Topologías en espacios de matrices y sistemas Leontief y Leontief-Sraffa

1 DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA CUANTITATIVA Facultade de CC. Económicas e Empresariais Rúa Burgo das Nacións 15782 Santiago de Compostela Tel. 981563100 ext. 11643· Correo electrónico: [email protected] TOPOLOGÍAS EN ESPACIOS DE MATRICES Y SISTEMAS LEONTIEF Y LEONTIEF-SRAFFA X OSÉ L UIS Q UIÑOÁ L ÓPEZ 1 Catedrático de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa 1 Departamento de Economía Cuantitativa, Universidad de Santiago de Compostela, C/ Burgo das Nacións, s/n, Santiago de Compostela, j[email protected], telf. 00 34 8818 11516 2 Resumen Se demuestra que todo sistema tipo Leontief (o Leontief-Sraffa) puede ser transformado en uno estructuralmente equivalente en el que la matriz tecnológica A tenga la propiedad de que la suma de los elementos de cada columna sea el autovalor máximo a de A; lo que equivale a transformar las unidades físicas originales en unidades que (haciendo abstracción de la componente trabajo) tengan idéntica composición de capital. A un tal sistema transformado lo denominaremos homogeneizado. En este tipo de sistemas aparecen más cómodos los estudios del sistema de precios de Sraffa, la limitación del tipo de beneficio, el reparto del excedente, la interpretación económica de (I – A) –1 , la interpretación de los precios utilizando el teorema del punto fijo, la evolución de los precios al variar el tipo de beneficio, etc. Se demuestra que en un sistema homogeneizado “idéntica composición orgánica de capital” (Marx) equivale a idéntica cantidad de trabajo directo. Palabras clave Homogeneización / Sistema / Leontief-Sraffa / Excedente / Capital / Trabajo. Códigos JEL C67/D57/R15 3 1. INTRODUCCIÓN En el transcurso del análisis utilizaremos las notaciones siguientes: 1) ( ) nj ni q...q ...q... q...q q nnn ij n ij ≤≤ ≤≤           =1 1 1 111 representa la matriz de transacciones interindustriales; q ij denota la cantidad física de mercancía i utilizada por la industria j en el período de tiempo considerado (por ejemplo, un año). 2) β =                 n i β β β 1 M M es el vector columna que representa el excedente del sistema; así, β i es el excedente de la industria i y suponemos que existe al menos una industria i para la que β i > 0. 3) Q i = q i1 +…+ q ij +…+ q in + β i denota la producción total de la industria i en el período considerado. Denotando q i = q i1 +…+ q in (consumos intermedios de la industria i), tenemos, entonces, Q i = q i +β i Q =                 n i Q Q Q M M 1 4 representa el vector columna de producción total del sistema. 4) (L 1 ,…, L i ,…, L n ) denota el vector fila de las cantidades de trabajo utilizadas por cada industria; L i representa la cantidad de unidades de trabajo utilizadas por la industria i. Suponemos que el trabajo es uniforme en calidad o que cualquier diferencia en calidad ha sido reducida a diferencias en cantidad. 5) Como es habitual en este tipo de análisis, A = (a ij ) denota la matriz cuadrada n×n, definida por j ij ij Q q a= ; a ij es, pues, la cantidad física de mercancía i utilizada en la producción de una unidad de mercancía j. 6) Asimismo, i i i Q L l= representa la cantidad de trabajo utilizada en la producción de una unidad de mercancía i. l = (l 1 ,…, l i ,…, l n ) es el vector fila de los coeficientes de trabajo. Para simplificar llamaremos a       l A “técnica del sistema”. Por comodidad, para representar explícitamente el problema utilizaremos el tablero: (*) 1 :                                                                     nj n i n i nnnjn nj LLL Q Q Q q...q...q q...q...q β β β 1 11 1 1111 M M M M MMM MMM MMM 2. EL SISTEMA DE PRECIOS DE SRAFFA 5 Comenzaremos utilizando las mismas hipótesis de partida del propio Sraffa, que pueden ser resumidas en: 1) El sistema económico se encuentra en estado estacionario. Produce cada año la misma cantidad de mercancías. 2) Cada industria produce una sola mercancía mediante el empleo de trabajo y mercancías. Una parte de la producción total deberá ser destinada a reemplazar las mercancías que han sido utilizadas y el resto −el excedente− se destinará al consumo. 3) El valor añadido del sistema económico o valor del excedente se distribuye al final del período en forma de salarios y beneficios: los salarios en proporción a la cantidad física de trabajo empleada y los beneficios en proporción al valor de los medios de producción empleados por cada industria. Cabe señalar que el propio Sraffa distingue dos aspectos en los salarios: 2 a) Como elemento de subsistencia. b) Como participación en la producción excedente. 2.1. FORMULACIÓN DEL SISTEMA DE PRECIOS Denotando p 1 ,…, p i ,…, p n los precios de las mercancías 1, 2,…, n; Π el tipo de beneficio y w el salario unitario y con notaciones de (*) 1 , siguiendo a Sraffa tenemos: 2 “A la vista de este doble carácter de los salarios, sería apropiado, cuando vengamos a considerar la división del excedente en capitalistas y trabajadores, separar las dos partes que componen el salario y considerar sólo la parte del «excedente» como variable, en tanto que los bienes necesarios para la subsistencia de los trabajadores continuarían apareciendo entre los medios de producción, con el petróleo, etc.” (Sraffa, 8). “También supondremos en lo sucesivo que el salario se paga «post factum» como una participación del producto anual, abandonándose así la idea de los economistas clásicos de un salario «avanzado» desde el capital. Retenemos, sin embargo, el supuesto de un ciclo anual de producción con un mercado anual” (Sraffa, 9). 6 (*) 2 ( ) ( ) ( )          =+++Π+++ =+++Π++++ =+++Π++++ nnnnnnnnnnn jjjnnjjnnjjj nnnn pQwLpq...pqpq...pq ... pQwLpq...pqpq...pqpq ... pQwLpq...pqpq...pqpq 1111 112211 11111111221111 Dividiendo los dos términos de cada ecuación j por el término Q j correspondiente y reagrupando queda: (*) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )          =+Π+++Π++Π+ =+Π+++Π++Π+ =+Π+++Π++Π+ nnnnnn jjnjjj n pwla...aa ... pwla...aa ... pwla...aa 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21 21 1112111 o, matricialmente, (*) 4 ( ) [ ] lwAIp =Π+− 1 sistema de n ecuaciones y n+2 incógnitas: Π, w, p 1 ,…, p n lo cual significa que deberán fijarse dos de ellas para que el sistema se haga determinado. 3. LIMITACIONES DEL TIPO DE BENEFICIO El sistema (*) 4 puede escribirse como ( ) lwAIp =      − Π+ Π+ 1 1 1 7 o, si se prefiere, como (*) 5 w l AIp Π+ =      − Π+ 11 1 La matriz A es por construcción positiva (a ij ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n) y admite un autovalor máximo a positivo. Sabemos que ∀ λ ∈ R, λ > a , tenemos que (λ I – A) es inversible y que su inversa es positiva. Entonces, para que (*) 4 o (*) 5 tengan solución con significado económico debe ser a> Π+1 1 o bien 1 1−<Π a . Examinemos las características de las posibles soluciones de (*) 4 . Para hacerlo determinado es preciso fijar dos incógnitas. Si empezamos fijando Π, 0≤Π< a 1 –1, entonces el sistema se convierte en lineal con n ecuaciones y n + 1 incógnitas: los n precios y el salario unitario, por lo que, haciendo una cualquiera de estas igual a la unidad, el sistema queda perfectamente determinado. Si no fijamos Π y la mantenemos como incógnita, el sistema no es lineal y no podemos fijar arbitrariamente dos cualesquiera de las demás incógnitas. Supongamos, por ejemplo, que fijamos w = 1 e intentamos fijar p 1 , debemos tener: ( ) ( ) ( ) ( ) 11221111 1 1 11 lpa...papa nn =Π+−−Π+−Π+− de donde ( ) ( ) 111 1 11 lpa ≥Π+− o bien ( ) KKK 11 1 1 11 a l pΠ+− ≥ 4. REPARTO DEL EXCEDENTE ENTRE LA “SOCIEDAD” DE LOS CAPITALISTAS 8 Y LA “SOCIEDAD” DE LOS TRABAJADORES Denotando ,lL n ii ∑ ==1 q i = q i1 +...+ q in Q i = q i + β i y sumando por columnas los dos miembros de las ecuaciones (*) 2 , tenemos: q 1 p 1 +...+ q n p n + Π (q 1 p 1 +...+ q n p n ) + Lw = (q 1 +β 1 ) p 1 +...+( q n +β n ) p n de donde resulta (*) 6 Π (q 1 p 1 +...+ q n p n ) + Lw = β 1 p 1 +...+β n p n En el caso extremo en que Π = 0, resulta Lw = β 1 p 1 +...+ β n p n y para w = 1 tenemos que el valor del excedente coincide precisamente con la cantidad total L de trabajo empleado; como consecuencia, todo el excedente va a parar a los trabajadores. En ese caso, la ecuación (*) 4 : p (I – A) = lw tiene como solución (haciendo w = 1), que denotaremos (*) 7 v = l (I – A) –1 que es a lo que Marx denominaba “valores”. 4. HOMOGENEIZACIÓN DE LAS UNIDADES Consideremos el problema descrito en el tablero (*) 1 ; la fila i, 1≤i≤n, es representativa de la mercancía i; así, q ij es la cantidad física de unidades de mercancía i utilizadas por la industria j en el período considerado –por ejemplo, quilos de trigo, y nada impide medir estas unidades en toneladas en vez de en quilos–; lo mismo se puede decir para el resto de las mercancías. 9 Sea r = (r 1 ,..., r i ,..., r n ) ∈ R n , r > 0 (e.d.: r i > 0 ∀i) y transformemos el tablero (*) 1 en: (*) 9 ( )                         β β β               β ′ ni nnnn nnnninnn ni ni ij LLL Qr Qr Qr r r r qr...qr...qr qr...qr...qr qr...qr...qr Qq ' ' 1 22 11 22 11 1 2222212 1111111 M Entonces, siendo w el salario unitario y Π el tipo de beneficio, tenemos el sistema ( ) ( ( )( ( )(          =++++Π+ =++++Π+ =++++Π+ nnnnnnnnnn iiiinninii nnn pQrwLpqr...pqrpqr ... pQrwLpqr...pqrpqr ... pQrwLpqr...pqrpqr 1 1 1 222111 222111 1111122121111 y dividiendo los dos miembros de cada ecuación i por r i Q i : ( )     ≤≤=        +++++Π+ nip Qr wL pa r r ...pa r r ...pa r r i ii i nni i n iii i i i i 1 1 11 1 y poniendo ( ) ( ) ni ii i iijij j i ij l,...,l,...,ll, Qr L l,aA,a r r a′′′ = ′ = ′′ = ′ = ′ 1 : ( ) ( ) { niplpa...pa...pa iinniiiii ≤≤= ′ + ′ ++ ′ ++ ′ Π+ 1 1 11 16 ij q ′ = r i q ij es decir, multiplicando cada fila i de ( ) ij q por el correspondiente r i ; asimismo, iii rβ=β ′ , iii QrQ = ′ La cantidad total de trabajo utilizado por cada industria sigue siendo la misma. La nueva tecnología se obtiene haciendo ij j i ij a r r a = ′ y i i i r l l= ′ . Resulta ( ) 0,1 0,092682, 2478260 1023170701652170 2157890405347830 484210168292010 ,,l ,,, ,,, ,,, A = ′           = ′ y se observa fácilmente que ∀j, 1 ≤ j ≤ 3, ∑=≈ ′ = 3 180 iij ,aa 5.2. ALGUNAS PROPIEDADES RELEVANTES DE ESTE TIPO DE MATRICES 1) Sean A = (a ij ), B = (b ij ) matrices cuadradas de orden n, tales que ∀j, 1≤ j ≤ n, ∑= = n iij aa 1 ∑= = n iij bb 1 17 poniendo ( ) ij BA γ=⋅ con ∑ == n kkjikij ba 1 γ , tenemos ∀j, 1≤ j ≤ n, abbaabba kkj iik kkj i k kjik iij =      ∑ =      ∑∑∑ =      ∑∑ = γ y para este tipo de matrices se verifica BABA ⋅=⋅ de lo que se deduce en particular (*) 13 n n n aAA == 2) La suma de los elementos de cada columna de la matriz homogeneizada A es 1 < a o, lo que es lo mismo, 1<= aA Entonces, un resultado clásico nos indica (I – A) –1 = I + A +...+A n +... y entonces ∀j, 1 ≤ j ≤ n la suma de los elementos de la columna j de (I – A) –1 será: 1+ a +...+ n a+...= a−1 1 de lo que se deduce también (*) 14 ( ) a AI − =− − 1 1 1 18 Por un razonamiento análogo, dada una tasa de beneficio Π, 1 1 0−<Π≤ a , la suma de los elementos de cada columna j de ( ) ( ) 1 1 − Π+− AI es ( ) a 11 1 Π+− por lo que ( )( ) ( ) a AI 11 1 1 1 Π+− =Π+− − . 5.3. INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DE LA INVERSA ( I − −− − ( 1 + П ) A ) − −− −1 HOMOGENEIZADA Denotemos (α ij ) = (I – A) –1 . Si suponemos que la matriz tecnológica A, así como el vector l de coeficientes de trabajo, permanecen constantes ante un incremento infinitesimal ∆β j de β j de X = (I – A) –1 β, tenemos: X i (β 1 ,..., β j ,..., β n ) = α i1 β 1 +...+ α ij β j +...+ α in β n X i (β 1 ,..., β j +∆β j ,..., β n ) = α i1 β 1 +...+ α ij (β j +∆β j ) +....+ α in β n de donde: X i (β 1 ,..., β j +∆β j ,..., β n ) – X i (β 1 ,..., β j ,..., β n ) = α ij ∆β j y si suponemos que A permanece invariable cuando ∆ β j = 1, α ij representa la cantidad física de mercancía i necesaria para obtener una unidad física de mercancía final j. Entonces, cada columna j de (I – A) –1 representa las cantidades físicas heterogéneas de mercancías necesarias directa e indirectamente en todo el sistema económico para obtener una unidad física de mercancía final j. Por otra parte, l (I – A) –1 es un vector cuya componente 19 j: v j = α ij l 1 +...+α nj l n es representativa de la cantidad de trabajo utilizado directa e indirectamente para obtener una unidad j de mercancía final. Diremos que los v j son los coeficientes de trabajo verticalmente integrados. Como la matriz tecnológica fue homogeneizada, (α ij ) = (I – A) –1 tiene la propiedad ∀j, 1 ≤ j ≤ n, α 1j +...+ α ij +...+ α nj = a − 1 1 y, como consecuencia, si se diera la circunstancia de que l 1 = l 2 =...= l i =...= l n = t tendríamos que ∀j, 1 ≤ j ≤ n, v j = t α 1j +...+ t α ij +...+ t α nj = a t − 1 con lo que concluimos que en un sistema homogeneizado, si los coeficientes de trabajo directo l i son iguales, entonces los “valores” v i también son iguales. Igualmente, y por un razonamiento análogo, si consideramos una tasa de beneficio Π, 1 1 0−<Π≤ a , de p = lw ( ) ( ) 1 1 − Π+− AI , si todos los l i son iguales a t, tomando w = 1, tendremos: ( ) ( ) ni, a t p i ≤≤ Π+− =Π 1 11 20 es decir, los precios son todos iguales y crecen al aumentar Π, según ( ) ( )( ) 2 11 a ta p i Π+− =Π ′ . 5.4. PROPIEDADES DE LA INVERSA ( I − −− −( 1 + П ) A ) -1 NORMALIZADA Pongamos ahora, w l AIp Π+ =− Π+       11 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1 1− Π+−=Π=Π AI ij αα y ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 − Π+−=Π=Π AIlwlwp α y denotemos ( ) ( ) ( ) ( ) Π Π =Π ij ij ij α α α ~ Como ( ) ( ) a ij Π+− =Π 11 1 α (A es homogenizada) tenemos que la matriz ( ) ( ) Π ij α ~ es tal que ( ) 1 ~ =Π ij α o lo que es lo mismo, ( ) ( ) 1 ~ ,1 =Π≤≤∀ ∑ iij njj α (la suma de los elementos de cada columna de ( ) ( ) Π ij α ~ es uno), por lo que existe ( ) ( ) ( ) Π=Π Π→Π ~ ~ ~ lim ~ijij αα . Si denotamos 21 ( ) ( ) ( ) ( ) a AI lwp Π+− Π+− =Π − 11 1 1 ~ 1 tenemos: (*) 15 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 111 ~ − Π+−Π+−=Π AIalwp o multiplicando los dos miembros por ( ) :1 AI Π + − (*) 16 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) alwAIp Π + − = Π + − Π 111 ~ y tomando limites en los miembros cuando 1 1 ~−=Π→Π a queda ( ) 0 1 ~ ~=      −Π A a Ip o lo que es lo mismo ( ) ( ) ;0 ~ ~ =−Π AIap ahora bien, siendo ( ) 1 ~ ~ ,=Π∀ ∑ iij j α tenemos: ( ) ( ) ( ) Π++Π=Π ~ ~ ... ~ ~ ~ ~ 1njnijj llp αα ( ) ( ) 0 ~ ~ ~ ~ infinf >=      Π         ≤Π ∑ ii p ll i iij i j α y también ( ) ( ) +∞<=      Π       ≤Π ∑ i i iij iij llp sup ~ ~ sup ~ ~ α por lo que podemos concluir que ( ) Π ~ ~ p es autovector izquierdo de A asociado al autovalor máximo a y siendo A homogenizada, ( ) Π ~ ~ p es de la forma ( ) α α α ...,,, con 0 > α ; es decir, cuando Π tiende a Π ~ los precios relativos tienden a ser todos iguales. Es un resultado que no bebería sorprendernos demasiado puesto que cuando Π tiende al tipo máximo de beneficio, la proporción de producto neto que va al trabajo tiende a cero y 22 nos encontramos en una situación igual a cuando los coeficientes de trabajo directo i l fueran iguales a cero. De lo anterior se deducen una serie de propiedades interesantes de la matriz ( ) : ~ ~ Π ij α a) De (*) 6 tenemos: ( ) nnnn ppLwpqpq ββ ++=+++Π KKKK 1111 Cuando Π tiende a Π ~ , ( ) Π i p ~ tiende a ( ) Π ~ ~ i p , Lw tiende a cero, por lo que, siendo los ( ) Π ~ ~ i p todos iguales, y poniendo ( ) pp i ~ ~ ~ =Π , tenemos:       =         Π=       Π ∑∑∑ ii ji ij ii pqpqp β ~~ ~ ~ ~ , o lo que es lo mismo (*) 17 ∑ ∑ =Π ji ij ii q , ~ β por lo que concluimos que en un sistema homogeneizado la razón entre excedente global y la suma de los medios de producción utilizados coinciden con el tipo máximo de beneficio. Es lo que Sraffa denomina razón patrón (global) para los sistemas patrón. 4 b) Retomando la (*) 15 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 111 ~ ~ − Π+−Π+−=Π=Π AIalwlwp ij α y dado que existe 23 ( ) ( ) ( ) Π=Π Π→Π ~ ~ ~ lim ~ijij αα y también ( ) ( ) ( ) 0,,, ~ ~ ~ lim ~ >=Π=Π Π→Π ααα Kpp debemos tener: ( ) ( ) ( ) Π++Π==Π ~ ~ ~ ~ ~ ~ 11 ninii wlwlp ααα KK ( ) ( ) ( ) Π++Π==Π ~ ~ ~ ~ ~ ~ 11 njnjj wlwlp ααα KK de donde se deduce ( ) ( ) ( ) ( ) Π=ΠΠ=Π ~ ~ ~ ~ ,, ~ ~ ~ ~ 11 njniji αααα KK es decir, en cada fila k de la ( ) ( ) Π ~ ~ ij α los elementos ( ) ( ) nj kj ≤≤Π 1, ~ ~ α son iguales; o lo que es lo mismo, los vectores columna de ( ) ( ) Π ~ ~ ij α son todos iguales. 5.5. CONDICIÓN NECESARIA DE IGUALDAD DE PRECIOS PARA DISTINTOS TIPOS DE BENEFICIOS Estudiamos ahora que condiciones deben darse en un sistema homogenizado para que a distintos tipos de beneficio Π y Π ′ correspondan precios relativos iguales ( ) ( ) ppp ~ ~ ~ = Π ′ = Π . 4 Ver Sraffa (1975): Capitulo 4: “La mercancía patrón” del libro “Producción de mercancías por medio de mercancías”. 24 En primer lugar, los precios relativos del tipo ( ) Π i p son idénticos a los de tipo ( ) Π i p ~ , en efecto si Π≤Π≤ ~ 0 , tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ Π Π = Π+−      Π Π + − Π = Π Π ii i ii i ii i p p ap ap p p 11 11 ~ ~ y cuando Π→Π ~ , los limites del numerador y del denominador existen y son distintos de cero. Tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ Π Π = Π Π Π→Π ii i ii i p p p p lim ~ ~ ~ ~ ~ por lo que tenemos que los precios relativos ( ) Π i p son los mismos que los ( ) Π i p ~ incluso cuando Π = Π ~ . Si ( ) ( ) ppp ~ ~ ~ = Π ′ = Π , de (*) 16 tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) alwAIp Π + − = Π + − 111 ~ ( ) ( ) ( ) ( ) alwAIp Π ′ + − = Π ′ + − 111 ~ de donde y mediante cálculos elementales se obtiene: ( )( ) ( )( ) ( ) 0 ~ 1111 =− Π′ +−Π+− Π ′ − Π AIap aa o aun ( ) 0 ~ = − AIap y p ~ es autovector izquierdo de A. 25 Asimismo, de ( ) ( ) ( ) ( ) alwAIp Π + − = Π + − 111 ~ y siendo p ~ autovector izquierdo, tenemos ( ) ( ) ( ) ( ) alwaIp Π + − = Π + − 111 ~ por lo que lwp = ~ y siendo A homogeneizada los componentes de p ~ son todos iguales por lo que las de l también son iguales. Ya hemos visto anteriormente 5 que si las componentes i l del vector l eran iguales, los precios eran iguales para cualquier Π . Podemos pues enunciar: (*) 18 Teorema: En un sistema homogeneizado, es condición necesaria y suficiente para que los precios relativos permanezcan invariantes al modificar ( ) Π≤Π≤Π ~ 0 que los coeficientes de trabajo directo i l sean iguales. Supongamos ahora que los coeficientes de trabajo directo son todos iguales a t ; los precios son entonces todos iguales y dependen solo de Π y de w : ( ) ( ) a tw p i Π+− =Π 11 , Π≤Π≤ ~ 0 , de (*) 6 tenemos: (*) 19 ( ) ( )       Π=+         ΠΠ ∑∑ iii ji iji pLwqp β , dado Π , el valor del producto neto del sistema es ( )       Π ∑ iii p β . Y el beneficio total de todas las industrias es ( )         ΠΠ ∑ ji iji qp , . 5 Ver páginas 18 y 19. 32 también p k − p k − 1 . 7. CONSIDERACIONES EN TORNO A LA EVOLUCIÓN DE LOS PRECIOS EN UN SISTEMA HOMOGENEIZADO En un sistema homogeneizado de ( ) ( ) lwAIp =Π+− 1 se deduce que si lw tiende a 0, lo que equivale a que Π tienda a 1 1− a , el vector de precios p tiende a ser autovector izquierdo de A y, dado que = 1 (1,...,1) es autovector izquierdo de A, deducimos que los precios tienden a ser todos iguales. Lo anterior no significa en absoluto que en un sistema homogeneizado los precios no puedan cruzarse para un cierto valor de Π, pero es más difícil y si eso ocurre la variación de los precios relativos es muchísimo más suave. Ilustremos lo anterior con un ejemplo numérico sencillo relativo a dos industrias. Ejemplo numérico 1 80) (20, 80 20 100 100 30 50 2050 2030 =       =       =β         L Q Matriz tecnológica: ( ) ( ) 80 20 ; 2050 2030 21 ,,,l,ll ,, ,, A==         = 33 el autovalor máximo a ≈ 0,5701 y la solución de (v 1 , v 2 ) (I –A) = (0,2 , 0,8) es:    ≈ ≈ 3043471 2173911 2 1 ,v ,v El tipo máximo de beneficio 75390501 1, a ~=−=Π y se comprueba que para 1 + Π = 1,071428 la solución de ( ) ( ) =Π+− AIp 1 (0,2 , 0,8) es p 1 = p 2 = 1,4. Los precios se cruzan, pues, para un tipo de beneficio relativamente bajo del 7,14%. Asimismo, para 1+Π=1,5 obtenemos: 1253 6254 2 1 ,p ,p ≈ ≈ y para 1+Π=1,75 tenemos: 180 332 2 1 ≈ ≈ p p Homogeneizemos el problema. Resolviendo 34 ( ) ( ) =−αα AIa, 21 (0,0) obtenemos: 1 8511661 2 1 =α = α , tomando la mercancía 2 como numerario. El sistema homogeneizado es: 100 1166185 30 558392 2027010 3701030         =         =β         =, Q , ,, ,, A y el vector de los coeficientes de trabajo directo: l = (0,10804 , 0,8) La solución de (v 1 , v 2 ) (I – A) = l es    = = 3042141 6575830 2 1 ,v ,v Antes de calcular los precios para 1 + Π = 1,5 y 1 + Π = 1,75, observamos que en un sistema de dos industrias homogeneizado los precios no pueden cruzarse nunca, salvo si l 1 = l 2 , en cuyo caso son iguales cualquiera que sea el tipo de beneficio admisible Π. En efecto, si para un Π tuviéramos p 1 = p 2 = p, 35 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )      =Π+−+Π+− =Π+−Π+− 22212 12111 11 1 1 11 lpapa lpapa o aún ( ) ( ) ( ) ( )      =+=Π+− =+=Π+− aaalpap aaalpap 22122 21111 1 1 de donde necesariamente debe ser l 1 = l 2 . Si 1+Π=1,5 ( ) 70405150 555150550 1         − − =Π+− ,, ,, AI y la solución de p ( ) ( ) =Π+− AI 1 (0,10804 , 0,8) es:    ≈ ≈ 1253 49712 2 1 ,p ,p y para 1 + Π = 1,75 tenemos:    ≈ ≈ 2080195 6735194 2 1 ,p ,p 36 Se observa que: 50 21 2 21 1 , pp p pp p≈ + ≈ + 7.1. SOBRE CUANDO SE INTERSECAN LOS PRECIOS Consideremos el sistema p ( ) ( ) =Π+− AI 1 l y supongamos que existe una tasa de beneficio      −≤Π≤Π 1 1 0 a , para la que p i = p j = p Por comodidad de exposición y sin pérdida de generalidad, podemos suponer p 1 = p 2 = p y el sistema se escribe del siguiente modo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) nnnnn nn nn nn lpapapa lpapapa lpapapapa lpapapapa =Π+−+−Π+−Π+− =Π+−−Π+−Π+− =Π+−−Π+−Π+−+Π+− = Π + − − Π + − Π + − Π + − 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 21 332313 223322212 113312111 L LM L L L que es equivalente a: 37 (*) 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 11 1 1 1 1 11 1 1 11 21 32313 223322212 113312111            =Π+−+−+Π+− =++Π+− =Π+−−Π+−+Π+− =Π+−−Π+−+Π+− nnnnnn nn nn lpapaa lpaa lpapapaa lpapapaa L LM L L L sistema este de n ecuaciones con n – 1 incógnitas, siendo la condición necesaria y suficiente para que admita solución, que exista,      −<Π≤Π 1 1 0 a , , tal que el determinante de la matriz ampliada sea nulo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 1 11 11 11 21 21 33231 2122121211 = Π+−Π+−Π+− Π+−Π+−Π+− +Π+−+Π+−+Π+− n nnnn n nn l ll aaa aaa aaaaaa L M L L es decir, al sumar las dos primeras filas de la matriz I – (1+ Π) A, obtenemos una matriz de n – 1 filas y n columnas; los vectores columna de esta matriz son, pues, linealmente dependientes y la relación de dependencia lineal debe mantenerse para las componentes l i del vector l. 38 Ejemplo numérico 2 Consideremos ( ) 60 31 , 0,9 , 0,6 , 0,3 , 0,10,20,1 0,20,40 0,300,5 ,aajj lA iij == ∑ ≤≤∀ =           = Si tomamos 1+Π = 1,25, tenemos: ( ) 0,8750,250,125 0,250,50 0,37500,375 1           −− − − =Π+− AI y se comprueba que la solución de p ( ) ( ) =Π+− AI 1 l es p = (1,6 , 2,4 , 2,4), es decir, p 2 = p 3 Sumando en ( ) AI 1 Π+− la segunda y la tercera filas, la matriz queda como sigue:         − − 62502501250 375003750 ,,, ,, en la que la tercera columna es igual a dos veces la segunda menos la primera, relación 39 que se mantiene entre los l i : 0,9 = 2 . 0,6 – 0,3 y el determinante de la matriz ampliada es el siguiente. 0 906030 62502501250 375003750 =− − ,,, ,,, ,, Se comprueba que en la matriz anterior la tercera fila l = (0,3 , 0,6, 0,9) es igual a 1,6 veces la fila 1 más 2,4 veces la fila 2, pero (1,6 , 2,4, 2,4) era, precisamente, el vector de precios que correspondía a Π = 0,25 y w = 1. El sistema que acabamos de considerar que es homogeneizado nos muestra que en un tal sistema los precios pueden perfectamente cruzarse pero, sin embargo, dado que tienden a ser todos iguales cuando Π tiende a 1 1− a , los precios relativos de las correspondientes mercancías no pueden ser “excesivamente distintos” una vez que se cruzan. Para una tasa de beneficio Π = 0, lo que hace distintos los precios es la diferente configuración del vector l y de hecho el valor del excedente β es (tomando w = 1) precisamente L, cualesquiera que sean los l i , lo que permitiría a la “sociedad de los trabajadores” repartir el excedente por unidad de trabajo desarrollado. A medida que aumenta el tipo de beneficio, el trabajo pierde importancia en la determinación del vector de precios, y es por ello que en un sistema homogeneizado, a medida que aumenta Π, la diferencia entre los precios p i – p j  se hace cada vez más pequeña (se crucen estos o no) hasta llegar al límte de ser todos iguales cuando 40 Π = 1 1− a . En el ejemplo numérico 2, si Π = 0, tenemos: p 1 = 0,931036 p 2 = 1,551721 p 3 = 1,655169 para Π = 0,25 sabemos que p = (1,6 , 2,4 , 2,4) y para Π = 0,5: p 1 = 4,394344 p 2 = 5,492927 p 3 = 5,323909 Si normalizamos estos precios: para Π = 0 'p = (0,225 , 0,375 , 0,4) para Π = 0,25 'p = (0,25 , 0,375 , 0,375) para Π = 0,5 'p = (0,2888 , 0,3611 , 0,35) Como se observa, y como era de esperar, las diferencias entre los precios relativos de las mercancías disminuyen a medida que aumenta el tipo de beneficio. 8. SOBRE EL DENOMINADO “SALARIO DE SUBSISTENCIA” Supongamos ahora que los bienes que integran el llamado “salario de subsistencia” están incluidos en la tecnología del sistema; el trabajo es, pues, considerado como cualquier mercancía. Ello no implica en absoluto que se trate de una “economía de esclavos” 41 ni que los “hombres sean tratados como caballos”, como veremos más adelante. La dificultad fundamental (intrínseca al problema de este planteamiento) reside en definir qué se entiende por “subsistencia”, cuestión que dependerá de los contextos histórico, institucional, etc.; aparte de la relación de “poder” que existe entre la “sociedad del trabajo” y la “sociedad del capital”. Supongamos por un momento que han sido perfectamente definidos los bienes de subsistencia; a cada unidad de trabajo debe corresponder un conjunto de bienes proporcionados por las distintas industrias, y dado un posible tipo de beneficio Π, este debe afectar también a estos bienes, así como al trabajo empleado. En cualquier caso, si el tipo de beneficio es positivo (lo que supone que existe excedente), parte de este corresponde al trabajo y el trabajador puede utilizarlo mejorando su “nivel de subsistencia” o bien como “acumulación de capital”. De las consideraciones anteriores deducimos la conveniencia de ampliar la matriz de transacciones introduciendo una nueva columna relativa a las mercancías consumidas por el trabajo y una fila relativa a las cantidades de trabajo empleadas. Por comodidad de exposición y coherencia con notaciones anteriores, el vector columna será (q 1,n+1 , q 2,n+1 ,..., q n,n+1 , q n+1,n+1 ) el cual representa el salario de subsistencia del sistema; el vector fila (q n+1,1 ,..., q n+1,n+1 ) representa las cantidades de trabajo utilizadas por las distintas industrias. El término q n+1,n+1 48 donde γ ij= ∑ = n kkjik ba 1 el producto es asociativo ∀ A, B, C ∈ Mn (R): A . (B . C) = (A . B) . C es distributivo respecto de la suma ∀ A, B, C ∈ Mn (R): A (B + C) = A . B + A . C admite un elemento neutro, matriz identidad I. Proposición 1. Las aplicaciones { } ∑ =→= ∑ =→= ≥ ∈ = → = = + n jij i * ij n iij j ij aAaA aAaA x/xMn 1 1 sup )( b) sup )( a) 0RR(R) son normas en Mn (R). Demostremos a) –la demostración de b) es equivalente–: 1) 0 0 0 sup 0y 0 1 =⇔= ∑∀⇔=⇔=≥ = Aaj,iaAA ij n iij j 49 2) ∀λ ∈ R, AaA n iij j sup 1 λ= ∑λ=λ = 3) ∀ A, B ∈ Mn (R), BAbabaBA ij j ij j n iijij j += ∑ + ∑ ≤ ∑+=+ = sup sup sup 1 Mn (R) es, pues, un espacio vectorial normado. Proposición 2. Mn (R) es completo. Tenemos que demostrar que toda sucesión de Cauchy (A t ) t de elementos de Mn (R) es convergente en Mn (R). Denotando A t = ( ) t ij a como (A t ) t es de Cauchy en Mn (R), ∀ ε > 0, ∃ t 0 ∈N / p ≥ t 0 , q ≥ t 0 ⇒ ε<− qp AA pero ∑ε<−⇔ε<− = n i q ij p ij j qp aaAA 1 sup en particular, fijados i y j, ε<− q ij p ij aa por lo que la sucesión de números reales ( ) t t ij a es de Cauchy en R completo y converge a un número real que denotaremos a ij . 50 Demostremos ahora que (A t ) t converge a A=(a ij ) en Mn (R). Sea ε ∈ R, ε > 0, como ( ) t t ij a converge en R a a ij , ∃ t (i, j) ∈N / t ≥ t (i, j) ⇒ n aa ij t ij ε <− tomemos t 0 = sup { } nj,nijit ≤≤≤≤ 1 1 ),,( entonces ∀t ≥ t 0 y ∀j , 1 ≤ j ≤ n, ε= ε ⋅< ∑− = n naa n iij t ij 1 de donde resulta ε<      ∑− = sup 1 n iij t ij j aa o aun ε<− AA t lo que demuestra que la sucesión (A t ) t converge a A. Proposición 3. ∀ A, B ∈ Mn (R), BABA ⋅≤⋅ 51 Sea A . B = (γ ij ), con γ ij = ∑ = n kkjik ba 1 tenemos: BAbAab babaBA n iij j n kki n iij j n kkjik n i j n i n kkjik j n iij j ij sup sup sup sup sup )( 111 111 11 ⋅=      ∑ ≤      ∑∑ ≤ ≤ ∑∑ ≤ ∑ ∑ =      ∑γ=γ=⋅ === === == La norma elegida es, pues, “compatible” con el producto de matrices. Además, es evidente que la norma de la matriz de identidad es 1: 1=I Resumiendo lo expuesto en las proposiciones 1, 2 y 3, podemos afirmar que Mn (R) es un álgebra de Banach con unidad I. Cabe resaltar que, respecto de la norma ∑ = = n jij i * aA 1 sup que denominaremos “norma dual”, Mn (R) es también un álgebra de Banach con unidad I. La demostración es similar a la efectuada y utilizaremos una u otra según convenga al contexto en el que nos encontremos. 2. EL TEOREMA DEL PUNTO FIJO 52 Demostramos que Mn (R) es un álgebra de Banach y luego en particular es un espacio métrico completo dotado de la distancia d: Mn (R) × Mn (R) → R + (A, B) → d (A, B) = BA− Definición. Sea (E, d) un espacio métrico –por ejemplo, Mn (R)– y ϕ: E → E x → ϕ (x) diremos que ϕ es una contracción en E si ∃ k ∈ R, 0 ≤ k < 1 tal que ∀x, y ∈ E, ( ) ≤ϕϕ )( )( y,xd k d (x, y) Definición. Diremos que x es punto fijo de ϕ, contracción en E, si ϕ ( ) x = x 53 Teorema del punto fijo. En un espacio métrico completo, toda contracción ϕ admite un punto fijo único x y, además, ∀x 0 ∈ E la sucesión iterativa construida a partir de x 0 : x 0 , x 1 = ϕ (x 0 ), ... , x n = ϕ (x n–1 ), ... converge a x . En efecto, sea x 0 ∈ E y x n = ϕ (x n–1 ), n ≥ 1 Tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1)0 (porque 1 1 1 10 10 1211 101 10 2 212132 101021 <≤ + ⋅≤ ≤++++≤ ≤+++≤ ≤ ≤≤ϕϕ= ≤ϕϕ= +−+++++ + k k x,xdk ...k...kx,xdk x,xd...x,xdx,xdx,xd x,xdkx,xd x,xdkx,xdkx,xdx,xd x,xdkx,xdx,xd n pn pnpnnnnnpnn n nn L L término este que tiende a cero cuando n → +∞ por lo que la sucesión (x n ) n es de Cauchy en E completo, y admite un límite x . 54 Dado que toda contracción es una aplicación continua (incluso uniformemente continua), tenemos: ( ) ( ) ( ) xxxxx n n n n n n ==ϕ=ϕ=ϕ + ∞→∞→∞→ 1 lim lim lim y x es punto fijo de ϕ. Demostremos que x es único. Supongamos que x ′ también es punto fijo. Tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x,xdkx,xdx,xd ′ ≤ ′ ϕϕ= ′ y siendo k, 0 ≤ k < 1, lo anterior sólo puede darse si ( ) = ′ x,xd 0 es decir, que .xx ′ = Teorema 1. Para que A ∈ Mn (R) sea inversible en Mn (R), es necesario y suficiente que exista D ∈ Mn (R), D inversible y tal que 1 1 <=− − KDAI En efecto, si A es inversible, tomando D = A tenemos 10 1 <=⋅− − AAI Recíprocamente, supongamos que existe D inversible tal que 55 1 1 <=− − kDAI Entonces, la aplicación Φ : Mn (R) → Mn (R) : Φ (x) = D –1 + x ( ) 1 − −DAI es tal que ( ) 11 )( )( )( −− −⋅−≤−−= ′ φ−Φ DAI'xxDAI'xxxx (porque Mn (R) es un álgebra de Banach). Siendo 1 − −DAI = k < 1 tenemos ( ) ( ) x,xdkxxkxxxxd ′ = ′ −≤ ′ −Φ= ′ Φ )( Φ )( )( Φ ),( y Φ es contracción en Mn (R) completo, por lo que admite un punto fijo único x . Siendo x punto fijo de Φ, Φ ( x ) = x o aun D –1 + x ( ) 1 − −DAI = x 56 de donde x A D –1 = D –1 y multiplicando por D a la derecha, x A = I y x es la inversa de A. Además, ∀ x 0 ∈ Mn (R) la sucesión x 0 , x 1 = Φ (x 0 ),..., x n = φ (x n–1 ),... converge a x = A –1 (Teorema del punto fijo) Corolario. Con las anotaciones del teorema anterior n Rl ∈∀ , ( ) 11 : −− −+→ → ADIplDp RR nn ϕ es una contracción en n R que admite un punto fijo único p solución de lpA = , n Rp ∈∀ 0 , p es el limite de la sucesión iterativa: ( ) ( ) KKKK ,,,, 1010 − == nn ppppp ϕϕ 57 En efecto, tomando como norma en n R , i i pp sup= tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 < ′ −= ′ −−≤− ′ −= ′ − −− kconppk ppADIADIpppp n n n R RMnR R ϕϕ Por lo que ϕ es una contracción en n R , que admite un punto fijo único p al que para n Rp ∈∀ 0 converge la sucesión iterativa: ( ) ( ) KKKK ,,,, 1010 − == nn ppppp ϕϕ y tenemos ( ) pp = ϕ , pADpplD =−+ −− 11 a lo que es lo mismo lAp = . Definición. Sea A = (a ij ) ∈ Mn (R), diremos que A es de diagonal dominante por columnas si ∀ j, 1 ≤ j ≤ n, ∑ > ≠ji ijjj aa De forma similar diremos que A es diagonal dominante por filas si ∀ i, 1 ≤ i ≤ n, ∑ > ≠ij ijii aa Definición. Sea A = (a ij ) ∈ Mn (R), diremos que A es de tipo Leontief si      ≠≤ ∀> jia ia ij ii si 0 0