Murtoluku vai suhde?

This is a self-archived version of an original article. This version may differ from the original in pagination and typographic details. Author(s): Title: Year: Version: Copyright: Rights: Rights url: Please cite the original version: CC BY-SA 4.0 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ Murtoluku vai suhde? © Finnish Matehematics and Science Education Research Association, 2021 Published version Joutsenlahti, Jorma; Perkkilä, Päivi Joutsenlahti, J., & Perkkilä, P. (2021). Murtoluku vai suhde?. FMSERA Journal, 4(1), 61-74. https://journal.fi/fmsera/article/view/95634 2021 Joutsenlahti & Perkkilä FMSERA -Journal 2021 61 MURTOLUKU VAI SUHDE? Jorma Joutsenlahti1 ja Päivi Perkkilä2 1Tampereen yliopisto, 2Kokkolan yliopistokeskus Chydenius TIIVISTELMÄ Artikkelin tarkoitus on tutkia miten luokanopettajaopiskelijat tulkitsevat koulumatematiikan käsitteitä murtoluku ja suhde heille annetussa tehtävässä, jossa on matematiikan symbolikielen merkintöjä ja niihin liittyviä kuvia. Tutkimukseen osallistui yhteensä 92 opiskelijaa kahdesta yliopistosta. Tuloksista näkyi useimpien opiskelijoiden proseduraalinen lähestymistapa annetun ratkaisun tulkinnassa käsitteellisen näkökulman jäädessä vain harvojen opiskelijoiden valinnaksi. Tulos on opetussuunnitelman ja oppimateriaalien näkökulmasta odotettu. Murtolukujen monipuolinen ymmärtäminen on haasteellista. Tämä tuo haasteita opettajankoulutuksen ja täydennyskoulutuksen kehittämiselle. JOHDANTO Artikkelimme tarkoitus on pohtia koulumatematiikan käsitteiden murtoluku (fraction) ja suhde (ratio) merkityksiä luokanopettajaopiskelijoille yhden heidän tekemänsä tehtävän vastausten analyysin perusteella. Tähän voidaan lisätä myös käsitteet rationaaliluku (rational number) ja jakolasku (division). Kaikkia edellä mainittuja käsitteitä yhdistää suomalaisessa koulumatematiikassa merkintä ” ! " ”. Esimerkiksi ” # $ ” voidaan tulkita kontekstin mukaan murtoluvuksi tai rationaaliluvuksi ”kaksi kolmas osaa”, suhteeksi ”kahden suhde kolmeen” tai jakolaskuksi ”kaksi jaettuna kolmella”. Tärkeä taito on osata tunnistaa merkinnän kontekstista käsitteen sisällöllinen merkitys ko. kontekstissa. Tutkimuksemme tehtävässä rajoitutaan kahteen ensiksi mainittuun merkinnän ” # $ ” merkitykseen. Luokanopettajaopiskelijat ovat siinä mielessä mielenkiintoinen tutkimuksen kohdejoukko, että he vastaavat suurimmasta osasta peruskoulun opetussuunnitelman mukaisesta matematiikan opetuksesta. He luovat osaltaan perustaa peruskoululaisten matematiikan käsitteille ja niiden välisten suhteiden ymmärtämiselle. Toisaalta he ovat itsekin olleet peruskoulun oppilaina, ja heille on syntynyt kullekin omanlaiset käsitekuvat (ks. Tall & Vinner, 1981) muun muassa Joutsenlahti & Perkkilä FMSERA -Journal 2021 62 edellä mainituista käsitteistä. Nämä yhden tehtävän analyysin tulokset ovat parhaimmillaankin vain viitteitä niistä ongelmista, mitä meillä ehkä on opetussuunnitelmissa oppimisen tavoitteissa edellä mainittujen käsitteiden kohdalla ja opettajankoulutuksessa näihin käsitteisiin liittyvän sisältötiedon ja pedagogisen sisältötiedon (ks. Shulman, 1986) huomioimisessa. Murtoluvun ja suhteen käsitteiden asema ei ole juurikaan muuttunut oppimateriaaleissa viime vuosikymmenten aikana (vrt. Joutsenlahti, Perkkilä & Tossavainen, 2017), joten seuraavat opetussuunnitelman perusteiden ja oppimateriaalien tarkastelu mainittujen käsitteiden suhteen antavat riittävän kuvan nykytilanteen lisäksi opettajaopiskelijoiden saamasta murtoluvun ja suhteen kouluopetuksesta. TEOREETTINEN VIITEKEHYS Matemaattisen osaamisen piirteet Kilpatrick, Swafford ja Findell (2001) mukaan matemaattinen osaaminen rakentuu viidestä toisiinsa kietoutuneesta piirteestä (käsitteellinen ymmärtäminen, proseduraalinen sujuvuus, strateginen kompetenssi, mukautuva päättely ja yritteliäisyys), joiden voidaan nähdä yhdistyvän matemaattiseen ajatteluun, ymmärtämiseen ja ongelmanratkaisuun. Tässä artikkelissa näistä piirteistä keskeisiksi nousevat konseptuaalinen ymmärtäminen ja proseduraalinen sujuvuus. Konseptuaalinen eli käsitteellinen ymmärtäminen tarkoittaa ymmärrystä matemaattisista käsitteistä (tässä esimerkiksi murtolukuja suhde -käsitteistä), operaatioista ja näiden suhteista (Kilpatrick ym., 2001). Proseduraalisella sujuvuudella tarkoitetaan taitoa toteuttaa matemaattisia menettelytapoja joustavasti, täsmällisesti, tehokkaasti ja tarkoituksenmukaisesti (Kilpatrick ym., 2001). Eli tähän liittyy taito käyttää operaatioita ja algoritmeja, joiden avulla voi ratkaista matemaattisia ongelmia ja suorittaa laskutoimituksia. Oppikirjojen painottamat laskutoimitukset tukevat kyllä proseduraalista sujuvuutta, mutta eivät välttämättä erillisinä laskuharjoituksina rakenna käsitteiden välisiä yhteyksiä. Proseduraalinen tieto automatisoituu harjoittelemalla laskurutiinia. Käsitteellinen ymmärtäminen ja proseduraalinen sujuvuus ovat läheisessä yhteydessä toisiinsa. Ymmärtäminen tekee oppimisen helpommaksi, virheettömämmäksi ja vähemmän herkän unohtamiselle. Ymmärryksen myötä opittu tieto järjestäytyy kokonaisuudeksi, ja uusi tieto opitaan yhdistämällä se vanhaan. Tätä voisi verrata matematiikan tiilitalon rakentamiseksi. Yhdistyneitä tietoja on helpompi käyttää ja muistaa, koska ne voidaan tarvittaessa myös rakentaa ja muokata uudelleen. Moschkovich ja Zahner (2018) ovat nostaneet esille matematiikan ymmärtämisen näkökulmasta akateemisen lukutaidon matematiikassa, jonka osa-alueina nähdään matemaattinen osaaminen, matemaattiset käytänteet ja matemaattinen diskurssi. Moschkovich ja Zahner (2018) perustavat matemaattisen osaamisen määrittelyn edellä esitettyyn määrittelyyn. Edellä mainitut tutkijat painottavat, että matemaattista osaamista ei voida saavuttaa kehittämällä vain jotain tiettyä piirrettä kuten esimerkiksi laskusääntöjen osaamista. Joutsenlahti & Perkkilä FMSERA -Journal 2021 63 Merkinnän ”a/b” merkityksiä koulumatematiikassa Käsitteellisiä tulkintoja merkinnälle ” ! " ” tai ”murtoluvulle” on tutkittu kirjallisuudessa (esimerkiksi Pantziara & Philippou, 2012; Park, Gűҫler & McCrory, 2013) ja löydetty hieman toisistaan poikkeavia käsitteellisiä luokituksia. Merkinnän monien merkitysten on nähty olevan eräs varteen otettava syy useiden oppilaiden vaikeuksille oppia murtolukuja ja niiden laskutoimituksia (Pantziara & Philippou, 2012). Park, Gűҫler ja McCrory (2013) ovat käyttäneet murtolukujen merkityksiä tarkastellessaan perustana murtolukujen historiallista kehitystä ja matematiikan määritelmälähtöistä lähestymistapaa. He kuvailevat neljä erilaista merkitystä: 1) osakokonaisuus (part-whole), jossa osa kokonaisesta määritellään uudeksi kokonaiseksi, 2) mitta (measurement), jossa löydetään murtolukuja kokonaisluvuista mittauksin ja osina, 3) jakolasku (division), jossa löydetään algebrallinen ratkaisu yhtälölle Ax=B, missä A ja B ovat kokonaislukuja ja A ei ole nolla sekä 4) joukkoteoreettinen (set-theoretical), jossa määritellään rationaaliluvut joukkona järjestettyjä lukupareja, jossa luvut ovat kokonaislukuja. Tässä lähtökohdassa suhteen käsite jää omaksi riippumattomaksi käsitteeksi, vaikka se merkinnällisesti voisi liittyäkin murtolukuun. Stewartin (2005) lähtökohtana on murtoluvut koulussa ja hän tarkastelee oppilaiden koulumatematiikassa kohtaamia murtoluvun ja voitaneen myös laajentaa merkinnän ” ! " ” mahdollisia merkityksiä eri konteksteissa. Hän jakaa merkitykset viiteen luokkaan: 1) osa-kokonaisuus, jossa on kokonaisen osan suhde kokonaiseen, 2) mitta, joka näyttäytyy luvun paikkana lukusuoralla, 3) operaattori (operator), joka muuttaa jonkun kokonaisen esimerkiksi ”kaksi kolmasosaa 24:stä”, 4) osamäärä (quotient), joka on jakolasku ja 5) suhde (ratio), joka on kahden määrän välinen suhde (Stewart, 2005). Pantziara ja Philippou (2012) käyttävät vastaavanlaista luokitusta kuin Stewart. Koska näiden luokitusten lähtökohta on koulumatematiikka, niin kutsumme näitä pedagogiseksi lähestymistavaksi mainittuihin käsitteeseen ja merkintään. Suomalaisissa peruskoulun oppikirjoissa merkinnän ” ! " ” tulkinnat voidaan jakaa viiteen pääluokkaan: murtoluku, rationaaliluku, suhde, jakolasku ja todennäköisyys (Joutsenlahti, Perkkilä & Tossavainen, 2017). Murtoluvun pääluokka voidaan jakaa merkitysten perusteella kahteen alaluokkaan: 1) osa – kokonaisuus (esimerkiksi ”kaksi osaa kolmesta osasta”) ja 2) murto-osa annetusta kokonaisesta (esimerkiksi ”kaksi kolmasosaa luvusta 24”). Ensimmäinen tulkintamme vastaa edellä esitettyjä ”osa-kokonaisuus” -luokkia ja toinen vastaa lähinnä Stewartin (2005) operaattorimerkitystä. Rationaaliluvun merkitys tulee suomalaisissa oppimateriaaleissa ”piste ! " lukusuoralla”-tulkintana ja joukkomääritelmänä. Jakolaskuja suhde -tulkinnat ovat vastaavat kuin edellä esitetyissä luokitteluissa. Sen sijaan todennäköisyyden tulkintaa omana luokkanaan ei ole Joutsenlahti & Perkkilä FMSERA -Journal 2021 64 edellä esitetyissä, mutta katsomme sen olevan oma käsitteellisesti erilainen merkitys verrattuna muihin luokkiin. (Joutsenlahti ym., 2017; Joutsenlahti & Perkkilä, 2019.) Taulukkoon 1 on koottu merkinnän ” ! " ” kontekstisidonnaisia merkityksiä edellä esitettyjen lähtökohtien ”Matemaattinen ja historiallinen” sekä ”Pedagoginen” näkökulmista pohjautuen kirjallisuuteen. Tässä artikkelissa emme käsittele näiden luokitteluissa esiintyneiden käsitteiden välisiä suhteita, vaan tarkastelemme vain merkinnän ” ! " ” merkityksiä luokan ”Pedagoginen B” suhteen (ks. Taulukko 1). Taulukko 1. Merkinnän ” ! " ” mahdollisia tulkintoja kirjallisuuden perusteella. (Matemaattinen ja historiallinen: Park, Gűҫler & McCrory 2013; Pedagoginen A: Stewart 2005 ja Pantziara & Philippou 2012; Pedagoginen B: Joutsenlahti, Perkkilä & Tossavainen 2017). Lähtökohtia tulkinalle ”a/b” Matemaattinen ja historiallinen Pedag. A Pedag. B Murtoluku Osa-kokonaisuus Osa-kokonaisuus Osa-kokonaisuus, Murtoosa annetusta kokonaisesta Suhde Suhde Suhde Suhde Rationaaliluku Mitta, Joukkoteoreettinen Mitta Rationaaliluku Jakolasku Jakolasku Osamäärä Jakolasku Muita Todennäköisyys Merkinnästä ” ! " ” tulkittuna murtoluvuksi voidaan siis löytää kaksi erilaista merkitystä kontekstin mukaan (Pedagoginen B, Taulukko 1). Suhde on alakoulun matematiikassa Suomessa useimmiten kahden lukumäärän (luonnollisen luvun) välinen suhde (esimerkiksi sekoitussuhde tai mittakaava). Murtoluvun ensimmäinen merkitys Taulukossa 1 on ”osa-kokonaisuus” ja se on siis myös suhde (osan suhde kokonaiseen). Kokonaisella tarkoitamme tässä yhteydessä lukua, algebrallista lauseketta tai kuviota, mikä jaetaan annetun murtoluvun nimittäjällä yhtä suuriin osiin ja näitä osia otetaan osoittajan suuruinen määrä (vrt. operaattori -merkitys). Kaikki suhteet eivät ole tulkittavissa kuitenkaan murtolukuina, sillä esimerkiksi kokonaisen osien väliset suhteet ovat sellaisia (ks. Stewart, 2005) tai laajemmin tulkittuna eri suureiden väliset suhteet (esimerkiksi fysiikassa). Tässä artikkelissa tulkitsemme opiskelijoiden vastauksia tutkimustehtävästä edellä kuvatuilla murtoluvun ja suhteen merkityksillä. Joutsenlahti & Perkkilä FMSERA -Journal 2021 65 Merkinnän ”a/b” tarkastelua Peruskoulun opetussuunnitelman perusteissa ja matematiikan oppimateriaaleissa Suomalaisessa matematiikan opetuksessa oppikirjoilla on varsin keskeinen rooli opiskelutilanteiden ohjaajina. Matematiikan oppikirjat voivat olla lähes opetussuunnitelman asemassa. (Kupari, 1999; Perkkilä, 2002; Törnroos 2005; Joutsenlahti & Vainionpää, 2010; Viholainen, Partanen, Piiroinen, Asikainen & Hirvonen, 2015.) Vastuu käsitteiden merkityksistä ja niiden välisistä yhteyksistä on kuitenkin opiskelutilanteiden toteuttajilla, ei oppikirjoilla. Peruskoulun opetussuunnitelman perusteissa (POPS, 2014) termi ”murtoluku” tai sen erilaiset taivutusmuodot mainitaan muutaman kerran seuraavanlaisten ilmausten yhteydessä: ”Pohjustetaan murtoluvun käsitettä jakamalla kokonainen yhtä suuriin osiin.” (luokilla 1–2), ”Opitaan murtoluvun käsite ja harjoitellaan murtolukujen peruslaskutoimituksia eri tilanteissa.” ja ”Hyödynnetään murtoluvun, desimaaliluvun ja prosentin välisiä yhteyksiä.” (luokilla 3–6) sekä ”Vahvistetaan laskutaitoa murtoluvuilla ja opitaan murtoluvun kertominen ja jakaminen murtoluvulla.” (luokilla 7-9) (POPS, 2014, s. 135, 262, 430). Ylemmillä luokilla 7–9 mainitaan termi ”rationaaliluku” tavoitteiden yhteydessä esimerkiksi seuraavalla tavalla: ”ohjata oppilasta kehittämään kykyään laskea peruslaskutoimituksia rationaaliluvuilla” (POPS, 2014, s. 433). Käsitteiden murtoluku ja rationaaliluku välisen yhteyden avaamista ei ole kuvattu tavoitetasolla mainituissa perusteissa. Yhteenvetona voi todeta, että käsitteen murtoluku sisällöllinen avaaminen jää opetussuunnitelman kuvauksessa vähäiseksi ja käsitettä käytetään lähinnä erilaisten laskutoimitusten hallintaan liittyvien tavoitteiden kuvaamisessa. Matematiikan termi ”suhde” ei löydy kertaakaan opetussuunnitelman perusteiden tekstistä matematiikan osuuksissa luokilla 1–9. Edellisen sijaan suhde -käsitteeseen liitettävä termi ”mittakaava” on mainittu esimerkiksi seuraavassa luokkien 3–6 sisältökuvauksessa: ”Tutustutaan mittakaavan käsitteeseen ja käytetään sitä suurennoksissa ja pienennöksissä. Ohjataan oppilaita hyödyntämään mittakaavaa kartan käytössä.” (POPS, 2014, s. 262). Luokilla 7–9 on mainittu suhde käsitteeseen liitettävä termi ”verrannollisuus”: ” Tutustutaan suoraan ja kääntäen verrannollisuuteen.” (POPS, 2014, s. 430). Lienee hieman yllättävää koulumatematiikan näkökulmasta, että keskeinen käsite ”suhde” ei ole eksplisiittisesti mainittu opetussuunnitelman perusteissa. Suhde -käsite on kuitenkin pohjana muun muassa mittakaavan ja verrannollisuuden käsitteille. Lisäksi yläkoulussa esimerkiksi trigonometriset funktiot määritellään suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksien suhteina. Alakoulun matematiikan oppimateriaaleissa suhteen käsite tulee tyypillisesti ilmi esimerkeissä, joissa mehutiivistettä ja vettä sekoitetaan jossain annetussa suhteessa. Suhteen käsite ei siis korostu opetussuunnitelman perusteissa sisältökuvauksissa, mutta siihen läheisesti liittyviä käsitteitä löytyy. Joutsenlahti & Perkkilä FMSERA -Journal 2021 66 Murtoluvut ja niihin liittyvät laskutoimitukset ovat olleet perinteisesti keskeisinä pidettyjä koulumatematiikan oppisisältöjä aina 1800 -luvulta asti. Murtolukua on käsitelty varsin monipuolisesti jo 1800 -luvun matematiikan oppikirjoissa ja osa näistä murtoluvun käsittelytavoista on löydettävissä nykyisistäkin oppikirjoista. Uuden matematiikan ajan (1970-luku) oppikirjoissa korostui jonkin verran konseptuaalinen ajattelu. Nykyisin matematiikan oppikirjoissa murtolukujen kohdalla painottuvat laskutoimitukset. (Joutsenlahti, Perkkilä & Tossavainen, 2017.) Murtoluvut ovat osoittautuneet koulumatematiikassa varsin haastavaksi alueeksi. Vaikeutena on usein se, että oppilaille ei ole syntynyt yhtenäistä käsitekuvaa murtoluvuista. (vrt. Lortie-Forgues, Tian & Siegler, 2015; Näveri, 2009; Niemi & Metsämuuronen, 2008.) Suomalaisissa matematiikan oppikirjoissa merkinnälle ” ! " ” voidaan löytää murtoluku -merkintä, jota käytetään kahdessa merkityksessä murto-osana kokonaisuudesta ”osa annetusta kokonaisuudesta” (esimerkiksi kaksi kolmasosaa annetusta kokonaisuudesta) tai osakokonaisuutena esimerkiksi ”kaksi kolmesta osasta” (vrt. Taulukko 1). Sama merkintä voi tarkoittaa myös suhdetta (esimerkiksi ”a:n suhde b:hen” tai ”kahden suhde kolmeen”). Matematiikan oppikirjoissa kuvataan murto-osaa ” ! " ” kokonaisuudesta pääasiassa pinta-alamallina, joista yleisin on ns. piirakkamalli (”pizza -malli”), esimerkiksi kaksikolmasosaa pizzasta (Perkkilä, Joutsenlahti & Sarenius, 2017; Joutsenlahti, Perkkilä & Tossavainen, 2017). Osakokonaisuutta kuten ”kaksi kolmesta” käytetään silloin, kun tarkastellaan esimerkiksi joukkomallia, jossa on kaksi punaista helmeä ja yksi sininen helmi. Tällöin kaksi kolmesta helmestä on punaisia. Suomalaisissa matematiikan oppikirjoissa yhteys suhde-käsitteeseen tulee esille muun muassa kuvioiden tai kappaleiden suurennosten ja pienennösten yhteydessä (luokkien 1–9 oppimateriaalit), mittakaavan yhteydessä (lähinnä luokkien 3–6 oppimateriaalit), matkan ja ajan (nopeus) suhteena sekä verrannoissa (lähinnä luokkien 7-9 oppimateriaalit) (vrt. POPS 2014, s. 262, 430). Arkipäivään liittyvien tuotteiden hintojen ilmoituksissa on havaittavissa yhteys suhteen käsitteeseen ja verrantoon jo alaluokilla kuten seuraavasta käy ilmi: ”Kananmunat maksavat kaksi euroa tusina. Kuinka paljon maksaa kaksi tusinaa kananmunia?”. Verranto tulee varsinaisesti yläluokilla muun muassa nopeuksien laskemisen yhteydessä matkan ja ajan välisenä suhteena. Suoraan verrannollisuutta kuvaa edellinen kananmunien hintaan liittyvä esimerkki. Kääntäen verrannollisuudessa käytetään usein matkaa kulunutta aikaa esimerkkinä: ”Kahden paikkakunnan välimatka on 100 km. Autoilijalta kuluu matkaan aikaa yksi tunti, kun hän ajaa sen nopeudella 100 km/h. Kuinka paljon häneltä kuluu aikaa, jos hän ajaa saman matkan nopeudella 80 km/h?” Suhde -käsitteen merkintätapana käytetään suomalaisissa oppikirjoissa merkintöjä ! " tai a:b. (vrt. Joutsenlahti & Perkkilä, 2019.) Joutsenlahti & Perkkilä FMSERA -Journal 2021 67 Edellä olevat kuvaukset merkinnän ” ! " ” tulkinnoista murtolukumerkinnän ja suhde -käsitteen merkityksessä suomalaisissa oppikirjoissa antavat esimerkkejä näiden merkitysten ilmenemismuodoista. Nämä sisällöt esiintyvät oppikirjoissa omina aihealueinaan. Murtolukumerkinnän ja suhde -käsitteen välisiä yhteyksiä ei juurikaan nosteta esille. Edellisen sijaan suomalaiset matematiikan oppikirjat tuovat esille murtoja desimaalilukujen sekä prosentin käsitteen välistä yhteyttä. Tätä yhteyttä painottaa myös perusopetuksen opetussuunnitelma. Kuitenkin yhtenäisen käsiteverkon luomisen näkökulmasta olisi syytä nostaa esille merkinnän ” ! " ” erilaisia ilmenemismuotoja ja niiden välisiä yhteyksiä. Ylipäätänsä käsitteiden välisten yhteyksien avaaminen on vähäistä oppikirjoissa. Erityisesti murtoluvun käsitteen yhteyksien avaaminen on haasteellista, sillä kirjallisuudessa nämä tulkinnat ovat jonkin verran toisistaan poikkeavia. Oppilaiden näkökulmasta tämä on hämmentävää, koska he ovat rakentamassa matemaattista käsitekuvaansa. TUTKIMUSKYSYMYS JA TUTKIMUKSEN TOTEUTUS Tutkimuksemme perustuu Kuvan 1 tehtävän ratkaisuihin. Kyseinen tehtävä on ollut osa laajempaa tutkimustamme (Joutsenlahti & Perkkilä, 2019) murtolukujen merkitysten ymmärtämisestä, mutta käsittelemme tehtävää tässä uudesta näkökulmasta. Tutkimme opiskelijoiden tulkintoja matematiikan symbolikielen ja kuviokielen (ks. Joutsenlahti & Perkkilä, 2019) yhdessä muodostaman prosessin tulkintaan erityisesti murtoluvun ja suhteen käsitteiden suhteen. Kuva 1. Opiskelijoiden tehtävä: ”Kerro, mitä kuvassa on tapahtunut kuvioiden ja matematiikan symbolikielen suhteen.” Tutkimuskysymyksemme on: miten luokanopettajaopiskelijat tulkitsevat annetun kuvan (Kuva 1) kuviokielen ja matematiikan symbolikielen suhteen? Vuonna 2017 yhteensä 102 Tampereen yliopiston (EDU) ja Jyväskylän yliopiston (Kokkolan yliopistokeskus Chydenius) luokanopettajaopiskelijaa pohti edellä Joutsenlahti & Perkkilä FMSERA -Journal 2021 68 annettua tehtävää itsenäisesti harjoitustehtävänä viikon ajan. Mainituista opiskelijoista 92 palautti tehtävän ja antoi luvan käyttää palauttamiaan ratkaisuja tähän tutkimukseen. Tutkimusmetodina käytimme teoriaohjaavaa sisällönanalyysiä (Schreier, 2013; Tuomi & Sarajärvi, 2012), jonka perusteella löysimme tehtävän eri ratkaisuvaiheista luokkia, jotka kuvaavat opiskelijoiden tulkintoja. Sisällönanalyysia voidaan käyttää kirjoitettujen kuultujen ja nähtyjen aineistojen sisältöjen analysointiin, jolloin pyritään muodostamaan aineistosta kokonaiskuva. Kirjoitettuna aineistona meillä on luokanopettajaopiskelijoiden pohdinnat Kuvan 1 tehtävästä. Teoriaohjaavassa sisällönanalyysissa tutkimuksen teoreettiset kytkennät tuodaan esille tutkimuksen viitekehyksessä ja ne toimivat apuna analyysissa kuten meidänkin tutkimuksessamme. Teoreettiset lähtökohdat antavat tukea ajatteluun ja tulkintaan. Teoriaohjaavan sisällönanalyysin mukaisesti rakensimme opiskelijoiden tuottamista Kuvan 1 ratkaisuvaiheista aineistolähtöisiä alaluokkia, joista sitten muodostimme yläkategorioita teoreettisen viitekehyksen ohjaamana. Näin teoreettinen viitekehys tuki ajatteluprosessiamme aineiston tarkastelussa, jotta voimme muodostaa aineiston rakenteesta ja sisällöstä selkeän kuvan opiskelijoiden tehtävätulkinnoista teoreettisen viitekehyksemme ohjaamana. Kumpikin tutkija analysoi aineiston ja epäselvät tapaukset käsiteltiin yhdessä. Kaikista tulkinnoista saavutimme yksimielisyyden. TULOKSET Tarkastelemme ratkaisuprosessia (Kuva 1) tyypillisen ratkaisumallin mukaisesti. Kaikki opiskelijat (N=92) tulkitsivat kuvaa ylhäältä alas eli että aluksi oli erillään yksi valkoinen pallo (”pallo” yleisin nimitys) ja yksi punainen pallo sekä toisessa paikassa (esimerkiksi ”pussissa”) kaksi valkoista ja yksi punainen pallo. Ratkaisuprosessin selitykset voidaan jakaa vaiheiden mukaan seuraaviin luokkiin: A) ” % # ” ja ” # $ ” merkitykset, B) lausekkeet ” % # + # $ ” ja ” %&# #&$ ” ja C) yhtälö ” % # + # $ = %&# #&$ ” ja D) kuvapäättely. Luokassa A (” % # ” ja ” # $ ” merkitykset) löytyi kolme alaluokkaa (suluissa vastausten lukumäärä). Esimerkkinä ensimmäinen ” % # ”: A1 ”valkoisten pallojen määrän suhde kaikkiin palloihin” (N=7), A2 ”yksi valkoinen pallo kahdesta pallosta” (N=6) ja A3 ”yksi kahdesosa kaikista palloista” (N=19). Alaluokat A1 ja A2 edustavat Taulukon 1 murtolukutulkinnan ensimmäistä ”osa-kokonaisuus” -merkitystä ja A3 toista ”murto-osa kokonaisesta” -merkitystä. Alaluokassa A1 tulee esille myös suhteen käsite. Suurin osa opiskelijoista ei erikseen kuvaillut ” % # ” ja ” # $ ” merkityksiä, vaan siirtyivät kommentoimaan niistä muodostettuja lausekkeita. Kuvan 1 yläosasta kaikki tunnistivat, että esimerkiksi murolukujen osoittajat kuvaavat valkoisten pallojen lukumääriä eikä punaisten, kuten seuraavasta esimerkistä ilmenee: ”Tyhjien ympyröiden suhde värillisiin (kaksi ylintä ok)” (Vastaaja 27).