Pub
.
Ma
.
UAB
Vol
.
28 N4
1
Maig
1984
ambé
pe any
a R'
.
ARITMÉTICA
I
ANALISI
FORMALMENT
RECURSIVES
Rep esen em
pe ]N
el
conjun
dels
na u als,
el
ze o
inclas
.
Conside em
uncions
de
IN
en7N,
pe
o s
els
na u als
,
en enen
que
una
unció de]N
0
en
]N
no és
es més
que
un
elemen
de
]N
.
.
Si és
una unció
de ]Nn+l
en
lN,
ep esen en
pe
Ela
unció de
IN
n
en
7N
de inida
de
la mane a
següen
:
les
condicions següen s
:
les
p opie a s
h(xl,
. .
.,xn,0)= (xl,
.
.
.,xn)
F ancescTomás
1
.
In oducció
1,
si
hl
ha
algun
na u al
E(xl,
. .
.
.
xn)-
0,
en
cas
con a i
de inim
la
unció

de
7N
n
en
]N7
con
M
Y
Si E
(x
1
,
...
.
x n
)=1 pe
cada
col
"
lecció
de
na u als
x
1
1
. .
.
.
X
n
,
alesho es
m(xl,
. . . .
%)=mínim
na u al
y
al
que
(x
1
,..
.
.
xn
-
#
y)=0
al que
(xl,
.
.
.,xn,y)=0
Ens
in e essa
conside a
una classe
de
uncions, que
deno a em
pe
R',
que
és
la
mínima classe
de
uncions
de
]N
en]N,
amb
no
ix,
que
sa is á
R'
.1
.
Les
uncions cons an s,
la
unció
successo
(
S(x)=x+1)
i
les
un-
cions
p ojeccions
(
pi(xl,
. .
.,xn)=xi)
pe anyen
a
R'
.
R'
.2
.
Si
:
IN
n
a7N
ig
:
IN
n+2 +IN
pe anyen
a
R'
ila
unció
h
:
IN
n+lyIN
é
h(xl,
.
.
.,xn,S(y))=g(x1,
. .
.,xn'y,h(x1,
.-x
n
.
Y))
pe
cada
(xl,
..
.,xn,y)
de
IN
n+1
,
alesho es
h
ambé
pe any
a
R'
.
R' .3
.

Si
:
]N
n
i
]N
pe any
a
R'

i,
pe
j=1,
. .
.
.
n,
les
uncions
g
j
:
IIP
->IN
pe anyen
aR',
alesho es
la
composició
h, de inida
con
h(yl
.
. .
.,ym)= (gl(Y1,
.
.
. .
ym
),
.
.
.
.
9
n
(y
l
,..
.
.
y
m
)),
1
9
R'
.4
.
Si
(xl,
.
.
.,xn,y)
pe anya
R'
i
E(xl,
. .
.,xn)=1
pe
cada
(x
l
1"
.
.,x
n
),
alesho es
m(xl,
. .
.,xn)
ambé
pe anya
R'
.
R'
.S
.
Si
(xl,
.
.
.,xn,y)
pe anya
R',
alesho es
E
(x
l


xn
)
ambépe -
any~
R'
.
Es
un
sob een és
queles
uncions
que
s'ob enen
de
uncions
de
R'
pe
pe mu acions
de
les
a iables
són
ambé
uncionsde
R'
.
Con enim
en
que
si
:76I
n
-*
IIQ
pe anya
R'
ambé
hi

pe any
la
unció
g
de inida
com
g(x
l
."
"
xn'xn+l)= (xl,
.
.
.
,xn)
.
La
m iima
classe
de
uncions
que
sa is á
les
es
p ime es
condicions
és
la de
les
ecu si es
p imi i es
.
La
mínima
que
sa is a
les
qua e
p ime es
és
la
de
les
ecu si es
o dio án iques
( egi's,
al
espec e,
1'a icle
[2!
de
Da is,
pe
exemple)
.
Es
cla
que
o es
les
uncions
ecu si es
són
com-
pu ables
.
Té
una
g an
accep ació
la
esi
de
Chu ch,
que
a i ma
que
les
un-
cions
ecu si es
sónles
úniques
uncions
compu ables
de
n-ades
de
na u als
en
na u áls
.
També eneng an
impo ancia
en
la
demos ació
del
eo ema
d'
incomple esa
de
Gódel
.(Vegi's
111,
pe
exemple)
.
En
el
p esen
a icle
es ac ade
mos a
la
impo áncia
que
po
eni
la
classe
R' en
elació
a
1'análisi ecu si a
i
en'p oblemes
de
onamen a-
ció
.
Reco dem
que
1'anomenada
a i mé ica
ecu si a
apa eix,
a
mansde
Skolem,
com
una
mane a
de
desen olupa
1'a i mé ica
sense
e
ús no
cons uc iu
dels
quan i icado s
lógics,
amb
la idea
que
aques
ús
po
gene a
pa adoxes
.
El
esul a
del
eball
de
Skolem
és
una
p esen ació
de
1'a i mé ica
desen o -
llada
cons uc i amen
( eu e
[3]
o
V41,
pe
exemple)
.
L'análisi
ecu si a
consis eix
en
po a
la
ma eixa
idea
a
1'análisi,
pe
a
ob eni -ne
un
desen-
olupamen cons uc iu
.
Aixi,
una
successió, ecu si a
de
acionals
no
nega-
ius
se á
una
pa ella,
(n),g(n),
de
uncions
ecu si es
alque
g(n)¢0
pe
cada
n
.
La
successió
se a
20
al
successió
és
de
Cauchy hau em d'exhibi una
unció
ecu si a
h(n)
al
que
( )

-

(s)
I
.c

1
Ig( )

g
(s)

n
(0)

(1)

(2)
g(0)

g(1)
'
g(2)
~
.
.
Si
no
olem
usa
uncions
que
no siguin ecu si es,
pe
a
mos a
que una
semp e
que
>h
(n)
i
s>h
(n)
Pe o
es
dóna el
cas
( eu e
[61,
pe
exemple)
que
hi ha
successions
com
les
an e io s
que
són
c eixen s
i
a i ades
supe io men
pe
a
les
quals
no hi
ha
cap
h(n)
que
sigui
ecu si a
i
sa is ace
la
condició
de Cauchy
.
Aixó
a
que
1'análisi
ecu si a
sigui
insa is ac ó ia
des del
pun
de
is a
ma emá-
ic
.
Una aó
pe
la
que
la
classe
R'
po se
impo an
és
que
el
enomen
an-
e io
no es
p esen a
si
subs i ulm
les
uncions ecu si es
pe
les
de
R'
.
Es a
di
:
si
i g
pe anyen
a
R'
i
la
successió
és
mono ona
i
a i ada,
po-
den oba
la
h
que
necessi em
en
la
classe
R'
.
Cal
eco da ,
pe ó,
que
la
aó
de
ole
desen olupa
1'análisi
en
base
a
les
uncions
ecu si es
és
que
un
al
desen olupamen
és
cons uc iu
;
i
deixa
de
se -ho
si
ens
basen
en
les
uncions
de
R', ja
que
aques es no
són,
en
gene al,
compu ables
.
Malg a
aixó
dedica en una
secció,
la
3,
a
e
accep able,
des del
pun
de
is a ma emá ic,
la
idea
de
ecolza
1'análisi
en
les
uncions de
R'
.
En la
secció
4
ep end em
el
pun
de
is a
de
la
onamen ació
i
eu em els
a an-
a ges
que
po
ene ,
pel que
a a
consis éncia,
un
desen olupamen
de
1'a-
nálisi
en
base
a
R',
en
compa ació
amb
al es
desen olupamen s
no
cons uc-
ius
.
El
o malisme
que
es
p oposa
a
la secció
4 és
de
mena
ecu si a,
co-
sa
que
jus i ica
el
í ol
de
l'a icle
.
La
secció
2
es
dedica
a
ob eni
una
ca ac e i zació
de la
classe
R'
;
les
idees
que
s'usen
a [21
pe
a
ca ac e-
i za
les
uncions
ecu si es
com
a
dio án iques
ens
dónen
acilmen una
ca ac e i zació
de
les
uncions
de
R'
com
a
"ul ádio án iques"
(ab euja
UD)
La
secció
4
és un
e inamen
de [7]
.
Aques a
seccióés
independen
de la
2
i
la
3
.
No
s'es udia
quina
és
la
elació
que po se
hi ha
en e
el
o ma-
lisme
que
es
p oposa
i
llanálisi
ma emá ica
cons uc i a
de
la
que
es
pa la
a
V81
.
2
.
Conjun s
i
uncions
ul adio án ics
Com
que ens
e e im
a (21
cal
di que
Da is
conside a
el
conjun
dels
en e s
posi ius,
en
lloc de
IN,
de
mane aque les
uncions
que ell
anomena
ecu si es
no
són
les
ma eixes
que
anomenem
així
a
la
in oducció,pe qué
di e eixen
en domini
i
codomini
.
Pe o
lla icle
de
Da is
es
po
epensa ,
pe
així
di -ho,
posan
na u als
en lloc
dlen e s
posi ius
.
D'al a
banda,
llexposició
que
a em
se a
au osu icien ,lle a
de
pun s
no
essencials
.
2
.1
.
De inició
.
Un
subconjun
A
de
]N
n és
dio án ic
si hi
ha

algun
(x
1
, .
.
.,xn.Y1
..
.
.,ym)E
MIx1,
.
.
.,x
n'
yl
"
.
.,y
m

Cal que
(x
l
,

.

.xn
)EA

q

(3y1,
.
.
.,yn)C (xl,
. .
.
.
xn,yl,
. .
.,ym)=07,
on
slen én
que
y,
-
-
.,y__
han
de
se
na u als
.
1

Ill
2
.2
.
De inició
.
Una
unció
de
IN
en
IN
és
dio án ica
si la
se a
g á ica
és
un
conjun
dio án ic
.
A
[21
es
demos a
que les
uncions
ecu si es
coincideixenamb
les
dio-
án iques
.
No
usa em
aques
e
.
A a
olem
de ini
una
classe
de
conjun s
que
anomena em
ul adio án ics
,
ab euja
UD
.
Pe
a
e -ho
háu em
de
pa la
de
p edica s
UD
.
En end em
pe
p edica s
les
a i macions
ela i es
a
col
"
leccions
ini es
de a iables,
suscep ibles
de
se
e dade es
o
alses
cada
egada
que
aques es
a iables
són
subs i uides
pe
na u als
.
En el
p océs
de
de inició
dels
p edica s
UD
ens
e e i em
a
"exp essions
polinomials
en
x
1
, .
.
.,x
n
"
en
lloc
de
e e i -
nos
a
"polinomisen
xl,
. .
.,xn"
.
Així,
di em
que
les
exp essions
2
2
(2x-y)y+(1-y)(2x+3)+zy2-(3+2x),
zy
2
-y(y+3),
són
exp essionspolinomials
di e en s,
a
desg a
de
se
exp essions
delma-
eix
polinomi
yz
2
-y
2
-3y
.
Aques
polinomi
po
se
pensa
com
a
polinomi
en
y i
z,
o
en
x,
y i
z,
o
en
w,
x,
y,
z,
e c
;
pe oen
can i
podem
a i ma
que
en
la
p ime a
exp essió
hi
apa eixen
les
a iables
x,
y i
z, i
cap
al a,
men e
que
en
la
segonahi
apa eixen
y i
z,
i
només
elles
.
Aques a
és
la
mena
de
dis inció
que
olem
e
.
Si
ep esen em
una
exp essió
polinomia1
pe
(x
l
,. . . .
x
n
)
es a em
suposan
que
en
1'exp essió
hi
apa eixen
les
a-
iables
xl,
.
.
. .
x
n
,
i
cap
al a
.
Dona em
a
con inuació
la
de inició
dels
p edica s
UD,
al
ma eix
emps
que
di em
en
quinscasos
una
a iable
apa eix
lliu e
en
un
al
p edica ,i
en
quinscasos
hi
apa eixlligada
.
2
.3
.
De inició
.
PUD
.1
.
Si
(xl,
. .
.,xn)
és
una
exp essió
polinomial
amb
coe icien s
en-
e s,
la
o mula
(x1,
.
.
.,xn)=0
és un
p edica
UD,
en
el
que
no
hi
apa eix
cap
a iable
lligada
i
en el
que
o es
les
x
i
,
pe
1<ibn,
hi
apa eixen
lliu es
.
PUD
.2
.
Si
P
és
un
p edica
UD,
la
se a
negació
-,P
és
un
p edica
UD
.
Les
a iables
que
apa eixen
lliu es
(lligades)
en
-,P
sónles
que
apa eixen
lliu es
(lligades)
en
P
.
PUD
.3
.
Si
P
i
Q
són
p edica s
UD
i
no hi
ha
cap
a iable
que
apa egui
lliu een un
d'ells
i
lligada
en
1'al e,
alesho es
.
-
P Q,
P&Q
i
P*Qsón
p e-
dica s
UD
.
Les
a iables
que
apa eixen
lliu es
(lligades)
en
qualse ol
d
,
aques s
són
lesque
apa eixen
lliu es
(lligades)
en
P
o
en
Q
.
PUDA
.
Si
P
és un
p edica
UD
i
la
a iable
x
no
apa eix
lligada
en
P,
alesho es
(Vx)P
i
(3x)P
són
p edica s
UD,
si
en enem
que
el dominidels
quan i icado s
és
IN
.
En cadaun
d'ellsx
hi
apa eix
lligada
;
i
les
al es
a iables
que
hi
apa eixen
lligades
són
les
que
apa eixen
lligadesen
P
.
Les
a iables
que
hi
apa eixen
lliu es
sónles
a iables
di e en s
de
x
que

apa eixen
lliu es
en
P
.
PUD
.5
.
Un
p edica
és
UD
únicamen pe
combinació
de
les
aons
an e io s
.
Si
xl
, .
.
.,xn
són
o es
les
a iables
que
apa eixen
lliu es
en un
p edica
ul adio án ic
P,
és cla
que
P
és
un
p edica
ela iu
a
aques es
a iables
;
pe o
P
ambé
és (o
el
podem
pensa
com)
un
p edica
ela iu
a xl
, .
.
.,xn
,
x
n+l'"
''
m
pe
qualsse ol
a iables
x
n+l
, . . .
.
xm
.
Pe
indica
que
pensem
en
P
com
p edica
ela iu
a
x
l
, .
.
.,x
,
1'esc i im
P(xl,
.
.
.,x )
.
L'única
con-
dició
que
ha
de
sa is e
la
col
"
lecció
x1
,. .
.
.
x
es
la
de
con eni o es
les
a iables
que
apa eixen
lliu es
en
P,
enca a
que con é,
pe
aons
de
cla e-
da ,
que
aques a
col
"
leccióno
con inguicap
a iable
que
apa egui
lligada
en
P
.
24
No a
.
El
p edica
Qx)jy+l+x-z=03
_(3 )
x+1+ -z=01
no
és
UD,
segons la
de inició
que
hem
dona
;
pe o és
equi alen
a
(3u)[y+l+u-z=0'
V
(3 )Ix+1+ -z=01,
que
si
que
n'és
.
Aixó
mos a
que
la
limi ació
que
sembla
imposa
PUD
.3
només
és
apa en
.
2
.4
.
De inició
:
CUD
.
Un
subconjun
A
de]N
n
és UD si hi ha
algun
p edica
ul adio án ic
P(xl,
. .
.,xn)
al
que,
pe
qualsse olna u als
al


an,
(a
l
,.
.
.,an
)EA
*
P(al,
.
.
.,an)
FUD
.
Una
uncióde
1N
n
enIN
és UD
si la
se a
g á ica
és
UD
.
La
ca ac e i zació
que ens
in e essa
és la
seguen
:
2
.5
.
Teo ema
.
La classe
R'
cons a
p ecisamen
de
les
uncionsUD
.
La
demos ació
se á
conseqüéncia
d'un
segui
de
lemes
i
conside acions
.
2 .6
.
Lema
.
Le
s
uncions suma
i
p oduc e
de
na u als
pe anyen
a
R'
.
Tenim
a+0=a
i
a+S(b)=S(a+b)
.
Fem (x)=x
i
g(x,y,z)=S(z)
. .
Pe
R'
.1,
eR'
.
Si
p(x,y,z)=z,
p«R',
pe
R' .1
;
i,
com,
que
g(x,y,z)=
S(p(x,y,z))
i
SER',
in-
d em
que
g R',
pe
R'
.3
.
De
mane a
que
la
suma
pe any
a R',
pe
R'
.2
.
De
mane a
semblan ,
dona
que
a
"
0=0
i
a
S(b)=(a-b)+a,
podem
eu e
que
el p o-
duc e
pe any
a
R'
.
2
.7
.
Lema
.
La suma
i
el
p oduc e
de
dues
uncions
de
R'
(amb
ma eix
do-
mini)
pe anyen
a
R'
.
E ec i amen ,pe que
sónles
composicions
d'aques es
uncions
amb
la
su-
ma
i
amb
el
p oduc e,
i
pe anyen
a
R'
pe
R'
.3
.
Co ol
la ¡
.
Cada
polinomi
amb
coe icien s
na u als
pe anya
R'
.
2
.8
.
Lema
.
La
unció
P
de
IN
en
IN,
de inida
com
pe any
a
R'
.
ácilmen
que
P
R'
.
P(x)=1
x-1,
si
x>0
0,
en
cas
con a i
Tenim
P(0)=0i
P(S(y))=y
.
Si,
en
R'
.2,
em
n=0,
=0
i
g(y,z)=y
eu em
2
.9
.
Lema
.
La
uncióx=
y,
de inida
com
x-Y,
si
x>,y
x-y_
-~
0,
en
cas
con a i
pe anya
R'
.
La
demos ació
és
an
ácil
com
les
an e io s,
si
obse em
que
x=0=x
i
x=S
(Y)=P(x=Y)
.
Co ol
la ¡
.
Si
ig
són
uncions
de
R'
amb
el
ma eix
domini,
=gcR'
.
2
.10
.
Lema
.
Si

i g
són
uncionsde
IN
n
en
IN
que
pe anyen
a
R',
ales-
ho es
la
unció
D
,4,
de inida
com
D ,4=( =g)+(g= ),
pe any
a
R'
i
enim,
n
pe
cada
(xl,
.
.
.,xn)
de
]N
,
D
.4
(xl,
.
.
.,xn)=0

0

(xl,
. .
.,xn)=g(x11
.
.
.,xn)
La
demos ació
és
i ial
.
2
.11
.
Lema
.
Si
(xl,
.
.
.,xn)
és
un
polinomi
aamb
coe icien s
en e s,
hi ha
n
una
uncióD
en
R'
al
que,
pe
qualse ol
(x
l
,. .
.
.
x
n
)
de7N,
D
(x11
.
.
.,x
n
)=0
cp
(xl,
.
.
.,xn)=0
El
polinomi
es
po
exp essa
com
=g-h,
on
gih
són
polinomis
amb
coe icien s
na u als
.
Podem
escolli
D
com
la
D
g,h
del
lema
an e io
.
Di em
a a
que
uná
llis a
ini a
'
A
1
-_A
.
on cada
Ai
,
és
subconjun
de
lN
n(i)
,
pe
algun
n(i),
és
una
cons ucció
de
-
conjun s
UD
si
cada
A,
sa is a
una
de
les
condicions
següen s
:
i
C
.1
.
A (xl,
.
. .
.xn(i))=0},
pe
algun
é7l
xl,
. .
.
.xn(i)~
.
C
.2
.

A
i
=
'(xl,-
..
x
n(i)
)
:

(x
l
,.
.
. .
x
n(i)
) T'
A
j
1'

pe
algun
j<i
.
C
.3
.
A
i
=A
3
UA
k
,
pe alguns
j,
k
meno s
que
i
.
CA
-
A
i
4
xl-

xn(i))
.

(3Y)

(xl,
.
. .
.
xn(i),Y)EA
7
.1,
pe
algun
j<i
.
Volem
demos a que
cada
conjun
UD és
memb e
d'algunacons ucció
de
conjun s
UD
.
Obse em
en
p ime lloc
que
o s
els p edica s
UD es
poden
es-
c iu e
sense
usa
els
signes
&,
:>
i
Y,
degu
a
que
P&Q
és
equi alen
a
i(-iP
V
%Q)
,
PqQ
és
equi alen
a
nPVQ
i

(dx)
P
és
equi alen ~a
-,(3x)
(-,P)
.
Consi-
de em,
doncs, els
p edica s
UD
exp essa susan
únicamen
-1,
V,
i
3
.
Veu em
que
cada
conjun
ul adio án ic
A
és
memb e
duna
cons ucció
de
conjun s
UD
pe
inducci6
sob e
el nomb e
de
egades
que apa eixen
signes lógics
del
conjun j',V
,37
en un
p edica
UD
que
de ineixi
A
.
Si en un
al
p edica
P
no
apa eix
cap
d'aques s
signes, A=í(xl,
. .
.,xn)
:
(xl,
. .
.,xn)=0},
pe
algun
E
a xl,
. .
.,xn]
,
i
A
és
el
memb e
únic
duna
cons ucció
de
conjun s
UD
.
En
cas
con a i
P
és
d'alguna
de
les
o mes
-IQ,
P
1
VP
2
,
(3x)Q
En el
p ime
cas,
en
Q
apa eixen
menys
signes logics
que
en
-Q, i
pe
hipo-
esi
qualse ol
conjun
A'
de ini
pe
Q
és
memb e
duna
cons ucció
de
conjun s
UD
.
Si
pensem
nQ
com
p edica
en
x
l
,
. .
.,x
n
,
pense4ambé
a
Q
com
a
p edica
en
aques es a iables,
i
el
conjun
A
se á el
complemen
de
A'
.
Si
A'
és
memb e
de la
cons ucció
A
1
,

.-
A
,
alesho es
Al,
. .
.,A ,A
ambé
és
una
cons ucció
(de
conjun s
UD),
segons
C
.2
.
Els
.
al es
casos
es
ac en
amb
la
ma eixa
acili a
.
2.12
.
Lema
.
Si
A
és un
subconjun
UD de
Di
n
,
hi ha en
R'
alguna unci6
26
al
que
A=
{(xl,
.
.
.,xn)
:
(xl,
. .
.,xn)=0}
Pe
les
obse acions an e io s
és
su icien
el
demos a
que
cada
memb e
de
qualse ol
cons ucció
de
conjun s
UD é
aques a
p opie a
.
Conside em
la
cons ucció
Fa em
la
demos ació
pe
inducció
sob e
l'index
i de A
. .
Posa em
n
en
lloc
1
de
n(i)
.
Tenim,
pe
comen a ,
Ai
{(X11
.
.
.,xn)
:
(xl,
.
.
.,xn)=0},
on E
a
Ix
l
,. .
.
,xi
.
Segons el lema
2
.11,
Al
~(xl,
. .
.,xn)
:
D (xl,
.
.
.,xn)=0}
.
D
E
R'
.
Suposem
que
Al,
. .
.,A i-1
enen
la
p opie a
del
lema,
i
conside em
A
. .
Si
Ai=I(xl,
.
.
.,xn)
:
g(xl,
.
.
.,xn)=0},
on
g E
T
Ixl,
.
.
.,xn~,
p ocedim
com
.
pe
A l
.
Si
Ai =
1
(x
l
,.
. .
.x
n
):

(x
1
,. .
.
.
x
n
)4A
j
i
pe
algun
j
<i
al
que
A
j
E
IIN
n
,
sabem
pe
hipb esi
d'inducció
que Aj=
j(xl,
.
...
%)
:
(xl,
.
.
.,xn)=0¡¡
pe
.al-
guna
de R',

i
alesho es
Ai={(xl,
.
.
. .
xn
) :
1=
(x
1
,
.
.-
x
n )=0~
;
i 1
1
- .E
R'
.
Si
A
i

~
.=A
.VA k
,

on
j i
k
són
meno s
que
i,
ind em
A
j
=
j(x1,
. .
.,xn)
:

(x
l
,
. . . .
x
n
)
=0"
A
k
=¡(x
1
-
.
.,xn)
:
g(xl,
.
. .
.
x
n
)=0},
pe
ce es
i
g
de R', i
alesho es
Ai=J(xl,
. .
.,xn)
:
(x )g(x )=0}
;
i ja
sabem
que
g
E
R'
.
Si,
inalmen ,
A

~(x l
, .
. .
,x
n
)
:

(3Y)
[(x
l
"
. .
.
,x
n
.
Y)
E A
j
13
pe
algun
j<i,
sab em
que
(x
1
,.
."
x
n
,y)EA
3
0
h(xl,
.
.
.,xn
.y)=0
pe una
ce a
h
de
R',
i
lla o s
Ai=l(xl,
. .
.
.
x
n
) :
hE(xl,
.
.
.,xn)=1j
=j(X
V
.
.
.,x n
):

1=hE(xl
.. .
.,xn)=01,
i ja
sabem
que
h E
pe any
a
R'
i
1-h
E
ambé
.
A a
ja
podem
demos a
que
cada
unció
UD és
de la
classe
R'
.
Si
és
UD
enim, segons el lema
2 .12,
pe
alguna
g
de
R',
y= (xl,
. .
.,xn)0
(x
l
,
. .
.,x n
.Y)E[g á ica
de
]
Og(xl
.. .
.,xn
.y)=0
c( -g/h)=0
.
En
aques cas
(Y
n)
(V
)
[1(
-g/h) (d( -
g/h)
(n)+ )-( -g/h)
(d( -g/h)
(n)'<
n
i
d( -g/h)(n)
és el
minim
na u al
amb
aques a
p opie a
.
b)
Si
,
g
i
h
són
UD
i
c( -g/h)=0,
la unciód( -g/h)
és
UD
.
Co ol-la i
.
Si , g i
h
són
UD
ila
succesió
( -g/h)(n)
és
c eixen
i
a i ada
supe io men ,alesho es
la
unció
d( -g/h)
que
la
exhibeix
com
de
Cauchy
ambé
és
UD
.
Com
deiem
en
la in oducció,
es
dóna
el
cas
que
,
g
i
h
siguin
ecu si-
es
i
que
i( -g/h)(n4
sigui
c eixen
i
a i ada
men eque
d( -g/h)
no és
ecu si a
.
El
co ol
"
la i
mos aque
el
enomen
análeg
no es
p esen a
en
el
cas
UD
.
Ens
in e essa
a a
conside a
successions
de
limi s
de
successions
de
na-
u als
.
Comenca em
pe
conside a
successions
de
successions
de
na u als,
que
no
se an
es
més que
e nes
de
uncions,
(i,n), g(i,n),
h(i,n),
de
DI
2
.en]N
als
que
h(i,n)
és5emp e
di e en
de ze o
.
Pensem
en
qualse ol
d'a-
ques es
e nescom
en la
successió
de
successions
(0,n)-g(0,n)

(l,n)-g(l,n)
h(0,n)
'nE]N
'
k
h(1,n)
'ne]N
Fem
i(n)= (i,n),gi(n)=g(i,n),
hi(n)=h(i,n)
.
Si
cada
una
de
les
(
i
-gi
/h
i)(n) és
de
Cauchy,
és
cla
que
la
succes-
sió
dels seus
limi s
és de
Cauchy
si
i
només
si és de Cauchy
la
successió
i
en
cas
a i ma iu
el
limi
d'aques asuccessió
és
3
4
( 0-g0
/h
0
)
(d( 0-90/h0)(0»,

(
1
-g
1
/h
l
)
(d( 1-gl/h1)(i»,

. . .
De inim, en aques
cas,
lim
lim
(i,n)-g(i,n)
1 n
h(i,n)
D
(n)=
n (d( n-gn
/h
n
)
(n)
)
9D
(n)=g
n(d( n-gn/h
n)
(n»
hD
(n)=h
n
(d(
n-gn
/h
n
)(n))

i
ind em
:
3
.1
.2
.
Lema
.
Am
b
la
no ació
an e io ,
suposem
que
cada

(
i
-g
i
)(n) és
de
Cauchy
.
Alesho es
:
a)
La
successióIlñm
( i-9i)
(n)}
iEIN
es
de
Cauchy
si
i
només
si
c( D
g
D
/h
D
)=0,
i
en aques
cas
(i,n)-g(i,n) D(j)-gD(7)
9D
(i)

i h
D
(i)

ambé
ho
són
.
Mm
lñm

h(i,n)

-
ljm

hD(j)
b)
Si
les
uncions
(i,n),
g(i,n)
i
h(i,n)
són
UD,
les
uncions
D
(i),
Res a
pe
comp o a únicamen
la
pa
b)
.
Amb
aques a
inali a
econs-
ulm
les
de inicions
de
D,
gD
i
h
D
.
Si
e isem
la
de inició
de
d( -g/h),
bo
i
posan
i
,
g
j
i h
j
en lloc
de
,
g,
i
h,
ind em
dl(j,n,m, )=( (j,m+ )h(j,m)+g(j,m)h(j,m+ ))=(g(j,m+ )h(j,m)+ (j,m)h(j,m+ ))
d2(j,n,m, )=(g(j,m+ )h(j,m)+ (j,m)h(j,m+ ))=( (j,m+ )h(j,m)+g(j,m)h(j,m+ ))
d3(j,n,m, )=
n(d1(j,n,m, ))+d2(j,n,m, ))+1
_
h(j,m+ )h(j,m)
d
4
(j,n,m, )=1=d
3
(j,n,m, )
d(
j
-g
j
/h
j
)
(n)=((d4)E)M(j,n)
Es
cla
que
((d4)E)M(j,n)
és UD
.
Si
em
p(j,n)=n
enim
d( n-gn/hn)(n)=((d4)E)M(n,n)=((d4)E)M(p(j,n)
.p(j,n))
i
aques a unció
és
UD pe queés
composició
de
uncions
UD
.
Pe
an
D,
gD
i hD
són
UD
.
També
podem
obse a
quec( i-g
i
/h
i
)
és UD

com
a unció
de
i

(si
,
g
i
h
ho
són)
.
Diguem
a a
:
3
.1
.3
.
De inició
.
Un
a
successió
is
nln
E
IN
de
acionals
és UD
si
exis e¡-
xen
uncions,
, g, h,
de
IN
en
IN
quesón
UD
i
als
que
sn=( -g/h)(n)
pe
cada
n
.
3 .1 .4
.
De inició
.
U
n
nomb e ealés
UD
si
és
lími
d'alguna
successió
UD
de
acionals
.
3 5
UD si
exis eixen
,
g
i
h,
uncionsUD de]N
Z
en
IN,
als
que
3
6
3
.1 .5
.
De inició
.
Un
a
successió
a0
,
al
,
. .
.
de
eals
UD és
una successió
a)
IR
UD
es un
cos
a,=1im
(i,n)-g(i,n)
pe
cada
i
1 n

h(i,n)
Així,
doncs,
o s
els
memb es
duna
successió
UD
de
eals
són
eals
UD
;
pe o
és
possible
que una
successió
de
eals
UD no
sigui
una
successió
UD
.
Deno a em
pe IR
UD el
conjun
de
eals
UD
.
3
.1 .6
.
Teo ema
.
b)
Si la
successió
de
eals
a
0
,
al
,
. .
.
és UD
i
de
Cauchy,
alesho es
lim
a
.
c-
IR
UD
1
La
pa
b)
del
eo ema
ja
es a
demos ada
.
Demos a em
a)
.
Suposem
que
(n)-g(n)
b=1im
a=1im
h(n)
,
(n)-s(n)
(n)
i
que
, g,
h, ,
s,
són
UD
.
Es
cla
que
les
uncions
+h ,
g +hs,
h ,
+gs,
s+g ,
+hs,
g +h
són
UD, i
amb
aixó es
mos a
que
II
UD es
clos
pe
sumes,
p oduc es
i
di e encies
.
Res a
pe
demos a
que
a
6
1R
UD
quan
aga0
i
a E]R
UD
.
Exis eix,
en
aques
cas,
m
al que
(m+ )pég(m+ )
pe
o s
els
;
i
podem
suposa
sense
pe d e
gene ali a
que
m=0
.
Tenim
alesho es
h(n)
I (n)-g(n)I
-1
hin)

(n)-g(n)
a

=1im
(n)-g(n)
=lim

I (n)-g(n)i
(n)-g(n)
g(n)- (n)
h
(n)
(
n
)
-g
(n)
-
h
(n)
g
(
n
)
-
(n)
-hm
j (n)-g(n)u
Sabem
que
I (n)-g(n)I
és UD
.
Pe
acaba
se a
su icien
el
demos a
en
ge-
ne al,
i
si
de inim
c_c
=0, que
la
£unció
~c-d
és
UD
.
Tenim,
en e ec e
_cid
_

1,
si
c-d>0
c-d
-~
0,
si
c=d=0
ye o
és
acil
eu e
que
la
£unció
A
al
que A(0)=0
i
A(S(n))=1
és
UD
;
i
alesho es
eiem
que
¿c-d
es
UD
pe que
és
igual
a
A(c=d)
.
Podem
eu e
que
IR
UD
es
nume able
;
com
que
la
col
lecció
de
conjun s
UD
és
nume able
ambé
ho
és
la de
les
uncions
UD,
la de
les
successions
UD
de
acionals
i
la dels
eals
UD
.
Pe o es
p esen a
una
si uació
análoga
a
la
que
es dóna
pe els
conjun s
UD
;
3
.1
.7
.
Obse ació
.IR
U
D
no
es
"ul adio in icamen
nume able"
.
Cada eal es
po exp esse
de
mane a
única
com
n a
.
1¡m
(a
0
+
5
3
j
),
j=1
10
on
els
a
j
són
en e s,
0
j1
a
j
<1O
pe
j
>
0
i
no exis eix
cap
al que
(1/s)
Ia
+s
-g1
Conside em
qualse ol
e na
,
g,
h
de
uncionsUD de
IQ
2
en]N,
la
úl ima
de
les
quals
no s'anul
"
la
mai,
i
suposem
que,
pe
cada
j,
la
successió
S
(7,h(-g
ñj,n)
nEIN és
con e gen ,
i
ep esen em
el
seu
limi
pe
c,
.
A i -
J,

7
mem que
la llis a
c
0
,
c
l
, .
.
.
no
po
con eni
o s
els
eals
UD
.
E ec i a-
men ,
exp essem
cada
c
.
en la
o ma
7
i
.de inim
bo
=a
(0)
+1,
Es
po
demos a
que les
uncions
(n)
(n)=10
n
són
UD,
i
és
cla
que
el eal
n
(j)
c
j
=lin
m(a
(3)
+Z
al
)
i=1
10i
1,

si

j>0

i

a
(
j)
YÉl
12,

si

j>0

i

aj
j)
=l
n
nbO+

10
n-l
b
i
,
si
b0
>,0
i=1
-1
10
n-l
b
i
,
si b0
<
0

Illi
0, si b
0
,0
s (n)=
1-10
n
b
0
,
si
b
0
<
0
és
di e en
de
o s
els
c,
i és
UD
.
1
3
.2
.
Les
algeb es
CUD
c
de uncions
con inues
.
Seguin
el
me ode
de 5j,
conside em
e nes
de
uncions
de
IN
3
en
IN
que
sa is acin
les
condicions
se-
guen s
:
A)
h( ,s, )~0
semp e
que
yé0
(
s
)-g( ,s, )
B)

' '
=
h( ,s, )

h( ',s', ')

semp e
que
y£0,
'y¿0
i
-s
'-s'
'
Si es
sa is anaques escondicions
la
e na
,
g, h
po
se
in e p e ada
com unció
de
1p
en
Q
.
Usa em,
en
aques
cas,
pe
#0,
les
no acions
3
8
( s)= ( ,s, ),
g( -s)=g( ,s, ),
h( s)=h( ,s, )
( -g/h)( -ss)=( -g/h)( ,s, )
- ( ,s, )-g( ,s, )

h( ,s, )
Qualse ol
unció
de
Q
en
Q
es
po
mi a
d'aques a
mane a,
com
no és
di-
icil
comp o a
.
Si
pe
una al
unció
F
es
sa is a
esc iu em
F=( -g/h),
si
, g i
h
sa is an
les
condicions
A)
i
B)
.
3
.2 .1
.
De inició
.
Di e
m
que
F
:
Q
-9
Q
és
UD si
exis eixen
,
g, i h
que
són
UD,
sa is an
A)
i
B)
i
són
als
que
F= -g/h
.
Conside em
un in e al
ja,b~
amb
ex ems
acionals
.
Suposem
que
b
l
-b
2
c
l-c 2
b
J
b

,

c-

,
b
l
,

b
2
,
b,
cl
,
c
2
,

c
3
na u als
c

3
33
Tenim,
pe
-g/h
:
Q
->Q,
F( -s)=( -g/h)
( s)
-g/h
és
uni o memen
con inua
en
[b,c]nd2
b
-b

c -c
q
(`In) (3
m)
(d ,s, , '
,s'
, ')
[ =0
V
'=0
V
s <
1
b
2
V
s

'C

2
3

3
V
' -s <
b1-b2
V
@-s'
~
c1-c2
V
-s
-

IJ1
'
b
3
' c
3
'
m
d
j( -g/h)
( s)-( -g/h)
(
,-
s
,
)l<
n
n
b,
lim
(b
+Y
^
1
)=1im
(n)-s
(n)
n

0
i=1
101

(n)
Si
p ocedim
de
mane a
semblan
a
com
s'ha
e
a
3
.1
a iba em
a
que
-g/h
és
uni o memen
con inua
en
[b,
c]
(1Q
0
(dn) (3m)
[k(n,m)=01
Id>
(Vn)
[k
E
(n)=1]
a
U([b,c], -g/h)=0,
on
U([b,c]
, -g/h)=(kE)E
i
k(n,m)
és ce
a
unció,
que
és
UD semp e
que
,
g
i
h
ho siguin
.
Si
-g/h
és
uni o memen
con inua
en
[b,c] 1
(2,
alesho es
(1jn)
kE
(n)=1

i
es a
de inida
la
unció
D
((b,c]
,
-g/h)
(n)
=k
m
(n)
que
ens
dóna,
pe
cada
n,
el
minim
m
alque
-s

'-s'
1

-s
j( -g/h)
(
)
- (
-
g/h)
(

,

)I~
ñ

semp e
que
I
-

e

I~
m
Tenim,
doncs
:
3
.2
.2
.
Lema
.
La
unció
-
g/h
:C
-i
Q
és
uni o memen
con inua
en
[b,c]l1(Q
si
i
només
si
U([b,c], -g/h)=0
.
En
aques
cas
es
sa is á,
pe
s
i
~s'
en
[ b,
j,
_ -s
_
'-s'

1

-s

'-s
')J
9
1
I


'

~~ D
:(
b,c

,
-
g/h)
(n)

~( -g/h)
(
)-( -g/h)
(
,

ñ
on
D([b,c], -g/h)(n)
és,
pe
cada
n,
el
minim
na u al
amb
aques a
p opie a
.
La
unció
D(
b,c
, -g/h)
és UD semp e
que
,
g
i
h
ho
siguin
.
3
.2
.3
.
De inició
.
Rep esen a e
m
pe
<Q
[
D
Ic
]
el
conjun
de
les
uncions
de
[b,cl
enIR
que
són
ex ensions
a
[b,c],
pe
con inui a ,de
uncions
-g/h
de
C
en
Q
que
siguin
UD
i uni o memen
con ínues
en
[b,c]gQ
.
Si
k
és
1'ex-
ensió
duna
al
-g/h
posa em
k= -g/h
3
.2 .4
.
De inició
.
Conside e
m
una
successió
k0,
k
l
, . . .
d'elemen s
dé
QUD

Di em
que
la
successió
és
UD
si
exis eixen
uncions
, g,
h
de
]N
4
en
[b,
cl
N
als
que
:
a)

Pe
cada
i,
si
em
i
( ,s, )= (i, ,s, ),
g
i
( ,s, )=g(i, ,s, ),
h
i
,( ,s, )=h(i, ,s, ),
alesho es
i-g
i
/h
i
és
unció
de
C
en
Q
;
b)
,
g i
h
són
UD,
cada
i-gi/hi
es
un¡
o memen
con inua
en[b,c)A
Q
i
ki
=
i
.
-g
i
/h

pe
cada
i
.
i
39

La
elació
que
hi
ha
en e
UD
q

Q(b
cl
i la
classe
de
uncions
con ínues
de
[b,cj
eniR
s'assembla
a la
que
hi ha
en e
C?
¡IR
.
Així
com
cada eal és
el
lími d'una
successió
de acionals,aixi
ma eix
cada unció
con inua
de
b,cj
enIR
és el
limi
duna
successióuni o memen
con e gen
d'elemen s
de
Q
UD
UD
c1
(aques a
a i mació
és
consequencia
del
eo ema
de
S one-Weie -
s ass,
de
que
els polinomisamb
coe icien s
eals
són an
ap oximablescom
olguem
pe polinomisamb
coe icien s
acionals
i
de
que
aques s
úl ims
són
elemen s
de
C
`b c
i)
.
Pe ó de
la
ma eixa
mane a
que
de inimIR
UD
diguem
a a
:
3
.2 .5
.
De inició
.
Rep esen e
m
pe CUD
c1
la
classe
de uncionsde
(b,cj
enIR
que són limi s
de
successions
UD,
uni o memen
con e gen s
en
[
b,j
,
d'elemen s
de
Q
UD
(b,
cl
.
3
.2 .6
.
De inició
.
Un
a
successió
k
O
,
k
l
,
. .
.
d'elemen s
de
CUb
c]
es
UD
si
exis eixen
, g, h,
uncions
de
IN 5
en
IN
als
que
:
a) ,
gih
són
UD
b)
Si
em
.
.(
.s
. )= (i
.i
.
.s
. ),
i
analoaamen
Pe
cT i h,
alesho es,
1,]
....

.
.-
..
.
. .

. .
pe
cada
(i,j),
i
,
.j
-g
l,,j
/h
i
.j
és
una unció
de
Q
en
(Q,
uni o memen con i-
nua
en
Ib,
c]
nQ
40
c)
Pe
cada
i,
l
ilj -g
i,j
/h
i,j)je
IN
con e geix
uni o memen
en
Cb,cja
ki
3
.3
.
Conside ació
inal
.
Les
conside acionsque
hem
es a
en en aques-
a
secció
3
an
en el
sen i
de
mos a
que
1'análisi
UD
po
unciona
mol
bé
.
Pe o
:
le )
no
es em
en
condicions
de
e una
exposició
sis ema ica
de
1'análisi
UD
;
2
o
n)
po se
el
con ex
no o malen el
que
es em
en
aques a
secció
no
és el
millo pe
in en a
aques a
exposició
.
Pe
aques es
aons
pensem
que
a d
o
d'ho ahem
de alla en
sec
aques esconside acions,
i
escollim
aques momen
pe
e -ho
.
Les
p ime esa i macions
que
pensemque
pod iem
demos a ,pe o
que
ja no
demos a em,
són les
següen s
:
Si
CC
UD,c

1
a
Ei
D
,
(a)EIR
UD
.
CIb
,
j
es
una
]R,
Si
o
,
l
,
.
. .
és
una
successió
UD
d'elemen s
de
CU
b,c
3,
uni o memen
con e gen
en [b,c~,
alesho es
lim
ie
CUD,cl'
UD
x
UD
Si
kEC[Ic],
íb
kEC
(b,
cl
.
Si
k
E
C~b
c,

i
k'
exis eix
i
és
con inua,
k'
E
C
[b c]
Si
a
0
,
al
,

. . .
és
una
successió
UD
d'elemen s
de
II2
UD
,
la
successió
n i

UD
a
i
x
és
UD
(en
elacióa
qualse ol
C
Cblc
l)
i
el
adi
de
con e gencia
es
i=0
un eal
UD
.
En can i,no
c eiem
pode demos a
que
qualse ol
unció
con inua
en
[b,cl
i
alque
(Vb,cin
7RUD)
s]RUD
hagi
de
pe anye
a
Cíb
c]
.
4
.
La
o mali zació
de
1'a i me ica
i
1'analisi
basades
en
R',
o
ul-
adio an iques
.
4
.1
.
Conside acions
p elimina s
.
Com
eco da em
en la in oducció,1'a-
nálisi
ecu si a
es
po
eu e
com
un
in en
de
desen olupa
1'análisi
ma e-
má ica
de
mane a
cons uc i a,
in en
que
ens
dóna,pe o,
una
análisi
poc
sa is ac ó ia
desdel
pun
de
is ama emá ic
.
I
aixó
és el
queens
po a
a
eng andi
la classe
de
les
uncions
ecu si es
i
conside a
la
classe
R`
de
les
uncions
ul adio an iques
(UD)
.
A
la
secció
an e io
hem
is
que
hi
ha
indicis
de
que
1'análisi
basada
en
aques a
classede uncions
és
sa-
is ac ó ia,
ma ema icámen
pa lan
.
Pe o
a aens
p egun en,
desdel
pun
de
is a
de
la
onamen ació,
quin
a an a ge
po
compo a
aques a
análisi
basada
en
R'
(o
analisi
UD),
que
ja
no és cons uc i a,
compa ada
amb
al-
es
onamen acions
d'aques a
disciplina,
al
com,
pe
exemple,
la
que
es
po
basa
en
una
eo ia
de
conjun s
o mal
.
Reco dem
que
Hilbe ,en el
seu
p og ama
de
onamen ació,
p oposa a
p esen a
les
eo iesma emá iques
com,
a
sis emes
que
a ui
anomena iem
"sis emes
o mals"
;
exigin ,
pe o,
que
la
consis éncia
de als
sis emes
es
pogués
demos a
pe
mé odes
es ic amen
" ini a is",
al
a
di
cons uc i s
.
Pe oes
comp o a,
his b icamen
si
més
no,
que
a mesu a
que
un
sis ema
o mal
o mali za
egions
més
amples
de
la
ma emá ica,
més
lluny
es em
de
pode
demos a
cons uc i amen
la se a
consis éncia
.
I,
així,
la
consis éncia
duna
eo ia
de
conjun s
o mal
no
s'ha
demos a
de
cap
mane a,
men e
que
la
consis éncia
de
la
"a i mcl ica
clássica
no
s'ha
demos a
cons uc i amen
( egi's
[1])
.
Aixó
a
pensa
que
pe
a
onamen a
1'a i mc ica
UD
de
mane a
"cons uc i amen
consis en "
po se cal ce ca
o malismes
que
no
siguin,
en el sen i écnic
del e me,
sis emes
o mals
.
Aixó
és el
que
s'ha
in en a
a
[71,
on
es
desc iu
un o -
malisme
"obe "
o
" ecu siu"
pe
a la
classe
R'
de
les
uncionsUD
.
Aqui
p esen a em
aques
o malisme,
amb alguna
millo a,
i
desp ésdona em
alguna
indicació
de
com
pensem
que
es
po
usa
pe
desen o
.lupa
1'analis UD
.
4'
.2
.
El o malisme
.
P esen a em
el o malisme
c in
una
ca ego ice
de
sis-
emes
o mals
.
Aixó no
ol
di
de
cal)
mane a
que ens
hágim
de
basa
en la
eo ia
de
ca ego ies
;
és,
an sols,
que
el
llengua ge
ca egó ic
és
escaien
al ema
.
Els
objec es
de
la
ca ego ia
se an,
doncs,
sis emes
o mals,
que
anomena em
"segmen s"
del
o malisme
.
La
consis éncia
de cada un
d'aques s
segmen s
es
demos a ácons uc i amen
(cosa
que
o
en a
en
conElic eamb
cap
in (
.
: p e ació
de
cap
eo ema
de
códel,
ja
que
cada
segmen
només
con-
ind á
o
o mali za á
un os
pe i
de
1'a i mé ic
;)
.
To s
els
segmen s
ind an
el
ma eix
llengua ge
;
és
a
di que
de ini em
els
signes
del
llen-
gua ge,
els
e mes
i
les
ó mules
de
la
ma eixa
mane ape
o s
els
seg-
men s
.
'~es
egles
d'i e éncia
se an
ambé
les
ma eixes
.
De e
la
lógica
de
cada
segmen
se a el cálcul
p oposicional,
que
p esen a em,
pe ó, sense
e
ús
dels signes
de
conjunció
i
d'implicació
.
Hi
hau á
una
col
"
lecció
de
d mules,
cons i uida
pe
els
"pos ula s
inicials",
que
se an
pos ula s
de
o s
el
.3
segmen s,
i
que
no
se an
al es
que
els que ens
dona an
les
p o-
pie a s
de
la
igual a
.
Pe o
cada segmen ,
lle a
iel
"segmen
inicial",
ind á,
de
més,
al e
:c
pos ula s
.
Les
condicions
que ens
de ini an,
ecu -
si amen ,
o s
els
segmen s,
se an
els
"p incipis"
del
o malisme
.
Demos-
42
a em,
al
ma eix
emps
que
la
consis éncia,
1'impo an
me a eo ema
de
"minimali zació"
.
Disposa em
dels
en e s
no
nega ius
pe
a
comp a ,
indexa ,
o
qualse ol
al e
ús
cons uc iu
que ens con ingui
;
i
usa em
les
p ime es
lle es
de
1'al abe ,
en
minúscules,
com
a
signes
auxilia s
pe
a
ep esen a -los
.Els
signes
1,
2,
3,
. .
.
no
se an
pa
del
llengua ge
del
o malisme
.
4 .2
.1
.
:
:ls
signes
del
llengua ge
.
Són
:
0, S, E, M, _,

(negació),
V
(disjunció),
els
pa en esis
(9
.
les
se es a ian s),
la
coma,
les
" a ia-
bles"
i
els
"ope ado a"
;
i
a a passem
a
din
quina
són
aques s
úl ims
sig
nes
.
Podem
usa
com
a
a
iables
els
memb es
de
qualse ol
llis a
in ini a
de
signes
;
pe o
de
e
no
ind em
ocasió
d'usa
les
a iables
d'al a
mane a
que
ep esen ades
pe
signes
auxilia s
.
Pe
a
cada
en e
posi iu
n
hem
de
eni
una
llis a in ini ade
signes,
que
se an
els
ope ado a
de
g au
n
.
Con enim
en
que
S
és
un
ope ado
de
g au
1
.
Cap
dels
al es
signesque en-
cap9alen
la
llis ade sienes
del
llengua ge,
ni
cap
a iable,
no
són
ope a-
do a
.
E`s
con enien ,
pe o
no
indispensable,
que
inguem
+
i"
en e
els
ope ado s
de
g au
2
.
Usa em
les
úl imeslle es
de 1'al abe ,en
minúscules,indexades
.
o
no,
com
a
signes
auxilia s
pe
a
ep esen a
a iables
.
Q'zan
en un
ma eix
con-
ex
apa eguin
lle es
di e en s
com
a
ep esen an s
3e
a iables,
c
:on in-
d em
en
que
ep esen en
a iables
di e en s
.
Usa em
las
lle es
minúscules
sob e- a l
.iades,
indexadas
ono,
pe
a
ep esen a
ope ado a
.
4
.2 .2
.
Els
e mes
.
Abans
de
de ini --los
diguem
que les
lle es
minúscu-
les
sub a llades,indexades
o
no,
ep esen a an
e mes
.
De inim
:
1) 0
és
un
enme
;
2)
cada
a iable
és
un
e me
;
3)
si
és un ope ado
de
g au
n,
i
si
b1_
_bn
són
e mes
qualsse ol,
alesho es
les
exp essioüs
(b
E (b
1

b
n-1
)
i
M (b1,
.
.
.,bn-l)
són
*,
=e mes
(si n és 1,
s'en én
que hem
de
posa
El
j
.
Mi en lloc dels
dos
úl ims e mesan e io s)
;
4)
les ao
:is
an e-
in odui
la
suma en
no ació
uncional
.
Segons
les
obse acions
de
4
.2
.9,
+(x,y)
E
U(x,y)
i
é
la
p opie a
UF
+(b,0)=b

1
semp e
que
b,
c E
N-
u
U F
+(b,S(c)=S(+(b,c))
No amen ,
com
que
0
E
NU
(x)

i
+(z,x)
E
N
u
(x,y,z),
si
"
és
ope ado
de
g au
2
podem
pos ula
F
-~
0=d
V
"
(b,0)=0
F -
+(
.(b,c),b)=d
V
"
(b,
S(c))=d
e c
i
així
ob enim
un
segmen
V
en el qual
ja
enim
la
suma
i
el
p oduc e
.
Podem
ana eng andi
.n
aques
segmen
.
Si
p
ep esen a
un
ope ado
de
g au
1
di e en
de S
és
acil
eu e
que
PR
.2
ens
pe me
d'a egi
els pos u-
la s
i
ob eni
un
segmen
úen
el qual
ind em
ambé
la
unció
p edecesso
p,
que
sa is a
5 0
W
1-
p(0)=0
W
-
p(S(b))=b
V
-i
0=d
p(0)=d
F
-ib=d
V
p(S(b))=d
e c
semp e
que
b(-
NW
(També enim,
és
cla ,
que els
e
:o emes
de
U
són
eo emes
de V,
i
que
aques s
ho
són
de
W)
.
Pe o en lloc
de
e
aques a
úl ima
pos ulacióhau iem
pogu
pos ula ,
pe
exemple,
si h
és un
ope ado
de
g au
1
di e en
de S,
1-
-~
0=d
V
h
(0)
=d
F
-i
S(0)=d
V
h(b)_=d
e c
i
hau iem
ob ingu ,
en lloc
de W,
un
segmen
W'
.

També,
al
comenga
a
pa i
de
I,
hau iem
pogu escolli
-
en lloc de
+
i
pos ula
F

b=d
V
-(b,0)=d
F-

S(-(b,c))=d
-(b,S(c))=d
e c
i
hau iem
ob ingu
un
segmen
V'
en el qual
la
unció
suma es
deno a ia
pe
"
.
Aques s
exemples
senzills ja
sugge eixen
p ou
bé
una de inició
de
"mo -
isme"
.
Conside em
un
segmen
U
que
hagi
es a
ob ingu
mi jangan
un
se-
gui
de
pos ulacions
U U U
U

U U
P
l
,
Ql
,
P 2
.
Q2
i. .
.
P
,
Q
Suposem
que
cada
pos ulació
Pi
s'ha
e
d'aco d
amb
PR
.2,
i
que
la
co es-
ponen
QU ha
es a
e a
d'aco d
amb
PR
.2
;
pe ó
adme em
la
possibili a que
i
aques a
Qi
sigui inexis en
.
En cada
pa ella
de
pos ulacions
Pi
,
Qi hi
in-
e enen
1'en e
n,
1'ope ado
, els
e mes
i
s,
els
en e a
p
i
q
i
els
e mes
h
.,
k
j i

de
PR
.2
i
PR
.3,
que
aqui
ep esen a em
pe
n
i
,

i
U
,
U,
-
2
.
S
u
,
p
U

q
U
,
h U

kU

i

(pe o
aques s
úl ima,
a
pa i
de
pu
,
i

i


J.
.j

-
1

j

i
.j

i
poden
no
es a
de ini s,
si la
pos ulació
QU
és
inexis en )
.
Conside em
un
al e
segmen
V,
dona
pe
les
pos ulacions
P
l
Ql
.
.
.
.,
Pu
,
Q u
i
i
usem
la
no ació analoga
.
Conside em
una
aplicació
my
de
la
unió
de
la
col
lecció
de e mes
i la
de
ó mules,
que
apliqui
e mes
en
e mes
i
ó mules
en ó mules
.
Di em
que
mÚ
és
un
io isme
de
U
en
Vsi
es
sa is an
les
condiciona següen s
:
M
.1
.
Pe
qualsse ol
e mes
b i
c,
in
~(b=c)
=
mú(b)=mV-(c)
mÚ(-,b=c)
_
-IRÚ(b)=cn-(c)
eix,
que
deixa
ix
S
i
aplicaope ado s
de
g au
n
en
ope ado s
de
g au
n,
i
al
que,
pe
cada
e me
b,
m (b)
és el
esul a
de
subs i ui
cada ope a-
do
que
apa eix
a
b
pe
1'ope ado
que
aques a
aplicació
li
associa
.
M
.4
.
Exis eixen
j(1)<
j(2)
<
. .
.<
j
( )
<
u
als
que
Q7
(i)
és
exis en
sem-
p e
que
Qi ho és
i
que,
excep e
pe
un
possiblecan i
de
a iables,es
sa-
is an
les
condicions
p enem
com
aplicació
m
de M
.3
la
que
po a
"
en
+,
+
en
"i
deixa
o s
els
al es
ope ado s
ixos
.
jun
de
e mes
i
ó mules
en
ell ma eix
és
un
mo isme
de Y
en
X
.
En
aques
cas
posa em
Y<
X
.
no,
un
mo isme
de U
en
V
.
Si mÚ és un
mo isme
i
U
F
A,
alesho es
V F
m (A)
.

_
Dona s
Ui
V
podem
cons ui
W
pe
al qual hi hagi
mo ismes
mÚ
i
mV
.
De
e ,
podem
cons ui
W
pos e io
a
ü
.
4 .3
.
El
pun
eble
del
o malisme
.
Pensem
en un
o malisme,
que
anomena-
em
o malisme
-*,
en
el
que,
a
més
dels
p incipis
PR
.1,2
i
3
an e io s,
inguéssim
el
p incipi
5 2
M
.2
.
Pe
qualsse ol
ó mules
quasia ómiques
A
1
, .
.
.,A
n
,
m5(A
1
V
. .
.V
A
n
)
=
MV5(A
1
)
V
. .
.V
M-(A
n
)
M
.3
.
Hi ha
una
aplicacióinjec i a
m
del
conjun
d'ope ado s
en
ell
ma-
n~
a
nV

,
m( u)
a
V

,
m-(
.)
=
~

,
m (S
.)
=
s
.
i
j(i)
i
3
(i)

U
a

-3
(i)

U

1

--J
(i)

,
Pi
_-
p
j(i)
'
qi
=_
q
j(i)

mp(~
.j)

hj
ml
(
-1
.j
)
-
~
(i)
1j
.
m
(9,
l
.j
)
-Ii
(i)
'j
Re e in -nos
als
exemples
an e io s,
ind em
un
mo isme
de
V" en
V
si
Di em
que
un
segmen
X és
pos e io
a
Y
si
1'aplicació
idén ica
del
con-
Obse acions
.
Es
comp o en ácilmen
les
següen s
:
Dona s
ÚiV,
es
po comp o e
en un
nomb e
ini
de
passos
si
hi
ha,
o
PR*
.
Si U
és
un
segmen ,
i si
i
g
són
ope ado s
de
g au
n+1
als
que
pe
cada
col
,
lecció
de
nume als
bl
_
_b
n ,c, es
compleix
U
l-
(1?1

bn,c)=g(bl

.
.,bn,c)
;
alesho es
ambé
és
un
segmen
el
sis ema
o mal
que
s'ob é
d'a egi
a U
1'esquema
selüen
de
pos ula s,
pe
qualsse ol
nume als
bl
,
.
.
.,bn
:
F
E (b
l
__b
n)=Eg(bl,
.
.
.,bn)
És
cla
que
aques
o malismo-*
se ia
més
sa is ac o i,
si no
os
po que
no
hem
es a
capagos
de
demos a
cons uc i amen
la
se a
consis éncia
.
Po se aques acás no
és
a ibuible
exclussi amen
a
manca
d'habili a
.
Aques a
possibili a
es
sugge eix
en obse a
que
el
o malismo-*
unciona,
pe
aixi
di -ho,
massa
bé,
en el
sen i
que
dóna la
imp essió
de
pe me e
cons ui
un
model
de
1'a i me ica
clássica
(segons
[13,
pe
exemple)
;
i
si
aques a
imp essió
os
jus _ icada
i es
pogués
demos a
cons uc i amen
la
consis énciadel
o malismo-*
es
ind ia,
de
e op,
una
demos ació
cons-
de
la
consis éncia,
uc i aAde
1'a i me ica
clássica
.
No
in en a em
a a
d'ap o ondi
en
aques-
a
ques ió
.
Només
n'hem
pa ala
pe
explica
la
enúncia
a
1'in en d'in-
clou e
PR*
en el
o malisme
.
El
no
disposa
de
PR*
en
el
o malisme
impli-
ca
cla amen una debili a del ma eix
que,
segons
eu em
a
con inuació,ens
obliga
a
onca
un cos um
a ela
pe o
que po se
no
ha
d'impedi
un
bon
desen olupamen
de
1'analisi
.
4
.4
.
Sob e
el
desen olupamen
de
1'ana
lisi
mi jangan
el
o malisme
.
No-
més
ac a em
d'algun
pun delica ,
pe
a
il
"
lus a les
di icul a s
que
es
oben
.
El
que hem
de
e
és
u ili za
el o malisme
de
mane a
cons uc i-
a
.
Aixo
és
el
que
es
a
quan
es
ol
desen olupa
una
eo ia
ma emá ica
en
base
a
un
sis ema
o mal
.
En el nos e
cas enim,
en lloc d'un
sis ema
o -
mal,
una ca ego ia
de sis emes
o mals
.
No
hem
oba una
mane a
de
ac-
a
amb di e en s
segmen s
simul ániamen
.
Si
ens
in e essen
els
segmen s
9
¡V,
no
enimal a
mane a
de
ac a -los
alho a
que
mi jangan
mo is-
mes
mi
i
mV
que ens els
englobin
en un
al e
segmen
W
.
Ja
hem
obse a
que
podem
conside a
W
pos e io
a U o a V
.
No
cal di
que
aques
p ocedi-
men
és
mol
comú en
ma emá iques
;
és
el
que
es
segueix
quan es
. an
can is
de
con ex
o
de
no ació
.
Així,
doncs,
eballa em
semp een
un
segmen
que
podem
ana
eng andin
d'aco d
amb
PR
.2
i
PR
.3
.
Ens
con ind á,
pe o,
que
qualse ol
segmen
en el
que eballem
sigui
pos e io
a
un
ce
segmen ,
que
anomena em
"básic",
i
que a a
-
de ini em
.
A
pa i
del
segmen inicial
I
in oduim,
successi amen ,
al com
ho
hem
e
a4
.2
.10,
els
pos ula sin-
dispensablespe
a
in odui les
uncions
+(x,y),
.(x,y) i
p(x),
aques a
úl ima, eco dem-ho,
amb
la
p opie a
F-
p(0)=0
-
p(S(b))=b
pe
cada
nume al
b
P enem
a a,
en
PR
.2,
ex,
s=p(z),
==
i
a egim
al
segmen
els
pos ula s
(I)-(VII),
que an que
2
(a,0)=a
1
pe
nume als
a, b
4(a,S(b))=P(=(a,b))
De
mane a
semblan
a egimenca a
els
pos ula s
que
in odueixen
a(x)
i
b(x)
amb
les
p opie a s
a
(0)=0
~(
pe qualse ol
nume al
_b
(a(S(b))=S
(0)
J
b(0)=S(0)
pe qualse ol
nume al
_b
F
£(S(b))=0
~
El
segmen
que
enim
a a
és el
segmen
básic
.
Qualse ol
segmen
que
con-
side em
se a
pos e io
a
ell
.
Usa em
les
exp essiona
auxilia s
b+c,
b
.c,
e c
pe
a
ep esen a
e mes
o
o mules
segons
les
con encions
seguen s
:
b+c
a
+(b,c)
bc
= b
"
c
a
"
(b,c)
54
b=c
=(b,c)
b-c~
=
(b=c)+(c=b)
b£c
=
b=c=0
b<c
=
S(b)6c
Sup imi em
pa én esis
de
la
mane a
habi ual
.
Aques
segmen
básiccon é
una
pe i a
pa de
1'a i mé ica
ecu si a
.
A
o
141
es
poden
oba
les
demos acions
de
les
p opie a s
de
les
un-
cions
i
elacions
an e io s,
que
són
ácilmen
adap ablesal
o malisme
.
Fem
una
con enció
sob e
la
no ació
.
Suposem
que
es em
conside an
un
segmen U
.
Com
que
només
hem
de
conside a
segmen s
U',U",
. .
.
als
que
i
com
que,
en
aques
cas,
U-<
.U'-CU-L
. .
.,
U
1--
A
implica
U'
1-
A,
U'
F
A
implica
U"
1-
A,
e c
b
E
N

implica
b
E
N~,

,

b
E
N~,

implica
bE
N~
.,

,
e c
b
E
N~(xl,
.
.
.,xn)

implica
b
E
N5,(xl,
.
.
.,xn),
e c
podem
sup imi
la
no ació
del
segmen
da an
del
signe
H
,
i
ambé
com
a
índex,
i
esc iu e
simplemen
1-
A
,
bEN
,
bEN(xl,
.
.
.,xn)
pe
a
indica
que,
pe
el
segmen V
que
es iguem
conside an
en un
momen
dona
es
compleix
Vb A
,
b
E
NV

ob
&%(x
1
,..
.
.x
n
) .
Di em
que
una
e na
de
e mes,
deno ada
b-c/d,és un acional
si
bEN,
c
E
N,
d
EN
i
b
-l
d=0
.
En aques
cas
esc iu emb-c/d
EQ
.
Di em
queuna
e na
b-c/d
és
una
unció
accioná ia
de
x
l
,..
.,x
n
si
b
E
N(xl,
. .
.,xn),
c
E
N(xl,
.
.
.,xn)

i
d
6
N(xl,
...
.xn)
.
En
aques
cas
esc iu em
b-c/d
E
Q'(x1,
. . .
.xn)
.
Adme em
el
casn=0
;
de
mane a
que
b-c/d
E
Q'
oldi
que
bEN,
CEN
i
dEN
.
A
con inuació
in odui em
ce es
exp essions
auxilia s
pe
a
ep esen a
e mes
i
ó mules
.

Si
b-c/d
E
Q'(xl,
.
.
.
.
xn
)

i
-2/h
C-
Q'(x1,
.
. .
.xn)
:
(b-c/d)=( -S/h)
e
(bh+ d)-(ch+gdd)/(dh)
(b-c/d) ( -g/h)
_
(b-c/d) ( -g/h)
=
(b +cLc)-(bbl+
,
- )/(dh)
-
(b-c/d)
=
c-b/d
(b-c/d)
-l
=
(d(á(b-c)))-(d(á(c=b)))/Ib-cI
(b-c/d)-
( -q/h)
_
(b-c/d)+(-( - ~/h))
Si
b-c/d
E
Q
i
-g/h
E
Q
(b-c/d)==
bh+cd=ch+d
(b-c/d)G( -g/h)
_
(bh+gdd)E(ch+ d)
(b-c/d)«
-g/h)
z
(bh+gd)<(ch+ d)
Donem
pe
demos ades
les
p opie a s
de
les
ope acions
i
elaciona
an e-
io s,
i
la de
1'in e s
mul iplica iu
d'un
acionalno
nul
.
Conside em
a a
una
e na
de unciona
de x, b, c
i
d
.
In oduim1'exp es-
sió
auxilia
F(x)
i
con enim,
pe
cada
enme
,
en
que
F( )
_
(bl(x, ))-(c
l
(x, ))/(dl(x, ))
Suposem
a a
que
F
és
una
successió
de
acionals
,
és
a
din
que
1-
,
d
`(x,a)=0,
pe
cada
nume al
a
Adme em
la
següen
de inició
:
De ini
ció
.
Si F(x) és
una successió
de
acionals
i
enim
un
e me
m
E
N
(x)

al
que
(1)

1-
IF(mi(x,n))-F'((m~(x,n))+ )I-C(S(0)-0/S(n))
pe
cada
nume al
n
i
cada
nume al
,
alesho es
di em
que
F(x)
és un
succes-
sió
de Cauchy
.
Suposem
que
F(x)
és
(le
Cauchy
.
D'aco d
amb
les
de'-inicions
ob ind em
un
e me
,
unció
de
x, y,
z,
al que
la
o mula
(1)
és
(2)

'I-
I(x,n)I(y,ml(x,n))U
Z, )=0,
pe
qualsse ol
nume als
n,
.
Conside em
la
unció S(0)=
.'In oduim
pos ula s
nous
que
acin,
pe
un
ce
ope ado
g i
qualsse ol
nume als
kl
,
k
2
,
k
3
,
que
56
F
g(k
l
,k
2
,k
3
)=S
(0)= I(x,k1)'(Y
.k2)'(z,k3)
Alesho es
(1)
se á
equi alen
a
(4)

F
g(n,mi(x,n), )=0,
pe
qualsse ol nume als
n,
.
Pos ulem,
d'aco d
amb
PR
.3,
(5)

j-
-~
n=b
1 y

mI(x,n)=b
2
V
Eg(b
1 ,b 2
)=0,
pe
qualsse ol
nume als
b
l1
112
i
n
.
Com
que
pe
cada
n
podem
oba
nume als
c,
als
que
(5')

H m
1(x,n)=c
l
V
.
.
.V
m
1(x,n)=c
,
podem
dedui ,
pe
cada
nume al
n,
(6)

b
Eg(n,ml(x,n))=0
In oduin
pos ula s
nous
d'aco d
amb
PR
.2
ind em,
pe
un ce
ope a-
do
h,
(7)

F-
h(k
1
,k
2
)=Eg(k
1
,k
2
),
pe
qualsse ol
nume als
k
l
,
k 2
.
Pe
an ,
usan
(6),
podem
in e i
(8)

F
h(n,ml(x,n))=0
pe
cada
nume al
n
U ili zan
(5')
i
el
pos ula
(IV)
(pe
h)
ind em
(9)

H
EE(n)=S(0)
pe
cada
nume al
n
Finalmen ,
si,
pe
no es
pos ulacions,
enim
(10)

F
k(k)=Eh(k)
pe
cada
nume al
k
ambé
ind em
(11)

F- -i
k(n)=0
pe
cada
nume al
n,
i
podem
alesho es, segons PR
.3,
in odui
pos ula s
que
acin
que
(12)

H
Ek=O
AiXI,
doncs,
si F(x)
és de Cauchy es
sa is á
(12)
.
P ocedim
a a
a
la
in e sa
.
Suposem
donada una
successió
de
acionals
F(x)
i
anem
in oduin , successi amen ,
pos ula s
que
acin
que
es
complei-
xin
(3),
(7)
i (10),
pe
ce s
ope ado s
g,
Suposem
que
alesho es
po-
den demos a
(12)
.
Pe
l'esquema
(IV)
(pe k) es
sa is a
lla o s
(11)
;
i,
5 7
segons
(10),
es
sa is a
(9)
.
Pe o
alesho es
ind em
(8')

F-
h{n,Mh(n))=0,
pe
cada
nume al
i
aixo
ol
di ,
pe
(7),
que
(6')

!-
Eg(n,MF(n))=0
pe
cada
nume al
que
signi ica,
pe
(IV),
que
(4')

H
-i
g(n,Mh(n), )=0
pe
qualsse ol
nume als
n
i
.
Finalmen , segons
(3),
(2')

F-
I(x,n)1(y,bíh(n))1(z, )=0
pe
qualsse ol
nume als
ne a
que
F(x)
és
de
Cauchy
.
n,
n,
Així,
doncs,
en
esum
:
si, a
pa i
d'una
succeisió
de
acionals
F(x),
in odu
m
uncions
g(>
:,y,z),
h(x,y)
i
k(x)
que
sa is an
(3),
(7)
i(10),
alesho es
F(x)
is de Cauchy
si
i
nomás
si
li-
Ek=O
.
A a bé,
les
in oduccions d'aques es uncions
es
:
poden
e
de mol es
ma-
ne es
.
Si
en
lloc
d'el
.les
in oduim
g'(x,y,z),
h'( ,y)
i
!'(x)
no
podem
a i ma
(pe que
no
diFposem
de
PR*) que
les
ó mules
-1Ek=0
-4
E!'=0
i
-1
Ek'=0
Ek=0
siguin
eo emes
.
Aixo
ás,
les
ó mu
:
.es
Ek=0
i
E!'=0
no
s6n
equi alen e,
malg a
el
e que
H
Ek=0
si
i
nomás
:
;i
F-
Ek'=0
.
n
i , de
ma-
Di
duna
al a
ma e a, si
pensem
en la
ase
"F(x)
és de
Cauchy"
com
a
a i mac
.i
.ó
suscep ible
de
se e dade a
o
alsa,
aques a
ase
no
é
una
aducc
.ió
canónica
en
una
ó mula
(o
en
una
classe
d'equi alencia
de ó mu-
les)del
llengua ge
.
Una
si uació semblan
es
p esen a
quan s'ha
c .e
pa la
de successions de Cauchy
que
endeixen
a
ze o,
de la
noció
d'o d e
en e
successions
de
Cauchy,
e c
.
4
.5
.
Demos ació co
ns uc i
a
de
la
consis enci
a
i
del
me a eo ema
de
minimali zació
.
4
.5
.1
.
P elimina s
.
Supose
m
que
A
és
una
col-lecció
de
o mules
cons-
an o
.
Di em
que una
llis a
ini a
de
o mules,
A l
,
A
2
,
. .
5 8
is
una
deducció
a
pa i
de
A
si
cada memb e
A,
2
de la
llis a
sa is á
una
de
-
les
condiciona
seguen s
:
A-Ded
.l
.
A,
és
un
elemen
de
A
.
.
s
A-Ded
.2
.
A
.
és de
la
o ma
-i
b=c
c=b,
on
b
i c
eón
e mes
cons an e
.
A-Ded
.3
.
Hi
ha
algun
memb e
A
.
de
la
llis a,
an e io
a A,,
i
alguna
o mula
quasia ómica
cons an
B,
als
que
A,iA
.
V
B
.
A-Ded
.4
.
Hi
ha
memb es
Aj
i
Ak
de
la
llis a,
an e io s
a A
~i
,
i
alguna
o mula
a omica
cons an
b=c,
als
que
A
.
=
A
.
V
b=c
i
A
k
_
.
A
.
V
--ib=c
.
Al amen
di ,
una
al
llis aés
una
deducció
a
pa i de
A
si cada mem-
o e
de la
Mis a
pe any
a
A
o es
po
dedui de
memb es
an e io s
de la
llis a
segons
les
egles
R
.I
.l,
2
i
3
'
(en el
cae
de R
.I
.3,
A,
s'in e eix
de
dos
memb es
an e io s
;
en el
cae
de
R
.I .2
s'in e eixd'un
memo e
an e io
;
en el
cae
de
R
.I .1
pod iem
di
que
A,
s'in e eix
de
ze o
memb es
an e io s)
.
R
Si
una
o mula
C
és memo e
d'algunadeducció
a
pa i
de
A
di em
que
C
es
dedueix
de A,
i
esc iu em
A
b
C
Si
A
cons a
de
o s
ele
pos ula s
d'un
segmen
U
1'a i mació
an e io
coincideix
amo
1'a i mac
ó "C
és un
eo ema
de
U",
que,
com
ja
s'ha di ,
ambé
s'esc iu
U
1-
C
.
Pe
qualse ol
unció
1P
del
conjun
de
ó mules
cons an e
en el
conjun
esc iu emF(A)=V
o
F(A)=F
pe
indica ,
espec i amen ,
que
el
alo
de F
en
la
o mula
Aés Vo F
.
Una al dnció
F
és
una
alo ació
si
sa is á
les
condiciona
següen s
:
V
.1
.
F(b=c)
=
F(c=b),
pe
qualsse ol
e mes
cons an e
b
i
c
.
V
.2
.
V, si
F(~
b=c)
=F
F(b=c)

_

_

pe
qualsse ol
_b
i
_c
cons an e
F,
si
F(~
b-
-
c)
=
V~
V
.
3
.
Pe
qualsse ol
A
1
, .
.
.,A
n
quasia ómiques,
d=á
1
,
á2
, .
.
.
,
á =c-
al
que
cada
di,,
s'ob é
de
en
subs i ui
pe
c
.

una p esencia
de
-q
(i)
bpe
algun
j(i)
(de
1 a
)
.
Com que
A
és
Glosa
les
seguen s
o mules
pe anyen
a
A
:
Com
que
H
és
compa ible
amo
aques es
o mules
i
amo
les
iden i a sbási-
ques
ambéhau á
de
se
compa ible
a ib
6
6
3
(1)
~
(1)
V
~
Cj
(2)
-b7
(2)
V
_b

,
d
=a
V d

=c
-3
( -1) -
~
( -1)

-

-- -1
-
d
=c
V
d _1=c
-
-
-
,
d _1=c
V
á -2=c
-1
d
3
=c
V
d
2
=c
á
2
=c
V á
1
=~
Pe ó
=c
i
c
El
F
,
de
mane a
que c=c
pe any
aA
.¡
H(c=c)
s
V
.
Pe
an
H( _1
c)_V
.
Usan
a a
les
ó mules
següen s
anem
ob enin
H(
-2
=c)5V
,
. .
.,
H(d
l
=c)=V, aixo
és
H(d=c)=V
.
,
1
2
=c
á
l=
c
_'!13=c
Vá2=_c
De
mane a
semblan
mos em
que
H( =c)=V=H(c= )
Conside em
a a les
seguen s
ó mules
de
A
:
-C
.
=b
.
V
-~
d2

-
=
d1
=
-

(1)
~
(1)
-

-
Cj ( -1)
bj
( -1)
V

V
-1=
P ocedin com
abans
ob ind em
H(d= )=V
.
Di em
que
una alo aci6
és
A-
no mal
,
pe
una
A
ini a
Glosa,
si és
A-
dis ingida,
compa ible
amo
A
i
mínima
amo
aques es
p opie a s
(segons
1
,
o -
d e
pa cial
9
)
.
Una
alo acióA-dis ingida
i
compa ible
amo
A
se á A-no mal
si
i
només
si no
podem sup imi
cap
iden i a
básicasense
que
deixi
de
se

compa ible
amb
A
(o
bé
si no
hi
ha
cap
iden i a
básica)
.
A
con inuació
p ocedi em
ecu si amen
pe
a
e
el
segmen
:
donada
qualse olcol
"
lecció ini a
A
de
pos ula s
d'un
segmen
.
conside a emuna
col
"
lecció
ini a
B
de
pos ula sdel ma eix
segmen
que
se á
closa
i
con-
ind á
A
;
cons ui em
alesho es
o es
les
alo acions
B-no mals,
que
cons-
i ui an
una col
"
lecció ini ano buida,
i
eu em
que
cada
alo ació
com-
pa ible
amh
B
és compa ible
amb
o es
les
iden i a s
básiquesd'alguna
d'a-
ques es
alo acions
B-no mals
i és,
pe
an ,
pos e io
a
ella
;
i al
ma eix
emps demos a em
alguns al es e s
in e essan s
.
To
aixó
ens
pe me á
de
demos a
la
consis éncia
de
cada
segmen
i el
me a eo ema
de
minimali za-
ció
.
4 .5
.2
.
Les
demos acions
.
Conside em
qualse ol
segmen
U
.
Aques
seg-
men ,
obé és
el
segmen inicial
o
s'ha
d'ha e
ob ingu ,
a
pa i del
seg-
men
inicial,
pe
un
segui d'adjuncions
de
pos ula s,
d'aco d
amb
PR
.2
i
PR
.3
.
Cada
adjunció
ha
de e mina
un
segmen ,
de mane a
que
enim
una
suc-
cessió
de segmen s
U
O
,
Ul
, .
.
.
,
Un
al
que
U
0
és el
segmen
inicial,
U
n
és
U
i,
pe
cada i<n,
Ui+l s'ob éde
Ui
pe
adjunció
d'unsesquemes
de
pos ula s
(I)-(VII),
d'aco d
amb
PR
.2,
o
pe
adjunció
d'un
esquema
(VIII),
d'aco d
amb
PR
.3
.
Conside em
qualse ol
conjun
ini
A de
pos ula s
de U
.
A egim
a A
casos
de
E .P.I
.l,
2 i 3
ins
a
ob eni
una
col
"
lecció ini a
closa
B
que
con é
A
.
Rep esen em
la
col
,
leccióde
memb es
de B
que
són
pos ula s
de
U
i
pe
Bi
.
Es
cia
que
cada
B,
i
és
closa
.
Desc iu em
pe
cada
B
i
,
ecu si amen ,
la
col
"
lecció
de
alo acions
B
i
.-no mals,
al
ma eix
emps
que
ani em
demos an
les
a i macions
segmen s
:
a
.)
La
col-lecció
de
alo acions
Bi
-no malsés
ini a
i no
buida
.
i
b
i
)
Cada
alo ació
compa ible
amb
Bi
és
pos e io
á
una
de
les
alo a-
cions
B,-no mals
.
1
c
.)
Pe
qualse ol
ope ado
h de
g au
p+1
i
qualsse ol
nume als
b
l
,
. .
.,
i
bb
,
si
F(Eh(bl,
.
.
.,bb)=S(0))
=V
pe
cada
alo aci6
B
1
.-no mal
F,
alesho es
Mh(bl,
.
.
.,bn)
és un
U
1
.-nomb e
.
di
)
En
cap
de
les
iden i a s
básiques
de
cada
alo aci6
Bi
-no mal
no hi
apa eix
cap
ope ado
nou
pe
U
i
.
La
nos a
i-éssimahipó esi
d'inducci8
o
ecu si6
se a
que
es
sa is an
a
.),
bc
.)
i
d
i
)
pe
qualse ol
col
"
lecció ini a
closa
B
de
pos ula s
de
[l
.
Conside em
el
cas i=0
.
El
conjun
BO
és unió
duna
col
"
lecció
ini a
B0
de
casos
de E .P
.I .1
i
una
col
"
leccié
ini a
de
casos
de
E
.P .I
.2
i E
.P .I .3
.
La
única
alo aci6
B
O
-no mal
és
la
alo aci6
BO
-dis ingida
que
no
é
cap
iden i a
básica,
alo aci6
que al
V
en
o es
les
o mules
c=c
que pe a-
nyen
a B¿ i
al
F
en
o es
les
al es
o mules
a ómiques
.
Es
eu
ácilmen
que
es
sa is an
a_),
b_), c_),
d_)
.
U

U
-
V

V
Suposem
a a que
enimcons uida
la
col-lecci6
de
alo acions
B
i
.-no -
mals,
i
que
es
sa is an
ai
),
b
i
),
ci
),
d
i,)
.
Hem
de
desc iu e
les
alo a-
cions
B,+,
no mals
i
mos a
que
es
sa is an
les
condicions
análogues
.
Hi ha
dos
casos
.
P ime
cas
.
Si
Ui+1
s'
ob é
de Ui
pe
PR
.2
.
En
aques
cas
Ui+1 s'ob é
d'a egi
als
pos ula s
de
Ui
els
esquemes
(I)-(VII),
pe
uns
ce s
e mes
,s i
algun
ope ado
,
que
sa is an
les
condicions
de
PR
.2
(pe
U=U,)
.
Pensem,
pe
comenca ,
en
les
ope acions
de
les
dues
menes
següen s,
a
pa -
i
duna
alo aci6
Bi+l-dis ingida
G
:
d,
de inin així
una
no a
alo aci6Bi+l-dis ingida
G'
.
68
11
)
Si
,
j(x
i
,b)=d
(b1,
. .
.,bn,0)=d
és
un
cas
de
(I)
que
pe any
a
Bi+1'
Si
G( j(x
i ,b
i
)=d)=
V, i si
(bl,
. .
.,b l,0)
no es á
p esen
en
cap
de
les
iden i a sbásiques
de
G,
a egi
a
aques es
la
iden i a (b
l
,..
.,b
z_
)_
2á)
Si la
o mula
-,
2-1
(x
i
,bi)
1
(Y
.
c)
I
(z,
(b
l
,. .
.bn,c))=d
(b
l
,
.
. .
,bn ,S
(c))=d
és
un
cas
de
(II)
que
pe any
a
Bi+l,
si
G(sI(x
i
,bi)I(y,c)I(z, (b
l


b
n
,c))=d)
=
V
,
i
si
(b
l
,..
.
.
b
n
,S(c))
no
es á
p esen
en
cap
de
les
iden i a sbásiques
de
G,
a egi
(b
1


n
,S(c))=d
a
aques es
iden i a s,
ob enin
així
una
no a
alo ació
B
i+l-
dis ingida
G'
.
Conside em
a a
qualse ol alo acióB,-no mal
F
.
P enem
GeF
en
les
des-
i
c ipcions
de
les
ope acions
an e io s
i
e ec uem,
si
podem,
una
ope ació
de
qualse ol
d'aques es
dues menes,
ob enin
així
una
no a
alo ació
Bi+l
dis ingida
F'
.
P enem
a a,
en
les
desc ipcions
an e io s,
G=F' i
o nem
a
e ec ua ,
si
podem,
una
ope ació
duna
d'aques es
menes,
e c
.
Ob ind em
ai-
xí,
inalmen ,
quan
ja no
poguem
e ec ua
cap
d'aques es
ope acions,
una
alo ació
B
i+l
-
dis ingida
F1
,
que
é les
p opie a s
sequen s
:
F1 és
pos e-
io
a F
i
és
compa ible
wnb
o s
els
casos
de
(I)
i
(II)
que
pe anyen
a
Bi+l'
i
cada
alo aciópos e io
a F
que
és
compa ible
amb
o s
aques s
ca-
sos és
pos e io
a
F1
.
Aques es
obse acions
es
comp o en
ácilmen
(pod i-
em
eni
di icul a s
si
oblidéssim
alguns
de alls
als com,
pe
exemple,
que
pe
cap
alo ació
dis ingida
H
no és
possible
que
H(b=c)-_H(b=,c'
)=V
si
c
i
c'
són
nume als
di e en s)
Pensema a
en
les
ope acions
de
les
es
menes
seguen s,
a
pa i
duna
alo ació
Bi+l
dis ingida
G
:
3
1
)

Si
~
(1
1
,.
.
.
.
bn
,0)=0
V
M (b
l
,.
. .
.
b
n
)=0
és un
cas
de

(III)
0
que
pe -
any
a
Bi+l,
si
G( (b1,
.
.
.,bn,0)=V,
i si
M (b
l


bn
)
no
es
.T
p esen
en
cap
de
les
iden i a sbásiques
de
G,
a egi M (bl,
. .
.,bn)=0
a
aques es
iden i a s,
ob enin
així
una
no a
alo acióBi+l-dis ingida
G'
.
4
á)

Si
la
ó mula
(111
,..
.
.
b
n
O)=0
.

Q1
1
,....
b
n
O)=0
. .
.
V
(b
l
,
. . . .
bn,c)=0
V

-n (b1,
.
. .
.
bn
,S(c))=0
M (1 1
,..
. .
bn
)=S(c)
és
un
cas
de

(III)'
que
pe any
aBi+1' si
G( (b1,
.
. .
.
bn,S(c))=0)
_
,
G( (b1,
. .
.,bn
.0)=0)
a
.
.
.
=
G( (bl,
. .
.,bn,c)=0)
i
si M (b1,
. .
.,bn)
no
es á
.
p esen
en
cap
de
les
iden i a s
básiques
de
G,
a egi
M (b
l
,
. .
.
.
b
n
)=S(c)
a
aques es
iden i a s,
ob enin
aixi
una
no a
a-
lo ació
Bi+l
dis ingida
G'
.
5
1
)
Si
la
ó mula
7
0
F
-,
(b1,
.
.

bn,S(c))=0
. M (b
l
,..
.
.
b
n
)=S(c)
és
un
cas
de
(III)'
que
pe any
a
Bi+l,
si
G( (b1,
.
. .
.
bn
S(c))=0)

.
G( (b1,
.
.
.,bn,0)=0)
a
.
.
.
a
G( (bl,
.
.
.,bn,c)=0)
(11
..
.
.,bn,0)=0
(21,
.
.
.,bn,S(0))=0
y
. .
.y
(1
1
, .
.
. .
bn
,c)=0
G(M (b,,
. .
.
.
b_)=S(c))

a
F

,
-
1
-1l
i si d
és un
nume al
de la
llis a
0,
S(0),
. .
.,
c
al
que
(bl,
. .
.,bn,d)
no
es á
p esen
en
cap
de
les
iden i a s
básiques
de G,
a egi (b
l
,....
b
n
d)
a
aques es
iden i a s,
ob enin
així
una
no a
alo ació
Bi+l
dis ingida
G'
.
To nem
a a
a
conside a
qualse ol alo ació
Bi
-no mal
F, i
conside em
la
alo ació
F
1
que hem
ob ingu
abans
pe
ope acions
de
les
menes
1
1
)
i 2á)
.
E ec uem,
si
podem,
p enen
G=F
1
,
una
ope ació
de
les
menes
3á), 4á), 5á),
ob enin
així
una
no a
alo ació
Bi+l
dis ingida
Fi
;
p enem
a a
G=Fi
i
o -
nem,
si podem,
a
e ec ua
una
d'aques es
ope acions,
ob enin
una
al a
a-
lo ació
Bi+l-dis ingida
F1,
e c
;
ins
a
a iba
a
una
alo ació
F
2
pe
a la
qual
ja
no és
possible
(pe
G
:-:I
2
)
e ec ua
cap
ope ació
de
les
di esmenes
.
La
ope aciócompos a
que
ens
po a
a F
2
es
po
e ,
en
gene al,
de
mol es
ane es
di e en s
.
Conside em
o es
les
alo acions
que
es
poden
ob eni
a
pa i
de
F de
la
mane a
indicada,
que deno a em
F
2
.1'
F
2
.2'

.
.
.,
F
2
. '
Tind em
alesho es
que
cada
F
2,j
és
una
alo ació
B
i+l
-dis ingida
pos e io
aF
compa ible
amb
o s
els
casos
de
(I),
(11),
(111)
0
,
(111)',
(VI)
i
(VII)
que
pe anyen
aB
i+l
,
i
que
cada
alo ació
pos e io
a F
compa ible
ambels
di s
casos
és
pos e io
a
algunade
les
F
2,j'
Pensem
a a
en
les
ope acions
de
la
mena
següen ,
a
pa i
duna
alo a-
ció
Bi+l-dis ingida
G
:
6á)
Si
-n
(bl,
. .
.,bn,c)=0
V
E (bl,
. .
.,b)=S(0)
és
un
cas
de
(IV)
que
pe any
a
Bi l'
si
G( (bl,
.
.
.,bn,c)=0)=V,
i
si
E (bl,
.
.
.,bn)
no es á
p e-
sen
en
cap
de
les
iden i a s
básiques
de
G,
a egi a
aques es
iden i a s
la
ó mula
E (bl"
.
.,bn)=S(0),
ob enin
així
una
no a
alo ació
Bi+l-dis-
ingida
G'
.
Escollim
una
F
2,j
i
em,
pe
G=F
2,j,
una
ope acióde la
mena
6á),
si és
possible
;
amb
la
no aF',jaixí
ob inguda
o nema
e
una
ope ació
d'a-
2
ques a
mena,
e c,
ins
a
a iba
a
una
F
3,j
pe
a
la
qual
ja
no
es
po
e
cap
ope ació
d'aques a
mena
.
A
pa i
de
cada
F
2 .J
ob enim
aixi
una
sola
F
3,j
.
Tind em
alesho es
una
col-lecció
de alo acions,
F
3,l,
F3,2'
F
3,
,
que
enen
les
p opie a s
seguen s
:
Cada
F
3,j
és
una
alo ació
Bi+l
dis ingida
pos e io
a F
compa ible
amb
o s
els
casos
de
(I),
(II),
(III)
0
,
(III)',
(IV),
(VI)
i
(VII)
que
pe anyen
aB
i+l
;
i
cada
alo aciópos e io
a F i
compa ible
amb
aques s
casos
és
pos e io
a
algunade
les
F
3,j
-
Conside em,
pe
acaba ,
les
ope acions
de
lamena
següen ,
a pa i
d'u-
na
G
que
sigui
Bi+l-dis ingida
:
71)

Si
E (b
l
, .
. .
.
bn
)=0
V
E (b
l
, .
.
. .
b
n
)=S(0)
és un
cas
de

(V)
que
pe -
any
a
B
i+1'
i
si
E (bl,
. .
.,bn)
no
es á
p esen
en
cap
de
les
iden i a s
básiquesde G, a egi
a
aques es
la
iden i a ,E (b
l
,
.
.
.,
bn)=0
o
la
iden i-
a
E (bl,
. .
.,b)=S(0),
ob enin
així
una
no a
alo ació
B
i+l
-dis ingida
G'
.
Escollim
algunaF
3
,
j
,
em
GZF3,j
i
em,
si
podem,
una
ope ació
de
la
me-
na
7á)
;
amb
la
alo ació
així
ob inguda
o nem
a
e ,
si podem,
una
ope a-

ció
d'aques a
mena,
i
aixi
successi amen
ins
a iba
a
una alo acióamb
la qual
ja no
poguem
e
cap
ope ació
de la
mena
7á)
.
Com que
aques
segui
d'ope acions
es
po
e
de
mol es
mane es
di e en s
ub ind em,
a
pa i de
cada
F3,j,
una
col
"
lecció
de
alo acions,

F
3,j,1'

. .
.
.

F3,j,n(j)-
Can iem
de no ació,

designan
les
alo acions
F
3
1 1

,

. .

1

F
3, ,n( )

pe
El
4,1
'
.
. . '
F4, (F)'
Tind em
alesho es
:
cada
F
4
j
és
una alo ació
B
i+l
-
djs ingi
-
da
pos e io
a
F
compa ible
amb
Bi+l
;
cada
alo aciópos e io
a F
compa i-
ble
amb
Bi+l
es
pos e io
a
algunade
les
F4,j'
Can iem
no amen
la no ació,
i
designem
pe
G1
,
G
2
,
. .
.,
GW
els
elemen s
de
la
unió
de
les
col-leccions
{F4
1'
.
. .
.F4, (F)1,
pe
o es
les
alo acions
Bi+l-no mals
F
.
Es
comp o asensemassa
di icul a
que
les
G
i
són les
alo acionsBi+l-no mals,
i
.
que
es
sa is an
a
l+l
)'
b
i+l
)

i
d
i+l
)'
Comp o a em
a a
que
ambé
es
sa is a
c
i+l
).
Si
h és
,
les
condi-
cions
G
(E (b_
_b
)=S(0))
s V
(pe
cada
j)
signi iquen
que
no
hem ingu
_
:
_1
1
u

-
ocasióde
e
cap
ope ació
de la
mena
7a
)
(ja
que
en
cas
con a i
ind iem,
pe
algun
j,
que
G
.(E (b1,
.
.
.,b)=0)
a
V)
;
pe o
ambé
ol
di ,
alesho es,
J
-

-
Ze
hem
es a
obliga s
a
e
G
J
.(E (b1,
. .
.,bn)=S(0))
aV
pe
una
ope ació
de
-

-
la mena
6á),
pe
cada
j,
cosa
que
implica
que
hi
ha
algun
nume al
c,
al
que
Gj( (b1,
.
.
.
.
bn
,cj)=0)
=
V
.
Aixo implica,
segons
b
i+l
),
que
G( (b1,
. .
.,bn,c1)=0
V
.
.
.V
(b1,
.
.
.,bn,cw)=0)
a
V
pe
cada
G
compa ible
amb
B
i+l
i,
segons
el
lema
4
.5 .1
.1,
que
M (b
1
, .
. .
l
b
n
)
is
un U,
,
,-nomb e
.
Suposem
a a que
h
no
és ,
i
que
Gj(Eh(b1,
. .
.
.
bn)=S(0))
V
pe
cada
G
J
.
.
Conside em,
pe
cada
j,
la
alo ació
Bi
-no mal
F
a
la qual
-
G
j
és
pos e io
.
A i mem
que F(Eh(b
1


b
p
)=S(0))
a
V
.
E ec i amen ,
en
ana
de inin ,
a
pa i
de F,
mi janQan
ope acions
de
les
menes
l
a
)
-
7a
),
les
alo acions
que ens
po en inalmen
a G
J.,
no
can iem
el
alo
F(Eh(b1,
. .
.lbn)=S(0))
;
de
mane a
que,
com que
pe
cada
F
que
és
B
i
-no mal
7
2
hi
ha
una
G
.
pos e io
a
ella,
ind em
F(Eh(bl,
.
.
.,b)=S(0))
a
V
pe
cada
7

-
alo ació
B1
.-no mal
i,
pe
hipo esi
ecu si a,
Mh(bl,
.
.
.,bn) és
un
U
i
-nom-
b e
.
Pe o cada
U
i
-nomb e
és U,
+
,-nomb e
.
Així
s'acaba
la
demos ació
en
aques p ime
cas
.
Segon
cas
.
Si
Ui+l
s'ob é
de U
i
pe
PR
.3
.
Sense
pe d e
gene ali a ,
po-
sem
i+l
en lloc
de i
.
D'aques amane a
podem
ap o i a
la
discussió
del
p ime
cas
sense
can ia
de no ació,
si
suposem
que
els
segmen s
U i V
de
PR
.3
són
U
i
i U
i+1'
espec i amen
.
El
segmen
U
i+2
és el
que
s'ob é d'a e-
gi
a
Ui+l
1'esquema
(VIII)
:
H
-~
(h
l
k
l
)
~(z
i
,~)

V
.
.
.V

(hp
kp
)
j(z
i
,-)
~glj
(z i'
d
)-b1
V
.
.
.V
-~

I(z
i
,
d
)=bn
V
-~El
(b1__bn)=S(0)
amb
el supos
que hl,
.
.
.,hp,kl,
.
.
.,kp,~l,
.
.
.,~n
són
U
1
.- uncions-de
z l
,..
.,
z
q
i
que,
pe
qualsse olnume als
d
l
,..
.,dd
c,
(1)

U
i+l
1-
-1
(h
1
=k
1
)I(z
i
,d
i
)
V
. .
.

(hp
k
p
)
j(z
i
,di
)
V
'
(911bi,dd)
..
.
.
.an1(zi,d
Ii
),c)=o
la
nos a
asca, en
aques
segon
cas,
se á la de
sup imi
les
G
.
no com-
7
pa ibles
amb
B
i+2
.
Hau emde
eu e
que
les
omanen s
se an
les
Bi+2-no -
mals,
i
que
sa is a an
a
i+2
),
b
i+2
)
'
c
i+2
) i
d
i+2
)
.
Suposem
que
els
casos
de
(VIII)
que
pe anyen
a
B
i+2 són
(hlk
l
)I
(z
i
,

)
V
...
V
-,
(-
p -p
((zi,di)
,1ll(zi,dz)=bi
1/
.
.
.V
.~gnl(zi,di)=

V
-,E (bi,
.
.
.,b
)=S(0)
pe
jal,
.
.
. .
,
on
els
d,

i
b,

són
nume als
.
Les
alo acions
no
compa ibles
amb
B
i+2'
que hem
d'elimina ,
són les
G
k
que
sa is an,
pe
algun
j
:
(2)

Gk
(
(hlk
l
)

(zi
,d1)
.)
a
.
.
.
aGk
((-p
k~)
I
(z
i
,R))
a
G
k
(g
1
I
(z
i
,

)=bi)
.
.
.
a
Gk
(gn1(z
i
,~)=b)=
Gk(E (bi,
. .
.
.
b3)=S(0)
=
V
La
p ime a
cosa
que hem
.
d
e
eu e
és
que
no sup imim
d'aques a
mane a
o-
es
les
Gk
.
Usem,
pe
simpli ica ,
la
no ació
Suposem,
en
con a
del que
olemdemos a ,
que
cada
Gk
sa is a
(2)
pe
algun
j .
Suposem
alesho es,
amb
la
no ació
del p ime
cas,
que
Gk és
pos e io
a
F
3,
.
Obse em
que
Pensem
en o s
els
indexs
j
als
que
Si,
en el p océs
d'ob eni
Gk a
pa i
de
F3
,
haguéssim
ingu
opo uni-
a
de
e
alguna
ope ació
de la
mena
71)
en
elació
a
la
o mula
pe
cada un
d'aques s
j,
hau iem
pogu
cons ui una
alo ació
G
k,
al
que,
pe
cada un
d'aques s
j,
i,
pe
an ,
i
ind iem
alesho esuna alo ació
Bi+l-no mal
G
k,
que
no
sa is a ia
(2),
con ael
que
es em
suposan
.
Alxl,
doncs,
si
cada
Gk
sa is a
(2)
hi
ha
d'ha e ,
pe
cada
k,
un
índex
j(k)
que
sa is a
(2)
al que
i
pe
al
qual
no enim,
a
pa i
de
F3
,
ocasió
de
e
cap
ope ació
de
la
mena
7
1
)
ela i a
a la
o mula
j
(k)

j
(k)

j
(k)

j
(k)
El(b1,
.
.
.,b

)=0
V
E (b
l
,
.
.
.,bn

)=S(0)
,
i
aixo
ol di que
74
A
3
a
(h
=k
)i(z
.,d3), pe
lí<s,<p
S

-S -s

i
i
-A
P+

g '
(Zi'-dy,)-b '
Pe
l~ 6n
Gk
(~)
=
F3
W
)
pe
1-i<p+n
F
3,
W
)
= V
pe
1L--i
:lp+n
E (bi,
.
.
.,~)=0
V
E (bi,
.
.-
l
b
)=S(0)
Gk,(E (bi,
. .
.,b3)=0)
z_
V
Gk,(E (bi,
. .
.,b1)=S(0))
aF
F

(A~ (k)
)
=
V
pe
l*i<
.p+n
3,
-2

-
F3, (E (bi(k),
.
.
.,b(k))=S(0))
s
V
Pe ó
si
a a
pensem
en
la
alo ació
F2 de
la
qual
s'ob é
F
3,
pe una
ope ació
de la mena
6á),
eiem
que
alesho es
hem
de
eni
un
nume al
ck
al
que
F2, ( (bi(k)
.
. .
bn
(
i
k
)=0)
s
:
V
Obse em
que
F
3,
al
el
ma eix
que
F
2
en
la
o mula
an e io
.
Fem
Tenim,
doncs
:
Si cada
Gk
sa is á
(2)
pe
algun
j,
podem
oba ,
pe
cada
k,
un
índex
j(k) i
un
nume al
c
k
als
que
Aixo
úl im
ol di
que
(3)

G
k
(
Ai(
1
1)
V
A
.

V
.
.
.V
~(w))
-
V
,
pe
cada
k i
cada unció
i
de l1,
.
.
.
.
wi en
Si,
.
. .
.p+n+11
.
Gk
(
1
A
~(k))

s
:
V
pe
l*ií5p+n+l
Dona
que
les
Aj
(k)
són
ó mules
a omiques,
la hipó esi
d'inducció
ens
R
diu
alesho es
que
cada
alo ació
compa ible
amb
Bi+1
al
V
en
les
o mules
(3), i el
lema
4
.5 .1
.1
ens diu que
B
i+l
F
A
.(1)
V
. .
.
VAi(w)

Pe
cada
i
:il,
.
.
.,w}i l,
. .
.,p+n+1}
i,
pe
an ,
(4)

u

F

A
](l)
V
. .
.V
A7
y
.
(w)

pe
cada

.
. .
.p+n+l1
i+l
i(1)
-(w)
Reco dem ambé
que
(1)
implica,
pe
cada
k,
(5)

U
i+1
F
-,
A1
V
. .
.
V
~

V

(911
(zi,d

(k))

(z,,--l
(k)
),

)=0
-1

Ek
Tenim, doncs, en
esum, que
si
cada
Gk
sa is és
(2)
pe
algun
j, s
hau-
ien
de
sa is e
(4)
i
(5)
.
Pe o,
usan
alguns
casos
de E
.P .I
.3,
no
és
més
que
un
exe cici
el
mos a
que
de
(4)
i
(5)
es
dedueixen
Ui+1}
(bi(k)
.
. .
.b
;(k)Ek)=0
A a
bé,
aixo
no
és
possible
:
en
aques
cas
pod iem
oba una
col
"
lecció
ini a
closa
B
i+1
de
pos ula s
de
5i+l
de
la
qual
es
dedui ien
les
dues