Pub
.
Ma
.
U
.A
.B
.
ná
10,
Desemb e
1978
SOBRE
LA
FORMULA
DE
GAUSS-BONNET
EN
MPRIETATS
DE Dl
:
:
i
:,^I
!Z-1PARELLA
Depa amen
de
Geome ia
i
de
Topologiá
.
Secció
de
Ma emá iques
.
Uni e si a
Au ónoma
de
Ba celona
.
Memó ia
p esen ada
pe
Agus i
Re en 6s
Ta ida
pe
aspi a
al
g au
de
D
.
en
Ciéncies,-secció
de
Ma emá iques
(pe
la
Uni e si a
Au ónoma
de
Ba celona)
.
PRESIDENT
D
.
D
.
JosepVaque Timone
VOCALS
Aques a
esi
doc o al
a
se
di igida
pel
cü ed á icD1
.
D
.
Joan
Gi bau
Bad6,
i
es
a
llegi
el
dia
10
d'oc ub ede
1978
a
la
Facul a
de
Ciéncies
de la
Uni e si a
Au dnomáde
Ba celona,
de an
del
següen
ibunal
:
D
.
D
.
Joan
Gi bauBad6
D
.
D
.
Ped o
Luis
Ga cíaPé ez
D
.
D
.
LuisCo de o
.Rego
VOCALSECRET
.ARI
D
.
D
.
An onio
Diaz
Mi anda
Quali icaci6
EXCEL
.LENT
"CUM
LAUDE"
RECONEIXEhIENTS
Es ic
e _
del
e
amb
el
p o esso '
J
.Gi bau,
di ec o
d'aques a
Tesi,
que
em
sugge í
aques
p oblema
i
m'ajudá
en
alguns
casospa icula s
.
Vold ia
amb6exp essa
el
meu
since
ag a men
al
p o esso
S
.Tanno
pe
la
se ain alo able
e isió
del
:icu
manusc i
i
beis
seas
comen a as
al
Co ol
.la i
2
.
INDBX
IIdTRODUCCIO
. .
. .
. . . . . . . . . .
.
. . . .
11
CAPITOL
0
.
P elimina s
i
no acions
21
CAPITOL
1
.
P o a
del
Teo ema
1
. .
35
CAPITOL
2
.
Di iensi6
3 i
dimensi6
5
45
CAPITOL
3
.
Diniensio is
més
ele ades
57
BIBLIOGRAPIA
. . . . . . . . . . . . . . .
...
.
61

,
LL
k

"

¡k
ml
"
L
"
A
Al
A
®
iI
®

II
®I Al
Al
A
A
INTRODUCCIO
Aques
eball
po
se
conside a
com
una
con inua-
ci6
de
"A
o mula
on
some
odd-dimensional
Riemannian
mani olds ela ed
o
he
Gauss-Bonne
o mula"
pe
S
.Tanno
[71
.
Sigui
B
una
a ie a
de
Riemann
o ien able,
compac-
a de
dimensi6
2n
.
La ó mula
de
Gauss-Bonne -Che n
diu
:
SB Q=2
2n
n
n!
X(B)
a
on
Q
deno ala o ma
de
Gauss-Bonne
i
7C(B)
és la
ca ac e ís icad'Eule -Poinca é
.
En
aques a
6 inula,
la
dimensi6
pa ella
és
essencial
.
Si
B és
de
dimensi6
impa ella,
lla o s
-X(B)
=
0
.
malg a
o ,
pe
a
a ie a s
de
di-
mensi6
impa ell,
podempensa
ba
una
~6 i
-
~ula
análoga
en la
ce a
e p essi6
que
con ingui
To
in en an
oba
una
d'espe a
que
c-ls
camps
que
no
a
hi
juguinun pape
impo an
.
En
aques a
línia,
S
.Tanno
X71
obá
el
següen
e-
sul a
:
TEOREPL4
:
Sigui
(L2n+l
~

,g)
una
a ie a
de
Rieiaann
compac a
que
ad
;
;ie i
un
camp de
ec o s
de
Killinc
uni
a i

,

al

que
R(X,1)Y
--
.

g(X,Y)F

-g(Y,F)X,

pe
a
o
en
la
possibili a
de
o-
que
el
segonmemb esigui
els
nomb es
de
Be i
.
P6 eula
semblan
a
(1)
és
s
^
anul.lin
sob e
la
a ie-
X,Y,
campsde
ec o s
sob e
E
2
n
a1
(é
s
a
di ,
una
a ie-
a
de
Sasaki),( eu e
apa a
1
del
capi ol
0)
.
Lla o s,
si
el
camp
y
és
egula
(Palais
E5])
enim
:
L l
h
( ~+~- )(-1)
ó (E)
a
B
on
b
i
(E)'
és
el
i-ésim
nomb ede
Be i
de
E,
F(Li,~
)
és
una
exp essi6
que
depén
de la
cu a u a
_n
i
del
camp
(S)
és la
longi ud
de
les
a bi es
de
-T
i
.pe
camp
egula
en enem
un
camp
ec o ialsob eE2nj1
al que
o
p
e
E
2n+1
é
un
en o n
coo dena
cúbicde mane a
que
___les
co besin eg als
de
'F
que
passen
a
a és

d'
aques
en o n
ho
an
només
una
egada
( eu e
apa a
3
del
capi ol
0)
.
Reco dem
ambé
que
un
camp
1
sob e
E
és un
camp
de
Killing
(o,
una
isome ia
in ini esimal)
si el
g up
unipa amé ic
de
ans o macions
locals
;
gene a
pe
en
un en
o il
de cadapun
de
E,
consis eix
en
isome ies
locals
.
Nosal es
olem
ob eni
una
exp essi6
com
la
(2)
pe
a
a ie a sde
Riémann
de
dimensi6
impa ella,que
no
siguinnecessá iamen
de
Sasaki
.
De
o es
mane es,
sembla
con enien
de
con inua
suposan
que
1
és un camp
_
de
__
ec o s
de
Killing
uni a-
i,
egula
.
Conc e amen ,
exposem
el
següen p oblema
.
Sigui
E
una
a ie a
compac a
de
dimensi6
2n+l
.
amb
un camp egula
-
X
sob e
E
.
Sigui
g
una
mé ica
iema-
nniana
sob e
E
pe
a
la
que

és
un
camp
de
ec o s
de
Killinguni a i
.
Volem
oba ,
so a
aques es
hipa esis,
una
ó mulaanáloga
a
(2)
.
12
F
P
,
P'"

n
y''"

y
T
-
T

y
nI'
nI"y
L'exemple
més
senzill
duna
a ie a
que
sa is aci
les
nos es
hipó esis
pe d
no
les
de
Tanno
és el
se-
güen
:
Sigui
B
una
a ie a
de Riemann
compac a,
o ien a-
ble
de
di ensi6
2n
.
Suposem
que
b1(B)

és
pa ell
i
que
l
b
o(B)
=
1
.
Conside em
el
p oduc e
B
x
S
.
Un
camp
an-
gen
uni a i
a
S
1
de ineix
un
camp
de ec o sde
Killing
uni a i
egula
sob e
B
x
S1
,
ela iu
a
la
né ica
p o-
duc e
.
Així,
B x
S1
sa is á
les
nos es
hipó esis,
pe (3
com
que
b
1(B
-
X
S1
)

és
sena ,

sob e
B
x
S1
no
hi
ha
es uc-
u asasakianaja
que
el
p i),
:e
nomb e
de
Be i
d'una
a ie a
de
Sasaki
és
ze o
o
bé és
pa ell
( eu e
apa a
1
del
capí ol
0)
.
El
p ime
esul a
que
ob enim
és
el
següen
:
TEOREMA
1
.
Sigui
(E,X,g)
una
a ie a
de
Riemann
compac a
o ien able,
de
di nensi6
2n}1,
amb
un
camp
de
ec o s
de
Killinguni a i
i
egula
1
sob e
E
.
Alesho es,
(3)

k(-IP/R(F)
2
"
-
M
V,
n1
.)J
-
V(n,7)
L
(H ~- )(-~) 6~kE)
+
~
(-~)d
.
a
on
£(11,
5
)
és
ce a
unci6
de
S2
i
de
'y

,
b
(E)
és
el
-ésimnomb e
de
Be ide
E
i
d
=
dim
Ke
jH
(E/
F

R)
-
.
H +2(E/
,R)}
.
Aques a
aplicaci6
6s
la
mul iplicaci6
pe
la
classed'Eule
del
ib a
E
-~
.
E/i
(capi ol
0
apa a s
2
i
3)
.
p,
' ,TI®I
P,
I'yy

CAPITOL
0
PRELIMINARS
I
NOTACIONS
Dediquem
aques
capl ol
a
exposa
de inicions
i
esul a s,
que
se an
u ili za s
al
lla g
del
eball
.
Com
que s6n
esul a s
independen s,
di idi em
aques
capí ol
en
a is
apa a s
.
En cadaun
d'ells
ens
limi-
a em
a
dona
els
esul a s* iue
més
a d
a em
se i ,
i
les
de inicionsimp ecindibles
pe
a
la se a
comp en-
si6
.
El
p ime d'aques s
apa a s
es a á
dedica
a
les
a ie a s
de
Sasaki,
ja
que
els
esul a s
de
S
.Tanno
s'hanob ingu
sob e
aques es
a ie a s
.
(Aiés
conc e a
men ,
sob e
a ie a s
de
Sasaki
egula s)
.
A
con inuaci6do a em
una
de allada
deEinici6
d'in eg aci6
al
lla g
de
les
ib es
.
A
pa i
d'aques a
de inici6
cons ui em
la
successi6
exac a
de
Gysin
i
la
classed'Eule
pe
a
ib a s
es£é ics
.
El
§
3
e sa á
sob e egula i a
i
a ie a s
quo-
cien s
.
Cons ui em
el
conjun
E/-Y
,
el
do a em
duna
opologia
i,
u ili zan la7 egula i a ,
duna
es uc u a
de a ie a
di e enciable
.
El
§
4
es a á
dedica
a
es udia
1'es uc u a
Rie-
mannianasob e
un
ib a ci cula p incipal
:
es
consi-
de en
mé ioues
iemannianes
sob e
1'espai
o al
i
sob e
la
base,
elacionadas
mi jangan
la
.
o i
-
~la
de
con-
nexi6
del
ib a ,
i
es
oben
exp essions
que
elacionen
les
espec i as
connexions
ie
;annLanes
(
i
les
espec-
i es
cu a u as)
.
ció
de
supe icies
complexes
compac es
donada
pe
Kodai a,
jun amen
amb
algun
esul a
sob e elaciona
en e
els
nomb es
ca ac e ís icsd'aques es
supe icies
(gene e,
i egula i a ,
e c)
.
Pe
a
pode
aplica
aques a
classi icació
a
E/
-
~
,
usa em
un
esul a
de
P4o imo o
que
exposa em ambé
en
aques
apa a
.
_
§1
.
Sob e a ie a sde
Sasaki
Una
a ie a
di e enciable
E
2n+l
e
una
uc u a,
si
adme
un
camp

d'endomo ismes
de
1'espai
angen ,
un camp
ec o ial

i
una
1- o ma
1
al
que
adme
una
mé ica
iemanniana-
g
al que
g(?X
.~
y)

=
g(X,Y)

-
1(X)
y
(Y)
d
X,Y,
alesho es
de
1'es uc u a

se'n
diu
es uc u a
mé ica
quasi
de
con ac e,
i g
és la
mé ica
compa ible
amb
l'es uc u a
.
Si
de inim
42
(X,Y)
=
g(X, Y)

i,
es
compleix
que
=
d
,
?
,
alesho es
de
1'es uc u a
mé ica
quasi
de
con-
ac e
se'n
diu
es uc u a
mé ica
de
con ac e
.
on
`{~~]
(X,
Y)
=
0CX,Y]
+
IX
,1Y]
-~C x1y~

-
~
uxM3
enim
una
es uc u a
mé ica
de
con ac e
no mal,
o
ab é iadamen ,
una
a ie a

de
.'Sasaki
.
Sob e
aques es
a ie a s enim
R(X,Y)-
=
7(Y)X
-
?(X)Y
pe ó
a
més
a
meses
ácil
de
. eu é
el
.següen
esul a
:
22
L'apa a
segiien
es a á
dedica
a
la
classi ica-
=
Si
una
a ie a
E
2n+1

ambuna
(,
,i,
,
?)
-
es uc u a
si
a
mes
a
més
`QJ
+
2d?®J
= 0
Teo ema
.
Sigui
E
2n+1
una
a ie a
de
Rie ann
que
adme i
un
camp de
Killing
'S
amb R(X,Y)
Y =
g(1,Y)X
- g(X,1)Y
.
Alesho es,
E2n+l
és
una a ie a
de
Sasaki
.
Tw
.-bé
u ili za ejn
un
esul a
opoldgic
sob e
aques es
a ie a s,
conc e amen
:
Teo ema
.
El
p ime
nomb e de
Be i d'una
a ie a
de
Sasaki
compac a E
2n+1

és
ze o
o
pa ell
.
Pe
p o a aques
eo ema,
es
p en una
1- o ma
ha mánica
u
sob e
E2n+l
i
es
de ineix
una
al a
1- o ma
ú=
uo4
.
Es
comp o a
que
i
és
ha mdnica
i
que
u
i
ú
s6n
independen s
.
$2
.
In eg aci6
al
lla g
de les
ib es
Pe
a
ib a s
i ials
.
Conside em
el
p oduc e
de
dues
a ie a s di e en-
ciables,
¿^, B x F
.
Se
suposa
que
F
és
o ien able
de
di i ensi6
n
i
que
ja
s'ha
elegi
una
o ien aci6
.
Desig
nem pe AF(B x
F)
el
subespai
de
A
p
(B
x
F)
de
p- o mes
ámb
supo
compac e
al
lla g
de
F,
és
a
di
:
AF(B
x
F)
=
jdEA
P
(B
x
F)
als
que
sup-+nh
'
(K)
és
compac e pe
a
o
compac e K
de
B

,
R
indica
la
p ojecci6 candnica
B
x
-F
-->
B
.
SiguickEAp+
(B
F)

(p>,0)
.
F,ne
..
a
de ini
la
in eg al
de
a
al
lla g
de
F,
que
designa em
pe
~a
.
En
cada
F
pun

(X,
y) 6
B
x
F,

oC(x,y)e
^a Tlx,U)(13
x
F)

x
.

(T%
(B)~~
aTy(F

)s
4p
""
(^1Tx(B)_*
)®(n
P"-'
T
13
(F~)
.
(Tingui's
P4-9
k
en
comp e
que
si
q
<
p,

és
p+ -q
>
i
pe
an

A

T
1
(F)

---
.
0)
.
al(x,y)
es
desconposa, segons
la
su a
di ec a
an e-
io ,
en con ponen s
homogé-,
:
.es
:
a
q
< ,~)
E
:
"
C
I~~~,C6)
á)
®
(A°
.~
-4
T
I
(F)F
)
Fixem
x a
B i
em
a ia
y
dins
F
.
o(
(x,y)
cons i-
ob ind em
una
p-Fo ma
sob e
B, i
es
immedia
de
comp o-
a
que
depéndi£e enciablemen
de
x
.
Aques a
p- o ma
di e encial
la
designa em
pe
,~w
i
di em
que
s'ha
F
p
ui á
una
- o ma
di e encial
sob e
F
amb
coe icien s
a
1'espai
ec o ial
np
T
x
(B)"
(els
coe icien sd'aques a
o ma
di e encialdepend an
di£e enciablemen
de
y)
.
A
més
a
mes, el
supo
d'aques a o ma
di e encial
se á
compac e,
si
eco demla
condici6
imposada
al
supo
de

.
Podem
doncs,
in eg a -lasob e
F
:
JyEF
e><
p
(x,y)
.
Ob in-
d em
un
elemen
de

I
pTx
(B)*
.

Si
a
cada
x
E
B
li
assig-
nem

a
P
x,~~
E
np
T
(B)
,*
SER
ob ingu
a
pa i
de
oc
in eg an
al
lla g
de
les
ib es
.
Pe
a
ib a squa1sse ols(localmen
i ials)
Sigui
E
---
I
B
un
ib a di e enciable
(localmen
i ial),
amb
Pib a
una
a ie a
di e enciable
F
de
dimensi6
.
L'esmen a
ib a
es
diu
o ien able
si
adme
una
- o ma
di e encial
w
sob e
E
al
quepe
a
cada
x
EB
la
- o ma
di e encial
jX(w)

(on
j
x
in-
dica
la
inclusi6
candnica
F = l'(x)
-o
E),
cons i ueix
x
una
o ien aci6
de
F
x
.
Di
d'unaal a
mane a,
j*(w)
no
s'anul
.la
a
cap
pun de
F
x
.
La o ma
w
,
si
exis eix,
s'anomena
una
o ien aci6
del
ib a
E
-
B
.
Suposa em
d'a a
en
enda an
que
E
---
"
B
és
un
ib a
o ien a
.
Designa em'pe
AF(E)
_~
oec-A
p
(E)
als
que
sup~i
n
i'(K)
es
compac e
pe
a
o
.compac e
K
de
B}

.
Dona un
x
e
B
24
.
h`
'w
Iw~
IV
II
11
1

1
-
,
,
Iy
n~_
w
. .
y
,
n
,
.
T
-

®
-
V

u
conside en
un
en o n
ilde
x

al
que
i
(ik)
sigui
i ial
.
Sigui
~
una
i iali zaci6
que
co se i
les
o ien acions
:
l
i,
(1,l
)

<

il
x
F
(F
6s
una
a ie a
o ien ada)
Donada
&-E
AF
`
(E),
conside en
7
F
que
se á
una
p-Fo ma
di e encial
sob e
1(,
.
Es
comp o a
que
el
alo d'aques a
o ma
en el
pun
x
no
depénni
de
1'en o n
IX
ni de la
i iali za-
ci6
~~
.
Donadadones
o'
E
AF
-
(E)
,
de inim

¢
~
c
con
la
p- o -
F
ma sob e
B
que
a
cada
x
.E
B
al
~~`~a

h'~u>>
Y
E
n~
T
o
(a '
F

e
La di e enciabili a
de

11
#k
és
db ia
ja
que
sob e
cada
l
,

a
coincideix
pe
de inici6
amb

y4
(0Iñ'(u1)
F
que,comja
sabem,
és
di e enciable
.
Comple em
la
de inici6
posan

o<=
0,
si

o<
E
AF(E)
i
qz
.

F
També
po
comp o a -se
que
la
in eg aci6
al
lla g
de
les
ib es
conmu a
amb
la
di e encial
ex e io
;
és
adi
,~
d~=dí«
.
I
que
i

l`~o n(3
>
a~~(3
F

F

~ ~
F
P
o EA(B),
¡3 A(E)
.
A a
u ili za eín
aques a
de inici6
pe
a
cons ui
la
successi6
exac a
de
Gysin
i
la
classe
d'Eule
pe
a
ib a s
es é ics
.
Sigui
E
--s

un
ib a
o ien a
de
base
B
i
ib a
una
es e a
S
de
dimensi6
.
Sigui
n
la
dimensi6
de
B
.
V
p,
conside en
el
mo isme
p
4-
A
(E)
o(
-
. a
S

Ls
u
:
:
mo is ,?e
exha ?s iu
.
Designem
pe
K
p+
el
nucli
(pe
a
cada
p)
del
mo isme
`P
.
Com
que
la
in eg a-
ci6
al
lla g
de
les
ib es
coinmu a
amb
la
di e encial
ex e io ,

si
«
E
K
p
,

alesho es
d
cK
e
K
p+
}l

.
Així
dones
K
K
és
un
con?plex
di e encial
amb
la
di e encialex e io
26
Pe
a
cada
q
conside em
el
mo isme
Aq
(B)
-$
Aq(E)
Es
po
comp o a
que
la
ima ged'aques smo ismes
es á
con inguda
a
Kq
.
Pe
an
Aq
(B)

K
q
.
A
més
a
més
;
com
que
d N>
=
n
d

,
el
següen diag ama
és
commu a iu
:
Aq
(B)
~-y
Kq
ld
ld
A
g4,l
(B)
no
s
K
q+l
Pe
an
Rx
indueix,
pe
a
cada
q,
un
mmo isme
de
cohomologia
H9
(B)
-~
H
q
(K
*
)
que
con inuem
designan
pe
nl
.
Es
po
comp o a
que
n"
és
un
ison?ó isme
.
Amb
aques s
p elimina s,
conside emla
successi6
exac a
0
-+
Kq
-J
a
Aq
(E)

-o
A
q-
(B)

'
0
on
j
és la
inclusi6candnica
.
Aques a
successi6
exac a
indueix
una
successi6
exac a
de
cohomologia
->
Hq(K*)
-j
Hq(E)

Hq
-
(
.)
~~
Hqil(Kn)
En
i u
de
lísomo isme
en eHq(B)
i
H
q
(K
° )
podem
esc iu e
la
successi6
exac a
aixi
:
®°'-F
y'
OF
T-
P
-
F
"
O
, . ;
w
.
m'
y-
.y-
I^
q
,
n

1

~W
_

y

I
'19

y
1P
'
,`
1
'9
-s
Hq(B)
!1~
Hq(E)

1P
+
Hq-
(B)
-J,
Hgal(B)-
on
D
=

Aques a
6s
la
successi6exac a
de
Gysin
.
D
unciona
així
:
Dona

~
d
e H
q-
(B)
,

sigui

p
una
q- o ma
de
E
al que

?--&
.
Sigui
Y
una
q+1-Fo ma
de
B
al
que

-
1IMí
_al
.

Alesho es
DNd~
=NU
1
.
Suposem

que
B
es
connexa,
H0(B)

= R
i
D
:
R
---i
H
+l
(B)
.
D(-1)
e
H +l(B)
és la
classe
d'Eule
del
ib a
E
i
es
designa
pe
7C
E
.
Pe
an ,
si
S2 és
una
-Fo ma
di e enciable
sob e'E
amb

A
=
-1,
i

<~
una
+l- o ma
sob e
B
al que

4>
=d
s
alesho es
~
és
un ep esen an
de
la
classe
d'Eule ,
§3
.
Regula i a
i
a
ie a s
qu
ocien s
Enca a
que
nosal es eballa em
en
sis emes
di-
e encials
1-dimensionals,
dona em
a a
de inicions
i
pa
dels
esul a sob ingu s
pe
Palais
[S3
sob e
sis emes
di e encialsm-dimensionals
.
De inici6
:
Pe
sis ema
di e encial
m-dimensional
sob e
una
a ie a
di e enciable
de
dimensi6
n,
E,
en en-
d em
una
aplicaci6

®
que
assigni
a
cada
pun
PC-
E
un
subespai
&
e
de
1'espai angen
de
Ea p
.
Un
camp
ec o ial

de
E,
pe any
a 0
si
pe
a
cada
p
del
domini
de

,
5
e
E
Bp
.
El
sis ema
di e encial
E)
es
diu
di e enciable
si
pe a
cada
pcE
exis eix
un
en o n
.
1-A-
de
p i
uns
camps
ec o ials
diFe enciables
«
~,,---1,
de i-
ni s
a

°
Ll
ais
que

6s
una
base
de
6~ a
cada
q
c
1l
(9
es
diu
in olu iu
si 6s
di e enciable
i si
.quan
X
i
Y
s6n dos
camps
ec o ials
di£e enciables
a
E
amb
el
ma eix
domini,
o s
dos
de
6
,
el
seu
pa In esi
de
Lie
aubé
pe any
a6
.
Una
sub a ie a
N
de
E
es
diu a-
2
7
---
associa
a
cada
p
e-E
.,
la
ulla
de
8
que
con é
p
.
La
o-
pologia
de
E/i9
és la
opologia
més
Po a
que
a
n
o
con í
.-
"
nua
.
A a
es
ac a
de
dona
condicions
so a
les
quals
E/g
adme i
una
es uc u ana u al
de
a ie a
di e enciable
de
dimensib
n-m
.
Pe
aixó,
hem
de
pa la de egula i a
.
De inicib
:
Sigui
0
un sis ema
di e encial
in olu iu
m-dimensional
sob e
una
a ie a
di e enciable
E
de
ie a
in eg al
de
(9

si
pe
a
cada
pun
p
.
N,
1'espai
angen
a N
en el
pun
p
es á
inclbs
a
E)
.
Si
(9
és
un sis ema
di e encialm-dimensional
sob e
E,
un
sis ema
coo dena
(x

. .
.,
x

~,1
.)
es
di á
pla
espec-
e
a

(9
si
pe
a
cada
q
su
. ,
x,
4
,
.
. .
,
X
wIés
base
.
d
e

®
.

,
De inicib
:
Sigui,
0
un sis ema
di e encial
in olu iu
m-dimensionalsob e
una
a ie a
di e enciable
n-dimen-
sional
,
(E,I )
(y'
és
1'a las
de la
a ie a )
i
sigui
(x,
x.
.,u)
un
sis emacoo dena
cúbic
de
E,
pla
espec e
a
®
.
Si
é's
una
llesca
m-dimensional
de
(x,
. . . .
x

,U)

('Z
=

g LL
;
X,+,~
(q)

=

,,
..
`

;

i=l
.
.n-m,
( ,
, .
.
.)

_
.n

)
,

l'
aplicacib
q

1
,
(x, (q)
; . .
.
,
x,(q))

de
T-
a R
m
es
diu
.
una
ca a
o-
liada
de
E
espec e
a
(9

.
Es
po
comp o a
que
el
con-
jun
de
les
ca es
oliades
de
E
espec e
a 6
o men
un
a las
m-dimensional
sob e
E
.
.
Sigui(E,~)
la
a ie a
di e-
enciablem-dimensional
que
aques
.a las
de ineix
.
Ales-
ho es
(E,4)
es
diu
la
a ie a
in eg al
maximal
de
0
.
Una
componen
con exa
de
E
espec e
a
la
opologia
de
la
a ie a
(E,¿p)
mi ada
com
a
sub a ie a
obe a
de
(E,~)
es
diu
una
Pulla
de
(9
.
El
conjun de
ulles
de
0
es
deno a á
pe
E/6
Sigui
11
0
la
p o
jeccib
candnica
de
E a
E/p
,

que
2
8
dimensi6
n
.
Un
sis ema
coo dena
(x,
._
x,,u)
a
E
es
di á
egula espec e
a
6
si
6s
cúbic,
pla
espec e
a6
i
si
cada
ulla
de
(9
alla
U
en,
com
a
mol ,
una
llesca
m-dimensional
de (x
, . . .

x

, ()
.

Una
Pulla
de
19
es
di á
ulla
egula
de
0
si
in e seca
el
domini
d'un
sis ema
de
coo denades egula
espec e
a
6
.
Di e
:
que
(9
6s-
egula
si
cada
"ulla
de
0
és
una
ulla
egula
de
0
Amb
aques es
de inicions,
es em
en
condicions
de
pode
enuncia
dos
esul a s,que
ens
assegu a an
que
és
una
a ie a
di e enciable
Hausdo
.
Conc e amen
:
Teo ema
:
Si
0
6s un
sis ema
di e encial
in olu iu
m-dimensional
sob e
una
a ie a
di e enciable
n-dimensio-
nal
E, i
si
(x,
._
.
x

, i)
6s
un sis ema
coo dena
a
E
egu-
la
espec e+0
,
alesho es
exis eix
una
únicaca a
(n- I-dimensional
T
,

a
E/6

amb
domini
h
e(uN al
que
-
4
.0
.
(1)=
=

(x-
i
(q)
,
. . .
,
x
H
(q))

dgé l
. .
Dues
d'agi)es es
can es,
.
es andi e enciablemen
elaciona les
i el
conjun
de
o es
aques es
can es,
6s un
a las
di e enciable
de
E/e
si
i
sois si
6
és
egulas
.
(Així,
podem
pa la
de
la
á-
ie a
quocien
E/p

com
(E/e,T)
on

-Y

és
l'únic
a las
comple de
E/a
que
con ó
1'a las
ci a )
.
I
inai
ien
Teo ema
:
Si
0
6s
un sis ema
di e encial
egula
sob e
una
a ie a
di e enciable
E
compac a,
Hausdo ,
alesho es
cadaPulla
de
0
6s
compac a
.
E/c9
6s
una
a
ie a
di e enciable
compac a
i
Hausdo ,
i
n
o
és
una
a?licaci6
a cada
.
Si
a
m6s
a
¡n6s,
E/(9
és
connexa
(en
pa icula ,
si
E
6s
con exa)
alesho es
les
ulles
de

L9
s6n
les
ib es
duna
ib aci6
'é
_
de
E
amb
espai
base
E/,s
i
p ojecci6
n,y,
i
en
pa icula
les
ulles
de
(9
s6n
'Cisomo £es
.
o_
:
.
i
x'
descansen
G'(o)
=
`,
i
o-(,)
-
,
:',
,-
.
¡aa ei
:ca
d b¡ ~
: .
Alesho es,
una
al aco b2
aiab
u(0)
=
a'(0)
= p
i
di ec a
de la
unici a
di e enciais
o diná ies
enim
G-
=
G',
¡
de
p
coincide¡,
,
amb
el
de
x'
//
.
36
sigui
sob e
la
l
a
aiis o mada
'
de
o ogonal
(ja
que
3és
un
n
.T'=
nos
.
de
soluciona
de
les
equacions
així
el
pe íode
c
?E,--
ea¡-,,p
de
Lla o s,
coya
aplicaci6
Ki11ing)
.~i
.
.í
dones,
c7
.
.
;
:°
.
que
el
pe íode
és
cons a
: ,
el
podem
p end eigual
a 1
.
D'aques a
mane a,
cl
g up
unipa amé ic
a
')
.5
depénnomés
de
les
classes
d'equi alé
.cia
i
l'acci6
així
incluida
és
e ec i a
i
lliu e
i
Wang
£13)
.
esul a s
de
Palais,
ens
diuen
que
E és
un
associa
mod
1
de
(Boo hby
Els
ib a
sob e
la
a ie a
di e enciable
E/
-T

.
(Posa em
E/~
=
B)
.
Pan
sois
es a
eu e
que
és
localmen
i ial,
és
a
di ,
hem
de
eu e
que
B
po se
ecube a
pe
en o ns
U
a
ala
que
exis eixi
una
secci6
5,
:
U,
1
E
(
i
s,,
=
Id)
.
Alesho es,
les
aplicacions
~p
.
:
u
w
x
S
1
--~
E
de inides
pe

---
"
s,(p)
se an
¬
uncions
coo denades
del
ib a
.
Es
ácil
de
eu e
que
jeccions
deis
en o ns
egula s,
au omá icamen
enim
secciona
(
s
o
(x,

x,,)
.
= (x,,, _
.
x
U
c)
pe
a
alguna
cons-
an
c,
on
x,,
.-,x
,,
ep esen en
unciona
coo denadessob e
U
.)
.
Així
dones,
E
---~
B
és un
ib a
ci cula
p incipal
.
w
la
o ma
dual
de
y
pe
g,
aixb
és
:
w
(x)
=
g(1 .x)
I odui m
a a
una
mé ica
ienanniana
sob e
B
.
Pe
a
aix6
de
inim
si
aga em
com
a U,
&
les
p o-
I

I
"
IIh
p,
p,
®
p,
i
II/
II
sI
IP
T
T
'"
-
y
n
In
Iq

h(X,Y)(P)
=
g(X',Y')(q)
-
uJ®w
(X',Y')(q)
on
X',
Y'
són
ca!nps
sob e
E,
que
só _
p ojec a s
sob e
X,
Y
espec i amen ,
iq
és
un pun de
la
ib a
de
p
.
Es
ácil
de
eu e
que
aques a
de inició
és
inde-
penden
del
pun
q
i
dels
canps
X',Y'
escolli s
i
que
es
ac a
duna
mé ica
de
Riemann
.
E _
e ec e,
egem
p ime amen
que
si un
cop
elegi
el
pun
q
de la
ib a,
can iem
X'

pe Xq'
(

amb
TT
n
Xq'
=
=
X
p
)
i
can iemYq
pe
Yq
(
amb
T,~9Yq
=
Y
p
),
la
de ini-
ció
de
h
no
a ia
.
I
no
a ia,
ja
que
al
p ojec a -se
Xq
i
Xq'
sob e
Xp
,
di e eixen
en
un
múl iple
de
1
i
enim
gq(Xq
~y
,
Y
4
,i)
-
w
q
(X, ~T
)
wq(Yq+/-3)
-
Aneas
a
eu e
a a
que
no
dep1n
del
pun
elegi
a
la
Fib a
de
p
.
Pe
a
aixa,
siguin
q,q'
pun s
d'aques a
ib a
amb
q
/
q'
.
Siguin
X',Y'
ec o s
angen s
a
E, a
q,
que
es
p o-
q q
jec insob e
X
,
Y
P p
Siguin
X',
,
Y',
ec o s
angen s
a
E,
a
q',
que
q q
es
p ojec in
sob e
X
P
,
Y
P
.
Hem
de
eu e
:
gq
(X
q
.
,
Yq
)
_

q
(X
q
)

q
(Y
q
)
.
gq
(
:cq

,Y')

_
~(x')
q
(Y')

=
gq,(xq,

,

y,,)

_
_
~
q
,(x',)
q
,(Y
q
,)
.
Níi jan an
el
g up
uiipa amo ic
associa
a
passa e
.i
X'
,
Y'
,
clwcn s
de
T
E,
a
elemen s
de
T E
.
q
q

~~

q
Veu em
que
aques s
dos
nous
ec o s
de
T
q'
E
es
p ojec-
e
.
sob e
X
p
,
Yp
espec i amen ,
i
pel
<
;ue
s'ha is
an e io men ,
u ili zan
que
T
és un camp
ec o ial
de
Killing,
queda á
p o a
.
Sigui
9,
el
g L'p
unípa amé ic
associa
al
camp
i

~~(
q)

=
q'
.

Tenim
T
q
T
qE
--
:
i
Tq
,E
3C
q
-~
Tq
YE
.
(X
q
)

=
X
q'

'
Fel
que
s'ha
di
abans,
hem
de
eu e
només
:
pe o
T
q'
n
.

Ta
%
.

=
Tq
( l
"
~
.)

= T
q
i
jaque
l
.
iL,(z)
=11(z),

pe se

(z)

un
pun
de la
ma éixa
ib a
que
z
.
Amb
aixa,
la
igual a
que
hem
de
p o a
queda,
a
pa i
de
:
3S-
gq.(Xq
.,
Y,
,)
_

q,

(xq,)
-
q
,(y
y
`,)

-
=
gq
(T
g
YJ
q
'
Tg
T
.X
)

_
de la
o ma
següen
:
(Tq'
M)
(T q

.
(xq))

=
Xp
gq(Xq
~Y,) -
q(X
q
)
ig(Y,)
_
q,_(T
q
_Xq)
.
~q
,(T
g
Y
o
Yq)
gq
'
(T
q
~
.Xq

T
q ~
bb
Y
q
)
-
q(
T
q~kb
Xq)
'J
q(TgTh
.
Yq)
Pe ó,
pe
se
1
iu1
ca,-,
-
,p
ec o ial
de
Killing
i
Tq
E
.
5q
=

1
q
'
,
aques aigual a
és
ce a
i
enim
doncs
una
mé ica
sob e
B,
que
a
més
a
més
és
iananniana,
de inida
a
pa i
de
g
i de
-i
.
Així,
enim
que
(B,h)
és
una
a ie a
de
Riemann
amb

g =
n
*
h

4+
®
w
.
Aíés
enca a,
cono
que
E
és
o ien able,
exis eix
una
(2n+-1)- o ma
que
no
s'anul
.la
sob e
E
.
Aques a
o la,
in eg ada
al
lla g
de
les
ib es
(el
ib a
és
o ien a
ble),
és
una
2n- o ma
que
no
s'anul
.la
sob e
B
.
Així
B
és
o ien able
.
(NOTA
:
Podem eu e
que
B
és
o ien able,
aplican
el
esul a
més
gene al
dona
pel
següen exe cici
(G eub)
:
Sigui
(E,a,B,F)
un
ib a
di e enciable
a
:nb
E
con-
nexa
i
o ien able,
pe d
B
no o ien able
.
Sigui
Q
:
H
-+
B
el
doble
ecob imen
o ien able
.
Demos a
que
el
i-
b a
és
o ien able
si i
sois
si
exis eix
un
ib a
di-
e enciable
(E,
T¿3,F
l )

al que
R
=
Qa
^
.
P o a
que
lla o s
F
=
Fl
x
Z2
)
.
Pe
an ,
sob e
B poden,
aplica
el
eo ema
de
Gauss-Bonne ,
que
diu
:
J
Q
~-
22n
B
11
Vi
1-11
X
(B)
i
(~~)
deno ala o made cu a u ade
la
mé ica
h,
i
-C(B)
és
la
ca ac e ís icad'Eule -Poinca é
de
B
.
Com
que

uw
(X) =
g(~
X)
i
'j
és
un
camp
de
ec o s
de
Killing,
enim
que
Li
és
una
o made
connexió
sob e
el
ib a
i
així
podem
esc iu e
comuna
uncib
de
.
la
cu a u a
sob e
E
espec e
a
la
mé ica
g
(Kobayashi
[2]
)
(Capí ol
0,
apa a
4)
.
Comp obem,
p ime amen ,
que
-J
és
o ma
de
connexi6
.
40
PROPOSICIO
2
.
En
aques es
hip8 esis,
w
és
o ma
de
connexi6
.
P o a
:
Si
aga em
A
=
d
/a
una
base
de
d
"
,
álgeb a
de
Lie
de
S
1
,
alesho es
w
=

A,
és
unw
o masob e
E
que
A en
alo s
a
csj'L
.
Com
és
habi ual,
iden i iquem
w
amb
w

,
quan
pa lem
de
la
connexi6
de inida
pe
-
.
Pe
a
eu e
que
-+de ineix
e ec i amen
una
connexi6
hem
de
p o a
:
P ime ,
si
V
c
G'i
V
°
és el
camp
ec o-
ial
sob e
E
indui
pe
V,
alesho es
k+(V')
=
V
en
cada
pun
;
i
segon,
R
LJ(X)
=
ad(
-1
)(X)
pe
a
cada
X
ec o
angen
a
E
.
Lap ime a
a i maci6
només
cal
p o a -la
pe
a
la
base
A
de
G'
1
,
pe 8
A
¢ _ ~
i

w
( )
=
1,
pe
an ,
en
i -
u
de la
iden i icaci6
enim
:
w
(A')
=-1
(A")
=
w
(A)A
=
=w(E)A
=
A
.
Respec e
al
segon
pun ,
co o
que
S1
és
abeliá,
hau em
de
eu e
an
sols
que
R ~
=
W
,
pe 8
R
w
(X) (p)

=

w
(R
*
x
p
)

_
'g(R
o
xp
,
eLP
)

-
=
g(R
xp
,R
S
p
)
=
g(x
p
.j
p
)=
w
(x
p
)
pe se
~
camp
ec o ial
de
Killing
.
Així
doncs,
.,~
de ineix
una
connexi6
sob e
E
.
Pe
eu e
ácilmen
que
A
a
=

,
eco dem
b eu
men la
cons uccib
de
VI
.
Si
V

i a és
el
subg up
unipa amé ic
de 51
gene a
pe
V,
alesho es
el g up
unipa amé ic
de
ans o macions
R

sob e
E,
indueix
a
F-
7
V-'
' -p

'Y
,
Y-
y-'wF
-
Y-
p
.,-
1
--
7
.T
,--
.
.,,-"-

-
W
Iq
~
.
que

,
n
.
un camp
ec o ial
di e enciable
sob e
E,
que
deno en
V

.

Si
pa im
de
A,

a
= i
la
igual
a
és
ob ia
.
Queda
p o ada
la
p oposició
2
//-
A
pa i
de
les
p opie a s
de
la
in eg ació
al
lla g
de
les
ib es, (Capi ol
0,
apa a
2),
és
ácil
de
eu e
que
on
6
és
una-2n- o ma
a bi á ia
sob e
B
.
U ili zan
o ques a
igual a ,
i
les
elaciona
en e
les
o mes
de
cu a u a
de
g i
h
(Capí ol
0,
apa a
4),
a
pa i
de
(11)
ob enim
:
(12)

((-1)

/

22n
Ti
n
n!

-I(S))S
£
7
1

i,
. .
i z
-)

n
.
.

C-k1
iZi- ~
._
^i
= ¡X (B)
.
Si
posem
A(ij)
en
lloc
de
A
ij
,
esul a
JE
e,,w
=

2(F)
J
B
w
(13)

((
-
1)
n/
2
2n
R
n
n!
L(~))
IE

Eci~
.
.i~~)

`~h
+
+~,(A(i i)A('cs)
+
A(izk)A(i1s))

n
."-
(~ iIM-%+
k s
}
T-(
A
(
12n
1 n-1)A(ks)
+
A(¡

k)A(i2n-1
s))~
,
^

_
Ks

Calculen
:
7C(B)
en
e mes
dels
nomb esde
Be i
de
E
.
La
successió
exac a
de G sin
de!
Pib a
n
:
E--~
B
és
T encan -la,
i
així,
comquesón
espais ec o ials, enim
:
(14)
42
0
-
.
QH1(B)

cl

o
H
1
(E)
-
,
--Ho(B)
0
-+
H
n+2
(B)/Im
D
p
-
H
p 2
(E)
--°+
Ke
D
p,*
1
-
:
P
0
H
p'2
(E) =
Ke
Dpai
®
Coke
D
p
Lla o s,
ob enim
les
següen s
elacions
:
b
0(B)

=
bo(E)

.
b
1(B)

=
b
1
(E)

-
d0
b
2
(B)

=
b
2
(E)

}
b
o
(E)

- d
o -
dl
b
n
(B)

= b
n
(E) a
b
n-2
(E)
4-
. :
.}b
n
-2k
(E)-do-d
i
-

..
.-d
l-1
"
(amb 2k
=
n
o
2k
*1

=n,

d
i

=
dimKe
D
.
1
,
i
D
i
:
H,(B
;R)
--,
Hi+2(B
;R)
la
mul iplicació
pe
la
classe
d'Eule
del
ib a
(Capi ol
0,
apa a
2)
.
J
a
que
7C(B)
=

2b
(B)(
-
1)
+b
n
(B)(
-
1)
n
(dim
B
=
2n)
=
e
exp essan
cada
b
(B)
comuna
unci6
de
b
(E)
i
d
enim
:
24
(15)

ñ
(B)

(n
al- )(-1)
b
(E)

(_1) d
.
D'aques amane a
ob enim
la
Fó mula
(3),
amb
(sz,
j
)

donada
pe
(13)
.
Aques a
£(
.a,
1
)

és
independen
de
l'elecci6
dels
canps
de
7
-bases
.(
Si
V,el,
. .
.,e2n
i

~
l
,
."
,
2n
s6n
dues
e e éncies
o ien ades
posi i a-
men ,
els
in eg an s
de
(13)
di e i ien
en
el
de e minan
del
ca i,
que
en
aques
cas
és
igual
a
l)
.
Si
eballem
sob e
a ie a s
de
Sasaki,
el
e me
N-1
L
(-1)
d

,
no apa eix
.
En
e ec e,
en aques
cas
la

u

base
del
ib a
és
una
a ie a
Káhle iana,
pe d
com
que
la
classe
d'Eule
del
ib a
coincideix
amb
la
classe
de la
2- o ma
onamen al
de la
a ia a
Káhle iana`,
sabem
que,
alesho es,
D
p
és
injec iu
pe
a p
<(2n-2)/2
.
Aques
és
el
cas
es udia
pe
S
.lanno
(7]
.
~
l'"~~
`,
~
~Ih'~~'Ile l~~ll¡I~¢
~~°di
"
k}
I
~
,?1}~ k''
~¡1~,
.~1~~,
"
'!~
~a~
.~'"
~
"
~~,
p
:~(
y-
CAPITOL
2
DIMENSIO
3I
DIMENSIO
5
§l
.
Dimensió
3
TEOREMA
2
.
Sigui
(E .g)
una
a ie a
de
Riemann
o ien able,
compac a
connexa
de
dimensió
3
.
Sigui
un
camp
de
ec o suni a i
egula ,
de
Killing
sob e
E
.
Lla o s
on
K(~
l
)
signi ica
la
cu a u aseccional
del
-
pla
o ogonal
a
,
K(V)
la
cu a u a
seccional
de
qualse-
ol
pla
que
con ingui
1
(és
independen
de
1"elecci6
del
p
la)

i

`?

deno a
le
.
o
:,a
de
olum
.
A
més
a
:més,
en
el
da e
cas
el
ib a
és
i ial
.
(16)
(1/2
11
«1»
IE (K(
5 1
)
+
3K(5
»
-2
=2
si i
sois
si b1(E)
és
pa eil,
i
(17)
(1/2
nk(j))
IE
(K(
j'-)
~-
3K(5))
`?
=
3
si i
sois
si
b
1
(E)
és
i impa ell,
implica
:

b
1
(B)

=
d
l
= b
1(E)

-
.
d
o
=
1 i
aixd
implica
:
b2(B)

=1-
(d
o
-4--d
1 )

=
1
-
2,

cosa
impossible
.
PROPOSICIO
4
.
Sigui
(E, i)
com
en la
p oposici6
2
.
Lla o s
b
1
(E)
=
0
implica
:

-X
(E/
T)

=3
+b
2(E)

i
el
ib a
6s
no
i ial
.
P o a
:

bi(B)

= b
1(E)

- do
= -
d
o
implica
do
----
=
b
1(B)

=
0
.

Així

6s
d
1 = 0
ja
que
d
l
!!
b1(B)
.
PROPOSICI6
5
.
Sigui
.
(E,~)
com
en
les
p oposicions
an e io s
.

Si
b
1(E)

=2
i
b2
(E)

=
1,

enim
:

i
(E/
y
)

=
0
.
P o a
:

b
2(B)

=
1
+
1
-
(d
o+ d
1
)
.

(i)

d
o
=
0
implica
:
b
(B)
=
2
i b
(B)
=
2
- d

=
2p
(B)
+
1+b
(B)
,
1

2

1 g
d'
on
d
1
=
0

o d
l
=

1
.
Anem
a
eu e
que
d
1
1
.
Suposem
que
no
;
enim
:
b
2(B)

=
1
i

així,

p
g
(B)

= b
_(B)

=0
.

Pe ó
b
_(B)

= 0
oldi
que
B
6s
lliu e
de
co bes
excepcionals
(c
.
amb
la
p o a
del
Teo ema
3a)
.
Pel
Teo ema
A,

enim
:
c
2(B)
_
= op
g
4
9-b

-8q
=1~0i
q=1
.
Pe dpelTeo ema
C
enim
q
= 0
.
Aixó
6s
una
con adicci6,
i
així,
dl
=
0
.
(ii)

Si

d
o
=
1,

lla o s
d
l
=
b1(B)

=b
1(E)

- do
= 1
.
En
ambd6s
casos,

'7C
(E/T
)

= 3
-
2b
1
(E)

+
b
2
(E)
+
do
-d
1 =
=
3

-
2b
1
(E)
+
b
2
(E)

=
0
.
PROPOSICI6
e
.
.
-
Sigui
(E,F)
com
en
les
al es
p opo-
sicions
.
Si
b
1(E) = 1 i
b
2(E) = 0,
enim
:
"X
(E/
)
= 1
i
el
ib a
és no
i ial
.
P o a
:

b
2(B)

=

1

-
(d
o
+
d
1
)
.

Si
d
o
=
0,

b1
(B)

=
= b
1(E)

= l
.
Pe
an
b
2(B)

=
2p
9(B)
+

b_
(B)
,=
b2(E)+

+
bo
(E)

- do -
dl
=1-d
l
.
Aixa
implica
:

p
9
(B)

=
0 i
b
_(B)

+

d
l
=
1
.

Si

d
1
=
1,

b_(B)

=0
implica
:

b
p(B)

= 0
;
pe a aixd
és
imposible,
ja
que

-
X
E
E
H
2
(B
;R)
i

_
X
E
no
és

ze o
pe qué
do
=
0
.

Si
do
=
1,

d
1 =
b1
(B)

= b1(E)

-
1=
=
0,
pe a
lla o s
b
2(B) = 0
=
2p
g
(B)

1
+b-(B)
i
aixd
és
impossible
.
La
da e a
igual a
e
del
Teo ema
A
.
Pe
an ,
enim
:
do
=
0id
1 =
0
.
Aixi,
-
X(E/1
)
= iel
ib a
és no
i ial
.
~-b iamen ,
el
Teo ema
3
és
conseqüéncia
deis
eo e-
mes
3a
i
3b,
i
de
les
p oposicio _s
3,4,5
i 6
.
L'in eg an
s'ob i
de
(13)
pe
a n
= 2
.
TEOREMA
4
.
Sigui
(E,g)
com
en el
Teo ema
3
.
Alesho es,
si
la
cu a u a
seccional
de
E
és
semp e
posi i a,
1'in-
eg an
és
posi iu
.
Si la
cu a u a
seccional
al
lla g
deis
plans
o ogonals
a
1
és
semp e
posi i a,
1'in eg an
és
posi iu
.
P o a
:
L'in eg an
de la
:
:~ula
de
Gauss-Bonne
en
dimensi6
4
po
esc iú e's
com
segueix
(
Che n,
Abh
.
Ya h
.Sem
.Uni
.Ha lbu g,
20
(1955),p
"
124)
:
(21)

(K1212
K
3434
+
K1234
4
.K
1313
K
4242
}
2

2
i
K
1342
+
K
1414
K
2323
+
K
1423
)
On

S ~
_
(1/2)^L
.-
.

Kijk
6
.,
aT
En
e ec e
:
Reco dem
que
si
una
secci6plana
P
e
gene ada
pe
dos
ec o s
de
componen s
X
i
,
Yk
espec i-
amen ,
les
se es
coo denades
de
Plücke
es
de ineixen
així
:
pik

Y
i
.
x
i
Y
l
:
-
Xk

53
Quan
P
6s de
mesu a
uni a ,
aix3
és,
quan
la
cu a u a
seccional
de
P
e
donada
pe
Suposem
la
secci6
plana
Po
:
p
12
=
1,
PkP
=
0,
(k,k)
A
(1,2),
pe
a
la qual la
cu a u a
seccional
6s
máxima,
en e
o es
les
seccions
planes
a
a és
del
pun
.
En
un
en o n
de
Po
enim
:
p
12
~
0
.
Pe
a
mes
seccions
planes
coa
aques es,
podem
esc iu e
un
conjun
comple
de
elacions
independen s
en e
les
pik
així
:
K
(P)

`

yL
K
.aK4
~i
~Ke
Pis
P,,P
+ P
.
P
o
.,
+
PIP
P «

=0'
A
aix3
a egim
la
elaci6
Seguin
el
p ocedimen
habi ual,
pe
es udia
un
ex em
ela iu
de la
cu a u a
seccional
conside en
la
unci6
on
l
.%
i/ dP
s6n
inde e minades
.
T obem
La
condici6
que
aques es
de i ades
pa cials
s'anul
.lin
pe
a Po
d6na
K
1
W12
=0
Can ian
els
índexs
1 i
2,
enim
K2<K12
=0
,

-
7
.
M
.,
c
V
. _

K
~ k
w
-
^Px

sP

P
P
A
con inuacióconside em
o es
les
secciona
planes
que
enen
un
ec o
no
nul
en
comú
a
la
egada
amb
Po
i
amb
1'espai
lineal
(n-2)-dimensional
pe pendicula
a
ell
.
Sigui
P1
(p
l3
-
1,
p
ik
-0,
(i,k)
A
(1,3)),
d'en e
o es
elles,
aquella
pe
a
la
que
la
cu a u aseccional
assoleixun
máxim
.
U ili zan
l'an e io
a gumen
ob e-
nimles
condicionanecessá ies
K2313

0,
K
lu13
-0,
Pe
a
n
=
4,
enimdones
Pe
1'apa a
4
del
Capi ol
0, si
(22)

Rijij
=
K1j1j
-
3
A(ii)2<
4
_c
1)5
n
.
K
1213
K
1214
K
1223
K
1224
K
1323
K
1314
0
Pe
an
X12
w

34
+
'l3
~'42
'

14
~~
23
_

2
-
(K1212
K
3434
d
K
1234
a
x
3
1314242
+
4-K
1342
4-
K
1414
K
2323
+
1423
)
'
enim
El
esul a
es
dedueix
Gcil
:nen
de
(21) i
(22)
.
Hem
ob ingu
ambé,
el
segUen
Teo ema
:
TEOREMA
5
.
Sigui
E
una
a ie a
compac a,
connexa
de
dimensió
5,

amb
b
1(E)
pa ell
di e en
de ze o
i
de
dos,

i
b
2
(E)
=
0
.
Alesho es
E
no
po
adme e
cap
es uc-
u a egula ,
quasi
de_
con ac e
i
no mal
.

_
P o a
:
En la
demos ació
del
Teo ema
3b,
1'exis-
éncia
d'un camp
3
,
essen
E/5
una
a ie a
complexa,
implica
la no
i iali a
del
ib a
i
la
igual a
p
(B)
=
b
_
(B)
=
0
.
D'aques ada e a
eiem
que
B
és
lliu-
9
e de
co bes
excepcionals
.
Lla o s,
pel
Teo ema
A
ind em
:
c
2
(B)
= 9
-
8q
<
<
0,
i
u ili zan
el
Teo ema
B,
se ia
B
una
supe icie
eglada
i
així,
b
2(B) = 2
=
l~'(B)
+
b
(B) =
2p
9
(B)
+
1 +
ab
(B),
cosa
imposible
.
56
p
FIF
VIIIM
,
IPI'
yIIIp,
1
1
,
y
,T,y
,
T
y
,T,T1R
CAPITOL
3
DII~~iAiSIC~üS
-
:ES
ELEVGD~S
En
dimensions
més
zl es,
hem
ob ingu
el
enul a
següen
:
TEOREMA
6
.
Sigui
E
una
a ie a
deRiemannconnexa
conipac a,
de
dl
.ensió
n =
3k4n
.i,
m
:
0,
que
adme i un
camp
de
ec o s egula
uni a i
i
de
Killing
3
.
Si
b,(E)

= b
4(E)

=
(E)
---
0,
lla o s
:
Z°`
H
(23)

7C
(E/]
)

-

L~

(nil- )
(-1)
b
(E) +

1

si
i
sois
si'
1
(E)

+ b3
(E)+

.
.
.4b2m
;1(E)

és
impa ell
.

I
(24)

'K
(E/F
)
=
j
J
(nkl- )(-1)
b
(E)

si
i
sois
si
_
o

.

b
1(E)

+

b
3(E)
.Y

.
.
. a
b2 ~
}i
(E)

és
pa ell
.
Si
b
1(E)

= b
3
(E)

=

.
.
.

=
b
2m+1
(E)

=
.
O,

alesho es
(25)

"X
(E/
~)
=
L
(n+l- )
(,_,)
b
'
(E)
-
(Pe
an ,
-C
(E/S
)
és
independen
del
camp
de ec o s
y
egula ,uni a i,
de
Killing)
.
P o a
:
Pe
la
successió
exac a
de
Gysin
i
pe
la

duali a
de
Foinca é,
eni a
les
seg en s
elaciona
:
b1(B)
=
b1(E)
-
do=b
4m4
.1
(B)
= b
4
.i
4
.
1
(E)4
.
.
.+b
1
(E)
-
7
-
0

---

-
4
,
,n
-
b
(B)
=
b
(E)
-4
1
- d

_d

(E)

b
(E)
2
2

0
1
4¡
-
z

0
d
0

-

.
.
.

-

d
4m-i
.
AiS,
(P-6)

b
4m
+l
(E)

.
.
. .

*b
3
(2)

d_+
.
.
.
+
d
4,i

i
enim
:
(28)

b

(E)

b
2
,
,
4
.1
(B
.,)
Po
(28)
i
(29)
.
enia?
:
(27)

b
4!n
( )

+
. . .

+b
4
(E)

=

d
2+
.
.
.
4
d
4m-I
*
Pe 3

b
4 i
(E)

= b 3
(E),

(27)

de

(26)
enim
:

b
4m l
(E)

=
b
2
(E)

=
d,+d
4ni
.
Ailálogamen ,

b
4(E)

=
d3 +
d4m-
2
.
an ,

se
segueix
de la
hipó esis

di
= d
3
=d
2m -1
=
0
.

ii
m6s
a
mbs,

si

Y'
6s un

al e
ca
.
,
inp
de
ec o s
imi a i,
egula ,
de
Kiliing
amb
B'
= E
/y
'
(29)

b

(B)
- b

B')
z-
--
0
(mod
2)
Ja
que,
sob e
una 2m- a ie a
o ien ada
compac-
a
1
-
4,
wnb n
impa eli,
6s
-
X(,
,,
í) 7- b
,,
e
C»
Te
-
,qbI
eiii
.-
.
.,,
:
(30)

b2
m
(13)

=

1

-(d
04-
.
.+
d
21-q-1)
(31)

do4d2 +

. .
.

j,
d211U

=

2k
4- d
0
-~

d
2
. . .
+
d2,
.
ikiesho es,
si
do
=
1,
pe
(30)
Si
do =
0,
pe
(30)
d
2m = 0

i

a¡x-í,

do

d
2m
=

1
.
eñim b
2m
(B)
=
0 o
1,
d
2 n

o1
i
cI .,j-

d
2m~2
.
0

o

1
.

Si

d
.
9
+

-1
á
2m-2

o'

enim
:

d
0

+
d
2m
1F
y
,
FF
1
1
1
T
1

1

1
1

N
11
1
---

0

0

1
.

Si

d
2
+

.
.
.

+
d

=

l,

e 17
.1 1
:

b
2m
(B)

=

1

-

1

=
21i1-~
= 0
i

així,

d
?m

= 0
;

pe

an

d0
+
. . .

+ d
2
1
=
C

o

1
.
Análogamen ,
do
+
. .
.+d2
m
---
0
o
l
.
Pe
(31)
enim
:
dó
+
.
.
.

+
d2
m= d0
+
.
. .

d
2m
.
En
conseqüéncia,
=
7(
(E/~l)

_

(n+l- )(-1)
b
(E)

+ d
o
+
. .
.

-~
d,
m
.

Com
que
b
2m+1
(B)

bP
.m+1(J)
+

. . .

+b
i
(
E)
-

(
d0
+-
. . .

d? n)
6s
pa ell,

:
o a

(23)

i

(24)
.
Si
b
1
(E)
= b
3
(E)
=
. . .
=
b
2m
4
.1
(E)

=
0,
enim
:
b
2m+1
(B)
_ -(d

+
. . .

+
d

)

i
així,
O
2m
AixB
T o a
el
Teo ema
5
.
COROL
.LARI
1
.
Sigui
(E,7)
una
a ie a
de
Sasaki
con exa
compac a,
de
dimensí6
7,
anb
7
egula ,
i
de
cl
._ ¿~_ sa
es ic a-e n
;posi i a
.
Ales_io es,
si
j
és
un
al e
camp
de
ec o s
uni a i ecala
de
Killing,
an
-
;I
"

x(E/
~
)

=

%
n
(E/
5
1
)
w
'X(E/T)
=
L
( _+l- )(-1) b (E)
.
P o a
:
Pc a aques a
a ie a ,
b2
(E)
= 0
.
(Tanno
C6)
)
.
COIROL
.
LARI

2
.

S
2p+1

lS
"q

(p
+q
=2
:
:,+1,

p< m
<
q)
ayo
ad- :,e

es uc u a
ecula
Je
Sjsa'_~i
.
29+1
P c a
:

S

x
S2
q
é
:"
:o
,
^b es
de
Lc i
que
sa is
-
an
b
_-
.
.
.
=b

=
0
3b +
.
.
.
+~ ~
.

lüi
.a~el1
.
Aixi,
S1
2

2m

l

_
.
.,
.1
É5s
39-
,
Cc"p
de ec o S

egula ,
de
Killing
sob e
S
--
`
x
S
-,
e_ii n
:
.-)
n
T
.
:o
ia' . ,
.

:?i'
..
6s de
Se
.Sa
:
:1
.
11
i
i

"
MI
F
I/
I
REFERENCIES
1.-
W
.M
.BOOTHBY
AND
WANG,
On Con ac
Mani oids,
Annals
o
Ma h
.,68(1958),
721-734
.,
2
.- S
.KOBAYASHI,
Topology
o
posi i ely
pinchedKáele
mani o1ds,
Tóhoku
Ma h
.J
.,15(1963),
121-139
.
3
.-
K
.KODAIRA,
On
he
s uc u e
o
compac
complex
analy ic
su aces,
I,II,III,IV,Ame
.J
.
.ia h
.,86
(1964),
751-798
;
88(1966),
682-721
;
90(1968),
55-83
;
90(1968),
1048-1066
.
4
.-
A
.MORIMOTO,
Omno mal
almos
con ac
s uc u e
i h
a
egula i y,
Tóhoku
Ma h
.J
.,16(1964),
90-104
.
5 .-
R
.PALAIS,
A
global
o mula ion
o
he
Lie
Theo y
o
anspo a ions
g oups,
Memoi s
o
he
Ame
.
Ma h
.Soc
.,22(1957)
.
6 .- S
.TANNO,
The
opology
o
con ac Riemannian
mani olds,
Illinois
J
.Ma h
.,12(1968),
700-717
.
7 .- S
.TANNO,
A o mula
on
some
odd-dimensional
Riema-
nnianmani olds
ela ed
o
he
Gauss-Bonne
o -
mula,
J
.Ma h
.Soc
.Japan,
24(1972),
204-212
.
DEPARTAMENT
DE
GEOMETRIA
I
DE
TOPOLOGIA
UNIVERSITATAUTONOMA
DE
BARCELONA
BELLATERRA
BARCELONA