Caracterizando esferas redondas con la segunda forma fundamental

Grado en Matem´ atica Computacional Trabajo Final de Grado Caracterizando esferas redondas con la segunda forma fundamental Autor: Mar´ıa L´ opez Romero Tutor acad´emico: Vicente Jos´e Palmer Andreu Fecha de lectura: Julio de 2024 Curso acad´emico 2023/2024 ´ Indice general 1. Introducci´on 5 1.1. Contexto y motivaci´on del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Generalidades sobre superficies 7 2.1. Superficies parametrizadas. Superficie regular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2. Campos normales a una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3. Aplicaci´on de Gauss y segunda forma fundamental 19 3.1. Preliminares Algebra Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.1. Traza y determinante de un endomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.2. Relaci´on entre forma bilineal sim´etrica y endomorfismo autoadjunto . . . 21 3.1.3. Diagonalizaci´on endomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2. Diferenciabilidad aplicaci´on de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3. La definici´on de segunda forma fundamental de una superficie orientable S . . . . 23 3.4. Direcciones principales y curvaturas principales de una superficie S en un punto . 31 4. Teoremas de Hilbert (local) y de Jellet-Liebmann 39 3 4.1. Clasificaci´on de las superficies totalmente umbilicales . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2. Teorema de Hilbert (local) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.3. Teorema de Jellet-Liebmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.4. Observaciones y comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4 Cap´ıtulo 1 Introducci´on 1.1. Contexto y motivaci´on del proyecto En el conjunto de resultados de la Geometr´ıa Diferencial de curvas y superficies conocido como Geometr´ıa Diferencial Global se estudian propiedades globales de las superficies a partir de hip´otesis locales. En este campo de conocimiento se encuentra el Teorema central de este trabajo, el Teorema de Jellet-Liebmann. La trascendencia del Teorema de Jellet-Liebmann radica en su habilidad para inferir la forma global de una superficie a partir de informaci´on local, espec´ıficamente a trav´es de la segunda forma fundamental. Su demostraci´on recorre el camino que va desde los detalles ´ıntimos de la curvatura en cada punto hasta una conclusi´on global sobre la forma de la superficie en su conjunto. El desarrollo de la geometr´ıa diferencial global, y en particular de los Teoremas de HilbertLiebmann y de Jellet-Liebmann, se inscribe en un contexto hist´orico de avances significativos en la comprensi´on de las superficies y sus propiedades. La idea de estudiar propiedades globales a partir de datos locales se consolid´o a finales del siglo XIX y principios del siglo XX, cuando matem´aticos como Hilbert comenzaron a formalizar y generalizar resultados en geometr´ıa diferencial. Adem´as, el enfoque sobre la curvatura y las aplicaciones del an´alisis en la geometr´ıa de superficies fue un cambio que permiti´o abordar problemas m´as complejos, como el caracterizado por el Teorema de Jellet-Liebmann. Estos avances han influido en el desarrollo de campos como la teor´ıa de la relatividad y la f´ısica matem´atica, donde la estructura global de los espacios juega un papel crucial. Este trabajo de fin de grado se propone explorar en detalle las demostraciones de los Toeo5 remas de Hilbert (un resultado previo de capital importancia) y de Jellet-Liebmann y su papel central en la geometr´ıa diferencial global, a trav´es de una revisi´on conceptual y una presentaci´on detallada de la demostraci´on del teorema, que utiliza nociones b´asicas. 6 Cap´ıtulo 2 Generalidades sobre superficies En este apartado introduciremos nociones b´asicas sobre superficies. La mayor´ıa de los resultados de esta secci´on se presentan sin demostrar. De cada uno de ellos (as´ı como de las definiciones que se introducen) hemos consignado referencias bibliogr´aficas donde se pueden encontrar las demostraciones. 2.1. Superficies parametrizadas. Superficie regular. Comenzamos con la definici´on de superficie: Definici´on 2.1.1. (cfr. [2], [4], [5]). Una superficie parametrizada es una aplicaci´on diferenciable x :U⊆R2→R3;x(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∈R3∀(u, v)∈Udonde U es un abierto de R2. Al conjunto imagen S=x(U)⊆R3se le llama traza de x. Definici´on 2.1.2. Una superficie parametrizada x :U⊆R2→R3es regular en el punto (u0, v0)∈Usii su diferencial Dx(u0, v0) : R2→R3es inyectiva. La aplicaci´on x es regular en U sii es regular en todos los puntos de U. Nota 2.1.1. Denotamos a las derivadas parciales de x como xu(u, v) = (dx du(u, v),dy du(u, v),dz du(u, v)) = Dx(u, v)(e1) xv(u, v)=(dx dv (u, v),dy dv(u, v),dz dv(u, v)) = Dx(u, v)(e2) 7 La diferencial Dx(u0, v0)es inyectiva sii kerDx(u0, v0) = {¯ 0}sii rgDx(u0, v0) = 2 sii los vectores xu(u0, v0)yxv(u0, v0)son linealmente independientes sii ∥xu(u0, v0)×xv(u0, v0)∥ = 0. La matriz de la diferencial, viene dada por la expresi´on: Dx(u0, v0)= | | xu(u0, v0)xv(u0, v0) | |   Las superficies parametrizadas juegan, en la teor´ıa c´asica de curvas y superficies y para la dimensi´on 2, el papel an´alogo al de las curvas parametrizadas en dimensi´on 1. Son aplicaciones, no conjuntos de puntos. Al igual que pasaba con las curvas, con la definici´on de superficie parametrizada no podemos evitar que el conjunto imagen pueda presentar autointersecciones. Existe otro problema que no existe en el caso de las curvas: hay superficies, como la esfera, que, vistas como lugar geom´etrico, no pueden representarse enteramente como la imagen de una superficie parametrizada. Vamos a dar una noci´on de superficie que supera estos dos problemas: la noci´on de superficie regular. Definici´on 2.1.3. (cfr. [3], [6], [8]). Un subconjunto S⊆R3es una superficie regular sii para todo punto p∈S, existe un entorno Vp⊆R3de pen R3, (en la topolog´ıa usual de R3), y una aplicaci´on xp:Up⊆R2→Vp∩S⊆R3, donde Upes un abierto de R2de la topolog´ıa usual tales que: 1. La aplicaci´on xpes diferenciable en Up,xp∈C∞(Up). Esto quiere decir que las funciones componentes de xp(u, v) = (xp(u, v), yp(u, v), zp(u, v)) tienen derivadas parciales continuas en Up. 2. La aplicaci´on xp:Up→Vp∩Ses un homeomorfismo. Como xpes cont´ınua, esto quiere decir que xp−1:Vp∩S→Ues continua e inyectiva. 3. Para cada q∈Up,D xp(q) : R2→R3es inyectiva. Dada una superficie regular S, y dado un punto cualquiera p ∈S, notar que la aplicaci´on xp:Up→Vp∩S⊆R3es una superficie parametrizada, regular e inyectiva, para todo p∈S. Cada una de estas superficies parametrizadas se llama carta o parametrizaci´on o sistema de coordenadas de la superficie Sy la denotamos como (Up, xp). Como primera consecuencia de la definici´on, se puede demostrar que la superficie regular S es un espacio topol´ogico (S, TS)cuya topolog´ıa TS, es la heredada de la topolog´ıa usual de R3, TS=TR3 u|S. Como segunda consecuencia de la definici´on, dado un punto pen una superficie regular S⊆ R3, existe una superficie parametrizada regular e inyectiva xp:Up⊆R2→xp(Up)⊆S⊆R3 8 tal que xp(Up)es un entorno abierto de pen S. Podemos recubrir toda la superficie regular S con estos entornos homeomorfos a abiertos de R2. Como tercera consecuencia, las cartas de una superficie regular son compatibles, es decir, si (U, ¯x) y (V, ¯y) son cartas de S, entonces ¯x◦¯y−1:R2→R2es C∞. (cfr. [2]). Definici´on 2.1.4. Dada S⊆R3una superficie regular, sea la familia de cartas {(Up, xp:Up→ xp(Up)⊆S)}p∈S. A esta familia se le llama Atlas de S. No existe un atlas ´unico para una superficie regular: toda familia de superficies parametrizadas regulares e inyectivas {(Ui, xi: Ui→xi(Ui)⊆S)}i∈Icumpliendo que S=∪i∈Ixi(Ui)es un atlas de S. Nota 2.1.2. Dada una superficie parametrizada x :U⊆R2→x(U)⊆R3, regular e inyectiva y tal que x :U→x(U)es un homeomorfismo, tendremos que S=x(U)es una superficie regular, con atlas asociado {(U, x)}. Ejemplo 2.1.1. Sea la esfera unitaria en R3, centrada en (0,0,0) ∈R3. Es el conjunto S2 1={(x, y, z)∈R3/x2+y2+z2= 1} Se puede demostrar con [4] y con [5] que un atlas para S2 1viene dado por las siguientes parametrizaciones (superficies parametrizadas regulares e inyectivas): x1+:U→V+ 1∩S2 1⊆R3, siendo x1+(u, v) = (u, v, +p1−(u2+v2)),U={(u, v)∈ R2/u2+v2≤1}yV+ 1={(x, y, z)∈R3/z > 0}. La imagen de esta carta recubre la semiesfera positiva. x1−:U→V− 1∩S2 1⊆R3, siendo x1−(u, v) = (u, v, −p1−(u2+v2)),U={(u, v)∈ R2/u2+v2≤1}yV− 1={(x, y, z)∈R3/z < 0}. La imagen de esta carta recubre la semiesfera negativa. Las dos cartas que acabamos de describir recubren toda la esfera excepto el ecuador. Sean ahora x2±:U→V± 2∩S2 1⊆R3, siendo x2±(u, v)=(u, ±p1−(u2+v2), v) U={(u, v)∈R2/u2+v2≤1}yV± 2={(x, y, z)∈R3/y > (<)0}. x3±:U→V± 3∩S2 1⊆R3siendo x3±(u, v)=(±p1−(u2+v2), u, v) U={(u, v)∈R2/u2+v2≤1}yV± 3={(x, y, z)∈R3/z > (<)0}. Las seis cartas recubren toda la esfera. Definici´on 2.1.5. (cfr. [4]). Sea S⊆R3una superficie regular y sea p ∈S. Un vector w ∈R3 es un vector tangente a S en p sii existe una curva parametrizada diferenciable α: (ϵ, −ϵ)→S tal que α(0) = pyα′(0) = w. 9 ¯x:U⊆R2→S⊆R3 ¯x−1: ¯x(U)⊆S→U⊆R El campo N:= N¯x◦¯x−1es un campo vectorial diferenciable, normal y unitario sobre S, porque hemos usado la definici´on 2.1.8 que N◦¯x=N¯x◦¯x−1◦¯x=N¯xque es diferenciable. Nota 2.2.3. En el lema 2.2.2 hemos demostrado que, dada una superficie S, existe un abierto V⊆Sy existe N:V⊆S→R3campo normal unitario y diferenciable en V; construy´endolo a partir de una carta de S. Supongamos ahora que, usando el lema 2.2.2, dado V⊆Sabierto y conexo de la superficie, tenemos dos campos unitarios y diferenciables N1yN2, definidos sobre este abierto conexo. ¿Qu´e relaci´on hay entre ellas? Lema 2.2.3. Sea V⊆Sun abierto conexo de una superficie. Sean N1:V⊆S→R3y N2:V⊆S→R3dos campos vectoriales unitarios sobre S (y continuos). Entonces N1=N2o bien N1=−N2. Por tanto podemos concluir que una superficie conexa y abierta (o un abierto conexo de una superficie) tiene al menos, una cara y a lo sumo dos caras. Demostraci´on. Dado p∈V, N1(p)⊥TpSy unitario y N2(p)⊥TpSy unitario. Entonces N1(p) = N2(p)o N1(p) = −N2(p). Asi, si definimos A:= {p∈V/N1(p) = N2(p)}yB:= {p∈V/N1(p) = −N2(p)}, entonces, A∩B=∅, porque si p∈A∩Bentonces se tendr´a que 16 N1(p) = N2(p) y N1(p) = −N2(p) con lo que N1(p) = −N1(p) luego N1(p) = 0 ¡contradicci´on! ya que ||N1(p)|| = 1. Adem´as: V:= A∪B={p∈V/N1(p) = N2(p)}∪{p∈V/N1(p) = −N2(p)}= {p∈V/(N1−N2)(p)=0}∪{p∈V/(N1+N2)(p)=0}= (N1−N2)−1{0}∪(N1+N2)−1{0} A=(N1−N2)−1({0}) es cerrado por ser N1yN2continuas y {0} ⊆ Rcerrado. Lo mismo pasa con B=(N1+N2)−1({0}). . Como V es conexo solo puede pasar que: A=∅y V=B o bien B=∅y V=A Si pasa lo primero, podemos decir que V tiene dos caras y si pasa lo segundo, que V tiene al menos una cara. Definici´on 2.2.2. (cfr, [5]). Sea S⊆R3una superficie regular. Se dice que S es orientable sii ∃N:S⊆R3→R3campo normal unitario y diferenciable definido en toda la superficie. Cada campo vectorial unitario diferenciable definido en toda S se llama orientaci´on de S o Aplicaci´on de Gauss. S es orientada cuando se ha elegido una orientaci´on (i.e un campo normal unitario diferenciable N:S→R3). Nota 2.2.4. Vamos a sacar conclusiones de los lemas anteriores 1. El lema 2.2.2 asegura que toda superficie regular es localmente orientable (i.e la aplicaci´on de Gauss est´a definida localmente) 2. Supongamos que S es orientable y conexa. Por tanto: a)∃N:S→R3campo normal unitario (aplicaci´on de Gauss) b) S es abierto (en S) Entonces el lema 2.2.3 asegura que −N:S→R3es otro campo vectorial unitario y por tanto existen dos orientaciones posibles (dos aplicaciones de Gauss posibles). Nota 2.2.5. Tenemos dos situaciones: 1. Dada S⊆R3superficie orientable y regular, tenemos definida una aplicaci´on N:S→R3(campo vectorial normal y unitario). 2. Si S⊆R3no es orientable, podemos considerar V⊆Sabierto de S donde tenemos definido un campo vectorial normal y unitario, N:V⊆S→R3(aplicaci´on de Gauss definida localmente) Todo lo que vamos a estudiar a partir de ahora vale, o bien para toda superficie si ´esta es orientable, o bien para un abierto de la superficie, en caso de no ser orientable. 17 18 Cap´ıtulo 3 Aplicaci´on de Gauss y segunda forma fundamental En este apartado abordaremos dos conceptos fundamentales en la geometr´ıa diferencial de superficies: la aplicaci´on de Gauss y la segunda forma fundamental. Estos conceptos son esenciales para comprender la curvatura de las superficies y su estructura. 3.1. Preliminares Algebra Lineal Antes de adentrarnos en la aplicaci´on de Gauss y la segunda forma fundamental, es importante revisar los sigientes conceptos de ´algebra lineal. 3.1.1. Traza y determinante de un endomorfismo Nota 3.1.1.1. Sea (V, g)espacio vectorial eucl´ıdeo (sobre R). Sea f: (Vn, g)→(Vn, g)un endomorfismo (aplicaci´on lineal). 1. Dada una base {¯e}n i=1 de V, consideramos la matriz de f en esta base: [f]β:=     a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... an1an2... ann    en β ={¯ej}n j=1 19 Entonces f(¯ei) = Pn j=1 aji¯ej. Notar que [f]β∈Mn×n(R) 2. Dadas dos bases β={¯ei}n i=1 yβ′={¯uj}n j=1 de V, sea Pβ′βla matriz del cambio de base de β′aβi.e la matriz, tal que ¯xT β=Pβ′β¯xT β′ Pβ′βtiene como columnas a los vectores ¯ujde β′expresados en la base β={¯ei}n i=1 Como {¯u1...¯un}son linealmente independientes, det(Pβ′β)= 0. 3. Sea f: (V, g)→(V, g)un endomorfismo y sean βyβ′dos bases de V. Sean A= [f]βyB= [f]β′las matrices de f respecto a βyβ′respectivamente. Sea Pβ′βla matriz de cambio de base de β′aβ. Entonces, si llamamos ¯y=f(¯x), tendremos: A¯xT β= ¯yT β=Pβ′β¯yT β′=Pβ′βB¯xT β′=Pβ′βBP−1 β′β¯xT β porque: ¯y=f(¯x)⇐⇒ (¯yT β=A¯xT β ¯yT β′=B¯xT β′ y porque ¯xT β=Pβ′β¯xT β′⇐⇒ ¯xT β′=P−1 β′β¯xT β Como hemos probado esta igualdad ∀¯x∈Ventonces A=PBP−1. Por tanto A y B son semejantes. Proposici´on 3.1.1.1. Sea f: (V, g)→(V, g)un endomorfismo. Sean βyβ′bases de V y A= [f]βyB= [f]β′las matrices de f respecto a βyβ′respectivamente. Entonces det(A)=det(B). Demostraci´on. Dadas A y B sabemos que A=PBP −1. Entonces det(A) = det(PBP−1) = det(P)det(B)det(P−1) = det(P)det(B)1 det(P)=det(B) Definici´on 3.1.1.1. Dado f: (V, g)→(V, g)endomorfismo, se define det(f) := det([f]β) siendo βuna base cualquiera de V. Por la Proposici´on 3.1.1.1, det(f) est´a bien definido, es decir, no depende de la base. Definici´on 3.1.1.2. Dado f: (V, g)→(V, g)endomorfismo, y dada βbase de V, se define tr(f) := tr([f]β). 20 Proposici´on 3.1.1.2. La traza de f, tr(f), est´a bien definida, es decir, no depende de la base. Demostraci´on. Sea A= [f]βla matriz de f recpecto de β. Si β′es otra base de f, sea B= [f]β′. Entonces, sabemos que ∃Pregular tal que: A=PBP−1. En general. la traza de una matriz satisface la propiedad. tr(AB) = tr(BA)∀A, B ∈Mn×n. Entonces tr(f) := tr([f]β) = tr(A) = tr(PBP−1) = tr(BP −1P) = tr(B). 3.1.2. Relaci´on entre forma bilineal sim´etrica y endomorfismo autoadjunto Definici´on 3.1.2.1. Sea (V, g)espacio eucl´ıdeo. Sea f: (V, g)→(V, g)endomorfismo. Entonces f es autoadjunto sii g(v, f(v′)) = g(f(v), v′)∀v, v′∈V. Definici´on 3.1.2.2. Sea (V, g)espacio eucl´ıdeo. Una forma bilineal sim´etrica es una aplicaci´on F:V×V→Rtal que: 1. Fes bilineal. 2. F(v, w) = F(w, v)∀v, w ∈V. Nota 3.1.2.1. Sea (V, g)espacio vectorial eucl´ıdeo. Sea f: (V, g)→(V, g)endomorfismo autoadjunto. Se define : F:V×V−→ R (v, w)7−→ F(v, w) := g(f(v), w) Entonces F es forma bilineal sim´etrica. Demostraci´on. Vamos a demostrar que la aplicaci´on F es bilineal y sim´etrica: 1. Es bilineal, ya que, dados v1, v2∈V, tenemos que: F(v1+v2, w) = g(f(v1+v2), w) = g(f(v1) + f(v2), w) = g(f(v1), w) + g(f(v2), w) =F(v1, w) + F(v2, w) F(αv, w) = g(f(αv), w) = g(αf(v), w) = αg(f(v), w) = αF(v, w) F(v, w1+w2) = g(f(v), w1+w2) = g(f(v), w1) + g(f(v), w2) = F(v, w1) + F(v, w2) F(v, αw) = g(v, αf(w)) = αg(v, f(w)) = αF(v, w) 21 2. La aplicaci´on F es sim´etrica, ya que, como f es autoadjunta, entonces, dados, v, w ∈Vse tiene: F(v, w) = g(f(v), w) = g(v, f(w)) = g(f(w), v) = F(w, v) 3.1.3. Diagonalizaci´on endomorfismos Definici´on 3.1.3.1. Sea (V, g)espacio vectorial eucl´ıdeo. Sea f: (V, g)→(V, g)endomorfismo. Se dice que λ∈Res un valor propio de f cuando existe ¯v=¯ 0(llamado vector propio de f) tal que: f(¯v) = λ¯v Definici´on 3.1.3.2. Sea (V, g)espacio vectorial eucl´ıdeo. Sea el endomorfismo f: (V, g)→ (V, g). Se dice que f es diagonalizable sii ∃βbase de V tal que [f]βes diagonal. Teorema 3.1.3.1. Sea (V, g)espacio vectorial eucl´ıdeo. Sea f: (Vn, g)→(Vn, g)endomorfismo autoadjunto. Entonces ∃βbase ortonormal de V formada por vectores propios de f y por tanto, f es diagonalizable. Demostraci´on. En este trabajo, lo hemos demostrado en el caso en que (V, g) es un espacio eucl´ıdeo de dimensi´on 2 y g es la m´etrica eucl´ıdea usual (teorema 3.4.1.). Nota 3.1.3.1. Sea (V2, g)espacio vectorial eucl´ıdeo. Sea f: (V2, g)→(V2, g)endomorfismo autoadjunto. Hemos demostrado en la proposici´on 3.1.1.1 y en la proposici´on 3.1.1.2 que los valores propios de f no dependen de la base. Sea β0={¯e1,¯e2}la base ortonormal de V formada por vectores propios de f. En esta base tendremos: f(¯e1) = λ1¯e1, f(¯e2) = λ2¯e2. Entonces, [f]β0=λ1¯e1λ2¯e2=λ10 0λ2en β0 y entonces: tr(f) := tr([f]β0) = λ1+λ2 det(f) := det([f]β0) = λ1λ2 Estos 2 valores no dependen de la base y por tanto quedan as´ı caracterizados en funci´on de los valores propios de f. 22 3.2. Diferenciabilidad aplicaci´on de Gauss Vamos a estudiar, dada S superficie regular y orientable, la diferenciabilidad de la aplicaci´on de Gauss N:S→R3. Nota 3.2.1. Sea S una superficie regular y orientable. La aplicaci´on de Gauss puede verse como la aplicaci´on entre superficies N:S−→ S2(1). ya que, dado p∈S,||N(p)|| = 1, y por tanto, N(p) ∈S2(1). Estudiaremos la diferenciabilidad de la aplicaci´on de Gauss: Teorema 3.2.1. Sea S superficie regular y orientable. Entonces N:S−→ S2(1) es diferenciable, como aplicaci´on entre superficies. Demostraci´on. La aplicaci´on de Gauss N:S−→ S2(1) es diferenciable en p∈Ssii se cumple el apartado 3 de la definici´on 2.1.8., es decir, si y solo si iS2(1) ◦N:S→R3es diferenciable en p∈S. Y esto es cierto, ya que, dada ¯x:U⊆R2→Scarta con p∈¯x(U), tendremos que iS2(1) ◦N◦¯x=N¯x◦¯x−1◦¯x=N¯x que es una aplicaci´on diferenciable en ¯x−1(p), de R2en R3. 3.3. La definici´on de segunda forma fundamental de una superficie orientable S Vamos a definir en esta secci´on la diferencial de la aplicaci´on de Gauss de una superficie orientable S. A lo largo de todo el trabajo vamos a considerar al espacio tangente a una superficie S en p∈S, TpS, como un espacio vectorial de dimensi´on 2, (TpS≡R2), sobre el que hay definida una m´etrica gp:TpS×TpS→R. La m´etrica gpes la m´etrica Eucl´ıdea o usual de R2. De hecho, es la restricci´on a cada plano tangente TpSde la m´etrica Eucl´ıdea usual de R3.A esta m´etrica se le conoce como primera forma fundamental de la superficie S. Por razones de tiempo y de extensi´on del trabajo, no estudiamos con detalle esta Primera Forma Fundamental (ver [1], [2], [5]). Si no se menciona lo contrario, consideramos S orientable a partir de ahora. Definici´on 3.3.1. Sea S superficie regular orientable. Sea N:S→S2(1) su aplicaci´on de Gauss. Sea p∈S. Entonces se define, la diferencial de N en p, (dN)p=N∗p:TpS→TN(p)S2(1) 23 como sigue: dado ¯v∈TpS, dNp(¯v) = N∗p(¯v) := d dt|t=0(N◦α)(t) = d dt|t=0N¯x(¯x−1(α(t))) siendo α:I⊆R→Scurva en S tal que α(0) = p, α′(0) = ¯v, y siendo x:U⊆R2→S parametrizaci´on de S tal que x(q) = p=α(0). Nota 3.3.1. Como TN(p)S2(1) es el plano en R3que pasa por N(p)y tiene como vector normal al propio N(p)yTpSes el plano en R3que pasa por p y tiene como vector normal a N(p), entonces, TN(p)S2(1) yTpSson variedades lineales con el mismo subespacio director, que es el espacio ⟨{N(p)}⟩⊥. Entonces identificamos TpS≡TN(p)S2(1) y as´ı la aplicaci´on (dN)p:TpS→TpSes un endomorfismo definido en el subespacio ⟨{N(p)}⟩⊥≡R2≡TpS. Definici´on 3.3.2. Sea S una superficie regular y orientable. Sea p∈S. Se define la aplicaci´on de Weingarten de S en p como la aplicaci´on Wp:= −(dN)p:TpS→TpS. Definici´on 3.3.3. Sea S superficie regular y orientable. Sea p∈SyWp:= −(dN)p:TpS→TpS la aplicaci´on de Weingarten de S en p. Entonces se definen: 1. La curvatura de Gauss de S en p como KN(p) = det(dN)p=det(−dNp) = detWp 2. La curvatura media de S en p como HN(p) = −1 2tr(dN)p=1 2tr(−dNp) = 1 2trWp. Nota 3.3.2. Si cambiamos la orientaci´on de la superficie, es decir, consideramos la aplicaci´on de Gauss e N(p) = −N(p)∀p∈S Entonces tenemos los endomorfismos (dN)p:TpS→TpSy(de N)p:TpS→TpS, de forma que, dado ˜v∈TpS, y α:I⊆R→Scurva tal que α(0) = p, α′(0) = ˜v, tenemos: (de N)p(˜v) := d dt|t=0(e N◦α)(t) = −d dt|t=0(N)◦α)(t) = −(dN)p(˜v) ya que (e N◦α)(t) = e N(α(t)) = −N(α(t)) = −(N◦α)(t)∀t∈I⊆R.Sea β={¯e1,¯e2}base de TpS. entonces [(dN)p]β=α11 α12 α21 α22 en esta base y [(de N)p]β= [(−dN)p]β=−[(dN)p]β=−α11 −α12 −α21 −α22 24 Por tanto, kN(p) = det(dN)p=α11α22 −α21α12 = (−α11)(−α22)−(−α21)(−α12) = det(de N)p=ke N(p)es decir, la curvatura de Gauss no depende de la orientaci´on. Sin embargo, HN(p) = −1 2tr(dN)p=−1 2{α11 +α22} He N(p) = −1 2tr(de N)p=−1 2{(−α11)+(−α22)}=−HN(p) Es decir, la curvatura media depende de la orientaci´on (cambia de signo al cambiar la orientaci´on). Definici´on 3.3.4. Sea S superficie regular orientable. Sea p ∈S. Sea la aplicaci´on de Weingarten Wp:TpS→TpS. Se define la segunda forma fundamental de S en p como la forma bilineal σp:TpS×TpS→R ¯v, ¯w7−→ σp(˜v, ¯w) := −⟨(dN)p(¯v),¯w⟩=⟨Wp(¯v),¯w⟩ donde ⟨,⟩:TpS×TpS→Res la restricci´on a cada plano tangente del producto escalar eucl´ıdeo de R3. Proposici´on 3.3.1. La segunda forma fundamental σp:TpS×TpS→Res una forma bilineal. Demostraci´on. Para ello hemos de comprobar que: σp(λ1¯u1+λ2¯u2,¯v) = λ1σp(¯u1,¯v) + λ2σp(¯u2,¯v) σp(¯u, α1¯v1+α2¯v2) = α1σp(¯u, ¯v1) + α2σp(¯u, ¯v2) Ve´amoslo: σp(λ1¯u1+λ2¯u2,¯v) = ⟨λ1¯u1+λ2¯u2, Wp(¯v)⟩=λ1⟨¯u1, Wp(¯v)⟩+λ2⟨¯u2, Wp(¯v)⟩=λ1σp(¯u1,¯v)+λ2σp(¯u2,¯v) σp(¯u, α1¯v1+α2¯v2) = ⟨¯u, Wp(α1¯v1+α2¯v2)⟩=α1⟨¯u, Wp(¯u1)⟩+α2⟨¯u, Wp(¯u2)⟩=α1σp(¯u, ¯v1)+α2σp(¯u, ¯v2) Nota 3.3.3. Sea β={¯e1,¯e2}una base ortonormal de TpS≡R2. La forma bilineal σp:TpS× TpS→Rtiene una matriz asociada a esta base. Esta matriz es [σp]β=σp(¯e1¯e1)σp(¯e1¯e2) σp(¯e2¯e1)σp(¯e2¯e2). Por otra parte, sean dNp(¯e1) = α11¯e1+α21¯e2ydNp(¯e2) = α12¯e1+α22¯e2. Entonces, si calculamos las entradas de esta matriz tenemos: σp(¯e1¯e1) = −⟨(dN)p(¯e1),¯e1⟩=−⟨α11¯e1+α21¯e2,¯e1⟩=−α11 σp(¯e1¯e2) = −⟨(dN)p(¯e1),¯e2⟩=−⟨α11¯e1+α21¯e2,¯e2⟩=−α21 σp(¯e2¯e1) = −⟨(dN)p(¯e2),¯e1⟩=−⟨α12¯e1+α22¯e2,¯e1⟩=−α12 σp(¯e2¯e2) = −⟨(dN)p(¯e2),¯e2⟩=−⟨α12¯e1+α22¯e2,¯e2⟩=−α22 25 y la funci´on G: [0,2π]→R t7−→ G(t) := F(¯ut) = ⟨¯ut, f(¯ut)⟩. Por definici´on de F, y como f es lineal y autoadjunta, G(t) = F(¯ut) = ⟨¯ut, f(¯ut)⟩=⟨cost ·¯v1+sent ·¯v2, cost ·f(¯v1) + sent ·f(¯v2)⟩=cos2t⟨¯v1, f(¯v1)⟩+ 2cost ·sent⟨¯v1, f(¯v2)⟩+sen2t⟨¯v2, f(¯v2)⟩=cos2tF(¯v1)+2cost ·sent⟨¯v1, f(¯v2)⟩+sen2tF(¯v2) Vamos a estudiar los extremos de la funci´on G. Como G es continua en un compacto, entonces posee un valor m´aximo y un valor m´ınimo. Sabemos que G(0)=F(¯u0) = F(¯v1) = am´ınimo de F. Entonces G′(0) = 0 y as´ı 0 = G′(0) = d dt|t=0G(t) = d dt|t=0{cos2tF(¯v1)+2cost ·sent⟨¯v1, f(¯v2)⟩+sen2tF(¯v2)} Pero d dt|t=0 cos2tF(¯v1)=2cost|t=0(−sent)|t=0F(¯v1)=0 d dt|t=0(2cost ·sent⟨¯v1, f(¯v2)⟩)=2⟨¯v1, f(¯v2)⟩{−sen2t|t=0 +cos2t|t=0}= 2⟨¯v1, f(¯v2)⟩ d dt|t=0sen2tF(¯v2)=2sent|t=0cost|t=0F(¯v2)=0 Por tanto, 0 = G′(0) = 2⟨¯v1, f(¯v2)⟩. Como {¯v1,¯v2}es base de R2, entonces f(¯v2) = λ¯v2con λ∈R. Por otra parte, como f es autoadjunto, 0 = ⟨¯v1, f(¯v2)⟩=⟨f(¯v1),¯v2⟩. Con lo que f(¯v1) = µ·¯v1 con µ∈R. Por tanto: [f]β=µ0 0λ siendo f(¯v1) = (µ, 0) y f(¯v2) = (0, λ). Es decir, {¯v1,¯v2}diagonaliza f. Lema 3.4.2. Sea f: (R2, ge)→(R2, ge)endomorfismo autoadjunto. Por el lema 3.4.1. ∃β= {¯v1,¯v2}base ortonormal de R2que diagonaliza f i.e tal que (f(¯v1) = µ¯v1 f(¯v2) = λ¯v2 o bien [f]β=µ0 0λ Entonces, si definimos F:S1→[a, b] ¯v7−→ F(¯v) := ⟨¯v, f(¯v)⟩ Tendremos que los valores propios de f, (µyλ), son el m´ınimo de F y el m´aximo de F, respectivamente. 32 Demostraci´on. Ya hemos visto que en ¯v1la funci´on F tiene un m´ınimo: a=F(¯v1) = ⟨¯v1, f(¯v1)⟩=⟨¯v1, µ¯v1⟩=µ⟨¯v1,¯v1⟩=µ es decir, µes el m´ınimo de F. Como ⟨¯v1, f(¯v2)⟩= 0, entonces G(t) = F(¯ut) = cos2tF(¯v1) + sen2tF (¯v2) y G′(t) = d dt{cos2tF(¯v1) + sen2tF(¯v2)}=−2costsentF(¯v1)+2sentcostF(¯v2) = sen(2t){−F(¯v1) + F(¯v2)} Entonces: G′(t)=0 ⇐⇒    Si F(¯v1) = F(¯v2) (y entonces G′(t) = 0 ∀t) Si F(¯v1)=F(¯v2) entonces sin(2t) = 0 ⇔2t= 0 o πo 2πo 3π⇔t= 0,π 2, π, 3π 2 Estudiamos todos los casos posibles: 1. Si F(¯v1) = F(¯v2), entonces G′(t) = 0 ∀t→G(t) = c→F(¯ut) = c∀t(es decir, F(¯ut) = c∀¯ut∈S1) Si F(¯ut) = cconstante entonces F(¯ut) = F(¯v1) = a∀t∈[0,2π]. Por tanto, F(S1) = {F(¯ut) : ¯ut∈S1}={a}. Entonces, por una parte, sabemos que la matriz de f en {¯v1,¯v2}ser´a: [f]{¯v1,¯v2}=µ0 0λ donde f(¯v1) = µ¯v1yf(¯v2) = λ¯v2. Pero tambi´en acabamos de deducir que F(¯v) = ⟨f(¯v),¯v⟩=c=a∀¯v∈S1 Con lo que F(¯v1) = ⟨¯v1, f(¯v1)⟩=a=µyF(¯v2) = ⟨¯v2, f(¯v2)⟩=a=λ y asi: [f]{¯v1,¯v2}=a0 0a 2. Si F(¯v1)=F(¯v2), entonces G′(t) = 0 sii t= 0,π 2, π, 3π 2. Entonces, veamos a qu´e corresponden los valores de G en t= 0,π 2, π, 3π 2. Tenemos que G(0) = F(¯u0) = F(¯v1) = a, m´ınimo, ya que, ¯u0= ¯v1, por ser ¯ut=cost(¯v1) + sent(¯v2). Por otra parte, G(π 2) = F(¯uπ 2) = F(¯v2)> F(¯v1) = aya que suponemos que F(¯v1)=F(¯v2) y que F(¯v1) es el m´ınimo. Adem´as, ∀¯v∈S1,F(−¯v) = ⟨−¯v, f(−¯v)⟩=F(¯v). Como G(π) = F(¯uπ) = F(−¯v1) = F(¯v1) y como G3π 2=F(¯u3π 2) = F(−¯v2) = F(¯v2), solo nos tenemos que ocupar de los casos t= 0 y t=π 2. Ya hemos visto que G(0) = a, m´ınimo. Si G(π 2) = F(¯v2) tambi´en es un m´ınimo, entonces G poseer´ıa un m´aximo en un valor 33 t0∈(0,Π 2) pero entonces G′(t0) = 0, luego t0= 0, o t0=π 2¡contradicci´on! Por tanto, G(π 2) = F(¯v2) es un m´aximo y entonces F(¯v1) = µ= m´ınimo de F y F(¯v2) = λ= m´aximo de F. La funci´on F verifica que F(¯u) = F(−¯u)∀¯u∈S1. Por tanto, G(π) = F(−¯v1) = F(¯v1) y G(3π 2) = F(−¯v2) = F(¯v2) tendr´an la misma naturaleza de m´aximo o m´ınimo que G(0) = F(¯v1) y que G(π) = F(¯v2). Veamos entonces qu´e son G(0) y G(π 2). Ya sabemos que G(0) = F(¯v1) = aes un m´ınimo. Por otra parte, G(π 2) = F(¯uπ 2) = F(¯v2) es un m´aximo absoluto. Conclusi´on: Dada Wp:TpS→TpSla aplicaci´on de Weingarten de S en p y ¯σp:TpS→R definida como ¯σp(v) := ⟨v, Wp(v)⟩la forma cuadr´atica asociada a la segunda forma fundamental hemos demostrado en el lema 3.4.1. y en el lema 3.4.2., que los valores propios k1(p) y k2(p) de Wpson, respectivamente, el m´ınimo y el m´aximo de F|S1y que se alcanzan en las direcciones principales ¯v1(p) y ¯v2(p). A la base ortonormal {¯v1(p),¯v2(p)}formada por las direcciones principales de S en p le llamaremos base principal. Definici´on 3.4.1. Ecuaci´on de Euler de la curvatura normal Dada S ⊆R3superficie regular y orientable y dado p∈S. Sea {¯v1(p),¯v2(p)}la base principal de TpS. Dado ¯v∈TpSunitario, podemos escribir: ¯v=cost(¯v1(p)) + sent(¯v2(p)) Entonces la curvatura normal de S en p y en la direcci´on ¯v(que sabemos que es igual, por el Teorema de Meusnier, a la curvatura normal de cualquier curva parametrizada por el arco cuyo tangente es ¯v) ser´a kn(¯v) = ¯σp(¯v) := ⟨¯v, Wp(¯v)⟩=F(cost(¯v1(p)) + sent(¯v2(p))) = ⟨cost¯v1(p) + sent¯v2(p), Wp(cost¯v1(p) + sent¯v2(p))⟩= cos2t⟨¯v1, Wp(¯v1)⟩+ 2costsent⟨¯v1, Wp(¯v2)⟩+sen2t⟨¯v2, Wp(¯v2)⟩=cos2tk1(p) + sen2tk2(p) La ´ultima igualdad se debe a que: Wp(¯v2) = λ¯v2y⟨¯v1,¯v2⟩= 0 Definici´on 3.4.2. (Clasificaci´on de los puntos en una superficie) Sea S⊆R3superficie regular y orientable. Sea, para cada p∈S,Wp:TpS→TpSla aplicaci´on de Weingarten y σp:TpS×TpS→Rla segunda forma fundamental. Sean K(p) y H(p) las curvaturas de Gauss y media de S en p y sean k1(p), k2(p)las curvaturas principales de S en p. Entonces: i) p es el´ıptico sii K(p)>0 34 ii) p es hiperb´olico sii K(p)<0 iii) p es parab´olico sii K(p) = 0 yH(p)= 0 iv) p es plano sii K(p) = 0 yH(p)=0 v) p es umbilical sii k1(p) = k2(p) Definici´on 3.4.3. S es totalmente umbilical sii p es umbilical ∀p∈S Nota 3.4.1. Obtenci´on de las curvaturas principales k1(p)yk2(p)a partir de la curvatura de Gauss K(p)y la curvatura media H(p) En general, si tenemos la ecuaci´on de 2ºgrado: ax2+bx +c= 0 con raices: x1=−b+√b2−4ac 2a x2=−b−√b2−4ac 2a Tenemos que las siguientes expresiones son equivalentes: ax2+bx +c= 0 ⇐⇒ a(x−x1)(x−x2)=0⇐⇒ a(x2−(x1+x2)x+x1x2)=0⇐⇒ ax2−a(x1+x2)x+ax1x2= 0 35 Entonces, si x1yx2son las raices del polinomio ax2+bx +cse tiene que, las siguientes ecuaciones son equivalentes: ax2+bx +c= 0 ⇐⇒ ax2−a(x1+x2)x+ax1x2= 0 y por tanto, tenemos las siguientes relaciones entre los coeficientes del polinomio y sus raices: 1. b=-a(x1+x2)⇐⇒ x1+x2=−b a 2. c=ax1·x2⇐⇒ x1·x2=c a Consideremos ahora, dada una superficie regular S y un punto p∈S, la ecuaci´on x2−2H(p)x+k(p)=0 donde H(p)yK(p)son la curvatura media y la de Gauss de S en p. Tenemos que a=1, b=-2H(p) y c=K(p) en la situaci´on general anterior. Entonces si ponemos : (x1=k1(p) x2=k2(p) tendremos que k1(p) + k2(p) = 2H(p) = −b(a= 1) k1(p)k2(p) = K(p) = c(a= 1) Con lo que k1(p)yk2(p)son las raices de la ecuaci´on x2−2H(p)x+K(p) = 0 es decir k1(p) = 2H(p)−p4H2(p)−4K(p) 2=H(p)−pH2(p)−K(p) y k2(p) = 2H(p) + p4H2(p)−4K(p) 2=H(p) + pH2(p)−K(p) Nota 3.4.2. k1yk2no son diferenciables en los puntos umbilicales. Veamoslo: si (U, ¯x) es una carta de S que contiene a p ∈S Tendremos: K◦¯x=eg −f2 EG −F2y H ◦¯x=1 2 eG +gE −2fF EG −F2y adem´as sabemos que k1◦¯x=H◦¯x−pH2◦¯x−K◦¯x y k2◦¯x=H◦¯x+pH2◦¯x−K◦¯x, con lo que k1◦¯x=1 2 eG +gE −2fF EG −F2−r1 4(eG +gE −2fF EG −F2)2−eg −f2 EG −F2 36 Si derivamos d du(k1◦¯x) = d du(1 2 eG +gE −2fF EG −F2)−1 2s1 4eG+gE−2fF EG−F22 −eg−f2 EG−F2 · ds1 4eG+gE−2fF EG−F22 −eg−f2 EG−F2 du Si p0= ¯x(u0, v0)es umbilical, entonces tenemos que k1(p0) = k2(p0). Pero como k1(p0) = H(p0)−pH2(p0)−K(p0) = k2(p0) = H(p0) + pH2(p0)−K(p0) entonces pH2(p0)−K(p0) = s1 4 eG +gE −2fF EG −F22 (uo, v0)−eg −f2 EG −F2(u0, v0)=0 y por tanto, ∄dk1◦¯x du (u0, v0). Hemos visto que k1yk2son iguales a las funciones: k1=H(p)−pH2(p)−K(p) k2=H(p) + pH2(p)−K(p) Estas funciones son continuas en todo punto y diferenciables excepto en los puntos umbilicales. Adem´as k1(q)≤k2(q)∀q∈S. Es decir, siempre podemos considerar una curvatura principal mayor que la otra. observaci´on: 1. E,F,G y e,f,g son funciones diferenciables y EG −F2=|¯xuׯxv|2>0. Como esto pasa para toda carta de S (U, ¯x), entonces k y H son diferenciables sobre S 2. Como k1=H−√H2−kyk2=H+√H2−klas curvaturas principales tambi´en son funciones diferenciables excepto en los puntos umbilicales. 37 38 Cap´ıtulo 4 Teoremas de Hilbert (local) y de Jellet-Liebmann La clasificaci´on de superficies totalmente umbilicales es fundamental en geometr´ıa diferencial, ya que estas superficies, caracterizadas por tener la misma curvatura en todas las direcciones, son planas o esf´ericas. Este cap´ıtulo explora las propiedades de estas superficies mediante el Teorema 4.1.1., que demuestra que las ´unicas superficies conexas totalmente umbilicales son abiertos de planos o de esferas. Como consecuencia de este resultado y del conocimo como Teorema de Hilbert (local) (que describe los puntos umbilicales usando las curvaturas principales), se probar´a que las ´unicas superficies con curvatura de Gauss positiva y curvatura media costante son las esferas, (el conocido como Teorema de Jellet-Liebmann). 4.1. Clasificaci´on de las superficies totalmente umbilicales Veamos el primero de nuestros teoremas globales: Teorema 4.1.1. (cfr. [5]). Las ´unicas superficies conexas de R3que son totalmente umbilicales son abiertos de esferas o de planos, es decir, si S⊆R3es una superficie regular de R3conexa y totalmente umbilical, entonces S⊆S2(1) oS⊆R2(es un abierto de la esfera o de un plano). Demostraci´on. Sea (U, ¯x) parametrizaci´on de S con U⊆R2conexo. Dada esta parametrizaci´on (U, ¯x), tenemos que existe una aplicaci´on de Gauss local N: ¯x(u)→ 39 R3, de forma que: N◦¯x=N¯xsiendo N¯x(u, v) = ¯xuׯxv ||¯xuׯxv||(u, v) En la demostraci´on del teorema 3.3.1 vimos que: dN¯x(u,v)(¯xu(u, v)) = d du(N◦¯x)(u, v)y dN¯x(u,v)(¯xv(u, v)) = d dv(N◦¯x)(u, v) para cada (u, v)∈U. Pero S es totalmente umbilical es decir, p∈Ses umbilical para todo p∈S. Por tanto, k1(p) = k2(p) = λ(p)∀p∈Sy as´ı la matriz de la aplicaci´on de Weingarten Wp, respecto de β0={¯v1(p),¯v2(p)}la base principal de TpS, en cada punto p∈Sser´a: [Wp]β0=λ(p)[IdTpS] (4.1) o bien: Wp=−dNp=λ(p)IdTpS∀p∈S Es decir, es una homotecia en cada punto p. As´ı tenemos la funci´on λ:S→R. Si expresamos todo lo dicho en t´erminos de la parametrizaci´on ¯x:U→¯x(U)⊆Stendremos que, ∀(u, v)∈U, W¯x(u,v)=−dN¯x(u,v)=λ(¯x(u, v)) ·IdT¯x(u,v)S Por tanto, d du(N◦¯x)(u, v) = dN¯x(u,v)(¯xu(u, v)) = −λ(¯x(u, v))¯xu(u, v) = f(u, v)¯xu(u, v) (4.2) y d dv(N◦¯x)(u, v) = dN¯x(u,v)(¯xv(u, v)) = −λ(¯x(u, v))¯xv(u, v) (4.3) es decir, d du(N◦¯x)(u, v) = f(u, v)¯xu(u, v) (4.4) d dv(N◦¯x)(u, v) = f(u, v)¯xv(u, v) (4.5) siendo f(u, v) = −λ(¯x(u, v)). La funci´on f:U⊆R2→Res diferenciable, ya que ⟨d du(N◦¯x)(u, v),¯xu(u, v)⟩=f(u, v)⟨¯xu(u, v),¯xu(u, v)⟩(4.6) 40 luego f(u, v) = ⟨d du (N◦¯x)(u,v),¯xu(u,v)⟩ ||¯xu(u,v)||2y ¯xu(u, v)= 0 ∀(u, v)∈U. Si derivamos respecto de u y de v las expresiones 4.4 y 4.5 obtenemos: d dv(d duN◦¯x)(u, v) = d dvf(u, v)¯xu(u, v) + f(u, v)d dv ¯xu(u, v) (4.7) d du(d dvN◦¯x)(u, v) = d duf(u, v)¯xv(u, v) + f(u, v)d du ¯xv(u, v) (4.8) Aplicando la igualdad de Schwarz para las parciales cruzadas de toda la aplicaci´on diferenciable (al menos de clase 2) tenemos que, como d dv (d du N◦¯x)(u, v) = d du (d dv N◦¯x)(u, v)) y d dv ¯xu(u, v) = d du ¯xv(u, v) entonces: d duf(u, v)¯xv(u, v) = d dvf(u, v)¯xu(u, v) y como {¯xu(u, v),¯xv(u, v)}son vectores linealmente independientes ∀(u, v)∈U, entonces d du f(u, v) = d dv f(u, v) = 0 en U. Como U es conexo, entonces f es constante. Aqu´ı hay dos posibilidades: a) Supongamos que f(u,v)=0 ∀(u, v)∈U, conexo. En este caso tenemos que (dN)¯x(u,v)≡0∀(u, v)∈U. Por tanto, N◦¯x(u, v) = ¯a∀(u, v)∈U. Como ||N|| = 1 en U, entonces ¯a=¯ 0y||¯a|| = 1. Sea la funci´on altura de S respecto al plano Π = p0+⟨¯a⟩⊥⊆R3, h: ¯x(U)⊆S→R p7−→ h(p) := ⟨p−p0,¯a⟩ La funci´on h es diferenciable por ser la restricci´on a ¯x(U)⊆Sde una funci´on diferenciable definida en todo R3. Adem´as, dada α(t) curva en ¯x(U)⊆Scon α(0) = pyα′(0) = ¯vtendremos: (dh)p(¯v) = d dt|t=0h(α(t)) = d dt|t=0⟨α(t)−p0,¯a⟩=⟨α′(0),¯a⟩=⟨¯v, ¯a⟩. Entonces, como N◦¯x(u, v) = ¯a, tendremos que, al ser α′(0) = ¯v∈TpS, (dh)p(¯v) = ⟨¯v, ¯a⟩= 0 ∀¯v∈TpS con lo que (dh)¯x(u,v)≡0∀(u, v)∈U. Entonces como h=cte ∀¯x(u, v)∈¯x(U) es decir, h(¯x(u, v)) = c∀¯x(u, v)∈¯x(U) y por tanto, ¯x(U)⊆ {p∈R3/⟨p−p0,¯a⟩=c}=p0+⟨¯a⟩⊥es decir ¯x(U) est´a contenido en Π. b) Si f(u,v)=c1= 0 ∀(u, v)∈Uen tonces ¯x(u, v)−1 c1(N◦¯x)(u, v) = ¯c2para un ¯c2∈R3. Veamoslo: sabemos que N◦¯x(u, v) es una funci´on tal que d duN◦¯x(u, v) = f(u, v)¯xu(u, v) = c1¯xu(u, v) d dvN◦¯x(u, v) = f(u, v)¯xu(u, v) = c1¯xv(u, v) 41 Notar que : ¯xu(u, v)∈T¯x(u,v)S∀(u, v)∈U. Por tanto, ¯xu(0, v)∈T¯x(0,v)S=Tβ(v)S∀vy de esta forma, E1(v)∈Tβ(v)Sy es unitario. Igualmente, ¯xv(u, v)∈T¯x(u,v)S∀(u, v)∈Uluego ¯xv(u, 0) ∈T¯x(u,0)S=Tα(u)S∀uy as´ı, E2(u)∈Tα(u)Sy es unitario. Consideramos ahora la forma cuadr´atica asociada a la segunda forma fundamental definida en los puntos de β(v) y de α(u): en primer lugar, definimos ¯σβ(v):Tβ(v)S→R ¯w7→ ¯σβ(v)( ¯w) = ⟨¯w, Wβ(v)( ¯w)⟩=σβ(v)( ¯w, ¯w) Y definimos la funci´on: h1:R→Rcomo: h1(v) := ¯σβ(v)(E1(v)) ∈R De forma an´aloga, como ¯σα(u):Tα(u)S→R, definimos h2:R→Rcomo: h2(u) := ¯σα(u)(E2(u)) ∈R Calculamos con detalle h1(v): Poniendo q=(0,v)∈U, tenemos que e(0, v) := ⟨¯xu(0, v), W¯x(0,v)(¯xu(0, v))⟩=fuu(0, v) p1 + f2 u(0, v) + f2 v(0, v). Adem´as ¯xu(0, v) = d du |(u,v)¯x(u, v) = (1,0, fu(0, v)), luego (||¯xu(0, v)||)2= 1+f2 u(0, v)). Con todo esto: h1(v) := ¯σβ(v)(E1(v)) = σβ(v)(1 ||¯xu(0, v)||¯xu(0, v),1 ||¯xu(0, v)|| ·¯xu(0, v)) = 1 (||¯xu(0, v)||)2·σβ(v)(¯xu(0, v),¯xu(0, v)) = 1 (||¯xu(0, v)||)2·⟨¯xu(0, v), W¯x(0,v)(¯xu(0, v))⟩= 1 (||¯xu(0, v)||)2·e(0, v) = 1 1 + f2 u(0, v)·fuu(0, v) p1 + f2 u(0, v) + f2 v(0, v). De forma an´aloga, tendr´ıamos: h2(u) := ¯σα(u)(E2(u)) = 1 1 + f2 v(u, 0) ·fvv(u, 0) p1 + f2 u(u, 0) + f2 v(u, 0). Paso 6.- Vamos a ver que h1(0) ≤h1(v)∀v∈R. Como β(0) = ¯x(0,0) = pyE1(0) = 1 ||¯xu(0,0)||¯xu(0,0) = (1,0,0) = ¯e1(p), entonces h1(0) = ¯σβ(0)(E1(0)) = ¯σp(¯e1) = ⟨¯e1, Wp(¯e1)⟩=k1(p) 48 Pero por hip´otesis k1tiene un m´ınimo local en p, con lo que h1(0) = k1(p)≤k1(β(v)) ∀v∈R, donde recordamos que β(v) = ¯x(0, v)⊆S. Por otra parte, h1(v) = ¯σβ(v)(E1(v)) = ⟨E1(v), Wβ(v)(E1(v))⟩, y sabemos que, para cada v, k1(β(v)) = minS1{¯σβ(v)( ¯w) : ¯w∈S1}=minS1{⟨¯w, Wβ(v)( ¯w)⟩: ¯w∈S1}. Por tanto h1(v) = ¯σβ(v)(E1(v)) = ⟨E1(v), Wβ(v)(E1(v))⟩ ≥ k1(β(v)). Entonces, para todo v, h1(0) = k1(p)≤k1(β(v)) ≤¯σβ(v)(E1(v)) = h1(v) De la misma forma, veamos ahora que h2(0) ≥h2(u)∀u∈R. Usamos ahora que α(0) = ¯x(0,0) = py que E2(0) = 1 ||¯xv(0,0)||¯xv(0,0) = (0,1,0) = ¯e2(p). Entonces: h2(0) = ¯σα(0)(E2(0)) = ⟨¯e2, Wp(¯e2)⟩=k2(p) Pero k2(p) es un m´aximo local de k2, por tanto k2(p)≥k2(α(u)) ∀u∈U, donde recordamos que α(u) = ¯x(u, 0) ⊆S. Pero k2(α(u)) = maxS1{¯σα(u)(w) : w∈S1}=maxS1{⟨¯w, Wα(u)( ¯w)⟩: ¯w∈S1} ≥ ¯σα(u)(E2(u)) = h2(u)∀u∈U. Por tanto, ∀u∈Rtenemos que, como k2tiene un m´aximo local en p y k2(α(u)) maximiza las cantidades ⟨¯w, Wα(u)( ¯w)⟩, entonces: h2(0) = k2(p)≥k2(α(u)) ≥¯σα(u)(E2(u)) = h2(u) Paso 7.- Como h2tiene un m´aximo local en 0, entonces h′′ 2(0) ≤0 y como h1tiene un m´ınimo local en 0,entonces h′′ 1(0) ≥0. Es decir, tenemos que h′′ 2(0) ≤0≤h′′ 1(0) Ahora vamos a calcular h′′ 2(0) a partir de la definici´on h2(u) := ¯σα(u)(E2(u)) = ⟨E2(u), Wp(E2(u))⟩=fuu(u, 0) 1 + f2 v(u, 0) ·p1 + f2 u(u, 0) + f2 v(u, 0) Entonces: h′ 2(u) = d dufvv(u, 0)(1 + f2 v(u, 0) ·p1 + f2 u(u, 0) + f2 v(u, 0)) −fvv(u, 0) ·d du(1 + f2 v(u, 0) ·p1 + f2 u(u, 0) + f2 v(u, 0))·1 (1 + f2 v(u, 0))2(1 + f2 u(u, 0) + f2 v(u, 0)) 49 Veamos lo que vale cada una de estas derivadas. a)d dufvv(u, 0) = fvvu(u, 0) b)Llamamos L1(u) := 1 + f2 v(u, 0) yL2(u) := p1 + f2 u(u, 0) + f2 v(u, 0) Entonces d du(1 + f2 v(u, 0)) ·p1 + f2 u(u, 0) + f2 v(u, 0)=d duL1(u)·L2(u)=L′ 1(u)L2(u) + L1(u)L′ 2(u) y L′ 1(u) = d du(1 + f2 v(u, 0)) = 2 ·fv(u, 0) ·fvu(u, 0) = fvfvu L′ 2(u) = d dup1 + f2 u(u, 0) + f2 v(u, 0) = 2(fu(u, 0)fuu(u, 0) + fv(u, 0)fvu(u, 0)) 2p1 + f2 u(u, 0) + f2 v(u, 0) =fufuu +fvfvu L2(u) Con lo que d duL1(u)L2(u)=L′ 1(u)L2(u) + L1(u)L′ 2(u) = fvfvu ·L2(u) + L1(u)·fufuu +fvfvu L2(u) c) En total: (sin poner expl´ıcita la dependencia de (u,0) en las funciones y sus derivadas) h′ 2(u) = fvvu ·L1·L2−fvvfvfvu ·L2+L1fufuu+fvfvu L2 L2 1·L2 2 = fvvu L1·L2−fvvfvfvu L2 L2 1L2 2− L1 L2fvvfufuu +fvfvu L2 1L2 2 = fvvu L1·L2−fvvfvfvuL2 L2 1L2 2 + L1 L2 L2 1L2 2− L1 L2 L2 1L2 2 fvvfufuu = fvvu L1·L2−fvvfvfvu1 L2 1L2 +1 L1L3 2−1 L1L3 2 fvvfufuu d) Si volvemos a derivar respecto de u: h′′ 2(u) = d du(fvvu L1·L2 )−d dufvvfvfvu1 L2 1L2 +1 L1L3 2−d du(1 L1L3 2 fvvfufuu) Notar que 1 L2 1L2 +1 L1L3 2 =L1L3 2+L2 1L2 L2 1L2·L1L3 2 =L1L2(L2 2+L1) L3 1L4 2 =L1+L2 2 L2 1·L3 2 50 e) Ahora calculamos cada una de las tres derivadas e.1) d dufvvu L1·L2=fvvuu ·L1·L2−fvvu(L′ 1L2+L1L′ 2) L2 2+L2 1 =fvvuu L1·L2−fvvu ·L′ 1L2+L1L′ 2 L2 2+L2 1 e.2) d dufvvfvfvuL1+L2 2 L2 1L3 2=d du(fvvfvfvu)·L1+L2 2 L2 1L3 2 +fvvfvfvu ·d duL1+L2 2 L2 1L3 2 e.3) d du1 L1L3 2 fvvfufuu=d du1 L1L3 2fvvfufuu +1 L1L3 2 d du(fvvfufuu) f) Para calcular h′′ 2(0) debemos evaluar todas estas derivadas en u=0. Lo primero es evaluar L1, L′ 1, L2y L′ 2en u=0. L1(0) = 1 + f2 v(0,0) = 1 porque fv(0,0) = 0 L′ 1(0) = 2fv(0,0) ·fvu(0,0) = 0 porque fv(0,0) = 0 L2(0) = p1 + f2 u(0,0) + f2 v(0,0) = 1 porque fu(0,0) = fv(0,0) = 0 L′ 2=fu(0,0)fuu(0,0) + fv(0,0)fvu(0,0) L2(0) = 0 porque fu(0,0) = fv(0,0) = 0 Hemos tenido en cuenta que fu(0,0) = fv(0,0) = 0. Adem´as, sabemos que fuu(0,0) = k1(p), fuv(0,0) = fvu(0,0) = 0 y fvv(0,0) = k2(p). Con todo esto tenemos: f.1) Calculamos d du|u=0(fvvu L1·L2 ) = fvvuu(0) ·L1L2−fvvu(0)L′ 1(0)L′ 2(0) L2 1(0)L2 2(0) =fvvuu(0) f.2) d du|u=0(fvvfvfvu)·L1+L2 2 L2 1L3 2(0) = 2 ·d du|u=0(fvvfvfvu) Entonces: d du|u=0(fvvfvfvu) = d du|u=0fvv ·fv(0,0)fvu(0,0) + fvv(0,0) ·d du|u=0(fvfvu) = fvv(0,0)(fvu(0,0) ·fvu(0,0) + fv(0,0) ·fvuu(0,0)) = 0. Teniendo en cuenta que fv(0,0) = fvu(0,0) = 0, tenemos adem´as, que fvv(0,0)fv(0,0)fvu(0,0) · d du |u=0L1+L2 2 L2 1L3 2= 0 51 f.3) d du|u=0(1 L1L3 2·fvvfufuu) = d du|u=0(1 L1L3 2 )·fvv(0,0)fu(0,0)fuu(0,0)+ 1 L1(0)L3 2(0) d du|u=0(fvvfufuu) = d du|u=0fvvfu(0,0)fuu(0,0)+fvv(0,0) d du|u=0fufuu =fvv(0,0){d du|u=0fufuu(0,0)+fu(0,0) d du|u=0fuu}= fvv(0,0) ·f2 uu(0,0) En total h′′ 2(0) = d du|u=0(fvvu L1·L2 )−d du|u=0(fvvfvfvu{L1+L2 2 L2 1·L3 2})−d du|u=0(1 L1·L3 2 fvvfufuu) = fvvuu(0,0) −fvv(0,0) ·f2 uu(0,0) De manera an´aloga h′′ 1(0) = fuuvv(0,0) −fuu(0,0) ·f2 vv(0,0) Paso 8.- Entonces la desigualdad h′′ 2(0) ≤0≤h′′ 1(0) Se escribir´a como: fvvuu(0,0) −fvv(0,0) ·f2 uu(0,0) ≤fuuvv(0,0) −fuu(0,0) ·f2 vv(0,0) Ahora aplicamos el teorema de Schwarz sobre la igualdad de las derivadas parciales cruzadas de una funci´on: fuuvv(0,0) = d2 du2|u=0(d2 dv2|v=0f(u, v)) = d du(d du(d dv(d dvf(u, v))))(0,0) = d du(d dv(d du(d dvf(u, v))))(0,0) = d dv(d du(d du(d dvf(u, v))))(0,0) = d dv(d du(d dv(d duf(u, v))))(0,0) = d dv(d dv(d du(d duf(u, v))))(0,0) = fvvuu(0,0) y entonces, se tiene que la desigualdad h′′ 2(0) ≤0≤h′′ 1(0) se escribe como: fuu(0,0) ·f2 vv(0,0) −fvv(0,0) ·f2 uu(0,0) ≤0 52 . Con lo que, como sabemos que fuu(0,0) = k1(p) y fvv(0,0) = k2(p), entonces: k1(p)k2 2(p)−k2(p)k2 1(p)≤0 k1(p)k2(p){k2(p)−k1(p)} ≤ 0 K(p){k2(p)−k1(p)} ≤ 0 Por tanto, como k1(p)≤k2(p), entonces K(p)≤0. Pero por hip´otesis sabemos que K(p)>0. Por tanto, debe ser k1(p) = k2(p) y as´ı p es umbilical. 4.3. Teorema de Jellet-Liebmann En el ´ambito de la geometr´ıa diferencial, una superficie regular compacta, conexa y orientable en R3presenta propiedades geom´etricas interesantes cuando se analizan su curvatura de Gauss y su curvatura media. El teorema de Jellet-Liebmann es un ejemplo de como a partir de propiedades locales de una superficie (el comportamiento en cada punto de la curvatura media y de la curvatura de Gauss) se puede obtener una propiedad global (su forma). Teorema 4.3.0.1. (cfr. [5]). Sea S⊆R3superficie regular compacta, conexa y orientable. Supongamos que K(p)>0∀p∈yH(p) = c∀p∈S. Entonces S es una esfera. Demostraci´on. Haremos la siguiente demostraci´on dividiendola en dos pasos. Paso 1.- Estamos suponiendo por hip´otesis que H(p) = c∀p∈S. Entonces c= 0 ya que si c=0, tendr´ıamos que: H(p) = 1 2{k1(p) + k2(p)}= 0 luego k1(p) = −k2(p) y entonces K(p) = k1(p)k2(p) = −k2 1(p)≤0 Con lo que llegamos a una contradicci´on, ya que, estamos suponiendo que K(p)>0∀p∈S. Por tanto, H(p) = c= 0 Paso 2.- Como S es orientable elegimos N:S→S2(1) ⊆R3orientaci´on, que es una aplicaci´on diferenciable. Por lo visto anteriormente, las curvaturas principales k1, k2:S→R, son funciones continuas en S. 53 Como S es compacta, ∃a∈S tal que k1alcanza el m´ınimo en a. Tambi´en sabemos que existe un punto de S en el que k2alcanza el m´aximo. Veamos que este punto es el mismo a∈S: Sabemos que H(p) := −1 2tr(dNp) = 1 2{k1(p) + k2(p)} ∀p∈S Entonces k2(p)=2H(p)−k1(p) = 2 ·c−k1(p)∀p∈S As´ı, como ∀p∈S, k1(p)≥k1(a),tendremos que −k1(p)≤ −k1(a) 2c−k1(p)≤2c−k1(a) k2(p)≤k2(a)∀p∈S=⇒k2alcanza m´aximo en a. As´ı tenemos que en a∈S, superficie regular, orientable y compacta, se dan las siguientes circunstancias: i) K(a)>0 ii) k1tiene un m´ınimo en a iii) k2tiene un m´aximo en a Entonces, por el teorema de Hilbert, el punto a∈Ses umbilical i.e. k1(a) = k2(a) Por tanto, ∀p∈Stenemos: k2(p)≤k2(a) = k1(a)≤k1(p) (siendo a m´aximo de k2y a el m´ınimo de k1) Por tanto, como suponemos que k1(p)≥k2(p)∀pentonces k1(p) = k2(p)∀p∈S. As´ı S es totalmente umbilical, adem´as es cerrada (por ser compacta por hip´otesis), y es conexa (por hip´otesis). Por el Corolario 4.1.1, S es o bien una esfera o un plano. Pero si fuese un plano, entonces K(p)=0 ∀p∈Slo cual no puede ser, porque por hip´otesis K(p)>0∀p∈S. Entonces S es una esfera. 4.4. Observaciones y comentarios Una cuesti´on interesante (planteada en la secci´on 5.2 de [2]) es la siguiente: En el teorema de Hilbert (local), que pasar´ıa si suponemos que es la funci´on curvatura principal 54 menor, k1, la que tiene un m´aximo local y la funci´on curvatura principal mayor k2la que tiene un m´ınimo local? Podemos deducir que p es umbilical? La respuesta es no y el ejemplo es la superficie de revoluci´on S dada por la parametrizaci´on: ¯x(u, v)=(φ(v)cosu, φ(v)senu, ψ(v)) siendo φ(v) := Ccosv C > 1 ψ(v) := Zp1−C2sen2v dv, ψ(0) = 0 con v/ 1−C2senv ≥0⇐⇒ 1≥C2senv ⇐⇒ senv ≤1 C2yu∈(0,2π). Si calculamos los coeficientes de la primera y segunda forma fundamentales, E, F, G, e, f, g de esta parametrizaci´on tendremos: E=C2cos2v F= 0 G= 1 e=−C(cosv)p1−C2sen2v f= 0 g=−Ccosv √1−C2sen2v con lo que, si llamamos k2(u, v) = H+√H2−Kyk1(u, v) = H−√H2−K, tendremos que k2(u, v) = e(u, v) E(u, v)=−√1−C2sen2v Ccosv k1(u, v) = g(u, v) G(u, v)=−Ccosv √1−C2sen2v y entonces, es obvio que k2(u, v)> k1(u, v), ya que C > 1. As´ı la curvatura de Gauss de S es K(u,v)=k2(u, v)·k1(u, v) = −√1−C2sen2v Ccosv ·(−Ccosv √1−C2sen2v)= 1 (positiva y constante). Sin embargo, como C > 1, no existen en S puntos umbilicales, ya que k2(u, v)> k1(u, v). Adem´as k2(u, 0) = −√1 C=−1 C∀u∈(0,2π). Entonces, se puede comprobar que k2(u, v) = −√1−C2sen2v Ccosv >−1 C=k2(u, 0) 55 es decir, k2alcanza un m´ınimo en los puntos (u,0). Por tanto, como k2(u, 0) ·k1(u, 0) = 1 →k1(u, 0) = 1 k2(u,0) alcanza un m´aximo en los puntos (u,0). Si vemos el ejercicio 7 secci´on 3-3, p´agina 169 del Docarmo: estas superficies cortan perpendicularmente el plano xy, de forma que su perfil, en funci´on de C, ser´ıa: En el caso C > 1, el ´angulo v no llega a 0 y no se cierra. Notar que para C=1, tenemos la esfera. Cuando C > 1, la superficie S tiene la forma: S es abierto, es decir, S no es compacta. Por tanto, aunque K= 1, S no es una esfera. 56 Bibliograf´ıa [1] Mar´ıa de los ´ Angeles Hern´andez Cifre y Jos´e Antonio Pastor Gonz´alez. Un curso de Geometr´ıa Diferencial. Aula Magna Proyecto clave McGraw Hill. isbn: 978-84-00-10544-0. [2] Manfredo Perdigao do Carmo. Geometr´ıa Diferencial de Curvas y Superficies. Alianza, 2003. [3] John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. 2nd. New York, NY: Springer, 2012. isbn: 978-1441999818. [4] J. Monterde y J. V. Beltran. Geometria Diferencial Cl‘assica. Universitat de Val`encia, 2017. [5] Sebasti´an Montiel y Antonio Ros. Curvas y superficies. Proyecto Sur, 1998. [6] James R. Munkres. Topology. 2nd. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2000. isbn: 978-0131816299. [7] Andrew Pressley. Elementary Differential Geometry. Springer Publishing Map. isbn: 9781852331528. [8] Michael Spivak. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. 3rd. Vol. 1. Houston, TX: Publish or Perish, 1999. isbn: 978-0914098706. 57