Códigos: clásicos y cuánticos

Universitat Jaume I Escuela Superior de Tecnolog ´ ıa y Ciencias Experimentales Departamento de Matem´ aticas Trabajo de Fin de M´ aster C´odigos: cl´asicos y cu´anticos Autor: Laura Clara Jover Galtier Supervisor: Dr. Fernando Javier Hernando Carrillo 2 ´ Indice general 1. Introducci´on 5 2. C´odigos Cl´asicos 8 2.1. La informaci´on digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2. C´odigoslineales.................................. 9 2.2.1. Matrices generatriz y de paridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.2. Distancia m´ınima y peso m´ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3. C´odigos Reed-Solomon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4. C´odigosc´ıclicos.................................. 14 2.4.1. Noci´on de c´odigo c´ıclico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4.2. Matrices generatriz y de paridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3. Fundamentos de la Computaci´on Cu´antica 16 3.1. Bitscu´anticos................................... 17 3.1.1. Sistemas con un ´unico qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1.2. Sistemas con varios qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2. Puertasl´ogicas .................................. 20 3.2.1. Puertas l´ogicas en sistemas con un ´unico qubit . . . . . . . . . . . . . 20 3.2.2. Puertas l´ogicas en sistemas con varios qubits . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3. Circuitoscu´anticos ................................ 22 3.3.1. ¿Es posible copiar qubits? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3.2. Ejemplo: Teleportaci´on cu´antica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4. C´odigos Cu´anticos 28 4.1. Tipos de errores y c´omo corregirlos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.1.1. C´odigo de inversi´on del bit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.1.2. C´odigo de inversi´on del signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2. Elc´odigodeShor................................. 34 4.3. Teor´ıa de correcci´on de errores cu´antica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3.1. Discretizaci´on de los errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3.2. C´odigos degenerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3.3. La cota cu´antica de Hamming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.4. C´odigos estabilizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 4.4.1. El formalismo estabilizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.4.2. Puertas unitarias y el formalismo estabilizador . . . . . . . . . . . . . 41 4.4.3. Medida en el formalismo estabilizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.4.4. El teorema de Gottesman-Knill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.4.5. Construcci´on de c´odigos estabilizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.5. Construcci´on de C´odigos Cu´anticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.5.1. C´odigos Calderbank-Shor-Steane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.5.2. C´odigos Reed-Solomon cu´anticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4 Cap´ıtulo 1 Introducci´on En este trabajo vamos a estudiar los c´odigos de correcci´on de errores, tanto cl´asicos como cu´anticos. Estos c´odigos sirven para corregir la informaci´on digital cuando ´esta se corrompe al ser enviada a trav´es de un canal con ruido. La teor´ıa cl´asica de la informaci´on surgi´o a finales de la Segunda Guerra Mundial, y fue iniciada en 1948 por Claude Shannon, con su publicaci´on “A Mathematical Theory of Communication” [2]. Durante esa ´epoca se busc´o una manera m´as eficiente de emplear los canales de comunicaci´on, teniendo como objetivo el encontrar una transmisi´on ´optima de los mensajes. Ya desde la d´ecada de 1910 se comenz´o a estudiar el problema, con los art´ıculos publicados por A. Markovi. R. Hartley [3] continu´o su trabajo, y fue qui´en desarroll´o el lenguaje binario en 1927. Tras esto, en 1936, A. Turing ide´o una m´aquina capaz de tratar informaci´on con emisi´on de s´ımbolos. Y, finalmente, C. Shannon junto a W. Weaver particip´o en la culminaci´on y asentamiento de la Teor´ıa de la Informaci´on y la Computaci´on Cl´asicas. Weaver alcanz´o un planteamiento superior al inicial, creando un modelo lineal simple: la informaci´on parte de una fuente, es codificada, se transmite por un canal, se decodifica y alcanza su destino. La Teor´ıa de la Informaci´on abarca m´ultiples formas de transmisi´on y almacenamiento de informaci´on, como pueden ser la televisi´on, los impulsos el´ectricos de los ordenadores, los sistemas de comunicaci´on por radio, la grabaci´on ´optica de datos e im´agenes. . . El objetivo de la Teor´ıa de la Informaci´on es garantizar que el transporte masivo de datos no implique una p´erdida de calidad, incluso en el caso de que se produzca una compresi´on para su mejor transmisi´on o almacenamiento. De manera ideal, los datos se podr´ıan devolver a su forma original al llegar a su destino, aunque vamos a ver que lo que podemos hacer es disminuir la probabilidad de que se produzcan errores, sin poder garantizar que el resultado sea en todos los casos la recuperaci´on completa de la informaci´on transmitida. 5 Por otra parte, la computaci´on cu´antica es un modelo de computaci´on distinto a la computaci´on cl´asica. Emplea qubits en lugar de bits para almacenar la informaci´on, y precisa de nuevas puertas l´ogicas, permitiendo crear nuevos algoritmos. Una misma tarea puede tener distinta complejidad en cada tipo de computaci´on. As´ı, algunos problemas sencillos en la computaci´on cl´asica se vuelven m´as complejos en la cu´antica. Sin embargo, existen procesos inabarcables para la computaci´on cl´asica que se podr´ıan resolver mediante la computaci´on cu´antica. Con el transcurso de los a˜nos, los elementos de un computador cl´asico se han ido volviendo m´as peque˜nos. Cada vez caben m´as transistores en menos espacio, por lo que los microchips se vuelven m´as peque˜nos y los chips alcanzan velocidades mayores. Sin embargo, este proceso de disminuci´on del tama˜no de los elementos de las computadoras tiene un l´ımite, puesto que al alcanzar un tama˜no extremadamente peque˜no empezamos a encontrar fen´omenos inesperados, como el hecho de que los electrones saltan entre los distintos canales por los que deben circular debido al efecto t´unel. Esto sucede porque pasamos del mundo macrosc´opico al microsc´opico, por lo que encontramos fen´omenos de la F´ısica Cu´antica que no hab´ıamos presenciado antes en la computaci´on. Una part´ıcula cl´asica, al encontrarse con un obst´aculo rebota sin atravesarlo. Sin embargo los electrones son part´ıculas cu´anticas y en ocasiones pueden comportarse como ondas, por lo que existe una probabilidad de que puedan atravesar el obst´aculo si es lo suficientemente delgado. ´ Esto hace que los chips dejen de funcionar correctamente al llegar a un tama˜no determinado. Es por esto que la computaci´on cl´asica no tardar´a en llegar a su l´ımite, surgiendo as´ı la necesidad de desarrollar nuevas tecnolog´ıas. Aqu´ı es donde la computaci´on cu´antica se convierte en un importante objeto de estudio. La idea de la computaci´on cu´antica surge en 1981, cuando Paul Benioff expuso su teor´ıa para aprovechar las leyes cu´anticas en el entorno de la computaci´on. La relaci´on entre la informaci´on cu´antica y la cl´asica es objeto de muchos estudios actualmente. Existen muchas similitudes entre ellas, aunque tambi´en hay diferencias sustanciales entre las dos. La informaci´on cl´asica no puede viajar a velocidades m´as r´apidas que la luz, mientras que la informaci´on cu´antica parece poder hacerlo (aunque vamos a ser capaces de resolver esta paradoja a lo largo del trabajo). La informaci´on cl´asica se puede duplicar, mientras que la cu´antica no (v´ease referencia [10]). 6 Ya es conocido que la informaci´on cl´asica se puede proteger de la degradaci´on empleando c´odigos cl´asicos de correcci´on de errores. Estos c´odigos parecen proteger la informaci´on cl´asica duplic´andola, por lo que, debido al teorema que presentaremos en los siguientes cap´ıtulos que indica que los bits cu´anticos no pueden duplicarse, se pensaba que estas t´ecnicas de correcci´on no se pod´ıan aplicar a la informaci´on cu´antica. Sin embargo, recientemente se demostr´o que en realidad s´ı existen los c´odigos cu´anticos de correcci´on de errores. El objetivo de este trabajo es estudiar c´omo construirlos, siguiendo para ello la siguiente estructura. En el segundo cap´ıtulo estudiaremos los c´odigos cl´asicos, comenzando con una introducci´on a la motivaci´on de su desarrollo. Tras esto estudiaremos los c´odigos lineales cl´asicos, prestando especial inter´es a los c´odigos Reed-Solomon. Por ´ultimo veremos la teor´ıa de los c´odigos c´ıclicos. En particular, para cada clase de c´odigo estudiaremos sus matrices generatriz y de paridad y la manera en la que pueden corregir los errores que se producen en el mensaje. A continuaci´on, desarrollaremos los fundamentos de la computaci´on cu´antica, incluyendo la definici´on del estado de un qubit, la construcci´on de las puertas l´ogicas cu´anticas a partir de las cl´asicas y su empleo en la fabricaci´on de los circuitos cu´anticos. Por ´ultimo, desarrollaremos una teor´ıa para la construcci´on de los c´odigos cu´anticos y su correcci´on de errores, empleando como base la teor´ıa de los c´odigos cl´asicos y los fundamentos vistos en el tercer cap´ıtulo. En primer lugar, estudiaremos los tipos de errores que se pueden producir en los qubits al transmitir la informaci´on cu´antica a trav´es del canal. A continuaci´on, veremos la teor´ıa de correcci´on de errores que indica c´omo recuperar el mensaje inicial. Emplearemos todo lo visto anteriormente para alcanzar nuestro objetivo, desarrollar una teor´ıa que nos permita construir c´odigos cu´anticos de correcci´on de errores. 7 Cap´ıtulo 2 C´odigos Cl´asicos Los c´odigos de correcci´on de errores cl´asicos tienen muchas aplicaciones tecnol´ogicas. En especial, la teor´ıa de los c´odigos lineales cl´asicos presenta muchas t´ecnicas que tienen importantes implicaciones en la teor´ıa de correcci´on de errores cu´antica, permiti´endonos desarrollar una amplia variedad de c´odigos de correcci´on de errores cu´anticos.[2][3][4][5][6][15] 2.1. La informaci´on digital La informaci´on digital se caracteriza por presentarse en un formato discreto. Si Aes un conjunto finito y A∗es el conjunto de secuencias finitas en las que se puede dividir el conjunto A, la informaci´on digital se presenta como una secuencia m=x1x2··· ∈ A∗. Una vez se tiene la informaci´on en forma de secuencias, se puede manipular o transmitir. Si la informaci´on se transmite, sigue el siguiente esquema: el emisor la env´ıa por un canal hasta el receptor. El canal por el que se env´ıa la informaci´on puede ser espacial o temporal. Al recibir la informaci´on, el receptor no puede estar seguro de que no se hayan producido errores en alg´un lugar del mensaje durante la transmisi´on. Sin embargo, es capaz de conocer la frecuencia con la que se producen errores en el canal, por lo que puede conocer la media de errores que se pueden haber producido en el mensaje. Para facilitar la correcci´on de los errores tras la transmisi´on, codificamos el mensaje introduciendo informaci´on redundante siguiendo unas reglas sistem´aticas. Un ejemplo de codificaci´on es el de triplicar cada secuencia que se env´ıa. Esta informaci´on codificada es la que realmente se env´ıa, y gracias a esta redundancia el receptor puede detectar, y en algunos casos corregir, los errores que se hayan podido producir, recuperando as´ı el mensaje original. 8 2.2. C´odigos lineales Un bloque de c´odigo Ces un conjunto de Mpalabras C={c1, c2, . . . , cM} ci= (ci0, ci1, . . . , cin−1) donde las palabras son n-tuplas. Denominamos na la longitud del c´odigo. Los elementos cij pertenecen a un alfabeto finito de qs´ımbolos. Habitualmente nos vamos a encontrar con c´odigos lineales, que se describen como espacios vectoriales. Supongamos que Fes un cuerpo y nun n´umero natural, entonces los elementos de Fnse pueden ver como un espacio vectorial V= (Fn,+,F) donde x, y ∈Fn x= (x0, x1, . . . , xn−1) y= (y0, y1, . . . , yn−1) x+y= (x0+y0, x1+y1, . . . , xn−1+yn−1) λx = (λx0, λx1, . . . , λxn−1) con λ∈F Recordemos que un espacio vectorial tiene una base, es decir, un conjunto de vectores linealmente independientes, y que el n´umero de elementos de la base indica la dimensi´on del espacio vectorial. Definici´on 2.1. Un bloque de c´odigo lineal C[n, k], es un subespacio k-dimensional del espacio vectorial V. El vector nulo siempre es una palabra. El n´umero de palabras es M=qk, siendo qel n´umero de elementos del cuerpo F. Cuando un c´odigo contiene informaci´on, ´esta se encuentra en forma de una larga secuencia de n´umeros binarios. La secuencia se divide en bloques de longitud k, cada uno de los cuales denominaremos u. Por lo tanto, necesitamos una funci´on que codifique estos vectores en palabras del c´odigo. En la codificaci´on sistem´atica, las primeras kcoordenadas de las palabras del c´odigo son los elementos de cada bloque u, mientras que las restantes n−k coordenadas de la palabra se denominan s´ımbolos de paridad, nombre que justificaremos m´as adelante. 9 Cap´ıtulo 3 Fundamentos de la Computaci´on Cu´antica La computaci´on cu´antica y la informaci´on cu´antica es el estudio del trabajo de procesado de la informaci´on que puede ser realizado por sistemas mec´anicos cu´anticos. La Mec´anica Cu´antica es un conjunto de reglas empleadas para la construcci´on de teor´ıas f´ısicas. Estas reglas son simples, pero van en contra de nuestra intuici´on, por lo que tanto la computaci´on como la informaci´on cu´antica tienen su origen en los esfuerzos de comprender mejor la Mec´anica Cu´antica. El objetivo de este estudio es desarrollar herramientas que nos permitan mejorar nuestra intuici´on sobre ese campo. Por ejemplo, a principio de 1980 se pensaba que se pod´ıan emplear los efectos cu´anticos para enviar informaci´on a una velocidad mayor que la de la luz, lo cual contradec´ıa la Teor´ıa de la Relatividad de Einstein. Esto podr´ıa producirse si se pudieran clonar los estados cu´anticos. Sin embargo, como veremos m´as adelante, ´esto no es posible, por lo que se sigue cumpliendo la Teor´ıa de la Relatividad. Un objetivo que ha contribuido al desarrollo de la computaci´on y la informaci´on cu´anticas es el inter´es en obtener un control completo sobre sistemas cu´anticos simples, es decir, con un ´unico elemento. Desde 1970 se han desarrollado muchas t´ecnicas para controlar sistemas cu´anticos sencillos, como puede ser el caso de atrapar un ´unico ´atomo y aislarlo del resto del mundo, pudiendo as´ı probar muchos aspectos distintos de su comportamiento con una gran precisi´on. La manera de relacionar la Mec´anica Cu´antica con la computaci´on e informaci´on cu´anticas es la Ciencia de la Computaci´on, que se ha desarrollado a lo largo de miles de a˜nos, puesto que sus or´ıgenes se extienden hasta los tiempos de Hammurabi (1750 a.c.), cuando se empezaron a desarrollar algunas ideas de algoritmos muy sofisticados. Conforme han avanzado los tiempos, se han conseguido crear m´aquinas que sean capaces de implementar diversos algoritmos, llegando hasta los ordenadores actuales. 16 Sin embargo, el desarrollo de la computaci´on empieza a encontrar problemas para seguir minimizando el tama˜no de los aparatos electr´onicos, debido a que empiezan a interferir algunos efectos cu´anticos en su funcionamiento. Una posible soluci´on a este problema ser´ıa cambiar el paradigma de la computaci´on actual. Un paradigma alternativo ser´ıa el que propone emplear la Mec´anica Cu´antica en la computaci´on en sustituci´on de la F´ısica Cl´asica. De esta manera se podr´ıan realizar simulaciones de manera eficiente que no son posibles de implementar en la computaci´on cl´asica eficientemente. Cuando decimos que un algoritmo es eficiente nos referimos a que se ejecuta en un tiempo polinomial del tama˜no del problema resuelto. Por otra parte, cuando un algoritmo es ineficiente necesita un tiempo que normalmente es exponencial. Para entender c´omo funciona la computaci´on cu´antica, es necesario comprender en primer lugar algunos fundamentos de la Mec´anica Cu´antica, por lo que vamos a dedicar este cap´ıtulo a explicar estos aspectos. [7][10][11][13] 3.1. Bits cu´anticos En computaci´on cl´asica, el concepto fundamental es el bit. An´alogamente, en computaci´on cu´antica se emplea el objeto matem´atico bit cu´antico o qubit. Los bits cl´asicos se encuentran en un estado 0 ´o 1, y los qubits se comportan de manera similar. 3.1.1. Sistemas con un ´unico qubit Dos posibles estados de los qubits son el |0iy el |1i. Sin embargo, los qubits pueden encontrarse en otros estados, siendo estos superposici´on de los dos anteriores |ψi=α|0i+β|1i Donde αyβson n´umeros complejos, aunque en muchas ocasiones pueden considerarse n´umeros reales. Por lo tanto, podemos considerar que el estado de un qubit es un vector en un espacio vectorial complejo bidimensional. De esta manera, los estados |0iy|1ise pueden entender como una base de estados computacionales, formando as´ı una base ortonormal de este espacio vectorial. Al intentar conocer el estado de un qubit nos encontramos con el siguiente problema: al realizar una medida, no podemos determinar el estado cu´antico de un qubit, sino que ´este se decantar´a por uno de los dos estados de la base. Es decir, si medimos el qubit |ψique hemos definido anteriormente, obtendremos como resultado el estado |0icon probabilidad |α|2, o el estado |1icon probabilidad |β|2. Por supuesto, |α|2+|β|2= 1, dado que la suma de las probabilidades debe ser la unidad. Por lo tanto, podemos considerar que el estado del qubit es un vector unitario en el espacio vectorial complejo bidimensional, puesto que su norma debe ser igual a 1. 17 Una vez vista la superposici´on en la que se puede encontrar el estado de un qubit, podemos llegar a la conclusi´on de que los qubits pueden existir en un continuo de estados entre |0iy |1i. Un estado particular que vamos a emplear en varias ocasiones es el siguiente |+i=1 √2|0i+1 √2|1i Al medir este qubit obtendremos como restultado el estado |0ila mitad de las veces y el |1i la otra mitad. Este estado se denota como |+i, mientras que el estado |−i es el que vemos a continuaci´on |−i =1 √2|0i− 1 √2|1i Existen varios experimentos f´ısicos mediante los que se consigue llevar a los electrones del estado |0ial |1i, como puede ser el caso de excitar sus niveles energ´eticos mediante fotones, donde se conocen la energ´ıa y tiempo necesarios para llevar a los electrones a un estado intermedio, el |+i. Otro problema que encontramos al determinar el estado de un qubit es que, al realizar la medida, el qubit pasa a encontrarse en el estado medido. Por lo tanto, la medida cambia el estado del qubit, y lo colapsa, pasando de encontrarse en una superposici´on de estados de la base a ser uno de estos estados de la base. Este comportamiento es uno de los postulados fundamentales de la Mec´anica Cu´antica. Figura 1: Izquierda: Medida del estado de un bit cl´asico. Derecha: Medida del estado de un bit cu´antico. Por lo tanto, aunque los qubits pueden contener infinita informaci´on, puesto que hay infinitas superposiciones posibles, s´olo podemos obtener bits individuales de informaci´on sobre su estado. S´olo si pudi´eramos acceder a una fuente inagotable de qubits id´enticos podr´ıamos conocer los valores de αyβ. 18 Tambi´en es interesante mencionar que la medida del estado de un qubit se puede realizar en otras bases distintas a la computacional. Por ejemplo, podemos tomar como base los estados |+iy|−i, de manera que podemos reescribir el estado |ψi=α|0i+β|1icomo |ψi=α|0i+β|1i=α|+i+|−i √2+β|+i−|−i √2=α+β √2|+i+α−β √2|−i Y al realizar la medida podr´ıamos obtener como resultado el estado |+icon probabilidad |α+β|/2 o |−i con probabilidad |α−β|/2. En general, dada una base de estados |aiy|bi, podemos expresar un estado arbitrario como una combinaci´on lineal de esta base α|ai+β|bi. Si los estados son ortonormales, podemos realizar una medida con respecto a la base |aiy|bi, obteniendo como resultado |ai con probabilidad |α|2o|bicon probabilidad |b|2. 3.1.2. Sistemas con varios qubits Supongamos que tenemos dos qubits. Si se tratara de dos bits cl´asicos, los posibles estados ser´ıan 00 01 10 11 Por lo tanto, en el caso de los bits cu´anticos lo que encontramos es una sistema con cuatro elementos en la base de estados computacionales |00i |01i |10i |11i Un par de qubits puede existir en una superposici´on de estos cuatro estados, empleando una vez m´as coeficientes complejos, que en muchas ocasiones podremos asumir reales |ψi=α00|00i+α01|01i+α10|10i+α11|11i En este caso, el resultado de medir el sistema de qubits ser´a x, donde x= 00,01,10,11, con probabilidad αx. Una vez realizada la medida, el estado del sistema pasar´a a ser el medido, |xi. En este caso, la condici´on de normalizaci´on es la siguiente X x∈{0,1}2|αx|2= 1 Sin embargo, en este caso realizar la medida no es tan sencillo. Para ello, debemos medir cada qubit por separado. Supongamos que medimos en primer lugar, el primer qubit, y obtenemos el estado |0icon probabilidad |α00|2+|α01|2. El estado del qubit tras la medida ser´a |ψ0i=α00|00i+α01|01i q|α00|2+|α01|2 19 La funci´on del denominador es normalizar este nuevo estado, satisfaciendo as´ı la condici´on de normalizaci´on existente. Un estado importante en un sistema de dos qubits es el estado de Bell o par EPR 1 √2(|00i+|11i) Su importancia radica en que la medida del segundo qubit siempre coincide con la del primero, es decir, la medida est´a correlacionada. 3.2. Puertas l´ogicas Los cambios que suceden en los estados de los qubits se pueden describir mediante la Computaci´on Cu´antica. Los ordenadores cu´anticos se construyen mediante circuitos cu´anticos que consisten en un conjunto de cables y puertas l´ogicas cu´anticas, permiti´endonos manipular la informaci´on cu´antica. 3.2.1. Puertas l´ogicas en sistemas con un ´unico qubit Algunas puertas l´ogicas cl´asicas tienen su an´alogo en la computaci´on cu´antica (v´ease referencia [11]). Es el caso de la puerta NOT. Existen varios procesos que llevan a los qubits del estado |0ial |1iy viceversa. Sin embargo, saber que ´esto se produce en la base de los estados cu´anticos no es suficiente para conocer qu´e ocurre en el caso de tener una superposici´on de estados sin conocer m´as profundamente las propiedades de las puertas l´ogicas cu´anticas. De hecho, la puerta cu´antica NOT act´ua de manera lineal, llevando el estado α|0i+β|1i al estado en el que el papel de los estados |0iy|1ise han intercambiado α|1i+β|0i Este comportamiento lineal es una propiedad general de la Mec´anica Cu´antica, puesto que si no se diera podr´ıamos encontrar paradojas como la posibilidad de viajar en el tiempo, comunicaciones a mayor velocidad que la luz, y la violaci´on de la segunda ley de la Termodin´amica. Podemos representar la puerta l´ogica cu´antica NOT en forma de matriz X≡0 1 1 0  20 Escribiendo el estado cu´antico de un qubit mediante notaci´on vectorial α β de manera que la primera fila corresponde al estado |0iy la segunda al |1i, entonces al aplicar la puerta NOT el estado resultante es Xα β=β α Por lo tanto, las puertas l´ogicas en sistemas con un ´unico qubit pueden escribirse en forma de matrices cuadradas 2 ×2. La condici´on de normalizaci´on se debe cumplir tambi´en tras la actuaci´on de una puerta l´ogica, de manera que en el estado |ψ0i=α0|0i+β0|0idebe mantener la propiedad |α0|2+|β0|2= 1. ´ Esto nos indica otra propiedad de estas matrices, y es que han de ser unitarias, es decir, U†U=I, donde U†es el adjunto de UeIes la matriz identidad 2 ×2. La unitariedad es la ´unica condici´on que deben cumplir las puertas cu´anticas. De ah´ı que existan muchas puertas no triviales de un ´unico qubit, en contraste con las puertas cl´asicas donde la ´unica puerta no trivial de un ´unico bit es el NOT. Dos puertas importantes que se emplean un gran n´umero de veces son la puerta Z Z≡1 0 0−1 que no cambia el estado |0iy cambia el signo del estado |1i, y la puerta de Hadamard H≡1 √21 1 1−1 Esta puerta cambia el estado |0ial estado |+ique hab´ıamos presentado anteriormente, y el estado |1ial |−i. Es interesante observar que H2no es una puerta, puesto que H2=I, de manera que si aplicamos dos veces Ha un estado, ´este se mantiene sin cambios. Figura 2: Puertas l´ogicas para sistemas con un ´unico qubit. 21 3.2.2. Puertas l´ogicas en sistemas con varios qubits El prototipo de puerta l´ogica cu´antica para m´ultiples qubits es la puerta CNOT. Esta puerta l´ogica tiene dos elementos de entrada, el qubit de control (representado en la l´ınea superior) y el qubit objetivo (en la l´ınea inferior). Figura 3: Puerta l´ogica CNOT para sistemas con varios qubits. Esta puerta funciona de la siguiente manera: si el qubit de control se encuentra en el estado |0i, el objetivo se queda como est´a. Sin embargo, si el de control se encuentra en el |1i, el objetivo cambia de estado. |00i→|00i |01i→|01i |10i→|11i |11i→|10i Tambi´en podemos verlo como una generalizaci´on de la puerta XOR cl´asica, o en forma de matriz unitaria UCN =    1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0     Una propiedad de las puertas cu´anticas es que siempre son reversibles, por lo que una puerta puede ser siempre invertida por otra. Adem´as, se ha demostrado que cualquier puerta l´ogica para un sistema con m´ultiples qubits puede descomponerse en una puerta CNOT y una puerta l´ogica para sistemas con un ´unico qubit. 3.3. Circuitos cu´anticos Vamos a estudiar m´as detalladamente los componentes de los circuitos cu´anticos. Un ejemplo de circuito simple con tres puertas l´ogicas es el que observamos en la imagen 4. Los circuitos se leen de izquierda a derecha. Cada l´ınea representa un cable del circuito cu´antico. Sin embargo, estos cables no tienen por qu´e ser f´ısicos, pueden representar el paso del tiempo, o de una part´ıcula como un fot´on movi´endose de un lugar a otro del espacio, por ejemplo. 22 Figura 4: Circuito para intercambiar dos qubits. El circuito representado se emplea para intercambiar los estados de los dos qubits. Veamos c´omo act´ua este circuito sobre dos qubits con sus estados en una base de estados computacional |a, bi. |a, bi → |a, b ⊕ai → |a⊕(b⊕a), b ⊕ai=|b, b ⊕ai → |b, (b⊕a)⊕bi=|b, ai Existen algunos aspectos de los circuitos cl´asicos que no se aceptan en los cu´anticos. Por ejemplo, no est´a permitido realizar “loops”, es decir, volver desde una parte posterior del circuito a otra anterior, por lo que decimos que los circuitos son ac´ıclicos. Adem´as, no se permite que se unan dos cables simult´aneamente a un tercero, puesto que esta operaci´on no ser´ıa reversible. Por otra parte, tampoco est´a permitido el caso contrario, que de un cable salgan dos, puesto que se producir´ıan copias del qubit y la Mec´anica Cu´antica lo proh´ıbe. Podemos necesitar introducir nuevas puertas l´ogicas, por lo que vamos a ver otra convenci´on sobre los circuitos cu´anticos. Supongamos que Ues cualquier matriz unitaria que act´ua sobre nqubits, de manera que podemos entender que Ues una puerta cu´antica para estos qubits. Podemos definir una puerta CU como extensi´on de la ya conocida CNOT. Esta puerta tendr´ıa un ´unico qubit de control y n qubits objetivo, de manera que si el qubit de control se encuentra en el estado |0ino sucede nada y si se encuentra en el |1ise aplica la puerta Ua los objetivos. Figura 5: Puerta CU. 23 Un ejemplo t´ıpico de puerta CU es la puerta CNOT, que es una puerta CU con U=X. Figura 6: Dos representaciones distintas para la puerta CNOT. Otra operaci´on importante es la medida, que se representa mediante un s´ımbolo de medidor, como se observa en la imagen 7. Esta operaci´on convierte un qubit con estado |ψi=α|0i+β|1ien un bit cl´asico probabil´ıstico que denominaremos M, que se distingue de los qubits mediante el dibujo de un cable con una l´ınea doble, y toma el valor 0 con probabilidad |α|2o 1 con probabilidad |β|2. Figura 7: S´ımbolo en los circuitos cu´anticos para la medida. 3.3.1. ¿Es posible copiar qubits? La puerta CNOT nos va a permitir responder a esta pregunta, demostrando esta propiedad fundamental de la informaci´on cu´antica. En primer lugar estudiemos c´omo se copian los bits cl´asicos. Para ello se emplea una puerta CNOT cl´asica. Se toma como bit de control aquel que se quiere copiar y como bit objetivo uno inicializado a 0, como se observa en la imagen 8. As´ı obtenemos como resultado dos bits id´enticos. Figura 8: Circuito cl´asico para copiar un bit desconocido. 24 Supongamos que intentamos copiar un qubit con estado desconocido |ψi=a|0i+b|1i empleando la puerta CNOT cu´antica. Al unir los dos qubits el estado que obtenemos es el siguiente [a|0i+b|1i]|0i=a|00i+b|10i Recordemos que la puerta CNOT niega el segundo qubit cuando el primero se encuentra en el estado |1i, de manera que el estado final del qubit objetivo es a|00i+b|11i. Por lo tanto, si lo que intentamos copiar es un qubit con estado |ψi=|0io|ψi=|1i, es decir, si se comporta como un bit cl´asico, obtenemos una copia del estado, lo que significa que los circuitos cu´anticos pueden copiar informaci´on cl´asica codificada como |0io|1i. Sin embargo, para un estado general |ψisabemos que |ψi|ψi=a2|00i+ab|01i+ab|10i+b2|11i Por lo tanto, a menos que ab = 0, el circuito de la imagen 9 no copia el estado inicial. Figura 9: Circuito cu´antico para ”copiar“ un qubit desconocido. De hecho, es imposible crear una copia de un estado cu´antico desconocido. Esta propiedad de la imposibilidad de copiar qubits se conoce como el teorema de la no-clonaci´on, y es una de las diferencias principales entre la informaci´on cl´asica y la cu´antica. 3.3.2. Ejemplo: Teleportaci´on cu´antica La teleportaci´on cu´antica es una t´ecnica que permite mover estados de un lugar a otro, incluso si no existe ning´un canal cu´antico que comunique el lugar desde donde se env´ıa con el lugar de recepci´on. Como curiosidad, en julio de 2017 un grupo de cient´ıficos chinos consiguieron enviar un paquete de informaci´on desde el Tibet hasta un sat´elite en ´orbita que se encontraba a 1400 kil´ometros de la superficie terrestre, batiendo as´ı el r´ecord de la distancia m´as larga recorrida mediante la teleportaci´on. Veamos c´omo funciona. Supongamos que Alice y Bob generan un par EPR del que cada uno coge un qubit y se separan. Un tiempo despu´es, Alice necesita mandar un qubit |ψia Bob, sin conocer su estado y pudiendo enviar ´unicamente informaci´on cl´asica. 25 Existe otra manera de entender la medida del s´ındrome ´util para generalizar el c´odigo de tres qubits. Supongamos que en lugar de emplear las cuatro proyecciones P0,P1,P2y P3, realizamos dos medidas, la primera con el observable Z1Z2(es decir, Z⊗Z⊗I), y la segunda con Z2Z3. Cada uno de estos observables tienen autovalores ±1, de manera que cada medida produce un bit de informaci´on. De la medida completa obtenemos dos bits, es decir, cuatro posibles s´ındormes de error. La primera medida se puede entender como la comparaci´on entre los dos primeros qubits y la segunda como la comparaci´on entre los dos ´ultimos. La medida de Z1Z2da como resultado +1 si los qubits son iguales, o −1 si son distintos. De la misma manera, la medida de Z2Z3obtiene como resultado +1 si el segundo y tercer qubits son iguales, o −1 en el caso contrario. Combinando las dos medidas podemos saber si se ha producido una inversi´on del bit o no y d´onde: Si ambos resultados son +1, entonces no se ha producido ninguna inversi´on de bit. Si la medida de Z1Z2da +1 y la de Z2Z3da −1, el tercer qubit ha sido invertido. Si el resultado de medir Z1Z2es −1 y el de medir Z2Z3es +1, lo m´as probable es que ´unicamente el primer qubit haya sido invertido. Si el resultado de ambas medidas es −1, el invertido habr´a sido el segundo qubit. Es importante recalcar que ninguno de los dos procesos de medida da informaci´on sobre los valores de aybni destruyen la superposici´on de estados cu´anticos. 4.1.2. C´odigo de inversi´on del signo Otro canal cu´antico ruidoso interesante es el que da lugar al modelo de inversi´on de signo para sistemas de un ´unico qubit. En este modelo, el qubit se mantiene en su estado original con probabilidad 1 −p, mientras que con probabilidad pla fase relativa de los estados |0iy |1ies invertida. Esto se traduce en que el operador de inversi´on de signo Zse aplica al qubit con probabilidad p > 0, de manera que el estado a|0i+b|1ipasa a ser a|0i−b|1ibajo la inversi´on del signo. Es sencillo convertir un canal de inversi´on del signo en uno de inversi´on del bit. Supongamos que trabajamos con la base de qubits |+i=1 √2(|0i+|1i) |−i =1 √2(|0i−|1i) En esta base, el operador Zconvierte el estado |+ien el estado |−i y viceversa, es decir, act´ua como un operador de inversi´on del bit en la base de estados |+iy|−i. 32 Por lo tanto, podemos emplear los estados |0Li≡|+ ++iy|1Li ≡ | − −−i como los estados cero y uno l´ogicos. Las operaciones necesarias para proteger al c´odigo de los errores de inversi´on del signo que puede inducir el ruido se implementan del mismo modo que las de los canales de inversi´on del bit, pero con respecto a la base |+i,|−i en lugar de hacerlo respecto de |0i,|1i. Para ello empleamos las puertas de Hadamard y sus inversas (que tambi´en son puertas de Hadamard) en los puntos estrat´egicos que se observan en la imagen 13, puesto que la puerta de Hadamard es la que nos permite pasar los estados de la base |0i,|1i a la base |+i,|−i. Figura 13: Circuito cu´antico del c´odigo de inversi´on del signo. La codificaci´on de los canales de inversi´on del signo se implementa seg´un los siguientes dos pasos: 1. Codificamos en tres qubits, de la misma manera que en los canales de inversi´on del bit. 2. Aplicamos una puerta de Hadamard a cada qubit. La detecci´on de los errores se puede realizar aplicando las medidas mediante los proyectores de la misma manera que en el canal de inversi´on del bit, pero conjug´andolos con las puertas de Hadamard: Pj→P0 j≡H⊗3PjH⊗3 De manera equivalente, la medida del s´ındrome se puede realizar midiendo los observables H⊗3Z1Z2H⊗3=X1X2 H⊗3Z2Z3H⊗3=X2X3 Es interesante interpretar estas medidas en l´ıneas similares a la medida de Z1Z2yZ2Z3para los c´odigos de inversi´on del bit. Medir los observables X1X2yX2X3corresponde a comparar el signo de los dos primeros qubits y el de los dos ´ultimos. Por ´ultimo, la correcci´on de errores se completa con la operaci´on de recuperaci´on, que es la operaci´on de recuperaci´on de los c´odigos de inversi´on del bit conjugada con una puerta de Hadamard. 33 Este c´odigo para los canales de inversi´on del signo tiene las mismas caracter´ısticas que el c´odigo para los canales de inversi´on del bit. Estos dos canales son unitariamente equivalentes, puesto que existe un operador unitario U, que en este caso es la puerta de Hadamard, tal que la acci´on de un canal es la misma que la del otro si el primer canal va precedido por U y seguido por U†. 4.2. El c´odigo de Shor El c´odigo de Shor permite proteger c´odigos cu´anticos simples de los efectos producidos por un error arbitrario en un qubit. Este c´odigo es una combinaci´on de los c´odigos de inversi´on del bit y de inversi´on del signo para tres qubits. En primer lugar, codificamos el qubit empleando el c´odigo de inversi´on del signo |0i → |+ ++i |1i → |−−−i A continuaci´on se codifica cada qubit mediante el c´odigo de inversi´on del bit para tres qubits |+i → 1 √2(|000i+|111i) |−i → 1 √2(|000i−|111i) De esta manera, obtenemos como resultado un c´odigo de nueve qubits, cuyas palabras vienen dadas por |0i → |0Li ≡ 1 2√2((|000i+|111i) (|000i+|111i) (|000i+|111i)) |1i → |1Li ≡ 1 2√2((|000i−|111i) (|000i−|111i) (|000i−|111i)) El circuito cu´antico que codifica y decodifica el c´odigo de Shor se muestra en la imagen 14. Podemos observar que la primera parte de la codificaci´on corresponde a la codificaci´on del c´odigo de inversi´on del signo para tres qubits. Tras esto, cada qubit se codifica empleando el c´odigo de inversi´on del bit. Este m´etodo de codificar empleando una estructura de niveles se conoce como concatenaci´on. Gracias a esta codificaci´on, el c´odigo de Shor es capaz de proteger cualquier bit de los errores de inversi´on del bit y del signo. Adem´as, supongamos que se producen ambos errores en el mismo qubit. En ese caso, se puede observar que el proceso de detecci´on de un error de inversi´on del bit detectar´ıa un error y lo corregir´ıa, y a continuaci´on el proceso de detecci´on de un error de inversi´on del signo lo detectar´ıa tambi´en y lo corregir´ıa. Por lo tanto, el c´odigo de Shor tambi´en permite corregir errores combinados de inversi´on del bit y del signo en un mismo qubit. 34 Figura 14: Circuito cu´antico del c´odigo de Shor. Adem´as, se puede comprobar que este c´odigo protege tambi´en de errores completamente arbitrarios, suponiendo que ´estos afecten a un ´unico qubit. Podemos observar que no necesitamos un trabajo adicional para proteger contra estos errores arbitrarios, puesto que el proceso actual es suficiente. ´ Este es un ejemplo del hecho de que lo que parece un continuo de errores que pueden ocurrir a un ´unico qubit se puede corregir si conseguimos corregir un subconjunto discreto de estos errores. Esta discretizaci´on de errores es la base del por qu´e la correcci´on de errores cu´antica funciona. En los c´odigos cl´asicos esta discretizaci´on no es posible. 4.3. Teor´ıa de correcci´on de errores cu´antica Las ideas b´asicas de la teor´ıa de correcci´on de errores cu´antica generalizan de manera natural las ideas introducidas por el c´odigo de Shor. Los estados cu´anticos son codificados por una operaci´on unitaria en un c´odigo de correcci´on de errores cu´antico, que se define formalmente como un subespacio Cde un espacio de Hilbert. Es conveniente contar con una notaci´on para el proyector en el espacio de c´odigo C, por lo que vamos a emplear la notaci´on P. Para el c´odigo de inversi´on del bit con tres qubits, el proyector ser´ıa P=|000ih000|+|111ih111|. Tras la codificaci´on, el c´odigo es expuesto al ruido, a lo que le sigue la medida del s´ındrome, que nos permite conocer qu´e tipo de error se ha producido, es decir, el s´ındrome de error. Una vez se ha determinado, se lleva a cabo la operaci´on de recuperaci´on, devolviendo el sistema cu´antico a su estado original. 35 Para desarrollar una teor´ıa general de correcci´on de errores cu´antica necesitamos hacer las menores asunciones posibles sobre la naturaleza del ruido y el proceso empleado para realizar la correcci´on del error. Es decir, no vamos a asumir necesariamente que la correcci´on del error se produce a partir de un m´etodo de dos pasos, detecci´on y recuperaci´on. Tampoco vamos a hacer asunciones sobre el ruido que se produce en los sistemas de qubits o si ´este es d´ebil o no. S´olo vamos a emplear dos asunciones generales: el ruido se puede describir mediante una operaci´on cu´antica E, y el proceso completo de la correcci´on de errores se realiza mediante una operaci´on cu´antica que preserva la traza a la que denominaremos R y que recibe el nombre de operaci´on de correcci´on de errores. As´ı unimos en una ´unica pieza los dos pasos de detecci´on y recuperaci´on. Para que se realice de manera satisfactoria la correcci´on de errores, para cualquier estado ρque se encuentre en el c´odigo Cse debe cumplir (R◦E) (ρ)∝ρ Las condiciones para la correcci´on de errores cu´antica son un conjunto de ecuaciones que se pueden emplear para ver si un c´odigo de correcci´on de errores cu´antico protege de un tipo particular de ruido E. Teorema 4.1. Condiciones para la correcci´on de errores cu´antica Sea Cun c´odigo cu´antico y Pel proyector en C. Supongamos que Ees una operaci´on cu´antica con elementos {Ei}. Una condici´on necesaria y suficiente para la existencia de una operaci´on de correcci´on de errores Rque corrija Een Ces PE† iEjP=αijP para alguna matriz herm´ıtica αde n´umeros complejos. Denominamos a los elementos {Ei}del ruido Eerrores, y si existe tal R, diremos que {Ei}constituye un conjunto de errores corregible. La verificaci´on de las condiciones para la correcci´on de errores cu´antica es directa, pero es una tarea que precisa tiempo. 4.3.1. Discretizaci´on de los errores Normalmente no sabemos exactamente qu´e error ha afectado a nuestro sistema cu´antico, por lo que ser´ıa muy ´util que un c´odigo espec´ıfico Cy una operaci´on de correcci´on de errores Rse pudieran emplear para proteger contra una clase completa de procesos ruidosos. Las condiciones para la correcci´on de errores cu´antica se pueden adaptar de manera sencilla para obtener exactamente este tipo de protecci´on. Teorema 4.2. Supongamos que Ces un c´odigo cu´antico y Res la operaci´on de correcci´on de errores que recupera el c´odigo tras sufrir un proceso ruidoso Econ elementos {Ei}. Supongamos que Fes una operaci´on cu´antica con elementos {Fj}que son combinaciones lineales de los Ei, es decir Fj=X i mjiEi 36 para alguna matriz mij de n´umeros complejos. Entonces, la operaci´on de correcci´on de errores Rtambi´en corrige los efectos del proceso ruidoso Fen el c´odigo C. Esto nos permite introducir un lenguaje m´as potente para describir los c´odigos de correcci´on de errores cu´anticos. En lugar de hablar sobre la clase de procesos ruidosos Eque puede ser corregida por un c´odigo Cy una operaci´on de correcci´on de errores R, podemos hablar de un conjunto de errores {Ei}que son corregibles. Las condiciones para la correcci´on de errores cu´antica se mantienen para estos operadores PEiE† iP=αijP Los teoremas 4.1 y 4.2 implican que cualquier proceso ruidoso Ecuyos elementos sean combinaciones lineales de los errores {Ei}puede ser corregido por la operaci´on de recuperaci´on R. Por lo tanto, hemos visto que es posible discretizar los errores cu´anticos, es decir, para corregir el continuo de errores posibles en un ´unico qubit es suficiente saber c´omo corregir un conjunto finito de errores. 4.3.2. C´odigos degenerados Existe una clase interesante en los c´odigos cu´anticos que presenta una propiedad que no encontramos en los cl´asicos. Estos c´odigos se denominan c´odigos degenerados. La manera m´as sencilla de ilustrarla es empleando el c´odigo de Shor, considerando el efecto de los errores Z1yZ2en las palabras del c´odigo. Como ya hemos visto, el efecto es el mismo en dos palabras distintas, cosa que no puede suceder en los c´odigos cl´asicos, donde para dos palabras distintas, dos errores distintos dan resultados diferentes. Este fen´omeno de encontrar c´odigos cu´anticos degenerados tiene su lado bueno, pero tambi´en su lado malo. Las malas noticias son que algunas de las t´ecnicas demostradas para los c´odigos cl´asicos para probar la existencia de cotas en la correcci´on de errores no pueden aplicarse en el caso de los c´odigos degenerados. Por otra parte, las buenas noticias son que los c´odigos cu´anticos degenerados son unos de los c´odigos cu´anticos m´as interesantes, puesto que son capaces de contener m´as informaci´on que los cl´asicos, dado que distintos errores no deben llevar necesariamente el espacio del c´odigo a otro espacio ortogonal. Es posible, aunque a´un no se ha demostrado, que esta propiedad permita a los c´odigos degenerados almacenar la informaci´on cu´antica de una manera m´as eficiente que a cualquier c´odigo no degenerado. 37 4.3.3. La cota cu´antica de Hamming Para distintas aplicaciones queremos emplear el “mejor” c´odigo cu´antico posible. El significado de “mejor” depende de la aplicaci´on. Es por esto que queremos encontrar un criterio para determinar si un c´odigo con unas caracter´ısticas particulares existe o no. Para ello, vamos a desarrollar la cota cu´antica de Hamming, una cota simple que nos permite obtener una visi´on general de las propiedades de los c´odigos cu´anticos. Esta cota s´olo se puede aplicar a c´odigos no degenerados, pero nos da una idea de c´omo deber´ıan ser las cotas m´as generales. Supongamos que un c´odigo no degenerado se emplea para codificar kqubits en nqubits, de manera que es capaz de corregir errores en cualquier subconjunto de to menos errores. Supongamos que ocurren jerrores, con j≤t. Existen n jconjuntos de lugares donde pueden producirse errores. En cada uno de estos conjuntos existen tres posibles errores (las tres matrices de Pauli X,YyZ) que pueden producirse en cada qubit, dando un total de 3jerrores posibles. El n´umero total de errores que pueden producirse en to menos qubits es t X j=0 n j3j Para codificar kqubits de una manera no degenerada, cada uno de estos errores debe corresponder a un subespacio ortogonal 2k-dimensional. Todos estos subespacios deben ajustarse al espacio 2n-dimensional disponible para nqubits, dando lugar a la siguiente desigualdad t X j=0 n j3j2k≤2n Esta desigualdad se denomina cota cu´antica de Hamming. No todos los c´odigos cu´anticos son no degenerados, por lo que la cota cu´antica de Hamming es m´as ´util como una regla general que como una cota r´apida para los c´odigos cu´anticos. 4.4. C´odigos estabilizadores Hasta ahora hemos obtenido una estructura te´orica para estudiar los c´odigos de correcci´on de errores cu´anticos, pero no tenemos demasiados ejemplos de este tipo de c´odigos. Para remediarlo, vamos a explicar c´omo podemos emplear las ideas de los c´odigos lineales cl´asicos para desarrollare la teor´ıa de los c´odigos estabilizadores, una clase de c´odigos m´as general que los c´odigos CSS que permite construir una gran variedad de c´odigos cu´anticos. 38 Los c´odigos estabilizadores, tambi´en conocidos como c´odigos cu´anticos aditivos, son una clase importante de c´odigos cu´anticos cuya construcci´on es an´aloga a la de los c´odigos cl´asicos lineales. Para entender los c´odigos estabilizadores es ´util desarrollar en primer lugar un formalismo estabilizador que nos permita entender una amplia clase de operaciones en la Mec´anica Cu´antica. Tras describir el formalismo estabilizador, explicaremos c´omo las puertas unitarias y la medida se deben describir emple´andolo, y veremos un importante teorema que cuantifica las limitaciones de las operaciones estabilizadoras. 4.4.1. El formalismo estabilizador Veamos en primer lugar el formalismo estabilizador ilustrado con un ejemplo. Consideremos el estado EPR de dos qubits |ψi=|00i+|11i √2 Es f´acil comprobar que este estado satisface las siguientes identidades X1X2|ψi=|ψi Z1Z2|ψi=|ψi Entonces, se dice que el estado |ψies estabilizado por los operadores X1X2yZ1Z2. El estado |ψies el ´unico estado cu´antico que es estabilizado por estos operadores. La idea b´asica del formalismo estabilizador es que muchos estados cu´anticos pueden describirse de una manera m´as sencilla trabajando con operadores que los estabilicen, en lugar de trabajar expl´ıcitamente con ellos. La clave del poder del formalismo estabilizador se encuentra en el empleo de la teor´ıa de grupos. El grupo de mayor inter´es es el grupo de Pauli Gnen nqubits. Para un ´unico qubit, el grupo de Pauli se define de la siguiente manera G1≡ {±I, ±iI, ±X, ±iX, ±Y, ±iY, ±Z, ±iZ} Este conjunto de matrices forma un grupo bajo la operaci´on de la multiplicaci´on de matrices. Los factores multiplicativos ±1 y ±ise incluyen para asegurarse de que el grupo G1es cerrado bajo multiplicaci´on, formando as´ı un grupo leg´ıtimo. Ahora podemos definir los estabilizadores de una manera un poco m´as precisa. Supongamos que Ses un subgrupo de Gn, y definamos VScomo el conjunto de nestados de qubits fijos para cada elemento de S.VSes el espacio vectorial estabilizado por S, y Sse denomina estabilizador del espacio VS, dado que todo elemento de VSes estable bajo la acci´on de elementos en S. 39 Existe un fen´omeno general importante, y es que un grupo se puede describir por sus generadores. Un conjunto de elementos g1, . . . , glen un grupo Gse dice que genera el grupo Gsi todo elemento de Gse puede escribir como producto de elementos de la lista g1, . . . , gl. Lo denotamos como G=hg1, . . . , gli. La ventaja de emplear los generadores para describir grupos es que proporcionan una manera compacta de describir el grupo. Para comprobar que un vector es estabilizado por un grupo S, s´olo necesitamos comprobar que es estabilizado por los generadores, puesto que entonces es autom´aticamente estabilizado por el producto de los generadores, lo que lo convierte en una representaci´on m´as conveniente. No todo subgrupo Sdel grupo de Pauli puede emplearse como el estabilizador de un espacio vectorial no trivial. Por ejemplo, consideremos el subgrupo de G1consistente en {±I, ±X}. Est´a claro que la ´unica soluci´on a (−I)|ψi=|ψies |ψi= 0, por lo que {±I, ±X} es el estabilizador del espacio vectorial trivial. Por lo tanto, vamos a estudiar las condiciones necesarias para que Sestabilice un espacio vectorial no trivial VS 1. Los elementos de Sdeben conmutar. 2. −Ino puede ser un elemento de S. Veremos m´as adelante que estas condiciones tambi´en son suficientes para que VSsea no trivial. En la pr´actica, queremos que los generadores g1, . . . , glsean independientes, es decir, que si eliminamos alg´un generador el grupo sea m´as peque˜no hg1, . . . , gi−1, gi+1, . . . , gli 6=hg1, . . . , gli Existe una manera simple de determinar si un conjunto particular de generadores es independiente, bas´andonos en la idea de la matriz de comprobaci´on, que se denomina as´ı debido a que juega un papel en la teor´ıa de los c´odigos estabilizadores similar al de la matriz de paridad en los c´odigos lineales cl´asicos. Supongamos que tenemos el subgrupo S=hg1, . . . , gli. Existe una manera muy ´util de representar los generadores de Sempleando la matriz de comprobaci´on. Se trata de una matriz de dimensiones l×2ncuyas filas corresponden a los generadores desde g1hasta gl. La parte izquierda de la matriz contiene unos indicando qu´e generadores contienen X, y la parte derecha contiene unos indicando qu´e generadores contienen Z. La presencia de un 1 en ambos lados indica que el generador contienen un Y. Proposici´on 4.3. Sea S=hg1, . . . , glital que −Ino es un elemento de S. Los generadores de g1aglson independientes si y s´olo si las filas de la matriz de comprobaci´on correspondientes son linealmente independientes. Las siguientes proposiciones nos permiten saber que si Ses generado por l=n−k generadores independientes que conmutan, y −I /∈S, entonces VSes de dimensi´on 2k. 40 Proposici´on 4.4. Sea S=hg1, . . . , gligenerado por lgeneradores independientes y satisfaga −I /∈S. Fijado ien el rango 1, . . . , l, entonces existe g∈Gntal que ggig†=−giyggjg†= gj∀j6=i. Concluimos esta introducci´on a los elementos m´as b´asicos del formalismo estabilizador con la siguiente proposici´on, que nos permite demostrar que VSes no trivial si se cumple que Ses generado por generadores independientes que conmutan y que −I /∈S. Es m´as, como ya hemos comentado anteriormente, si existen l=n−kgeneradores, entonces VSes 2k-dimensional. Proposici´on 4.5. Sea S=hg1, . . . , gn−kigenerado por n−kelementos independientes que conmutan de Gn, y tal que −I /∈S. Entonces VSes un espacio vectorial 2k-dimensional. 4.4.2. Puertas unitarias y el formalismo estabilizador El formalismo estabilizador tambi´en se puede emplear para describir la din´amica de los espacios vectoriales en un espacio de estados m´as amplio, bajo una variedad de operaciones cu´anticas. Esto es especialmente interesante debido a que nos permite describir c´odigos cu´anticos de correcci´on de errores empleando el formalismo estabilizador, obteniendo maneras elegantes de entender los efectos del ruido y otros procesos din´amicos en estos c´odigos. Supongamos que aplicamos una operaci´on unitaria Ua un espacio vectorial VSestabilizado por el grupo S. Sea |ψiun elemento de VS. Entonces, para cualquier elemento gde S U|ψi=Ug|ψi=UgU†U|ψi Por lo tanto, el estado U|ψies estabilizado por UgU†, de lo que se deduce que el espacio vectorial UVSes estabilizado por el grupo USU†≡UgU†g∈S}. Es m´as, si g1, . . . , glgeneran S, entonces Ug1U†, . . . , UglU†generan USU†, por lo que para calcular el cambio en el estabilizador ´unicamente necesitamos comprobar c´omo afecta a los generadores del estabilizador. Para algunas operaciones unitarias U, esta transformaci´on de los generadores toma una forma interesante. Supongamos como ejemplo que aplicamos la puerta de Hadamard a un ´unico qubit. Notemos que HXH†=Z HY H†=−Y HZH†=X Podemos deducir que tras aplicar la puerta de Hadamard al estado cu´antico estabilizado por Z, el estado resultante ser´a estabilizado por X. Veamos otro ejemplo: supongamos que tenemos nqubits en un estado cuyo estabilizador es hZ1, . . . , Zni. Al aplicar la puerta de Hadamard a cada uno de los nqubits, observamos que el estado final tiene como estabilizador hX1, . . . , Xni. Lo interesante de este ejemplo es que la descripci´on usual del estado final requiere 2nelementos para ser especificado, mientras que con la descripci´on que nos proporcionan los generadores s´olo necesitamos n. 41 Si tenemos informaci´on adicional sobre C, entonces hay una t´ecnica m´as potente que en el teorema 4.11 apartado 4 para reducir el c´odigo. Teorema 4.12. Supongamos que tenemos un c´odigo lineal [[n, k, d]] con un c´odigo asociado Cn, 2n−k. Entonces existe un c´odigo lineal [[n−m, k0, d0]] con k0≥k−myd0≥dpara cualquier mtal que exista una palabra de peso men el dual del c´odigo binario generado por el soporte de las palabras de C, donde el soporte de una palabra es el conjunto de posiciones coordenadas en las que la palabra tiene entradas no nulas. La construcci´on de la suma directa empleada en el teorema 4.11 apartado 1 se puede generalizar. Teorema 4.13. Dados dos c´odigos [[n1, k1, d1]] y [[n2, k2, d2]] con k2≤n1podemos construir un c´odigo [[n1+n2−k2, k1, d]], donde d≥m´ın {d1, d1+d2−k2}. 4.5.2. C´odigos Reed-Solomon cu´anticos Como hemos visto en el teorema 2.17, un c´odigo Reed-Solomon [n, k, n −k+ 1] eval´ua polinomios de grado menor que k, mientras que su dual [n, n −k, k + 1] eval´ua polinomios de grado menor que n−k. Para aplicar el corolario 4.10, necesitamos saber cu´ando un c´odigo Reed-Solomon est´a contenido en su dual. Para ello, se debe cumplir que k≤k−n. Teorema 4.14. Sea un c´odigo CReed-Solomon [n, k, n −k+ 1]. Si se cumple que k≤n/2, entonces C⊂C⊥. Por lo tanto, existe un c´odigo Reed-Solomon cu´antico con par´ametros [[n, n −2k, k + 1]] 48 Bibliograf´ıa [1] A. R. Calderbank, E. M. Rains, P. W. Shor, and N. J. A. Sloane. Quantum Error Correction Via Codes Over GF(4). IEEE Transactions on Information Theory 44.4 (1998): 1369-1387. [2] C. E. Shannon. A mathematical theory of communication. ACM SIGMOBILE Mobile Computing and Communications Review 5.1 (2001): 3-55. [3] R. V. L. Hartley. Transmission of information. Bell Labs Technical Journal 7.3 (1928): 535-563. [4] E. Mart´ınez Moro, C. Munuera G´omez, and D. Ruano Benito. Bases de Gr¨obner: aplicaciones a la codificaci´on algebraica. Instituto Venezolano de Investigaciones Cient´ıficas (2007). [5] J. Justesen, and T. Høholdt. A Course In Error-Correcting Codes. European Mathematical Society, Zurich, 2004. [6] R. Lidl, and H. Niederreiter. Introduction to finite fields and their applications. 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