Deconstrucción del concepto de división en 1.o ESO al estilo de la Teoría de Situaciones Didácticas de Guy Brousseau

Trabajo Final de M´aster - Curso 2022/2023 Deconstrucci´on del concepto de divisi´on en 1.oESO al estilo de la Teor´ıa de Situaciones Did´acticas de Guy Brousseau. Autora: Paula Bad´ıa Adri´an Tutor acad´emico : Pablo Gregori M´aster en Formaci´on del Profesorado de Educaci´on Secundaria Obligatoria y Bachillerato, Formaci´on Profesional y Ense˜nanzas de Idiomas. Especialidad de Matem´aticas. Resumen En este Trabajo de Final de M´aster se ha se presenta una experiencia de deconstrucci´on del concepto de divisi´on en un aula del primer nivel de Educaci´on Secundaria Obligatoria (ESO), basada en la Teor´ıa de Situaciones Did´acticas del profesor e investigador Guy Brousseau. Para esto, se ha hecho uso del fondo documental CRDM-Guy Brousseau emplazado en la Universidad Jaume I de Castell´on (UJI), siendo este el ´unico centro que alberga la informaci´on para llevar a efecto investigaciones sobre Teoria de Situaciones Did´acticas. Fundament´andonos en la experimentaci´on que el propio Brousseau implement´o en la escuela maternal y primaria Jules Michelet de Talence (Francia), en la cual se introdujo tal noci´on matem´atica a los alumnos de tercer, cuarto y quinto grado (entre 8 y 11 a˜nos), se plantea uno de sus problemas a nuestro alumnado. Tomando en consideraci´on que estos aprendices ya conocen y dominan esta operaci´on, les privaremos de su uso con objeto de contemplar las alternativas que idean. La finalidad de esta pr´actica es poder entrever, a partir de los resultados obtenidos, de qu´e manera fue ense˜nada la divisi´on a nuestro estudiantado y los efectos que estas pr´acticas han derivado. ´ Indice general 1. Motivaci´on 1 2. Marco te´orico 3 2.1. Breve rese˜na sobre Guy Brousseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2. La Teor´ıa de Situaciones Did´acticas de Guy Brousseau . . . . . . . . . . . . . . 6 3. El Centro de Recursos CRDM-Guy Brousseau y un problema de investigaci´on en Did´actica de las Matem´aticas 15 3.1. El Centro de Recursos CRDM-Guy Brousseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2. Una secuencia de aprendizaje de la divisi´on en la Escuela Michelet de Francia . 17 4. Una experiencia de deconstrucci´on del concepto de divisi´on en 1.oESO 25 4.1. Ficha did´actica de la situaci´on a experimentar y observar . . . . . . . . . . . . . 25 4.2. Desarrollo de la experimentaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.3. Resultados....................................... 33 5. Conclusiones 37 6. Valoraci´on Personal 41 Bibliograf´ıa 43 Cap´ıtulo 1 Motivaci´on La Universidad Jaume I de Castell´on (UJI) alberga una gran cantidad de recursos documentales y bibliogr´aficos producidos en las investigaciones del matem´atico y profesor franc´es Guy Brousseau. En concreto, estos se encuentran en el Centro de Recursos de Did´actica de las Matem´aticas - Guy Brousseau (CRDMGuy Brousseau), creado en 2010 por el Instituto de Matem´aticas y sus Aplicaciones (IMAC) de la UJI. La finalidad de la fundaci´on de este centro es posibilitar recursos para seguir indagando en el campo de la did´actica matem´atica, colaborando en su utilizaci´on y difusi´on para producir nuevas investigaciones sobre problemas y dificultades actuales de la ense˜nanza de las Matem´aticas. Entre los muchos registros documentales que podemos encontrar sobre Guy Brousseau en el CRDM-Guy Brousseau, est´a su trabajo sobre la introducci´on de la divisi´on en el tercer, cuarto y quinto grado de la escuela primaria (8-11 a˜nos). Si bien el aprendizaje de este concepto matem´atico forma parte de esta primera etapa educativa, llegados a secundaria encontramos, frecuentemente, dificultades a la hora de resolver problemas que implican su ejecuci´on [Fregona, 2021]. Por este motivo, hemos considerado de inter´es trabajar en esta direcci´on con alumnado de primero de la ESO. Siguiendo esta l´ınea, hemos preparado una experiencia basada en la Teor´ıa de las Situaciones Did´acticas de Brousseau y en su trabajo de la divisi´on en la escuela J. Michelet de Francia. A trav´es de esta y mediante ingenier´ıa did´actica, se pretende dejar entrever la manera en la 1 que la noci´on matem´atica que nos ata˜ne fue introducida a nuestro alumnado. Igualmente, analizaremos los resultados y las posibles causas de los mismos, concluyendo los efectos que las metodolog´ıas utilizadas han tenido en su aprendizaje. Con tales efectos, el resto del documento queda organizado de la siguiente manera: en primer lugar, en el Cap´ıtulo 2, hablaremos sobre las bases te´oricas que permiten conocer el impacto de las investigaciones que realiz´o el doctor Guy Brousseau, profundizando en una de sus obras maestras como es su Teor´ıa de las Situaciones Did´acticas. Seguidamente, en el Cap´ıtulo 3 se ampliar´a la informaci´on sobre el Centro de Recursos CRDM-Guy Brousseau de la UJI, que mencion´abamos previamente, y profundizaremos en el estudio sobre la introducci´on de la divisi´on, en torno al que se har´a la experiencia de este TFM. A continuaci´on, en el Cap´ıtulo 4 se detallar´a la experiencia en el aula con alumnos de 1.ode la ESO sobre el concepto de divisi´on. Finalmente, las conclusiones sacadas a partir de los resultados obtenidos en la secci´on anterior, ser´an descritas en el Cap´ıtulo 5. 2 Cap´ıtulo 2 Marco te´orico El presente cap´ıtulo ha sido redactado en base a la lectura de la tesis [Mac´ıas S´anchez, 2016] Dise˜no y estudio de situaciones did´acticas que favorecen el trabajo con registros semi´oticos, de J. Mac´ıas; la visualizaci´on de los m´odulos [Dorier, 2019, Margolinas and Bessot, 2020a] de la unidad sobre Guy Brousseau que se encuentran en la web de la ((International Commission on Mathematical Instruction (ICMI), y los art´ıculos [Brousseau et al., 1990, Brousseau, 1991] ¿Qu´e pueden aportar a los ense˜nantes los diferentes enfoques de la did´actica de las matem´aticas? (primera y segunda parte), de Guy Brousseau. 2.1. Breve rese˜na sobre Guy Brousseau Guy Brousseau es un investigador, matem´atico y profesor franc´es nacido en 1933 en Taza (Marruecos) y es considerado uno de los pioneros de la did´actica matem´atica. Con tan solo 20 a˜nos, empez´o a dar clases en la regi´on de Lot et Garonne y se cas´o con Nadine Labeque, con quien trabaj´o en m´ultiples de sus investigaciones y trabajos [Dorier, 2019]. Durante su servicio militar a finales de los a˜nos 50 pas´o un tiempo en Par´ıs, donde tuvo la oportunidad de seguir las primeras clases donde se impart´ıan las emergentes ≪nuevas matem´aticas≫y, de vuelta, las puso en pr´actica en sus ense˜nanzas. Como resultado de esta experiencia, se interes´o por los estudios de Jean Piaget (psic´ologo, epistem´ologo y bi´ologo suizo) y C´elestin Freinet (maestro y pedagogo franc´es). Pronto se dio 3 de una parte docente y una estudiante. Con todo, dentro de las situaciones did´acticas, se pueden distinguir dos enfoques totalmente dispares: el cl´asico y el planteado por Brousseau. Por su parte, seg´un la corriente tradicional, el aprendizaje tiene lugar tras la explicaci´on del docente, es decir, el profesor explica y el alumno aprende de esta explicaci´on, tomando el primero el papel de transmisor de conocimientos, el gu´ıa. De esta manera, los saberes no est´an contextualizados, son estudiados de memoria y el alumnado est´a limitado a la hora de construir sus propios conocimientos. Por otra lado, en la teor´ıa de Brousseau se parte de una situaci´on resistente que se le presenta al alumnado, y el nuevo conocimiento ser´ıa el producto del reacondicionamiento que este lleve a cabo para superarla. Esta teor´ıa est´a cimentada por la teor´ıa constructivista del conocimiento, que propugna la idea de que este se produce tras un complejo proceso de construcci´on que el individuo lleva a cabo en interacci´on con la realidad [Payer, 2005]. As´ı, la importancia no reside solamente en las respuestas, sino en los mecanismos de resoluci´on ejecutados para obtenerlas. Dicho en otras palabras, parafraseando al propio Guy Brousseau, el alumno aprende enfrent´andose a un medio que se le manifiesta repleto de contradicciones y dificultades. Las estrategias de adaptaci´on que el estudiante desarrolla generan nuevos conocimientos, prueba de los cuales son las respuestas que se obtienen. En este sentido, una situaci´on did´actica es el procedimiento en el cual el docente aporta el medio did´actico y el alumno construye el conocimiento a trav´es del dispositivo cognitivo que pone en funcionamiento. Dicho medio no es solamente el primer problema que se plantea, sino todos aquellos que puedan ir surgiendo en el transcurso de la resoluci´on del mismo. En suma, el t´ermino situaci´on did´actica va m´as all´a de una actividad pr´actica, pues con esta se ambiciona que el alumnado adquiera un conocimiento concreto que aparecer´a como la soluci´on preeminente entre otras resoluciones ´optimas posibles. Llegados a este punto, resulta evidente que en esta teor´ıa resaltan tres grandes roles: el profesor, el medio y el alumno, cuyas funciones son distintas: El medio, del que ya hemos hablado previamente, y que es esa situaci´on problema que 10 se le presenta al alumno y cuya resoluci´on conllevar´a al aprendizaje de un nuevo conocimiento. El profesor, que ya no se limita a transmitir conocimientos, sino que su labor pasa a ser la de gu´ıa del saber. Es quien dise˜na y prepara las situaciones, de las cuales el alumnado adquirir´a los nuevos conocimientos, anticip´andose a las diversas alternativas que pueden surgir y las modificaciones que pueden darse en el medio tras las acciones de los aprendices; todo esto evitando los juicios de valor y la anticipaci´on de informaci´on. Este trabajo descrito que realiza el docente se conoce como una puesta en pr´actica de la ingenier´ıa did´actica. El estudiante, quien debe implicarse en la resoluci´on del problema, intentando actuar sobre el medio ayud´andose de aquellos saberes que considere oportunos, validando las consecuencias de sus acciones seg´un los resultados obtenidos y efectuando las modificaciones que sean necesarias para lograr su objetivo. Asimismo, los elementos que modelan un medio (elegidos por el profesor) y todas las alternancias que se dan en este por los actos ejecutados por los estudiantes, son denominadas variables did´acticas. Figura 2.1: Esquema situaci´on de aprendizaje 11 A modo de resumen, podr´ıamos afirmar que una situaci´on did´actica es un desaf´ıo que le presenta un medio, proporcionado por la parte docente, a un estudiante, y para la resoluci´on del cual necesita llevar a cabo una serie de estrategias que esconden un conocimiento a aprender. En esta direcci´on, el primer planteamiento que lleva a cabo el aprendiz (denominado estrategia base) se apoya en conocimientos previos no ´optimos para esta circunstancia. Tras una validaci´on de la misma, y un cambio por parte del docente de las caracter´ısticas de la coyuntura, reconocer´a que no es la conveniente y deber´a modificarla, apareciendo as´ı el conocimiento aspirado. Este tipo de situaciones son denominadas situaciones a-did´acticas por Guy Brousseau, y se singularizan por no poder ser dominadas de forma conveniente sin la puesta en pr´actica de de los conocimientos o saberes que se pretenden alcanzar y que, por otra parte, sancionan las acciones que toma el alumno sin intervenci´on del docente, o sea, evidencian si son correctas o no las decisiones tomadas. Seg´un [Chamorro, 2005], las caracter´ısticas principales que presentan las situaciones adid´acticas son: La respuesta al problema debe poder ser divisada por el alumnado. Los conocimientos previos deben resultar insuficientes r´apidamente. Existencia de un medio de validaci´on que permita retroacciones. Se debe poder repetir diversas veces. El conocimiento que se pretende adquirir debe mostrarse como conductor para llegar a la estrategia ´optima. Como se puede ver, ni todas las situaciones did´acticas son a-did´acticas, ni todas las situaciones did´acticas son iguales, sino que podemos establecer una clasificaci´on seg´un qu´e hace el alumno en cada caso: Situaci´on de acci´on. El alumno pone en pr´actica diversas acciones sobre el medio, tomando conciencia del reto planteado y decidiendo qu´e estrategia base utilizar. Situaci´on de formulaci´on. El alumno coopera con el resto de compa˜neros, pudiendo intercambiar ideas. 12 Situaci´on de validaci´on. El alumno comunica los m´etodos seguidos y los resultados obtenidos para que otros eval´uen su planteamiento. La parte docente no debe emitir ning´un juicio al respecto, se debe limitar a gestionar el funcionamiento del medio. Situaci´on de institucionalizaci´on. El alumno consigue resolver el problema empleando estrategias que esconden el conocimiento matem´atico anhelado, pero no es consciente de este. Por este motivo, al finalizar la situaci´on a-did´actica, es esencial que el docente se encargue de explicitar la relaci´on existente entre el planteamiento que el alumno hace para resolver esa situaci´on, y el saber que se pretend´ıa aprender. Por ´ultimo, con respecto a las funciones que cumplimentan los docentes y los estudiantes dentro de una situaci´on did´actica de las que se hablaba previamente, cabe mencionar el conocido como contrato did´actico. Seg´un Guy Brousseau, el contrato did´actico es aquello que el alumno espera del profesor y lo que el profesor espera del alumno, a saber, son las expectativas generadas o la relaci´on que mantienen estudiante y profesor en el proceso de aprendizaje de un saber concreto. En su perspectiva m´as cl´asica, el docente es quien adoctrina y juzga, mientras que el alumno se limita a copiar y aprender la informaci´on proporcionada por el primero. Resulta evidente que esta postura entra totalmente en contradicci´on con las intenciones de la teor´ıa de Brousseau. En este caso, la funci´on del ense˜nante es dar a conocer de forma clara y directa la situaci´on del saber que pretende que su estudiantado adquiera. Las complicaciones del contrato se producen cuando el alumnado se niega a responsabilizarse de la resoluci´on del problema, dando lugar a algunas contradicciones: El docente no puede ayudar al alumno. Todo lo que haga en esta direcci´on, limitar´a al estudiante a tomar un camino concreto que lo privar´a del descubrimiento aut´onomo de la soluci´on y, por tanto, del aprendizaje. Si el alumno acepta que el profesor le presente el nuevo conocimiento, renunciar´a al aprendizaje (entendido este ´ultimo en el sentido de la teor´ıa de Brousseau). Con tal de sortear estos antagonismos, estudiantes y docentes adoptan ciertas posturas basadas en el contrato did´actico: por su parte, los primeros piden al profesor que sus planteamientos sean tales que estos tengan ya las herramientas para resolverlos, en tanto que el profesor se deja 13 convencer, teniendo la falsa sensaci´on de que los primeros aprenden. Cuando estas actitudes se llevan al extremo, dan lugar a los efectos del contrato: Efecto Topaze. Si bien la situaci´on se plantea de forma abierta con el fin de enriquecer el proceso de aprendizaje, ante el fracaso el profesor va proporcionando informaci´on al estudiantado. De esta manera, la respuesta final obtenida es la que se desea pero se da desprovista de sentido, por estar totalmente determinada por las orientaciones del docente. Efecto Jourdain. Evitando el debate y la constataci´on del fracaso, el profesor acepta respuestas del alumnado cuyas bases son triviales. Analog´ıa. A modo de s´ıntesis, es una bajada del nivel que se pretend´ıa alcanzar. Se sustituye el estudio del concepto anhelado por otro an´alogo m´as sencillo. Deslizamiento metadid´actico. Se produce cuando los conocimientos previos que el alumno podr´ıa emplear en la resoluci´on del reto son olvidados, entonces el docente procede a volverlos a ense˜nar, perdiendo el foco del saber objeto. En definitiva, si bien los contratos did´acticos pueden ser o no favorables, lo que est´a claro es que el docente es el encargado de hacer una adecuada gesti´on de los mismos para romper con la visi´on tradicional, en la cual este es el eje central del aprendizaje. En la teor´ıa de las situaciones, los alumnos tienen el papel protagonista, y son los responsables de su propio aprendizaje. Asimismo, el contrato did´actico no viene prefijado, sino que puede ir cambiando seg´un el transcurso de la situaci´on. 14 Cap´ıtulo 3 El Centro de Recursos CRDM-Guy Brousseau y un problema de investigaci´on en Did´actica de las Matem´aticas Para la redacci´on de este cap´ıtulo se han utilizado fundamentalmente dos art´ıculos: Los Recursos del ((Centre Pour l’Observation et la Recherche en Didactique des Math´ematiques))(COREM), posible cantera de datos para el ASI. Un Ejemplo: La Ense˜nanza de la Divisi´on en la Escuela Primaria [Brousseau et al., 2012] y La Divisi´on en la Escuela Primaria [Brousseau, 2015]. 3.1. El Centro de Recursos CRDM-Guy Brousseau El profesor Guy Brousseau, en convenio con el Instituto de Investigaci´on en Ense˜nana de las Matem´aticas (IREM), cre´o en 1972 el Centre d’Observation pour la Recherche sur l’Enseignement des Math´ematiques (COREM) [Brousseau et al., 2012]. Se trataba de un laboratorio ubicado alrededor de las escuelas p´ublicas J. Michelet de Talence (Burdeos, Francia), dedicado a la investigaci´on sobre la observaci´on de la ense˜nanza de las matem´aticas. Este espacio permit´ıa confrontar las investigaciones producidas en el marco te´orico de la Teor´ıa 15 de las Situaciones Did´acticas con la realidad de las aulas. As´ı, el COREM posibilitaba el dise˜no y la impartici´on de clases, la observaci´on de las interacciones entre docentes y alumnos, y la puesta en funcionamiento de estudios realizados por el IREM, conformado por investigadores y estudiantes de postgrado en did´actica de las matem´aticas de la Universidad de Bordeaux, el equipo docente de la propia escuela J. Michelet y profesores formadores de docentes. Los maestros y las maestras del colegio que formaban parte del COREM ten´ıan reducida su carga lectiva con el fin de poder colaborar en ciertos aspectos de las investigaciones que se llevaban a cabo. En este sentido, algunas de las labores que se ejecutaban en el COREM eran: Preparaci´on de clases comunes con profesores formadores de maestros o clases objeto de tesis. Observaci´on de las clases que eran grabadas y, posteriormente, observadas y comentadas colectivamente. Reuniones peri´odicas de investigaci´on. Redacci´on de las planificaciones de docencia y de investigaci´on, y de los informes de las pr´acticas realizadas. Con el prop´osito de llevar a cabo todas estas tareas, el COREM contaba con un edificio para realizar estas contemplaciones en el cual hab´ıa un aula adaptada a la presencia de observadores y de c´amaras. Todos los procedimientos se implementaban bajo unos acuerdos y reglas establecidas entre investigadores y maestros, que garantizaban el normal desarrollo de las clases. La mayor parte de los recursos documentales y bibliogr´aficos generados a partir de las investigaciones y acciones puestas en funcionamiento por el COREM se encuentran actualmente en el Centro de Recursos de Did´actica de las Matem´aticas - Guy Brousseau (CRDM - Guy Brousseau), que depende del Instituto de Matem´aticas y sus Aplicaciones (IMAC) de la Universitat Jaume I (UJI) de Castell´o. Este ´ultimo tiene como prop´osito fomentar la investigaci´on en Did´actica de la Matem´atica (DM) en ´ambitos universitarios. 16 El CRDM - Guy Brousseau dispone de diversos tipos de contenidos accesibles para investigadores acreditados. Entre estos, hay notas, informes, descripciones y discusiones registradas durante los procesos de ense˜nanza, estudio, aprendizaje y evaluaci´on de las matem´aticas en la escuela primaria, clasificados seg´un los cursos, los niveles escolares, los contenidos curriculares o las investigaciones en DM. Para los interesados, el centro pone a disposici´on una sala de consulta en la biblioteca de la UJI y material disponible on-line (https://repositori.uji.es/xmlui/handle/10234/62668). Este ´ultimo se encuentra actualmente en proceso de digitalizaci´on progresiva, que se ir´a abordando en la medida que haya investigadores en DM interesados en consultar estos recursos. 3.2. Una secuencia de aprendizaje de la divisi´on en la Escuela Michelet de Francia En esta secci´on hablaremos de una de las grandes investigaciones que Guy Brousseau llev´o a cabo junto con su equipo en la Escuela Michelet de Francia [Brousseau, 2015]. Se trata de la introducci´on de la divisi´on (eucl´ıdea) mediante situaciones de aprendizaje en tercero, cuarto y quinto grado de escolarizaci´on (8-11 a˜nos). En otras palabras, se pretende que los estudiantes descubran la noci´on de divisi´on como respuesta a lo problemas que se les propondr´an. Como se ha mencionado anteriormente, para este tipo de experimentos se deb´ıa tener en cuenta el curr´ıculum, los objetivos y los saberes de cada curso. As´ı, an´alogamente a como se hace en el an´alisis documental del trabajo en cuesti´on, distinguiremos las actividades puestas en pr´actica en cada nivel. A nivel general, se destacan dos grandes caracter´ısticas que debe poseer el alumnado con el que se va a trabajar: Teniendo en cuenta que muchas actividades requieren de la comunicaci´on entre el estudiantado, es esencial que posean destreza para debatir, justificar razonamientos e intercambiar informaci´on. 17 En cuanto a los saberes b´asicos, es fundamental que demuestren un dominio del funcionamiento de la numeraci´on y pericia a la hora de realizar operaciones como sumas, restas y multiplicaciones, as´ı como entender la relaci´on que estas mantienen. De este modo, previamente a la puesta en funcionamiento de las actividades que forman parte del estudio, ser´a indispensable asegurar que los estudiantes cumplen estas condiciones. En esta direcci´on, se proponen ejercicios que pondr´an en evidencia el nivel de consolidaci´on que tienen de los mismos y, en caso de que este sea insuficiente, se dedicar´a cierto tiempo a garantizar su afianzamiento. La divisi´on: Tercer Grado (8-9 a˜nos) En lo referente al tercer grado, la introducci´on de la divisi´on se lleva a efecto a finales de curso, generalmente. En el estudio de Guy Brousseau, se realiz´o en una secuencia de cuatro actividades cuya extensi´on temporal fue de 10 clases. Las dos primeras tareas consisten en la resoluci´on de problemas de divisi´on por grupos, llevando a cabo procedimientos aditivos, multiplicativos o sustractivos. En estas se hace uso de hojas grandes de papel y marcadores. En cuanto a la din´amica de la clase, siempre se explica primero cu´al es la labor a realizar, a continuaci´on se muestra el enunciado del problema y la parte docente se asegura que todos los participantes lo han entendido, aclarando las palabras incomprendidas o las dudas que surgen y haciendo preguntas. Seguidamente, se deja trabajar al alumnado en equipos y, cuando terminan, exponen y debaten sobre los m´etodos utilizados y los resultados obtenidos. Por otro lado, la tercera actividad tiene por objeto la previsi´on, justificada y posteriormente verificada, del orden de magnitud del cociente. Con tal efecto, se dispone de diversos problemas de divisi´on y de una serie de posibles resultados. Los estudiantes deber´an rodear aquel n´umero que corresponda a la soluci´on del problema sin efectuarla, y explicar por qu´e lo han elegido. Tras esta primera parte, realizar´an las operaciones pertinentes para verificar sus conclusiones. Finalmente, en la cuarta y ´ultima labor, se insiste en la comprensi´on de problemas, presentando y localizando el n´umero buscado (cociente) a partir de unos enunciados propuestos. En otras palabras, los alumnos deber´an resolver las cuestiones explicitando qu´e est´an buscando en cada uno de ellos. 18 La divisi´on: Cuarto Grado (9-10 a˜nos) Este ser´a el curso en el cual se presentar´a el concepto de divisi´on. Hasta ahora, en tercero se hab´ıa realizado una aproximaci´on a esta a trav´es de la relaci´on que mantiene con el producto, la suma y la resta, dot´andola as´ı de sentido. Sin embargo, no se ha definido todav´ıa como una nueva operaci´on a utilizar, ser´a en este nivel donde tendr´a lugar esta institucionalizaci´on. En la construcci´on del concepto de divisi´on en este curso, se pueden distinguir dos per´ıodos. El primero de estos tiene una duraci´on de tres semanas, y su objetivo es que el alumnado disponga de un algoritmo para dividir n´umeros de cualquier magnitud. Por otro lado, el segundo per´ıodo es el de utilizaci´on de esta t´ecnica en problemas que permitan perfeccionarla y entender c´omo y cuando hacer uso de la misma. An´alogamente al tercer nivel, se necesitan unos requisitos indispensables para poder llevar a cabo las actividades propuestas en la investigaci´on. Tales condiciones son: la pr´actica en debates y argumentaciones matem´aticas, y el dominio de las operaciones aditivas, sustractivas y multiplicativas. Con el fin de que se cumpla este ´ultimo, durante el primer trimestre se han puesto en funcionamiento diversas actividades sobre numeraci´on (escritura de un n´umero, escrituras horizontales, descomposici´on de un n´umero en potencias de diez, etc.) y sobre pr´acticas operatorias que permiten entender las relaciones entre las operaciones conocidas. Generalmente, el desarrollo de las clases sigue siempre la misma estructura: 1. Presentaci´on del problema: el docente explica qu´e trabajo van a realizar en la sesi´on, les presenta el problema a tratar y se asegura del completo entendimiento del mismo mediante preguntas y aclaraciones. 2. Resoluci´on del problema: el alumnado resuelve el problema de manera individual o grupal, seg´un se indique en cada actividad. Asimismo, deben estar todos de acuerdo en el algoritmo a seguir y escribir en la hoja, de manera clara y ordenada, los pasos que han seguido y los resultados obtenidos. 19 En este sentido, lo que haremos ser´a formular un problema de divisi´on a un grupo de alumnos que, supuestamente, identificar´an de inmediato que se trata de una situaci´on donde encuentran evidente que la forma m´as eficiente (y tal vez la ´unica) de resolverla es la divisi´on eucl´ıdea y mediante el algoritmo aprendido en primaria. Sin embargo, les privaremos de su utilizaci´on. De este modo, deber´an buscar alternativas para resolverlo. De alguna manera, estamos desaprendiendo lo aprendido para dejar entrever de qu´e forma se introdujo esta operaci´on en los estudios primarios. Se espera que aquellos estudiantes a los cuales se les presento la divisi´on y las situaciones de aplicaci´on sin una situaci´on de b´usqueda por su parte, presenten dificultades a la hora de resolver este planteamiento, pues no tendr´an consolidado el sentido de la divisi´on y la relaci´on que mantiene con el resto de operaciones aritm´eticas. En contraposici´on, el alumnado con el que se trabaj´o este concepto bas´andose en conocimientos previos y de una forma constructiva, sabr´an reaccionar r´apidamente a la circunstancia planteada. En pocas palabras, se pretende hacer una deconstrucci´on de la divisi´on, esto es, poner en duda los cimientos sobre los cuales erigimos nuestros saberes al respecto de este t´ermino. La deconstrucci´on es una corriente filos´ofica asociada a la obra del autor Jacques Derrida, quien defini´o este movimiento como una desestabilizaci´on de los fundamentos de nuestros conocimientos [Derrida, 2010]. Una manera sencilla de entenderlo es examinar el uso que se hace de esta palabra en la gastronom´ıa. En este contexto, cuando se habla de deconstrucci´on se hace referencia a una t´ecnica culinaria que descompone un plato en cada uno de sus ingredientes, a fin de crear uno visualmente nuevo pero que mantenga el mismo sabor. Trasladando esta idea al asunto que nos ata˜ne, este plan pretende que el alumnado sepa desmenuzar el algoritmo de la divisi´on en las otras operaciones con las que mantiene relaci´on. Antes de empezar, es conveniente conocer algunas caracter´ısticas del alumnado con el que se llevar´a a efecto esta experiencia. Se trata de un grupo de 20 alumnos del primer curso de la ESO del instituto IES La Vall de Seg´o, donde realic´e las pr´acticas del M´aster en Formaci´on del Profesorado de Educaci´on Secundaria Obligatoria y Bachillerato. Teniendo en cuenta las observaciones realizadas durante mi estancia de dos meses y medio en el centro, se puede afirmar que es una clase que presenta, generalmente, una baja autoeficacia y, especialmente, en el caso de la asignatura de matem´aticas. Por este motivo, en ocasiones resulta complicado reali26 zar actividades de esta ´ındole, puesto que su primera reacci´on siempre es mostrarse incapaces y reacios a su implementaci´on, y se necesita insistir para convencerles de su capacidad para ejecutarla. Asimismo, haciendo referencia a los requisitos indispensables para el funcionamiento de estas actividades en el aula que alud´ıamos en la investigaci´on de Brousseau —pr´actica en el debate, h´abito en el intercambio de informaciones y destreza en la justificaci´on de afirmaciones—, se puede confirmar que no son precisamente unas caracter´ısticas destacables en este grupo de estudiantes, como consecuencia de las costumbres de ense˜nanza de los docentes en este centro y de los de las escuelas de las que provienen (representativos del sistema educativo espa˜nol). Estos rasgos dificultan en gran parte nuestros prop´ositos. Por otro lado, tambi´en es importante tener en cuenta el momento de ejecuci´on de la actividad que nos ata˜ne. La asignatura de pr´acticas del m´aster tiene una duraci´on de dos meses y medio aproximadamente, divididos en dos per´ıodos de una extensi´on de dos semanas y dos meses, respectivamente. Cuando se llev´o a cabo este estudio, hab´ıa terminado la primera fase y, en consecuencia, ya hab´ıa tenido la posibilidad de percatarme de los atributos generales del grupo y, de igual forma, yo ya no resultaba extra˜na al alumnado, lo que podr´ıa haber dificultado m´as la labor. En otro orden de ideas, todav´ıa no hab´ıa impartido la unidad did´actica correspondiente a las tareas del pr´acticum y esto supon´ıa una ventaja y un inconveniente. Por una parte, a´un no me ve´ıan como una profesora y, por tanto, no ten´ıan la presi´on de ser evaluados, lo cual propiciaba la libre ejecuci´on de sus ideas sin ser influenciados por la presi´on de un juicio posterior. Por otra parte, conoc´ıan la unidad did´actica que yo impartir´ıa (Divisibilidad), y dado que estaba relacionada con la tarea que elaborar´ıan, fue percibida por algunos como una evaluaci´on inicial, lo que condicion´o el funcionamiento de la clase como se advertir´a posteriormente. En el plano de los saberes previos, la mayor´ıa de estudiantes eran diestros con respecto a la numeraci´on y las pr´acticas operatorias. Si bien no era un temario recientemente repasado, pues el bloque de aritm´etica no hab´ıa sido trabajado en el primer trimestre de este curso. A diferencia de la experiencia llevada a cabo en el trabajo de Guy Brousseau, eran conocimientos 27 asentados por el trabajo en primaria. Con estas premisas, lo que se hace en este estudio es escoger uno de los problemas que resolvieron los alumnos de la escuela Michelet y ver c´omo lo resuelven los estudiantes de primero de la ESO vedando el uso de la operaci´on cociente. Considero que no es una opini´on meramente personal cuando afirmo que pretender desconocer un saber tan arraigado es casi m´as complicado que aprenderlo. En otras palabras, cuando tenemos tan interiorizada una noci´on y acostumbramos a resolver una situaci´on de una determinada manera, encontrar alternativas puede resultar laborioso. Ahora bien, en este caso es de esperar que, si los alumnos manejan correctamente esta operaci´on, sepan encontrar el camino para solucionarlo ´optimamente. 4.2. Desarrollo de la experimentaci´on Inicialmente esta actividad se iba a realizar solamente con fines experimentales, contrastando la experiencia de Brousseau con alumnado de 1.ode la ESO. No obstante, teniendo en cuenta que estaba relacionada con la unidad did´actica a impartir, ha servido de introducci´on para el caso. Frecuentemente los profesores lidian con preguntas del tipo “¿para qu´e necesito conocer este concepto matem´atico?”,“¿qu´e me aporta?”,“no lo voy a usar en mi vida diaria”. Seg´un la propuesta de la Teor´ıa de las Situaciones Did´acticas de Brousseau, todas estas cuestiones pueden ser soslayadas si empezamos el aprendizaje a partir de situaciones reales, que muestren a los aprendices las respuestas a estas preguntas. As´ı, a modo de s´ıntesis, esta tarea ha servido para que aquellos alumnos a los cuales la divisi´on les hab´ıa sido “impuesta” de alguna manera, la doten de sentido y vean que es la v´ıa ´optima de resoluci´on, mostrando m´as predisposici´on a la hora de profundizar m´as en este tema. Intenciones did´acticas: Esta sesi´on permitir´a al alumnado reflexionar sobre el algoritmo de la divisi´on y relacionarlo con el resto de operaciones aritm´eticas que conocen. Adicionalmente, servir´a para repasar conceptos conectados con esta que utilizar´an pr´oximamente como, por ejemplo, la prueba de la divisi´on. 28 Material: Cada estudiante dispone de una hoja de papel A4 con el enunciado del problema escrito y un bol´ıgrafo. No est´an permitidos los l´apices, las gomas ni los t´ıpex, para evitar que los ni˜nos re-escriban las respuestas. Situaci´on de b´usqueda: Texto del problema 1(se dispone del enunciado en valenciano y castellano, a elecci´on del alumno). Se quiere distribuir un pastelito2a cada uno de los 245 ni˜nos de una colonia de vacaciones para la merienda. Cada paquete contiene 18 pastelitos. ¿Cu´antos paquetes hay que abrir? Primera parte de la actividad (10 minutos) Consigna oral: “Hoy he venido a haceros una prueba, pero no es ning´un examen ni os voy a evaluar por esta. Es de matem´aticas, pero tranquilos que es muy sencilla y la vais a saber hacer seguro, necesit´ais solo conocimientos que hab´eis visto en primaria. Eso s´ı, ten´eis que hacerlo individualmente, ¿de acuerdo?. Luego compartiremos lo que hay´ais pensado cada uno, pero ahora deb´eis hacerlo solos, en silencio.”. “Necesitar´eis solamente un bol´ıgrafo, todo lo dem´as que ten´eis en la mesa lo pod´eis guardar. No vamos a utilizar ni t´ıpex, ni l´apiz, ni goma, si quer´eis cambiar algo porque os surgen otras ideas, pon´eis lo anterior entre par´entesis pero que se pueda leer. La hoja en la que vais a escribir os la dar´e yo.” “Voy a leeros el problema y me pod´eis preguntar aquellas palabras que no entend´ais. Luego os lo repartir´e, lo le´eis individualmente y si ten´eis alguna cuesti´on, me lo dec´ıs.” (Lectura del enunciado) 1Es uno de los problemas presentados en el trabajo original de Guy Brousseau [Brousseau, 2015] en la introducci´on de la divisi´on para el tercer grado. 2“alfajor” en el texto original 29 Los alumnos empiezan a reaccionar: “¡qu´e f´acil!”, “¡qu´e simple!”, “¡pero si es una divisi´on!”. Consigna oral: “Tengo una mala noticia chicos y chicas, ¿sab´eis que pasa? que vamos a viajar a la prehistoria y en esos tiempos no hac´ıan matem´aticas tal y como las conocemos ahora, no sab´ıan lo que era la divisi´on 3. Sin embargo, s´ı que eran capaces de hacer reparticiones, ¿verdad?. Pues eso es lo que vamos a hacer nosotros, distribuir los pastelitos sin utilizar la divisi´on.” (Se reparte el enunciado) Los alumnos leen el enunciado y no hay dudas, todos entienden lo que pide y no hay palabras que generen confusi´on. Algunos preguntan si pueden multiplicar, la respuesta que se da a fin de no influenciar al resto del alumnado es: “el ´unico requisito es que no pod´eis dividir”. Al principio se genera bastante revuelo y se hacen cuestiones fuera de lugar, teniendo que llamar la atenci´on y pidiendo que se centren en la tarea. Segunda parte de la actividad (20 minutos) Los estudiantes resuelven el problema de manera individual. La parte docente no debe intervenir en sus procedimientos, no puede confirmar ni desmentir si algo est´a bien, ni hacer ning´un tipo de comentario que interfiera en el algoritmo seguido por cada alumno. Solamente se animar´a a aquellos que no sepan como empezar, sin orientar los pasos a seguir, limit´andose a alentar a la reflexi´on de la cuesti´on. Consigna oral: “Pod´eis empezar. Por favor, mantened silencio hasta que todos hayamos terminado. No compart´ais vuestros resultados. Recordad que es un trabajo individual y que no vais a ser evaluados, sed sinceros y escribid lo que consider´eis conveniente.” Durante la elaboraci´on de la tarea, me paseo por la clase discretamente observando qu´e est´a haciendo cada uno. Algunos alumnos me piden ayuda, intentan que les responda si lo que 3Inicialmente solamente se pretend´ıa decir que era demasiado f´acil para ellos si utilizaban la divisi´on, pero trat´andose de un grupo con baja autoeficacia, se ha considerado que inventar esta historia generar´ıa mayor curiosidad y evitar´ıamos la frustraci´on de aquellos que se sintieran incapaces. 30 est´an haciendo es correcto, me limito a responder ”¿t´u qu´e crees?”, “¿t´u lo ves l´ogico?”o“¿y t´u, consideras que tiene sentido?”. Hay otros que se desaniman, se tumban en las mesas y se muestran reacios a empezar. A estos ´ultimos me acerco para decirles que piensen, que estoy segura que lo pueden conseguir. Despu´es de cinco minutos casi todos est´an ya terminando. Algunos se quedan bloqueados al ver que no es un resultado exacto y les cuesta interpretar que para conseguir repartir los pasteles a todos los ni˜nos, deber´an abrir un paquete en el que sobrar´an. Adicionalmente, despu´es de este tiempo ya se puede contemplar que han salido todos los m´etodos esperados, incluso alg´un intento con interpretaci´on gr´afica. A partir de este momento, los estudiantes se empiezan a descontrolar, hay algunos que intentan copiarse, otros que intentan compartir el resultado o que se ven sugestionados por comentarios ajenos de estudiantes que celebran el final del ejercicio. Ha sido necesario llamar la atenci´on diversas veces durante la transici´on de la actividad y pedir silencio. Cabe mencionar en este punto, que esto es un problema com´un en este grupo, les cuesta mucho mantener la atenci´on en una actividad y ser respetuosos con los compa˜neros que no han terminado. A fin de que aquellos procedimientos copiados no afectaran a los resultados de la experiencia, se recogieron inmediatamente las pruebas de los alumnos implicados y se tom´o nota de su comportamiento. Igualmente, aquellos estudiantes que ten´ıan el resultado correcto pero no hab´ıa un desarrollo escrito del procedimiento, se les pidi´o individualmente que explicaran qu´e hab´ıan hecho, separando aquellos que eran incapaces de hacerlo y cuyo resultado era producto del azar o de copia. Tras diez minutos, solo faltan tres alumnos que a´un no han terminado las operaciones, otro que ha desistido y ha dejado de intentarlo y otros cuatro que est´an interpretando el resultado obtenido. Adem´as, hay un alumno que ha resuelto el problema por m´ınimo com´un m´ultiplo, para lo que ha utilizado indirectamente la descomposici´on factorial de un n´umero y divisiones, que estaban prohibidas. En este caso, se le ha pedido que vuelva a empezar y que tenga en cuenta las instrucciones iniciales. 31 Tercera parte de la actividad (30 minutos) Despu´es del tiempo de resoluci´on individual del problema, se recogen las hojas en las que han trabajado los alumnos. A continuaci´on, se piden los resultados num´ericos obtenidos por cada uno, sin preocuparse por los m´etodos. Despu´es, se pedir´a a algunos alumnos que salgan a la pizarra a explicar los m´etodos que han utilizado. Es importante que, durante la realizaci´on de la actividad, la parte docente vaya pasando por las mesas discretamente y visualizando los sistemas que han realizado los estudiantes para poder elegir las personas que saldr´an a exponer sus procedimientos, aunque lo har´a de manera que parezcan escogidos al azar. De este modo, nos aseguramos de que todos los posibles m´etodos sean expuestos y, simult´aneamente, de que la soluci´on obtenida sea la correcta. Consigna oral: “Bueno, ahora que ya hemos terminado todos, vamos a comentar qu´e se os ha ocurrido para poner soluci´on a esta situaci´on. Primero, ¿cu´antos paquetes hace falta que abramos?, ¿Repartimos todos los pasteles que hay en esos paquetes que abrimos?, ¿Por qu´e?, ¿Cu´antos sobran? 4” (Los alumnos se ponen de acuerdo en el resultado correcto). Consigna oral: “Ahora, por ejemplo , ¿te apetece salir a la pizarra y nos ense˜nas tus ideas?” Desarrollo: Los alumnos van exponiendo los procedimientos que han seguido en la pizarra. Simult´aneamente, se les plantean algunas preguntas: ¿Por qu´e has ido sumando (restando o multiplicando) varias veces?, ¿Qu´e has conseguido?, ¿En qu´e te has fijado para responder a la cuesti´on del problema?. A las cuales responden perfectamente y sin dudar. La intenci´on de estas preguntas es que tengan claramente distinguidos los paquetes del n´umero de pasteles 4Como se destaca en diversas ocasiones en el trabajo de Brousseau [Brousseau, 2015], es importante que cuando los alumnos salgan a la pizarra se centren en exponer los m´etodos implementados. Por este motivo, pedimos antes los resultados para que se den cuenta que, una vez en la pizarra, la soluci´on num´erica ya no es relevante. 32 que hay en estos, dado que en el resultado deben poner el n´umero de paquetes abiertos y el n´umero de pasteles sobrantes. En otras palabras, se pretend´ıa enfatizar en la interpretaci´on de la soluci´on. Sorprendentemente, aunque ha hecho falta llamar la atenci´on diversas veces y volver el foco de atenci´on a la conversaci´on, ha tenido lugar un debate ordenado y constructivo y se ha creado un espacio donde los estudiantes han podido compartir y discutir todas sus ideas. Por otro lado, al final de la exhibici´on se cuestiona tambi´en qu´e les ha parecido cada uno de los algoritmos: ¿Cu´al de los m´etodos os parece que est´a hecho “un poco al azar”?, ¿Cu´al os parece “menos al azar”?, ¿Cu´al os parece m´as seguro?, ¿Cu´al de los algoritmos se podr´ıa acortar? 5 Las preguntas son contestadas de forma clara y todos se ponen de acuerdo en que el m´etodo de multiplicaciones y restas es el m´as r´apido. Asimismo, uno de los alumnos plantea una pregunta clave: “Si hubi´esemos podido dividir, ¿qu´e habr´ıa pasado?”. Esta cuesti´on deja entrever que el alumnado no tiene suficientemente consolidada la relaci´on que existe entre estas operaciones aritm´eticas, sino que la entienden como una noci´on disconexa del resto de operaciones. De esta manera, se puede concluir que la realizaci´on de esta actividad, que inicialmente no estaba prevista dentro de la unidad did´actica, ha tenido un papel fundamental para poder enlazar todas las nociones y presentar la divisi´on como una operaci´on que, si bien no es vital porque podr´ıa ser sustituida por un procedimiento de sumas, restas o multiplicaciones, s´ı es la m´as r´apida y ´optima para el tipo de problemas donde se ve implicada. 4.3. Resultados En lo referente a los resultados que se esperaba obtener, se confiaba en que surgieran todas las alternativas que han sugerido los estudiantes, con una mayor presencia del m´etodo multiplicativo. Asimismo, se conjeturaba que, tras la visualizaci´on de este ´ultimo algoritmo mencionado, surgiera el t´ermino de la prueba de la divisi´on, pues esta est´a basada precisamente en ´el. Sin embargo, no ha sido el caso, pero lo que s´ı han intentado es hacer uso de aspectos 5Estas preguntas son las que plantea la maestra en el debate de la primera clase de la introducci´on de la divisi´on en cuarto grado en el trabajo de Brousseau. [Brousseau, 2015] 33 relacionados con la divisi´on, como lo han sido el m´ınimo com´un m´ultiplo o la descomposici´on factorial. A modo de balance, se observa generalmente, que los alumnos terminan la tarea entre cinco y diez minutos. A partir de ese momento, solo quedan algunos que, si bien han realizado todas las operaciones, encuentran dificultades a la hora de concluir e interpretar los resultados por no ser estos ´ultimos exactos. Sintetizando, los procedimientos que han efectuado los 20 estudiantes son, como ya se ha aludido previamente, los siguientes: Lo implementan Error c´alculo Error interpretaci´on Procedimiento aditivo 6 1 1 Procedimiento sustractivo 3 2 1 Procedimiento multiplicativo 7 0 0 Tabla 4.1: Resultados seg´un el procedimiento utilizado. Los cuatro alumnos restantes que no constan en la tabla no supieron llevar adelante la tarea desde el inicio. Por lo que corresponde a aquellos que efectuaron el procedimiento aditivo, cabe comentar que no es el mismo alumno quien comete el error de c´alculo que el que comete el de interpretaci´on. El primero de ellos, si bien no llega a la conclusi´on deseada, s´ı entiende qu´e est´a calculando. Por el contrario, el segundo no entiende por qu´e una de las sumas no da como resultado 245 y, entonces se frustra y su conclusi´on es que “hay que abrir 252 paquetes” (resultado de sumar 15 veces 18). En el caso del sustractivo, se observan dos m´etodos con errores de c´alculo y, en uno de estos, hay un despiste por parte del aprendiz que no tiene en cuenta que, para aquellos ni˜nos que quedan sin pasteles tras 13 intentos, habr´a que abrir un paquete que no se terminar´a. Con todo esto, lo que m´as llama la atenci´on de los datos recogidos en la Tabla 4.1, es que aquellos que han realizado un procedimiento multiplicativo no han cometido ning´un error de c´alculo ni tampoco de interpretaci´on. Se podr´ıa afirmar que son los m´as pr´oximos al conocimiento de la identidad D=d·q+r, lo que ha conllevado a emplear un procedimiento m´as corto y, por tanto, con menos posibilidad de error. Adicionalmente, todos parecen tener claro qu´e es lo que buscan y qu´e es lo que sobra, en otras palabras, ubican el cociente y el resto de la divisi´on. 34 A continuaci´on se muestran algunos ejemplos de resoluci´on llevados a cabo por alumnos del instituto IES La Vall de Seg´o: Figura 4.1: Sumas sucesivas. Alumno G.A.G del IES La Vall de Seg´o. Figura 4.2: Restas sucesivas. Alumno Q.M del IES La Vall de Seg´o. Figura 4.3: Multiplicaciones - Resta. Alumna M.A.Q del IES La Vall de Seg´o. 35 En pocas palabras, llevar a efecto tanto este TFM como la pr´actica en el aula, me ha brindado la oportunidad de poder conocer otro tipo de metodolog´ıas distintas a las que yo conoc´ıa como alumna, y que espero poder poner en pr´actica en un futuro muy pr´oximo. 42 Bibliograf´ıa [Bartlett and Bartlett, 1995] Bartlett, F. C. and Bartlett, F. C. (1995). Remembering: A study in experimental and social psychology. Cambridge University Press. [Brousseau, 1991] Brousseau, G. 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