Residu de Grothendieck et forme de Chow

Publicacions Matemàtiques, Vol 38 (1994), 381-393 . RESIDU DE GROTHENDIEC K ET FORME DE CHO W M . ELKAD I A bstract  We show an explicit relation between the Chow form and th e Grothendieck residue ; and we clarify the role that the residu e can play in the intersection theory besides its role in the divisio n problem . 1 . Introductio n Soit 1 un idéal homogéne de Z [Zo , . . . , Z,] . Pour tout entier r, 1 Ç r Ç n, on introduit des formes linéaires en Z = (Z 0 , . . . , Z n ) à coefficient s indéterminé s ` 1 .1)  Li(Z) -- Ui , o Zo + . . . + Ui , nZn , 1  i Ç r . On note Z [U] 1 ' anneau des polynómes à coefficients entiers en les vari - ables U =(Ui , j ; 1 ÇiÇr, DC j Cn ) et on définit 1' idéal I(r) de Z [U] pa r I(r) = {P E Z[U] : 3N E N, ZNP E (L 1 , . . . , L T , I), 0 < i < n } oú (L 1 , . . . , L, . , 1) désigne l'idéal de Z[U] [Z] engendré par les forme s linéaires L 1 , . . . , L T et les éléments de 1 . Lorsque 1 est équidimensionne l de rang n + 1 — r, I(r) est un idéal principal non réduit á {O} ([Nl]) . Un générateur de I(r) est appelé forme de Chow entière (integral Cho w form) de 1' idéal 1 ; c' est un polynóme homogène par rapport á chaqu e bloc de variables Ui = (U ,0 , . . . , Ui , n) , 1 < i < r . On renvoie á ([Ci , [HP]) pour les propriétés des formes de Chow . Dany la pratique, il est difficile, en général, de calculer la forme d e Chow +1 d'un idéal donné 1 = (P 1 , . . . , Pm) . Néanmoins, les estimacions 382  M . ELKAD I suivantes de son degré et de la taille de ses coefficients sont contenue s dans les travaux ([B2], [N1], [N2] ) degu i ç D 1 . . . D,, 1 CiCr , m (1 .2)  h(~) G jD1  . . . Dm +3n 2 mD 1 . . . D, n oú D i = deg P i et h i = h(P i ) = log max icoefF(P j )i, 1 Ç j Ç m . Brownawell a repris les travaux de Nesterenko ([Nl], [N2]) sur le s formes de Chow pour rendre effectives les inégalités de type Lo j asiewic z globales dans le cas algébrique ([Bi], [B2]) ; et c ' est précisément en exploitant ces inégalités qu'il a donné une version effective " économique " du Nullstellensatz ([Bi]) . Si 1 =D 1 n . . .nD s est la décomposition primaire de 1'idéal homogène et équidimensionne l 1 et P 1 , . . . , ~ s ses composantes premières associées, nous désignons pa r Z(P i ) la variété des zéros de 1'idéal premier Pi et e(D i ) 1'exposant d e 1'idéal primaire D i ( i .e . le plus petit entier positif m i tel que Pm i C D i ) . Dans ([P]), Philippon a utilisé la forme de Chowde 1'idéal 1 pour mesure r la complexité arithmétique du cycle c = E i s =l e (D i )Z (P z ) . Le but de cet article estde mettre en lumière le role que le résidu d e Grothendieck peut jouer dans la théorie de 1 ' intersection, en explicitan t son lien avec la forme de Chow, puis d'éclaircir son role dans le processu s de division ; ainsi le résidu de Grothendieck peut étre utilisé comme outi l pour mesurer la complexité arithmétique . Pour finir cette introduction, nous rappelons la définition et quelque s propriétés du résidu de Grothendieck ([BGVY], [GH] , [T]) qui ser a 1'outil de base dans ce que nous développerons par la suite . Définition 1 .3 . Soient P 1 , . . . , P n E C [Z 1 , . . . , Z n ] définissant un e variété algébrique V discrète (donc finie) et Q un autre polynóme . O n appelle résidu de Grothendieck local en un point a E V, associé à 1 ' application P = (P 1 , . . . , P a ), de la forme différentielle holomorph e Q (() d ((Ç = ((1, . . . , ( Ti )) le nombr e ( a ( 1 1 P ),Q(() d 0a = ( 2)flfE P i (() . . .P n (() d ~ RÉSIDU DE GROTHENDIECK ET FORME DE CHOW  38 3 oú rE est le n—cycle {( E U a : i= E, 1 Ç i Ç n} (Ua étan t un voisinage de a), qui est régulier pour E > o suffisament petit et á 1' extérieur d ' un ensemble de mesure nulle défini par le théoréme de Sard . L ' orientation de I' E est déterminée par la condition d(arg P 1 ) A . . . A d(arg P n ) > O . I1 est bien connu que la quantité á droite de (1 .4) n e dépend pas de E (gráce á la formule de Stokes) . Lé résidu de Grothendieck global, associé á P, de la n-forme Q (() d Ç , noté (D( 1 / P ) , Q(()d() , est la somme des résidus locaux aux différent s points de V, soi t ( a ( 1 / P ), Q(() d ()  ( a ( 11 P ), Q(() d O . - a EV Nous rappelons les deux propriétés fondamentales du résidu d e Grothendieck, la loi de transformation et le théoréme de dualité . Proposition 1 .5 (Loi de transformation) . Soit p = ( pi, . . . , pn ) une autre application polynomiale définissant une variété discréte tell e que d2=1, . . . n n, pi = E ai,a P 3 ~ az,i E C [Z1, . . ., Zn] ; j= 1 alors, (9(1/P), Q(()d()  ((l/p), Q (C) det(aZ,i(S))d() • Via la théorie de l'élimination, 1'idéal engendré par P 1 , . . . , P n contien t des p olynómes p i , . . . , p n , oil p i dépend seulement de la variable z i (ca r la variété algébrique définie par P 1 , . . ., P n est discrète) ; en utilisant l a formule (1 .6), le calcul du résidu multidimensionnel se raméne au calcu l usuel d .' une seule variable . Proposition 1 .7 (Théoréme de dualité) . Soit R un polynóme á n variables á, coefficients complexes ; alors R appartient d l'idéal engendr é par P 1 , . . ., P 7Z si, et seulement si, (a(1/P),Q(Ç)R)d() = o pour tou t élément Q de C [Z 1 , . . . , Z n] . Le résidu de Grothendieck permet done de tester 1'appartenance d'u n polynóme á un idéal . Je tiens á remercier Alain Yger, Carlos Berenstein et Paul Pederse n pour 1'aide qu'ils m'ont apporté . 384  M . ELKAD I 2 . Líen entre le résidu de Grothendiec k et la forme de Cho w Proposition 2 .1 . (voir aussi la Proposition 5 .15 de [BGVY]) . Soit 1 un idéal homogéne équidimensionnel de Z [Zo, . . . , Z n ] engendr é par des polynómes P 1 , . . ., P m définissant une suite réguliére e t P, n +~, • • • , Pn+1 des formes linéaires génériques de la forme (1 . 1) . Posons P = (P 1 , . . . , Pn+1 ) , y = deg P1 + . . . + deg Pm - --- m + 1 e t (k, D) = k 1 deg P 1 + . . . +kmdegPm +km+1 + . . . + k n+ 1 pour tout multiindice k = (k 1 , . . . , kn + 1 } E N n +1 ; alors un dénominateur commun aux fractions rationnelles en U = (Uz , 3 ; m + 1 Ç i Ç n + 1 , oç j Çn ) (2 .2)  ((1/P'1),(d, 1 Ç ( k , D )  Ç l < 2ry — 1 , oú 1 = (1, . . . , 1), est une puissance de la forme de Chow de l ' idéal 1 ; de fait J" Y+n+1 est un dénominateur des résidus (2 .2) . Preuve : Pour un choix générique des formes linéaires P m +1, . . . , P n+1 , on a {o} = {Z E C n +1 : P 1 (Z) = . . . = P n +1 (Z) = o} . Il s ' ensuit que l'idéal (Zo, . . . , Z n } ' Y est contenu dans (P 1 , . . . , P n+1 ) . E n effet, soient h un monóme de degré y et g un monóme quelconqu e 1 n+l  1z(C)9(0  (2 .3) ((1/P),g( h()d) =Si ( - ->00 27rz)  JI' s P~(C) . . .Pn+I(() d ( avec I' s = { ( E C n+1 : IP i (Ç)I 1 Ç i < n + 1} . En faisant l e changement de variable homothétique u = s(, on voit que la quantit é (2 .3) est nulle . D' après le théoréme de dualité (Proposition 1 .7) h es t dans 1 ' idéal engendré par P 1 , . . . , P n +1 . L'ensemble B(R) = B(R 1 , . . . , R n + 1 ) = {( E C n+1 .: iP i (01 < Rz , 1 Ç i Ç n + 1} est un polyédre de Weil pour presque tous les choix de s nombres réels strictement positifs R 1 , . . . , R n+1 grands . A 1'intérieur d e celui-ci, nous écrirons pour tout j E {O, . . . , n}, gráce á la formule d e Weil ( [AY] , [BGVY] ) (2 .4)  Z7 = ()fl+l[  q  H((, Z)  d ( ~  `2~ri  r ( R ) Ili l ( P Z(S) — P i ( Z )) RÉSIDU DE GROTHENDIECK ET FORME DE CHOW  38 5 oú F(R) {( E C n+l : íPi(01 = Pi, 1 ç i Ç n + 1} est la frontière d e Shilov de B(R) et H((, Z) est le déterminant d ' une matrice de polynóme s en 2n + 2 variable s (P,((,Z) ;l~in+l,Oj~n ) formant un système de diviseurs de Hefer associé à 1'application P = (P 1 , . . . , P n +1 ), soit n d2 = 1, . . . ,n+ 1, d(, Z E C n +l , pi(()-pi(z) _ E Pi,j ((, Z)(( j —Z) , j= 1 par exemple, nous pouvons prendr e _ Pi(Z15 . .)Zj-15(jl . . . 5(n) —Pi ( Z1, . . .  Z j(j+1, . . .  (n ) P z,j((, Z ) — Z j En développant en série géométrique le noyau intégral de (2 .4), nou s obtenon s (2 .5)  C 1\ n+l  f  ( . 7H(( ,Z)  n+ 1 .Z~ = 27ri kEN~+ l  r(R) ni n =+ I lP i ki+I ( ( ) d( ) I  á— 1 11 Pkz (Z) ' Le membre de droite de (2 .5) peut s ' exprimer en terme du résidu d e Grothendieck, n+ 1 (2 .6)  Z . 7 _ E (-a-(I/pk+I), S71-1((,Z)d() H Pk ti (Z) . kEN n + 1  i= 1 D'après les identités de Jacobi (les termes de la série figuran t dans la formule (2 .6) s'annulent dès que (k, D) > 'y . Donc l' identit é (2 .6) devient n+ l (2 .7) Z :7 =  ((1/P),Ç7H((,Z)do)fiP'(Z ) {kEN n + 1 , 1Ç (k,D)Ç-y}  i= 1 car le résidu relatif à i'application polynomiale P de composante s P 1 , . . . , P n +1, annule 1'idéal engendré par ces mémes composantes (Théorème de dualité) . Le s résidus (2 .2 ) qui interviennent dans l a formul e (2 .7 ) sont de s frac - tions rationnelles en U= (U i,j ; m + 1 Ç i Ç n+ 1, 0 Ç j Ç n) à coefficients entiers . U n dénominateur commun quelconque d e ce s fractions 386 M . ELKAD I est un multiple de la forme de Chow 1 . de 1' idéal 1 = (P 1 , . . . , P,, .L ) . D'autre part, d'après la définition de 1 . , il existe un entier positif Nte l que N dj -- o, . . . ,n, ~(U)~~ E (PI, . .,Pn+1) . Il en découle alors que Pon peut trouver des polynóme s Ch i (U, Z) , . . . , Q i , n+ 1 (U, Z) á coefficients entiers en les variables (U, ( ) satisfaisan t (1)(U)(N = Qj,i( U , Z ) P i( Z ) + . . . + Qi,n+i( U , Z)pn+i(Z), 0 < j < n . En utilisant la loi de transformation du résidu ([Ky]), les expression s (2 .2) sont égales à 1  ~ 1 n+ 1 (U)I k I+ n + 1 ~~ l det (Qi,j (U, O)  Qr l , . . . ,r lk , (U, () d ( x N(i q +1 )  N(i n +1 )  f R  ~~  . . .~ n oú k = (k1, . . . , k n +1) E N n +l , ki -- k1 + . . . + kn+ 1 , k! = l~ 1 ! . . . kn+1! , = io! . . . i n ! avec i i est l e nombr e d e j dans l a list e ( r 1 , . . . , rlk l ) , C R = {( EC n +l :  =R,oÇiÇn }e t Qr i , . . . ,rlkl ( U , C) ---  H  Qrkx + ... +k u_i +z7v ( U , C ) . {1ÇvÇn+1,1Ci5k, } Donc une puissancede laforme  en 1'occurrence (U) ' , est un dénominateur des fractionsrationnelles(2 .2) . ■ 3 . Róle du résidu de Grothendiec k dans le processus de divisio n Etant donnés un sous-corps K de C, un idéal 1 de K[Z 1 , . . . , Z n ] engendr é pa r de s polynóme s P 1 , . . . , P , TZ et u n polynóm e Q appartenan t á1 ; l'un de s problème s fondamentau x d e l a géométri e algébriqu e effeciv e est l a donné e d'un e born e pou r le s degré s de s candidats Q 1 , . . . , Q , n vérifiant Q = Q1 P 1 + . . .+ Q?nP,, Qi E K[Z 1 , . . . , Z n ] . I 1 estbie n connu , qu'e n général , l a complexit é d e c e problèm e est dou - blement exponentielle en le nombre de variables n ([MM]) . Néanmoins , v  ~ QCr i , . . . ,nkkCn (k + 1)!  27ri RÉSIDU DE GROTHENDIECK ET FORME DE CHOW  38 7 des bornes simplement exponentielles ont été trouvé dans certains ca s particuliers ([A], [B1], [BY1], [CGH], [DFGS], [FG], [K], [Si) . Si en plus K est muni d ' une structure arithmétique, se pose la questio n d'estimer la taille des coefficients des polynómes Q 1 , . . . , Qm . Beren - stein et Yger ont été les premiers à répondre de façon satisfaisante à cette question dans le cas classique de 1'identité de Bezout ([BY2]) ; e n effet, il .s ont donné des bornes simplement exponentielles, lorsque Q = 1 , pour les deux aspects géométrique et arithmétique du probléme . Tou t récemment, le cas de suites réguliéres de Z [z 1 , . . . , z n ] a été résolu ([E] , [KP]) . Le but de cette section est de donner de "bonnes " estimation s pour le degré et la taille des coefficients des quotients lorsque Pon a affaire à une famille de m polynómes homogénes à coefficients entier s définissant une suite réguliére dans C [zo, . . . , z, 2 1, et par conséquent un e sous variété de codimension m dans P(C) . Soient P 1 , . . . , P 7Z des polynómes homogénes de Z[Zo, . . . , Z n ] et Q u n polynóme à coefficients entiers appartenant à 1'idéal de Q[Zo, . . . , Z n ] engendré par P 1 , . . . , Pm . Supposons que 1'idéal 1 = (P 1 , . . . , P m ) définiss e une intersection complète dans P n (C) et notons . P la forme de Chow d e 1 . Nous voulons diviser explicitement Q dans ( P 1, . . . , P,, . L ) . Les frac - tions rationnelles du type (2 .2) sont appelées à jouer un role . Proposition 3 .1 . Sous ces hypothéses, il existe des polynóme s A l (U, Z), . . . , A,,, (U, Z) E Z[U, Z ] de degrés par rapport à Z au plus deg Q + deg P 1 + . . . + deg  — m , par rapport d chaque bloc de variables UT A , m + 1 Ç i Ç n + 1, au plu s (deg Q + n + 1)D 1 • • • D, n , tels qu e (1 . èlegQ+n+l(U)Q(7i) — A 1 (U, Z ) P 1( Z ) + . . . + A m ( U , Z)P m (Z) . Preuve : En effet, soient Pm+ 1 , . . . , P n + 1 des formes linéaires comm e dans la Proposition 2 .1 . De nouveau gráce à la formule de Weil, nou s écrivons dans le domaine de Weil B(R ) (3 .2)  Q(Z) ( - 27ri) n+l I ( R ) n2 1  Q(C) H ((, z )  _d( . ( P zco — P i( Z )) D'autre part, comme le polynóme Q appartient à 1'idéal engendré pa r P 1 , . . . , P,, . L , nous avons (en utilisant le théoréme de dualité ) 1 n+]-  Ql()H1(,Z ) (3 .3)  D = (2i)   n + d~ . LR) fl 1 P(( ) i=1 388  M . ELKAD I Suivant ([BT, Proposition 1 .3]), nous soustrayons (3 .3) de (3 .2), et nou s trouvons m Q(Z) _ E  (n Pi( z) As(z ) S=1 { SC { I , . . . ,m} ~  iE S cardS = s 2'n r i 1 n+l X  Q(() H «, Z )  d ( 3 1 (Ft) llm 1 Pi ( S =2+1 l p i(S) — P i( Z )) UjES ( P i(c) — Pi ( Z ) ) En développant en série géométrique le noyau intégral de As, nou s obtenons kEN s  (& ) 7ri n+ 1 Z E Nn +I—m  Q(() H ( C , z)  d Fs,k,l ( Z ) 3 1 ( R ) llis P i s) 11iES P k i +2 (S) lli ±m i + i P CE +1 (S ) Fs ,k,l (Z) = flP k i(z))  P(Z ) iES  I I I I ES  i+ l i=m+ 1 En exprimant les termes entre parenthèses dans (3 .4) en termes de résidus, nous avons E  ((1/P(Skl)), Q)H((, Z)dÇ)Fs, k , l( Z ) { kEN s ZEN n + I-- m oú E i (S, k, 1) = 1, i « S ; E i (S, k, l) = ki + 2, i E S ; E i (S, k, Z) = l i + 1,m+1ÇiÇn+1 . D'après les identités de Jacobi ([BY3]) les termes de la série (3 .5 ) s'annulent dés que n+ l E (k i + 1) deg Pi +  deg Q . iE S  i = m + 1 avec, x avec, n+ l (3 .5) A S (Z) _ RÉSIDU DE GROTHENDIECK ET FORME DE CHOW  38 9 Yl en résulte qu e m (3 .6) Q(Z) = E E E (fi P i ( Z ) s=i f SC {1, ... ,m} l ►~, d  iE S t card(S) =s f x ((i/Pf(Sk1)), Q(()H((, Z )d()F S,k,i (Z ) oú la somme sur les multiindices k E N', 1 E N n+ ' se réduit á n+ 1 E (ki + 1) deg Pi +  l i ç deg Q . iES  i =m+ 1 Les quantité s (3 .7) (a(1/PE(s,k,1) }, ( d d (),  deg Q + deg P l + . . . + deg P m , — m qui interviennent dans 1'identité (3 .6) sont des fractions rationnelles e n U á coefficients entiers . Nous venons de voir, dans la section 2, qu e Veg Q +n+1 est un dénominateur commun á ces fractions rationnelles . I 1 en découle alors qu e (U)Q(Z ) = A l (U, Z)P 1 (Z) + . . . + A m (U, Z)P m (Z), Ai E Z{U, z l , avec deg Z A i deg Q + deg P 1 + . . . + deg P,, ., , — m . On obtient les polynómes Ai en ne conservant dans le membre de droit e que les parties homogénes en U de degré le degré de 1,deg Q +n +1 , soi t (degQ+n+1)D i -Dm . • Ceci montre que le numérateur du résidu joue un role dans le processu s de division tandis que son dénominateur joue un role dans la théorie d e l'intersection . Proposition 3 .8 . Soient P1, . . . , P m des polynómes homogénes d e Z[Zo, . . . , Z n ] de degrés respectifs au plus D 1 , . . . , D m et de hauteurs log - arithmiques au plus h .  Supposons que P 1 i . . . ,P m f orment un e intersection compléte de P n (C) . Posons q = D 1 • • • D m e t D = max(D 1 , . . . ,D m ) ; alors pour tout polynóme Q à coefficients entiers appartenant à i'idéal de Q[Zo, . . . , Z n ] engendré par P 1 , ... , Pm , il existe des polynómes A~ , . . . , Am appartenant à Z [Zo, . . . , Z n ] et u n entier S strictement positif tels qu e 6 Q=AxP 1 + . . .+AmPm