Pub
.
Ma
.
UAB
Vol
.
30
ns
2-3
Des
.
¡986
TRIPLES
H-AZUMAYA
.
GRUPO
DE
BRAUER
J
.M
.
Fe nandez
Vilaboa
M
.P
.
LópezLópez
El
g upo
de
B aue
pa a
álgeb as
que
son
simul áneamen
e
H-módulos
y
H-comódulos,
siendo
H
un
álgeb a
de
Hop
conmu a-
i a
y
coconmu a i a
en la
ca ego ía
de
R-módulos
(R
anillo
con-
mu a i o),
ue
es udiado
po
F
.W
.
Long
en
161
.
En
es e
abajo,
pa a
un
álgeb a
de
Hop
7H
en
una
ca-
ego íace ada
simé ica
C
,
se
es udia
el
g upo
de
B aue
de
los
1H-dimódulos
iple
que
son
IH-Azumaya
.
Es e
g upo
gene aliza
el
de
Long
y,
si
se
conside an
1H-dimódulos
iple
con
coes uc u a
( espec i amen ees uc u a)
i ial,
se
ob iene
el
g upo
de
-
B aue
de
1H-módulos
( espec i amen e
1H-comódulos)
iple
de
Azumaya
de
¬
¡nidos
po
J .M
.
Fe nández
Vilaboa
en
111
.
El
g upo
de
B aue
de
la
ca ego ía
ce ada
C
se
iene
cuando
la
es uc u a
y
la
coes-
uc u a
son
las
i iales
.
Teniendo
en
cuen a
las
écnicas
u ilizadas
y
el
con ex
o en
que
se
desa ollan
queda
de
mani ies o
el
ca ác e
esencial
.
men eno-adi i o
de
es a
eo íahaciendo
innecesa ia
la
u iliza
ción
de
a gumen os
de
dimensión
y
localización
usados
po
Long
en
su
es udio
.
Sea
C
una
ca ego ía
ce ada
simé ica
con
igualado es,
coigulado es,
obje o
base
K e
isomo ismo
na u al
de
conmu a i i
dad
.
Deno a emos
con
®
el
"p oduc o
enso "
en
C y
pa a
ca
15
da
obje o
M
de C
(p o ini o
en
C
(181
(1
.6
.3)))
°`M

y
OM
(a
M

y

6
M
)

son

la

unidad

y

la

counidad,

espec i amen e,

de

la
C-adjunción
M
®
-

1 [
M,-]
:
C-
C
(M®-
M=
[M,K] 181
(2
.3
.9,))
.
1
Ñ®-:C-
.C
con
Con
IH =
(1=
(C,
EC
,
6
C
)
,
u
=
(C,
nC
,
PC
)
>

T
C
,
a
)

se
deno-
a á
un
álgeb a
de
Hop
en
C
conmu a i a
y
coconmu a i a
es
pec o
al
co iple
1
(181
(1 .1
.9),

(1 .1
.12))
.
1 .
N-DIMODULOS
TRIPLE
.
PROPIEDADES
(1
.1)
De inición
.
Una
e na
(M 0
M
,p_
M
)
se di á
que
es un
IH-dimódulo
si
:
i)
(M,O
M
)
es
un
IH-módulo
po
la
izquie da
(
171
(3.2
.1))
ii)
(M,p
M
)
es
un
IH-comódulo
po
la
de echa
(171 (3
.2
.2))
iii)
p
M
01
M
=
(
o
M
®
C)
o
.
(C
0
p
M
)
(1
.2)

De inición
.
Ca
e na
(/A,,IA,pA)
=
((A,nA'PA)'
OA'PA)
es

un
IH-dimódulo
iple
po
la
izquie da
si,
i)
,
/A
=
(A,n
A$
P
A
)
es un
iple
en
C
i
i)

(/A,R
A
)

es un

IH-módulo
iple
po
la
izquie da

(111
(2
.1
.1))
iii)
(/A,P
A
)
es un
IH-comódulo
iple
po
la
de echa
(111(2
.2.1))
i )

p
A
'
OA
=
(
i
A0
C)
o
(C
0
p
A
)
.
1
6
Un
mo ismo
de
IH-dimódulos
iple
se á
un
mo ismo
de
Di-dimódulos(121
(1
.2))
que
lo
es
ambién
de
iples
.
(1
.3)
P oposicl8n
.
Si
(/A,~
A,P
A
)
y
(IB,o
B,pB
)
son
IH-dimódulos
i
ple
en onces
:
i)

(/A
1B
"A®B'
p
A®B
)'
_
((A®B,nA®nB,
(VA
®
P
B
) o
(A®TÁ®B)
;
'A®B
=(

(
A
®1
B
)

o
(C
®
Á®
B)
-

(
6
C
®A®B)

;

p
A®B

=

(A
®
B
®N
C
)

o
°
(A
0
TB
®C)
°
(p A
®PB)
)
es
IH-dimódulo
iple
.
ii)

(/A°,
~Al
A)
:
_
((A,n
A'
'
A
°
TA)
>
~
A
1
PA)
y
(/A,~
A
'P
A
)
:
_
((A,n
A
,NA
-
=
PA
°
TA
°
(A
OA)°(PA®A))
;
son
IH-dimódulos
iple
.
iii)
De iniendo
el
p oduc o
smash
de
/A
y
IB
como
/A#
IB =
(AH,
n
A#B'
N
A#B
)
.
con

n
A#B
= n
A®B
=
n
A
®nB
y
"A#B
=
(NA®NB)
-(A@,
B
OB)
°
(A®B®O
A
®B)
°
(A®pB®A®B)
en onces,
(/A
#
IB,
áA®B,pA®B)
es un
IH-dimódulo
iple
.
Además,
el
p oduc o
smash,
así
como
el
p oduc o
enso ,
de
IH-dimódulos
iple
es
asocia i o
.
Demos ación
.
(121
(1
.5)i))
Análogamen e
se
p ueban
las
es an es
condiciones
.
iii)
De la
conmu a i idad
y
coconmu a i idad
de
IH,jun o
con
la
isomo ismo
de
conmu a i idad
T,se
ob iene
na u alidad
del
que
(/A#IB,~PA®B)
es
un
IH-módulo
iple
po
la
izquie da
y
(/A#IB,pA®B)
es un
IH-comódulo
iple
po la
de echa
.
La
e-
lación
de
compa ibilidad
en eambas
es uc u as
es la
mis
ma
que
la
del
IH-dimódulo
iple
(/AIB,oA®B'PA®B)-
O A'
P
A
)
ii)

lb
A
°
(C®uÁ)
=
PA
°"A®0A)°(C®TA

A)°(a
COT A
)°(C®A®mA)
°
°
(C®
p
A
®A)
=
VA
°
(O
A
®A)b(COTÁ)°(C®0
A®0
A
)
°
(aC®pA®A)
= p
Á
°0
A@A
(IH
es
conmu a i a
y
coconmu a i a)
.
(1
.4)

P oposición
.
Si
(/A,o
A
,P
A
)
y
(IB,0
B
,P
B
)
son
IH-dimódulos
i
ple,

en onces
.
s
e

ienen

los

siguien es

isomo ismos

de

IH-dimódu
los
iple
:
1
7
i)
(/A,0
A
,P
A
)
_
(/A'OA,PA)
ii)

(/A
DB,OAOB'PAOB)
_
(IB
/A'OBOA'PBOA)
iii)

(IB#/A''BOA,PBOA)
_
(/A#
D3,PBOMPAOB)
Demos aci8n
.
i)

qA
:=
mA
°
TA
° P
A
:
A

A

es un
isomo ismo
iple
cuyo
in e so
es
:
OA
°
TA
°
(AO
a)
°
PA
.
(
m
A
°
TC
°
(A0
a)°
PA)°qA
=
('
A
°
TC
°
(~
AOa)°(COPA)°TC°PA
_
'A
°
TA
°
(AOP
C
)°(AOXOC)°(A0
6
C
)
°
P
A
=
~
A
° T
C
°
ii)
(121
(1
.5)i))
iii)
S
B,A
:=
T
A
°
(BODA)°(PB®A)
:
BOA
-
AOB

esun
IH-dimódulos
iple
cuyo
in e so
es
:
(BOG
A
)
°
(B04A)°(PBOA)
°TB
(p uebaanáloga
a
i))
.
(1
.5)
P oposición
.
Si
(M,o
m
,P
M
)
y
(N,O
N
'P
N
)
son
Di-dimódulos
y
además
M
es
p o ini o
en C,
en onces
i)

([
M,
N)
,
O[
M,N]

:=

[M,
4
N
°
(COB
M
(N))
°
(COo
MO
[
M,N])
°
°(COXO[M,N])
°
(6COM@[M,N])
°
(TM0[M,N])]°
1
8
°
(A
0
(n
C
°
EC
)
)°
P
A

=

1A
°(aM(CO[M,N])),
P[M,
N)
.

(V
MKN
O
PC
)
°
(MOP
N
0C)
°
°(MOB
M
()Oa)
°
(MOMO,
°
(MOP
M
O[M,N])
°
(aM0[M,N])
es un
Di-dimódulo
(121
(1
.3)ii))
.
(IE(M),
(P
E(M)'
P
E(M)
)
:=
HE(M)
=
[M,M
],

n
E(M)
-
aM
>
de
IH-dimódulos
isomo ismo
de
p
E(M)

d
MMM
)
'
'E(M)
:= m
[M,M]'
P
E(M)
:=
P[M,M])

es un
Di-dimódulo
iple
.
Además
si
N
es
ambiénp o ini o
en
en onces
los
Di-dimódulos
iple
IE(MON)
y
.IE(M)IE(N)
isomo os
(121
(1
.5)ii))
.
C
son
(1
.6)
Lema
.
Si
(M,,p
M
,p
m
)
es un
IH-dimódulo
con
M
p o ini o
en
~,
en onces
el
mo ismo

gM
:=
(M,oWI
°
TC
]°
am
(C)
e i ica
:
i)

g
M
:M,C®n
C
)

(IE(M)1PE(M))
es un
mo ismo
de
IH-comódu
los
iple
.
ii)

o

= N

°
(i~

®
E(M))
°
MM)
®
T
E(M)
)
°
(g
®g
®E(M))
°
E(M)

E(
M)

E(M)

E(M)

M

M
°( C
®
E(M))
°
(C®AE())
°
(a
C®
E(M))
iii)
(E(M),0

°
(C
®

)
°
(C
®
TE(M))
° (C
®
E(M)
®
g
)
°
E(M)
E(M)

E(M)

M
°
(C
®
TE(M)))
esun
IH
IH-módulo
po
la
izquie da
(171(3
.1
.16))
.
Demos ación
.
P
E(M)
°
(
gM
®9
M
)
=
[M,o
M
(M)
°
(
s
M
(M)
®
E(M))
°
°(a
M
(COC))
_
[M>p
M
°
TC
°
(IM
®
C)
°
(
TC
®
C)
1
°(am(C®
.C))
=gm
°
PC
(IH
conmu a i a)
.
gM
° n
C
=
°M
=
'E(M)
(M
0
9
M0qm
) 1
°
p
E(M
)
°
gM

(V
MKM
®
11
C
)
°
(M
®p
M
®
a)
°
(M
®
m
Mo
C)
°
(M®,C®M)
°
°(M
®T
COC
)
°
(M®p
M
®C)
°
(
aM
OC)
=
(°MKM
@
.
P
C
)
°
(®O
M
®C®C)
°
C®C
°(M®C®PM®a)
°
(M
®
T

)
°
(M
®p
M
®
C)
°
(a-
m®
C)
_
=(VMKM
o
C)
°
(M
o p
M
o
C)
°
(M
®
TC®C)
°
(®M®N
C
o
C)
°
°(M®M®C®XOC)
°
(M
®M
o s C
®
C)
°
(M
®p
M®
C) °
(
_a
m®
C)
_
-( MKM
®
C)
°
(M
®m
M®
C)
°
(M
®T
m®C)
°
(M
®M ®
(n
C° e
C
)
®
C)
°
°(M®P
M
®C)

-(a
-
m®
C)

=
gM
®

nC
;(PC
°

(C
0

a)
°

áC
=

nC
°e
C
)
°
E(M))
°
(E
(M)
®
T
E(M))
°(9
M®
gM
®
E(M)°
P E
(M)

°

(N
E(M)

E(M)
°(TC0E(M))
°
(C0x0E(M))
°
(a
C
®E(M))=
(
M,s
M
(M)
°
(M®q
m
)
°
°(s
M
(M)
®
C)
°
(
o
M
(M)
®E(
M)
®
C)
°
(M@
9M®
E
(M)
®
C)
°
(M®C®TÉ(M))°
°(M
®
TC
0
E(M))
°
(M
®C
®),
®
E(M))
°
(M
®
6 C
®
E(M))
1
°
0
(a
m
(C
0
E(M)
)
)
=
o
E(M)

iii)
(E(M),oE(M))
es un IH'-módulo
po
la
iiquie da
.
Además,
(E(M)
;uE(M)
°
T
E(M)
°
(E(M)
0
gm))
es un
Di-módulopo
la
de
echa
(gM
:U,
-
"
IE(M)°
es un
mo ismo
de
iples
al
se
IH
conmu a i a)
y
u

E(M)
(o

09M)
.=
E(M)
°
T
E(M)
°

E(M)
=N

°
TE(M)
°
(u

9M)
°
(u

0
E(M)
0 C)
°
E(M) E(M) E(M)

E(M)
°(E(M)
0
TE(M)
0C)
°
(gM
0
gM
0
E(M)
0
C)'-
(x
0 C 0
E(M)
0 C)
°
0(S
C
OE(M)
O C)

=p
E(M)
°
(gm
0
E(M))
°
(u
C
®
P
E
(M)
)°
°(C
0
- E(M)OE(M))
°
(C O
TE(M)
0C)
°
(a 0
%
0
E(M)
0
C)
°
°(6
C
0
E(M)
0
C)
=P
E(M)
°
("E(M)
0
E(M))
°(E(M)
®
PE(M)
0
E(M))°
°(E(M)
0
TE(M)OE(M))
°
(
gM
0
gM
0
E(M)
0
9M)
°
(~ 0
C
0
E(M)
0
C
,
)°
°(ó
0
E(M)
0
C)
_

°
(COP

)
°
(COT
E(M)
)°
(COE()O9
)
.
C

E(M) E(M)

E(M)

M
(1
.7)
Lema
.
Si
(M,<p
M ,p M
)
es un
IH-dimódulo
con M
p o ini o
en
C
en onces
el

mo i
smo
gM

MKM
0 X) °(M 0
p
M
)
°
VMKM
e i ica
:
i)
TC()
(
.E(),pE(M))
mo ismo
de
DI-comódulos
po
la
de echa
.
iii)
MM),
p
E(M)
,
gM)
es un
IH-dimódulo
.
Demos ación
.
(COE(M),
COPE(M))
ii
.
)

(E(M),
gM) es
un
IH-comódulo
po
la
de echa
.
es un
i
)

(C 0
pE(M)
)
°
TC
(M)
°
gM
=
(CO MKM
® NC
)
°
(C 0 M
Op
M 0 C)
°
°(C
0
M 0
s
M
(M)
0 a)
°
(COMOMOTE(M))
°
(TCOMOC

0
E(M))
°
°(M
0 pM 0
TC
(M)
) °
(M
0 M 0
9M)
°
(am
0
E(M))
_(C o
MKM
0 P
C
)
°
°(COMOP
M
OC)
°
(
TCOM
0
C)
°
(M 0M
Oa
OX)
°
(M
0pM 0 C)
°
°(MOs
M
()OC)

°

(M
0
M ®
TE(M))

°

(M o
p
M
0
E(M))

°

(
-
a
M
0
E(M))

_
=
(
T
E(M)
0C) 0
( MKMOXOC)°
(M 0
pM
0
C)
0
(M-0
M
OP
C
)
°
°(MOP
M
®a)
o
(MOs
M
(M)
o
C)
°
(M
oM o
TE(M))
°
°(M
®
PM
@E
(M))
°
(~M®E(M))

_

(( E
(M)

®
C)
°
M

°
P
E(M)
g
)
ii
)

(gM
®
C)
°
gM
=
(°
MKM
®
a
Oa)
°
(M
®
P
M0
C)
°
(M
®
P
M
)
°
°°
MKM

(°
MKM
0
a
®
x
)
°
(M
O
M
®6
C
) °
(M
O
PM)
°
°MKM
=(E(M)
®
6 C
)
°
gM
MM)
®
E
C)

'E(M)
iii)
Po
(1
.5)
MM)
,
IE(M))
es
lH-módulo
po
la
izquie da
y
po
ii)
MM)
,
gM)
es
IH-comódulo
po
la
de echa
.
Además,
(°
MKM
®
C)

'E(M)
_
(M
o
M
®a)
°
(M
®
P M
)
°
(M
®
B
M
(M))
°
°
(am
®O
E(M)
)
_
(M
0
mM
®
a)
°
(M
® C®
P
M
)
°
(M
®C ®
s
m
(M))
°
°
(M
o
zC
®
E(M)
)
°
(M
®
oM
®C®
E(M))
°
(M
®
1C
®
C
®
E(M))
°
°
(M®M®
C®
E(M)
)
°
(M
®M
®
C®
a
®
E(M)
) °
(M
0 M®
a
C®
E(M)
)
°
°(am
®C 0
E(M))
_
(M
®
oM
o
C)
°
(M
oC
®
s
m
(M)
0
C)
°
°(M
o
1C
®
E(M)

®
C)

°

(M
®4M
®C ®
E(M)

®
C)

°

(M
®

,
m
®C
®
E(M)

®
C)

°

(M
0M ®

C

®
E(M)

®
C)

°

(M
®
M
®
C

®a
®
E(M)

®
C)-
C
®a
C®
E(M)
®
C)
°
(C
®gM)
_
(°
MKM
®
C) °
(mE(M)
®
C)
°(C®9M)
Po
lo
an o,
ya
que

°
MKM
®C

es
un
isomo ismo
al
se
M
p o ini o
en
C,
ambas
es uc u as
son
compa ibles
.
(1
.8)
P oposICibn
.
Si
(M,o
M
,P
M
)
es
un
IH-dimódulo
con
M
p o ini o
en
C
y
(/A,o
A
,
P
A
)
es
un
IH-dimódulo
iple,
se
ienen
los si-
guien es
isomo ismos
de
IH-dimódulos
iple
:
i)

IE(M)°#/A
=
IE(M)°/A
ii)

/A#IE(M)°
= /A
IE(M)°
Demos aci8n
.
i)
h
M,A
:_
(
uE(M)
®
A)
°
(TE(M)
®
A)
°
MM)
®
gM
®
A)
°
(E(M)
®TA
)
°
°(E(M)
@
P
A
)
:
E(M)
®
A-E(M)
® A

en
donde
gM
:
C
-
"
E(M)

es
el
mo ismode inido
en
(1
.6)
.
h
M,A
es
un
mo ismo
de
1H-comódulos
.
En
e ec o
:
P
E(M)®A
° h
M,A
=
(NE(M)
®A
®N
C
)
°
(T
E(M)
®
T
A
®
C)
°
°(E(M)
®E(M)
®u
C
®p
A
)
°
((M)
®
T
E(M)
®
C
0A)
°
(p
E(M)
®
P
E
()
®
A)
°
°(E(M)

®
gM
®
A)

°

MM)

®
TA)

°

(E(M)

0
p
A
)

_

(NE(M)

®
A
®
PC
)

°
0(T
E(M)
®
TC
®
C)
°
(E(M)
®
T É
(M)
®A
®
C)
°
(p
E(M)
®
T
E(M)
®
C)0
°(E(M)
®
A 0
gM
®
C)
°
MM)
® A
®
*
6
C
)
°
(E(M)
®PA
)=
(h
M
~
A
®C)
°
PE(M)®A
(gM
mo ismo
de
Di-comódulos
(1
.6)i),
IH
conmu a i a
y
coconmu-
a i a)
.
h
M,A
es
modismo
de IH-módulos
:
4

°
(C ®
h

)_ (u

®
A)
°
(T
E(M)
0
A)
°
(m

®g

)
°
E(M)®A
M,A
E(M)

E(M)

E(M)
M A
°(C
®
E(M)
®
T
C®A)
°
(C ®
T
E
(M)
P
A
)
°
(6C
®
E(M)
® A)

_
h
NA
°
ilE(M)®A

M
.6)iii))
.
Además,
po
la
p opiedad
ii)
de
(1
.6),
po
la
na u a-
lidad
del
isomo ismo
de
sime ia
T
y
po se
IH
conmu a i a
y
coconmu a i a
se
ob iene
que
h
M,A
es,
un
mo ismo
de
iples,
es
deci ,
h
M,A
°N
E(M)°#A

N
E(M)°®A
0
(h
M,A
0h
M,A
)
y

h
M,A
°(n
E(M)
®n
A
)
=
El
mo ismo
(uE(M)
0 A) o
(TÉ~M~
0
A)
(E(M)
0
g
M
0 A)
°
(E(M)
0 TA)

(E(M)
0 A 0
a)
o
(E(M)
0
p
A
)

esul a
in e so
de h
M,A
como
consecuencia
de
se
9M un
mo ismo
de
i-
ples
(1
.6)
y
po
las
p opiedades
del
an ipodo
.
Pa a
la
demos ación
de
ii) se
u iliza
el
mo ismo
h
A,M
:=
(á
A
0
E(M)),
T
C®E(M)

°
(A
®9M)
en
donde
gM
:E(M)-
E(M)®C
es
el
mo ismo
del
lema
(1
.7)
.
Con
cálculosanálogos
a
los
an e
io es
y
eniendo
en
cuen a
las
p opiedades
de
(1
.7),
esul a
que
hÁ
.M
es un
isomo ismo
de
IH-dimódulos
iple
cuyo
in e so
es á
de inido
po
:
(hA
,M
)
-1
:=
(o
A
0
E())
°
(x
0 A N
E(M))

TC®E()
o
(A
0
gM)
(1
.9)
Co ola io
.
Si
(M,O
M
,p
M
)
Y
(N,0
N
,P
N
)
son
IH-dimódulos
con
M y N
p o ini os
en
C
y
(/A,o
A
,
PA
)
.
es un
IH-dimódulo
iple,
en onces
:
i)

IE(M)°#IE(N)°
y
IE(M®N)°
son
Di-dimódulos
iple
isomo os
.
ii)
/A#IE(M)°
y
IE(M)°#/A
son
IH-dimódulos
iple
isomo os
.
Demos ación
.
i)
IE(M)°#1(N)°
_
IE(M)°IE(N)°
po
(1
.8)i)
.
IE(M)°IE(N)°
=
IE(M®N)°

po
(1
.5)ii)
.
ii)

Se
sigue
de
la
p oposición
an e io
(1
.8)
y
de
(1
.4)ii)
1
.10)
P oposición
.
Si
(M,m
M
,P
M
)
es un
IH-dimódulo
con
M
p o ini-
o en
C
,
en onces
se
ienen
los
siguien es
isomo ismos
de
IH-dimódulos
iple
:
iii)
Con
cál
.culos
simila es
a
los
u ilizados
has a
aquí,
se
ob-
°(n
m
(E(M)
®E
(M)
@E
(M)))
=
[
M,B
M
(M)
°
(M@
4E
(M))
°
-(M@
u
C
@E
(M))
°
(
PM
®C
®E
(M)
°
(
B
M
(M)
® C
.®
E
(M))
°
°(M
0
TE(M)
@E
(M))
°
(M@
a
®E
(M)
@E
(M))
°
(
.pM
0
E(M)
0
E(M))
°
°T
M(M)®E(M)
°
MM)
0
E(M)
0
B
M
(M))
°
E(M)®E(M)
0
E(M)))
.°
0(a
M
(E(M)
0
E(M)
0
E(M)))=
[M,
.B
M
(M)
°
(B
M
(M)
0
E(M))
°
°TM(M)®E(M)
°
MM)
®o
E(M)
0
B
M
(M))
°
(PE(M)
0
E(M)
0M
0
E(M))
°
(TE(M)®E(M)
0
E(M)))
°
(
a
M
((M)
0
E(M)
0
E(M))

_
_~

°
T
E(M)
°
(N

OE(M))
°
MM)
®~

0
E())
°
E(M) E(M) E(M)

E(M)
°(PE(M)
0E(M)
0
E(M))
.

Po
lo
an o
X
E(M)°
,
E(M)°
=X
E(M)°
°(j
M0
E(M))
°
h
'
siendo

h
'
y
j
M los
E(M)°,M

E(M)°,M
isomo ismos
de
IH-dimódulos
iple
ob enidos
en
(1
.8)ii)
y
(1
.10)¡)
espec i amen e
yx

[E(M),ú_

TE(M)
E(M)
°
E(MP

E( M)
°
(NE(M)®E(MU)°
0(áE(M)
(E(M)
0
E(M)
))
:
(IE(M)°)e
_
IE(E(M)
°
)

el

isomo -
i mo
de
R
dimódulos
iple
deducido
del
ca ac e
1-Azumaya
del
iple
IE(M)°
al
se
M
p ogene ado
en
C
(121,(1
.8))
.
iene
:
Análogamen e
se
comp ueba
que
xE(M)°
,
E(M)°
=
XE(M)°
°
(E(M)
®j'
M
1 )
°
hM,E(M)°

en
donde
hM,E(M)°
y
jM
son
los isomo i,smos
de
DI-dimódulos
ipleob enidos
en
(1
.8)i)
y
(1
.10)¡)
espec i amen e
.
x-5-B

=
°
(E(A)
0
(m,)
-1
1
°h
E(A),B
°
,A#B
°((M
A
)
-1
0~
B
l
°
(E(Á)
®
.
xg
.B
)
°
((hq
.B)-l
0B)
°

0
(
TE(A)
®B)

(h®
B)

(B ®
m
A
®
B)
o(B
0
XA
,A 0
B)
0
((S
B,A
)
-1 0
A
0 B)

en
donde
S,
m,
h
y
h'
son
los
isomo ismos
de
(1
.4)iii),
(1
.10)ii),
(1
.8)i)
(1
.8)ii)
espec i amen e
y
=
A ® B,
(B
A
(A)
06
B
(B))

(A@
TE(A)®
E(B)
)
(aAOB(E(A)
0
E(B)))
:
E(A)
0
E(B)
-
E(A
O
I
B)
es
el
isomo ismo
de

x
A,A#B
es
composición
de
isomo ismos
po se
/A
y
IB
IH-Azumayas
.
Además,
X
A#B,A
B

o
h
A,E(B)°
-
(x
A,
q
0
E(B)
)
-(A
®(hÁ
'B
)
-1
)
o
(A
®
z
EE(B)
)
o
(A
0
hB,1)
°
(A
0
X
B,
B
0 A)
-(A@
BO
(SB
.A)-1)
ambién
es un
isomo ismo,
de
donde,
/A#IB
es un
iple
IH-Azumaya
.
3
.
BD
IH
(C),
GRUPO
DE
BRAUER
DE
IH-AZUMAYAS
(3
.1)
De inición
.
Dos
IH-dimódulos
iple
(/A,
m
A>
°A
)
y
(IB,oBYPB)
que
son
IH-Azumayas
es án elacionados
si,
y
sólo
si,
exis en
IH-dimódulos
(M,o
M
,p
M
)
y
(N,O
N
,P
N
)
con
M y
N
p ogene ado es
en
C,
'
ales
que
/A#IE(M)
°
y
IB#IE(N)°

son
isomo os
como
IH-dimódu-
los
iple
.
Es a
elación
es de
equi alencia,
y
el
conjun o
cocien e
se
deno a á
po
BD
IH
(C)
.
(3
.2)
P oposición
.
BD
IH
(C)
es un
g upo
que
se
denomina á
el
g u
po de
B aue
de
IH-Azumayas
.
Demos ación
.
y
Pa a

[(/A,o
A
,
P
A
)
1

y

[(IB,oB,PB)]

elemen os
.
d e

BD
IH
(C)
se
de ine
la
ope ación
:
[(/A,oA,PA)]
[(IB,OB,PB)]
:
=
=[(/A#IB,
P
A®B
,
pA®B)1

(1
.3)iii)
.
El
elemen o
neu o'es
la
clase
de
(IE(M)°,mE(M)
'
PE(M))
siendo
(M,o
M
,P
M
)
cualquie
Di-dimódulo
con
M
p ogene ado
en
C
(2
.3)ii)
.
El
in e so
de
[(/A,oA,'A)]
es
[(/A,oA,pA))

(2
.2)
y (2
.3)i)
.
(3
.3)
P oposición
.
El
siguien e
diag ama
de
monomo ismos
de
g upos
:
Demos ación
.
3
2
B(C)
BM(C,IH)
D
IH
(C)
es
conmu a i o,
siendo
BM(C,IH)
( espec i amen e
BC(C,IH))
el
g upo
de
B aue
de
IH-módulos
iple
( espec i amen e
Di-cq
módul,os
iple
)
1-Azumaya

(111 (2
.1
.8),
(2 .2
.7))
y
B(C)

el
g upo
de
B aue
de
iples
1-Azumaya
en
C
(111 (2
.1
.11))
.
Si
(/A,,P
A
)
es
un IH-módulo
iple
po
la
izquie da
en
onces
(/A,o
A
,p
A= A 0
n C
)
es

un
IH-dimódulo
iple
.

Además,
como
en
es ecaso
los
mo ismos
X
A, A
y
xA
,A
(2
.1)
coinciden
con
x/A
=
[A,m
Ao
(P
A0
A)

(~A
0 A)
]

a
A
(A®A)
. :
(121
(1
.6))

se
de-
ine
de
o ma
canónica
el
monomo ismo
P
3
:
BM(C,IH)-
BD
IH
(C),
[(/A,0A)]-[(/A,0A'pA
.=
A0n
C
)1
.
(Nó ese
que
si
(IB,o
B
,P
B
)=
=

B 0
n
C
)

es

u
.n

IH-dimódulo

iple

de inido

a

pa i

del

IH-mó
dulo

iple

(IB,(i
B
),

en onces

los

IH-dimódulos

iple
(/A#IB,
o
A®B'
p
A®B
)
y
(/AIB,
0
A®B'
pA®B)
Coinciden)
.
Análogamen e
se
ob iene
el
"
monomo ismo
P4
:
BC(C,11i)--~

BD
IH
(C)

((
/A,a
A
)]--~((/A,0A=

eCOA,pA)]
.
BIBLI06RAFIA
Los
mo ismos
P
1
y
P 2
que
comple an
el
diag ama
los
de inidos
en
(111,
(2
.1
.12),
(2
.2
.7))
:
p 1
(L/A1)

:_

((
/A,eC0A)]
(1)
Fe nández
Vilaboa,
J
.M
.
"G upos
de
B au,e
yde
Galois
de
un
álgeb a
de
Hop
en
-
una
ca ego ía
ce ada"
.
Alxeb a
42
.
Dep o
.
Alg
.
y
Fund
.
San iago
de
Compos ela
.
(1985)
.
(2)
Fe nández
Vi
laboa,
J .M
.
;
López
López,
M .P
.

G upo
de
B aue
de

Di-di
módu1
os

iple

1-Azumaya

BD
l
(C,Y)"
.

(Pendien e

de
publicación)
.
(3)
Childs,
L
.N
.
"The
B aue
g oup
o
g aded
Azumaya
algeb as
II
:
G aded
Galois
ex ensions"
.
T ans
.
Ame
.
Ma h
.
Soc
.
20
4
(1975),
137-160
.
(4)
Childs,
L
.N
.
;
Ga inkel,
G
. ;
O zech,
M
.
"The
B aue
g oup
o
g aded
Azumaya
algeb as"
.
T ans
.
Ame
.
Ma h
.
Soc
.
17
5
(1973),
299-325
.
(5)
Long,
F
.W
.
"A
gene aliza ion
o
he B aue
g oup
o
g aded
algeb as"
.
P oc
.
London
Ma h
.
Soc
.
(3)
29
(1974),
237-256
.
(6)
Long,
F
.W
.
"The
B aue
g oup
o
dimodule
algeb as"
.
Alg
.
30
(1974),
559-601-
son
J
.
(7)
López
López,
M .A
.
"Algeb as
de
Hop
espec o
a
un
co i-
ple"
.
Alxeb a
17
.
Dep o
.
Algeb a
y
Fund
.
San iago
de
Com-
pos ela
(1976)
.
(8)
López
López,
M .P
.
"Obje os
de
Galois
sob e
un
álgeb a
de
Hop
ini a"
.
Alxeb a
25
.
Dep o
.
Alg
.
y
Fund
.
San iago
de
Compos ela
(1980)
.
(9)
O zech,
M
.
"B aue
g oups
o
g aded
Algeb as"
.
B aue
G oups,
E ans on
1975,
LNM
549
.
Sp inge Ve lag,
Be lin,
(1976)
.
(10)
Pa eigis,
B
.
"Non-addi i e
ing
and
module heo y
IV
:
The
B aue
g oup
o
a
symme ic
monoidal
ca ego y"
.
Lec
.
No es
in
Ma h
.
549
(1976),
122-133
.
Rebu
el
25
de
6ebnen
de 1986
Uni e sidad
de
San iago
de
Compos ela
Facul ad
de
Ma emá icas
.
Dp o
.
Algeb a
y
Fundamen os
A da
.
d
e
las
Ciencias,
s/n
.
SANTIAGO
DE
COMPOSTELA
.
ESPAÑA
'
3
4