Pub
.
Ma
.
UAB
N° 21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMHL
UNA
NOTA
SOBRE
CONVERGENCIAS
EN G(X)
M
.C
.
de
las
Ob as,
L
.
Nasa e
Dp o
.
d
e
Ma emá icas
Uni e sidad
de
O iedo
Gi en
a
ealsepa able
Hilbe
space,-k,
we
deno e
wi h
G(-k)
he
geome y
o
linea
subspaces
o IL
.
In
he
p esen
pape ,
he
ela ion
be wen
he
con-
e gences
--~
,
-
"
,
---U
de ined
in
(3)
and
(4),
o
se-
quences
o
ini ecodimension,
is
s udied
.
Dada
una
sucesi6n
de
subespacios
lineales
ce ados
E
(n)
I
neN
I

del
espacio
de
Hilbe
sepa able
eal,
k,
eco -
demos
las
dis in as
de iniciones
de
con e gencias
de inidas
en
(3)
y
(4)
.
Si
xhnEE(hn)
n
xh
n
_
x
==~l
xEE
xEE

3xn
EE
(n)
-
.
3
xn
~

x
E
(n)
á,

E

~

ls E(hn)=
E

ü'
(h
n
)~(n)
E
(n)

b'

E

[ls
.
E
(h
nJ=
E

Y-
(hn
)G(n)
En
(3)

se
p ob6
que
las
con e gencias

a
,

y
b
,
e i ican
los
esaxiomasde
F eche
(1),
pe o
la
p opiamen-
e
débil
-
alla
en el
e ce o
.
En
gene al,
se
iene
la
e-
a
.
laci6n
de
con enido

-
G

Lb

y
en dimensi6n ini a
las
es
coinciden
.
Es e
abajo
p esen a
un
es udio
sob e
es ascon e
gencias
en sucesiones
de
subéspacios
de
codimension
ini a
.
Conside emos
en
p ime luga
una
sucesión
de
hipe -
planos
IiZ
n
.
l-e
an
b
E,
es
deci
1
ls 'ih
n
1
=E
V
-
(hn
)`(n),
y
ea
mos
bajo
qué
condiciones
ls'Z
hn
=
E
Y(hn)c
.(n)
.
Sea "h
n
I`
p
1
n
1
con
odos
los
é minos
dis in os
(el
casode igualdad
es
i ial)
y
i hn
la
sucesión
de
los
o o-
gonales
.
A endiendo
a la
sucesión
í h
n
1
pueden
ocu i
dos
casos,
que
no
enga ayode
acumulación
débil,
o
que
exis a
una
sucesión
pa cialí kn)c
hn1
débilmen e
con e gen e
a
un
ayo
.
En el
p ime caso
nkn--~
A- T3-(kn)c_(n)
y
po
lo
)z
kn
_
A
y
E=
?
.
En el
segundo
dis ingui emos
a
su
ez
o os
dos
a)

kn
e-

(2)
.
an o
b)
:7
i
mn
Y
c
k
n
7
 al
que
mn
----y
.
Si
kn
e>
po
de inición
k
n
--y
o

y E
.&
.
=
o
con
lo
que
E=
U, pe o
en
condiciones
análogas
se
encon ó
en
(3)
una
sucesión
de
hipe planos

n&N
al
que
'¡_¿n
b_
y_
¿y
ls
h
-
~
~
.

_
Po
el
con a io
en el
caso
b)
la
sucesión
de
los
o ogonales
iene
un
hipe plano
como
limi e
débil
Ti
mn
-~i
-
C
y
E=11
jun o
con
l~s ihn=
E

V~(hn)c_(n)
.
Aho a
conside a emos
el
caso
gene al
de
una
suce-
sión
de
subespacios
de
codimensión
q>1
¡Eg
n)
1
n6N
¡
con e gen-
e según

b
.~
a
un subespacio
de
codimensión
p, E
p
,
con
p,~q
.
i
Pa a
p=
q,
la
con e genciaE
(n)
b
Ep equi ale
a
la
ue e
de
los
o ogonales
E (n)
--j
E y
es o
a
su
ez
a
(n)i

pp
Ep
-,Ep,
luego
las
es
con e gencias
son
idén icas
.
Si p q,
pasando
a
los
o ogonales
E
(n)
=>E

y
po
(2)

Eq(n)=
Ep
n)
®
E
n)
jun o
con
Ep
n)
--_3
Ep
y
qE(n)--i
o
.
Po-
demos
oda ía
dis ingui
aqui
dos
casos
según
la
sucesión
¡E
n)
1

n¿NJ

.

Si
E
n)
--
,,
o,

la
sucesión
¡
E
(n)
Í
n6NI iene
a
su
ez
a
E
n
como
limi e
débil
y
en
es as
condiciones
íEg
n)L
in -NJ
1
con e ge
débilmen e
a
E
p
con
lo
quelas
es
con e gencias
coinciden
.
Aho a
bien,
si
exis e
una
sucesión
de
ayos
202
íshn
in¿-N
.
1
con
sh iE
hn
)
que
con e ja
es ic amen e
a
un
a-
yo
s,
es amos
en el
casoya is oen
hipe planos
de
no
coin-
cidencia
.
1
Resumiendo,
si Eqn)

ba
E
p
q>
/ p, y
en
la
sucesión
de
los
o ogonales
jEg
n)
jnáN}
no
exis e
una
sucesión
de
ayos
con e gen e
débil
y es ic amen ea
un
ayo
s,
las
es
con-
e gencias
coinciden
.
El
ecíp oco,
en
gene al,
no es
cie o,
ya
que
debi
do
a
la
elación
de
.
con enido
exis en e, an o
si
hay
coinci-
dencia
como
si
no,
se
llega
a
la
con e gencia
ue ede
los
o ogonales
y
po
an o
a E
(n)
--~
o
(2)
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(2)
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C
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
"Sob e
con e gencia
en
el
espacio
de Hilbe de sucesiones
de
sub-
espacios
de
dimesibn
o
codimensibn
ini a
II",
Re
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"P opiedades
angula es
de la
con e
gencia
en el
espacio
de
Hilbe ",
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Ma
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His
.-Ame
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41
Se ie,
T
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n
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