GRUPOS
LIBRES
PROFINITOS
Y
GR
AFOS
TOPOLOGICOS
In oducción
Luis
Ribes
Es as
no as,
cons i uyen
una
e sión
de allada
de
una
se ie
de
con e encias
dadas
en
la
Uni e sidad
Au ó-
noma
de
Ba celona,
en
ma zo
de 1977
.
La
mo i ación
p incipal
de nues o
abajo
es,
a
a
de
encon a
un
mé odo
gene al,
que
pe mi a
desc ibi
la
es uc u a
de cie os
subg upos
ce ados
de
g upos
p o
ini os
lib es
.
En
el
caso
de
g upos
disc e os,
Se e
y
Bass
[8
],
han
in en ado
una
eo ía
que
pe mi e
desc ibi
los
g upos
disc e os
que
ope an
sob e
á boles
(disc e os)
.
En
pa icula ,
demues an
que
un
g upo
disc e o
G
es
li-
b e,
si
y
sólo
si
G
ope a
lib emen e
sob e
un
á bol
.
Co-
mo
consecuencia,
ob ienen,
de
mane a
inmedia a,
la
es uc
u a
de
los
subg upos
de
g upos (disc e os)lib es
:
son
lib es
(Teo ema
de
Sch eie )
.
La
si uación
en
el
caso
p o
ini o
es,
po
ue za,
más
complicada
.
El
ideal
hubie a
sido,
pode a i ma
que
los
subg upos
ce ados
de
g upos
p o ini os
lib es
de
una
cie a
clase,
son
lib es
de
esa
clase
(po
ejemplo,pa a
la
clase
de
los
p o esolubles)
.
Pe o
és o
es,
e iden emen e,
also,
a
no
se
que
es emos
a ando
de
g upos
p o-p)
:
bas a
ija se
en
los
p-sub-
g upos
de
Sylow
del
g upo
dado
.
Su ge,
po
an o, el
p o
blema
de
de e mina ,
qué
subg upos
ce ados
de
un g upo
lib e
p o ini o
de
una
cie a
clase,
son
ambién
lib
Es
de
esa
clase
.
Pues
bien,
en
las
secciones
6-9,
de
es as
no as,
expongo
una
eo ía
de
g upos
p o ini os
que
ope an
de
ma-
ne a
con inua
sob e
cie o
ipo
de
g a os
opol6gicos,
que
pe mi e
da
una
espues a
a
es a
p egun a
,
en un
buen
núme o
de
casos
.
Es a
eo ía
es el
esul ado
de
una
colabo ación
con
Dion
Gildemhuys
[3]
.
En
las
secciones
1-5,
he
in oducido,
po una
pa
e,
las
de iniciones
y
esul ados,sob eg upos
p o ini
os,
que
son
necesa ios
pos e io men e
;
y
po
o a,
e
sul ados
que
si en
de
mo i ación
pa a el
es udio
de es
as
cues iones
.
Po
úl imo,
quie ohace pa en e
aquí
mi
ag adeci
mien o
a la
jo en
y
en usias a
Sección
de
ma emá icas
de
La
Uni e sidad
Au ónoma
de
Ba celona
po
1
su
acogida,
y,
en
especial,
a
los
P o eso es
ManuelCas elle
y
Pila
Báye ,
po
su
exquisi a
amabilidad
.
1
.
Lími es
p oyec i os
Sea
(I,5)
un
conjun o
pa cialmen e
o denado
di i-
gido

(
es
deci ,

impond emos
que
i,

j
e
I
=>
3
k
eI

con
k
_>
i,
j

)
.
Sean
G
,

ie
I,

g upos
opol6gicosindiciados
po
I,
y
supongamos
que
siemp e
que
i>_
j,
exis e

un
ho-
momo ismo
con inuo
e a
:
G
~
G,,
de
mane a
que
!Jk
~ j

=

~{
k
,
cuando
i>_
j
>k
.
Decimos
que los
g upos
G,,
jun o
con
los
homomo ismos
~ j
,
o man
un
sis ema
p o~
yec i ó
.
Un
g upo
opol6gico
G,
jun o
con
homomo ismos
con inuos
~
:
G

=,
G
,
es
un
limi e
p oyec i o
de
los
g upos
G
,
i e
I,
si
1)

~
i

~

=

~
J

,

cuando

i
>_
j

;
2)
Si
H
es
o o
g upo opol6gico,
1,
:
H

-,
G
(ie
I)

son
homomo ismos
con inuos
con
1
i
01
=
cuando
i
>
j,
en onces
exis e
un
único
homomo is
mo
con inuo

0
:
H

-->
G

con
y,
0,
=
~
(i
e
I)
.
Le
sigue
inmedia amen e
de
es a
de inición,
que
si
el
limi e
p oyec i o
exis e,
ha de
se
único
en
un
sen i
do
ob io
.
Veamos
que
siemp e
exis e
.
Sea
G
el
subg upo
del
p oduc o
ca esiano

II
G
que
consis e
en
aque
i
e
I
llos
elemen os
(g
)
ales
que

~,,
(g
)=
g,,
siemp e
que
i
>
j .

De inamos

~~

:

G

->
G,

como
la
es icción
a
G
de
la
p oyección
canónica
n
G
-i
G~
de la
opología
inducida
.
En onces
cada
~
i
es un
homo-
mo ismo
con inuo,
y
es
ácil
comp oba
que
G,
jun o
con
los
homomo ismos
~
,
es
el
limi e
p oyec i o
de
los
G
1 .
U iliza emos
la
no ación
G =
lim
G,,
donde
los
homomo ismos
que
in e ienen
es án
sob en endidos
.
Do amos
a
II
G
S
de
la
opología
p oduc o,
y a
G
ie
I
Es
impo an e
no a
que
G
es
un
subg upo
ce ado
de
2
.
G upos
p o
n
os
Sea
C
una
clasede
g upos
ini os
que
supond e-
mos
sa is ace
las
siguien es
condiciones
:
2
.1
.
Ejemplos
si
A
e
C,
y
B
es
un
subg upo
de
A,
en onces
B
g
C
;
(ii)

si
B
es un
subg upo
no mal
de
A,
y A
e
C,
en
onces
A/B
e
C
.
Di emos
que
un g upo opol6gico
G
es un
g upop o-C
,
si
es
limi e
p oyec i o
de
g upos
en
C,
donde
cada
g upo
A
eC
se
supone
con
la
opología
disc e a
.
1)
Si la
clase
C
consis e
en
odos
los
g upos
in¡
os,
un g upo
p o-C, se
denomina
p o ini o
.
2)
Si
C
es
la
clase
de
los
p-g upos
ini os,
donde
p
es
un
cie onúme o
p imo, un
g upo
p o-C,
se
denomina
p o-p
.
3)
Si
C
es la
clase
de
odos
los
g upos
ini os
e
solubles,
un
g upo
p o-C,
se
denomina
p o- esoluble
.
4)
Sea
G
un
g upo
cualquie a
.,
y
sea
C
una
clase
de
g upos
ini os,
que
sa is aga
las
condiciones
(i)
y
(ii)
.
En onces,
la
compleción
p o-C
de
G

es el
g upo
p o-C,
2
.2
.
Teo ema
Demos ación
:
donde
N
a ia sob e
los
subg upos
no males
de
G
ales
queG/N
e C
.
Un
g upo
p o-C
es
compac o,
Hausdo
y
o almen e
discon inuo
.(To almen e
discon inuo
signi ica
que
la
com
ponen e
conexa
de
cada
pun o
consis e
solamen e
en
ese
pun o)
.
Digamos
que
G =
lim
G
1 ,
donde
G,
e
C
.
Como
hemos
F
is o,
G
es
un
subg upoce ado
de
l
G
;
pe o es e
ieI
g upo
es
compac o,
Hausdo y
o almen e
discon inuo,
pues o
que
cada
G
lo
es
.
De donde
se
sigue
que
G
am-
bién
lo
es
.

2
.3
.
Se
puede e ina
más
el
eo ema
2
.2
:
si
U
es
un
sub
g upo
no mal
abie o
de
G,
en onces
G/U
e
C
.
Bas a
no a
que
el
conjun o
ke
j,,
(ie
I),
es
una
base undamen al
de
en o nosabie os
de
l
.
Digamos
que
U
:D
ke ~
l
.
En onces
G/U
es un
cocien e
de
G/ke
~
que
es
un
elemen o
de
C,
y
po
an o
G/U
E
C
.
2.4
.
Teo ema
Recíp ocamen e,
si
G
es
un
g upo
opológicocompac o,
Hausdo
y
o almen e
discon inuo,
de
mane a
queG/U
eC,
pa a
odo
subg upo
no mal
y
abie o
U
de
G,
en onces
G
es
p o-C
.
Demos ación
:
Los
subg upos
abie osno males
de
al
g upo o man
una
base
undamen al
de
en o nos
de
G
(c
.
[6],
p
.
56)
.
Sea
l,(
el
conjun o
de
odos
esos
subg upos
.
Conside a emos
a2L
.como
un
conjun opa cialmen eo denadodi igido
median e
la
e-
lación
U
>V a
U
:
V
Con
cada
elemen o
U
e%(,
asociamos
el
g upo
G/U
E
_C
.
Si
UcV
conside emos
la
p oyección
canónica
po
G/U,
(U
e
Veamos
que
.
:
G/U
-~
G/V
.
Podemos,
pues,
o ma
el
limi e
p oyec i o
de
los
g u-
Conside emos
el
homomo ismo
con inuo
G

-~

1
im
G/U
F
-
inducido
po
los
homomo ismos
na u ales
Úu
=
G
->
G/U
.
Es á
cla o
queke
=
n
U
= 1
.
Pues o
que
cada
1
.
es sob e,
eamos
que
ambién
lo
es
.
Pues o
que
G
es
compac o,
~(G)
ambién
lo
es
.
Bas a,
pues,
demos a
que
*(G)
es
denso
en
lim
G/U
.
F
Un abie obásicode
lim
G/U

iene
la
o ma
F
W

=

(1
im
G/U

)
n
[ (

II

G/U)
xa,
U,
xaz
U
2
x
.
.
.
xa
U
]
-

U7¿
U
S
,
. . . .
U
donde

a
l
e
G
.
Sea
V
Supongamos
que
W
7
¿
~~,
y
sea

(a
u
U)
e
W
.
En onces
¿
u
l

(a


V)

=
a,

U,

(i
=
1,
. .

,
)
.
(Hemos
iden i icado
a
l
con
a
u,
) .
En onces
3
.
G upos
de
Galois
3 .1
.

Sea
Kikuna
ex ensión
de
cue pos
algeb aica,
no mal
y sepa able
(
es
deci
una
ex ensión
galoisiana),
y
sea
G =
G(K1k) su
g upo
de
Galois,
es
deci
el
g upo
de
los
au o
mo ismos
de
K
que
dejan
ijos
los
elemen os
de
k
.
Si la
ex ensión
KIk
es
ini a,
sabemos
que
exis e
una
co esponden
cia
biuní ocaen e
los
cue posin e medios
de
la
ex ensión
y
los
subg uposde-G
.
Es a
co espondencia
es á
dada
po
el
siguien e
pa
de unciones
in e sas
:
~
y
de inidas
así
:
a
un
subg upo
H
de
G
le
asociamos
el
cue poin e medio,
L =
,),
(H)
=
{
x
e
K
I
a
(x)
=
x,
V
a
e
H
} ;
y
a
un
subg upo
in e medio
L
le
hacemosco esponde
el
sub
g upo
de
G
H =
`~
(L)
=
{
a
e
G
1
a
(1)
=

1, !/le
L
}
.
(Véase,
e
.g
.,
[9],
p
.
80)
.
Si
aho asuponemos
que
la
ex ensión
KIk
es
in ini a,
es
ácil
encon a
ejemplos
que
mues an
que al
co espondencia
no
exis e,
en
es a
o ma
an
gene al
.
De
hecho
puede
muy
bien
ocu i
que
la
unción
1
que
acabamos
de
de ini ,
asigne
el
mismo
cue po
a
dos
subg upos
dis in os
de
G
.
Puede e seun
ejemplo
de es a
si uaciónen
[7],
p
.
3)
.
Si
bien
la
unción
$
no es
inyec i a,
la
unción
~
sí
que
lo
es,
como
se
deduce
del
siguien e
esul ado
que
es
inmedia o
:
L,9 (L)
=
L,
pa a odo
cue po
in e medio
L
.
Podemos,
po
an o,
deci
que
exis e
una
co espondenciabiuní o-
ca
en e
el
conjun o
de
los
cue pos
in e medios
L
de
la
ex ensión
KIk,
y
los
subg upos
de
G
de
la
o ma
~(L)
.
Es a
a i mación,
ob ia,
no
end ía
mucho
in e és
a
no
se
que
pudie amos
ca ac e iza
los
subg upos
~(L)
de
G
de
alguna
mane a
más
na u al
.
Pues
bien,
demos a emos
más
adelan e,
que
los
subg upos
I(L)
son
p ecisamen e
los
subg upos
ce ados
de
G,
cuando
aG
se
le
conside a
como
un g upo
opol6gico
con
la
opología
que
de ini emos
a
con inuación
.
3
.2
.

Conside emos
la
colección
{K,
I
ie
I}
de
odos
los
subcue pw
de
K
queson
ex ensiones
galoisianas
ini as
de
k
.
Tenemos
en onces
que
y
es
inmedia o
que
mal
en
G,
y
(i)
cada
uno
de
los
g upos
de
Galois
G(KIK
1
)
es
no -
(ü)

n
G(KIK,)
=
1
.
ieI
Po
an o
(c
.
[1],
p
.
222)
.
los
subg upos
G(KIK
S
),
de e minan
un
sis ema
undamen al
de
en o nos,
que
hacen
de
G
un g upo opol6gico
.
Es a
opología
que
acabamos
de
de ini ,
se
denomina
la
opología
de
K ull
del
g upo
de
Galois
G
.
De
aquídeducimos
que
la
ó bi a
de
,
bajo
la
acción
de
G,
es
ini a
.
Digamos
que
son
los
dis in os
elemen os
de
esa
ó bi a
.
Conside emos
el
polinomio
Bajo
la
acción
de
G,
es e
polinomio
se
ans o ma
en sí
mismo
.
Po
an o
sus
coe icien espe enecen
a
k
.
De
aquí
deducimos
que
KIk
es
una
ex ensión
algeb aica
.
Pues o
que
las
aices
de
P(X)
son
dis in as,
KIk
es
sepa able
.
Los
conjugados
de
es án
en e
los
elemen os
1, 2,
. .
. n, y
po
an o
pe enecen
a
K,
i
.
e
.,
KIk
es
una
ex ensión
no
mal
.
Es
deci
KIk
es
galoisiana
.
Po
cons ucción
G
es
un
subg upo
deG(Klk)
.
Es a
inclu-
sión
es
una
unción
con inua
.
Pues,
supongamos
que
lo
an o
=
i .
2
.
n
P
(X)

=

(X
-

1 )

(X
-
2
)

. . .

(X
-

n).
K,

=

k
(ai
'C12
' -
-

,
CL. )
es
una
subex ensi6n
ini a
galoisiana
de
KIk
.
En onces
s
G(K,Ik)n
G
?
n
G
i=1
a,
s
Pe o
como
acabamosde
e
~~
G

es
abie oen
G,
y
po
i=1
a,
G
(K
, 1
k)

n
G

ambién
lo
es
.
Pues o
que
G
iene
la
opología
inducida
po
G(K1k),
y
pues o
que
G
es
compac o,
enemos
que
G
es
ce ado
en
G(KIk)
.
Po
o a
pa e
k
es el
cue po
de
elemen os
ijos
an o
de
G,
como
de G(KIk)
.
Tenemos
pues,
po
el
Teo ema
3 .6,
que
G =
G(K1k)
.
3
.8
.
Ejemplos
1)
Sea
IF,
el
cue po
con
1
elemen os,
donde
1
es
un
nú-
me o
p imo,
y
sea
IF,
su
clausu a
algeb aica
.
Pa a cada
nú-
me o
na u al
n,
exis e
una
única
ex ensión
IF
I
(n)
de
IF,
de
g ado
n
.
Cla amen e,
Tenemos,pues,
que
p-ádicos
.
G(IF
(n)
I
IF
)
z

Z

/ n

Z,
(el
gene ado

1+
n Z

se
hace
co esponde
con
el
F,-
au o-
mo ismo
de
IF
(n)

dado
po
T
(x)

=
x1)
.
G
(IF
I
F)

lim

Z/

n Z

=

Z
2)
Si
1
y p
son
núme os
p imos
y
IFa
la
unión
de
odas
las
ex ensionesde
IF
de
g ado
p",
en onces
G
(F

I

IF)

z

1
im

Z/p°
Z
=

Z
F

D
Nó ese
que
Z
D
es el
g upoadi i o
del
cue po
de
los
núme os
1
7
4
.
G upos
lib es
4.1
.
Deno emosmedian e
B

( espec i amen e
BP
)
la
ca-
ego ía
de
los
espacios
de
Boole
(es
deci ,
espacios
opoló
gicos
compac o's,
Hausdo
y
o almen e
discon inuos),
y
unciones
con inuas
( esp
.
la
ca ego ía
de
espacios
opoló
gicos
de
Boole
pun eados
y
unciones
con inuas
que
p ese -
an
los
pun osdis inguidos)
.
Sea
C
una
clasede
g upos
ini os
que
sa is aga
las
condiciones
(i)
y
(ii)
de
§ 2
.
Dadoun espacio
X
e
B
,
un g upo
p o-C
F y
una
unción
con inua
di emos
que
(F,,1),
o
simplemen e
F,
con
unción
n
sob en en
dida,
es
un g upo
lib e
p o-_C
sob e
X
,
si
pa a
cualquie
uncióncon inua
donde
G
es
un g upo
p o-C,
exis eun homomo ismocon inuo
único
con
n
=
u
,
Es
e iden e
que
si
al
g upo
lib e
exis e,
ha de
se
único
en
el
siguien e
sen ido
:
si
(F',
T)
')
es
o o,
exis e
un
únicoisomo ismocon inuo
~
:F
.-,
F'
con
~n
=TI'
.
U iliza-
emos
las
no aciones
(F
C (X), ,1
)
o F
C
(X)
o
F(X) pa a
e e i nos
al
g upo
lib ep o-C
sob e
X
.
Nó ese
que
F
es
un
un o
de
adjun o
po

la
izquie da
del
un-
18
C
la
ca ego ía
de
g upos
p o-C
.
De
hecho,
FC
es el
un o
o
subyacen e
que
asigna
a
cada
g upo
p o-C
su
subyacen
e
espacio
opol6gico
.
Si
conside amos
a
los
g upos
p o-C,
como
espacios
pun eados,
dondeun pun o
dis inguido
es el
elemen o
¡den
idad,
en onces
de inimos
el
un o
F
C
( ambién
deno a
do
F)
de
BP
a
la
ca ego ía
de
g upos
p o-C,
como
el
adjun o
po
la
izquie da
del
un o
subyacen e
.
Decimos
que
F(X,j
;)
( ambién
deno ado
P(X))
es
el
g upo
lib e
p o-C
sob e
el
espacio
pun eado
(X,a~)
con
pun o
dis-
inguido
k
.
Tenemos
pues
la
siguien e
p opiedad
uni e
sal
esquema izada
en el
siguien e
diag ama
:
(X,*)

-Ti
>

F(X,*)
donde

1,
U 1
=
4
.2
P oposición
Las
unciones
canónicas
son
monomo ismos
.
G
X

-a

F
(X)
,

o

n

:

X

--i

F
(X)
Demos ación
:
Sean
x
y

dos
pun os
de
X
.
Sea
G
un
g upo
en
C
con
IGI
>
1
.
En onces
exis e
una
unción
con inua
.
XG
con
U(x)
~,(y)
(es o
se
sigue
del
hecho
que
de
odo
espacio
de
Boole
X

admi e
abie os
y
ce ados)
.
Sea

:
F(X)
el
co espondien e
homomo ismo
.
En onces
de
gueque
U(x)
9
i i
:(y),
es
deci
que
,y
es
1-1
.
4
.3
.
Teo ema
.
F(X)
exis e ( espec i amen e,
P(X)
exis e)
.
y
la
opología
una
base
de
conjun os
-~
G
(o
U
:
F
(X)

G)
se
si-
Demos ación
:
Sea
D
el
g upo
lib e
abs ac o
sob e
el
conjun o
X( es-
pec
.
X
{*},
donde
,F
es el
pun o
dis inguido
de
X)
.
Sea
el
conjun o
de
los
subg upos
no males
N
de
D
ales
que
(i)
D/N
e
C
,
(ii)
N
n
X

es
abie o
en
X
(en
el
caso
pun eado,
se
iden i ica
con
1 e
D)
.
Pongamos
F
(X)

=

lim

D/N
F
N
e
J~
( espec
.
F(X)
=
1im
D/N)
F
NeJV
Sea
Tl

:

X
---->
F
(X)
2
0
( espec
.
B

:

X
-
.
.,
F
(X)
) ,
la
unción
con inua
na u al
.
Se
comp ueba,en onces,
con
acilidad
que
(F
(X)
,
T1)
( espec
.
(F
(X)
, ,
n))
,
es un
g upo
lib e
p o-C sob e
X
( espec
.
sob e
el
espacio
pun eado
X)
.
5
.
Es uc u a
de
los
g
upos
lib es
5.1
. .
Sea
X
un
espacio
de
Boole
.
Conside emos
el
conjun o
R
de
odas
las
elaciones
de
equi alencia
en
X,
de
mane a
que
X/R,
con
la
opología
cocien e,
sea
un
espacio
ini o
disc e o
;
es oequi ale
a
deci ,
que
cada
clasede
equi a
lencia
xR
(de e minada
po
el
pun o
x
e X) es
un
conjun o
abie o
y
ce ado
.
El
conjun o
'
R
no
es
acío,
pues o
que
los
subconjun os
de
X
abie os
y
ce ados
o man
una
base
pa a
la
opología
de
X
.
Las
unciones
con inuas
canónicas
inducen
una
uncióncon inua
X
-,
lim
X/R
F
R
(Nó ese
que
R
es á
o denado
así
:
R
<
R'
si
y
sólo
si
xRx'
=
:>
xR'x')
.
Pues o
que
cada
IR
es
una
unción
sob e,
se iene
que
I(X)
es
denso
en
lim
X/R( e
el
azonamien o
en el
eo ema
2
.4)
E
y
pues o
que
I(X) es
ce ado,
I
es
sob e
.
Po
o a
pa e,
es 1-1,
pues
dados
x
~
y
en
X,
sea
U
un en o noabie o
y
ce ado
de
x
que
excluya
a
y
.
Conside emos
la
elación
21

R
U
que
iene
como
clases
de
equi alencia
U y
X-U
cla amen e
5.2
.
Lema
~R

(x)

'-,

~
R

(Y)
.
U

U
de donde

~
(x)
y¿
~~
(y)
.
Hemosdemos ado
po
an o
el
siguien e
esul ado
Todoespacio
de
Boole
es
lími e
p oyec i o
de espacios
ini os
.
El
siguien e
eo ema
exp esa
los
g upos
lib es
sob e
cualquie
espacio,
en
é minos
de
g upos
lib es
sob e
es-
pacios
ini os
.
Cada
unalas
unciones
w

_nd
,

.,
. .
homomo ismo
con-
R'
inuo
que
deno amos ambién
po
~R
~
R
:

F
(X)

-
F
(X/R)
Si
R_>
R',
exis e
un
epimo ismo
inducido,
1
RR'

F
(X/R)

-~
F
(X/R'
)
Ob enemos,
po
an o,
un
homomo ismo
con inuo,
~
:F(X)

-,
lim
F(X/R)
.
1
es
cla amen e
sob e
.
Pa a
e que
~
es
1-1
bas a áde ini
un
homomo ismo
con inuo
lim
F
(X/R)

-
j

F
(X)
al
que

sea
la
iden idad
de
F(X)
.
Dado
un
subg upo
abie o
U
de
F(X),
de inamos
una
elación

RU
en
X
de
la
o ma
siguien e
:
esul ado
.
5
.3
.
Teo ema
-1
x RUy

ax

y
EU
.
Es á
cla o
que
R
U
ER,
y
la
inclusión,
X/RU
(-
,
F(X)/U,
induce
unciones
con inuascompa ibles
l
¡m
F
(X/R)
-~
F
(X/R
U
)
-~
F
(X)
/U,
y
po
an oun
homomo ismo
Aho a
bien,
del
diag ama
lim
F
(X)
/U

=

F
(X)
.
lim
F(X/R)

F

F
(X)
I

~

I
u
F(X/R
U
)

`
F(X)/U
,
se
deduce ácilmen e
que
pa a
cada
U,
UV
i
~
~
=
PU
,
y
po
Todog upo
lib ep o-C
es el limi e
p oyec i o
de
g u
pos
lib es
p o-c sob e
espacios
ini os
.
an o
~~
=
1F(X)-

Hemos,
pues,
demos ado
el
siguien e
Esencialmen e
la
misma
demos ación
nos
p ueba
5.4
.
Teo ema
6
.
G a os
de
Boole
6
.1
.
Un g a ode Boole

consis e
en un
pa
de
uncio
nes
con inuas,
6
.2
.
Ejemplos
X
í
,
en onces
F(X)
=
lim
F(X~)
.
d
o
A
( )

V( )
d
i
d
o
(a)

es
el
o igen
de
a

y

d
i
(a)
es el
pun o inal
de
a
en e
los
espacios
de
Boole
A( )

y
V( )
.
El
espacio
A( ) es
el espacio
de
las
a is as
(o ien adas)
de
.
Si
aCA( ),
1)
Todo
g a o
ini o (o ien ado)
es
un g a o
de
Boole
.
E
.g
.,
la
siguien e
igu a
ep esen aun
g a o
de
Boole ini o
:
2)

Sea
G
un
g upo
p o ini o,
y X
un
subconjun o
ce adode
G
.
De inamos
un
g a o
de
Boole
=
(G,'X)
asociado
a
G y
X
de
la
o ma
siguien e
:
V( )
=
G
(como
espacio
opológico)
;
A
(P)
=Gx
X
(con
la
opología
p oduc o)
;
si
(g,x)
E
Gx
X,
pongamos
d
o
(g,x)
=
g,
y d
l
(g,x)
= g x
.
Es
e iden e
que
las
unciones
así
de inidas,
(e,a)
d
i
son
con inuas
.
E .g
.,
si
G
es el
g upo
simé ico
S
3
=
{a
=

(1,
2)
,
p

=

(1
2
3)
,
e
=(1)
,
ap
=
(2 3)
,
ap2 =
(1 3)
}
,
y
X
=
{n,E1},
en onces
(G,X)
es
el
g a o
a
p2
V
nn
Z
= U
.
Si
los
g upos
A y
B
son
ini os,
podemos
des
compone los
en sumas
di ec as
de
sus
p-componen es
.
Po
an
o
podemossupone
que
ambos
g upos
A
y
B
son
p-g upos
i-
ni os
.
Si
p
di ide
el
o den
de
algúng upoen
C,
en onces
A,
B
e
C,
y
po
an ocoinciden
con
su
compleción
.
Si
p
no
di ide
al
o den
de
ningún
g upo
en
C,
en onces
las
com-
pleciones
de
A
y
B
son
i iales
.
6
.11
Nó ese
que,
po
la
p oposición
6
.9,
el
concep o
de
C-aciclicidad
es
independien e
de
C,
en el
caso
de
que
el
g a oconside ado
sea
bienun
g a o
ini o
o
bien
el
lími
e
p oyec i o
de
g a os
C-acíclicos ini os
.
Ve emos
más
adelan e
(Teo ema
7
.6)
que
en
gene al,
el
concep o
de
acicli
cidad dependede
C
.
6
.12
Dado
un
espacio
de
Boole
X,
el
homomo ismo
6
.
13
Lema
:

C¡
(X)

--
a

ZC
32
de e minado
po

c
(x)
=
1

V
x
E
X,
se
denomina
homomo ismo
de
aumen ación
.
Su
núcleo,
ke
s
,
se
deno a
median e
I
.
x
Desc ibi emos
p ime amen e
gene ado es
opol6gicos
pa-
a
el
g upo
I
.
Necesi amosan es
algunas
obse aciones
.
x
En
la
ca ego ía
de
g upos
abelianos ini amen e
gene-
ados, el
un o
C-compleción
es
exac o
.
Demos ación
:
Sea

una
sucesión
exac a
de
g upos
abelianos ini amen e
gene a-
dos
.
Conside emos
la
co espondien e
sucesión
de
g upos
abe
lianos
p o-C
:
donde
-
deno a
la
compleciónp o-C
.
Ya
hemos
is o,
en el
lema
6 .10,
que
ep
es
un
monomo ismo
.
Bas a
pues
e que
Ú
es el
conúcleo
de
~
.
Supongamos
que
A
-L
.
.
K
sea
el
conú-
cleo
de
cp,
en
la
ca ego ía
de
g upos
abelianos
p o-C
.
Pues
o
que

0,
exis e
un homomo ismo
con inuo
n
:
K
-
.
.,
C
alque
7
,1=
p
.
6
.
14
P
oposición
0
,
A
!
B-
J1-,

o
0
-,
A
-
C
L->
B
-~
C
'
0
0
--,
A
'
-,
B
-
-
"
C
Po
o a
pa e,
pues o
que

S
cp
=
0,
exis e

b
:
C
--+
K
con
6
ji,
=
pR
.
Sea

S
:
C
-,
K

el
homomo ismo
con inuo
induci
do
po
6
.
Es
ácilcomp oba
que
ny5
son
isomo ismos
in
e sos
.
Si
X
es
un
espacio
de Boole,
en onces
2
X
es el
subg u-
po
ce ado
de
(9,(X)
gene ado
po los
elemen os
{x -y
I
x
.
y
e
X}
.
De
hecho,

I
X
es el
g upop o-(C-abeliano)

lib esob e
{x
-
x
o
Ix
E
X},
donde
x
)
es
un
elemen o
ijo
de
X
.
Demeos aci6n
:
Sea
R
una
elación
de
equi alencia
en
X
abie a
y
ce-
ada
(es
deci ,
las
clases
de
equi alencia
de
R
son
abie_
as
y
ce adas
en
X)
.
Tenemos
en onces
un
diag ama
conmu a
i o
con
ilas
exac as,
e
o
---~
I
X

:
a(X)

z

o
.
e

_
o
--->
I
X/R
---~

0,(X/R)

zc

-

'
.
o
.
Po
el
Teo ema
5
.4,
lim
0-(X/R)
=
am
.
Po
o a
pa e
el
un o
lim
es
exac o
(c
.
[7],
p
.
35)
.
Tenemos
pues
que
F
I
X
=
lim
I

Po
an obas ademos a
nues o
esul ado
<-
X/R
cuando
X
es
un

espacio
ini o
.
Aho a
bien,
po
el
Lema
6 .13, I
es
la
C-compleci6n
de
ke
c
l,
donde
X
e,
:
L(X)
__+
Z
,
es el
homomo ismo
de
g upos
abelianos
di_s
c e os
dado
po
E
1
(x)
=
1,
Vx
e X,
y
donde
L(X) es
el
g upo
lib e
abelianodisc e o
sob e
X
.
Pe o
es
bien
sabido
(e
inme
diá o),
que
ke
e
l
es
el
subg upo
de L(X)
gene ado
po
{x
-
y1
x,

y
e
X}
.

Como

I

es

la
clausu a
de
ke
e
l

en

a
(X),
X
enemos
la
p ime a
pa ede nues o
esul ado
.
Pa a
demos a
la
segunda
pa e,
supongamos
p ime o
que
X
es
ini o
y
sea
x
o e
X
un
elemen o
ijo
.
Es ácla o
que
ke
e
l
es
un g upoabeliano
lib e
(disc e o)
sob e
{x -
x
o
1
x
E
X
}
.
.Aho a,bien,
po
el
.
Lema
.
6,
.,13,
_la
C-cumple
i_
ci6n
de
ke
.E~

coincide
.con
el
-subg upo
ce ado
de-a
.(X),
_
:
.
gene ado
po
.
{x
-
;
x,

:x
E_X

:Pe o
la
C-compleci6n,de
,ke
.,e
;,
es el
g upo
p o-
(C-abeliano)

lib e sob é
-{x' -x
. .~I

x
"
E
"
X
:}
El
esul ado
en
el
caso gen al,
es
deci cuando
X
es un
es
pacio
de
Boole

cualquie a,
se
'ob iene
del
caso
ini o
o
mando
el
limi e
p oyec i o
.
6
.15

Di emos
que
un
g a o
de
Boole
,
sucesión
es
exac a,
es
deci
6
.16
Lema
á
a
(A
( )~)

d
>
Q'( (F)
)
-&
)
-
d
(
a(A
( )
)
=IV( )

'
Un g a o
ini o
es
C-conexo
si y
sólo-si
es
conexo
en
el
sen ido
o dina io,
es
deci ,
si
dos
cualesquie a
de
sus
é icesse pueden
uni
po
mediode
un
camino
en-
.

-
-
Demos ación
:
Supongamos
que
es
conexo
en el
sen ido
o dina io,
y
sean

J, 2
E ( )
.
Sean
a,,a2""'
a
las
a is as
consecu i as
de un
cami
no
de
^
a

.
.

En onces
2
- ,=

(-1)
6l

d
(a
l )

+

(-1)'2

d
(a
.)
_
+
+
"
-"
+
(
-1)I
d(a
),
donde
¬
1
=
0,
1
según
sea
necesa io
.
Es
o
demues a
que
d(a(X))
=
I
V( )
'
Recíp ocamen e,
suponga-
mos
que
es
C-conexo
.
En onces
d(C¿(A( ))
=I
V(
) .
Dado
un
é ice
ijo
,)
y
un
é ice
cualquie a
,
necesi amos
demos a
que
exis e
una
sucesión
ini a
de
a is as
a
l ,
a
2
,..

,
a
de
mane a
que
-V
O

d(a
),
i=1
donde
e
l
=
0,1
.
Si
al
sucesión
de
a is as
no
exis ie a
pa a
cie o
i ,
en onces
I ( )
es a ía
con enido
en el
subg u
po
ce ado
de
a(V(]-»
gene ado
po
{
-
o
I
e
V( ),
l
}
.
Pe o es e
subg upo
no
con iene
a
i
-
.,
pues o
que
el
sub
g upo
ce ado
de
Ü_(V( )),
gene ado
po
{ - o
1
e
V( )},
es
lib e
p o-(C-abeliano)
sob e
esa
base
( e
la
P oposición
6
.14)
.
6
.
17 P
oposición
Pa a
un
g a ode
Boole
,
el
concep o
de
C-conexión
es
independien e
de
la
clase
C
.
Demos ación
:
Po
el
Lema
6
.16,
el
esul ado
es
cie o
pa a
g a os
i-
ni os
.
Los
epimo ismos
de
g a os
de
Boolep ese an
la
C-co-
nexión
.
Todog a o
es el
limi e
p oyec i o
de
g a os
ini os
( e
P op
.
6
.4),
que
desde
luego
son
imágenes
epim6 icas
de
.
Po
o a
pa e, el
limi e
p oyec i o
de
g a os
C-conexos
es
C-conexo
.
Teniendoen cuen a
es a
p oposición,
de
aho aen
adelan
e
u iliza emos
el
é mino
de
g a o
de
Boóle
conexo,
en
ez
de
C-conexo
.
6
.18
__
P oposición
Sea
G
un g upo
p o ini o,
y
X
un
subconjun o
ce ado
de
G
.
En oncesel g a o
de
Boole
=
(G,X)
es
conexo
si
y
sólo
si
X
gene a
a G
opológicamen e
.
Demos ación
:
Si
G
es
un
g upo
ini o,
la
p oposición
es
inmedia a
.
Si
U
es
un g upoabie o
no mal
de
G,
deno emosmedian e
X
U
la
imagen
canónica
de
X
en
G/U
.
El
conjun o
X
gene a
a
G
opológicamen e
si
y
sólo
si
pa a
cada
U,
el
conjun o
XU
gene a
a
G/U
.
Po
úl imo,
(G,X)
=
lim
(G/U,
X
U
) .
E
El
esul ado
se sigue,
po
an o, de
1)

el
limi e
p oyec i o
de
g a os
de
Booleconexos
es
conexo,y
2)

la
imagen
de un
g a ode
Booleconexo
es
conexa
.
6
.19

Se
dice
que
un g a ode Boole
es
un C-á bol
si
es
a la
ez
conexo
y
C-acíclico
.
Es
deci
si
la
siguien e
sucesión
de
g upos
p o-(C-abelianos)
es
exac a
o

-~,
Q
(A
( )
)

d
-+

CL
(
( )
)
7
.
Ca ac e ización
de
los
g upo
s
lib es
p o-
37
Sea
H
un g upo
lib e
disc e o
y
X
un subconjun o
de
H
.
En onces
Bass
y
Se e
~81,
demues an
que
H
es
lib esób e
X
si
y
sólo
si el
g a o
(H,X)
es un
á bol
(disc e o)
.
La
si uación
en el
caso
p o ini o
no
es,
desg aciadamen e,
an
simple
.
Sin
emba go,
si
nos
es ingimos
a
cie as
clases

C,
e emos
que
ob enemos
un esul adoanálogo
.
Necesi amos
p ime amen e
una
se ie
de
concep os
.
Si
G
es un
g upo
p o-C,
el
g upop o-(C-abeliano)
G,(G)
es,
de
hecho,
una

ZC
-álgeb a
donde
su
es uc u a
mul iplica i a
es á
de e minada
po las
de

Z C

y G
.
Cuando
nos
e i amos
a
es e álgeb a,
u iliza emos
la
no ación

a_2(G)
.
De mane a
especi ica
donde
(G)

=

l¡m

Z C
[
G/U]
.
ZC
[G/U]
deno a
la

ZC
-álgeb a
del
g upo
G/U
.
El
ál-
geb a

W
(G)
posee
una
opología
na u al,
y
con
espec o
a
ella
es
una
Z
C
-algeb a
una
de inición
p ecisa)
.
Sea
PM
la
ca ego ía
de
los
Clj(G)-
m6dulos opol6gicos
A,
ales
que
A
sea,
al
mismo
iempo,
un
g upo
abeliano
p o-C
(és a
es
p ecisamen e
la
ca ego íade
los
(,¿£(G)-módulos
pseudocompac os
[2],
y
[4],
p
.
61)
.
7 .1
Lema
Sea
G
un
g upop o-C
.
En onces
De
(G,
M)
;z~
Hom
pa a odo
M
c
pm

,
donde
De (G,M)
es el
g upo
abeliano
de
las
de i acionescon inuas
pseudocompac a
(c
.
[29,
pa a
(es
deci ,
d(u, )
=u
d( )
+
d(u),
pa a odo
u,
eG)
.
Demos ación
:
Ve emos
que
exis enhomomo ismos
in e sos
De

(G,M)

Hom
6U
(G)

(I
G
,

M)
.
Po
el
lema
6
.14,'
I
G
es
el
g upo
abeliano
p o-C
lib e
sob e
{g - 1
1
g
e
G
}
.
Si
d
e
De
(G,M),
pongamos
¿(d)
=
,
donde
(g
-
1)
=
d(g)
.
Se
comp ueba
acílmen e
que
e
Hom
CÁ
.P
(G)
(IG,M)
.
Si
e
HomOLQ(G)
(I
G
,
M),
pongamos
Y
( )

=
d,

donde
d
(g)

=
(g
-
l)
.

En onces
d

e
De

(G,M),
yy
son
homomo ismos
in e sos
.
7
.2
.
Si
A
es
un

~U(G)-módulo
pseudocompac o,

e
Y
;
un espacio
de
Boole,
decimos
que
A
es
lib e
sob e
Y

(con
es
pec o
a
una
uncióncanónica

Í
:
Y
,
A)
si pa a
cada
QQ(G)-módulo
pseudocompac o
B
y
cada
uncióncon inua
¢
:Y
,
B,
exis eun
único
homomo ismo
de
módulos
-~
:
A
-,
B,

con
y
Si
A
y
B
son
dos
g upos
abelianos
p o-C,
se
de ine
su
p oduc o
enso ial
comple o
A
®
ZB

= A 0
B,
como
el
g u
C
po
abeliano
p o-C
que
sa is ace
la
p opiedad
uni e sal
si-
guien e
:
exis e
una
unción
bilineal
A
X
B , A
®
B
,
(a,b)
F--4
a
®
b,
y
si
M
es
un g upo
abeliano
p o-C,
y
:
AXB ~
M
es
una
unción
bilineal,
exis e
un únicohomo
mo ismo
con inuo
:
A
®
B

M
,
al
que
(a(9
b)
=
(a,b)
.
Es
inmedia ocomp oba
que
A
®
B
exis e
y
de
hecho
A
®
B

=

1
im

(A
/U
®
B/V)
,
F
-
U,V
donde
U,
V
a ían
sob e
el
conjun o
de
subg upos
de
A y
B
espec i amen e
.
Nó ese
que
si
X
e
Y
son
espacios
de Boole,
en onces
7
.3
Lema
CL(X
X

Y
)

=

a
(X)

®

a(
Y)
.
Sea
X
un
espacio
de
Boole
( espec
.
un
espacio
de
Boole
pun eado)
y
F(X)'elg upo
lib ep o-C sob e
X
( espec
.
F(X)
el
g upolib ep o-C sob e
el
espacio
pun eado
X)
.
En onces,
(i)
I
F(X) es el
QQ(G)-módulo
pseudocompac o
lib esob e
el
espacio
pun eado
{
x -
11
x
E
X
})
;
(ii)
IF(X)
es el
g upoabeliano
p o-C lib esob e
el
espaci_n
F(X)
X
X
con
espec o
a
la
unción
canónica
n
:
F(X)X
X
->
IF(X),
P
dada

po

TI
(
,

x)

=

x
-

.
Demos ación
:
Expond emos
la
demos aciónsolamen e
pa a
el
caso
en
que
X
es
no
pun eado
.
El
o ocaso
es
simila
.
Sea
M
un 0Q(F(X))-módulo
pseudocompac o,
y
sea
X
.
.>
M
una
unción
con inua
.
Pues o
que
M
es
un g upo
p o-C,

p
induce
un homomo ismo
con inuo,
F (X)
-,
M,
que
a
su
ez
induce
un homomo ismo
con inuo,
p

:

F (X)
_
.
a
Mx
s
F(X),
dado
po
P
( )

( ),
)
.
(M
x
S
F(X)
es
el
p oduc o
semidi ec o,
donde
F(X)
ope a sob e
M
a
a és
de
W(F(X))
.)
Aho a
bien,
la
composición,
con
_

d
:
F
(X)
?
M x
S
F(X)
-,

M,
donde
nes la
p oyección
canónica,
es
una
de i ación
con i-
nua
como
se
comp ueba ácilmen e
.
Po
el
Lema
7
.1,
d
de e -
mina
un
aQ(F(X))-homomo ismo
con inuo
d

(x
-1)

=
d
(x)

=

p
(x)
.
Es
deci ,
enemos
un
diag ama
conmu a i o
IF
(X)
X
a
M
donde

~(x)

=

x
- 1
.
Nó ese
que
sólo
hay
un
W
(F(X)-homomo
ismocon inuo
a
,
que
hace
que
es e diag amaconmu e,
pues-
o
que
IF(X),
como
0,2(G
'
)-módulo,
es á
opol6gicamen e
gene a
do
po
{x
-1
I
x
e
X
}
.
Po
an o
I
F(X)
es
0£(G)-lib e
sob e
41
es
exac a,
donde
j
es á
inducida
po
u
.
Pues o
que
p
es un
monomo ismo,
ambién
los
es
jj
(es o
se
siguede
una
combi
nación
del
Lema
6
.10,
el
Teo ema
5.4
y
el
hecho
que
lim p e
_
-
se a
monomo ismos)
.
Pues o
que
X
gene a
a
F(X)
opológica-
men e,

enemos
que
im
d =
ke
e
.

Po
el
Lema
7
.3,

1
F(X)

es
el
QJ(G)-módulo
lib e
pseudocompac o
sob e
el
espacio
pun-
eoado
X,
con
uncióncanónica
n
:
X
--->
IF(X),
dada
po
n
(x)

=x-
1
.
Deducimos
po
an o
del
Lema
7 .8
que
im
~=
ke
d
.
Recíp ocamen e,
supongamos
que
G
es
un
g upop o-C
y
X
un
subconjun o
ce ado
de
G
que
con iene
al
elemen o
1
.
Su-
pongamos
que
C
consis e
en
g upos
esolubles,
y
que
la
suce
sión
0
-n
U(G)
--i
CL (G
X
X)

Q(G)

Z
C
--P
0
es
exac a,
donde
j(g)
=
(g,l)
.
En onces
d
induce
un
isomo -
ismo
(que
es á
cla o
es
isomo ismode
W
(G)-módulospseu-
docompac os)
(2
(G
X

X)
/
il
(
Cl
.
(G)
)

-

IG
.
Po
consiguien e
I
G
es
un
01(G)-módulo
pseudocompac o
lib e
sob e
el
espacio
pun eado
X
con
unción
canónica,
71
:
X
-,
I
G
,

dada
po
D
(x)
=
x
- 1
.
U ilizandoun a gumen o
simila
al
de
la
P op
.
7 .5,
deducimos
que
G
es
lib esob e
el
espacio
pun ado
X
.
8
.
G upos
ope andosob e
g a os
8.1

Sea
G
un g upo
p o-C
y
sea
un
g a o
de
Boole
.
Di e-
mosque
G
ope a
sob e
, si
ope ade
mane a
con inua
sob e
V( )
y A
( )
,
de
o ma
que
48

d
l
(x
a)

=xd
1
(a)
,

V

x

E

V
( )
,

a

E

A
( )
,

i

=
0,
1
.
Dada
es a
si uación,
de inimos
el
g a o
de
las
ó bi as
G
de
la
mane a
siguien e
:
los
é ices
de
G
son las
ó bi as
de
V( )
bajo
la
acción
de
G
(es
deci
el
espaciococien e
V( )/R',
donde
R'
es
la
elación
de
equi alencia
en
V( ) de
inida
xR'y
o
3
g e G
con
x =
gy
;
nó ese
que
R'
es
ce a
da
y
que
V
(I')
/R'

.
es
un espacio
de Boole)
;

las
a is as
de
G son
las
ó bi asde
A( )
bajo
la
acción
de
G
(es
deci
el
espaciococien e
A( )/R,
donde
R
es la
elación
de equi alen
cia
en
A( )
de inida
po
xRy
a
3

g
eG
con
x =
gy)
;
y
las
uncionescon inuas
do
es án
inducidas
po
d
oyd
i .
8
.2
Ej
emplo
.
A
(1')
/R

( )/R'
á,
Sea
G
un g upop o-C
y X
un
subconjun o
ce ado
de
G
.
En onces
G
ope a
de
mane a
na u al
sob e
(G,X)
(en los
é
ices,
u ilizando
la
mul iplicación
de
G,
y
en
las
a is as
(g,x),
ope ando
sob e
la
p ime a
componen e)
.
Nó ese
que
G (G,X)
iene
un solo
é ice,
y
el espacio
de
sus
a is as
es
homeomo o
a 'x
.
8
.3

Si
G
ope a
sob e
,
di emos
que
ope a
lib emen e
si
gx=x
o
g =
1
(x
e
A( )
U
( ))
.
En el
ejemplo
an e io ,
es
ácil
e que
G
ope a
lib emen e
sob e
(G,X)
.
El
esul ado
inal
al
que
que emos
llega
en
es a sección,
ca ac e iza
(bajo
cie as
condiciones)
a
los
g upos
que
ope an
lib emen e
sob e
C-á boles
.
Necesi amos
p ime amen e
unos
e-
sul ados
auxilia es
.
8 .4
Lema
V(4)
=
V(T
O
)
U
V(T
1) .
Sea
un
C-á bol
o
un
pseudo-C-á bol,
y
sean
T
O
y T
i
sub
g a os
conexos
de
,
que
no
engan
ni
a is as
ni
é ices
en
común
.
Exis e
en onces
como
máximo
una
a is a
a
cA( )
con
do
(a)
e
V(TO)
y
d
j
(a)
e
V(T
1) .
Demos ación
:
Supongamos
que
exis an
dos
a is asdis in as
a y
a'
en
A
( )
,

con

d
l
(a)

=

e

V
(T
1
)
,

y

d
l
(a')

=

i

e

V
(T
1
),

i=0,1
.
Conside emos
el
subg a o
A
de
,
de inido
po
A
(A)

=A
(TO)

U

A
(T,
)

U

{a}

U

{a'},
Pues o
que
T
O
y
T,,

son
conexos,
exis en

u1

a
Q,(A
(T
1))
con
d(u
1
)
=
l
-
1
,

(i=0,1)
.
Pongamos
y=u
O
+
a, z
=
u,
+
a'
.
En onces,
d(y-z)
= 0
.
Si
es un
C-á bol,
es o
implica
que
y =
z
.
Si
es
un pseudo-C-
á bol,
en onces
y
= z
(mod
p
0-(V( ))),
donde
1
7
:
a(V( ))
-,
a(A( ))
es
el homomo ismos
asociado
con
el
pseudo-C-á bol
.
Pues o
que
0
.
(A
(V)
)

n
j(0
.(V( ))

CCl
.(A(T
O
)

U
A(T,)),
enemos,
en ambos
casos,
que
0_

y

-

z

=

a

-

a'

(mod

0, (A
(T
O
)

U

A
(T,
) ) ) .
Pe o es o
es
imposible,
pues
conside emos
el
g a
.
o
ini o
p
que
iene un
solo
é ice
,
y
esa is as

y
1
;
de inamos
un
mo ismode
g a os
8
.5
Lema
G
po

TT(V(TO)

U

V
(T,
))

=

{ },
que
no es
posible
.
T
(a)
=
á,

(a')
=
~'
,

y
TT(A(TO
)
U
A(T,))
=
{1}
.
En onces
-
a
-'al

es
un

Z
C-
múl iplo
de
1

en

Q
.
(A
( -
E)
)
,

lo
Sea
un C-á bol
( espec
.
un
pseudo-C-á bol)
.
Sea
T
un
sub-C-á bol
( espec
.
sub-pseudo-C-á bol)
.
Si
a e
A( )
y
d
o
(a),
di(a)
B
V(T),
en onces
a
E
A
(T)
.
Demos ación
:
Pongamos
d,
(a)

=
!
(i
=
0, 1)
.

Exis e
en onces
u
E
a
(A
(T)
)
con
du
=
i
-
O
.
Po
an o
a -
u
E
ke
d
.
De
donde,
si
es
un
C-á bol,
enemos
a=u
E

Q
.
(A
(T)
)

l
A
( )

=
A

(T)
.
Si
es un
pseudo-C-á bol, enemos
a

-

u

(mod
11

Q
.
(V
( )
)
) .
Conside emos
el
subg a o
A
de
P,
de inido
po
A(A)
=
A(T)A{a},
V(A)
=
V(T)
.
Tenemos
y
po
an o
es
deci
8
.6
Dado
un
g a o
de
Boole
,
decimos
que
un sub-C-á bol
o
1
un
sub-pseudo-C-á bol
T
de
es
maximal
si
V(T)
=
V(- )
.
Si
un g upo
p o-C
G
ope a
sob e
un
g a o
de
Boole
,
exis e
una
e iden ep o ecci6n
canónica
de
g a os
de Boole
8
.7
Teo ema
a
(A
(A)
)

(1

jj
a
(V
(7)
)

c

CL
(A
(T)
);
a
=_
u
= 0

(mod

Q
(A
(T)
) ;
a
e
Q, (A
(T)
)
l
A
( )
=
A
(T)
.
Di emos
que
un
subg a o
L
de
G
se
puedeele a
a
si
exis e
un
subg a o
L'
de
alque
~,
es ingido
a
L'
es
un isomo ismode
g a os
L
--,
L
Supongamos
que
un
g upo
p o-C
G
ope a
lib emen e
sob e
un C-á bol
( espc
.
un
pseudo-C-á bol)
,
y
queG
con iene
un
sub-C-á bol
maximal
( espc
.
un sub-pseudo-C-á bol
maxi
mal)
T',
que
se
puede
ele a
a
.
Supongamos,
además,
que
'
-
(G,S)
.
Es a
isomo ismo
es
ob io
en
los
é ices
.
En
el
espacio
de
las
a is as
es la
unción
dada
po
a
=
A
( ')
--~

G x
S
a
(a')
=
(g,
g
-1
9
1
)
,
donde
a'
deno a
una
a is a
de
gV(T)
a
g
1
V(T)
.
Es
ácil
comp oba
que
"
a
es
una
unción
con inua
y
sob e
.
Po
o a
pa e,
a(x
a')
=
(xg,
g
-l g1
),
V
x
e
G
.
Po
an o,
pa a
e que
a
es
1-1,
es
su icien e
demos a
que
si
a
l
y a
z
son dos
a is asen
'
que
an
de
T a
gT,
en onces
a
(al
)

=

a
(
a
z
)

=

(1,
g)

--,

a,

=

a
Z
.
Si
g
Y'
1,
es o
se
sigue
del
Lema
8
.4,
y
si
g=
1,
del
Lema
8
.5
.
Pa a
comple a
la
demos ación
de
es e
esul ado,
bas a,
pues,
p oba
que
'
es un
pseudo-C-á bol
( e
Teo ema
7.9)
.
Nó ese
p ime amen e
que
el
núcleo
de
la
p oyección
na u al
o
.
(V ( ))

--
.

o,
(V
( '))
es
el
subg upoce ado
de

Q
(V( ))
gene ado
po
{g
(x-Y)

1

x,

Y
e

V(T),

g
E

G

}
.
Es e
núcleo
coincide,
po
an o,

con
la
imagen
d(CL(G
A(T)),

pues o
que
cada
gA(T)
es
conexo
.
0-->

CL
(V( '))

5
,

a
(A
( '))

d
,.
Cl(V( '))
Sea
0,
(A
( )
)

d

-
0
(
( )
)
V( 1)
--~
A( ')
la
unción
5
Z(gV(T))
=
g
A(T)
.
Es
e iden e
que
5
es
el
ni-
elado
de
dó
:C (V( ))
:
Q(A( ))
asociadoal pseudo-C-á bol
.
Po
o a
pa e, es á
cla o
que
5
4
z
C
Sea
i
el homomo ismo
inducido
po
9
( e
el
diag ama),
y
deno emos
median e

las
p oyecciones
na u ales
.
Nos
al
a
demos a
que
im
5
=
ke
d'
.

Desde
luego
d'!
=
0
.
Supon
gamos
que
d'
(z)

=
0,

y
sea

W
e

Q
(A
( )
)

al
que
n
(W)

= z
.
En onces
nd(w)=
0,
y
po
an o
d(w)
=
d(w'),
donde
w'

e

a
(GA
(T)
) .

Cla amen e

T
(W)

e
im
3

.

Aho a
bien,

si
es
un
_C-á bol,
en onces

w
=
W
',

y
po
consiguien e
z
e
im
j
Si,po
el
con a io,
es
un
pseudo-C-á bol,
en onces
W-
w'
es áen
la
imagen
del
homomo ismo
8
.8
Co ola io
9
.
Aplicaciones
lubles
.
n
(im
17)
C
:

im

.
Po
consiguien e,
n
w

-
w'

e
im
~
-
1,
y
po
an o,
z=
nw
e
im
~
.
Si
odos
los
g upos
en
C

son
eso
lubles,
yG
es
un
g upo

p o
-C,
en onces

G
es
un g upo
lib e
p o-Csob eun espacio
de
Boole
pun eado,
si
y
s61o
si
G
ope a
lib emen e
sob e
un
pseudo-C-á bol
de
al
mane a
G
con enga
un
sub-pseudo-C-á bol
maximal
que
pueda
se
ele ado
a
.
Demos ación
:
Una
de
las
implicaciones
es
simplemen e
el
Teo ema
8
.7
.
Recíp ocamen e,
supongamos
que
G =
F(X)
es el
g upo
lib e
p o-C sob e
el
espaciopun eado
X
.
Cla amen e
F(X)
ope a
lib emen e
sob e
el
g a o
=
(F(X),X),
que
como
hemos
is
o
(Teo ema
7
.9)
es
un
pseudo-C-á bol
.
El
g a o
G
s61o
ieneun
é ice,
y
po
an o
G
con iene
un pseudo-C-á
bol
maximal
que
e iden emen e
puede
se
ele ado
a
.
que
Supond emos
en
es a
sección
que
los
g upos
en
C
son
eso-
9.1

Que emos
u iliza
los
esul ados
ob enidos
en
las
seccio
nes
an e io es,
pa a
desc ibi
la
es uc u a
de
cie os
sub-
g upos
ce ados
de
g uposlib es
p o-C
.
En
cada
uno
de
los
casos
que
amos
a
es udia ,
enemos
la
siguien e
si uación
gene al
.
Sea
F(X)
( espc
.
F(X))
ung upo
lib e
p o-Csob e
un
espacio
de
Boole
pun eado
( espc
.
no
pun eado)
X,
H
un
subg upo
ce ado
de
F(X)
( espec
.
F(X))
.
Conside emos
el
g a-
odos
los
g upos
en
C
son
esolubles
.
En onces,
G
es
un
g u
po
lib e
p o-C
sob e
un
cie o
espaciode Boole
que
desc ibí
emosexplíci amen e
en
la
demos ación
.
Demos ación
:
Sea
T
el
"ele ado"
de
T'
a
.
De inamos
un
g a o
de
Boole
'
con
e ices
con
a is as
V( ')

=

V
( )

/

RV
donde
R
V
es la
elación
de
equi alenciace ada
V( )
cuyas
clases
de equi alencia
son
gV(T)
(una
pa a cada
g
eG)
;
A
( ')
=
A( )/RA
donde
RA
es la
elación
de
equi alencia
ce ada
de A( )
cuyas
clases
de
equi alencia
son po una
pa e,
g
A(T)
(una
pa a cada
g c
G),
y
po
o a
{a}
(una
pa a cada
a
sA
( )
U
g
A
(T))
;
y
con
unciones
gFG
d
'
0
inducidas
po
d
o
y
d
l .
Conside emos
el
subconjun oce ado
de
G
S
=
{g
e
G
~
3 a e A
( )

con

d
o
(a)
s
T y
d
j
(a)
e
g
T
}
Vamos
a
demos a ,
p ime amen e,
que
5
6
o
i,
=

(F
(X) ,X)
.

( espec
.

=
(F
(X) ,X)
)
.

F
(X)
,

y
po
an-
o
H,
ope a
lib emen e
sob e
i'
.
de
mane a
na u al
:
po
ejem
plo,

en el
caso
pun eado,

si

e

F
(X)

y
E
(I')

=
F
(X)
,
en onces
es
simplemen e
mul iplicaciónen
F(X)
;
si E
F(X)
y
( ',
x)
e
A( )
=
F(X)
x
X,

en onces
( ',x)
=
( ',
x)
.
El
g a o
de
las
ó bi as
H ,
iene
como
é ices
las
clases
(digamos
a la
de echa)
de
H
en
F(X)
;
y
como
a is as
los
pa es
(H ,
x),
(
e
F(X))
.
Pa a
pode
aplica
el
Teo ema
8
.7
(que
es lo
que
amos
buscando),
enemos
que
pode
e i ica
sus
hipó esis,
es
de-
ci ,
quepo una
.pa e
H

con iene
un
sub-pseudo-C-á bol
maximal
( espec
.
un
sub-C-á bol
maximal),
y
po
o a,
que
és e
se
puede
ele a
a
.
En
odos
los
casos
que
amos
a
es
udia ,
u iliza emos
siemp e
es a
no ación
.
9
.2
Ejemplo
Sea
H
un
subg upo
abie o
de P(X)
.
Conside emos
el
g u-
po
lib e
disc e o
D =
D(X
-})

sob e
el
conjun o
X
donde
3
es el
pun o
dis inguido
del
espacio
pun eado
X
.
En-
onces
(c
.
Teo ema
4 .3),
D
es
un
subg upo
densode
F(X)
.
Escojamosun
sis ema
de ep esen an es

de
Sch eie
de
D
n
H
en
D
(c
.
[5],
p
.
93),
es deci , un
sis emacomple o
de
ep esen an es,
T
=
{
go
=l, g,,
g
2
,
""
,
g,
.},
D
j
F
(X)
u
D
l
HH
In oducción
. . . .
.
. . . . .
.
.. . .
.
.
.
. . . . . .
.
.
.
. . . . . . . . . . . .
.
. .
1
1.-
Limi esp oyec i os
. .
.
.
.
.....................
.
.
.
. . . .
3
2
.-
G upos
p o ini os
. . . .
.
.
.
.............
.
.
.
. . . . .
.
. .
.
.
.
.
4
3
.-
G upos
de
Galois
. . . . . . . . . .
.
. . . . . . . .
.
.
.
... . . . . . . .
.
. . .
8
4
.-
G uposlib es
. . . . . . . . .
.
.
.
.... . . . . . . . . . . . . .
.
........
.
18
5.-
Es uc u a,
de
los
g upos
lib es
. . . . .
.
.
.
. . . . . . . . . .
.
.
.
21
6
.-
G a os
de
Boole
. . . . . . . .
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
7
.-
Caxac e izaci6nde
los
g upos lib es
p o-C
.
.
. . . . . .
.
.
37
8
.-
G upos
ope ando
sob e
g a os
. . .............. . . .
.
. . .
48
9
.-
Aplicaciones
.
.
. . . . . . .. . . . .
.
.......... .
.
.
.
. . . . . . . . . . .
55
Bibliog a ía
.
.
. . . . . . .........
.
.
.
. . . . . . . . ... . . . .
.
. . . . . . . .
63