Uni e sidad Complu ense de Mad id
T abajo de in de g ado
Doble g ado en Ingenie ´
ıa In o m´
a ica y Ma em´
a icas
Azimu h: dise˜no y desa ollo de un
ideojuego no eucl´ıdeo
Au o :
F ancisco C iado Galla
Di ec o :
D . Ma co An onio G´omez Ma ´ın
Cu so 2014-2015
This wo k is licensed unde a C ea i e Commons A ibu ion-Sha eAlike 4.0
In e na ional License.
Noi siamo sul p omon o io
es emo dei secoli!... Pe ch`e
do emmo gua da ci alle
spalle, se ogliamo s onda e le
mis e iose po e
dell’Impossibile? Il Tempo e
lo Spazio mo i ono ie i. Noi
i iamo gi`a nell’assolu o,
poich`e abbiamo gi`a c ea a
l’e e na eloci `a onnip esen e.
Ma ine i, Mani es o u u is a
Au o izaci´on de di usi´on y u ilizaci´on
El alumno abajo i man e au o iza a la Uni e sidad Complu ense de Mad id a di undi y
u iliza con ines acad´emicos, no come ciales y mencionando exp esamen e a sus au o es,
an o la p opia memo ia, como el c´odigo, la documen aci´on y el p o o ipo c eado.
F ancisco C iado Galla
Ag adecimien os
A nues o di ec o , Ma co An onio G´omez po su a enci´on y dedicaci´on o ien ´andonos
en es e abajo, y al p o eso Jes´us Ma ´ıa Ruiz, po su exhaus i a a enci´on al de alle al
e isa lo.
A los p o eso es, de una o ma u o a, me han ayudado a e los p oblemas asociados
a es e abajo desde o o pun o de is a, en pa icula , Ma co Cas ill´on, Vicen e Mu˜noz
y Six o Jes´us ´
Al a ez.
A mis amigos Ai o Alonso, Ma io Lezcano, Da id Ma ´ınez y Jaime Mendiz´abal, con
quienes hemos discu ido mec´anicas e ideas pa a es e p oyec o a lo la go de incon ables
sob emesas.
Y a mi he mana, que me descub i´o la Geome ´ıa.
i

Azimu h: Dise˜no y desa ollo de un ideojuego no eucl´ıdeo
F ancisco C iado Galla
Resumen
P esen amos un mo o pa a un ideojuego en geome ´ıa no euclidiana en Uni y. En es a
memo ia, p oponemos bases ma em´a icas pa a su simulaci´on, con un modelo uni icado de
las geome ´ıas el´ıp ica (o es ´e ica), euclidiana e hipe b´olica, con la cu a u a de Gauss k
como el pa ´ame o . Es o exp esa ´a la in uici´on de que los es modelos son simila es pa a
alo es peque˜nos de k. Es udiamos con de alle los in a ian es geom´e icos del modelo, sus
p opiedades geom´e icas y algunas o mulaciones compu acionalmen e e icien es pa a la
implemen aci´on de la ´op ica y la ´ısica en Uni y .
Palab as cla e: geome ´ıa di e encial, geome ´ıa no eucl´ıdea, geome ´ıa compu acio-
nal, desa ollo de ideojuegos, Uni y, in o m´a ica g ´a ica
Azimu h: Design and de elopmen o a non-euclidean ideogame
F ancisco C iado Galla
Abs ac
We p esen an engine o he de elopmen o a non-Euclidean ideogame in Uni y.
In his epo , we p opose ma hema ical ounda ions o i s simula ion, wi h an uni ied
model o ellip ic (o sphe ic), Euclidean and hype bolic geome ies, wi h he Gaussian
cu a u e kas he pa ame e . This will show he in ui ion ha all hese models a e simila
o small alues o k. We s udy wi h de ail he geome ic in a ian s o he pa ame ized
model, i s geome ic p ope ies and some compu a ionally e icien o mula ions o he
implemen a ion o he op ics and physics inside Uni y.
Keywo ds: di e en ial geome y, non-euclidean geome y, compu a ional geome y,
ideogame de elopmen , Uni y, compu e g aphics
ii
´
Indice gene al
Cap´ı ulo 1. In oducci´on 1
1. Algunos ideojuegos sob e el espacio 2
2. Modelos usuales en geome ´ıa no euclidiana 4
Cap´ı ulo 2. El modelo ma em´a ico 6
1. Los modelos geom´e icos 6
2. C´alculos locales 9
3. Desc ipciones ex ´ınsecas: el papel de la o ma bilineal ambien e 10
4. T igonome ´ıa especial 11
5. Geod´esicas 13
6. Isome ´ıas, p oduc o ec o ial y anspo e pa alelo 14
7. Dis ancia geod´esica 16
8. Cos u as 18
9. T i´angulos en Ωk21
Cap´ı ulo 3. De alles de implemen aci´on 23
1. Rep esen aci´on del modelo en Uni y 23
2. Ve ex Shade 24
3. F agmen Shade 25
4. P oyecci´on del mesh y las ex u as 26
5. El mo imien o 27
6. Dis ancias y colisiones 30
Cap´ı ulo 4. Conclusiones y abajo u u o 32
Anexos 33
Anexo 1: Sob e la esoluci´on expl´ıci a de las ecuaciones de las geod´esicas 33
Anexo 2: Inme si´on isom´e ica local de los modelos hipe b´olicos 34
Anexo 3: Ve ex Shade pa a cos u as de dis in as cu a u as 36
Anexo 4: Algunos mapas in e esan es 38
Bibliog a ´ıa 40
iii
Cap´ı ulo 1
In oducci´on
Azimu h es un p o o ipo de ideojuego 2D ceni al, pa icula men e la pa e del mo o ,
en el que el jugado se mue e po un mundo con una geome ´ıa a la que no es ´a acos um-
b ado, en pa icula , un mundo plano con cu a u a no nula. En un mapa as´ı, muchas
ideas geom´e icas a las que es amos acos umb ados no uncionan como espe amos, lo
que puede da luga a algunos puzzles in e esan es desde el pun o de is a del dise˜no de
ideojuegos.
El modelo abs ac o de c´omo son nues os mapas son supe icies “poli´ed icas” en las
que:
1. Cada mapa es ´a o mado po un conjun o de pol´ıgonos con exos (“pa ches”) unidos
po sus a is as (“cos u as”).
2. Cada pa che cu a u a cons an e. Posiblemen e dis in a pa a dis in os pa ches.
La mane a de mos a el mapa sob e la pan alla es a a ´es de la P oyecci´on Azimu al
Equidis an e, que mues a cada pun o de la supe icie en un pun o de la pan alla de al
o ma que la dis ancia al jugado sob e la pan alla es la misma que sob e la supe icie, y
el ´angulo al que se e el pun o (medido sob e la “ e ical” del pe sonaje) es el mismo que
el ´angulo sob e la supe icie. De hecho, es es a p oyecci´on la que le da nomb e al juego.
Con es e ipo de supe icies se pueden hace mapas con ca ac e ´ıs icas opol´ogicas y
geom´e icas especiales, que dan una dimensi´on ex a a a ios puzzles m´as o menos usuales:
Puzzles de pue as y palancas: Es una idea b´asica de muchos ideojuegos, que se
puede mejo a mucho si a˜nadimos la posibilidad, no s´olo de ab i y ce a pue as
con in e up o es, si no de cambia las uniones en e pa ches.
Puzzles de g a os plana es: Consis en en ap o echa las ca ac e ´ıs icas opol´ogicas de
la supe icie. Po ejemplo, impone la es icci´on de que el jugado no pueda pasa
dos eces po el mismo pun o. Seg´un el g´ene o y la o ien abilidad de la supe icie, los
g a os plana es posibles son muy dis in os, e implican que el jugado debe plani ica
muy bien su camino pa a alcanza un obje i o.
Puzzles de dispa o: Si se do a al jugado de una pis ola con la que ac i a in e up o es,
se pueden hace puzzles en los que haya que descub i las ca ac e ´ıs icas del mapa
pa a sabe a donde apun a . Hay un puzzle de p ueba de es e ipo en el p oyec o.
Noso os nos cen amos en el desa ollo de un mo o en la pla a o ma Uni y que pe -
mi a da al dise˜nado del juego las he amien as pa a abaja con un mapa no euclidiano,
po ejemplo:
Mos a el mapa al jugado .
Mo e al jugado po el mapa.
1
C ea obje os en el mapa con su p opio mo imien o.
Pe mi i in e acciones en e obje os (palancas, pue as, e c).
Pe mi i modi ica el mapa din´amicamen e (cambiando pa es de la supe icie del
mapa).
F´ısica b´asica de colisiones (pa edes, balas, e c).
Sob e es a in aes uc u a, hemos desa ollado algunos mapas y puzzles de p ueba que
mues an algunas de las capacidades de nues o abajo.
Mi abajo en pa icula se cen a en el aspec o ma em´a ico, o ien ´andolo a la cons-
ucci´on de un modelo compu acionalmen e e icien e de los pa ches, cos u as, mo imien o
y colisiones. Los de alles de la implemen aci´on y a qui ec u a del p oyec o se pueden
consul a en las memo ias de mis compa˜ne os, Jose Pablo Cabeza y Alejand o Agui e.
El Cap´ı ulo 1 in oduce el p oyec o y p esen a an eceden es de ideojuegos que u ilizan
un espacio peculia como pa e de su mec´anica, y ambi´en p esen a algunos modelos
cl´asicos de geome ´ıa es ´e ica e hipe b´olicas.
El Cap´ı ulo 2 p esen a el modelo ma em´a ico uni icado de un s´olo pa che de cualquie
cu a u a, sus p opiedades y esul ados m´as impo an es, y una de inici´on o mal de la
ex ensi´on de geod´esicas a a ´es de una cos u a.
El Cap´ı ulo 3 se cen a en las ´o mulas y algo i mos que equie e Uni y pa a hace
unciona el ideojuego, po ejemplo ela i as a la posici´on, mo imien o y colisiones.
El Cap´ı ulo 4 epasa los esul ados ob enidos y es una e lexi´on de qu´e ideas se pod ´ıan
a˜nadi .
1. Algunos ideojuegos sob e el espacio
La idea de u iliza no mas especiales de la ´ısica como base de un ideojuego no es
absolu amen e o iginal. Muchos ideojuegos, sob e odo independien es, in en an des aca
a a ´es de alguna mec´anica ´unica que les pe mi a o ece expe iencias dis in as al jugado .
Vamos a menciona algunos ejemplos que han se ido de inspi aci´on pa a el nues o.
El juego B aid es un juego independien e de puzzles y pla a o mas 2D en el que la
mec´anica o iginal no es espacial, sino empo al. El jugado iene la capacidad de “ ebo-
bina ” el iempo y ol e a un momen o pasado. La idea en s´ı no es o iginal (de hecho
ue popula izada po P ince o Pe sia: he sands o ime, pa a palia la di icul ad de las
ac obacias, y se ha u ilizado en a ios juegos desde en onces), pe o el juego iene a ios
obje os y mundos en los que las eglas del iempo a ´ıan no ablemen e y jun o con esa
mec´anica se ob ienen puzzles muy o iginales.
Po ejemplo algunos obje os (los do ados) no se ebobinan en el iempo con el jugado ,
si no que se siguen mo iendo. Tambi´en hay un mundo en el que el iempo depende de
la posici´on del jugado , o o con dos lineas empo ales, incluso uno en que el iempo del
jugado a al e ´es que el de los dem´as obje os del mundo (haciendo que la causalidad
sea algo complicada de en ende ).
2
2. C´alculos locales
Conside amos la p oyecci´on es e eog ´a ica πdesde (0,0,1) ∈Ωksob e el plano z= 0,
dada po
π(x, y, z) = (x, y)
1−z,
cuya in e sa es
ϕ(u, ) = (2u, 2 , k(u2+ 2)−1)
k(u2+ 2)+1 .
Es a in e sa es ´a de inida en un dominio abie o U⊂R2y pa ame iza :
La hoja z≤ −1 del hipe boloide Ωken el caso hipe b´olico k < 0, con dominio
U:k(u2+ 2)+1>0,
El plano z=−1 de los dos planos de Ω0en el caso euclidiano k= 0, con U=R2, y
Toda la supe icie Ωksal o el pun o de p oyecci´on (0,0,1) en el caso el´ıp ico k > 0,
con U=R2.
En adelan e, se deno a ´a D=k(u2+ 2) + 1. Las de i adas pa ciales de ϕson:
(ϕu=∂ϕ
∂u (u, ) = 2
D2(k(−u2+ 2)+1,−2ku , 2ku),
ϕ =∂ϕ
∂ (u, ) = 2
D2(−2ku , k(u2− 2)+1,2k ).
Es os ec o es o man una base del espacio angen e Tϕ(u, )Ωky espec o ellos la ma iz
de la o ma bilineal h,ikes
hϕu, ϕuikhϕu, ϕ ik
hϕ , ϕuikhϕ , ϕ ik=4
D21 0
0 1.
Es pues una ma iz de inida posi i a, es deci , la ma iz de un p oduc o escala , y queda
comp obado que, como anunciamos, hemos de inido una m´e ica iemanniana po es ic-
ci´on de la o ma h,ik. La p ime a o ma undamen al de esa m´e ica es
Ik=E F
F G=4
D21 0
0 1.
Aho a, calculamos los s´ımbolos de Ch is o el esol iendo el siguien e sis ema lineal
bien conocido ( ´ease [6]):
(1)

















Γ1
11 =GEu−2FFu+FE
2(EG −F2)=−2ku
D,Γ2
11 =2EFu−EE −FEu
2(EG −F2)=2k
D,
Γ1
12 =GE −FGu
2(EG −F2)=−2k
D,Γ2
12 =EGu−FE
2(EG −F2)=−2ku
D,
Γ1
22 =2GF −GGu−FG
2(EG −F2)=2ku
D,Γ2
22 =EG −2FF +FGu
2(EG −F2)=−2k
D.
9

Finalmen e calculamos la cu a u a seccional (de Riemann) con los s´ımbolos de Ch is-
o el, que coincide con el pa ´ame o k, como cab´ıa espe a :
K=−1
E∂Γ2
12
∂u −∂Γ2
11
∂ + Γ1
12Γ2
11 −Γ1
11Γ2
12 + Γ2
12Γ2
12 −Γ2
11Γ2
22=··· ≡ k.
3. Desc ipciones ex ´ınsecas: el papel de la o ma bilineal ambien e
An es de es udia las geod´esicas, hay que des aca algunas p opiedades geom´e icas
del modelo. Reco demos que
Ωk={P∈R3:kPkk=hP, Pik= 1/k}.
Es o se co esponde con el modelo es ´e ico usual, en que la es e a es el conjun o de pun os
de no ma 1, pe o es a exp esi´on iene una singula idad (inde inici´on) en k= 0. Pa a a a
es a di icul ad ecu i emos al siguien e a i icio: conside a la o ma bilineal
ha, bi∗
k=a B∗
kb=a 

k0 0
0k0
0 0 1

b.
Es a o ma es ´a de inida pa a k= 0, y podemos esc ibi :
Ωk={P∈R3:kPk∗
k=hP, Pi∗
k= 1}.
Aunque si se hace k= 0 no se e nada especialmen e no edoso, es e a i icio pe mi e
usa las mismas ´o mulas pa a ka bi a io, y ´o mulas con inuas. Con el con enio 0·∞ = 1
esc ibi emos h,i∗
k=kh,ik.
Vol iendo a lo que in e esa aho a, el espacio angen e en un pun o ϕ(u, ) de la supe -
icie es o ogonal con espec o a h,ikal p opio ec o de posici´on ϕ(u, ), lo que ecue da
a la es e a:
(hϕ, ϕuik=2
D32u(k(−u2+ 2) + 1) −4ku 2+ 2u(k(u2+ 2)−1= 0,
hϕ, ϕ ik=2
D32 (k(u2− 2) + 1) −4ku2 + 2 (k( 2+u2)−1= 0.
Adem´as, como F= 0, la e na de ec o es {ϕu, ϕ , ϕ}es una base o ogonal de R3con
espec o a h,ik. Aqu´ı debemos de nue o mi a el caso k= 0. En es e caso, la o ogonalidad
0 = hP, P0i0=h(x, y, −1),(x0, y0, z0)i0=xx0+yy0−z0·∞
signi ica como debe se que z0= 0: si z06= 0 la igualdad an e io alla pa a ∞>(xx0+
yy0)/z0. Es a o ogonalidad se esuel e sin inde e minaciones usando h,i∗
k.
Vamos a epe i la cons ucci´on usual de los s´ımbolos de Ch is o el de o ma ex ´ınseca
[3], pe o u ilizando es a base en ez de la habi ual euclidiana (que usa el ec o no mal
10
euclidiano en ez del de posici´on). Se a a de exp esa las de i adas segundas de ϕen la
base {ϕu, ϕ , ϕ}:
(1) 








ϕuu = Λ1
11ϕu+ Λ2
11ϕ +L11ϕ,
ϕu = Λ1
12ϕu+ Λ2
12ϕ +L12ϕ,
ϕ u = Λ1
21ϕu+ Λ2
21ϕ +L21ϕ,
ϕ = Λ1
22ϕu+ Λ2
22ϕ +L22ϕ.
Como ϕu =ϕ u, enemos Λ1
12 = Λ1
21, Λ2
12 = Λ2
21,L12 =L21.
Los Lij son unos candida os excelen es pa a la segunda o ma undamen al, a pa i
de los cuales es udia emos en la secci´on 9 la cues i´on in e esan e de si nues os modelos
son, global o localmen e, supe icies euclidianas de R3.
Al igual que con la cons ucci´on usual de los s´ımbolos de Ch is o el, de i amos los
coe icien es de la p ime a o ma undamen al pa a ob ene un sis ema de ecuaciones del
que despeja los Λk
ij:

















Eu=2hϕu, ϕuuik= 2EΛ1
11+ 2FΛ2
11,
E =2hϕu, ϕu ik= 2EΛ1
12 + 2FΛ2
12,
Fu=hϕuu, ϕ ik+hϕu, ϕ uik=FΛ1
11+GΛ2
11 +EΛ1
21 +FΛ2
21,
F =hϕu , ϕ ik+hϕu, ϕ ik=FΛ1
12 +GΛ2
12 +EΛ1
22 +FΛ2
22,
Gu=2hϕ , ϕ uik= 2FΛ1
21 + 2GΛ2
21,
G =2hϕ , ϕ ik= 2FΛ1
22 + 2GΛ2
22.
Vemos que es el mismo sis ema de ecuaciones que sa is acen los s´ımbolos de Ch is o el.
Po an o, Λk
ij = Γk
ij.
4. T igonome ´ıa especial
En es a secci´on de inimos dos unciones muy impo an es pa a la pa ame izaci´on de
las geod´esicas m´as adelan e.
De inici´
on. Sea k6= 0. El coseno especial y el seno especial son las unciones:
(Ck(x) = 1
2(e√−kx +e−√−kx),
Sk(x) = 1
2√−k(e√−kx −e−√−kx).
U ilizamos es as unciones de a iable compleja pa a ene las mismas ´o mulas inde-
pendien emen e del signo de k. De odos modos, obse amos que pa a x∈R:
Si k < 0 es Ck(x) = cosh(√−kx), de modo que Ck(x)≥1.
Si k > 0 es Ck(x) = cos(√kx), de modo que |Ck(x)| ≤ 1.
En pa icula , pa a k=−1,1 ob enemos
C1(x) = cos(x), S1(x) = sen(x).
11
C−1(x) = cosh(x), S−1(x) = senh(x).
y pa a k= 0 omamos
(C0(x) = l´ımk→0Ck(x)=1,
S0(x) = l´ımk→0Sk(x) = x.
−2−10 1 2
−1
0
1
2
3
4
k=-4
k=-1
k=-0.25
k=0.25
k=1
k=4
(a) Coseno especial
−2−10 1 2
−2
−1
0
1
2
k=-4 k=-1
k=-0.25
k=0.25
k=1
k=4
(b) Seno especial
Figu a 2
De inici´
on. Sea k6= 0. El a co coseno especial es la unci´on:
ACk(x) = 1
√−klog x+√x2−1,
donde (k < 0∧x≥1) ∨(k > 0∧x∈[−1,1]).
Hay que acla a qu´e ama del loga i mo complejo se es ´a usando en es a de inici´on.
Pues o que p e ende se la in e sa del coseno especial, es a ama end ´a que se con inua
en el dominio de de inici´on de la unci´on y cumpli ACk(1) = 0. Adem´as, obse ando el
compo amien o de x+√x2−1:
Pa a k < 0, x∈[1,∞), se iene que x+√x2−1 es eal posi i o.
Pa a k > 0, x∈[−1,1], la exp esi´on x+√x2−1 = x+i√1−x2se mue e a lo la go
de la pa e supe io de la ci cun e encia unidad en el plano complejo.
Po es o, la ama del loga i mo que usamos es aquella que es con inua en los complejos
de a gumen o (−π, π] y cumple log(1) = 0.
Na u almen e ACkyCkson mu uamen e in e sas (en un dominio de de inici´on ade-
cuado):
ACk◦Ck≡Id en {(k, x):(k < 0∧x≥0) ∨(k > 0∧x∈[0,π
√k])},
Ck◦ACk≡Id en {(k, x):(k < 0∧x≥1) ∨(k > 0∧x∈[−1,1])},
y se cumplen las p opiedades simila es a las de las unciones igonom´e icas:
12
Ck(x)2+kSk(x)2= 1,
Ck(x+y) = Ck(x)Ck(y)−kSk(x)Sk(y),
Sk(x+y) = Sk(x)Ck(y) + Ck(x)Sk(y).
Tambi´en las de i adas se compo an con enien emen e:
C0
k(x) = −kSk(x).
S0
k(x) = Ck(x).
AC0
k(x) = 1
√−k√x2−1.
El seno especial y coseno especial son muy pa ecidos a la igonome ´ıa gene alizada de
Janos Bolyai, s´olo que ´el lo de ini´o en el con ex o de la geome ´ıa hipe b´olica, y median e
un desa ollo en se ie de Taylo .
5. Geod´esicas
En es a secci´on desc ibimos las geod´esicas de nues os modelos Ωk. Pa a empeza
eco demos que las ecuaciones di e enciales de las geod´esicas son ( ´ease [6]):
(u00 +u02Γ1
11 + 2u0 0Γ1
12 + 02Γ1
22 =u00 +1
D(−4ku0(uu0+ 0)+2ku(u02+ 2)) = 0,
00 +u02Γ2
11 + 2u0 0Γ2
12 + 02Γ2
22 = 00 +1
D(−4k 0(uu0+ 0)+2ku(u02+ 02)) = 0.
Pe o amos a ob ene las geod´esicas sin esol e es as ecuaciones di ec amen e, ins-
pi ´andonos en la p opiedad de las supe icies euclidianas de R3de que una cu a es
geod´esica si su de i ada segunda es o ogonal a la supe icie. Aqu´ı nos in e esa ´a que sea
o ogonal con espec o a h,ik. Una esoluci´on expl´ıci a de las ecuaciones di e enciales se
desc ibi ´a en el Anexo 1.
En p ime luga , dada una cu a de Ωkpa ame izada po el a co, α( ) = ϕ(u( ), ( )),
calculamos de sus de i adas:
α0=u0ϕu+ 0ϕ ,
α00 =u00ϕu+ 00ϕu+u02ϕuu + 2u0 0ϕu + 02ϕ .
Aho a podemos esc ibi ϕuu, ϕu , ϕu en unci´on de la base {ϕu, ϕ , ϕ}usando las
´o mulas (1) de la secci´on an e io que hacen apa ece los s´ımbolos de Ch is o el:
α00 =··· =(u00 +u02Γ1
11 + 2u0 0Γ1
12 + 02Γ1
22)ϕu
+( 00 +u02Γ2
11 + 2u0 0Γ2
12 + 02Γ2
22)ϕ
+(u02L11 + 2u0 0L12 + 02L22)ϕ.
Obs´e ese que las dos p ime as coo denadas son exac amen e la exp esi´on de las ecua-
ciones di e enciales de las geod´esicas. Pa a e mina obse amos que
(D2
4hα00, ϕuik=u00 +u02Γ1
11 + 2u0 0Γ1
12 + 02Γ1
22,
D2
4hα00, ϕ ik= 00 +u02Γ2
11 + 2u0 0Γ2
12 + 02Γ2
22.
13
Es deci , una cu a es geod´esica (cumple las ecuaciones di e enciales) si y s´olo si su
de i ada segunda es p opo cional al ec o de posici´on, si y s´olo si es o ogonal a la
supe icie.
Podemos a ina m´as: una cu a αpa ame izada po el a co es una geod´esica si y s´olo
si α00 =−kα.
En e ec o, como α( )6= 0, exis e una ´unica unci´on λ:R→R al que α00 =λα. En
p ime luga , como la cu a es ´a en Ωk, se iene hα, αik≡1/k. De i ando una ez esul a
hα0, αik≡0 y de i ando de nue o ob enemos
0≡ hα00, αik+hα0, α0ik=hλα, αik+ 1 = λ·1/k + 1,
de donde λ≡ −kcomo a i mamos. 
Dicho es o, ijemos un pun o inicial P0= (x0, y0, z0)∈Ωky una di ecci´on inicial
P0
0= (x0
0, y0
0, z0
0)∈TP0Ωk,hP0
0, P0
0ik= 1. La condici´on di e encial α00 =−kα ya nos
hace pensa en unciones igonom´e icas, y eco damos que el ejemplo m´as na u al de
geod´esica α( ) son los c´ı culos m´aximos de la es e a, que se pa ame izan median e las
unciones igonom´e icas o dina ias. Lo que hacemos aqu´ı es sus i ui esas unciones
igonom´e icas po las e siones especiales p esen adas en la secci´on 3:
α( ) = P0Ck( ) + P0
0Sk( ).
En p ime luga , αes una cu a con enida en Ωk, pues:
hα( ), α( )i∗
k=hP0, P0i∗
kC2
k( ) + khP0
0, P0
0ikS2
k( ) + hP0, P0
0i∗
kCk( )Sk( )=1,
de modo que α( )∈Ωk. Adem´as, α(0) = P0yα0(0) = P0
0. Finalmen e, la de i ada segunda
es:
α00( ) = P0C00
k( ) + P0
0S00
k( ) = −k(P0Ck( ) + P0
0Sk( )) = −kα( ).
En consecuencia, es a pa ame izaci´on es, en e ec o, una geod´esica. 
Po o a pa e, es impo an e obse a que las geod´esicas son secciones de la supe icie
po planos con eniendo al o igen, ya que α( ) es combinaci´on lineal de P0yP0
0. La imagen
de αes la secci´on plana de Ωkde e minada po el pun o inicial P0y cualquie a o o α( ),
o po el pun o inicial y una di ecci´on inicial.
6. Isome ´ıas, p oduc o ec o ial y anspo e pa alelo
Aqu´ı analizamos el compo amien o de las isome ´ıas de nues as supe icies. En pa -
icula , es o se i ´a pa a simpli ica el anspo e pa alelo.
Isome ´ıas de los Ωk.Sea Nuna ma iz o ogonal espec o de la o ma bilineal h,ik,
es deci , al que
N 

1 0 0
0 1 0
0 0 1/k
N=

1 0 0
0 1 0
0 0 1/k
.
14

Es o quie e deci que sus columnas o man una base o ogonal y ienen espec i amen e
no mas 1,1,1/k espec o de la o ma h,ik. Obse amos adem´as que:
hP, Qik=P 

1 0 0
0 1 0
0 0 1/k
Q=P N 

1 0 0
0 1 0
0 0 1/k
NQ =hNP, NQik.
Po an o, Nconse a la o ma bilineal en odo el espacio ambien e R3, y en pa icula ,
conse a la es icci´on de la o ma a Ωk, es icci´on que es nues a m´e ica h,ik. Como po
lo mismo, Ndeja Ωkin a ian e, luego Nes una isome ´ıa de Ωk. Hay que ema ca que la
e ce a columna de la ma iz es un pun o de Ωky las dos p ime as columnas dos ec o es
uni a ios angen es a Ωken ese pun o. Hemos demos ado la mi ad de lo siguien e:
Las isome ´ıas del modelo Ωkson las es icciones de los isomo ismos lineales de R3
o ogonales espec o de la o ma h,ik.
Fal a e que no hay m´as isome ´ıas que ´es as. En e ec o, eco demos que una isome ´ıa
es ´a un´ı ocamen e de e minada po la imagen de un pun o de Ωky la de dos ec o es
angen es uni a ios o ogonales en ese pun o. Po ello, bas a e que hay su icien es iso-
me ´ıas N, es deci , que dados un segundo pun o de Ωky dos ec o es angen es uni a ios
o ogonales en ese segundo pun o exis e Nque ans o ma los da os p ime os en los se-
gundos. Pe o si N1es la ma iz de los p ime os es ec o es y N2la de los segundos es,
en onces N=N2·N−1
1.
A con inuaci´on, de inimos una noci´on de p oduc o ec o ial ×kde dos ec o es, pa a
pode cons ui una isome ´ıa dados s´olo la imagen de un pun o y un ec o de su espacio
angen e (y una o ien aci´on).
P oduc o ec o ial espec o de h,i∗
k.Dados a, b ∈R3, un candida o a p oduc o ec o-
ial a×kbde dos ec o es a, b debe ´ıa se pe pendicula a ellos, ha, a×kbik=hb, a×kbik= 0.
Es deci ,
0 = a
b Bk(a×kb) = (Bka)
(Bkb) (a×kb).
Po eso, un candida o es k(Bka)×(Bkb), con el p oduc o ec o ial usual (donde hemos
mul iplicado po k pa a e i a la inde e minaci´on). En onces, de inimos:
a×kb=k(Bka)×(Bkb) = 
a2a3
b2b3
,−
a1a3
b1b3
, k 
a1a2
b1b2.
En pa icula , ka×kbes el p oduc o ec o ial usual, mul iplicando la ´ul ima componen e
po k. Es e ec o es, como se p e ende, pe pendicula (con hik) a los dos p ime os y
cumple que
kak2
kkbk2
k=1
kka×kbk2
k+ha, bi2
k,
(es un c´alculo u ina io).
Es e p oduc o ec o ial iene una p opiedad impo an e: si AyBson dos pun os
en una geod´esica α,A×kBpe enece al espacio angen e de cualquie pun o de αy
15
adem´as es pe pendicula a la elocidad en ese pun o. En e ec o, el ec o no mal al plano
es pe pendicula a cualquie pa de ec o es pe enecien es al plano. Como A×kBes
no mal al pun o de la geod´esica, pe enece al espacio angen e, y adem´as se ´a no mal a
la elocidad en ese pun o.
Finalmen e emos la u ilidad de odo es o pa a el anspo e pa alelo.
Aplicaci´on al anspo e pa alelo en una geod´esica Conside amos aho a en Ωkel
p oblema del anspo e pa alelo de un ec o angen e en un pun o Pa lo la go de una
geod´esica α, es deci , P∈Ωk, ∈TPΩk, α( 0) = P.
Conside amos el ied o {α0( ), α( )×kα0( ), α( )}, que es una e na o mada po dos
ec o es del espacio angen e uni a ios y pe pendicula es en e s´ı y uno de la supe icie.
En onces es una ma iz o ogonal en hik. Adem´as, la base del espacio angen e se ans-
po a pa alelamen e a lo la go de α, po que la elocidad se anspo a pa alelamen e (po
de inici´on de geod´esica) y el segundo ec o p esen a p oduc o escala cons an e espec o
al p ime o, es uni a io y se ans o ma de o ma con inua.
En onces, esc ibiendo el ec o en la base del espacio angen e de ese ied o, ob e-
nemos su anspo e pa alelo a lo la go de α.
Es o es muy in e esan e desde el pun o de is a compu acional.
7. Dis ancia geod´esica
El p oblema b´asico de exis encia de geod´esicas es de e mina la elocidad inicial P0
0
de una geod´esica α( ) que empieza en un pun o dado P=P0y pasa po o o ambi´en
dado Q=α( ) (pa a el alo m´ınimo de > 0).
En nues o caso, si Qes independien e de P(es deci , Q6=P, −P), en onces Q
pe enece al plano gene ado po Py la di ecci´on inicial P0
0(desconocida). Pe o sabemos
que esa di ecci´on inicial: (i) se ´a o ogonal a Py (ii) pe ence ´a al plano gene ado po
P,Q.
En consecuencia, la mane a de calcula ese ec o es usa G am-Schmid :
P0
0=Q−hP, QikP/hP, Pik
kQ−hP, QikP/hP, Pikkk
=Q−hP, Qi∗
kP
q1−hP, Qi∗
k
2/k
.
Pe o es a ´o mula p esen a una singula idad pa a k= 0 (ya que dados P, Q ∈Ω0,
hP, Qi∗
0= 1), y pa a e i a la usamos un poco m´as la o ma h,i∗
k. P ime o obse amos
que:
kQ−Pk∗
k
2=kQk∗
k
2+kPk∗
k
2−2hP, Qi∗
k= 2 −2hP, Qi∗
k,
luego 1 −hP, Qi∗
k=1
2kQ−Pk∗
k
2. Vol iendo a la exp esi´on inicial,
P0
0=√2
p1 + hP, Qi∗
k
Q−hP, Qi∗
kP
kQ−Pkk
.
16
Vamos a examina las dos exp esiones del denominado y e que ya no hay p oblemas
de con inuidad, usando una isome ´ıa que lle a a Pal pun o (0,0,1).
La imagen de Qes a ´a en −1≤z≤1 cuando k > 0, y en z≥1 cuando k < 0 (ya
que PyQes ´an en la misma hoja del hipe boloide, en el caso de cu a u a nega i a), lo
que implica que 1 + hP, Qi∗
k>0.
Si la imagen de Qes (x, y, z), se iene que k(x2+y2) + z2= 1. En onces, kQ−Pkk=
k(x2+y2)+(z−1)2= 1 −2z−1 = 2z > 0.
En onces, ambos denominado es son exp esiones posi i as y la exp esi´on del loga i mo
geod´esico es ´a bien de inida.
En pa icula , pa a k= 0, ob enemos P0
0= (P−Q)/pkP−Qk, como e a de espe a .

Con es o ya sabemos la di ecci´on del camino m´as co o de PaQ, pe o no la longi ud,
que se ´a la dis ancia geod´esica dis g(P, Q) de PaQ. Pe o dada α( ), geod´esica de P=P0
aQ=α( ) calculada como se desc ibe a iba, es ´a pa ame izada po el a co, luego
dis g(P, Q) = . Resul a pues
Q=α( ) = P0Ck( ) + P0
0Sk( ),
de donde
hP, Qi∗
k=hP0, α( )i∗
k=hP0, P0i∗
kCk( ) + hP0, P0
0i∗
kSk( ) = Ck( )
(aqu´ı usamos que, espec o de h,i∗
k,P0yP0
0son o ogonales y P0es uni a io), con lo que
dis g(P, Q) = ACk(hP, Qi∗
k).
Pa a k= 0 no necesi amos hace an os c´alculos: dis g(P, Q) = kQ−Pk, que es
la no ma euclidiana en el plano a ´ın Ω0:z=−1. Sin emba go s´ı que emos deci que
de acue do con la idea gene al de es e abajo, se da la con inuidad siguien e: dados
Pk, Qk∈Ωkque con e gen espec i amen e a P, Q ∈Ω0pa a k→0, esul a que
l´ım
k→0dis g(Pk, Qk) = kP−Qk.
Esbozamos la demos aci´on de es e hecho. Po la secci´on an e io , exis e una cie a
isome ´ıa de la supe icie que lle a a Qal pun o (0,0,1). En onces, sin p´e dida de ge-
ne alidad, podemos supone que Q= (0,0,1). Calculamos el l´ımi e di eccional sob e la
di ecci´on e ical dada po la sucesi´on:
Pk= (pk1, pk2, pk3),1−k(p2
k1+p2
k2)≥0, pk3=q1−k(p2
k1+p2
k2),
de modo que cuando k→0, Pk→(p1, p2,1). Con es as no aciones:
dis g(Pk,(0,0,1)) = ACk(hPk,(0,0,1)i∗
k) = ACkq1−k(p2
k1+p2
k2).
17
As´ı pues, omamos N=p2
k1+p2
k2y calculamos el l´ımi e an e io po la Regla de LHˆopi al:
l´ım
k→0dis g(Pk,(0,0,1)) = l´ım
k→0
1
√−klog √1−kN +√−kN
= l´ım
k→0
d
dk log √1−kN +√−kN
d
dk √−k=··· = l´ım
k→0
√−kN
√−kN√1−kN
=√N,
como in e esaba. 
8. Cos u as
En es a secci´on, desc ibimos un modelo de supe icies no egula es pegando “pa ches”.
Un pa che es un dominio ce ado de una supe icie de cu a u a cons an e, de acue do con
los modelos Ωkan e io es. Adem´as el bo de de esos dominios debe se una cu a geod´esica
a pedazos. Es os pa ches se unen en e s´ı po “cos u as”. Una cos u a es una isome ´ıa
en e dos segmen os de geod´esica de dos pa ches (posiblemen e de cu a u a dis in a).
Fo malmen e:
De inici´
on. (1) Una cu a geod´esica a pedazos de Ωkes una aplicaci´on inyec i a
σ: [a, b]→Ωkdi e enciable a pedazos, digamos a= 0< 1<··· < ν=b, al que
cada es icci´on σ|[ i−1, i]es una geod´esica pa ame izada po el a co. Esa es icci´on se
denomina segmen o geod´esico. Los mismos nomb es que σy las es icciones σ|[ i−1, i]
eciben sus im´agenes σ([a, b]), σ([ i−1, i]) ⊂Ωk.
(2) Un pa che es un conjun o ce ado D⊂Ωk, adhe encia de su in e io , y cuya
on e a ∂D =D In (D) es una cu a geod´esica a pedazos. Un segmen o geod´esico de D
es un segmen o geod´esico de su on e a ∂D.
(3) Una cos u a en e dos segmen os geod´esicos (de igual longi ud) σde un pa che Di
yτde o o Djes una isome ´ıa φ:σ→τ.
Que una supe icie no egula se ob iene uniendo pa ches median e cos u as signi ica
lo siguien e.
De inici´
on. Sea Di⊂Ωkiuna colecci´on de pa ches seg´un la de inici´on an e io , y
sea φν:σν→τνuna colecci´on de cos u as en e segmen os geod´esicos de cie os pa ches.
La supe icie Sob enida pegando los pa ches Diseg´un las cos u as φνes el cocien e de la
uni´on disjun a de los pa ches Y=FiDiiden i icando cada pun o x∈σνson su imagen
φν(x)∈τνpa a oda cos u a φν.
El esul ado Sde es e pegado es una supe icie opol´ogica, una ez se some en las
cos u as a cie as es icciones del ipo que se imponen a las iangulaciones. Lo esencial
es que un segmen o geod´esico puede in e eni en una ´unica cos u a, del mismo modo que
es ca as de una iangulaci´on no pueden compa i una misma a is a.
18
Pues o que es el a co coseno especial, mul iplicado po un n´ume o eal, es un n´ume o
eal, y adem´as,
l´ım
k→0
1
p 2
3−1log  3+q 2
3−1
= l´ım
k→0
1
p−k( 2
1+ 2
2)log q1−k( 2
1+ 2
2) + q−k( 2
1+ 2
2).
Tomando = ( 2
1+ 2
2)6= 0 y aplicando la egla de l’Hˆopi al:
l´ım
k→0
1
√k log √1−k +√k = l´ım
k→0
−
k
√−k +1 +k
√−k
2(√−k +1+√−k )
−k
2√−k
= l´ım
k→0
√−k
√−k +1 + 1
√−k +1+√−k = 1,
lo que implica que en el l´ımi e el ac o es 1, como cab ´ıa espe a .
En el c´odigo uen e, es e ac o de co ecci´on es una se ie de Taylo de g ado 3 pa a
alo es peque˜nos de , y se exp esa en unci´on del a co coseno y a co coseno hipe b´olico
en los casos es an es.
N´o ese que es e m´e odo es compu acionalmen e muy sencillo, ya que implica aplica
al ´e ice po dos aplicaciones ec o iales, cuya ma iz se ac ualiza como mucho en cada
ame, y una co ecci´on que depende de igonome ´ıa b´asica y una a´ız cuad ada. La
di icul ad de calcula la imagen de un ´e ice no es dependien e del n´ume o de cos u as
que c uza la geod´esica has a ´el.
3. F agmen Shade
La g an mejo a de pode calcula odas las isome ´ıas como aplicaciones ec o iales se
e leja pa icula men e a la ho a de desca a pun os de un pa che (po es a ue a de la
zona de inida po la cos u a).
El agmen o que se e de un pa che es ´a limi ado po es geod´esicas: la p opia cos u a
y los bo des izquie dos y de echos. En onces, omamos las coo denadas del pun o en el
mesh (es deci , que puede no pe enece a la supe icie, es ic amen e hablando, a no se
que sea un ´e ice) y e i icamos que es ´e del lado co ec o de las es geod´esicas.
Es o se puede hace de o ma ma icial, e i icando que Fp ≥0, siendo p∈R3el
pun o y Funa ma iz que llama emos “ma iz de agmen shade ”.
La p ime a ila de es a ma iz ep esen a ´a la es icci´on dada po la cos u a, es deci ,
deja in isible odo aquello que es ´a del mismo lado de la cos u a que el jugado . Pues o
que suponemos que odo el pa che es ´a con enido en la mi ad supe io de Ωk, es o se
puede calcula como comp oba el signo del p oduc o mix o (usual) en e el pun o dado
y los ex emos de la cos u a.
Las o as dos es icciones dependen de las cos u as que se hayan c uzado has a ese
pun o. Si el ex emo de una cos u a es isible pa a el jugado , en onces hay que ac ualiza
25

la es icci´on de ese la e al. Si no, hay que ans o ma la es icci´on an igua po la ma iz
de cambio de base.
En esumen, cada cos u a impone una egi´on ac ible con es es icciones, y que emos
calcula la in e secci´on de odas las egiones ac ibles has a llega a un cie o pa che. Cada
ez que se c uza una cos u a, se oma la ma iz de agmen an e io , se calcula su imagen
po la ans o maci´on a ´ın de la cos u a, y se in e seca con la siguien e egi´on ac ible.
La in e secci´on en e ambas se hace po un p ocedimien o usual en p og amaci´on
lineal, b´asicamen e la in e secci´on de semiplanos es el dual a la en ol en e con exa [2,7],
y ale comp oba si el p oduc o mix o de una e na de ec o es es posi i o o nega i o
pa a sabe si hay que desca a un pun o o no.
Po ´ul imo, des aca que en el p ime pa che se oma una ma iz que deja pasa odos
los pun os, pa a que luego las sucesi as in e secciones la ayan eco ando poco a poco.
4. P oyecci´on del mesh y las ex u as
En el o denado , las ex u as asignadas a cada obje o y al ondo de cada pa che se
gua dan de o ma plana y euclidiana. Po eso es impo an e encon a una mane a de
de o ma las has a lle a las a la supe icie Ωk.
Buscamos una mane a de p oyec a la ex u a de al o ma que sea iel al o iginal
euclidiano al menos en la pa e cen al. De odas las posibles p oyecciones desde R2a Ωk,
las dos que mejo cumplen es e p op´osi o son la p oyecci´on es e eog ´a ica y la gn´omica. La
es e eog ´a ica ya se ha discu ido en la secci´on “c´alculos locales” y la gn´omica iene dada
simplemen e po la p oyecci´on del plano z= 1 desde el o igen, sob e la mi ad supe io de
Ωk:
g(x, y) = (x, y, 1)
k(x, y, 1)k∗
k
=(x, y, 1)
pk(x2+y2)+1.
En el caso de las supe icies de cu a u a nega i a, ambas ienen el incon enien e de
ene una “ci cun e encia de in ini o”, lo que impone un l´ımi e al ama˜no de las ex u as
a usa . De odas o mas, es na u al que se imponga un l´ımi e al ama˜no de las ex u as,
ya que en el espacio hipe b´olico, una ci cun e encia de adio c ece exponencialmen e,
as´ı que una ex u a muy g ande iba a e se suje a muy ´apido a de o maci´on.
Po o a pa e, la p oyecci´on es e eog ´a ica pe mi e cub i oda la es e a (sal o un
pun o), y la gn´omica s´olo cub e un agmen o meno que media es e a (y de o m´andose a
medida que se ace ca a su o alidad).
Pe o la p oyecci´on gn´omica iene una en aja esencial en e a la es e eog ´a ica y en e
a cualquie o a p oyecci´on: no de o ma las geod´esicas. Es o es impo an e, po que el mesh
es ´a o mado po i´angulos de R2, y sus lados son ec os. Al usa la p oyecci´on gn´omica,
es amos ga an izando que los i´angulos ienen lados geod´esicos en el modelo, y no se
p oduce de o maci´on a causa de p oyec a de la ex u a al mesh.
26
Figu a 2. Di e encia en e un i´angulo en la p oyecci´on es e eog ´a ica y
un i´angulo con los mismos ´e ices en la p oyecci´on gn´omica en cu a-
u a nega i a. La ci cun e encia ep esen a la ci cun e encia de in ini o del
modelo de Poinca ´e.
Un ejemplo d ´as ico de es o se e en la Figu a 2. Si us´asemos p oyecci´on es e eog ´a ica,
el i´angulo del mesh (en neg o) poco con enido end ´ıa en com´un con el eal (en azul).
Con la p oyecci´on gn´omica, cada i´angulo con iene exac amen e los pun os que debe ´ıa
con ene (si bien posiblemen e de o mados den o del p opio i´angulo).
A cambio, la p oyecci´on gn´omica de o ma m´as los pun os lejanos al cen o, pe mi iendo
que “quepa menos in o maci´on” en una ex u a. G acias al hecho de que se pueden uni
a ios pa ches, es o no es un g a e p oblema.
5. El mo imien o
Se ha p esen ado en la Secci´on 2.5 la ´o mula expl´ıci a de la ayec o ia geod´esica.
Como la posici´on de un obje o incluye una base del espacio angen e, pa a mo e lo hace
al a ambi´en anspo a pa alelamen e su base del espacio angen e a lo la go de la
geod´esica.
Una implemen aci´on di ec a de es o, usando el p oduc o ec o ial pa a simpli ica el
anspo e pa alelo, al y como se desc ibe en la Secci´on 2.6, p oduc´ıa e o es num´e icos
conside ables, causando que los obje os se “sal´ıan” de la supe icie. Po eso, c eamos una
unci´on k:M3×3(R)→ M3×3(R) que, dada una base de posici´on con alg´un e o , la
ajus aba de uel a a la supe icie, es deci , k(A) Bk k(A) = Bk.
Es e m´e odo es b´asicamen e el de G am-Smich pa a la o ogonalizaci´on de una base,
pe o aplicado con nues o p oduc o escala . Adem´as, lo hacemos ajus ando p ime o la
27
e ce a columna (la posici´on), luego la p ime a y po ´ul imo la segunda. Es o es as´ı po que
conside amos m´as impo an e la p ecisi´on en la posici´on que la del espacio angen e.
Es a unci´on inspi a adem´as una ap oximaci´on muy simple y e icien e al mo imien o:
conside amos la posici´on inicial A∈ M3×3(R), en la supe icie (Es deci , A BkA=Bk).
Si p e endemos mo e lo a lo la go del ec o ∈TA3una dis ancia h, su icien emen e
peque˜na, conside amos la nue a ma iz k(a1, a2, a3+hh , a1ia1+hh , a2ia2). Pa a h
su icien emen e peque˜no, es a posici´on de des ino es ´a sob e la misma geod´esica que la
eal (ambas pe enencen al mismo hipe plano y a Ωk).
¿C´omo de buena es es a ap oximaci´on? Fij´emonos p ime o en la e ce a columna, la
posici´on. Como ya iene siendo habi ual, podemos conside a que la posici´on inicial es
(0,0,1) y la di ecci´on inicial es (1,0,0), po que exis e una isome ´ıa que las lle a a esos
alo es.
En onces, la posici´on eal debe ´ıa se (Sk(h),0, Ck(h)) y la que ob enemos con la
ap oximaci´on es (h,0,1)
k(h,0,1)k∗
k=(h,0,1)
√kh2+1. N´o ese que hay que impone kh2+ 1 >0, que se
cumple pa a hsu icien emen e peque˜no. La dis ancia en e ambas posiciones es:
dis g(Sk(h),0, Ck(h)),(h, 0,1)
√kh2+ 1=ACkhkSk(h) + Ck(h)
√kh2+ 1 .
Es a exp esi´on ecue da a la del coseno especial de una suma. Conside ando γ, un
n´ume o eal al que Ck(γ)=1/√kh2+ 1, Sk(γ) = −h/√kh2+ 1, enemos que
dis g(Sk(h),0, Ck(h)),(h, 0,1)
√kh2+ 1=. . .
=ACk(Ck(h)Ck(γ)−kSk(h)Sk(γ)) = ACk(Ck(h+γ)).
Aho a bien, γ=−ACk(1/√kh2+ 1), po que nos in e esa la soluci´on con seno nega i o
( eco demos que Sk(γ) = −h/√kh2+ 1). En onces:
dis g(Sk(h),0, Ck(h)),(h, 0,1)
√kh2+ 1=h−ACk(1/√kh2+ 1).
Desa ollando esa exp esi´on en se ie de McLau in has a g ado 3:
dis g(Sk(h),0, Ck(h)),(h, 0,1)
√kh2+ 1=h−h+R(h) = R(h),
28
con el es o de Lag ange
R(h) = 1
6

−15ξ3k5
2
(ξ2k+ 1)7
2q−1
ξ2k+1 + 1 −10ξ3k5
2
(ξ2k+ 1)9
2−1
ξ2k+1 + 13
2
+9ξk3
2
(ξ2k+ 1)5
2q−1
ξ2k+1 + 1 −3ξ3k5
2
(ξ2k+ 1)11
2−1
ξ2k+1 + 15
2
+3ξk3
2
(ξ2k+ 1)7
2−1
ξ2k+1 + 13
2

h3,
pa a alg´un ξ∈(0, h). En onces la e ce a columna de la ap oximaci´on es de o den 3.
Pe o queda e c´omo se modi ica el espacio angen e.
Conside amos la isome ´ıa que lle a la e ce a columna de Aal ec o (0,0,1) y al
ec o al (1,0,0). T as es a isome ´ıa, Ase ´ıa:
A=

1− 20
2 10
0 0 1
,
siendo ( 1, 2) las coo denadas de en la base del espacio angen e de A. Si la ma iz inal
es B, con columnas (b1, b2, b3) en onces, como ya hemos is o, b3=(h,0,1)
√kh2+1, y:
b1=a1−ha1, b3i∗
kb3
ka1−ha1, b3i∗
kb3kk
=··· =( 1,− 2(kh2+ 1),−kh 1)
p(1 + kh2)( 2
2kh2+ 1) .
Po o a pa e, calculamos el alo de b1que p ese a el ´angulo con espec o a la
geod´esica, sabiendo que el ec o angen e a la misma en el pun o b3=(h,0,1)
√kh2+1 es (1,0,−kh)
√kh2+1 :
b∗
1=( 1,− 2,−kh 1)
√1 + kh2.
Podemos medi el ´angulo en e el ec o eal y el espe ado:
hb1, b∗
1ik= 2
1+ 2
2(kh2+ 1) + kh2 2
1
√1 + kh2p(1 + kh2)( 2
2kh2+ 1) =1
p 2
2kh2+ 1.
En onces, el omando el a co coseno y aplicando o o desa ollo en se ie de Taylo :
a c cos(hb1, b∗
1ik) = a c cos 1
p 2
2kh2+ 1!=h√k 2−1
3h3k3
2 3
2+O(h5).
Es deci , se ha gi ado la ap oximaci´on una can idad de o den lineal. Pe o cuando
2= 0, es el alo exac o. Es e es el mo i o po el cual los p oyec iles y obje os de
mo imien o ec il´ıneo uni o me se han modelizado con elocidad en su eje x. Pues o que
es amos haciendo un ideojuego, es a ap oximaci´on es bas an e acep able.
29
6. Dis ancias y colisiones
Pa a pode implemen a un mo o ´ısico b´asico, enemos que dispone de ´o mulas que
nos pe mi an sabe si la dos obje os colisionan. Noso os implemen amos es a de ecci´on
bas´andonos en ´o mulas pa a dis ancia.
Los obje os de Azimu h ienen una hi box que ep esen a la zona que ´es os ocupan.
La mane a m´as sencilla de ep esen a lo es conside a como hi box una es e a de un cie o
adio al ededo de la posici´on del obje o, y de ec a las colisiones comp obando que la
dis ancia sea meno que la suma de los adios.
Es a idea unciona bien pa a el pe sonaje, enemigos, balas o palancas, es deci , obje os
que ocupan un ama˜no “peque˜no”. Adem´as, p esen a la en aja de que se gene aliza muy
´acilmen e a cualquie cu a u a.
U iliza o o ipo de hi box p esen a p oblemas a la ho a de mo e el obje o en e
dis in os pa ches o mo e el obje o a lo la go del mismo pa che (no odos los pun os del
obje o se mue en a lo la go del mismo ec o en una isome ´ıa). Adem´as, pa a de ec a
las colisiones, el mo imien o ela i o de dos obje os que siguen un mo imien o ec il´ıneo
y uni o me no es ec il´ıneo y uni o me.
El p oblema es que una hi box en o ma de es e a no modeliza bien el compo amien o
espe ado de una pa ed. Po eso, las pa edes ienen po hi box un segmen o, y se impone
sob e ellas la condici´on de que no se mue an.
En esumen, necesi amos ´o mulas pa a calcula dis ancia en e dos pun os en un
mismo pa che (la cual se ha desa ollado en el cap´ı ulo an e io ) y en e un pun o y un
segmen o.
La dis ancia pun o-segmen o es un p oblema edioso incluso en el espacio euclidiano
usual. No malmen e se esuel e de es a o ma:
Si el pie de la pe pendicula del pun o al segmen o es ´a en e los ex emos del seg-
men o, esa es la dis ancia m´ınima.
Si no, se oma la dis ancia m´ınima del pun o a los ex emos.
Es o no unciona del odo bien en nues o caso po que en la es e a no hay un concep o
de “es a en e” simila al euclidiano. De hecho la geome ´ıa es ´e ica no cumple la axio-
ma izaci´on de Hilbe pa a la geome ´ıa neu al, y se sus i uye el “es a en e” po unos
axiomas especiales de o den.
Noso os cons uimos, dado el segmen o AB, las ec as ,sque pasan espec i amen e
po AyBy son pe pendicula es a AB. Es as ec as se cons uyen con la base que p oduce
el p oduc o ec o ial. Seg´un a que lado de es as ec as es ´en, se a a el pun o de mane a
dis in a:
1. Si Pes ´a del mismo lado de que By del mismo lado de sque A, el pun o m´as
ce cano es el pie de la pe pendicula .
2. Si Pes ´a del mismo lado de que By del o o lado de sque A, el pun o m´as ce cano
es B
30

3. Si Pes ´a del o o lado de que By del mismo lado de sque A, el pun o m´as ce cano
es A
4. Si Pes ´a del o o lado de que By del o o lado de sque A, el pun o m´as ce cano
es el m´as ce cano en e AyB.
El cua o caso es el que no es amos acos umb ados en geome ´ıa neu al (hipe b´olica
o euclidiana), pe o que puede da se en la es e a.
Queda acla a como calculamos la dis ancia del pun o a la ec a en el p ime caso.
Sea Qel pun o m´as ce cano de Pa la ec a AB. En onces PQ es pe pendicula a AB
(Elemen os de Euclides, lib o I p oposici´on 18, un esul ado aplicable a geome ´ıa neu al
po que no u iliza el quin o pos ulado).
Como PQ es pe pendicula a AB, el ec o =A×kB
kA×kBkkes ´a en el mismo hipe plano
que PQ. Como es pe pendicula a Q(ya que es pe pendicula a AyB, y Qes una com-
binaci´on lineal de ambos), en onces podemos esc ibi Pcomo un cie o pun o a dis ancia
dde Q, en la geod´esica que empieza en Qy sigue la di ecci´on :
P=Ck(d)Q+Sk(d) .
Y ya no hay ninguna necesidad de calcula expl´ıci amen e Qpa a encon a la dis ancia
de PaQ. Vale calcula ASk(hP, ik) = d, donde ASkes el a coseno especial.
31
Cap´ı ulo 4
Conclusiones y abajo u u o
En mi opini´on, lo m´as in e esan e de mi pa e del abajo ha sido ene que c ea
un modelo ma em´a ico p eciso y a la ez compu acionalmen e e icien e. Ha sido posible
g acias a las p opiedades de las isome ´ıas del modelo inal.
Tambi´en c eo que ha sido muy impo an e da le un plan eamien o geom´e ico ade-
cuado. Los p ime os modelos ma em´a icos es aban basados en la esoluci´on expl´ıci a de
ecuaciones di e enciales sob e la pa ame izaci´on plana de la supe icie, y e an muy cos-
osos de implemen a . Una idea de es a ap oximaci´on se da en el Anexo 1.
Hab ´ıa sido in e esan e pode implemen a (ma em´a icamen e) m´as uncionalidades.
Po ejemplo, la posibilidad de de o ma el mapa localmen e, es deci , da le al jugado
la capacidad de cambia la cu a u a de un agmen o del mapa. Se hizo un desa ollo
e´o ico de es o basado en ecuaciones di e enciales, pe o que no es ´acil de compa ibiliza
con el modelo que p esen amos en es e abajo.
Tambi´en pod ´ıamos hace una ´ısica algo m´as elabo ada, en conc e o da una noci´on de
g a edad, pa a hace un juego 2D e ical. Es o es bas an e su il, ya que en el espacio no
euclidiano no hay un campo ec o ial que co e a cada geod´esica con ´angulo cons an e. Po
an o, dependiendo de c´omo se modelize, las pla a o mas pod ´ıan ene “cues as” seg´un
el pun o donde es ´e el pe sonaje, aunque sean ec as. Adem´as la ecuaci´on del mo imien o
debe ´ıa adap a se pa a admi i mo imien os con acele aci´on. No es mucho m´as di ´ıcil
usando la ap oximaci´on del mo imien o sob e el espacio angen e.
Las supe icies en las que hemos abajado e an siemp e o ien ables. Los mapas no
o ien ables p esen an peculia idades cu iosas. Uni y (Y OpenGL) pone las ex u as s´olo a
un lado del mesh (pa a aho a i´angulos), as´ı que hab ´ıa que hace un con ol expl´ıci o
de la o ien aci´on de cada mesh. Es ma em´a icamen e sencillo, pe o edioso de p og ama .
O a uncionalidad que se ´ıa in e esan e de e mina es la de las cos u as en e pa ches
de dis in a cu a u a. El p incipal p oblema pa a desa olla la ha sido que los shade s de
CG no pe mi en pasa a gumen os ec o iales, lo que limi a los algo i mos e icien es que
se pueden ealiza . Aun as´ı, hay algunas mane as de consegui lo, pas´andole el a gumen-
o como si ue a una ex u a y descodi ic´andola luego. El algo i mo pa a el shade de
cu a u as dis in as se da en el Anexo 3.
En esumen, c eo que un mo o no euclidiano puede da in e ´es a un ideojuego,
complemen ado con mec´anicas adecuadas (Como en An ichambe , e la in oducci´on).
Po o a pa e, desde un pun o de is a ´ecnico es bas an e complejo, ya que no se pa-
ece en mucho a la es uc u a de un juego com´un, y buena pa e de las uncionalidades
p opo cionadas po cualquie mo o de juegos no si en de mucho y han enido que se
cuidadosamen e implemen adas po mis compa˜ne os Alejand o Agui e y Pablo Cabeza.
32
Anexos
Anexo 1: Sob e la esoluci´on expl´ıci a de las ecuaciones de las geod´esicas
Con odo lo an e io , se han esuel o las ecuaciones di e enciales de las geod´esicas. En
e ec o, las geod´esicas son las cu as α=P0Ck+P0
0Sk, luego
(u=1
1−z0Ck−z0
0Sk(x0Ck+x0
0Sk),
=1
1−z0Ck−z0
0Sk(y0Ck+y0
0Sk),
y unos c´alculos u ina ios nos pe mi i ´ıan esc ibi expl´ıci amen e las condiciones iniciales
(u0, 0) y (u0
0, 0
0). En es a secci´on esboza emos una mane a en que se pod ´ıa a a de
esol e las ecuaciones, sin u iliza ninguna in e p e aci´on geom´e ica de su signi icado.
Las ecuaciones di e enciales a esol e , esc i as de o ma expl´ıci a, son:
(1) (Du00 −4ku0(uu0+ 0)+2ku(u02+ 2) = 0,
D 00 −4k 0(uu0+ 0)+2ku(u02+ 02) = 0,
donde, como se ha dicho an e io men e, D=k(u2+ 2) + 1. El sis ema pa ece indica un
cambio a coo denadas pola es:
(u=Rcos θ,
=Rsen θ, (u0=R0cos θ−Rθ0sen θ,
0=R0sen θ+Rθ0cos θ, (u00 =Acos θ−Bsen θ,
00 =Bsen θ+Acos θ,
donde A=R00 −Rθ02, B =θ00 + 2R0θ0; adem´as, D=kR2+ 1. Sus i uyendo en las
ecuaciones iniciales, ob enemos
((DA −4kRR02+1
2kD2R) cos θ−(DB −4kR2R0θ0) sen θ= 0,
(DA −4kRR02+1
2kD2R) sen θ+ (DB −4kR2R0θ0) cos θ= 0,
sis ema que hemos esc i o de es a mane a pa a ap ecia mejo que pensando en los pa ´en e-
sis como inc´ogni as, iene de e minan e 1, luego iene s´olo la soluci´on i ial, con lo que
(2) (DA −4kRR02+1
2kD2R= 0,
DB −4kR2R0θ0= 0.
En la segunda ecuaci´on de es e sis ema sus i uimos Bpo su alo y ope amos pa a
ob ene : θ00
θ0=4kRR0
kR2+ 1 −2R0
R.
Aqu´ı podemos in eg a , y esul a
log(θ0) = 2 log(kR2+ 1) −2 log R+c,
33
luego
θ0=c
R2(kR2+ 1)2,
pa a cie a cons an e cque depende ´a de las condiciones iniciales. Pasemos a R. P ime o
sus i uimos el an e io alo de θ0en A:
A=R00 −(kR2+ 1)4
R3.
A con inuaci´on se eemplaza Apo es e alo y Bpo el suyo en la p ime a ecuaci´on de
(2) y esul a:
(1
2kR −c(kR2+ 1)2)(kR2+ 1)2−4kRR02+ (kR2+ 1)R3R00 = 0,
que no me ece la pena manipula m´as. De es a mane a enemos una ecuaci´on di e encial
polinomial en una ´unica unci´on Rde una a iable, que no iene soluci´on elemen al e i-
den e. En odo caso se e qu´e incon enien es iene abo da el sis ema (1) sin ninguna idea
geom´e ica.
Anexo 2: Inme si´on isom´e ica local de los modelos hipe b´olicos
Los modelos Ωkque hemos desc i o son supe icies di e enciables sume gidas en R3,
pe o no son en p incipio supe icies euclidianas [5,3]. En e ec o, sal o Ω1y Ω0, la m´e ica
iemanniana con que Ωkes ´a equipada no es la euclidiano. En el caso k > 0 es o puede
emedia se ´acilmen e, pues el di eomo ismo h(x, y, z) = (x, y, √kz) ans o ma Ωken el
elipsoide kx2+ky2+1
kz2= 1 y la m´e ica de Ωken la m´e ica euclidiano:


1 0 0
0 1 0
0 0 √k



1 0 0
0 1 0
0 0 1/k



1 0 0
0 1 0
0 0 √k

=

100
010
001

.
Es o es posible po que la o ma bilineal h,ikes en es e caso de inida posi i a, pe o no
ocu e lo mismo pa a k < 0. De hecho, en ese caso Ωkno puede sume gi se como a iedad
euclidiano en R3. Se a a de un esul ado impo an e de Hilbe seg´un el cual R3no con-
iene ninguna sub a iedad euclidiano ce ada (comple a) de cu a u a cons an e nega i a.
As´ı pues, pa a los modelos hipe b´olicos Ωk,k < 0, la cues i´on es de na u aleza local, y
amos a explica aqu´ı po qu´e la espues a es a i ma i a: la supe icie iemanniana Ωk,
k < 0, es localmen e isom´e ica a una supe icie euclidiana S⊂R3.
En p ime luga , si Ωkpuede sume gi se en R3, en onces debe ene una segunda o ma
undamen al, cuyos coe icien es podemos conje u a imi ando la idea de las geod´esicas:
deben pode calcula se usando la o ma ambien e h,ik. Ya ad e imos en la secci´on 4 que
los Lij del sis ema (1) de aquella secci´on e an unos candida os excelen es pa a coe icien es
e, , g de segunda o ma. Po ello omamos simplemen e
e=hϕuu, ϕik=−4
D2, =hϕu , ϕik= 0, g =hϕ , ϕik=−4
D2,
y buscamos una pa ame izaci´on ψde una supe icie euclidiana S⊂R3cuya p ime a
o ma undamen al enga los coe icien es E=G= 4/D2, F = 0 de Ωky su segunda enga
coe icien es e=g=−4/D2, = 0. Pe o es o es p ecisamen e lo que decide el eo ema
34