Pub
.
Ma
.
UAB
Vol
.
31
nó
1
Ab il-1987
DESCOMPOSICIONESBORNOLOGICAS
DE
SHAUDER
pn
:
E
--
>
E
Todo
elemen o
x
EE
se
pod á
esc ibi
.
a)
d
n
.mPn
0
Pm
=
Pmin(mn)
,
Y
b)

pa a odo
x
E

E,
x
m
M
-
lim
p
n
(x),
Me ca
Se ahima
1
.
Descomposiciones
bo nólogicas de
Schaude
Sea
E
un
espacio
bo nológico
con exo
(e .b
.c
.)
sepa ado
.
Una
sucesión
(M
n
)
n
de
subespacios
Mackey-ce ados
no
i iales
de ine
una
descomposición
bo nológica
de
E,
si
odo
elemen o
x
e
E
admi e
una
ep esen ación
única
x =
M
-

Y-

x
n
=
M
-
lim

2
:

xk
,
siendo
pa a
odo
n,
xn
E

M
n
.
n21

n

k5
n
A
una
descomposición
se le
asocia
una
sucesión
de
aplicaciones
(p
n
)
n
de inidas
po
.
x

2
:

xk
,
si
x =
1,1
-
7-

x
n
k5
n

n21
Las
aplicaciones
(Pn)n
son
p oyecciones
sob e
los
subespacios
(Ml
+
. .
.+
M
n
)
n
y
e i ican
i ialmen e
pn o
pm
°
pmin
(m,n)
,
d
n,m
De iniendo
ql
=pl
,
qn
mpn
-Pn-1
si
n >
1,
se
ob iene
una
sucesión
de
p oyecciones
(q
n
)
n
sob e
los
espacios
M
n
,
que cumplen qn o
.q
m
= 0
si
n
*
m
x
=
M
-
lim
pn(x)
=
M
-
lim
Y-

qk(x)
°
M
-

Y-

qn(x)
n

n
kSn

n2
1
Una
descomposición
bomológica
es
de
Schaude ,
si
odas
las
p oyecciones
Pn
(o
qn) son
aco adas
.
Si la
sucesión
(P,)n
(o (q
n
)
n
)
es
equiaco ada,
la
descomposición
es
eqúi-Schauden
Se
comp ueba
sin
di icul ad
que una
sucesión
de
p oyecciones
aco adas
pn
:
E
-->
E, que
e i iquen
:
de ine
una
descomposición
bomológica
de
Schaude
de
E
.
Los
subespacios
de
la
descomposición
son
Ml
=
pl(E)
= q
i(E)
.
M
n=
(Pn
-
Pn-1)
(E)
=
qn(E)
si
n
2Z
.
11
.
P oposición
.
Sea E un e
.b .c
.
sepa ado
.
(Pn)n
una
sucesión equiaco ada
de
p oyecciones
Pn
:
E
--->
E
ales
que
:
a)

b'
n,
m
E

N,
P
m
oPn
=
Pm
i
n
(m,n)
b)

La
en ol u a
lineal
de
los
subespacios
pn
(E)
es
Maclmy-densaen
E
.
En onces,
(Pn)n
de ine
una
descomposición
equi-Schaude
de
E
.
Demos ación
.
Sea
M1
=
pl(E),
y
pa a
n
12,
M
n=
(Pn
-
Pn-1)(E)
.
Como
hemos
indicado
an e io men e,

se á
su icien e

comp oba

que
pa a

odo

x
E

E,
x =
M
-
lim
pn(x)
.
n
Sean
F
la
en ol u a
lineal
de
los
espacios
Pn(E),
x
e
E,
y 8 > 0
.
Si
(xi)i
C F
es
una
sucesión
al
que x
=
M
-
lim
xi,

exis i án
un
disco
aco ado
B
y
una
sucesión
(si)¡
de
eales
i
con e gen e
a
0
ales
que
pa a
odo
i,
x
-
xi
E
si
B
.
Sea
C
un
disco
aco ado
al
que
pa a odo
n
.
pn(B)
C
C
.
Designamos
po
U
pB
,
p
JIC
las
no mas
de inidas
po
los
calib ado es
de
B
y
C
en
sus
espec i as
en ol u as
lineales
.
Si i0
E

N
es
al
que
pa a
i
2
í0
,
si
<
l2
,
pa a
n
E

N
e
i
2
i0,
end emos
:
n
II
x
-xi
IIB

<
E1
2
,

II
Pn(x
-
xi) IIC
<
E1
2
.
Sea
A
un
disco
aco ado
que
con enga
B
y
C
.
Pa a
n
Z n0
:
Como
xi,

E

F,
po
la
condición
a),
!a
sucesión
(Pn(xi,))n
se á
cons an e
e
igual
a
x
apa i
de
un
cie o
n0
.
II
x
-
Pn(x)
IIA
5
II
x
-
x¿,

HA
+
II
xi,
-
Pn(xio)
IIA
+
II
Pn(xio)
-
Pn(x)
IIA
5
F-
al se la
no ma
de inida
po
el
calib ado
de
A
más
ina
que
las
de inidas
po
los
calib ado es
de
B
y
C
.
Po
an o,
x =
M
-
lisa
Pn(x)
.
o
Llama emos
espacios
LB
a
los e
.b .c
.
comple os
y
con
base
nume able
de
aco ados
.
Todo
e
.b .c
.
LB
es
limi e
induc i o
bo nolbgico
de
una
sucesión
c ecien e
de espacios
de
Banach
(Ek)k, de
o ma que
pa a
odo
k y
odo
x
E
Ek,
II
x Ilk+1
5
II
x
IIk-
(Rep esen ación
de E)
.
El
esul ado
que
sigue,
gene alización
de un
lema
de
Mosca elli
([4])
pa a
bases
bo nológicas,
pe mi i á
ex ende
algunas
p opiedades
de
las
descomposiciones
de
Schaude en
espacios
de
Banach
a
las
descomposiciones
en
espacios
LB
.
1
.2
.
Lema
- .
Sea E
un
e .b
.c
.
LB
y (Mn,
Pn)n
una
descomposición
bo nológica
de
Schaude
de
E
.
En onces,
exis e
una
ep esen ación
(Ek)k
de(
espacio
E
al
que
pa a odo
k,
(din
1
Ek,
nIFk)n
es
una
descomposición
de
Schaude
de!
espacio
de
Banach
Fk
.
(Sup imiendo,
pa a
cada
E
k
los
índices
n
ales
que

74
n
n
Ek =
0)
.
No a
:
puede
da se
el
caso
de que
pa a
oda
ep esen ación
(
k)k
del
espacio
E,

Ek
nM
n
---
0
sal o
pa a
un
núme o
ini o
de
índices
n
.
Abusando
del
lenguaje,
con inua emos
llamando
descomposición
de
Schaude
del
espacio
Ek
ala
sucesión
ini a
de
subespacios
(Ek
n
M
n
)
.
uenms ación
:
Sea
(Fk,
k
)k
una
ep esen ación
de
E
ai
que
pa a
4cio k,
Fk C
Fk,
.l
Y
k+l(x)
5
k
(x)
pa a
odo
x
E
Fk
.
Supond emos que Fl
iene
in e sección
dis in a
de
ce o
con
alguno
de
los
espacios
M
nde
la
descomposición
.
Si
Nk
es el
conjun o
de
índices
n
pa a
los
que Fk n

Iwi
n
;
0,
se
de ine
Gk
=
{(x
n
)
n
E
11
(Mn
nFk)
:
xn
=
0
si
o
?Nk, y Y-
x
n
es
con e gen e
en
Fl
.
n

n
y
en
Gk
la
no ma
II
(x
n
)n
llk
=Sup
(
k
(

Y-

xi))
.
Teniendo
en
cuen a que
los
espacios NI
n
son
m

i :1
m
M-ce ados,
se
comp ueba que
pa a
odo
k
.
(Gk
II
Ilk)
es
de
Banach
.
En
cada
uno
de
los
espacios
Gk,
los
subespacios
II
!!k -
ce a les
{
(0
.
.
.
.0
.
x
n
,
0, 0,
. .
. )

E

Gk

:

z
n
E

hi n
 1

Fk
,

n
ENk
}
de inen
una
descomposición
de
Schaude
.
s
i
x
=
(x n
)
n
E
Gk,
e
(yi)i
=
(0
,..
.0,
xi,
0-j,
u
:
G
-4
E
n
II
x
-

Z

Yi
Ilk
-
II
(xi)i
>
m
Ilk
=
SUP
(
Vk
(

y-

xi))
,
pa a
i5
m

n

i=m+l
que
iende
a
0 cuando
m
iende
a
in ini o
po
se

xi

k
-
con e gen e
.
Po
oca
pa e,
los
i
espacios
Gk
y
las
inclusiones
na u ales
o man
un
sis ema
induc i o
bomológico
:
sea
G
-
UGk
su
lími e
induc i o
.
La
aplicación

k
(xn)n

-4

M
- Y-
xn
n
o>m,
es
inyec i a
po
la
unicidad
de
la
descomposición
(M
n
,
Pn)n
,
exl aus i a-po
implica
la
Mackey-
Con e gencia
en
E
la
k
-con e gencia
en
algún
Fk
,
y
aco ada
.
ya
que
si
A
es
aco ado
en G,
lo se á
en
algún
Gk
,
y
si
(x n
)
n
C
A,
k
(u
((xn)n))
=
k
(bl-S
.
x n
)
<_
Sup

k
(

E

x
i )
_
II
(xn)n
Ilk
.
n>_
1

m

1115
m
El
eo ema
del
homomo ismo
pa a espacios
bo nol ígicos
comple os,
(121),
asegu a
el
isomo ismo
bo nológico
en e
E
y
G,
lo
que
concluye
la
demos ación
.
o
13
.
P oposición
.
En un
e
.b .c
.
LB
oda
descomposición
bo nológica
es
equi-Schaude
.
Demos ación
:
Sea
(Mn
,
pn)
una
descomposición
bo nológica
de
E
.
Sea
(Ek)k
una
ep esen ación
de
E,
(cons uida
como
en
el
lema
an e io )
o mada
po
espacios
de
Banacli
y
al
que
pa a
odo
k
(M
n
n
Ek,
pnjEk)ne
Nk
de ina
una
descomposicón
de
Ek
.
Co-o
:cs
espacios
M
n
n
Ek
son
ce ados
en
Ek,
las
descomposiciones
se ; n
equi-Schaude
e
cada
Ek
.
En e^
.ces,
como
odo
aco ado
A
de E
es a
con enido
en
algún

Ek,
el
conjun o
ñ
p (A)

ñ
pn
IE
kA)
se á
un
aco ado
de
E
k
y
en
consecuencia
de E
.
Si
E
es
un
e
.b .c
.,
designa emos
po
TE
al
espacio
E
p o is o
de
la
opología
localmen e
con exa
más
ina
de
en e
las
compa ibles
con
la
bo nología
de
E
.
El dual
bo nológico
Ex de
E,
coincide
con
el
dual opológico
(TE)'
de
TE,
y
si
TE
es un
e
.b .c
.
sepa ado
.
<E,
Ex>
se á
un
pa
dual
.
En
es e
caso,
la
opología
de
TE
coincide
con
la
opología
de
Mackey
T
M
(E,
Ex)
.
1 .4
.
P oposición
.
Sea
E
un e
.b .c
.
al
que
la
opología
de
TE
sea
sepa ada
.
En onces,
oga
descomposición
bo nológica
de
Schaude (Mn,pn)n
de
E,
es
ambién
una
descomposición
de
Schaude
de
E
pa a
las
opologías
de
Mackey
T
m
(E,
Ex)
y
débil
a(E,
Ex)
.
Si la
descomposición
bo ológica
es
equi-Schaude ,
ambién
lo
son
las
descomposiciones
opológicas
.
Demos ación
:
La
Mackey-con e gencia
en
E
implica
la
con e gencia
según
la
opología
de
TE
1
que
es

'C
m
(E,
Ex),
yés a
la

O(E,
Ex)-con e gencia
.
También,
si
las
p oyecciones
(p
n
)
n
son
aco adas
(equiaco adas),
se án
con inuas
(equicon inuas)
pa a
las
opologías
m
(E,
Ex),
O(E,
Ex)
.
o
1-5
.
P oposición
.
Sea E un e
.b .c
.
opológico
(es deci , la
bo nología
de
E
es
la
bo nología
de
Von
Neumann
de
un
espacio
localmen e
con exo)
al
que
TE
sea
one(ado
.
En onces,
oda
descomposición
bomológica
de
Schaude
de E,
es
equi-Schaude
.
Demos ación
:
Como
V
x
E
E, (pn(x))n
es
aco ado,
y
TE
onelado,
la
sucesión
(pn)n
se í
equicon inua,
y
al
se
E
un
e
.b .c
.
opológico,
se á
equiaco ada
.
o
1
.6
.
Co ola io
.
Si
E
es
un
e
.b .c
.
comple o
y
opológico,
oda
descomposición
bomológica de
Schaude
es
equi-Schaude
.
Demos ación
:
Si
E
es
comple o,
TE
es onelado
.
a
1
.7
.
P oposición
.
Sea
E
un
e
.b .c
.
opológico
al
que
TE
sea
onelado
.
Si
Nn,
Pn)n
es
una
descomposición
de
Schaude
pa a
T
m
(E,
Ex)
(o pa a
6(E,
E
x
)),
y
la
en ol u a
lineal
de
U
M
n
es
Mackey-densa en
E,
(Mn, pn
)
es
una
descomposición
bo nol6gica
equi-Schaude
de
E
.

n
Demos ación
:
Al
se
TE
onelado,
la sucesión
(Pn)n
se á
T
m
(E,
Ex)-equicon inua
y
equiaco ada
po
se
E
opológico
.
Es
su icien e
en onces
aplica
la
p oposición
1
.1
.
Po
o a
pa e,
al
se
TE
onelado,
oda
descomposición
pa a
la
opología
débil
es
ambién
descomposición
pa a
la
opología
onelada
([5])
.
.
Si
E
es
un
e
.b .c
.
y
(Mn,
pn)n
una
descomposición
de
Schaude
de
E, la
opología
de
TE
induce
en
cada
uno
de
los
espacios
M
n
la
opología
p opia
de
T
M
n
,
ya
que
al
se
las
p oyecciones
qn
:
E
-+
M
n
aco adas,
se án
con inuas
pa a'
las
opologías de
los
espacios
TE,
T
M
n
.
En
pa icula ,
si
la
opología
de
TE
es
sepa ada,
se
iene
;
Tm
(N
1 n
,
Mn
x
)
' T
n
i-E
x
)IMn
,
Y

G(Mn,
M
nx
)
-
a(E,
E
x
)IMn
2
.
Descomposiciones
inducidas
en
el
dual
bo nológico
.
Sea
E
un
e
.b .c
.
Designa emos
po
Ex
.el
dual
bomológico
de
E
p o is o
de
la
opología
de
la
con e gencia
uni o me
sob e
los
aco ados
de
E
( opología
na u al)
.
Si
(Pn)n
es
una
sucesión
de
p oyecciones
que
de me una
descomposición
bomológica
de Schaude
de E,
(Pn)n
,
(q'n)n
se án
las
sucesiones de
aplicaciones
adjun as
de
las
p oyecciones
(Pn)n
,
(qn)n
espec i amen e
.
Si
A
es
un
aco ado
de E, pa a odo
u
E
Ex,
<P
'n (u),
A>
_
<
u,
pn(A)>
es
aco ado
en
R
po
se
aco a as
las
aplicaciones
pn,
y
end emos
p'n
:

Ex

Ex

'
q
,
1
°
P'1

,
q'n
°
P
n
-
In-
1

si n
>
1

.
u

--)

u
opn
Se
comp ueba
inmedia amen e
que
las
aplicaciones p'n
,
q'
n
son p oyecciones
con inuas
pa a la
opología
na u al
en
Ex,
que
e i ican
p'
n o p
n
-
P
min(m,n)
,
q
'n
o q'm
°
0

si
n
--
m
.

También,
q'
n
(Ex)
=
{u
oqn
:
u
E
M
nx}
=M
n
x
,
yel
isomo ismo
es
opológico
conside ando
en
q'n(E
1
)la
opología
na u al
de
Ex,
y
en
M
n x
su p opia
opología
na u al
.
(De con
.
uni o me
sob e
los
aco ados
de
Mn)
.
21
.
P oposición
.
Sea
E
un
e.b
.c
.
al
que
TE
sea
sepa ado,
y (Mn, Pn)n una
descomposición
bomol6gica
de
Schaude
de
E
.
En onces,
la
sucesión
(p'n)n
de ine
una
descomposición
de
Schaude
de
Ex
pa a
la
opología
débil
a(E
x
,
E)
.
Demos ación
.
Como
las
aplicaciones
(p
n
)
n
son
i
m
(E,
Ex)-con inuas,
las
aplicaciones
p'
n
se án
a(Ex,
E)-con inuas,
y
como
pa a odo
x
E
E,
x = M-lim
pn(x),
pa a
u e
Ex
end emos
<
u, x
>_<
u,
M
-
lim
en(x)
>=
lim <u,
pn(x)
> -
Gin
<
P'n
(u),
x >
.
o
22
.
P oposición
.
Sea
E
un
e .b
.c
.
al
que
TE
sea
onelado
.
Sea
(pn)n
una
sucesión
de
p oyecciones
aco adas
de inidas
sob e
E
ales
que
la
en ol u a
lineal
de
U
pn
(E)
sea
Mackey-densa
n
en
E
.
Si (p'n)n
de ine
una
a(E
x
,
E)-descomposición
de
Schaude
de
Ex,
la
sucesión (pn)n
de ine
una descomposición
equi-Schaude
de
E
.
Demos ación
:

Como
(Ex,
a(E
x
,
E))'
=
E,
la
sucesión
(Pn)n
de ine
una 6(E,
Ex)-
descomposición
de
E,
según
el
conocido
esul ado
pa a
descomposiciones
en
el
dual
de un
espacio
localmen e
con exo
.
Bas a en onces
aplica
1
.7
.
o
2
.3
.
P oposición
.
Sea
E
un
e .b
.c
.
al
que
TE
sea
sepa ado
.
(pn)n
una
sucesión
de
p oyecciones
que
de ine
una
descomposición
equi-Schaude
de
E
.
Sea
F
la
-clausu a
en
Ex
de
la
en ol u a
lineal
de
U
p
',(Ex)
.
En onces,
(p'n)n
de ine
una
descomposición
equi-Schaude
de
F
pa a
la
opoligía
na u al
.
Demos ación
:
Pa a
odo
ue
F, la
sucesión
(p'n(u))n
es
de
-Canchy
po
se la
sucesión
(p'n)n
equicon inua,
y
como
iene
una
base
de
en o nos de
ce o
(S(Ex,
E)-cenados,
u= -
lim
p
,
n(u)
=
(T(Ex,
E)-lim
p'n(u)
.
--
Si
(Pn)n
es
una
sucesión
de
p oyecciones
que
de ine
una
descomposición
de
Schaude
en
el
e
.b .c
.
E,
designa emos
po
(p"
n
)
n
,
(q"n)n
las
sucesiones
de
aplicaciones
adjun as
de
las
p oyecciones
(p
*
n)n
,
(q'n)n
espec i amen e
.
Como
es as
úl imas
son
con inuas
pa a
la
opología
na u al
en
E
x
,
end emos,
pa a odo
n,
p"n((E
x
)')
C(Ex
.
)'
y
q"
n
((E
x
)')
C(Ex
.
)'
.
Pod emos
enuncia
.
2
.4
.
P oposici6n
.
Sea E
un
e
.b .c
.
al
que
TE
sea
sepa ado
.
(Mn, Pn)n una
descomposición
equi-Schaude
de
E
al
que
(q'n(Ex),
P'n)n
sea una
descomposición
de
Ex
pa a
la
opología
na u al
.
En onces,
(q"
n
(E
x
A
p"n)n
es
una
descomposición
equi-Schaude
de
un
subespacio
de
(E%)
.
pa a
la
bomología
equicon inua
.
Demos ación
:
T i ialmen e,
P"
n o
P"m
°
P"min(m,n)
.
Comd
(Pn)n
es
equiaco ada,
(p'n)n
se á
un
conjun o
equicon inuo
de
L
(Ex
,
Ex,),
y
(P"n)n
un
conjun o
equiaco ado
pa a
la
bo nología
equicon inua
de
(Ex
)'
.
Según
la
p oposición
l
.1,
(p"
n
)
n
de ini á
uña
descomposición
equi-Schaude
de
la
M-
adhe encia
de
la
en ol u a
lineal
de
U
q"n(Ex
D-
n
3
.
Descomposiciones
en
espacios
e lexi os
Si
E
es
un
e .b
.c
.
bo nol6gico,
el
espacio
(Ex,)'
p o is o
de
la
bomología
equicon inua,
es
el
bidual
bo nológico
de
E
.
E
se á
e lexi o
si
coincide
algeb aica
y
bo nol6gicamen e
con
su
bidual
.
Una
condición
necesa ia
y
su icien e,
es
que
E
posea
una
base de
su bomología
o mada
po
discos
6
(E,
Ex)-
compac os
.
([2p
.
Si
algeb aicamen e
E
=
(Ex
.
)',
E
es
semi e elexi o,
y si
E
es
subespacio
bomológico de
(Ex
)',
E
es
pola
.
una
condición
necesa ia
y
su icien e
es
que
E
enga
una
base
de
su
bomología
o mada
po
discos
ce ados
pa a
la
opología
de
TE
.
([2))
.
En
los
espacios
de
Banach,
la
exis encia
de
una
descomposición
aco adamen e
comple a
y
eco a e,
equi ale
a
la
e lexi idad
del
espacio
.
Siguiendo
es a
idea,
de ini emos
las
descomposiciones
aco adamen e
comple as
y
eco an es
en
espacios
bo nológicos,
y
e emos
que
ca ac e izan
la
e lexi idad
de
los
e
.b .c
.
pola es
i
de
los e .b
.c
.
LB
siemp e
que
los
espacios
de
la
descomposición
sean
de
dimensión
ini a
.
Una
descomposición
bomológica
de
Schaude
(Mn
,
Pn)n
de un
e
.b
.c
.
E
es
aco adamen e
comple a,
si
pa a oda
sucesión
(x
n
)
n
c
E
al
que
xn
E
M
n
pa a
odo
n, y
(
Y-
xk)n
sea
aco ada,
la
se ie
k=1
Y- xn
es
Mackey-con e gen e
en
E
.
n
n
Una
descomposición
bomológica
de
Schaude
(M
n
,p
n
)
n
de un
e
.b .c
.
E
es
eco an e,
si la
sucesión
(P'n)n
de ine
una
descomposición
de
Schaude
pa a
la
opología
na u al
en
Ex
.
3
.I
.
P oposición
.

Sea
E
un
e .b
.c
.
al
que
TE
sea
sepa ado
.
En onces
:
a)

Si
E
es
e lexi o,
oda
descomposición
de
Schaude
(Mn, pn)n
es
aco adamen e
comple a
.
b)

Si
E
es
semi e lexi o,
oda
descomposición
equi-Schaude
es
eco an e
.
n
Demos ación
: a)
Sea
(E
xk)n
aco ada
al
que
1
n,
xn
E
M
n
.
k-1
ComoE
es
e lexi o,
la
sucesión
es a á
con enida
en un
conjun o
A
aco ado
y a(E, Ex)-com-
pac o
:
sea
x
E
A
a(E,
Ex)-adhe en e
a la
sucesión
.
x
admi e
la
ep esen ación
x
m
M
-
Y-
qk(x)
k
con
qk(x)
E
Mk,
y
ambién
x
- a(E,
Ex)-y,
qk(x),
siendo
las
aplicaciones
qk
con inuas
pa a
la
k
opología
débil
.
En onces,
pa a odo
k,
qk(x)
se á
adhe en e
a
la
sucesión
(qk
(~
xi))n
.
y
comoqk
(~
xi)
m
i~n

i<_
n
xk
si
n 2
k,
y 0 en
caso
con a io,

x -
M-
lim
1

-k-
k
:5
n
b)
Po
.
23,
(P'n)n
de ine
una
descomposición
equi-Schaude
de
la
-clausu a
de
la
en ol u a
lineal
F de U
q'n(E
x
)
.
Pe o
F
es
denso
en
Ex,
. :
como
(Ex,)'
m
E,

si
x
pe enece
al
o ogonal
n
de
F, pa a odo
u
E
Ex
Y
odo
n
E
N,
(q'
n (u)(x)
-
u
(qn(x))
° 0
.
y de
aquí
qn
(x)
° 0
pa a
odo
n
po
se
<
E,
Ex
> un
pa
dual,
yx-0
.
a
Si
(M
n
p
n
)
es ina
descomposición
de
Schaude
del
e
.b .c
.
E
al
que cada
M
n
sea
semi e lexi o,
pa a
odo
n,
q"n
«Ex,)')
a
{u
a
q' n
I
u
e
((Mn)x )'}
=_
M
n
.
Iden i icando
es os
espacios,
pod emos
enuncia
el
siguien e
lema de
ep esen ación del bidual
de
los
espacios
pola es
:
31
.
Lema
.
Sea
E
un e
.b
.c
.
pola
.
(Mn,
Pn)n
una
descomposición
equi-Schaude
aco adamen e
comple a
y
al
que cada
subespacio
M
n
sea
semi e lexi o
.
En onces,
(Ex,
)'
--
E
®
V,
suma
di ec a
algeb aica,
siendo
V
el
o ogonal
en (Ex.
)'
de
la
en ol u a
lineal
de
la
unión
de
los
subespacios
p'n(E
x
)
.
Demos ación
:

Sea
z
E
(EX,)'
.
Pa a
odo
n,
q"n(z)
E
M
n C
E,
e
igualmen e,
p"
n
(z)
E

E
.
Como
.
l
a
descomposición
es
equi-Schaude ,
(P"
n
)
n
es
un
equiaco ado
de
L
x
((E
x
Ye, (Ex
)'e)
,
y
po
lo
an o
(P"n(z))n
un
equicon inuo
de
(Ex
)'
.
Al

se
E
pola ,
(P"n(z))n
=
(
7_ q"k(z))n
k5n
se á un
aco ado
de
E,
y
al
se la
descomposición
aco adamen e
comple a,
exis i á x
E
E
al
que
De iniendo
la
aplicación
(E
x
)'
->
E
x
a
M-lim
P"n(z)
°
M
-
Y,

q"k(z)
.
k5
n
z

-~

x =
M-lim
P"
n
(z)
n
se
iene
una
p oyección
sob e
E
de
núcleo
UKe
p"
n =
V
.
.
n
Podemos
demos a
aho a
el
ecíp oco
de
la
p oposición
3
.1
.
pa a
los
e
.b
.c
.
pola es
:
3
.3
.P oposieión
.
Sea
E
un
e
.b .c
.
pola
(Mn, Pn)n
una
descomposición aco adamen e
comple a
y
eco an e
al
que
cada
M
n
sea semi e lexi o
.
En onces
E
es
e lexi o
.
Demos ación
:

Según
el
lema 3
.2,
(Ex
)'
=
E
®
V,
siendo
V
=(U
P'n(E
x
))
l
.
Pe o
al se la
n
descomposición
eco an e,
la
unión
de
los
subespacios
p'
n
(Ex)
es
densa
en
Ex y
V
= 0
.
o
Pa a
demos a
un
esul ado
análogo
en
los
espacios
LB,
u iliza emos
dos
lemas
ela i os
a
espacios
de Banach que
posean una
descomposición
de
Schaude ,
análogos
a
conocidos
esul ados
pa a
bases
de
Schaude
que
se
encuen an
en
(3]
.
También
un
lema
pa a espacios
LB
en
el
que
se
iden i ican
las
adhe encias
de
de e minados
conjun os
.
3
.4
.
Lema
.
Sea
E
un
espacio
de
Banach,
y
(Mn
,
pn)n
una
descomposición
de
Schaude
.
Sea
F
la
adhe encia,
en
la
dual
E
de
E
de
la
en ol u a
lineal
de
U
q'n(E~
con
la
no ma
inducida
.
n
En onces,
el
espacio
E
es
opológicamen e isomo o
a
un subespacio
ce ado
del
dual
F
de
F
.
3S
.
Lema
.
Sea
E
un
espacio
de Banach
.
(Mn,
Pn)n
una
descomposición
de
Schaude
al
que
cada
M
n
sea
e lexi o
.
Sea F
la
adhe encia en
E
de
la
en ol u a
lineal
de
U
q'
n
(El con
la
no ma
inducida,
y
F
su
dual
.

n