Pub
.
Ma
.
UAB
N° 22
No
.
1980
Ac es
VII
JMHL
SISTEMAS
DE
INTERPOLACION
EN
R
2
.
M
.
Gasca,
V
.
Ramí ez
Dp o
.
de
Ecuaciones
Funcionales
Uni e sidad
de
G anada
We
s udy
he
posing
and
esolu ion
o
He mi e-Lag ange
in e pola ion
p oblems
in
R
2
,
by
ex ending
he
concep s
o
in-
e pola ion
sys em,
assócia ed
in e pola ion
space
and
se
o
associa ed
da a
whichwe e
in oduced
.
by
Gasca-Maez u
[1)
.
P incipally,
he
ex ension
.i
s
done
by
sus i u ing
he
polino-
mials
o
deg ee
one
(s aigh
lines)
which
o igina e
he
sys em
by
any
unc ions
(x,y),
p ese ing
he
same
simplici y
in
he
cons uc ion
by
ecu ence
o
he
in e pola iog
unc ion
ha
in
[1]
.
De inic
ión
1
Denominamos
sis ema
de
in e polación
en
R
2
al
siguien e
conjun o
(1)

S=~
i'

(u
ij
,

ij
o

a)~
ij
j=O
. .
.m(i)
i=0
. .
.n
donde
i)

i
,

ij
,
i
=O
. .
.n,

j
=O
. .
.m(i)

son
unciones
de
R
2
en
R
su icien emen e
egula es
.
ii)

u
ij

es un
pun o
de

R
2
 al
que

i
(u
ij
)
=
ij
(u
ij
)
=
0
i
ü)

aij
.
es
una
a iable
indicado ,
que
puede oma
los
alo es
ce o
6
uno,
siendo
aim(¡)=
1,
i=
0
.
.
.n
.
i )

i
iene
g adien edis in o
de
ce o
en
odo
u
hk
E
ES
al
26
1
De inición
2
Sea
S
un
sis ema
de
in e polación
en
R
2
y
(i,j)
un
pa
de
I'
.
En oncesno amos
po
, .
u,
si
j=í3
ij
=
el
núme o
de
unciones
io
.
.
. ij-1
nulas
en
u
ij
cuyog a-
dien e
en
u
ij
es
p opo cional
al de
i
,
si
j>
1
P
ij
donde
[x]
signi ica
pa e
en e a
de
x
.
conjun o
de
unciones
de
R
2
en
R
(3)

B
(S)
=
{sDi
26
2
que
i (u
hk
)
=
0,

a
hk
=
1
e
i
<
h
.
) ij
iene
g adien e
dis in o
de
ce o
en
cualquie
uikE
S
al
que
ij
(u
ik
)
=
0, a
ik
=
1,
j<
k
.
i)
Si
aij
=l,
en onces
i
¡
u
no
es
p opo cional
a
i
.
iJ
ij1
u
. .
iJ
No emos
po
(i,
j)

<

(h,
k)
p

ó
I
=
{
(i,
j)
E
Z+
x

Z
+
,

i
= 0
...
n,

j
=
0
. .
.
m(¡)
}
I'
_
{
(i,
j)
E
I

ales
que
a
ij
=
1
}
En
el
conjun o
I
conside amos
el
siguien e
o den
(
i<h
{
=h,
j<k
0,
si
j
=
0
el
n lme o
de
unciones
.

. .
.
.

1
nulas
en
u
i
,
cuyo
g a-
j-
j
dien e
en
u
ij
no es
p opo cional
al de
i
,
si
j
>
1
((
i

P
.
J

l
e¡
=
max

;

+

11 +
1 F

i
=0,
.
. .
n-1
(i,j)
E
I'
l

j

22
Denominamos
base
asociada
al
sis ema
S,
B(S),
al
siguien e
e

el-
1
(ij)
E
I'

-

{
o
0
.
. .
i-1

io
. .
. ij-1}(ij)
E
I
,
Po
B(S)
en ende emos
el
espacio
ec o ial
engend ado
po
las
unciones
de B(S)
De inición
3.-
Sea
S
un
sis ema
de
in e polación
en
R
2
,
y
sea
(i,j)
E
I',
en oncesno a emos
po
0,
si
¡=o
T
ij
=~la
sumade aquellos
eh
,
h
<i,

ales
que
h
(u
ij
)
= 0
y
(o
indica,como
es
habi ual,
g adien e
de
)
0,
si
¡=o
Pij =
~la
sumade aquellos
eh
,

h
<i,

ales
que
h
(u
ij
)
=
0
y
al
ec o
(-
aYi
,
ax
i
)
u
.
ij
a
. .

a
. .
al

ec o

(-

a
y
7

,

ax
,
)
u
.
ij
de
in e polación
en
R
2
dadoen
(1)
a
+
.

P
.

+p
.
donde

L
ij
( )
=

T
7

+ ]

i

+
13

ap ij
ijap
ij
pij
i1
ij

u
. .
Teo ema
1
.
h
l

es
p opo cionala
o il

,
si i
>1
ij

ij
h
l

no
es
p opo cional
a i
l
uiiJ

u1J
,
si
i>
1
a
.
a
.
Denominamos
conjun o
de
da os,L(S),
asociado
al
sis ema
L
(S)

_

{Lij
}
(i
j)
E
I
Sea
.
S
un
sis emade
in e polación
en
R
2
,
B(S)
la baseaso-
ciada
y
L(S)
el
conjun o
de
da os
asociados
a
S,
en onces
el
de-
e minan e
(1)

de

(L
ij
(~o
hk
)
)
(ij),

(hk)
E
I'
es
iangula
in e io
con
odos
los
elemen os
de
la
diagonal
p incipal
dis in os
de
ce o
.
Teo ema
2
.
No a
:
Los
elemen os
de B(S)
y
de
L(S)
los
conside amos
o denados, en
unción
de
sus
subindices
con
el
o -
den
es ablecido
en
(2)
Co ola io
I .-
Los
elemen os
de
B(S)
sonuna
basede
B(S)
y
las
o mas
lineales
{L
.
.}

son
linealmen e
independien es
so-
b e
B(S)

17
(ij)
E
11
Dado
un
sis ema
de
in e polación
S
y
una
unción
su icien-
emen e
egula
g,
el
p oblema
de
encon a
o a unción
w
E
B(S)
al
que
iene
una
única
solución
.
L
ij
( ,
P)
=
L
ij
(g)
.

Y
(ij)
E
I
,
Co ola io
II
.-
La
unción
~o
puede
calcula se
de o ma
i e ia i a
esol iendo
un
sis ema
iangula
in e io
de
de c=n
:
n
e
1,
I
BIBLIOGRAFIA
(1]
GASCA,M
.
-
MAEZTU,J
.I
.
"On
lag ange
and
He mi e
.in e pola ion
in
Rk
"
mandado
a
Nume ische
Ma hema ik,
(1980)
[2)MAEZTU,J
.I
.
"In e polación
deLag ange
y
He mi e
en
Rk
"
.
Tesis
doc o al
(G anada,
1979)
.