AN~~ISIS MULTIVARIABLE DE TABIAS DE CONTINGENCIA:
SISTEMAS DE ECUACIONES
Y
GRAFOS1
Ma ga i a La iesa
P o eso a de Mé odos y Técnicas de In es igación Social en la Facul ad de Ciencias
Polí icas y Sociologia de la Uni e sidad de G anada
Se expone en es e a iculo la écnica de análisis mul i a iable denominada
Sis ema de ecuaciones y g a os, basada en ni eles de medición nominal u o -
dinal. Se a a de un modelo causal en el que es necesa io de e mina p e ia-
men e las elaciones que exis en en e las a iables y dejni las a iables de-
pendien es, independien es, espú eas e in e inien es. Se pa e de una
exposición del análisis adicional de abi'ds de con ingencia (p esen ación, lec-
u a e in e p e ación de
la
ablas y p ueba del Gi-cuad ado) y a con inuación
se p esen an las abb mul idimensionales y su análisis median e el Sis ema
de ecuaciones y g a os.
Resum
A l'ho a de alida qualse ol model hi o k ic en el seu esquema més ele-
men al l'in es igado es oba amb elp ob
ema de la in oducció de la e ce a
a iable. El mP ode
i
el chlc~l que es p esen a pe me en acla i
i
calcula , d'u-
na mane a senzilla, els e ec es di ec es, indi ec es
i
globalspe a un model hi-
po i za , aixi com oba elsg hjcs pe inen s pe millo a la ep esen ació dels
di s models.
Abs ac
In alida ing any hypo he ical model in i s basic scheme, he in es i a o
has hep oblem o in oducing he hi d a iable. The me hod and ca
culus
p esen ed cla i and compu e in a simple way he di ec , indi ec andglobal
P
e ec s o an ypo hesized model, as well as gi ing us he ele an paph o
% e ep esen a ion o hese models.
1.
Es e a iculo es una pa e educida y e o mada de la iecci6n magis al leida en mayo
de
1987.
Pape s
37
(1991)
(77-96)
((Pape s)): Re is a de Sociologia
Las écnicas es adis icas de análisis de da os se pueden clasi ica según el
ni el de medición de las a iables en dos ca ego ias:
-
Aquellas que se basan en a iables cuyo ni el de medici6n es nominal
u o dinal.
-
Aquellas que se basan en a iables cuyo ni el de medición es de in-
e al~ o azón.
El obje o de es e a iculo es explica las écnicas que se basan en ni eles
de medición nominal u o dinal. Es as écnicas se conocen con el nomb e de
andlisis abula o análisis de ablas de con ingencia, y como odo análisis es-
adís ic~ se basan en unos supues os e implican un modelo de compo a-
mien o de la ealidad.
La mayo ia de las in es igaciones po encues a u ilizan casi exclusi amen-
e a iables nominales o clasi ica o ias, po
10
que el análisis abula es es-
pecialmen e ú il en la in es igación social empí ica. Asi, g an pa e de 10s
in o mes inales de in es igaciones basan exclusi amen e su análisis en las
ablas de con ingencia: calculan 10s po cen ajes e icales u ho izon ales, se-
gún p oceda; e ec úan el es de Gi-cuad ado, pa a de e mina la signi ica-
ción de la elación;
y
po Úl imo, calculan alguno de 10s coe icien es de aso-
ciación en e a iables mis conocidos: V de C ame , Coe icien e de
Con ingencia, Phi, Lambda.
Es e ip0 de análisis abula , a pesa de que es á muy ex endido en el que-
hace de 10s sociólogos empi icos, iene el incon enien e de que se analiza
an solo la elación que exis e en e dos a iables. Sin emba go, en el con-
ex o de una in es igación no mal exis en muchas más a iables, que pueden
in lui en cada pa de asociaciones bi a iadas.
Aunque es posible, po medio del análisis adicional de ablas de con-
ingencia, examina ablas de más de dos a iables, en la p ac ica esul a bas-
an e complicado, po el núme o an ele ado de ablas que hay que cons-
ui . Po es a azón, el análisis adicional se limi a no malmen e a
cons ui ablas de dos a iables. Pa a pode i mis allá, se ecu e a o os
modelos mul i a iados.
En 10s úl imos años se ha desa ollado un modelo denominado Sis ema
de ecuaciones
y
g a os, a pa i de 10s abajos de Laza s eld
y
Rosembe g
(1955); Rosembe g (1968); Da is (1976, 1980); Heise (1975); Goodman
(1972, 1973);
y
en Espa ia Sánchez Ca ión (1984).
El Sis ema de ecuaciones y
ga es
es un modelo causal en el que el in-
es igado de ine, p e iamen e, la elación que exis e en e las a iables. Se
Anilisis mul i a iable de ablas de con ingencia: sis emas de ecuaciones
y
g a os
ep esen a median e un g a o donde se indican 10s e ec os di ec os, indi ec os
y espú eos que pudie an exis i en e las a iables. Implica, po an o, que
hay que de ini las a iables dependien es e independien es.
Una abla mul idimensional (de n a iables) se puede ans o ma , según
es e modelo, en un sis ema de ecuaciones, donde 10s coe icien es ep esen an
el impac o causal que ienen unas a iables sob e o as. A es os coe icien es
se les denomina di e encia de p opo ciones
o
c(d)).
También se ha desa ollado en 10s úl imos a ios o o modelo mul i a ia-
ble denominado
Modelo
loga í mica
lineal.
E:l obje i o de es e análisis es a-
dis ico es encon a el mejol modelo que expjiique las ecuencias obse adas
en la abla de con ingencia y de e mine las asociaciones e in e acciones que
son signi ica i as.
En es e a iculo expond emos el
Sis ema de ecuacionesyg a is.
Pa a ello,
pa i emos del análisis adicional de ablas d : con ingencia de dos a iables:
-
P esen ación, lec u a e in e p e ación de las ablas.
-
P ueba de signi icación de Gi-cuad a io.
A
con inuación analiza emos las ablas mul idimensionales, u ilizando
el Sis ema de ecuaciones y g a os. La exposiciijn que hacemos de es e mo-
delo no es minuciosa y p o unda, sino gene al
y
pano imica, ya que 10s ob-
je i os son conoce cómo se u iliza es a écnica y p esen a las en ajas de
la misma.
ANALISIS
DE LAS TABUS DE CONTINGENCIA
Con obje o de expone las ope aciones y cdculos es adis icos que hay que
ealiza , a nos a usa 10s da os p oceden es de una in es igación sob e la in-
luencia de di e sas a iables sob e el abandono de 10s es udios uni e si a ios,
en la Facul ad de Ciencias Polí icas y Sociologia. Es a in es igación ue p e-
sen ada como esina en oc ub e de 1982 (L,a~ iesa 1982, 1983).
Si pa imos de las a iables Ac i idad labo al y Abandono de 10s es u-
dios, cuyas dis ibuciones de ecuencias apa ecen en la Tabla 1, y p oce-
demos a la abulación c uzada de las mismas, ob enemos la Tabla 2. La a-
iable Ac i idad labo al apa ece en las
jlas
y
la a iable Abandono, en las
columnas.
Los
ma ginales
( o ales) son las dis ibuciones de ecuencias de
cada una de las a iables y las
casillas
son el c uce de cada pa eja de ca e-
go ia~.
((Pape sn: Re is a
de
Sociologia
Dis ibución de ecuencias absolu as
y
ela i as
de las a iables Ac i idad labo al
y
Abandono de 10s es udios
Ac i idad kzbo al N
%
Abandono a udios N%
no abaja
290 61
no
367 77
si abaja
184 39
si
107 23
To al
474 100
To al
474 100
TABLA
2
C uce de las a iables Ac i idad labo al
y
Abandono de 10s es udios
Ac i idad labo al Abandono
no si To al
no
si
To al
Pa a lee e in ep e a la abla, el p ocedimien o habi ual que se u iliza es ha-
lla los po cen ajes. Es os pueden se de ila, de columna o o ales, según o-
memos como base 10s ma ginales de la a iable Ac i idad labo al, de la a iable
Abandono, o del o al. Las es ablas se p esen an en las ablas 3,4
y
5.
La in e p e ación de las ablas di ie e según conside emos la Tabla 3,4
6
5.
Luego, su ge la p egun a: ¿que abla es la que debemos u iliza ? La es-
C uce de las a iables Ac i ida i labo al
y
Abandono de 10s es udios
(Po cen ajes ho izon ales)
Ac i idad labo al Abandono
no si To al
no
si
To al
Análisis mul i a iable de a'blas de con ingencia: sis emas de ecuaciones
y
ga es
TABLA
4
C uce de las a iables Ac i idad labo al
y
Abandono de 10s es udios
(Po cen ajes e icales)
Ac i idad labo al Abandono
no
si
To al
no
sí
To al
C uce de las a iables Ac i idad labo al
y
Abandono de 10s es udios
(Po cen aje o al)
Abandono
Ac i idad labo al
no
si
To al
no
sí
To al
pues a depende del in es igado y la hipó esis o explicación que sus en e. Si-
guiendo las ecomendaciones de Zeisel, los po cen ajes se deben calcula en
la di ección de la a iable independien e y se deben compa a en la di ección
de la a iable dependien e. Luego, la Tabla más ap opiada es la
3,
ya que
nos indica si la Ac i idad labo al (conside ada a iable independien e) in-
luye en el Abandono (conside ada a iable iependien e). La in e p e ación
de es a abla es la siguien e: 10s alumnos que no abajan abandonan en me-
no p opo ción que 10s alumnos que abajan. In ui i amen e, pa ece que
la elación es signi ica i a, pe o se suele u iliza el
X2
pa a e si es a elación
es ealmen e signi ica i a. En el apa ado siguien e amos a ealiza es a p ue-
ba de con as e.

((Pape s)): Re is a de Sociologia
GI-
CUADRADO
Siguiendo con el ejemplo del c uce de las a iables Ac i idad labo al
y
Abandono de 10s es udios, las ecuencias obse adas
y
espe adas (bajo la
hi-
pó esis nula) se p esen an a con inuación:
F ecuencim obse adas F ecuencim espe adas
Ac i idad Abandono Ac iuidad Abandono
labo al no sí To al labo al no si To al
no
245 45 290
no
225 65 290
si
122 62 184
si
142 42 184
To al
367 107 474
To al
367 107 474
2
-
Z
(Foij
-
Feij)2
=
20.1*
X
-
Feij
A es e alo de X2 le co esponde una signi icación de 0.000, con dos g a-
dos de libe ad. Luego, exis e una asociación signi ica i a en e las a iables
Ac i idad labo al
y
Abandono de 10s es udios. Los alumnos que abajan
abandonan signi ica i amen e mis que 10s que no abajan.
Habi ualmen e, en el análisis de ablas de con ingencia se p ocede a cal-
cula o as asociaciones bi a iadas, omando como a iable dependien e
la
misma a iable, en es e caso el Abandono de 10s es udios. De es e modo p o-
cede iamos al c uce de las a iables Ho a io, Sexo, Edad, e c., con el Aban-
dono. Vamos a ilus a o o ejemplo, con el cálculo de X2, en el c uce de la
a iable Ho a io
y
Abandono. Las ecuencias obse ada
y
espe ada se p e-
sen an a con inuación.
F ecuencim obse adas F ecuencias espe adm
Abandono Abandono
Ho a i0 no si To al Ho a i0 no si To al
-
-
-
Maiíana
117 17 134
Ma iana
104 30 134
Ta de
120 45 165
Ta de
128 37 165
Noche
130 45 175
Noche
135 40 175
To al
367 107 474
To al
367 107 474
Análisis mul i a iable de ablas de con ingenciia: sis emas de ecuaciones
y
g a os
De nue o el
X2
es
signi ica i a,
po
10
que echazamos la hipó esis nula
de ausencia de elación y acep amos la hipó esis de que exis e asociación sig-
ni ica i a en e el Ho a io y el Abandono de 10s es udios. Los alumnos de
la ma iana abandonan signi ica i amen e menos y 10s de la a de signi ica-
i amen e más.
Así segui íamos es ableciendo las asociaciones en e la a iable depen-
dien e y mul i ud de a iables independien es.
El p oblema de es e ipo de análisis, es que de e mina las asociaciones
b u as en e las a iables, pe o de es e modo no podemos sabe si la asocia-
ción en e dos a iables es espú ea o es á modulada po o as a iables in-
dependien es. En el ejempllo, la elación en e Ho a io y Abandono pod ia
debe se a que 10s alumnos abajado es se ma iculan po la a de, y po eso,
ob enemos que abandonan mis 10s de es e ho a io. En es e caso, que inclui-
mos una a iable de con ol, pod íamos cons ui dos nue as ablas de con-
ingencia
y
de ec a una posible in e acción, pe o no si el e ec o es espú eo.
Po o a pa e, cuando las a iables que in e ienen son más de es, el in-
en o de especi ica o os ilpos de elaciones se complica conside ablemen e,
po
10
que, no malmen e, el análisis de ablas de con ingencia se suele de-
ene en el análisis bi a iado de a ias a iables independien es con una de-
pendien e.
Pa a i más allá de es as limi aciones, necesi amos u iliza anáiisis mul-
i a iados de ablas de con ingencia. A con inuación, pasamos po an o a
expone uno de 10s análisis que incluyen niiil iples a iables: el Sis ema de
ecuaciones y g a os.
SISTEMA DE ECUACIONES
Y
GRAFOS
Es un modelo causal en el que p e iamen e hay que es ablece la elación
que exis e en e las a iables. Se de inen las ;~ iables dependien es, indepen-
dien es e in e inien es, y 10s e ec os di ec o:;, indi ec os y espú eos que pu-
die an exis i . El incon enien e que p esen a.
es
que es di ícil es ablece mo-
delos causales, especialmen e cuando in e ienen muchas a iables.
Una ez que el in es igado ha es ableciclo el modelo causal, se p ocede
a la ans o mación de la abla de con ingenc:ia en un sis ema de ecuaciones,
en el que 10s coe icien es de: la ecuación miden el impac o causal de unas a-
iables sob e o as. Es os coe icien es se denominan di e encia de p opo cio-
nes o c(dn.
Los coe icien es ((dn se ob ienen in e p e ,ando 10s po cen ajes como p o-
babilidades y calculando las di e encias, es deci , 10s coe icien es son di e-
c(Pape sn: Re is a de Sociologia
encias en e p opo ciones, y en una ep esen ación g á ica, es a medida se
co esponde con la pendien e de la ec a en una ecuación lineal.
Pa a ilus a es e modelo amos a emplea dos ejemplos. En elp ime o,
nos cen a emos exclusi amen e en las ope aciones y cálculos que hay que
e ec ua , pa a ans o ma una abla de con ingencia en un sis ema de ecua-
ciones. Es su icien e, po an o, emplea una abla bi a iada.
En
elsegundo,
además de e ec ua 10s cálculos, a a emos de e la u ilidad in e p e a i a
del modelo en un ejemplo de es a iables.
Siguiendo con el ejemplo del c uce de las a iables Ac i idad labo al y
Abandono de 10s es udios, ep oducimos a con inuación la Tabla 3 donde
se exp esan 10s po cen ajes ho izon ales de la abulación c uzada de las dos
a iables:
Abandono
Ac i idad labo al no
si
To al
no
84.5
15.5
100
sí
66.3 33.7
1 O0
Tenemos que con e i es a abla en una ecuación lineal, que se exp esa
asi:
Y
es la a iables dependien e (Abandono de 10s es udios)
K
es la cons an e
d es el coe icien e
X
es la a iable independien e (Ac i idad labo al)
Pa a con e i la abla de con ingencia en una ecuación lineal, enemos
que calcula el alo de dos a iables, una cons an e y un coe icien e.
Si la ecuación es la siguien e:
Y
no abandona
=
K
+
d
X
no abaja
Veamos como se calculan cada uno de es os alo es:
COEFICIENTE
El coe icien e ((d), mide el impac o causal de la a iable independien e
Análisis mul i a iable de ablas de con ingenc~a: sis emas de ecuaciones
y
g a os
(Ac i idad labo al) sob e la a iable dependien e (Abandono de 10s es udios).
El
coe icien e c(d~ es la di e encia de p opo ciones de ccno abandono)) se-
gún abajen o no:
Ac i idad labo al P opo ción de no abandono
no
.84
si
.66
d
=
(
.84
-
.66)
=
.18
La in e p e ación es la siguien e: un indi iduo que no abaja es .18 mis
p obable que no abandone, que un indi iduo que abaja.
En un g a o ca esiano el alo de c(d~ se co esponde con la pendien e
de una ecuación lineal:
.66
_-
.84
P opo ci6n
de
no abandono
si
no
AY
.18
pendien e
=
- -
=
.18
=
coe icien e c(dn
ax
1
CONSTANTE
La cons an e K es igual al alo de
Y
cuando la a iable
X
es igual a O,
es deci , la p opo ción de casos de la a iable dependien e cuando la inde-
pendien e es igual a
O.
Po que según la ecua~ción:
Y
=
K
+
.18
X;
X
ale
O
cuando la ca ego ia es ccsi abandona)), luego
Y
es
igual a la cons an e (K
=
.66).
VARIABLES
En una a iable que onia 10s alo es
O
y I,
la p opo ción se co esponde
con la media. Asi, la media de 10s alo es ccsi abandona)) (0)
y
ccno abandona),
(1) es igual a la p opo ción del ma ginal de Xa ca ego ia
1
(3671474)
=
.77;
y
la media de 10s alo es ((si abaja)) (0)
y
ccno abaja)) (1) es igual a
(2901474)
=
.61
85
((Pape s)): Re is a de Sociologia
3) Pa a calcula la in luencia di ec a de Ho a io sob e Abandono cons-
uimos la Tabla 13, colapsando la Tabla 6.
TABLA
13
C uce de Ho a io con Abandono, con olando la Ac i idad labo al
Abundono
Ho a io no
sí
To al
Mañana
112 22 134
Ta de
119 4
5
164
Noche
135
5
1 186
Y
p ocedemos a calcula ((d)), o e ec o di ec o, en la Tabla 14.
P opo ción de ((No abandona)) según Ho a io
Ho a io P opo ci6n (No abandona)
Mañana
Ta de
Ho a io P opo ci6n (No abandona)
Noche
.727
Ta de
.726
d
=
.o01
4) Cálculo de las cons an es:
La cons an e de Abandono es igual a la p opo ción de 10s que no aban-
donan, cuando el Ho a io
y
la Ac i idad labo al son iguales a
O.
Es, po an-
o, la p opo ción de 10s alumnos que no abandonan del Ho a io de a de
y
que abajan.
K
Abandono
=
.71
5)
Y
po úl imo calculamos la media (p opo ción de Abandono):
3671474
=
.774

Anilisis mul i a iable de ablas de con ingencia: sis emas de ecuaciones
y
g a os
6) Con 10s esul ados ob enidos ya podemos exp esa el sis ema de ecua-
ciones siguien e:
Ho a io noche
=
.49
+
((-
.20) (.61))
=
.37
Ho a io ma iana
=
.13
+
(( .25) (.GI))
=
.28
Abandono (no)
=
.71
+
(( .17) (.61))
+
((
.11) (.28)) +
((
.001) (.37))
=
.78
Y
el
ga a
co espondien e se p esen a en el G á ico
2.
GRAFICO 2
Modelo Causal (Va iables, cons an es
y
coe icien es)
Ac i idad labo al
(ma iana)
La in ep e ación de 10s esul ados es la siguien e:
1. Exis e elación di ec a en e el Ho a io
y
el Abandono, pe o el im-
pac o causal de es a elaci6n es el más bajo
le
odos 10s que apa ecen en el
G á ico 2.
Los alumnos de la maiiana abandonan menos que 10s de la a de
(
.11).
Los alumnos de la noche ienen las mismas p obabilidades de abandona
que 10s de la a de
(
.001).
2. Exis e elación di ec a en e la Ac i idad labo al
y
el Ho a io:
Los alumnos de ma iana es más p obable que no abajen que 10s alum-
nos de a de (.25).
Po el con a io, es menos p obable que no abajen 10s del noc u no que
((Pape s)): Re is a de Sociologia
10s de la a de
(-.20).
En o as palab as, exis en nás abajado es po la no-
che que po la a de, po eso el coe icien e es nega i o.
3. Exis e elación en e la Ac i idad labo al y el Abandono.
E ec o Di ec o.
Es .17 mis p obable que un alumno que no abaja no
abandone sus es udios, o a la in e sa, es nás p obable que abandonen 10s
alumnos que abajan.
E ec o Indi ec o.
La Ac i idad labo al in luye po medio de la a iable Ho-
a io sob e el abandono:
-
Los que
no abajan
se ma iculan nás po la mañana que po la a de;
y 10s de la mañana abandonan menos que 10s de la a de.
-
Los que
no abajan
se ma iculan menos po la noche que po la a -
de, pe o abandonan igual que 10s de la a de.
-
Los que
abajan
se ma iculan menos po la mañana que po la a de;
y 10s de la mañana abandonan menos que 10s de la a de.
-
Los que
abajan
se ma iculan nás po la noche que po la a de, pe o
abandonan igual que 10s de la a de.
El e ec o indi ec o de la Ac i idad labo al sob e el Abandono es igual al
p oduc o de 10s e ec os Ac i idad labo al sob e Ho a io y Ho a io sob e
Abandono:
E ec o To al.
Es igual al e ec o di ec o nás el e ec o indi ec o.
O
10
que es
10
mismo, el e ec o ((d)) de la asociación b u a de las dos a-
iables:
Ac i idad labo al P opo cidn de ((No Abandono))
no
.855
si
.663
d
=
.I92
Las disc epancias en e .I97
y
.I92 se deben a que exis e una pequeña
in e acción en e las a iables.
94
Análisis mul i a iable de ablas de con ingencia: sis emas de ecuaciones y g a os
CONCL USIONES
El análisis adicional de ablas de con ingencia pe mi e examina las e-
laciones en e cada pa de a iables, de e minando si exis e elación median e
la p ueba del Gi-cuad ado
y
en caso a i ma i a, de e minando la in ensidad
de la elación median e 10s coe icien es de a.sociación.
La necesidad en la in es igación social de in oduci o as a iables de
con ol ha obligado a desa olla nue as écnicas que pe mi an el a a nien o
simul áneo de a ias a iables. El modelo causal que hemos p esen ado pe -
mi e, median e la ans o mación de 10s coe icien es
c(da
en coe icien es de
eg esión es anda izados, simila es a 10s u ilizados con las a iables de in e -
a10 o azón, inclui a ias a iables y descon~pone 10s e ec os exis en es en-
e ellas. Pe o, como ocu e en odos 10s análisis causales, el p oblema con-
sis e en de e mina p e iamen e el modelo eó ico que es ablezca las
elaciones en e las a iables, ya que no siemp e es posible hace explíci as
las hipó esis que o ien an es as elaciones. Po o a pa e, y dependiendo de
10s obje i os de la in es igación, no siemp e es necesa io ecu i a es e mo-
delo. Po ejemplo, si nues o obje i o uese de e mina las asociaciones e in-
e acciones que exis en en e las a iables, no necesi a iamos de ini p e ia-
men e a iables dependien es
e
independien es, ya que odas ellas las
a a iamos como independien es; en es e caso, el modelo mul i a iable más
ap opiado se ia el loga i mico lineal.
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