante AP: E isso dá certo? Estudante AO: Sim, chegamos à mesma resposta que vocês. Estudante AN: Mas muito mais rápido e sem contas quase. Estudante AQ: Mas pode não dar certo sempre. Se fosse outros números. Estudante AN: Dá na mesma. Se não também não dava aqui. [...] Estudante AP: Não dá, foi uma sorte. [...] Estudante AP: [enquanto representa no quadro o registo da figura 57] Vês, seguindo a vossa ideia este [aponta para os registos do lado esquerdo] tinha de ser o melhor tempo, mas se eu trocar o doze para o segundo fogão e o treze para o primeiro consigo reduzir o tempo. Na figura 58, abaixo apresentada, surge a referida situação argumentativa de uma forma resumida: ADRIANA FERREIRA 128 Os estudantes AP e AQ desconfiam da validade da estratégia definida pelos colegas de outro grupo, acreditando que confecionar os pratos por ordem decrescente de tempo poderá ser aparentemente uma estratégia adequada, mas não ser eficiente e aplicável em quaisquer que sejam os tempos de confeção. O estudante AP vai mais longe e, enquanto decorre a discussão, começa a criar exemplos concretos, inventando outros tempos de confeção e aplicando o raciocínio dos colegas. Não demorou muito tempo a encontrar um contraexemplo e a exclamar “foi uma sorte”. Pediu para ir ao quadro, onde registou cinco tempos de confeção que inventara e resolveu a tarefa seguindo a estratégia apresentada pelas estudantes AN e AO. Ao lado apresentou uma outra possibilidade de confeção que se revelou mais rápida. Assim, o estudante AP consegue refutar a hipótese levantada pelo grupo, defendendo que não é verdade que se se cozinharem os pratos por ordem decrescente de tempo de confeção se consiga sempre um menor período de tempo para finalizar todos os pratos, justificando o seu argumento com a criação de um caso concreto. Importa realçar a importância do caráter diagramático que este argumento acabou por assumir, ao contrário do primeiro analisado para esta mesma tarefa, já que só recorrendo ao papel, à invenção, representação e experimentação de casos concretos e à sua apresentação ao grande grupo no quadro é que o estudante AP conseguiu clarificar a sua posição de forma fundamentada. Por fim, refira-se que os dois episódios argumentativos aqui apresentados se relacionam com o tópico dos números e operações, embora o primeiro esteja relacionado com a multiplicação e o conceito de múltiplo e suas propriedades e este último se concentre nas operações adição e subtração. 4.2.3 Tarefa 3 Esta terceira tarefa sugere no enunciado a criação de uma conjetura e respetiva prova, pelo que a maior parte dos vinte grupos que procuraram resolvê-la recorreram a representações simbólicas matemáticas algébricas, ainda que muitos deles tenham combinado este tipo de representações com outras, ora com representações icónicas ora com representações aritméticas. Os grupos que não o fizeram, apresentaram representações mistas, nas quais surgem híbridos de representações icónicas, simbólicas verbais e/ ou simbólicas matemáticas aritméticas. Importa começar por referir o primeiro passo dado pelos grupos que consiste na representação em linguagem simbólica da informação presente no enunciado da tarefa. Onze grupos começaram por escrever a sucessão sugerida na forma numérica, oito fizeram-no através de uma representação icónica e um grupo construiu uma tabela com os dois tipos de representação, conforme mostra a figura 59. Análise de dados e resultados 129 Fig. 59. Representação icónica e numérica da sucessão (elaboração própria) Fig. 60. Representação aritmética de confirmação (elaboração própria) Na figura 59, para além da informação disponibilizada no enunciado, relativa àquilo que são os primeiros termos de uma sucessão, também já constam alguns registos que refletem as conclusões do grupo acerca do modo como se pode determinar o número de berlindes de um estojo, tendo em conta o número de berlindes do estojo anterior. Estes estudantes registaram as informações “+1”, “+2”, “+3” e “+4”, o que demonstra que perceberam que do primeiro estojo para o segundo se acrescentou um berlinde, do segundo estojo para o terceiro se adicionaram dois berlindes, do terceiro para o quarto estojo se juntaram três berlindes e que, por isso, do quarto para o quinto estojo se deverão colocar mais quatro berlindes. Esta conclusão foi reforçada pelo registo que fizeram de seguida (figura 60). Apesar do registo evidenciar o entendimento da sucessão e da sua definição por recorrência, a verdade é que os elementos do grupo não avançaram para a formalização, nem através da definição da sucessão por recorrência nem através do termo geral da sucessão. Em vez disso, optaram por escrever em linguagem corrente a lei de formação da sucessão, registando O primeiro estojo tem apenas um berlinde. Depois cada um dos estojos seguintes tem o número de berlindes do estojo anterior mais a ordem desse mesmo estojo. Por isso o quinto estojo tem o número de berlindes do quarto estojo (sete berlindes) mais a ordem desse estojo anterior (quatro), ou seja tem 11 berlindes (7+4). Note-se que esta representação simbólica verbal está muito ligada ao contexto problema sugerido, acabando por se tornar muito concreta e, por conseguinte, revelando pouco nível de abstração. ADRIANA FERREIRA 130 Fig. 61. Representação aritmética em função do primeiro termo (elaboração própria) Este grupo recorreu, então, a representações icónicas, simbólicas matemáticas aritméticas e simbólicas verbais. Encontramos muitas semelhanças ao nível do raciocínio com os quatro grupos que apresentaram representações mistas de icónicas com simbólicas verbais e com os dois grupos que realizaram um híbrido entre representações aritméticas e simbólicas verbais. Os quatro primeiros, após a representação gráfica e mais visual da sucessão através da representação das pintinhas que simbolizam os berlindes dentro de caixas (representação similar à segunda linha da tabela presente na figura 59), procuraram, uns de uma forma mais completa do que outros, uns com uma linguagem mais formal do que outros, escrever a lei de formação da sucessão, à semelhança do que vimos no último passo do primeiro grupo analisado. Importa destacar a representação simbólica verbal produzida por um dos grupos, que focou a sua atenção na diferença entre o número de berlindes de dois estojos consecutivos. Este grupo escreveu A diferença entre o segundo termo e o primeiro termo é a ordem do primeiro ( 112  ). A diferença entre o terceiro termo e o segundo termo é a ordem do segundo ( 224  ). Percebemos que a diferença entre quaisquer dois termos seguidos é sempre a ordem do termo menor desses dois. Apesar desta definição nos dar informação da diferença entre quaisquer dois termos consecutivos, o que acaba por se revelar pouco pertinente, porque para tal precisamos de conhecer os termos, notamos a utilização de vocabulário específico da matemática. Para além disso, é evidente um maior nível de abstração, já que o grupo consegue desligar-se do contexto do enunciado (os berlindes dentro de estojos) e falar em termos e ordem dos termos, o que contrasta com outras leis de formação apresentadas por outros grupos como “Para descobrir o número de berlindes de um estojo soma-se o número do estojo anterior com o número de berlindes desse mesmo estojo”. Neste aspeto, o grupo que apresenta uma lei de formação mais completa e distanciada do contexto problema é um dos dois que combinaram representações aritméticas com simbólicas verbais. Ambos, depois de representar a sucessão na sua forma numérica, estudaram regularidades, um deles com uma organização semelhante à apresentada na figura 60, na qual vão determinando o termo seguinte através do termo anterior e o outro que o faz sempre tendo em consideração o primeiro termo, conforme consta na figura seguinte (figura 61). Esta representação acabou por não ajudar os elementos deste grupo a avançar, uma vez que, segundo eles, encontraram “outro padrão que também aumenta de termo para termo”. Análise de dados e resultados 137 representação icónica, por organizar os dados de uma forma esquemática e abstrata, que permite aos estudantes refletir sobre diferentes possibilidades de resolução da tarefa. As representações mais comuns na resolução desta quarta tarefa são do tipo simbólico matemático aritmético. Foram dez os grupos que recorreram somente a representações desta categoria, sendo que um deles não conseguiu determinar qualquer resposta, dois encontraram apenas uma solução e os restantes foram bem sucedidos. Em relação ao grupo que não conseguiu encontrar resposta para a tarefa, pode afirmar-se que se limitou a realizar a mesma experiência que a Isa, pensando em números constituídos por três algarismos de forma aleatória e sem critério, e experimentando, por forma a verificar se cumpriam as indicações fornecidas no enunciado. As tentativas foram várias, mas sem sucesso. Era um grupo calmo e com pouca iniciativa, pelo que seguiram a primeira sugestão apresentada por um dos seus elementos de ir experimentando diferentes dividendos e não colocaram a hipótese de outras estratégias para a resolução da tarefa. Os outros nove grupos entenderam que teriam de analisar os dados fornecidos do fim para o início, começando por pensar na terceira divisão, cujo resto era zero. Rapidamente se aperceberam que o dividendo dessa divisão poderia ser dez, pelo que aplicaram a identidade fundamental da divisão duas vezes, primeiro para descobrir o dividendo da segunda divisão e depois para desvendar o dividendo da primeira divisão, valor que se pretendia determinar. Dois grupos ficaram por aqui, mas os restantes compreenderam que poderia ser outro múltiplo de dez o dividendo da última divisão, pelo que aplicaram o mesmo raciocínio para o dividendo igual a vinte. Apenas dois grupos precisaram de verificar com o trinta para se certificarem que, neste caso, o primeiro dividendo, a resposta que se procurava, já não era um numeral constituído por três algarismos, mas sim por quatro. Nos restantes ouvia-se comentar “não vale a pena” ou “se subiu de 435 para 835, com o 30 já vai dar com quatro algarismos de certeza”. Concentremo-nos agora num grupo que iniciou a resolução com uma estratégia, mas a alterou durante o processo. Começaram por experimentar escolher dividendos de um modo aleatório e fazer a verificação. Repetiram o modelo variadas vezes, sempre sem sucesso. A certa altura um dos elementos do grupo exclama: Estudante AA: Assim nunca mais saímos daqui. Estudante AB: Calma, temos de experimentar. Estudante AC: Ela tem razão. Pode ser qualquer número entre 100 e 999. São muitas possibilidades. Nem dá para experimentar com todos. Posto isto, um estudante sugere que se utilizem as incógnitas, pelo que começam a formalizar a questão, recorrendo à identidade fundamental da divisão. A ideia do grupo era deixar de ter quatro valores desconhecidos, procurando escrevê-los todos com recurso à mesma incógnita. Definiram que yseria o quociente da primeira divisão e, daí, o dividendo era 8y+ 3. No entanto, de seguida, confundiram-se e passaram a assumir este valor como o quociente, o que comprometeu os passos seguintes. Pouco tempo depois, um dos elementos do grupo, que já analisava uma representação similar à presente na figura 70 há algum tempo, exclamou, entusiasmado: “Já sei!! Dez a dividir por dez dá resto zero! Agora é só andar para trás”. O mesmo elemento do grupo ainda acrescentou, mais tarde: “Também funciona com o 20!”. Este grupo iniciou com representações do tipo aritmético, passou para uma tentativa de formalização com recurso a representações do tipo simbólico matemático algébrico e acabou por determinar as respostas voltando às representações aritméticas. ADRIANA FERREIRA 138 Fig. 71. Sistema de três equações (elaboração própria) Fig. 72. Organização dos dados do enunciado (elaboração própria) Houve ainda mais um grupo que recorreu a uma representação mista, começando com álgebra formal e depois procurando simplificar para a aritmética. Este grupo inicialmente construiu um sistema de três equações, nas quais surgiam um total de quatro incógnitas, conforme consta na figura 71. Não conseguindo avançar mais a partir daqui e afirmando “Isto é muito difícil. Com letras não vamos lá!”, os elementos do grupo começaram a estudar hipóteses com recurso à identidade fundamental da divisão e rapidamente perceberam que o problema seria resolvido do fim para o início, substituindo o dividendo da última divisão por um múltiplo de dez. Os nove grupos restantes apresentaram apenas representações simbólicas matemáticas do tipo algébrico, sendo que quatro deles não conseguiram apresentar resposta para a tarefa e os restantes apresentaram as duas respostas acertadas. Relativamente aos primeiros, verificaramse duas situações: (i) alguns erros pelo percurso que invalidaram as estratégias adotadas e (ii) análise incompleta da informação veiculada no enunciado da tarefa. Um destes grupos conseguiu organizar bem a informação, apresentando o esquema da figura 70 e, de seguida, as expressões da figura 72. Os elementos deste grupo não conseguiram, no entanto, tirar proveito desta representação para escrever q1em função de q2e, depois, D em função de q1. Um outro grupo deste conjunto, fez este passo corretamente, registando uma expressão similar a D= 400q3+ 35, embora depois não tenha conseguido ligar a expressão gerada com o facto de o dividendo ter de ser um numeral constituído por três algarismo. Análise de dados e resultados 139 Fig. 73. Inequação que traduz o enunciado (elaboração própria) Por fim, analisemos os grupos que conseguiram apresentar as respostas corretas recorrendo a representações simbólicas matemáticas do tipo algébrico. Os cinco grupos que seguiram por esta via chegaram à expressão simplificada do valor que se pretendia determinar (D= 400q3+ 35). De seguida, quatro dos grupos definiram hipóteses para o valor de q3e verificaram se o dividendo ficaria um numeral constituído por três algarismos. Isto só acontecia quando q3assumia os valores um e dois, originando os dividendos quatrocentos e trinta e cinco e oitocentos e trinta e cinco. Importa referir que apenas dois dos grupos fizeram a verificação para q3igual a zero, concluindo que o dividendo ficaria somente com dois algarismos, mas os quatro grupos fizeram a verificação para q3igual a três, apercebendo-se de que o dividendo já ficaria um numeral constituído por quatro algarismos. Apenas um grupo fugiu a esta verificação, construindo e resolvendo uma inequação que traduzia a informação “A Isa pensou num número constituído por três algarismos”, ou seja, entendendo claramente que o número estaria compreendido entre cem e novecentos e noventa e nove, conforme consta na figura 73. Repare-se que os estudantes conseguem resolver corretamente a inequação e determinar os valores para o quociente da terceira divisão (que até aqui identificamos como q3, mas que nesta resolução está representado por t) e, posteriormente, calcularam o dividendo (que até aqui identificamos como D, mas que nesta resolução está representado por x). No momento final, acabam por se confundir e considerar na resposta os valores do último quociente em vez dos valores do dividendo. Na discussão coletiva o grupo apercebeu-se da confusão sem intervenção de terceiros. Apresenta-se agora o quadro 21, no qual se encontram os tipos de representações matemáticas utilizados pelos estudantes para responder a esta questão, acompanhado do número de grupos que o fez, resumindo a análise acima realizada. ADRIANA FERREIRA 140 Quadro 21. Tipos de representações utilizados para responder à tarefa 4 (elaboração própria) Tipo de representação Resposta correta Resposta incompleta Resposta incorreta Sem resposta Total Simbólica matemática aritmética 7 2 0 1 10 Simbólica matemática algébrica 4 0 1 4 9 Mista Simbólica matemática aritmética + Simbólica matemáica algébrica + Simbólica matemática aritmética 1 0 0 0 1 Simbólica matemática algébrica + Simbólica matemática aritmética 1 0 0 0 1 Total 13 2 1 5 21 Neste momento importa focar a atenção em momentos de discussão que tenham originado situações argumentativas relevantes. Vamos analisar uma situação que ocorreu em pequeno grupo: Estudante AD: Por onde é que começamos? Estudante AE: Pelo início. Estudante AF: Eu por acaso acho que é pelo fim. [Risos] Estudante AF: A sério... Este [aponta para o dividendo da última divisão] tem de ser este [o quociente da última divisão] vezes este [10, o divisor da última divisão]. Estudante AD: Não, espera. Cala-te, já sei! [entusiasmada] Este aqui [o dividendo da última divisão] tem de ser um múltiplo de dez. Estudante AF: Sim, porque dá resto zero. E o que é que eu disse? Estudante AD: Isso! Escreve! Dividendo igual a divisor vezes quociente mais resto. Estudante AE: Assim? Estudante AD: Sim. Estudante AF: Ahh, mas há muitas hipóteses... Pode ser dez, vinte, trinta, quarenta... Estudante AE: Vamos experimentar com dez. Estudante AD: [reticente] Não pode ser zero? Estudante AE: Hã? [Silêncio] Estudante AD: Dez vezes zero dá zero. Estudante AF: Sim, se este [o quociente da última divisão] for zero, o dividendo também vai ser. [Silêncio] Estudante AE: Está bem. Então este dividendo também vai ser zero e este também. [Silêncio] Estudante AD: Não. Porque aqui [aponta para a segunda divisão] já não é resto zero. Espera... Dá quatro aqui [dividendo da segunda divisão] e depois oito vezes quatro é 32, mais três é trinta e cinco. É isso! Estudante AF: Não dá! Eu disse! É pequeno. A figura 74 contém este episódio resumido na situação argumentativa J. Análise de dados e resultados 141 Fig. 74. Situação argumentativa J (elaboração própria) Neste episódio os estudantes envolvidos começam por justificar que o produto entre o divisor e o quociente da terceira divisão referida no enunciado da tarefa tem de corresponder ao dividendo, uma vez que se trata de uma divisão exata, ou seja, uma divisão na qual o resto é zero. Esta posição vai adquirindo, ao longo do diálogo, um caráter mais completo, já que os estudantes depois conseguem concluir que esse dividendo terá de ser um múltiplo de dez, pois o divisor é dez. É curioso que inicialmente não incluíam o zero no conjunto dos múltiplos de dez, considerando a estranheza e os momentos de silêncio que se seguiram, assim que surgiu esta sugestão. De qualquer modo, contornaram muito bem esta dificuldade, refletindo sobre a proposta de modo a confirmarem a sua validade, em vez de a rejeitarem logo à partida. Neste momento a interação em pequeno grupo, apenas entre os pares, sem qualquer intervenção da professora/ investigadora, foi promotora de partilha sem receio de errar. A participação ativa e o entusiasmo evidente dos estudantes AD e AF, que acabam por se ir complementando, contrasta com a calma e postura de observação adotada pelo estudante AE na maior parte do episódio. Ainda assim, considera-se que os três elementos do grupo acompanharam os raciocínios que eram exteriorizados e contribuíram para as conclusões a que iam chegando. Quanto ao caráter desta situação argumentativa, importa referir que se assume como narrativo, uma vez que os estudantes organizam num discurso claro as suas ideias. Por outro lado, não podem ser ignorados os traços diagramáticos presentes, já que por diversas vezes os estudantes apontam para o esquema que representa as três divisões sucessivas (recorde-se a figura 70) para auxiliar o seu discurso. Se nos questionarmos sobre a função desta situação argumentativa não há dúvida que a resposta é a descoberta. Os estudantes comunicam as suas ideias, partilham posições e testam com o objetivo de descodificar informação que possa estar omissa nas entrelinhas do enunciado e ir descobrindo dados relevantes para determinar a resposta. Fazem-no com sucesso, completando a cada sugestão os seus raciocínios. Por fim, registe-se que o episódio se enquadra no conteúdo dos números e das operações, mais concretamente sobre a divisão inteira no conjunto dos números naturais e a sua identidade fundamental (o dividendo pode ser determinado através do produto entre o divisor e o quociente, adicionado do resto). Estão implícitas também algumas propriedades da divisão ADRIANA FERREIRA 142 e o conceito de divisão exata, isto é, uma divisão cujo resto é zero. Acaba por ser ainda abordado o conceito de múltiplo. Há uma outra situação argumentativa, desta vez em grande grupo, no momento de discussão coletiva final que importa aqui analisar. Discutia-se uma resolução com recurso a representações do tipo simbólico matemático algébrico e apresentara-se a expressão simplificada para o dividendo D= 400q3+ 35, quando ocorreu o seguinte episódio argumentativo: Estudante AG: Professora, nós pensamos que a partir daqui só podíamos começar a substituir por números inteiros. [referia-se ao valor q3] Estudante AH: Sim, o um, o dois, o três... Estudante AI: Sim, era a única maneira. Estudante AJ: Nós também fizemos assim. Verificamos para um e deu, para dois também deu. Para três já dava um número maior do que mil. Estudante AK: Professora, não é a única maneira. Prof./ inv.: Não? Explica... Estudante AK: O dividendo tem de estar entre cem incluído e novecentos e noventa e nove também incluído, porque é um número com três algarismos. Nós escrevemos duas inequações com esse valor [aponta para a expressão simplificada do dividendo registada no quadro]. Estudante AH: Como? Estudante AK: Posso ir ao quadro? Prof./ inv.: Claro! [o estudante registou no quadro 9993540010035400 33  qq ] Estudante AK: Isto [aponta para a expressão 35400 3q ] é o dividendo, por isso tem de estar maior ou igual a cem e menor ou igual a novecentos e noventa e nove. Se resolverem esta [aponta para a primeira equação] dá... Estudante AL: Zero vírgula um seis dois cinco... E a outra [refere-se à segunda equação] dá dois vírgula quarenta e um. Estudante AK: Isso. Então quer dizer que se está entre zero vírgula tal e dois vírgula tal só pode ser um e dois, porque tem de ser números inteiros. [...] Estudante AH: Eu acho que isso é complicar. Estudante AL: Nós também achamos quando ele começou, mas imagina que não dava só com o um e com o dois... Se desse tipo com vinte resultados diferentes, tu ias estar a ver um a um? Estudante AK: Nós assim sabemos logo o menor e o maior. Estudante AH: Sim, pois, faz sentido. Este episódio aqui transcrito surge resumido na situação argumentativa K presente na figura 75. Análise de dados e resultados 143 Fig. 75. Situação argumentativa K (elaboração própria) O argumento aqui apresentado está diretamente relacionado com as características do sistema de numeração indo-árabe que utilizamos diariamente. De facto, o estudante AK afirma convictamente que o numeral que se procura terá de se situar entre cem e novecentos e noventa e nove, porque se trata de um numeral constituído por três algarismos. Na sequência desta afirmação o estudante explica ainda, com auxílio de um outro estudante que realizou a tarefa no mesmo grupo, como proceder para, partindo desta posição, conseguir determinar a resposta que se procura. Note-se que no final ainda aponta vantagens para o tipo de representação utilizada, referindo que esta estratégia lhe permite determinar o menor e o maior numeral que respeitam a condição criada, sem ter de fazer extensas verificações. Este episódio ocorre em grande grupo, com intervenção inicial da professora/ investigadora, que traz a tarefa para debate, mas são os estudantes que apresentam os seus raciocínios e que questionam as sugestões dos pares. É importante destacar que foram muitos os estudantes que participaram nesta discussão, procurando compreender as ideias apresentadas, concordando ou discordando e apresentando ainda as suas sugestões. Trata-se de uma situação argumentativa de caráter narrativo com contornos diagramáticos, pois o estudante AK aponta para a expressão simplificada do dividendo para se explicar e, posteriormente, sente necessidade de ir ao quadro fazer um registo para transmitir aos pares o modo como pensou, não conseguindo fazê-lo com recurso exclusivo à oralidade. A apresentação do referido argumento surge com a função de refutar a afirmação do estudante AI, que considera que a única maneira de determinar o resultado é iniciar uma verificação, substituindo o valor de q3por números inteiros. O estudante AK afirma existir outra possibilidade e apresenta-a aos pares. Posteriormente, perante a incompreensão de alguns, o seu discurso passa a ter a função de explicar aos pares o conhecimento matemático que possui e que lhe permite chegar às respostas procuradas. O tópico matemático aqui presente é, à semelhança da outra situação argumentativa analisada também a propósito desta tarefa, a divisão no conjunto dos números naturais. Para além disso, no argumento apresentado pelo estudante há também referência à sequência de números inteiros e às características de um sistema de numeração posicional decimal. ADRIANA FERREIRA 144 4.2.5 Discussão geral dos resultados analisados Depois de analisadas detalhadamente as resoluções apresentadas pelos estudantes para responder às tarefas colaborativas propostas, assim como alguns episódios argumentativos significativos despoletados pela realização das mesmas, urge agora o tratamento conjunto dos resultados obtidos com este segundo instrumento de recolha de dados, de forma a estabelecer relações e correlações entre os tipos de representação utilizados, a natureza das tarefas e a importância do trabalho colaborativo com os pares. Recorde-se que estas quatro tarefas foram sugeridas aos estudantes em quatro momentos distintos, distanciados cerca de duas semanas uns dos outros, procurando-se manter a constituição dos grupos de trabalho. Estas tarefas, à semelhança do que já aconteceu com as questões do teste que foi respondido individualmente, foram formuladas de maneira a poderem também ser apresentadas a alunos dos primeiro e/ ou segundo ciclos do Ensino Básico, embora, se esperasse, nesta aplicação a estudantes do Ensino Superior, que se aprofundassem alguns tópicos e se considerassem respostas mais completas e complexas. O desempenho dos estudantes neste conjunto de quatro tarefas colaborativas foi significativamente superior ao alcançado com o teste inicial realizado individualmente. Como não se considera que as tarefas tivessem um menor grau de dificuldade, este parece ser já um excelente indício de que o trabalho colaborativo pode trazer enormes benefícios para o sucesso na realização de tarefas matemáticas e entendimento de diferentes processos e raciocínios para as resolver, o que vai ao encontro da importância da reflexão conjunta entre vários professores, apontada por Quaresma e Ponte (2015), que conjugam conhecimentos provenientes de várias fontes para se desenvolverem profissionalmente. A primeira questão foi considerada acessível por todos os grupos, o que pode explicar a taxa de sucesso de cem por cento. Trata-se, de facto, de uma tarefa muito simples, com um enunciado claro que apresenta apenas a informação necessária para determinar uma resposta. No entanto, consideramos que é uma questão interessante para a exploração de diferentes tipos de representações matemáticas, já que conseguimos encontrar representações pictóricas, icónicas, simbólicas matemáticas aritméticas e simbólicas matemáticas algébricas, ainda que muitas delas tenham sido consideradas na categoria de representações mistas, por combinarem dois destes tipos. Percebemos que as representações informais foram recurso para noventa por cento dos grupos como meio para organizar a informação do enunciado e perceber qual o procedimento matemático mais formal a adotar para determinar a resposta. Os esquemas construídos para este fim (recordem-se as figuras 46 a 49) deram segurança aos estudantes, permitiram-lhes certificar-se de que pensavam corretamente e auxiliaram na atribuição de significado aos resultados parcelares que iam obtendo com as representações mais formais. Esta tarefa também se afigurou muito produtiva no momento de discussão de processos e de argumentação, o que pode ser explicado pela sua simplicidade. Constatámos que os grupos, talvez por duvidarem da rapidez ou facilidade com que determinaram a resposta ou pela necessidade que sentiram de comprovar o resultado obtido, apresentaram resoluções alternativas de grande interesse do ponto de vista didático. Exploraram-nas e retiraram conclusões com validade matemática que lhes permitiram não só construir conhecimento sobre as operações e as suas propriedades, como também ganhar confiança em relação à matemática, o que se pode transformar num gosto crescente pela disciplina. Já a segunda questão não foi considerada tão acessível pelos diferentes grupos, apesar de ter em comum com a primeira o facto de não estar propriamente relacionada com nenhum Análise de dados e resultados 145 conteúdo específico da matemática. Os estudantes entenderam esta tarefa como um quebracabeças que exigia alguma concentração, mas apenas dois grupos não conseguiram apresentar a resposta correta. A diversidade de representações e de estratégias para a sua resolução também foi imensa, à semelhança do que já apontámos em relação à primeira questão, já que, para além das representações simbólicas matemáticas aritméticas, as mais comuns, também foram utilizadas representações icónicas e simbólicas verbais, ora de forma isolada, ora de forma integrada. Com a partilha de diferentes resoluções a propósito desta tarefa, os estudantes reconheceram organização e eficácia no uso de tabelas, afirmando ainda que permitiam garantir que se analisavam todas as combinações possíveis. O diagrama em árvore, por sua vez, não conduziu ao sucesso o grupo que tentou resolver a tarefa através da sua utilização nem convenceu os restantes grupos no momento de discussão coletiva. Importa destacar as representações simbólicas matemáticas aritméticas, principalmente aquelas que se sustentaram em resoluções por tentativa-erro, pois parece ser evidente que quando os grupos não conseguem encontrar um procedimento satisfatório, acabam por não ser capazes de elencar todos os casos ou de se certificarem que o fizeram, acabando por duvidar se determinaram ou não a melhor resposta. Neste sentido, esta tarefa também acaba por se revelar pertinente, por dar esta sensação a muitos estudantes que só seriam capazes de justificar a sua resposta se cobrissem todos os casos. Também nos parece de relevo destacar o potencial que a análise desta tarefa teve para o trabalho das destrezas argumentativas, por ter proporcionado, a certa altura, reflexões sobre a suficiência de um argumento e a apresentação de contra-argumentos, o que foi reflexo de alguma consciencialização por parte dos estudantes da estrutura de um argumento e da forma como este pode ser refutado. Outra questão que importa destacar a propósito desta tarefa e que já tinha surgido na anterior é a determinação de um valor médio. Na primeira tarefa alguns grupos dividiram a distância total em duas partes iguais e nesta tarefa dividiram também em duas partes iguais o tempo total de confeção dos cinco pratos. No entanto, aquilo que já parecia acontecer na tarefa um torna-se ainda mais claro nesta segunda: apesar de utilizarem estes valores no seu processo de resolução, alguns estudantes não têm clara noção do que representam estes valores médios que determinam, o que compromete, em parte, o seu raciocínio e o processo de descoberta da resposta acertada. Podemos afirmar que estas duas primeiras questões, pela sua simplicidade e afastamento de um conteúdo específico da matemática, que os estudantes poderiam dominar ou não, foram muito produtivas ao nível das representações diversas para a sua resolução e originaram episódios argumentativos muito enriquecedores. Já as tarefas três e quatro deram menos jogo para diferentes resoluções por serem muito específicas de um tópico concreto da matemática, considerando-se, portanto, menos adequadas para conhecer diferentes tipos de representação e explorá-los, por forma a garantir apropriação, compreensão e utilização. Ainda assim, para responder à tarefa três a maior parte dos grupos recorreu a representações mistas, combinando representações icónicas, simbólicas verbais, simbólicas matemáticas aritméticas e simbólicas matemáticas algébricas. Note-se que, à semelhança do que já foi apontado, as representações icónicas que associamos a um menor nível de formalidade são utilizadas pelos grupos para interpretar corretamente a informação que consta no enunciado, organizar ideias e delinear uma estratégia de resolução. ADRIANA FERREIRA 146 Esta tarefa solicitava que se determinasse quantos berlindes estavam num estojo, após a análise de uma sucessão associada ao número de berlindes colocados nos estojos anteriores, o que não representou qualquer dificuldade para nenhum dos grupos. No entanto, para além disso, era sugerido que se apresentasse uma conjetura sobre essa sucessão e foi aqui que os grupos encontraram algumas barreiras. Aceitámos vários tipos de conjeturas, uma vez que não estava explicito no enunciado o tipo de tese que se pretendia, pelo que surgiram grupos a apresentar a lei de formação da sucessão recorrendo a representações simbólicas verbais, outros que definiram a sucessão por recorrência, com recurso à álgebra, e outros que, também através de representações do tipo algébrico, encontraram o termo geral da sucessão. As dificuldades com este tópico das sequências e regularidades explicam certamente o facto de quase metade dos grupos não ter tido sucesso na apresentação da conjetura, não conseguindo criar nenhuma sugestão ou definindo uma tese de forma incompleta ou com incorreções. Este insucesso verificou-se com os grupos que optaram pelas representações matemáticas simbólicas algébricas, representações formais com as quais, como já mencionámos variadas vezes, muitos destes estudantes sentem algum desconforto e insegurança. Os episódios argumentativos foram centrados na exploração de conhecimentos prévios de alguns estudantes, tendo-se revelado momentos formativos por excelência durante os quais se discutiram raciocínios e procedimentos para trabalhar com sucesso no âmbito das sucessões, parecendo ficar claro para muitos, através da explicação de outros, como encontrar o termo geral de uma sucessão aritmética cuja razão seja constante, o que não acontecia com a sucessão da tarefa. Por fim, a quarta tarefa colaborativa foi a que originou menor diversidade no que aos tipos de representação diz respeito, já que os grupos se distribuíram, quase de forma igualitária, pelas representações simbólicas matemáticas aritméticas e algébricas. A elevada percentagem de grupos que optou por resolver a tarefa recorrendo a representações algébricas é surpreendente, principalmente se pensarmos nos resultados já apresentados. Todavia, consideramos que a natureza do enunciado, com alguma dependência do cálculo algébrico pode ter condicionado estas escolhas. Dá análise dos resultados percebemos que o uso das representações aritméticas se traduz numa maior taxa de sucesso: num total de dez utilizações surge apenas um grupo que não consegue apresentar resposta e dois que apresentam uma resposta incompleta; estes números contrastam com os quatro grupos que não conseguiram apresentar resposta e com um que apresentou uma resposta incompleta, num total de nove grupos que utilizaram apenas representações algébricas. Assim, a taxa de sucesso de setenta por cento das representações aritméticas é claramente superior à de cerca de quarenta e quatro por cento das representações simbólicas matemáticas algébricas. Os dois grupos que oscilaram entre representações dos dois tipos acabam por ter sucesso com as representações do tipo aritmético, o que reforça os números já apresentados. No entanto, importa destacar que se um dos grupos iniciou com representações algébricas e depois simplificou para representações aritméticas, através das quais conseguiu determinar a resposta certa, o outro grupo iniciou com a criação de hipóteses e sua verificação, o que categorizamos como representação aritmética; posteriormente, percebendo que teriam de fazer a verificação de inúmeras hipóteses, procuraram formalizar a tarefa através da álgebra, mas as dificuldades nesta área e alguns erros de raciocínio condicionaram o percurso; esta incapacidade de lidar com variáveis fê-los voltar às representações aritméticas, definindo uma estratégia organizada que lhes permitiu descobrir a resposta. Análise de dados e resultados 153 relacionada com as redes de raciocínio que já temos de experiências anteriores e com outros tipos de problemas que já resolvemos, nos quais tivemos ou não sucesso. Por fim, é de realçar que apenas um dos estudantes que escolheu a resolução aritmética apontou uma vantagem da representação algébrica, referindo que é “muito importante para desenvolver o pensamento matemático”. Contudo, pelo conforto que lhe dá a resolução aritmética, assume só a dispensar caso “ao fim de muitas tentativas não conseguisse”. 4.3.3 Questão 3 - Os animais domésticos... Para responder a esta questão, os estudantes puderam escolher entre a resolução (A), que continha representações simbólicas matemáticas aritméticas para determinar o resultado pretendido, e a resolução (B) que continha um diagrama de Venn, que se enquadra nas representações icónicas. O quadro 25 apresenta as opções dos estudantes. Quadro 25. Tipos de representações selecionadas para responder à questão 3 (elaboração própria) Tipo de representação Total Icónica 3 Simbólica matemática aritmética 65 Total 68 Se na primeira questão se verificou que a esmagadora maioria dos estudantes que responderam a este teste final privilegiou as representações icónicas em detrimento das representações simbólicas matemáticas algébricas, nesta questão foi a resolução presente em (B), com recurso a representações icónicas, que foi claramente a menos escolhida. Na verdade, apenas três estudantes optaram por esta alternativa, justificando que era “fácil de visualizar” e que se enquadrava com estratégias que aprenderam no decorrer do Ensino Secundário (um dos estudantes faz referência à disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais, disciplina de opção no Ensino Secundário principalmente nos cursos de Línguas e Humanidades) ou na Unidade Curricular de Cultura e Conhecimento Matemático, parte integrante do plano de estudos do 1.º ano curricular da Licenciatura em Educação Básica (cf. Quadro 1). Por outro lado, os estudantes que optaram pelas representações aritméticas consideram que o diagrama de Venn presente na segunda hipótese de resposta é “mais difícil” e, segundo cerca de metade dos estudantes, “confuso”. São vários os que falam até de “confusão visual”, por envolver muitas hipóteses diferentes (quatro, a saber), o que dificulta a correta construção do diagrama, considerando todas as interseções, e, posteriormente, a sua completa leitura e interpretação. Há cinco estudantes que apontam a segunda resolução como a mais demorada e trabalhosa, justificando que implica mais “pensamento e raciocínio”, já que “não se conhece à partida as interseções” e perceber que “tanto faz quais são os animais que têm os meninos com dois animais não é rápido”. Ainda nas desvantagens apontadas para a representação do tipo icónico, contam-se três estudantes que consideram que se trata uma forma de representar mais “desorganizada” e outros três que afirmam “nem consigo compreender numa primeira análise”. ADRIANA FERREIRA 154 No entanto, não foram apenas pontos negativos os associados à resposta (B). Há seis estudantes que referem que esta resolução “também é fácil” e um que se mostra convicto que “o diagrama de Venn é uma ótima opção para resolver este tipo de problemas”. Para além disso, um estudante atento refere que através da resolução com o diagrama conseguimos “recolher dados que com a resolução (A) não temos”. Para três estudantes a construção do diagrama assenta num “raciocínio mais formal” quando comparada com a resolução aritmética, possivelmente porque estes estudantes associaram a sua sensação de maior grau de dificuldade a um maior formalismo. Concentremo-nos agora nas justificações apontadas pelos estudantes que optaram pelas representações simbólicas matemáticas aritméticas sobre as mesmas. O número reduzido de cálculos necessários e a sua simplicidade, isto é, o facto de conter apenas operações simples de adição e subtração, é um dos grandes benefícios desta resolução apontado por muitos estudantes. São, como referem, “contas básicas, que todos compreendem”, que fazem deste um processo “mais rápido”, “simples e direto”, intuitivo” e “muito prático”. Há três estudantes que associam esta referida facilidade ao facto de ser uma resolução “passo a passo” que pode ir sendo construída “conforme vamos lendo o enunciado”. Há vários estudantes que apontam esta resolução como a “mais acessível” ou a “menos trabalhosa, sem dúvida” e cinco que referem a segurança que esta resolução lhes transmite, com a certeza de que cada passo que está a ser dado está correto. 4.3.4 Questão 4 - O número mistério... Esta última questão apresentava como alternativas de resolução uma equação do primeiro grau, na qual a incógnita representava o algarismo das unidades do numeral que se pretendia determinar, ou um processo aritmético de construção de tentativas e sua verificação. Podemos conhecer as escolhas dos estudantes através do quadro 26 que apresentamos de seguida. Quadro 26. Tipos de representações selecionadas para responder à questão 4 (elaboração própria) Tipo de representação Total Simbólica matemática aritmética 57 Simbólica matemática algébrica 9 Nenhuma das opções 2 Total 68 Contaram-se nove estudantes que optaram pela representação simbólica matemática algébrica, cinquenta e sete que escolheram as representações simbólicas matemáticas do tipo aritmético e dois que afirmaram ser incapazes de escolher uma das alternativas pelo grau de dificuldade de ambas, apontando que não compreendiam nenhum dos processos nem os consideravam intuitivos. Os estudantes que assumem estar confortáveis com a matemática, com a álgebra e com a utilização de incógnitas foram os que optaram pela opção (A), a primeira alternativa de resposta. Estes consideram a construção da equação o processo que exige mais concentração e cuidado na leitura do enunciado, mas garantem que depois de a construir tudo é “muito mais fácil”. Para além disso, apontam esta resolução como “a mais formal” e aquela que recorre a “um raciocínio e um pensamento mais estruturado”. Estes estudantes também apontam as Análise de dados e resultados 155 desvantagens de uma resolução com recurso à tentativa-erro, lembrando que pode tornar-se um “processo demorado, principalmente quando não dá certo à primeira, nem à segunda, nem à terceira...”. Há um destes estudantes que, embora considere a resolução (A) a “mais adequada para este problema”, acaba por referir que a resolução (B) está “bem estruturada” e que “quase nem é tentativa-erro, porque pensa-se em três hipóteses, mas não se faz as contas para as três”. Este estudante continua explicando que “o que sabemos das pistas dá para eliminar os outros dois números”, pelo que se trata de uma resolução “mais simples, mas certa”. Já os estudantes que optaram pela resolução aritmética têm grandes dificuldades em apontar benefícios à representação algébrica. Temos apenas três deles que referem a maior adequabilidade de uma resolução deste último tipo para situações problema que envolvam maiores quantidades; também há cinco estudantes que a consideraram mais formal, o que registamos como uma vantagem deste tipo de representação. Por outro lado, muitos destes estudantes revelam dificuldades no domínio de representações com este nível de abstração e formalidade, o que se verifica quando se contam três estudantes que assumem não compreender esta resolução algébrica e ainda mais três que referem não saber “resolver problemas com incógnitas”; outros três referem apenas preferir “resolver sem a incógnita”; há ainda mais quatro que apontam desconforto com a resolução de equações; também de salientar os dois estudantes que afirmam “não gosto de resolver assim”. Algumas destas justificações acabam por ser mais explícitas e mostrar-nos os receios destes estudantes. Na verdade, alguns são capazes de reconhecer dificuldade no momento de construção da equação, afirmando que exige “muita concentração” e um maior domínio do “conhecimento matemático”. Há dois estudantes que assumem que nesta questão em concreto há “muitos conceitos envolvidos, como dezenas e unidades, o triplo, a terça parte e o décuplo”, o que dificulta este primeiro passo. Também há um estudante que aponta a questão “dos parêntesis mal colocados” ou de “trocar um dos sinais”, o que compromete depois toda a resolução. Há ainda aqueles que afirmam compreender a equação construída ao analisá-la na resolução, embora tenham assumido incapacidade para a construir sozinhos. Outros estudantes, ao contrário destes, referem que a dificuldade “até nem é em fazer a equação”, mas sim na sua resolução, uma vez que esta implica conhecimento e aplicação de algumas propriedades e de “regras das equações” que alguns deles não dominam ou não se recordam. Estes estudantes acabam, portanto, por enveredar pela resolução aritmética, apontando variados motivos para as suas escolhas. Cerca de metade dos que seguiram essa alternativa (B) utilizam a expressão “mais concreta” ou outra similar para caracterizar a sua escolha e a comparar com a outra que tinham. Alguns explicam melhor, referindo que se conseguem “logo aperceber de que números estamos a falar”, o que acaba por ser determinante para muitos. Outro reparo relativo a esta resolução é a sua organização, surgindo muitos relatos como “está tudo muito bem organizado e explicado” ou “parece um passo a passo que dá para perceber” ou “a explicação está pela ordem das pistas”. Há alguns estudantes que associam esta resolução ao seguimento de um “raciocínio lógico” que exige “pouca matemática” ou “não precisa de conhecimentos prévios”. Esta questão está relacionada com outra apontada por poucos que referiram que “esta estratégia não envolve grandes contas”, pelo que é “mais fácil e rápida”. Por fim, importa referir que há três estudantes que a consideram “mais prática, principalmente se estivermos a falar de resolver isto com crianças”. ADRIANA FERREIRA 156 4.3.5 Discussão geral dos resultados analisados Com este teste final os participantes neste estudo puderam contactar com resoluções distintas para cada questão que não tinham sido produzidas pelos próprios. Pretendia-se que fossem capazes de compreender diferentes tipos de representações, umas mais informais do que outras, e que selecionassem a opção que mais se assemelhasse à sua forma de pensar a questão. Para além de escolherem uma representação, também foi sugerido que justificassem a sua decisão, apontando o motivo pelo qual não se identificavam com a outra alternativa de resposta. Com a primeira questão conseguimos confirmar o que já constatámos na análise do teste inicial: para este tipo de tarefa, estes estudantes privilegiam as representações icónicas, com caráter mais informal. As justificações apontadas pelos participantes permitem-nos concluir que, para além de simples e intuitivas, as representações icónicas têm enorme potencial por permitirem organizar a informação, encontrar um percurso de resolução célere e dar garantias aos estudantes de que determinaram a resposta correta. Estas vantagens apontadas contrastam com a caracterização das representações simbólicas matemáticas algébricas, que, neste contexto matemático em concreto, são identificadas como mais complexas. Ainda assim, é de notar que vários estudantes consideram este último tipo de representação mais formal e facilitador num enunciado que implique grandes quantidades. Há uma reflexão muito interessante que gostaríamos aqui de destacar pela sua pertinência no âmbito da investigação. As duas representações podem completar-se, na medida em que podemos utilizar a representação mais informal para organizar a informação e facilitar a conceção de uma representação formal de caráter algébrico com mais segurança. A segunda questão já só disponibilizava aos estudantes percursos de resolução com representações formais, sendo as duas do tipo simbólico matemático, uma aritmética e outra algébrica. Consideramos ser surpreendente que mais de um terço dos estudantes tenham optado pela representação algébrica, em detrimento da aritmética, mas encontrámos nas suas justificações alguns motivos que podem explicar este valor. Conscientes de que se encontram no Ensino Superior, estes estudantes procuram resoluções formais e mais diretas ou, se preferirmos, eficientes. Em contraste com a alternativa de resolução por tentativa-erro, que se enquadra nas representações simbólicas matemáticas aritméticas, os participantes consideram que a resolução algébrica garante a descoberta da solução e de forma mais rápida. É de notar que vários estudantes que apoiam esta aceção afirmam gostar de álgebra e ter relativa prática nessa área. Por outro lado, é essencial referir que vários estudantes que optaram pelas representações algébricas na questão anterior, nesta segunda questão não mantiveram a sua escolha, privilegiando antes as representações aritméticas. Parece-nos que estes estudantes estão conscientes de que as duas alternativas de respostas são formais e que se relacionam com o conhecimento matemático formal que possuem. Assim, privilegiam as representações formais, mas dentro destas sentem mais segurança com as representações aritméticas do que com as algébricas. Outra reflexão pertinente que esta questão deste teste final levanta é a propósito da relação entre o tipo de tarefa e o tipo de representação matemática utilizado. Parece estar claro que o enunciado desta questão, pela sua natureza algébrica, conduz os estudantes a privilegiarem o uso de representações formais, o que já tínhamos constatado na análise desta questão no teste inicial, na qual, recorde-se, a esmagadora maioria optou por representações Análise de dados e resultados 157 formais. Também aí tínhamos um predomínio das representações aritméticas. O dado novo que recolhemos com este teste está relacionado com o impacto da vivência pessoal de cada um na resolução de uma tarefa matemática, reforçando a ideia de que cada estudante constrói as suas redes de conhecimento em função das suas experiências em matemática e do seu sucesso ou insucesso. Para o mesmo enunciado temos estudantes a referir que este sugere a construção de um sistema de equações, afirmação proferida por estudantes que se sentem confortáveis com a álgebra, e outros que referem que a leitura da questão os remete de imediato para a criação de hipóteses e sua verificação, isto é para uma estratégia de tentativaerro na qual as representações produzidas são do tipo aritmético. Estas duas visões confirmam que a par do tipo de tarefa também os resultados que se alcançaram no passado com outras situações matemáticas influenciam a escolha dos tipos de representação. A terceira questão também ajuda a confirmar a influência do tipo de tarefa na escolha do tipo de representação. O predomínio pelas representações do tipo simbólico matemático aritmético está de acordo com as resoluções individuais produzidas para responder ao teste inicial, no qual também estas foram a escolha da maioria dos estudantes. No entanto, contrasta com os resultados apresentados para a questão um, quer no teste individual, quer neste teste final, onde concluímos que os estudantes privilegiavam as representações icónicas. Neste desafio em concreto, a representação icónica apresentada (o diagrama de Venn, a saber) acabava por implicar mais conhecimento matemático estruturado do que a representação aritmética, que reduzia a questão a dois cálculos horizontais. A apresentação das duas alternativas, lado a lado, deixa claro para praticamente todos os estudantes que o procedimento aritmético permite resolver a questão de um modo simples e organizado, ao contrário do recurso ao diagrama de Venn, que implica mais raciocínio. Ainda assim, consideramos que o contacto com esta representação e a sua compreensão são essenciais para a atividade matemática, pelo que acaba por ser preocupante o número de estudantes que afirmam não conseguir compreender esta estratégia de resolução. Por fim, a quarta questão, à semelhança da segunda, volta a colocar os estudantes a escolher entre duas representações formais: representações simbólicas matemáticas aritméticas ou algébricas. A escolha volta a recair predominantemente sobre as primeiras, sendo a diferença ainda maior comparativamente aos dados recolhidos com a questão dois. Estes valores permitem-nos confirmar que entre os dois tipos de representações simbólicas matemáticas a maioria destes estudantes prefere os procedimentos aritméticos, aparentemente porque não exigem tantos conhecimentos prévios, mantendo, todavia, o caráter formal. De qualquer modo, um número significativo de estudantes volta a reconhecer que a resolução apresentada com recurso às representações aritméticas só é uma alternativa viável porque, neste caso concreto, o número de hipóteses é reduzido, o que possibilita a construção de hipóteses e o seu teste, naquilo que acaba por ser identificado por alguns como uma resolução por tentativa-erro. Reforça-se, assim, o afastamento de representações algébricas, principalmente por parte dos estudantes que assumem dificuldades neste âmbito, tornando-os inseguros a operar com este nível de formalismo ou até incapazes. Estes resultados parecem também combinar com os dados recolhidos e analisados com a mesma questão do teste inicial. Para além do predomínio das representações aritméticas já referido, também observámos que todos os estudantes que optaram pelas representações algébricas nesse primeiro instrumento acabaram por ter insucesso na sua resolução, não tendo nenhum deles conseguido determinar a resposta certa. Para além disso, importa mencionar os dois estudantes que assumiram não considerar nenhuma das duas resoluções apresentadas ADRIANA FERREIRA 158 intuitiva ou fácil de compreender, o que já poderia ser entendido pelo elevado número de estudantes que deixou a questão em branco no teste inicial. Por tudo isto, entendemos que o facto de os estudantes enveredarem por representações mais informais ou mais formais depende muito da natureza da tarefa matemática que lhes é apresentada. As questões um e três apresentaram-nos, a este respeito, dois cenários que o comprovam: em situações simples, nas quais o próprio enunciado contém informação de fácil organização visual, os estudantes privilegiam as representações informais, como as do tipo icónico; no entanto, são capazes de apontar desvantagens a este tipo de representações e compreender que em algumas situações matemáticas elas acabam por dificultar o processo, revelando-se mais simples, rápido e intuitivo seguir um procedimento mais formal através das operações aritméticas, como aconteceu na questão três. Ao mesmo tempo, importa também destacar que, entre duas resoluções mais formais, uma com caráter aritmético e outra com caráter algébrico, já não encontramos relação entre a escolha e o tipo de tarefa matemática. As questões dois e quatro apresentavam estes dois tipos de alternativas e a maioria dos estudantes optou pelas representações simbólicas matemáticas aritméticas em ambas as questões. As justificações dos estudantes para esta preferência prendem-se muitas vezes com a insegurança no campo do conhecimento matemático, principalmente no conhecimento e domínio de procedimentos mais formais, muitas vezes relacionada com experiências negativas com a disciplina que já podem vir a acumular-se há vários anos. Conforme já apontavam Vieira et al. (2022), numa investigação sobre o conhecimento matemático de futuros professores, também aqui nos apercebemos que a relação com a matemática se vai construindo ao longo do percurso académico e que as más experiências e o insucesso podem condicionar o gosto por esta área do saber e implicar muito mais trabalho para se alcançar a compreensão de conceitos, procedimentos, raciocínios, formas de representar. Acreditamos que para suprimir estas limitações que dificultam certamente a capacidade de reconhecer falhas em resoluções ou no próprio raciocínio, é essencial garantir que os futuros professores na sua formação inicial resolvem tarefas matemáticas que poderão apresentar futuramente aos seus alunos. A este propósito, Tatto (2018) refere que os programas de formação inicial de professores devem integrar os tópicos matemáticos a explorar em contextos da realidade escolar na qual os futuros professores atuarão, o que permitirá uma planificação, intervenção e reflexão sobre os mesmos. Parece-nos, portanto, que este teste final apresentou resoluções distintas aos estudantes, o que contribuiu para que conhecessem modos de pensar e representar alternativos aos seus e eventualmente para que adquirissem maior flexibilidade para transitar entre diferentes representações matemáticas, o que os dotará, de acordo com Allevato e Onuchic (2019), de um conjunto de ferramentas que podem ser importantes e muito poderosas por lhes oferecerem opções alternativas e criativas para resolver problemas. Para além desta transição entre modos de representar distintos, os Common Core State Standards for Mathematics (NGA & CCSSO, 2010) apontam a importância de encontrar relações e correlações entre eles, por exemplo entre uma descrição verbal ou, se preferirmos uma representação simbólica verbal, e uma equação (representação simbólica matemática algébrica). Nesta linha de ideias, este teste final, ainda que pontualmente, já traça algum caminho, uma vez que nele já encontrámos estudantes que foram capazes de relacionar duas representações distintas, nivelando-as pelo seu grau de formalismo e compreendendo o papel fulcral da menos formal na capacidade de desenvolver corretamente a mais formal. 159 5 CONCLUSÕES E REFLEXÕES FINAIS Neste capítulo final, apresenta-se uma síntese da investigação, recordando os objetivos do estudo e procurando dar resposta a cada um deles. Para além disso, apontam-se algumas limitações e sugerem-se futuras linhas de investigação. O trabalho consciente e consistente das capacidades transversais matemáticas, como a resolução de problemas, as representações matemáticas e o raciocínio têm, há muitos anos, reconhecida importância no âmbito da educação matemática. É essencial que se promovam práticas capazes de desenvolver capacidades e proficiências nos nossos alunos. Acreditamos, a par de vários estudos que têm vindo a ser publicados, que, para isso, se devem repensar algumas práticas no Ensino Superior, na formação inicial de professores do Ensino Básico, no sentido de incluir atividades que dotem estes estudantes, futuros professores, de ferramentas que lhes permitam realizar esse trabalho. A presente investigação pega nessa premissa, propondo-se a analisar os diferentes tipos de representações utilizados por estudantes da Licenciatura em Educação Básica em função do tipo de tarefas matemáticas que lhes são apresentadas e a refletir sobre a argumentação a que recorrem para comunicar, verificar, explicar, sistematizar as suas ideias e os procedimentos aos quais recorreram para resolver as referidas tarefas. Assim, foi definido como primeiro objetivo identificar os tipos de representações matemáticas utilizadas pelos estudantes da LEB e avaliar a taxa de sucesso associada a cada um deles. Para tal, foram definidas seis categorias de análise de dados, sendo que cinco delas correspondem a distintos tipos de representações matemáticas e a sexta a uma combinação de dois ou mais tipos antes categorizados. Os estudantes participantes nesta investigação utilizaram todos os tipos de representações, embora predominem claramente as representações formais que definimos por representações simbólicas matemáticas aritméticas. A maioria recorre a cálculos horizontais, realizando uma operação de cada vez. A nível individual, a taxa de sucesso no uso destas representações acaba por se revelar abaixo do esperado, atingindo apenas cerca de sessenta e quatro por cento. Há um número ainda significativo de estudantes que inicia este tipo de representações, mas não consegue encontrar resposta para as tarefas, e um valor ligeiramente inferior que corresponde aos estudantes que apresentam respostas incorretas. Estes últimos mostram-se, portanto, incapazes de verificar as suas respostas finais utilizando este tipo de representação. Ao resolverem tarefas trabalhando em grupos, a taxa de sucesso das representações simbólicas matemáticas aritméticas aumenta para cerca de oitenta e dois por cento. Nas tarefas que foram resolvidas colaborativamente, estas representações já não são as mais utilizadas, dando lugar de destaque às representações mistas, importando, todavia, referir que as representações aritméticas figuram na maior parte destes híbridos, sendo combinadas essencialmente com representações informais, como as representações pictóricas ou as representações icónicas. Tanto no trabalho individual como no trabalho em pequenos grupos, ADRIANA FERREIRA 160 os estudantes parecem ter mais sucesso com a utilização das representações mistas, do que com o uso exclusivo das representações simbólicas matemáticas aritméticas. Por sua vez, as representações icónicas são as segundas mais utilizadas na resolução de tarefas de um modo individual. Trata-se de um tipo de representação através do qual os estudantes são bem sucedidos, já que a sua taxa de sucesso ultrapassa os noventa por cento. No entanto, as representações icónicas não foram recurso na resolução das tarefas colaborativas de um modo exclusivo. Como já foi referido, foram utilizadas por alguns grupos naquilo que categorizamos como representações mistas, tendo sido articuladas com representações simbólicas verbais, simbólicas matemáticas aritméticas e simbólicas matemáticas algébricas. Nos dois primeiros casos, as representações mistas levaram todos os grupos ao sucesso, o que não aconteceu com o último caso, em que estas representações incluíam de algum modo processos algébricos. De facto, as representações simbólicas matemáticas algébricas são as que apresentam sempre taxas de sucesso mais baixas, para além de serem também, tendencialmente, das menos utilizadas. A maioria dos estudantes não privilegia este tipo de representação formal, mas, quando o fazem, o mais recorrente é não conseguirem determinar qualquer resposta ou apresentarem respostas incompletas. Outra situação também recorrente foi iniciarem a resolução com representações algébricas, mas, por incapacidade de dar continuidade ao raciocínio, abandoná-las e seguirem por representações que lhes garantissem mais segurança. Ainda assim, mesmo quando utilizadas em representações mistas, as representações com cunho algébrico parecem condenar um número muito significativo de estudantes ao insucesso. Estes estudantes parecem não sentir conforto com representações com este nível de formalidade, temendo a construção de uma equação ou o trabalho com incógnitas. A insegurança vem de maus resultados com a matemática, no geral, ou de más experiências em situações algébricas, em particular, e parece ter muito impacto no desempenho dos participantes deste estudo. Nos momentos de discussão final proporcionados para debater representações, processos e resultados, a grande maioria dos estudantes acaba por afirmar compreender a formalização, depois de apresentada e explicada pelos pares, embora assuma que não seria um percurso escolhido por considerar que é mais difícil de concretizar e mais suscetível a erros no decorrer da resolução. Por fim, as representações pictóricas, bem como as representações simbólicas verbais, são utilizadas de forma residual, aparecendo mais nas representações mistas, do que de forma exclusiva numa resolução. Ainda assim, os estudantes que a elas recorrem apresentam resultados muito satisfatórios. O segundo objetivo da investigação propunha-se a relacionar os tipos de representações matemáticas utilizadas com a natureza da tarefa matemática que é proposta. Percebemos, desde logo e como seria de esperar, que as tarefas com enunciados mais simples e com eventuais referências a algum elemento visual foram resolvidas com processos menos formais e, portanto, tendencialmente com recurso a representações do tipo pictórico ou icónico. Entre estes dois tipos de representação, encontrámos uma tendência para o uso das representações pictóricas nos estudantes mais inseguros no que à matemática diz respeito. Ao mesmo tempo, podemos concluir claramente que foram estas tarefas mais simples e que à partida poderiam parecer as menos desafiantes tendo em conta que estavam a ser apresentadas a estudantes do Ensino Superior as que deram mais jogo para a exploração de distintos tipos de Conclusões e reflexões finais 161 representações matemáticas. Podemos afirmá-lo porque, por um lado, foi nas resoluções destas tarefas que apareceu maior diversidade de representações e, por outro, estas proporcionaram discussões finais muito ricas ao nível da capacidade argumentativa e do espírito crítico em relação ao processo e às suas vantagens e desvantagens e ao resultado. Assim, parece-nos que as tarefas acessíveis, mais elementares, afastadas de conteúdos específicos da matemática e sem ter grande dependência algébrica podem ser essenciais para garantir o contacto com diferentes tipos de representações matemáticas e possibilitar a reflexão sobre as potencialidades de cada uma delas. A par disto, é importante mencionar que ao resolver tarefas que podem ser apresentadas a alunos do primeiro e segundo ciclo, futuros alunos destes futuros professores, estes últimos puderam aprender de uma forma muito significativa e com sentido sobre os conteúdos que vão ensinar, sobre processos de raciocínio, sobre diferentes tipos de representação. As dificuldades que encontraram podem ser as dificuldades que os seus futuros alunos encontrarão, o que garante que se estão a preparar com mais consistência para aquele que será o seu papel de professores, quer no que diz respeito à planificação de atividades promotoras de construção de conhecimento, quer no âmbito da organização e dinâmica da sala de aula. Os participantes reconheceram a importância da resolução de problemas como estes e valorizaram-nos para a exploração de métodos informais para a atividade matemática. De facto, consideramos que estas tarefas se revelaram muito interessantes para que os estudantes experimentassem na própria pele o papel de relevo que representações e processos informais podem ter para a atividade matemática, dando-lhes a certeza de que permitem a construção de conhecimento, mesmo para aqueles que não os reconheciam como próprios da disciplina. Estes estudantes também foram sendo capazes de reconhecer valor a estas representações informais para o desenvolvimento de outros processos e estratégias gradualmente mais formais. Por outro lado, as tarefas mais complexas, que implicavam resoluções em vários passos e mais do que um valor desconhecido, aquelas que apresentavam dependência algébrica, conduziram a maioria dos estudantes a optar por resoluções mais formais, nas quais predominaram as representações simbólicas matemáticas do tipo aritmético ou do tipo algébrico. Embora tivessem permitido discutir tópicos do programa da unidade curricular e analisar algumas resoluções mais estruturadas, parecem-nos menos adequadas para o propósito de conhecer e analisar diferentes tipos de representações e, assim, preparar melhor estes estudantes, futuros professores, para alunos que os irão certamente desafiar com formas de pensar em matemática alternativas. Conscientes que as representações matemáticas podem ser utilizadas com funções muito distintas, definimos como terceiro objetivo desta investigação aferir quais as funções das representações utilizadas pelos estudantes da Licenciatura em Educação Básica, procurando pontes entre os tipos de representação categorizados e a resposta à pergunta “para quê?”. Estes estudantes utilizaram as representações para diversos fins, desde organizar a informação veiculada no enunciado da tarefa para melhor compreender o problema ou auxiliar na definição de uma estratégia, até concretizar raciocínios, explorar diferentes possibilidades e registá-las, verificar ou refutar respostas ou comunicar ideias aos pares e/ ou professores. Com as questões do teste inicial individual, bem como com as tarefas colaborativas, percebemos que estes estudantes privilegiam o uso de representações informais, principalmente as icónicas, para organizar as ideias presentes no enunciado, procedendo àquilo que é a ADRIANA FERREIRA 162 transposição de informação em linguagem corrente para linguagem simbólica. Este tipo de representação torna claro o desafio que lhes é proposto e, portanto, facilita a definição de estratégias de resolução. As representações são assumidamente essenciais para a correta interpretação do problema, funcionando como uma ferramenta para o raciocínio matemático, já que são vários os relatos similares a “organizar assim os dados ajuda-me a pensar” ou “só depois de fazer o esquema é que percebi que conta tinha de fazer”. Note-se que alguns estudantes conseguem concretizar esta primeira etapa sem qualquer tipo de representação externa. Para colocar em prática as estratégias definidas, os estudantes já optam, na sua maioria, por representações simbólicas matemáticas com maior nível de formalismo. Assim, as representações aritméticas e as representações algébricas surgem essencialmente para procurar uma resposta para a tarefa, materializando-se, por exemplo, em cálculos horizontais ou algoritmos ou na construção e resolução de uma equação ou de um sistema de equações. Os esquemas, diagramas ou tabelas, que categorizámos como representações icónicas, também são utilizados com este fim, embora representem uma pequena minoria. As representações simbólicas matemáticas aritméticas também cumprem uma outra função na resolução de tarefas para os participantes neste estudo: verificar ou refutar respostas. Por variadas ocasiões, estas representações foram utilizadas pelos estudantes, depois de encontrarem uma resposta, para confirmar a sua validade. Outros usaram-nas para apresentar contra-exemplos e, dessa forma, discordarem das respostas apresentadas pelos colegas. Nas duas situações, fizeram-no através de cálculos simples, um de cada vez, de maneira a não criar dificuldades acrescidas e a dar um maior grau de certeza. Embora revelassem compreensão rápida sempre que se discutiam representações icónicas, predominando expressões como “muito intuitiva” ou “super fácil”, a verdade é que também foram as representações aritméticas, mais formais, as que predominaram na comunicação de ideias e nos episódios argumentativos. Por aquilo que exteriorizaram estes estudantes, acreditámos que o fizeram por sentirem alguma confiança com este tipo de representação, mas também muito porque sentem que são representações mais adequadas ao nível de ensino em que se encontram, considerando que o que se espera deles é essa capacidade de apresentar ideias matemáticas de forma clara, num discurso organizado e formal, que inclua estruturas específicas da matemática. Ainda no que à comunicação diz respeito, também concluímos que as representações simbólicas verbais foram utilizadas pelos estudantes para garantir eficácia nesta competência. Principalmente quando combinadas com outros tipos de representações, estas fazem com que os estudantes que as usam, por vezes não certos de que tenham utilizado uma estratégia clara ou adequada, se certifiquem que quem vai analisar a sua resolução a entende passo a passo. Outra vertente muito marcante desta investigação é a resolução de tarefas matemáticas em pequenos grupos, motivo pelo qual se definiu um quarto objetivo que consiste em averiguar de que forma é que o trabalho colaborativo pode favorecer a utilização de representações matemáticas diversas, progressivamente estruturadas. Considerámos que recolhemos indícios para este objetivo não apenas na resolução das tarefas matemáticas, mas também nos momentos de discussão de resultados proporcionados no final das sessões, mesmo naquelas em que o trabalho de exploração da questão e resolução foi realizado individualmente.