PUBL
.Ma
.UAB
Ns
18
Ab il
1980
Ac as
II
Cong eso
de
Ecuaciones
Di e enciales
y
Aplicaciones
.
Valldo eix,
Mayo
1979
ESTUDIO
CUALITATIVO
DEL
PROBLEMADE SITNIKOV
Jaume
Llib e*
y
Ca les Simó**
Abs ac
.-
The
Si niko
p oblem
o e s
a
ich
a ie y
o
mo ions
when
he
ull
phase space
is
s udied
.
Besides
classical
esul s
due
o
Aleksee
and
Mose
a
ca e ul
desc ip ion
o
inal
e olu ions
is
p esen-
ed
.
To
achie e
his
esul
we ake
in o
accoun
he
successi e
in e -
sec ions
o
he
in a ian mani olds
o
he
in ini ywi h
he
plane
ó
he
p ima ios
.
51
.
Las
ecuaciones
del
mo imien o
.-
Sean
m
1
y
m2
dos
masas pun ua-
les
e
iguales
mo iéndose
según
la
ley
delag a i ación
de
New on
en
ó bi-
as
elíp icas
con
su
cen ode
masas
(c .d .m
.)
en eposo
.
Conside amos
una
e ce a
masa
pun ual
e
in ini esimal,
m
3
,
mo iéndose
sob e
la
ec-
a R
pe pendicula
al
plano
n
de e minado
po
las
ayec o ias
de
los
dos
p ime os
cue pos pasando
po
su
c
.d
.m
.
( ig
.
1)
.
El
mo imien o
dé
las
dos
p ime as
masas
no
es á
a ec ado
po la
e ce a
y,
debido
ala
sime ía,
el
e ce
cue po
pe manece
sob e
R
.
El
p oblemade
Si niko
[91
consis e
en
desc ibi
las
ó bi as
del
cue podé masa
in ini esi-
mal y es un
caso
pa icula
del
p oblema
es ingido
de
es
cue pos
.
Como
es usual
llamá emos
p ima ios
a los
cue pos
cuya masa no es
in ini esimal
.
No malizamos
las
unidades
de
iempo,masa
y
longi ud
de
mane a
que
el
pe íodo
de
los
p ima ios
sea
27 ,
la
masa
o al
sea
1,
es o
es,
m
1
= m2
=
2
y la
cons an e
de la
g a i ación
alga
1
.
Sea q
la
coo
denada
que
nos da la
posición
de m
3
sob e
la
ec a
R,
habiendo
oma-
*
Facul a
de
Ciéncies, Uni e si a Au bnoma
de
Ba celona
.
**
Facul a
de
Ma emá iques
i
Labo a o i
de Cálcul,
Uní e si a
de Ba
celona
.
do
el
o igen,
q
= 0
,
en
el
c
.d .m
. .
Las
ecuaciones
del
mo imien o
son
q
=
p,
P =
-
q/(q2
+
2( ))
3/2
,
( )
=
2
(1-e
cos
) +
0(e2),
Fig
.
1
.
El
p oblemade Si niko
pa a
excen-
icidades

e > 0
.
donde
( ) =
( +27 )
>
0
es la
dis ancia
de
uno
de
los
p ima ios
al
c
.d .m
.
Si e
es
la
excen icidad
de
las
ó bi as
elíp icasdesc i as
po
m
1
y
m2
,
enemos
que
en el
en o no
de
e
=
0
.
Si la
excen icidad
e es igual a
ce o
( ig
.
2),
el
sis ema
di-
e encial
(1)
es
conse a i o,
es o
es,
posee
la
in eg al
de
la
ene -
gía
Fig
.
2
.
El
mo imien o
de Si niko pa a
la
excen icidad
e
=
0
.
2
p
2
-

(q
2+4)'1/2

=
c

(2 ),
donde

c
>2
.
El
es udio
del
espacio
de
ases
(q,
p)
se
mues a
en
la
ig
.
3
.
El
o igen
0
es un
cen o
(pun o
de equilib ioes able,
c =
-2)
.
Hay
es
clases
de soluciones,
las
del
ipo
A
(oscilaciones
u ó bi as
elíp icas,
-2
<
c
<
0), las
sepa a ices
B u
ó bi as
pa abólicas(que
llegan
al
in ini o
con
elocidad
ce o,
c
=
0),
y
las
soluciones
C
o_
madas
po
las
ó bi as
hipe bólicas
(quellegan
al
in ini o
con
eloci-
dad
posi i a,
c >
0)
.
Fig
.
3
.
O bi as
en el
caso
e =
0
.
Si
la
excen icidad
e
es
posi i a,
el
sis ema
(1)
con iene
el
iempo
explíci amen e
.
Po
lo
an o,
hemos
de
es udia
las
ó bi as
deun
campo
ec o ial
en
el
espacio
idimensional
q,
p,
.
Realmen e,
inclu
so
cuando
la
excen icidad
es
ce o,
pa a
desc ibi
comple amen e
el
mo-
imien o
de
Si niko ,
hemos
de
conside a
las
ó bi as
en
el
espacio
q,
p,
.
Así
podemos ene
en
cuen a
no
sólo
la
posición
de
m
3
espec o
del
plano
q=0,sino
ambién
espec o
de
m
1
ym2
.
Pa aes udia
las
ó bi-
as
en
el
espacio
q, p,
u iliza emos
la
aplicación
de
Poinca é
.
Pa e
de
la
exposición
que
sigue
ha
sido
omada
de
[81
.
§2
.
La
aplicación
de
Poinca é
T
e
.-
Es
clásica
la
educción
del
es u-
dio
de
un
sis ema
dinámico
en un
espacio
de
dimensión
3,
al
es udio
de
una
ans o mación
pun ual
T
del
plano
u ilizando
una
supe icie
de
secciónE
.
La
aplicación
T
se
cons uye
de
la
mane a
siguien e
:
cada
pun o

x
E
E

se
aplicaen
el
siguien e
pun o
de
in e sección,
Tx,

de
la
cu a

y,
solución
del
sis ema
dinámico
que
pasa
po
'
x,
con
la
su-
pe icie
E
( ig
.
4),
suponiendo
que
dicha
in e sección
exis a
.
Fig
.
4
.
La
aplicación
de Poinca é
.
Las
p opiedades
esenciales
del
sis ema
di e encial
quedan
ep esen
adas
po
la
ans o mación
T
de
una
mane a
más
cla a
y
condensada
.
Una
ó bi a
pe iódica
se
con ie e
en un
pun o
in a ian e
po
T o
po
una
po enciade
T
.
Una
ó bi a
quasi-pe iódica
eco iendo
un
o o
en
el
espacio
de
ases,
se
aduce
po una
sucesión
de
pun os
eco iendo
una
cu a
de la
supe icie
de
sección
con
núme ode o ación
i acional
.
La
es abilidad
de
una
ó bi a
puede
es udia se
median e
el
análisis
del
com
po amien o
de
los
i e ados
po
Tdel
pun o
de
la
supe icie
de
sec-
ción
que
de e mina
la
ó bi a,
e c
.
Teniendo
en
cuen a
la
pe iodicidad
espec o
de
en
las
ecuaciones
(1),
podemos
iden i ica
las
supe icies
=
0
y
=
2n
,
y
conside-
a
el
sis ema
di e encial
(1)
en
el
espacio
R
x
IR
x S
1
con
las
coo d_e
nadas

(q,
p,

(mód
.
2n
))
.
En
es e
espacio
iden i icamos
la
ó bi a
S
l
co espondien e
al
pun o
de
equilib io
q
=
0,
p=0
a un
pun o
O
.Pues
o
que
el
sis ema
di e encial
es
in a ian e
po
la
sime ía

q
-
-q, no
necesi amos
dis ingui
en e
los
alo es
posi i os
y
nega i os
de
q
.Iden
i icamos
(-q,
p, )
con
(q, p, ), y
po
an o
los
pun os
(q
=
0,
-p,
)
con los
pun os
(q
=
0,
p,
)
.
Sea

E

el
espacio
esul an e,
y
sea
Te
la
aplicación
de
Poinca é
de la supe icie
de
sección
E=1(q,
p, )
eE
I
q=01
,
pa a
la
excen icidad

e
.
Es o
es,
dado
un
pun o
(p
o
,
o
)
de

Ey
po
lo
an o
la
ó bi a

q( )
del
e ce cue po
al
que

q(
o
)
=0

y
P(
o
)
=
po,
sea
1
el
siguien e
ce o
de
q( )
con
1
> 0
,
si
exis e
.
La
aplicación
Te
se
de ine
median e
Te
(p
o
,
o
)
= (p
1
,
1 )
siendo
p
1 =
p(
1
) .
Nó ese
que
E
es un
plano donde
po
,
o
son
coo denadas
pola es
.
§3
.
El
caso
in eg able,
e =
0
.-
Pa a
desc ibi
la
aplicación
T = Te pa-
a e
=
0
obse emos
de
(2)
que
p
1
= p
o
pa a
p
o<2,
y
que
el
iem
po
de
eg eso
a
E,
1
- o =
T(p
o
)
es
una
unción
de
p
o
independien e
de
o
.
Además
cuando

po
-
2

el

iempo

T(
Po
)
-
°°
.
La
aplicación
T
iene
la
o ma
p
l

=

po

'
1 =
o
+
T(p0)
(mód
.
2n
),
de
mane a
que
la
ci cun e encia

p
(p
o =
cons an e
<
2)
es
in a ian-
0
e
po
T
.
La coo denada
o
(mód
.
2n)
es la
coo denada
angula
sob e
po,
yla
aplicación
T
es ingida
a
la
ci cun e encia
1-p
o
es
un
gi o de
án-
gulo T(pd
.
Es
cla o
que
el
dominio
de
de inición
de
T, D
1
,
es
el
disco
abie o
de
adio
2
.
Lema
1
.-

Pa a

e
=
0,
la
unción
T(p
0
)
es
es ic amen ec ecien e
en
0<
p
o<
2
(Fig
.
5)
.
53

Demos ación
:
Usando
(2)
el
pe íodo
puede
exp esa se
como
=
4
gmax
T

d
/

2

-

2
J

g

,
q
2
+
1/4

q2
0

+
1/4
max
que con
el
cambio
a =
a c g
(2q) se
con ie e
en
a
l
a
2
sec
ada
Vcosa
-
Cosamax
Debemos
e que
T
es
una
unción
c ecien e
de
amax'
es
deci ,
T(
amax,l)

<

T(
amax,2)

si

a
max,1
<

amax,2'
Sean
1
,
2
,
g
uncionesposi i as
es ic amen ec ecien es
en
10, a
1
1
,

[
0,
a 2
1

y

(0,
a 3
1
,
espec i amen e,
con

0<a
l
<a
2
1
a 3
.
Si
,>


en

(0,
a,l


Cal

.<
a
2


a i mamos
oue
1
G

-
-
1
-

G

'
Jo

1
JO
J0

1
.g<JO

2
.g

.
x
y
En
e ec o,
dado

x<a
l ,

sea

y
E
(x

,
a 2
)

al

que

(

l=

J
O
2

.
z
De inimos
h
i
(z)
=10
i ,
z
E[0,
a
i
1
,
i=
1,2
,
y
po
an o
h1(x)=h2(y)
.
1)

b
Luego

JO
1
9(x)dh
1
(x)

<
JO
2
9(y)dh2(Y)

si

h
l
(b
1
)

=
h
2
(b
2
),
de
donde
se
ob iene
nues o
ase o
.
Tomando

a
i

=a
max,i

,

i

=

(cosa-
cosa
max,i)-l/2,

i

=

1,2,
y
g
=
sec
2
,
se
iene
el
lema
1
eniendo
en
cuen aque
dicho
lema
es'cie o
pa a
el
péndulo
.
Si
gmax
"
0se
iene
que

T-+7C/~ 2
.
Fig
.
5

Fig
.
6
Del
lema
1
y
eniendo
en
cuen a
que

7(p0)

+

cuando
po
-
2,
e-
sul a
que
la
imagen
de
cualquie
adio
de
D
1
es
una
cu a
que
espi ala
in ini as
eces
al ededo
del
o igen
ap oximándose
ala
on e a
po =
2
( ig
.
6)
.
Po
consiguien e,
la
aplicación
Tes
una
aplicación
" wis "
( éase
[81
)
.
Es
cla o
a
pa i
del
lema
1
que
hay
cu as
p

que
gi an
un
0
ángulo
T(p0)
al
que

T(p0)
/
2n
es
acional
.
El
ángulo
T(p
o
)/
2n
es
el
núme ode o ación
de la
cu a
in a ian e
P

po la
aplica--
ción
T
.
Conside emos
las
i e aciones
de la
aplicación
T
.
Pa a
un --
pun o
inicial
x
=
(p
o
,
0
)
pe enecien e
a
una
cu a
P

con
un
núme-
o de o ación
acional

igual

a

P
/
Q

(P
y
Q

p imos

o
en e
sí),

se
iene
que
x es un
pun o
pe iódico
de
T
de
pe íodo
Q
.
El
núme o
P
mide
las
uel as
en e as
que
se
dan
al ededo
del
pun o
ijo
cen al
0
cuando

se
eco en

los

pun os

x,

Tx,

T
2
x,

.
.
.,
TQx

=
x
.

(Fig
.

7)
.
Fig
.
7
Si el
núme o
de
o ación
de
p0
es
i acional,
pa a
cualquie
pun
o
xe

los
pun os
Tnx
o man
un
conjun odenso
en

( éase
[21,
po

po
apéndice
I)
.
En
esumen,
las
cu as
in a ian es
P
es án
o madas
po
0
pun os
pe iódicos
o
quasi-pe iódicos
según
que
el
núme o
de
o ación
de
p^

sea
acional

o
i acional
.

Como
se
obse a
en

[21

,

p
.

79,
en
o-
dos los
p oblemasin eg ables
de
la
mecánica
clásica,
se
encuen a
que
-
las
ó bi as
aco adas
son
pe iódicas
o
quasi-pe iódicas,
es o
es, la
ó b_i
a
gené ica
es
densa
sob e
un
o o
in a ian e
sume gido
en
el
espacio
de
ases
.
Obse emos
que
el
o igen
0 es
es able,
es o
es,
si
x =
(p
o
,
o
)
n
es al
que
po
es
su icien emen e
pequeño,
en onces
T
x
pe manece
peque
ño
pa a
odo
n
.
Vamos
a
econs ui
el
lujo
en
el
espacio
de
ases
F
=IR
x
R
xS 1
a
pa i
de la
aplicación
de Poinca é
T
.
En
i ud
de la ig
.
3
podemos
pensa en
el
espacio
de
ases
.F
oliado
de la
siguien e
mane a
:
el
pun
o de
equilib io
0 da
luga
a
una
ci cun e encia
Ven F
.
Las
ó bi as
aco
adas
del
ipo
Ase
mue en
sob e
o os,
encajonados
los
unos
den o
de
los
o os
en ol iendo
a
la
ci cun e encia
( ig
.
8)
.
Las
ó bi as
pa abó
Ticas
dan
luga
a
dos
cilind os
que
cons i uyen
la
on e a opológica
de
los
o os
encajonados
.
Podemos
pensa en
es os
dos
cilind os
como
-
el
esul ado
de qui a
dos
ci cun e encias
C
1
y
C 2
de
un
o o,
al
co-
mo
se
indica
en la
ig
.
8
.
(Las
ci cun e encias
C
1
y
C
2 se
co esponden
con
los
dos
in ini os
de
q)
.
A su
ez
cada
cilind o
de
ó bi as
pa abó
Ticas
es á en uel o
po
oda
una
amilia
de
cilind os,
cada
uno
de
ellos
eco ido
po
ó bi as
hipe bólicas
.
Es
cla o
que
las
ó bi as
pa abóli-
cas
o
hipe bólicas
eco en
sus
espec i os
cilind os
en
la
o ma
indi
cada
en la
ig
.
9
.
La
espi al
co espondien e
a
una
ó bi a pa abólica
o
hipe bólica
da
in ini as
uel as
al
ace ca se
ala
on e a
del
ci-
lind o
.
Fig
.
8

Fig
.
9
Ejemplo
de
una
ó bi a
pa
abólica
o
hipe bólica
en
el
es-
pacio
de
ases
F
.
Veamos
cómo
las
ó bi as
aco adas
o
elíp icas
eco en
sus
es-
pec i os
o os
.
Del
es udio
ealizado
pa a
la
aplicaciónde
Poinca é,
se
deduce
que
si el
núme ode o aciónde
la
ó bi a
es
i acional,
és
a es
densa
en
el
o o
que
la
con iene,
es o
es,
se
a a
de
una
ó bi
a
quasi-pe iódica
.
Si el
núme o
de
o ación
es
acional
igual
a
P/Q
(P
y
Q
p imos
en e
sí),
la
ó bi a
es
pe iódica
.
Teniendo
en cuen a
las
iden i icaciones
que
hemos
hecho
en
el
espacio
de
ases
F
pa a
ob ene
el
espacio
E,
donde hemos
es udiado
la
imagen
po T de la
supe icie
de
sección
E
,
esul a
que
si
Q
es
pa
(impa )
la
ó bi a
an es
de
ce a
da
Q/2
(Q)
uel as
en
la i ud
yP (2P)
uel as
en
longi ud
( ig
.
10)
.
Fig
.
10
Ejemplo
de
una
ó bi a
aco ada
pe iódica
con
núme o de
o a-
ción
igual a 1/3
en
el
espacio
de
ases
F
.
57
an
los
pun os
hipe bólicos
.
No
obs an e,Smale
y
Mose ,
(81
p
.
101,
han
demos ado
que
en odo
en o no
de un
pun ohomoclínico
ans e -
sal se
encuen a
el
shi
de
Be noulli
como
subsis ema
.
Po
lo
an o,
si
la
aplicación
TR
posee
pun os
homoclínicos
ans e sales
el
lujo
del
mo imien o
de Si niko
iene
en su
en o no
un
compo amien o
"mixing"
( éase
(21,
p
.
18)
.
Numé icamen e
se)sabe
que
los
i e ados
po
Te
de-unpun o
com-
p endidoen e
dos
cu as ce adas
in a ian es
e
y
si uado
ue a
de
la
egión cubie a
po
las
islas
iendena
llena
como
un
"ma de
pun
os"
la
zona
comp endida
en e
las
islas
.
Véase
po
ejemplo
la
ig
.14,
co espondien e
a la
aplicación
de Poinca é
es udiada
po
Hénon
y
He¡
les
(51
.
En ella
odos
los
pun os si uados
ue a
de
las
cu as pe e-
necen
a una
sola
ó bi a
.
.6
.4
0
.8
.6 .4 .2
0
-
.2
-
.4
Fig
.
14
§6
.E oluciones
inales
.-
Se
llama
e olución
inal
p oblemade
Si niko ,
al
compo amien o
del
cue po
simal
cuando
el
iempo
iene
a
luciones
inales
se
emon a
a
de
una
ó bi a
del
de masa in ini e
+-
ó a
--
.
El
es udio
de las
e o-
Chazy
141
quien
en
1922
dió
una
cla-

si icación
de
las
posibles
e oluciones
inales
pa a
el
p oblema

de
es
cue pos
.
En
el
mo imien o
de Si niko
sólo
son
posibles
cua o
ipos
de
e olución
inal
:
pa abólica
(P),
hipe bólica
(H),
es able
según
-
Lag ange
(L,
co esponde
a
ó bi a aco ada)
y
oscila o ia
(OS,
co es
ponde
a una
ó bi a no
aco ada
en
la
cual
el
cue pode masa
in ini e-
simal
no
llega
a
escapa se
al
in ini o)
.
Deno a emos
po
H l L
+
a
una
ó bi a
en
que
la
e olución
i-
nal es
hipe bólica
cuando
-
-co y
lag angiana
cuando
~
+co
.Es
cla o
que
-
el
mo imien o
de Si niko
cuando
e
= 0
sólo
ienee olu
ciones
inales
del
ipo
L-(1L
+
,
P -
n
P
+ y
H-(1H
+
.
Median e
su
ejem-
plo,
in oducido
en
1959,
Si niko
ue
el
p ime o
en p oba
la
exis-
encia
de
e oluciones
inales
del
ipo
oscila o io
en
el
p oblemade
es
cue pos
.
No
obs an e,
la
exis encia
de
ó bi as
pa a
los 16
casos
posiblesde
e olución
inal en
el
p oblemade Si niko
no
ue
demos-
ada
has a
1968
po
Aleksee
[11
.
En
1970-73
Mose
dió una
nue a
de
mos ación
usando écnicas
más
sencillas
.
Mc
Gehee
[71,
haciendo
el
cambio
de
a iables
2
q
-
U
¿
,
p

=

-

,
0
<
u
<om,
que
lle a
el
in ini o
al
o igen,
demues a
que
en
el
in ini o
hay
una
ó bi a
pa abólica
que
se
compo acomo
pun o
hipe bólico
(degene ado)
y
cuya
a iedad
in a ian e
es able
( esp
.
ines able)
es á
o mada
po
las
ó bi as
pa abólicas
pa a
-
+oo( esp
.-co)
y
es
homeomo a
a un
cilind o
.
Mose ,
en
el
eo ema
1,
p ueba
que
la
p ime a
in e sección
de
la
a iedad in a ian e
es able
(ines able)
con
la
supe icie
de
sección
£
es

áD
l (
áD
-1
)
( ig, 15)
.
Como
que
aD
1
y
óD
-1 se
co
an
no
angencialmen e
si e
es
su icien emen e
pequeña,
los
pun os
de
co e

son pun os
homoclínicos
ans e sales
.
Como se
sabe
en
el
en o no
de un
pun o
homoclínico
ans e sal
se
encuen a
el
shi
de
Be noulli
como
subsis ema
.
Es e
hecho
pe mi ió,
p ime o
a
Aleksee
y
después
a
Mose , p oba
el
siguien e
eo ema
.
Teo ema4
.-
A
cada
ó bi a
del
p oblema
de
Si niko
le
asociamos
una
sucesiónde
en e os
(
.
.
.,
a
-2
,
a-1,
ao
,
a
l,
a
2
,
.,
.
.)
de
mane a
que
a
n
mide
el
núme ode
uel asen e as
que
han
dado
m
1
y
m
2
en e
el
paso
núme on y
el
pasosiguien e
de
m
3
po
el
plano
q
=0
.
E en ualmen e
la
sucesión
(a
n
)
puede
se
ini a
po
la
izquie da
con
a
h
=+
oo
y
h
<O,
o
ini a
po
la
de echa
con

al=
+eo
y
1
>
1 :
Dada
una
excend icidad
e
>
0
su icien emen e
pequeña,exis e
un en e o
a
=
a(e)
al
que,
cualquie sucesión
de
en e os

(a
n
),
con
an
> a
,
co esponde
a
una
ó bi a
del
e ce
cue po
.
Fig
.
15
.
Aspec o
cuali a i o
en
el
espacio
E
y
en
las
coo dena-
das
de
Mc
Gehee
de la
p ime a
in e sección
de
las
a iedades
in a-
ian es
de
la
ó bi a
hipe bólica
en
el
in ini o
con
la
supe icie
de
sección
E,
pa a
alo es
de e
su icien emen e
pequeños
.
Di emos
que
un
pun o

x e
l
da
luga
a
una
ó bi a pa abólica
po
Tn
(Te
n
)
y lo
pond emos
x e
P
n(xs
P
-n
), si
la
ó bi a
que
de e mi
na,
después
de
a a esa
n-1
eces
el
plano
q=0
se
a
al
in ini o
pa
abólicamen e
cuando
el
iempo
--
+

Análogamen e
se
de inen
las
ó bi ashipe bólicas
po
T
n
(Ten
)
y se
designan
po
H
n
(H-n
)
.
Es
cla o
que
un
pun o
de
-Y
co esponde
a
una
ó bi a
pa abólica
po
Te
(Te
n )
si
pe enece
a la
n-ésima in e sección
de
la
a iedad
es able
(ines able)
del
.in ini o con
la
supe icie
_ ,
y
que
P 1
=
DD
1
,
P
-1
=
aD-1
.
Que emos
de e mina
sob e
F
los
pun os
que
co esponden
a
ó bi as
con
e olución
inal
del
ipo
(C
U
os)
I1
(L
+
U
os
+)
.
Si Dn
es
el
dominio
de
de inición
de
Té, con
.nE
Z
y
n#0,
bas a á
halla
+
.0
_
(1
.
D
n
.

.
n=-~^
n#0
Como
D- n=
SD
n
( eo ema
1),
bas a
ob ene
Dn
pa a
n>,
1
.
De
(8]
p .165
se
ob iene
que
DD
1
iene
dada
po
p
0
=2+-
3
8
.e-
(-Asin
O
+Bcos
0
)+
0(e
2
),
donde
B
+
Ai
=

/
e
¡
zi(z
2
+1/4)
- 5
/2
d

y
z
es
solución
de
la
ecuación
z =
-z(z2+1/4)-3/2
con
z(0)
=
0,
i(0)
=2
.
Un
cómpu o
numé ico
da
A
=0
.67639
.
.
.,
B
=2
.46685
.
. .

La
ig
. .
16
mues a
un
compo amien o
ealis ade
a
Di
.
aD
-1
usando
esos
alo es
.
Sea
oc
una
cu a
in a ian e
po
Te
y
yun
segmen o
que
iene
un ex emo,

x,

sob e
oc
y
el

o o,
y,

sob e
a
D
1
( ig
.

16)
.

Usando
el
eo ema
1,
pa a
ob ene
el
dominio
de
de inición,
02
,
de
T
2
sob e
~-,
hemos
de
sup imi
de.y
in ini os
in e alosce ados
I
i
ales
que
Te
I i
¢
D
1
( ig
.
17)
.
Es
cla o
que los
in e alos
I
i
se
acumulan
en
el
en o no
de
y
.
Po
con inuidad,
el
dominio
D2 es D
1
menos
una
cin-
a
que
espi aladando
in ini as
uel as
al ededo
de la
cu a
oc al
como
se
mues a
en la
ig
.
18
.
Dicha cin a
espi al
es la
an iimagen
po
T
e
de
D-1-D
1
.
Los
pun os
on e a
de es a
cin a
co esponden
a
ó bi as
pa abólicas
po
Té
y
los
pun os in e io es
a
ó bi as
hipe -
bólicas
po
Té
.
Fig
.
16
x

1~

12
1
3
. . .

I
n
...

y
Fig
.
17
Fig
.
18
De
nue o,
pa a
ene
el
dominio
de
de inición
D3
de
T
3
so-
co
b e
Y
.
hemos
de
sup imi de
Y
no
sólo

1)
l i
,
sino
además
i=1
+00

+W
U

~
(

U

J
i)

U

(

U

K
i

k)
~
i
=1

j=1

'~

k=1

'
donde
cada

J
i,j
,
K¡~k
es
un
in e alo
ce ado
.
Los
in e alos
Jilj,
Ki,k
al
a ia
j
y
k
se
acumulan
hacia
el
in e alo
l
i
,
los
p ime-
os
c eciendo
y
los
segundosdec eciendo
(
pa a
más
de alles
éanse
las
igu as
19 y 20)
.
Po
con inuidad,
el
dominio
D3 es D
2
menos
2
amiliasde
N
cin as
que
espi alan
dando
in ini as
uel as
al ededo
de
la
cu a
a
.
Es o
es,
la
cin a
espi al
que
hemos
sup imido
a
D 1
pa a
ob ene
D
2
ocasiona
que
aho a engamos
que
qui a
dos
amiliasde
(N

cin as
espi ales
a

D 2
pa a
ob ene

D
3
.
Es o
se
epe i á
pa a
ob e
ne
D4
a
pa i
de
D
3
,
0,
a
pa i de
D4
,
e c
.
Po
lo
an o,
se --
iene

D
n
,

D
-
n = SDn
y
en
de ini i a
Fig
.
20
Fig
.
19
e~~>C

>--C
>--
J1,1

J~-

II

-K~
KIK
.
J
iJ
.
J
.
.
1
2

---
K
2,2K2,1
11 , 11
O
D
n
n=
.co
n/O
y
[s
cla o
que

D
0

es un
conjun ocun o ianode
dimensión
n>0
n
( opo0gim)
igual
a
2
.
De
lo
an e io
se
sigue
sin
di icul ad
el
siguien e
eo ema
.
Teo ema
_
5
.-

Pa a
alo es
de
la
excen icidad

o

oa
ƒ
ioion omon o
pe-
queños
so
iene
la
siguien e
abla
:

-n
Es
de
espe a
(po
esul ados
numé icos
que
se
ienen
del
es u-
dio
de
cie as
ans o maciones
pun uales
del
plano
[31),
que
en
el
paso de
la
egión
con
cu as
in a ian es
po
T
a la
egión
con
espi
I
-
ales
(es o
es, en
i
la
on e a
.
.

2n u ambas
e
y
nin
n
m
ce)
illenLlell
un
papel
.
.
..
.y
J
-
7
impo an e
los
pun os
he e oclinicos
(in e sección
de a iedades
in a
ian eses able
e
ines able
de
pun os pe iódicos
de
amilias
dis in-
as)
.
Véase
[61

pa a
un
es udio
más
de allado
.
Re e encias
m
[11

Aleksee ,
V
.M
. :
Quasi andom
dynamical
sys ems
I,
II, III,
Ma h
.
USSR
Sbo nik
_5,
73
-
128
(1968)
;
_6,
505-560
(1968)
;
7,
1-43
(1969)
.
[21

A nold,
V
.I .,
A ez,
A
.
:
E godic
p oblemso
classical
mechanics
.
Benjamin
(1968)
.
[31

Ba le ,
J
.H
. :
S abili y
o
a ea
p ese ing
mappings,
en
T ans
o ma ions
ponc uelles
e
leu s
.applica ions,
Collo-
que
in e na ional
du
C
.N .R .S .,
n°229,
p
.
155-175(1973)
.
[41

Chazy,
J
.
:
Su
llallu e
inale
du
mou emen
dans
le
p obléme
des
ois
co ps,
Jou n.ma h
.
pu es
e
appl
.
_8,
353-380
(1929)
.
El
conjun o
de
las
ó bi as
con
e olución
inal
del
ipo
es
homeomo o
a
pk
1
S
1
P
+
un
in e alo
abie o
2
p±
eunión
nume able
de
in e alos
n,
n
3
abie os
disjun os
p±
n,
n
>
1
conjun o
de
medida
de
Lebesgue
>
0
p_1
(j
p
1
2
pun os
n*
-1
p
(Í
m,
ó
un
conjun o
nume able
-n
m~1
p
(Í
H ó
H
(Íp
eunión
nume able
de
in e alos
-n
m
-n
m
abie os
disjun os
Fí
(Í
H
conjun o
de
medida
de
Lebesgue
> 0
.
[51

Hénon,
M
.,
Heiles,
C
.
:
The
applicabili y
o
he
hi d
in eg al
o mo ion
:
some
nume ical
expe imen s,
As on
.
J
.
69
73-79
(1964)
.
[61

Llib e,
J
.,
Simó,
C
.
:
A
global
s udy
o
he
Si niko p oblem,
(1979),
po
apa ece
.
[71

McGehee,
R
.
:
A
s able
mani old
heo em
o
degene a e
ixed
poin s
wi h
applica ions
o
Celes ial
Mechanics,
J .o
di
.
equa ions,
14,
70-88
(1973)
.
[81

Mose ,
J
.
:
S able
and
andom
mo ion
in
dynamical
sys ems,
P in-
ce on
Uni
.
P ess
(1973)
.
Si niko ,
K
.
:
Exis ence
o
oscilla ing
mo ions
o
he
h ee-
body
p oblem,
Dokl
.
Akad
.
Nauk,
USSR,
133,
303-306
(1960)
.
[101
Zehnde ,
E
. :
Homoclinicpoin s
nea
ellip ic
ixed poin s,
Comm
.
Pu e
and
Appl
.
Ma h
.,
XXVI,
131-182
(1973)
.