Pub
.
Ma
.
UAB
N°
22
No
.
1980
Ac es
VII
JMHL
REDUCCION
DE
PROGRAMAS
SEMIINFINITOS
A
PROGRAMAS
FINITOS
M
.A
.
Gobe na,
M
.A
.
López
Ce dá,
J
.
Pas o
Dp o
.
d
e
Es adís ica
e In es igación
Ope a i a
Uni e sidad
de
Valencia
ABSTRAC
.-
Gi en
a semi-in ini e
P og amming
a
ini e
ep esen a ion
o
he
easible
duced
o
a
ini e
one,
wi h
all he
subsequen
ad an agés
.
We
s udy
mo e
in
de ail
he
linea
hods
which
allow
us o
ob ain
a
ini elinea
when
i is
possible
.
INTRODUCCION
Dado
el
p oblema
de
P og amación
Ma emá ica
:
cuando
S
el
al
Min
T
(x)
,

xe S
CRn
ecibe
en e
lineal)
que
co esponde
a T
ini o
.
El
conjun o
C,
sob e
el
que
es ánde inidas
es icciones,
se
llamaconjun osopo e
.
Pa ael
ciones
lineales,
se
oma á
C
=R
n
,
ep esen ándose
En lo
que
sigue
exclui emos
el
caso
i ial
P oblem,
i
we
can
ind
se ,
he
p oblem
is
e-
comp u a ional
case,
gi ing
me-
ep esen a ion,
iene
de inidoa
a és
de
in ini as
es icciones,
S = {x e
C/
(x)
<
0,
ET},

T
in ini o,
nomb e
de
P oblema
de
P og amaciónSemiin ini a
p oblema
ípico
de
P og amación
Fini a
(lineal
o
no
odas
las
caso
de
es ic-
(x)
--_
a x
- g
.
(PSI)
,
RELACIONES
CONSECUENTES
DE
UN
SISTEMALINEAL
Una
elación
lineal
a'x<
S
es
consecuen e
del
sis ema
{a
x<
o
,
e
T,
cuando
oda solución
de
es e
úl imo
sa is ace
aquella
desigualdad
.
La
ca ac e ización
de
las
elaciones
consecuen espe mi e
la
eliminación
de
es icciones
edundan es
.
En el caso
ini o,
al
ca ac e izacióncons i uye
el
conocidoTeo ema
de
Fa kas
.
En
el
casoin ini o
hemos
log ado
dicha
ca ac e ización
a
a és
de
una
condición
geomé ica
e e ida
al
cono
con exoK
c
gene ado
po
Po
cons ucción,
es
e iden e
que
K
c
depende
de
la ep e-
sen ación
de
S
.
Sin
emba go,
cualquie
o a
ep esen ación
de
S
iene
asociado
el
mismo
K
c
.
Se
p ueba
así
mismo
((3)
y
(6))
que
la
consis encia
del
sis ema
iene
de e minada
po
K
c
.
En
e ec o
:
También
el
cono
Kc
nos
ha
pe mi idoca ac e iza
los
sis-
emas
de
Fa kas-Minkowski
de
singula
ele ancia
en la
Ti de
la
Dualidad
en
PSI((4))
.
REPRESENTACION
FINITALINEAL
EQUIVALENTE
Mien as
que
R
2
odo
sis ema
lineal
homogéneo
admi e
una
ep esen ación
ini a
equi alen e,
se
puede
demos a ,
po
con-
aejemplo,
la
imposibilidad
de
e ec ua
al
educción
en gene
al
si
el
sis ema
es
no
homogéneo
o,
aún
siéndolo,
si se
consi-
de a
un
espacio
de
dimensión
supe io
.
Es
más,
incluso
en
el
caso
mencionado
en p ime
luga ,
la
ob ención
de un
mé odo
que
pe mi a
encon a
la
ep esen ación
ini a
equi alen e
no
es
nada
ácil
((5)
y
(6))
.
A
a és
del
conode
elaciones
consecuen es
podemos
así
266
{
(a
,Y
) ,
Y
'
S
,
E
T}
C
Rn+l
Con
mayo
p ecisión,
hemos
demos ado
((3)
y
(6))
que
:
a'x
<
S
es
consecuen e
de
{a x
<S
,
ET,
sí
y
sólo
sí
(a,s)
pe enece
a
la
clausu a
K
c
de
K
c
.
S,
;,
¿
(D
si y
sólo
sí
(~,-1)
j
í
Kc
.
mismo
ca ac e iza aquellossis emas
lineales
que
admi en
una
ep esen ación
ini a
:
El
sis ema
{a x
<B
,
e
T
admi e
una
ep esen ación
ini-
a
sí
y
sólo
sí
K
c
es un
cono
poliéd ico
((5)
y
(6))
.
El
esul ado
an e io
es
exis encial
y p ocedebusca
mé o-
dos
ope a i os
pa a
la
de e minación
de
la
ep esen ación
ini-
a,
cuando
exis e
.
Una
condición
su icien e
que
apo amos,
en
es adi ección,
es
la
siguien e
:
Si el
conjun o
{(a
,B
),
F
T},o
su
en ol u a
ce ado-
con exa,
P,
es
un
polí opo,
en onces
S
admi e
ep esen a-
ción ini a
.
La
condición
an e io
es
ácilmen e
e i icable
en
muchos
casos,
como
po
ejemplo
cuandoT
es
un
polí opode
R
m-
y
a
,
B
son
lineales
(en
muchos
p oblemas
eales
de
PSI,
T
es
un
in e -
alo
ce ado)
.
P oponemos
el
siguien emé odo
de
educción
:
Se
de e minan
(d
i ,di),
i=

é ices
y
di ecciones
de
las
a is as
in ini asde
P
.
En onces,
el
sis ema
ini o
dix
<d
i
,
i
=i,
.
. .
. ,
es
equi alen e
al
dado
.
En
el caso
pa icula
de
que
T,
o
su
en ol u a
ce ado-
con exa,
enga
dado
a
a és
de un
sis ema ini o
de
desigual-
dades
lineales,
puede
e ec ua se
la
educción
en
las
siguien es
dos
e apas
:
1.-
Aplicando
un
mé odo
de
desc ipción
comple a
se
ob en-
d an
los
é ices
y
di ecciones
ex emas
de
T
(o
de su
en ol u a
ce ado-con exa),
que
deno a emos
i
,
i=
1
..
.p
.
2
.-
El
sis ema
o iginal
se á
equi alen e
al
:
a
.x<<
B
.'
11
El
mé odo
de
educción
úl imo,
no supone
la
consis encia
del
sis ema
o iginal,
po
lo
que
puede
emplea se
como es
de
consis encia
pa aes e ipo
de
sis emain ini os
(mé odos
pa a
decidi
la
consis encia
de
un
sis ema
lineal ini opueden
en-
con a se
en
(1))
.
APORTACIONES
AL CASO
NO-LINEAL
Si la
amiliasde
unciones
,
FT,
es
aco adasupe io -
men e
en
odos
los
pun os
de C, se
puede
esc ibi ,
en
eo ía
:
des
:
S =
{x
e
C/sup
.
(x)
< 0
}
eT
Si
además,
el
sup emo
es
accesible
en odos
los
pun os,
se
puede
exp esa
.
S
=
{x
c
C/m
(x)
<O},donde
m
(x)
ep esen a
la
unciónmáximo
de
la
amilia
sob e
C
.
Es e
suges i o
a amien o
conlle a
di e en esdi icul a-
1
.-
Si bien
es
cie o
que
m(x)
conse a,
bajo
cie ascondicio-
nes,
la
cuasicon exidad,
la
con exidad
yla
con inuidad,
no
lo
es
.
menos
que
no
se
p ese e á
la
cuasicon exidad
explíci a
ni
la
di e enciabilidad,
siendoes a
úl ima
p opiedadespe-
cialmen e ele an e
en
P og amación
Ma emá ica
.
En
(2)
y
(5)
se
p ecisan
odas
es as
.cues iones,
apo ándose
ejemplos
en
losque
se
calib a
el
alcance
de
.es e
a amien o
.
-
En
cual
nnia
caco,

la
nh an~iñn
de
n(x)
es
comDu acionalmen
-
e
muy
compleja
(equi ale
a esol e in ini os
p oblemas
de
op imización,
sob e
T)
.
O a
ap oximación
posible
al
p oblema
nos
pe mi e
a i ma ,
bajo
condiciones
muy
gene ales,
la
exis encia
de
una
ep esen a-
ción
ini ade
S median e
una
unción
con exa
en
Rn
(y
po
lo
an o
con inua)
y
un
núme o
ini ode lineales
.
Con
exac i ud
:
sólo
se
equie e
de
las
unciones
que
sean
cuasicon exasy
semicon ínuas
in e io men e
.
Finalmen e,
pa ael caso
pa icula
de
que
T
sea
un
polie-
d o
de
R
m
,
y
las
unciones
sean
cuasicon exas
en
T, S
admi e
ambién
una
ep esen ación
ini a
que
in oluc aexclusi amen e
a
las
es iccionesco espondien es
a
los
é ices
de
T
.
Los
dos
úl imos
esul ados
se
encuen an
ambién
demos ados
en
(2)
y
(5)
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