Pub
.
Ma
.
UAB
N°20
Se
.
1980
Ac es
VII
JMHL
NOTAS
SOBRELA CLAUSURA
NORMAL
DEL
FRATTINIDE
UN
P-SUBGRUPO
DE
SYLOW
Ma JesúsI anzo
Azna
Dp o
.
d
e
Algeb a
Uni e sidad
de Valencia
Dado
un
g upo ini o
G
y
P
e
Syl
(G),
se
designa
con
1(P)G
la
clausu ano malde
j(P)
en
G
.
Es
conScido
que
§(P)
=§(P)[~(P),G]
y
que
s
plI§(G)j
,
el
p-subg upo
de-Sylowde
§(G)
es á
con enido
en
§(P)
'(L1])
.
El
p opósi o
de
es asno ases es udia
las
p opiedades
ipo
F a ini
de
dicho
subg upo
y
su
aplicación
a
la
ob ención
de
condicionessu icien es
pa a
la
sa u aciónde
Fo maciones
.
P oposición
1 .
Si
G
es
un
g upo
ini o
y
P
e
Syl
p
(G),
se
iene
:
a)
j(P)G
es la
clausu ano malde
odo
p-subg upode Sylow
de
G
.
b)
Si
N4
G
en onces
:
j(P)
G
N/N
!~I(PN/N)G/N
.
c)
Si
además
G
es
esoluble
se
sigue
j(P)
G
<
G
.
Dem
.
a)

j(P
9
)
G
=
~(P
9
)
[1
(P
9
),

G]
=
~(P)g[1(P)9,
G]=

(~(P)
Cl
(P)
,

G])
g=
=(§(p)G)g
=
.§(P)
G
,
cualquie a
que
sea
ge
G
.
b)
§(P)
G
N/N
=
j(P)[1(P),
G]
N/N
=
-§(P)N/N[§(P)N/N,
G/NjLj(PN/N)[1(PN/N,G/N
_
§(PN/N)G/N
.
c)

Sea
G ini o
esoluble,
si
p
p)G
=
G
se
segui ía
:
G =
1(P)
G'
,
P =
Pn1(P)G'
_
§(P)(P )G')=
PnG'
asíque
P
l
G'<
G
que
es áen
con adicción
con
p
p)G
= G
.
En
la
P oposición
siguien e
,
ob enemos
dichog upo
como
esidual
espec o
de
una
cie a
Fo mación
.
P oposición
2
.

Sea

X
=¡G1
P
e
Ap
,
P
e
Syl
p
(G)}

,
donde
Ap
es
la
cla-
se
de
los
g uposp-elemen alesabelianos
.
En onces
G
X
=
P
P)
G
,pa-
a
cada
g upo
ini o
G
.
Dem
.
No emos
que
X
=
SA

,
es
po
an o
una
Fo mación

(14])
.
Sea
G
un
g upo
ini o, PG/§(P)
G
E
X
.
En e ec o,
si
PE
Syl
p
(G)
Pj(P)
G
/1(P)
G
es
p-elemen al
abeliano
ya
que
:
P,
(P)
G
/,
(P)
G =
Pl(P)Cl(P)
,G]
/1
(P)[~(P)
,
Gj=
P/P
(11(P)L1(P)
,

Gj
=
P/I
(P)
(P n
[1
(P)
,

Gj

)
e
A
p

.

Así
G
x~
pp)
G
.
Po
o a
pa e,
G/G
X
E
X
luego
si
P
E
Sy1

(G)

es
PG
X
/G
X
E
A

po
an o
I(P)
GX/G?X~
j(PG
x
/G
X
)

=
1,
así
~(P)
11
G
x
y1
(P)
G
L
GX
.

P
Co ola io
.
Si
G
es
ini o esoluble,pa a
cada
p imo
p
con
p)IGI
exis e
un subg upono mal
N
de
G,
N
<G,
al
que
los
p-subg upos
de
Sylow
de
G/Nson
p-elemen alesabelianos
.
Dem
.
Consecuencia
inmedia a
de
la
pa e
c)
de
la
P oposición
1
y
de
la
P oposición
an e io
.
En
lo
que
sigue, odos
los
g upos
conside ados
son
ini os
e-
solubles
.
di á
p-sa u ada
si
siemp e
que
G/§(P)
G
pe enece
a
X,
se
sigue
que
G pe enece
a
X,
siendo
PF
Syl
p
(G)
.
De inición
Una
Fo mación
X
se
Es a
de inición
no es
equi alen e
a
la
de
p-sa u ación
de
Ido-
wu
([3))
.
En e ec o,p obamos
:
P oposición
3
.
La
Fo mación
de
los
p'-g upos
es
p-sa u ada
Dem
.
Sea
G/ (P)
G
p'-g upo,
PE
Sy1
(G),
en onces
P6
j(P)G
y
como
siemp e
se iene
j(P)
G-
PG,

P
se
segui á
PG
=
j(P)G
.
Supongamos
que
G
es
con aejemplo
minimal
del
eo ema
y
sea
N
no mal
minimal
de G,
en onces
G/N
es
p'-g upo
.
Si
N
es
p'-g u-,
po,
se
sigue
que
G
lo
es
y
si
N
es
p-elemen al'abeliano,
Ne
Syl
p
(G)
ob eniéndose
la
con adicción
N
=
NG

G
Sin
emba go
la
Fo mación
de
los
p'-g upos
no es
p-sa u ada
se-
gún
Idowu
.
En
e ec o
:
_,3(
Y-
3
)
=
A3
,

3/A3
es
3'-g upope o
1
3
no
es
3'-g upo
.
La
p-sa u ación
no es
equi alen e
a
la
sa u ación
.
Asi
la
Fo -
mación
de
los
p-g upos
no es
p-sa u ada
.
En
e ec o,
conside emos
G =
<a>
x,
.<b>

,

con
a
5
= b
4
=
1
y

ñ-
b
(a)

=
a
b =
a2
en onces
j(<b>
)

=
<b
2
>
y

j(
<b>
)
G
=
j(
<b>
)[1(
<b>
),

G]=
<b>)

(<b
),
lá>]
_
1(,,b>)<a>
.
Así
G/
~(<b>)G
es
2-g u-
po
,
pe o
G
no lo
es
.
P oposición
4
.
Sea
X
una
Fo mación
p-sa u ada
pa a odo
p imo
p,
en onces
x
es
sa u ada
.
Dem
.
Sea
Gcon aejemplo
minimal
.
Pues o
que
Si p111(G)J
y P
E
Syl
p
(G)
,

sabemos
que
1
< P
n
j(G)
£j(p)
Gy

se
iene
:
G/
.§(P)G/j(G)j(P)G/I(P)GE
X
luego
G/T(P)G/,(G/41
(P)
G
)
s
X
y
pues o
qué
I
G/1
(P)
G
I
<
1
GI,
se
segui á
que
G/1
(P)Ge
X
luego
po
la
hipó esis
es
GeX,
con adicción
.
.
K ame
(
ES]
)
ob iene
condiciones
necesa ias
pa a
queuna
Fo mación
X
sea
sa u ada,
conc e amen edemues a
que
si
X
es
una
Fo mación
sa u ada,siemp e
que
GXn
P!(§(P)
debe segui se
i
GXn
P =
1,
siendo
P E
Syl
p
(G)
,
cualquie a
quesea
p,
p
I
IGL
Se
ea
la
posibilidad
de
encon a
condiciones
su icien es,
aná-
logas
a
la
an e io ,
pa a
queuna
Fo mación
sea
sa u ada
.
En
es e
sen ido,
ob enemos
:
P oposición
5
.
Si
'X
es
una
Fo mación
y
pa a
odog upo
G
odo
p imo
p,
son
equi alen es
:
i)

G
X
n
PI
I(P)
G
ii)
G
X
n
P
=1
siendo
P
e
Syl
p
(G),
en onces
X
es
sa u ada
.
Dem
.
G/1
(G)
e
X, debe
,
kkse
¡(G)~
y
Sea
G
con aejemplo
minimal,
si
N
es
no mal
minimal
de
G
,
ob iene
G/N
eX
así
N
=
G
'X
.
Si
GX
es
p-elemen al
abeliano,
siendo
P
eSyl
p
(G)
y
como
J
~
1(G),

se
segui á
:
GX
z Pn
1(G)
b
j(P)
G
luegoGX
=
1,
con adicción
.
plan-
se
GX
L
P
Bibliog a ía
1
.
BECHTELL
H
.

"Theo y
o
G upos"
Addison-Wesley,
1
.971
.
2
.
HUPPERT
B
.

"Endliche
G uppen"
Sp inge Ve lag,1
.967
.
3
.
IDOWU
E
.

"D-sa u a ed
Fo ma ions"
Is ael
J
.
Ma h
.,
V
.
30,
307-312,
1
.978
.
4
.
IRANZO
M
.J
.

"Ope aciones
en e
Fo maciones
de
G upos
Fini os
y
ca ac e ización
de
En ol u as"
Publicaciones
del
Depa amen o
de
Algeb a
y
Fundamen os,Za agoza,
1
.974
.
(Tesis
Doc o al)
.
5
.
KRAMER
0-U
.

"Hallun e g uppen
und
Residuen
ge-
sá ig e
Fo ma ionen"
A ch
.
Ma h
.
V
.
XXV,
344-347,
1
.974
.