Pub
.
Ma
.
UAB
N° 20
Se
.
1980
Ac es
VII
JMHL
SOBRE
FUNCIONS
DE
NEGACIO
FEBLE
PER
LA TEORIA
DE
CONJUNTS
DIFU-
SOS
.
F ancesc
Es e a,
Xa ie
Domingo
Dp
.
d
e
Ma ema iques
i
Es adís ica,
E
.T
.S .A .B
.
Uni e si a
Poli écnica
de
Ba celona
1
:
In oduccib
El
pun de
pa ida
del
p esen
eball
és
doble
:
-Pe
un
cos a
es
pa eix
del
concep ede £uncióde nega-
ció
sob e
un conjun
o dena
(C,<)
(Sales,[6])
comuna
aplicació
C
-+
C
dec eixen
i
al
que
pe
o
xEC
és
x
<
T
2
(x),
es u-
d
.iades
pel
ma eix
Sales
i
Pla
([3]),
i
del
ac amen
de
les
un-
cions
de
negació
en
e icles
comple s
i
el
eo ema
d'ex ensib
(Es e a,
[21)
.
-Pe
al e
pa ,
en
la
eo ia
dels
conjun s
di usos
([8])
es
de ineixen
les
negacions
com
aplicacions
dec eixen s
n
:[0,1]
-
[0,11
als
que
n(0)
=
1,
n(1)
=O
;
aques es
negacions
s'anomeneno dina ies,
ebles
o
o essegons
sa is acin
x_>

T
2
(x),

x
_<

T
2
(x)

ó x
=-[2
(x)

espec i amen
.

E
.

T illas([5])
ha
ca ac e i za
les
negacions
o es
amó
pun de sime iasob e
un
conjun J
al
que
{0,1}
C
J
c[0,11

i

1-J=
J
mi jan(7an
gene-
ado s
addi ius
.
En pa icula ,
han
queda
ca ac e i zades
pe
aques a
ia
uncional o es
les
uncions
de
negació
o a
en
[
0,1]
.
A pa i
d'aques s
esul a s
es udiem
les
negacions
ebles
en
[0,1],
donan
una
descomposició
ac o ial
i
la
ca ac e i za-
cib
mi jangan
gene ado s
addi ius
en
alguns
cassosconc e s
.
2
.1
.
Com
a
uncions
de
[0,1]
en
[0,1]
les
negacions
ebles
sbn
uncions
n mon5 ones
dec eixen s
amó
n(0)
=
1
i
n(1)
=
0
que
compleixen
2
:
Es udi
de
les
negacions
eblesde
[0,1]
.
P oposició
2 .1 .1
.
Si
n
:[0,11-
[0,11
és
una
negacib
eble,
alesho es
:
(i)
n
és
(ii)
n
és
(iii)
n
e i ica
si
es o a
.
Aixb
ens
diu
que
de
n
(conjun
de
un subconjun
de
e icle
--
cómple
con inua
pe
1'esque a
en
o
xE
[0,1],
con inua
pe
la
d e a
en
o
x
9!
n([0,1]),
les
lleis
.
de
De
Mo gan
in ini es
si
1
només
el
conjun
D
n
dels
pun s
de
discon inui a
ca dinalin e io
o
igual
al
nume able)
és
n([0,11)
.
El
e
d'ésse
n([0,11)
in -semi-
que'cón é
0
-
¡ 1
-po a
a
qué
izo
o
súbcon
jun
nume able
de
[0,11
pugui
ésse
el
subconjun
Dn
pe
cap
negacib
eble
n
a
una
ce ca
n
.
Pe
exemple,
no hi ha
pe
la dual
bn
,---
Q
n
0,
.
__
Pe

al e
pa
,
1
ia
e3Sen ce
mi
duna
súccessióde
negacions
ebles
(cas
eixi)
sigui
una
negacib
eble,
es
e i ica
:
P oposició
2
.1 .2
.
To a
negacib
o a
o
eble
amó
un
ini
.
d
e
pun sde
disco inui a
és
limi
uni o me
duna
suc-
cessi6
de
negacions
ebles
esg aonades
amó
un
nomb e ini
de
pun s
che
discon inui a
.
2.2
.
$n
segon
bles
.
(i)
Si
nl
és
discon inua
en
xo
;
alesho es
(n(x
0
),

n(xo))
.
(11)
Si
(a,b)
y¿0
és un in e alobe
maximal
en
el
és
cons an ,
alesho esn
é
una
di
.scon inui a
i
és
n
(n
(b)+)
=a
i
n
(n
(b)

)
=b
.
en
gene al
que
de
que
n
és
nomb e
lloc
es udiem
la
"sime ia"
de
les
negacions
e-
P oposició
2
.2 .1
.
Si
n
: 0,1j
->
[0,1)
és
una
negacib
eble,
cons an
en
que
n
en
n
(b)
Aixb
ens
diu
que
o a
negacib
ebleconse a,en ce
sen-
i ,
.la
sime ia
que
enen
les
negacions
o e
s
espec e
y=x
;
només
cal
iden i ica
el
simé ic
d'un
sal
amb
un
og
de
unció
cons an ,
i
ecip ocamén
.
Aques a
cons a acib
ens
po a
a
de ini el
que
en end em
pe
unció
"simé ica" espec e
y=x
i
a
eu e
queuna
condicib
necessá ia
i su icien
pe qué
:[0,1]
->
[0,1]
sigui
una
negacib
eble
és
que
sigui
dec eixen
i
"simé ica"
espec ey=
x
.
Donada
una
negacibn
i
conside a s
els
conjun s
d'elemen s
posi ius
Pn
(x<
n
(x))
,

nega ius
Nn
(x>
n(x»

i

ixos
Fn
(x
=n
(x)
)
( id
.
[2]),
is
que
N
n i
Pn
sbn
subin e als
disjun s
amó
un
pun
de
sepa acib
s,
hi ha
dues
possibili a s
:
(1)

Fn =

{s},

i

alesho esNn
=[ 0,s)

i

Pn
=
(s,1],
(2)
F
n
=0,
i
alesho es
Nn
=[0,s]
i P
n=
(s,1]
.
El ni ellde sime ia
duna
negacibn
([41
i
[51)
es
de i-
neix
com
s
n
=

,
V

(a
nn
(a))
=

A

(a
,
4
n (a))
.
aE
[
0,1]

aE
[
0,1]
En el
cas
(1)
és
e iden
que
el
ni ell
de sime iade
n
és
el
pun
s,

pe ó
en el

(2)

enim
que

V

(a
n
n(a))
=s,

i
aE[0,1]
(a
n(a))
=
n(a),

i
pe
an
sembla
lógicp end e
com
aE
[
0,11
a ni ell
de sime ia1'in e al
(s,n(s))
.
En
aques
cas
pa la-
em,
doncs,
de
1'
in e alde sime ia
de
la
negacib
n
.
3
:
Descomposicib ac o ial
de
les
negacions
ebles
.
Sigui
n
una
negacib eble
amó
un
nomb e
ini de
pun s
de
discon inui a
;
N de ineix
una
descomposicib
de
[0,1]
en
subin-
e alsI
i
d'ex ems
supe io sb
i
en
elsque
n
és
cons an o
con-
inua
i
es ic amen
dec eixen
.
Sigui
K
={¡
;ni,
,
és
cons a
n },
1
i K'
=
{
(i,j)
;n(Ii)
=
I
j }
.
Alesho es
:
P oposicib
3.1
.
Si
n
és
una
negacib
eble
en
[0,1]
amó
un
nomb e
ini
de
pun s
de
discon inui a ,
exis eixen
negacions
o es
n
i
de
[0,11
als
que
:
n

(
.i
Ej
)

E

K'

n1

ll
i~

I
j

;

i
E
Kn
(b
i
)
1
21
.
(on
1
C
ep esen a
la
unció
ca ac e ís ica
de
C
i
A
la
di e én-
cia
simé ica)
Recip ocamen
:
P oposició

3
.2
.

Sigui

I
,
=
[0,a
1
] ,

Ii
=
(a
i_11
ai
]

i
=
2,
....

k
una
pa ició
de
[0,a
k
]
.

To a amilia
de
uncions

i
:[0,11

-
;
[0,11
i
=1
.
.
.k
als
que
cada
.

és
o
una
cons an
o
una
negació
o a,
1
i(ai)
> i
;1
(a
i
)

pe
i=
1
.
.
.k,

i
k(ak)
iak,
de ineix
una
única
negació
n

de

(0,11

alque

ni,
.

=

i
I
I,

i
N
n=
[0,a
k],

donada
pe
:

i
i
n
=

E

a
l 1
I,
i

E

i

ll
.o( (a
.

)
.
.(a
.)
1
a
k
1
(a

(a
H
.
iEK

i,
iizK

i

k'
kk
4
:
Gene ado s
addi ius
pe
anegacions
ebles
.
A
pa i
dels
esul a sde Es e a
([2])
i
T illas
([5])
ob-
enim
gene ado s
addi ius
pe
a
les
negacions
ebles
de
[0,1]
amó
ima ge
simé ica
espec e
del
pun
1/2
.
Conc e amen
:
P oposiciú
4
.
1
.

Si
n
és
una
üegaciú
eble
en
[
0,
i]

amb
ima gé
simé ica
espec e
del
pun
1/2
i
in e alde sime ia
(s,n(s)),
exis eixen
uncions
c eixen s
i
bijec i es
:n([0,1])
U
(s,n(s))
-"

n
([
0,
1]
)

U
(s,
n(s)
)

als

que
:
-1
(
(1)- (^{yen([0,1])
;

y>x})
)si
xE[0,1]-(s,
.n(sl),
{S

si
xE
(s,n(s))
.
Recip ocamen
:
P oposició
4.2
.

Si

{
0,
1 }
C
JC
[
0,
1
]

i
J=1-J,

o a

unció
:J
-
.
Jc eixen
i
bijec i a
de ineix
(pe
(&))
una
únicanega-
ció
eble
n
:[0,1]-
[0,1]
amó
in e al
de sime ia
(s, )

(on
s
=
sup

{x
E
J
;

(x)
>
x}

i

=
in

{x
E
J
;

(x)
<
x})

i n
([
0, 1]) =
J
.
REFER%NCIES
1
.
BODIOU,G
.
"Théo ie
dialec ique
des
p obabili és",
Gau hie
Villa s,Pa is
(1964)
2
.
ESTEVA,F
.
"Con ibución
al
es udio
de
la
es uc u a
del
con-
jun o
de
negaciones
de inidas
en un
e ículo
S ochas ica,
Vol
.l
nó
1(1975),
49-66
.
3
.
PLA,J
.
"Sob e
negaciones
en
e ículos",
Ac as
II
Jo nadas
Hispano-Lusas
de
Ma emá icas,
Mad id
1973
.
4
.
PREPARATA,F
.P
.-YEH,R
.T
.
"Con inuously
Valued
Logic",
Jou n
.
o
Comp
.
and
Sys
.
Sci
.,
6
(1972),
397-418
.
5
.
TRILLASE
.
"Sob e
uncionesde negaciónen
la
eo ía
de
con-
jun os
di usos",
S ochas ica,
Vol
.III,nó
1
(1979),
47-59
.
6
.
SALES,F
.
de
A
.
"Aplicaciones
de Galois
en
conjun oso dena-
dos
y
en
e ículos",
Collec
.
Ma hem
.
Vol
.XXI,
1
(1970)
19-39
.
7
.
SALES,F
.
de
A
.
"Algeb as
de Hilbe ",Cu so
monog á ico
de
doc o ado,
Uni
.
d
e
Ba celona,
1973
.
8
.
ZADEH,L
.
"Fuzzy
se s",
In
.
and
Con ol,
8
(1965),
338-353
.