Dominios "mínimos" donde estan ciertas columnas de la tabla de caracteres de An

Pub . Ma . UAB N 0 20 Se . 1980 Ac es VII JMHL DOMINIOS "MINIMOS" DONDE ESTAN CIERTASCOLUMNAS DE LA TABLA DE CARACTERES DE A n An onio Ve a López Dp o . d e Algeb a Uni e sidad de Valencia "Sabemos que  X (g) E 1 V- X E I (E n ) y Y g C-E n .  El p oblema análogopa a A n es á sin esol e .  Dado  gLa An nos plan ea- mos el p oblema de encon a el meno s ubcue po  Fg de C al que  ~ (g) E Fg Y- ~ e I (A n ). Resol emos es e p oblema pa a cie os elemen osde A n , y ambién ob enemos las columnas de la abla de ca ac e es de An que es ánen IR . Como ejemplo p ác ico s eob ieneFg pa a g e A n . y 2!o(g)X10 y los dom - iios "mínimos" en los que es án las columnas de las ablas de ca ac e es de A n pa a 51!~n :99" . 1 . In oducción yno ación . G deno a á siemp e un g upo ini o,0n el cue po 0'(e) donde e es una aiz p imi i a n -és ima de 1y  G la elación de con - jugaci6n en G .  Si .=  {l, . . . . n} ->  1N u{o} es una unción n al que  J l (i)i=n , en onces  C l deno a la clase de conju - gaci6nde  E n asociada al ipo  ( (1), .... (n»  ó sea gE [ ] si¡ g con iene (i) ¡-ciclos pa a l , !i!5n . sabemos que[ )C- A n si y solo si  ~E~  2i)  es pa , además supues o es o, ( ) 1- i - nyZ es una clasede conjugación en A n s¡ y solos¡ (2i)>o 6 (2 i+1) >1  pa aalgCn i,  en o o cas o  C 1  s e excindé .  en' dos clases de conjugación de An ( e El] pág . 298) .  Deno amos T 3 = {4k+3Jk :bo} .  . Sabemos que exis en algunos mé odospa a compu a la abla de ca ac e es de los g upos simé icos y al e nados, s i bien es os mé odosin oluc an éo ia de ac o izaci6n de polinomiosen a- ias a iables y los calculos se hacen muy labo iosos . El ob- je i o de los esul ados que siguen es ob ene in o mación so- b e los dominios más "simples" en _ los que es an las columnas de la abla de ca ac e es de A n , en o den a ob ene de una mane- a más elegan e y ápida la al-la de ca ac e es de dichos g u - pos . Dado  ms 1N , deno amos (m,o (g)] = m .c .m . (m,o (g))  y (m,o(g))= m .c .d .(m,o(g)) . Teb émá 1 Sea  G un g upo  , g eG ym e lN  .  En onces X .(g) s42(m,o(g))  5' XeI (G)  si y solo si donde  I = {sON ~ 1=s=cm,o (g)] ,  (s ,Cm,o (g)])=1 III = ~(o(g))/$((m,o(g))) y Es conocido el siguien e esul ado : ~~ X (g)EZ  V XeI (G)  s i y solo s i  g ~,g s pa a cada s  p imo con o(g) "  el eo ema 1 , gene aliza es a si uación . No emos que donde  es el indicado de Eule . Sabemos que X(g)c- Qo (g) si- emp e , en el Teo ema 1 hemosdado un c i e io pa a sabe cuan . do  X . (g) 6On , con  dio(g)  (*)  , nos in e esamos po el meno n' que cumpla (*) . Aho a damos los esul ados ob enidos sob e la abla de ca ac e- es de A n Teo ema 2 Sea  i=4  y CL (g)  =  [ ]  <n - An ,  en onces  X (g) Fz ;E  Y- XE I (A~) si e i ica una de las condiciones siguien es : i)  (2)  0 ii)  (1)  2 iii)  (i)  es  pa 5- i=2, . . . . n . En lo que sigue X designa ácualquie ca ac e i educible de An Lema 1 Sea g =  (a1 . . .a ) E En  , y  X --  {l, . . . . n}-{al, .... a } .  En onces {x EE  gx =g -1 } _ { 'a1 . . .ail(ai+l :  a  e y 6 E X } n  ai .. .a 1 a . . a1  +l Lema 2 x i ( a l . . : ail (al+l : : ' a  )  % li al  que  l~i~  <=>  ET 3 . i  1 '  i+1 Teo ema 3 Sea  g E A n , en onces g -~- g -1 en A n <===> g iene una des compo sici6n en ciclos  dis in os : g =  (a 11*** a ln l ) "' (as, ... asns) 1) n i + . . .+n s :1 n-1 2)  n1, . . . , n ss on impa es . ¢i y dis in os  en e si, 3)  1 {n i n ie T 3 } 1 es impa . e i icando Co ola io 1 Sea g CA n "  En onces  X (g) 6 19,  ü X <===> g no iene . una sici6ncíclica del ipo del eo ema 3 . des compo - Co ola io 2 a) Sea g=_ (a 1 ..  a ) e An ,en onces  g~ , g -1 en An <==> in-1 y E T 3 ) Sea g= (a 1 a 2 a 3 ) ( 1 ... b ) eA n ,en onces  g- .g 1 en A n <=> ! n-4 y TT3 . Como ejemplos numé icos damos las co ola ios siguien es Co ola io 3 Sea n 115 . Se iene : a)  X(g)E íA  `d X y  Y g EA n alque o (g) E {2,3,4,6,8,10} ) Sea o(g)=5 . En onces i)  Si nh7  , X(g)G k  YX " ii) Si n=5 6 6 , X (g) 6 Q (` ) VX y 3 ~F-I (A n ) .q . ~(g)¢"O . c)  Sea  o (g)=7 . En onces X (g) & 0 7 y X, ademas i) Si n%9 , X(g)EZ VX . d) ¡¡)Si n=7  6 8,  al ~ I (An )  . q . ,U(g)~1R Sea . g4 A n de o den  9, en onces X (g) E ;L Y X excep o los ca- sos :  g =  (a 1 a 2 a 3 ) (b 1 ... 1 , 9 ) e A n con n=12 6 13,  en los  cua- les s e iene :  X (g) EQ 3 VX, y  3 ~*I (An)  alque ~ (g) 0 1R . Co ola io 4 a)  i) {o(g) Ig eA5}={2,3,5} X(g)eí$  6L X  y  5z gaA 5 al que o (g) ={2,3} iii)  Si o(g)=5 es  X (g) P-  (C5)  y X  y  ~~ EI (A 5 )  al que ~ (g) ~ Q . b)  i) {o(g) Ig CA6}={2,3 .4,5} i i)  X (g) e-  5- gE A 6  .q .  o (g) e {2,3,4}  Y iii)  X (g)  (V5)  `-X  y  `o` gc-A 6 .q .  o(g)=_ ;además 3  eI (A 6 )  . q .  0(g) ~- Q " c)  i) {o(g) Ig eA~}={2,3,4,5,6,7} ii) X(g)67 Y X y F geA 7 .q . o(g)6 {2,3,4,5,6} iii) X (g) e V 7 Y X y  6' g E A 7 .q . o(g)=7 , además 3 ~,T C I (A 7 )  . q .  ~ (g) 11R . d)  i)  {o(g) Ig e A8}={2,3,4,5,6,7,15} ii)  X(g)C ¡ VX y  dg 6A 8  .q .  o (g) F {2,3,4,5,6}  . iii)  X (g) E 07 VX  y  b g eA8  .q .  o (g)=7,  además 3 V~,Z e I (A 8 )  . q .  ~(g)1IR . i ) X(g) E O('C3,`75  i) VX y b' geA 8 .q . o(g)=15, además  1) 5~,Z  EI (A 8 )  . q .  ~ (g)  ~R . 2) 3~eI (A 8 ) .q .  ~(g)lb (P3 . 3)  3 e e I (A 8 )  . q .  e ( 9 )1 0 5- e) i) {o(g)IgeA9}={2,3,4,5,6,7,9,10,12,15}=J i i)  X(g)Eí~  VX y Y gC-A9 . q .  o (g) e J-{15} . iii) Si g EA 9 y . o(g)=15 se ob ienen los mismos esul ados que en d) (i ) cambiando Ag po A 9 . Bi bliog a ia [17 W .R . Sco . " G oup Theo y" P en ice-Hall . Englewood Cli s . N, J, 1964 .