Sobre el comportamiento "anómalo" de la primera polar

Pub . Ma . UAB N° 20 Se . 1980 Ac es VII JMHL SOBREEL COMPORTAMIENTO "ANOMALO" DE LA PRIMERA POLAR . JuanGoñi Ma eo Facul ad de Ma emá icas Uni e sidad de Ba celona ABSTRACT : We o e some examples o plane algeb aic cu es o minimal o de which ha e some poin s such ha he mul iplici- y o he i s pola is g ea e han he mul iplici y o he cu e, and hey ha e mul iple poin s ac oss which he i s po- la do no pass . INTRODUCCION . En el abajo de B .Seg e (2), se da un ejem- plo de cu a algeb aica plana de o den 113 que iene un pun o mul iple-imp opio po el que no pasa la p ime a pola gené ica ., en con adicción con lo que había sido admi ido po Noe he ,de que la p ime a pola gené ica pasa con mul iplididad al menos s-1 po cadapun o s-múl iple de la cu a an o si se a a de un pun o múl iple p opio comoimp opio . E o que no ad ie en los pos e io es a ados de En ique-Chisini (1), Se e i (4) . El ejemplo de Seg e se ha hecho ácilmen e accesible al . se ep oducido en una de las no as que igu an al inal del Cap . XI del lib o de J .G . Semple y G .T . Kneebone (3) . Po ello nos ha pa ecido in e esan e da ejemplosde o den mínimo de cu as planas p esen ando alcompo amien o "anómalo" de la p ime a pola , lo que cons i uye el obje o de es a comunicación . Los ejemplos en cues ión igu anen el apa ado (B), que ienep ecedido po o oapa ado (A) en el que se da un ejemplo de o denmínimo,en cie omodo con a io, de una cu a algeb ai ca plana po uno de cuyos pun os la p ime a pola gené ica pasa con mayo mul iplicidad que la cu a . (A) La cu a de ecuación y 3 x 7 = 0 iene en (0,0) un pun o ipleo igende una ama de o den esde es uc u aco espon- dien e al símbolo (0 3 01020304) . Su p ime a pola iene po ecuaciónay 2 + by 3 -L cx 6 = 0, y los dis in os casos que se pueden da sonlos que siguen, en los que se incluyen los símbolos que indican la mul iplicidad con que pasa po los 0 1 : La p ime a pola gené icapasa con mul iplicidad dospo el pun o 02 que es simplepa a la cu a . (B) Pa a p esen a se el caso de pun o múl iple po el que no pasa .l a p ime a pola gené ica, al pun o múl iple no puede se p opio . El o igen de la singula idad debe á se al menos cuád uple y en es ecaso del ipo co espondien e al símbolo 4 4  9 2+ 212-) donde a 0 . 1 puedensegui o no o os (0 01 . . .Oi0i .10ii .2 pun osdobles, y pudiéndose da conuna ama de o den cua o o dos amasde o den dos . En amboscasos se e que la p ime a pola gené ica pasa po odos los pun os múl iples . Po ello hayque acudi a singula idades con o igen en un pun oquín uple con pun os múl iples no p opios . Ejemplos de o den mínimo sonlos siguien es : (I) La cu a de ecuación y5  x 13 = 0 . (II) La cu a de ecuación y5 } x17 = 0 . (I) El símbolo de la singula idad con o igenen el pun o (0,0) es (0 5 0102020 1 05) . Su p ime a pola iene po ecuación ay o J- by5  cy12= 0 ; a yÉ0 : (0 2 01020304) a =0, bc ¡É0 : (0 3 01020304) a=b= 0, c 3¿ 0 : (0 6 00000304) a = c = 0, b 9¿ 0 : (0 3 01020304) y se dan los siguien es casos : La p ime a pola gené ica pasa po el pun o iple 0 2 con mul iplicidad cua o y no pasa po el pun odoble 0 3 . (II) El símbolo co espondien e a la singula idad en (0,0) es aho a (0 5 0102020 2 0506) . Su p ime a pola iene po ecuación ay o 1 by5 ; cx 16 = 0 ; y se danlos siguien es casos : Y la p ime a pola gené icapasa po el pun o doble 03 con mul iplicidad cua o y no pasa po el- ambién doble 04 . BIBLIOGRAFIA (1) ENRIQUES-CHISINI, Teo ia geome ica delle equazioni e delle unzionialgeb iche, Vol .II (Bologna, 1918) paggs . 409 y 441 . (2) B . SEGRE, Sullo scioglimen o delle singola i á delle a ie á algeb iche, Ann . Ma . pu a appl . IV 33 (1952), 5-48, pags . 7 y 29-30 . a ~ 0 : (0 4 04 0203040506) a =0, bc ~ 0 : (0 5010203040506) a = b =0, c ~ 0 : (0 16 000203040506) a = c = 0, b ~ 0 : (0 5 010203040506) a~ 0 : (0 404 02000405) a= 0, bc q¿0 : (0 5 0102030405) a=b = 0 c ~ 0 : (0 12 0002000405) a'= c =0, b~ 0 : (0 5 0102000405) (3) J .G . SEMPLE- G .T . KNEEBONE, Algeb aic cu es, (Ox o d, 1959), pags . 323-324 . (4) F . SEVERI, T a a o di geome ia algeb ica, Vol . I pa e I . (Bologna, 1926), pag .314 .