Pub
.
Ma
.
UAB
Vol
.
30
n2 2-3 Des
.
1986
ABSTRACT
In
his
pape
we
ge ,
o a
g oup
G,
a
g oup
heo e ic
exp ession
o
H
2n
(G),
n>2
.
1
.-INTRODUCCION
Sea
G un g upoy
R
>->
F
-»>
G
una
p esen ación
lib e
de
G
.
Es
bien conocido
que
exis e
un
isomo ismo
( ó mula
de
Hop )
H
2
(G)
(Rn
[F,F]
)/[F,R]
.
En
131

se
han
ob enido ó mulas
análogas
pa a
los
g upos
H
3 (G)
y H5
(G) a
pa i de
una
sucesión
exac a
que
elaciona
la
homología
de
G
con
la
homología
de
cie os
p oduc os
semidi ec os
en
los
que
in e ienen
los
g upos
R
y F
.
El obje o
del
p esen e
abajo
es
da
una
in e p e ación
de H
2n
(G),
n
,
2,

a
pa i
de
una
p esen ación
lib e
de
G
.
En
la
p ime a
pa e
se
calcula
una
exp esión
pa aH
4
(G)
simila
a
las
dadas
en

131

pa a
H
3
(G)
y H
5 (G)
.

El
mé odo
de
ob ención
es
di e en e
ya que
la sucesión
exac a
mencionada
an e io men e
no
pe -
mi e
exp esa H
4 (G)
como
nucleo
de
un
homomo ismo
en e
g upos
.
d
e
homología
.
PRESENTACIONES
LIBRES
Y
H
2n
(G)
An onio
G
.
Rodicio
En
la
segunda
pa e
usamos
esul ados
no
publicados
de
K
.W
.
G uenbe g
121
pa a
in e p e a
H
2n
(G),
n>,
.2
.
2 .-
INTERPRETACION
DE
H4 (G)
Sea
G un
g upo
y
R
>--->
F
-~
G
una
p esen ación
lib e
de G
.
SeaK
~-a
L
---D
R
1
F
una
p esen ación
lib e
del
p oduc o
semidi-
ec o
de R y
F, F
ac uando
sob e
R
po
conjugación
.
Conside emos
el
diag ama
ca esiano
Demos ación
78
K
:----z
L

»
R
I
F
Teo ema
1
:
Exis e
un
isomo ismo
na u al
H
4
(G)

^'
°

----3~
H
2
(R
IR)
G
[S,SJ ()
[L,K]
[L,Kn[S,sii
[S,K]
Conside emos
la
sucesión
exac a
(ob enida
en
131)
H
4
(G)
->
H
2
(R
IR)
dondeZ
es
el
g upo
de
los
en e os
acionales
con
G-acción
G
ac úasob e
H
2
(R
I
R)
a
a és
de
.
l
a
ex ensión
R
1
R
>---~
R
1
F
---»
G
( e
14,
p
.
3071)
.
Conside emosaho a
.
el
diag ama
Z
-
;>
H2 (R 1F)
---
;» H3 (G)
H
4 (G)
>---D
H2 (R
Z
R)
donde
.
T
es
el
homomo ismo
canónico
y~K
Usando
la
i ial
y
ó mula
de
Hop
ob enemos
Po
an o
K
(1
[S,
S]
H
2
[S,K]
[S,
S]
()
[L,K]
Ke
~
~
[L,K]
K
li
(L,L]
H
2
(R
IF)
^
[L
,
K]
Po
o a
pa e,
no
es
di ícil
comp oba
que
la
acción
de
G
sob e
H
2 (R
1
R)
es á
dada
po

(a(S,K])
.g =
xax
1
[S,K],

donde
aEK(i[S,S],
g
E
G,

x
E
L,

g =
6
(x)
.

El
nucleo
de

TT

es
isomo o
H
2
(R
I
R)
.1G
(siendo
IG
el
ideal
aumen áción
de G)
el
cual
es
isomo o
al
sug upo
de

(K
n
[S,S])/[S,K]

gene ado
po
los
elemen os
xax
-l
a
-1
[S,K],
x
EL,
a E K
n
[S,
S]
.

Como
es e,!
subg upo
es
isomo o
a
-
[L,Kn[S,S]]
[S,K]
[S,
K)
el
esul ado
se
sigue
del
isomo ismo
H
4 (G)
N
Ke '(
/Ke
n
.
3 .-
INTERPRETACION
DE
H
2n
(G)
Sea
G
un
g upo,
R
:-
>
F
E>
G
una
p esen ación
lib e
de
G,
X un
conjun o
de
gene ado es
lib es
de
F
y
n
un
núme o
en e o
>
2
.
Pa a cada
i,
I :l
i<
n-1,
conside emos
una
copia
isomo a
i
R de R
:
R i
i
R,


i

i

i
.
Sea E
=
F*1R*
. .
.*n-1R
el
p oduc o
lib e
de
F y
los
i
R
.
El
homomo -
ismo

I
:
E

> G
de e minado
po

F_
y
los
homomo ismos
i ia-
les
i
R
-
> G
es
sob e
.
Deno a emos
po
E
G
el
nucleo
de
~¡
EG >

-
>
E

w

»
G
.
Sea
aho a E*
el
nucleo
del
homomo ismo
na u al
E

F
X
1
R
X
.
. .
X
n-l
R
.
De inimosdos
subg upos
de E
en e
JE*,E*)
y E*
:
E*
_

[F,1R,
.
.
.
.
n
-lR][E*,
E*)
E
l
=

[E*,E
G
]
[E
*
,E*
]
.
Se
iene
as¡
una
o e
de
g upos
:
[E*,E*]
C
E
l
C
E *
C
E*
C
EG
C
E
.
E
*
y E
l
son
subg upos
no males
de E
.
Además
E
*
/E
1
es
un
G-módulo
a
a és
de la
conjugación
en
E
.
Necesi amos
un
subg upo
más
ED de
E, el
cual
e i ica á
E
l
C
E0
C
E
*
.
Pa a
de ini
E
0
in oducimos
la
siguien e
no ación
:
si
es
un
elemen-
o
deR y
= xe1
.
.
.xe
,
e
l
=
i,
x
_
<E
X
1

k

si
es su
exp esión
como
una
palab a
en
X se
de ine
:
(
;
( 1,
. .
., n-1))
=
(i)
=

xei+l
. .
.xek

si
e
.
_
+l
'i+l
'k
e
x
s
l
. .
.x
k

si
e l
i

s
k
Pá acada
n-upla

n-1)
de
elemen os
de
R
sea
k

(i) -1
( (i)-1)]ei (i)
E
E
(u ilizamos
no ación
exponencial
pa a
ep esen a
la
conjugación)
.
E
0
es la
clausu a
no mal
en
E de E
l
y
odos
los
elemen os
( ;( 1,
. .
.I n-l))
.
A
con inuación
e emos
la
elación
en e
los
g upos
E*
/E
l
,
E0/E
1
y
cie os
ideales
del anillo
de
g upo
ZF
.
Sea
Y
un
conjun o
de
gene ado es
lib es
de R
y
T
una
ans e sal
de
R en F
al
que
lE
T
.
Teo ema
2
:
E
*
/E
1
es
el
g upo
abeliano
lib e
sob e
las
clases
de
odos
los
conmu ado es
[x'
lyl'
"
''n-lyn-1]
donde
xE
X,
y
i
E
Y,
E
T
.
Teo ema
3
:
Sea
IF
el
ideal
aumen ación
de
F
y
deno emos
po
T
R el
nucleo
del
homomo ismo
de
anillos
ZF

)k ZG
inducido
po
F
El
homomo ismo
p
:IF
.
TR
-l /
IF
.T
R
>
E
*
/E
1
de inido
po
((1-x)(1-yl)
.
.
.(1-yn-1))+IF
.TR-1
1

IX,
l
y
l
, . .
.,
n-l
y
n-1
]E
1
es
un
isomo ismo
de
G-módulos
.
Además

lo
(TR/1F-TR)
=
EO/E1
.
Es os
dos
eo emas
es án
demos ados
en
121
.
Noso os
los
u iliza-
emos
pa a
demos a
:
Teo ema
4
:
Exis e
un
isomo ismo
de
g upos
abelianos
Demos ación
E0
n[E,E
*
]E
1
H2n
(G)
^-'
[E,E
0
3
E
l
De
los
eo emas
2
y
3
y de
1l,pa a o
3
.71
se
deduce que H
2n
(G)
es
el
nucleo
del
homomo ismo
de
g upos
abelianos
E0/E
1
@
GZ

-
> E *
/E
1
®
G
Z
.
Un
cálculo
ácil
mues a
que
exis en
isomo ismos
E 0
/E
l
o
G
Z
='
E0/([E

El]
),
E *
/E
1
®
G
Z
^-'
E *
/([E,
E*]
E
1
) .
Hacemos
cons a
nues o
ag adecimien o
al
P o
.
G uenbe g
po
habe nos p opo cionado
su
manusc i o
121
aún
no publicado
.

REFERENCIAS
1
.
K.W
.
GRUENBERG
.
Cohomologica
l
Topics
in
G oup Theo y
.
Lec u e
No es
in
Ma h
.
143
.
Sp inge
(1970)
.
2
.
K.W
.
GRUENBERG
.
A
pe mu a ion
heo e ic
desc ip ion
o
g oup
co-
homology
(1982) (No
publicado)
.
3
.
A
.G
.
RODICIO
.
Un
a
in e p e ación
de
los
g upos H
3
(G)
y H
5 (G)
.
Publ
.
Ma
.
Uni
.
Au
.
Ba celon
a
29
(1985)
163-169
.
4
. J
.J
.
ROTMAN
.
In oduc io
n
o
Homological
Algeb a
.
Academic
P ess
(1979)
.
Rebu
el día
9
de
Maíg
de
1986
Depa amen o de
Algeb a
Facul ad
de
Ma emá icas
Uni e sidad
de
San iago
de
Compos ela
ESPAÑA