Publicacions Ma em`a iques, Vol 39 (1995), 285–299.
D´
ECOMPOSITION ATOMIQUE
DES ESPACES DE BERGMAN
F. Symesak
Abs ac
The aim o his pape is o es ablish he heo em o a omic decom-
posi ion o weigh ed Be gman spaces Ap(Ω), whe e Ω is a domain
o fini e ype in C2. We cons uc a ke nel unc ion H(z,w) which
is a ep oducing ke nel o Ap(Ω) and we p o e ha he associa ed
in eg al ope a o His bounded in Lp(Ω).
1. In oduc ion e ´enonc´e des ´esul a s
Soi Ω un domaine bo n´edeCn`a bo d C∞donn´e pa Ω = {z∈
Cn, (z)<0}. On suppose de plus que ´e ifie |∇ (z)|= 1 su ∂Ω=
{z; (z)=0}. Pou 0 <p<+∞, on pose Ap(Ω) = Lp(Ω) ∩H(Ω),
H(Ω) d´esignan l’espace des onc ions holomo phes dans Ω. On no e B
la p ojec ion de Be gman qui es la p ojec ion o hogonale de L2(Ω) su
le sous espace e m´e A2(Ω). La p oje ´ee B de la onc ion de L2(Ω)
es donn´ee pa
B (z)=Ω
B(z,ζ) (ζ)dV (ζ),
o`uB(z,ζ) es le noyau de Be gman e dV la mesu e de Lebesgue de Ω.
En 1980, R. Coi man e R. Rochbe g on in odui la no ion de d´ecom-
posi ion a omique des espaces de Be gman [3]. Dans le cas de la boule
uni ´edeCn, ils on mon ´e que ou e onc ion de Ap(Ω) peu s’´ec i e
(1.1) (z)=
i
λiaiBq(z,wi),
a ec  p≃(|λi|p)1/p. Dans la ela ion 1.1, wies une sui e de
poin s choisis une ois pou ou es, qes un ´eel assez g and e aies une
cons an e de no malisa ion de so e que
aiBq(·,w
i)p=1.
286 F. Symesak
Ainsi Ap(Ω) appa aˆı comme “engend ´e” pa les Bq(·,w
i), mais on ne
peu pas pa le de base, la d´ecomposi ion a omique n’´e an pas unique.
Ce e d´ecomposi ion a ´e ´eg´en´e alis´ee pa B. Coupe aux domaines
s ic emen pseudo-con exes en empla¸can Bq(z,ζ) pa un noyau de
Henkin con enable [4].
No e bu es de mon e que les espaces de Be gman poss`eden une
d´ecomposi ion a omique lo sque Ω ⊂C2es un domaine pseudo-con exe
de ype fini m≥2. Dans ce cas, le noyau de Be gman a ´e ´e´e udi´e pa
A. Nagel, J.-P. Rosay, E. S ein e S. Wainge [9] e pa J. Mac-Neal [8].
Il es li´e`alag´eom´e ie du domaine qui a ´e ´ed´ec i e pa D. Ca lin [1].
A ou poin zdans un oisinage du bo d U={z∈C2,| (z)|<ε},
on peu associe un changemen de a iables Φz, e la quan i ´e τ(z,δ),
δ>0, qui adui l’appla issemen du domaine aux poin s de aible
pseudo-con exi ´e. On peu alo s consid´e e la amille de polydisques
R(z,δ)d´efinis pa R(z,δ)={ζ∈C2,ζ =(ζ1,ζ
2),|ζ1|≤τ(z,δ)e
|ζ2|≤δ}pou d´efini dans Ula pseudo-dis ance d0(z,δ) pa
d0(z,ζ) = in {δ>0,ζ∈Q(z,δ)},
o`uQ(z,δ)={Φz(ζ),ζ∈R(z,δ)}. Ce e pseudo-dis ance n’´e an d´efinie
que dans un oisinage du bo d, on la p olonge `a C2`a l’aide de la dis ance
euclidienne. On consid`e e ψ∈C
∞(C2) elle que ψ(z,ζ) = 1 lo sque
| (z)|≤ε/2e | (ζ)|≤ε/2e ψ(z,ζ) = 0 lo sque | (z)|≥εou | (ζ)|≥ε.
D´efini ion. Soien ze ζdans C2. On no e
d(z,ζ)=ψ(z,ζ)d0(z,ζ)+(1−ψ(z,ζ))|z−ζ|.
Ce e pseudo-dis ance pe me de d´efini la quan i ´e D(z,ζ) sui an e:
pou ou poin zdans Ω, on no e δ(z) = dis (z,∂Ω) e on pose
D(z,ζ)=d(π(z),π(ζ)) + δ(ζ)+δ(z),
o`uπ(z)e π(ζ) son les p oje ´es de ze ζsu ∂Ω.
Dans le cas de la boule uni ´edeCn,Bq(z,ζ) es aussi le noyau
de Be gman `a poids Bq(z,ζ) pou qcon enable. Pou les domaines
pseudo-con exes de ype fini de C2, on a cons ui e un noyau ep o-
duisan pou les onc ions holomo phes. Ce noyau Hn(z,ζ), qui joue
le ˆole de Bq(z,ζ), es ob enu `a pa i du noyau de Be gman B(z,ζ)en
aisan une d´e i a ion selon un champ an i-holomo phe complexe no mal.
Le ai qu’il soi ep oduisan pou la mesu e dVn(z)=(− (z))ndV (z)
d´ecoule d’une in ´eg a ion pa pa ies. On u ilise les ´esul a s de A. Nagel,
J.-P. Rosay, E. S ein e S. Wainge [9] pou ob eni , pou Hn(z,ζ), les
es ima ions asymp o iques sui an es:
D´
ecomposi ion a omique des espaces de Be gman 287
P oposi ion A. Soi n∈N. Pou ou en ie l, il exis e C(l)>0 el
que
|Y1...Y
lHn(z,ζ)|≤C(l)D(z,ζ)−2−n−n2τ(z,D(z,ζ))−2−n1,
o`uY1,... ,Y
lson des ´el´emen s de {¯
N,N, ¯
L, L}pa mi lesquels il y a n1
champs Lou ¯
Le n2=l−n1champs Nou ¯
N.
On no e Hnl’op´e a eu in ´eg al d´efini `a pa i de Hn(z,ζ) pa
Hn (z)=Ω
Hn(z,ζ) (ζ)dVn(ζ) pou ou ∈L1(Ω).
On pose µ(z)=τ(z,δ(z)) lo sque z∈Ω∩Ue µ(z) = 1 sinon. Pou
α>−1, on no e dVα(z)=(− (z))αdV (z). Pou 0 <p<+∞, on pose
Ap(µ(z)βdVα)=Lp(µ(z)βdVα)∩H(Ω) e on no e ·
α,β,p sa no me.
Comme Ω es un domaine de ype fini m, il exis e c1>0e c2>0 elles
que
(1.2) c1δ1/2≤τ(z,δ)≤δ1/mc2
pou ou zdans Ω∩Ue pou ou 0 <δ<1[1]. On no e hla onc ion
d´efinie pa h(x)=2six≤0e h(x)=msi x>0. Les es ima ions
donn´ees pa la P oposi ion A e le c i `e e de Schu pe me en de mon e
que Hnse p olonge en un op´e a eu con inu dans Lp(µ(z)βdVα), quand
1<p<+∞[6]e [10].
P oposi ion B. Soien 1<p<+∞,αe β els que 1+α+β
h(β)>0.
Il exis e n0=n0(α, β, p) el que pou n>n
0
Hnes un op´e a eu con inu dans Lp(µ(ζ)βdVα).
P oposi ion C. Soien 0<p<+∞,αe β els que 1+α+β
h(β)>0.
Il exis e n0=n0(α, β, p) el que pou n>n
0
(1.3) F(z)=Ω
Hn(z,ζ)F(ζ)dVn(ζ)pou ou Fdans Ap(µ(ζ)βdVα).
On u ilise le noyau Hn(z,ζ) e la o mule de ep ´esen a ion in ´eg ale
p ´ec´eden e pou mon e le h´eo `eme de d´ecomposi ion a omique des
espaces de Be gman. Bien que les espaces de Be gman classiques soien
les espaces Ap(dVα), α>−1[3]e [4], le h´eo `eme sui an donne la
d´ecomposi ion des espaces Ap(µ(z)βdVα), lo sque (− (ζ))αµ(z)βes un
poids in ´eg able ca ils in e iennen dans la ca ac ´e isa ion des op´e a-
eu s de Hankel.
288 F. Symesak
Th´eo `eme D. Soien 0<p<+∞,α,β els que 1+α+β
h(β)>0.
Il exis e une sui e Ki(z)dans Ap(µ(ζ)βdVα) elle que pou ou Fdans
Ap(µ(z)βdVα), il exis e (λi)∈-p elle que
(i) F(z)=
i
λiKi(z),
(ii) 1/C 
i
|λi|p1/p
≤Fα,β,p ≤C
i
|λi|p1/p
.
Dans le Th´eo `eme D, les onc ions Kison d´efinies `a pa i du
noyau Hn(z,ζ) pou un indice nassez g and. Sui an R. Coi man e
R. Rochbe g, on d´emon e le Th´eo `eme D en app ochan la onc ion
F. Pou cela, on disc ´e ise la ela ion 1.3 pou ob eni une somme de
Riemann adap ´ee. On cons ui une sui e de poin s (wi)li´ee `a un e-
cou emen de Whi ney du domaine pou la pseudo-dis ance d. Lo sque
le ecou emen es cons i u´e pa des domaines suffisammen pe i s, la
onc ion G, ob enue en consid´e an la somme de Riemann associ´ee au
ecou emen , ´e ifie F−Gα,β,p ≤1/2Fα,β,p. On conclu pa un
a gumen d’analyse onc ionnelle.
2. P ojec eu s `a poids
Le bu de ce e pa ie es de cons ui e le noyau Hn(z,ζ) qui es e-
p oduisan pou les ´el´emen s de Ap(µ(z)βdVα) puis d’´e abli des es ima-
ions asymp o iques. Le noyau Hn(z,ζ) es ob enu `a pa i du noyau de
Be gman `a l’aide d’in ´eg a ions pa pa ies. Pou ou poin psu ∂Ω,
on no e Lle champ holomo phe angen en p`a ∂Ωd´efini pa
L=∂
∂z2
∂
∂z1
−∂
∂z1
∂
∂z2
e Nle champ holomo phe no mal
N=2∂
∂¯z1
∂
∂z1
+∂
∂¯z2
∂
∂z2.
En pa iculie |N |= 1 su ∂Ω.
Pou cons ui e Hn(z,ζ), on pa du ai que le noyau de Be gman es
un noyau ep oduisan pou les ´el´emen s de A2(Ω). Ainsi F∈A2(Ω)
´e ifie
(2.4) F(z)=Ω
B(z,ζ)F(ζ)dV (ζ).
D´
ecomposi ion a omique des espaces de Be gman 289
Comme |∇ |= 1 su ∂Ω, il exis e deux onc ions a(ζ)e b(ζ) dans C∞(¯
Ω)
elles que 1 = a(ζ)¯
N (ζ)+b(ζ) (ζ). On ob ien le noyau Hn(z,ζ) pa
´ecu ence. On pose H0(z,ζ)=B(z,ζ) e on ob ien Hn(z,ζ)`a pa i
de Hn−1(z,ζ) en posan , pou Fdans C∞(¯
Ω) ∩H(Ω),
F(z)=Ω
Hn−1(z,ζ)F(ζ)dVn−1(ζ)
=−1
nΩ
a(ζ)Hn−1(z,ζ)F(ζ)¯
N(− (ζ)n)dV (ζ)
−Ω
Hn−1(z,ζ)b(ζ)F(ζ)dVn(ζ)
=I1+I2.
Pa in ´eg a ion pa pa ies,
I1=1
nΩa(ζ)¯
NζHn−1(z,ζ)+(¯
Nζa(ζ)+1
4a(ζ)∆ (ζ))Hn−1(z,ζ)
F(ζ)dVn(ζ).
On ob ien alo s
Hn(z,ζ)=a(ζ)
n¯
NζHn−1(z,ζ)+¯
Nζa(ζ)+∆ (ζ)/4
n−b(ζ)Hn−1(z,ζ).
Pou mon e la P oposi ion A, on commence pa no e qu’il exis e
a0,... ,a
ndans C∞(¯
Ω) elles que
(2.5) Hn(z,ζ)=
n

i=0
ai(ζ)¯
NiB(z,ζ).
On u ilise le ´esul a sui an [9]: Soien Y1,... ,Y
ldes ´el´emen s de
{¯
N,N, ¯
L, L}. On suppose qu’il y a n1champs Lou ¯
Le n2=l−n1
champs Nou ¯
N. Il exis e C(l)>0 el que
|Y1...Y
lB(z,ζ)|≤C(l)D(z,ζ)−n2τ(z,D(z,ζ))−n1
Vol(Q(z,D(z,ζ))) .
3. P op i´e ´es de l’op´e a eu Hn
Dans ce e pa ie, on mon e que Hnse p olonge en un op´e a eu
con inu dans ce ains Lppou 1 <p<+∞. Dans le cas n=0,il
es bien connu que le p ojec eu de Be gman es un op´e a eu con inu
dans Lp,1<p<+∞[9]. Pou les op´e a eu s Hn,lad´emons a ion
de la P oposi ion B epose su le c i `e e de Schu qui pe me de donne
une condi ion suffisan e pou qu’un op´e a eu d´efini `a pa i d’un noyau
posi i soi bo n´e dans Lp(Ω) pou 1 <p<+∞[3]e [10]. On a
u ilise ce c i `e e a ec la onc ion g(ζ)=δ(ζ)apou adans ] −1,0[
con enablemen choisi. On commence pa p ou e le ´esul a sui an :

290 F. Symesak
Lemme 3.1. Pou ous ae b els que 0<1+a+b
h(b)e a−n+b
h(−b)<
0, il exis e C=C(a, b)>0 el que pou ou z∈Ω,
Ω
|Hn(z,ζ)|δ(ζ)aµ(ζ)bdV (ζ)≤Cδ(z)a−nµ(z)b.
D´emons a ion: Il suffi de consid´e e le cas o`u z∈U∩Ω. Le lemme
epose su un d´ecoupage de Ω en en es Bl=Q(π(z),2lδ(z)) ∩Ω. Dans
ce cas
Ω
|Hn(z,ζ)|µ(ζ)βδ(ζ)adV (ζ)≤B1
|Hn(z,ζ)|µ(ζ)βδ(ζ)adV (ζ)
+
+∞

l=2Bl Bl−1
|Hn(z,ζ)|µ(ζ)βδ(ζ)adVn(ζ).
Su B1, on u ilise le ai que |Hn(z,ζ)|≤|Hn(z,π(z)) |≤Cµ(z)−2δ(z)−2−n
pou ob eni
B1
|Hn(z,ζ)|δ(ζ)aµ(ζ)bdV (ζ)≤Cδ(z)a−nµ(z)b.
Pou es ime les au es e mes, il suffi de no e que pou ou ζdans
Bl Bl−1,δ(ζ)≃2lδ(z) e que, d’ap `es la ela ion 1.2, c12l/mµ(ζ)<
µ(π(ζ),2lδ(ζ)) <c
22l/2µ(ζ). On ob ien
Bl Bl−1
|Hn(z,ζ)|δ(ζ)a
µ(ζ)b
dVn(ζ)≤Cδ(z)a−nµ(z)b2(a−n)l+b
h(−b)Vol(Bl)
Vol(Bl−1)
≤Cδ(z)a−nµ(z)b2(a−n)l+bl
h(−b).
Soien pe p els que 1/p +1/p= 1. Pou mon e que Hnes un
op´e a eu bo n´e dans Lp(µ(z)βdVα), on mon e que l’op´e a eu ˜
Hnd´efini
pa
˜
Hn (z)=Ω
|Hn(z,ζ)|δ(ζ)n−αµ(ζ)−β
δ(z)n−αµ(z)−β1/p
(ζ)dVn(ζ)
es bo n´e dans Lp(dVn). Pou cela on u ilise le c i `e e de Schu : il s’agi
alo s de mon e qu’il exis e g(z)=δ(z)a el que
δ(z)α−n
µ(z)β1/p
Ω
|Hn(z,ζ)|δ(ζ)n+(n−α)/p+pa
µ(ζ)−β/pdV (ζ)≤Cg(z)p
δ(ζ)n−α
µ(ζ)−β1/p
Ω
|Hn(z,ζ)|δ(z)n+(α−n)/p+pa
µ(z)β/pdV (z)≤Cg(ζ)p.
D´
ecomposi ion a omique des espaces de Be gman 291
Les deux condi ions son ´ealis´ees en e u du Lemme 3.1 es choisi el
que
(n−α)/p +−β/p
h(β)<−pa<n+1+(n−α)/p −β/p
h(−β)
e
(α−n)/p +β/p
h(−β)<−pa < n +1+(α−n)/p +β/p
h(β).
Pou que aexis e, il es n´ecessai e e suffisan que 1 + α+β
h(β)>0e n
e ifie n>n
1(α, β, p)=1
pα+β
h(−β)+1
p−1.
Soi dans Lp(µ(z)βdVα). La onc ion 1(ζ)= (ζ)δ(ζ)(α−n)/pµ(ζ)β/p
es dans Lp(dVn)e  α,β,p = 1n,0,p. L’op´e a eu ˜
Hn´e an con inu
dans Lp(dVn), il exis e C>0 el que ˜
Hn 1n,0,p ≤C 1n,0,p. Il es e
`a no e que H α,η,p ≤˜
Hn 1n,0,p pou ache e la d´emons a ion de
la P oposi ion B.
4. Fo mule de ep ´esen a ion in ´eg ale
Dans ce e pa ie, on donne une condi ion su npou que Hn(ζ,z) soi
un noyau ep oduisan pou les onc ions de Ap(µ(z)βdVα). Pou cela
on u ilise le lemme d’inclusion qui sui mais qui n’es p obablemen pas
op imal.
Lemme 4.1. Soien 0<p<+∞,αe β els que 1+α+β
h(β)>0.
Il exis e n2=n2(α, β, p) el que pou n∈N el que n>n
2,
Ap(µ(ζ)βdVα)⊆A2(dVn).
D´emons a ion du lemme: Lo sque p>2, l’inclusion es une cons´e-
quence de la ela ion de H¨olde e n2=2
pα+β
h(−β)+2
p−1. Pou
0<p≤2, le domaine Ω ´e an un domaine de na u e homog`ene au sens
de R. Coi man e G. Weiss, on consid`e e un ecou emen de Whi ney de
Ω pa des domaines Q(z,θδ(z)), θ>0 suffisammen pe i de so e que
pou ou z,Q(z,θδ(z)) ⊂Ω[2]. Pou ou ´el´emen Qidu ecou emen ,
on no e zile cen e Qi. On pose aussi ¯
Qi=Q(zi,C
0θδ(zi)). Comme les
Qi o men un ecou emen de Whi ney, on choisi C0pou que les ˜
Qi=
Q(zi,θδ(zi)/C0) soien deux `a deux disjoin s. Soi F∈Ap(µ(z)βdVα).
Pou ou poin zdans Qi, on pa de l’in´egali ´e sui an e qui d´ecoule de
la sous-ha monici ´ede|F|p:
|F(z)|p≤C
Vol( ¯
Qi)¯
Qi
|F(ζ)|pdV (ζ).
292 F. Symesak
On ob ien alo s
F2
n,0,2≤
iQi
|F(ζ)|2δ(ζ)ndV (ζ)
≤
i
δ(zi)n−2α/p
µ(zi)−2β/pVol(Qi)1−2/p
¯
Qi
|F(ζ)|p
µ(ζ)βdVα(ζ)
2/p
.
Les domaines ¯
Qi´e an p esques disjoin s, Fn,0,2≤CFα,β,p d`es que
n≥n2=2
pα+β
h(p−2−β)+22
p−11+ 1
h(p−2−β).
Ci ons le co ollai e sui an :
Co ollai e 4.2. Soien 0<p<+∞,α,β els que 1+α+β
h(β)>0,
nen ie el que n>n
2. Tou e onc ion Fde Ap(µ(z)βdVα) ´e ifie
F(z)=Ω
Hn(z,ζ)F(ζ)dVn(ζ).
D´emons a ion du co ollai e: On no e ρ(z)=−(− (z))1/k,o`ukes
un en ie assez g and de so e que le Th´eo `eme1de[5] soi ´e ifi´e. Un
´esul a de Ligocka assu e que l’op´e a eu de Be gman `a poids Bsassoci´e
`a la mesu e (−ρ(z))sdV (z) es con inu dans C∞(¯
Ω) [7]. En pa iculie
on en d´edui que C∞(¯
Ω) ∩H(Ω) es dense dans A2(dVn). D’ap `es le
lemme p ´ec´eden , Fes dans A2(dVn). Soi Fνune sui e d’´el´emen s de
C∞(¯
Ω)∩H(Ω) app ochan F. Alo s, pou ou ν,HnFν=Fν. On ob ien
la o mule de ep ´esen a ion in ´eg ale en no an que Hnes con inu dans
L2(dVn).
5. D´ecomposi ion a omique
Pou ´e abli le Th´eo `eme D pou , on a u ilise la o mule de ep ´esen-
a ion in ´eg ale donn´ee pa le Co ollai e 4.2 pou app oche une onc ion
Fde Ap(µ(z)βdVα). On consid`e e un ecou emen de Whi ney de Ω
pa des domaines Qide la o me Q(w,ηθδ(w)), 0 <η<1 e on no e
wiles cen es de ces domaines. Ce e sui e, selon la e minologie de
R. Coi man e R. Rochbe g, es appel´ee un η- ´eseau su Ω. On pose
˜
Qi=Q(wi,ηθδ(wi)/C0)e ond´efini les onc ions Ki(z) pa
Ki(z)=δ(wi)n−α/pµ(wi)−β/p Vol(Q(wi,θδ(wi))1−1/pHn(z,wi),
D´
ecomposi ion a omique des espaces de Be gman 293
o`unes un en ie el que n>n
2. La P oposi ion A e un d´ecoupage
de Ω en en es Blpe men de mon e que Kies un ´el´emen de
Ap(µ(z)βdVα)d`es que
n>n
3(α, β, p)=1
pα+β
h(2(p−1) −β)
+21
p−11+ 1
h(2(p−1) −β).
On cons ui une onc ion Gqui app oche la onc ion Fde la a¸con
sui an e:
P oposi ion 5.1. Soien 0<p<+∞,α,β els que 1+α+β
h(β)>
0e n∈N,n>n
2. Pou ou F∈Ap(µ(z)βdVα), il exis e G∈
Ap(µ(z)βdVα) elle que
(i) G(z)=
i
νiKi(z),o`u(νi)es une sui e de -p,
(ii) F−Gα,β,p ≤1
2Fα,β,p.
D´emons a ion: Les domaines ˜
Qi´e an deux `a deux disjoin s, on as-
socie `a la sui e (wi) un ecou emen de Ω pa des domaines deux `a deux
disjoin s Eidon on sai es ime le olume. On pose E0=Q0 

+∞

j=1
˜
Qi

e , pou ou indice i, on no e
Ei=Qi 


i−1

j=0
Ei
∪

+∞

j=i+1
˜
Qi

.
Il es imm´edia que ˜
Qi⊆Ei⊆Qi, que
+∞

i=0
Ei= Ω e que Ei∩Ej=
∅si i=j. On ob ien la onc ion Gen disc ´e isan la o mule de
ep ´esen a ion in ´eg ale donn´ee pa le Co ollai e 4.2. Ainsi
(5.6) G(z)=
i
F(wi)Vol
n(Ei)Hn(z,wi).
Dans ce cas νi=F(wi)Vol
n(Ei)
δ(wi)n−α/pµ(wi)−β/p Vol(Ei)1−1/p . On mon e que la sui e
(νi) es un ´el´emen de -pen no an que, pou ou indice i,Vol
n(Ei)≃