Pub
.
Ma
.
UAB
Vol
.
29 Ns
2-3
No
.
1985
GRUPOSPRIMITIVOS
CON
SUBGRUPOS
MAXIMALES
PEQUEÑOS
Julio
La uen e
Un
g upo
p imi i o
es
un
g upo
G
que
posee
un
subg upo
maximal
U al que
co e
GU =
1,
siendo
co e
G
U =
n{U
9
;g
e
G}
.
A lo
la go
de
odo
el
abajo
g upo
signi ica á
g upo
ini o
.
Un
g upo
p imi i o
G
se dice
del
ipo
II,
esc i o
G
e
PI1,
si
posee
un
único
subg upono mal
minimal
N
no
abeliano
;
en es e caso se
iene
que
N
= S
1
x

.
.
.
X
S

,

donde
cada
S

=
S
es un
g upo
simple

(no
abe-
liano)
.
Pond emos
N
=
soc(G)
.
Den o
de PII
apa ece
un
ipo especial
de
g upos
p i-
mi i os
G
:
aquellos
que
poseen
un
subg upo
maximal
U
e i icando
que
U
n
soc(G)
= 1 (y,
po
lo an o,
que
co e
GU = 1)
.
Si
és e
es el
caso,

esc ibi emos
G
e
P
II
.
En
[1]
y
en
[2]
se
demues a
la
exis-
encia
de
ales
g upos,
que
Fd s e
llama
g upos
p imi i os
con
subg uposmaximales
pequeños
.
En
[6]
se
mues a
que
si G
e
PI
,,
se
n
iene
que
G/soc(G)

e
PII
.
Más
aún
:

en es e
caso,

si
soc(G)

= S

y
soc(G/soc(G))
=
Tm siendo
S
y T
simples,
en onces
S es
sección
de T
.
En el
caso en
que
ISI
<
(T/
se
iene
una
sue ede
e-
cíp oco
del
esul ado
an e io ,
a
sabe
:
TEOREMA

Sea
U
e
PII
,

M =
soc(U)

= T1
x

.
.
.X

T
m
,

cada
T
i
= T
sim-
ple
.
Sea
S
una
sección
simple
no
abeliana
de
T al
que
IS(
<
IT(
.
n
En onces
exis e
G
e
PI,y
un núme o
na u al
n
al que soc(G)
- S y
de
o ma
que
G
posee
un subg upo
maximal
V
`-_
U
al que
V
n
soc(G)=
1
.
154
Obsé ese
que
la
cons ucción
de un
g upo
U
e
PII
con
soc(U)
=
Tm no
plan ea
mayo es
di icul ades
:
bas a
con
oma
como
U
un
subg upo
de
Au (T
M
)
=
Au (T)
i
E
(donde
E
es
el
g upo simé i-
m
m
co
de
g ado
m
y
el
p oduc o
o lado
se
conside a
espec o
de la
acción
na u al
de es e
g upo
en
{1,
. .
.,n})

que
con enga
a
In (T
m
)
como
subg upo
no mal
minimal
(
.
al
espec o
el
comen a io
que
apa-
ece
en
el
pá a o
3 de [3])
.
El
caso
en
que
ISI
=
ITI
(o
sea,
S
-
T) se
p esen a
de
o a
o mamenos
egula
.
No emos
en
p ime
luga
:
n
OBSERVACION
Sea
G
e
PÍ
I
,
.
soc(G)
= S
,
U
subg upo
maximal
de
G
al
que
U
i1
soc(G)
=
1,
soc(U)
= Tm
,
donde
S y T
son
g upos
simples
.
Si
se supone
ademásque
m =
1,
en onces
(S(
<
¡TI
.
Demos ación

Pongamos
soc(G)
=
S
1 X
.
. .
X
S
n
,
cada
S
i
----
S
.
Sean
H
=
Nu(S
1
),
Y
=
C
u (S
1 ),
X/Y
=
soc(H/Y)
.
En
[2]
se e
que,
en
pa -
icula ,
X/Y--
S y
co e
UX
=
1
.
En
[6]
(Beme kung)
se
obse a
que,
siendo
M
=
soc(U),
se
iene
que
X/Y
-(X
I1
M)/(Y
l1
M)
.
Así,
si se
supone
m =
1
(o sea,
M
'--
T)
y
que
¡SI
= ¡TI,
se
ob iene
que
X
/1
M =
M, es
deci , que
M<
X,
lo
que
es á
en
con adicción
con
co e
UX = 1
.
Q
.E .D
.
Así
pues,
G
s
PÍ
I
,
soc(G)
= Sn
,
U
=
G/soc(G),
soc(U)
=Tm,
SyT
simples
y
S
=
T
implica
m
>
1
.
Pe o
el
se
m >
1
no
asegu a,
si
S--
T,
la
alidez
del
eo emaanálogo
al
enunciado,
pudiéndose
da
o no
la
exis encia
de
un
al
g upo
G,
según
sea
la
es uc u a
de
U,
como
e emos
luego
.
U iliza emos
las
siguien esno aciones
:
si
U es un
g upo
cualquie a
y
B4A<
U,
pond emos
:
NU
(A/B)
=
N
U
(A)
l
N
U(B),
CÚ(A/B)
se á
el
conjun o
de
los
elemen os
de N
(A/B)
que
inducen
un
U
au omo ismo
in e no
en
A/B
y
C
U
(A/B)
end á
el
signi icado
usual
.
U iliza emos
el
siguien e
esul ado
auxilia
:
LEMA
Sea
U
un
g upo cualquie a
y
A/B
una
sección
simple
no
abelia-
na
de U
.
Sean
F = NU
(A/B),
C
=
CÚ(A/B)
y D
= C
u
(A/B)
.
En onces
C

=
AD,

A
1
D =
B,

F/D

e
P
II
y
C/D
=
soc(F/D)
.
Demos ación
Es
cla o
que
D
<
C<
F,
luego
C
=
CF(A/B),
D =
CF(A/B)
.
Po
lo
an o
C es el
nume ado
de
la
co ona
de inida
en F
po
el
ac o
p incipal
A/B
(es un
g upo
simple)
de F
(1 .8
de
[5]),
F/D
e
PII
,

C/D
=
soc(F/D),

C =
AD
y
A
nD
=
B

(
.

el
pá a o
2 de
[4])
.
Q
.E .D
.
Demos ación
del
eo ema
(1)
Sea
M
=
soc(U)
y
sean
Be
A
<M
con
A/B
=
S
.
Sean
F = NU
(A/B),
C
=
Ú(A/B)y
D = CU
(A/B)
.
Po
el
lema
:
F/D
e
PII
,

C/D

=

soc(F/D),

C

= AD
y
An
D
= B
.
(2)
Sea
Y
< U, Y
maximal
espec o
de
las
condiciones
:
D<Y,
F
<
N
u (Y), Y nF
=
D
.
(Obsé ese
que
D
las
cumple
.)
Sean
En onces,
de
Y < K
<
U y
H
< Nu
(K)
se
sigue
X
<
K
.
En e ec o
:
es
D<Y
<
K,
F
<
H <
N
U
(K)
(como
F
no mali-
za
a
C
e Y,
no maliza
aX
=
CY,
luego
F'
< H
;
como
C
<H,
X
es
un
subg upo),
KnF>YnF = D
.
Po
elección
de
Y se
iene
que
ha
de
se
K
n
F >
D
.
Aho a
bien,
como
C/D
=
soc(F/D)
y
F/D
eP
II,

se
si-
gue
que
C
<
K
n
F,
luego
que
C
< K y,
po
in,
que
X
=
CY <K
.
156
X =
CY,
H
=
NU(X/Y)
.
(3)
Como
U
e
P
II

y
M
=
soc(U),

elegidos
X
e
Y
como
en

(2),

es
con-
dición
necesa ia
y
su icien e
pa a
que
co e
uX = 1 que M
~
X
.
Com-
p obemos
que
se
e i ica
es o
úl imo
.
No emos
en
p ime
luga
que
en
cualquie
caso es
M
¢
Y
:
si no, se
end ía
que
Cu(A) > D =
Y!1
F
>
M
/1F
> A, lo
que
no
puede
se
pues
A/B
es no
abeliano
.
Supongamos,
pa a
llega
a
una
con adicción,
que
A
y
B
son
ales
que
M<
X
.
En onces
M
<
X = CY =
ADY
=
AY
.
Con
la
iden i-
dad
de
Dedekind,
M =
M
I1
AY
= (M
l1
Y)A,
donde
M
/1
Y 4 M
pues
M
<X
=
CY
<
FY
<N
u
(Y)
.
De
aquí,
M/(M
1
Y)
-'-
A/(A
A
Y),
que
es un
ac o
del
g upo
simple
A/B
.
Si se
supone
que
A=A
(1
Y,
se deduce
que
M = M
nY, lo
que
ya se ha
is o
que
no
puede
se
.
Luego
se á
AnY = B y,
po an o,
M/(M
nY)
=
S
.
Pe o
es o
es
imposible
pues
el
único
ac o
simple
de
M
es
isomo o
a
T y S
7
T
po hipó esis
.
(4)
Así
pues,
elegidos
A y
B
como
se
indicaen
(1),
de
acue do
con
la
ca ac e ización
de
Ko ács
que
apa ece
en
[2], se
iene
que
el
g upo
G = (X/Y) % HU
e i ica
las
condiciones
eque idas
en el
enunciado
.
Obsé eseque
es
n = JU
:Hi
.
Q
.E
.D
.
Res a
el
caso
en
que
S=T
.
Una
condición
su icien e
pa a
que
se
e i ique
la
esis
del
eo ema,
una
ez
modi icada
la
hipó esisexigiendo
que
S
= T
y
que
m
>
1,
es
ácil
de
ob ene
:
En
la
demos ación
acabada
de
hace
sólo
al
inal
se
ha
u ilizado
la
condición
sob e
S y
T
.
Vol amos
sob e
dichopun o
:
se
iene
que
M
n
Y
a
M y
que
M/(M
n
Y)
=
T,
con
lo
que
podemos
supone
que
MnY
=
T
2
X
...
X
T

.
Veamos
que
es o
no
.puede
ocu i
si
se
han
m
podido
elegi
AyBde
o ma
que
N
U(A/B)
ac úe
lib e
de
pun os
i-
jos
sob e
(T
1
,..
.
.
T
m
}
.
Se
end ía
en onces
la
exis encia
de
u
e
NU
(A/B)

al que
T1
=
T
u
i
con
i
#
1,
ob eniéndose
la
con adic-
ción
:
T
2
x
...
X
T
m
=M
n
Y=Mu
n
Yu
=
(M nY) u =T
1
X
.
.
X
Tm
.
Es a
obse ación
pe mi e
ca ac e iza
ácilmen e
el caso
m = 2
:
PROPOSICION

Sea
U
e
PII
,

M
=
soc(U)
= T1
X
T
2
,

cada
Ti
=
T
simple
.
n
Exis e
G
e
Pii
con soc(G)
=
T
pa a
algún
n
y
G/soc(G)
'--
U si
y
só-
lo si M
posee
un
subg upodiagonalcomple o
A
al
que Nu
(A)
ac úa
ansi i amen e
en
{T
1
,T
2
}
.
Demos ación
La
implicación
a
la
izquie da
es
consecuencia
inme-
dia a
de
lo
dicho
más
a iba
.
Recíp ocamen e
:
Po
la
ci ada
ca ac e ización
de
Fd s e
-Ko ács,
suponiendo
que
U es
subg upo
maximal
de G
y
que
U
n
soc(G)
=
1,
se
iene
que
U
posee
subg upos
H, X
e
Y
ales
que
co e
U
X
=
1,
Y 4 X,
X/Y
=
T,
H =
N
u (X/Y) y de
o ma
que
si K
<
U,
Y<K y H
<
N
U
(K),
en onces
X
<
K
.
Sean
T1
=
{( ,l)
;
e
T},
T2 =
{(l, )
;
e
T}
.
Pongamos
A = X
(1
M y B =
Y
n
M
.
Se
iene
que
X/Y
=
A/B
(
.
Beme kung
de [6])
luego
A/B
=
T
.
(i)
Ni T
1
ni T2
es áncon enidos
en
X
.
Supongamos
que T1
<
X
.
Como
M ~ X
(ya que
co e
U
X
=
1)
y
U
ac úa
ansi i amen e
en {T
1
,T
2
)
se
deduce
que
H < Nu(T
1
)
y,
po
lo
an o,
que H
<
Nu(T2
)
.
En
pa icula
T2Y es un
subg upo
de
U
no malizado
po
H
.
Supongamos
que
Y
=
T
2
Y
.
En onces
es T2
<
Y,
luego
T2 <B
<
A < M
;
como
A/B
= T =
M/T
2
,
esul a
que
A = M,
en
con a
de
se
co e
UX =
1
.
Po
lo
an o
X < T2Y,
luego,
con
la
iden-
idad
de
Dedekind,

X =

(X
l
T
2
)Y,

de
donde
X/Y
=

(X
n
T2
)/(Y
1
T
2
)
.
Como
X/Y
=T
=
T
2
,
se
sigue
que
X
n
T2
=
T
2
,
ob eniéndose
de
nue o
la
con adicción
M
<
X
.
Análogamen e
se
demues a
que
T2~ X
(ii) A es
un
subg upo
diagonalcomple ode
M (y B =
1)
.
AT1
/BT
1 =
A/(A
l
BT
1 ),
que
es
ac o
del
g upo
simple
A/B
.
Si se
supone
que
A=A
n
BT
1
,
se
iene, con
la
iden idad
de
Dedekind,

que A = (A
l
T1
)B,
.luego
A/B
=
(A
)
T
1
)/(B
n
T
1
) .
Como
A/B
=
T
=T1
,
esul a
que
A
n
T1 = T
1
,
en
con a
de
(i)
.
Luego
B = A
!1
BT
1
y
AT
1
/BT
1
=
A/B
.
Como
M/T
1
=
T
=
A/B,
esul a
que
M =
AT
.
1
y
que
B
<
T
1
.
Análogamen e
se
p ueba
que
M
=
AT
2 y B <
T2
.
Po
lo an o,
B
<
T
1 1
T2 =
1
y
M/T
l
=
A/(A
1
T1
),
lo
que,
con
M/T
1
= T = A
implica
A
1
T 1
=
1
.
Análogamen e,
A
11
T
2
=
1
.
Sea
a
ila
aplicacióncanónica
de A
en
T
.
(i
=
1,2)
.

El
i
núcleo
de
a
i
es
A
1
T
3-i
=
1,

luego
ai
,

es un
isomo ismo
.

Si
B

es
la
composición
de T =
T
1
con
a11a2
con
T2 = T,
esul a
que
A
=
{( , 0)
;
e T}
.

(iii)
Exis e
u
e
N
U
(A)
al
que
Tu
1
= T2
.
Supongamos
lo
con a io
.
En
pa icula
se
end á
que
H
<NU
(T
1
) .
T
1
<H
implica
T
1
<H
11
M<NM
(A)
= A
(es
bien sabido
que
A es
subg upo
maximal
de
M
con
co e
MA = 1),
luego
T
1
< X, en
con a
de
(i)
.
Po
lo
an o
T1
~
H y, en
pa icula ,
Y<T
1
Y
que
es
un subg upo
no malizado
po
H
pues
Y<H<
N
U
(T
1
)
.
Se
sigue
que
X
<
T
1
Y,

luego
que
X =

(X
(1
T1
)Y
.

Aho a
bien,

X
(1
T 1
4
X
n
M = A
que
es
simple, luego
o X
l.1
T
1
=1, de
donde
se
ob iene
la
con a-
dicción
X
= Y, o X
/)
T
i
= A,
en
con adicción
con
A
0
T1 = 1
.
Q
.E .D
.
EJEMPLOS
(1)
Sea
T
un
g upo
simple
no abeliano
cualquie a,
M = T1
X
T
2
,
T
1
=
{( ,l)
;
e
T}, T
2
=
{(l, )
;
e
T}
.
Iden i ica emos
Au (M)
con
Au (T)
i
E
2
en
la
o ma
ob ia
.
(la)

Sea

(12)

e

E
2<
Au (M)

y U =
<(12)>M
.

Se
iene
que
U
e
P
II,
M =
soc(U)
y A
=
{( , )
;
e
T}
e i ica
las
condiciones
de
la p o-
posición
an e io ,
omando
u
= (12)
.
2
(lb)
Sea
a
e
Au (T)
e i icando
que
a
=1y
que
a
no
es un
cuad a-
do
módulo
In (T)
.
Sea
a = (12)
e E
2
<
Au (M)
.
Sea
x = (a ;l,a) e
Au (T)
i
E
2
.
Sea
U
=
<x>M
.
Obsé ese
4
que
es
x
=
1
y
que,
si
(
l
,
2
)
e
M,
2

3
(
11
2
)
x
=

( 2
,
i
a),

(
1
2)x

= (
1
a,
2
a),

(
1 2
)x

=

( 2a, 1)
.
Como
a
1
In (T)
es
cla o
así que
CU(M) =
1
y,
como,
cla amen e
am-
bién,
M
es
subg upo
no mal
minimal
de
U,
esul a
que
U
e
PII y
M
=
soc(U)
.
Conside emos
el
subg upo
diagonalcomple o
A = {( , 0)
;
c T},
donde
Be
Au (T)
.
Un
elemen o
u
e
U
que
no ma-
lice
a A
y
al

u

i
que
T
1
= T2
end á
que se
de
la
o ma
u =
(sl,s2)x
u
con
sl,s2
e
T,
i =
1
ó
i
= 3
.
Aho a
bien,
de
( , B)
e
A
se
ob-
2
iene
que
01
2 B
=
-
9,
a,
luego
que
ae
In (T)(s
2
0)

en
el
caso
en
que
i
=
1
y
que
ss
as
=
s

luego

2
2

1
'

que
a
e
In (T)(s
1 B

)

en
el
caso
en
que
i
=
3,
en
amboscasos
en
con adicción
con
la
hipó esis
.
Aplicando
la
p oposición
an e io ,
podemosa i ma
que,
si G
e
P
II y
soc(G)

-
T
n
pa a
algún
n,

en onces
G/soc(G)

1U
.
(lc)
Toma
T = A
5
,
el
g upo
al e nado
de
g ado
5,
y
e ec ua la
cons ucción
de (lb)
con
a =
(12)
e E
S
iden i icado
con
Au (T)
.
demos
en onces
a i ma
que
si
G
e
P'
II
,
G/soc(G)
1
U
.
-
Aplicando
el
eo emapodemos
consegui
un
g upo
G2
e
P
II
con
De
lo
ci ado
más
a iba
se deduce
que,
si G e
Pii,
Po-
(2)
Sean
T
1
,.
.
.
.
T
g upos
simples
no
abelianos
de
o ma
que
T
i+1
es
sección
p opia
de
T

(i
=
1,
i

.
.
., -1)
.

Sea
G
1e
PII
con
soc(G
I
)
=
T11
n
soc(G
2
)
= T
2
2
y
al que
G
2
/soc(G
2
)
=
G
1
.
Rei e ando
el
p oceso
ob-
enemos
un
g upo
G
con
una
se ie
p incipal
1

= N0

< N
1

<

.
.
.

<
N

<G

,

única
en e

1
y
N

y

al

que
-1

-1
G
/N

=
G
.E
P' si
i > 1 y N

/N

=
soc(G,)
-
n~
T
.
1
.
-
II

-i
-(i+1)

i i
G/soc(G)es no esoluble,
luegoalgún
ac o
p incipal
no abeliano
de G /N
-1
no
es
complemen ado
po
ningún
subg upo
maximal
de
G
:
si R
es
el
nume ado
de
una
co ona
no
abeliana
de G /N

y R
iene
-1
o den
máximo
en
es as
condiciones,
G
/R
es
esoluble,
luego
si L es
al que R/L
es
ac o
p incipal
de
G
,
se
iene
que
G
/L e
P
II-
PjI
.
(El
azonamien o
acabado
de
hace
es
po
o a
pa e
gene al
y se
puede sin e iza
en
:
"Un
g upo
G
es
esoluble
si y
sólo
si
cada
ac o
p incipal
no de
F a ini
de G
es
complemen ado
en G"
.)
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und
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Un e g uppen
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endlichen
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Comm
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i
n
Algeb a
(P óxima
apa ición
.)
Rebu
el
19

d'abnd,2
del
1985
Uni e sidad
de Za agoza
.
Dp o
.
d
e
Algeb a
Facul a
de Ciencias
Za agoza
ESPA11A