Pub
.
Ma
.
UAB
N° 21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMHL
EL LEMADE
GAUSS
PARALA
CONEXIONCARACTERISTICA
DE
UNA
VARIE-
DAD
CASI-HERMITICA
V
.
Miquel
Molina
Dp o
.
de Geome íay Topología
Uni e sidad
de
Valencia
Sean
(M,
<,>,J)una
a iedadcasi-he mí ica,
D
su
conexión
ca ac e ís ica,
i
.e
.,
la
única conexión e i icando
(i)

D<,>
=0
(ü)

DJ
=
(iii)
T(x,Y)_
-T(JxsJY)
donde
T es
la
o sión
de
D
.
Sea
d(m,p)
la
dis ancia
en e
dos
pun os
m y p
de
M
medida
a
lo
la go
de la
geodésica
que
une
m
con
p
.
Se de ine la
es e ageodé-
sica
asociada
a
la
conexión
D
como
SZ
( )
=

í
ps
M
/
6
(

p) =
Y}
El
eo ema
de
Gauss
pa a la
conexión
de
Le i-Ci i a
de
una
a iedad
iemanniana
es ablece
la
o ogonalidad
en e
las
geodésicas
y
las
es e as
geodésicas
asociadas
a
es a
conexión
.
Nos
p oponemos
a
quí
ca ac e iza
las
a iedades
casi-he mí icas
en
las que
se
sigue
e-
i icando
el lema de
Gauss
pa a
la
conexión
ca ac e ís ica
.
DEFINICION
:
Una
conexión
D
sob e
una
a iedad
iemanniana
(M
;
<,>)
se
dice
que
es
mé ica
si
y
sólo
sí
D<,>=
0
.
PORPOSICION
(2)
:
una
conexión
mé ica
D
sob e
una
a iedad
de
Riemann
iene
las mismas
geodésicas
que
la
conexiónde
Le i-Ci i a
p
si
y
sslo
sí

ZT
(z,
Y),
Y
>
=0

VA
yE
x
(M)
TEOREMA
:
Sea
(M
;
<,»
una
a iedad
de
Riemann
y
D
una
conexión
mé ica
sob e
ella
.
El lema de
Gauss
se
e i icapa a
las
geodésicas
y
es e as
geodésicas
asociadas
a
D
si
y
sólo sí

¿,
T(X,Y),Y
i =
DE140STRACION
:
Si D
iene
las
mismas
geodésicas
que
Y,
S(Y)
_
S

(Y)

y
el lema
de
Gauss
se
e i ica i ialmen e
.
Supongamos
que
se
i i ica
el
lema de
Gauss
pa a
D
.
Sea
c(s)
una
cu a
en
M
m
(espacio
angen e
a
M
en
m)
al
que
IIC(SU
.
=
1° .
Sea
exp
m
la
aplicación
asociada
a D
.
Conside emos
la
supe icie
o(
1 ,
S) =

ezp,
(
c
(5))
Pa a
cada
s
o
ijo,


( ~
V

es
$ h~s
(c
,S)
es
una
cu a
sob e

S

(~)
e
a
la
geodésica
A'( ,S)
en
4'~
,5)
0
e
a
la
cu a
d(
o
,s)
en
el
pun o
es ablece
que
po
an o
y'
como
z
9
1
8s
( o,so)
como
D
es
mé ica,
á
~
aá

a~
>
91
:

95

~~
«
%,5

0
)
.
El
9'<

.
o
'(

s
o
)
a
<á
~'á
5+<
ás
~Dá`>=o
Teniendo
en cuen a
que
esul a
a ás
1---p
a
l ,
S)

es
una
geodésica
y
a~c

a~

a~

a¿<

ad
a~
I
9

as

a~

a
c

a'<
s

a

`
9
>

}

'

W
a

o1I ,
S)
es
una
geodésica,
a
'a
y,
po
lo an o,
i w(~~el~~~l )I)
_
~l
72
L-' 6"<
<a
'
gb
>10,s)
-
(
áa
1
2~~
)
>
=0
a
as
Sea
p
5M,Y
p
E
M
p
,

II
Y
ca
angen e
a YPen p
.

Sea
de inidosob e
MNI3)
(
.8W=0-
una
geodésica,
y
pa a
cada
o
ijo,
El
ec o
(a~/~
)
1
é,
sJ
es
angen-
y
el
ec o
(a"0/d ),,,
,)e
.
angen-
lema de Gauss,
pues,
un
pun o
Repa ame icemos
as~~
I
I
c
(s)
)I
z=
~
que
Leí
1
a

=0~
Sea
(3I ) la
únicageodési-
de
~( )
al que exp
q
es é
de modo
que
9=110)
En onces
exis e
un
V E
MI)
ilu1)=í
al que

~
H
=
P=
exl

y
P~
exPI
.*
V

(conside ando
VE
Sean
X
1
,
.
.
.
9X
n-1
ec o es
o ono males
en Mp
angen es
a
S
(1
- )
.
Tomemos
ci (s)
cu as
sob e
Mq
e i icando
De inamos
~~
( ,
s
)
. ezp~
(
c,(s))
se
iene en onces
y,
y
y
__

d0
.'
e'
p

a
~ ,ol

X
i
=
as
Il
ol
po
e i ica se
el
lema
de
Gauss,
aplicando
(1)
se
iene
<T(Xc,Yp),Yp>
=o
como
{Xi,
Y
p j
es
una
base
o ono mal
en p,
como
Y
P
E
MP

y
p6
M
son a bi a ias,
el
eo ema
queda
demos ado
.
PROPOSICION

(3)
:
Una
e iedad
casi-he mi ¡ea
(M-G,7
;J) es
Nea ly-Kaehle iana
si y
sólo si
el
enso
o sión
T de la
conexión
ea
ac e is ica
D
e i ica

~
T()í,0
,
Y i

=
COROLARIO
:
La
conexión
ca ac e ís ica
de
una
a iedad
casi-
he mi ica
M
e i ica
el lema de
Gauss
si
y
sólo
si
M
es
Nea ly-
-Kaehle iana
.
BIBLIOGRAFIA
e%
,

al
5pP)=
(1)
J
.
MILNOR
:
"Mo se
Theo y",
P ince on
Uni e si y
P ess,
1
.963
.
(2) V
.
MIQUEL,
A .M
.
NAVEIRA
:
"Su
la
ela ionen e
la
unc ion
olume
de
ce aines
boules
géodésiques
e
la
géome ie
d'une
a ié é
iemanniene"
.
C
.R
.
Acad
.
Se
.
Pa ís
.
290,
379-381,
(1
.980)
.
(3) V
.
MIQUEL
:
"Volumes
o
ce ain
small geodesic
balls
and
almos -
he mi ian
geome y"
.
(Pendien e
de
publicación)
.