UNIVERSIDAD DE ALCALÁ
ESCUELA POLITÉCTICA SUPERIOR
TESIS DOCTORAL
Búsqueda de es uc u as de egulado es en sis emas de
con ol disc e o que minimicen los e ec os debidos a la u ilización
de a i mé ica de p ecisión ini a
Au o : Jesús F. Sánchez Golmayo
Di ec o : D . D. F ancisco López Fe e as
Cu so: 2006-2007
Índice gene al
I
ÍNDICE GENERAL
ÍNDICE GENERAL I
ÍNDICE DE FIGURAS V
ÍNDICE DE TABLAS XI
RESUMEN XIII
SUMMARY XV
CAPÍTULO 1 1
INTRODUCCIÓN 1
1.1.- In oducción 1
1.2.- Obje i os de la in es igación y me odología 3
1.3.- Es uc u a de la memo ia 6
CAPÍTULO 2 7
REVISIÓN HISTÓRICA Y CONTEXTO 7
2.1.- In oducción 7
2.2.- E olución de la ecnología y de la eo ía de sis emas disc e os de con ol 7
2.3.- Re isión de los conocimien os 10
2.4.- Re isión de las écnicas de diseño de sis emas de con ol en iempo disc e o 18
2.4.1.- Diseño clásico 19
2.4.1.1.- Diseño con inuo 19
2.4.1.2.- Diseño disc e o 21
2.4.1.3.- Sín esis di ec a 22
2.4.2.- Diseño en el espacio de es ados 22
2.4.2.1.- Desc ipción in e na de sis emas lineales con inuos mues eados 23
II
Índice gene al
2.4.2.2.- Diseño po ealimen ación de los es ados y obse ado es 24
2.4.2.3.- Con ol lineal óp imo cuad á ico 28
2.4.2.4.- Con ol lineal óp imo cuad á ico gaussiano (LQG) 30
2.5.- Es uc u as de egulado es digi ales 33
2.5.1.- Es uc u as di ec as 34
2.5.1.1.- Es uc u a di ec a 1D 35
2.5.1.2.- Es uc u a di ec a 2D 36
2.5.1.3.- Es uc u a di ec a 3D 36
2.5.1.4.- Es uc u a di ec a 4D 37
2.5.2.- Módulos de segundo o den 38
2.5.3.- Realización de egulado es PID 40
2.5.4.- Realización en cascada 42
2.5.5.- Realización en pa alelo 42
2.5.6.- Realización en escale a 43
2.5.7.- O as implemen aciones 45
2.6.- Escalado en pun o ijo de egulado es digi ales 46
2.6.1.- Escalado lp 46
2.6.2.- Escalado l
1
47
2.6.3.- Escalado en lazo ce ado 49
2.6.4.- Escalado l
2
51
2.6.5.- Escalado con escalón uni a io 52
CAPÍTULO 3 53
EFECTOS FWL 53
3.1.- In oducción 53
3.2.- Sis emas de nume ación en pun o ijo 53
3.2.1.- Sis ema de nume ación en módulo y signo 54
3.2.1.1.- Cuan i icación po uncación 54
3.2.1.2.- Cuan i icación po edondeo 56
3.2.1.3.- Cuan i icación LSB-1 56
3.2.2.- Sis ema de nume ación en complemen o a dos 58
3.2.2.1.- Cuan i icación po uncación 58
3.2.2.2.- Cuan i icación po edondeo 60
3.2.2.3.- Cuan i icación LSB-1 61
3.3.- Cuan i icación de los coe icien es del egulado 62
Índice gene al
III
3.4.- Cuan i icación de las señales 65
3.4.1.- E o de cuan i icación en la con e sión A/D 66
3.4.2.- E o es de cuan i icación en las a iables in e nas y en la salida del egulado 68
3.5.- Ciclos lími e debidos a la u ilización de la a i mé ica de p ecisión ini a
en sis emas de con ol en iempo disc e o 74
3.6.- Oscilaciones de O e low 78
3.7.- Minimización de oscilaciones de ciclos lími e y de oscilaciones de o e low 79
3.6.- De ección de ciclos lími e en il os digi ales 83
3.6.1.- Co as de ampli ud de los ciclos lími e en il os digi ales 84
3.6.2.- De e minación de la co a máxima del pe iodo de los ciclos lími e 89
3.6.3.- Conside aciones en sis emas disc e os de con ol 90
CAPÍTULO 4 93
REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS DISCRETOS MEDIANTE MATRICES EFG,
ENTORNO DE SIMULACIÓN Y ALGORITMO DE BÚSQUEDA EXHAUSTIVA 93
4.1.- In oducción 93
4.2.- Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG 93
4.2.1.- Ob ención di ec a de las ma ices EFG 97
4.2.2.- Función de ans e encia y ep esen ación EFG 98
4.2.3.- Conside aciones sob e la desc ipción EFG 99
4.2.4.- Aplicación a un sis ema disc e o de con ol 100
4.3.- O as ep esen aciones 102
4.4.- En o no de simulación 104
4.5.- De ección de ciclos lími e en sis emas disc e os de con ol 108
4.5.1.- Fundamen os eó icos 108
4.5.2.- Algo i mo de búsqueda exhaus i a 112
4.5.3.- De ección de ciclos lími e 115
CAPÍTULO 5 131
DESARROLLO DE LA INVESTIGACIÓN Y RESULTADOS 131
5.1.- In oducción 131

IV
Índice gene al
5.2.- Ca ac e ís icas del sis ema de con ol 131
5.3.- Análisis del e ec o de la cuan i icación de los coe icien es del egulado 133
5.3.1.- Análisis de cada es uc u a con dis in os ipos de cuan i icación
a iando el núme o de bi s 133
5.3.2.- Análisis compa a i o en e es uc u as 139
5.4.- Análisis de los ciclos lími e debidos a cuan i icación 144
5.4.1.- Resul ados de búsqueda po es uc u as cuan i icando con 6 bi s 146
5.4.2.- Resul ados compa a i os en e es uc u as cuan i icando con 6 bi s 152
5.4.3.- Resul ados de búsqueda cuan i icando con 8 bi s 154
5.4.2.- Resul ados compa a i os en e es uc u as cuan i icando con 8 bi s 158
CAPÍTULO 6 161
CONCLUSIONES 161
6.1.- In oducción 161
6.2.- Conclusiones gene ales 161
6.2.1.- Conclusiones sob e el e ec o de la cuan i icación de los coe icien es
del egulado del sis ema de con ol digi al 162
6.2.2.- E ec o de los ciclos lími e en unción del ipo de cuan i icación 163
6.3.- Apo aciones o iginales de la esis doc o al 164
6.4.- Fu u as líneas de in es igación 164
Glosa io de ab e ia u as y símbolos 167
Re e encias Bibliog á icas 171
Índice gene al
V
ÍNDICE DE FIGURAS
Figu a 1.1: Esquema de diseño e implemen ación 4
Figu a 2.1: Diag amas de bloques de sis emas de con ol con inuo y disc e os 8
Figu a 2.2: Diag ama de bloques de un si sis ema de con ol con inuo 19
Figu a 2.3: Diag ama de bloque de un sis ema de con ol mues eado 19
Figu a 2.4: Diag ama de bloque de un sis ema de con ol disc e o 21
Figu a 2.5: Diag ama de bloque de un sis ema de con ol en a iables de es ado 22
Figu a 2.6: Diseño po ealimen ación de los es ados 24
Figu a 2.7: Diag ama de un sis ema con en ada de e e encia 25
Figu a 2.8: Sis ema de con ol po ealimen ación de los es ados
con obse ado - p edic o 26
Figu a 2.9: Implemen ación digi al de obse ado -p edic o 27
Figu a 2.10: Diag ama de bloque de un sis ema de con ol óp imo 29
Figu a 2.11: Diag ama de bloque de un LQG ac ual 32
Figu a 2.12: Diag ama de bloque de un sis ema de con ol LQG p edic o 33
Figu a 2.13: Diag amas de lujo de las es uc u as 1D y 2D 36
Figu a 2.14: Diag amas de lujo de las es uc u as 3D y 4D 37
Figu a 2.15: Diag amas de lujo de módulos de segundo o den 38
Figu a 2.16: Diag ama de lujos de la es uc u a 1X 40
Figu a 2.17: Diag ama de lujos de la es uc u a 2X 40
Figu a 2.18: Diag ama de lujos de un egulado PID 41
Figu a 2.19: Descomposición en cascada 42
Figu a 2.20: Realización en pa alelo 43
Figu a 2.21: Realizaciones en escale a 44
Figu a 2.22: Escalado en lazo abie o 47
Figu a 2.23: Sis ema de con ol en lazo ce ado 49
VI
Índice gene al
Figu a 2.24: Escalado de un sis ema de con ol en lazo ce ado 50
Figu a 3.1: Ca ac e ís icas de la a i mé ica en módulo y signo 55
Figu a 3.2: Ca ac e ís icas de la a i mé ica en complemen o a dos 59
Figu a 3.3: Diag ama de bloques de un sis ema de con ol mues eado 63
Figu a 3.4: Con e so A/D 67
Figu a 3.5: Modelo equi alen e del con e so A/D 67
Figu a 3.6: Modelo de con e so y egulado 67
Figu a 3.7: Modelo del p oduc o 69
Figu a 3.8: Modelo del egulado 69
Figu a 3.9: Modelo gene al 72
Figu a 3.10: Cuan i icación en il o de p ime o den 75
Figu a 3.11: Fil o de segundo o den 78
Figu a 3.12: Ca ac e ís ica de sa u ación 79
Figu a 3.13: Esquema de eliminación de ciclos lími e 80
Figu a 4.1: Sis ema disc e o 93
Figu a 4.2: Es uc u a 1D con nume ación de nodos 96
Figu a 4.3: Sis ema disc e o de con ol equi alen e 100
Figu a 4.4: Diag ama de lujos del sis ema de con ol 100
Figu a 4.5: Ven ana p incipal del p og ama 104
Figu a 4.6: Ven ana de simulación de sis emas 105
Figu a 4.7: Ven ana de isualización y ob ención de la espues a empo al 106
Figu a 4.8: Ven ana de búsqueda de ciclos lími e 107
Figu a 4.9: Ven ana de selección del algo i mo de búsqueda 108
Figu a 4.10: Sis ema de con ol digi al 108
Figu a 4.11: Sis ema de egulación 109
Figu a 4.12: Diag ama de lujo del algo i mo de búsqueda exhaus i a. 114
Índice gene al
VII
Figu a 4.13: Repues a an e en ada pulso del sis ema de la igu a 4.3
cuan i icando con 6 bi s, TC2 y sa u ación. 116
Figu a 4.14: P oceso de de ección de un ciclo lími e de pe iodo T = 5
en un sis ema de con ol digi al median e la ac ualización de V es . 117
Figu a 4.15: Ciclo lími e con ansi o io y pe iodo pequeño. 118
Figu a 4.16: Ciclo lími e con ansi o io g ande y pe iodo pequeño. 119
Figu a 4.17: Ciclo lími e con ansi o io g ande y pe iodo pequeño. 119
Figu a 4.18: Repues a al pulso de alo 0.35 del sis ema cuan i icando
el egulado con la es uc u a 1Desc TC2 y 6 bi s 120
Figu a 4.19: Plano de ases de las a iables de es ado sin cuan i ica del sis ema
cuan i icando el egulado con la es uc u a 1Desc, TC2 y 6 bi s 120
Figu a 4.20: Ciclo lími e con ansi o io pequeño y pe iodo g ande. 120
Figu a 4.21: Ciclo lími e con ansi o io y pe iodo g andes. 121
Figu a 4.22: Respues a an e una en ada pulso del sis ema de con ol ideal
y cuan i icando coe icien es y ope aciones en el egulado con 6 bi s, TC2 y sa u ación 121
Figu a 4.23: Comp obación de ciclo limi e de ec ado 124
Figu a 4.24: Diag ama de lujo del algo i mo de de ección de búsqueda exhaus i a 125
Figu a 5.1: Sis ema de con ol 131
Figu a 5.2: Equi alen e disc e o 132
Figu a 5.3: Mapa de ce os y polos del sis ema de con ol en lazo ce ado 132
Figu a 5.4: Respues a ideal al escalón 133
Figu a 5.5: Respues a ideal a la ampa 133
Figu a 5.6: Diag ama de lujo del sis ema de con ol 134
Figu a 5.7: Respues a al escalón uni a io del sis ema con implemen ación
di ec a TC2, RED y TMS – 5 bi s en e a la espues a ideal 135
Figu a 5.8: Respues a al escalón uni a io del sis ema con implemen ación
di ec a, TC2, RED y TMS – 8 bi s en e a la espues a ideal 135
Figu a 5.9: Respues a al escalón uni a io del sis ema con implemen ación
di ec a, TC2 con RED y TMS – 16 bi s en e a la espues a ideal 135
Figu a 5.10: Respues a al escalón uni a io del sis ema con implemen ación
1D, TC2, RED y TMS – 5 bi s en e a la espues a ideal 136

Índice gene al
XV
SUMMARY
Con ol algo i hms (digi al con olle s) a e dynamic disc e e sys ems. Those sys ems
a e ob ained designing disc e e con ol sys em. So, i is necessa y an implemen a ion using
so wa e and/o digi al ha dwa e. The digi al implemen a ion o ces he a iables and il e
coe icien s o belong o a disc e e se o alues gi en by he leng h o he digi al egis e
( ini e p ecision). Two-Complemen Fixed-Poin A i hme ic is he mos used o he
implemen a ion o digi al con olle s because he mic ocon olle s and mic op ocesso s using
such a i hme ic a e cheap and as . Using ini e p ecision a i hme ic in a con olle
implemen a ion gi es a non-linea con ol sys em al hough he ini ial speci ica ion was linea .
This implemen a ion causes new p oblems and he FWL ( ini e wo d leng h) e ec s. The
analy ic s udy o hose e ec s is e y di icul . I his e ec s a e no aken in o accoun , he
sys em can no ul ill he ini ial speci ica ions.
The e ec s o ini e wo d leng h (A/D con e sion, coe icien quan iza ion, limi
cycles and quan iza ion noise) has been s udied nume ous esea che s in signal p ocessing and
in disc e e con ol sys ems. In his hesis, esea ch has been de eloped in he design o
disc e e- ime con ol sys em whe e he con olle a e implemen ed by a mic ocon olle o a
compu e o he p ocessing. In o de o minimize he ini e leng h a i hme ic e ec s se e al
implemen a ions ha e been de eloped in he las yea s. Implemen a ion o he ans e
unc ion can be pe o m using a gi en s uc u ed o can be di ided in i s and second o de
modules.
The con olle quan iza ion o coe icien s and he analysis o he limi cycles
p oduced by he ini e leng h a i hme ic in he closed loop con ol sys ems a e he gene al
objec i es in his esea ch. This hesis in oduce a new way o ep esen he disc e e sys em
e y app op ia ed o ini e leng h e ec s udy. This ep esen a ion has been used o de elop
he simula ion wo kbench and he algo i hm o look o limi cycles in he disc e e con ol
sys ems.
As an example o show he p ocedu e, a well-known digi al con ol sys em has been
designed. Al e he design, he beha iou o he sys em has been analyzed wi h di e en
s uc u es o implemen he ideal con olle , whe e he coe icien s ( he closed loop sys em a e
modi ied) and he coe icien s and ope a ions (limi cycles can appea ) a e quan ized. The
goal is o ob ain a s uc u e wi h minimum modi ica ion o he ideal sys em and wi h
minimum e ec s om he limi cycles o e he sys em esponse.
Capí ulo 1: In oducción
1
CAPÍTULO 1
In oducción
1.1.- In oducción
Finalizado el p oceso de cálculo y diseño de un egulado digi al llega el momen o de su
implemen ación median e so wa e y/o ha dwa e digi al. La implemen ación de es os
egulado es en ha dwa e y/o so wa e implica que el alo de las a iables y de los
coe icien es del il o digi al esul an e es én es ingidos a un conjun o ini o de alo es
disc e os limi ado po la longi ud de los egis os (p ecisión ini a). Se han desc i o a ios
ipos de sis emas de nume ación y a i mé icas pa a la implemen ación de il os digi ales:
a i mé ica en pun o ijo, a i mé ica en pun o lo an e, a i mé icas dis ibuidas, loga í mica,
códigos digi ales sellados, sis emas de núme os esiduales, núme os de Fibonacci,
ans o maciones de Fe ma , e c. Es la a i mé ica en pun o ijo en complemen o a dos la más
u ilizada en la implemen ación de egulado es digi ales. Los mic ocon olado es que ope an
con es a a i mé ica son ba a os y ápidos. La u ilización de la a i mé ica de p ecisión ini a en
la implemen ación de egulado es con ie e un sis ema de con ol que en p incipio es lineal en
uno que es no lineal p o ocando la apa ición de nue os p oblemas y e ec os FWL ( ini e wo d
leng h) de muy di ícil es udio analí ico, que pueden da luga , si no se ienen en cuen a, a que
el sis ema no uncione según las especi icaciones p e is as.
Los algo i mos de con ol digi al se suelen ealiza median e mic ocompu ado es y
mic op ocesado es, cuyos egis os in e nos ienen longi udes de palab a de 8, 16 ó 32 bi s.
En es a implemen ación apa ecen e o es cuyas causas más impo an es son la p oducida po
el e ec o de la cuan i icación de los coe icien es de la unción de ans e encia del egulado y
la debida a los e o es de edondeo o uncado de las ope aciones in e nas pa a su
almacenamien o en egis os de longi ud de palab a ini a. En los sis emas de con ol en
iempo disc e o se dis inguen es ipos de uen es de e o :
• Con e sión A/D y almacenamien o.
• T uncados y edondeos en ope aciones a i mé icas en el egulado .
• Cuan i icación de los coe icien es de las ecuaciones en di e encias del egulado .
En las ope aciones a i mé icas y en la con e sión A/D se pueden p oduci
desbo damien os (o e low) en los egis os que se pueden e i a con un con enien e
escalado. Los e ec os debidos al edondeo y de la cuan i icación dependen del sis ema de
ealimen ación y de los de alles del algo i mo de con ol. Se puede in lui de mane a
conside able sob e es os e ec os cambiando la ley de con ol o los de alles del algo i mo. En
é minos gene ales los e ec os del edondeo y/o uncado dan luga a e o es pequeños,
mien as que los e ec os de los desbo damien os pueden se desas osos. Tan o unos como
2
Capí ulo 1: In oducción
o os pueden da luga a oscilaciones en los nodos o ciclos lími e. La cuan i icación de los
coe icien es puede p o oca ines abilidad en el sis ema de con ol, pe o en odo caso es e es
un e ec o de e minis a.
Los e ec os de la p ecisión ini a (con e sión A/D, cuan i icación de los coe icien es,
ciclos lími e y uido de cuan i icación) han sido es udiados po nume osos in es igado es en
el campo del p ocesado digi al de la señal y en el de los sis emas disc e os de con ol.
Seguidamen e se expone un epaso b e e de las p incipales apo aciones en el análisis de
es os p oblemas.
En el con ex o del il ado digi al los pione os ue on R.B. Blackman y Be am
[BER58] que es udia on el e ec o de banda mue a y el ciclo limi e asociado a ella, Jackson
[JAC69] desa olla écnicas pa a el es udio de la banda mue a y ciclos lími e en il os
digi ales de p ime y segundo o den. Ya en los años se en a, Pa ke y Hess [PAR79],
desa ollan mé odos basados en halla co as de ampli ud pa a los ciclos lími e, que llegan a
se ú iles pa a de e mina la longi ud de palab a de los egis os del il o. Mullis y Robe
[MUL76] ealizan il os digi ales con es uc u as que p oducen unos esul ados acep ables en
cuan o al uido de edondeo a la salida del il o; pa a ello u ilizan es uc u as en a iables de
es ado, ob eniendo ealizaciones que ca ecen de ciclos lími e.
En años siguien es, debido al a ance de la ecnología (aumen o de la longi ud de palab a
de los egis os, u ilización de p ocesado es en coma lo an e, e c., los es udios an en la
di ección de la búsqueda de es uc u as de implemen ación de il os que minimicen o
eliminen es os e ec os. En el caso de los ciclos lími e y de o e low las in es igaciones an
encaminadas en la di ección de busca algo i mos de de ección y ca ac e ización de ciclos
lími e cen ados únicamen e en asegu a la es abilidad global y asin ó ica del il o, como los
de Baue y Lecle c [BAU91], P ema a ne, Kulaseke e, Baue y Lec e c [PRE96], A. Al a ez
y D. Osés [ALV98], y los que p oponen la ob ención de co as de ampli ud que delimi an la
zona del espacio donde pueden de ec a se ciclos lími e como los de P. P. Vaidyna han y V.
Liu, B. D. [VAI87], G een y L . E. Tu ne [GRE88], P ema a ne, Kulaseke e, Baue y Lec e c
[PRE96], E. N. Sha ik e I. W. Sandbe g [SHA95]. Así mismo pueden encon a se o os
a ículos elacionados con la eliminación de ciclos lími e en de e minadas es uc u as o con la
ob ención de nue as es uc u as lib e de ciclos lími e como los de L. E. Tu ne [TUR83], B.
W. Boma [BOM85], T. I. Laakso, M. Lang y T. Sa amáki [LAA94], J. S. Fe nando y M. D.
E cega ac [FER97], Guo Fan Xu y T. Bose [XU97].
En la bibliog a ía examinada se ha obse ado que du an e los p ime os años la
in es igación se ha di igido hacia el es udio del uido de cuan i icación en las ope aciones,
sensibilidad de los pa áme os, es ablecimien o de co as de ciclos lími e, de ección de la
exis encia o no de ciclos lími e en di e en es es uc u as, delimi a la zona del espacio donde
se p oducen y busca es uc u as lib es de ellos, más a de se p oponen algo i mos de
búsqueda exhaus i a y pa cial y más ecien emen e se ealiza un es udio de g an núme o de
il os es ableciendo con ellos nue as co as.
En el campo de los sis emas mues eados de con ol los pione os ue on: Be am
[BER58] Slaug he [SLA64], Knowles y Edwua ds [KNO65], Jonhson [JON65] y Cu y
[CUR67] es udia on el uido de edondeo en casos pa icula es de sis emas de con ol
mues eados calculando y mejo ando co as.
Capí ulo 1: In oducción
3
En la década de los 80 las in es igaciones se cen an en los p oblemas de
implemen ación con longi ud de palab a ini a de egulado es óp imos. S ipad [SRI77] es udió
con alguna p o undidad el uido de edondeo de las ope aciones y la p ecisión ini a de los
coe icien es en las especi icaciones de uncionamien o del Fil o de Kalman Disc e o de un
LQG (con olado lineal cuad á ico gaussiano), P. Mo oney [MOR83] es udio el uido de
edondeo y escalado en la implemen ación de un LQG, Mille [MIL88] es udia la es abilidad
elacionada con la cuan i icación, D. Williamson y K. Kadiman [KAD89] op imiza on un
LQG bajo la condiciones longi ud de palab a ini a, Ke ao Liu y Robe E. Skel on [LIU92]
desc iben un algo i mo pa a su calculo y ob ienen un LQG
FW
y Ma io A. Ro ea y Da ell
Williamson [ROT95] sob e el mismo ema. Ian J. Fialho y Geo giou [FIA94), Giang Li
[LI98], S. Chen, J. Wu, R. H. Is epanian, y Whidbo ne [CHE99] es udian la o ma de ob ene
implemen aciones con p ecisión ini a óp imas desde el pun o de is a de la es abilidad y
obus ez del sis ema de con ol. Bamie [BAM03] es udia los e ec os FWL y el
compo amien o del con ol digi al con modelo en e mues as en la ecuencia de mues o.
Jinxin Hao, Gang Li y Chun u Wan [HAO06] ob ienen dos clases de es uc u as de
egulado es digi ales óp imas y obus as desde el pun o de is a FWL.
En el con ex o del con ol las in es igaciones al p incipio co ían pa alelas pe o en los
años 80 se sepa an pues o que el análisis de es os enómenos en el campo del con ol es más
complicado ya que dependen no solo del uncionamien o del p opio egulado digi al sino
ambién del pe iodo de mues eo y del sis ema a con ola (el sis ema ope a en lazo ce ado).
En los úl imos 10 años los abajos han ido encaminados a encon a es uc u as óp imas de
con olado es que minimicen los e ec os (FWL) y que asegu en la es abilidad y obus ez del
sis ema. La solución del p oblema ma emá ico oda ía es a sin esol e . Po o a pa e, no se
ha encon ado ningún abajo de in es igación elacionado con el análisis y ca ac e ización de
los ciclos lími e en egulado es implemen ados en una de e minada es uc u a, de o ma que
pueda es udia se el impac o que pudie an ene sob e un sis ema a con ola .
1.2.- Obje i os de la in es igación y me odología
La in es igación se a a desa olla en el en o no del diseño de un sis ema de con ol en
iempo disc e o implemen ado en un mic ocon olado o en un o denado de p oceso. Den o
de es e en o no de abajo, amos a ene como obje i o gene al de in es igación el análisis
del impac o de los ciclos lími e p oducidos po la a i mé ica de p ecisión ini a cuando se
implemen a un egulado digi al con un algo i mo de con ol en ha dwa e o so wa e. Una ez
de e minada la unción de ans e encia en z del egulado o sus ecuaciones en di e encias
queda la a ea de desa olla el algo i mo que lo implemen e. Con el obje o de minimiza los
e ec os da la p ecisión ini a se han desa ollado en es os úl imos años a ias al e na i as de
implemen ación. Se puede op a po implemen a di ec amen e la unción de ans e encia en
z median e una es uc u a de e minada o di idi el egulado en módulos de p ime o de
segundo o den. Algunos au o es p oponen como Phillips y Tagle [PHI90] es a segunda
al e na i a.

4
Capí ulo 1: In oducción
1
0 1
1
1
( ) 1
m
m
R
n
n
b b z b z
G z
a z a z
− −
− −
+ +⋅⋅⋅+
=+ +⋅⋅⋅+
1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
R p
G z A z A z A z B z
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
0 1 2
( ) ( ) ( ) + ( )
R p
G z B B z B z B z
= + + +
( )
R
G z
Figu a 1.1: Esquema de diseño e implemen ación
En es e abajo se an a es udia es uc u as de implemen ación siguiendo ambos
caminos, de o ma que los pasos que se segui án en su es udio son:
• Especi icaciones del sis ema.
• De e minación de la unción de ans e encia del egulado .
Capí ulo 1: In oducción
5
• Fac o ización en alguna de las o mas polinomiales (se ie, cascada, celosía, módulos
de segundo o den, e c.) si p ocede.
• T ans o mación en ecuaciones en di e encias.
• Selección de la longi ud de palab a y cuan i icación de los coe icien es.
• Aplicación a cada módulo el p ocedimien o pole-ze o pai ing si es necesa io.
• Selecciona la es uc u a del egulado (1D, 2D, 3D, 4D, 1X, 2X, e c.) pa a cada
módulo.
• Aplica el p ocedimien o de escalado independien emen e pa a cada módulo.
• Fija el o den del módulo ap opiado si es pe inen e.
• Simula /emula el uncionamien o del egulado en lazo abie o y de e mina el ango
dinámico de las a iable in e nas de cada módulo an e una es ada escalón.
• Emulación/simulación de la implemen ación del sis ema de con ol mues eado en
lazo ce ado pa a comp oba el cumplimien o de las especi icaciones de diseño
eque idas.
Es a o ma de abajo iene ep esen ada en la ig. 1.1.
La in es igación p opues a en es a esis doc o al se a a ealiza sob e el diseño e
implemen ación con con ol digi al de posición de un se omo o . Aunque el sis ema es de
bajo o den se pueden p esen a p oblemas de diseño e implemen ación. Se pueden u iliza
a ios ipos egulado es digi ales: egulado es PID, un egulado digi al po el mé odo de
T uxal, ealimen ación del ec o de es ado y ealimen ación del ec o de es ado con il o
de Kalman, e c. Pos e io men e se es udia án las di e en es implemen aciones en un
mic op ocesado .
Una ez ijado el pe iodo de mues eo y diseñado el egulado elegido se p ocede á al
es udio de di e en es es uc u as de implemen ación analizando su compo amien o en el
uncionamien o en lazo ce ado en e a la p esencia de ciclos lími e en la a iable con olada.
Den o del esquema gene al de diseño e implemen ación en es a esis nos amos a
cen a en el es udio de las di e en es es uc u as de implemen ación más u ilizadas en la
p ác ica, in es igando sob e la p esencia o ausencia los ciclos lími e, alo ando su núme o y
ampli ud y con ello pode decidi sob e cual es la es uc u a más adecuada pa la aplicación
p opues a.
Po lo an o las ases de in es igación son las siguien es:
• C eación de so wa e de simulación/ emulación de sis emas de con ol.
• C eación de algo i mos de búsqueda exhaus i a de ciclos lími e de e minando su
núme o y ampli ud con di e en es es uc u as y su impac o en la salida an e en ada
nula o cons an e.
• Analiza y compa a el e ec o de los ciclos lími e en unción de la es uc u a y
cuan i icación sob e el compo amien o del sis ema de con ol.
6
Capí ulo 1: In oducción
• Análisis de esul ados y de e minación de la es uc u a óp ima de implemen ación.
• Conclusiones gene ales.
1.3.- Es uc u a de la memo ia
La p esen e memo ia cons a de seis capí ulos. El capi ulo ac ual si e de in oducción y
en el se e lejan de o ma b e e el con ex o y los p incipales obje i os de in es igación. En el
capí ulo dos se p esen an los concep os undamen ales sob e los que se basa la in es igación,
se analiza con p o undidad el es ado ac ual del conocimien o que se iene sob e el ema
a ado, se ealiza una e isión de las écnicas de diseño clásicas y mode nas de sis emas de
con ol digi al (no malmen e sis emas mues eados) que nos conducen a la de e minación del
egulado , se analizan las es uc u as de implemen ación de egulado es digi ales más
u ilizadas y los mé odos de escalado en sis emas ealimen ados. En el capí ulo es se analizan
los e ec os de la p ecisión ini a en el con ex o del il ado digi al y en sis emas de con ol
digi al, la elación en e cuan i icación de los coe icien es y es abilidad, el uido de
cuan i icación y la p oblemá ica de los ciclos lími e. En el capí ulo cua o se p esen a un
mé odo gene al de ep esen ación de sis emas disc e os, el en o no simulación po o denado
de sis emas disc e os y el algo i mo de búsqueda de ciclos lími e an e en ada nula. En el
capí ulo cinco se p esen an y analizan los esul ados. En el úl imo capi ulo se p esen an las
conclusiones, las apo aciones o iginales de es a esis y u u as líneas de in es igación.
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
7
CAPÍTULO 2
Re isión his ó ica y con ex o
2.1.- In oducción
An es de abo da el abajo de in es igación que ha conducido a la p esen ación de es a
esis doc o al se ha ealizando un exhaus i o es udio del es ado ac ual de los conocimien os
elacionados con la eo ía de sis emas disc e os de con ol y más en conc e o los elacionados
con los e ec os que p oduce la a i mé ica de p ecisión ini a en la implemen ación del
egulado . Pa a ello se han consul ado un núme o impo an e de lib os, a ículos y e is as
in e nacionales especializadas en el ema cuyo con enido y conclusiones elacionados con el
obje o de nues a in es igación comen a emos.
Es e capí ulo se a a di idi en a ios apa ados. En el p ime o se expone una b e e
e olución de la ecnología y eo ía de con ol de sis emas de con ol digi ales. En el segundo
se p esen an, o denadas po e ec os y en el iempo, las apo aciones más impo an es
elacionadas con los e ec os FWL en la ealización e implemen ación de il os digi ales y
egulado es, p es ando especial a ención a las elacionadas con el es udio de los ciclos lími e
obje o de es a in es igación. En e ce luga se ealiza una some a desc ipción de las écnicas
de diseño de un sis ema de con ol digi al. En cua o luga se analiza án las es uc u as de
implemen ación de egulado es y po úl imo se es udia án los p ocedimien os de escalado de
egulado es digi ales.
2.2.- E olución de la ecnología y de la eo ía de sis emas disc e os de
con ol
En la p ime a mi ad de la década de los 50 del pasado siglo se empeza on a aplica
compu ado es digi ales en el con ol de misiles y en la a iación; los de p opósi o gene al e an
an g andes, an ca os y an poco iables que se desa olla on unidades especiales llamadas
analizado es digi ales di e enciales (DDA) pa a es as aplicaciones. A mediados de és a década
se empeza on a u iliza en el con ol de p ocesos indus iales (DDC) p incipalmen e en las
e ine ías de pe óleo (Texaco). En es os sis emas el compu ado eje cía dos unciones:
supe isón y con ol, eemplazando a los egulado es analógicos. Es os sis emas p esen aban
sus en ajas: lexibilidad, p og amación, comunicación, sencillez. Fue al su expansión que
empeza on a sus i ui a los sis emas de con ol analógicos aunque uesen incluso más ca os.
Apa ecie on nue os p oblemas en el diseño, ales como la elección del pe iodo de mues eo,
con ección de algo i mos de con ol, e c.
14
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
lími e son ocul os. Se mues a que en il os paso bajo de banda es echa los ciclos lími e son
de pequeña ampli ud compa ándolos con los ob enidos en las es uc u as en la o ma di ec a
adicional.
“A Me hod o Elimina ing Oscilla ions in High-Speed Recu si e Digi al Fil es”
John S. Fe nando and Milos D. E cega ac (1997)
P oponen un mé odo de escalado dinámico (DS) pa a la eliminación de oscilaciones de
ciclo lími e y de o e low en il os ecu si os en o ma di ec a con a i mé ica en pun o ijo.
El mé odo se ealiza añadiendo una unidad de escalado dinámico a un módulo “on-line” en
como ija. Es e mé odo in oduce un exponen e compa ido en el cálculo en coma ija,
p opo cionando ca ac e ís icas de coma lo an e a los cálculos in e nos.
“Elimina ion o Limi Cycles due o Two´s Complemen Quan iza ion in No mal Fo m
Digi al Fil e s”.
Guo Fang Xu and Tamal Bose (1997)
Los il os digi ales en o ma no mal son a ac i os debido a sus buenas p es aciones
cuando se u ilizan pa a implemen aciones con longi ud de palab a ini a. Es os il os no
p esen an ciclos lími e ni oscilaciones de o e low cuando se u iliza uncado en magni ud y
signo. Sin emba go, cuando se u iliza uncado en complemen o a dos, pueden apa ece ciclos
lími e. En es e a ículo los au o es demues an que cuando se u ilizan es uc u as de bloque,
los il os digi ales en o ma no mal se pueden implemen a lib es de ciclos lími e debidos a la
u ilización del uncado en complemen o a dos, demos ando que se puede ob ene con un
amaño de bloque educido. Además, p esen an un algo i mo pa a encon a el mínimo
amaño de bloque eque ido pa a un il o dado.
“Designo S a e Digi al Fil es”
B. Psenicka, F. Ga cía-Ugalde, J. Sa age, S. He e a-Ga cía and V. Da idek (1998)
P esen an un algo i mo sencillo pa a el diseño de il os digi ales de segundo o den en el
espacio de es ados. El algo i mo de diseño p opo ciona ealizaciones de il os digi ales en el
espacio de es ados con mínimo uido de edondeo a la salida, baja sensibilidad a los
coe icien es y lib es de ciclos lími e.
“Quan iza ion E o Digi al Con ol Sys ems”.
Slaugh e (1964)
El au o desa olla un es udio analí ico pa a encon a una co a supe io del e o de
edondeo come ido po la cuan i icación de un sis ema de con ol digi al. Concluye que la
cuan ía del e o in oducido en la salida, depende del pe iodo de mues eo y de las cons an es
de iempo del sis ema, y del egulado empleado.
“The Anaysis o Round- O and T unca ion E o in a Hyb id Con ol Sys em”.
Cu y, E. E (1967)
Analiza el e o de edondeo y uncamien o en sis emas híb idos ( egulado es digi ales
implemen ados en mic op ocesado , conec ados a una plan a analógica). T abajando con

Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
15
mé odos es adís icos encuen a una co a que mejo a la ob enida po Slaugh e y gene aliza el
es udio de o ma que se pueda a aplica a cualquie sis ema híb ido.
“Quan iza ion E o and Design o digi al Con ol Sys ems”
A. J. Koi o (1969)
In oduce el p oblema del e o de cuan i icación en los sis emas de con ol óp imo en
iempo disc e o. Aco ando el e o basándose en ealiza el es udio en el “peo caso posible”
“Quan ize - Induced Digi al Con olle Limi Cycles”
S an ey A. Whi e (1969)
Se analiza la apa ición de ciclo lími e en es uc u as de il ado digi al de segundo
o den, cuando se u iliza a i mé ica de p ecisión ini a, y se p esen a un mé odo pa a ob ene la
ecuencia y ampli ud de la oscilación.
“The Digi al Implemen a ion o Con ol Compensa o s: The Coe icien Wo dleng h
Issue”
P. Mo oney, A. S. Willsky and P. K. Houp (1980)
Po p ime a ez se expone el p oblema de la implemen ación del sis ema disc e o,
a iando el compo amien o en unción de la es uc u a con la que se implemen e. En
conc e o abaja con un egulado LQG comp obando como se apa a del compo amien o
óp imo po el hecho de implemen a lo con a i mé ica de p ecisión ini a.
Fini e Wo dleng h Desing o Digi al Kalman Fil e s o S a e Es ima ion”
Da el Williamson (1985)
El au o abo da el diseño óp imo de un il o de Kalman, eniendo en cuen a la
p oblemá ica de u iliza a i mé ica de p ecisión ini a. Las conclusiones son especialmen e
ele an es en el diseño de il os de Kalman pa a sis emas de iempo con inuo que necesi an
un pe iodo de mues eo al o, demos ándose el comp omiso exis en e en e un pe iodo de
mues eo al o y una longi ud de palab a pequeña.
“Quan iza ion and O e low E ec s in Digi al Implemen a ions o Linea Dynamic
Con olle s
R. K. Mille , M. S. Mousa and A. N. Michel (1988)
Es udia la es abilidad de los sis emas de con ol ealimen ados en los que una plan a
con inua, es ac uada median e con e ido es analógico-digi ales y digi ales-analógicos po un
egulado disc e o implemen ado en un o denado (sis ema híb ido). Analiza median e
simulaciones que la es abilidad del sis ema es á ligada a los e ec os de la cuan i icación.
“Quan ize E ec s on S eady S a e E o Speci ica ions o Digi al Feedback Con ol
Sys ems
R. K. Mille , A. N. Michel and J .A. Fa el (1989)
16
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
En es e caso el au o analiza las di e encias exis en es en el e o en égimen
pe manen e en e un sis ema disc e izado y su implemen ación eal eniendo en cuen a las no-
linealidades in oducidas po la cuan i icación a la ho a de hace su implemen ación con
a i mé ica de p ecisión ini a.
“Op imal Fini e Wo dleng h linea Quad a ic Regula ion”
D. Williamson and K. Kadiman (1989)
El au o mues a la pé dida de p es aciones de un sis ema debido a la cuan i icación de
coe icien es, e o de uncado y edondeo, diseñado bajo la p emisa de que la
implemen ación no supone ningún e o a i mé ico. Mues a un mé odo de diseño pa a
ob ene un egulado LQG eniendo en cuen a esos e o es a i mé icos come idos en la
implemen ación.
S abilizing a Linea Sys em wi h Quan ized S a e Feedback
Da id F, Delchamps (1990)
Es e a ículo es udia el p oblema de es abiliza un sis ema lineal e in a ian e en el
iempo con ealimen ación de los es ados de los es ados que p e iamen e se han cuan i icado.
Encuen a que no es azonable es a es a egia de con ol en el sen ido clásico y el
compo amien o del sis ema en lazo ce ado se uel e caó ico. El compo amien o asin ó ico
pseudoalea o io del lazo ce ado di ie e sus ancialmen e del p edicho po el análisis
con encional de la elación señal- uido de los e ec os de cuan i icación.
“Op imal Con olle s o Fini e Wo dleng h Implemen a ion”
Ke ao Liu, Robe E. Skel on, and Ka olos G igo iadis (1992)
Es udia el p oblema de diseño de un egulado óp imo en p esencia de uido ex e no y
uido de edondeo en con e so es A/D y D/A y en las ope aciones de compu ación. Es una
ex ensión de la eo ía de diseño de un LQG bajo p ecisión in ini a. En p ecisión ini a no se
cumple el eo ema de sepa ación. A la unción de cos e se le añade un sumando pa a penaliza
la longi ud de palab a ini a usada pa a compu a cada a iable de es ado del con olado . Esa
suma mínima puede se u ilizada pa a ep esen a el lími e bajo en la memo ia del
compu ado , necesa ia en la sín esis de egulado . El diseño del nue o LQG
FW
equie e una
g an ca ga compu acional
“On S abili y and Pe o mance o Sapled_Da a Sys ems Subjec o Wo dleng h
Cons ain ”
Ian J. Fialho and T yphon T. Ge o giou (1994)
Es udian los e ec os de la p ecisión ini a en la implemen ación de egulado es en la
es abilidad y especi icaciones del uncionamien o de un sis ema de con ol mues eado. En
es e con ex o se p esen a que e ec os pueden se analizados desde el pun o de is a
es adís ico. Conduce a un p oblema de op imización cuya solución exac a no se conoce y
necesi a un e icien e mé odo de compu ación. De e minan el con olado óp imo con medidas
del adio de es abilidad complejo que puede a a se como un caso especial de minimización
según no ma H
∞
.
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
17
“Op imal Realiza ions o Fini e Wo leng h Digi al Fil e s and Con olle s”
Ma io A, Ro ea and Da ell Williamson (1995)
Es udia la o ma de esol e el p oblema de sín esis FWL en p esencia de escalado y
e o de edondeo. La solución equie e esol e un di ícil p oblema de p og amación no
lineal que puede ene soluciones locales y no ene solución global. Pa a el es udio se
in oducen cua o p oblemas auxilia es y escalan con no ma L
2
. Con es as condiciones
encuen an una solución analí ica.
“On he S uc u e o Digi al Con olle whi h Fini e Wo d Leng h Conside a ion”
Gang Li (1998)
Es di ícil encon a medidas que de inan la obus ed en la es abilidad del sis ema y
pode esol e el p oblema p opues o po Fialho. El au o encuen a una nue a medida que
esuel e el p oblema y po lo an o posibili a manipula la es uc u a del con olado
ácilmen e. El p oblema de la es uc u a óp ima del con olado se o mula haciendo máximas
es as medidas. P esen a la solución analí ica y un algo i mo pa a encon a las es uc u as
dispe sas.
“Op imizing S abili y Bounds o Fini e- P ecisión PID Con olle S uc u es”
S. Chen, J. Wu R.H. Is epanian and J. Chu (1999)
Abo da la ealización óp ima de un egulado digi al PID con conside aciones FWL. Es
un p oblema de op imización no lineal complejo que los au o es abo dan con una es a egia
e icien e basada en adap a i e simula ed annealing (ASA). También p esen an un ejemplo
numé ico.
“An Imp o ed Closed-Loop S abili y Rela ed Measu e o Fini e-P ecision Digi al
Con olle Realiza ion”
J. Wu, S. Chen, J. Wu R.H. Is epanian and J. Chu (2001)
La con ibución de es e abajo es doble: p ime o la es uc u a del egulado que se
conside a incluye la ealimen ación de la salida y un obse ado , y segundo, se adop a la
ap oximación de la sensibilidad de los polos. Se p opone una nue a es abilidad elacionada
con la medida que es unción de la ealización del egulado y se desa ollan p ocedimien os
de op imización pa a encon a la es uc u a óp ima que maximiza es a nue a medida. Se
mues a que es a medida es menos conse a i a pa a es ima la obus ez de egulado FWL
que la ealización po medidas de la sensibilidad de los polos.
“A Uni ied Closed-Loop S abili y Measu e o Fini e-P ecision Digi al Con olle
Realiza ions Implemen ed in Di e en P ep esen a ion Schemes”
Wu J., Chen S., Whidbo ne J.F. and Chu J (2001)
La p incipal con ibución de es e abajo de i a en ob ene un egulado FWL con
medida de la es abilidad que puede ajus a a la ez el ango dinámico y los eque imien os de
p ecisión y es aplicable a los es esquemas: ixed- poin , loa - poin y block- loa -poin .
“In e sample and Fini e Wo dleng E ec s in Sampled-Da a P oblems”
18
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
Bassam Bamie (2003)
In es iga la dependencia de los e ec os de la cuan i icación y el modelo de
compo amien o en e mues as en la ecuencia de mues eo. Cuando se es abiliza una
sis ema con un egulado implemen ado con longi ud de palab a ini a obse a un
empeo amien o del compo amien o del sis ema con un aumen o de la ecuencia de mues eo.
Two Classes o E cien Digi al Con olle S uc u es Whi h S abili y Conside a ion
Jinxin Hao, Gang Li and Chun u Wan (2006)
De inen una nue a medida de la es abilidad en base a la sensibilidad del módulo de los
polos, encuen an dos clases de es uc u as e icien es u ilizando el concep o de ope ado
polinomial (3). Es as es uc u as se p ede e minan en o ma de ma ices dispe sas que
con ienen 2 K pa áme os lib es. Ob ienen un egulado op imo bajo las condiciones FWL de
una o ma más simple que en abajos an e io es.
2.4.- Re isión de las écnicas de diseño de sis emas de con ol en iempo
disc e o
Un sis ema ísico que equie a se con olado en lazo ce ado (ope a con
ealimen ación) necesi a que la a iable o a iables a con ola sean medidas y que es as sean
compa adas con la a iable de consigna, ob eniendo la señal de e o , que con enien emen e
a ada ac ua á sob e la en ada del sis ema ísico a con ola . El diseño de un sis ema de
con ol ealimen ado suele se un p oceso más o menos labo ioso que depende de la
complejidad del sis ema a con ola y de la expe iencia del diseñado . Los da os de pa ida
son el cumplimien o de unas especi icaciones de uncionamien o que suelen se :
La sensibilidad a las pe u baciones.
Los e o es en égimen pe manen e.
La espues a ansi o ia.
La sensibilidad al cambio de los pa áme os del sis ema.
La solución del p oblema pasa po la elección de los senso es de medida, de la
de inición de los modelos ma emá icos del sis ema, de la elección de los ac uado es, del
diseño analí ico del egulado y simulación, de la implemen ación y comp obación del
uncionamien o del sis ema. Es e p oceso suele se i e a i o ya que no se conoce con exac i ud
el modelado ma emá ico del sis ema.
En es e apa ado se p e ende, conocido el modelo del sis ema a con ola , da de o ma
esquemá ica una isión simple y comple a de las al e na i as y de las dos o mas de abo da el
diseño de un sis ema de con ol en iempo disc e o. Si el sis ema a con ola es sencillo y no
se exigen especi icaciones “ ue es” lo más cómodo y ápido es abo da el diseño median e
las écnicas clásicas pa a sis emas mues eados; po el con a io si el sis ema es complejo y se
buscan obje i os de con ol óp imo, adap a i o, e c., lo mejo es abo da el diseño median e la
eo ía mode na de con ol en a iables de es ado.
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
19
2.4.1.- Diseño clásico
Es e mé odo se basa en la elación en ada-salida del sis ema a con ola (desc ipción
ex e na). Pa a el diseño de egulado es disc e os exis en dos mé odos: diseño con inuo y
disc e ización y diseño disc e o di ec o.
2.4.1.1.- Diseño con inuo
El p oblema de diseño puede esumi se de la siguien e o ma: dado un sis ema de
con ol como el de la igu a 2.2, encon a el egulado G
R
(s) que cumpla las especi icaciones
deseadas y una ez ob enido es e ob ene su equi alen e disc e o G
R
(z).
G
+
(s) (s)
G
-R
R(s) (s)
CE(s) W(s)
Figu a 2.2: Diag ama de bloques de un si sis ema de con ol con inuo
Hay dos écnicas muy conocidas de diseño en el plano s que son u ilizadas en sis emas
SISO sencillos:
Mé odo del luga de las aíces
Mé odos ecuenciales
En ambos casos los egulado es ob enidos son del ipo: edes de adelan o, de a aso, de
adelan o-a aso, PID, e c. Ob enido el egulado po cualquie a de las dos écnicas el siguien e
paso es la disc e ización del egulado .
( )
R
G z
Figu a 2.3: Diag ama de bloque de un sis ema de con ol mues eado
El egulado con inuo se disc e iza de o ma que el e ec o del conjun o con e ido A/D
- egulado digi al - con e ido D/A de la igu a sea ap oximadamen e el mismo que el e ec o
del egulado analógico. Es e p oblema se suele esol e empleando écnicas de in eg ación

20
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
numé ica o écnicas de ap oximación en la e olución empo al que como se sabe no ienen
una solución exac a.
En lo que sigue se exponen los p incipales mé odos po in eg ación numé ica pa a
ob ene G
R
(z). El g ado de ap oximación depende del pe iodo de mues eo y de la écnica
u ilizada.
1) Mé odo de las di e encias en a aso
1
1
( ) ( )
R R
z
s
T
G z G s
−
−
=
= (2.1)
2) Mé odo de las di e encias en adelan o
1
1
1
( ) ( )
R R
z
s
Tz
G z G s
−
−
−
=
= (2.2)
3) Mé odo de la ans o mación bilineal o de Tus in
1
1
2 1
1
( ) ( )
R R
z
sT
z
G z G s
−
−
−
=+
= (2.3)
4) Mé odo de igualación ce o-polo (MPZ)
En es e caso se aplica la elación z = e
sT
a los polos y ce os de la unción de
ans e encia, añadiendo el núme o de ce os en el in ini o necesa ios a la unción de
ans e encia con inua has a iguala al núme o de polos y, mas a de, se ajus a la ganancia del
egulado disc e o ob enido pa a que sea igual a la del con inuo.
La aplicación de alguno de los mé odos da como esul ado un egulado ines able
aunque se pa e de un egulado con inuo es able. En cualquie caso el mé odo más u ilizado
es el de la ans o mación bilineal po que con el se ob iene la mejo ap oximación.
En cuan o a las écnicas de e olución empo al se an a menciona dos
ans o maciones. La p ime a consis e en hace que la secuencia de ponde ación del
egulado disc e o equi alen e se co esponda con las mues as de la espues a impulsional del
con inuo.
[ ]
1
( )
1
( ) ( ) Re ( )1
RpT
polos R p
G z G s s R p
e z
−
 
= Ζ =
 
−
 
∑
(2.4)
Es e algo i mo de disc e ización no es aplicable a egulado es en los que los polinomios
del nume ado y denominado ienen el mismo g ado, cosa ecuen e, en es os casos se u iliza
la ap oximación an e una en ada escalón:
1
1 1
( ) ( )
(1 )
R R
G z G s
z s
−
 
= Ζ
 
−
 
(2.5)
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
21
po an o:
1
( )
( ) (1 )
R
R
G s
G z z s
−
 
= − Ζ
 
 
(2.6)
2.4.1.2.- Diseño disc e o
El p ime paso pa a e ec ua el diseño po es e p ocedimien o consis e en disc e iza la
plan a o sis ema a con ola . Pa a ello se a a de halla la unción de ans e encia en z del
ci cui o de e ención (gene almen e un ZOH) seguido del sis ema y del mues eado según la
siguien e exp esión.
1
( )
( ) (1 )
G s
G z z
s
−
 
= − Ζ
 
 
(2.7)
Así se ob iene el diag ama de bloques equi alen e al de la igu a 2.4:
( )
R
G z
Figu a 2.4: Diag ama de bloque de un sis ema de con ol disc e o
A pa i de es e diag ama se puede aplica el mé odo del luga de las aíces en el plano z
pa a el diseño del egulado de o ma idén ica al de sis emas con inuos y an solo equie e
sabe exp esa las especi icaciones empo ales en el plano z. También se puede aplica los
p ocedimien os ecuenciales eniendo en cuen a que la espues a en ecuencia de un sis ema
mues eado no es una unción acional pe o puede conside a se como una suma de
componen es in ini a de las cuales solo un núme o muy educido ienen signi icación. Pa a
pode aplica las écnicas de Bode o Nyquis en iempo con inuo en el diseño disc e o es
necesa io ealiza una ans o mación, pasando del plano z al plano w ob eniendo G(w):
1
1
( ) ( )
w
z
w
G w G z
+
=
−
= (2.8)
Con es a unción se diseña el egulado G
R
(w) pa a que se cumplan las especi icaciones
según el p ocedimien o empleado pa a los sis emas con inuos. A con inuación se ob iene la
G
R
(z) deshaciendo la ans o mación de la o ma:
1
1
( ) ( )
R R z
w
z
G z G w
−
=
+
= (2.9)
22
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
2.4.1.3.- Sín esis di ec a
De la misma o ma conociendo la desc ipción ex e na del sis ema se pueden aplica
mé odos de sín esis di ec a de T uxal en el plano con inuo y disc e iza el egulado o hace lo
di ec amen e en el plano z pa a de e mina G
R
(z). A pa i de un modelo deseado M(z) de
uncionamien o en lazo ce ado que cumpla las especi icaciones ijadas se puede busca un
G
R
(z) que posea condiciones de ealizabilidad, es abilidad y simplicidad.
( ) ( )( )
( )
( ) 1 ( ) ( )
R
R
G z G zC z
M z
R z G z G z
= =
+ (2.10)
( )
( )
( )
( ) 1 ( )
R
M z
G z
G z M z
=−
(2.11)
Es e p ocedimien o puede se muy in e esan e en con ol digi al, ya que la
implemen ación del egulado no p esen a p oblemas a pesa de la ela i a complejidad del
egulado a la que suele conduci el mé odo de diseño. O a al e na i a es selecciona el
modelo pa a que se sa is agan las condiciones del egulado en iempo ini o y mínimo.
2.4.2.- Diseño en el espacio de es ados
Los mé odos con encionales de diseño is os en el apa ado an e io no se aplican a
sis emas no lineales sal o en casos muy sencillos, ni ampoco a sis emas de con ol óp imo y
adap a i o. Si los sis emas a con ola son de múl iples en adas y salidas (sis emas MIMO) es
con enien e ep esen a los en a iables de es ado (desc ipción in e na) y el diseño se ealiza
po los mé odos mode nos de diseño de sis emas de con ol. La igu a 2.5 ep esen a un
diag ama bloques del sis ema de con ol digi al SISO con la ep esen ación en a iables de
es ado.
Figu a 2.5: Diag ama de bloque de un sis ema de con ol en a iables de es ado
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
23
2.4.2.1.- Desc ipción in e na de sis emas lineales con inuos mues eados
El diseño de sis emas de con ol digi al u ilizando la desc ipción in e na obliga ambién
a ep esen a median e es a desc ipción los sis emas mues eados, es deci , es necesa io
encon a el equi alen e en iempo disc e o al sis ema en iempo con inuo.
La desc ipción en a iables de es ado de un sis ema con inuo lineal de en ada y salida
única es:
( )
( ) ( ) ( )
'c c
c c
x ( ) A x( ) B
C x
u
y D u
= +
= + (2.12)
x ( ) son los es ados, u( ) la en ada y ( ) la salida.
La unción de ans e encia del sis ema con inuo se calcula median e la exp esión:
[
]
1
( )
c c
G s s D
−
= − +
c c
C I A B (2.13)
Las ma ices del equi alen e disc e o en el espacio de es ados con un pe iodo de
mues eo T son:
2 2
/2!
A
c
A I A A +
c
T
c
T T e
= + + ⋅⋅⋅ = (2.14)
2 3
0
( /2! /3! )
A
2
c
B IT A + A B B
c
T
c c c
T T e d
= + +⋅⋅⋅ =
∫
(2.15)
C= C
c
D = D
La desc ipción en a iables de es ado del sis ema disc e o equi alen e es:
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x A x B
C x
k k u k
y k k D u k
+ = +
= + (2.16)
A pa i de es e modelo se puede ob ene la unción de ans e encia del equi alen e
disc e o.
[
]
1
( )
C I A B
G z z D
−
= − +
(2.17)
En sis emas ísicos lineales e in a ian es D = 0. Pa a ealiza odos es os cálculos se a
a u iliza el p og ama MATLAB.
30
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
De o ma semejan e al mé odo de ubicación de polos po ealimen ación de los es ados,
es necesa io medi odas las a iables de es ado pa a de ini e implemen a la ley de con ol:
( )
K x
u k
= −
(2.40)
El esquema de implemen ación se p esen a en la igu a 2.10.
2.4.2.4.- Con ol lineal óp imo cuad á ico gaussiano (LQG)
En muchos casos apa ecen uidos de ca ác e alea o io en el p opio sis ema a con ola y
en las medidas. La conside ación de es os uidos en un sis ema se e ec úa median e el uso de
la eo ía de p ocesos es ocás icos. El il o de Kalman esuel e el p oblema de es imación
op ima de los alo es de las a iables de es ado de un sis ema conocido en p esencia de uidos
en las p opias a iables y en las medidas, pudiéndose deci que es un obse ado de es ados
que iene en cuen a las componen es alea o ias del sis ema. También en es e caso se pueden
dis ingui dos ipos de il os de Kalman: Fil o de Kalman p edic o y Fil o de Kalman
ac ual.
Es imados los alo es de las a iables de es ado podemos hace uso de la ealimen ación
óp ima de las a iables de es ado pa a diseña lo que se conoce con el nomb e de egulado
lineal óp imo cuad á ico. Su diseño se ealiza en dos e apas: p ime o se de e mina la ma iz de
ganancia del il o de Kalman y después, en i ud del p incipio de sepa ación, la ma iz de
ganancia de ealimen ación óp ima.
En el sis ema lineal en iempo con inuo
1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
'c c c
c c
x ( ) A x( ) B B w
C x
u
y D u
υ
= + +
= + + (2.41)
Los uidos en el p oceso w( ) y en la medida ( ) son blancos y sa is acen:
( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0
Q R
T T T
c c
E w E E ww E E
υ υυ ωυ
= = = = =
(2.42)
Las Q
c
y R
c
son las ma ices de co a ianza de los uidos en el sis ema y de la medida.
Se calcula el equi alen e disc e o del sis ema y el equi alen e disc e o de las ma ices de
co a ianza median e las siguien es exp esiones:
1 1
0
T
A A
Q B Q B
TT
c
e e d
τ τ
τ
=
∫
(2.43)
/
R R
c
T
= (2.44)
Hay que minimiza la unción de cos e:
( )
P
J k
=
(2.45)

Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
31
P es la ma iz de co a ianza del ec o e(k) = x(k) - q(k)
( ) lim ( ) ( )
P P e e
T
k
k E k k
→∞
 
= =
 
(2.46)
M es la ma iz de co a ianza de e o es de p edicción
{
}
( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )
M M x q x q
T
k
k E k k k k
→∞
  
= = − −
  
(2.47)
Las ecuaciones del il o con es imación ac ual en égimen es aciona io son:
( ) ( ) ( ) ( )
( 1) ( ) ( )
q q L q
q Aq B
k k y k C k
k k u k
 
= + −
 
+ = + (2.48)
En es as ecuaciones
( )
q
k
es el es ado p edicho en el ins an e k y q(k) es el es ado
ac ual es imado en k.
El cálculo de L se ealiza median e:
1
L MC CMC R
T T
−
 
= +
 
(2.49)
donde:
P M - A C M
=
(2.50)
1
M APA B RB
T
= +
(2.51)
Es as dos úl imas exp esiones conducen a esol e una ecuación algeb aica de Ricca i:
1
( )
M Q AMA AMC R CMC CMA
T T T T
−
= + − +
(2.52)
La ecuación del il o esul a:
[
]
[
]
( ) - ( 1) ( 1) ( )
q A LCA B LCB G
k q k u k y k
= − + − − +
(2.53)
32
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
1
I
z
−
(
-1
I - A)
z
Figu a 2.11: Diag ama de bloque de un LQG ac ual
La unción de ans e encia del es imado jun o con el con ol es semejan e a la del
obse ado ac ual jun o con la ealimen ación de los es ados.
1
( )
( ) ( )
( )
K I A LCA BK-LCBK L
R
U z
G z z z
Y z
−
= − = − + +
(2.54)
La implemen ación del sis ema de con ol con ealimen ación de los es ados es imados
con un il o de Kalman puede esul a a eces un sis ema no obus o. En odo caso, una ez
hecho el diseño, hay que e i ica los má genes de es abilidad asegu ándonos una adecuada
es abilidad ela i a.
Las ecuaciones del il o con es imación p edic i a en égimen es aciona io son:
[
]
( 1) ( ) ( ) ( ) ( )
q A q B L q
k k u k y k C k
+ = + + −
(2.55)
L
es la ganancia del il o que se calcula con las siguien es ecuaciones:
1
L APC CPC R
T T
−
 
= +
 
(2.56)
P
se calcula esol iendo la ecuación de Ricca i:
1
( )
P Q APA APC R CPC CPA
T T T T
−
= + − +
(2.57)
La unción de ans e encia a implemen a es semejan e a la del obse ado -p edic o :
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
33
1
( )
( ) ( )
( )
K I A BK BC L
R
U z
G z z
Y z
−
= − = − + +
(2.58)
La igu a 2.12 ep esen a un diag ama de bloques de un sis ema de con ol con
ealimen ación de los es ado u ilizando un il o de Kalman p edic o .
1
I
z
−
1
I
z
−
( )
q
k
Figu a 2.12: Diag ama de bloque de un sis ema de con ol LQG p edic o
2.5.- Es uc u as de egulado es digi ales
La e apa del diseño de un sis ema de con ol en iempo disc e o nos conduce a la
unción de ans e encia en el dominio z que ep esen a las ope aciones de il ado y con ol.
En gene al, es a unción iene ep esen ada po :
1
0 1 0
1
1
0
( ) 11
m
i
mi
m i
Rn
n
i
ni
i
b z
b b z b z
G z a z a z
a z
−
− − =
− −
−
=
+ +⋅⋅⋅+
= =
+ +⋅⋅⋅+ +
∑
∑
(2.59)
Los coe icien es ai y bi son núme os eales con m
≤
n. Algunos coe icien es pueden se
ce o. La ecuación desc ibe el caso gene al. Del mismo modo, el compo amien o del
egulado o il o end á de inido en el dominio empo al po la siguien e ecuación en
di e encias:
34
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
0 1
( ) x( ) y( )
m n
i i
i i
y k b k i a k i
= =
= − − −
∑ ∑
(2.60)
El p opósi o de es e apa ado es desc ibi los diag amas de bloques, diag amas de lujo
cons uidos con elemen os de e a do, sumado es y mul iplicado es, más u ilizados en la
implemen ación de es as ecuaciones en so wa e o ha dwa e digi al. A cada diag ama
di e en e se le llama es uc u a de ealización del il o o egulado . Exis en incon ables
es uc u as que desc iben a un egulado de e minado, de modo que cada es uc u a de ine una
o ma de o ganiza las ecuaciones en di e encias. T es ac o es undamen ales in luyen en la
elección de una ealización especí ica en so wa e o ha dwa e, ales son: la complejidad
compu acional, los equisi os de memo ia y los e ec os debidos a la u ilización de longi ud de
palab a ini a. Si se ealiza en ha dwa e: nume o de sumado es, e a dos, ampli icado es, e c.
La complejidad compu acional se e ie e al núme o de ope aciones a i mé icas
(mul iplicaciones y sumas) así como al núme o de accesos a memo ia o al núme o de eces
que se ealiza una compa ación en e dos núme os pa a cada mues a de salida. Requisi os de
memo ia: se e ie e al núme o de posiciones de memo ia necesa ias pa a almacena los
pa áme os del sis ema, en adas an e io es, salidas an e io es y cualquie alo in e medio
calculado.
Los e ec os de longi ud de palab a ini a se e ie en a la necesidad de lle a a cabo un
p oceso de cuan i icación, po edondeo o uncado, an o de coe icien es como de los
esul ados de las ope aciones en cualquie implemen ación digi al del il o, ya sea en
ha dwa e o so wa e. Debido a es os e ec os, es uc u as di e en es de un il o, equi alen es
cuando se u iliza a i mé ica de p ecisión in ini a, mues an compo amien os di e en es
cuando se u iliza a i mé ica de p ecisión ini a. Po an o, es muy impo an e en la p ác ica
selecciona una ealización que no sea muy sensible a los e ec os de longi ud de palab a ini a.
En e es os e ec os se encuen a la apa ición de oscilaciones de ciclo lími e en egulado es
digi ales IIR, obje o de es udio de es udio de es a esis, po lo que se á necesa io pa a el
desa ollo de la misma selecciona un conjun o de es uc u as di e en es con el in de es udia
su compo amien o en e a los ciclos lími e.
En es e apa ado se p esen an los diag amas de lujo y ecuaciones en di e encias que
de inen di e en es es uc u as, algunas de las cuales se han seleccionado de di e sos a ículos
publicados, con el in de es udia su compo amien o en e a las oscilaciones de ciclo lími e
cuando se u iliza a i mé ica de p ecisión ini a en pun o ijo. Con el obje o de lle a a cabo
es e es udio, se diseña án di e en es egulado es digi ales pa a un sis ema a con ola , los
cuales se án simulados en las es uc u as p opues as u ilizando a i mé ica de p ecisión ini a
en pun o ijo.
2.5.1.- Es uc u as di ec as
Son aquellas es uc u as en las que los coe icien es eales del egulado ai y bi apa ecen
en el diag ama de bloques o de lujos de implemen ación como mul iplicado es. Se pueden
ob ene di ec amen e de la unción de ans e encia del egulado .
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
35
2.5.1.1.- Es uc u a di ec a 1D
Suponemos el egulado ep esen ado po :
( )
( )
0 0
1 0
( )
1
m n
i i
i i
i i
Rn n
i i
i i
i i
b z b z
Y z G z
X z
a z a z
− −
= =
− −
= =
= = =
+
∑ ∑
∑ ∑
(2.61)
con n = m y b0 = 1 e in oduciendo una a iable in e media P(z) esul a:
0
0
( ) ( )
( ) ( )
n
i
i
in
i
i
i
b z
Y z P z
P z X z
a z
−
=
−
=
=
∑
∑
(2.62)
0
( )
( )
n
i
i
i
Y z
b z
P z
−
=
=
∑
(2.63)
0
( )
( )
n
i
i
i
X z
a z
P z
−
=
=
∑
(2.64)
0
( ) ( )
ni
i
i
X z a z P z
−
=
=
∑
(2.65)
1
( ) ( ) ( )
ni
i
i
M z X z a z P z
−
=
= −
∑
(2.66)
0
( ) ( )
ni
i
i
Y z b z P z
−
=
=
∑
(2.67)
En el dominio del iempo se ienen las siguien es ecuaciones en di e encias:
1
( ) ( ) ( )
ni
i
i
m k x k a z p k i
−
=
= − −
∑
(2.68)
1
( ) ( )
n
i
i
y k a m k i
=
= −
∑
(2.69)
Es as ecuaciones ienen e lejadas en la igu a 2.13. La ep esen ación ob enida es una
o ma canónica ya que iene el meno núme o de e a dos posible que es n. Si el coe icien e b0
es 0 en onces se llama de con ol de ase a iable o p ime a o ma de Kalman con olable.

36
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
(k-1)
1
q
q
2
(k)
(k)
n
q
b
0
1
b
b
2
n-1
b
b
n
-a
1
2
-a
-a
n-1
n
-a
-1
z
z
-1
-1
z
x(k) y(k)
p(k-n)
z
-1
-1
z
z
-1
n
b
b
n-1
2
b
b
1
0
b
-a
n
n-1
-a
-a
2
1
-a
x(k) y(k)
(a) (b)
Figu a 2.13: Diag amas de lujo de las es uc u as 1D y 2D
La es uc u a es muy ácil de ob ene pe o es muy sensible a la cuan i icación de los
coe icien es y a las ope aciones in e nas ealizadas.
2.5.1.2.- Es uc u a di ec a 2D
Se puede ealiza un ans o mación en la es uc u a an e io sin cambia la elación
en ada salida u ilizando el eo ema de in e sión de g a os que es ablece que si se in ie en
los sen idos de odas las ansmi ancias de las amas y se in e cambia la salida po la en ada
le unción de ans e encia pe manece in a iable. A la es uc u a esul an e se la llama
anspues a. En la igu a 1b se ep esen a el diag ama de lujos y se obse a que equie e n+1
ecuaciones en di e encias mien as que la an e io solo dos:
1
( ) ( ) ( ) ( ) i =1, ..., n - 1
i i i i
q k q k b x k b y k
+
= + −
(2.70)
( ) ( ) ( )
n n n
q k b x k a y k
= −
(2.71)
0 1
( ) ( ) ( 1)
y k b x k q k
= + −
(2.72)
Es a es uc u a ambién es canónica y cuando b0 = 0 se llama segunda o ma de Kalman
obse able. También es muy sensible a los e ec os de la cuan i icación.
2.5.1.3.- Es uc u a di ec a 3D
Re o nando a las ecuaciones 2.61:
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
37
( )
( )
0
0
n
i
i
in
i
i
i
b z
Y z
X z
a z
−
=
−
=
=
∑
∑
(2.73)
( ) ( )
0 0
n n
i i
i i
i i
Y z a z X z b z
− −
= =
=
∑ ∑
(2.74)
( ) ( ) ( )
0 1
n n
i i
i i
i i
Y z b z X z a z Y z
− −
= =
= −
∑ ∑
(2.75)
En el dominio del iempo:
( )
0 1
( ) ( )
n n
i i
i i
y k b x k i a y k i
= =
= − − −
∑ ∑
(2.76)
Con es a ecuación se ob iene el diag ama de lujo de la igu a 2.14 a
0
p (k)
q (k)
n
1
q (k)p (k)
1
n
p (k)
n
b
b
n-1
2
b
b
1
0
b
-a
1
2
-a
-a
n-1
n
-a
-1
z
z
-1
-1
z
-1
z
z
-1
-1
z
z
-1
-1
z
z
-1
z
-1
-1
z
z
-1
(b)
(a)
y(k)x(k)
y(k)x(k)
-a
n
n-1
-a
-a
2
1
-a
n
b
b
n-1
2
b
b
1
0
b
Figu a 2.14: Diag amas de lujo de las es uc u as 3D y 4D
2.5.1.4.- Es uc u a di ec a 4D
Es a se ob iene ansponiendo la 3D. Se obse a que solo iene un pun o de dis ibución
y 2n ecuaciones en di e encias:
0 1
( ) ( ) ( 1)
p k x k p k
= + −
(2.77)
0
( ) ( )
n n
q k b p k
=
(2.78)
0
( ) ( )
n n
p k a p k
= −
(2.79)
0 1
( ) ( ) ( 1) 1, n-1
i i i
q k b p k q k i
+
= + − =
(2.80)
0 1
( ) p ( ) ( 1)
i i i
p k a k p k
+
= − + −
(2.81)
38
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
0 1
( ) ( ) ( 1)
o
y k b p k q k
= + −
(2.82)
Es as cua o es uc u as son muy sensibles a la cuan i icación de los coe icien es; una
pequeña a iación en ellos p oduce un g an mo imien o de polos y ce os del egulado sob e
odo pa a ó denes ele ados y po an o en las ca ac e ís icas de uncionamien o del lazo
ce ado. La abla 2.1 adjun a esume las p opiedades:
1D 2D 3D 4D
Elemen os de e a do
n n 2n 2n
Mul iplicado es
2n+1 2n+1 2n+1 2n+1
Sumado es
2 n+1 1 2n
Dis ibuido es de señal
n+1 2 2n 1
Tabla 2.1: Ca ac e ís icas compu acionales de las es uc u as di ec as
2.5.2.- Módulos de segundo o den
Es ecuen e implemen a egulado es cuya unción de ans e encia es GR(z)
conec ando en se ie o en pa alelo módulos de o den dos con el obje o de minimiza los
p oblemas de sensibilidad comen ados en el apa ado an e io . La unción de ans e encia de
cada modulo es:
1 2
0 1 2
1 2
1 2
( ) 1
R
b b z b z
G z
a z a z
− −
− −
+ +
=+ +
(2.83)
(k-1)
1
q
q
2
(k)
p(k-2)
(d)
(c)
-1
z
z
-1
-a
2
1
-a
-1
z
z
-1
-1
z
z
-1
-1
z
z
-1
b
0
1
b
b
2
-a
1
2
-a
-1
z
z
-1
x(k) y(k)
-1
z
z
-1
2
b
b
1
0
b
-a
2
1
-a
x(k) y(k)
(a) (b)
0
p (k)
1
q (k)p (k)
1
2
b
b
1
0
b y(k)x(k)
y(k)x(k)
-a
2
1
-a
2
b
b
1
0
b
Figu a 2.15: Diag amas de lujo de módulos de segundo o den
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
39
Las es uc u as de es os módulos y sus ecuaciones en di e encias se pueden ob ene
di ec amen e del caso gene al:
1D:
2
1
( ) ( ) ( )
i
i
i
p k x k a z p k i
−
=
= − −
∑
(2.84)
2
0
( ) ( )
i
i
y k a p k i
=
= −
∑
(2.85)
2D:
0 1
( ) ( ) ( 1)
y k b x k q k
= + −
(2.86)
1 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) i =1, ..., n - 1
i
q k p k b x k a y k
= + −
(2.87)
2 2 2
( ) ( ) ( )
q k b x k a y k
= −
(2.88)
3D:
( )
2 2
0 1
( ) ( )
i i
i i
y k b x k i a y k i
= =
= − − −
∑ ∑
(2.89)
4D:
0 1
( ) ( ) ( 1)
p k x k p k
= + −
(2.90)
0 1
( ) ( ) ( 1)
o
y k b p k q k
= + −
(2.91)
1 1 0 2 0
( ) ( ) ( 1)
p k a p k b p k
= − + −
(2.92)
1 1 0 2 0
( ) ( ) ( 1)
q k b p k b p k
= + −
(2.93)
Las ecuaciones es án pues as en el o den ap opiado pa a que el iempo de cálculo en e
la en ada y la salida sea el meno posible. En la mayo pa e de los casos el iempo e a do de
cálculo es mucho meno que el pe iodo de mues eo.
En la li e a u a apa ecen muchos o os ipos de es uc u as pa a los módulos de segundo
o den. Una de las más u ilizadas son las es uc u as con acoplamien o en c uz (1X), igu a
2.16, con polos complejos conjugados.
Las ecuaciones en di e encias de es a es uc u a son:
y(k) = b0 x(k) + s2 (k-1)
s1(k) = g1 s1(k-1) – g2 s2 (k-1) + g3 x(k) (2.94)
s2(k) = g1 s2(k-1) – g2 s1 (k-1) + g4 x(k)
46
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
Las es uc u as en celosía pa a egulado es IIR [PRO98] se basa en la implemen ación
en p ime luga de los polos de la unción de ans e encia median e una es uc u a en celosía
pa a sis emas FIR en el que se in e cambian la en ada y la salida pa a pos e io men e ealiza
los ce os median e una conexión en escale a.
Los il os digi ales de onda [FET86], [LAW81] poseen algunas p opiedades
in e esan es, pe o su diseño e implemen ación es más compleja que las es uc u as is as
an e io men e.
Se han ealizado es uc u as especí icas pa a consegui de e minados obje i os como la
eliminación de ciclos lími e [FAM79], bajo uido de edondeo [CHA78], baja sensibilidad en
los coe icien es, e c.
2.6.- Escalado en pun o ijo de egulado es digi ales
Uno de los aspec os, p obablemen e el más impo an e, a ene en cuen a a la ho a de
implemen a una es uc u a de egulado en pun o ijo es la posibilidad de que se p oduzca en
los egis os donde se almacenan los esul ados de las ope aciones un desbo damien o o
sa u ación. Si alguno de los esul ados de las ope aciones p oceden es de las ecuaciones
ecu si as que de inen el compo amien o del il o exceden los lími es es ablecidos po los
alo es máximo y mínimo del ango dinámico de inido, se p oducen g andes e o es en
cuan i icación. Los e o es come idos dependen de la a i mé ica elegida. Es os e o es
in oducen en el sis ema de con ol no linealidades del ipo zona mue a y consecuen emen e
oscilaciones de o e low que son desas osas en el uncionamien o de sis ema. Elegida una
longi ud de palab a se puede disminui la posibilidad de desbo damien os aumen ando el
ango dinámico pe o es o aumen a el alo del escalón de cuan i icación y po an o el e o
de cuan i icación.
El p ocedimien o en il ado digi al pa a educi la posibilidad de o e low en los
egis os in e nos es escala el il o de o ma que las a iables in e nas no supe en en alo
absolu o el máximo núme o ep esen able en un egis o. Un co ec o escalado educe la
posibilidad de o e low y disminuye los e ec os de la cuan i icación. En la li e a u a se
desc iben muchos p ocedimien os de escalado. El elegi el “óp imo” desde el pun o de is a
que minimice el uido en la señal de salida esul a complicado y depende de la aplicación. En
el campo del con ol digi al las señales den o del egulado pueden se muy bajas. En es e
caso la no ma l
∞
suele se un escalado muy es ic i o que ma ca el lími e supe io y no suele
u iliza . Po es e mo i o pa a escala egulado es digi ales PID se suele u iliza la no ma l
1
[AHM84] mien as que en la implemen ación de egulado es lineales óp imos se escala con
no ma l
2
[MOR83] [WIL84]. También puede se i el escalado con base a la espues a
escalón y los mé odos p omedio.
2.6.1.- Escalado lp
Dada una secuencia x(k) con k = 0,1,2 … , se de ine no ma l
p
con 1≤ p≤ ∞ como:

Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
47
( )
p
k
n
p
p
kxx
1
0






=
∑
∞=
=
(2.125)
Pa a p = 1
( )
∑
∞=
=
=
k
k
kxx
0
1
(2.126)
Pa a que
1
x
exis a la secuencia x(k) iene que se absolu amen e con e gen e.
Pa a p = ∞
( )
)(maxlim
1
0
kxkxx
k
p
k
n
p
p
=






=
∑
∞=
=
∞→
∞
(2.127)
Es deci que
∞
x
es el máximo alo absolu o de la secuencia x(k) y se la denomina
max
x
. En e las no mas l
1
a l
∞
las más u ilizadas son la l
1
y la l
2
.
2.6.2.- Escalado l
1
Si conside amos un sis ema (SISO) en lazo abie o como el de la igu a:
( )
R
G z
u
K
Figu a 2.22: Escalado en lazo abie o
Si se quie e escala la salida u’ a un ango (±1) con un ac o de escala K
u
se debe de
cumpli :
1´
max`max
≤= uKu
u
(2.128)
Si el sis ema es lineal in a ian e y es able, g
R
(k) espues a impulsional del egulado se
debe de cumpli la desigualdad de Holde :
qp
Ru
egKku ≤)('
(2.129)
cuando 1/p +1/q =1
En onces:
qp
R
u
eg
K1
≤ (2.130)
48
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
Si
qp
R
u
eg
K1
= (2.131)
es amos eligiendo el meno alo posible que nos asegu a que el alo de u’ no supe e el alo
1. Es un alo muy conse a i o que minimiza los e o es de cuan i icación. En el escalado l
1
p = 1 y q = ∞ de o ma que:
max
0
1
)(
11
ekg
eg
K
k
kR
R
u
∑
∞=
=
∞
==
(2.132)
Es a opción de escalado iene la en aja de que si la en ada e(k) es á aco ada y |e(k)|
max
se á conocido. La espues a impulsional del egulado se á conocida y el suma o io se puede
calcula siemp e que la se ie sea absolu amen e con e gen e que lo sucede á siemp e que el
egulado diseñado sea es able. Es e p ocedimien o de escalado ma ca el lími e supe io .
Las condiciones necesa ias pa a pode de e mina el ac o de escala K
u
son:
• |e(k)|
max
se á conocida y aco ada, gene almen e se hace que |e(k)|
max
≤ 1
• El egulado debe se asin ó icamen e es able.
Si lo que se desea es escala cada una de las a iables in e nas del egulado según la
no ma l
1
el p ocedimien o se á pa ecido. Conociendo el diag ama de lujo del egulado y las
a iables in e nas de cada nodo, se calcula la unción de ans e encia de la a iable in e na de
cada nodo espec o de la en ada e(k) calculando el ac o de escala K
u
. La ansmi ancia de la
ama que en a al nudo desde la en ada se mul iplica po el ac o de escala y después se
mul iplica po la in e sa de es e ac o la ansmi ancia de la ama que sale del nudo
conside ado has a la salida. El p oceso se epi e en odos los nudos eligiendo el meno de
odos los calculados y así se asegu a que nunca hab á desbo damien o en ningún nudo. El
p oceso es muy labo ioso pe o se puede simpli ica el p oblema escalando es uc u as
desc i as en a iables de es ado.
Si se conside a el egulado SISO desc i o en a iables de es ado
( 1) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x A x B
C x D
k k e k
u k k e k
+ = +
= + (2.133)
Se puede pone que: x(k) =
K
x’(k) donde
x’
(k) ep esen a el ec o de es ados
escalado.
K
es una ma iz diagonal no singula . K
ii
es cada elemen o de la diagonal y es
sencillamen e el máximo alo absolu o de los
x
’(k). Es os elemen os se pueden calcula a
pa i del peo caso de la en ada y de la elación es ado-en ada que conside a los e ec os de
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
49
la en ada sob e los o os es ados. En onces cada es ado es escalado independien emen e po
1
ii
K
−
(
K
es diagonal).
Median e una ans o mación de simili ud.
K
: [
A, B, C, D
]→ [
K
-1
A K, K
-1
B, C K,
D] (2.134)
La desc ipción en el espacio de es ados escalados es:
1
( )
-1 -1
x'( ) = K A K x'( ) + K B ( )
( ) = C K x'( ) +
k k e k
u k k D e k
+ (2.135)
Donde:
( )
max 0
( )
i
k
ii x
k
K e h k
=∞
=
=
∑
(2.136)
(
)
( )
i
x
h k
es la espues a impulsional en el es ado x
i
debido a la en ada e(k). El cálculo de es a
suma in ini a se unca has a en a en la egión de con e gencia deseada. Hay que hace no a
que la e(k) p o iene de un sis ema en lazo ce ado. Es e ipo de escalado cuando se aplica en
lazo abie o suele se muy conse ado .
Un p oblema adicional se p esen a cuando en el egulado con iene un in eg ado . El
egulado en lazo abie o no es asin o icamen e es able y el co espondien e K
ii
no se puede
calcula . Aho a bien cuando el egulado unciona en lazo ce ado la es abilidad es á
asegu ada po es e mo i o se u iliza el escalado en lazo ce ado con es a no ma.
2.6.3.- Escalado en lazo ce ado
En la igu a 2.23 se ep esen a un sis ema de con ol en lazo ce ado:
( )
R
G z
Figu a 2.23: Sis ema de con ol en lazo ce ado
En la igu a 2.24 de abajo se ep esen a el sis ema escalado.
50
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
( )
R
G z
Figu a 2.24: Escalado de un sis ema de con ol en lazo ce ado
Las ecuaciones en a iables de es ado del egulado son:
x
(k+1) =
A
x
(k) +
B
e(k)
u(k) =
C
x
(k) + D
e(k) (2.137)
e(k) = (k) – y(k)
El escalado debe segui sa is aciendo los eque imien os de diseño. El obje i o es lle a
las señales escaladas e’(k),
x’
(k) y u’(k) al ango [-1,+1] de o ma que la unción de
ans e encia en lazo abie o y ce ado no quede modi icada po el escalado. Pa a consegui lo
es necesa io ealiza las siguien es ans o maciones:
x
(k) =
K x’
(k)
e(k) = k
y-1
e’(k) (2.138)
u(k) = K
u
u’(k)
Sus i uyendo en las ecuaciones de es ado an e io es se iene que
x’
(k+1) =
A’
x’
(k) +
B’
e’(k) (2.139)
u’(k) =
C’
x’
(k) + D’e’(k)
Cuando:
A’ =K
-1
AK
B’
=
K
-1
B
K
y-1
(2.140)
C
= K
u-1
CK
D
’
= K
u-1
DK
y-1
Son conocidas las unciones de ans e encias de la salida u(k) y de los es ados x(k)
espec o de las en adas (k), e(k) y po lo an o se pueden ob ene las espues as
impulsionales h
e
(k), h
u
(k) y h
x
(k). Los ac o es de escalado se calculan median e las
siguien es exp esiones:
( )
max 0
( ) i = 1, 2 , 3, ..., n
i
k
ii x
k
K h k
=∞
=
=
∑
(2.141)
( )
max 0
1
( )
i
yk
e
k
K
h k
=∞
=
=
∑
(2.142)
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
51
( )
max 0
( )
i
k
u u
k
K h k
=∞
=
=
∑
(2.143)
Las ganancias K
u
y K
y
se suelen ealiza en ha dwa e en los in e aces A/D y D/A de
o ma que se p ese e la ganancia o al del sis ema. Se obse a que escalando con no ma l
1
los ac o es calculados dependen del alo máximo de la en ada (k) cuando en la mayo ía de
las eces es e alo es más bajo que es e máximo. El escalado iende a se conse a i o y
p oduci e o es de cuan i icación. Un o ma de mejo a es o es escala sob e un en ada ’(k)
escalada con la no ma l
∞
2.6.4.- Escalado l
2
En es a o ma de escalado es a asociada a la ene gía de las a iables in e nas, las
en adas y las salidas que se escalan.
Si p = 2 y q = 2
2
2
2
2
0 0
1 1
.
( ) ( )
uk k
R
R
k k
Kg e
g k e k
=∞ =∞
= =
= =
∑ ∑
(2.144)
Si la en ada es uido e(k) blanco con a ianza unidad en onces
2
2
2
0
1 1
.
( )
uk
R
R
k
Kg e
g k
=∞
=
= =
∑
(2.145)
Se de ine el escalado l
2
:
2
0
1
( )
k
R
k
u
g k
K
β δ δ
=∞
=
= =
∑
(2.146)
El pa áme o
δ
se escoge de o ma a bi a ia y puede in e p e a se como el núme o de
des iaciones es ánda ep esen ables en el egis o in e no si la en ada es uido blanco de
a ianza unidad. Es deci la espe anza ma emá ica de la ene gía es a aco ada po 1/
δ
2
. Es e
p ocedimien o no asegu a que no haya desbo damien os en los egis os in e nos. Un aumen o
de
δ
disminuye la p obabilidad de desbo damien o y su elección óp ima pe mi e un
comp omiso en e un co ec o escalado y un admisible uido de edondeo.
El p ocedimien o de escalado es semejan e al de la no ma an e io , si el egulado es a
ep esen ado en a iables de es ado ambién se aplica una ans o mación diagonal que

52
Capí ulo 2: Re isión his ó ica y con ex o
elacionada con la ma iz de co a ianza del egulado , que a su ez es á elacionada con la
espues a impulsi a.
2.6.5.- Escalado con escalón uni a io
Es o o p ocedimien o de escalado u ilizado en con ol. Si la en ada al egulado e(n) es
la secuencia escalón uni a ia (escalón de máxima ampli ud) y
i
(k) la secuencia en el nodo i
de la es uc u a que se escala, y K
i
el ac o de escala, se puede esc ibi :
0
( ) ( ) ( )
i i i
k
n K g k e n k
∞
=
= −
∑
(2.147)
0
( ) ( )
i i i
k
k K g k
∞
=
=
∑
(2.148)
y
[ ]
0, 0
( ) max ( ) 1
n
i i i
nk
n K g k
= ∞ =
= ≤
∑
(2.149)
Po lo an o podemos pone :
[ ]
0, 0
1
max ( )
in
i i
nk
K
K g k
= ∞ =
=
∑
(2.150)
Capí ulo 3: E ec os FWL
53
CAPÍTULO 3
E ec os FWL
3.1.- In oducción
La búsqueda de la es uc u a de implemen ación que minimice los e ec os de la
a i mé ica de p ecisión ini a (FWL) no es sencilla ya que los e ec os que se p oducen ienen
ca ác e alea o io y no se puede asegu a que la es uc u a elegida en p incipio ga an ice en e
o as, la es abilidad y las condiciones de compo amien o en égimen pe manen e y
ansi o io. Po an o, una ez de inida la es uc u a del egulado el siguien e paso
undamen al es el análisis de los e ec os FWL que p oduce su implemen ación. En es e
capí ulo, se a a ealiza un epaso de los e ec os de la p ecisión ini a en la implemen ación
de egulado es digi ales. En p ime luga se es udian los sis emas de nume ación en pun o
ijo. En segundo luga los e ec os de la cuan i icación de los coe icien es del egulado en el
lazo ce ado. En e ce luga los e ec os p oducidos po la cuan i icación de las a iables en el
doble aspec o del uido de cuan i icación y de los ciclos lími e que p oducen y un epaso de
las es a egias p opues as po o os in es igado es de búsqueda de ciclos lími e ealizadas en
el campo del il ado digi al y po úl imo se pone de mani ies o las di icul ades de análisis de
es os e ec os en sis emas digi ales de con ol.
3.2.- Sis emas de nume ación en pun o ijo
La elección del sis ema de nume ación es undamen al a la ho a de implemen a un
egulado digi al ya que la p ecisión con que se ep esen an las señales y los coe icien es
a ec a al uido de cuan i icación, a las ca ac e ís icas de o e low y al ango dinámico.
Cuan i ica un núme o eal es ep esen a lo con un núme o ini o de bi s y el e o que se
come e es:
( )
e Q x x
−
≜
(3.1)
Se conside a que x (y po an o Q(x)) es a en el in e alo
1 1
x
− ≤ ≤
. Si x > 1 en onces:
0 '
x C
≤ ≤
y 0 ( ')
Q x C
≤ ≤
se no maliza al in e alo mo iendo el pun o bina io L bi s de
o ma que:
( ') 2 ( )
L
Q x Q x
= (3.2)
0 ( ) 1
Q x
≤ ≤
(3.3)
54
Capí ulo 3: E ec os FWL
3.2.1.- Sis ema de nume ación en módulo y signo
En es e sis ema un núme o x se puede ep esen a cuan i icado de la siguien e o ma:
1 2 1
( ) ( . ) (1 2 ) 2
b
b i
b i
i
Q x s m m m s m
−
=
= = − ∑
⋯ (3.4)
donde s es el bi de signo s = 0 si x <1 y s = 1 si x > 1 y
1 2
( ) (. )
b
b
Q x m m m
=⋯ (3.5)
A con inuación se es udian es mé odos de cuan i icación que se u ilizan en egulado es
digi ales: uncación, edondeo y LSB-1.
3.2.1.1.- Cuan i icación po uncación
Si x es un núme o eal en onces
x
es un núme o eal posi i o y se con ie e en una
acción bina ia exp esándose en se ie in ini a que se unca a b bi s:
1 2 1 2
( ) (. )
…
b b
x m m m m
+
=
⋯
(3.6)
1 2 2
( ) (. )
b
b
Q x m m m
=
⋯
(3.7)
Si x > 0
1 2 2 1 2 2
( ) ( ) (.0 0 0 ) 2 (. )
b b b
b b b b
e Q x x Q x x m m m m
−
+ + + +
= − = − = − = −
⋯ ⋯ ⋯
(3.8)
Como
1 2 2
0 (. ) 1
b b
m m
+ +
≤ ≤
⋯
(3.9)
2 0 0
<
b
e x
−
− ≤ ≥
(3.10)
Si x > 0
(
)
1 2 2 1 2 2
( ) ( ) (.0 0 0 ) 2 (. )
b b b
b b b b
e Q x x Q x x m m m m
−
+ + + +
= − = − − = − = −⋯ ⋯ ⋯ (3.11)
0 2 0
<
b
e x
−
≤ <
(3.12)
Es a ca ac e ís ica de cuan i icación ep esen ada en la igu a 3.1a es no lineal y causa
muchos p oblemas en los egulado es digi ales. El signo de x de e mina el alo del e o de
cuan i icación y si se conside a que es una a iable alea o ia ( uido) con unción de
dis ibución uni o me igu a 3.1d se puede calcula la a ianza de es a.
Capí ulo 3: E ec os FWL
55
[ ]
{ }
[ ]
{ }
2
2 2 2 2 2
0 0
5 2
24
b
e
x x
E e E e E e E e
σ
−
≥ ≤
⋅
   
= − + − =
   
(3.13)
( )
b
Q x
2
b
−
2 2
b
−
⋅
2
b
−
2 2
b
−
⋅
( )
b
Q x
2
b
−
2 2
b
−
⋅
2
b
−
2 2
b
−
⋅
( )
b
l
Q x
2
b
−
2 2
b
−
⋅
2
b
−
2 2
b
−
⋅
(a) (b) (c)
xxx
2
b
−
−
2
b
−
2
b
−
−
2
b
−
2
b
−
−
2
b
−
2
b
−
−
2
b
−
( )
p e
e
( )
p e
e
( )
p e
e
( )
p e
e
2 /2
b
2 /2
b
2
b
0
x
≥
0
x
<
(d)
-1
( )
1
1 2
-2
-1
Suma de en adas
Salida sumada
(g)
2 /2
b
(e)
Figu a 3.1: Ca ac e ís icas de la a i mé ica en módulo y signo
62
Capí ulo 3: E ec os FWL
El ango dinámico del sis ema de nume ación desc i o es:
max
min
( ) 1
2
( ) 0 2
b
b
Q x
Q x
−
−
= =
≠ (3.62)
y odos los núme os deben cae en el ango:
1 ( ) 1 2
b
Q x
−
− ≤ ≤ − (3.63)
Po úl imo se desc iben las ca ac e ís icas de o e low de es e sis ema de nume ación.
Los signos se ienen en cuen a de o ma au omá ica cuando los ci cui os sumado es e ec úan
la suma bina ia de dos núme os en complemen o a dos. El bi de aca eo en la posición 21 se
igno a lo que sucede con la suma de dos núme os nega i os. Si la suma de dos núme os
posi i os cae ue a del ango de ep esen ación ocu e el enómeno de unde low (apa ece bi
de aca eo en la posición 20) o cuando se suman dos núme os nega i os y el bi de aca eo se
en la posición de signo se ol ida. Es a ca ac e ís ica se ep esen a en la igu a 3.2g.
3.3.- Cuan i icación de los coe icien es del egulado
Uno de los p incipales obje i os de diseño un sis ema de con ol, si no el más
impo an e, es asegu a la es abilidad absolu a y obus ez del sis ema. Pa a ello se diseña el
egulado de o ma que el sea es able y a su ez el sis ema en lazo ce ado ambién lo sea.
Cuando se implemen a un egulado sus coe icien es se almacenan con un de e minado
núme o de ci as. Es o a ec a an o a la dinámica del sis ema como a la es abilidad. Se ha
es udiado en las pasadas décadas el e ec o del uncado y edondeo en el almacenamien o de
los coe icien es de las ecuaciones en di e encias, o de la unción de ans e encia, de sis emas
disc e os lineales e in a ian es en el iempo en el campo del a amien o digi al de la señal
desde el pun o de is a de la es abilidad. Es os es udios no iene en cuen a la ealimen ación,
pe o si que pe mi en la compa ación de di e en es es uc u as y algo i mos.
El es udio es ela i amen e ácil si se ealiza un análisis linealizado de sensibilidad de
los pa áme os de la ecuación ca ac e ís ica; se pueden ob ene es imaciones g ose as de los
e o es en los cálculos median e la idea de los núme os de condición del análisis numé ico.
Es e núme o pe mi e elaciona el e o ela i o en el esul ado con el e o ela i o en los
da os. Las conside aciones más impo an es que se han de i ado de es e es udio son las
siguien es:
• El coe icien e más sensible es el é mino independien e de la ecuación ca ac e ís ica.
• Si odas las aíces es án p óximas al ci culo unidad la sensibilidad es mayo .
• Las o mas asociadas son muy malas desde el pun o de is a numé ico.
• Si los polos es án jun os, la sensibilidad es mayo .
• La sensibilidad aumen a con el o den de mul iplicidad de los polos.
• Realizaciones en o ma di ec a implican mayo sensibilidad y meno núme o de
ope aciones.

Capí ulo 3: E ec os FWL
63
• Realizaciones en cascada y pa alelo implican mayo complejidad de cálculo y meno
sensibilidad.
De es os análisis se puede elegi la ealización ( ealización de buena condición) más
con enien e desde es e pun o de is a del algo i mo de con ol ya que el e ec o de la
cuan i icación de pa áme os es a iable según la es uc u a del diag ama de bloques u ilizado
pa a su implemen ación. También hay que hace no a que el pe iodo de mues eo iene una
in luencia conside able sob e la condición, de o ma que más apidez de mues eo supone
u iliza mayo p ecisión en la implemen ación de los coe icien es.
Como ya se ha comen ado odas es as conside aciones no han enido en cuen a que el
sis ema global ope a en lazo ce ado. Es bien conocido que la es abilidad en el
uncionamien o en lazo ce ado puede deg ada se mucho cuando el con olado diseñado se
implemen a con a i mé ica de p ecisión ini a. Pa a un egulado digi al diseñado pa a una
ecuencia de mues o dada, se pueden educi los e ec os de la p ecisión ini a de o ma
signi ica i a eligiendo de o ma adecuada la es uc u a del con olado . Pe o la elección no es
ácil ya que una a iación de la si uación de los polos (au o alo es) y ce os de egulado en
lazo abie o p o oca una a iación de polos y ce os del sis ema en lazo ce ado. Se puede
u iliza el mé odo del luga de las aíces pa a es udia los e ec os que p o ocan los e o es po
cuan i icación de coe icien es pe o suele se muy complicado. En es e pun o se a a da una
idea del p oblema que se p esen a.
Figu a 3.3: Diag ama de bloques de un sis ema de con ol mues eado
En la igu a 3.3 conocido G(s), GR(z) y el pe iodo de mues eo T se a a de encon a
una es uc u a óp ima FWL que asegu e la es abilidad absolu a y cumpla las especi icaciones
de es abilidad ela i a (ma gen de es abilidad).
Si
[
]
1
( )
C I A B
G z z D
−
= − +
es el equi alen e disc e o del sis ema a con ola ,
1
0
( )
0 0 0
R R R
C I A B
R R
G z z D
−
 
= − +
 
es la unción de ans e encia de una ealización del
egulado bajo p ecisión in ini a, se pueden ob ene di e en es es uc u as a pa i de es a pa a
ob ene la unción de ans e encia median e ans o maciones de simili ud.
K
: [
A
R
, B
R
, C
R
,
DR]
→
[
K
-1
A
R0
K, K
-1
B
R0
, C
R0
K,
DR0] (3.64)
64
Capí ulo 3: E ec os FWL
La ma iz de ansición de es ados del sis ema en lazo ce ado es única si la
implemen ación se ealiza bajo p ecisión in ini a y es independien e de la ealización escogida
pa a su implemen ación. Suponiendo que D es ce o es a ma iz es:
A BD C BC
AB C A
R R
R R
+
 
=
 
 
(3.65)
El sis ema se á es able si los au o alo es de es a ma iz es án den o del cí culo de adio
unidad. Si se de ine la ma iz
X
que es una ealización del egulado :
1 1 1
2 2
D C
XB A
l n N l
R R
R R
l n l n N
p p p
p p p
+ + − −
+ +
 
 
 
=
 
 
 
 
 
…
≜ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
(3.66)
donde N = (l+n)(q+n)
Se puede esc ibi :
0 1 2
( )
A 0 B 0 C 0
A X X M M XM
0 0 0 I 0 I
     
= + +
     
     
≜
(3.67)
Cuando una ealización del egulado se implemen a bajo p ecisión ini a
X
se modi ica
a
X
+
∆X
1 1 1
2 2
X
l n N l
l n l n N
p p p
p p p
+ + − −
+ +
∆ ∆ ∆
 
 
∆
 
 
∆ ∆ ∆
 
…
≜ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
(3.68)
Cada elemen o de es a ma iz es á limi ado. Es e lími e depende del sis ema de
nume ación y de la cuan i icación. En pun o ijo con b bi s y cuan i icación po edondeo:
{ }
1, ,
( ) max
2
i
i N
q
X p
µ
∈
∆ ∆ ≤
⋯
≜
( )
2
X
b b
q− −
= (3.69)
( )
X
µ
∆
ep esen a la máxima pe u bación posible en los pa áme os del egulado elemen o,
2
X
b
es el mayo ac o de no malización al que cada elemen o
2
X
X
b−
es absolu amen e no
mayo que uno. La pe u bación
X
∆
p o oca que los polos del sis ema en lazo ce ado
( ( ))
A X
i
λ
se mue an a
( ( ))
A X X
i
λ
+ ∆
y puedan es a ue a del cí culo de adio unidad.
Hay dos aspec os a los que se e ie e la obus ez en la es abilidad en una de e minada
implemen ación del egulado . El p ime o concie ne a la de e minación del meno núme o de
Capí ulo 3: E ec os FWL
65
bi s (B
s.
mínimo) pa a asegu a la es abilidad. Es o se puede consegui esol iendo el
p oblema de es abilidad obus a:
{
}
0
( ) in ( ): ( )
X X A X X
es ines able
µ µ
= ∆ + ∆
(3.70)
Pues o que
0
/2 (
X)
q
µ
≤
se deduce que
min 2
log ( ( ) 1 )
X
s o x
B B
µ
≤ − +
. Debido a las
di icul ades que se p esen an pa a ob ene
0
( )
X
µ
se ecu e a las simulaciones po
compu ado pa a ob ene el B
s
mínimo. El o o aspec o más impo an e es encon a la
es uc u a que haga que
0
µ
sea máximo.
En la ac ualidad exis en dos ap oximaciones pa a de e mina la es uc u a de ealización
óp ima bajo c i e ios di e en es, sensibilidad en las medidas de los polos (Is epanian e al) y
medidas del adio de es abilidad (Fialdo e al).
En el p ime caso pa a cuan i ica los e ec os FWL se u iliza la sensibilidad de las
medidas de los polos. Dada la di icul ad de cálculo de
0
µ
, es e se sus i uye po la siguien e
medida de es abilidad basada en el módulo de los polos:
11
1
1
( ) min
X
X
i
i m n N i
jj
p
λ
µδλ
δ
≤ ≤ +
=
−
∑
≜ (3.71)
( )
A X X
+ ∆
se á es able si
( )
X
µ
<
1
( )
X
µ
<
0
( )
X
µ
.
El in en o de ob ención de la ealización óp ima bajo el p isma de minimiza es os
e ec os conduce a un p oblema de op imización no con exo y no egula . Se han desa ollado
écnicas de op imización pa a hace ácilmen e abo dable es e p oblema de op imización.
En la segunda ap oximación se u iliza el adio de es abilidad y abo da el p oblema de
implemen ación óp ima en el con ex o del con ol obus o como un caso especial de
minimización H
2
esol iendo el p oblema con el mé odo de las inecuaciones de ma ices
lineales.
3.4.- Cuan i icación de las señales
En es e pun o se p ocede a analiza el e ec o de la cuan i icación de la a iable de
en ada al egulado digi al y en las a iables in e nas (nodos). Se pueden u iliza a ias
écnicas de análisis, de las que des acamos:
Análisis no lineal
Una desc ipción de allada de la cuan i icación y del edondeo implica el empleo de
modelos no lineales complicados, que son muy di íciles de analiza ( unción desc ip i a,
66
Capí ulo 3: E ec os FWL
análisis median e la eo ía de las bi u caciones, e c.). Ejemplos sencillos de es os modelos
mues an que pueden da luga a equilib ios múl iples y ciclos lími es. Un análisis median e el
empleo de la unción desc ip i a pe mi e de e mina de o ma ap oximada los ciclos lími e si
en el lazo de con ol exis e solo una no linealidad. (AST88).
Análisis lineal
En es e caso la cuan i icación y el edondeo se modelan median e ope aciones ideales
con pe u baciones sumadas o mul iplicadas. Las pe u baciones pueden se de e minis as o
es ocás icas. Es e ipo de análisis es especialmen e ú il pa a es ima el o den de magni ud,
pe mi iendo la in es igación de sis emas complejos y la compa ación de di e en es algo i mos
de con ol. A su ez se pueden u iliza dis in as écnicas, de las que cabe dis ingui las dos
siguien es:
Es udio del caso más des a o able
Se adop a el pun o de is a “pesimis a” en el que se supone que el edondeo p oduce el
mayo e ec o posible. Se a a de ob ene el máximo e o a que puede da luga un uncado o
un edondeo. El es udio se ealiza desde el pun o de e minis a. Si se conside a un sis ema
lineal, se obse a que el edondeo de las a iables no puede da luga a una la salida no
aco ada. E iden emen e el es udio hay que hace lo cuando el sis ema ope a en lazo ce ado.
Es udio del caso más des a o able en égimen pe manen e
Fue es udiado po Slaugh e en el con ex o del con ol digi al y po Blackman en il os
digi ales. En es e análisis la a ención se cen a en los e o es debidos al edondeo, cuando las
a iables alcanzan un alo cons an e en égimen pe manen e.
Es e es udio es simple y, desg aciadamen e, no puede aplica se siemp e, pues se pa e
de la hipó esis de un e o de cuan i icación cons an e en égimen pe manen e de alo q
(escalón de cuan i icación) en égimen pe manen e. Las co as calculadas po es os
p ocedimien os dan luga a alo es excesi amen e pesimis as.
Análisis es adís ico
O a posibilidad in e esan e pa a alo a el e o de cuan i icación es da le un ca ác e
alea o io a su apa ición y es udia lo desde el pun o de is a es adís ico. Se supone que el e o
come ido es una a iable alea o ia uni o me en el in e alo (0, q) pa a el uncado y (-q/2, q/2)
pa a el edondeo. La p opagación de los e o es de uncado y edondeo dependen de la
unción de ans e encia en e el pun o uen e de e o y la salida. Se a a de de e mina las
p opiedades es adís icas de la salida del egulado y del sis ema en lazo ce ado con el obje o
de deduci si el algo i mo de con ol ampli ica el uido de cuan i icación. Se suponen uidos
es aciona ios e inco elados.
3.4.1.- E o de cuan i icación en la con e sión A/D
Capí ulo 3: E ec os FWL
67
La a ea de un con e so A/D es, a pa i de una señal analógica, p opo ciona una señal
digi al codi icada. Ello implica un p oceso de cuan i icación y codi icación. En la igu a 3.4
se conside a el con e ido A/D, donde la señal de en ada x( ) se mues ea y se cuan i ica en
una secuencia {Q(x(k))}que es p ocesada po el egulado ( il o) digi al.
( )
R
G z
Figu a 3.4: Con e so A/D
La mayo pa e de los con e so es A/D son bipola es ( alo es posi i os y nega i os). El
sis ema de nume ación empleado no malmen e es el complemen o a dos y se puede u iliza la
cuan i icación po uncación o po edondeo. La cuan i icación po uncación es equi alen e
a la cuan i icación po edondeo añadiendo un sesgo de alo 2
-b
/2 según se mues a en la
igu a 3.5:
( )
R
G z
2 /2
b
Sesgo −
b
Q
{
}
( ( ))
b
Q x k
Figu a 3.5: Modelo equi alen e del con e so A/D
El con e ido A/D in oduce un e o de cuan i icación:
( ) ( ( )) ( )
b
e k Q x k x k
= − (3.72)
Pa a de e mina los e ec os de la cuan i icación en el uncionamien o del con e so A/D
se u iliza la ap oximación es adís ica. La na u aleza no lineal del cuan i icado y la
dependencia del e o en las ca ac e ís icas de la señal de en ada hace in a able cualquie
análisis de e minis a. La igu a 3.6 ep esen a el modelo del cuan i icado .
( )
R
G z
{
}
( ( ))
b
Q x k
Figu a 3.6: Modelo de con e so y egulado
Se conside a que las ca ac e ís icas del e o son:

68
Capí ulo 3: E ec os FWL
2 2
2 2
b b
e
− −
− < ≤
2
2
2
12
b
e
σ
−
= (3.73)
Pa a conside a el e ec o de la cuan i icación del la señal de en ada se puede u iliza la
elación (po encia) de la señal a uido de cuan i icación:
2
2
10log 10log 6.02 16.81 20log
x x
e e x
P
R
SNR b
P
σ
σ σ
= = = − −
(3.74)
El úl imo é mino depende del ango R del A/D y de los es adís icos de la señal de
en ada. Es a ó mula se u iliza pa a de e mina la p ecisión o longi ud de palab a del
con e so ; es o signi ica que po cada bi adicional en el cuan i icado inc emen a la elación
SNR en 6 dB. Es e e o es una en ada al egulado digi al.
3.4.2.- E o es de cuan i icación en las a iables in e nas y en la salida del
egulado
Como ya se ha comen ado ei e adamen e exis en muchas es uc u as de
implemen ación de egulado es digi ales. En el ema dos se ha desc i o las más in e esan es
desde el pun o de is a del con ol. Las a iables in e nas en cada nodo son el esul ado de
una suma de p oduc os o mados po coe icien es del egulado y señales in e nas.
1
( ) ( )
L
l i i
i
k c k
=
=
∑
(3.75)
Es a exp esión ep esen a el caso ideal donde los coe icien es c
i
es án sin cuan i ica y
las a iables
i
ambién. En la implemen ación los coe icien es se cuan i ican, po ejemplo a a
bi s y las a iables se ep esen an con b bi s, po ejemplo, en complemen o a dos. El p oduc o
end á a+b bi s. El p oduc o puede se cuan i icado Q
1
a b bi s y ealiza la suma o bien hace
las sumas con a+b bi s y el esul ado cuan i ica Q
2
a b bi s. La si uación depende del
ha dwa e elegido siendo la cuan i icación Q
2
la que in oduce meno del uido de
cuan i icación. La a ianza del uido in oducida po Q
1
en
l
(k) es:
1 1
2 2 2
1
L
e e e
i
L
σ σ σ
=
= =
∑
(3.76)
La a ianza del uido in oducida po Q
2
en
l
(k) es:
1
2 2
e e
σ σ
=
(3.77)
En cada nodo se puede demos a [PHI90] que apa ece un uido de cuan i icación que
en caso de edondeo, e
iene las siguien es ca ac e ís icas:
Capí ulo 3: E ec os FWL
69
2 2
2
2 2
b b
b a
e
− −
− −
− + < ≤ con
min 0
2 0
b a
e
− −
≠
= ≈
(3.78)
Su unción de p obabilidad es disc e a:
1
21 1
1
( ) 2 2 (1 2 )
a
i
a b a
i
p e e i
δ
− −
=
− − − − +
=
 
= − −
 
∑
(3.79)
2
( ) 0
2
b a
E e
− −
= ≈
(3.80)
2 2
2 2
2 2
(1 2 )
12 12
b b
a
e
σ
− −
−
= − ≈ (3.81)
De es as exp esiones se obse a que se puede ap oxima el e o de edondeo de los
p oduc os usando las ca ac e ís icas del e o de edondeo con unción de p obabilidad
con inua. Pa a analiza el e ec o de la cuan i icación en la a iable de salida en el egulado se
supone que exis en Q uniones de sumandos cada uno modelado según la igu a 3.7:
1
( )
q
k
2
( )
q
k
( )
q
L
k
1
q
c
2
q
c
q
L
c
( )
q
l
k
Figu a 3.7: Modelo del p oduc o
El egulado digi al se puede modela según la igu a 3.8:
1
( )
G z
( )
i
G z
( )
Q
G z
1
( )
F z
( )
i
F z
( )
Q
F z
1
( )
E z
( )
i
E z
( )
Q
E z
0
( )
E z
( )
X z
( )
q
Y z
Figu a 3. 8: Modelo del egulado
70
Capí ulo 3: E ec os FWL
Donde e
0
(k) ep esen a el e o de cuan i icación del con e so A/D, F
i
(z) es la unción
de ans e encia de la en ada al i-ésimo pun o de suma de cada e o de cuan i icación de
p oduc os y G
i
(z) es la unción de ans e encia de cada pun o an e io a la salida. En onces:
01
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Q
qR R i i
i
Y z X z G z E z G z E z G z
=
= + +
∑
(3.82)
Se puede pone :
( ) ( ) ( ) ( )
qR n
Y z X z G z E z
= + (3.83)
Donde:
01 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Q Q
n R i i ni
i i
E z G z E z G z E z E z
= =
= + =
∑ ∑
(3.84)
Con G
0
(z) = G
R
(z)
En lo que sigue amos a analiza el e o de cuan i icación conside ando que es una
pe u bación de ca ác e de e minis a. En el dominio del iempo se puede pone :
0
( ) ( ) ( )
ni i i
j
e k g j e k j
∞
=
= −
∑
(3.85)
max
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ni i i i i
j j
e k g j e k j e k g j
∞ ∞
= =
≤ − ≤
∑ ∑
(3.86)
Conside ando que cada p oduc o se edondea po sepa ado:
max max
( )
2
i i i
q
e k L e L
= = (3.87)
po lo an o:
0
( ) ( )
2
ni i i
j
q
e k L g j
∞
=
 
≤ 
 
∑
(3.88)
Como
0
( ) ( )
Q
n ni
i
e k e k
=
≤
∑
(3.89)
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
Q Q Q
n ni i i i i
i i j i j
q q
e k e k L g j L g j
∞ ∞
= = = = =
 
 
≤ ≤ ≤
 
 
 
 
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
(3.90)
Capí ulo 3: E ec os FWL
71
Es e alo es la mayo co a de la magni ud del e o de edondeo a la salida del
egulado . Es un alo muy pesimis a ya que se ha conside ado el máximo e o en cada
ins an e de mues o y además se han sumado sin conside a el signo. Es el peo caso posible
en es e modelo.
O a co a más ealis a se puede ob ene aplicando una en ada escalón de ampli ud q/2
en cada cuan i icado .
( ) - 0
2
i i
q
e k j L si k j
− = ≥
(3.91)
( ) 0 - 0
i
e k j si k j
− = <
(3.92)
0
( ) ( )
2
k
ni i i
j
q
e k L g j
=
 
=
 
 
∑
(3.93)
En égimen pe manen e k iende a in ini o:
0
( ) ( )
2
ni i i
j
q
e L g j
∞
=
 
∞ =
 
 
∑
(3.94)
pe o:
1
0
( ) ( ) (1)
i i z i
j
g j G z G
∞
=
=
= =
∑
(3.95)
Po an o:
0
( ) (1)
2
Q
n i i
i
q
e L G
=
∞ ≤
∑
(3.96)
A es a co a se la llama co a de e o en la salida en égimen es aciona io. De es e es udio
se desp ende que el análisis basado en modelos de e minis as de los e ec os de la
cuan i icación no es muy ealis a debido a los e ec os no lineales que p oduce. Además, como
se ha is o, no es ácil ob ene modelos en egulado es con muchos nodos sumado es y
muchas mul iplicaciones.
Se ob ienen esul ados más gene ales sob e es os e ec os, modelando los e o es de
cuan i icación en los p oduc os como secuencias de uido adi i o como ya se hizo en la
con e sión A/D y las a iables como a iables es ocás icas. La secuencia de salida del
egulado se sepa a en dos componen es que se suman. Uno debido a la en ada x(k) y o o
debido a los uidos adi i os de cuan i icación e
ni
(k). U ilizamos la eo ía de p ocesos
es ocás icos pa a calcula la media, la a ianza del uido de cuan i icación y la elación SNR a
la salida del egulado digi al. Se suponen p ocesos es aciona ios e inco elados. El modelo se
mues a en la igu a 3.9:
78
Capí ulo 3: E ec os FWL
secciones indi iduales. En el caso de una ealización en cascada pa a la ob ención de un il o
IIR de o den supe io , los ciclos lími e son mucho más di íciles de analiza . En pa icula ,
cuando la p ime a sección del il o p oduce un ciclo lími e, es e se il a en las secciones
siguien es. Si la ecuencia del ciclo lími e es á ce ca de la ecuencia de esonancia de alguna
de las secciones siguien es, la ampli ud del mismo se e inc emen ada conside ablemen e po
el e ec o de esonancia.
En sis emas de o den supe io el es udio se complica eno memen e. El p oblema de la
apa ición de es as oscilaciones ha dado luga a g an can idad de publicaciones en el campo del
p ocesado de la señal bajo dis in os aspec os.
Es udio del impac o de ciclos lími e en di e en es es uc u as de il os [FET72],
[THO76] y [KAU96]. Es a egias de eliminación [FET75b], [MEE76], [TUR83] y [HAR00]
pa a llega a es uc u as lib es de ciclos lími e [VER 77], [BAR 77] y [MIL 78].
Es ablecimien o de condiciones gene ales pa a la ausencia de oscilaciones [VA87]. Ob ención
de co as eó icas en la ampli ud y pe iodo que pueden alcanza las oscilaciones [SAN72],
[YAK73], [LON73], [MIT77] y [GRE88]. Desc ipción de algo i mos de búsqueda exhaus i a
[BAU 91], [PRE 96] y [DJE 98] y c eación de algo i mos de búsqueda pa cial y guiada [OSE
00], [JIM 01] y [UTR 02].
3.6.- Oscilaciones de O e low
Apa e de los ciclos lími e es udiados en la sección an e io pueden apa ece ciclos
lími e causados po desbo damien os en las sumas. Es as oscilaciones son de g an ampli ud y
p o ocan g andes oscilaciones en la a iable a con ola y el sis ema se uel e ines able.
Apa ecen cuando se suman dos o más núme os bina ios p oduciéndose un desbo damien o
cuando la suma excede el amaño de la palab a disponible en la implemen ación digi al del
egulado .
Si conside amos, po ejemplo, el il o de la igu a en el que la suma se ealiza en
a i mé ica con complemen o a dos:
1
z
−
2
a
−
1
a
−
1
z
−
Figu a 3.11: Fil o de segundo o den
.

Capí ulo 3: E ec os FWL
79
Podemos pone :
1 2
( ) ( ( ) ( 1) ( 2))
y k g x k a y k a y k= + − + − (3.129)
donde g(.) ep esen a la suma en complemen o a dos. Es a unción es á ep esen ada en la
igu a 3.2g. El ango de alo es de a
1
y a
2
pa a que el il o sea es able iene de e minado po
el conocido iángulo de es abilidad, pe o es as condiciones no son su icien es pa a p e eni
las oscilaciones po desbo damien o con a i mé ica en complemen o a dos. Se puede
demos a que la condición necesa ia y su icien e pa a que no exis an es e ipo de oscilaciones
es:
1 2
1
a a
+ <
(3.130)
Es a condición es muy es ic i a y no se puede impone en cualquie sección de
segundo o den. Una solución pa a esol e es e p oblema es modi ica la ca ac e ís ica del
sumado como se mues a en la igu a 3.11 de o ma que ealice la a i mé ica de sa u ación.
Figu a 3.12: Ca ac e ís ica de sa u ación
Cuando se pe ciba un desbo damien o, la salida se á el alo del ondo de escala de ±1.
Es o in oduce una no linealidad de e ec o pequeño ya que la sa u ación se p oduce con poca
ecuencia. De cualquie o ma sigue siendo necesa io escala las señales y los pa áme os del
egulado .
3.7.- Minimización de oscilaciones de ciclos lími e y de oscilaciones de
o e low
En es e apa ado se es udia la posibilidad de la eliminación de ciclos lími e g anula es,
de o e low y la minimización de sus e ec os. En la bibliog a ía consul ada en el con ex o del
il ado digi al se pueden encon a a ios mé odos di e en es pa a su eliminación o
minimización de sus e ec os, pe o la ca ac e ís ica de odos ellos es que no se a a de mé odos
gene ales aplicables a cualquie ipo de es uc u a y además, en aquellas es uc u as donde
pueden aplica se las condiciones son muy es ic i as.
80
Capí ulo 3: E ec os FWL
Un p ime in en o de minimiza sus e ec os consis e en inc emen a la longi ud de
palab a u ilizada en la implemen ación del il o, con lo que se puede consegui una
disminución en la ampli ud de los ciclos lími e pe o no su eliminación. La longi ud de palab a
elegida pa a minimiza los e ec os de los ciclos lími e es a á en unción de las
especi icaciones del sis ema de o ma que ga an ice el co ec o uncionamien o de la
aplicación diseñada. Es e mé odo ha sido es udiado po Sandbe g y Kaise [SAN72], Long y
T ick [LON73] y G een y Tu ne [GRE88].
Los ciclos lími e pueden se eliminados median e la u ilización en es uc u as
especí icas de esquemas de cuan i icación adecuados. Un mé odo pa a la eliminación de los
ciclos lími e p oducidos an e en ada nula ue p opues o po Mee kö e [MEE76] y
pos e io men e u ilizado po Mills, Mullis y Robe s [MIL78] y Vaidyana han y Lui [VAI87].
En él se demues a que exis en di e sas ealizaciones que sopo an la eliminación de las
oscilaciones de ciclo lími e. En es e mé odo es á basado en el c i e io de es abilidad de
Lyapuno y el se ob iene una unción de Lyapuno elacionada con la ene gía almacenada
que pe mi e demos a , que bajo cie as condiciones, los ciclos lími e no pueden man ene se.
Considé ese un il o digi al como el mos ado en la igu a 3.12 donde el bloque A es un
subsis ema lineal que con iene sumado es, mul iplicado es e in e conexiones pe o no con iene
unidades de e a do. Los bloques Q
n
(n =1,2, ..., N) a la en ada de las unidades de e a do
ealizan la cuan i icación y con ol de o e low de la señal.
1
( )
x k

1
( )
x k
1
( )
q k
( )
N
x k

( )
N
x k
( )
N
q k
( )
u k
( )
y k
1
Q
T
N
Q
T
Figu a 3.13: Esquema de eliminación de ciclos lími e
Las ecuaciones en el espacio de es ado que ca ac e izan el il o pueden exp esa se
como:
( ) ( ) u( )
( ) ( ) ( )
x A q B
C q
k k k
y k k Du k
= +


= +

(3.131)
An e en ada nula, u(k) = 0:
( ) ( )
x A q
k k
=
(3.132)
Capí ulo 3: E ec os FWL
81
donde
{
}
ij
a=A y
( )
n
x k
ɶ
es á elacionada con
( )
n
x k
a a és de un sis ema (cuan i icado ) no
lineal y posiblemen e a ian e en el iempo dado po :
{
}
( ) ( ) 1,2, ,
n n n
x k Q x k n N
= ∀ =
ɶ
⋯
(3.133)
La o ma cuad á ica:
[
]
T
( ) ( ) ( )
q q Dq
p k k k
= (3.134)
donde D es una ma iz diagonal de inida posi i a de dimensiones NxN, que es á elacionada
con la ene gía almacenada en las unidades de e a do en el ins an e kT, y los cambios en es as
can idades pueden p opo ciona in o mación sob e la es abilidad del il o bajo condiciones de
en ada nula. El inc emen o de p[q(k)] en un ciclo de il ado puede exp esa se como:
[
]
[
]
[
]
( ) ( 1) ( )
q q q
p k p k p k
∆ = + − (3.135)
ob eniéndose a pa i de las ecuaciones (1.132), (1.134) y (1.135):
[
]
T T
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
q q Dq x Dx
p k k k k k
∆ = − +
ɶ ɶ
(3.136)
[
]
[
]
[
]
( )
T T T
T T 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
q q D q x D x A q D A q x D x
q D-A DA q
T
N
n n nn
n
p k k k k k k k k k
k k x k x k d
=
∆ =− + + − =
 
=− − −
 
∑
ɶ ɶ
ɶ
(3.137)
donde d
nn
pa a n =1,2,...,N son los elemen os de la diagonal p incipal de D. Si se cumple que:
(
)
T T
( ) ( ) 0
q D- A DA qk k
≥
(3.138)
y las señales x
k
[n] son cuan i icadas de al o ma que:
( ) ( ) 1,2, ,
n n
x k x k n N
≤ ∀ =
ɶ
⋯
(3.139)
se ob iene que
[
]
( ) 0
qp k
∆ ≤
, es deci , que la ene gía almacenada en las unidades de e a do
no puede inc emen a se. Pues o que un il o digi al es un disposi i o de ini os es ados, las
señales q
n
(k) después de un núme o ini o de ciclos de il ado deben ende a ce o u oscila
pe iódicamen e. En el p ime caso, no se p oduci án oscilaciones de ciclo lími e. En el
segundo caso, po los menos una de las señales q
n
(k) debe oscila pe iódicamen e. Sin
emba go de la exp esión ob enida,
[
]
( ) 0
qp k
∆ ≤
, se deduce que la ampli ud de la oscilación
debe dec ece una cie a can idad con cada ciclo de il ado an es de que se haga ce o lo cual
sucede á después de un núme o ini o de ciclos. Po an o, la ecuación (3.138) jun o con la
ecuación (3.139) cons i uyen una condición su icien e pa a la eliminación de los ciclos lími e.
La ealización de un il o que sa is ace la ecuación (1.138) se dice que sopo a la eliminación
de ciclos lími e p oducidos an e en ada nula. La condición impues a po la ecuación (3.139)
82
Capí ulo 3: E ec os FWL
puede cumpli se u ilizando cuan i icación de las a iables de es ado po uncado en
magni ud.
Pa a un il o es able, el módulo de los au o alo es de la ma iz A son meno es que la
unidad y la ecuación (3.138) puede se sa is echa si es posible encon a una ma iz D
de inida posi i a de al o ma que la ma iz D – A
T
DA sea semide inida posi i a [MIL78] y
[VAI87]. Pa a il os de segundo o den, es a condición es sa is echa si se cumple que
0aa
21
12
≥
o bien si
0aa
21
12
<
y
1)de (aa
2211
≤+− A
.
Hay algunas ealizaciones que sopo an la eliminación de ciclos lími e an e en ada nula
como po ejemplo la es uc u a no mal en el espacio de es ados, en la cual:






αβ−
βα
=-
A (3.140)
con β > 0 [RAD67], [BAR77], y [GRA73]; ealizaciones que minimizan el uido de edondeo
a la salida ales como las p esen adas en [MUL76] y [JAC79]; ealizaciones en celosía
[VAI87], [GRA73] y [GRA80], e c.
El a amien o del p oblema de las oscilaciones de o e low en las a iables in e nas y
en salida del egulado es p obablemen e el escalón más impo an e en el diseño del egulado
digi al. Ya se han comen ado dos o mas posibles de elimina las, la p ime a es ealiza un
escalado adecuado y la segunda u iliza la ca ac e ís ica de sa u ación adecuada si se es á
u ilizando la a i mé ica en complemen o a dos. O o p ocedimien o al e na i o, es u iliza
es uc u as de implemen ación que es én lib es de es as oscilaciones (Mills, Mullis and
Robe s) y es semejan e al u ilizado pa a la eliminación de ciclos lími e.
Si el egulado digi al es á ep esen ado en a iables de es ado:
( 1) ( ) ( )
x A x B
k k u k
+ = +
(3.141)
La ca ac e ís ica de o e low se puede impone como:
( 1) ( ( ) ( ))
x G A x B
k k u k
+ = +
(3.142)
Si exis e una ma iz diagonal D con odos elemen os posi i os y D - A
T
DA es de inida
posi i a las oscilaciones de o e low son imposibles. Si la ma iz es 2 x 2 y el modulo de sus
au o alo es es meno que uno y exis e la ma iz an es comen ada se deben de cumpli las
siguien es condiciones que hacen imposibles las oscilaciones de o e low (las mismas
condiciones que pa a la eliminación de ciclos lími e).
12 21
0
a a
≥
o
12 21 11 22
0 de ( ) 1
Aa a y a a
< − + <
(3.143)
Pa a cualquie egulado digi al hay siemp e implemen aciones en complemen o a dos
lib es de oscilaciones de o e low. La eo ía de es abilidad de Liapuno es ablece una única
solución pa a:
Capí ulo 3: E ec os FWL
83
T
P A PA I
= +
(3.144)
P es de inida posi i a. Si T es una aíz cuad ada simé ica de P
-1
en onces:
1 1
( (
-1 T
P I T AT) I T AT)
− −
= − (3.145)
T es una ans o mación de coo denadas que p oduce una nue a A que cumple las
condiciones de la ma iz D. Es a solución equie e g an núme o de mul iplicaciones y la
desc ipción del egulado debe es a en a iables de es ado po lo que la hacen no p ác ica en
muchas aplicaciones.
3.6.- De ección de ciclos lími e en il os digi ales
O o en oque sob e el es udio de ciclos lími e es la u ilización de algo i mos de
búsqueda que sean capaces de de ec a si una es uc u a posee ciclos lími e o es a lib e de
ellos así como su ca ac e ización comple a: pe mi en conoce su ampli ud y su pe iodo. En el
con ex o del p ocesado digi al de señales los p ime os algo i mos que se desa olla on ue on
los de búsqueda exhaus i a [BAU91] y [PRE95]. El p ime o de ellos puede aplica se a il os
digi ales desc i os median e un sis ema de ecuaciones en di e encias de cualquie o den. Su
plan eamien o es sencillo e in ui i o, siendo sus necesidades de memo ia mínimas. El segundo
algo i mo se basa en un plan eamien o más acional del p oblema de de ección, educiendo el
núme o de ope aciones en el p oceso de búsqueda, pe o con el incon enien e de necesi a
g an can idad de memo ia.
Es os algo i mos ienen di e sos incon enien es en e los que des acan el ele ado
iempo de p ocesamien o, la necesidad de cálculos p e ios de co as de ampli ud y pe iodo de
los ciclos lími e (muy conse a i as y que gene almen e son complicadas de ealiza ) y que
no ca ac e izan los ciclos lími e con la in ención de e alua su in luencia en la aplicación
diseñada sino que se cen an únicamen e en de ec a si se p oducen.
Los algo i mos ealizan una búsqueda sob e odos los posibles es ados de los egis os
in e nos in e io es a la co a p e iamen e calculada. Pa a la aplicación de es os algo i mos se á
necesa io la de e minación de una co a de ampli ud máxima ( alo absolu o máximo que
pueden alcanza los elemen os del ec o de es ados cuando el il o e oluciona en égimen
pe manen e an e en ada nula) y una co a pa a el pe iodo máximo de las oscilaciones
pa ási as. Ambas co as pe mi en educi el iempo de cálculo necesa io pa a comp oba si el
il o en es udio se encuen a lib e de oscilaciones de ciclo lími e. No pe mi en conoce la
ampli ud y el pe iodo de los ciclos lími e que se de ec an.
Con el in de ob ene la ca ac e ización comple a de ciclos lími e en il os digi ales an e
en ada nula se han desa ollado pos e io men e algo i mos con es a egia de búsqueda pa cial
y es a egia de búsqueda guiada [OSE99] [UTR00] y [JIM01]. Con los algo i mos de
búsqueda pa cial en pocos segundos, se puede ca ac e iza el il o en e a los ciclos lími e y
se puede ob ene una co a ap oximada. Con los algo i mos de búsqueda guiada el obje i o
p incipal es el cálculo de una co a p óxima a la co a eal. Con es os algo i mos se consigue un
aumen o en la elocidad de de ección median e la p ueba de ec o es de mayo ene gía que la

84
Capí ulo 3: E ec os FWL
máxima almacenada en cada uno de los egis os en los ciclos lími e de ec ados. El
compo amien o de es os algo i mos se á di e en e en unción del ipo de il o y la si uación
de sus polos con espec o a la ci cun e encia de adio unidad.
3.6.1.- Co as de ampli ud de los ciclos lími e en il os digi ales
Se puede demos a que los ciclos lími e que apa ecen en un de e minado il o no
pueden supe a en módulo un de e minado alo , cons i uyendo és e una co a eó ica máxima
[BAU91]. En gene al, la no linealidad in oducida du an e el p oceso de cuan i icación Q[.],
sa is ace la exp esión:
[
]
ℜ∈∀⋅δ≤− x , q xQx
(3.146)
donde
δ
es el e o de cuan i icación no malizado (en pa icula , pa a el caso de
cuan i icación po edondeo 5.0
=
δ
y pa a uncado 1
=
δ
) y q el escalón de cuan i icación.
Teniendo en cuen a que odos los pa áme os del il o deben exp esa se como múl iplos
en e os del escalón de cuan i icación de amaño q, po sencillez, se abaja á en lo sucesi o
con un alo de q no malizado a la unidad. En odas las exp esiones se conside a á que q = 1
siemp e que no se indique lo con a io. El p oceso de cuan i icación puede modela se
median e una unción en e a de a iable eal Z : Q
→
ℜ
, siendo
ℜ
el conjun o de los núme os
eales y
Z
el conjun o de los núme os en e os. Pa a odos los ipos de cuan i icación que se
an a aplica se cumple que Q[0] = 0.
Conside ando un il o digi al de o den N ep esen ado en el espacio de es ados po el
conjun o de ma ices
{
}
A,B,C,
D
:
( 1) ( ) u(k)
( ) ( ) u(k)
x Ax B
Cx
k k
y k k D
+ = +
= +
(3.147)
donde
{
}
x/x
ii
ℜ∈=x ep esen a el ec o de es ado, u(k) la señal de en ada, e y[(k) la
señal de salida. Si el il o de o den N iene una en ada y una salida en onces, ,
NxN
ℜ∈A
,
1Nx
ℜ∈B
1x1xN1
y ℜ∈ℜ∈ DC .
Pa a la de ección de ciclos lími e an e en ada nula en il os digi ales únicamen e se á
necesa io analiza la ecuación ecu si a que elaciona el es ado ac ual de los egis os in e nos
con el siguien e:
( 1) ( )
x Ax
k k
+ =
(3.148)
Pa a el es udio, se conside a án únicamen e los il os es ables, es deci , aquellos cuyos
au o alo es de la ma iz
A
se encuen en en el in e io de la ci cun e encia de adio unidad en
el plano complejo. Imponiendo condiciones de longi ud de palab a ini a, la ecuación (3.148)
queda á en la o ma:
Capí ulo 3: E ec os FWL
85
[
]
( ) ( )
x Ax
k Q k
=
(3.149)
Dependiendo de si el esul ado de un p oduc o es almacenado con doble p ecisión o si
se ealiza la cuan i icación inmedia amen e después de cada p oduc o se pueden da las
siguien es si uaciones:
P oduc os almacenados con doble p ecisión. Se dispone de un acumulado cuya
longi ud de palab a es el doble de la del es o de los egis os:
1
1
1
( )
( 1)
( )
x
m
j j
j
m
Nj j
j
Q a x k
k
Q a x k
=
=
 
 
⋅
 
 
 
 
 
⋅
 
+ = ⋅
 
 
⋅
 
 
 
⋅
 
 
 
 
 
∑
∑
(3.150)
Cuan i icación inmedia amen e después de cada p oduc o. Se dispone de un acumulado
con la misma longi ud de palab a que el es o de los egis os:
[
]
[
]
[
]
[ ] [ ] [ ]
11 1 12 2 1
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
( 1)
( ) ( ) ( )
+
x
+
N
NN
N
N N N
Q a x k Q a x k Q a x k
k
Q a x k Q a x k Q a x k
 
⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅ ⋅
 
⋅
 
 
+ = ⋅
 
⋅
 
 
⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅ ⋅
 
(3.151)
donde
( )
j
x k
es la componen e j del ec o x(k).
El p oceso de cuan i icación puede in e p e a se como la in oducción de un e o de
o ma que la ecuación (3.149) puede exp esa se como:
( 1) ( ) ( ), ( )
i
x Ax e
k k k e k m
δ
+ = + ≤ ⋅
(3.152)
donde
{
}
( ) ( )e
N
i
k e k
= ∈ℜ
es el ec o de e o de cuan i icación.
Si el cálculo de los p oduc os se ealiza en doble p ecisión m =1, mien as que en el
caso de p ecisión simple m = N. En la ac ualidad, p ác icamen e odos los p ocesado es
digi ales de señal disponen de acumulado es de doble p ecisión po lo que en adelan e se
conside a á únicamen e es a posibilidad. Pa a la de e minación de la co a de cada uno de los
elemen os del ec o de es ados, x(k), pueden segui se a ios mé odos. El p ime o u iliza la
desc ipción del il o en a iables de es ado y se debe a Sidney Yakowi z y Sidney Pa ke
[YAK73], el segundo u iliza las unciones de Lyapuno y se debe B ian D. G een y Lau ence
86
Capí ulo 3: E ec os FWL
E. Tu ne [GRE88] y el e ce o u iliza la unción de ans e encia en z y ue p opues o po
P ema a ne [PRE96].
En la mayo pa e de los casos la implemen ación del il o se ealiza median e la
u ilización de es uc u as cuya desc ipción iene dada po un sis ema de ecuaciones en
di e encias, donde las a iables u ilizadas no co esponden odas ellas a a iables de es ado
( a iables de es ado se conside an las salidas de los bloques de e a do) sino a a iables de los
nudos in e nos del il o. Las co as ob enidas po Long y T ick [LON73] son azonablemen e
ce adas y ela i amen e áciles de aplica . A con inuación se desc ibe su plan eamien o.
Considé ese un il o implemen ado en o ma di ec a ca ac e izado po la ecuación en
di e encias:
0 1
( ) ( ) ( )
N N
i i
i i
y k b x k i a y k i
= =
= − − −
∑ ∑
(3.153)
Pa a una implemen ación con cuan i icación po edondeo, el il o puede queda
ca ac e izado po la ecuación:
( ) ( )
0 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
N N
i bi i ai
i i
y k b x k i e k a y k i e k
= =
= − + − − −
∑ ∑
(3.154)
donde e
bi
(k) y e
ai
(k) ep esen an los e o es debidos a la cuan i icación de los p oduc os. An e
en ada nula,
( ) 0
bi
e k
=
y po an o
1
( ) ( ) ( )
N
i
i
y k e k a y k i
=
= − −
∑
, siendo
1
( ) ( )
N
ai
i
e k e k
=
=
∑
(3.155)
De es a o ma el il o puede ep esen a se como un sis ema cuya en ada es e(k) y
salida y(k), siendo su unción de ans e encia:
1
1
( )
1
N
i
i
i
H z
a z
−
=
=
+
∑
(3.156)
La écnica empleada se basa en asumi que el ciclo lími e es una unción pe iódica de
pe iodo múl iplo de T; po an o el pe iodo se á MT. Pues o que H(z) ep esen a un il o
lineal, e(k) debe á ene el mismo pe iodo siendo
( ) ( )
e k e k M
= +
. A pa i de la suma de
con olución se puede exp esa :
0 ( 1) 1
( ) ( ) ( )
k Mj
N
j l k j M
y k h k l e l
−
= = − + +
 
= −
 
 
∑ ∑
(3.157)
Haciendo el cambio de a iable p = k-iM-l y eniendo en cuen a que:
( ) ( )
e k iM l e k l
− − = −
(3.158)
Capí ulo 3: E ec os FWL
87
e in e cambiando el o den de los suma o ios se ob iene:
1
0 0
( ) ( ) ( )
M
p j
y k e k p h p iM
− ∞
= =
= − +
∑ ∑
(3.159)
Pues o que
1
( ) ( )
N
ai
i
e k p e k p
=
− = −
∑
, siendo
2
( )
2
b
ai
e k p
−
− ≤ , se deduce que:
1
( ) ( )
2
N
ai
i
Nq
e k p e k p
=
− ≤ − ≤
∑
con
2
b
q
−
= (3.160)
ob eniendo una co a pa a la ampli ud de los ciclos lími e dada po :
1
0 0
( ) ( )
2
M
p i
Nq
y k h p iM
− ∞
= =
≤ +
∑ ∑
(3.161)
E iden emen e, el esul ado depende del pe iodo del ciclo lími e, el cual se desconoce.
El p oblema puede esol e se median e el cálculo de las co as pa a alo es de M
co espondien es a las ecuencias en el ango de 0 a 2/
s
ω, siendo ω
S
la ecuencia mues eo.
El máximo alo ob enido puede u iliza se como una es imación conse a i a de la co a.
A pa i de la exp esión an e io puede ob ene se una co a máxima e independien e de
M dada po :
[ ]
0
( ) 2
k
Nq
y k h p
∞
=
≤
∑
(3.162)
Po ejemplo, pa a el caso de una sección de segundo o den con unción de ans e encia:
1 2
1 2
1
( ) 1
H z
a z a z
− −
=+ + (3.163)
se ob ienen, en unción del ipo de polos p esen ados, las siguien es co as:
Polos eales y dis in os:
(
)
2
1 2
4
a a
>:
La ecuencia de los ciclos lími e es gene almen e 0 (M = 1) ó ω
s
/2 (M = 2), siendo la
co a ob enida:
1 2
1 2
1
1
( )
2
1
qM
a a
y k qM
a a

∀ =
+ +

≤

∀ =
− +

(3.164)
94
Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de
simulación y algo i mo de búsqueda exhaus i a
búsqueda de co as, análisis de uido y búsqueda de nue as es uc u as que puedan p esen a
mejo es ca ac e ís icas en e a los e ec os FWL en la implemen ación digi al de un sis ema
conocida su elación en ada-salida.
El obje o de es a sección es desc ibi el sis ema de la igu a 4.1 median e alguna o ma
que e leje comple amen e su es uc u a (nodos y amas) la elación en ada-salida con el in
de pode analiza los ac o es de memo ia, compu abilidad, complejidad de cálculo y análisis
de los p oblemas de cuan i icación. La o mulación que se p esen a a con inuación pa a
ep esen a de o ma gene al sis emas disc e os ue desc i a po p ime a ez po C ochie e
[CRO75] y u ilizada po Paul Mo oney [MOR83] donde se ep esen a un il o digi al desc i o
po una ecuación ma icial que pe mi e calcula de o ma co ec a las a iables de los nodos
in e nos de cualquie es uc u a de ealización. Es a o mulación es á basada en la
ep esen ación de sis emas disc e os median e diag amas de lujo o g a os u ilizados en la
sección 2.5 pa a ep esen a es uc u as de egulado es digi ales. Es os g a os es án
compues os po amas y nudos. Las amas pueden se e a dos o mul iplicado es. Los nodos
ep esen an las a iables y pueden se pun os de suma o de dis ibución. Pa a pode u iliza
es a ep esen ación es necesa io p ime o p ocede a nume a odos los nodos del g a o que
ep esen a una es uc u a.
En esencia se a a de de e mina la elación en e la señal de cada nodo espec o de las
señales en odos los demás nodos del g a o. La conexión en e dos nodos consis en en
combinaciones de amas de e a do y /o mul iplicado es. Los nodos no conec ados a ningún
o o nodo son nudos uen e o sumide o si espec i amen e salen amas o en an. De es a
o ma se puede esc ibi que la señal en cada nodo en el ins an e k es una combinación lineal
de las señales de odos los o os nodos y posiblemen e de una señal ex e na como indica la
ecuación 4.2 con j = 1,2, … , m.
1
( ) ( ) ( ( ) ( 1))
m
j j ji j ji j
i
y k x k a y k b y k
=
= + + −
∑ (4.2)
siendo m el núme o de nodos a
ji
y b
ji
son los coe icien es de ansmisión o ansmi ancias que
unen los nodos i con el j, y
j
(k) es la señal en el nodo j y x
j
(k) es la señal de en ada en el nodo
j.
Si se u iliza la ans o mada Z pa a la ecuación 4.2 se iene:
( )
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
m
j j ji i ji i
i
Y z X z a Y z b z Y z
−
=
= + +
∑ (4.3)
Se puede llega a una o mulación más compac a que la e lejada po la ecuación 4.2
de iniendo los ec o es o mados po las señales en cada nodo en los ins an es k y k-1 según
4.4:
1
2
( )
( )
( )
( )
X
m
x k
x k
k
x k
 
 
 
=
 
 
 
⋮
1
2
( )
( )
( )
( )
Y
m
y k
y k
k
y k
 
 
 
=
 
 
 
⋮
1
2
( 1)
( 1)
( 1)
( 1)
Y
m
y k
y k
k
y k
−
 
 
−
 
− =
 
 
−
 
⋮ (4.4)

Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de simulación
y algo i mo de búsqueda exhaus i a
95
Pudiéndose esc ibi :
( ) ( ) ( ) ( 1)
Y X FY GY
k k k k
= + + −
(4.5)
donde:
X(k), Y(k) e Y(k-1) son los ec o es mx1de inidos en 4.4.
F es una ma iz mxm o mada po los coe icien es de las amas sin e a do que llegan al
nudo, es o es a
ji
. Es os coe icien es mayo i a iamen e se án ce o se án ce o con alguna
excepción.
G es una ma iz mxm o mada po los coe icien es de las amas con e a do que llegan
al nudo, es o es b
ji
. La mayo ía de es os se án ce o y el es o oma alo unidad.
Si se aplica la ans o mada Z a la ecuación 4.5 y se ienen los ec o es:
1
2
( )
( )
( )
( )
X
m
X z
X z
z
X z
 
 
 
=
 
 
 
⋮
1
2
( )
( )
( )
( )
Y
m
Y z
Y z
z
Y z
 
 
 
=
 
 
 
⋮
(4.6)
esul a:
1
( ) ( ) ( ) ( )
Y X FY GY
z z z z z
−
= + + (4.7)
Median e es a desc ipción se pueden ep esen a odas las es uc u as posibles de
sis emas MIMO y SISO. En es a esis doc o al solo se abaja con sis emas SISO siendo más
p ác ico u iliza una desc ipción más gene al dada po las ecuaciones 4.8 y 4.9:
( ) ( ) ( ) ( 1)
Y E FY GY
k x k k k
= + + −
(4.8)
1
( ) ( ) ( ) ( )
Y E FY GY
z x z z z z
−
= + + (4.9)
donde la ma iz E de dimensión mx1 con un 1 únicamen e en la ila que co esponde al índice
del nodo en el que es é aplicada la en ada x(k) en la ecuación 4.8 y su ans o mada X(z) en
4.9. La in oducción de la ma iz E en las ecuaciones p eceden es solo iene un sen ido
p ác ico pa a el cálculo ma icial, ya que la u ilización de es a ma iz pe mi e que el mismo
bucle de p og amación se u ilice pa a dis in as en adas que se puedan aplica a cada nodo del
sis ema solo cambiando la en ada x(k) y el uno de la ila co espondien e donde se aplica en
la ma iz/ ec o E. Con múl iples en adas a los nodos la ma iz E se con ie e en diagonal
con 1 en aquellas ilas donde se aplica en ada. Las ecuaciones 4.9 y 4.10 se con ie en en:
( ) ( ) ( ) ( 1)
Y EX FY GY
k k k k
= + + −
(4.10)
1
( ) ( ) ( ) ( )
Y EX FY GY
z z z z z
−
= + + (4.11)
96
Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de
simulación y algo i mo de búsqueda exhaus i a
Pa a que la señal en un nudo en el ins an e k se pueda calcula con la elación 4.11 es
necesa io que es a señal dependa del alo de las señales en o os nodos que ya se hayan
calculado, de no se así el sis ema no se á compu able y no se pod á p og ama . Po ello, es
necesa ia una o denación de nodos que ga an ice la compu ación. La o denación no es única.
C ochie e p opone el siguien e algo i mo de o denación:
1. Enume a p ime o los nodos con en adas de e a dos, es deci , a la salida de los
elemen os de e a do o a amas conec adas a nudos uen e. Pa a calcula la señal
en es os nodos solo se necesi an los alo es ac uales de las señales ex e nas
aplicadas a es os nodos y las señales de los nodos in e nos en el ins an e (k-1). A
es os nodos se les llama de clase 1.
2. Enume a los nodos conec ados solo a amas que p oceden de nudos uen e,
amas con elemen os de e a do (salida con elemen os de e a do) o amas
conec adas a nodos nume ados en el paso an e io (nodos de clase 1). A es os
nodos se les llama de clase 2. En es e nue o g upo de nodos a nume a , las
señales dependen de señales ex e nas en el ins an e k y de señales en el ins an e
k-1 o señales ob enidas en el paso 1.
3. Repe i el paso 2 has a que odos los nudos es én nume ados. El único caso que
no se puede ep esen a con es e sis ema se p oduce cuando hay algún bucle sin
e a do, pe o es o no ocu e en la ealidad.
Pa a comp ende el p ocedimien o de ob ención de la ep esen ación de sis emas
disc e os median e las ma ices EFG se p esen a el siguien e ejemplo:
b
0
1
b
b
2
b
n
-a
1
2
-a
n
-a
-1
z
z
-1
-1
z
x(k) y(k)
1
1
2
3
45
Figu a 4.2: Es uc u a 1D con nume ación de nodos
Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de simulación
y algo i mo de búsqueda exhaus i a
97
Pa a ob ene la ep esen ación EFG de es e sis ema en el p ime paso se enume an los
nodos 1, 2 y 3 ya que son nodos de salida de las amas de e a do, cuya señal en el ins an e k
se puede calcula di ec amen e ya que solo necesi a de las señales en o os nodos en el
ins an e k-1. El nodo 4 no es de clase 1 po que no solo llega la en ada. En el segundo paso se
enume a el nodo 4 ya que a el llega la en ada en el ins an e k y las señales de los nodos ya
nume ados en el paso 1. En el e ce paso se enume a el nodo 5 y úl imo que además es la
salida del sis ema.
Con es a nume ación de nodos esul a:
1 4
( ) ( 1)
y k y k
= −
(4.12)
2 1
( ) ( 1)
y k y k
= −
(4.13)
3 2
( ) ( 1)
y k y k
= −
(4.14)
4 1 1 2 2 3 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
y k a y k a y k a y k x k
= − − − + (4.15)
5 1 1 2 2 3 3 0 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
y k b y k b y k b y k b y k
= + + + (4.16)
Es e sis ema de ecuaciones en di e encias es compu able y ep esen a comple amen e la
es uc u a in e na del sis ema. Es e sis ema de ecuaciones se puede esc ibi según el sis ema
de ep esen ación ma icial EFG:
00000
00000
00000
0 0 0 1 0
00000
E =
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2 3
1 2 3 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0
0
F =
a a a
b b b b
 
 
 
 
 
− − −
 
 
 
0 0 0 1 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
00000
00000
G =
 
 
 
 
 
 
 
 
(4.17)
Es as ma ices pueden se calculadas di ec amen e sin necesidad de esc ibi p ime o las
ecuaciones que desc iben el compo amien o del sis ema, siemp e que se hayan nume ado
co ec amen e los nodos.
4.2.1.- Ob ención di ec a de las ma ices EFG
A pa i de la es uc u a se puede segui el siguien e p ocedimien o:
La ma iz E es muy simple, ya que es una ma iz diagonal con un uno en la ila
co espondien e con el nodo o nodos donde se aplica la en ada o en adas; en nues o
ejemplo, en la ila 4.
La ma iz G ealiza la ac ualización de los egis os in e nos del sis ema. Es a
desc ipción supone que en cada ins an e k p ime o se ac ualizan los nodos salidas de los
elemen os de e a do (gobe nados po la ma iz G) y después se ealizan los cálculos en los
nodos suma (gobe nados po la ma iz F). Po ello la ma iz G es una ma iz odo ce os
excep o en la ila 1 columna 4 que co esponde con la ama de e a do y ansmi ancia b
ji
con
inal en el nodo 1 y comienzo en el 4; la ila 2 columna 1, que co esponde con la ama de
e a do con inal en el nodo 2 y comienzo en el 1 y la ila 3 columna 2 co esponde a la úl ima
98
Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de
simulación y algo i mo de búsqueda exhaus i a
ama de e a do. Po ello los coe icien es b
ji
de la ecuación 4.2 co esponden en la ma iz G
con la ilas j que ep esen an los nodos inales de las amas de e a do y las columna i o nodos
o igen de las amas de e a do.
La ma iz F es la que gobie na los cálculos in e nos del sis ema. Almacena los
coe icien es a
ji
de la ecuación 4.2 y como en el caso de la ma iz G se almacenan en las ilas j
y en las columnas i de la ma iz. Dicho de o o modo, se an conside ando odas las amas sin
e a do y se in oduce en la ma iz, la ansmi ancia en la ila con índice el inal de la ama,
nodo j y columna el comienzo del la ama, nodo i. De es a o ma, an o los coe icien es a
ji
como los b
ji
co esponden con las en adas en las ilas j y columnas i de las ma ices F y G
espec i amen e. La ma iz F se á iangula in e io (no hay amas de conexión de un nodo
consigo mismo) de la o ma:
1
1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
F =
j ji
m m
a a
a a
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⋯ ⋯
⋯ ⋯
⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
⋯ ⋯ ⋮ ⋮
⋮ ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
⋯ ⋯
(4.18)
Las ma ices E, F y G son ma ices dispe sas, suscep ibles de u ilización de algo i mos
e icien es pa a esol e las ecuaciones ma iciales en el iempo y en el dominio ans o mado
z.
4.2.2.- Función de ans e encia y ep esen ación EFG
En un sis ema disc e o de múl iples en adas y salidas, la elación en ada-salida iene
de e minada po :
( ) ( ) ( )
Y H X
z z z
=
(4.19)
Los ec o es Y(z) y X(z) es án de inidos en la elación 4.6 y H(z) es la ma iz de
ans e encia de dimensión mxm en e las señales de cada nodo ila y las señales de cada nodo
columna. Po an o despejando de la ecuación 4.12 se ob iene:
1 1
( ) ( )
H I F Gz z
− −
= − − (4.20)
Los elemen os de H(z), H
ji
desc iben la unción de ans e encia del nodo i al j es o es:
( ) ( ) 0 1,2,...,
( )
j
ji i
i
Y z
H X z con i m i j
X z
= = = =
(4.21)
En el nudo j se e i ica:
Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de simulación
y algo i mo de búsqueda exhaus i a
99
1
( ) ( ) ( )
m
j ji i
i
Y z H z X z
=
=
∑
(4.22)
Se obse a que la ep esen ación EFG de un sis ema disc e o de o den n inc emen a el
núme o de ecuaciones espec o a la ep esen ación del mismo en a iables de es ado. Si el
núme o de nodos de una es uc u a del sis ema es m en la ep esen ación EFG el núme o de
ecuaciones es m con m ≥ n.
4.2.3.- Conside aciones sob e la desc ipción EFG
En p ime luga con iene des aca que es a desc ipción es álida pa a desc ibi
cualquie sis ema disc e o median e ecuaciones en di e encia.
Rep esen a comple amen e el algo i mo de gene ación p opues o po la es uc u a, a
di e encia de la desc ipción en espacio de es ados. Po an o pe mi e analiza la es uc u a
conc e a que se p esen e.
Pe mi e homogeneiza odos los algo i mos que ep esen an los sis emas, a di e encia de
la desc ipción median e las ecuaciones en di e encia di ec amen e.
P opone una desc ipción ma icial que pe mi e la u ilización de oda la po encia del
análisis ma icial pa a el análisis de los sis emas disc e os. Además como las ma ices son
dispe sas se puede u iliza algo i mos e icien es pa a el cálculo, lo cual ali ia el inc emen o de
ope aciones en e a la desc ipción en espacio de es ados.
A di e encia de la desc ipción en espacio de es ados que dis ingue la ecuación del
es ado con la ecuación de la salida, es a ep esen ación a a po sepa ado la en ada, el es ado
ac ual y el es ado an e io . Po ello las p ime as ecuaciones son de ac ualización de los
es ados con el alo del es ado an e io .
A ni el p ác ico es necesa io dispone de dos ec o es, pa a Y(k) y pa a Y(k – 1).
También, a ni el p ác ico, pa a un sis ema conc e o, se puede p escindi de la ma iz E
c eando el ec o X(k).
En es a desc ipción no hay un a amien o di e en e pa a el/los nodos de salida. Todos
los nodos son igualmen e conside ados, siendo esponsabilidad del p og amado la
in e p e ación de cada uno. Incluso puede se posible no u iliza el nodo de salida pa a los
cálculos, ya que lógicamen e no se a a u iliza pa a la ac ualización de ningún o o nodo.
Es a desc ipción, po las ca ac e ís icas a iba comen adas, es muy ú il pa a el análisis
de los p oblemas de cuan i icación en es uc u as que es el p incipal obje i o de es a esis
doc o al, y más conc e amen e los ciclos lími e. Es o es así po que se iene acceso a la
in o mación en odos los nodos, así como es muy ácil la p og amación del algo i mo pa a
calcula la salida en cualquie nodo con la en ada en cualquie o o (muy ú il en el análisis de
la po encia de uido de cuan i icación a la salida del sis ema).
El único incon enien e es el inc emen o de ecuaciones con espec o a la desc ipción en
espacio de es ados. De odas o mas, es o no es demasiado p oblema cuando se u iliza un

100
Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de
simulación y algo i mo de búsqueda exhaus i a
o denado pa a ealiza los cálculos. Es p ecisamen e un obje i o impo an e de es a esis la
indicación de p ocedimien os pa a el análisis sis emá ico de los p oblemas de cuan i icación
en la es uc u a de egulado es digi ales. Análisis que p incipalmen e se á ealizado median e
o denado .
4.2.4.- Aplicación a un sis ema disc e o de con ol
A con inuación la igu a 4.3 mues a un ejemplo de ep esen ación de un sis ema de
con ol en EFG.
1 2
1 2
2(0.3679 0.2642 )
1 1.3679 0.3679
z z
z z
− −
− −
+
− +
1 2
1
0.7 0.7 0.1
1
z z
z
− −
−
− +
−
Figu a 4.3: Sis ema disc e o de con ol equi alen e
Si se elige la es uc u a 1D pa a el egulado y 1D pa a la plan a ob enemos un diag ama
de lujos que se mues a en la igu a 4.4:
1p
b
b
2p
-a
1p
2p
-a
-1
z
z
-1
y(k)
1
1
2
37
6
5
1
(k)
-1
z
z
-1
1
-a
2
b
b
1
0
be(k)
4
8
1
1
1
1
1
1
1
-1
K1
Figu a 4.4: Diag ama de lujos del sis ema de con ol
Se han nume ado los nodos siguiendo las eglas es ablecidas pa a ob ene la
ep esen ación EFG. Los coe icien es y las ecuaciones en di e encia son:
% # Coe icien es***
76 = b
0
= 0.7;
87 = K = 2;
64 = -a
0
= 1;
74 = b
1
= - 0.7;
Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de simulación
y algo i mo de búsqueda exhaus i a
101
75 = b
2
= 0.1;
81 = -a
1p
= 1.3679;
82 = -a
2p
= -0.3679;
31 = b
1p
= 0.3679;
32 = b
2p
= 0.2642;
63 = -1;
% # Ecuaciones****
y1[k]= +1*y8[k-1]
y2[k]= +1*y1[k-1]
y3[k]= + 31*y1[k] + 32*y2[k]
y4[k]= +1*y6[k-1]
y5[k]= +1*y4[k-1]
y6[k]= +1*x6[k] + 63*y3[k] + 64*y4[k]
y7[k]= + 74*y4[k] + 75*y5[k] + 76*y6[k]
y8[k]= + 81*y1[k] + 82*y2[k] + 87*y7[k]
Pa a ob ene las ma ices EFG o denamos los coe icien es de la siguien e o ma:
% # Coe icien es***
76=0.7;
87=2;
64=1;
74=-0.7;
75=0.1;
81=1.3679;
82=-0.3679;
31=0.3679;
32=0.2642;
63=-1;
Ediag=[0 0 0 0 0 1 0 0 ];
F ilas=[3 3 6 6 7 7 7 8 8 8 ];
Fcols=[1 2 3 4 4 5 6 1 2 7 ];
F alo es=[0.3679 0.2642 -1 1 -0.7 0.1 0.7 1.3679 -0.3679 2 ];
Fs alo es=[ 76 87 64 74 75 81 82 31 32 63 ];
G ilas=[1 2 4 5 ];
Gcols=[8 1 6 4 ];
G alo es=[1 1 1 1 ];
Gs alo es=[1 1 1 1 ];
Salidas=[3 7 ];
102
Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de
simulación y algo i mo de búsqueda exhaus i a
Las ma ices que se ob ienen son:
00000000
00000000
00000000
00000000
00000000
00000100
00000000
00000000
E
 
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
 
00000000
0000000
F=
0
0.3679 0.2642 0 0 0 0 0 0
000000
0 0
00000000
0 0 -1 1 0
0 0 0
0 0 0 -0.7 0.1 0.7 0 0
1.3679 -0.3679 0 0 0
0 2 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
00000001
10000000
00000000
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
00000000
00000000
G
 
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
 
Salidas = [3 7 ]
4.3.- O as ep esen aciones
La ep esen ación ma icial de C ochie e (EFG) iene el incon enien e de que no se
pueden aplica las ans o maciones de simili ud que son muy ú iles en la ep esen ación en
a iables de es ado pa a ob ene o as es uc u as. Pa a sal a es a di icul ad se puede u iliza
la ep esen ación de Chan [CHA78]:
Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de simulación
y algo i mo de búsqueda exhaus i a
103
1 1
( 1) ( )
( ) ( )
Ψ Ψ Ψ
q q
k k
y k x k
−
+
   
=
   
   
⋯ (4.23)
donde
1 1
Ψ Ψ Ψ
q q−
⋯
son ma ices ep esen a i as de la a i mé ica y ope aciones de
cuan i icación en la es uc u a, y(k) y x(k) son la salida y la en ada del sis ema y (k) las
salidas de las amas de elemen os de e a do. Es a ep esen ación p esen a las siguien es
ca ac e ís icas:
1. Cada coe icien e (p ecisión ini a) de una de e minada es uc u a apa ece en una
ma iz
Ψ
i
solo una ez. En el es o de las ma ices los elemen os son ce os o
unos.
2. Los nodos in e medios (no almacenado es) de una es uc u a se ep esen an po
ec o es:
1 1 2 2 1 1 1 2
( )
( ) ; ( ) ( ) ( ) ( )
( )
gΨ g Ψ g g Ψ g
q q q
k
k k k k k
x k
− − −
 
= = =
 
 
⋯
(4.24)
Es a ca ac e ís ica es impo an e po que en e cada nodo de es ado y cada nodo
in e medio se puede escala pa a sa is ace el ango dinámico. El concep o de p io idad pa a
las ope aciones (mul iplicaciones, sumas y cuan i icaciones) se man iene con es a desc ipción.
Es o iene e lejado po el o den i de las ma ices
Ψ
i
Exis e un p ocedimien o pa a, a pa i del diag ama de lujos de una de las es uc u as
es udiadas en la sección 2.5, ob ene la ep esen ación de Chan [CHA]. La ep esen ación
ob enida no es única debido a la nume ación a bi a ia de los nodos. Lo mismo sucede con la
ep esen ación ma icial de C ochie e. Paul Po oney [MOR83] desc ibe el mé odo pa a
ob ene es uc u as nue as a pa i de la ep esen ación de Chan median e ans o maciones de
simili ud.
' 1
1 ...
Ψ=PΨP
i i
pa a i q
−
= (4.25)
La ep esen ación de Chan es muy gene al y se puede ep esen a cualquie diag ama de
lujos; pe o p esen a p oblemas cuando se ealizan ans o maciones que puedan da luga a
es uc u as en las que la salida en un ins an e k depende de los alo es de los nodos en el
mismo ins an e. Pa a pode ob ene la ep esen ación de Chan es necesa io ealiza
ans o maciones a eces labo iosas, po lo que, si el nodo de salida es una a iable de es ado
es más adecuado u iliza la llamada ep esen ación en el espacio de es ados modi icada:
1 1
( )
( 1)
( )
( 1)
( )
Ψ Ψ Ψ
q q
k
k
y k
y k
x k
−
 
+
 
 
=
 
 
+
 
 
 
⋯ (4.26)
en la que el ec o y el escala y son es ados de la es uc u a. En es e caso no impo a como
se ans o man las ma ices pues o que la salida es un es ado. Es a ep esen ación es
comple amen e gene al pa a es uc u as de egulado es de la o ma:
110
Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de
simulación y algo i mo de búsqueda exhaus i a
Es a ecuación de es ado de e mina la dinámica del sis ema ealimen ado en el que x(k)
es de dimensión (n+m) x1, la ma iz A es de dimensión (n+m)x(n+m). Los n alo es de x(k)
son con inuos.
Cuando se p ocede a la implemen ación del egulado con una de las es uc u as
desc i as en el capí ulo 2, las a iables in e nas sean o no a iables de es ado, la en ada y la
salida en egulado su en el p oceso de cuan i icación y se almacenan en egis os con un
de e minado núme o de bi s como se indica en el apa ado 3.6.1 en il os digi ales. Si el
egulado se implemen a con la es uc u a 1D:
[ ]
1
10 1 0
1
1
0
( ) 11
C I A B
mi
mi
m i
R m
m
i
ni
i
bz
b b z b z
G z z D a z a z
a z
−
− −
−=
− −
−
=
+ +⋅⋅⋅+
= − + = =
+ +⋅⋅⋅+ +
∑
∑
(4.36)
Podemos esc ibi :
( 1)
( 1) ( ) 1, 2, ... , 1
i i
x k x k i m
+
+ = = −
(4.37)
1 ( )
1
( 1) ( ( ) ( ( ))
+
j m b b
m j j
j
x k Q a x k Q e k
=
−
=
+ = −
∑
(4.38)
( 1) 0
1
( ) ( ( ) ( ( 1))
+
j m b b
j j m
j
u k Q b x k Q b x k
=
−
=
= +
∑
(4.39)
( ) [ 1, 1] ( ) [ 1, 1] ( ) [ 1, 1]
x
k e k y u k∈ − ∈ − ∈ − (4.40)
El p oceso de cuan i icación p o oca que las a iables en los nodos in e nos, la en ada
y la salida del egulado , sean múl iplos en e os del escalón de cuan i icación q. Si se
no maliza al escalón de cuan i icación (q = 1), y así lo conside a emos en adelan e, y sin
pé dida de gene alidad, se e i ica á que las a iables de es ado, las de los nodos in e nos, la
en ada y salida sean núme os en e os múl iplos del escalón de cuan i icación. En es as
condiciones las ecuaciones del egulado cons i uyen un cell mapping sys em.
Las ecuaciones del sis ema ealimen ado son:
( 1) 0
1
( 1) ( ) ( ( ) ( ( 1))
x A x B +
j m b b
p p p b j j m
j
k k Q b x k Q b x k
=
−
=
+ = + +
∑
(4.41)
( 1)
( 1) ( ) 1, 2, ... , 1
i i
x k x k i m
+
+ = = −
(4.42)
1 ( )
1
( 1) ( ( ) ( ( ) ( ))
+
j m b b
m j j
j
x k Q a x k Q k y k
=
−
=
+ = − −
∑
(4.43)
y(k) = C
p
x
p
(k) (4.44)
Se obse a que las a iables de es ado de la plan a
( )
p
x
n
k
∈ℜ
y las del egulado se án
múl iplos en e os del escalón de cuan i icación q, que si se no maliza (q = 1), x
(k) se á

Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de simulación
y algo i mo de búsqueda exhaus i a
111
pe enece á a los en e os, de o ma que un sis ema de con ol con el egulado digi al
implemen ado con p ecisión ini a se puede modela con un mixed mapping. En gene al, un
mixed mapping sys em se ep esen a po las siguien es ecuaciones:
( )
( 1)
( )
( )
( 1)
( )
x
x G w
x
w H w
k
k
k
k
k
k
 
+ =
 
 
 
+ =
 
 
(4.45)
donde:
( ) ( )
x w G C
n m n m m n
k k Z x Z Z x
∈ℜ ∈ ∈ℜ ∈ ℜ
( 1) ( )
p M p
k k
+ =
(4.46)
con:
( )
( ) ( )
x G
p = M
w H
k
kk
   
=
   
   
(4.47)
La ma iz M es de dimensión (n+m) x (n+m). Es a ecuación de es ado de e mina la
dinámica del sis ema en el que el ec o de es ados es de dimensión (n+m) x1. Los n alo es
de x(k) son con inuos y los m es an es son disc e os (en e os). A es e espacio de es ados se le
denomina espacio de es ados mix o o bien a iables de es ado mix as.
Po an o un sis ema de con ol con el egulado digi al implemen ado con p ecisión
ini a es un sis ema dinámico cuya e olución es ep esen able en un mapa mul idimensional
mix o de compo amien o no lineal en los que encon a la solución analí ica en la mayo ía de
ellos es imposible. Es os sis emas oda ía se encuen an hué anos de eo ía.
Uno de los obje i os más impo an es al analiza la dinámica de es os sis emas es
desc ibi los pun os ijos, o zonas es ables en el espacio de es ados (independien es del
iempo) hacia donde ienden las a iables de es ado cuando el iempo iende a in ini o. La
Dinámica de sis emas y la Teo ía del Caos de inen cua o ipos zonas o pun os ijos llamados
a ac o es que ac úan de o ma que cualquie es ado ce cano al a ac o acabe en él a medida
que e oluciona. En un sis ema dinámico con inuo con dinámica ( ,•), el a ac o Λ es un
subconjun o del espacio de es ados al que:
a) Exis e un en ono de Λ, llamado cuenca de a acción al que con e ge cualquie
sis ema abie o que con enga a Λ.
b) ( , )
Λ ⊃ Λ
pa a su icien emen e g ande.
Se de inen cua o ipos de a ac o es:
1. Pun o ijo: Es un pun o del espacio de es ados al que iende el sis ema y una ez
allí pe manece a lo la go del iempo.
112
Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de
simulación y algo i mo de búsqueda exhaus i a
2. Ciclo lími e: Es una ó bi a pe iódica a la que ienden las ayec o ias p oducidas
po la e olución de los es ados en el iempo y que ienden a jun a se en la ó bi a.
3. To o lími e: Son ayec o ias cuasipe iódicas que nunca se cie an y es án
gobe nadas po dos o más ecuencias que o man una acción i acional.
4. A ac o ex año: Un a ac o es ex año si la dinámica del sis ema es caó ica
de o ma que las ayec o ias di e gen exponencialmen e a medida que pasa el
iempo pe o pe manecen en un espacio de es ados aco ado.
En los sis emas disc e os de con ol en los que la dinámica se es ablece en un espacio de
es ados mix o es posible la exis encia de ciclos lími e y de a ac o es ex años si el sis ema
cumple unas de e minadas condiciones [USH87]; pe o no es posible la exis encia de o os
lími e ya que en es os sis emas no se puede cumpli la condición que hacen posible su
exis encia. Un compo amien o caó ico que se p oduce cuando pequeñas a iaciones en los
es ados de la plan a o en los es ados del egulado p o ocan g andes a iaciones en la a iable
de salida y en los es ados del sis ema. Todo lo comen ado en es e pun o se ex iende a sis emas
MIMO sin di icul ad.
El compo amien o caó ico se ha obse ado de o ma expe imen al en el sis ema de
con ol es udiado en es a esis doc o al cuando se implemen a el egulado con un núme o
pequeño de bi s. Dada la di icul ad de la iden i icación y ca ac e ización analí ica de
a ac o es en es os sis emas se ha desa ollado un algo i mo de búsqueda y ca ac e ización de
a ac o es simples que jun o al p og ama de simulación nos pe mi i á ob ene sus
ca ac e ís icas.
4.5.2.- Algo i mo de búsqueda exhaus i a
La iloso ía u ilizada pa a la de ección de ciclos lími e o a ac o es en sis emas de
con ol digi al an e en ada nula u ilizada en es a esis doc o al es semejan e y a la ez
di e en e a la u ilizada en el il ado digi al y se basa en ealiza la de ección de los mismos
p obando ec o es de es ado inicial (V
es
) en el egulado an e en ada de e e encia nula y
nulo el ec o de es ado de la plan a y deja los e oluciona has a que el ec o de es ado
alcance el alo ce o o se epi a el ec o de es ado inicial. En el caso del con ol digi al en la
mayo ía de las ocasiones el ec o de es ado global se compone de la unión de los es ados del
egulado que es án cuan i icados jun o con el ec o de es ados del sis ema a con ola
(plan a) que no lo es án.
Es e en oque ha sido empleado po los algo i mos de búsqueda p opues os po
in es igado es en el campo del il ado digi al [BAU91], al como se ha indicado en el
capí ulo 3. El incon enien e de es e en oque adica en que al aplica un ec o de es ado
inicial, el sis ema e oluciona en p ime luga con a iaciones en el ec o de es ado
pe enecien es a un égimen ansi o io, llegando as un núme o inde e minado de i e aciones
al égimen pe manen e. El núme o de i e aciones has a llega al égimen pe manen e
depende á del es ado inicial, del ipo de sis ema (no lineal) y de la es uc u a empleada.
Cuando el p oceso de búsqueda de un ciclo lími e en sis emas de con ol se ealiza
median e compa ación de V
es
con el ec o de es ado ac ual, pe eneciendo el p ime o al
ansi o io, la de ección se á imposible. Pa a inicia el p oceso de de ección debe emos
Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de simulación
y algo i mo de búsqueda exhaus i a
113
asegu a que el sis ema es á en el égimen pe manen e. La aplicación de es e p ocedimien o
de de ección en sis emas de con ol digi al opieza con a ias peculia idades:
• El sis ema de con ol se compo a como una máquina de es ados de o ma que a
pa i de un de e minado es ado inicial después de k i e aciones se llega al mismo es ado
si el p oceso se uel e a epe i . El p oblema es que no se pueden ep oduci debido al
ca ác e eó icamen e con inuo de pa e que no se cuan i ica.
• Del mismo modo que en il os digi ales, los ciclos lími e son de pequeña
ampli ud (g anula es) pues o que el p oceso de cuan i icación apo a una pequeña
can idad de ene gía.
• Como ya se ha comen ado es posible la exis encia de a ac o es caó icos. Si el
sis ema no e oluciona a ce o ni a un ciclo lími e, puede e oluciona hacia un a ac o de
es e ipo pe o en odo caso es a á con inada a una egión del espacio de es ados.
• No se dispone de co as eó icas de los posibles ciclos lími e como sucede en
íl os digi ales y po an o el núme o de i e aciones máximas a espe a has a que se
epi a el es ado si es amos en un ciclo lími e. Es más, en eo ía (p ecisión in ini a en los
es ados de la plan a) un es ado ya no se ol e á a epe i .
El algo i mo de búsqueda exhaus i a p opues o en es a esis doc o al consigue ealiza
la búsqueda y análisis de los ciclos lími e en los que puede engancha se un sis ema de con ol
digi al independien emen e del ipo de es uc u a, ipo de cuan i icación y o den del sis ema.
Se pa e ep esen ando el sis ema de con ol median e el sis ema de ecuaciones en di e encias
que lo de ine según ep esen ación EFG, las cuales se p ocesa án pa a cada uno de los
posibles ec o es de es ado inicial del egulado con en ada nula y a i mé ica de p ecisión
ini a en pun o ijo has a de ec a la p esencia de un ciclo lími e o el es ado nulo.
La nomencla u a u ilizada en el algo i mo se de alla a con inuación:
b: Núme o de bi s.
q = 2
-b+1
: Escalón de cuan i icación.
ℓ
: Núme o de egis os in e nos del egulado .
{
}
ℓ
Zx
i
∈=x
: Vec o de es ado no malizado espec o al escalón de cuan i icación q.
{
}
1
/ 1, 2
S x x
b
i i
−
∞
= = ∀ = ⋯: Conjun o o al de ec o es iniciales.
S: Conjun o de ec o es iniciales de p ueba.
j
O
: Conjun o de ec o es que o man la ó bi a del ciclo lími e j.
∪
jj
OO =
: Conjun o de ec o es que o man la ó bi a de los ciclos lími e de ec ados.
{
}
{
}
ℓ⋯
ℓ
,,2,1ixmaxM/ZM
iii
=∀=∈=
∈Ox
M.Co a p ác ica calculada, no malizada
con espec o q.
(
)
j
y
: Valo absolu o de la salida máxima del sis ema en el ciclo lími e j.
(
)
{
}
j
j
ymaxY =
: Valo absolu o de la salida máxima del sis ema en los ciclos lími e
de ec ados.
114
Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de
simulación y algo i mo de búsqueda exhaus i a
El diag ama de lujos gene al del algo i mo se mues a en la igu a 4.12:
Inicio
Sis ema disc e o de con ol de inido
po sus ecuaciones en di e encias
Ob ención de Ts y Twd
Tipo de cuan i icación
Ex ae el p ime ec o de S
¿Se han p obado odos los
ec o es de S?
De ección de ciclos
lími e
Ex ae el siguien e ec o de S
Gene a esul ados
Fin
No
Si
Fil a ciclos lími e
Figu a 4.12: Diag ama de lujo del algo i mo de búsqueda exhaus i a.
El núme o de ec o es de es ado iniciales de p ueba es unción del núme o de es ados
cuan i icados y del núme o de bi s y en p incipio nos plan eamos una búsqueda exhaus i a
o al p obando odos los ec o es de es ado del egulado . Como se ha comp obado en el
algo i mo de búsqueda, se á necesa io gene a cada uno de los ec o es iniciales a p oba .
Los ec o es de p ueba se aplica án en o den ascenden e a su no ma in ini a y den o de cada
no ma o denados igual que en un “cuen akilóme os”. De es e modo se p oba án odos los
ec o es de es ado posibles en el egulado digi al es a o ma en odo momen o dado un ec o
de es ado siemp e se conoce á cual es el ec o siguien e a p oba y cuales son los ec o es ya
Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de simulación
y algo i mo de búsqueda exhaus i a
115
p obados. Po ejemplo, conside ando el dígi o de la izquie da como el menos signi ica i o y
exp esados como múl iplos en e os del in e alo de cuan i icación, se ob iene:
Vec o Es ado
V1
V2
V3
V4
......
V26
V27
V28
V29
-1 -1 -1
0 -1 -1
1 -1 -1
-1 0 -1
.............
1 1 1
-2 -2 -2
-1 -2 -2
0 -2 -2
............
donde V1 es an e io a V2 es e an e io a V3 ... y así sucesi amen e.
An es de gene a esul ados de la búsqueda, exis e la posibilidad de elimina los ciclos
lími e cuyo impac o sob e la a iable a con ola sean de magni ud insigni ican e desde el
pun o de is a del con ol. Es e c i e io se á ijado po el diseñado .
El algo i mo p opues o, además de la de ección de los di e en es ciclos, ob end á sus
ca ac e ís icas, de cuyo análisis el diseñado pod á alo a la impo ancia de los mismos y el
e ec o que p oducen sob e la a iable a con ola . A pa i de es os da os, el algo i mo
ob end á la ampli ud máxima en los egis os in e nos y la ampli ud máxima de salida de los
ciclos lími e de ec ados.
La in o mación que se ob iene del análisis es:
1.
Núme o de ciclos lími e de ec ados.
2.
Vec o es de es ado pe enecien es a cada uno de los ciclos lími e.
3.
Valo de salida pa a cada uno de los es ados.
4.
Ampli udes y pe iodos de los ciclos lími e en la a iable con olada.
5.
Núme o de ec o es de es ado iniciales p obados que se enganchan en cada ciclo
lími e.
6.
Pe iodo de cada ciclo lími e.
7.
Tiempo ap oximado de p ocesado.
4.5.3.- De ección de ciclos lími e
Pa a ene una idea de cómo plan ea la de ección de ciclos lími e en sis emas de con ol
digi al se pone como ejemplo la e olución de la salida del sis ema de la igu a 4.3 hacia un
ciclo lími e cuando se cuan i ican los coe icien es y las ope aciones en el egulado . La
espues a se ha ob enido po simulación con compu ado .
Se obse a en la igu a 4.13 a que la salida del sis ema e oluciona de o ma que iene un
pe iodo ansi o io y a pa i de un de e minado alo de k la espues a no iende a ce o como
lo hace el sis ema de con ol ideal sino que oscila en un ciclo lími e de pe iodo 5. En la igu a
4.11 b se ha ep esen ado en un plano de ase las a iables de es ado de la plan a (x1, x2) y en
ella se obse a la ayec o ia seguida has a un polígono a ac o de 5 lados (ciclo lími e).

116
Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de
simulación y algo i mo de búsqueda exhaus i a
0 20 40 60 80 100 120 140
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
k=1
K=2
k=2
k=3
k=4
k=5
k=6
k=7
k=8
(a) (b)
Figu a 4.13: Repues a an e en ada pulso del sis ema de la igu a 4.3 cuan i icando con 6 bi s, TC2 y
sa u ación.
En la abla 4.1 se mues a la e olución de las es ados del sis ema de con ol (x1, x2, x4 y
x5). Los dos p ime os co esponden a los de la plan a y los o os dos al egulado . Los de la
plan a (x1, x2) son es ados con inuos (p ecisión in ini a) y los del egulado (x4 y x5) son
núme os en e os múl iplos del escalón de cuan i icación.
Se obse a que en las p ime as i e aciones en sis ema e oluciona en un égimen ipo
ansi o io y a pa i de la i e ación 19 (k = 19) el es ado comienza a epe i se cada 5
i e aciones sal o di e encias en las úl imas ci as decimales de los es ados con inuos. Es a
di e encia a disminuyendo ápidamen e a medida que aumen a k. A pa i de la i e ación 40
la di e encia ya no se ap ecia y se si úa po debajo del decimal 16. La de ección del ciclo
lími e que apa ece en es e ejemplo se basa en i compa ando con un ec o de p ueba V es los
siguien es es ados que an apa eciendo y comp oba si son ce o o son “iguales” al ec o de
p ueba a pa i de una de e minada i e ación. Pa a pode de ec a el ciclo limi e debe emos
asegu a nos que cuando comience la compa ación de ec o es de es ado es emos ya en ciclo
lími e (ya se ha pasado el égimen ansi o io).
En el algo i mo que p oponemos como solución pa a la de ección es deja e oluciona
el sis ema un núme o de e minado de i e aciones sin ealiza compa aciones has a consegui
que el sis ema alcance el égimen pe manen e. Una ez en es a si uación se ac ualiza á el
ec o de p ueba V es , asignándole el ec o de es ado ac ual, y se p ocede á a compa a en
cada i e ación el ec o de es ados con el nue o V es . Pues o que se encuen a en égimen
pe manen e, el sis ema e oluciona á hacia ce o (ausencia de ciclo lími e) o epe i á una
secuencia de es ados (ciclo lími e).
Como se deduce de lo expues o, el algo i mo no a a de comp oba si un de e minado
ec o de es ado inicial se encuen a den o de un ciclo lími e, sino comp oba el posible ciclo
lími e al que e oluciona ese ec o de es ado inicial. Aplicando el mé odo expues o al ejemplo
an e io y ac ualizando V es cada 5 i e aciones se de ec a á el ciclo lími e si desp eciamos las
úl imas ci as decimales de los es ados con inuos. La igu a 4.14 ep esen a el p oceso lle ado
a cabo pa a la de ección.
Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de simulación
y algo i mo de búsqueda exhaus i a
117
Es ados x1 x2 x4 x5 29 -0.0555600609972838 0.0188636558921343 7 7
k=0 0 0 0 0 30 -0.0829405464409007 -0.0555600609972838 7 7
1 0.4375 0 11 0 31 -0.0305138270356073 -0.0829405464409007 8 8
2 0.28595625 0.4375 5 11 32 0.0512739630336001 -0.0305138270356073 9 8
3 -0.0822966956250002 0.28595625 -3 17 33 0.0188636910000615 0.0512739630336001 8 7
4 -0.280276954320438 -0.0822966956250002 -5 15 34 -0.0555600480810774 0.0188636910000615 7 7
5 -0.290613891494489 -0.280276954320438 -2 9 35 -0.0829405416890283 -0.0555600480810774 7 7
6 -0.106916850680823 -0.290613891494489 3 4 36 -0.0305138252873935 -0.0829405416890283 8 8
7 0.0231652906345253 -0.106916850680823 6 4 37 0.051273963676768 -0.0305138252873935 9 8
8 0.0710225104244418 0.0231652906345253 6 7 38 0.018863691236683 0.051273963676768 8 7
9 0.026129181585152 0.0710225104244418 4 10 39 -0.0555600479940243 0.018863691236683 7 7
10 -0.0528870740948227 0.026129181585152 3 10 40 -0.0829405416570015 -0.0555600479940243 7 7
11 -0.0819571545594854 -0.0528870740948227 3 8 41 -0.0305138252756108 -0.0829405416570015 8 8
12 -0.0926520371624348 -0.0819571545594854 4 6 42 0.0512739636811028 -0.0305138252756108 9 8
13 -0.0965866844720598 -0.0926520371624348 5 5 43 0.0188636912382778 0.0512739636811028 8 7
14 -0.0980342412172709 -0.0965866844720598 6 6 44 -0.0555600479934376 0.0188636912382778 7 7
15 -0.098566797343834 -0.0980342412172709 7 7 45 -0.0829405416567857 -0.0555600479934376 7 7
16 -0.0362627247427966 -0.098566797343834 8 8 46 -0.0305138252755314 -0.0829405416567857 8 8
17 0.0491589435671251 -0.0362627247427966 9 8 47 0.051273963681132 -0.0305138252755314 9 8
18 0.0180855753383453 0.0491589435671251 8 7 48 0.0188636912382885 0.051273963681132 8 7
19 -0.0558463168330228 0.0180855753383453 7 7 49 -0.0555600479934336 0.0188636912382885 7 7
20 -0.0830458599628691 -0.0558463168330228 7 7 50 -0.0829405416567842 -0.0555600479934336 7 7
21 -0.0305525718803396 -0.0830458599628691 8 8 51 -0.0305138252755308 -0.0829405416567842 8 8
22 0.0512597088052231 -0.0305525718803396 9 8 52 0.0512739636811323 -0.0305138252755308 9 8
23 0.0188584468694416 0.0512597088052231 8 7 53 0.0188636912382886 0.0512739636811323 8 7
24 -0.0555619773967325 0.0188584468694416 7 7 54 -0.0555600479934336 0.0188636912382886 7 7
25 -0.0829412514842579 -0.0555619773967325 7 7 55 -0.0829405416567841 -0.0555600479934336 7 7
26 -0.0305140864210585 -0.0829412514842579 8 8 56 -0.0305138252755308 -0.0829405416567841 8 8
27 0.0512738676056926 -0.0305140864210585 9 8 57 0.0512739636811323 -0.0305138252755308 9 8
28 0.0188636558921343 0.0512738676056926 8 7 58 0.0188636912382886 0.0512739636811323 8 7
59 -0.0555600479934336 0.0188636912382886 7 7
Tabla 4.1: E olución de los es ados
1 2 3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
ec o de es ado
I e aciones
V es
TRANSITORIO
Ac ualización
de V es
Ciclo lími e de
T = 5
Vec o = V es
ciclo lími e
de ec ado
Figu a 4.14: P oceso de de ección de un ciclo lími e de pe iodo T = 5 en un sis ema de con ol digi al
median e la ac ualización de V es .
118
Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de
simulación y algo i mo de búsqueda exhaus i a
Es e p ocedimien o de de ección es semejan e al u ilizado en il os digi ales [UTR00] y
como ácilmen e se puede e , cuando un sis ema de con ol se queda enganchado en un ciclo
lími e, los es ados de la pa e con inua (plan a) oscila án omando alo es analógicos con un
de e minado pe iodo y ampli ud, lo mismo sucede á en el egulado cuyos es ados es a án
enganchados en un ciclo lími e del mismo pe iodo pe o omando alo es disc e os.
Se p esen an dos p oblemas en la de ección de ciclos lími e en sis emas mues eados de
con ol el p ime o es semejan e al que apa ece en il os digi ales mien as que el o o solo
sucede en sis emas de con ol mues eados. El p ime p oblema que su ge es cómo de e mina
el momen o en el que el sis ema ha alcanzado el égimen pe manen e, es deci , en que
i e ación el sis ema ha e olucionado a un ciclo lími e o ha e olucionado a ce o. El modo en
que se es ablece el ansi o io y núme o de i e aciones que du a es a iable pues o que el
sis ema pasa a ene una dinámica no lineal, po an o la du ación y el modo dependen no solo
del sis ema y de la cuan i icación, sino ambién de la en ada y de las condiciones iniciales en
que se encuen e. Po o a pa e ambién es necesa io conoce el pe iodo máximo (Ts) de los
posibles ciclos lími e a de ec a que de e mina el núme o máximo de i e aciones que hay que
ealiza a pa i de V es . En p incipio ambos pa áme os son desconocidos. Si que se án
conocidas las especi icaciones de diseño del sis ema de con ol; que si es án dadas en el
dominio del iempo, es posible conoce pa áme os sob e la du ación del ansi o io ( iempo
de es ablecimien o) y la pulsación amo iguada del sis ema de con ol ideal, o bien conocido
el sis ema es posible ob ene de o ma ácil es os alo es.
Se pueden p oduci a ios casos gene ales de espues as empo ales de sis emas de
con ol ya implemen ados. Se a a de elabo a un algo i mo que sea capaz de de ec a
posibles ciclos lími e en odos los casos que se ci an a con inuación:
Caso 1. T ansi o io pequeño, pe iodo pequeño: Gene almen e es e es el caso habi ual
cuando los ec o es es ado inicial son de poca ene gía (no ma baja) y los polos del sis ema se
encuen an alejados de la ci cun e encia de adio unidad. En la igu a 4.15 se ep esen a la
e olución de un sis ema a pa i de un es ado inicial an e en ada nula de es as ca ac e ís icas.
Figu a 4.15: Ciclo lími e con ansi o io y pe iodo pequeño.
La e icacia en es e ipo de ciclos puede mejo a se educiendo el núme o de i e aciones
iniciales al mínimo y un núme o de i e aciones máximo de compa ación pequeño.
Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de simulación
y algo i mo de búsqueda exhaus i a
119
Caso 2. T ansi o io g ande y pe iodo pequeño: Es e caso es habi ual en sis emas con
un ma gen de es abilidad pequeño (polos ce canos a la ci cun e encia de adio unidad) y
ec o es iniciales de p ueba con g an ene gía. Se ha obse ado que, en ocasiones, a pa i de
cie as condiciones iniciales el sis ema del ejemplo iene un compo amien o ansi o io a o
que poco iene que e con el ideal. La igu a 4.16 ep esen a g á icamen e es e
compo amien o. El g á ico de la izquie da ep esen a la e olución de la salida y la de la
de echa la ayec o ia del plano de ase de las a iables de es ado de la plan a.
0 20 40 60 80 100 120 140
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Figu a 4.16: Ciclo lími e con ansi o io g ande y pe iodo pequeño.
Figu a 4.17: Ciclo lími e con ansi o io g ande y pe iodo pequeño.
La de ección de es e ipo de ciclos lími e debe mejo a se inc emen ando el alo del
núme o de i e aciones iniciales.
Caso 3. T ansi o io pequeño y pe iodo g ande: Es e caso es habi ual en sis emas con
p oblemas de es abilidad y o den ele ado al p oba ec o es iniciales de poca ene gía. En las
igu as 4.18 y 4.19 se obse a es a si uación.
126
Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de
simulación y algo i mo de búsqueda exhaus i a
sis ema en lazo ce ado), pues se ha obse ado median e simulación que la mayo ía de ellos
ienen un pe iodo simila . Si el sis ema p esen a una espues a ansi o ia sin oscilaciones (el
sis ema de con ol en lazo ce ado iene odos los polos eales) se oma como alo de TS
sus i uyendo Twd po Tes Si no se encuen a nada se p ocede a modi ica los pa áme os y se
ealiza una nue a pasada. Si no se ha encon ado ningún ciclo lími e se p ocede a busca con
el siguien e ec o de es ado.
De odo lo expues o se pueden ob ene las siguien es conclusiones:
•
Se ha p opues o un algo i mo pa a la de ección de ciclos lími e en sis emas de
con ol digi al an e en ada nula, independien e del ipo de es uc u a, o den y ipo de
cuan i icación del egulado .
•
El algo i mo pe mi e, además de de ec a ciclos lími e, ca ac e iza los (ampli ud
y pe iodo).
•
Necesi a unos cálculos p e ios sob e el sis ema (pulsación amo iguada y iempo
de es ablecimien o) que el algo i mo ob iene de o ma au omá ica y pos e io men e se
adap a al compo amien o de és e en cada caso.
•
Tiene p oblemas de apidez cuando el egulado es de o den ele ado o bien
cuando se implemen a con un núme o ele ado de bi s, donde el núme o de ec o es a
p oba es muy ele ado.
T as la ejecución del algo i mo ob enemos la siguien e in o mación:
a) Pa a cada uno de los ciclos lími e de ec ados
Vec o es de es ado pe enecien es al ciclo lími e.
Salidas del sis ema de inidas pa a cada uno de ellos.
Pe iodo.
Ampli ud máxima.
Salida máxima y mínima y ampli ud.
Rep esen ación.
En el ejemplo de la igu a 4.3:
Nodos Es ado: = [8 1 6 4 ]
Nodos Salidas: = [3 7 ]
*** Ciclo lími e de ec ado ***
Vec o Inicial: = [0 0 -1 -1 ]
Vec o del ciclo: =[0.0047159 0.012818 6 7 ]
T = 5
nI e = 90
Amax = [0.012818 0.012818 7 7 ]

Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de simulación
y algo i mo de búsqueda exhaus i a
127
Amin = [-0.020735 -0.020735 5 5 ]
SalMax = [0.0051216 1 ]
SalMin = [-0.011298 -1 ]
No maMax = 7
Co a Salidas: = [0.011298 1 ]
Co a CL = [0.020735 0.020735 7 7 ]
DESARROLLO DEL CICLO LÍMITE
Vec o Ciclo: = [0.0047159 0.012818 6 7 ]
[-0.01389 0.0047159 5 6 ] Sal: [0.0051216 -1 ]
[-0.020735 -0.01389 5 5 ] Sal: [-0.0038642 0 ]
[-0.0076285 -0.020735 6 5 ] Sal: [-0.011298 1 ]
[0.012818 -0.0076285 7 6 ] Sal: [-0.0082847 1 ]
[0.0047159 0.012818 6 7 ] Sal: [0.0027005 -1 ]
REPRESENTACIÓN DEL CICLO LÍMITE A LA SALIDA
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
x 10
-3
b) In o mación sob e el egulado y plan a analizados
** INFORMACIÓN DE CUANTIFICACIÓN **
Pe sonalizada
** INFORMACIÓN DE CUANTIFICACIÓN **
Pe sonalizada
COEF 1: Bi s 8 F ac 7 TC2 SAT Acc. In ini o o 'doble'
COEF 2: Sin cuan i ica
COEF 3: Bi s 8 F ac 7 TC2 SAT Acc. In ini o o 'doble'
COEF 4: Bi s 8 F ac 7 TC2 SAT Acc. In ini o o 'doble'
COEF 5: Bi s 8 F ac 7 TC2 SAT Acc. In ini o o 'doble'
COEF 6: Sin cuan i ica
COEF 7: Sin cuan i ica
COEF 8: Sin cuan i ica
128
Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de
simulación y algo i mo de búsqueda exhaus i a
COEF 9: Sin cuan i ica
COEF 10: Sin cuan i ica
NODO 1: Sin cuan i ica
NODO 2: Sin cuan i ica
NODO 3: Sin cuan i ica
NODO 4: Bi s 8 F ac 7 TC2 SAT Acc. In ini o o 'doble'
NODO 5: Bi s 8 F ac 7 TC2 SAT Acc. In ini o o 'doble'
NODO 6: Bi s 8 F ac 7 TC2 SAT Acc. In ini o o 'doble'
NODO 7: Bi s 8 F ac 7 TC2 SAT Acc. In ini o o 'doble'
NODO 8: Sin cuan i ica
Valo mínimo sin cuan : 0.00078125
** DATOS DE LA BÚSQUEDA**
Alg. Búsqueda: 100 Te minado
Alg. De ección: 3
Nodos Es ado: = [8 1 6 4 ]
Nodos Es ado Busqueda: = [6 4 ]
Nodos Salidas: = [3 7 ]
Vec o Ac ual = [127 127 ]
Vec o Final = [127 127 ]
Vec o es P obados: 65024
CL de ec ados : 65014
CL dis in os : 2
Tiempo cálculo : 89.058
CICLOS LÍMITE DETECTADOS
Amax: = [7 7 ]
Amin: = [4 4 ]
SalMax: = [0.0051216 1 ]
SalMin: = [-0.011303 -1 ]
Pe iodo máximo : 5
Max. I e : 0
No ma máxima de .: 7
Co a eal de . = [7 7 ]
Co a Salidas: = [0.011303 1 ]
DETALLE DE LOS CICLOS LÍMITE DETECTADOS
Vec o Ocu V.Inicial MaxI e Pe iodo No ma
[ 0.00471592 0.0128185 6 7 ] 38009 [ 0 0 -1 1] 90 5 7
[ 0.00471571 0.0128179 5 6 ] 4365 [ 0 0 4 -4] 10 5 6
Capí ulo 4: Rep esen ación de sis emas disc e os median e ma ices EFG, en o no de simulación
y algo i mo de búsqueda exhaus i a
129
Co aCL Co aSal
[ 0.0207351 0.0207351 7 7 ] [ 0.0112982 1 ]
[ 0.0207394 0.0207394 6 6 ] [ 0.0113029 1 ]
INCIDENCIAS: o e lows y unde lows
NODO 6:
2249 o e lows.
V. Mínimo: -1.06917
V. Máximo 1.08484
27527 unde lows.
NODO 7:
1381450 unde lows.
Capí ulo 5: Desa ollo de la in es igación y esul ados
131
CAPÍTULO 5
Desa ollo de la in es igación y esul ados
5.1.- In oducción
En es e capí ulo se p esen a el desa ollo de la in es igación lle ada a cabo, el
p ocedimien o que se p opone en es a esis pa a el análisis de los e ec os de la a i mé ica de
p ecisión ini a en sis emas de con ol digi al con ealimen ación, así como, la p esen ación de
los esul ados. En p ime luga se mues a el sis ema de con ol digi al elegido y el mé odo de
diseño del egulado que hace cumpli las especi icaciones de uncionamien o del sis ema. En
segundo luga se analiza á el e ec o de la cuan i icación de los coe icien es del egulado
sob e la espues a empo al. En e ce luga se p esen a án los esul ados de la búsqueda de
los posibles ciclos que puedan apa ece en cada es uc u a pa a cada ipo de cuan i icación. En
cua o luga se mos a a el e ec o de la cuan i icación de coe icien es y ope aciones pa a cada
es uc u a de implemen ación y pa a cada ipo de cuan i icación elegida en el egulado
compa ando con la espues a ideal (bajo p ecisión in ini a) del sis ema, bajo di e en es
en adas.
5.2.- Ca ac e ís icas del sis ema de con ol
El sis ema elegido pa a el análisis de los e ec os de la p ecisión ini a se p esen a en la
p ác ica con cie a ecuencia y co esponde a un sis ema de con ol de posición del eje de un
mo o . Se a a de un sis ema en el que la plan a p esen a una unción de ans e encia
con inua de segundo o den con un polo en el o igen y un egulado PID digi al. Las
especi icaciones de diseño son:
• E o de posición (e
p
) y de elocidad (e
) ce o.
• Sob eoscilación (M
p
) ≤ 70% an e en ada escalón.
• Tiempo de es ablecimien o (Tes) de 15 seg.
1
( 1)
s s
+
Figu a 5.1: Sis ema de con ol

132
Capí ulo 5: Desa ollo de la in es igación y esul ados
El pe iodo de mues eo elegido es de 1 seg. El sis ema se ep esen a en la igu a 5.1.
U ilizando MATLAB se ha ob enido el equi alen e disc e o de la plan a con el e enedo de
o den ce o.
El sis ema disc e o de con ol equi alen e se mues a en la igu a 5.2:
1 2
1 2
2(0.3679 0.2642 )
1 1.3679 0.3679
z z
z z
− −
− −
+
− +
1 2
1
0.7 0.7 0.1
1
z z
z
− −
−
− +
−
Figu a 5.2: Equi alen e disc e o
Así mismo, se ha u ilizado la aplicación SISOTOOL de MATLAB pa a ajus a los
pa áme os del egulado y ob ene la espues a del sis ema deseada. La unción de
ans e encia del sis ema en lazo ce ado es:
1 2 3 4
1 2 3 4
( ) 0.5151 0.1452 0.2962 0.0528
( ) 1 1.8528 1.5906 0.6642 0.0528
Y z z z z z
R z z z z z
− − − −
− − − −
− − +
=− + − +
(5.1)
con polos y ce os en lazo ce ado:
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Pole-Ze o Map
Real Axis
Imagina y Axis
p
1
= 0. 4762 + 0.6520j
p
2
= 0. 4762 - 0.6520j
p
3
= 0.7988
p
4
= 0. 1014
z
1 =
-0.7181
z
2 =
0. 8273
z
3 =
0.1726
Figu a 5.3: Mapa de ce os y polos del sis ema de con ol en lazo ce ado
Se obse a en la igu a que los polos y ce os del sis ema en lazo ce ado es án den o
del cí culo de adio unidad y ela i amen e alejados de la ci cun e encia.
El sis ema de con ol ideal cumple las especi icaciones impues as. En égimen
pe manen e an o el e o de posición como el de elocidad son ce o ya que el sis ema es de
ipo 2 en la unción de ans e encia en lazo abie o. Las especi icaciones de égimen
ansi o io ambién se cumplen como se mues a en la espues a empo al an e una secuencia
de en ada escalón y ampa ob enida con el p og ama diseñado. Pa a asegu a nos de la
iabilidad del p og ama de simulación se han compa ado las espues as empo ales ob enidas
del sis ema ideal con el p og ama SIMULINK de MATLAB. Las igu as 5.4 y 5.5 mues an
Capí ulo 5: Desa ollo de la in es igación y esul ados
133
es as espues as en las que el eje de o denadas ep esen a la señal de salida y el eje de abscisas
el iempo.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Figu a 5.4: Respues a ideal al escalón
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Figu a 5.5: Respues a ideal a la ampa
5.3.- Análisis del e ec o de la cuan i icación de los coe icien es del
egulado
En es e apa ado se a a mos a el e ec o de la cuan i icación de los coe icien es del
egulado en las ca ac e ís icas de uncionamien o del sis ema de con ol cuando se
implemen a con p ecisión ini a en pun o ijo. Es a cuan i icación modi ica como ya se ha
comen ado en el capí ulo es, la si uación de los polos y ce os del sis ema en lazo ce ado y,
po lo an o, la espues a empo al del sis ema. Puede incluso a ec a a su es abilidad. El
análisis se ha hecho con las es uc u as ípicas escaladas y no escaladas y pa a cada es uc u a
se ha cuan i icado con TC2, RED y TMS, limi ación en sa u ación, con 4, 5, 8 y 16 bi s. Hay
que hace no a que en el p og ama de simulación se a a escoge la opción pe sonalizada con
la que solo se cuan i ican los coe icien es del egulado (se simula ielmen e el
compo amien o del egulado digi al implemen ado en un mic ocon olado ) mien as que los
coe icien es de la plan a no se cuan i ican. La plan a en odos los diag amas de simulación se
implemen a en la es uc u a 1D po simplicidad ya que el ipo de es uc u a no in luye en la
espues a del sis ema pues o que no se cuan i ican ni los coe icien es ni las ope aciones.
5.3.1.- Análisis de cada es uc u a con dis in os ipos de cuan i icación a iando el
núme o de bi s
En p ime luga se p ocede a ob ene la espues a empo al del sis ema de con ol en
lazo ce ado de cada una de las es uc u as de implemen ación del egulado digi al con los
es ipos de cuan i icación comen ados y con 4, 5, 8 y 16 bi s an e la en ada de p ueba
escalón uni a io pa a pode compa a con al espues a ideal del sis ema an e la misma en ada.
No se ha op ado po compa a la espues a en ecuencia del sis ema ideal en e a la espues a
en ecuencia de los sis emas cuan i icados po que los pa áme os de diseño del sis ema de
con ol son especi icaciones sob e la espues a empo al.
Se ha ob enido la espues a de sie e es uc u as: es uc u a de implemen ación di ec a,
1D, 1Desc, 2D, 3D, 4D, 1Desc y 4Desc que son obje o de in es igación de es a esis doc o al.
134
Capí ulo 5: Desa ollo de la in es igación y esul ados
Las es uc u as 1D y 4D se deben de escala ya que las señales en los nodos del egulado
digi al ( egis os en el mic ocon olado ) se sa u an an e la máxima en ada de e e encia
alcanzándose alo es mayo es que la unidad. Teniendo en cuen a el egulado diseñado el
p ocedimien o de escalado elegido ha sido el de la espues a an e un escalón uni a io en lazo
ce ado. En es e caso no es posible escala con no ma l
p
pues o que el egulado p esen a una
salida an e un pulso que no es con e gen e.
Pa a ob ene el ac o de escala se ha u ilizado el p og ama de simulación con el obje o
de ob ene la señal en cada uno de los nodos in e nos del egulado ope ando en lazo ce ado
en el sis ema de con ol ideal an e una en ada escalón uni a io. El ac o es el máximo alo
de las señales en los nodos comen ados. El coe icien e de la ama de en ada se di ide es e
alo (es a ope ación se ealiza en la p ác ica acondicionando la señal de ealimen ación en la
con e sión A/D) y las amas del nodo de salida se mul iplican po el. Se comp ueba si el nodo
de salida no sa u a; si la salida sa u a el coe icien e de las amas que llegan a el se uel en a
escala con el co espondien e ac o y se ajus a la ganancia del ampli icado – con e ido
D/A. La igu a 5.6 mues a el escalado de la es uc u a 1D del egulado :
-0.3679
-1
z
z
-1
y(k)
11
(k)
-1
z
z
-1
1
0.1
-0.7
0.7
e(k)
1
1
1
1
1
1
1
-1
12
1.3679 0.3679
0.2642
0.2642
0.36791.3679
2.5 1
-1
1
1
1
1
1
1
0.625
e(k) 0.896
-0.896
0.128
1
-1
z
z
-1
(k) 1 1 y(k)
-1
z
z
-1
-0.3679
Figu a 5.6: Diag ama de lujo del sis ema de con ol
Con el in de compa a el compo amien o de cada es uc u a en e a los ipos de
cuan i icación, se mues an en un solo g á ico las espues as empo ales en a ios colo es uno
pa a cada ipo de cuan i icación. A con inuación se mues an median e g a icas de la
espues a al escalón uni a io de cada es uc u a en e a los ipos de cuan i icación y núme o
de bi s. En el eje de abscisas se ep esen an las i e aciones (k) o ambién (kT) siendo T = 1 el
pe iodo de mues o y en el eje de o denadas la a iable de salida en los ins an es de mues eo.
Capí ulo 5: Desa ollo de la in es igación y esul ados
135
Implemen ación di ec a
En las igu as 5.7, 5.8 y 5.9 se ep esen an las espues as del sis ema de con ol en el
que el egulado digi al se implemen a di ec amen e y los coe icien es del egulado se
cuan i ican con dis in os ipos de cuan i icación y núme o de bi s. Los colo es iden i ican a las
siguien es espues as:
Azul: espues a ideal.
Rojo: espues a con TCS y sa u ación.
Ve de: espues a con RED y sa u ación.
Azul cla o: espues a con TMS y sa u ación
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Fig. 5.7: Respues a al escalón uni a io del sis ema con
implemen ación di ec a TC2, RED y TMS – 5 bi s en e a la
espues a ideal
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Fig. 5.8: Respues a al escalón uni a io del sis ema con
implemen ación di ec a, TC2, RED y TMS – 8 bi s en e a la
espues a ideal
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Fig. 5.9: Respues a al escalón uni a io del sis ema con implemen ación di ec a, TC2 con RED y TMS – 16 bi s en e a la espues a
ideal