R
E
T
I
C U
L
O
S
D
I S
T
RI B
U T
I
V O
S
Y
C O
H O
M
OL O
G I
A D
E
ESPACIOS
N O
E T
H
E
R
I
A N O
S
Y
C
O M P
A C T
O
S
CON
VALORES
E
N U N
HAZ
.
Tesis
p esen ada
pa a
aspi a
al
g ado
de
Doc o
en
ciencias
po
Ampa oLópez
Villacampa
.
U
N I
V
E R S
I
D A D

D
E

B A R
C
E L
ONA
Ba celona,
Diciemb e,
1977
INTRODUCCION
. .
. .
...
.
....
.
....
...
...
.
.....
. .
. .
....
. .
pg
.

1
CAPITULO
0
Re ículos
dis ibu i os
:
pasoal
cocien e
y
lo
calizaci6n
. .
.
....
.
....
.
...... ....
. .
....
.
.....
. .
.
pg
.

4
CAPITULO
I
I
N D
I
C E
La
noción
de
espec o
en
e ículos
. .....
. .
.....
.
pg
.

19
CAPITULO
II
Aplicaciones
a
la
opologíagene al
.. ....
.
.
.
...
.
pg
.

56
CAPITULO
I II
Cohomología
de
espacios
o denados
y
espacios
noe
he ianos
con alo esen un
haz
.
.
..... ....
.
.....
pg
.

75
APENDICE
Un
esul ado
sob e
la
cohomología
de
espacios
compac os
con alo esen
un
haz
.
. .
....
.
....
.
....
pg
.

109
BIBLIOGRAFIA
... .....
. .
.... ..... ....
. .
..... ....
.
....
pg
.

113
INTRODUCCION
Es amemo ia ecogealgunode
los
esul ados
inédi os
quehan
apa ecido
al inicia
un
a amien o
"algeb aico"
de
la
opología
.
Dado
que
el
conjun ode
ce ados
de
un espacio
opológico
iene
es uc u a
de e ículo
dis ibu i o
con
elemen o
máximo
y
mínimo,
el
es udio
sis emá ico
dedicha
es uc u a
en pa alelo
a
la
de
anillo,
apa eció
como
el
camino
idóneo
pa a
in oduci
en
opología
un
lenguaje
más'
algeb aico
.
La
noción
de
espec o
p esen aba
el
máximoin e ésen
cuan ope mi ía ecupe a cie os
espacios
opológicos
pa
iendo
de
e ículos
-
al
igual
que
las
a iedades
algeb ai
cas
a inesson
los
espec os
de
k
-
álgeb as ini o-gene a
dady
sin
adical
-
.
El
Capí ulo
I
se
iniciacon
la
de i-
nici6n
de
espec o
p imodeun
e ículo
-
aquíy en ade-
lan e
" e ículo"ab e ia
a
" e ículo
dis ibu i o
con
.ele
men o
máximo
y
mínimo"
-
que
es
encie amane a
dual
de
la
conocidaen anillos
.
Todo'
el
capí ulo
gi a
en
o noa
es anoción
;
en
los dos
p ime ospa ág a os
se
ca ac e izan
espec i amen e
los
espacios
espec ales
-
espec osde
e ículos
-
y
las
aplicaciones
espec ales
-
aplicaciones
con inuasinducidas
po
mo ismos
de
e ículos-
.E1
pa
ág a
o
3
seocupa
de
las
ep esen aciones
dé
un
e ículoen
sus
dis in os
espec os
y
en
pa icula
da
la
ca ac e ización
de
los
espacios
espec alesnoe he ianos
y
de
los
espacios
que
son
espec osminimales
de
e ículos
.
El
capí ulo
aca-
ba
asladando
la
nociónde
dimensión
de
K ullde anillos
a
e ículoá
.
El Capí ulo
II
.
d e
aplicación
a la
opología
gene al,
mues a
el
in e és
del
es udiosis emá ico
ealizado
en
I,
en
elación
al p oblema
de
compac izaciones
y
cuasi-compac
izaciones
de un
espacio
.
En
pa icula ,
pa a
un
espacio
comple amen e
egula
se
ca ac e izan
aquellos
e ículos
de
ce ados,
cuyo
espec o
maximal
es
una
compac izaci6n
del
espacio
.
Es a
ca ac e ización
es
po
an o
un
mé odo
cons
uc i o
de
compac izaciones
.
Es e
abajo
se
mue e
ambién,en
el
ho izon e
de
una
eo ía
gene al
de
la
dimensión
cohomol6gica
de_
un
espacio
o
más conc e amen e
en
el
del
p oblemade halla pa a
la
misma
una
co a en é minos
"algeb aicos"
.
El
p oblema
si
gue
abie o
.
Con
odo en
el
Capi ulo
III se da,
pa a
un
cie o domi
nio
de
espacios,
un
mé odo
de
cálculo
de
la
cohomologia
de
un
espacio
con
alo es
en un
haz
.
El
mé odo
consis een
la
cons ucción
de
una esolución
" lasque"
pa a
un
haz
sob e
:
1/
espacios
ini os
T
O
-sepa ados
-
y
más
gene almen e
espaciosen
que
cada
plin o
iene
un
en o no
mínimo
-
median
e
haces
de
gé menes
de
cocadenas
de un cie o complejo
se-
mi-simplicial
.
2/
espacios
espec ales
noe he ianos
median e
un
p oce
so de paso al limi e
a
pa i
del
caso
1
.
Las
esoluciones
cons uidas
es án
en
la
linea
de
la
cohomologiacombina o ia
de
Lubkin
(9)
.
Como co ola io,
se
ob iene
el
conocido
eo ema
de
la
aco
aci6n
de la
dimensi6n
.cohomol6gica
de
un
espacio
noe he iano
po
su
dimensión
de
K ull
.
El
hecho
-
demos ado
en
el
apéndice
-
de
que
la
coho
mologia
de
un
compac o
con
alo es
en un
haz
coincida
-
en
el
sen ido
que
allí
se
de e mina
-
con
la
cohomologia
del
espec o
p imo
de
un
e ículo
cualquie a,que
sea
base de
ce ó
dos
;
pa ece
ab i
nue as
pe spec i as
pa a el p oblemade
la
dimensión
.
El
Capi ulo
0
ecoge en lenguaje
algeb aico
las
nociones
básicas
y
bien
conocidasde
e ículos
.
Es
po
an o
un
capi
ulode
e e encias
.
Es
una
obligación
y
a
la
ezunag ansa is aci6n e mi
na
es as
líneas,
exp esando
mi
ag adecimien o
al p o eso
D
.
Ra ael
Mallol
sincuyoes ímulo
es e
abajo
no
hubie a
is o
la
luz
;
y
lo
hago
ex ensi o
a
odosmis
p o eso es
de
licencia u aqueme
die on
la
o mación
ma emá ica
básica
e
indispensable
pa apode inicia meen
la
in es igación
.

CAPITULO
0
:
RETICULOS
DISTRIBUTIVOS
:
PASOAL
COCIENTE
Y LO-
CALIZACION
.
En
es e
capí ulo
se
dan
las
de iniciones
y esul ados
.
p e iosque
delimi an
el
campo,
obje ode es udiode
es a
me-
mo ia
.
El
capí ulo
gi aen o no
a
espun os
:
1/
la
noción
de
ideal
y
la
noción
dualde
il o-de
un
e ículo
dis ibu i o
.
Los
enunciados
undamen ales
son
:
a)
cada
ideales
in e sección
de odos
los
ideales
p imos
que
lo
con ienen
.
b)
exis euna
.
co espondencia
biyec i aen e
los
idea-
les
p imosy
los
il osp imos
de
un e ículo
.
c)
pa a
e ículos
de
dual
complemen ado,
ca ac e ización
de
los
idealesp imos
minimales
comoaquellos
quesólocon ie
nen
di iso es
de
ce o
.
2/el
paso
al
cocien e
en
e ículos
dis ibu i os
.
A
di e en
cía
de
lo
queocu een
anillos,
el
núcleode un
mo ismo
en
e
e ículos
no
de e mina
la
imagen
;
pe o
el
e ículo
cocien
e
A/p
es
un
obje o
uni e sal
pa a
los
mo ismos
de
A
de
núcleo
p
.
3/
la
localización
de
un
e ículo
A
po
un sis emamul-
iplica i o
S
es imagen
epimó ica
deA
.
.Si
Y
es
el il o
che
ne adopo
S
se e i ica
:
A
s
=
A-
,

y
(AS)#=
A
;
`/
Y

lo
quede
mues a
queel p oceso
de localiza
es
exac amen e
dual
-
del
p oceso
de
pasoal cocien e
.
El
ejemplo
0 .1
iene
el
in e ésde
aduci algunos
de
los
esul dos
y
de iniciones
dadas,en
é minos
de opología
ge
ne al,
cuando
A
es el
e ículo
de ce ados
de
un espacio o-
po16gico
X
.
1/
A
es
un e ículo
si
.
y
sólo
si en
Aexis en
dos
ope-
acionesno adas
+,-suje as
a
e i ica
:
a)
son
asocia i as,
conmu a i as
y
ienen
elemen o
neu-
o
no ados
0,1
espec i amen e
.
b)
!i
a,b,c
e
A
se
e i ica
:

(a+b)
.c
=
a.c
+
b
c
.
c)
y
a e
A
se
e i ica
:
a
.0
= 0
a+l
= 1
.
d)
y
a
e
A
se
e i ica
:
a .a = a
.
2/ In i iendoel o dende
las
dos
ope aciones
en
un
e
ículo
A,se
ob iene
el
e ículo
A41
.
En
lo
que sigue,un
e ículo
A
se áun
conjun o
con
dos
ope aciones
que
e i ican
las
p opiedadesan e io es
.
.,
De inición
0
.1
:
No ación
:
En
oda
la
memo i
.aun
e ículo
deno a áun e ículo
dis ibu i o
con
elemen o
mínimo
y
elemen o
máximo
.
Si
A
es
un
e ículo,
A
41
designa
su
e ículodual
.
P oposición
0
.1
:
Sea
Aun
e ículo
.
Un
ideal
q
de
A,
es
un
subconjun o
de
A
al
que
:

'
1/
si
a,b
eq
en onces

a +
b
e
q
.
2/
si
a
e
A y
b
e
q
en onces
a
.b
e
.
q
.
Lasnociones
de
ideal
p imo,
maximal
o p incipal
de
un
anillo,
se
asladan
sin
di icul ad
al dominiode
e ículos
.
De inición
0
.1'
:
SeaA un
e ículo
.
Un il o
Y
de
A
es
un
subconjun o
de
A
al
que
es un
ideal
de
A
*
.
Si
A
es
un
e ículo
de pa esde
un
conjun o,
donde
la
su
ma es
la
eunión
y
el
p oduc o
la
in e sección
;
la
noción
da
da de
il o
coincide
con
la
usual,
ya
que
:
1/
si
a,
b eS

en onces
a .b
e~
-
2/
si
a e A

y
b
e

en onces
a
+b
e
S
.
P oposición
0
.2
:
Sea
A
un
e ículo
.
La
aplicación
que
asigna
a
un
subcon
jun o
de
A
su
complemen a io
;
de ine
una biyecci6n
en e
el
conjun o
de
los
ideales
p imos de
A y
el conjun o de
sus- il
os p imos
.
Comp obación
:
Si
p
es
un
ideal p imo
de
A,
no amos
A -
p
su
complemen
a io
.
La
p oposición
esul a,
habida cuen a
de
las
p opiedades
de la
aplicación
paso al
complemen a io,
del
hecho
de
se
A -
p
un il o
p imo
.
De inición
0
.2
:
Sea
A
un
e ículo
.
Un
ideal p imo minimal
es
un
ideal
p imo
p
al que
su
complemen a io
es un il o
maximal
.
De inci6n
0
.3
:
Sean
A
l
y
A
2
e ículos
.
Una
aplicación
cp
:
A
l
>
A
2
se
dice
que
es un
mo ismo
de
e ículos
si
:
1/
cp
conmu a
con las
dos
ope aciones
:
cp(a+b)
=
cp(a)+
(b)
cp(a-
.b)
-
cp(a)
.
(b)
2/
cp(0)
=
0
y
cp(1)
= 1
.
De inición
0
.4
:
Sea
A
un
e ículo
y
q
un
ideal
.
Llama emos
e ículo
co-
cien e
de
A
módulo
q
,
no ado
A/q
al
conjun o cocien e
po
la
elación de
equi alencia
:
a-
b
-

---->
exis e
q
e
q
al que
a + q
=
b + q
;do ado
de
las
ope aciones
inducidas
po las
de
A
.
P oposici
ón
0
.3
:
Sea
Aun
e ículo
y
q
un
ideal
.
Se
e i ica
:
1/ la
p oyección
canónica
A
P
>
A/
c
,

es
un
epimo is
mo
de
e ículos
de
núcleo
q
.
Comp obac
ión
:
P oposición
0 .4
"
Comp oba
ción
:
2/
p
es ablece
una
aplicación
biyec i aen e
los
idea-
les
deA que
con ienen
a
q
y
los
ideales
de
A/
q
.
1/es
inmedia o
.
2/
se
demues a
igual
que
pa a
anillos,
sal o
el
siguien
e
pun o
:
sean
qa
9~
q2
dos
ideales
deA que
con ienen
a
q
.
En onces
p(q,)
7¿
p(q
2
)
ya
que
si aeg2

ya
íq2,
si
exis ie a
b
e
q2
alque
p(a)
=
p(b)
en onces
exis e
q
eq
al
que
a +
q
=
b+
q
lo
queimplicaa=a
(a
4
.
q)

=
a (b + q)

e

q2'
SeaA un
e ículo
yq
un ideal
.
Se
e i ica
:
1/
q
es p imo
si
y
sólo
si
A/
q
es sin
di iso es
de ce o
.
2/
q
es maximal
si
y sólo
si
A/
q
-
{0,1}
-
e ículo
con
dos
únicos
elemen os
-
.
1/
se
demues a
igualqueenel casode
anillos
.
2/
es
co ola io
de la
P oposición
0 .3,
y del
hecho
de
queenun
e ículo,
un elemen o
q¿
1
es
no
in e ibley gene a
po an oun idealp opio
.
Co ola io
:
En un
e ículo,
odoideal
maximal
es p imo
.
P op
osición
0
.5
:
Sea
A
un
e ículo
.
Se
e i ica
:
1/
Una
iujagen
epim6 ica
de
A
noquedade e minadapo
su
núcleo
.
2/
A

p
-
A/
q
es
un obje o
uni e sal
pa a
los
epimo
ismosde
A
de
núcleo
q .
Demos ación
:
1/
Sea
p
un
idealp imo,
no
maximalde A
.
La
aplicación
:
A

cp
.
.-~
{0,1}
a

_
cp(a)
=
0
si
a
ep
=1
si
aép
zado
de
A enS
y
no ado
P oposi
ción
0
.12
:
SeaA un
e ículo
y
S
un
sis ema
mul iplica i o
de
A
al
que
leS

y
0
¿
S
.
En onces
exis e
un
mo ismo
epiyec i o
cp
:
A

~
A
S
.
Comp obación
:
1
z
s
i

/
sie
S
y
de aquí odoelemen ode
AS
iene
un
ep esen an e
en
A, =
A
.
De aquí
c
p(a)
=
{a}
es
epiyec i a
.
P oposic
ión
0
.13
:
SeaA un e ículo,
S
un sis ema
mul iplica i o
de
A
al
que
1
e
S
y
0
¿
S
;
yy
el
il ogene ado
po
S
.
Se
e i i-
caA
S =
A5
:
Comp obación
:
1
4
S
es
co inal
en
y
ya
que
si
b
a
e
A
y
s e
S al
que
b
=a+
s
P oposició
n
0
.14
:
~
.

A'
/Y

,

(A

)#
e
.F
en onces
exis en
->
b
.
s

=

s
.
SeaA un
e ículo,S
un sis ema
mul iplica i o
de
A
al
que
1 e S y 0
¿
S,
y S
el
il o
gene ado
po
S
.
Se
e i ica
(AS)*
u_
A
*/Y
pAmos ación
:
A pa i
de la
De inición
0 .4
y
de la
De inición
0 .8,
se
comp ueba
inmedia amen e
que
la
aplicación
:
{a}

-__~
ep(a)

donde
c
p
es
la
aplicación
de
la
P oposición
0
.12,
es
un
isomo ismo
de
. e ículos
.
La
P oposición
0
.14
esul a
en onces
de
P oposición
0
.13
.

1 5
Es
e iden e
además
que
cp
=
-
o
p dondep
:

A
`/~
es el
mo ismocanónico
de
pasaal
cocien e
.
P oposic
ión
0
.15
:
SeaA un
e ículo
y
.S
un
sis emamul iplica i o
deA al
que
1
e
S
y
0
¿
S
.
En onces
cp
:A
-

sA
S
donde
cp
es
la
aplicación
de
la
P oposición
0
.12,
es ablece
una
co espondencia
biyec i a
en-
e
los
idealesp imos
de
A
que
no
co an
a S
y
los
ideales
p imos
de
AS
.
Demos ación
:
a)
Se
educe
al
caso
:
S
il o
de
A, ía
la
P oposición
0
.1-~
y eniendo
en
cuen aquepa aun
ideal
p
de
A
sip
()S=0
.p
n
y=
O
donde
S
:
es
el
il o
gene ado
po
S
.
b)
Caso
S
=
1
:
La
P oposición
0
.3,
2/ asegu aqueel
mo ismocanónico
:
A* P

~
A41/S

es ablece
una
co esponden
cía
biyec i a
en e
los
il osp imos
de
A
que
con ienen
a
y
los
il osp imos
de
(A
*
/5-)
;i
,
A
pa i
de
la
P oposición
0
.2, p
es ablece
en onces
una
co espondencia
biyec i aen e
los
idealesp imos
de
A que
no
co an
a

Y

y
los
idealesp imos
de
(A
x
/y)
#
.
La
p oposición
se sigueaho ade
que
cp
=-
o
p donde
cD
es
la
aplicación
de inida
en
la
demos ación
de la
P oposi
ci6n
0
.14
.
P oposición
0
.16
:
Sea
A
un
e ículocomplemen ado
y
q
=(c)
un
ideal
p in-
cipalde
A
.
En onces
A/
q
es
complemen ado
y
(a}
c
=
{ac}
.
Comp obación
:
EnA/q
el
il o

1'=
((b}j{a}+{b}
=
{1}}
es á
gene-
adopo
(a
c
}
ya
que
:
16
pe enece
al il o
gene ado
po
¿ac
}
.
No ación
:
{a}
+
¡b}
=
¡1}
-
a +
b
+
c
=
1
es
deci
b
+
c
pe
enece al il o
gene ado
po
ac
y
po
an o
b+c+a
c
=
b+
c
.
En A/
q
es a
igualdad
se
esc ibe
(b}+
{a
}
_
¡b}
es
deci
1b}
c
En
los
ejemplos
siguien es,
si
X
es un
espacio
opológico
y V
una
pa e
de
X,
V
deno a á
el cie e de
V
;
y
VO
su
in e io
.
Ejemplo
0
.1
:
Sea
X
un
espacio
opológico
y
A su
e ículode
ce ados,
con las
ope aciones
unión
e
in e sección
de
conjun os
.
1/
Exis e
co espondencia
biyec i a
en e
el conjun ode
il os
p imos
p incipales
de
A y
el
conjun o
de
ce ados
i e
ducibles
de
X
.
En e ec o
:

Y
=
A*c

es
p imo
si
y
sólo
si
pa a
odo
pa
a,
b
e
A
al
que

(a+
b)
c


c,
se
e i ica
que
c es
i e
ducible
.
2/ A
es
complemen ado
.
En e ec o
:

si a
e
A,

el
il o

S =
(bla+
b
=
1}

es
p incipal
de
gene ado
X
-a
.
3/
Los
no-di iso es
de ce o de
A
*
son los
ce adosde
in e
io
acío
.
En
e ec o
:
c
a
=

.-

-
X
- c
=X
En
la
li e a u a,-
los
ce ados
de
in e io
acío
se
llaman
ce ados
po
odo
.no
densos
y
es án
ca ac e izados
como
las
on
e as
de ce ados
.
4/
ad
J A =
conjun ode
ce ados
.d
e
X,
po
odo
noaansos
.
Bas a
ene
en cuen a
la
P oposición
0.9
y
3/
.
5/
Los
il os
minimales
de
A
son los
il os
p imos
que
no
con ienen
ningún
ce ado
po
odo no
denso
.
17
Bas a ene
en
cuen a
la
P oposición
0
.11,
dado
que
Aes
com-
plemen ado
.
6/
Sea
ceA
un
ce ado
de
X
.
El
e ículo
de
ce adosde
c
es A
c'
7/
Sea
U
un
abie o
de
X
.
En onces
el
e ículode
ce ados
de
U
es
isomo o
a
A/
(X-U)
.
En
e ec o,
si
A(U)
designa
el
e ículode ce adosde
U,
de inimos
:
c
p
:A/(X
-
U)

---->

A
(U)
cnu
es á
bien de inidaya
que
:

{c}
=
{d}
.

-
c
+
U-X
=
d+
X-U
cn
U =
d n
U
lo
que demues a
además
que
cp
es
inyec i a
.
Es
e iden e
aho a
que
cp
es
isomo ismo
.
7/
E a
de
espe a ,
dado
que
A
41
es
isomo o
al
e ículode
abie os
de
X
con
las
ope aciones
unión
e
in e sección
de
con
jun os
.
8/
Si
U
es
un
abie o
de X,
A(U)
es complemen ado,
y
el
complemen o
de
a
n
U

es
X
-a
n
U
.
Bas a ene
en
cuen a
7/
y
la
P oposici6n'0
.16
.
Ejemplo
0.2-
Sea
X
un
conjun oo denado
.
Un
subconjun o
c de
X
se lla-
ma
c ecien e
( espec i amen e
dec ecien e)
si z
> x
( espec i-
amen e
z
<
x)
y
x
a
C
implica
z
e
C
.
De inimos
en
X
la
siguien e
opología
:
los
ce ados
de
X
son
el 0
y
los
subconjun o
c ecien es
.
1/

Si

x

C

X

_

x

=
'
y¡

y
z

x
)
2/ La
unión
cualquie a
de
ce ados
es
ce ada
.
En pa i-
cula
el cie e de un
subconjun o
es la
unión
de
los
cie es
de
sus elemen os
.
3/ Si
x
e
X,
x
iene
un
en o no
mínimo
U(x)
_
{y¡
y 5
x}
.
En
ec o,

si
V
es
un
abie o
que
con iene
a
x
:
x

X
-
y
pues
o
que
X
-
V
es
c ecien e
:
U
(X)

n
X
-
V =
o
-P

U
(x)
c
:
.
3/
se
sigueaho a
de
lo
siguien e
:
si
y
i
x,
x ~ y
-
x
e
X-
y
e y
¡ X
-
y
.
Po
an o
exis e un
abie o
que
con iene
a
x
y
no
con iene
a
y
.
Dado
que
-
a
pa i
de
2/
-
la
in e sección
cualquie a
de
abie os
es
abie o,
U(x)
es
abie o
.
4/
Si Aes el
e ículo
de ce adosde
X,
ad
J
A
=
ce ados
de
A
que
no
con ienen
ningún
subconjun o
dec ecien e
.
En e es
o
:
a
.
pa i
,
de 4/
del
ejemplo
0
.1,

ce
ad
J
A
si
y
sólo
si
0
c =
0
.
4/
se
sigue
aho a
de
3/
.
Po
ejemplo
si
x
e
X
no
es un
elemen o
minimal
:
3¿
e
ad
JA
.
5/
Si A es
el
e ículo
de ce adosde
X, A es el
dual
com
plemen ado
.
18
En
e ec o
:
si
c
e
A
po
3/
U
U(x)
es
el
mínimo
abie o
que
xe
c
con iene
a c
.
De aquí
X - U
U(x)
=
yld
xec
(x,y)
es
no
xec
aco ado
supe io men e}
es
el
gene ado del
ideal
de
los
di i-
so es
de ce o
de
c
.
A
pa i
de 4/
y
5/
hemosob enido
un
ejemplo
de un
e-
ículo 61
y su
dual
complemen ados,
pe o
que
no
es
de
Boole
.
CAPITULO
I
:
LA
NOCIONDE
ESPECTRO
EN RETICULOS
.
El
capi ulo
gi a
«
en o no
a
la
nociónde espec op imo
de
un
e ículo,
nociónque
co esponde
a la
de inida
enani-
llospe ocon
la
opología
dual
.
De hecho
se
de ine
el
.
espec
op imo
de
un
e ículo
A como
el
conjun o
de
sus
il os
p imos
con
la
opología
que ienecomo
base
de
ce ados
los
conjun os

(a)
0

a
e
A

donde

(a)
0

designa
el
conjun ode
il os
p imosque
con ienEn
a
.
A
di e encia
de
lo
queocu e
en
anillos,es a
base
es
ce ada
po
la
unióne
in e sección
ini asy
po
an opuede oma se
ambién
comobase
de
abie
os
.
Al hace lo
así
se
ob iene
el
espacio
opológico
dual,
ho
meomo o
al
espec o
p imodel
e ículo
dual
.
La
elección
de nues a
de inición
se
jus i icapo
lo
siguien e
:
la
aplicación
:
a
~
(a)
0

es
en onces
un
mo is-
mo
del
e ículo
A
en
el
e ículo
de
ce ados
de
Spec
p A
.
Enunciamos
b e emen e
los
esul ados
del
capi ulo,
po
pa ág a os
.
1/
Espec o
p imode un e ículo
:
El
es udio
de
las
p o-
piedades
opol6gicas
del
espec o
p imo,
culmina
con
la
ca ac
e izaci6n
de
los
espacios
opol6gicos
que
son
espec os
p i-
mos
de
e ículos,en
adelan e
llamadosespacios
espec ales
.
La
ca ac e ización
dada
aquí,
de ine
ambién
el dominiode
los
espacios
queson
espec os
de
anillos
.
Ve
(7)
de
la
bibliog á
ía
.
2/
P opiedades
unc o iales
:
Un
mo ismo
de
e ículos
in
duce
de
mane a
con á a ian e
una
aplicación
con inua
en e
es
pec osp imos
.
A
di e encia
de lo
que
ocu e
en
anillos
los

2
0
mo ismos
inyec i os
inducen
aplicaciones
con inuas
epiyec-
i as
y
no sólodensas
.
Des acamos
:
a) la
ca ac e ización
dadade
los
mo is-
mos
espec ales,en endiendo
po ales
las
aplicaciones
con-
ínuasen e
espec osinducidas
po
mo ismos
de
e ículo
.
b)
la
conmu ación
del
paso
al
espec o
con
el
lími ein
duc i o,en
el
siguien e
sen ido
:
Specp
lim
ind

A i =

E
lim
p oy

Spec
pA
i
ie
1

ie
i
donde
el
homeomo ismo
es
espec o
a
la
opología
lími ep o
yec i o
.
En
pa icula
es o
pe mi e
ca ac e iza
los
espacios
espec ales
comolími es
p oyec i os
de espacios
ini os
T
0
-sepa ados
.
3/
Rep esen ación
de un e ículoen
sus
dis in os
espec
-
os
:
El
es udio
sis emá ico
de
la
ep esen ación
de
un
e í
culoen sus
dis in osespec os
-p imo,
maximal,
minimal
y
a ómico
-

pe mi e
ob ene
las
siguien esca ac e izaciones
:
a)
la de
los
espec os
de
e ículos
alesque odo il-
o
es
p incipal,como
los
espacios
espec ales
noe he ianos
.
b)
la
dé
los
espacios
opol6gicos
queson
espec os
mi-
nimales
de un
e ículo
.
Con odoaquíel
e ículo
no
es áuní
ocamen e
de e minado
:
un
mismo
espaciopuede
se
el
espec o
minimal
de
e ículos
.n
o
isomo os
.
c)
la-de
la
p opiedad
Hausdo
pa a
el
espec o
cimaximal
.
Con
es a
p opiedad,de
sepa ación
el
espec omaximal
esul a
se
un
e ac o
del
espec o
p imo
.
d)
la
de
las
condiciones
de
sepa ación
pa a
el
espec o
a ómico
.
4/
Dimensión
de
K ull
:
La
de inición
dada pa a
e ícu-
los
es
copia
de la
conocida
en
anillos,
y
esul a
se
igual
a la
dimensión
de
K ull
del
espec o
p imo,
en endiendo
po
al
el
ex emo
supe io
de
las
longi udesde
cadenas ini as
es ic amen e
c ecien es
de
ce ados
i educibles
.
zl
Espec o
p imo
de un
e ículo
.
De inición
1
.1
:
Sea
A
un e ículo
.
Llama emos
espec op imo
de A,
no a-
do
Spec

A,
al
conjun o
de
los
il os
p imos de
A
do ado de
p
la
opología
de inida
po
{(a)0
1
a
e
A
}
como base de ce a-
dos
.
-

(a)
0
designa
los
il os
p imos
de
A
'que
con ienen
a
-
.
ica
:
22
La
opología
an e io
es á
bien
de inida
ya
que
se
e i-
(a)
0U

(b)
0

=

(a
+
b)
0
(a)
0

i

(b)
0

=

(a
.
b)
0
(0)
0
=
0

(1)
0 =
Spec
pA
.
No aciones
:
En
adelan e
:
Spec
M
A

-
espec o
maximal
de A -

deno a á
el
subespacio
de
Spec
p
A
cuyos
elemen osson
los
il os
maximales
.
Spec
mA

-
espec o
minimal
de
A
-
deno a áel
subespa io
de
Spec
p A
cuyos
elemen osson
los
il os
p imos
minimales
.
SpecR
A

-
espec o
eal de
A
-

deno a á
el
subespacio
de
Spec
pA
cuyos
elemen osson
los
.
il os
p imos
p incipales
.
Spec
a
A

-
espec o
a ómico
de
A
-

deno a á
el
subespacio
de
Spec
p
A
cuyos
elemen osson
los
il os
maximales
p incipales,
23
llamados
ambién il os
a ómicos
.
(a)
M
,

(a)
m
,

(a)
R
,

(a)a

deno a á
la
in e sección
de
(a)
0
con
el
espec i o
espec o
.
Si

i

es
un il o de
A,
V(F)- a iedad
de
7
-

designa
al
conjun o
de
il os
p imos de
A
que con ienen
a
F
.
P oposición
1
.1
:
Spec

A"
es
homeomo o

al
conjun o
de
los
il os
p i
P
mos
de A,
do ado de
la
opología
de inida
po
{(a)0
1
a
E
A}
como
base
de
abie os
.
Comp obación
:
Bas a ene
en cuen a
la
P oposición
0
.2
.
En
adelan e,
llama emos
a
Spec
pA
;1
el
espacio
opológico
dual de Spec
pA
.
P oposición
1
.2
:
Sea
A
un
e ículo
.
Se
e i ica
:
1/
Sea
U
c
:
Spec
pA
;

y
{

F
i

i
s

I}

el
conjun o
de
los
elemen os
de
U
.
En onces
UJ =
(
n
F
i
)
.
2/
Los
ce ados
de Spec
pA
son
el 0

y
los
subconjun os
(S
.)-donde
F
es
un il o
cualquie a
de
A
.
3/
Spec
pA
es un
espacio
TO
-sepa ado
(pa a
odo
pa
de
Qun

os
exis e
.
un
abie o
que
con iene
a
uno
de
ellos
y
no
con iene
al
o o)
.
3
0
la
unión
e
in e sección
de
conjun os,
ieneen onces
es uc
u a de
e ículo
de
Boole
.
La
P oposición
1
.5
asegu a
aho a
que
A
es
de
Boole
.
En
pa icula
-
es e
co ola io
demues a
:
1/ El
Teo ema
de
ep esen ación
de
S one
:
Sea
A
un e í
culo de
Boole
.
Exis e
en onces
un
espacio
compac o
X
al que
A
es
isomo oal
e ículo
de
los
ce ados
de
X
que son
am-
bién
abie os
.
En e ec o
:
bas a oma
X
=
Spec
pA
.
2/ En
el
co ola io
a
la
P oposición
0.11 la
condición
de
se
A
de dual
complemen ado
es
sob eabundan e
.
En e ec o
A
es
un
e ículo
de
Boole
si
y
sólo
si
odo
il o
p imo
es
maximal
.
Teo ema
1
.2
:
Ca ac e ización
de
los
espec os
p imos
de
e í
-
culos
.
.
Sean
X
un
espacio
T0
-sepa ado
.
Las dos
condiciones
si-
guien es
son
equi alen es
:
1/
X
es
el
espec op imo
de un
e ículo
.
2/
X
e i ica
:
a) el
conjun o
de
sus
abie os
cuasi-com
pac os
es
una
base de
abie os,
que con
la
unión
e
in e sección
de
conjun os
iene
es uc u a
de
e ículo
.
b)
Los
ce ados
i educibles
de
X
son
los
cie es
de
pun os
.
Demos ación
:
1/
-

-
2/

Si
X =
Spec
p
A,
X
e i icaa)
po
el Teo e-
ma
1
.1
2/
y
e i ica
b)
po
la
P oposición
1.4
3/
.
2/
;
1/
Sea
A
el
e ículo
de
los
ce ados
complemen a-
ios de
abie as
ciiasi-compac os
de
X
.
De inimos
:

X

(
:P
-,

Spec
pA
x--^,
F
x=
{aeA
1
xea}

3
1
cp
es á
bien
de inida
:
yx

es
un il op imo
ya
quesi
a+b
F
S'
X
E

_
xe
a
+b
<
,
~
xea6xeb

~
a£'Yx
6be
x
.
cp
es
in ec i a
:
En e ec o
si
x,
T
.-sepa ado
:
x,
7¿
x
2
.
Dadoque

n

a=
x

aquello
impli
a
a

S
x
ca
:

Vx
1

'z

Y
x
2
es
epiyec i a
:
En
e ec o
:
La
condición
a)
asegu a
en pa icula
que
X
es
cuasi-com
pac oy po an opa a odo il o
y
de A
:
n

a
yÉ
ae
i
Si aé
£,
a
=
d

en onces

F
=
{

c
e
A
I
c
~d
}
.
-
hacemos
no
a que
d
no ienepo qué
pe enece
a
A
-
.
En e ec o
:
F
c
{
cs
A

~

c
:D d
}

y
ecíp ocamen e
si
c e
A

c
D
d,
X
-
c
es
un
abie o
cuasi-compac o
y
de
aquí
la
igualdad
:
0
=
(X
-c)
n
d
=
(X
-c)

n

a,
implica
la
exis encia
de
un
ae
57
n
núme o ini o
:
a
l


a
.e
i

alesque
:

(X
-c)

n

a¡
=
i=1
Es aigualdad
asegu a
c

n

a
l
o
equi alen e
:
i=1
ceF
.
po
se
X un espacio
Si
Y
es
un il op imo
de
A
y

n
a
= d
en onces
d
aey
es
un
ce ado
i educible
de
X
.
En e ec o
si
suponemos
lo
con a io
d = d
1
+
d
2
con
d,
yá
d
y
d
2
7
,
6d,
en onces
la
con
dici6n
a)
asegu a
queA es
una
base
de
ce ados
y
po
an o
exis en
c
1,
e
2
e
A alesque
c i
zd
i
, .
c i ~
d
d

i
=
1,
2
.
En on
ces
c,+
c2
eF

y
c
l
,c
2
con
lo
que
se
llega
a
con adi-
cci6n
pues
5
es p imo
.
En onces
po
b)

si

F
es un il op imode
A,

n

á,
es
ae9
el
cie e
de
un pun odeX y es o
demues a
que
cp
es
epiyec i a
.
cp
es
homeomo ismo
.
Si
d
es un
ce ado
de
X,
en onces
po se
demues a
que
De inición
1 .2
:
P oposición
1 .6
:
3 2
A
basede
ce ados,exis en
c
ie
A

ie
I
alesque
d
= n

c
.
.
Pues o
que

x
e
d=
n
c
.

equi ale
a
ieI
i

i
I
i
i
x
e
n
ici)0
se
e i ica
:
cp(
n
c
i
)
=
n
(ci)0
y
es o
ieI

ieI

ieI
PROPIEDADES
FUNCTORIALES
es
homeomo ismo
.
Di emos
queun espacio
opol6gico
T
O
sepa ado
es
espec
al
si
e i ica
una
de
las
dos
condiciones
equi alen es
del
Teo ema
1 .2
.
Sea

A'
--
p
->
A

un
mo ismos
de e ículos
.
En onces
de inede o ma
canónica
una
aplicación
cp
E :
Spec
P
A
--*Spec
P
A'
.
Se
e i ican
ademas
las
elaciones
:
Demos ación
:
1/ pa a odo il o
V
de
A'
:

1
V(s
:')
=
=
V
((cp
.F")
)
donde

(cp
F'
)
designa
el
il ogene ado
po
cpy'
.
Es oasegu a
que
cp
* es
con inua
.

_
2/pa a odo il o

F

de
A
:
Cp
*
V(F)
=
V(
c
p
-1 F)
.
De inición
de
cp
.:
Si
F
es,
un il op imode
A,
se
com
p ueba
inmedia amen e
que
cp
-1
7

=
{a'
e
*
A'
]
cp(a')
e
F'
}
es
un
il op imode
A'
.
En onces
cp

=
cpes
la
aplica-
ci6n
de
Spec
A
en Spec
A'
de inidacanónicamen e
po
la
(p
.
P

P
1/queda
demos ado
po
la
siguien ecadena
de
equi alen
cías
i iales
:

Fe

V

(
(cp
F')
)

,---e

1, =)

(cp

cp
-1
IF

Z
~'
--
+

Cp
F

e

V
(
57')

<--,

S
e

(cp
*
)
-1
V
(S-')
.
3 3
Dadoque
los
ce ados
de
Spec
A'
son
los
subconjun os
P
de
la
o ma
V(F'),
1/ asegu aquecp
es
con inua
.
2/
queda
demos ado
po
la
siguien e
cadena
de
equi alen
cías
:

F'
e
V(cp
-1
F
)
---,
S'
=> cp
-1
F
,----+
si
a'
,¿

S'

en onces
a'
¿
CP
-1
y
<--
.
si
a' 0 F'
en onces
cp(a')

si
a'
¿
i'
exis e

57
1

e

V
(F)

al
que
cp
(a')

S~q

<-~

si a'

¿
S'

exis e
y
o
e
V(F)
al
que
:
a' e
cp
-1 S,
=
cp
#
1''
1 .
Es o
Gl imo
es
equi alen
e
a deci que odo
en o noabie o
de
S'
de
la
o ma
Specp
A'

-

(a') 0
ieneconcp
V(F)

in e sección
no acía
;
y
dadoque
{Spec
p A
-
(a')0
I
a'
e
A'}
es
una
base
de
abie os
de
Spec
P
A'

es o
equi ale
a

F'

s
CP*Y-
V(F)
.
P oposición
1
.7
:
Sea
cp
:
A'--,
A
un
mo ismo
de
e ículos
.
Se
e i ica
:
1/Si
cp
es epiyec i a,
cp
es
inyec i a
y
homeomo ismo
de
Spec
PA
en Imag
CP
la/En
pa icula
si
A
es
un
e ículo
y
p
-
un
ideal,
Spec
pA/p
es
homeomo o
al subespaciode Specp A o mado
po
.
los
il osp imos
F
ales
que

S
np
=
o
.
2/Si
ep
es inyec i a,
cp
41
es
epiyec i a
.
Demos ación
:
1/
Sean

F,,
9¿
5- 2

e
Spec
p
A
.
En onces
F,
=
CP
-1 F1
7,
CP-1
F2
=
CP
*
yz

pues
Cp
es
epiyec i a
.
Es o
demues aque
m`
es
inyec i a
.
A
pa i de
la
P oposición
1
:6
2/
pa a
odo il oY
-de
A

:

cp
-
V
(5)

=V
(
cp
-1
F
)

y
de
nue o
po se
cp

epiyec i a

se
comp ueba
inmedia amen e
:

V
(cp
-1
F
)

D
Imag

CP
Y
=
cp
*
V
(F)
.
Es o
demues a
que
cp es
ce ada
como
aplicación
de Spec A
p
en Imag
cp#
,
3 4
la/
En
pa icula
si
p
es
un
ideal
de un e ículo
A,
la
P oposición
0
.14
asegu a

(A/p)
«'
.
_
(A~1)
p
y
en onces
la
P o
posición
0
.15
a i ma
la
exis encia
de
una co espondencia
biyec i a
en e ideales
p imos
de
(A')
pe
ideales
p imos
de
A*
que
no
co an
a
p
.
la/
s
e
sigue aho a
de l/
.
2/ a/ Se e i ica
:
Imag
Cp*
n
Spec
m
A'
.
En
e ec o
si
S'
es

un il o
maximal
de
A',
en onces
ep
Y'
gene a un
il-
o
p opio de
A,
pues
si
exis ie an
a,
e
A,
l
e
cp
S '

i = l
. .
.n
ales
que
0 =

(a
l
+
,)
. .
.(a
.
+
,)
=a+

,
...
.
en onces
i . .
.
o
=
0
y
po se
cp
inyec i a,
F'
no
se ia
un il o
p opio
de
A'
.
Po an o,
exis e
po
el
lema
de Zo n un
il-
o
maximal

F

de
A,
al
que

F"
D
cp
J'
.
De aquí

Cp
*
S7
:D
57'

y
po se

x'

maximal

cp
y =
y'
.
b/
Sea
y'e
Spec
A'
un il o
no
maximal
.
En onces
p
,y'
e
Imag
cp
.
La
demos ación
es
una
educción
a
la
si uación
a/
po
paso
al
cocien e
.
En e ec o
sea
p
.
=
A'
-
F'

ideal
p imo
de
A'
y
p

el
¡de
al de
A
gene ado po
cpp'
.
En onces
la
aplicación
:
{

a
.

}

;
.
{
cp
a
.
}
es
un
mo ismo inyec i o
:
-_
los
elemen os
de
p
son
de
la
o ma
a
.
cp
(p')
con
ae
A,
p'
e
p'

como se
comp ueba
inmedia
amen e
.
De aquí

(
c
p
a'
}
_
{
cp
b'
}

~--
.

cp
a'

+
a
.
cp
p'
b'
+a
.cpp'

implica

cp(a'
+
p')
=
co(b'
+
p')
y
po se
inyec i a
:
a'
+p'
=
b'
+
p'
~-+
{
a'}
_
(
b'
}
-
'P'
=
{{a'}
1a'e
y'}
es
el
único
il o
maximal
de
A'/p'

y
po
a/ exis e un il o
.F
e
Spec
p
A/p

al
que
F =
{a
s
A
1

{a}
s
Y
}
e

Specp A

y

S'
=
ep',F"

lo
que
demues a
De inición
1 .3
:
3
5
F
.
El
il o
Sean
X
= Specp
A,
X'
=
Spec
p
A'
dos
espacios
espec ales
.
Una
aplicación
con inua
:
X
--- >
X'

se
diceque
es
espec al
si
exis eun
mo ismo
de
e ículos
cp
:
A'--->
A

alque
=cp
.
Cuando
no
haya
luga
a
con usión,
come e emos
a
menudo
el
siguien e
abusode
no ación
:
esc ibi
a'
po
(a') 0
.
La
P oposición
1 .6
1/
a i maque
si
es
espec al
pa a
odo
a' e
A'
se
e i ica
:
cp(a')
=
-l(a')
.
Teo ema
1
.3
:
Sea
X
=
Spec
p
A un espacio
espec al
.
Exis e
en onces
un
espacio
espec al
compac o
X
yuna
aplicaciónespec al
:
X,
X
biyec i a
.
Demos ación
:
Sea
'Á
el
e ículode Boolegene adopo A y po
{X-alacA},
es
deci
odo
elemen o
de
K
se
ob iene
po unióne
in e sección
ini a
de
elemen os
deA y de
elemen os
de {X-aj
aeA}
.
Sea
i
:
A
, l
o
W

la
inyección
na u al
.
Po
la
P opo
sici6n
1 .7
2/
la
aplicación
:
Specp A
1
i
Specp
A =
X

es
epi
yec i ay con inua
.
El
co ola io
a
la
P oposición
1
.5
a i ma
queX =
Spec
p
A

es un espacioespec alcompac o,
y
po
an-
o el
eo ema
queda
demos ado
si
comp obamos
que
i~ es
in-
yec i a
.
i
*
es
in ec i a
:

Sea

S
e
Specp
Á

al
que
i
*
F

=x
.
En onces
:
F

{
á
e
A
1

xe
-
á
}

a
que

inconexade
X
.
Demos ación
:
36
/
si

x
e c,

c
e
y

ya que
i
-l
~
-
y=
x
x¡
c,
X
- c
e
S
yaque F
es
p imo,
c
+
(X-c)
=1
y
cí
.F
Pe o
{a
E
F1
1
x
e
a
}
es
un il o
p imo
de
Á
ypues oque
A
es
de
Boole,esmaximal
;
de
aquí
y
=
(
a
E
Á
x
e
a}
lo
que
demues a
la
inyec i idad
de
1'
.
De inición
1
.4
:
Sea
X un espacio
espec al
.
Con las
no aciones
del eo e-
ma an e io ,
«
R
=
Spec
pA

se államada
la
opología
o almen e
Teo ema
1 .4
:
Ca ac e ización
de
las
aplicaci
ones
espec ales
.
Sean
X
=
Specp A,

X'
= Specp
A'
dos
espacios
espec ales
:
X~
X'
una
aplicación
con inua
.
y
Las
siguien escondiciones
son
equi alen es
:
1/
es
espec al
.
2/
Si
U'
esun
abie ocuasi-compac o
de
X',
en onces
-l
U'
es un
abie ocuasi-compac o
de
X
.
3/
es
con inua espec o
a
las
opologias o almen e
in-
conexas
de
X
y X'
.
4/
es
espec al
espec o
a
las
opológlas
o almen e
inco
nexasde
X
y
X'
.
1/

2/
.
En e ec o
sea

=
Cp4
`,
donde
A'
T
+
A
es
unmo
ismo
de
e ículos
.
Po
el
Teo ema
1 .1
2/
los
abie os
cuasi-com
pac os
de X'
son
los
subconjun os
de la
o ma
X' -
a',
a' e
A'
.
37
En onces
-1(X'

-
a')

=
X -
_
(a')

= X
-
cp

(a')

comohicimos
no a
en
la
De inición
1 .3
.
2/--,4/
.
Po 2/
se
e i ica
:
l
a'
sA
'

-1(X'
-a')

_
=
X
-
_ (a')
esun
abie ocuasi-compac o
de
X y po an o
-1
(a')
g
A
.
Pues oque
Á'
es ágene ado
po los
elemen os
de
A'
y
los
de
{X' - a'
1
a' s
A'}
y
-1
conse a
uniones
e
in e
secciones
ini as,
-1
:
A',
Á es un
mo ismo
de e ículos
.
En onces
= (
-1
) :
X =
Spec
p A
--~

Specp
A'
=
X'
es
espec al
.
4/,
1/
.
La
demos ación
de
es a
implicación
se
basa á
enel lema
:

SeaX
=
Specp A
.
En onces
los
elemen os
de
l1
son
subconjun os
cuasi-compac os
de
X
.
-
seguimos
la
no ación
del
Teo ema
1 .3
.
-
.
Demos ación
del
lema
:
Los elemen osde
11
sonae
la
o -
ma
n
~ ci
(X-dc
i
,
d
i
e
A
.
Dadoque
la
unión
ini a
.d
e
cuasi-
i=1
compac os
es
cuasi-compac o
el lema
queda
demos ad
ói
comp ó
bamos
:

dc,
de
A

c
.(X-d)
es
un
cuasi-compac o
deX
.
Es o
úl imo
.e
s
e iden e
:
c
.(X-d)
n
ai
.
=
0
implica
de
X
y
c un
ce ado
.
n
(X
-d)

a
,
c = O

pues

(X
-d)

es
un
abie o
cuasi-compac o
j=l
7
La
demos ación
de
la
implicación
es aho acomosigue
:,
Pues oque

:
X
----,
X'

es
espec al
sea
cp
:

A

el
mo ismo
de
e ículos
al
que
=
cp
.
Si
comp obamos
que
ep
(A
')
C
:
A
,
en onces
.,
cp
l
A
,"
A
l
--yA

es
un
mo ismo
de
e ículos
y
mani ies amen e

(cp
1A
,
.)
*
=
lo
que
.demues aque
:
X---#
.
X'
es
espec al
.
-1
cp(A') c
:
A

:
En e ec o
si a'

g
A
:
X-

(a')

=
-1
(X'
-a')=
=
cp(X'-a')

e
Á
es
un
abie o
.
de
X pues
,
es
con inua
.

Po
el
lema
es
un
abie ocuasi-compac o
deXypo el Teo ema
1 .1
2/
P oposici6n
1
.8
:
cío
.
38
su
complemen a io
-1
(a')-
.
=cp(a')

eA
.
3/
--
.0

4/
Sea

:%

X'
una
aplicación
con inua
.
Po
se
-{'
.espec al
compac o,
A'
es
el
conjun o
de
los
ce ados
de
X'
queson
ambién
abie os
.
Po se
con inua,
si
a'
e
A'
-1
(
-
a')
es un ce adode
X
quees
ambiénabie o
.
En onces
-1
:
Á
.
es
un
mo ismo
de
e ículos
y
=
( -1)#
es
es
pec al
.
4/-,
3/
.
Es
e iden e
.
Sea
X
=
Specp A un
espacio
espec al
e
Y
C
:
Xun
subespa-
Y
es
espec al
y
la
inyección
na u alde
Y
enX
es
espec
al
si
y
sólo
si
Y es ce ado
en
la
opología
o almen e
in-
conexade
X
.
Demos ación
:
1/SeaY
espec al
e
i
:
Yc
->X

espec al
.
Po
el
Teo e-
ma
1.4,
i
es
con inua espec o
a
las
opologías
o almen e
inco
nexas
de
X
e
Y
.
Pe o
Y
es
un
compac o
y la
imagenpo
una
apli
caci6n
con inua
de
un
compac o
es
compac a
;
dado
que
X
es
Haus
do
es o
asegu a
que
7
es
un
ce ado
de
X
.
2/
Sea
Y
un
ce ado
de
7{

y

Y
=
{á
c
W1
á
z
Y}
.
A
pa i
del
diag ama
A

i
1
.
Á
A
yY
ob enemos
:
Spec
P
Á
8

(P
o
i)
4
>
Spec
P
A

1

donde
y
Imag

(poj)

= Imag

(j
#o
p
)

_
.
Y
C:
X

ya
que
po
el
Teo ema
1 .3
j
#
es
biyec i a
;
ypo
la
P oposición
1
.3
:
Imagp
3a
_SpecpA
FY
= Y
con
la
opología
es icción
de
la
de
X
.
3 9
A
pa i de
la
sucesión
:

A
-

~
(poj)

A
cJ
2
_
A y
Y
donde
cp
es
epiyec i a
y
j 2
o
cp
=
p o
j
ob enemos
:
#

E
jo
p
=
CP
o
j~
.
Dadoque
j2
es
epiyec i a
y
CP es
inyec i
a
ob enemos inalmen e
Specp
(poj)
A -
cp Specp
(poj)
A
=Ye
:
X
.
Es o
demues a
queY
es
espec al
y
es
cla oque
la
inyección
na u al
de
Y enX iene
en onces
inducida
po
el
mo ismo
de e ículos
:

~P
:
A
>(poj)
A
.
P oposición
1 .9
:
SeaA
.

ie
I
una
amiliade
e ículos
e i icando
las
1
condiciones
pa aque
sea
posible
pa
.sa
al limi e
induc i o
.-
-
e
De inición
0
.9-
.
Se e i ica
:
Spec

l
im
ind
,
A

es
P
ieI

i
canónicamen e
homeomo o

a
limp oy
E
-

Spec
A,
.
Demos ación
:
Sean

V
i
>_
j

j
.
A
i

>
A
.

los
mo ismos
es-
7
pec o
a
los
cuales
se
oma
el
limi e
induc i o
y
Vi
.,
I
sea
lim
ind
pi
el
mo ismo
canónicamen ede inido
de
A i
en

i
eI1-
A
i
.
Es
bien
sabidoque
si
i
Z
j
en onces
cpi
=cp
j
o
cp
ij
.
De inimos
la
aplicación
:
limind
Specp
-
ii

II
1
A
i
>

II

Specp A
i
ic
.
I
'
1/
cp
es
in ec i a
:
Sean

e
Spec
lim
ind
p
A
i
.
i
eI
Exis e
en onces
a
e
lim
ind
.
A
i
que
pe enece
a
unode
i
e
I
ellosy
no
al o o
.
Po
la
de inición
de
limi e
induc i o,
4
8
al
que
:
a)
dicha
base
ienees uc u a
de
e iculocon
la
unión
e
in e seccióno dina ias
de conjun os
.
b)
si
una amilia
de
ce ados
de
la
base ecub e
X,
exis e
una
sub amilia ini aque
ambién
ecub e
a
X
.
Demos ación
:
Ha
quedado
demos ado
en
la
P oposición
1
.12
.
2/
--->1/
.
Sea
A
el
e ículo
de
la
base
de
ce ados
de
X
que
e i ica
las
condiciones
a)
y
b)
.
De inimos
:

X


->
Spec
m
A
x

S
x=
{a E A
1
x
E
a)
es á
bien
de inida
es deci
S'
es
un il ominimalde
A
.
x
En
e ec o
sea
c e
~x
.
Po
se X
Hausdo
:c
U
d
i
=
X

y
x¿d
i
po
la
condición
b),

exis eun núme o ini o
d,
. . .
d,

de
ce a
dos
queno
con ienen
a
x alesque
c
+d,+
. .
.+d,
=
1
.
Po an
o si
c
e
Fx
exis e

d
=d,
+
. .
.+d,
é
S
x
al
quec
+ d
=
1
y
es o
equi ale
a

(A
-S
x
,

c)

=
A,
.

V
cE5x
lo
quedemues a
que

~
x
es un il o
minimal
.
es
inyec ¡ a
:
En
e ec o
po se
X
Hausdo
yA
una
base
de
ce a
dos
n

a
=
x
.
es
epiyec i a
:
es
eg i alen e
a
demos a
que
si

ESpecm

m
en onces

n

a l
Es o
úl imo
es
ácil
de e
:
po
se
a i
e
ym
A
m

minimal,
si
.
a
i
.

e
5"
m

exis eb
i

¿
5"
m

al
que

ai+
b
i
=
1
.

Po
an o

(

('1

a
.
)
u
(

(~

b
1
.)

=
X

y

si

n

a l
=

en onces
ai
.

E

x
m

1

iEl

ai
.e

S
m

4
9
po
la
condición
b)
exis eun nó ini o
de
b
i
:
b
1
.
.
.b
o
ales
n
que
U

b
j
=X
es
deci b +
. .
.+bo =1
con
lo
que
llegamos
a
j=1
con adicción
pues
b
7
,

e
Ym

j

=
1
. .
.n
es
aho a
un
homeomo ismo
.
P oposición
1
.13
:
os
maximales
deAcualesquie a,no exis eningún il o
p i
mo
con enido
enambos
.
Demos ación
:
Sea
A
un e ículo al
que
SpecM
A
es
denso
enSpec
A
P
Spec
M
A
es un
espacio
Hausdo
si
y
s61o
si,
dadosdos il-
1/ Sean

~
,
y
M
e
SpecM
A
y
supongamos
que
no
exis e
ningún il op imo
con enido
en
los
dos
.
Po
la
P oposición
0
.2
es oequi ale
a
(A
- FMI A
-$M) =
A

y
po
an o
exis en
b

F
M

alesque

a
+
b
=1
.
y
Es oasegu a
la
exis enciade ce ados
:
M
¿

(a)
m

y

YMé

(b)o

alesque

(a)
o

U
(b)ó

=
Spec
M
A
y
po an oSpec
M
A
es
Hausdo
-
pásese
a
los
abie os
com
plemen a ios
de dichos
ce ados
-
.
2/
Recíp ocamen e
supongamosqueSpecM
A
es
Hausdo
y
sean

F
M
,
yM
e
SpecM
A
.
Po se
Hausdo
exis en
ce ados
de
la
base
de
SpecM
A

:

Y
M¿(a)ó
,
FM ¿(b)
M

alesque
(a)
M
u

(b)ó
=
Spec
M
A
.

Pues oqueSpec
M
A
es
densoen
Spec

A
P_
es o
asegu a
a
+b
=
1
y
po
an o
(A
-S
M
,
A -
SM)
=
A
.
Es o
e mina
la
demos ación
.
P oposición
1
.14
:
Sea
A
un e ículo
al
queSpec
M
A
es
un espacio
Hausdo
y densoen Spec
P
A
.
En onces
Spec
M
A
es un
e ac o
de
Spec
P
A,

es
deci
exis
e
una
aplicación
con inua

:
Spec
p
A
-
Spec
M
A
al
que
ISpecm Aes
la
iden idad
Demos ación
:
Po
la
P oposición
1
.13
podemos
de ini
la
aplicación
:
Specp
A

Spec
M A
50
FM=único il omáximalque
con iene
a F
P
es
con inua
:
Pa a
e lobas a ácomp oba que
pa a
odo
19

a
e
A,
-1
(a

0
Spec
MA
=
(a)m0
pues
en onces
si

Fe
-1
(a)0
M
exis e

FM
e
Spec
M
A
al
que
a
e
FM
y

Fc
YM
y
po
an o
F
e
-l(a)o
.
Pasamos
pues
a
comp oba
la
igualdad
:

-1
(a)
M
n
Spec
M
A
=
M
_

(a)
o
.

Sea

a

~

SM
e
SpecM A
.

Po se

7
m
máximal
exis e
be
S
M
al
que
a
.b
=
0
.
Pues oqueSpecM
A
es
compac o,
es
no mal
(dados dos
ce ados
disjun os
ienen
en o nos
abie os
disjun os)
y
de
aquí
exis en
c,
d$A
ales
que
(a)M
n(c)M
e

o
=
0
"
(b)
M
o
0

(d)
,
o

=
o

y

(c)0
m
o
U

(d)
0
o
= SpecM
A
.

DadoqueSpecM
A

es
densoen
Spec
p
A
es o
equi ale
a
:
a
.c
= 0
b
.d = 0
y
c
}
d
=
1
.
Pues oque
b
eY
-
M

,

d¿

F
M

y
po
an oSpecp
A

-

(d)
o

es
un
-1
M
abie o
que
con iene
a
M
.
Si

S
e
(a)
o
,c¿Y
ob iamen e
po
an od
e
F
.
Es odemues aque
(Spec
p
A -
(d)
o
)
ni
-l(a)o
=
_
0y
po
an o
sM¿
-1(a)M
.
Es o
demues a
la
igualdad
pues
el
con enido
en
el
o osen ido
es
ob io
.
P oposición
1
.15
5 1
SeaA un
e ículo
alqueSpec
a
A
es
densoen
Spec
p
A
.
1/ En onces
Spec
a A
es
un
espacio
Hausdo
si
y
s61o
si,
dadosdos il osa ómicos
cualesquie a
de
A,
no
exis eningún
il op imo
con enido
enambos
.
Si
.
l
a
ep esen ación
na u al
de
A
en
Spec
a
A
'Pa
(a)
=
(a)o
2/
Spec
a
es
iel
ycomple a
se
e i ica
:
A
es un
espacio
egula ,
el
y
s61o
si,
dadoyn
cualquie a
de
A
y un il omaximalcualquie a
il o
a ómico
de
A,
no exis e
ningún
il op imo
con enido
enambos
.
3/ Speca A
es
un espacio
no mal,
si
y s61o
si
dadosdos
il os
maximales
cualesquie a
de
A,
no exis e
ningún
il o
p imocon enidoen ambos
.
Demos ación
:
1/
Se demues a
exac amen e
igual
que
la
P oposición
1
.13
.
2/
Supongamos
que
se
e i ica
la
condición
y
sea
~e
Spec
a A

y

F¿
(a)á
.
Pa a
cada

i
e
.(a)o

pues o
que
(A-
y
,
A -

~
i
)

=A
exis en

b
i
¿
F

y
ci é
S:i

ales
que
b, + c
i
=
1
.
Si
(a)
.
=
{
Fi

ie=
}
i
M M
(a)
.

n
(ci)0
= 0

y
pues oque
Spec
m
A
es
ie=
(Teo ema
M
(a
.c,
. .
.c
o
)
O
_
0
.
Si
designamos
:

c
=c,
. .
.c
n
MM
ob iamen e
b

b+
c = 1
y
(a)
()
n

(c)
o
(b)')
.
(a)
p
)
(c)
o =,
y

(b)
o
U

(c)
a
=
a
queSpec
a
A
es
un espacio
1
egula
.
Recíp ocamen e
:
sea
Specá A
egula
.
se
e i ica
en onces
cuasi-compac o
1
.1
1/)

exis eun
núme o
ini o
c,
. .
.
c
.

ales
que
y b=b
l
.+
. .
.+bn
=
Q5 .
Po an o
Speca
A
lo
que
Sean
demues
Se
Spec
A
a
y

SM
e
Specm A
cualesquie a
.
En onces
exis e

ae

S
M
y
a
ÉS
a
es
deci
S
¿
(a)
0
.
Po se
Spec
a
A
egula
exis ence ados
:
¿

(b)
a y

(c)
a

I

(a)a
=
a

alesqueSpec

A=
(b)
a
u
(a)a
0
0
0

a
00
5 2
-
la
a i maciónan e io
p esupone
que
la
ep esen ación
ná
u al
de
A
en
Spec
a
A
es
comple a
-
.
Pues o
que
la
ep esen
aci6n
de
A
en
Spec
a
A
es
iel,

lo
an e io
se
aduce
:
exis en
b ~
F,

c
¡

7M

ales
que
b
+ c
=
1
y
po
an o
(A
-
5
;
,
A
-
57M)
=
A
o
equi alen emen e
:

5
:
n
i
m
no
con iene
ningún il o
p imo
.
3/
Supongamos
que
se
e i ica
la
condición
y
sean
a,beA
ales
que
(a)
a
(1(b)o
=

.
Sean
(a)
m

y
(b)ó
=
~
j

je j}
.
Pues o
que
la
ep esen ación
de
A
en
Speca
A
es iel
(a)m
.
1
(b)
0
=

y
de
aquí

di
e
I
y
bj
s
J
se
e i ica
:
exis en
ales
que
cij
M
M
Po
an o
pa a
cada
i
E
I
:

n

(d
ij
)
o n
(b)
o = 0
y
po se
jEJ
Spec
m
A
cuasi-compac o
exis en
di
,,
. .
.din
ales
que
M
(d
il'
"
-d
in
'
b)c

Si
aho a
no amos
d
i =
d
il
. .
.d
-
in

y
ci
=c
il
+
. .
.+C
in

se
ob iene
:
-
ii
=
1
pues
(A
-
S
i
,
A -
j)
=
A
c
.

d
. .
b
= 0

y

c
.
+d
.
=1

Vi,
I
.
M
.
M
Pues o
que
n
(ci)()
1(a)
o
=o
un
azonamien o
idén i-
co
al
an e io
demues aque
exis en
c,dEA
ales
que
c
.a
=
0,
d.b
=
0

y

c
.,
d =1
.
Si
aho a
hacemos
la
ep esen ación
na u
al
de
A
en Spec
a A
ob enemos
:
=
Speca
A
53
(c)a
n
(a)a
=4
"

(d)
a
n
(b)
a
=~

y
(c)a +
(b)a
=
0

0

0

n

0
c
lo
que
demues a
queSpec
a A
es
un
espacio
no mal
.
Recíp ocamen e
:
sea
Spec
a
A
un
espacio
no mal
.
Sean
s'
e
Spec
M A
.
Po se
maximales
exis e
a
e
Y

y
b
e

,F'
a
les
que
a .b
=
0
.
De
aquí
(a)a
n
(b)ó
=
0
ypo se Speca
A
no mal
exis en
ce ados
:
(c)
a
n

(a)a
=
(d
)
a n

(b)aa

=
a a
y
(c)
0

I

(d)
0

=
Spec
a
A
-
ambién
aquí
hemos
usadoque
la
ep esen ación
na u al
de
A
en
Spec
a
A
es
comple a
-
.
Dadoque
la
ep esen ación
na u-
al
de
A
en
Spec
a
A
es
iel,
lo
an e io
se
aduce
:
exis-
en
c

dpA
alesque
c .a
=
0,
d
.b=0
y
c+d
=
1
.
Dadoque
c
¿
S
:

y d ¿
y'

es o
demues a
que
(A -
Y
,
A -
,F')
=
A o
equi
alen emen e

F
n5
:'
no
con iene
ningún
il op imo
.
co ola io
:
Sea
A
un
e ículo,
al
que
su
ep esen ación
na u alen
Spec
a
A
es
iel
y comple a
.

Spec
M A
es
compac o
si*y
sólo
si
Spec
a`A
es
no mal
.
comp o
bación
:
El que
la
ep esen ación
na u alde A en Speca
A
sea
iel
implicaqueSpec
a
A
es
denso
en
Specp
A y a
o io i
lo
se á
Spec
M
A
.
El
co ola io
es
aho a
inmedia o
a
pa i
de
la
p oposición
1
.13
y
de la
P oposición
1
.15
3/
.

DIMENSION
DE
KRULL
DE
UN
RETICULO
De inición
1
.6
:
5
4
Sea
A
un
e ículo
.
Llama emos
dimensión
de
K ull
de
A,
no
ado
dim
k A
al
es emo
supe io
de
las
longi udes
de
cadenas
ini as
es ic amen e
c ecien es
pe
c
p,
c---c
pn

de
ideales
p imos de
A
-
se ecue da
que
la
longi udde
una
cadena
es
igual
al núme o de
elemen os
de
que
cons a
menos
uno
-
.
Lema
1
.1
:
Sea
A
un
e ículo
.
Se
e i ica
:
1/
dim
kA =
al
ex emo
supe io de
las
longi udes
de
cadenas
ini as
es ic amen e
dec ecien es
de
il os
p imos
de
A
.
2/
dim
kA=
dim
k
Spec
pA

donde
dim
k
Spec
pA
deno a
al
ex emo
supe io de
las
longi udesde
cadenas ini as
es ic
amen e
c ecien es
de
ce ados
i-
:
-
educables
de
Spec
-
,
A
.
Comp obación
:
1/
Inmedia o
a
pa i
de
la
P oposición
0
.2
.
2/
Inmedia o
a
pa i
de
]
./
y
de
la
P oposición
1
.4
3/
pues
si
dos
il os
p imos
e i ican
S,
c
12
en onces
(S~
l )
D
V(F2)
.
Lema
1
.2
:
Sea
A
un
e ículo
.
dim
kA
Comp obación
:
=
0
Ha
quedado
demos ado
en
el
co ola ic
Lema
1
.3
"
Sea
A un
e ículo
.
Se
e i ica
:
1/ Si
dim
k A
es
ini a,
dim
k
A
=
diN
2/
S
: .
dim
k
A es
in ini a,
dim
k
A
a°
es
ambién
in ini a
.
Comp obación
:
1/ es
ob io
.
2/
se
sigue
de 1/ dado
que
A
~
=
A
Si y
x610 si
A
es
de
Boole
.
a
la
P oposición
1
.5
.
A
-Vk
.
P ~
sici6n
1
.16
:
Demos ación
:
5
5
Sea
A
un
e ículocomplemen ado
y B
el conjun o
{1, a E A
l
a{
b=1-b
=
1
}
En onces
B
es un
e ículo
y dim
kB
> dim
k
A
.
La
comp obación
de
queB
es
e ículo
es
inmedia a
.
Sea
B

i
-,
A
la
inyección
na u al,

en onces
i*
Specp
A

.
Specp
B
-
57
n B
es
epimo ismo
.
La
p oposición
queda á
demos ada,
si
comp obamos
que
pa a
odopa
de
il osp imos
5,
n
Y
2
de
A
se
e i i
Ca
:
F,
n B
=>
$
.
_
-
.
B
.
Y es o
es
ácil-
de e
:
en e ec o
si
a
Ey,

a

y
a_
designa
el
complemen o
de
a,
se
e ¡-
<

<
.
Pica

a c
e
S~
2
c y
l

y
de
aquí

a
.ac
E
Y
.

ya
.a
c
é
S 2
.

Po
el
Lema
0,1
a
.a
c
s
B y
po an o
5-,
;
n B
=>
52
n B
.
CAPITULO
II
:
APLICACIONES
A
LA
TOPOLOGIAGENERAL
.
En es e
capí ulo
se
aplican
los
esul ados
del
capí ulo
p eceden e
a
la
opologíagene al
.
Es a
aplicación
se
hace
asignando
a
cada
espacio
opol6gico
X
su
e ículode ce a-
dos
A,
y
a a
dos
emas
:
1/
Ca ac e izaciones
de
espacios
:
Des acamos
en es e
pun o
:
a)
Ca ac e ización
de
las
condiciones
de
sepa ación
en
é minos
de
Spec
A
.
p
b)
Ca ac e ización
de
los
espacios
noe he ianos
como aquellos
cuyo
e ículo
de ce ados
es
al que
odo il o
es
p incipal
.
2/
Cuasi-compac izaciones
y
compac izaciones
de
un
es
-
cío
.
Señalamos
como
esul ados
p incipales
:
a)
Si
X
es
un
espacio
To
-sepa ado
y
Asu
e ículo
de
ce ados,
Spec
p
A es
una cuasi-compac izaci6n
de
i
al
que
oc_
impli-
cación con inuade
X
en
un
compac o
Y,
ex iende
a
una
aplica
.
ción
con inua
de

Spec
P
A
en
Y
.
Análogamen e
si
X
es
un
espacio
T,-sepa ado
yAsu
e ícu
lo de
ce ados,
Spec
m
Aes
una cuasi-compac izaci6n
de
X
con
la
misma
p opiedad
de
ex ensión
.
De
aquí
se
sigue
que
pa a
aquellosespacios
pa a
los
que
Spec
m
A es
Hausdo , Spec
m
A
es un
modelo
de
la
compac izacibn
de
S one-Cech
.
El
dominio
de
dichos
espacios
se
ca ac e iza
en
le
L
pa e
del
capí u-
lo
"
co no
el
de
los
espacios
no males
.
b)
Pa a
el
dominio
de
los
espacios
comple amen e
egula es,
exis en
e ículos"su icien emen ebuenos"
de ce adoscuyo
espec o
maximal
son
compac izaciones
del
espacio
.
Es o
da
un
mé odocons uc i o
de
compac izaciones
de
un
espacio
com
ple amen e
egula ,
mé odo
que
en
pa icula ,cons uye
un mo
delo
de
la
compac izaci6n
de
S one-Cech
de un
espacio
no
no -
mal,
y
la
compac ización
de
Alexand o °
de
un
espacio
localmen
e
compac o
.
57
CARACTERIZACIONES
DE
ESPACIOS
P
nnoai

ión

_1
:
Sea
X
un espacio
opológico
y
A
su e ículode ce ados
.
Se e i ica
:
1/X
es
T
o
-sepa ado
si
ysólo
si
X
es
homeomo o
.a
un
subespacio
de
Spec
R
A
.
2/X
es
T,-sepa ado
si
y
sólo
si
X
es
homeomo o
a
Spec
a
A
.
Comp obación
:
1/
Si
X
es
T
.-sepa ado,
pa a
cada
pa
de
pun os
x,
y¿
x
Z e
X
se
e i ica
x,
y£x
2
.
En onces
la
aplicación
:
= {a e
A
I
x
e
a}
x
es á
bien
de inida,
pues
x
es
un
ce ado
i educibley
po
.
an o
gene a
un il op imo
;
es
in ec i a
y
mani ies amen e
es
un
homeomo ismo
.
El
ecip oco
es ob iopues
Spec
R
A
es
T
.-sepa ado
.
Nó ese
que
X,
T
o
-sepa ado
es
homeomo o
a
Spec
R
A
si
y
sólo
si
odoce ado
i educible
de
X
es el
cie ede un
pun
o
.
2/
Sea
X,
T
i
-sepa ado
.
En onces
la
aplicación
:
X

-
--
Spec
a
A
=
(ae
A
1
xea}
~x
es á
bien
de inida

puesx
e
Fxy
si

a
¿
57

a
.x
=
0
lo
que
x
demues a
que
Y
x
, il o
gene adopo
x
es
máximal
.
Es
mani-
ies amen e
in ec i a

y
ambién
epiyec i a
,
pues
si

F=
(a)
es
P oposición
2
.8
:
el
diag ama
:
Demos ación
:
64
S
unabasede ce adosde X
.
c
M
A
es
en onces
iel
y comple aes odemues aque
B
es
COMPACTIZACIONES
Y
CUASI-COMPACTIZACIONES
.
De inición
2
.1
:
Sea
X un
espacio
To
-sep ado
.Di emosque
un espacioYes
una
cuasi-compac ización
de X,siY es un espacio
T
.-sepa ado
cuasi-compac o
y X
es
homeomo o
a
un subespaciode
Y,
denso
enY
.
Si Y es
Hausdo
y
una
cuasi-compac ización
de
X,
se
di á
que
Y
es
una
compac ización
de X
.
Spec
p
A
comp obación
de
la
P oposición
2
.1
1/
.
Sea
X
un espacioT
o
-sepa adoy
A
su
e ículode ce ados
.
En oncesSpec
P
Aes
una-cuasi-compac ización
de
X alque
pa a
odocompac oY y
oda
aplicación
con inua
:
X-->Y
exis e
una
aplicación
con inua
:
Spee
p
A---_>Y

al
que

es
conmu a i o
i
deno a
la
inyección
na u al
de
X
en
Spec
p
A
de inida
en
la
Es ob ioqueSpec
P
A
es
una
cuasi-compac ización
de
X,
ya
que

n

Y
x

= 1

implicapo
la
P oposición
1
.2
5/
queiX
c
X
x,X
es
densoen
Spec
pA
;
y
po
.
el
Teo ema
1 .1
1/Specp
A
.
es
.
un

67
de inidaen eespec os
po
la
inclusión
de
B
en
A
.
En onces
a)
asegu aque
i'
4
`(Spec
a
A) c
:
Spec
M
B,
y en onces
la
ep esen
aci6n
de
B
en
Spec
M B es iel
.
En-pa icula
Spec
M
B
es
den-
so
en Spec
PB
.
No amos
po
p
la
es icción
de
i
# á Spec

A
a
cp
:
Specá
A

SpecM B
x

-----,
.
1
n
B
x
En onces
:
Cp
es
inyec i a
:
ya quepo
b)
B sepa a pun osde X
.
m
es
homeomo ismo
de Spec
a A
en
Imag
cp
:
ya
quepo
b)
si
a
e
A
se
puede
exp esa
en
la
o ma
a=n
b
.,
b,
e
B
;
y
se
í
.
i
comp ueba
inmedia amen e
que
(p(a)o
=
n

(bi
)p n Imag
cp
i
e I
cp
S
ec
a
A)
es
denso
en
Spec
M
B
:
comose deducede
la
P oposición
1 .2
5/
eniendo
en cuen aque
1
es
el
único
elemen
o
de
B
que
pe enece
a
odos
los
il osde
cp(Spec
a
A)
.
De inición
2
.2
:
Un
e ículo
A
se
di á
que
es
no mal
si
Va,,a
2e
A_ a-
les
que
a
l
.a
?
=
0
exis enc,,c
2e
A
alesque
:
a,
.c,
=
0,
a
P
.
c2
=

0

y

c1
+c2

=

1
.
P oposición
2
.11
:
Sea
X un
espacio
T,-sepa ado,
B C
:
A
un
e ículo
que e i ica
las
P oposición
2
.10
.
En oncesSpec
M
B
B
es
no mal
.
A
su e ículode
ce ados
condiciones
a)
y
b)
de
la
es
Hausdo
si
y s61o
si
y
Comp obación
:
68
Sea
B
no mal
;
y
sean
Y,
.
S-
2
dos
il os
maximales
cuales
quie a
de B
.Dada
la
maximalidad
de
Y,

y

Y2

exis en
b
1
e
S
:
I
b
2e
'F
2
ales
que
b
l
.b
z
=
0
.
Dado
que
B
es
no mal,exis en
c
1 ,
c
2 e
B
ales
que
c,
.b,
=
0,
c,
,_b, = 0
y
cl+
c2
=
1
.
En on
ces
c
l
¬Y
I
c
2
¿
Y2

y
po
an o
no exis e ningún il o
p i-
mo de
B
con enido
en
ambos
.
Dado
que
Spec
M
B es
denso
en
Spec
P
B
la
p oposición
1
.13
asegu a
que
Spec
M
B es
Hausdo
.
El
ecip oco
se
ob iene
ácilmen e
dado
que
si
Spec
M
B
es
Hausdo ,po
se
cuasi-compac o
es
no mal
.
Co ola io
:
Sea
X
un
espacio
T,-sepa ado,
A
su
e ículode ce ados
y B
C
:
A
un
e ículo
no mal
que
e i ica
las
condiciones
a)
y
b)
de
la
P oposici6n
,
2
.10
.
En onces
X
es
comple amen e
egula
.
Comp obación
:
Se ecue da
que
un
espacio
X
comple amen e
egula
es
un
eé-
pacio
de
Hausdo al que
los
ce os
de
las
unciones
con inuas
eales
de
X
cons i uyen
una
base de ce ados
.
Es
inmedia o
que
los
subespacios
de un
espacio
.comple amen e
egula
son
comple
amen e
egula es
y
el
lema
de
U ysohn
a i ma
que
un
espacio
no mal
es
comple amen e
egula
.
Po
an o
si
un
espacio
T,-se
pa ado
admi e
una
compac izaci6n
es
comple amen e
egula
.
El
co ola io
se
sigueaho a
de
las
P oposiciones
2
.10
y
2
.11
.
De inición
2
.3
:
Sea
X
un
espacio
comple amen e
egula
.
Llama emos
com-
pac izaci6n
de
S one-Cech
de
X,
no ada
SX,al
.elemen o
uni e -
sal,
de e minado
sal ohomeomo ismos,
de
sus
compac izaciones
;
es
deci
pa a odo
compac o
Y y
oda
aplicación
con inua
:
X
-----~Y

exis e
una
aplicación
con inua
:
RX----
.~Y

que
ex iende
a
.
6 9
P oposición
2
.12
:
Sea
X un espacio
T,-sepa ado
y
A
su
e ículode ce ados
.
En oncesSpec
mA
=
pX
si y
sólo
si
X
es
no mal
.
Comp obación
:
Po
las
P oposiciones
2 .2
3/y
1
.13
X
es no mal
si
y sólo
si
Spec
m
A
es
Hausdo
.
Bas aaho a ene
en
cuen a
la
P oposición
2
.9
.
P oposici6n
2
.13
Sea
X
un
espacio
comple amen e
egula ,
'CM
su
anillo
de
uncionescon inuas
y

~
.
._ ¡
Z
( )

=
-1
(0)
I
e,P(X)
}
.
En on
ces
:
es un e ículono malque e i ica
las
condiciones
a) y b)
de la
P oposición
2
.10
.
2/Spec
m
=
FX
.
Demos ación
:
1/
2
es
un
e ículo
con
la
unión
e
in e sección
o dina-
ias
ya
que
:
Z(
.g) =
Z( )
+
Z(g)
.
Z(
2
+g
2
)
=
Z( )
.Z(g)
.
Z(0)
=
1
"
Z(1)
=
0
.
e i ica
la
condición
a)
de
la
P oposición
2
.10
:
en
e ec o
si
x
jí
Z( )
po
se
X
comple amen e egula ,exis e
g
e
LC(X)
alque
g(x)
=
0
y
gIZ( )e
1
.
e i ica
la
condición
b)
de
la
P oposición
2
.10
:
po
la
de inición
de
espaciocomple amen e
egula
.
>_
es
no mal
:,en
e ec o
si
Z( ,)
.
Z(
2
)
= 0
de inimos
:
h =
?
2
+
2
e

(X)
pues Z( 2+
2)
_ ~
.
9
Sean
aho a
las
unciones
eales
:
g,(x)
=
mín
(h(x)-
1
3,
0)
2
(x)

=
máx

(h
(x)
-3
,
0),
7
0
que
cono
es
bien
sabido,
siguensiendo
con inuas
.
Dado
que
Z(g
1
)
=
xcXlh(x)<
3
}
y
Z(g2)=¡xcXih(x)Z
3
}
se
iene
Z(
l
)
.Z(g
z
)
= 0,
Z(
l
)
.Z(g
1 )
=
0 y
Z(g
1
)+Z(g
9
)
=
1
.
Aho a
las
p oposiciones
2
.10
y 2
.11
demues an
que
SpecM
-Y

es
una
compac ización
de X
.
2/
SeaY un
espaciocompac o
y

su
e ículo
de ce os
y
de
uncionescon inuas
.
Sga
:
X----->Y
una
aplicación
con
inua
.
En onces
:
-`Y

es un
mo ismo
de
e ículos
ya
que

si

g
s

le,
(X)

-1(Z(g))

= Z
(g
o

)
.
Po an o
de ine
una
aplicación
con inua
:
(
-1
)
*
Spec

Spec
ppY
Pe opo
se
Y
compac o
y
_
Y
unabasede
ce ados,
la
P o
posición
2
.7
asegu a
queY
_
SpecM

'1
Y

y
po se
Y
Hausdo
la
P oposición
1
.14
a i maque
la
aplicación
:
Specp
y
Y

CP

Y
c
SpecM

':X
Y
o
S=y-donde

Y

es
el
único
il o
máximal
de

Y

_
que
con iene
a
Y- es con inua
.
Si aho a
designamos
:

_
CP
o(
-1
)

:
Spec
M
~É
-~
Y,

ex iende
a
y
es o
demues a
que SpecM
<71
=
RX
.
No a
:

SeaX un
espaciocomple amen e
egula ,
'e(X)
su
anillo
de
uncionescon inuas
eales
y
Y={Z( )
j'
e
`e(X)}
Se comp ueba
ácilmen e
que
la
aplicación
:
SpecM

`e
(X)

CP

i
Spec
M
p

5

_
{Z
( )
1

e
p}
p
7
1
es
un
homeomo ismo
y
po
an o
:
1/
SpecM
l°
(X)
es
un
modelo
de la
compac ización
de
S one-Cech
del
espacio
X
.
2/ Dado
que
ad_
L
(X)
-es
deci
la
in e sección
de
odos
los
ideales
maximales
-
es ce o
y
Spec
M
Le(X)
es
un
espacio
no mal,
cada
idealp imo
de
'e(X)
es á
con enido
en
un
único
ideal
maximal
.
De inici6n
2
.4
:
Un
espacio
X
Hausdo
di emos
que
es
localmen e
compac
o si
cada
pun o iene
un
en o no
compac o
.
Es
bien sabido
que
en onces
los
en o nos
compac os
de
cada
pun o
x
cons i
uyen
una
base de
en o nos
de
dichopun o
.
Si
X
es
localmen e
compac o,
X
*
designa
al
espacio
X
uní6n
con
un
pun o
no
pe enecien e
a
X,
que no a emos
co,
con
la
o-
pología
cuyosce ados
son los
ce ados
compac os
de
X y
los
conjun os
de
la
o ma
caco
donde
c
es un
ce ado
cualquie a
de
X
.

X
4E
se
llama
la
compac ización
de
Alexand o
de
X
.
P opósició
n 2
.14
:
Sea
X
un
espacio
localmen e
compac o
y
no compac o
.Sea
B
el
e ículo
gene ado
po
el
conju o{K,
X
-
KI

K
compac ode
X}
.
En onces
Spec
M
B
es
una
compac ización
de
X
.y
Spec
MBz X#
.
Demos ación
:
1/
B
e i ica
las
dos
condiciones
de
la
P oposición
2
.10
y
po
an o
Spec
M B
es
una cuasi-compac ización
de
X
.
En e ec
o
:
a)

Si
b
e B

y x
¿
b
en onces
x
s
X-b
y
pues o
que los
en
o nos
compac osson
una
base
de
en o nos
del
pun o,
exis e
un
compac o
K
de
X
al
que
X
-
b
:)
K
ax
.

Po ,
an o
xE
K y
K
.b
=
0
.
b)
B
es
una
base de ce adosde
X
:
pues
si
x
¿
c
donde
c
es un
ce ado
de
X,exis e
en oncesun
compac o
K
de
X
al
que

7
2
X
-
c
=>
Ko
3x
.
De aquí
x
é
X-K
y
X-K
=>
c
.
2/
B
iene
un
único
il o
maximal
no
a ómico
que
no a-
emos
-Y
.
.
Es
consecuencia
de
las
siguien es
a i maciones
:
Los
pun os de
X
po se
compac os
pe encen
a B
y
de
aquí
son los
á omos de
B
.
Sea
K
un
compac o
de
X
.
Si
K
E

7
M
il o
maximal
de
B,
en onces

y
m
es
a ómico,
ya
que
en caso
con a io
K
n
b =
b£ F
y
po se
K
compac o
exis en
b,
..
.b
o
ales
que
K
.b,
. .
.b
n
=
0
en con a
de
se

SM
il o p opio
.
El
il osde
B
gene ado
po
la
amilia
{X
-
K
I
K
compac-
o de
X}
es un il o
maximal
no
a ómico
.
En e ec o
:
es il o
p opio
pues
si
exis ie an
K
i
i
=l,
.
.
.
.
n
com-
n

n
pac os de
X
ales
que
:

n

X
-K
¡_ 0
en onces
X
=
U
Ki
i=1
1

i=1
n
y
a
o io i
X
=
U
K,
con
lo
que
X
se ía
compac o
.
1
Y
es un il o no
con enido
en ningún il o
a ómico
po
se
X
localmen ecompac o

n

b
= 0
.
bE
,S
be y
i=1
Y
es un il o
maximál,
ya
que
si
K
es
un
compac o
de
X,
K
n
b =
0
implica
la
exis encia
de un núme o ini o
b
i
i
=
l
. .
.n
de
elemen os
de
Y
ales
que
K
.b
1 .
.
.b
n
=
0
.
3/ Spec
M
.
B
es
un
espacio
Hausdo
.
Po
la
P oposición
1
.13
es o
equi ale
a
p oba
que
dados
dos
il os
maximales
cualesquie a
de B,no exis e
ningún
il o
p imo
con enido
en
ambos
.
Dado
que
Speca
B_
X, .Spec
a
B es
denso
en Spec
pB y
da-
do
que
X
es
Hausdo ,
la
demos ación
de 3/ se educe
po
la
P oposición
1
.15
1/
a
comp oba que
dado un il o
a ómico
1
x
de
B,no exis e
.
ningún il o
p imo
con enido
en él
y
en
.
Es o
úl imo
es
inmedia o
:
po se
X
localmen e
compac o
exis e
un
compac o
K
de
X
al
que
xe
K?
En onces
X
-
Kx
pues
K ¿Y

y
K+X-K
= 1
4/
SpecM
B
7
3
En
e ec o,la
ep esen ación
na u al
de
B
en Spec
M
B
da
una
base
de
ce ados
y
es
ob io
que
se e i ica
:
si
K
es un
compac o
de
X
:
(K)
0
= K

(X
-K)0
=
X-K
US
oo
De aquí
los
ce ados
de
Spec
M
B
son
los
compac os
de
X y
los
conjun os
de
la
o ma
c U
co,donde
c
es
un
ce ado
de
X
.
Ejempl
o
2
.1
"
Sea
A el
e ículo
gene ado
po
unión
e
in e sección
i-
ni a
de
las
semi ec asce adasde
la
ec a
eal
R
.
En onces
Spec
M
A es
la
compac ización
o dina ia
de la
ec a
eal
po dos
pun os
(conjun o
de
los
eales
ex endidos)
.
En e ec o
:
1/ Pues o
que
A
con iene
a
los
in é ales
ce ados,
es
inmedia o
comp oba que
A
e i ica
las
condiciones
a)
y
b)
de
la
P oposición
2
.10
y
po
an o
Spec
M
A es
una
cuasi-compac i-
zación
de la
ec a
eal
.
2/
Spec
M
A
cons a
de
los
il os
a ómicos
de inidos
po
pun os de]R
y
dos
il os
maximales
no
a ómicos
.
Se
sigue
de
las
siguien es
a i maciones
:
Los
pun os de
R
pe enecen
a
A
y
po
an o
son
sus
a 6mos
.
Si

Yg
Spec
M A
con iene
un
in e alo
.ce ado,
en onces
57
es
a ómico
.
Si
S

deno a
el
il o
gene ado
po
las
semi ec as
de
+m
la
o ma
x >

£
IR,
en onces
+

e
Spec
M
A
.
En e ec o
si
b
¿

y

b
no
con iene
ninguna
semi ec a
de
la
o ma
x
z
7
4
y
en onces
exis e

s
e7R
al
que
s
z
y

V
y
e
b
.
De aquí
b
.(x
>_
s)

=0
y po an o

E

es un il o
maximal
.
+
ao
Análogamen e
si
5
:
deno a
el
il ogene adopo
las
_
,o
semi ec as
de
la
o max
<_
,
en onces

S_
m
e
Specm
A
.
3/
Spec
mA es
Hausdo
.
En e ec o
:
A
es
complemen ado
y
dadoque
los
elemen os
de y

y
de
5~

son
di iso es
de
ce oal
dual,
la
P oposición
0
.11
asegu a
que
Y

y
son
il os
p imos
minimales
.
Po
an o,
dados
dos
il os
maximales
cualesquie a
de
A

,
no exis eningún il o
p i-
mo
con enido
en
ambos,
y
de
aquíSpec
m
A
es
Hausdo
.
4/
Si
enSpec
k
A
se
de ine
el o den
:
Y
x
<
Iy
i-1
X
:5
y
F

z
1 > $

E/
x
e
R, la
opología
de Spec A
coincide
+
oo

x

-oo

M

,
con
la
opología
de dichoo den
.
Comp obación
imedia a
.
CAPITULO
III
:
COHOMOLOGIA
DE
ESPACIOS
ORDENADOS
Y
ESPACIOS
NOETHE
RIANOS
CON
VALORES
EN UN
HAZ
.
Es e capi uloabo da
el
p oblema
de
halla
pa a
cie os
dominios
de
espacios,
un
mé odo
pa a
compu a
su
cohomología
con
alo es
en un
haz
.
1/ Espacios
o denados
:
A
lo
la go
del
capí ulo,un
espacio
o denado
es
un
conjun oo denado
con
la
opología
cuyos
ce ó
dos son
los
subconjun os
c ecien es
y
el 0
.
En
un
al
espacio
cada
pun o iene
un
en o no
mínimo
:
el
conjun o
de
pun os
meno
esó
iguales
que
él
.
Ejemplos
de
alesespacios
son
los
espá
cios
ini os
T
.-sepa ados
y
los
espacios
opol6gicos
duales
de espacios
espec ales
noe he ianos
.
Si
R
es un
haz
de g upos
sob e
un
al
espacio,se
le
asigna un
complejo
semi-simplicial
de
cocadenascon
alo es
en
,R
,
al
que
se
do a
de
es uc u a
di e encial
.
Dado
que
los
abie os,
de
un
espacio
o denado
siguen siendo
o denados,
la
asignaciónan e io
pe mi e
cons ui
un complejo
di e encial
de
haces
que
son una
esolución
" lasque"
de
,R
.
El
hecho
de
que
cada
pun o enga
un
en o no
mínimo
es
aquí
esencial
.
Al
oma
secciones
en
dicha
esolución
" lasque"
se
ob
iene
el
complejo
semi-simplicial
de
cocadenas
con
alo es
en
,R
y
po
an o
los
g upos de
cohomología
de
és e,
coinciden
con
los
g upos
de
cohomología
del
espacio
.con
alo es
el
haz
.R
.
La
demos ación
de
que
la
cohomologia
del
complejo
se-
mi-simplicial
de
cocadenas
coincide
con
la
del
subcomplejo
de
cocadenasno-degene adas,da
la
aco aci6n
.d
e
la
dimensión
cohomol6gica
del
espacio
po
su
dimensión
de
K ull
.
2/
Espacios
noe he ianos
:
El p oblema
se
esuel e
en un
dn
> 0,un
n-cociclo
es
un
n-cobo de
y es odemues a
la
p o-
posici6n
.
No aciones
:
X+
designa á
el
conjun o
de
los
simplices
de
o den
p de
P
X queson
aplicaciones
es ic amen e
c ecien es
;
es
deci
s
p
e
Xp
si
y
S610
si
s
p
:
p
P
--_

>X
Si
s
p
EX
p y
s
p¿ X+

se
dice
que
sp
es
un
símplice
degene a-
do
.
CP
(X

R)
_
{a
EC
p
(X

R)
a(s
p
)
= 0

ds
p ¿ X
+
p
}
designa
el
conjun o
de
las
cocadenas
de o denp que
se
anulansob e
los
simplicesdegene ados
de
o den
p
.
Po
úl imo,
C+(X,S)
designa á
el
g upo
g aduado
(C
P
(X
.
.2)
)
P
>
0
P oposición
3
.2
"
Con
las
no acionesan e io es
:
1/
C~
(X,,R)
es un
subcomplejo
di e encial
de C#
(X

R)
.
2/
Si
no amos
HP
(X,,Q),
p
>_
0
los
g uposde
cohomolog a
delcomplejo
C (X

R)
se
e i ica
:
a)
H
O
(X R) =
HO(X3)
.
b)
dp
>
1
.

HP
(X,A)
es
sumando
di ec o
de
Demos ación
:
quex = x
+
1'
82
>x
ó
<x,
<
. .
.<x
p
P
H+
(X_
R)
.
1/Bas a
e
que
si
a
eC
P-1
(X

R),
d
(
.
EC
P
(X_R)
y
es o
es
inmedia o
:
si
s
p =

(xp<
. .
.<
xp
)
í
X
+p
exis e
0
_<
<
p
al

8
3
En onces
:
(dcL)(s
p
)
=
es icción
a
U(x,)
de
P

-
E
(-1)
1a(x
,
<
. .
.
x
.
<
i=0
i
_
<
. .
.x -15
x
15
...
a
donde
(nP
CI,)
(s
p
)
=
a
(sp)
si
s
p
E
X+p
(Ti
p
n)
(s
p
)

=

0

si

s
p
,
¿ Xp
y
designamos
TT
=(n
A
)
P>0'
En onces
les
de inen
mo ismos
:
es icción
a
U(x
0
)
de
yaque
los
es an essumandos
se
anulanpues
p
E
C
P-1
(X

R)
.
Dadoquex
=
x
l
se
ob iene
inalmen e
(da)
(s
p
)
=
0
.
2/
a)
Es ob io
pues
C
(X,A)
=
C (X

R)
.
2/ b)
De inimos
:
CP(X

R,)

P

-
Cp(X

R)
+
(-1) +1n(X05
...
x1
;XIS
.x~
u al
se
e i ica
II
p
o i
p =
iden idad
en
C
P
(X,R)
.
HP
(X

A
.)

Wp
-

~HP

(X
1
es
un
mo ismo
de comple
jos
di e enciales
es
deci
II
o
d
= d
o
TT .
La
comp obaci6n
.
"
s
un
cálculoanálogo
al
de l/
.
Si
i
:
C
P (X

R)
~C
P
(X,,R)
designa
la
inclusi,nna-
P
+
Pues oqué
I
e
i
son
mo ismos
de
complejos
l e encia-
y
1
p
de
b)
.
Co ola io
:
mo
se
e i ica
I)Pmna > a
i
6n
:
Le^
',a
-
i-
l
s
8
4
un
mo Ni
mo
del
o den
.
bación
:
np
Hp
(X

R)

--

~
Hp
(X 
1
Z)
= iden idad
en
H
p
(X,
.R)
.
Es oacaba
la
demos ación
p

++
Con
las
no aciones
an e io es,
si
X ieneelemen o
máxi-
.,
dp
>
0

Hp
(X,,Q)
=
Hp
(X,M
.
++
+
Pa a
p =
0
el
esul ado
lo
hemos`ú'~ enido
en
la
p oposi-
ción
an e io
.
Si
p-
> 0 la
P oposición
3 .1
a i maHp
(X

Q)
=
0
y
pues-
++
o
qué'-po
la
p oposición
an e io
Hp
(X,,q)
es sumandodi ec-
o
de Hp
(X

R)
,
sé
gene
Hp
(XII)
=
0
.
+

T~
;
.Sean
X
'
,
X
z
conjun os
o denados
con
la
opología
cuyos
ce a
só,n
el
0
y
los
subconjun os
c ecien es
.
1/
' .
Si
U
es
un
abie o
de
X,,

los
ce ados
de
U son
el
0 y
11
subcoi
un os
c ecien es
deU
.
2/
Una aplicaci
.ón

:
X
.,
'
es
inmedia o
.
;Sea

un
mo~ ismo
delo den
;
y
C
2
un
ce ado
de
X
2
.
y
e

-1 (C
Z
)

po se
cp
mo ismo
del
o den
:
p(y)
scp(x)
.
k
es
con inua
si
y
sólo
Pues oque
De i
.nici6n
3
.4
:
U
s
p
(P)
E
U
i
8
5
cp(Y)
E
c
2
y
e
2
es
c ecien e
:
CP(x)
E
c
?
.
y po an o
-1
(c
2
)
es un conjun oc ecien e
.
Es o
demues a
quecp
es
con-
inua
.
Sea
o
con inua
;
x
>
y
pun osde
X
i.
Po se
cp
con inua
-1
cn
(~p(Y))
es
un
conjun o
c ecien e
de
X,
que
con iene
a
y
.
De aquí
xEc
-1
(cp(Y))

,
co(x)
E
4P
(Y)
->
cp(x)Zcp(Y)-
Es odemues aque
cp
es
un
mo ismo
del
o den
.
Haces
de
gé menesde
cocadenas
:
Sea
X un espacio
o dena-
do
con
la
opologíacuyosce ados
son
el
0
y
los
subconjun os
c ecien es,
y
,R
unhazde g upossob eX
.
Pa a cada
p
>
0
se
de ine
el
p ehazsob eX
:
U
->
C
p
(U,

U)

=

II
V
-->
C
p
(V,
.R1
V)

=

n

I'(u(Sp(0))

R)
s
EV
P P
P(U(S
p
(0)
)

R)
donde
el
mo ismo
de
es icción
cp
es
la
p oyección
na u al
puesU
D
V implicaUp
D
V
p
.
Dadoquepa a
oda
amiliade abie osU
i

iE
I
se
e a
.
ica
:
(
U
U
.)
=
l)
(U
.)

-
ya
que
si s
(p
)
c
U
U
.
¡el
i
p

¡EI

1
.
p

9 P

¡Ci
1
pa aalgún
i
y
po se
U
i
abie o
en onces
s
p
(A
p
)
c
U
i
-

se
comp ueba
ácilmen eque
el
p ehaz
de inido
es
un haz
.
En
.
adelan e
lo
no a emos

p
(X,a)
.
Po
su
misma
de inición
`e
p
(X 
R
.)

p
>
0
sonhaces" lasques
son
" lasques"
.
Teo ema
3
.1
:
Sea
X
un
conjun o
o denado
con
la
opología
cuyosce ados
son
el 0
y
los
conjun os
c ecien es
;
y
.R
un
haz
de g upos
so-
b e
X
.
Si
HP
(X,
.R)

p
>
0,
deno an
los
g upos
de
cohomologia
de
X
con
alo es
en
el
haz
,R,
se
e i ica
:
Hp
(X

R)
=
Hp
(X
.A)
= H
p
(X,-Q
.)

Vp>
0
.
Demos ación
:
86
Se
de inen
análogamen e
los
haces

)e
p
(X,
.R)
que
ambién
1/
Los
haces
('ep(X,
.R))
p
~
0
cons i uyen
una
esolución
" lasque"
del haz
51,
.
En
e ec o
:
a)
la
di e encial
d
de
los
complejos
de ine un
mo ismo
de
haces
:
_p(X

R)

d

->,e
p+1
(X

í1)
,
p z
0,
que
segui emos
no ando
d
.
b)
de inimos
e
:
1
--~
¿
g
(X

)))
de
la
o ma
siguien e
:
0
(U

R)

u
---~E
(
u
)

e

C

(U,
,R
IU)

donde
si
x
s
U
e(
u
)(x)
=
es icción
de
u
a
U(x)
.
c
)
la
sucesión
de
haces
:
0
----
i
,A
E
',`e
°
(X,
A)

d

1
(C
p
(U,
,RIu))
pz
0
es exac a ya
que
pasando
a
ib a
-
,pa a
x
e
X
se
iene
:
0

-
(u
(x)

-
C0
(U
(x)
,
A~

U(x))

d

-
C

(u
(x)

u
(x)
)~
cuya
exac i ud
queda
asegu adapo
la
P oposición
3.1 y
po
el
hecho
de
que
Imag
E=
Ke
d
.
Jus i icamos
es e úl imo
hecho
8
7
si
a
eCO
(u(x)_RI
U(x))
es
al
que
da
=
0,en onces
pa a
odo
pa
de pun osx
o
5x
i
de U(x) se
e i ica
:
Y
0 =

(da
.
)

(xo
5
x,
)

=
es icción
a
U
(x,)

de

(a
(x1
)-a(x
o
))
es o
es
equi alen e
a
:
a = c(
U(x)
)

donde
u
(x)
(Y)

=
a
(Y)

dY

e

U
(x)
2/
La
p ime a
igualdad
esul a
aho adelhechode que
(X,'ep(x.A))

=
CP(X

R)
.
3/ Pa a
demos a
que
H
P
(X_R)
=
H
P
(X,
.2)
se
comp ueba
de
mane a
análogaque
los
haces
T
P
(X"R))

cons i uyen
una
e-
+

p
>_
0
solución
" asque"
del
haz
,R
. .
La
exac i ud
de
la
sucesión
de
haces esul aaquídel
co ola io
a la
P oposición
3
.2
.
No a
:
En pa icula ,el eo emaan e io gene aliza
el
esul a-
do
del
co ola io
a
la
P oposición
3
.2
en el
sen idode que
la
hipó esis
de queX enga
elemen o
máximo
es
innecesa ia
.
Co ola io
:
Con
las
no aciones
del
eo ema
an e io
;
si
cR
es un
haz
" asque",
el
complejo
de
cocadenas
(CP(X,
.R))p
>
0
es
acíclico
.
Comp obac
i6n
:
Es ob iopues
si

~
.

es
" asque"

Hp
(X

A)

=
0

dp
>
0
.
Teo ema
3
.2
:
Sea
A
un
e ículo
al
que
odoideal
es
p incipal
y
de
dimensión
de K ull ini a
.
En onces
dimSpec
PA 5
dim
k
A
.
Demos ación
:
Si
odo
ideal
de
A
es
p incipal,

odo
il o
de
A
i ,
es
p i,

e i ica
:
culo
8
8
cipal
y
en onces
po
.el
co ola io
a
la
P oposición
1
.11,
Spec
p
A
es
un
conjun o
o denado
con
la
opología
cuyos
ce ados
son
el
y
los conjun os
c ecien es
.
Po
an o,pa a
odo
haz
de g upos

R

sob e
Spec
P
A

se
Hn
(Spec
A
A)
=
H
n
(Spec
A,$)

-1/n>0
.
p
++
p
Pe o
si
n>
dim
k
A
-

po
el
Lema
1
.3
-

odo símplicede
o den
n
de
Spec
A
es
gene ado
y
po
an o
H
n
(Spec
A,,R)
=
0
.
Es o
P

++
P
demues a
la
p oposición
.
No a
:
El
Teo ema
3
.2
engloba
el
caso de
los
espacios
ini os
T
C
i-sepa ados
y
el
caso de
los
.
espacios

duales de
espacios
es-
pec alesnoe he ianos
.
Ejemplo
3
.1
:
Sea
X
un
conjun o
que
cons a
de
3
pun os
x,,
x
2
,
x
3
con
la
elación
de
o den
:
x
3
<
x,,
x
3
<
x
2
con
la
opología
cuyos
ce ados
son
el 0
y
los
subconjun os
c ecien es
:
Po
el
Teo ema
3
.2
dimX
,
dim
k A
= 1
donde
A
es
el
e í-
de ce ados
de
X
.
Vamosaho a
a
cons ui
un
p ime
g upo
de
cohomología
sea
dim
X
=
1
y
que
po
an o
la
co a
del
Teo ema
3
.2
no
es
mejo-
able
.
haz
de g upos
sob e
X
cuyo
no
nulo
.
Es o
demos a á
que
8 9
Sea
Z

el
haz
sob e
X,
de inido
:
x3
u(x3
)=x
3
.
es iccióne iden es
.
la
diagonal
de Z
ga
Z
.
0
>0
0

3
En onces
C
+
(X,

Z
xb
)

=
iR=1
(U(x
1
.),

Zx3
)
s
i
=(x
3
<
x,
)

Y
si
=(x
3
<
x
2
)

se
iene
:
Cálculamos
aho a
la
imagendel
mo ismo
:
Ca
(X,

Z

)

d

-
C'
(x,
Z

)
Z
con
los
mo ismos
de
Dadoque
los
1-símplices
no
degene ados
de
X son
C'
(x,Z)

= (u(x
3
),

z
x3
)

e

(u(x3),Zx
)

=
z®
Z
.
+
xs

3
al
a

e

C
O
(X,

Z

) ,

(d
a
.
)
(s
i
)

=

es icción

a

x,
de
(CL
(X
3
)
-
CL
(X
I
+
x3
(dei
(s
;)
= es icción
a
x
3
de

(
a
(x
3
)-a
(x
2
))
=a(x
3
)

e
Z
.
y
po

an o

Imag
d
=

(
S
e

c+
(X, Z
x3
)

p (s~)

=
B
(s~
) } .
1

Z
®
Z

Z®Z
De aquí
H(H,
Z

-
Z,donde
p
deno a
++

x
3

Imag
d

p
El
Teo ema
3
.1
asegu a
aho aH
1
(X,ZX
)
=Z
.
3
Ejemplo
3
.2
:
Sea
X un conjun ocon
5
elemen os
x,,
x
2
,
X
V
x
4
,
x
5
con
la
elación
de o den
:
xG
<
x4'
x
5
<
X
3
1
X
I<
X
II
X
4
<
X2
;
do a-
do
de
la
opologíacuyos
ce ados
son
el
0 y
los
subconjun os
c ecien es
:
90
Po el Teo ema
3
.2
dim
X
<
dim
k
A
= 2

dondeA es
el
e ículo
de ce adosde X
.
Vamosaho a
a
demos a
que odohaz
de
g upos
J?
sob e
X
iene
g upo
2
de
cohomología
nulo
.
Es o
demos a á
queel
esul ado
del
eo ema
3 .2
no
se
puede e ina en
el
sen ido
de
que alga
la
igualdad
.
Símplices
no
degene ados
de
o den
1,
de
X
:
si

=(x
5
<
x4)
s~
=
(
x5

1) ,
s1
=(XS<X2
)
,
s
=(X5<x
3
) ,

X1
=(X4<X1
)
,

sP=(X
Q
<X
2
) .
Símplices
no
degene ados
de
o den
2,
deX
:
s2=(x
s
<
x
4
<
x
1
)

s2=(x
5
< x
4
<X
2
)
Po an o
:
C(x
:M
=
P(x
5
,SZ)
®P(>5

R)® (XS"R)® (XS,-R)®P(U(X4)"C)®P(U(X4)
.
.R)
Vamos
aho a
a
comp oba 'que
el
mo ismo
:
n
las
0
d
2
C
(X,a)
-
.
C(X

2)
es
En e ec o
si
SeC
2
(X,Q)
de inimos
a e
.
1 4
igualdades
ldades
siguien es
:
s
a
(s
1
)
=
o
.
(s
1
)
=
CL
(s1
)
epiyec i o
.
C(X

2)
p
.
i
=
a
(s
1
)
=
CL
(sz)
_-
S(s2)
a
(s3)
=-
p
(s2
)
91
y
aho a
es
inmedia o
comp oba
que
da
=
p
.
Es o
demues a
que
H
2
(X 
R)
= 0
y
po
el
Teo ema
3 .1
COHOMOLOGIA
DE ESPACIOS
NOETHERIAN
OS
CONVALORES
EN_
UN-
.HAZ
.
Teo ema
3
.3
:
Sea
A
un e ículo
alque odo il oes
p incipal
.
Si
dimk
A
=
n,
exis e
una
amilia il an e,
espec o
a
la
in
clusi6n
na u al,
de
e ículos
ini os
A i
c
A

icI, ales
que
A = lim
ind,
A i
y
dim
k
A i
<
n

di
ga
.
ieI
Dem
os ación
:
Po
inducción
sob e
dim
k
A
.
Si
dim
k
A,
=
0,
po
el
co ola io
a
la
P oposición
1 .5, A
es
un e ículo
de Booley
mani ies amen e
es
lími e
induc i o
de sus
sub e ículos
de
Boole ini os
.
baci6n
de
que odo
il o
de
A/p
es
p incipal
es
inmedia a
.
Seaaho a
A i
c
A
un e ículo
ini o
;
y no amos
po
A
¡
el
A
Sea
dim
k
A =
n y
no amos

p
el
idealdeA
gene ado
po
los
á omos
de
A
.
Po
la
P oposición
1 .7

la/,
Specp
A/p
-
SpecpA
-
Specm
A
y
po
an odimk
A/p
= n-1
.
Po
úl imo
la
comp o-
e ículo
c
A/p,
imagen
de
A i
po
la
aplicación
canónica
:
P?
I
A/
u
Po
hipó esis
la
inducción
exis eun
e ículo
ini o
Á
7
alque
Á
i
c

J
.
c
A
/p

ydimk
Á
J
.
<
n-1
.
SeaB
;
una amiliade
an iimágenes
po
p
de
Á
.,
quecon-
3

J
engaa A
i
;
y
Aj el
e ículogene ado
po
B
j
.
Designamos
po
A
j
el
e ículogene adopo A
í
.
y
una
amilia
ini ade
á omos
De inición
3 .7
:
P e-haces
de
gé menesde
cocadenas
sob eSpec
P
A
:
-
donde
el
mo ismo
de
es icción
queseguimosno ando
II,
se
de ine
a
a ésde
ep esen an es
:
n{a}
=
{II
a}
.
La
p oposi-
ción
an e io
asegu aquees a
de inición
es
co ec a
.
P oposición
3 .4
:
Pa a cada
n
>_
0
el
p ehaz
de inido
en
De inición
3
.7
es
unhaz" lasque"sob eSpecp
A
queno a emos

'e
n
(Spec
p
A

R)
.
Demos ación
:
Pues o
que
odoabie o
de Spec
P
A
es
cu
.asi-compac o,
bas acomp oba
las
dos
condiciones
de
haz
pa a
uniones ini-
asde
abie os
.
n
k

k
Sea
U =
U
UdondeU
=
Specp
A -
(ck)o

son
abie os
k=1
de
Spec
A
.
P
98
Pa a cada
n Z
0
de inimos
sob eSpecp
A
el
p ehaz
:
Spec
p
A
=)
U

----
s
lim
ind
a
C
(~
i
U,
yp i
.
(,R

U
) )
+Y
i7
U
n
a
Spec
p
A
J
V

_--------
,
lim
ind,
Cn
(cpi
V,
~pi

(al
U)
)
$i7

#
Si
A
i
c
A
es
un
e ículo
.
ini o alque
c
k
e
A
i
k
=1
.
. .
n,
en oncesel Lema
3 .3
asegu a
:
-
k k
cp
i
(U
k
),

k
=1
.
.n
son
abie os
de X
i
Y
epi
1
epi
U

=U
cp
.
(U)
=
u
q
(u'`)
k=l
i

s
Pi
(u)

(1
cp¡(U,)

=
cp
i
(U

1
U
)

,
s
=
1

n

Seanaho a
alesque
sus
es icciones
a
cada
u
k
,
k
=l
. .
.n
coincidan
.
Es
ob ioquepues oque
A
= im
ind
A i
se
puede
halla
Ai
A
al
queck
e
A i
,
k =
l_
_
n
;
y
ep esen an es
al
,
a,2

de
{a
l
},

{a2
}
en
Cn
(cp
i
U,
cp
i
(
.ll

U))
ales

que
sus
es icciones
a
cada
cp
i
.U
,
k
=1,
. .
.n
coincidan
.
Dado
que
cp
i1
cpi
Uk
=
Uk

k=
1,
. .
.n se
comp uebainmediá
k

k
amen e
que
los
haces
sob e
cp
i
U
:
cp
i

(,Al
U
)
y
k
Pi
(,p,l
U)

cp
iU

sonisomo os
.
Es o
pe mi e
conside a
a
; ,
a2
iF
como
secciones
del
haz

`e

(cp
i U,
cp
i
(,R
1
U)
)

alesque
sus
es icciones
a
cpi
Uk
,
k =
1,
.
.
.n
coinciden
.
Deaquí
a1'
=C,2,
y po an o
{a,}
=
{a2}
.
La
segunda
condición
se
comp ueba
de
mane a
análoga
.
Po
an o,
dnZ
0
el
p ehaz

sob eSpecp
A
de
la
De inición
3
.7
n
es
un hazqueno a emos
2
(Spec
p
A,&)
.
La
p opn
osici6n
queda á
o almen e
demos ada
si
comp o-
bamosque
`e
(Spec
p
A,
.A)

Vn
2
:
0
son
haces
"
lasques"o equi-
alen emen e,
si
pa a
odo
abie o
U
de
.
Specp
A
el
mo ismo
de
es icción
es
epiyec i o
.
{a}
e
99
{al
}
"
{a2}
e
n
lim
ind,
C
n
(cp
i
U,cpi
U))
U
ij

#
iE
n
:

lim
ind

C n (X1
.,

,
cp
i
,SI
)
---~
lim

ind

C
n
(cp
iU,

cp
i

(,A
1
U)
)
~ij

ij
La
comp obación
de es e
hecho
es
comosigue
:
sea
lim
ind,
Cn(p,iU,
cp
i
( Q
¡U)
) .

Po
el
Lema
3
.3
exis e
~
~ij
un e ículo ini oA
i
c
A
alque
cp
i
U
es
un
abie o
de
X
i
-1

U=U
.
Sea

n

(,R
U))
un
ep esen-
cp
i
cp
i
a'
e
C(cp
iU,
ep
i
~

P esen-
an e an e
de
{a}
.
10
0
De inimos
aho a
p
eC'
n(Xi
.p
i R
)
de
la
siguien e
mane a
:
u
0(s
n
)

=
CL
'
(S,)

si
s
n
(A
n
)
c
mi
U
=
0

si

sn
(A
n
)
Cí
cp
i
U
.
La
de inición
an e io
es
co ec a,
Ya quepo
se
cp
iU
abie
o
de
X
i
,
si
sn(An)
c
cp
i
U
en onces
U(s
n
(0))
c
ep
i
U y de aquí
:
c
p-
1
U(s
n
(0))
c
cp-i
1
cp
i
U
=
U
.

Es o
asegu aque
i
a
'
(s
n
)

e
(cpi
1
U(sn
(0))

Es
inmedia o
a o aque
IIS
=a'
y
po
el
Lema
3
.5 se
sigue
:
DÍ9}
=(a}
.
Teo ema
3
.4
:
Sea
A
un
e ículo
al
que
odo
il o
es
p incipal
.
Sea
Ai
i
I
una amilia il an e
-
espec o
a la
inclusión
na-
u al
-
de
e ículos
ini os
con enidos
en
A alesque
A = lim
ind
.
A i
Sea

R
un
haz
de
g upossob eSpecp
A
yH
P
(Spec
p
A _q)
n
>_
0
los
g uposde
cohomología
de
Specp
A
con
alo es
en
Con
las
no aciones
del
co ola io
a la
P oposición
3
.3
se
e i ica
:
/
n
>
0

Hn
(Spec
A, ,R
)
= Hn
(Spec
A,á)
_
_

p

+
P
=
lim
ind

A+(X
i
,
cp
i
.)i )
Demos ación
:
1/Lemap e ío
:
pa a cada
n
-,»
0,
cada
A
i
y
cada
pa
de
Cn(CD
i

U,

P
i

(
.R1
U)
)
i
es
conmu a i o
.
posición
3 .3
.
d
abie os
U
z)
V el diag ama
:
d
n
n
C

(cpl
V,
cp
l
G
Al
V)
)

-
C +
1
(p1
V,
cp
l
iE

;(
"
UJ
V)
La
comp obací6n
se
omi epo
se
análoga
a
la
de
la
P o
La
conmu a i ídad
deldiag ama
an e io ,
jun o
con
la
P oposición
3
.3,
pe mi e
de ini un
mo ismo
de haces
:
n
`e
n
(Spec
p
A,5?)

d
.

)e
n+1
(Spec
pA
A)
2/
De inimos
un
mo ismó
de
haces
:
2
£~
C
(Spec
p
A,
a)
de
la
siguien e
mane a
:
si
u
e
P(U,A)

e
(
u
)
=
{a}

donde
a
e
C
°
(cp
i
U,cp
i_
(al
U)
)
-siendo
cp
i
U

un
abie o
de
X
i
alque
cpi1
cpi
U
=
U-
es áde
inida
:

si
x
.
e
cp
i
U
.

¢
(xi
)

=
es íccí6n
a
cp
i
1
U
(xi
)

de

u
.
3/
Teniendo
en cuen a
la
P oposición
3 .4
el
Teo ema
queda á
demos ado
si
comp obamos
que
:
es
un
sucesiónexac ade
haces
.
CnF1
(cp
lU,
'
cp
i*
u
1
U)
)
0
0----~~A,
E->
C
0
(Spec
p
A,,A)
--
á-
.~~
(Spec
p
A
R-)
:
:
d
~
. . .
.
10
2
a)

Ke
L

=0
.

En e ec o
si
x
e

,R
x

es
al
que

F(
x
)
=0
exis e
u eI'(U,,R)
ep esen an e
de
x
alque
E(
u
)
=0
.
Po
la
de inición
de
,
en onces
la
es icción
de
a
cada
u
cp-1
1
U
(x
1
.),

x
1
,

ecn
.

U
es

ce o
;

dadoqueU=

U

Pi
1
U(x
.)
1

1
xi
ecp
iU
en onces
u
=
0
y
de
aquí
x =
0
.
b/ Imag
E
=
Ke
d0
.
0
Sea
gx e

e°
0
(Spec
p
A,
.R)
x
al
que
d g
x
= 0
.
En onces
exis
ex
e
U,
unX
i
alque
cp,U
es
abie o
deX
i
y
(Pi1epi
U = U
;
y
a
.
e
E0
(pi U,

pi

(~P
IU))

al
que
u)

es un
ep esen an e
de
0
g
y
d
a=
0
.
En es a
si uación,
se iben
el
Teo ema
3 .1
que
x
de ine
una

seéci6n

a'
del
haz
ep,

(,7 1
U)

y
po an o
a
.'
e
(ep
il
U-A)
.
Si
x
e
`Rx
es
el
ge mende inidopo
a' se
comp ueba
inmedia amen e
queE(
x
)
=
g
x
lo
que
demues a
:
Ke d
0
:D
Imag
L
.
.
El
con enido
en
el
o o
sen ido,
se comp uebainmedia a
men e
.
c/ Imag
d
n-1= Ke
d
n
Vn
z
1
Imag
d
n-1
C- Ke
dn
es ob io
.
Seaaho a
x
e
e
n
(spec
p
A,a)
x
al
que
dn x
=
0
.
Po
el
Lema
3 .4
exis e
un
abie o
x e
V de
Spec
p
A,
un X
i
al
que
cpi
V es
el
mínimo
abie o
de
X
i
quecon ienea p
i
(x)
y
a
e

C
n(Ii
V,

pi

(,%I
V))

alque
u}

es
un
ep esen an e
de
x
yd,n,
=0
.
Pues oque
cp
i
V

esun
:o dencon
elemen o
,
máximo
la
P oposición
3
.1
asegu a
la
exis encia
de
s
Cal
(~o
i
V,
'pi

(,RIV))

alque
dn-1p

= a
.

Si
aho a
no a-
mosge
e
n-1
(Spec
p
A,A
)
x

el ge men
de inido
po
le}
es
ob io
que
d'n-1
gx=
x
lo
que
demues aqueKe
J
C
Imag
d'
1
.
Teo ema
3
.5
:
Sea
A un e ículo alque odo il o
es
p incipaly
dimk A =
n
.
En onces
:
1/
dimSpec
PA
5
n
Demos ación
:
1/
Po
el

Teo ema
3
.3,
A
=
lim
ind
A i
donde
los
A i
son
e ículos ini os alesquedimk
A i
5 n
.
En es as
condiciones
si
X
i
=
Spec
p
Ai
,,
ob enemos
a pa i
de
los
Teo emas
3
.4
y
3
.1
:
pa a
odohaz
dé
g upos
~R
sob e
Spec
p
A
q
H
(Spec
p
A,2)
=0

Vq
>
n =
dim
kA
.
Lema
3 .6
:
H
q
(spec
p
A
,R)
El Teo ema
3 .2
a i ma
aho aque
2/Ve no aal Teo ema
3
.2
.
Sea
X un espacio
noe he iano
y
A
su
e ículo
de ce ados
.
Sea
X
1---
Spec

A
la
inyección
na u alde inidaen
la
P o
P
posición
2.1
.
U
n
iX
en
Specp A
.
10
3
2/
dim
Specp
AaF<
n
limes
HR
(Xi
,
cp i
,R
)
~ij

-11
dq2.
0
Si
U
es
un abie o
de
Spec
P
A,
U

es
el
mínimo
en o node

Demos ación
:
ezde iX
.
10
4
Usa emos
el
siguien e
abusode no ación
:
esc ibi
X en
Po las
P oposiciones
2 :4
y
l
.ll, odoabie o
de
Spec
P
A
es
de la
o maSpec
P
A -

(d),

con

d
E
A
.
Es
inmedia ocomp oba
que
(Spec
p A
-
(d)
o
)
n
X = X
-
d
.
Supongamos
aho aque exis e
c
e
A
al
que
La lá
inclusión
asegu a
(d)
O
c
(c)
o c

>
c
n
d
.
La
2"
inclusión
asegu a
:
si
x ¿ d

ix
=
S7
x
g'
(c),
4

3-
x
¿ c
y po an o
c c
:
d
.
De aquí
c
=
d
lo
que
demues ael
lema
.
P oposición
3
.5
:
Specp
A -

(d)
O
=)
Spec
p A -
(c)
.
=>X
-
d
Sea
X
un
espacio
noe he iano,
A
su
e ículo
de
ce ados
y
.R
un
haz
de
g upossob eSpecp
A
.Se
e i ica
:
(u-2)

=
P
(U
n
X,

J l
X)
,
pa a odoabie oU de Specp A
.
Demos ación
:
De inimos
el
mo ismo
de
g upos
:
P (U

A
.)

9
i (U
(1
X,
~R1
X)
s

-->
cp(s)
= s
+U
n
X
1/
cp
es
in ec i a
:
Sean
s
1 ,
s
2
E
(U

R)
alesque
ep(s
1)
=
cp(s
2
).
Dadoque
si
dos
secciones
coinciden
en un
pun o,
coinciden
en un en o no
;
y
que
U
es el
mínimo
abie o
de
Spec
pA
que
con iene
'a
U
n
X
-
lema
3
.6 -
se
sigue
:

s,
=52
.
2/
ep
es

epiyec i a
:

Sea

s'

e

(U
n
X,

al

X)
.

Si
x
E
U(1
V
exis eun
abie o
x
e
V(x)
de Spec
p A
y
una
sección
10
5
s e

( (x),J~)

al
que
s
x
(x)

=
s'(x)
.

Po
an o
las
secciones
x
s

1
(x)
n
X
y s'1
(x)nX
del
haz
.

,el
X

coinciden
en
un
cie o
x
abie o
w(x)
n
X
c
V(x)
n
X
.
Po abuso
de
no ación
segui emos
no ando
sa s
¡W(x)
.
x
x
La
si uación
es
aho a
la
siguien e
:
pa a cada
x
e
U n
x
exis e
un
abie o
x
'e
W
(x)

de
Spec

A y
s

e (W
(x)
,
.2)

al
px
que
s
x
jw(x)
n
X
=
s'
jw(x)
n
X
.
Po
el
Lema
3 .6
U =
U

W(x)
ydadoquees
cuasi,compac
xeunx
ya
que
po
de inición
s
x
.
Iw(x
i
)nw(x
j
)nx=s
x,
lw(x
i
)nw(x
j
)nx
i

J
i,7

=
l
. .
.n
;

y
po 1/
s
x
.
lw(x
i
)
nw(x
j
)
=sx
.Iw(xi)nw(xj
).
Co ola io
:
Sea
X
un espacio
noe he iano,A
su
e ículo
de
ce ados
y
.A
un
haz
de
g upossob e
X
.
Si
i
designa
la
inyección
na-
u alde X
en
Spec
p
A
se
e i ica
:
Co
mp obación
abie o
de
Spec
p
A
.
Todoabie o
de
X
es
de
la
o ma
UnXdondeU
es
un
En onces
:

(U n

X,

loa
,R
I

x)
_
(u,

i
*
S )

=

(un
x,
IR)
.
.
Teo ema
3 .6
:
Sea
X un espacionoe he iano,
A
su
e ículo
de ce ados
n
o,
exis en
x,,,
....
x
n
e
U
n
X alesqueU
=
U
W(x
i
) .
Las
i=1
a
e
(W(xi)
,J1
.)
de inen
aho a
una
sección
se (U,
.R)
:sjW(x
i
)=s
x
.
1
x
i
Demos ación
:
Com
obación
:
P oposición
3
.6
:
Demos ación
:
106
H
p
(Spec
p
A,2)
-Hn
(X,,21
X)
sigue
siendo sucesiónexac a
.
La
P oposición
3
.5
asegu a
:
V
n>_ 0
.
a)
los
haces
J(
.
11
X
son
" lasques",
y
R
un
haz
de
g upos
sob e
Spec
A
.
Se
e i ica
:
p
0
Sea
0

una
esolución
" lasque"
del
haz
R
.
0
Es bien
conocido
que
:
0
-

Q1 X
-~
,R

X
-~
9

`
X--~
b)
Al
oma
secciones
en
la
esolución
de R
y
en
la
e-
soluciónde
.R1X,
se
ob iene
el
mismo
complejo
di e encial
.
Es o
demues a
el
eo ema,
Co ola io
:
-
Sea
X
un
espacio
noe he iano,
A
su
e ículode ce ados
y
R
un
haz
de g upos
sob e
X
.
Se
e i ica
:
H
n
(X,
.R)
=H
n
(Spec
p
A,
i

0
.
x
Inmedia o
a
pa i
del
eo ema
an e io
y
del
co ola io
a la
P oposición
3.5
.
Sea
X
un
espacio
noe he iano
.
Se ecue da
que
pa a
-
un
al
espacio,
dim
k
X
designa
el
ex emo
supe io
de
las longi-
udes
de
cadenas
ini as,
es ic amen ec ecien es,de
ce a-
dos
i educibles
de
X
.
Si
dim
k
X
es
ini a,
se
e i ica
:
dim
X
<
dim
kX
.
Sea
A
el
e ículo
de
ce ados
de
X
.
El
eo ema
3
.6
y
su
co ola io
a i man
que dim
X
=
dim
Spec
p A
.
Dado
que
dim
kX =
dim
k A
-
como
se
comp ueba
ácilmen e
-
el
Teo ema
107
3
.5
demues a
la
p oposición
:
dimX = dim
Specp
A-<
dinil
A
~
dimk X
.