Sobre prevariedades de espacios localmente convexos

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL SOBRE PREVARIEDADES DE ESPACIOS LOCALMENTE CONVEXOS An onio F ancisco Fe nández Ga cía Dp o . d e Teo ía de Funciones Uni e sidad de Se illa No aciones Abs ac "In his pape we in oduce o p>1, heclass o p-space .We deno e by T his class and we p o e ha <? is a p e?a ie ie o locally con exspace in ?he senseo F .Belleno . E e ylocallycon exnuclea space is a p- space, o e e y px1 .Ne e heless he e exis locallycon exspace in Qcp ha a en' nu- clea spaces .41e s ablish he p ela ions in jT . p Pa a p>1 y psmponemos lp={(x n ~n.Ixn eR Z jx~ ~ .l En el caso p=o .i l" » deno a á el egpacio . Qy1xA ;l ` im x =oj .Además u iliza emos sus no mas ,~, . n habi uales .Si se quie e espdci ica la opologia de un espacio E pond emos E[ b1 .La amilia de enio nos del o igen en E se deno a á po u(E) .Pa a ope a con los espacios EU ,E'(V9,con U,Vsl~(E) se puedeconsul a [3] en la bibliog a ia . L a con e gencia local en el dual de un espacio loc .con exo . d  Si .E es un e .l .c .  (un cE',di emos que  (u )m con e ge"localmen e" n h ., haciace o en lp (1sp<oo),si exis e un Ve U(E) alque u n E'(V°) pa acada ncN y además ZPVdun)pcm , Si p=Qo,se dice que (u )n ` es á localmen e en l ob si exis eVck(E) n +>$ con li mP Vo (u n )=o .Ve  [53  Pa a exp esa es e hecho emplea emos la no ación (loc)u n P> o . (A~psm) P oposición 1 . "Se e i ican las siguien es p opiedades : a) Si p . , ,q y (loc)u n ~~o,en onces (loc)u n ~o . b)  Si en EC*C7 (loc)u n ~p-~o y W< Z ' , (7(E, E' )~~nE,E')  en onces (loc)u 11 S Peo en ECV3 18 3 c)Si (loc)u n i- .-p es ,o,en onces pa a cada xGEII<x,u n ~~p"o- . De inición 1 . " Di emos que E es un p-espacio (1_<paoo),si dUaR(E) exis e Vs1k(E) y (u n ) . al que (loc)u n I>o,de o ma que pa a cada x«E,la elaci- ón Teo ema 1 . La sucesión (Á) es dec ecien e n se demues a que si u 6U°y xsE u = ~ Finalmen e como n n P oposición 4 . P U (x)15(x,un J n es álida ." " Sea E[ lun p-espacio (15psj p),en onces E es un espacio de Schwa z ." Demos ación(Esquema) . Sea U ej(E) y elijamos V<-J(E) al que,exis a (u ) cE' (V°) icando (loc)u n - P >0 ; ~ . P Vo (u n )p o oY PU (x)!121<x,u n - >¡ p Sea hipe plano de ecuación <x,u j )=o j=1 i 2,3,- N,donde N es el de inido po la elación {7P  (u ) p } A cE  Siendo F-un núme o 1l a11  VI  n io .Aho a se demues a que VAM c£U . P oposición 2 . " Si E es un espacio de Schwa z,en onces E es o Teo em a 33 . "E es un espacio de Schwa z si y solo si E es un Ve C51 P oposición 3 . "Si E es un espacio nuclea en onces E es un 1-espacio ." Co ola io . " E es nuclea si y solo si E es un j-espacio ." Teo ema 4 . e i- el en e o a bi a- M unan-espacio," oo-espacio, " " Sea E[Slun espacio nuclea ,en onces E es un 2-espacio," Demos ación .(Esquema ) Sea UE4(E)  con E'(U°)  de Hilbe y VE ?~(E) al que E(V 1 )  ambien sea de Hilbe y la inyección canónica K VOUO :E'(U°) es E'(V°) sea nuclea . Rep esen emos K V0Uo en la o ma (e n )~ ( n á~ bases o ono males , K VOUO (u)=11~u/e n ) n ,con  y en E'(U°) y E'(V°) espec i amen e . U ilizando la desigualdad de HZ5lde en onces IPVO (u n ) ¿oo se deduce` . el eo ema . h W 1 u)1 " Si E 6T y F es un subespacio de E,en onces FE 9  ." CX, un )1 2 1  donde Demos ación(Esquema) Es e esul ado se pa a cada Ueu(E) P oposición 5 . S"  Si Ei e  9p pa a cada Demos ación(Esquema) i U  E u (I7E 1 . )  en onces úT Pongamos A= {ieIlU i IE i l .Si ieA se elijen las 1 . < x i> u ni) 1p 1 P xi Ei y ambien e ¡, al que (loc)u ni 1--Z>o y P U . (x ; )j liquen  P Vo (u  )  P oo  .  1  1~ . . ni Fo memos V= 1 ~IV . e j(TE .) yde inimos sob e E . 1  KL 1  41 1 median es las ó mulasZx,u n i~ =<x i ,u ni) . les uni mues a que (loc)u ni V-Zo (ZIPVa (u ni ) p , y ' P ~ósición 6 . " Sea E e j~p yF isomo o Demos ación(Esquema) Sea :  E i---F el con de la de inición de p-espacio y de que deduce y xéF se e i ica PU(x)=PU 1F(x) . i I,en onces I E e? ," ¡el i  p P U1 (x i ) ieI )=Sup i a isomo ismo y  (a n ~C E' (V1)  con  7P Vo  (an),P ce PW (z) <_ (jj<z , an )~p)  , suponemos  que Pues o que : F'~~E' es W 1 = (V 1 ) . Teo ema 5 . "Designemos y Nuclea es, espec i amen e . Si p s[1, WJ, en onces  T  es P con exos, al que : a) T es , = s  b ) Teo ema 6 . po J y s las a iedades de los espacios de una P U, (xi ) dondeU=1)U . ¿cT 1 sucesiones (uniJ~i ~a las o mas linea Finalmen e se de- ¿ h E en onces F es un p-espacio ." supues o,Si U eU(F),elejimos V 1c-I(E) ,además si z«E,la elación es álida .W= -1 (U) . sob e_/ec i a,podemos p encon a (u )cF' n  (un )=a n ._En onces de las de iniciones sigue que PU(x)<Ip,un>IP)T un e 'J7 LPW (un)pcm donde I h 1 Schwa z p e a iedad de espacios localmen e 1=~ .c) C ~ c5 -d)écT,cS " Sea E[Tajun espacio Nuclea y pc-[1,oo],en onces EET ." P Demos ación(Esquema ) Excluimos ya los casos p=1  p=opy sepa amos es ap uebaen dos e apas . a) p : 2 .Se elijeg>o alque p-E>2 .Exac amen e como en el eo ema 4,se oman en o nos U,VC u(E) y ep esen amos K VOUO (u)= U u/e 5-  ol n), con  ) dec ecien e y o mada po núme os posi i os,llamamos n 4 :, _~  .Si ue U°se demues a la siguien eaco ación pa a <x,u> : n n 18 5 b) 1¡-p , -2- del apa ado a) deducimos 1 Gx,u~l ~~~nP ~n ~(u/en)j ,l Z I ¿x Elijamos E>o al que p-E>1 y abajando de una o ma simila a la 1 n Donde =pp2 CP '_ (<x,ol<(1n ' % n (u/ en ) Llamando M  Z n 111°>  podemos esc ibi :  jZ n  M ILX,u~ - .Izx,u~lp  donde un= ;~ . De aqui se deduce el esul ad$ omando supe io escuando u i U9 Finalmen e no emos que 5p V o(u n ) p oo y E ~~ . x'u n >I p } ^l . donde un =- .,  y  JP VO (un) p4 . <-~ Hemos demos ado así,quejb&T Pa a e que dicha inclusión es . Ai p es ic a, azonamos como sigue .Tomemos un espacio de Banach E,de- inimos sob e E una opologia dada po las semino mas p(x), p (x) ~ Su V p  ~ pjzx,xñ->l~  con  ~Ux 1 u p, C,  si, pil . Facilmen e se demues a que E Ejn p ,pe o E  ~ 1 lo cual ambien es de acil deduci6n . BIBLIOGRAFIA . [1] Bel leno S . F ." P e a ie iesand in e wined comple eness o locally con exspaces ." Ma h .Ann . 217 (1975) pgs .59-67 . (23 Ho a h .J ." Topol6gical ec o spaces and dis ibu ions," Vol I,Reading ,Mass (1966) . 31 Pie sch .A ." Nuclea Locally Con ex spaces ." Be lin-Heidelbe g,New-Yo k . Sp inge .(1972) . . [41 Robe son and Robe son- " Topol6gical ec o spaces ." Camb ige Uni e si j P ess .Camb ige-New-Yo k,(1964) 151 Te zioglou .A." On Schwa z spaces ." Ma h .Ann .182 .(1969) .pgs,236-242 . [61 B udo skii,B,S ." Associa ed nuclea opology,mappings o ypes,and s on- gly nuclea spaces ." So .Ma h .(1968) Vol 9 (Ene-Feb) .pg,61 . A" [7] Momu a and Y,Komu a ." 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