ALGUNS
ASPECTESACTUALS
DE
LOGICA
ALGEBRAICA
Josep
Pla
Facul a
de
Ma emA iques
.
Uni e si a
de
Ba celona
.
Pub
.
Ma
.
UAB
Nó
12

Juny
1979
L'any
1955 Paul
.
1UAL2
,
10S
eu
a
°Com-)osi io
Ma hema icae,
o1
.12°
lla icle
"Algeb aic
Logic"
en el
que
dóna
una
o -
mali zació
al--eb aica
del
concep e
de
deducció
.
A
llen o n
dels anys
seixan a
1'escola
d'An onio
MONTE11ZO
dóna
unama-
eixa
? esen ació
algeb aica
de
la
lógica
pe ó,
en
lloc
de
cen a
la
se aa enció
en la
lógica
booleana,debili a
la
gUes ió
al
subs a
posi iude
la
lógica
.
La
idea
que
hi
la
al desso adlaques ap esen ació
és
la
se-
--Uen
.
si
pensem
en el
cálcul
de
p oposicionscons ui
sob e
un
conjun no bui
X
de
lle es
com
en
llálgeb a
lliu e
P(X)
sob e
X
dIope acions
--1
i

(moni ia,
la
,
) ime a
;
biná ia,
la
egona)
enim
que, si
x
E
X,
alesho es
x i
-1-1
x
són
dues
exp essions
di e en s
en
P(X)
.
Alesho es
cal
in o-
dui
-i
s'in odueix
-
una
elació
d'e lui aléncia
en
P(X)
que
iden i iqui,
d'aco d
amb
el
que
nosal es
es-)e em
del
cálcul
de
p oposicions,ce es
ó mules
.
El
camí
sin ic ic
consis eixen dona
el
conce
;
.) e
de
demos
-
ació
:
slaga en
ce es
exly essions
dis in-ides
en P(X)
V~
1
=
i
?--i(q->o),
on
p,
qE
P(X)~
i

'
~~
2
=
(P--~(q~ ))-~
.(('
.~~7)--m(n-+ ))~
on
p,q, C
P(X)~1
Ci~
3
=

-
1
"1
P
--s
P,

on

p
E

P
(X)
Y

;
i
una
egla
de
deducció,anomenada
%odus
ponens
"
:
M
.P
.
1
=
~
(P,P--->
q,,])
:
p,qE
P(X)~V

(P-q,9,q)
:
P,
q
E
.
~'(X)~
.
S anomena
eo ema
o a
exp essió
9
E
P(X)
al
7ue
exis eix
una
successi6
ini a
d exg essions
-)
1
,
.
2
2
a
mb
1
.

p
i
F
LA
1
`A2
%J Lh
3)
o
bé
alque
2
.

exis eixen
pi,
pk
(j,k
<
i)
i
(P
j
,p
k
,p
i
)
EL
`
.
n'
Diem
que
una
exg essió
és un
eo ema
usan
el símbol
:k-
?
.
Aques a
idea
es
po
-ene ali za
a
qualse olconjun
A
Q
P(X)
i
in odui
els
A- eo emes
(Al
--- p)
.

Iiom
conside a
els
axiomes
4
(A)
=
A
1
V
(A
2V
14
3
V
A
Diem
que
0
=q

si,

i
només
si,
b-

p
-P
.
q

i

--
q-,>
p
Es
una
elació
dlequi aléncia
i
esul a
que
P(X)/`
és
una
álgeb a_
de
Boole
:
l
1
51-eb a
de
Ta ski-Lidenbaum
.
Semblan men ,

p
-A
q

si,

i
nomás
si,
A
%.
n
-q
i
A1-q-->
>
7
;
esul a
que
P(X)/
-~
A
és
ambé
una
álgeb ade Boole
.
Es
aques o d ed'ideesel
que
ecull
1'escola
d'A
.
MONTEI-
RO
(A
.
MONTEIRO
[1960]
;
119711
;
An onio
DIEGO
[19651
;[1966]
quande ineix
les
Algeb esde Hilbe
i
les
P eálgeb es
de
Hilbe
.
Hom
diu
que
una
e na
(A,
.,D)
és
una
p eAlgeb a
de
Hilbe
si,
i
només
si,
PH
1
.

és
una
ope ació
bina ia
en
A
;
PH
2
.

D
G
A
;
PH
3
.

x
.(y
.x)
E
D,
pe
cada
pa ell
x,y
E
A
;
PH
4
.

(x
.(y
.z))
.((x
.y)
.(x
.z»
E
.
D,
pe

x,y,z
E
A
;
PH
5
.

M
.
P
.
:

si
x
E
D

i

x
.yC-
D,
alesho es
yED
.
Es
impo an
dIobse a
que
la
elació
en A,
x

.51i~
D
y

si,

i
només

si,

x
.y
e
D
és
una
elació
de
p eo d e
-
alcom
passa a
en P(X)
-
i,
pe
an ,
enim
una
elaciódlequi aléncia
°
D
LI
.álgeb a
quocien ,
ja
que
-
D
és
com,?a ible
amb
dóna
(A/=-=
D
y
.PD)
on
.
és
una
ope ació
en
A/==
D
,

D
E
A/
-D

i

D
és
máxim
en
(A/-D>'3
--Z-
D
)
.
Aques
ipus
dles uc u ess'anomenen
álgeb es
de Hilbe
-
i
són
la
éplica
de
les
álgeb es
de
Boole
quocien
- i
es
ca ac e i zen
Una
e na
(A,
.,u),
on
.
és
una
ope ació
biná ia
en
A
i
u
E
A,
és
una
álgeb a
de
Hilbe
si,
i
només
si,
AH
l*
.

La
elació
x
G
y
si,

i
només
si,

x
.y
=
u
és
una
elaciód'o d e
;
AH
2*

x
.u=u
;

u
.x=x
;
AH
3
.

-(y
-)
=
(-
y)
.(x
.z)
.
Aques a
de inició
es
oba
en F ancescdIAssísSALES
01971),
D'aques a
mane a
hem
in odui
de
o mana u al
el
concen-
e
d"álgeb a
de
Hilbe ,
que
podem
pensa
com
llen algeb aic
més
¡don¡
pe
a desc iu e
la
lógica
p oposicional
posi i a
.
En
una
álgeb a
de
Hilbe
(A,
.,u)
els
sis emes
deduc ius
D
sónels
subconjun s
D
Q
A
als
que
SD
1
.

u
E
D
;
SD
2
.

x
.y e-
D

i

x
E-
D,alesho es
y
E
D
.
Hom
po
eu e
que
.9
=
{
D
.
:
D
és
un
s
.d
.
de
(A,
.,u)~
és
un
sis emaclausu a
-
unacol
.lecció
de pa sde
A ancada
pe
in e seccionsa bi á ies
-
que
e i ica
:
és
ini a i
;
el
eo ema
de
la
deducció
de
Ta ski
.
Fini a i
:

x
~
D
si,
i
només
si,
exis eix
unacol
.lecció
ini a
x
1
,
.
.
.,x
n
dlelemen s
de
D
i x
E
D(x1,
. .
.,xn)
- s .d
.

engend a

pe
x
1
, .
. .
,x
n
.
Teo ema
de la
deducció
:

x
E
D(D,y)
si,
i
només
si,
y
.x
5
D,
on
D
és un
s
.
d
.,

x,

y
E
A
a bi a
is
i
D(D,y)
és
el
s .d
.
engend a
pe
D
i
pe
y
.
En aques o d e
dlidees
slinse eixen
els
eballs
de
Helena
RASI0LVA
i
Roman
SIKORSKI
.
Veu e
H
.
Rasiowa
D9701,119743
.
Els
sis emes
deduc ius
i educ ibles
se eixen
pe
a
dona
una
ep esen ació
de S one
de
les
Algeb es
de
Hilbe
.
Con éindica
-
an
sols
de
passada
-
que
les
opologies
que
hom
oba
amb
aques
ipus
de
ep esen acions
son
opologies
poc
desi jables
des
dIun
pun
de
is a
opológic
i
de
llana-
lis¡
.
Un
al e
o d e
dlidees
(c
.
Rasiowa,
op
.ci
.)
que
hom
po
plan eja -se
un
cop
summe gi
en
aques Ambi
és el
queens
plan eja
la
seg en
gUes ió
a
pa i dIunaope ació
.
de
Hilbe ,
és
possible
d'alguna
mane a
in odui
ope acions e icula sen el conjun
o de-
na
(A,
.,u)?
(Pensem
que
en
les
Algeb es
de
Boole,
g ácies
a
la
complemen ació,
podem,
a
pa i de
la
implicació,de i-
ni
les
ope acions e icula s
;
a a
pe ó
no
disposem
pas
de
negació
.)
Les
Algeb esde
Abbo -Sales
(Abbo
[1970]
;
F
.A
.
Sales
[1974)
;
J
.Pla
1977])
pe me ende ini ,
a
pa i
de
.,
un sup em
pe
a
cada
dos
elemen s
.
Cal
indica
que
aques es
Algeb es
enen
una
pa icula i a
cu iosa
i
és
:
si
enen
elemen
mínim
són
Algeb esde Boole
;
i
els
seus
sis emes
deduc ius
i e-
duc ibles,
maximals
i
p ime scoincideixen
.
Diem
quI
és
una
álgeb a
de
Abbo -Sales
:
és
una
álgeb a
de
Hilbe
(A,
.,u)
alque
(x
.y)
.y
=(y
.x)
.x

(ca ac e i zació
de Sales
£19741)
.
Alesho es
x
V
y
=
(x
.y)
.y

és
un
sup em
en

(A,
9
)
.
24
Si
aga em
dlen ada
un e icle
(A,
^
,
-/
u)
i
una
ope ació
bina ia
.
en
A
alque
(A,
.,u)
sigui
una
álgeb a
de
Hilbe ,
ob enim
els
anomena s
e icles
de
Hilbe
(c
.
Sales
119741
;
J
.Pla
[1977]
;[1978])
si
l'o d e
del
e icle
i
llo d eindul
pe
.
coincideixen
. .
(Si
en
lloc
dIun
e icle
p enem
un
su-
p a e icle
ob enim
els
sup a e icles
de
Hilb
e
.)
En
aques
con ex
hem
pogu
dona
un
ac amen
uni a i
de
les
Al-eb es
de
Abbo -Sales,
de
Hey ing,
de
Boole
.
To es
elles
són
gene ali zacions e icula s
del
subs a
eminen -
men
16gicde
les
álgeb esde
Hilbe
.
Hom
demos a
queels
il es
de
e icle
de
(A,
^
,
u)
són
sis emes
deduc ius,
que els
sis emes
deduc ius
p ime s
cain-
cideixen
amb
els
sis emesdeduc ius
i educ ibles
i
slob é,
amb
ce es
limi acions,
una
ep esen ació
de
S onedlaques-
es
no eses uc u es16gic-algeb aiques
.
Una
g ies ió
quehom
po
plan eja
enca a
en
una
álgeb a
de
Hilbe
( esp
.
en un
e icle
o
en un
sup a e icle
de
Hilbe )
és
la
qües ió
de
les
negacions
.
Aix6
po a
a
in odui
el
concep e
algeb aic
de
negació
en
un
conjun o dena ( esp
.
en un
e icle,
en un
sup a e icle)
.
Si
(A,-_<
)
és
un conjun o dena
(c
.
G
.BODIOU
L1964]),
o a
aplicació
c
:
A
-----
e

A
alque
N
1
.

x
-
y

implica

-
L
y
<
-c x

;

N
2
.

x
<
L
2
x
s anomenanegació
.
Una
negació
o a
és
o a
negació
que
e i ica
Z
2x
=x,
pe
o
x
E
A
.

Si
A
és
un
e icle,
L
és
una
negació
e i
-
cula
o
de
Mo
an si és
negació
i,

a
més
:N
3
.

L
(x
n
y)
_
Tx
y
;

z
(x
y)
=
z
x
n
Z
y
.
(No
cal
pas
que
sigui
o a,
si bé
o a
negació o a
és
e-
icula ,
si
es á
de inida
en
un
e icle)
.
(Sob e
qües ions

gene als
de
les
negacions
en e icles
comple s,
c
.
F
.
ESTE-
VA
£19741)
.
Si po emaques es
idees
a
les
Algeb es
de
pe
a
o
aaA,
llaplicació
Z
:
A

.-y
A
ax

,
.
.-~

-
C
a
(x)
=x
.a
és
una
negació
.

Si
-
C
a
és
Po a,
A
é
mínim
i a=
mín
que,
De
o ma
semblan
hom
po
anali za
en
els
e icles
de
Hil-
e icula s
.
Sibé Haskell
CURRY
en
aques
sen i no
coneixem
ins
en
aques alinia
i,
pe
an ,
cons-
obe a
.
que
slinspi a
en la
lógicaclás-
sica,
podem
llíga
les
negacions
ambels
sis emes
deduc ius
ia
el
concep e
de
con
sis éncia
.
be
cóm
són
les
negacions
C19521 eali zaun análisi
a ui
cap
eballexhaus iu
i ueix
una
qües ió
Amplia
Con inuan
en la
semán ica
Hilbe
eiem
Fó ain e essan
e ec ua ,
ambé
en
aques
sen i ,
di
exhaus iu
que,
a ui
pe
a ui,
no
s
1
ha
pas
e
.
un es u-
Una
al a
idea
desen olupada
pe
P .R
.
Halmos
(op
.ci
.)
i
in-
dependen men
pe
L
.HENKIN-J
.D
.MONK-A
.TARSK
I
[19711
i
L
.Men-
kin-A
.Ta ski
[19601,
[1961,),
consis eixen
.
in odui
en
les
álgeb es
de
Boole
ope ado s
que,
d'alguna
mane a, ecullin
la
idea dels
quan i icado s
.
AixíHalmoscons ueix
les
A1-
eeb es
monádiques
i
H-M-Tcons ueixen
les
álgeb es
cilind i-
ques
.
A
.Mon ei o
ecull
aques esidees
en
A
.Mon ei o
([1957]
;
11960]
;
11967]
;
[1974])
i
les
aplica
a
es uc u es
més
ebles
comsón
les
Algeb es
de
Hey ing
.
No coneixem,
pe ¿,
cap
e-
ballde
e icles
de
Hilbe
monAdics,ni
ampoc
dlálgeb es
de
Hilbe
monádiques
.
La
di icul a
au
en el
e
que
pe
in odui
els
ci a s
ope ado s
hom
u ili za
les
p opie a s
e icula s
i
no
coneixem
cap
eball
en
que
s in odueixin
ia
1'ope ació
de
Hilbe
.(que
és
llope acid
de la
lógica)
.
26
C eiem
que, en
les
álgeb es
de
Abbo -
.Sales,pod íem
pe ec a-
men
in odui ope ado s
exis encials
o
uni e sals
i
ob in-
d e
álgeb es
de
Abbo -Sales
monádiques
.

Hi
es em
eballan
.
Donem
la
idea
de
Halmosd'álgeb amonádica
.
Sigui
(A,^
,
.i ,
-
1
;0,u)
una
álgeb a
de
Boole
i
sigui
al
que
E
l
.

-30=0
;

E2
. .

x

x
;

E3
.

(x
-3
y)
_

x
-3
y
.
En
aques es
álgeb es
els
sis emes
deduc ius
monádics
sónels
sis emes
deduc ius
als
que, si

9
x
E
D,
alesho es
x
E
D
.
Obse em,
de
passada,
que
els
axiomes
de
1'ope ado
-9
es
do-
nen
a
a és
de
les
ope acions e icula s
i
d'o d e
.
Con é
di ,
a
i
d'ésse
igu osos,
que,
sibé
les
álgeb es
ci-
línd iques
in en en
algeb i za
el
cálcul
de
p edica s
i
an
in e eni
a iables,
les
álgeb es
monádiques
algeb i zen
les
lógique
s
modals
.
Una
segona
ia
pe
a
dona el
concep e
de
lógica
algeb aica
ou
in oduida1'any1930
pe
A
.Ta ski
(c
.A
.Ta ski
[1930])
i
la
idea
exp essada
en
aques
eball
la
podem
desc iu e
se-
mán icamen
de la
o masegüen
"Dona
una
lógica
equi al
a
dona
el conjun
de
consegUancies
de
cada
conjun "
.
Fo malmen
una
lógica
abs ac a
és
una
pa ella
(A,C), on
A
~ o
i
C
:

(A)

---%
9(A
)
e i ica
C
1
.

Pe
o
X!52
A,

X
5i
C(X)
;
C
2
.

si
x
-Q
Yc
A,

C(X)
c
C(Y)
;
C
3
.

si
x
Q
A,

C(CM)
=
C(X)
.
L'ope ado
Cs'anomena
ope ado
de
conseg éncia
.
Realmen
A
.Ta skiimposa a
dues
es iccions
:

Co
.
Ca d(A)
:5x
o
2 7
i C2
.

C(X)
=
U
C(F),
on
F
s!¡
X
i F
és
ini
(en
lloc
de
(2))
.
Aques a
de inició
de
A
.Ta ski,
si
bé inspi ada
en el
cAlcul
de p oposicions
i
co ec a
a
llho a
de
o mali za
el
cálcul
de p oposicions
;
esde émassa es ic i a
ja
que
exclou,
dlan-
u i,
les
lógiquesin ini á ies
cada
copmés
impo an s
.
Hem
pogu
eu e
(V
.VERDO
[19781)
que
la
lógica
p obabilis ica
(en
el
sen i
o
-
)
és
una
lógica
in ini á ia
. .
Hem
indica
ja,
en
el
cas
de
les
Algeb es
de
Hilbe
( e icles
de
Hilbe ),
que
la
col
.lecció
dels
sis emes
deduc ius
és un
sis ema
clausu a
i
un eo ema
gene al
de
M
.
.WARD
[1942]
ensdiu
que
un
sis emaclausu a_C
i
un ope ado
de
conseqüéncia
C
és
el ma eix
;
si
em
I?
=IX
:
C(X)
=X

és
C(X)
=
n
~Y
:
Y
E
) '
i
Y
2
X
~
.
Teo emes
com
el
de
Schmid
-
diu
:un
ope ado
C
és
ini a i
si,
i
només
si,
el
seu
sis emaclausu a
és
o amen
induc-
iu
- i
el de
Pie ce
-
diu
:
si
C
és
ini a i,
els
ele nen s
del
sis emaclausu a,~
i educ ibles
cons i ueixen
unaba-
se
mínima
de
~>-
sugge eixen
la
possibili a
de
dona p opie-
a s
de
C a a e s
del
seu
sis emaclausu a
associa
.
Una
gUes ióimpo an
quecal
esold e
i
en
la
que
hem
e-
balla
(c
.J
.Pla(197b1
;
V
.Ve dú
119781)
consis eix
en
impo-
sa
co

20
)ns
a
C
(a
;?
)
pe
alque
es
e i iqui
el
eo e-
ma
de
la
deducció
de
Ta ski
.
A a
bé el
eo ema
de
la
deduc-
ció
de
Ta ski
és
un
eo ema
in imamen
lliga
amb
llope ació
i
po
ocó e
que,
en
A,
no
es
disposide
cap
ope aci6
. .
Quines
condicions
ha
de
sa is e ,
doncs,
C
(o,C)
pe al
de
pode
in odui
en
A
una
ope aci6
.
que
ens
pe me i
denun-
cia
el
eo ema
de la
deducció
:
y
E
C(X,x)

si,
i
només
si,

x
.y
E
:C(X)

?
Les
espos es
donades
pe
J
.Pla
i
V
.Ve dú
di e eixen
en el
següen
sen i ,
:
2
8
men es
que
el
p ime
dóna
una
condició
que
pe me
de ini ,
en
A
di ec amen ,
una
ope ació
.
que
e i ica
el
eo ema
de
la
deducció,
el
segon
a
la
següen cons ucció
To
oge ado
C
pe me
de
de ini
una
elació
d'equi aléncia
induida
pe
la
elació
cíe
p eo d e
x
:!!5
Cy

.si,

i
només
si,

y
E
C(4x})
.
Podemdonespassa al
c
;uocien
A/
==
C
i
conside a
1'álgeb a
quocien
(A/==
C
,C), on
Ces
i
es
de ineixde
o ma
na u al
.
Alesho esV
.Ve dúimposa
condiciona
a
(A,C)
de o ma
que,
en
(A,C), es
e i iqui
el eo ema
de la
deducció
.
L'an e io conside ació
ens
p opo ciona
una
una
lógica
(A,C)
i
una
aplicaciócompa ible
p ojecciócanónica
-M
Sabem
que
-
R
és
men *
pe
(X,!)
si,
i
només
si
6
:
9
(A/
-
C
)
,
9
(A/
:-
C
)
epijec i a,
que
i
pe
-
J1
i
que
C(x)
=C(y)
.
lógica
(A,C)
,
amb
Ci
C
;
la
(A,C)
es á
gene a
p ojec i a
-
pe
o
x,

y
E
A,

71
(x)
=Z1
(y)
Aques a
ideaés
la
KO
119731
de o ma
mo isme
bilógic
.
abs ac es
i
h
:A
1

-

A
2
és
Di
B
1
.

h
és
mo isme

(i
.e
.

h
-1
(Y)
E
11`
í
,

pe
cada
YE
MB
2
.

h
gene a
p ojec i amen
(A
1
,C
1
)
a
pa i
de
que
ecullel eball
de
D
.J
.BROWN-R
.SUSZ-
gene al
quan
in odueixel concep e
de
Si
(A
1
,C
1 )
i
(A
2,C2
)
són
dues
álgeb es
una
aplicació
que
e i ica
(A
2
,C
2
)
i
h
(i .e
.
Je,
=h
-1
(Y)
:
Y
E
%
2
)
;
MB
3
.

h
és
epijec i a,
di em
que
h
és
un mo isme
bilógic
en e
(A
1
,C
1
)
i
(A 2
,C
2
)
La
impo áncia
eal
d'aques a
de inició
seunom
-
és la
següen
h
és un
mo isme
bilógic
si,
i
només
si,
-
que
jus i ica
el
en e
(A
1
,C
1
)
i(A 2
,C
2
)
29
WA:W
,
1
.
(1942)
°The
closu eope a o so
a
la ices'l
.
Annals
o
a h,
43,n°2,p
.191-196
.