Homogeneización en un sistema de tipo Leontief (o Leontief-Sraffa)

Homogeneización en un Sistema de tipo Leontief (o Leontief-Sraffa). Xose Luis Quiñoa, Laia Pié Dols 11.04 De p artament d'Economia A p licada Facultat d'Economia i Empresa Aquest document pertany al Departament d'Economia Aplicada. Data de publicació : Departament d'Economia Aplicada Edifici B Campus de Bellaterra 08193 Bellaterra Telèfon: (93) 581 1680 Fax:(93) 581 2292 E-mail: [email protected] http://www.ecap.uab.es Febrer 2011 1 Homogeneización en un Sistema de tipo Leontief (o Leontief-Sraffa) Xose Luis Quiñoa 1 * /Laia Pié 2 Resumen Dado un sistema tipo Leontief (o Leontief - Sraffa), se demuestra que puede ser transformado en uno estructuralmente equivalente que denominaremos sistema homogeneizado en el que la matriz tecnológica A así como la inversa de Leontief poseen propiedades matemáticas relevantes relacionadas con el autovalor máximo a de A . Las matrices ( ) AI Π+− 1 , 1 1 0−<Π≤ a son de diagonal dominante por columnas. Para un sistema homogeneizado es condición necesaria y suficiente para que los precios relativos en el sentido Sraffa permanezcan invariantes al modificar el tipo de beneficio, que los coeficientes de trabajo directo sean iguales. Asimismo para este tipo de sistemas, la razón entre la suma de las mercancías que componen el excedente y la suma de las mercancías utilizadas como medios de producción coincide con el tipo máximo de beneficio 1 1 ~−=Π a , es lo que Sraffa denomino “razón patrón” (global) en su Sistema Patrón. Palabras clave: Homogeneización, sistema de Leontief, Leontief-Sraffa, tipo de beneficio, excedente, capital, trabajo . 1 * Corresponding authour. Departamento de Economía Cuantitativa, Universidad de Santiago de Compostela, Facultad de Ciencias Economicas y Empresariales, C/ Burgo das Nacións, s/n, Santiago de Compostela, Spain Tel. +34 8818 11516, [email protected] 2 Depatamento de Economia Aplicada, Universidad Autonoma de Barcelona, Facultad de Economia y Empresa, Edifici BCampus de Bellaterra, 08193 Bellaterra, Spain Tel. +34 93 581 4582, Fax. +34 93 581 2292, [email protected] 2 1. INTRODUCCIÓN En el transcurso del análisis utilizaremos las notaciones siguientes: 1) ( ) nj ni qq q qq q nnn ij n ij ≤≤ ≤≤ =           1 1 ... ...... ... 1 111 representa la matriz de transacciones interindustriales; q ij denota la cantidad física de mercancía i utilizada por la industria j en el período de tiempo considerado (por ejemplo, un año). 2) β =                 n i β β β 1 M M es el vector columna que representa el excedente del sistema; así, β i es el excedente de la industria i y suponemos que existe al menos una industria i para la que β i > 0. 3) Q i = q i1 +…+ q ij +…+ q in + β i denota la producción total de la industria i en el período considerado. Denotando q i = q i1 +…+ q in (consumos intermedios de la industria i), tenemos, entonces, Q i = q i +β i Q =                 n i Q Q Q M M 1 representa el vector columna de producción total del sistema. 4) (L 1 ,…, L i ,…, L n ) denota el vector fila de las cantidades de trabajo utilizadas por cada industria; L i representa la cantidad de unidades de trabajo utilizadas por la industria i. 3 Suponemos que el trabajo es uniforme en calidad o que cualquier diferencia en calidad ha sido reducida a diferencias en cantidad. 5) Como es habitual en este tipo de análisis, A = (a ij ) denota la matriz cuadrada n×n, definida por j ij ij Q q a= ; a ij es, pues, la cantidad física de mercancía i utilizada en la producción de una unidad de mercancía j. 6) Asimismo, i i i Q L l= representa la cantidad de trabajo utilizada en la producción de una unidad de mercancía i. l = (l 1 ,…, l i ,…, l n ) es el vector fila de los coeficientes de trabajo. Para simplificar llamaremos a       l A “técnica del sistema”. Por comodidad, para representar explícitamente el problema utilizaremos el tablero: (*) 1 :                                                                     nj n i n i nnnjn nj LLL Q Q Q q...q...q q...q...q β β β 1 11 1 1111 M M M M MMM MMM MMM 2. EL SISTEMA DE PRECIOS DE SRAFFA Comenzaremos utilizando las mismas hipótesis de partida del propio Sraffa, que pueden ser resumidas en: 1) El sistema económico se encuentra en estado estacionario. Produce cada año la misma cantidad de mercancías. 2) Cada industria produce una sola mercancía mediante el empleo de trabajo y mercancías. Una parte de la producción total deberá ser destinada a reemplazar las mercancías que han sido utilizadas y el resto −el excedente− se destinará al consumo. 3) El valor añadido del sistema económico o valor del excedente se distribuye al final 4 del período en forma de salarios y beneficios: los salarios en proporción a la cantidad física de trabajo empleada y los beneficios en proporción al valor de los medios de producción empleados por cada industria. Cabe señalar que el propio Sraffa distingue dos aspectos en los salarios: 3 a) Como elemento de subsistencia. b) Como participación en la producción excedente. 2.1. FORMULACIÓN DEL SISTEMA DE PRECIOS Denotando p 1 ,…, p i ,…, p n los precios de las mercancías 1, 2,…, n; Π el tipo de beneficio y w el salario unitario y con notaciones de (*) 1 , siguiendo a Sraffa tenemos: (*) 2 ( ) ( ) ( )          =+++Π+++ =+++Π++++ =+++Π++++ nnnnnnnnnnn jjjnnjjnnjjj nnnn pQwLpq...pqpq...pq ... pQwLpq...pqpq...pqpq ... pQwLpq...pqpq...pqpq 1111 112211 11111111221111 Dividiendo los dos términos de cada ecuación j por el término Q j correspondiente y reagrupando queda: (*) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          =+Π+++Π++Π+ =+Π+++Π++Π+ =+Π+++Π++Π+ nnnnnn jjnjjj n pwla...aa ... pwla...aa ... pwla...aa 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21 21 1112111 o, matricialmente, 3 “A la vista de este doble carácter de los salarios, sería apropiado, cuando vengamos a considerar la división del excedente en capitalistas y trabajadores, separar las dos partes que componen el salario y considerar sólo la parte del «excedente» como variable, en tanto que los bienes necesarios para la subsistencia de los trabajadores continuarían apareciendo entre los medios de producción, con el petróleo, etc.” (Sraffa, 8). “También supondremos en lo sucesivo que el salario se paga «post factum» como una participación del producto anual, abandonándose así la idea de los economistas clásicos de un salario «avanzado» desde el capital. Retenemos, sin embargo, el supuesto de un ciclo anual de producción con un mercado anual” (Sraffa, 9). 5 (*) 4 ( ) [ ] lwAIp =Π+− 1 sistema de n ecuaciones y n+2 incógnitas: Π, w, p 1 ,…, p n lo cual significa que deberán fijarse dos de ellas para que el sistema se haga determinado. 3. LIMITACIONES DEL TIPO DE BENEFICIO El sistema (*) 4 puede escribirse como ( ) lwAIp =      − Π+ Π+ 1 1 1 o, si se prefiere, como (*) 5 w l AIp Π+ =      − Π+ 11 1 La matriz A es por construcción positiva (a ij ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n) y admite un autovalor máximo a positivo. Sabemos que ∀ λ ∈ R, λ > a , tenemos que (λ I – A) es inversible y que su inversa es positiva. Entonces, para que (*) 4 o (*) 5 tengan solución con significado económico debe ser a> Π+1 1 o bien 1 1−<Π a . Examinemos las características de las posibles soluciones de (*) 4 . Para hacerlo determinado es preciso fijar dos incógnitas. Si empezamos fijando Π, 0≤Π< a 1 –1, entonces el sistema se convierte en lineal con n ecuaciones y n + 1 incógnitas: los n precios y el salario unitario, por lo que, haciendo una cualquiera de estas igual a la unidad, el sistema queda perfectamente determinado. Si no fijamos Π y la mantenemos como incógnita, el sistema no es lineal y no 6 podemos fijar arbitrariamente dos cualesquiera de las demás incógnitas. Supongamos, por ejemplo, que fijamos w = 1 e intentamos fijar p 1 , debemos tener: ( ) ( ) ( ) ( ) 11221111 1 1 11 lpa...papa nn =Π+−−Π+−Π+− de donde ( ) ( ) 111 1 11 lpa ≥Π+− o bien ( ) KKK 11 1 1 11 a l pΠ+− ≥ 4. REPARTO DEL EXCEDENTE ENTRE LA “SOCIEDAD” DE LOS CAPITALISTAS Y LA “SOCIEDAD” DE LOS TRABAJADORES Denotando ,lL n ii ∑ ==1 q i = q i1 +...+ q in Q i = q i + β i y sumando por columnas los dos miembros de las ecuaciones (*) 2 , tenemos: q 1 p 1 +...+ q n p n + Π (q 1 p 1 +...+ q n p n ) + Lw = (q 1 +β 1 ) p 1 +...+( q n +β n ) p n de donde resulta (*) 6 Π (q 1 p 1 +...+ q n p n ) + Lw = β 1 p 1 +...+β n p n En el caso extremo en que Π = 0, resulta Lw = β 1 p 1 +...+ β n p n y para w = 1 tenemos que el valor del excedente coincide precisamente con la cantidad total L de trabajo empleado; como consecuencia, todo el excedente va a parar a los trabajadores. Es ese caso, la ecuación (*) 4 : p (I – A) = lw tiene como solución (haciendo w = 1), que denotaremos (*) 7 v = l (I – A) –1 que es a lo que Marx denominaba “valores”. 7 5. HOMOGENEIZACIÓN DE LAS UNIDADES Consideremos el problema descrito en el tablero (*) 1 ; la fila i, 1≤i≤n, es representativa de la mercancía i; así, q ij es la cantidad física de unidades de mercancía i utilizadas por la industria j en el período considerado –por ejemplo, quilos de trigo, y nada impide medir estas unidades en toneladas en vez de en quilos–; lo mismo se puede decir para el resto de las mercancías. Sea r = (r 1 ,..., r i ,..., r n ) ∈ R n , r > 0 (e.d.: r i > 0 ∀i) y transformemos el tablero (*) 1 en: (*) 9 ( )                         β β β               β ′ ni nnnn nnnninnn ni ni ij LLL Qr Qr Qr r r r qr...qr...qr qr...qr...qr qr...qr...qr Qq ' ' 1 22 11 22 11 1 2222212 1111111 M Entonces, siendo w el salario unitario y Π el tipo de beneficio, tenemos el sistema ( ) ( ( )( ( )(          =++++Π+ =++++Π+ =++++Π+ nnnnnnnnnn iiiinninii nnn pQrwLpqr...pqrpqr ... pQrwLpqr...pqrpqr ... pQrwLpqr...pqrpqr 1 1 1 222111 222111 1111122121111 y dividiendo los dos miembros de cada ecuación i por r i Q i : ( )     ≤≤=        +++++Π+ nip Qr wL pa r r ...pa r r ...pa r r i ii i nni i n iii i i i i 1 1 11 1 y poniendo ij j i ij a r r a = ′ , ( ) ij aA ′ = ′ , , ii i iQr L l= ′ ( ) ni llll ′ ′ ′ = ′ ,...,,..., 1 14 5.2. ALGUNAS PROPIEDADES RELEVANTES DE ESTE TIPO DE MATRICES 1) Sean A = (a ij ), B = (b ij ) matrices cuadradas de orden n, tales que ∀j, 1≤ j ≤ n, ∑= = n iij aa 1 ∑= = n iij bb 1 poniendo ( ) ij BA γ=⋅ con ∑ = = n kkjikij ba 1 γ , tenemos ∀j, 1≤ j ≤ n, abbaabba kkj iik kkj i k kjik iij =      ∑ =      ∑∑∑ =      ∑∑ = γ y para este tipo de matrices se verifica BABA ⋅=⋅ de lo que se deduce en particular (*) 13 n n n aAA == 2) La suma de los elementos de cada columna de la matriz homogeneizada A es 1 < a o, lo que es lo mismo, 1<= aA . Entonces, un resultado clásico nos indica (I – A) –1 = I + A +...+A n +... y entonces ∀j, 1 ≤ j ≤ n la suma de los elementos de la columna j de (I – A) –1 será: 1+ a +...+ n a+...= a−1 1 de lo que se deduce también 15 (*) 14 ( ) a AI − =− − 1 1 1 Por un razonamiento análogo, dada una tasa de beneficio Π, 1 1 0−<Π≤ a , la suma de los elementos de cada columna j de ( ) ( ) 1 1− Π+− AI es ( ) a 11 1 Π+− por lo que ( )( ) ( ) a AI 11 1 1 1 Π+− =Π+− − 5.3. INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA INVERSA ( I − −− − ( 1 + П ) A ) − −− −1 HOMOGENEIZADA Denotemos (α ij ) = (I – A) –1 . Si suponemos que la matriz tecnológica A, así como el vector l de coeficientes de trabajo, permanecen constantes ante un incremento infinitesimal ∆β j de β j de X = (I – A) –1 β, tenemos: X i (β 1 ,..., β j ,..., β n ) = α i1 β 1 +...+ α ij β j +...+ α in β n X i (β 1 ,..., β j +∆β j ,..., β n ) = α i1 β 1 +...+ α ij (β j +∆β j ) +....+ α in β n de donde: X i (β 1 ,..., β j +∆β j ,..., β n ) – X i (β 1 ,..., β j ,..., β n ) = α ij ∆β n y si suponemos que A permanece invariable cuando ∆ β j = 1, α ij representa la cantidad física de mercancía i necesaria para obtener una unidad física de mercancía final j. Entonces, cada columna j de (I – A) –1 representa las cantidades físicas heterogéneas de mercancías necesarias directa e indirectamente en todo el sistema económico para obtener una unidad física de mercancía final j. 16 Por otra parte, l (I – A) –1 es un vector cuya componente j: v j = α ij l 1 +...+α nj l n es representativa de la cantidad de trabajo utilizado directa e indirectamente para obtener una unidad j de mercancía final. Diremos que los v j son los coeficientes de trabajo verticalmente integrados. Como la matriz tecnológica fue homogeneizada, (α ij ) = (I – A) –1 tiene la propiedad ∀j, 1 ≤ j ≤ n, α 1j +...+ α ij +...+ α nj = a − 1 1 y, como consecuencia, si se diera la circunstancia de que l 1 = l 2 =...= l i =...= l n = t tendríamos que ∀j, 1 ≤ j ≤ n, v j = t α 1j +...+ t α ij +...+ t α nj = a t − 1 con lo que concluimos que en un sistema homogeneizado, si los coeficientes de trabajo directo l i son iguales, entonces los “valores” v i también son iguales. Igualmente, y por un razonamiento análogo, si consideramos una tasa de beneficio Π, 1 1 0−<Π≤ a , de p = lw ( ) ( ) 1 1 − Π+− AI , si todos los l i son iguales a t, tomando w = 1, tendremos: ( ) ( ) ni, a t p i ≤≤ Π+− =Π 1 11 es decir, los precios son todos iguales y crecen al aumentar Π, según 17 ( ) ( )( ) 2 11 a ta p i Π+− =Π ′ . 5.4. PROPIEDADES DE LA INVERSA ( I − −− −( 1 + П ) A ) -1 NORMALIZADA Pongamos ahora, w l AIp Π+ =− Π+       11 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 1− Π+−=Π=Π AI ij αα y ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 − Π+−=Π=Π AIlwlwp α denotemos: Como ( ) ( ) a ij Π+− =Π 11 1 α (A es homogenizada) tenemos que la matriz ( ) ( ) Π ij α ~ es tal que ( ) 1 ~ =Π ij α o lo que es lo mismo, ,j ∀ ( ) nj ≤ ≤ 1 ( ) 1 ~ =Π ∑ iij α (la suma de los elementos de cada columna de ( ) ( ) Π ij α ~ es uno), por lo que existe ( ) ( ) ( ) Π=Π Π→Π ~ ~ ~ lim ~ijij αα Si denotamos ( ) ( ) ( ) ( ) a AI lwp Π+− Π+− =Π − 11 1 1 ~ 1 Tenemos: (*) 15 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 111 ~ − Π+−Π+−=Π AIalwp ( ) ( ) ( ) ( ) Π Π =Π ij ij ij α α α ~ 18 o multiplicando los dos miembros por ( ) :1 AI Π + − (*) 16 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) alwAIp Π + − = Π + − Π 111 ~ y tomando limites en los miembros cuando 1 1 ~−=Π→Π a queda ( ) 0 1 ~ ~=      −Π A a Ip o lo que es lo mismo ( ) ( ) ;0 ~ ~ =−Π AIap ahora bien, siendo ( ) 1 ~ ~ ,=Π∀ ∑ iij j α tenemos: ( ) ( ) ( ) Π++Π=Π ~ ~ ... ~ ~ ~ ~ 1njniji llp αα ( ) ( ) 0inf ~ ~ inf ~ ~>=      Π       ≤Π ∑ ii iij iij llp α y también ( ) ( ) +∞<=      Π       ≤Π ∑ i i iij iij llp sup ~ ~ sup ~ ~ α por lo que podemos concluir que ( ) Π ~ ~ p es autovector izquierdo de A asociado al autovalor máximo a y siendo A homogenizada, ( ) Π ~ ~ p es de la forma ( ) α α α ...,,, con 0 > α ; es decir, cuando Π tiende a Π ~ los precios relativos tienden a ser todos iguales. Es un resultado que no bebería sorprendernos demasiado puesto que cuando Π tiende al tipo máximo de beneficio, la proporción de producto neto que va al trabajo tiende a cero y nos encontramos en una situación igual a cuando los coeficientes de trabajo directo i l fueran iguales a cero. De lo anterior se deducen una serie de propiedades interesantes de la matriz ( ) : ~ ~ Π ij α a) De (*) 6 tenemos: ( ) nnnn ppLwpqpq ββ ++=+++Π KKKK 1111 Cuando Π tiende a Π ~ , ( ) Π i p ~ tiende a ( ) Π ~ ~ i p , Lw tiende a cero, por lo que, siendo los ( ) Π ~ ~ i p todos iguales, y poniendo ( ) pp i ~ ~ ~ =Π , tenemos: 19       =         Π=       Π ∑∑∑ ii ji ij ii pqpqp β ~~ ~ ~ ~ , o lo que es lo mismo (*) 17 ∑ ∑ =Π ji ij ii q , ~ β por lo que concluimos que en un sistema homogeneizado la razón entre excedente global y la suma de los medios de producción utilizados coinciden con el tipo máximo de beneficio. Es lo que Sraffa denomina razón patrón (global) para los sistemas patrón. 5 b) Retomando la (*) 15 , y dado que existe ( ) ( ) ( ) Π=Π Π→Π ~ ~ ~ lim ~ijij αα y también ( ) ( ) ( ) 0,,, ~ ~ ~ lim ~ >=Π=Π Π→Π ααα Kpp debemos tener: ( ) ( ) ( ) Π++Π==Π ~ ~ ~ ~ ~ ~ 11 ninii wlwlp ααα KK ( ) ( ) ( ) Π++Π==Π ~ ~ ~ ~ ~ ~ 11 njnjj wlwlp ααα KK de donde se deduce ( ) ( ) ( ) ( ) Π=ΠΠ=Π ~ ~ ~ ~ ,, ~ ~ ~ ~ 11 njniji αααα KK 5 Ver Sraffa (1975): Capitulo 4: “La mercancía patrón” del libro “Producción de mercancías por medio de mercancías”. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 1 111 ~ ~ − Π+−Π+−=Π=Π AIalwp ij α 20 es decir, en cada fila k de la ( ) ( ) Π ~ ~ ij α los elementos ( ) ( ) nj kj ≤≤Π 1, ~ ~ α son iguales; o lo que es lo mismo, los vectores columna de ( ) ( ) Π ~ ~ ij α son todos iguales. 5.5. CONDICIÓN NECESARIA DE IGUALDAD DE PRECIOS PARA DISTINTOS TIPOS DE BENEFICIOS Estudiamos ahora que condiciones deben darse en un sistema homogenizado para que a distintos tipos de beneficio Π y Π ′ correspondan precios relativos iguales ( ) ( ) ppp ~ ~ ~ = Π ′ = Π . En primer lugar, los precios relativos del tipo ( ) Π i p son idénticos a los de tipo ( ) Π i p ~ , en efecto si Π≤Π≤ ~ 0 , tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ Π Π = Π+−      Π Π + − Π = Π Π ii i ii i ii i p p ap ap p p 11 11 ~ ~ y cuando Π→Π ~ , los limites del numerador y del denominador existen y son distintos de cero. Tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ Π Π = Π Π Π→Π ii i ii i p p p p lim ~ ~ ~ ~ ~ por lo que tenemos que los precios relativos ( ) Π i p son los mismos que los ( ) Π i p ~ incluso cuando Π = Π ~ . Si ( ) ( ) ppp ~ ~ ~ = Π ′ = Π , de (*) 16 tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) alwAIp Π + − = Π + − 111 ~ ( ) ( ) ( ) ( ) alwAIp Π ′ + − = Π ′ + − 111 ~ de donde y mediante cálculos elementales se obtiene: 21 ( )( ) ( )( ) ( ) 0 ~ 1111 =− Π′ +−Π+− Π ′ − Π AIap aa o aun ( ) 0 ~ = − AIap y p ~ es autovector izquierdo de A. Asimismo, de ( ) ( ) ( ) ( ) alwAIp Π + − = Π + − 111 ~ y siendo p ~ autovector izquierdo, tenemos ( ) ( ) ( ) ( ) alwaIp Π + − = Π + − 111 ~ por lo que lwp = ~ y siendo A homogeneizada los componentes de p ~ son todos iguales por lo que las de l también son iguales. Ya hemos visto anteriormente 6 que si las componentes i ldel vector l eran iguales, los precios eran iguales para cualquier Π . Podemos pues enunciar: (*) 18 Teorema: En un sistema homogeneizado, es condición necesaria y suficiente para que los precios relativos permanezcan invariantes al modificar ( ) Π≤Π≤Π ~ 0 que los coeficientes de trabajo directo i lsean iguales. Supongamos ahora que los coeficientes de trabajo directo son todos iguales a t ; los precios son entonces todos iguales y dependen solo de Π y de w : ( ) ( ) a tw p i Π+− =Π 11 , Π≤Π≤ ~ 0 , de (*) 6 tenemos: (*) 19 ( ) ( )       Π=+         ΠΠ ∑∑ iii ji iji pLwqp β , dado Π , el valor del producto neto del sistema es ( )       Π ∑ iii p β . Y el beneficio total de todas las industrias es ( )         ΠΠ ∑ ji iji qp , . 6 Ver página 18 y 19. 22 Denotamos W la parte del producto neto que va al trabajo. Sabemos que si 0 = Π ( ) Lp iii =       ∑ β 0 y entonces 1 = W ; por el contrario si Π→Π ~ , 0 = W por lo que W varia entre cero y uno. Dividiendo los dos miembros de (*) 19 por ( )       Π ∑ iii p β y teniendo en cuenta (*) 17 se obtiene 1 ~=+ Π Π W o aun ( ) W−Π=Π 1 ~ lo que nos proporciona una relación lineal entre el tipo de beneficio Π y la proporción W del producto neto que va a los trabajadores. 5.6. EL SISTEMA HOMOGENEIZADO Y EL SISTEMA PATRON DE SRAFFA Retomamos (*) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Π++Π=+Π++ΠΠ nnnn ppLwpqpq ββ KKKK 1111 y denotamos ( ) Π W la parte del excedente que va a los trabajadores dado un tipo de beneficio Π . Tenemos: (*) 20 ( ) ( ) ( ) 1= Π + Π Π Π ∑∑ ∑ iii iii iii p Lw p pq ββ Como ( ) ∑ Π = iii p Lw W β , si pretendemos que W dependa linealmente de Π , debe ser ( ) Π ∑ i ii pq proporcional a i ii p ∑ β ahora bien 23 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Π++Π+Π=Π+ + Π++Π+Π=Π =Π ∑ nnnnnnnn nn i ii lllqpq lllqpq pq ααα ααα KK M K KK 2211 1212111111 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ql qqql qqql t ij nnnnnn nn ⋅⋅= Π++Π+Π+ + Π + + Π + Π = α ααα α α α KK M K KK 2211 11221111 donde q t representa el vector columna cuyas componentes son los i q , igualmente y por un razonamiento análogo ( ) βαβ t iji ii lp ⋅⋅= ∑ . Si se dan las condiciones del sistema patrón de Sraffa, entonces i ∀ , Π =~ 1 i i q β . Por lo que i ∀ , ( ) ( ) Π = Π Π ~ 1 ii ii p pq β y de (*) 20 resulta: 1 ~=+ Π Π W o bien ( ) W−Π=Π 1 ~ . Relación lineal entre W y Π cuando el salario se expresa como proporción del producto neto patrón. Para el sistema patrón homogeneizado sabemos que si los i l son iguales, entonces los ( ) Π i p también son iguales, que denotamos p y de (*) 20 directamente deducimos: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ =             = ii ii ii ii ii ii q p qp p pq β β β