Pub
.
Ma
.
UAB
N° 22
No
.
1980
Ac es
VII
JMHL
SOBRE
LA
LEY
DE
LOS
GRANDESNUMEROS
PARA
LA
P-ESPERANZA
Y
SU
VA-
RIANZA
ASOCIADA
Ca losMa án
Bea
Dp o
.
d
e
Es adís ica
Colegio
Uni e si a io
de
Bu gos
ABSTRACT
:
We
p o e
he
law
o
he
la ge
numbe s
in
he
p h
mean
o he
keR
lIX-klpsign(X-M'11
= 0
)
om
la ge
numbe s,
making
use
o
he
ine-
ano he a icle
o
he
au ho ,
and
al-
laws o
he
la ge
numbe s
o he
p h
which
we
associa e
wi h
he
p-meanbe-
cause
o
i s
analogy
wi h
he
a iance)
.
p-mean
(solu ion
o
he
equa ion
in
he
co esponding
s ong
law
o
he
quali y
E
(IXI)
<MM/
,
p o ed
in
so
he
s ong
and he
(p+1)
h
mean
a iance(measu emen
o
dispe sión
INTRODUCCION
:
En
un
espacio
p obabilís ico

la
p-espe anza
de
una
a iable
X
(p+1)-in eg able,
siendo
p>O,
la
de inimos
en
p incipio
[6], en
e iden e
analogía
con
la
espe anza
ma emá ica,
como
la
cons an e
E (X)
que
p
e i ica
la
condición
de
mínimo
11X-Ep(X)Ilp+1

TER
IIX
-
kll
p+l
,
6
de
o ma
equi alen e,
como
la
cons an e
de e minada
po
la
p oyección
mé ica
de X
sob e
L
p+1
siendo
a la
a-álgeb a
i ial,
haciendo
uso
de
la
p o-
0

0
piedad
de
Tchebyche
que
los
espacios
L
poseen
si
>1
(Singe
[8])
.
La
a ianza
de
o den
p,
como
medida
de
dispe sión
asociada
a
la
p-espe anza,
la
de inimos
como
11X-E
p
(
X)JI
p
P
+
+1
1
.
La
ca ac e ización
de la
p-espe anza
como
única
cons an e
keR que
pa a
la
a iable
alea o ia
X
e i ica
la
ecuación
IX-kl
p
sign(X-k)
dV
= 0
,
nos
hacía
u iliza
al
p opiedad
como
nue ade i-
nición,
álida
ambién, aho a, pa a
a iables
p-in eg ables
.
En
los
abajos
[1]
y
[2]
se
demues a
la
ley
ue e
de
los
g an-
des
núme os
pa a
las
"m-medias"
y
"M-es imado es"
espec i amen e,
que
en-
globan
el
concep o
que
aquí
manejamos
de
p-espe anza
.
Así
mismo
se
es udia
el
p oblema
de
no malidad
asin ó ica
.
Es
el
p opósi o
de
es e
abajo
el es-
udio
de las
co espondien es
leyes
de
los
g andes
núme os
pa a
los
concep-
os
desc i os,
jus i icándolos
en
cie o
sen i
.d
o
como
medidas
de
cen aliza-
ción
y
dispe sión,
demos ándose
las
con e gencias
casi
segu o
y
en
media
de
las
p-espe anzas
y
a ianzas
de
o den
p
mues ales,
hacia
las
co espon-
dien es
eó icas
.
P-ESPERANZA
Y
VARIANZA
DE
ORDEN
P
MUESTRALES
Dada
una
mues a
alea o ia
simple
(X X
,
. .
.X
)
de
una
a iable
1
2 n
alea o ia
X,
conside emos
pa a cada
weSI
la
ealización
(X1(w),,X2(w),
.
.Xn(w))
de la
mues a,pa a,
a
con inuación,
halla
la
p-espe anza
de la
dis ibu-
ción
de
p obabilidades
que
a
cada
X
:(w)
i=1,2_
n

le
asocia
p obabilidad
1/n
:
debe
e i ica se
po
an o
que
pa a
cada
wc2
:
1/n[
E
IX
(w)-E
(X ,X
, .
.X
)(w)I p
sign
(X
(w)-E
(X
,X
,
.
.X
)(w))]
= 0
i=1
i
p
1 2
n

i
p
1 2
n
siendo
E
p
(X
1
,X2
_X
n
)(w) la
p-espe anza
de
dicha
dis ibución
pa a cada
wES2
.
Da emos
en
consecuencia
la
siguien e
de inición
.
De inición
.l .l
. :
Sea
-
(X
1
,X
2
_
Xn
)
una
mues a
alea o ia
simple de
una
a ia-
ble alea o ia
eal
X
en el
espacio

Llama emos
p-espe anzamües al
(de
amaño
n)
de X,
siendo
p>O,
a
la
a iable
alea o ia
E
(X
;X
, .
.X
)
de-
p 1
2
n
n
inidapo
:

E

(X
1
,X
2

n
_X
)(w) = h

-

1/n[
i
E 1
1Xi
()-hlpsign(X
i
(w)-h)]
= 0
p
De
o ma
ob ia
pódemos
de ini
aho a
la
medida
de
dispe sión
em-
pí ica
co espondien e,
que
e iden emen e
a
a
se
ambién
una
a iable
alea-
o ia
eal
.
De inición
.1
.2
. :
Llama emos
a ianza
de
o den
p
mues al
(de
amaño
n) de
una
a iable
X,
y
la
ep esen a emos
po
E
p
(X
1 ,X
2
_X
n),
a la
a iable
ale
o ia

E

(X,X_X)

=
1/n[iE
l
IX
i
-
E
p (X
1
,X
2
, .
.X
n
)Jp+1]siendo

(X1
,X
2
,
.
.X
n
)
P
1
2 n
una
mues a
alea o ia
simple de
X,
y
E
p
(X
1 ,X
2
,.
.Xn
)
la
p-espe anza
mues al
.
Cabe
menciona
el
esul ado
siguien e,
que
nos
pe mi i á
asegu-
a
la
con e gencia
en
media
de
o den
p
de
las
p-espe anzas
empí icas
a
pa -
i
de
la
casi
segu o
.
P oposición
.1
.3
.
:
Si
XEL
P
(2,Q,u)
(p>O),
la
p-espe anzamues al
es
equi-i n-
eg able
de
o den
p
(es o
es
:

u
;Á1 ~
(ñá

A
(E

(X
1 ,X 2
_X
n
)I
P
du
=
0

)
.
l

P
Demos ación
:
Pues oque
pa a
cada
wc2,
Ep(X
1
-
--x
)(w)
es
la
p-espe anza
de
una
a iable
con
dis ibución
uni o me
en
el
conjun o
[X1(w),
.
.
.Xn(w)],
u i-
lizando
la
desigualdad
E
(IXI)
<
KIWI

siendo
K
= 3
1/P
si
O<p<1
y K
:_
enidas
en [6],
podemos
esc ibi
:
IEp (X
1
,.
.Xn)(w)I P
<[E
p
(
IX
1
1
,1X
2
1
,
. .
.1X1
)(w)]
P
<
KP
[l/n(
i
E
1
1X
i
()
I
P
)1
y
en
consecuencia
pa a odo
AEa
:
1/P

<E
(IXI)
álida a a
odo
>O,
ob-
(
.2

)
si
1<p<-,
así
como
la
(E
p
(X)I
_
P

p

P
J(E
p(X
1
,X
2
_
Xn )(w)I P
du()
<
K
P
/n[
i
E
1
A
IX
i
(
w)I P
du(w)]
=
KP AIXIPdu
A

En
in,
pues oque XEL
P
,
si
(A)-~0,
enemos
como
p e endiamos
:
0
<
.SUR
A
JE
p(X
1
,X
2

.
.X
n
)1
Pdu
<
KP
A
IX1
P
du

0
Co ola io
.1 .4
.
:
Si
XEL
p
(2,a,u)
(p>O),
la
p-espe anza
mues al
e i ica
la
1
desigualdad
[IE
(X ,X
, .
.X
)([

<
Kllxl(

(siendo
K
la
cons an e
de e minada
en
p
1 2

n o
°

p
la
p oposición
an e io )
.
LEYES
DE
LOS
GRANDESNUMEROS
PARA
LA
P-ESPERANZA
Y
LA
VARIANZA
DE
ORDEN
P
El
siguien e
eo ema,
demos ado
en
[1]
y
[2]
cons i uye
la
ley
Fue e
de
los
g andes
núme os
pa a
la
p-espe anza
:
Teo ema
.2 .1
. :
Sea XEL
p
(2,a,u)
(p>O)
.
La
sucesión
de
p-espe anzas
mues ales
con e ge
casi segu o
hacia
la
p-espe anza
de
X
.
Demos ación
:
Sea
~
>O
.
Po
la
ley
ue e
de
los
g andes
núme os
se
dan
las
con e gencias
:
n
1/n[
E
IX .-E
(X)-JI
P
sign
i=1
i
p
1,/n[
i
1
1
IX
i
.-Ep
()+dpsign
=
(X
¡-E
(X)-I)1
c
.s
--
.
=
IX-E
(X)-~I
P
sign(X-E
(X)-1)du
(Xi-Ep(X)+g)]

c
.s .`
 IX-Ep(X)+CIpsign(X-E
P
p(X)+
;)du
P

P
siendo
el
p ime
lími e
posi i o
y
el
segundo
nega i o
po
de inición
de
p-espe anza
y
el
ca ác e
es ic amen e
dec ecien e
de
la
unción
de
acR
:
(D
X
(a)
=
IX-al
p
sign(X-a)du
.
En
consecuencia
ob enemos
la
exis encia
de un
N a
pa i
del
cual

l/n[E
IX
-E
(X)-RI
P
sign(X-E
(X)-
~)]
>
0
>
o

i=1
i
p

i
p
>
l/n[
i
n
E1
IX
i
-E
p
(X)+1IP
sign(X
i
-Ep
(X)+1)]
(ambas
desigualdades
casi
segu o)
y
po
an o
que

d
n > No
E
P(X1 ,X2
,..
X
n
)
E(E
P
(X)-1,E
P
(X)+0

casi

segu o,
con
lo
que
la
con e gencia
queda
asegu ada
.
Co ola io
.2 .2
. :
La
con e gencia
exp esada
en
el
eo ema
an e io
ambién
se
dá en
media
de
o den
p
.
Demos ación
:
Po
la
p oposición
1
.3 la
sucesión
de
p-espe anzasmues a-
les
es
equi-in eg able
de
o den
p,
y
es o
jun o
a
la
con e gencia
en
p oba-
bilidad,
y a
o io i
con
la
con e gencia
casi
segu o
demos ada
en
el
eo-
ema
an e io ,
bas a
pa aasegu a
la
con e gencia
en
media
de
o den
p
.
El
siguien e
sencillo
lema
simpli ica á
la
demos ación
que
damCs
de la
con e gencia
casi
segu o
de la
sucesión
de
a ianzas
de
o den
p
empí-
icas
.
Lema
.2
.3
.
:
Sean
( n
)
neN una
sucesión
de
unciones
que
con e ge
hacia
o a
(
n
,
:
R
->R
),
y
(an)neN
una
sucesión
de
alo es
eales
con e gen e
a
un
alo
ao
.
Si
la
amilia
( n)nEN
es
equicon inua,
en onces
la
sucesión
ñ(ap)
con e ge
a
(a
0
) .
Teo ema
.2
.4
. :
Sea XeL
p+1
(R,a,u)
(p>0)
.
La
a ianzaempí ica
de
o den
e ge
casi
segu o
hacia
la
eó ica
.
Demos ación
:
De
la
ley
ue e
de
los
g andesnúme os
ob enemos
H
(a,w)=[1/n,n_lX,(w)-aiP+1]1/(p+1)
-
H(a)=[!IX-alp+1du]1/(p+1)
n

1=1
1
P
con-
pa a
casi odo
wcn
.
De
las
de iniciones
de
a ianzas
empí ica
y
eó ica
de
o den
p se
deduceque

H
n (E

(X
1 ,X
2
_
Xn)(w),w)=[E
P(X
1
,X2,
.
.Xn)(w)]1/(P+1)
pa a
odo
wc9,
y
H(E
(X)) P[E
(X)]1/(P+1)
.
P

P
Po
el
eo ema
2
.1
Ep (X
1
,X
2
-X
n
)

--`-
Ep
(X)
casi
segu o, luego
po
el
lema
2
.3,
si
p obamos
la
equicon inuidad
de la
amilia
(Hn(a,w))neN
pa a odo
weS2,
queda áp obado
que
[E

(X
,
.
.X
)(w)]
1/(P+1)
^
[E

(X)]1/(P+1)
p
1
n

p
pa a
casi
odo
w,
y
en
consecuencia
que
E
p (X
1
,X2
-X
n
)

` E
p (X) e
.s
.,
pe o
la
equicon inuidad
es
consecuencia
inmedia a
de
la
desigualdad
:
~11

(a,
w)-H

(b,w)l=I[Jl -al
P+1
dF

( ,w) /(P+1)-[
l -b1P
+1
dF

( ,w)]1/(p+1)~

<
[la-bIP
n1dF
( ,w)]
1/(P+1)
_Ia
n
b1

YneN

V
wcQ
_

n
Co ola io
.2 .5
.
:
La
con e gencia
exp esada
en
el
eo ema
an e io
ambién
se
dá en
media
de
o den
p+1
.
Demos ación
:
Po
la
p opiedad
de
mínimo
que
iene
la
p-espe anza
espec o
de

la
li

u
p

~)X-E
p(X)
([
p+1
a
<
(IX-a11
p+1

VacR

ob enemos
:
+1
.
1/n[
É
(X,
(w)-E
(X

X
, .
.X
)(w)(
p+1
~~
l/n
.É IX
.(-)-E
(X)j
p+1
dws9
p
12
n

i--1 i
p
1/n
E
1 IX
(w)-E
(X
, .
.X
)(W)jp+1du
~
l/nÉ
[X.(w)-E
(X)~
p+l
du
i

-
=1
A
i

p
1

n

i=1 A
i

p
= 1A
jX(w)-E
p
(«
p+1 du

-

0

si

u(A)
-~
0
,
luego
la
sucesión
es
(p+1)-equi-in eg able,
y
la
con e gencia
en
media
de
o den
p+1
es
conse-
cuencia
de la
con e gencia
casi
segu o
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