La dispe si´o Mølle
i els inicis de l’elec odin`amica qu`an ica∗
Xa ie Roqu´e
Semina i d’His `o ia de les Ci`encies
Facul a de Ci`encies
Uni e si a Au `onoma de Ba celona
E-08193 Bella e a
∗T eball de ece ca pe al mes a ge en His `o ia de les Ci`encies.
Di ec o : Manuel Ga c´ıa Doncel. Bella e a, maig 1991.
Aques eball de ece ca a se de ensa el 24 de maig de 1991 a la Sala de G aus
de la Facul a de Ci`encies UAB, da an el ibunal o ma pe Manuel G. Doncel,
An oni Male i An oni M´endez, ob enin la quali icaci´o de ma ´ıcula d’hono .
´
Index
In oducci´o 5
Ab e ia u es de on s d’a xiu 9
1. L’inici de la ca e a cien ´ı ica de Mølle 11
1. 1. Ch is ian Mølle 11
1. 2. P ime s eballs cien ´ı ics 15
2. El m`e ode de Mølle 21
2. 1. Les bases del m`e ode 23
2. 2. T ac amen s an e io s de la in e acci´o en e dos elec ons 33
2. 3. P ime s esul a s i alo acions del m`e ode 42
3. La ´o mula de Mølle 51
3. 1. El p oc´es d’elabo aci´o 52
3. 2. La deducci´o de la ´o mula 59
3. 3. La elaci´o de la ´o mula amb l’elec odin`amica qu`an ica 69
4. La con as aci´o expe imen al de la ´o mula de Mølle 75
4. 1. La dispe si´o d’elec ons ci ca 1930 76
4. 2. Els expe imen s de Champion 87
4. 3. Expe imen s pos e io s 101
Conclusions 109
Bibliog a ia 113
5
In oducci´o
L’elec odin`amica qu`an ica ´es una eo ia qu`an ica i ela i is a d’elec ons, o-
ons i les se es in e accions. Com a elemen ca ac e ´ıs ic inclou una segona
quan i icaci´o: el camp elec omagn`e ic i les uncions d’ona s´on subs i u¨ı s pe
ope ado s, que sa is an ce es egles de commu aci´o. La eo ia a n´eixe a mi -
jans dels anys in , quan la mec`anica qu`an ica esde enia la eo ia que coneixem
ac ualmen , pe `o nom´es desp ´es de la segona gue a mundial, mi jan¸can el que
`ecnicamen es coneix pe eno mali zaci´o, a eb e una o mulaci´o cohe en i
sa is ac `o ia.1L’`exi de la eo ia eno mali zada ou espec acula : quan i a s
com el momen magn`e ic de l’elec ´o, o la magni ud del “Lamb shi ”, an se
calculades amb una p ecisi´o sense p eceden s.
Du an el pe ´ıode an e io a 1947 la eo ia s’ha ia en on a amb g eus
di icul a s, que ha ien gene a un sen imen d’in ensi a a iable pe `o gene-
ali za de c isi. Els p oblemes m´es impo an s de l’elec odin`amica qu`an ica
an e io a la eno mali zaci´o e en les di e g`encies en quan i a s onamen als,
com a a l’ene gia p `opia de l’elec ´o, el despla¸camen de les l´ınies espec als, o
la pola i zaci´o del bui , i el ac`as en l’aplicaci´o a la adiaci´o c`osmica, un dels
en`omens m´es in es iga s du an les d`ecades de 1930 i 1940. Pe a alguns dels
seus c eado s, aques es di icul a s p esagia en la immin`encia i la necessi a
d’una e oluci´o concep ual.
La dis inci´o en e aques s dos pe ´ıodes ´e sen i pe `a ies aons. La m´es
e iden , limi an la nos a a enci´o a la eo ia, ´es la di e en conside aci´o que
me eix. Renuncian a alguns dels objec ius que l’ha ien mo i ada inicialmen ,
com la deducci´o de les masses de l’elec ´o i el p o ´o, l’elec odin`amica qu`an ica
es e el`a inalmen menys dolen a del que s’ha ia c egu du an anys, i a
comen¸ca a desc iu e amb p ecisi´o no es mesu es expe imen als. S’ha a gu-
1Di ´ıcilmen es po pa la d’una elec odin`amica qu`an ica al ol an de 1930. Les di e-
en s e sions de la eo ia coincidien en la necessi a de quan i za el camp elec omagn`e ic,
pe `o di e gien en l’opo uni a de e el ma eix amb el camp de ma `e ia. Quan pa lem
d’elec odin`amica qu`an ica amb an e io i a a la eno mali zaci´o, en end em una eo ia on
el camp elec omagn`e ic es `a quan i za , pe `o no necess`a iamen el de ma `e ia.

6Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
men a con incen men que aques can i no a se p o oca an pe la supe io-
i a `ecnica dels expe imen s eali za s desp ´es de la gue a, o pel desconeixe-
men de la idea de eno mali zaci´o de massa que K ame s ha ia in odu¨ı ja el
1937, com pe una modi icaci´o en les expec a i es de la eo ia, pe la en´uncia
a elabo a una eo ia comple a i el econeixemen que una eo ia limi ada po-
dia anma eix se co ec a.2Pe `o no nom´es ac o s in e ns an ap opiada la
dis inci´o, que es jus i ica amb´e pe la g an ans o maci´o que expe imen a la
ci`encia en gene al, i la ´ısica en pa icula , en e els pe ´ıodes conside a s. El
inal de la gue a ma ca l’inici de la big science: el pode de la ci`encia s’ha
mani es a amb cla eda du an la gue a, i el con ex ins i ucional en qu`e es
desen olupa es modi ica eno memen .
Mol s dels p ocessos b`asics que desc iu l’elec odin`amica qu`an ica an se
calcula s en p ime a ap oximaci´o du an el pe ´ıode c ´ı ic de la eo ia. A
m´es dels en`omens de ena pe adiaci´o (b emss ahlung) i c eaci´o i ani-
hilaci´o de pa elles, d’aplicaci´o di ec a a la adiaci´o c`osmica, aques ´es el cas
de les col.lisions o ´o-elec ´o ( ´o mula de Klein-Nishina, 1928), elec ´o-elec ´o
( ´o mula de Mølle , 1932) i elec ´o-posi ´o ( ´o mula de Bhabha, 1936). Ac-
ualmen , aques s p ocessos es dedueixen `acilmen mi jan¸can les millo es
o mals in odu¨ıdes desp ´es de la gue a, i ep esen en exemples pa adigm`a ics
d’aplicaci´o icon as aci´o de la eo ia. Pe `o e a amb´e aix´ı en la se a e apa
inicial, com s’ha suposa impl´ıci amen ?3
Conside a em aques a q¨ues i´o en un cas conc e . A inals de 1930 un jo e
´ısic dan`es, Ch is ian Mølle , a idea un m`e ode pe ac a la col.lisi´o en e
dos elec ons ela i is es. Du an els dos anys seg¨uen s Mølle a eballa
en la se a esi doc o al, on anali za a e`o icamen en base al m`e ode el pas
2C . R¨uge [1989], p. 323: “By 1947, I claim, he old expec a ions abou he aims ha
QED [quan um elec odynamics] should achie e, had changed conside ably. While in he
la e 1930s he e migh s ill ha e been a hope in ul ima ely de i ing α, e c., om QED, his
possibili y was ce ainly absen a e he wa , because people had ecognized ha a high
ene gies, QED was ‘incomple e’: elec ons, posi ons, and pho ons, he objec s o QED,
could ans o m in o o he pa icles, e. g., mesons, which we e no desc ibed by QED.
The old expec a ions, he emnan s o classical uni ied ield heo y p og ams, had been he
obs acle o accep ing o pu suing he idea o eno maliza ion, since eno maliza ion mean
ha he he elec on cha ge and mass we e expe imen al pa ame e s no o be deduced om
he heo y i sel ”.
3C . pe exemple H. M. Gio gi, “E ec i e quan um ield heo ies”, p. 449: “Pe haps
he mos imp essi e successes o ea ly quan um ield heo y we e he calcula ions o sca -
e ing p obabili ies o a a ie y o p ocesses. . . They we e in easonable ag eemen wi h
expe imen ” (a Paul Da ies (ed.) The new physics, Camb idge Uni e si y P ess 1990).
In oducci´o 7
d’elec ons `apids a a ´es de la ma `e ia. Com a cas pa icula , hi conside a a
la in e acci´o en e dos elec ons lliu es, que a ui coneixem pe dispe si´o Mølle ,
donan la ´o mula que la desc iu co ec amen en p ime a ap oximaci´o. Aques
eball ´es una an`alisi his `o ica de la ´o mula de Mølle , i de la se a elaci´o amb
l’elec odin`amica qu`an ica.
Ens in e essa es abli els e mes d’aques a elaci´o en un doble sen i . L’es a
p o isional i poc sa is ac o i de la eo ia en els seus inicis a que ens p egun em
en p ime lloc: com a se dedu¨ıda la ´o mula de Mølle ? Amb quina in enci´o
i en quin con ex a calcula Mølle la dispe si´o en e dos elec ons? Fins
a a s’ha conside a que la ´o mula de Mølle ep esen a a de e una aplicaci´o
de l’elec odin`amica qu`an ica. El ecu s en la deducci´o al p incipi de co es-
pond`encia i a a gumen s qu`an ics no ela i is es ens a `a econside a aques a
ca ac e i zaci´o.
I d’al a banda: es a in en a de con as a la ´o mula? Amb quina in enci´o
i en quin con ex es an desen olupa els expe imen s? Quina e a la signi icaci´o
d’aques s expe imen s pe l’elec odin`amica qu`an ica an e io a la eno ma-
li zaci´o? L’escassa li e a u a secund`a ia ha des aca el pape de la adiaci´o
c`osmica en la con as aci´o de la eo ia.4´
Es ce que alguns dels en`omens
esmen a s, especialmen el ena pe adiaci´o, e en de g an impo `ancia pe
de e mina la na u alesa de la adiaci´o c`osmica, i que ´ısics mol comp omesos
amb la eo ia, com Oppenheime o Heisenbe g, an dedica g ans es o ¸cos a la
comp ensi´o d’aques en`omen. Pe `o s’ha suposa equi ocadamen que les al es
ene gies de la adiaci´o c`osmica la con e ien en el medi `op im pe con as a
les ´o mules de dispe si´o, quan o es elles ho e en m´es `acilmen mi jan¸can les
adiacions adioac i es.5En el cas de la ´o mula de Mølle , aques a e a l’´unica
possibili a : la ´o mula pe d les se es ca ac e ´ı iques essencials a ene gies mol
al es.
La majo pa de l’es udi es `a dedicada a mos a que la espos a a a-
ques es q¨ues ions ´es nega i a. Mølle a dedui la se a ´o mula al ma ge de
l’elec odin`amica qu`an ica, in e essa pe l’ex ensi´o ela i is a de l’an`asisi del
4C . Cassidy (1981), Galison [1987].
5Da igol [1982] a i ma pe exemple: “Les o mules donnan les p obabili ´es de di ussion
dans la h´eo ie de Di ac. . . u en soumises au e dic de l’exp´e ience dans le domaine des
´ene gies ela i is es, g ˆace `a la sou ce na u alle de pa icules `es ´ene ge iques que cons i-
uaien les ayons cosmiques. L’his oi e de la con on a ion des calculs d’´elec odynamique
e des donn´ees de la physique des ayons cosmiques es complexe en aison des di icul ´es
exp´e imen ales di e ses e des p obl`emes d’iden i ica ion des pa icules en p ´esence” (Da i-
gol [1982], p. 14).
8Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
pas de pa ´ıcules ca egades a a ´es de la ma `e ia, i p `ac icamen no s’in en `a
de con as a la ´o mula du an el pe ´ıode c ´ı ic. L’es udi, doncs, e ela no an
la o ma en qu`e la eo ia a se aplicada, com la o ma en qu`e es a desen olupa
un ac amen al e na iu que e i a a les di icul a s que a a essa a. Pe `o el
ac amen dona a la dispe si´o Mølle abans de la eno mali zaci´o plan eja
d’aques a mane a no es ques ions, a les quals dediquem la es a de l’es udi:
com esde ingu´e aques en`omen una aplicaci´o exempla de la eo ia, i una de
les se es bases expe imen als?
Ag a¨ımen s. El ema d’aques eball de ece ca em ou sugge i pel p o esso
Manuel G. Doncel, pe la qual cosa li es ic mol ag a¨ı , aix´ı com pel seu
cons an supo i enco a jamen . Ag aeixo amb´e els comen a is d’An oni
Male , Ka l . Meyenn, Luis Na a o i Anna Ma ia Olle , a di e en s e sions
p elimina s del eball. Pel pe m´ıs pe usa i ci a ma e ial d’a xiu, exp esso
el meu econeixemen al Cen e o His o y o Physics de l’Ame ican Ins i u e
o Physics, No a Yo k; l’A xiu Niels Boh , Copenhaguen; als Mas e , Fellows
i Schola s del S . John’s College, Camb idge; i a la biblio eca de la Uni e si a
de Co nell, I haca.
Ag aeixo amb´e el supo del Minis e io de Educaci´on y Ciencia a a ´es
d’una Beca pe a la Fo maci´o de P o esso a i Pe sonal In es igado , aix´ı com
el de la DGICYT, p og ama de ece ca n. PS88-0020.
9
Ab e ia u es de on s d’a xiu∗
AHQP A chi e o he His o y o Quan um Physics. Segui d’un gui´o
i un n´ume o indica el o lle de mic o ilm.
AHQP/BSC A chi e o he His o y o Quan um Physics. Boh Scien i ic
Co espondence.
AHQP/EHR A chi e o he His o y o Quan um Physics. Eh en es A chi e.
AHQP/OHI A chi e o he His o y o Quan um Physics. O al His o y
In e iews.
CTF F. C. Champion’s Tu o ial File, S . John’s College, Cam-
b idge.
Mølle -Kuhn (1963) En e is a de Thomas S. Kuhn a Mølle , 29 juliol 1963
(AHQP/OHI-4).
MP Mølle Pape s, Niels Boh A chi e, Copenhaguen.
Mølle -Weine (1971) En e is a de Cha les Weine a Mølle , 25 i 26 agos
1971 (O al His o y In e iews, AIP Cen e o he His o y o
Physics).
PBI He mann, . Me¨yenn i Weisskop [1979]: Wol gang Pauli.
Wissenscha liche B ie wechsel I.
PBII . Me¨yenn [1985]: Wol gang Pauli. Wissenscha liche B ie -
wechsel II.
∗S’inclou la co espond`encia de Pauli malg a que es `a edi ada.
16 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
1928 G. Gamow a G¨o ingen, i R. W. Gu ney i E. U. Condon a P ince on, an
in e p e a gai eb´e simul `aniamen el en`omen, mi jan¸can la no a eo ia, com
un cas d’“e ec e ´unel”. La eo ia qu`an ica, pel seu p opi ca `ac e , eia innec-
essa is els mecanismes sugge i s an e io men pe explica la desin eg aci´o:12
“The s a is ical na u e o he quan um mechanics gi es di ec ly disin eg a ion
as a chance phenomenon wi hou any special hypo hesis”.
En el seu a icle, Mølle mos a a “com han de eali za -se els c`alculs de
Gamow i Kuda pel cas unidimensional mi jan¸can la conside aci´o de la eo ia
de la ela i i a ”.13 Mølle , que com hem is coneixia b´e la eo ia de l’elec ´o
de Di ac des de la se a apa ici´o, no dub a a en p e e i -la sob e l’al a equaci´o
ela i is a que es oba a a la se a disposici´o, coneguda com a equaci´o de
mos a les se es p e e `encias pe la hip`o esi que adop `a Lindemann, a desen olupa -la en
m´es de all poc desp ´es (“Conside a ions su le m´ecanisme des ans o ma ions adioac i es
e la cons i u ion des a omes”, Ann. Physique 4(1915), 323). El 1920, desp ´es que hagu´es
es a pe eccionada pe H. T. Wol mi jan¸can la inclusi´o de la condici´o de Boh pel mo-
men angula (“Be ach ungen ¨ube den adioak i en Ze all des A omke nes”, Phys. Zs. 21
(1920), 175–178) Soddy eia en ella el ge men de “una explicaci´o sa is ac `o ia i al amen
sugges i a” (F. Soddy, Ann. Repo s o he Chem. Soc. 17 (1921), p. 234, segons T enn,
Radioac i i y and a omic heo y, Lond es 1975, p. 472).
12Gu ney i Condon, “Quan um mechanics and adioac i e disin eg a ion”, Phys. Re . 33
( eb e 1929), 127–140; p. 127. Veu e amb´e Gamow, “Zu Quan en heo ie des A omke nes”,
Zs. Phys. 51 (1928), 204.
13Mølle (1929), p. 451: “Es wi d gezeig , wie die Rechnungen on Gamow und Kuda ¨u
den eindimensionalen Fall mi Be ¨ucksich igung de Rela i i ¨a s heo ie du chzu ¨uh en sind”.
J. Kuda ha ia es `es els c`alculs de Gamow al cas d’una ba e a de po encial ec angula (“Zu
Quan enmechanik de Radioak i i ¨a ”, Zs. Phys. 53 (1929), 95).

1. Ch is ian Mølle 17
Klein-Go don.14 La eo ia de Di ac ha ia despe a g ans expec a i es, i els
p oblemes d’in e p e aci´o que poc desp ´es l’a ec a ien no s’ha ien mani es a
enca a amb o a cla eda ; la p edisposici´o de Mølle e a doncs pe ec amen
comp ensible. A l’aplicaci´o de l’equaci´o de Di ac no s’oposa a el e que la
pa ´ıcula α os de c`a ega posi i a, “ja que els a gumen s adu¨ı s pe Di ac
pe a es abli la se a eo ia no s´on nom´es plausibles en el cas de les c`a egues
elemen als nega i es”,15 sin´o el e , p `ac icamen ce en aquells momen s,
que la pa ´ıcula αno enia esp´ı. P obablemen Mølle a ha e d’aplica les
dues equacions pe comp o a que les di e `encies en els esul a s ob ingu s e en
i elle an s. En l’a icle a op a pe exposa el desen olupamen del c`alcul
segons la eo ia de Di ac, indican nom´es ocasionalmen com p ocedi ia segons
la eo ia de Klein-Go don.
Seguin el aonamen de Kuda , Mølle conside a a el cas unidimensional
de dues ba e es de po encial ec angula s, pel que in en a a ob eni solucions
a l’equaci´o de Di ac en o ma d’ones planes esmo e¨ıdes
ψ0=e−2πi
hE ·ψ(x), E =E0−ihλ
4π,
on λ´es la cons an d’amo imen i E0l’ene gia de la pa ´ıcula conside ada.
Les solucions gene als con enien cons an s que ha ien de se de e minades en
la o ma habi ual imposan condicions de con o n, el que suposa a un c`alcul
labo i´os pe `o no excessi amen complex. Mølle ob enia com a esul a que
14Al cap´ı ol seg¨uen ac a em en m´es de all de l’equaci´o de Di ac, com a una de les bases
de la ´o mula de Mølle . L’anomenada equaci´o de Klein-Go don
∇2−1
c2
∂2
∂ 2−m2c2
¯h2ψ= 0,
que en eali a a se dedu¨ıda independen emen pe a is ´ısics en e ab il i se emb e
de 1926, ´es l’equaci´o escala que s’ob ´e a pa i de l’hamil oni`a cl`assic pe una pa ´ıcula
ela i is a H2=p2c2+m2c4, associan en la o ma usual els ope ado s i¯h(∂/∂ ) i
(¯h/i)∇i= (¯h/i)(∂/∂xi) a l’ene gia Ei el momen pi, espec i amen . Aques a equaci´o
ou l’objec e de nomb osos a icles du an 1926 i pa de 1927. En e d’al es a ac ius, po-
dia se conside ada com una gene ali zaci´o na u al de l’equaci´o d’Sch ¨odinge (un dels ´ısics
que l’ha ien p oposada independen men ). Pe `o aques aspec e posi iu es eia des i ua
pel seu ac`as en l’explicaci´o de la es uc u a ina, que a se econegu immedia amen .
L’apa ici´o de l’equaci´o de Di ac a ma gina -la ins el 1934, quan a se ein e p e ada pe
Pauli i Weisskop com a equaci´o de camp pe pa ´ıcules ca egades sense esp´ı. K agh (1981)
con ´e una excel.len a aluaci´o his `o ica de l’equaci´o de Klein-Go don.
15Mølle (1929), p. 451: “. . . da die A gumen e, welche Di ac zu Au s ellung seine Theo-
ie e anlaß en, nich no wendig nu ¨u die nega i en Elemen a eilchen s ichhal ig sind”.
18 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
la elaci´o en e la cons an de desin eg aci´o i l’ene gia de la pa ´ıcula emesa
expe imen a a una pe i a co ecci´o, que de o ma ca ac e ´ıs ica augmen a a
a mida que disminu¨ıa la eloci a de la pa ´ıcula; amb´e mos a a l’exis `encia
d’un e o en els c`alculs de Kuda . Tanma eix, com econexia inalmen , “el
model usa ´es massa bas pe ex eu e’n conclusions quan i a i es”.16
Aques p ime a icle p odueix la imp essi´o que Mølle no es `a an in e es-
sa en el en`omen de la desin eg aci´o, com en la possibili a d’in odui en la
se a in e p e aci´o conside acions ela i is es. L’a icle ep esen a un exe cici
b illan i una mos a del domini que ja ha ia assoli Mølle de la eo ia de
Di ac.
El segon a icle de Mølle a apa `eixe un any desp ´es de l’an e io , el
maig de 1930, i a se publica , com aques , pe la p es igiosa Zei sch i ¨u
Physik. Com eu em, un dels elemen s essencials en la deducci´o de la ´o mula
de Mølle e a la eo ia de pe o bacions de Bo n. Max Bo n ha ia in odu¨ı
aques m`e ode d’ap oximaci´o, que pe me ia ac a els en`omens de col.lisi´o
segons la mec`anica qu`an ica, el 1926, en un a icle onamen al en qu`e o e ia
a m´es una in e p e aci´o p obabilis a de la unci´o d’ona.17 La “ eo ia de
col.lisions de Bo n” a se assimilada `apidamen , i a ia es ´eu indispensable
en les aplicacions de la eo ia. En el seu segon a icle, Mølle aplic`a el m`e ode
d’ap oximacions de Bo n a un p oblema de dispe si´o: “Teo ia de la dispe si´o
an`omala de pa ´ıcules αen el seu pas a a ´es d’elemen s lleuge s”.18 Mølle
a signa l’a icle a Copenhaguen el eb e de 1930, i el 22 de ma ¸c a apa `eixe
una comunicaci´o p elimina b eu a Na u e, i ulada simplemen “Sca e ing o
α-pa icles by ligh a oms”.19
Des del 1923 s’ha ien obse a a Camb idge, al labo a o i Ca endish, des-
iacions de la ´o mula de Ru he o d pe la dispe si´o de pa ´ıcules α, que
s’ha ia in en a explica des de la mec`anica cl`assica. Pe aix`o, es suposa a una
des iaci´o del po encial coulombi`a p op del nucli, o b´e es do a a d’es uc u a
a la pa ´ıcula α, en lloc de conside a -la pun ual.20 Amb la in oducci´o de
la mec`anica qu`an ica no es podia ob ia la necessi a de plan eja aques es
16Mølle (1929), p. 466: “F¨u quan i a i e Aussagen is jedoch das benu z e Modell zu
g ob”.
17Bo n, “Zu Quan enmechanik de S oß o g¨ange”, Zs. Phys. 37 (1926), 863–877.
18Mølle (1930b), “Zu Theo ie de anomalen Ze s euung on α-Teilchen beim Du chgang
du ch lei e e Elemen e”.
19Mølle (1930a).
20Veu e les e e `encias a Mølle (1930b).
1. Ch is ian Mølle 19
hip`o esis, ja que en la mec`anica qu`an ica una ca ga pun ual ´es dispe sada pe
un cen e de o ¸ca coulombi`a segons la ma eixa ´o mula de Ru he o d.21
Mølle aplic`a al p oblema el model senzill de po encial nuclea in odu¨ı
pe Gamow, i Condon i Gu ney, pe a explica la desin eg aci´o, ob enin una
explicaci´o quali a i a del en`omen. El c`alcul es basa a en la mec`anica qu`an ica
d’Sch ¨odinge , i el seu in e ´es p ima i en aques con ex es `a en l’´us del m`e ode
de Bo n en p ime a ap oximaci´o. Les q¨ues ions de la alidesa del p ocedimen ,
i la se a aplicabili a al p oblema que es a a conside an , apa eixien ecu en -
men a l’a icle, i e en enca a objec e d’un a egi a la co ecci´o.
Al inal de l’a icle Mølle s’in e esa a pe les ap oximacions d’o d e supe-
io : “Fal a enca a demos a que les ap oximacions supe io s del p ocedimen
de Bo n poden se menysp eades. Espe o o na m´es enda an sob e aques
pun ”.22 En el seu seg¨uen a icle, en e ec e, comple a l’oc ub e de 1930,
Mølle a ocupa -se del ema: “Sob e les ap oximacions supe io s del m`e ode
de col.lisions de Bo n”.23 Mølle desc i ia a la p ime a pa un m`e ode gene al
pe a alua ap oximacions d’o d e supe io en el m`e ode de Bo n. Pe aix`o
esul a a con enien eballa a la ep esen aci´o de momen s (Impuls aum) en
lloc de a la ep esen aci´o de coo denades (Koo dina en aum), com ha ia in-
dica Di ac.24 A la segona pa , Mølle aplica a les conside acions an e io s
a la dispe si´o de pa ´ıcules α, calculan expl´ıci amen la segona ap oximaci´o,
i ob enin un esul a nega iu: “[La segona ap oximaci´o] ´es, pe a o es les
eloci a s [de pa ´ıcules α] que es donen a la Na u a, del ma eix o d e de mag-
ni ud que la p ime a ap oximaci´o, de o ma que el m`e ode de Bo n s’ha de
conside a inap opia pels aigs α”.25
21Com a demos a G ego Wen zel el 1927, en una de les p ime es aplicacions del m`e ode
de Bo n (“Zwei Beme kungen ¨ube die Ze s euung ko puskula en S ahlen als Beugungse -
scheinung”, Zs. Phys. 40 (1926), 590–593). Veu e amb´e J. R. Oppenheime , “On he quan-
um heo y o he p oblem o he wo bodies”, P oc. Camb idge Phil. Soc. 23 (1925–1927),
422–431, i “Beme kung zu Ze s euung de α-Teilchen” Zs. Phys. 43 (1927), 413–415. El
ma eix p oblema a se conside a pos e io men en o ma m´es gene al pe W. Go don,
Ԭ
Ube den S oß zweie Punk ladungen nach de Wellenmechanik”, Zs. Phys. 48 (1928), 180–
191, i N. F. Mo , “The solu ion o he wa e equa ion o he sca e ing o pa icles by a
Coulombian cen e o ield”, P oc. Roy. Soc. 118 (1928), 542–549.
22Mølle (1930b), p. 68: “Es ehl auch noch de Beweis, daß die h¨ohe en N¨ahe ungen
des Bo nschen Ve ah ens e nachl¨assig we den k¨onnen. Au diesen Punk ho e ich sp¨a e
zu ¨uckzukommen”.
23Mølle (1930c), “¨
Ube die h¨ohe en N¨ahe ungen de Bo nschen S oßme hode”.
24Di ac, Ҭ
Ube die Quan enmechanik de S oß o g¨ange”, Zs. Phys. 44 (1927), 585–595.
25Mølle (1930c), p. 513: “Diese wi d bei allen in de Na u o kommenden Gesch-
20 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
Mølle conside a a al inal de l’a icle la dispe si´o d’elec ons pe `a oms
neu es, i els l´ımi s d’aplicabili a del m`e ode de Bo n a la dispe si´o de aigs
ca `odics, “ja que en o s els c`alculs un s’ha acon en a ins a a amb la p ime a
ap oximaci´o”.26 De la se a an`alisi dedu¨ıa com a c i e i d’aplicaci´o de la
p ime a ap oximaci´o la condici´o
πZe2
h 1
(Zn´ume o a `omic de l’elemen dispe so , eloci a dels elec ons inciden s).
D’aques a exp essi´o es dedu¨ıa di ec amen que nom´es pe elemen s lleuge s i
ene gies ela i amen al es ac an -se de aigs ca `odics (20–40 kV), e a su i-
cien amb segu e a la p ime a ap oximaci´o, condici´o que no es e i ica a en
cap dels dos expe imen s que Mølle comen a a a con inuaci´o. Tanma eix,
Mo ha ia mos a que la p ime a ap oximaci´o e a su icien en ambd´os casos
pe ob eni un aco d amb les mesu es dins dels ma ges d’e o . Mølle con-
side a a que la disc ep`ancia p o enia del m`e ode expe imen al, i de la manca
de mesu es pe dis in es eloci a s dels aigs inciden s, de les que depenia
c ´ı icamen el seu c i e i de alidesa. L’a icle conclo¨ıa amb una sugge `encia
expe imen al: “En al es pa aules, es ac a de p o a si la in ensi a ´es nom´es
unci´o de sin θ/2”.27
Finali zada la edacci´o d’aques a icle, Mølle eballa ia du an els dos
anys seg¨uen s en la se a esi doc o al. D’aques eball, ecolli en els dos
a icles que Mølle a publica en aques pe ´ıode, ens en ocupem a con inuaci´o.
windigkei en on de selben G ¨oßeno dnung wie die e s e N¨ahe ung, so daß die Bo nsche
Me hode ¨u α-S ahlen als ungeeigne be ach e we den muß”.
26Ibid., p. 513: “Es mag jedoch auch on In e esse sein, die G enzen de Anwendba kei
de Bo nschen Me hode au S euung on Ka hodens ahlen abzusch¨a zen, weil man sich
bishe bei s¨am lichen diesbez¨uglichen Rechnungen mi de e s en N¨ahe ung begn¨ug ha ”.
27“Es handel sich mi ande en Wo en da um, zu p ¨u en, ob die In ensi ¨a eine Funk ion
on sin θ/2 allein is ”, p. 532.
21
2. El m`e ode de Mølle
El 20 de se emb e de 1930 un es udian us de 22 anys, Le Landau, a iba a
a Copenhaguen p oceden de Camb idge pe passa -hi dos mesos.1Mølle
es oba a alesho es comple an el da e dels a icles “no massa in e essan s”
amb qu`e ha ia inicia la se a ca e a. Landau ha ia conegu Mølle l’ab il
del ma eix any, quan ha ia isi a Copenhaguen pe p ime a egada; la se a
p es`encia a Copenhaguen l’oc ub e a se , segons Mølle , “absolu ely c ucial
[. . . ] because he [. . . ] b ough me in o he sca e ing p oblem”.2
El p oblema de la col.lisi´o en e dos elec ons ela i is es a se l’objec e de
l’´unic a icle que Mølle public`a el 1931: “La col.lisi´o de dues pa ´ıcules, con-
side an el e a damen de les o ces”.3Mølle hi p esen a a un m`e ode que
pe me ia ac a la in e acci´o en e dues pa ´ıcules ela i is es en p ime o d e
de eo ia de pe o bacions, o p ime a ap oximaci´o de Bo n. Les “obse acions
absolu amen essencials” que Mølle ag a¨ıa a Landau al inal de l’a icle, pe `o
que no p ecisa a, e en p obablemen dues.4La p ime a es e e ia a la possibil-
i a de gene ali za ela i ´ıs icamen un m`e ode desen olupa pe Hans Be he
en un a icle ecen . L’a icle de Be he, “Teo ia del pas de aigs co puscula s
`apids a a `es de la ma `e ia”, ha ia apa egu a mi jans de 1930, i ind ia
una g an in lu`encia pos e io .5Be he hi ac a a exhaus i amen segons la
mec`anica qu`an ica els en`omens associa s al pas de pa ´ıcules `apides a a ´es
de la ma `e ia. La segona obse aci´o de Landau es e e ia a la sime ia del
esul a inal, malg a l’apa en¸ca asim`e ica del m`e ode emp a :6
[Landau] ecommended me o ead a pape by Be he. Tha was
1Veu e el llib e de egis e de l’Ins i u de Copenhaguen (AHQP-35).
2Mølle -Weine (1971), p. 13.
3Mølle (1931), “¨
Ube den S oß zweie Teilchen un e Be ¨ucksich igung de Re a da ion
de K ¨a e”.
4Ibid., p. 795: “Ich [bin] auch He n Landau ¨u einige ¨u das Zus andekommen diese
A bei ganz wesen liche Beme kungen zu g oßem Dank e p lich e ”.
5Be he (1930), “Zu Theo ie des Du chgangs schnelle Ko puskula s ahlen du ch Ma-
e ie”. C . Galison [1987].
6Mølle -Weine (1971), p. 13.

22 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
he non- ela i is ic sca e ing. Then I no iced ha he way he had
o mula ed i could be o mally a leas gene alized o ela i is ic
ea men , and I alked wi h Landau abou his, and he said, ‘Yes,
ha is ine,’ and he ema ked ha he me hod which looked e y
unsymme ical be ween he wo pa icles, he ema ked ha he
inal esul was symme ical in he wo pa icles. And his ga e me
g ea con idence o cou se in he alue o his esul .
L’an`alisi ela i is a del pas de pa ´ıcules ca egades a a ´es de la ma `e ia
no e a una q¨ues i´o d’in e `es pu amen e`o ic. L’in ens deba sob e la cons i u-
ci´o de la adiaci´o c`osmica que s’ex engu´e p `ac icamen sense in e upci´o en e
1928 (p ime s indicis que la adiaci´o podia se de na u alesa co puscula ) i 1937
(descob imen del “meso ´o”), es oba a en els p ime s anys de la d`ecada de
1930 en un dels seus momen s m´es `algids. La possibili a que elec ons d’al a
ene gia o messin pa de la adiaci´o p im`a ia inciden , eia necessa i con`eixe
les in e accions que expe imen a en en el seu pas a a `es de la ma `e ia. Pe `o
l’aplicaci´o dels seus c`alculs a la adiaci´o c`osmica in e essa ia Mølle nom´es
desp ´es d’ha e desen olupa el seu m`e ode. Inicialmen , el seu in e `es pe
aques en`omen e a de ca `ac e m´es onamen al, i es limi a a a la possibili a
de gene ali za -ne el ac amen e`o ic mi jan¸can la inclusi´o de la ela i i a ,
de la ma eixa mane a que ha ia anali za la desin eg aci´o adiac i a en el seu
p ime a icle.
El ´ı ol de la esi de Mølle , que es basa a de o ma essencial en l’a icle de
1931, e a el ma eix que el de l’a icle de Be he, can ian nom´es “ aigs co pus-
cula s” pe “elec ons”. Qu`e a a egi Mølle al ac amen , comple ´ıssim, de
Be he?
Be he had ea ed he collisions and s opping phenomena in he
non- ela i is ic case. He had w i en he ma ix elemen o he
ansi ion in such a way ha i looked as i one pa icle in i s
ansi ion c ea es a cha ge dis ibu ion which hen ac s on he o he
h ough a Coulomb po en ial. And hen he a he ob ious idea
came o do i ela i is ically; ins ead o using he Coulomb s a ic
po en ial, o in oduce a e a ded po en ial co esponding o he
cha ge and cu en which co esponds o such a ansi ion.7
7Mølle -Kuhn (1963), p. 15.
2. El m`e ode de Mølle 23
Mølle , en poques pa aules, ha ia gene ali za ela i ´ıs icamen l’an`alisi de
Be he. Ell ma eix desc iu ia pos e io men el seu ac amen com una ge-
ne ali zaci´o ela i is a del m`e ode de Bo n, assenyalan -ne una de les bases.
Aques a ca ac e i zaci´o simple, pe `o, ha de se p ecisada. Pe aix`o examinem
a con inuaci´o les bases, m´es o menys expl´ıci es, del eball de Mølle .
2. 1. Les bases del m`e ode
El m`e ode de Mølle es basa a de o ma essencial en es onamen s e`o ics
ben di e encia s: el m`e ode de pe o bacions de Bo n, l’equaci´o de Di ac, i el
p incipi de co espond`encia.
El m`e ode de pe o bacions de Bo n ´es un m`e ode d’ap oximaci´o que pe -
me de conside a des de la mec`anica qu`an ica en`omens ape i`odics, com a a
col.lisions. Max Bo n l’in odu´ı el 1926 en un a icle que ha esde ingu cl`assic,
en el qual o e ia a m´es la in e p e aci´o p obabilis a de la unci´o d’ona.8N’hi
ha p ou aqu´ı amb di que la eo ia de col.lisions de Bo n a se inco po ada
`apidamen a la eo ia qu`an ica, i con ibu´ı signi ica i amen a es end e les
se es aplicacions. El 1930 el seu ´us suposa a ins i o un supo addicional
pel aonamen de Mølle .
La necessi a d’inclou e la ela i i a dins el ma c de la no a eo ia qu`an ica
s’ha ia mani es a amb cla eda als seus c eado s des del p ime momen .
´
Es ben sabu que Sch ¨odinge in en `a inicialmen d’ob eni una equaci´o ela-
i is a. In en s simila s d’inclou e la ela i i a , ins i o la ela i i a gene al,
en la mec`anica qu`an ica, o en nomb osos du an 1926 i 1927.9L’anomenada
equaci´o de Klein-Go don, el m´es eeixi d’aques s in en s, acass`a anma eix
en la se a aplicaci´o a l’`a om d’hid ogen.10 Di ac a p oposa el gene de 1928
una no a ecuaci´o que, malg a les di icul a s d’in e p e aci´o, a imp essiona
pe la senzillesa o mal del seu plan ejamen , i pe inclou e l’esp´ı de o ma
na u al.11 L’equaci´o de Di ac e a de p ime o d e —el que es conside a a
essencial pe la eo ia de ans o macions i ha ia es a un dels ac o s de e -
minan s del eball de Di ac— i desc i ia l’elec ´o mi jan¸can uncions d’ona a
8Bo n, “Zu Quan enmechanik de S oß o g¨ange”, Zs. Phys. 37 (1926), 863–877.
9Vegi’s especialmen K agh (1981), p. 38.
10Vegi’s la no a 14 del cap´ı ol an e io .
11Di ac (1928a, b). Sob e la g`enesi de l’ecuaci´o de Di ac, egi’s K agh op. ci ., Moye
(1981a); sob e el seu impac e po eu e’s Moye (1981b, c). L’an`alisi m´es comple a de l’ob a
i la pe sonali a de Di ac es oba a la se a biog a ia apa eguda ecen men , K agh [1990].
24 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
qua e componen s.12 La p incipal di icul a de la equaci´o, les se es solucions
d’ene gia nega i a, a se econeguda immedia amen , pe `o no sembla ha e
ep esen a inicialmen un p oblema g eu.13
L’equaci´o de Di ac a se aplicada immedia amen a l’`a om d’hid ogen
pe Wal e Go don, que a mi jans de eb e ha ia dedu¨ı ja la ´o mula de
Somme eld pe l’es uc u a ina.14 El ma ¸c, C. G. Da win a ac a el ma eix
p oblema mi jan¸can una e si´o de la eo ia de Di ac m´es p ope a al o malisme
de la mec`anica ondula `o ia.15 La eo ia a condui a nous esul a s en se
aplicada a en`omens de dispe si´o. L’e ec e Comp on, la dispe si´o d’un o ´o pe
un elec ´o, ou ac a a Copenhaguen pe Osca Klein i Yoshio Nishina, que
l’agos publica en una no a a Na u e que con enia ja la coneguda ´o mula de
Klein-Nishina.16 L’ab il de 1929 Ne ille Mo a ac a mi jan¸can la no a
eo ia la dispe si´o d’elec ons en nuclis.17
Mølle , com ja hem assenyala al cap´ı ol an e io , assimil`a `apidamen la
no a eo ia de Di ac, i l’aplic`a ja al seu p ime a icle. A inals de 1930 les
di icul a s d’in e p e aci´o dels es a s d’ene gia nega i a e en pe cebudes cla a-
12Com explica a Pauli a K ame s abans que apa egu´es l’a icle de Di ac, “l’essencial del
nou eball d’esp´ı de Di ac ´es que in odueix equacions di e encials de p ime o d e (en lloc de
les habi uals de segon o d e), i p ecisamen qua e equacions simul `anies pe qua e uncions
ψ” (Pauli a K ame s, 7 eb e 1928, PBI [183]: “In de neuen Di acschen Spin-A bei is das
wesen liche, daß e Di e en ial Gleichungen e s e O dnung (s a de ¨ublichen 2. O dnung)
ein ¨uh , und zwa ie simul ane Gleichungen ¨u ie ψ-Funk ionen”).
13C . K agh (1981), p. 63: “The p oblem o nega i e ene gy s a es was he e du ing he
en i e pe iod o quan um mechanics, bu i was aken se iously only a e 1930. E en i he
undesi able exis ence o nega i e ene gies canno ha e escapped de ec ion, physicis s o ally
igno ed hem. They we e dismissed as ‘unphysical’, no ecognized as being p oblems o
ele ance”. El p oblema, pe `o, no e a de poca en i a . A K agh [1990], desp ´es d’indica que
els p oblemes en la con on aci´o amb l’expe i`encia no an a ec a se iosamen l’equaci´o, diu
K agh: “The eal di icul ies o he heo y we e connec ed wi h he physical in e p e a ion
o i s ma hema ical s uc u e, in pa icula , wi h he nega i e ene gy solu ions” (p. 65).
14Go don, “Die Ene gieni eaus des Wasse s o a oms nach de Di acschen Quan en heo ie
des Elek ons”, Zs. Phys. 48 (1928), 11–14.
15Da win, “The Wa e Equa ions o he Elec on”, P oc. Roy. Soc. 118 (1928), 654–680.
16Klein i Nishina, “The sca e ing o ligh by ee elec ons acco ding o Di ac’s new el-
a i is ic dynaics”, Na u e 122 (15 se 1928), 398–399. Veu e amb´e la comunicaci´o ex ensa
dels seus esul a s: Ҭ
Ube die S euung on S ahlung du ch eie Elek onen nach de neuen
ela i is ischen Quan endynamik on Di ac”, Zs. Phys. 52 (1929), 853–868.
17Mo , “The Sca e ing o Fas Elec ons by A omic Nuclei”, P oc. Roy. Soc. 124 (1929),
425–442. K agh [1990] esumeix la q¨ues i´o: “In pa icula , [Di ac equa ion] p o ed success ul
in he s udy o ela i is ic sca e ing p ocesses, i s in es iga ed by Mo in Camb idge and
Klein, Nishina and Mølle in Copenhagen” (p. 64).
2. El m`e ode de Mølle 25
men , pe `o l’`exi de les p ime es aplicacions de l’equaci´o i la se a “necessi a ”
o mal eia que pocs ´ısics en dub essin se iosamen .18
El p incipi de co espond`encia cons i ueix l’elemen m´es sub il, i alho a el
m´es ca ac e ´ıs ic, del eball de Mølle . La se a impo `ancia escapa `acilmen ,
pe la na u ali a amb qu`e ´es in odu¨ı , a una lec u a supe icial. Basan la
se a an`alisi en aques p incipi, Mølle seguia els seus mes es: Boh , que l’ha ia
c ea , i Klein, que ha ia econside a la se a aplicaci´o en la no a mec`anica
qu`an ica el 1927.
Els an eceden s del p incipi de co espond`encia es oben en la suposici´o
onamen al, ja exp essada pe Planck el 1906, que la eo ia qu`an ica con ´e la
mec`anica cl`assica com a cas l´ımi .19 En la o mulaci´o m´es p imi i a de Boh ,
al p ime a icle de la amosa ilogia sob e la cons i uci´o d’`a oms i mol`ecules
de 1913, aques a elaci´o o mal s’exempli ica a en el cas d’un elec ´o en la se a
`o bi a: Boh iden i ica a la eq¨u`encia cl`assica de o aci´o d’un elec ´o amb la
eq¨u`encia de la adiaci´o emesa en la ansici´o en e els es a s n+ 1 i n, pe
alo s g ans de n.
En la p ime a elabo aci´o comple a que en ´eu Boh , el 1918, el p incipi e a
una egla heu ´ıs ica que pe me ia dedui les eq¨u`encies, in ensi a s i pola i -
zaci´o de les l´ınies espec als en base al mo imen dels elec ons en les se es
`o bi es. En aques a o ma el p incipi a eni una impo `ancia cabdal en el
desen olupamen de la eo ia qu`an ica i en la c eaci´o de la no a mec`anica
qu`an ica, que ha es a su icien men econeguda.20 Amb la in oducci´o de
18A inals de 1928 Klein a plan eja amb cla eda el p oblema de les solucions d’ene gia
nega i a de l’equaci´o de Di ac, en ac a segons la no a eo ia la e lexi´o d’elec ons en
una ba e a de po encial. Pe alo s p ou al s del po encial, els elec ons que aspassa en
la ba e a posse¨ıen una ene gia cin`e ica nega i a, esul a que a ia a se conegu com
apa adoxa de Klein (“Die Re lexion on Elek onen an einem Po en ialsp ung nach de
ela i is ischen Dynamik on Di ac”, Zs. Phys. 53 (1929), 157–165 [ eb. 24 desemb e 1928]).
A p incipis de 1930 el ´ısic suec I a Walle mos `a que els es a s d’ene gia nega i a ha ien de
se conside a s necess`a iamen en la deducci´o de la ´o mula de Klein-Nishina, i que e en els
´unics que in e enien el l´ımi cl`assic (hν mc2) si s’ha ia de ecupe a la ´o mula cl`assica
de dispe si´o (“Die S euung on S ahlung du ch gebundene und eie Elek onen nach de
Di acschen ela i is ischen Wellenmechanik”, Zs. Phys. 61 (1930), 837–851). C . amb´e
I. Tamm, Ҭ
Ube die Wechselwi kung de eien Elek onen mi de S ahlung nach de
Di acschen Theo ie des Elek ons und nach de Quan enelek odynamik”, Zs. Phys. 62
(1930), 545-568 [ eb. 7 ab il 1930].
19C . Jamme , The concep ual de elopmen o quan um mechanics, McG aw Hill 1966,
pp. 109–118; Meye -Abich, Ko espondenz, Indi iduali ¨a und Komplemen a i ¨a , Wies-
baden: F anz S eine 1965.
20C . Jamme , op. ci ., p. 116: “The co espondence p inciple u ned ou o be a mos
32 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
Aques po encial ´es ac a com una pe o baci´o que ac ua sob e la pa ´ı-
cula 2, que sa is `a segons Di ac l’equaci´o
(i¯h∂
∂ −ic¯h~α(2) ·~
∇+βm2c2)ψ2=−e2(φ+~α(2) ·A)ψ2.
La p obabili a que es p odueixi una ansici´o (1,2) →(10,20) en la uni a
de emps e donada alesho es, “segons ´o mules ben conegudes de la eo ia de
pe o bacions”,33 pe
P(1,2→10,20) = 4π2
h|Φ|2δ(E1+E2−E10−E20),(4)
on
Φ = hϕ20|U( 2)|ϕ2i=Zϕ†
20U( 2)ϕ2d3 2,
iU( 2) ´es la pa espaial de la unci´o pe o ba i a, −e2(φ+~α(2) ·A).
Tenin en comp e la ep esen aci´o en o ma d’ones planes, l’elemen de
ma iu s’esc iu
Φ = e1e2h2
πZϕ†
20
u†
10u1−~α(2) ·(u†
10~α(1)u1)
(p1−p10)2ei(k1−k10)· 2ϕ2d3 2.
Si la unci´o del a de l’exp essi´o (4) assegu a la conse aci´o de l’ene gia, in e-
g an l’exp essi´o an e io s’ob ´e la conse aci´o del momen . Pe aix`o nom´es
s’ha d’obse a que pe de inici´o de la unci´o del a es po esc iu e
Zei(k1+k2−k10−k20)· 2d3 2=h3δ(p1+p2−p10−p20),(5)
de o ma que inalmen s’ob ´e pe l’elemen de ma iu34
Φ = e1e2h2
π
u†
20u2u†
10u1−(u†
20~α(2)u2)·(u†
10~α(1)u1)
(p1−p10)2h3δ(p1+p2−p10−p20).(6)
Aques a exp essi´o desc iu ja essencialmen la in e acci´o. Mølle es complau
en econ`eixe -ne di ec amen la in a i`ancia ela i is a i la sime ia, especial-
men sa is ac `o ia donada l’asime ia del m`e ode. Discu eix desp ´es el signi-
ica dels di e en s e mes i la elaci´o amb ac amen s an e io s del ma eix
33Mølle (1931), p. 789: “Nach wohlbekann en Fo mel de S ¨o ungs heo ie”.
34In odu¨ın la no aci´o γµ, amb γ0=βi~γ =γ0·~α, i obse an que u†
10u1= ¯u10γ0u1i que
u†
10~α(1)u1= ¯u10~γu1, el e me in e mig ´es
¯u20γµu2¯u10γµu1
(p10−p1)2,
el ma eix que esc iu ´ıem a ui di ec amen pe la in e acci´o en e dues pa ´ıcules de Di ac
dis ingibles.

2. El m`e ode de Mølle 33
p oblema. Abans del de Mølle , hi ha ia hagu al es in en s de oba una
exp essi´o pe la in e acci´o en e dos elec ons en base a l’equaci´o de Di ac,
que examinem a con inuaci´o. La se a an`alisi essal a les pa icula i a s del
ac amen de Mølle , i mos a com es a in en a de esold e el p oblema des
de l’elec odin`amica qu`an ica.
2. 2. T ac amen s an e io s de la in e acci´o en e dos elec ons
Dona l’`exi de la eo ia de l’elec ´o de Di ac en la se a immedia a aplicaci´o
a l’`a om d’hid ogen, i la se a ecepci´o en usias a, no ´es es any que poc de-
sp ´es s’in en ´es aplica -la amb´e a l’`a om d’heli, de dos elec ons. El juny del
1926, Heisenbe g ha ia sol.luciona l’`a om d’heli segons la mec`anica qu`an ica,
mi jan¸can l’aplicaci´o de l’equaci´o d’Sch ¨odinge al p oblema de a is cossos.35
El ´ısic angl`es J. A. Gaun , alesho es p o esso de ´ısica al T ini y College, a
Camb idge, a aplica a mi jans de 1928 l’equaci´o de Di ac a l’`a om d’heli. El
ca `ac e onamen al de la no a equaci´o jus i ica a un eplan ejamen del p o-
blema: “Sch ¨odinge ’s equa ion is likely o be supplan ed as he ounda ion
o wa e-mechanics by he equa ion ecen ly pu o wa d by Di ac. . . Apa
al oge he om he abo e c i icisms o Heisenbe g, i seemed expedien o
p oceed o he heo y o an a om wi h wo elec ons on he basis o he new
equa ion”.36
Pe ob eni una exp essi´o pe l’ene gia d’in e acci´o en e dos elec ons,
Gaun pa ia de l’exp essi´o p oposada pe Heisenbe g, sup imin aquells e -
mes de l’ene gia d’in e acci´o que conside a a inclosos di ec amen a l’equaci´o
de Di ac, i subs i u¨ın als al es el momen magn`e ic e
mc si la eloci a de
l’elec ´o, pe −eh
4πmc ~σ i1
mp espec i amen , d’aco d amb la eo ia de Di ac.
Pe `o l’exp essi´o que Gaun sugge ia inalmen pe l’ene gia exac a d’in e acci´o
en e dos elec ons s’ob enia d’una o ma mol m´es di ec a i poc igo osa.
Gaun ob enia l’ene gia d’in e acci´o magn`e ica a pa i de l’ene gia associada,
en la eo ia de Di ac, al mo imen d’un elec ´o en un camp magn`e ic de po en-
cial ec o A,−e~α·A. Aques po encial ec o e a el c ea pe l’al e elec ´o, i
Gaun eco ia a les exp essions pe la densi a de c`a ega i co en associades
a una unci´o d’ona ψen la eo ia de Di ac, −e ψ†ψiec ψ†~αψ. La simili ud
35Heisenbe g, “Me k¨o pe p oblem und Resonanz in de Quan enmechanik”, Zs. Phys.
38 (1926), 411–426 [ eb. 11 juny 1926]; “¨
Ube die Spek a on A omsys emen mi zwei
Elek onen”, Zs. Phys. 39 (1926), 499–518 [ eb. 24 juliol 1926]).
36Gaun (1929a), p. 513. Veu e amb´e Gaun (1929b).
34 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
amb el m`e ode de Mølle acaba a aqu´ı, pe qu`e Gaun simpli ica a mol la
esoluci´o del p oblema, limi an -se a obse a que de la ma eixa mane a que
s’a ibu¨ıa un po encial escala −e/ a la c`a ega d’un elec ´o, podia associa -
se a l’elec ´o en mo imen el po encial ec o A=e~α/ . Aix´ı s’ob enia pe
l’ene gia d’in e acci´o
E=e2
(1 −~α1·~α2).(7)
L’equaci´o de Gaun es podia dedui di ec amen a pa i de l’ene gia d’in-
e acci´o magn`e ica en e dos elec ons,
E=e2
1− 1· 2
c2,
associan les ma ius ~α de Di ac a /c. Pos e io men , el eball de Gaun a
se so in ca ac e i za d’aques a mane a.
El ac amen de Mølle con enia el de Gaun . Pe mos a -ho, Mølle
nom´es ha ia de sup imi el e me (E0
1−E1)2del denominado de l’exp es-
si´o (6) pe l’elemen de ma iu, que ha ia esc i expl´ıci amen
(p0
1−p1)2= (p0
1−p1)2−(E0
1−E1)2.
Amb aix`o les ´o mules que ha ia ob ingu , en e elles l’exp essi´o pe l’elemen
de ma iu, “es edueixen a les que s’ob enen quan es ac a la col.lisi´o segons
l’equaci´o d’ona pel p oblema de dos cossos in odu¨ıda pe Gaun ”.37 Pe `o
d’aques a mane a no nom´es es pe d na u almen la in a i`ancia ela i is a, sin´o
que “es p escindeix e iden men del e a damen ”, l’in lux del qual “´es a la
majo ia dels casos del ma eix o d e de magni ud que la in e acci´o d’esp´ı”.38
La no conside aci´o del e a damen a se immedia amen conside ada com un
dels de ec es impo an s de l’exp essi´o de Gaun .
37Mølle (1931), p. 791: “. . . eduzie en sich . . . au diejenigen, welche man e h¨al , wenn
man den S oß nach de on Gaun au ges ell en Wellengleichung ¨u das Zweik¨o pe p oblem
behandel ”.
38Ibid., p. 791: “Das S eichen des e w¨ahn en Gliedes in (9) bedeu e o enba , daß man
on de Re a da ion absieh . De Ein luß de Re a da ion is abe in den meis en Fallen on
de selben G ¨oßeno dnung wie die Spinwechselwi kung”. Es po eu e que sup imi aques
e me ep esen a p escindi del e a damen obse an que p o ´e di ec amen de les solucions
a les equacions dels po encials en e mes de les densi a s de c`a ega i co en (po encials
de Li´ena d-Wieche ). Nom´es p enen el alo e a da de les densi a s de c`a ega i co en
po apa `eixe el e me en ene gies —que igu a a una exponencial en el emps— en e la
in eg aci´o espaial que p esc iu la soluci´o gene al.
2. El m`e ode de Mølle 35
En el con ex del seu eball conjun sob e la quan i icaci´o del camp elec-
omagn`e ic, Heisenbe g i Pauli, ha ien a iba independen men al po encial
d’in e acci´o de Gaun . El 30 de no emb e de 1928 G ego y B ei , que alesho es
eballa a amb Pauli a Zu ic, esc i ia a Eh en es :39 “Pauli i Heisenbe g han
p oposa una equaci´o pe a dos elec ons simila a l’equaci´o de Di ac:
p0+e
cAI
0+e
cAII
0+XαI
k(pI
k+e
cAI
k) + XαII
k(pII
k+e
cAII
k)
+αI
4mc +αII
4mc −e2
(1 −XαI
kαII
k)φ= 0 (8)
on el da e e me ep esen a la in e acci´o magn`e ica. Po se dedu¨ıda mi -
jan¸can el m`e ode de quan i icaci´o de les ampli uds o b´e in e p e an les α
com a eloci a s”. Pe `o B ei , a la ma eixa ca a, eia m´es que comunica els
esul a s de Heisenbe g i Pauli: ell ma eix es a a con ibu¨ın signi ica i amen
al p oblema de dos elec ons, i acaba a de dedui una equaci´o que enia en
comp e el e a damen . L’anomenada equaci´o de B ei ep esen a l’in en m´es
impo an de desc iu e la in e acci´o en e dos elec ons en base a l’equaci´o de
Di ac p e i al eball de Mølle .
G ego y B ei (1899–1981), un ´ısic d’o igen us o ma als Es a s Uni s,
a dedica a is eballs a l’an`alisi de la in e acci´o en e dos elec ons en e
1929 i 1932. B ei s’ha ia in e essa des de la se a apa ici´o pe l’equaci´o de
Di ac, especialmen pe la q¨ues i´o de la se a in e p e aci´o ´ısica.40 El 1928,
desp ´es de dos anys dedica s a expe imen s pe la p oducci´o d’al es ensions,
B ei , possiblemen in lu¨ı pe Eh en es , a c eu e a iba el momen de o na
a in e essa -se en la eo ia. Du an aques emps nom´es ha ia conside a la
eo ia “espo `adicamen ” (“spasmodisch”), i a a desi ja a con`eixe a ons els
p incipis de la no a mec`anica qu`an ica ia jan a Eu opa. El maig de 1928
B ei a deixa els expe imen s en mans de Me le Tu e, el seu col.labo ado ,
decidi , com a esc iu e a Eh en es el 21 de maig, a ocupa -se nom´es de la
39B ei a Eh en es , 30 no emb e 1928 (AHQP/EHR-18): “Pauli und Heisenbe g haben
eine Gleichung ¨u zwei Elek onen au ges ell die ¨ahnlich de Di acgleichung is . . . wo de
le z e Te m die Magne ische Wechselwi kung bedeu e . Man kann die en wede du ch die
Me hode de Quan elung de Ampli uden ode du ch die In e p e a ion on den α’s als
Geschwindigkei en deu en”.
40Veu e B ei , “An in e p e a ion o Di ac’s heo y o he elec on”, P oc. Na . Acad. Sci.
14 (1928), 553. Com a i ma en aques a icle, B ei a man eni co espond`encia amb Di ac
malg a que cap ca a en e ells no es `a ca alogada als AHQP.
36 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
eo ia a pa i d’aquell momen .41
B ei enia in enci´o d’inicia a Leiden la se a es ada a Eu opa, pe `o Eh en-
es a ecomana -li de eballa a Zu ic amb Pauli. Seguin el seu consell,
B ei a ib`a a Zu ic a inals d’agos , i s’hi a es a la es a de l’any. B ei
no ha ia esmen a en la co espond`encia amb Eh en es p `e ia al seu ia ge
cap p oblema e`o ic que l’in e ess´es especialmen . Pauli l’in odu´ı en el p o-
blema de la in e acci´o en e dos elec ons, que ell i Heisenbe g ha ien es a
conside an ecen men en el con ex dels seus in en s de quan i za el camp
elec omagn`e ic. B ei a ob eni en p ime lloc a pa i de l’equaci´o (8) una
exp essi´o pe l’ene gia de l’`a om d’heli mol semblan a la de Heisenbe g. Els
dub es sob e la in e p e aci´o ´ısica d’alguns dels e mes i sob e la co ecci´o
de la deducci´o de l’ene gia d’in e acci´o, an e que aques s esul a s no os-
sin publica s. B ei a in en a alesho es de conside a el e a damen , el
que aconsegu´ı, a menys d’un e me d’in e p e aci´o dub osa:42 “He in en a
desp ´es conside a amb´e el e a damen , semp e en la ma eixa ap oximaci´o,
( /c)2. Amb la in e p e aci´o de αI
k,αII
kcom a componen s de la eloci a ,
aix`o unciona amb l’aju del ell eball (1920) de Da win. El esul a con ´e
nom´es un e me incomp ensible. Po se es pod ia comp o a en l’es uc u a
de l’o oheli”.
B ei a in en a a con inuaci´o, emp`es pe Pauli, de conside a el e a -
damen sense ha e de ec`o e a cap ap oximaci´o:43 “Pauli m’ha emp`es
desp ´es a la conside aci´o exac a del e a damen . Fins a un pa ell de dies
enca a en´ıem espe ances, pe `o a a ho hem deixa c`o e . Ell i Heisenbe g
ja ho ha ien p o a a la p ima e a”. To i que aques in en acass`a, B ei
a imp essiona mol a o ablemen Pauli, que el 24 de desemb e esc i ia a
Eh en es :44 “Em a aleg a mol que m’en i´es el senyo B ei cap a Zu ic, ja
41B ei a Eh en es , 21 maig 1928 (AHQP/EHR-18): “Von je z an we de ich mich nu
mi Theo ie besch¨a igen”.
42B ei a Eh en es , 30 no emb e 1928 (AHQP/EHR-18): “Ich habe dann auch e such
die Re a die ung in imme de selben N¨ahe ung ( /c)2zu be ¨ucksich igen. Mi de In e p e-
a ion on αI
k,αII
kals Geschwindigkei s Komponen en ging das mi Hil e de al en (1920)
A bei on Da win. Das Resul a ha dann nu einen un e s ¨andlichen Te m. Vielleich
kann man ihn in de O hohelium S uk u nachp ¨u en”.
43Ibid.: “Dann ha mich Pauli au die exak e Be ¨ucksich igung de Re a die ung au ge-
he z. Bis o ein Paa Tagen ha en wi noch Ho nung, abe je z haben wi es au gegeben.
E und Heisenbe g haben es im F ¨uhjah schon p obie ”. A la ma eixa ca a B ei exp es-
sa a la in enci´o de deixa Zu ic a mi jans de gene , pe `o la ca a de Pauli que es ci a a
con inuaci´o d´ona a en end e que ho a e a inals de desemb e.
44Pauli a Eh en es , 24 desemb e 1928 (PBI, [212]): “Ich wa seh oh, daß Sie mi He n
2. El m`e ode de Mølle 37
que en aig queda ex ao din`a iamen sa is e . Tanma eix, enca a m’aleg a ia
m´es si m’en i´es a ia un al e home an capa¸c, que no se m’escap´es desp ´es
d’un pa ell de se manes pe ana -se’n a ca¸ca 5 milions (no de d`ola s, sin´o) de
ol s a Am`e ica!”.
B ei , ja als Es a s Uni s, a comple a la se a an`alisi i a publica els
esul a s.45 Com ha ia assenyala en la ca a a Eh en es , B ei p oposa a
“una equaci´o d’ona ap oximada que ´e en comp e e mes d’o d e ( /c)2en la
in e acci´o en e dos elec ons”. L’equaci´o es dedu¨ıa a pa i de l’hamil oni`a
cl`assic de Da win pe la in e acci´o en e dos elec ons, que enia en comp e
el e a damen dels po encials.46 L’hamil oni`a de Da win con ´e e mes que
desc iuen els dos elec ons lliu es, la se a in e acci´o amb un camp ex e n, i
inalmen el e me que p `opiamen ep esen a la in e acci´o en e ells
Hin =e1e2
−e1e2
2c2m1m2p1·p2
+p1· p2·
3,(9)
on els ´ındexs 1 i 2 dis ingeixen els elec ons, i = 2− 1. El p ime e me
desc iu e iden men la in e acci´o elec os `a ica; el segon ´es el e me ca ac e-
´ıs ic associa al e a damen .
La o ma de l’hamil oni`a de Da win sugge ia a B ei de desc iu e la in e -
acci´o en e els elec ons en la eo ia de Di ac mi jan¸can l’ope ado
Hin =e2
1−~α(1) ·~α(2)
2−~α(1) · ~α(2) ·
2 2.(10)
La base d’aques a ansc ipci´o e a la elaci´o
d
c d =−~α,
que ha ia es a “comunicada a l’au o pe ca a pel D . P. A. M. Di ac l’es iu de
1928”.47 B ei obse a a que si no es enia en comp e l’e ec e del e a damen ,
B ei nach Z¨u ich geschick haben, denn ich wa mi ihm auße o den lich zu ieden. Noch
ohe w¨a e ich abe , wenn Sie mi bald einen ebenso ¨uch igen Mann schicken w¨u den,
de mi nich nach ein paa Wochen wiede da onla¨u , um in Ame ika 5 Millionen (nich
Dolla s, sonde n) Vol nachzuj¨agen”. Sembla se que B ei ha ia o na a in e essa -se pe
la p oducci´o d’al s ol a ges.
45B ei (1929), ebu el 31 de maig de 1929.
46Da win, “The dynamical mo ions o cha ged pa icles”, Phil. Mag. 39 (1920), 537–551.
La ´o mula ci ada es oba a la p. 546, ´o mula (15).
47B ei (1929), p. 555.

38 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
i es conside a en nom´es les in e accions coulombiana i magn`e ica, s’ob enia en
lloc de (10) l’exp essi´o
Hin =e2
[1 −~α(1) ·~α(2)],(11)
“ he equa ion used by Gaun and Edding on, and claimed by hem o be
co ec ”.48 La compa aci´o amb l’expe i`encia es deixa a pe un a icle pos-
e io , que B ei no elabo `a immedia amen , i que public`a gai eb´e un any
desp ´es.
L’an`alisi de B ei es basa a, com les an e io s de Heisenbe g i Gaun , en
models cl`assics de la in e acci´o en e els elec ons, pe `o enia sob e aquelles
l’a an a ge d’inclou e l’e ec e del e a damen . L’aspec e m´es inno ado de
l’equaci´o de B ei , pe `o, e a que podia dedui -se de “la no a eo ia de Heisen-
be g i Pauli dels camps d’ona”, ins a e mes de p ime o d e en la in e acci´o
de Coulomb. El gene de 1929, poc desp ´es que B ei hagu´es deixa Zu ic,
Heisenbe g a oba la mane a de supe a , mi jan¸can un a i ici o mal, els
p oblemes que ha ien a u a els seus in en s conjun s amb Pauli de cons ui
una eo ia qu`an ica del camp elec omagn`e ic. Dona que Heisenbe g so ia l’1
de ma ¸c cap als Es a s Uni s, l’a icle on exposa en la se a “din`amica qu`an ica
dels camps d’ona” a ha e de se elabo a `apidamen , i la majo pa del e-
ball a ecau e en Pauli. L’a icle es a a acaba a mi jans de ma ¸c.49
El ia ge de Heisenbe g a e possible que B ei , que ja ha ia conegu Pauli
a Zu ic, ingu´es l’ocasi´o de eballa amb´e amb l’al e au o de la eo ia, aques
cop sense ha e de c eua l’A l`an ic. B ei es ob`a amb Heisenbe g a Bos on
i Chicago, i a discu i amb ell la no a eo ia i la se a possible aplicaci´o al
p oblema que es a a conside an .50 D’aques a mane a a pode inclou e al
seu a icle un apa a en el que dedu¨ıa l’hamil oni`a d’in e acci´o (10) a pa i
de l’elec odin`amica qu`an ica de Heisenbe g i Pauli. En ca a a Eh en es del
16 de juliol esumia aix´ı el eball que acaba a de comple a :51
48Ibid., p. 557. A hu Edding on ha ia segui el ac amen de Gaun en l’a icle ci a
pe B ei , “The cha ge o an elec on”, P oc. Roy. Soc. A122 (1929), 358–369.
49Heisenbe g i Pauli (1929). C . PBI, pp. 482 i ss., Da igol (1984), pp. 479–487.
50B ei a Eh en es , 16 juliol 1929 (AHQP/EHR-18): “Heisenbe g habe ich in Bos on und
auch in Chicago au gesuch und bei ihm gea bei e ”.
51Ibid. (el sub a lla ´es meu): “Die quan isie en Wellen on Heisenbe g-Pauli geben in
einem gewissen Sinn dasselbe Resul a in de ( /c)2-N¨ahe ung das man nach dem Ko espon-
denzp inzip im Kon igu a ions aum e h¨al . F¨u das He-P oblem meinen Heisenbe g Pauli
und Oppenheime , is diese Gleichung gen¨ugend, abe ¨u die exak e L¨osung des Zweielek-
2. El m`e ode de Mølle 39
Les ones quan i zades de Heisenbe g-Pauli donen en ce sen i el
ma eix esul a que s’ob ´e segons el p incipi de co espond`encia a
l’espai de con igu aci´o, en l’ap oximaci´o ( /c)2. Heisenbe g, Pauli i
Oppenheime c euen que aques a equaci´o ´es su icien pel p oblema
de l’heli, pe `o pe la soluci´o exac a del p oblema de dos elec ons
no d´ona es de b´o. L’ap oximaci´o ( /c)3d´ona esul a s ben poc
aonables, que po se es an elaciona s amb la di icul a ±mde
Di ac.
L’op imisme inicial de B ei , que enia pe mol p obable que l’equaci´o
que ha ia dedu¨ı os co ec a, ha ia disminu¨ı conside ablemen quan un any
desp ´es a publica l’a icle en qu`e aplica a l’equaci´o a l’heli. En ell nom´es
deia de la se a equaci´o que “[i ] appea ed a he ime as a likely one, bu
i was impossible o gi e a igo ous de i a ion”.52 Els dub es no p o enien
de la con on aci´o de l’equaci´o amb l’expe i`encia, sin´o del desen olupamen
ul e io de la eo ia de Heisenbe g i Pauli. A inals de gene de 1929 un
jo e J. Robe Oppenheime , que eali za a el seu segon ia ge d’es udis pe
Eu opa, a a iba a Zu ic seguin , com abans B ei , els consells d’Eh en es .
Oppenheime a conside a amb Pauli la q¨ues i´o de l’ene gia p `opia de l’elec ´o,
un dels aspec es menys sa is ac o is del p ime a icle de Heisenbe g i Pauli,
“que pod ia a u¨ına comple amen els esul a s e`o ics ins i o en l’o d e
( /c)2”.53 L’es iu de 1929, ja als Es a s Uni s, Oppenheime a comple a
una an`alisi de les equacions de Heisenbe g i Pauli a l’espai de con igu aci´o,
que mos a a l’equi al`encia amb l’equaci´o d’Sch ¨odinge pel p oblema de a is
cossos en el l´ımi no ela i is a.
La mo i aci´o p incipal de l’a icle d’Oppenheime , pe `o, e a eu e en quina
mesu a el p oblema de l’au oene gia de l’elec ´o, que ja es dona a a la eo ia
cl`assica, pe sis ia en la no a eo ia. Oppenheime mos a a amb cla eda que
“´es impossible, en la eo ia p esen , d’elimina la in e acci´o d’una c`a ega
amb el seu p opi camp”, i a m´es “que la eo ia condueix a alses p ediccions
quan ´es aplicada al c`alcul dels ni ells d’ene gia i la eq¨uencia de les l´ınies
onenp oblems gib es doch nich s Gu es. Die N¨ahe ung ( /c)3gib ganz un e n¨un ige
Resul a e, die ielleich mi de Di acschen ±mSchwie igkei in Ve band s ehen”.
52B ei (1930), p. 383.
53El 16 de ma ¸c Pauli ha ia esc i a Klein, e e in -se al ma eix a icle (PBI [218]): “Vieles
in diese A bei is seh e besse unsbed¨u ig. . . o allem: es bes eh die g oße Ge ah ,
daß die Selbs ene gie de Elek onen be ei s in G ¨oßen de O dnung ( /c)2die heo e ischen
E gebnisse olls ¨andig uini en we den”.
40 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
d’abso ci´o i emissi´o d’un `a om”.54 Segons la eo ia, els ni ells d’ene gia de
l’`a om no nom´es es a en in ini amen despla¸ca s de les se es posicions segons
la eo ia de Boh , sin´o que les di e `encies d’ene gia en e ni ells con igus e en
amb´e in ini es. A la se a conclusi´o, Oppenheime desca a a l’aplicabili a
de la eo ia a p oblemes es ic amen ela i is es, aquells pels que ha ia es a
c eada: “We ha e ea ed hese di icul ies in some de ail, because hey show
ha he p esen heo y will no be applicable o any p oblem whe e ela i is ic
e ec s a e impo an , whe e, ha is, we canno be guided h oughou by he
limi ing case c→ ∞”.55
Oppenheime e a m´es expl´ıci que B ei quan mos a a que l’equaci´o de
B ei nom´es podia dedui -se p escindin dels e mes d’ene gia p `opia. Quan
B ei a publica l’a icle en qu`e aplica a la se a ´o mula al c`alcul de l’es uc-
u a ina de l’heli, els e ec es del eball d’Oppenheime e en ben mani es os:56
“The same p oblem has been ea ed by Oppenheime [(1929)] who showed
ha e en o highe powe s o e2 he w i e ’s equa ion [(10)] could be de i ed
i ce ain in ini e e ms o he in e ac ion ene gy a e sys ema ically neglec ed.
Howe e , Oppenheime also shows ha a s ic applica ion o he wa e ield
heo y leads o in ini e ela i e displacemen s o he a omic ene gy le els”.
B ei elaciona a el ac`as de la mec`anica qu`an ica en la desc ipci´o de la in e -
acci´o elec omagn`e ica en e dues pa ´ıcules amb dues di icul a s. La p ime a
d’elles, la q¨ues i´o de si l’elec ´o enia dimensions o podia se conside a una
pa ´ıcula pun ual, ha ia es a ja conside ada en la eo ia cl`assica. L’al a,
els “sal s de Di ac” als ni ells d’ene gia nega i a, e a mol m´es ca ac e ´ıs ica
del momen de edacci´o de l’a icle. La conclusi´o de B ei e a pessimis a:57
“Nei he o hese ques ions can be answe ed a p esen and i seems ha no
sa is ac o y pu ely heo e ical solu ion o he wo elec on p oblem can be ob-
ained be o e his is done”. L’elec odin`amica qu`an ica de Heisenbe g i Pauli,
el ac amen m´es gene al i onamen al que ha ia ebu la eo ia, dona a doncs
poques espe ances que el p oblema que Mølle conside a ia pocs mesos desp ´es
os soluble.
54Oppenheime (1929), p. 461: “i is impossible on he p esen heo y o elimina e he
in e ac ion o a cha ge wi h i s own ield, and ha he heo y leads o alse p edic ions when
i is applied o compu e he ene gy le els and he equency o he abso p ion and emission
lines o an a om”.
55Ibid., p. 477.
56B ei (1930), p. 384.
57Ibid., p. 384.
2. El m`e ode de Mølle 41
Dos anys desp ´es, en un a icle sob e “Quan um heo y o dispe sion” pe
Re iew o Mode n Physics, B ei se ia m´es concluen .58 Men e p e e ia
jus i ica el m`e ode de co espond`encia de Klein mi jan¸can “ he heo y o he
ligh quan a”, B ei obse a a que aques a eo ia “has no gone so a much
beyond he jus i ica ion o he co espondence me hod and. . . i canno claim o
be logically consis en on accoun o he well-known di e gence di icul ies”.59
B ei ecomena a el m`e ode de co espond`encia de Klein pe la se a simplici a
i e ic`acia:60
Klein’s o mula ion appea s a he p esen ime, he e o e, as a
pa icula ly clea way o s a ing ou knowledge abou he p ob-
abili ies o spon aneous emission and o sca e ing. Al hough i
does no aspi e o he same deg ee o inish as he heo y o ligh
quan a i is highly ecommended by i s simplici y and i is likely
o be co ec qui e independen ly o he heo y o ligh quan a. In
p ac ical applica ions i has he addi ional ad an ages o a oiding
oo complica ed calcula ions and o enabling one o isualize he
phenomena in e ms o cha ge and cu en dis ibu ions.
Quan B ei comen a a el seu eball sob e la in e acci´o en e dos elec ons, les
ap eciacions nega i es d’Oppenheime enca a e en p esen s:61
The in e ac ion be ween wo pa icles can also be ea ed acco d-
ing o quan um elec odynamics, and i is possible o explain by
his means he in e ac ions o he elec on spins o wo pa icles
as well as he o bi al and o bi spin in e ac ions. I should be
emembe ed, howe e , ha he di e gence di icul ies o he he-
o y make i impossible, acco ding o Oppenheime , o a i e a a
unique in e p e a ion o he esul s.
Desp ´es d’ha e es a mol implica du an m´es de dos anys amb el p oblema de
dos elec ons i amb l’aplicaci´o de la eo ia de Heisenbe g i Pauli, B ei conclo¨ıa:
“I will be seen om he abo e e iew o he wo k on he wo elec on p oblem
ha he heo y o ligh quan a is no a e y sa is ac o y ool o i s discussion.
58B ei (1932), (1933).
59B ei (1933), p. 129.
60Ibid., p. 129.
61Ibid., p. 131.
48 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
dona a, si m´es no en els seus casos l´ımi s, esul a s p ome edo s. Si l’aplica a
al c`alcul del ena d’elec ons ela i is es, podia espe a ob eni esul a s ´u ils
pe a l’an`alisi de la adiaci´o c`osmica, un dels camps de ece ca m´es ac ius en
aquells momen s. Amb aques es pe spec i es hagu´e d’inicia Mølle el eball
que el po a ia a comple a , en menys d’un any, l’a icle m´es ex ens i impo an
dels que ha ia publica ins aquell momen . Al seg¨uen cap´ı ol examinem
la se a g`enesi, i especialmen la de la ´o mula de dispe si´o en e elec ons
lliu es que con ´e. Abans, pe `o, conside em b euemen algunes de les p ime es
eaccions a l’a icle que acabem d’anali za .
El ecu s al p incipi de co espond`encia a se a ia conside a com un dels
elemen s ca ac e ´ıs ics del eball de Mølle . Poc desp ´es de la se a apa ici´o,
L´eon Rosen eld mos `a amb cla eda aques a iliaci´o concep ual. El se emb e
de 1931 Rosen eld, que es oba a a Copenhaguen des de inals de eb e , ha ia
concl`os un ac amen del p oblema ela i is a de a is cossos en base al “p in-
cipi de co espond`encia e ina de Heisenbe g”.80 D’aques a mane a s’ob enia
“una gene ali zaci´o del m`e ode emp a pe Mølle en el ac amen ela i is a
dels p oblemes de col.lisi´o, d’aco d amb els esul a s dedu¨ı s d’una al a mane a
pe B ei ”.81 El 30 de se emb e Mølle comen a a a Be he que “el S . Rosen-
eld ha eali za una gene ali zaci´o mol in e essan del m`e ode emp a al meu
eball, mi jan¸can la qual dedueix exp essions ela i is es o almen gene als
pe l’in e can i d’un n´ume o a bi a i de pa ´ıcules, na u almen nom´es en la
egi´o en qu`e la in e acci´o po conside a -se pe i a, ´es a di , en qu`e ´e sen i el
p oblema ela i is a de mol s cossos segons el p incipi de co espond`encia”.82
Quan a p incipis de 1932 Di ac a publica la se a al e na i a a l’elec-
odin`amica qu`an ica de Heisenbe g-Pauli, el m`e ode es elaciona a amb´e de
o ma m´es expl´ıci a que en l’a icle de Mølle amb el p incipi de co espon-
d`encia.83 Di ac des aca a el pape juga pel p incipi de co espond`encia en
80Rosen eld (1931), p. 253: “Heisenbe gsche Ve eine ung de Ko espondenzme hode”.
C . Heisenbe g, “Beme kungen zu S ahlungs heo ie”, Ann. Physik 9(1931), 338–346.
81Ibid., p. 253: “Man e h¨al eine E wei e ung de on Mølle benu z en Me hode zu el-
a i is ischen Behandlung des S oßp oblems, im Einklang mi den in ande e Weise abgelei -
e en Resul a en on B ei ”.
82Mølle a Be he, 30 se emb e 1931 (AHQP-59); el sub a lla ´es meu): “¨
Ub igens ha He
Rosen eld eine seh in e essan e Ve allgemeine ung de in meine A bei benu z en Me hode
du chge ¨uh , indem e ganz allgemeinen ela i is ische Ausd ¨ucke ¨u die Wechselwi kung
beliebig iele Teilchen he lei e , na ¨u lich nu in dem Gebie wo die Wechselwi kung als klein
be ach e we den kann, also wo das ela i is ische Meh k¨o pe p oblem ko espondenzm¨aßig
¨ube haup einen Sinn ha ”.
83Di ac, “Rela i is ic Quan um Mechanics”, P oc. Roy. Soc. A136 (1932), 453–464.

2. El m`e ode de Mølle 49
el desen olupamen de la eo ia qu`an ica, i compa a a el m`e ode de Mølle
amb els m`e odes basa s en el p incipi de co espond`encia usa s abans que es
o mul´es la no a mec`anica qu`an ica. Enca a que c i ica a la se a manca de
gene ali a , Di ac quali ica a el m`e ode de Mølle com “a de ini e ad ance in
he ela i is ic heo y o he in e ac ion o wo elec ons”.84
El m`e ode de Mølle a so p end e pe la ela i a simplici a amb qu`e pe -
me ia ac a el p oblema de la dispe si´o d’elec ons ela i is es. El ma ¸c
de 1932 Be he, desp ´es d’ha e -se’n ocupa in ensamen , esc i ia a Mølle :85
“T obo me a ell´os que hagi pogu ac a el p oblema de o ma an sen-
zilla!” En aquells momen s Be he es oba a p epa an un a icle on el m`e ode
de Mølle e a aplica al c`alcul del ena d’elec ons ela i is es. Al p ime
pa `ag a Be he des aca a la impo `ancia del m`e ode, aix´ı com la de la se a
aplicaci´o a la adiaci´o c`osmica: “En e an Mølle ha acla i en un a icle
impo an la q¨ues i´o de la ene gia d’in e acci´o de o ma mol senzilla i sa is-
ac `o ia, i a a ´es possible dona la ´o mula de ena pe elec ons amb qualse ol
eloci a , el que ´es d’impo `ancia pe a la in e p e aci´o dels expe imen s sob e
la adiaci´o d’al u a co puscula ”.86
Tamb´e Oppenheime a eacciona a la publicaci´o de l’a icle i, jun amen
amb J. F. Ca lson, aplic`a el m`e ode al c`alcul de la col.lisi´o en e un elec ´o
d’al a ene gia i “la hipo `e ica pa ´ıcula elemen al neu a l’exis `encia de la qual
a se sugge ida en a i amen pe Pauli”, e e in -se al “neu ´o de Pauli”.87
Oppenheime i Ca lson s’ha ien adona de la po enciali a del m`e ode i, alho a
que el desc i ien b eumen amb p ecisi´o, en eien una alo aci´o a o able a la
in oducci´o de l’a icle:88
C . K agh [1990], pp. 132 i ss.
84Ibid., p. 455.
85Be he a Mølle , 25 ma ¸c 1932 (AHQP, m . 59,4): “Ich inde es wunde sch¨on, daß Sie
das P oblem au so ein ache Weise behandeln k¨onn en!”.
86Be he (1932), p. 293: “Inzwischen ha Mølle in eine wich igen A bei die F age de
Wechselwi kungsene gie seh ein ach und be iedigend gekl¨a , und es is nunmeh m¨oglich,
die B ems o mel ¨u beliebig asche Elek onen anzugeben, was ¨u die Deu ung de Expe -
imen e ¨ube die ko puskula e H¨ohens ahlung on Wich igkei is ”.
87Els ac uals neu ´o i neu ´ı no ha ien es a enca a dis ingi s cla amen , i la pa ´ıcula neu-
a p oposada pe Pauli (l’ac ual neu ´ı) explica a an l’es ad´ıs ica del nucli com l’espec e
βcon inu. L’exis `encia del neu ´o no es a a con i mada, pe `o la sugge ien els expe imen s
amb la adiaci´o pene an de be il.li amb la qual a se inalmen iden i ica . Oppenheime i
Ca lson no especi ica en ni la massa ni l’esp´ı del “neu ´o”, i conside a en “la pa ´ıcula m´es
gene al que sa is `a l’equaci´o d’ona p oposada pe Pauli”.
88Oppenheime i Ca lson, “The impac s o as elec ons and magne ic neu ons”, Phys.
50 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
Qui e ecen ly Mølle has gi en a beau i ul me hod o ea ing he
ela i is ic impac o wo elec ons. This me hod is based upon
a e inemen o he co espondence p inciple; i neglec s highe
powe s o he in e ac ion ene gy be ween he elec ons, and he
e ec o adia i e o ces; bu wi hin hese limi s i is s ic and
unambiguous, and enables one o ake accoun , no only o he
ela i is ic a ia ion o mass wi h he eloci y o he elec ons, bu
o he e a da ion o he o ces be ween hem, o he spin o ces, o
in e change and he exclusion p inciple.
El m`e ode, doncs, a se acolli a o ablemen a pesa de les se es limi-
acions, i ´ısics des aca s an alo a -lo com una con ibuci´o signi ica i a a
l’an`alisi e`o ica de la in e acci´o en e dos elec ons.
Re . 41 (se emb e 1932), 763–792 [ eb. 18 juliol 1932], p. 765. Veu e amb´e les comunicacions
p `e ies amb el ´ı ol “On he ange o as elec ons and neu ons” a Phys. Re . 38 (1
no emb e 1931), 1787–1788 [sig. 9 oc ub e 1931], i Phys. Re . 39 (1 ma ¸c 1932), 864–865
[sig. desemb e 1932].
51
3. La ´o mula de Mølle
Un cop desen olupa el m`e ode, Mølle a ex eu e’n o es les conseq¨u`encies
i hi a basa la se a esi doc o al. Finali za l’a icle en qu`e exposa a el
m`e ode, Mølle hau ia p egun a a Boh :1“Wouldn’ i be in e es ing o
y o con inue his and calcula e he s opping phenomenon o ela i is ic
pa icles?” El c`alcul del ena se ia pe Mølle l’objec iu m´es impo an del
seu eball du an els mesos seg¨uen s, com e lexen les nomb oses e e `encies a
aques p oblema en la se a co espond`encia. De e , nom´es en aques con ex
m´es gene al enia sen i calcula de alladamen la in e acci´o en e dos elec ons
lliu es, un p oblema que no enia en aquells momen s en i a p `opia. L’in e `es
pel ena , en can i, no necessi a a jus i icaci´o. La q¨ues i´o del ena s’ha ia
e ela des de p incipis de segle com una q¨ues i´o cen al pe l’an`alisi de les
adiacions adioac i es i la cons i uci´o dels `a oms, i ´ısics de la ca ego ia de
Thomson o el ma eix Boh l’ha ien ac a an e io men .2La mesu a del
ena e a un medi usual d’iden i icaci´o de pa ´ıcules, i cap a 1930 e a e iden
l’in e `es d’un c`alcul ela i is a, que pogu´es con ibui a p ecisa la na u alesa
de les pa ´ıcules c`osmiques.
L’aplicabili a dels seus esul a s a la adiaci´o c`osmica a se pe a Mølle ,
en el momen d’inicia l’es udi que o ma ia la se a esi, un es ´ımul decisiu. La
in es igaci´o d’aques en`omen ha ia assoli ja el 1931 una g an impo `ancia,
que no a ia m´es que augmen a els anys seg¨uen s. Pe `o la elle `ancia d’aques
aspec e del seu eball a disminui p og essi amen a mida que a an¸ca a en els
seus c`alculs, que Mølle concen `a inalmen de o ma exclusi a en la adiaci´o
β. Abans d’examina en de all la deducci´o de la ´o mula, anali zem el seu
p oc´es d’elabo aci´o i aques despla¸camen simul ani dels in e essos de Mølle ,
que il.lus a en o ma ´unica la se a co espond`encia.
1Mølle -Weine (1971), p. 18.
2Boh man ingu´e un in e `es cons an pe les q¨ues ions del ena i del pas de pa ´ıcules
`apides a a ´es de la ma `e ia, a les que dedic`a dos dels seus p ime s eballs cien ´ı ics (1913,
1915) i un dels da e s, un n´ume o monog `a ic de 144 p`agines de la e is a de l’Acad`emia
de Ci`encies danesa (1948). Veu e m´es enda an p. 78.
52 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
3. 1. El p oc´es d’elabo aci´o
L’es iu de 1931 Mølle es a casa amb Ki s en M. Pede sen, nascuda el
1901 a Skodsbo g. A inals de l’es iu, en o na de la se a lluna de mel,
Mølle a comen¸ca a eballa en l’aplicaci´o del seu m`e ode al c`alcul del ena
d’elec ons ela i is es. Aques a e a la in enci´o que ja ha ia exp essa al inal
del seu da e a icle, i que man enia in ac a quan el 30 de se emb e a esc iu e
a Be he en ian -li una sepa a a de l’a icle que acaba a de publica , i deman -
li’n una del eball de Be he sob e el ena de pa ´ıcules `apides, “dona que
a a old ia in en a de calcula segons el ma eix m`e ode el ena de pa ´ıcules
ex emadamen `apides ( adiaci´o β, adiaci´o d’al u a)”.3
Dues se manes desp ´es, el 14 d’oc ub e, Mølle a eb e una ca a sense sig-
na p oceden de Camb idge. L’au o e a F. Cli e Champion, un es udian de
doc o a que eballa a en una esi expe imen al sob e la adiaci´o β, que ha ia
llegi el da e a icle de Mølle i s’in e essa a pe la ´o mula gene al de dis-
pe si´o. La co espond`encia que s’es abl´ı a con inuaci´o en e Mølle i Champion
con ´e indicacions aluoses sob e l’es a del eball de Mølle , ja que la inicia i a
de Champion a e que es con e ´ıs en la p ime a pe sona o a de Copenha-
guen, lle a de Heisenbe g, de con`eixe els esul a s de Mølle a mida que
els ana a ob enin . Pe aques a p ime a ca a, que a queda sense espos a,
sabem indi ec amen que Mølle ha ia ja a an¸ca “un bon os” (“ein gu es
S ¨uck”) en els seus c`alculs, com a explica a Max Delb ¨uck en p egun a -li
pel emi en desconegu . Els comen a is que seguien eien e e `encia exclusi-
amen al ena , la q¨ues i´o que m´es p eocupa a Mølle . El que ha ia e ins
aquell momen sugge ia que, degu al e a damen , els elec ons `apids se ien
m´es ena s que no e a d’espe a segons les eo ies d’Sch ¨odinge o cl`assica.
Mølle no disposa a enca a d’una exp essi´o pel ena , pe `o n’adjun a a una
pel n´ume o d’ions o ma s en hid ogen pe cm de ajec `o ia, que discu ia.
Mølle de ia copia a m`a aques a exp essi´o sob e la ca a mecanog a iada. La
c`opia sob e pape ca b´o conse ada pe Mølle , que ´es la que a se mic o il-
mada, no con ´e la ´o mula. Pe la espos a de Delb ¨uck sabem que en ella la
ioni zaci´o p im`a ia e a p opo cional a γ2en el l´ımi d’al es ene gies, el que
po a a Delb ¨uck a exp essa els p ime s dub es sob e la co ecci´o del c`alcul,
3Mølle a Be he, 30 se emb e 1931 (AHQP-59): “Da ich je z e suchen m¨och e nach
de selben Me hode die B emsung ex em schnelle Teilchen ([β] S ahlen, H¨ohens ahlung)
zu be echnen, w¨u de ich seh oh sein, wenn Sie mi einen Sonde d uck Ih e A bei ¨ube
denselben Gegens and nach de Sch ¨odinge schen Theo ie schicken woll en”.
3. La ´o mula de Mølle 53
dona que aques a p opo cionali a “signi ica ia una ioni zaci´o eno me pels
elec ons de la adiaci´o d’al u a, men e que Skobelzyn, Millikan i Blacke
nom´es oben una ioni zaci´o ap oximadamen doble”.4La sugge `encia de
Delb ¨uck, “no pod ia se que el γ2−1 an´es da e a el Log na ?”, s’adiu amb
l’exp essi´o que inalmen a ob eni Mølle .5
El 2 de no emb e Champion a o na a esc iu e a Mølle , pe `o aques cop
a signa la ca a i Mølle a pode espond e-li el 4 de no emb e. Mølle , que
s’in e ess`a i amen pel eball de Champion, e a op imis a espec e l’es a
dels c`alculs, i li comunica a que espe a a pode en ia -li la ´o mula gene al “in
a sho ime”.6Com eu em o segui , aques pe ´ıode de emps a se d’un
mes. Champion, pe `o, no a se l’´unic en in e essa -se pel eball de Mølle .
A inals de no emb e, Mølle a eb e una ca a de Heisenbe g, les c ´ı iques i
sugge `encies del qual se ien decisi es pel seu `exi inal.
Heisenbe g, que coneixia b´e Mølle pe les se es es ades eq¨uen s a Co-
penhaguen, p epa a a en aquells momen s un a icle sob e l’adequaci´o del
coneixemen e`o ic de la adiaci´o c`osmica a les dades expe imen als.7La se a
ca a es a a mo i ada pe la q¨ues i´o del ena :8
Fa un pa ell de dies ha apa egu un eball d’Oppenheime (Phys.
Re iew), que a i ma que segons els seus c`alculs [de Mølle ] s’ob in-
d ia pe la in ensi a de ena d’elec ons ex emadamen du s
4πe4N
mc2log E. Aix`o em sembla mol poc plausible, pe `o no inc
mol es ganes de e isa o s els c`alculs. Ha calcula os `e aques
p oblema alguna egada? Qu`e en esul a?
Heisenbe g s’in e essa a aix´ı ma eix pe la ´o mula de dispe si´o en el cas ul a-
4Mølle a Delb ¨uck, 14 oc ub e 1931 (AHQP-59): “das w¨u de ¨u H¨ohens ahlungselek-
onen ungeheu n Ionisie ung bedeu en, w¨ah end Skobelzyn, Millikan und Blacke nu e wa
doppel e Ionisie ung inden”.
5Ibid.: “Soll e das γ2−1 nich noch mi un e den Log na kommen?”. Veu e la ´o mula
(93) de Mølle (1932).
6Champion a Mølle , 2 no emb e 1931; Mølle a Champion, 4 no emb e 1931 (AHQP-59).
7Veu e al cap´ı ol an e io p. 46.
8Heisenbe g a Mølle , 28 no emb e 1931 (AHQP-59): “Es is o ein paa Tagen eine
A bei on Oppenheime e schienen, (Phys. Re iew), de behaup e , nach Ih e Rechnung
k¨ame ¨u das B ems e m¨ogen ¨u ¨ausse s ha e ein allende Elek onen 4πe4N
mc2log Ehe aus.
Mi schein das s[eh] unplausibel, ich hab abe nich iel Lus , die ganzen Rechnungen
du chzusehen. Haben Sie dieses P oblem einmal ge echne und was komm dabei he aus?”.
Heisenbe g es e e ia a la p ime a comunicaci´o p `e ia del eball d’Oppenheime i Ca lson
ci a a la no a 88 del cap´ı ol an e io ; eu e-hi ´o mula (1).

54 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
ela i is a pe angles de dispe si´o pe i s, sin2θ≤1/γ, que Mølle ha ia excl`os
al seu a icle an e io en dedui el l´ımi ul a ela i is a nom´es pe angles θ als
que sin2θ1/γ.
Mølle a con es a a Heisenbe g el 4 de desemb e. La se a espos a s’ini-
cia a, signi ica i amen , pe la segona q¨ues i´o, a la que Mølle eplica a amb
una p ime a e si´o equi ocada de la ´o mula gene al de dispe si´o. La c`opia
mic o ilmada de la ca a de Mølle no con ´e ´o mules, pe `o no po ac a -se
sin´o de la ma eixa exp essi´o que Mølle comunic`a amb´e a Champion es dies
desp ´es, el 7 de desemb e. Un esbo any manusc i que es conse a d’aques a
ca a s´ı con ´e la e si´o m´es p imi i a de la secci´o e ica¸c di e encial de dispe si´o
de Mølle
dσ(θ) = e4sin 2θ2dθ dϕ 4[γ+ 3 + (γ−1) cos θcm](γ+ 1)
m2γ4 4[γ+ 1 −(γ−1) cos θcm] [(γ+ 3)2−(γ−1)2cos2θcm]F,(1)
F= 2γ2(γ+ 1) 4
sin4θcm −3
sin2θcm 
+(γ−1)2
4 4[1 + (γ+ 1)2]
sin2θcm
+ 3 −2γ2!+(γ−1)4
16 sin2θcm (2)
(θcm angle de dispe si´o en el sis ema cen e de masses, θangle de dispe si´o en el
sis ema labo a o i; γi es e e eixen a l’elec ´o inciden ). L’exp essi´o, bas an
m´es complicada que la co ec a, es edu¨ıa anma eix als l´ımi s que ha ia cal-
cula an e io men , com Mølle explica a an a Heisenbe g com a Champion,
assenyalan de pas l’e o al l´ımi ul a ela i is a que ja hem comen a .
Pel que a a la q¨ues i´o del ena , Mølle explica a a Heisenbe g que es
oba a p ecisamen en els c`alculs pe l’hid ogen, i que els esul a s es pod ien
gene ali za `acilmen a `a oms lleuge s. Mølle li ansc i ia una exp essi´o pel
n´ume o d’ions o ma s pe cm de ajec `o ia que en el l´ımi no ela i is a es
edu¨ıa exac amen a la calculada an e io men pe Be he. Pe `o no deixa a
d’exp essa la se a ince esa espec e el signi ica d’alguns dels e mes que
hi apa eixien. Un d’ells el so p enia especialmen , ja que si b´e no es a a en
con adicci´o “amb els expe imen s exis en s sob e la ioni zaci´o de pa ´ıcules
[β] `apides... hau ia de signi ica un c eixemen inc e¨ıble de la ioni zaci´o de la
adiaci´o d’al u a”.9Mølle no disposa a enca a d’una exp essi´o pe l’abas
de les pa ´ıcules.
9Mølle a Heisenbe g, 4 desemb e 1931 (AHQP-59): “Obwohl das Glied [?] nich mi den
o handenen Expe imen en ¨ube die Ionisa ion du ch schnelle [β]-S ahlen in Wiede sp uch
is ... ¨u H¨ohens ahlung soll e das ja einen unglaublichen Zuwachs de Ionisa ion bedeu en”.
3. La ´o mula de Mølle 55
En les ca es a Heisenbe g i Champion hi ha ia amb´e les elacions en e
els angles de dispe si´o als sis emes cen e de masses i labo a o i, θcm iθ, que
Mølle ha ia usa
cos θcm =2−(γ+ 3) sin2θ
2+(γ−1) sin2θ,
sin θcm =(γ+ 1) sin 2θ
2+(γ−1) sin2θ.
Aques es elacions, com Heisenbe g a no a immedia amen , no e en co ec-
es. P enen com a `alida l’exp essi´o pe cos θcm, Heisenbe g ob enia pel sinus
sin θcm =q2(γ+ 1) sin 2θ
2+(γ−1) sin2θ,
d’aco d amb l’exp essi´o que ell ma eix u ili za a usualmen ,
an θcm
2=sγ+ 1
2 an θ.
Aques a e a la p ime a conside aci´o de la espos a que en i`a a Mølle el
10 de desemb e. La segona a ec a a la ´o mula gene al i les se es implicacions
pe la adiaci´o d’al u a:10
La se a ´o mula inal pe a φ(θ) ´es ce amen ex emadamen in-
e essan , pe `o old ia no a que signi ica ia sens dub e una con-
adicci´o ex ao din`a ia en e eo ia i expe imen , i mos a ia que
o el m`e ode de c`alcul amb camps e a da s deixa de se admissi-
ble. S’ha de pensa que pels elec ons de la adiaci´o d’al u a γpo
se com a m´ınim 1000. Pe `o ampoc en enc de cap mane a com
se ien possibles aques es des iacions de la eo ia cl`assica.
Aques es conside acions nega i es de Heisenbe g, que enien a a egi -se a les
que ja ha ien exp essa Delb ¨uck i el ma eix Mølle an e io men , an decidi
Mølle a deixa de cos a la adiaci´o c`osmica. Les no ´ıcies que simul `aniamen
10Heisenbe g a Mølle , 10 desemb e 1931 (AHQP-59): “Ih e End o mel ¨u φ(θ) is ja
¨ausse s in e essan , ich m¨och e abe me ken, dass sie zwei ellos einen ekla an en Wide -
sp uch zwischen Theo ie u. Expe imen bedeu en w¨u de und zeig e, dass die ganze Be ech-
nungsme hode mi e a die en Felde n nich meh zul¨assig is . Man muss bedenken, dass γ
¨u H¨ohens ahlungselek onen mindes ens 1000 sein kann. Abe ich e s ehe auch ga nich ,
wie solche Abweichungen on de klassischen Theo ie m¨oglich w¨a en”.
56 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
li a iba en del Ca endish ela i es a la possible comp o aci´o de la se a ´o mula
mi jan¸can els aigs β, an e que econside ´es la impo `ancia d’aques a a-
diaci´o. Ambd´os aspec es s´on exp essa s cla amen en la espos a de Mølle a
la ca a de Heisenbe g, i pe me en si ua a mi jans de desemb e de 1931 la
eo ien aci´o inal de les se es in es igacions:11
Tamb´e jo c ec que l’exp essi´o de φdeixa de sa is e -se pe a alo s
de γ an g ans com exigeix la adiaci´o d’al u a, ja que p obablemen
el p ocedimen d’ap oximaci´o u ili za esde ´e absu d en aques a
egi´o. En la egi´o de aigs β `apids, en can i, el m`e ode emp a
hau ia de se aonable. A Camb idge es an en ma xa expe imen s
que hau ien de p opo ciona una p o a de la ´o mula de dispe si´o
pe elec ons lliu es, mi jan¸can o og a ies de Wilson.
A la ma eixa ca a Mølle deia de l’e o a les elacions θcm–θque es ac-
a a nom´es d’una e a a que no a ia a es a la ´o mula de dispe si´o. Pe `o
Heisenbe g a de ec a -hi un al e e o , que possiblemen indu´ı Mølle a e-
isa els complica s c`alculs, i el condu´ı inalmen a la ´o mula de dispe si´o
co ec a. Heisenbe g ha ia oba l’e o en base a conside acions de sime ia,
i el comunic`a a Mølle el 17 de desemb e: “Vos ´e m’esc iu la ´o mula
dσ(θ) = e4
m2 4
sin 2θ2dθ dϕ 4(γ+ 1)[γ+ 3 + (γ−1) cos θcm]
γ4[γ+
%1−(γ−1) cos θcm] [(γ+ 3)2−(γ−1)2cos2θcm]F,
pe `o segu que al lloc sub a lla hi hau ia de di 3 en lloc de 1, ja que si no en
el sis ema en mo imen no hi ha in a i`ancia so a θcm →θcm +π”.12
11Mølle a Heisenbe g, 15 desemb e 1931 (AHQP-59): “Ich glaube auch, dass de Ausd uck
¨u φ ¨u so g osse We e on γwie es die H¨ohens ahlung e o de , ga nich meh gil ,
da wah scheinlich das benu z e N¨ahe ungs e ah en in diesem Gebie sinnlos wi d. Im
gebie schnelle β-S ahlen dagegen d¨u e die benu z e Me hode e n¨un ig sein, es sind
im Camb idge Expe imen e im Gang, die eine P ¨u ung de S eu o mel ¨u eie Elek onen
mi Hil e on Wilsonau nahmen lie e n sollen”.
12Heisenbe g a Mølle , 17 desemb e 1931 (AHQP-59): “Sie sch eiben mi die Fo mel... An
de un e s ickenen S elle muss es abe doch wohl 3 s a 1 heissen, da sons im beweg en
Sys em keine In a ianz gegen θcm →θcm +πbes eh ”. Heisenbe g es e e eix al sis ema
cen e de masses, que Mølle ha ia ca ac e i za com “el sis ema de Lo en z en qu`e els
momen s d’ambd´os elec ons abans de la col.lisi´o s´on oposa s, ´es a di . . . un sis ema que es
mou amb eloci a [ γ
γ+1 ] en elaci´o al sis ema en ep`os” (Mølle a Heisenbe g, 4 desemb e
1931 (AHQP-59): “...[de ] Lo en zsys em in welchem die Impulse de beiden Elek onen o
dem S oss en gegengese z sind, d.h. . . [ein] Sys em, das sich mi de Geschwindigkei [ γ
γ+1 ]
in Bezug au das uhende Sys em beweg ”).
3. La ´o mula de Mølle 57
Desp ´es d’aques es ca es, es pe d el il ins el 25 de gene , quan Mølle a
esc iu e a Mo i Champion comunican -los la ´o mula de dispe si´o co ec a.
Mølle i Mo es coneixien des de l’es ada d’aques a Copenhaguen el 1928,
i possiblemen ha ien coincidi al Ca endish quan Mølle a acompanya -hi
Boh el maig de 1929. Mo ha ia en ia a Mølle una sepa a a a inals de no-
emb e de 1931; en la se a espos a Mølle li ha ia explica , en e al es coses,
que ha ia acaba ja el c`alcul de la ´o mula de dispe si´o, a egin simplemen :13
“I i has any in e es o you, I shall epo upon his ano he ime”. La
eacci´o immedia a de Mo mos a un cop m´es l’in e `es del p oblema:14 “I
should be MOST in e es ed o see you esul s on he collision be ween wo
pa icles, as soon as you can con enien ly send hem”.
La amesa dels esul a s s’enda e ´ı m´es d’un mes, no nom´es pe qu`e Mølle
a ha e de co egi l’e o assenyala pe Heisenbe g, sin´o amb´e pe qu`e les
acances de Nadal an suposa un lla g pa `en esi en el seu eball. Aix´ı ho
d´ona a en end e la ca a a Mo del 25 de gene :15 “I ha e jus now come back
om Holiday and ha e no hough on physics since be o e Ch is mas”. Quan
a co egi Mølle el que, en la ca a que a esc iu e a Champion el ma eix
dia, quali ica a de “li le aul ”?16 Sens dub e, desp ´es de l’obse aci´o de
Heisenbe g, pe `o la ca a de Heisenbe g no podia ha e a iba a Copenhaguen
abans del 19 de desemb e, i aix`o deixa un ma ge de emps esc`as abans de Nadal,
m´es enca a si enim en comp e que el m´es p obable ´es que Mølle pass´es les
acances a Hundsle , com acos uma a a e . ´
Es amb´e poc plausible que, en
el cas que Mølle hagu´es ob ingu la ´o mula co ec a abans de Nadal, hagu´es
e a da an la se a comunicaci´o.
Possiblemen , doncs, Mølle a e e els seus c`alculs en o na de acances,
a mi jans de gene , i ob ingu´e la ´o mula de dispe si´o poc abans del dia 25. La
no a ´o mula
dQ(θ) = e4sin θcm dθcm dϕ 8(γ+ 1)
m2γ4 4[(γ+ 3)2−(γ−1)2cos2θcm]F(3)
—el ac o Fno a ia a, eu e (2)—, “is only simple i we in oduce he
13Mølle a Mo , 9 desemb e 1931 (AHQP-59).
14Mo a Mølle , 15 desemb e 1931 (AHQP-59). Tamb´e Mo es a a especialmen in e es-
sa pe la possible aplicaci´o dels esul a s a la adiaci´o c`osmica: “I am especially in e es ed
in he cosmic ay case o ene gy mc2, o small angles”.
15Mølle a Mo , 25 gene 1932 (AHQP-59).
16Mølle a Champion, 25 gene 1932 (AHQP-59).
64 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
Aques a exp essi´o no ´es sim`e ica en gene al, pe `o s´ı ho ´es pe les ´uniques
ansicions ´ısicamen possibles. La unci´o del a de l’exp essi´o (4) a que
nom´es es donin aquelles ansicions pe les quals ω220=−ω110, i en aques
cas l’exp essi´o (13) ´es sim`e ica so a l’in e can i dels ´ındexs 1 i 2.
Aques a o mulaci´o del m`e ode ´e, espec e a la de l’a icle an e io , l’a an-
a ge de mos a m´es cla amen l’o igen dels di e en s e mes. El ac o expo-
nencial dins de la in eg al p o ´e del e a damen , i s’anul.la quan la eloci a de
la llum endeix a in ini . Es econeix amb´e immedia amen el e me pos ula
pe Gaun pe desc iu e la in e acci´o deguda a l’esp´ı, −e2~α(1)·~α(2)
. Com indica
Mølle , “´es sa is ac o i que aques e me apa egui aqu´ı pe si ma eix, quan
s’exigeix in a i`ancia ela i is a”.31
Desp ´es de ac a als apa a s segon i e ce l’exci aci´o dels ni ells a ´omics
in e io s, Mølle conside a al qua apa a l’exci aci´o dels supe io s, i el cas
l´ımi en qu`e l’ene gia impa ida pe l’elec ´o inciden a l’elec ´o a `omic ´es mol
m´es g an que l’ene gia d’ioni zaci´o. Aques cas ´es el que po se conside a
com una in e acci´o en e elec ons lliu es. Els es a s es aciona is que ocupen
ambd´os elec ons abans i desp ´es de la col.lisi´o s´on desc i s mi jan¸can solucions
a l’equaci´o de Di ac
ψ1=u(s1)ei(k1· 1−ω1 ),(14)
on k=p/¯h,ω=E/¯h, i les ampli uds u(s) s´on magni uds de qua e compo-
nen s.32
La secci´o e ica¸c di e encial (pe `a om) pe les col.lisions en qu`e l’elec ´o
inciden ´e desp ´es del xoc un impuls comp `es en e p10ip10+dp10, i l’elec ´o
a `omic un de comp `es en e p20ip20+dp20´es33
dσ(p10,p20) = 4π2
hJ(1)
z
δ(E10+E20−E1−E2)
31Ibid., p. 538: “Es is be iedigend, daß dieses Glied hie on selbs e schein , sobald man
ela i is ische In a ianz o de ”.
32A di e `encia de Mølle , que els conside a sepa adamen , conside a em els ac o s de
no maliza ci´o inclosos en les ampli uds u(s) ( eu e no a 29 del cap´ı ol an e io ).
33Mølle conside a que l’elec ´o a `omic es `a inicialmen en ep`os (p2= 0), i el desc iu
mi jan¸can les solucions a l’equaci´o de Di ac pe l’`a om d’hid ogen. Al inal del c`alcul
comp o a que el esul a equi al a conside a aques elec ´o com a lliu e (p. 562). Pe
acili a la compa aci´o amb el ac amen ac ual, conside em di ec amen que es ac a d’un
elec ´o lliu e de momen inicial no nul.

3. La ´o mula de Mølle 65
1
4X
s1s2X
s10s20|(p10s10,p20s20|V|p1s1,p2s2)|2d3p10d3p20.(15)
Mølle ob ´e aques a exp essi´o a pa i de l’exp essi´o gene al (4) pe la p oba-
bili a de ansici´o en la o ma habi ual: di idin pel lux inciden d’elec ons,
J(1)
z; suman sob e els espins inals, en els quals no es em in e essa s; i p omi -
jan sob e els espins inicials, ja que es conside a que el eix inciden i els
elec ons a `omics no es an pola i za s.
L’elemen de ma iu s’ob ´e di ec amen a pa i de l’exp essi´o gene al (13),
in odu¨ın -hi les solucions a l’equaci´o de Di ac
h10,20|V|1,2i=e2{u†
20u2u†
10u1−(u†
20~α(2)u2)·(u†
10~α(1)u1)} , (16)
=ZZ ei(k2−k20)· 2ei(k1−k10)· 11
cosω1−ω10
c d3 1d3 2.(17)
El sis ema o al ha es a ep esen a ins aqu´ı de o ma impl´ıci a mi jan¸can
les uncions p `opies asim`e iques
|10+,20+i,|10+,20−i,|10−,20+i,|10−,20−i,(18)
on |10+,20−i ep esen a l’es a en qu`e l’elec ´o 1 ´e un impuls p10i alo p opi
+ de S1z, i l’elec ´o 2 un impuls p20i alo p opi −de S2z. Pe a conside a
l’in e can i, Mølle ha d’in odui uncions del sis ema o al an isim`e iques
so a l’in e can i dels dos elec ons. Seguin Oppenheime , Mølle adop a com
a ep esen aci´o dels es a s inals del sis ema o al les uncions34
|a0i=1
√2[|10+,20+i−|20+,10+i],
|b0i=1
√2[|10−,20−i−|20−,10−i],
|c0i=1
2[|10+,20−i−|20−,10+i+|10−,20+i−|20+,10−i],
|d0i=1
2[|10+,20−i−|20−,10+i−|10−,20+i+|20+,10−i].
Els es a s inicials s´on ep esen a s an`alogamen pe les uncions |ai,|bi,|cii
|di. Pe eni en comp e l’in e can i, Mølle indica que nom´es s’ha de subs i ui
34Oppenheime , “On he quan um heo y o elec onic impac s”, Phys. Re . 32 (1928),
361–376; eu e-hi p. 363. Els es p ime s es a s s´on sim`e ics en esp´ı ( iple ), l’´ul im
an isim`e ic (single ).
66 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
a (15) la suma en s1,s2,s10is20pe la suma quad `a ica Ssob e els elemen s
de ma iu co esponen s a les 16 ansicions possibles en e els es a s inicials,
|ai,|bi,|ci,|dii els inals, |a0i,|b0i,|c0ii|d0i. La ma iu S´es de la o ma
S=X|hb0|V|ai|2,(19)
i els elemen s de ma iu que hi apa eixen s´on o s simila s. Mølle en calcula
nom´es un com a exemple:
hb0|V|ai=1
2[h10−,20−|V|1+,2+i+h20−,10−|V|2+,1+i
−h10−,20−|V|2+,1+i−h20−,10−|V|1+,2+i.
Els dos p ime s i els dos da e s e mes s´on iguals en e si, degu a la sime ia
de l’elemen de ma iu so a l’in e can i dels dos elec ons. Pe an
hb0|V|ai=h10−,20−|V|1+,2+i−h20−,10−|V|1+,2+i.
Tenin en comp e l’exp essi´o (16) pe l’elemen de ma iu podem esc iu e m´es
expl´ıci amen
hb0|V|ai=e2[{u†
10u1u†
20u2−(u†
10~α(1)u1)·(u†
20~α(2)u2)}
−{u†
20u1u†
10u2−(u†
20~α(1)u1)·(u†
10~α(2)u2)}g, (20)
on e dona pe (17) i
g=ZZ ei(k2−k10)· 2ei(k1−k20)· 11
cosω1−ω20
c d3 1d3 2.(21)
Com assenyala Mølle , o s els al es elemen s de ma iu que apa eixen a S
s´on d’aques a o ma. Obse em que els dos e mes de l’elemen de ma iu es
dis ingeixen pe la pe mu aci´o dels momen s inals: co esponen als dos dia-
g ames de Feynman mi jan¸can els quals calculem ac ualmen aques p oc´es.
Aques a analogia ´es m´es e iden quan s’a aluen les in eg als ig,
=h5
π(p1−p10)2δ(p1+p2−p10−p20),
g=h5
π(p1−p20)2δ(p1+p2−p10−p20),
3. La ´o mula de Mølle 67
que nom´es es dis ingeixen pe l’in e can i dels ´ındexs 10i 20, i en les quals e-
coneixem el quad imomen ans e i co esponen a cada un dels diag ames.35
In odu¨ın la no aci´o γµ, amb γ0=βi~γ =γ0·~α, l’elemen de ma iu
s’esc iu (p escindin dels ac o s)
hb0|V|ai=¯u10γµu1¯u20γµu2
(p1−p10)2−¯u20γµu1¯u10γµu2
(p1−p20)2.(22)
Aques ´es el ma eix elemen de ma iu que esc i im a ui di ec amen a pa i
dels diag ames de Feynman co esponen s a aques p oc´es.
Reunin aques s esul a s la secci´o e ica¸c, exp essi´o (15), esde ´e36
dσ(p10,p20) = 4h9e4
J(1)
z
δ4(p1+p2−p10−p20)1
4S0d3p10d3p20,(23)
on S0´es la suma quad `a ica sob e els di e en s elemen s de ma iu de la
o ma (22).
La secci´o e ica¸c s’in e p e a a a m´es p ecisamen com el nomb e de col.lisions
en qu`e desp ´es del xoc un dels elec ons ´e un impuls p10i l’al e un impuls p20.
Mølle obse a que “degu a l’in e can i ja no podem di quin dels elec ons
expel.li s ´es l’o igin`a iamen lliga a l’`a om, i quin ´es l’inciden ”.37
35Mølle basa aques c`alcul en un esul a del seu a icle (1930c), segons el qual pe a o s
els alo s de es po esc iu e
cosω1−ω10
c=1
πZ∞
0
sin(k )
k2−ω1−ω10
c22k dk,
on a la in eg al del memb e de la d e a s’ha de p end e el alo p incipal de Cauchy. Mølle
mos a que aques a in eg al ´es equi alen a
1
cosω1−ω10
c=1
2π2Zeik·
k2−ω1−ω10
c2d3k,
de o ma que es po esc iu e
=1
2π2ZZ Z ei(k2−k20−k)· 2ei(k1−k10−k)· 1
k2−ω1−ω10
c2d3 1d3 2d3k.
La in eg al s’a alua `acilmen mi jan¸can la unci´o del a de Di ac.
36La di e `encia en un ac o 1/h3 espec e la ´o mula (620) de Mølle (1932) e donada pel
ac o de no mali zaci´o de ψ2, que conside em incl`os a u2.
37Mølle (1932), p. 560: “Wi k¨onnen abe wegen des Aus ausches ga nich meh sagen,
welches de beiden he aus liegenden Elek onen das u sp ¨unglich im A om gebundene und
welches das au allende Elek on is ”.
68 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
Mølle exp essa a con inuaci´o la secci´o e ica¸c en unci´o de l’angle θde
dispe si´o d’un dels elec ons, deixan pel inal el c`alcul de la suma S0. La unci´o
del a de la secci´o e ica¸c (23) exp essa la conse aci´o de l’ene gia i el momen .
Mølle usa aques p incipi pe dona les di e en s magni uds implicades en
la secci´o e ica¸c, en unci´o de l’angle de dispe si´o θi la eloci a de l’elec ´o
inciden . L’ene gia i el momen es conse en en qualse ol sis ema de Lo en z, i
Mølle calcula la cinem`a ica de la col.lisi´o en aquell on ´es m´es simple, el sis ema
cen e de masses. D’aques a mane a ob ´e pe la secci´o e ica¸c en e mes de θ
(eq. (71’))
dσ(θ) = π
8e4m2sin θcm dθcm [(γ+ 3)2−(γ−1)2cos2θcm]1
4S0.(24)
Ja nom´es queda calcula S0. Mølle obse a que els elemen s de ma-
iu (22) s´on in a ian s ela i is es —el que la nos a no aci´o posa de mani es
immedia amen — i els calcula un pe un en el sis ema cen e de masses. Amb
aix`o ob ´e inalmen la ´o mula de dispe si´o38
dσ(θ) = 2π e4sin θcm dθcm 2(γ+ 1)
m2γ2 4
· 4
sin4θcm −3
sin2θcm
+(γ−1)2
4γ21 + 4
sin2θcm !.(25)
Com assenyala Mølle , es pod ien u ili za les elacions θ-θcm pe exp essa el
esul a en unci´o de θ, pe `o l’exp essi´o esul an se ia mol m´es complicada.
Mølle elaciona a con inuaci´o la se a ´o mula de dispe si´o amb esul a s
an e io s. En p ime lloc mos a l’equi al`encia amb la ´o mula de Mo , que
´e en comp e l’in e can i pe `o no la ela i i a . Fen γ= 1, es ´e θcm = 2θ, i
la ´o mula de dispe si´o es edueix a la ´o mula de Mo 39
dσ(θ) = 2π e4sin 2θ dθ
m2 41
sin4θ+1
cos4θ−1
cos2θsin2θ.(26)
Desp ´es d’un lleuge ´ıssim esmen a la posible comp o aci´o de la se a ´o mu-
la, que conside a em al seg¨uen cap´ı ol, Mølle mos a amb´e la elaci´o del seu
esul a amb la ´o mula cl`assica de Thomson i Boh pe la p`e dua d’ene gia,
38En l’a icle de Mølle el denominado del p ime ac o ´es m2γ4 4(Mølle 1932, ´o mula
74). Es ac a cla amen d’un e o d’imp essi´o.
39Veu e p. 44. Tamb´e aques a ´o mula es `a equi ocada a l’a icle de Mølle : en lloc del
1
cos4θco ec e hi apa eix 1
cos2θ.
70 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
e elle . Du an els p ime s mesos de l’es ada a Roma, Be he a in e essa -se
especialmen pel p oblema de l’ex ensi´o ela i is a del c`alcul del ena . El
p ime a icle de Mølle , na u almen , a in e essa -li mol ; el 25 de ma ¸c
Be he esc i ia a Mølle :42 “Aques s da e s dies m’he ocupa in ensamen del
seu impo an eball sob e la dispe si´o d’elec ons amb eloci a ela i is a.
T obo me a ell´os que hagi pogu ac a el p oblema de o ma an senzilla!”.
Be he ha ia es udia a ons l’a icle de Mølle , i l’ha ia p `es com a pun de
pa ida pel c`alcul del ena , desp ´es d’ha e -se assaben a indi ec amen , a
a ´es de Heisenbe g, dels e o s que Mølle ha ia com`es en els seus p ime s
in en s de calcula -lo. De e , el mo iu de la ca a no e a un al e que sabe si
Mølle ha ia co egi aques s e o s, i si pensa a publica els esul a s.
La espos a de Mølle s’ha pe du . Apa en men , a sugge i a Be he que
publiqu´es una no a b eu a Die Na u wissenscha en, l’equi alen alemany de
Na u e, i li a anuncia el con ingu i la p op e a apa ici´o del seu seg¨uen
a icle. El 30 d’ab il, Be he esponia a Mølle :43
Pe desg `acia no ha es a possible publica la ´o mula pel e-
na com a no a a Die Na u wissenscha en, d’aco d amb la se a
p opos a, ja que malg a que nom´es hi deia l’indispensable, el
manusc i supe a a conside ablemen la longi ud p esc i a i ha
es a ebu ja . He en ia a a el eball a Zei sch i ¨u Physik,
a egin -hi una cu a deducci´o que essencialmen a ec a nom´es les
col.lisions d’angle de des iaci´o pe i , i enca a aques es no gai e de-
alladamen . Espe o doncs no ha e -me an icipa al seu eball
—al qual he e e e `encia degudamen — i que es igui d’aco d amb
la o ma de la me a no a.
42Be he a Mølle , 25 ma ¸c 1932 (AHQP-59): “Ich habe mich den le z en Tagen seh
eingehend mi Ih e wich igen A bei ¨ube die S euung on Elek onen mi ela i is ische
Geschwindigkei besch¨a ig . Ich inde es wunde sch¨on, dass Sie das P oblem au so ein ache
Weise behandeln konn en!”.
43Be he a Mølle , 30 ab il 1932 (AHQP-59): “Leide wa es nich m¨oglich, Ih em Vo schlag
en sp echend die B ems o mel als No iz in den Na u wissenscha en zu e ¨o en lichen, denn
obwohl ich nu das Alle n¨o igs e sag e, ¨ube sch i das Manusk ip die o gesch iebene L¨ange
on eine D uckspal e seh e heblich und wu de dahe abgelehn . Je z habe ich die A bei
an die Zei sch i ¨u Physik geschich , ich habe dabei eine ku ze Ablei ung beige ¨ug , die
sich abe im Wesen lichen nu mi den S ¨ossen un e kleinem Ablenkungswinkel be ass und
auch ¨u diese nich seh aus ¨uh lich is . Ich ho e dahe , dass ich Ih e A bei – au die ich
geb¨uh end hingewiesen habe – nich o geg i en habe und dass Ihnen die Fo m meine No e
ech is ”.

3. La ´o mula de Mølle 71
El segon a icle de Mølle i la no a ampliada de Be he an se ebu s a
les e is es que ha ien de publica -los amb un dia de di e `encia. Poc desp ´es
Be he a conside a conjun amen amb Fe mi una q¨ues i´o m´es onamen al:
quina elaci´o hi ha ia en e el eball de Mølle , la ´o mula que ha ia dedu¨ı
B ei an e io men , i l’elec odin`amica qu`an ica? Quina e a la elaci´o l`ogica
en e els ac amen s de Mølle i B ei ? El eball a p og essa apa en men
de o ma ex ao din`a iamen `apida, i la seg¨uen ca ac e i zaci´o de Be he,
malg a les ese es amb qu`e s’ha de p end e, d´ona una idea ap oximada de
com a se elabo a i edac a :44
Fe mi and I w o e a pape compa ing h ee me hods o ea -
ing he ela i is ic elec on-elec on in e ac ion —uni ying elec o-
magne ic quan um heo y wi h ela i i y. The esea ch ook wo
days. Then he said, ‘Well, now we ha e sol ed i , now we will
w i e a pape .’ So on he hi d day he himsel sa down a he
ypew i e — he e was no sec e a y in he ins i u e. His p ocedu e
was o s a e a sen ence in Ge man —he spoke excellen Ge man,
while I spoke ha dly any I alian— and I would ei he app o e i
o modi y i . When he came o an equa ion, we would ag ee on
i , and I would w i e i down in longhand. Tha was he pape .
I was a nice pape , and e en hough Fe mi did by a he la ge
pa o i , i had my name on i along wi h his. I el e y happy
abou ha , and I lea ned a lo om i . I augh me how o w i e
a scien i ic pape simply and clea ly. My s ay in Rome came o an
end much oo soon.
L’elec odin`amica qu`an ica de l’a icle de Be he i Fe mi e a na u almen la de
Fe mi, que l’ha ia o mula de mane a m´es en enedo a que Di ac, o Heisenbe g
i Pauli.45 L’a icle mos a a amb concisi´o i cla eda que el ac amen de
Mølle e a plenamen compa ible amb la eo ia.
44Be ns ein [1979], p. 31 (segons una comunicaci´o pe sonal de Be he).
45Fe mi ha ia publica la se a “elle odinamica quan is ica” el 1929 (Rend. Lincei 9
(1929), 881), pe `o ecen men ha ia exposa de o ma m´es ex ensa la “ eo ia qu`an ica de
la adiaci´o” a Re iew o Mode n Physics, en un a icle mol di `os (“Quan um heo y o
adia ion”, Re . Mod. Phys. 4(1932), 87–132). Com ja s’ha assenyala a la in oducci´o
(no a 1), les di e en s e sions de l’elec odin`amica qu`an ica al ol an de 1930 coincidien
en la quan i icaci´o del camp elec omagn`e ic, pe `o no en la del camp de ma `e ia. Fe mi no
aplica `a el p ocedimen de segona quan i icaci´o a les pa ´ıcules ins el 1934, en la se a eo ia
de la desin eg aci´o β.
72 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
Malg a aix`o, la ´o mula de Mølle a eb e escassa a enci´o en els escassos
ex s dedica s a l’elec odin`amcia qu`an ica abans de la gue a. Si l’elemen
de ma iu en qu`e es basa la ´o mula ocupa un lloc cen al en la e o mulaci´o
de Feynman, i els llib es de ex a pa i de l’in luen i `ampliamen llegi
The heo y o pho ons and elec ons inclouen in a iablemen la deducci´o de la
´o mula i e e `encies a la se a con on aci´o exi osa amb l’expe i`encia, aques
no ´es el cas dels ex os m´es impo an s del pe ´ıode an e io . Al conegu a icle
de Pauli pe la segona edici´o del Handbuch de Physik (1933), nom´es es ci a el
eball de Mølle a la da e a p`agina, en una no a a l’a i maci´o que “el e que
l’ene gia p `opia [de l’elec ´o] esul i in ini a segons la eo ia, impedeix amb´e un
ac amen ela i is a conseq¨uen del p oblema de a is cossos”.46 ´
Es e iden
que pe a Pauli el p oblema de l’ene gia p `opia in ini a desme eix qualse ol a-
p oximaci´o al p oblema de la in e acci´o en e dos elec ons. La p eponde `ancia
del camp de adiaci´o a una de les p ime es e e `encies obligades de la no a
eo ia, The quan um heo y o adia ion de Hei le , n’exclo¨ıa la ´o mula de
Mølle a la p ime a i segona edicions [1936, 1944]; signi ica i amen , aques no
e a el cas de la e ce a [1954].47 El eball de Mølle e a amb´e absen en un
al e ex mol ep esen a iu, la In oducci´o a la eo ia qu`an ica de camps de
Wen zel [1943]. Un al e ex in luen pe `o ela i amen menys conegu que
els an e io s, la Teo ia qu`an ica de l’elec ´o i la adiaci´o de K ame s [1938],
ci a a nom´es l’a icle de p esen aci´o del m`e ode de Mølle (1931) en una no a,
com a exemple de “com en el cas d’in e acci´o eble en e elec ons `apids es
po calcula de o ma igo osamen ela i is a”.48
La si uaci´o desp ´es de la gue a ´es mol di e en . En el que possiblemen
ep esen a el p ime ac amen sis em`a ic de la eo ia, The Theo y o Pho-
ons and Elec ons de Jauch i Roh lich [1955], es dedica ja un cap´ı ol al sis-
ema elec ´o-elec ´o, i hi igu a en lloc p ominen el “Mølle sca e ing”.49
La col.lisi´o en e dos elec ons hi ´es conside ada com un p oc´es onamen al
d’in e `es en si ma eix. El p oblema s’in odueix d’una o ma l`ogica i gene al
mol allunyada de les in oduccions enomenol`ogiques an e io s. En aques
46Pauli [1933], p. 272: “De Ums and, daß die Selbs ene gie nach de Theo ie un-
endlich g oß esul ie , e hinde auch eine konsequen e ela i is ische Behandlung des
Meh k¨o pe p oblems”.
47Hei le [1936]. Veu e a la da e a edici´o “§24. The sca e ing o wo elec ons”, p. 231.
48K ame s [1938], p. 301: “Wie man im Falle on schwache Wechselwi kung zwischen
schnellen Elek onen s eng ela i is ischen echnen kann, ha Ch . Mølle gezeig ”.
49Jauch i Roh lich [1955]. Veu e-hi cap´ı ol 12, “The elec on-elec on sys em” (els au o s
designen conjun amen elec ons i posi ons amb el e me gen`e ic “elec ´o”).
3. La ´o mula de Mølle 69
exp essan la secci´o e ica¸c en unci´o de l’ene gia cedida pe l’elec ´o inciden
en la col.lisi´o, Q=E1−E10.
La ´o mula no ocupa, en l’a icle de Mølle , un lloc des aca . Un cop
dedu¨ıda, Mølle la u ili za, jun amb els esul a s dels pa `ag a s an e io s, pe
calcula el ena . To a alo aci´o del m`e ode que ha emp a , o de la ´o mula de
dispe si´o que ha ob ingu , la limi a Mølle a la b eu in oducci´o, i els judicis
de alo hi s´on escassos: p o isionali a del m`e ode, ca `ac e ap oxima . . . Cap
esmen a l’elec odin`amica qu`an ica. ´
Es que no enia la ´o mula de Mølle cap
elaci´o amb aques a eo ia?
3. 3. La elaci´o de la ´o mula amb l’elec odin`amica qu`an ica
En els dos a icles sob e la dispe si´o d’elec ons ela i is es que hem es a
conside an , Mølle no eia cap e e `encia a les di e en s e sions que exis ien
en aquells momen s de l’elec odin`amica qu`an ica. El seu ac amen de la
in e acci´o en e dos elec ons s’assen a a sob e al es bases e`o iques, de ia-
bili a m´es con as ada. Mølle e i a a d’aques a mane a la conside aci´o dels
g eus p oblemes que a ec a en la eo ia qu`an ica del camp elec omagn`e ic,
i igno a a p oblemes que e en objec e d’in enses discussions en aquells mo-
men s, com a a el de l’ene gia p `opia de l’elec ´o. Pe `o la elaci´o en e la
´o mula de Mølle i l’elec odin`amica qu`an ica no nom´es e a m´es di ec a del
que la indi e `encia de Mølle eia suposa , sin´o que a se posada de mani es
mol poc desp ´es que Mølle comple ´es el segon i de ini iu a icle sob e la dis-
pe si´o d’elec ons. Aques a icle ha ia es a ebu als Annalen de Physik el
3 de maig. Poc m´es d’un mes desp ´es, el 9 de juny, es ebia a Zei sch i ¨u
Physik un a icle de Be he i Fe mi, “Sob e la in e acci´o en e dos elec ons”,
on es discu ia “les elacions en e les ´o mules d’in e acci´o de B ei , Mølle i
l’elec odin`amica qu`an ica”.40
Be he s’ha ia in e essa des de l’inici de la se a ca e a pel ena de
pa ´ıcules ela i is es.41 Hem ci a ja en `a ies ocasions el seu a icle onamen-
al de 1930, on aques en`omen e a anali za en base a la mec`anica qu`an ica.
Du an 1932, desp ´es d’ha e passa l’any an e io a Camb idge, Be he a
eballa a Roma amb el g up de Fe mi, com a beca i de la Fundaci´o Rock-
40Be he i Fe mi (1932), Ҭ
Ube die Wechselwi kung zwischen Zwei Elek onen”, p. 296:
“Die Zusammenh¨ange zwischen den Wechselwi kungs o meln on B ei und Mølle und de
Quan enelek odynamik we den disku ie ”.
41C . Be ns ein [1979], Galison [1987].
3. La ´o mula de Mølle 73
sen i , aques a p esen aci´o ma ca la pau a de la majo ia de les p esen acions
pos e io s de la “dispe si´o Mølle ”, des de ex os poc pos e io s al de Jauch
i Roh lich, com la “Elec odin`amica qu`an ica” de K¨all´en [1958], ins als m´es
ecen s.50
Aques a mos a incomple a de e e `encies ´es su icien en qualse ol cas
pe jus i ica la nos a a i maci´o que l’elec odin`amica qu`an ica eno mali -
zada e alo i za la ´o mula de Mølle . Un dels elemen s m´es impo an s en
l’explicaci´o d’aques can i ´es la elle `ancia de la in e acci´o en e dos elec ons
en l’elec odin`amica qu`an ica de Feynman. Al segon dels a icles en qu`e a
oposa la se a ap oximaci´o “o e -all space- ime” a la m´es usual o mulaci´o
hamil oniana, Feynman ha ia exempli ica les se es conside acions en la in-
e acci´o en e dos elec ons lliu es: “We begin by discussing he solu ion in
space and ime o he Sch ¨odinge equa ion o pa icles in e ac ing ins an-
aneously. The esul s a e immedia ely gene alizable o delayed in e ac ions
o ela i is ic elec ons and we ep esen in ha way he laws o quan um
elec odynamics”.51 L’“equaci´o onamen al de l’elec odin`amica” que p o-
posa a Feynman “desc ibes he e ec o exchange o one quan um ( he e o e
i s o de in e2) be ween wo elec ons. I will se e as a p o o ype enabling
us o w i e down he co esponding quan i ies in ol ing he exchange o wo
o mo e quan a be ween wo elec ons o he in e ac ion o an elec on wi h
i sel ”.52 La elaci´o de la ´o mula de Mølle amb la no a o mulaci´o de
la eo ia es eia expl´ıci a poques l´ınies desp ´es: “The calcula ion, om [ou
undamen al equa ion o elec odynamics], o he ansi ion elemen be ween
posi i e ene gy ee elec on s a es gi es he Mølle sca e ing, when accoun
is aken o he Pauli p inciple”.53
Feynman e a memb e en aques s momen s del depa amen de ´ısica de
la Uni e si a de Co nell. Com eu em al cap´ı ol seg¨uen , Lo ne A. Page
eballa a simul `aniamen , i al ma eix depa amen , en el que es conside a
l’expe imen decisiu en la comp o aci´o de la ´o mula de Mølle .
50Pe posa nom´es un exemple, C. I zykson i J. Zube [1985].
51Feynman (1949), “Space-Time app oach o quan um elec odynamics”, p. 769.
52Ibid., p. 772.
53Ibid., p. 773.
80 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
ha ia in e ompu el seu eball. La majo ia de les o og a ies que anali za a
a l’a icle les ha ia p `es en e el desemb e de 1921 i el juliol de 1922. A la
pa co esponen a la adiaci´o βWilson desc i ia acu adamen l’aspec e de
les aces, discu ia la ioni zaci´o al lla g de les se es ajec `o ies, la elaci´o ang-
eloci a , la in lu`encia de les des iacions nuclea s, i en un dels apa a s ac a a
amb´e el en`omen de les “ aces ami icades”. Wilson, que no p ecisa a les on s
de adiaci´o βque ha ia usa , mesu a a l’ene gia de la adiaci´o mi jan¸can la
ma eixa elaci´o ap oximada en e el ang i l’ene gia que ha ia usa Bo he. Pe `o
a di e `encia d’aques , Wilson compa a a els seus esul a s pe la p obabili a
que una b anca exced´ıs un ce a longi ud, amb la eo ia de Thomson, obse an
que o i co ec es en o d e de magni ud, e en meno s dels p edi s pe la
eo ia.14 A les conclusions es pa la a nom´es d’un “aco d gene al” amb la
eo ia. L’escassa signi icaci´o dels esul a s de Bo he i Wilson no es de ia
al m`e ode emp a , que pe me ia pos e io men compa acions m´es p ecises i
conclusi es amb la eo ia, sin´o al baix nomb e de o og a ies anali zades i a la
poca iabili a de les mesu es de la eloci a .
Hem d’espe a al 1929 pe oba una al a e e `encia a l’obse aci´o expe-
imen al de la dispe si´o elec `onica de adiaci´o β. Malcolm C. Hende son a
publica aques any els esul a s del seu es udi de la dispe si´o de pa ´ıcules β
en gasos lleuge s mi jan¸can una camb a d’ioni zaci´o.15 Hende son s’ha ia
doc o a ecen men a la Uni e si a de Camb idge amb una esi sob e el
ma eix ema, d’on p o enia pa del ma e ial de l’a icle. El p oblema que
l’ha ia condu¨ı a aques es in es igacions e a el de quin e ec e ind ia el mo-
men magn`e ic de l’elec ´o, pos ula el 1925 pe Uhlenbeck i Goudsmi , en la
col.lisi´o en e dos elec ons. Hende son compa a a la dispe si´o en hid ogen i
heli, amb la dispe si´o en elemen s m´es pesan s, ni ogen i a g´o. En els ele-
men s lleuge s la dispe si´o elec `onica ´es m´es impo an , i Hende son espe a a
posa de mani es amb la compa aci´o qualse ol dispe si´o addicional que pogu´es
adsc iu e’s al nou “camp de o ¸ca” de l’elec ´o.
La camb a d’ioni zaci´o, a di e `encia de la de boi a, no pe me ia d’en egis-
a esde enimen s indi iduals, sin´o mesu a nom´es el co en o al d’ioni zaci´o
14Ibid., p. 201: “The chance o occu ence o a b anch ack exceeding a gi en leng h may,
on Thomson’s heo y, be calcula ed i we know he ene gy o a β-pa icle o gi en ange”.
Wilson no de alla a els c`alculs que ha ia eali za pe compa a la eo ia de Thomson amb
les dades expe imen als.
15Hende son (1929), “The sca e ing o β-pa icles by ligh gases and he magne ic momen
o he elec on”.

4. Con as aci´o expe imen al 81
p odu¨ı al seu in e io . No es podien doncs dis ingi les con ibucions a la dis-
pe si´o o al de les dispe sions nuclea i elec `onica, el que eia que no os un
ins umen adien pe in es iga a¨ılladamen els e ec es d’una de elles.16 Hen-
de son l’aplic`a de o es mane es a la in es igaci´o de la dispe si´o elec `onica.
dels aigs βp oceden s del RaE. Enca a que el l´ımi supe io del seu espec-
e es ´es subjec e a discussi´o, el RaE (Bi210) cons i u¨ıa un bon emiso pe
la suposada abs`encia de adiaci´o γi l’ele ada ene gia del seu espec e, i e a
`ampliamen usa en l’an`alisi de la adiaci´o β. Pe compa a expe imen almen
la dispe si´o en els di e en s gasos, Hende son mesu a a el co en d’ioni zaci´o
en unci´o de la p essi´o del gas con ingu a la camb a, dins el conjun de alo s
de la p essi´o en qu`e el quocien de les dues quan i a s es man enia cons an .
Hende son conside a a aix`o com un indici del p edomini de la dispe si´o sim-
ple. El quocien d’aques es cons an s en e si e a alesho es una mesu a de la
“capaci a de dispe si´o” (“sca e ing powe ”) ela i a en e els di e en s gasos.
Hende son a compa a els seus esul a s amb les p ediccions e`o iques
en base a la eo ia cl`assica de dispe si´o de Da win, incloen -hi un ac o de
co ecci´o ela i is a pe la dispe si´o nuclea . D’aques a o ma ob enia que el
n´ume o de pa ´ıcules dispe sades ha ia de se p opo cional a aN2+N(N
n´ume o a `omic elemen dispe so , a= 102 ac o ela i is a), si es man enia
la p essi´o cons an a la camb a. Aix`o es a a d’aco d amb l’es imaci´o habi ual
que la a´o de les dispe sions nuclea i elec `onica e a N2:N.
Les dades expe imen als de Hende son indica en que la dispe si´o o al e a
p opo cional a aN2+ 303N, ´es a di , que la dispe si´o elec `onica e a unes es
egades supe io a l’espe ada e`o icamen . Hende son no ju ja a aques a dis-
pe si´o addicional su icien men g an com pe indica l’exis `encia d’un momen
magn`e ic, el que a gumen a a en base a la magni ud ela i a de les o ces
el`ec ica i magn`e ica. Si el momen magn`e ic de l’elec ´o os d’un magne ´o
de Boh , les o ces magne os `a iques hau ien de se el ac o m´es impo an
pe de e mina la des iaci´o inal de la pa ´ıcula, ja que la dis `ancia m´ınima
d’ap opamen s’es ima a 60 egades in e io als 5 ×10−11 cm en qu`e les o ces
el`ec ico i magne os `a iques s´on iguals. Pe `o alesho es un c`alcul elemen al
mos a a que els esul a s hau ien de di e i mol dels obse a s, el que eia
16En elemen s dispe so s pesan s, la p eponde `ancia de la dispe si´o nuclea s´ı pe me ia
d’in es iga -la en ce de all mi jan¸can la camb a d’ioni zaci´o, in odu¨ın nom´es una pe i a
co ecci´o pe eni en comp e la dispe si´o elec `onica. Du an els anys in expe imen s aix´ı
an se eali za s especialmen pe Chadwick i P. H. Me cie , i B. Schonland (c . Ru he o d,
Chadwick i Ellis [1930], pp. 227–234).
82 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
conclou e a Hende son que sembla a imp obable que l’elec ´o pogu´es eni un
momen magn`e ic “ an g an com un magne ´o de Boh ”.17
Hende son no p oposa a cap al a explicaci´o d’aques es anomalies, i as-
senyala a la di icul a de calcula la ajec `o ia de les pa ´ıcules si s’ha ia de
eni en comp e que la o ¸ca en e dos magne ons dep`en de l’o ien aci´o ela i a
dels seus eixos. Hende son objec a a al model de l’elec ´o magn`e ic la se a el-
a i a complexi a en on l’elec ´o pun ual, i en aques con ex ca ac e i za a
la eo ia de l’elec ´o de Di ac com una al e na i a a aques model, m´es que com
una explicaci´o:18 “Di ac has shown how o a oid he necessi y o a magne ic
elec on by a mo e comple e solu ion o he undamen al equa ions”. Pe `o
Hende son ju ja a amb´e complicada l’aplicaci´o de la eo ia de Di ac a aques
p oblema, p e eien co ec amen la labo iosi a dels c`alculs necessa is:19
The p oblem o he collision o a β-pa icle wi h an elec on has no
ye been examined on he basis o Di ac’s equa ions, and al hough
i seems possible ha he duplex cha ac e o an elec on in an
o bi may be in e p e ed o gi e a magne ic ield e ec i e in colli-
sions, he magni ude o he e ec canno be es ima ed wi hou a
labou ed calcula ion. When such calcula ions a e a ailable i may
be possible o gi e an adequa e explana ion o he esul s ob ained
in he p esen expe imen s wi hou any u he hypo heses.
El m`e ode de Hende son, inspi a di ec amen en expe imen s simila s ea-
li za s an e io men al Ca endish, no a o na a se emp a degu a l’escassa
signi icaci´o dels esul a s que pe me ia ob eni . L’e ic`acia de la camb a de
boi a, en can i, a augmen a sensiblemen amb la in oducci´o acciden al el
1927 d’un m`e ode iable pe la de e minaci´o de la eloci a de les pa ´ıcules o-
og a iades: l’aplicaci´o d’un camp magn`e ic a la camb a en ope aci´o. El camp
co ba a la ajec `o ia de les pa ´ıcules, i pe me ia de e mina -ne la eloci a .20
17Ibid., p. 856. No es a `a de m´es eco da que el momen magn`e ic de l’elec ´o ´es d’un
magne ´o de Boh .
18Hende son (1929), p. 856.
19Ibid., p. 857. Hende son es e e eix a la “zweideu igkei ” in odu¨ıda pe Pauli, exp es-
sada amb´e pel model d’esp´ı.
20El 1927 el ´ısic us Dimi i Skobelzyn a in odui el camp magn`e ic com a medi auxilia
pe e i a que les aces dels aigs βsecunda is que la adiaci´o c`osmica p odu¨ıa a les pa e s de
la c`ama a, emmasca essin l’obse aci´o dels elec ons p odu¨ı s pe e ec e Comp on, els ´unics
en qu`e es a a in e essa (c . Skobelzyn, “Die In ensi ¨a s e eilung in dem Spek um de γ-
S ahlen on RaC”, Zs. Phys. 43 (1927), 354–378). Skobelzyn, es imula pel descob imen
4. Con as aci´o expe imen al 83
Si el pla de la a¸ca e a pe pendicula a la di ecci´o del camp, la eloci a podia
exp essa -se de o ma mol senzilla en unci´o de la in ensi a del camp Hi el
adi de cu a u a ρde la a¸ca,
β=Hρ (e/mc)
q1+(Hρ)2(e/mc)2,(3)
(β= /c;e,mc`a ega i massa de l’elec ´o).
Gai eb´e alho a que Hende son, i al ma eix labo a o i, dos es udian s de
doc o a , E. J. Williams i F. R. Te oux, aplica en la inno aci´o d’Skobelzyn
a la in es igaci´o de la dispe si´o de pa ´ıcules β `apides a a ´es d’oxigen i
hid ogen.21 El esul a de les se es in es igacions a se publica el gene
de 1930. Les obse acions o iginals de Bo he i Wilson s’ha ien limi a al
pas dels aigs βa a ´es d’ai e, i els au o s conside a en l’ex ensi´o de les
obse acions a l’hid ogen “de conside able impo `ancia” pe la compa aci´o
amb la eo ia, donada la magni ud de la dispe si´o elec `onica en aques cas.
Williams i Te oux des aca en la supe io i a de la camb a de boi a da an
al es m`e odes pe la possibili a que o e ia de dis ingi di ec amen en e les
dispe sions elec `onica i nuclea , i deien de les obse acions de Hende son sob e
la dispe si´o en hid ogen, que esmen a en en aques con ex , que “e en in his
case he nuclea sca e ing is g ea e han he elec on sca e ing and i is
di icul o make a eliable de e mina ion o he la e ”.22
Williams i Te oux anali za en, com Hende son, els aigs βp oceden s
del RaE. Un dels objec es de la se a in es igaci´o e a ob eni dades sob e la
eq¨u`encia de les col.lisions amb una ans e `encia d’ene gia impo an , ´es a
di , sob e la eq¨u`encia de p oducci´o de b anques.23 Williams i Te oux an
examina unes 500 aces de pa ´ıcules β, que o ali za en 18 m, i hi an pode
de ec a 100 b anques. La eloci a de les pa ´ıcules inciden s es de e mina a
mi jan¸can la cu a u a de les aces, i l’ene gia de les b anques a pa i del
de l’e ec e Comp on, in es iga a des del 1923 la adiaci´o γi la adiaci´o c`osmica al labo a o i
del seu pa e a Lening ad (c . Skobelzyn, “The ea ly s age o cosmic- ay pa icle esea ch”,
a B own i Hoddeson [1983], pp. 111–119).
21Williams i Te oux (1930). E ans James Williams es a doc o a a Camb idge el 1929
amb una esi sob e la p`e dua d’ene gia de les pa ´ıcules βen el seu pas a a ´es de la ma `e ia,
ema sob e el que publica ia nomb osos a icles en els anys seg¨uen s. F. R. Te oux e a un
“ex e nal esea ch s uden ” del Ca endish.
22Ibid., p. 291.
23Williams i Te oux es udia en amb´e la ioni zaci´o p im`a ia i la conse aci´o del momen
en les col.lisions.
84 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
ang. L’ene gia de les pa ´ıcules inciden s es oba a en e 0013 i 106 MeV
( eloci a s en e 006i0097c). Els seus esul a s e en ag upa s en dues aules
segons (1) l’ene gia cin`e ica ans e ida a les b anques i (2) la eloci a de les
pa ´ıcules inciden s.
La compa aci´o amb la eo ia es eia a pa i de la a´o en e els casos obse -
a s i el alo e`o ic, que e a calcula a pa i de la eo ia de Thomson, enca a
l’´unica disponible. Williams i Te oux pa ien de l’exp essi´o de Thomson pe
la p obabili a de p oducci´o d’una b anca d’ene gia en e QiQ+dQ ( eu e
exp essi´o (2) )
φ(Q) = 2πne4
m 2
0
1
Q2,(4)
on ndensi a d’elec ons, i T=1
2m 2
0ene gia cin`e ica de la pa ´ıcula inciden .
Degu a la impossibili a de dis ingi la pa ´ıcula βde l’elec ´o secunda i des-
p ´es de la col.lisi´o, Williams i Te oux conside a en com a b anca la ami icaci´o
de meno ene gia.24 La m`axima ene gia d’una b anca e a alesho es T/2, el
alo l´ımi de Qen les exp essions seg¨uen s. El nomb e e`o ic P(Q) de b an-
ques d’ene gia Qs’ob enia alesho es suman a l’exp essi´o an e io el n´ume o
de col.lisions en qu`e l’ene gia pe duda pe la pa ´ıcula βe a T−Q, on T
ep esen a a l’ene gia o al de la pa ´ıcula inciden
P(Q) = φ(Q) + φ(T−Q) = 2πne4
m 2 1
Q2+1
(T−Q)2!.(5)
Els esul a s de Williams i Te oux indica en que el nomb e d’esde eni-
men s obse a s e a al menys el doble del alo p edi pe la eo ia de Thom-
son, una di e `encia mol supe io al ma ge d’e o expe imen al i es ad´ıs ic.
L’an`alisi de la ioni zaci´o p im`a ia que ha ien eali za simul `aniamen condu¨ıa
a la ma eixa conclusi´o, i l’aco d e a amb´e sa is ac o i amb els esul a s de
Hende son.25 Williams i Te oux mi a en com Hende son d’ob eni de les
se es dades alguna e id`encia de l’exis `encia del momen magn`e ic de l’elec ´o.
En p ime lloc, coincidien amb ell en l’obse aci´o que, assumin un momen
magn`e ic igual a un magne ´o de Boh (eh/4πmc), les o ces magne os `a iques
ha ien de p edomina a la dis `ancia m´ınima cl`assica d’ap opamen en e la
24 ´
Es in e essan obse a que les pa ´ıcules no e en conside ades indis ingibles en p incipi,
com assenyala en impl´ıci amen Williams i Te oux en a i ma : “When a β-pa icle p oduces
a b anch, he e is no c i e ion a ailable o de e mine which is he b anch and which is he
con inua ion o he p ima y ack” (Williams i Te oux 1930, p. 304).
25Williams i Te oux ci a en la esi de Hende son, Camb idge 1928.
4. Con as aci´o expe imen al 85
pa ´ıcula βi l’elec ´o. Aix`o sugge ia ja que el nomb e e`o ic de b anques hau-
ia de se mol supe io al calcula mi jan¸can la eo ia cl`assica conside an
nom´es o ces el`ec os `a iques. Pe e una ap eciaci´o quan i a i a, Williams i
Te oux p enien un alo p omig pe la o ¸ca d’a acci´o en e dos magne ons,
i calcula en el nomb e de b anques co esponen . Els esul a s que ob enien,
sense de alla els c`alculs, e en d’un o d e de magni ud di e en als obse a s,
el que els po a a a conclou e:26 “The di e ences a e so g ea ha al hough
he calcula ed alues a e only app oxima e, we may conclude ha he elec on
ega ded as a pa icle does no beha e as i i had a magne ic momen equal
o a Boh magne on”.
Alho a que Williams i Te oux p epa a en el seu a icle, N. Mo es udia a
a Manches e la in e acci´o en e dos elec ons conside an la se a indis ingi-
bili a , un p oblema que ja ha ia ingu la in enci´o de ac a al Ca endish
a p incipis de 1929. Alesho es ha ia acaba conside an la col.lisi´o en e dues
pa ´ıcules α, que no enien esp´ı i e en m´es con enien s des del pun de is a
expe imen al, amb el esul a que el nomb e de pa ´ıcules des iades a 45◦ha ia
de se el doble del p edi pe la eo ia cl`assica de Ru he o d.27 A Manches e
Mo a calcula inalmen , in odu¨ın uncions d’ona an isim`e iques, l’e ec e
de la indis ingibili a en la col.lisi´o en e dos elec ons. L’a icle on exposa a el
seu c`alcul a se ebu als P oceedings o he Royal Socie y el 7 de no emb e
de 1929, nom´es un dia desp ´es que l’a icle de Williams i Te oux.28
Williams, que s’ha ia llicencia a Manches e i ha ia coincidi amb Mo
al Ca endish, a sabe del eball de Mo abans que es publiqu´es. Aix´ı, Mo
de ia mol p obablemen a Williams la sugge `encia que la dispe si´o an`omala
que ha ia calcula podia se de ec ada, en e al es medis, “by obse ing col-
lisions be ween as elec ons and a oms in which an elec on is ejec ed om
he a om, e.g., he o ked β- ay acks in a Wilson chambe ”.29 Les ´uniques
dades expe imen als amb qu`e Mo compa a a la se a p e isi´o e`o ica e en
p ecisamen les que Williams li ha ia a an¸ca , co esponen s a un a icle que
ha ia de publica en b eu. En aques cas, so p `en el e que Williams no don´es
cap indicaci´o d’aques eball en l’a icle conjun amb Te oux, on ja ha ien
in en a explica les disc ep`ancies amb la eo ia cl`assica. En aques a icle no
hi ha ia cap e e `encia a la possibili a que un ac amen m´es comple basa
26Williams i Te oux 1930, p. 307.
27Mo , P oc. Roy. Soc. A125 (1929), 222.
28Mo (1930).
29Ibid., p. 264.

86 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
en la mec`anica qu`an ica, o en la eo ia de Di ac, pogu´es elimina les anomalies
obse ades.
En qualse ol cas, l’a icle anuncia pe Mo a apa `eixe e ec i amen en
pocs mesos. Williams el dedica a exclusi amen a l’obse aci´o de b anques,
amb la in enci´o mani es a de dona supo a la eo ia de Mo .30 A la llum
de la no a eo ia qu`an ica, Williams a o na a examina les o og a ies de
pa ´ıcules β“len es” ( o oelec ons d’uns 20 KeV d’ene gia) que ha ia eali za
a Manches e el 1927, i que ja ha ia usa a la se a esi. Simpli ican lleuge a-
men el esul a de Mo , Williams ob enia pe la eq¨u`encia de p oducci´o de
b anques
Pq(Q) = φ(Q) + φ(T−Q)−qφ(Q)φ(T−Q),(6)
i o ma a el quocien amb l’exp essi´o cl`assica co esponen , equaci´o (5), pe
ob eni
Pq(Q)
Pcl(Q)= 1 −qφ(Q)φ(T−Q)
qφ(Q) + φ(T−Q).(7)
En l’examen de 4 m de a¸ca, Williams a de ec a 150 b anques, que
classi ic`a en dos g ups segons que l’ene gia de la b anca es ob´es en e 3.000
i 5.000 eV, o en e 5.000 i 10.000 eV. Va di idi alesho es el nomb e de casos
obse a s, 89 i 47 espec i amen , pel alo p e is pe la eo ia cl`assica, 100 i
78, i a compa a el esul a amb el quocien dona pe l’exp essi´o (7). Ambd´os
alo s coincidien dins el ma ge d’e o , el que Williams in e p e a a com una
e id`encia a o able a “la no a eo ia qu`an ica i en pa icula a l’ex ensi´o del
p incipi d’exclusi´o a sis emes ape i`odics o obe s”.31
Desp ´es de conside a l’e id`encia exis en sob e dispe si´o simple de adiaci´o
βcap el 1930, podem a i ma que les dades expe imen als e en escasses i poc
signi ica i es. A m´es de les di icul a s expe imen als que ja hem esmen a ,
con ibu¨ıa a aix`o l’es a can ian de la eo ia, que inhibia sens dub e la eali -
zaci´o d’expe imen s m´es p ecisos. Si e a di ´ıcil ob eni esul a s no ambigus,
no ho e a menys sabe amb quina p edicci´o e`o ica ha ien de se compa a s.
El cas de Williams ep esen a cla amen aques con lic e.
Desp ´es de publica l’a icle de comp o aci´o de la eo ia de Mo , Williams
comple `a en pocs mesos dos a icles m´es sob e la p`e dua d’ene gia de les
30Williams (1930).
31Ibid., p. 465: “As a as hey go he expe imen al esul s he e o e p o ide e idence
in suppo o he new quan um heo y and in pa icula o he ex ension o he exclusion
p inciple o ape iodic, o open, sys ems”.
4. Con as aci´o expe imen al 87
pa ´ıcules βen a a essa la ma `e ia.32 En ells anali za a les dades expe-
imen als assenyalan que malg a l’aco d gene al, les disc ep`ancies amb les
p e isions e`o iques e en m´es g ans del que e a gene almen econegu . Men-
e co egia les p o es a apa `eixe la de allada an`alisi qu`an ica de Be he del
ma eix p oblema,33 i Williams a ha e de eexamina no amen les se es
conclusions, el que l’ocup`a gai eb´e un any. L’aco d que a ob eni amb la
eo ia e a a a millo , pe `o les disc ep`ancies e en m´es se ioses pe qu`e ha ia
menys espai pe adsc iu e-les a “incomple eness o app oxima ion in he heo-
e ical calcula ions”.34 En una de les pa s de l’a icle Williams a discu i el
cas ela i is a:35 “By compa ing Be he’s non- ela i i y o mulae wi h expe-
imen al esul s o pa icles wi h eloci ies compa able wi h cwe can deduce
he na u e o he ac ual ela i i y e ec . A di ec applica ion o quan um
mechanics o he p oblem has no been made, and he e a e he e o e no he-
o e ical o mulae wi h he same gene ali y as hose de i ed by Be he o he
non- ela i i y case”. Pe `o Williams ha ia o na a a an¸ca -se en les se es con-
clusions, pe qu`e quan a apa `eixe aques a icle, el eb e de 1932, Mølle
ja disposa a de la se a ´o mula i a ia publica ia el seu ac amen qu`an ic i
ela i is a del p oblema.
4. 2. Els expe imen s de Champion
Aques a si uaci´o no ha ia can ia subs ancialmen quan el 14 de oc ub e
de 1931 Mølle a eb e una ca a p oceden del labo a o i Ca endish, da ada
el 10 d’oc ub e. El emi en , que s’ha ia descuida de signa -la, li comunica a
que ha ia llegi amb mol d’in e `es el seu a icle ecen ( e e in -se a Mølle
1931), pe `o obse a a que nom´es s’hi dona en els casos l´ımi de la ´o mula
de dispe si´o. El desconegu explica a que ha ia p `es ecen men “un g an
nomb e de o og a ies de aces de aigs β `apids en una c`ama a d’expansi´o
au om`a ica”, i que ha ia comen¸ca ja a anali za “les col.lisions amb elec ons
es aciona is”. En un diag ama adjun li mos a a la dis ibuci´o dels 50 pun s
que ha ia de e mina ins el momen , amb angles de dispe si´o comp esos en e
32Williams, “The a e o loss o ene gy by β-pa icles in passing h ough ma e ” i “The
loss o ene gy by β-pa icles and i s dis ibu ion be ween di e en kinds o collisions”, P oc.
Roy. Soc. A130 (gene 1931), 310–327 i 328–346 [ ebs. 25 se emb e 1930].
33Be he (1930). Veu e la in oducci´o al cap´ı ol 2.
34Williams, “The passage o αand β-pa icles h ough ma e and Bo n’s heo y o colli-
sions”, P oc. Roy. Soc. A135 ( eb e 1932), 108–131 [ eb. 1 oc ub e 1931]; p. 109.
35Ibid., p. 109.
88 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
10◦i 45◦, i pa ´ıcules inciden s de eloci a s en e 008 i 009c. L’au o econeixia
que el n´ume o de pun s no e a enca a su icien pe pe me e la compa aci´o amb
la eo ia, pe `o demana a a Mølle que calcul´es la ´o mula de dispe si´o pels
alo s de βindica s. A egia inalmen que espe a a comple a l’an`alisi, ins
uns 600 pun s, el ma ¸c de l’any seg¨uen , i que es a a “mol ansi´os” pe sabe
com di e i ia la dis ibuci´o de pun s de la p edi a pe l’exp essi´o cl`assica.36
Na u almen , el con ingu de la ca a a in e essa mol a Mølle , que el
ma eix dia a esc iu e a Max Delb ¨uck en clau d’humo p egun an -li qui
o og a ia a aces de aigs β `apids mi jan¸can una c`ama a d’expansi´o al
Ca endish, desp ´es que a l’Ins i u o s s’haguessin “ enca el cap in´u ilmen
amb aques a p egun a”:37
Els e s emp´ı ics s´on els seg¨uen s: el 14 d’oc ub e de 1931 pel ma ´ı,
al ol an de les 11, aig eb e una ca a esc i a amb una m`aquina
d’esc iu e (p obablemen ma ca Reming on). Del con ingu de la
ca a es dedueix que el emi en s’ocupa d’in es iga la dispe si´o
de aigs [β] en elec ons lliu es mi jan¸can o og a ies Wilson. Em
demana algunes indicacions ela i es a la me a ´o mula pe la dis-
pe si´o d’elec ons `apids, pe `o com s’ha ‘oblida ’ de signa la ca a,
aix`o ´es na u almen di ´ıcil. Si os ´e no pogu´es ajuda -me, eco -
e ia a Sco land Ya d. Jo di ia que el culpable ´es Blacke , qu`e li
sembla?
Delb ¨uck es oba a a Roma, on ha ia pa icipa al cong `es dedica a la ´ısica
nuclea que s’hi ha ia cel.leb a en e l’11 i el 18 d’oc ub e, i a con es a
a Mølle en una ca a sense da a, esc i a pe `o poc desp ´es que inali z´es el
cong `es.38 Blacke pa icipa a en el cong ´es i enia un `alibi, de o ma que
Delb ¨uck sugge ia com a emi en a un jo e alumne i ali`a de Blacke de qui
36Champion a Mølle , 10 d’oc ub e de 1931 (AHQP-59).
37Mølle a Delb ¨uck, 14 oc ub e 1931 (AHQP-59): “Mi diese in e essan en F age haben
wi uns hie im Ins i u e geblich den Kop ze b ochen”. La ca a segueix: “Die empi ischen
Ta sachen sind die olgende: Am 14.Ok .1931. Vo mi ags ca.11 Uh e hiel ich einen mi
eine Sch eibmaschine (wah scheinlich Ma ke Reming on) gesch iebene B ie . Aus dem In-
hal des B ie es geh he o , daß de Absende sich dami besch¨a ig mi els Wilsonau -
nahmen die S euung on [β]-S ahlen bei eien Elek onen zu un e suchen. E bi e mich
um einige Angaben bez¨uglich meine Fo mel ¨u die S euung Schnelle Elek onen, da e
abe ‘ e gessen’ ha seinen B ie zu un e sch eiben is dies na ¨u lich schwie ig. Wenn Sie
mi nich hel en k¨onnen, we de ich mich an Scho land Ya d wenden. Ich m¨och e glauben,
daß Blacke de T¨a e is , was meinen Sie?”.
38Delb ¨uck a Mølle (AHQP-59).
4. Con as aci´o expe imen al 89
aques li ha ia pa la , e i in -se mol p obablemen a Giuseppe Occhialini.39
Pe `o l’au o de la ca a no e a Occhialini, sin´o un al e jo e doc o and del
Ca endish, F. Cli e Champion.
F ank Cli e Champion a n´eixe a Eshe , Su ey, el 2 de no emb e de 1907.
Desp ´es de eb e l’ensenyamen secunda i a The Royal G amma School de
Guil o d, a es udia ´ısica al S . John’s College de Camb idge.40 Champion
a se un es udian b illan : el 1929 a ob eni Fi s Class als Na u al Science
T ipos (Physics), el seu segon Fi s desp ´es de l’assoli a Guil o d el 1920. El
juliol de 1929 s’inco po `a al Ca endish com a Hu chinson Resea ch S uden .41
El seu eball s’o ien `a des d’un p ime momen a l’´us de la camb a de boi a
en la in es igaci´o de les adiacions αiβ.
La camb a de boi a, com ja hem is , e a un medi de de ecci´o especialmen
adien pe l’obse aci´o de col.lisions en e elec ons. Du an els anys in la
camb a a se mol usada en la in es igaci´o de la adiaci´o α, i es pe eccion`a el
disseny o iginal sense que anma eix es modi iquessin essencialmen les se es
ca ac e ´ıs iques. Les modi icacions an a ec a p incipalmen el pis ´o, que en
alguns casos a se subs i u¨ı pe una memb ana el`as ica, i la eq¨u`encia del
cicle d’ope aci´o de la c`ama a —expansi´o, condensaci´o, o og a ia i e o n a
les condicions inicials—, que a se au oma i za .42 A inals dels anys in
l’apa ell e a `ampliamen usa al Ca endish, on hi ha ia a is expe s en la se a
cons ucci´o, en e ells Pa ick Blacke , “ he leading exponen o cloud cham-
39Occhialini, un es udian de l’Ins i u de F´ısica de la Uni e si a de Flo `encia, acaba a
d’a iba al Ca endish a sugge `encia de B uno Rossi amb la in enci´o de passa -hi unes poques
se manes ap enen a cons ui camb es de boi a, pe `o esde ingu´e col.labo ado de Blacke
i s’hi a es a es anys (Hend y [1984], p. 24; Rossi, “Ea ly days in cosmic ays”, Phys.
Today 34 (oc ub e 1981), 34–41, esp. p. 41). A inals de 1932 an con i ma l’exis `encia
del posi ´o mi jan¸can una c`ama a accionada pe comp ado s Geige , “a me hod by which
he high speed pa icles associa ed wi h pene a ing adia ion can be made o ake hei
own pho og aphs” (Blacke i Occhialini, “Some pho og aphs o he acks o pene a ing
adia ion”, P oc. Roy. Soc. A139 (1933), 699–726 [ eb. 7 eb e 1933].
40Les dades biog `a iques de Champion p o enen d’una no a biog `a ica conse ada al
S . John’s College, que con ´e el seu obi ua i a The Times, 5 de ma ¸c de 1976. S’hi conse a
amb´e una “ u o ial ile” amb una cinquan ena de documen s, p incipalmen co espond`encia
adminis a i a, pe `o en e els que hi igu en amb´e dos in o mes de ece ca i ma e ial ela iu
a una pe ici´o de beca el 1934. Ag aeixo al senyo M. G. Unde wood, a xi e del S . John’s
College, aques a in o maci´o i les c`opies que m’ha acili a d’alguns d’aques s documen s.
41Segons el egis es del labo a o i. Ag aeixo al senyo J. Deakin, sec e a i del depa a-
men de ´ısica de la Uni e si a de Camb idge, aques a in o maci´o.
42C . Gen ne , Maie -Leibni z i Bo he, A las ypische Nebelkamme bilde , Be lin 1940,
p. 10.
96 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
de la camb a. En la ca a a Mølle del 8 de no emb e, ha ia incl`os dues o-
og a ies d’una ´unica col.lisi´o p eses amb c`ama es pe pendicula s. La col.lisi´o
s’ha ia p odu¨ı p `ac icamen en el pla d’una de les o og a ies, de o ma que
“ he appa en angle on his pho og aph is almos he ue angle. You will
obse e ha i is no nea ly 90◦; in ac he measu ed angle is 73◦ag eeing
exac ly wi h he ela i i y exp ession o his eloci y o he inciden elec on
and he pa icula angle o incidence”.64
Champion, com ha ia p e is , a ha e d’anali za mol es o og a ies, ja
que la p obabili a de les col.lisions que in es iga a e a mol pe i a. En la se a
p ime a ca a a Mølle pa la a nom´es d’un “g an nomb e” de o og a ies, pe `o
sabem pe un a icle pos e io que e en unes 4.000.65 Si el n´ume o de col.lisions
es e es (“close collisions”) ja e a esc`as, els c i e is que ha ia de sa is e una
a¸ca pe ob eni -ne mesu es iables enca a el edu¨ıa m´es. Pe mesu a amb
p ecisi´o la cu a u a de l’elec ´o inciden Champion es ima a necessa i disposa
d’uns 9 cm lliu es de des iacions nuclea s. A m´es, pe de e mina acu adamen
els angles de col.lisi´o, les go es de condensaci´o que o ma en les aces ha ien de
dis ibu¨ı -se el m´es uni o memen possible. En les 30.000 aces in es igades,
Champion a de ec a nom´es 50 “close collisions”, 14 de les quals sa is eien el
millo possible les condicions an e io s. Champion basa a la se a an`alisi sob e
aques es col.lisions.
En la mesu a que l’escassesa de dades ho pe me ia, Champion dedu¨ıa un
aco d “excel.len ” en e els alo s obse a s i els e`o ics, que s’ha ien calcu-
la suposan que no hi ha ia p`e dues d’ene gia pe adiaci´o. Aques a e a
una q¨ues i´o p oblem`a ica que enca a no ha ia es a ac ada e`o icamen ,
d’aqu´ı que les conclusions de Champion ossin d’in e `es. En inicia la se a
an`alisi, Champion no ha ia oba cap e id`encia de p`e dues pe adiaci´o en les
col.lisions en e elec ons. En el seu a icle exp essa a inalmen de o ma aga
la manca d’e id`encia expe imen al que aques es p`e dues ossin impo an s:66
“I any conside able amoun o ene gy is los as adia ion du ing he encoun-
e s, i is es ima ed ha i occu s in no mo e han a ew pe cen . o he o al
numbe o collisions”.
64Champion a Mølle , 8 no emb e 1931 (AHQP-59).
65Champion (1932c), p. 691: “The p esen esul s a e om he analysis o 4.000 pho-
og aphs, gi ing abou 30.000 acks o as β-pa icles in ni ogen”. A l’a icle que es em
conside an no indica a el nomb e de o og a ies anali zades, pe `o el nomb e de aces in-
es igades e a amb´e d’unes 30.000.
66Champion (1931), p. 637.

4. Con as aci´o expe imen al 97
Figu a 2. Els p ime s esul a s ob ingu s pe Champion pe l’angle
de dispe si´o θen unci´o de la eloci a de l’elec ´o inciden , segons
el diag ama que en i`a a Mølle el 10 d’oc ub e de 1931. El ma eix
diag ama amplia a 250 pun s esde ind ia la p ime a igu a de
l’a icle de Champion ( eu e igu a 3).
Champion anali za a alho a les ma eixes o og a ies amb la in enci´o de
con as a la ´o mula de Mølle . En la se a p ime a ca a a Mølle inclo¨ıa
ja algunes dades, 50 pun s en un diag ama θ(angle de dispe si´o) - β( /c),
( igu a 2). El ma eix diag ama, amplia a 250 pun s, esde ingu´e la p ime a
igu a del seg¨uen a icle de Champion, “The sca e ing o as β-pa icles by
elec ons”, acaba el mes de juny de 1932, quan la ´o mula de Mølle no ha ia
es a publicada enca a ( igu a 3).67 En la desc ipci´o del seu m`e ode expe i-
men al, Champion insis ia que “ he g ea ad an age o he expansion me hod
in in es iga ing he p esen p oblem lies in he ac ha i is he only me hod
ha sepa a es he nuclea sca e ing clea ly and de ini ely om he elec on
67Champion (1932c), ebu el 25 de juny de 1932. Champion nom´es podia ci a Mølle
(1931), pe `o na u almen ag a¨ıa a Mølle la comunicaci´o dels seus esul a s.
98 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
Figu a 3. Resul a s inals de Champion pe l’angle de dispe si´o θ
en unci´o de la eloci a de l’elec ´o inciden , segons an apa `eixe
al seu a icle (Champion 1932c, p. 692).
sca e ing”.68 Champion ha ia aplica els ma eixos c i e is de p ecisi´o de
l’a icle an e io , pe `o aques cop el nomb e de esul a s e a m´es g an pe qu`e
nom´es s’ha ia de mesu a l’angle de dispe si´o i l’ene gia co esponen s a una
de les b anques.
En les aces ap es pe a la mesu a, que o ali za en uns 650 m, Champion
a obse a 250 col.lisions amb angles de dispe si´o supe io s a 10◦, amb alo s
de β= /c pe la pa ´ıcula inciden comp esos en e 0"8i0
"9. Els esde eni-
men s en qu`e l’angle de dispe si´o e a in e io a 10◦no ha ien es a conside a s,
an pel compa a i amen g an ma ge d’e o que hau ia es a in odu¨ı , com
pe qu`e e en m´es eq¨uen s i s’hau ia inc emen a mol el nomb e de mesu es.
Les mesu es s’ha ien es `es ins l’angle m`axim de dispe si´o, ap oximadamen
40◦, que a la igu a 3 ep esen a la l´ınia discon inua. La igu a d´ona l’angle de
dispe si´o en unci´o de la eloci a de l’elec ´o inciden .
En la compa aci´o dels alo s expe imen als amb les p ediccions e`o iques,
Champion seguia els consells de Mølle , que en comunica -li la p ime a e si´o,
inco ec a, de la ´o mula de dispe si´o, li ha ia sugge i d’in odui x= cos θcm
68Ibid., p. 690.
4. Con as aci´o expe imen al 99
Taula 1. La compa aci´o dels esul a s de Champion amb les p edic-
cions e`o iques (Champion 1932c, p. 693).
iγcom a a iables independen s, en lloc de θi : “I you hen plo you
da a in a (x, γ) diag am his o mula should di ec ly gi e he densi y o he
do s”.69 Champion esc i ia al seu a icle la ´o mula de Mølle en la o ma
( eu e ´o mula (25) del cap´ı ol an e io )
dσ(θ) = 4π!e2
m 2"2γ+1
γ2dx
·!4
(1 −x2)2
−
3
1−x2+(γ−1)2
4γ2#1+ 4
1−x2$",(8)
on
x= cos θcm =2−(γ+ 3) sin2θ
2+(γ−1) sin2θ.(9)
Aques a exp essi´o s’in eg a a g `a icamen en γ.
Champion a ep esen a en una ´unica aula la compa aci´o dels seus esul-
a s amb les p ediccions e`o iques ( aula 1). Les columnes de la aula con e-
nien: 1, les es egions angula s conside ades; 2, el nomb e de pun s obse a s
a cada una d’elles; 3, 4 i 5, els alo s p edi s pe les eo ies de Mølle , cl`assica,
i Mo espec i amen ; 6, els alo s ob ingu s segons la eo ia de Mo subs-
i u¨ın mpe m/(1−β2)1/2; 7, els alo s ob ingu s segons la eo ia cl`assica en
la ma eixa subs i uci´o; i 8, la p edicci´o de la ´o mula cl`assica subs i u¨ın en el
denominado (1
2m 2)2pe T2, on T´es l’ene gia cin`e ica de la pa ´ıcula inci-
den . Els esul a s es a en en bon aco d (“good ag eemen ”) amb la ´o mula
de Mølle , pe `o Champion no deixa a d’obse a que pe angles supe io s a
20◦les ´o mules no ela i is es co egides e en amb´e sa is ac `o ies.
69Mølle a Champion, 7 desemb e 1931 (AHQP-59).
100 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
Els expe imen s de Champion an se concebu s quan la ´o mula de Mølle
enca a no exis ia. Com hem is , Champion enia la in enci´o d’es udia expe-
imen almen la in e acci´o en e dos elec ons, pe `o dins d’un con ex gene al
d’an`alisi de la adiaci´o β. L’in e `es de Champion pe la eo ia ´es mol limi-
a . El suma i inal de l’a icle que acabem d’examina mos a que Champion
no ha ia assimila la inno aci´o e`o ica onamen al de la ´o mula de Mølle ,
que desc i ia simplemen com basada en la mec`anica qu`an ica: “The absolu e
numbe sca e ed and he dis ibu ion wi h angle we e in good ag eemen wi h
a o mula o Mølle , based on quan um mechanics”.70 Els seus expe imen s
nom´es podien ha e a ec a indi ec amen i de o ma o almen inconscien
l’elec odin`amica qu`an ica. Pe `o no nom´es Champion desconeixia pa de les
implicacions del seu eball. Quan el 1934 J. Cockc o i P. Blacke an in-
o ma sob e el eball de Champion, que aspi a a al c`a ec de “Lec u e ”
al King’s College de Lond es, cap dels dos no esmen a a la comp o aci´o de
la ´o mula de Mølle en e els seus m`e i s. Cockc o deia de les q¨ues ions
ac ades pe Champion: “The p oblem a acked is one o conside able impo -
ance, being a s udy o he close collisions o a omic pa icles; a s udy which
allows a di ec es o some o he undamen al esul s o he heo y o ela-
i i y and o he wa e heo y o ma e ”.71 Blacke deia simplemen dels
esul a s de Champion que e en “de conside able in e `es i impo `ancia”, pe `o
es comp ´en que c i iqu´es la se a manca d’o iginali a .72
Champion es doc o `a l’es iu de 1932, i deix`a el Ca endish pe inco po a -se
com a “assis an Lec u e ” al Uni e si y College de No ingham. A m´es de
con inua l’an`alisi de les se es o og a ies, que no comple a ia ins el 1935,73
Champion hi a p epa a una monog a ia d’unes 100 p`agines sob e la camb a
de boi a (“The expansion cloud me hod and i s applica ion o a omic physics”),
i a eballa en col.labo aci´o amb el Depa amen de Zoologia en l’aplicaci´o de
l’espec oscopia a p oblemes elaciona s amb la di e enciaci´o sexual en peixos.
El 1934 esde ingu´e “Lec u e ” al King’s College de Lond es, ins i uci´o on
desen olupa ia la es a d’una ca e a menys b illan del que p ome ien els seus
inicis.74
70Champion (1932b), p. 695 (el sub a lla ´es meu).
71“Repo by D Cockc o on he disse a ion o F. C. Champion” (CTF).
72“Repo by P o esso P. M.S. Blacke on he disse a ion o F. C. Champion” (CTF).
73Champion (1936), “The sca e ing o as βpa icles by elec ons”, ebu el juliol de
1935.
74El 1948 Champion a se anomena “Reade ”, i el 1959 a ob eni la c`a ed a de ´ısica
expe imen al. Desp ´es del seu in e `es inicial pe la ´ısica a `omica i nuclea , la ca e a de
4. Con as aci´o expe imen al 101
4. 3. Expe imen s pos e io s
Desp ´es dels expe imen s de Champion, no es dona ia un al e in en de
con as a la ´o mula de Mølle ins el 1941 —si m´es no, un in en els esul a s
del qual ossin publica s—.75 L’in en es p odu´ı a la Uni e si a de No h
Ca olina, als Es a s Uni s, en ci cums `ancies mol di e en s del de Champion.
Una beca de la Ame ican Philosophical Socie y a pe me e A hu E. Rua k,
p o esso d’aques a uni e si a des del 1934, de di igi dues an`alisis conse-
cu i es de col.lisions en e elec ons ela i is es, amb la in enci´o expl´ıci a de
compa a els esul a s amb la ´o mula de Mølle .
L’ab il de 1941 Geo ge Ho nbeck i I l Howel an publica els esul a s de la
p ime a d’aques es an`alisis: “P oduc ion o secunda y elec ons by elec ons o
ene gy be ween 007 and 206 MeV”.76 Ho nbeck i Howell des aca en la necessi a
d’ob eni dades expe imen als de la secci´o e ica¸c pe la dispe si´o d’elec ons
d’al a ene gia, mol m´es escasses que les ela i es al ena o la ioni zaci´o.
Pe `o els seus expe imen s es a en mo i a s pe les disc ep`ancies en les dades
expe imen als exis en s. Les ´uniques que ci a en e en les que hem comen a
a les seccions an e io s: les de Bo he, Wilson, Hende son, Williams i Te oux,
Williams i Champion. De la econside aci´o de les dades de Wiliams i Te oux,
Ho nbeck i Howell dedu¨ıen una secci´o e ica¸c 201±0025 egades el alo p edi
pe Mølle , “in sha p con adic ion wi h he esul s o Champion, and wi h
ou own”, el que els po a a a conclou e: “Mo e ex ensi e cloud chambe
obse a ions a e needed, bo h o clea up he disc epancy and o ex end he
esul s o highe p ima y ene gy”.77
Les mesu es de Ho nbeck i Howell es basa en en les o og a ies que ha ia
p `es un al e p o esso de la ma eixa uni e si a , C eigh on C. Jones, i s’ha ien
eali za mi jan¸can un iso es e eosc`opic desen olupa ecen men pel ma eix
Champion s’o ien `a cap a l’es a s`olid. Champion a esc iu e llib es de ex ela i amen
conegu s du an els anys qua an a i cinquan a: P ope ies o Ma e , amb N. Da y, i Uni-
e si y Physics. Champion a iu e a Espanya des que es a e i a , el 1970, ins a la se a
mo a M`alaga el 1976 (c . “Obi ua y. P o esso Champion. No ed physicis ” The Times,
5 ma ¸c 1976, p. 17).
75Segons una no a del eball de Ho nbeck i Howell que conside em a con inuaci´o,
E. J. Williams els ha ia in o ma pe ca a que “unpublished wo k pe o med by himsel and
M Came on in 1933, using Ra E be a pa icles, esul ed in R- alues o abou 102; u he
de ails a e no now a alaible” (Ho nbeck i Howell 1941, p. 51). R´es el quocien en e els
alo s obse a i e`o ic de la secci´o e ica¸c.
76Ho nbeck i Howell (1941).
77Ibid., pp. 38 i 39.

102 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
T0(KeV ) : 20 30 40
R: 1018 ±0014 1009 ±0016 0084 ±0015
Taula 2. Resul a s de Ho nbeck i Howell (1941). T0, l´ımi in e io
d’ene gia dels elec ons secunda is; R, quocien en e els alo s
obse a s i els alo s p edi s pe la ´o mula de Mølle (p omi ja s
sob e l’ene gia p im`a ia).
Jones i Rua k.78 Els elec ons p ima is e en elec ons p odu¨ı s a les pa e s
d’una camb a de ni ogen pels aigs γd’una on de meso o i. L’ene gia dels
elec ons p ima is enia donada pe la cu a u a de la se a a¸ca; la dels elec-
ons secunda is, pel seu ang. Pe la compa aci´o amb la eo ia, Ho nbeck
i Howell ha ien calcula la secci´o e ica¸c de p oducci´o d’un elec ´o secunda i
d’ene gia cin`e ica T, supe io a ce alo T0, pe `o in e io a Tp/2, on Tp´es
l’ene gia cin`e ica p im`a ia. Pe aix`o ha ien in eg a la ´o mula de Mølle en e
T0iTp, i l’ha ien p omi jada sob e l’ene gia p im`a ia. El seus esul a s, que
esumeix la aula 2, complemen a en els ob ingu s pe Champion en l’`ambi
d’ene gies p im`a ies de 004 a 009 MeV. “Bo h in es iga ions”, conclo¨ıen, “sup-
po each o he in demos a ing he essen ial co ec ness o Mølle ’s heo y
o seconda y ene gy dis ibu ion in he domain o p ima y ene gy om 004 o
206 MeV”79
El eb e de 1942 a apa `eixe , als P oceedings de la ins i uci´o pa oci-
nado a, l’Ame ican Philosophical Socie y, un eball de Paul E. Shea in i
T. Eugene Pa due que complemen a a el de Ho nbeck i Howell: “P io o
ecen wo k by Ho nbeck and Howell in his labo a o y, he expe imen al ind-
ings we e in a con adi o y s a e and co e ed only a es ic ed ange o p ima y
ene gies. . . The p esen in es iga ion is a con inua ion o hei wo k, wi h he
objec i es o dec easing he s a is ical e o s and inc easing he accu acy o all
he measu emen s in ol ed”.80 Shea in i Pa due ha ien millo a l’aco d en e
les obse acions expe imen als i la ´o mula de Mølle modi ican els c i e is de
selecci´o de aces i mesu an m´es acu adamen els angs. Com mos a en els
seus esul a s ( aula 3), exp essa s com els de Ho nbeck i Howell, “ he Mølle
78Jones i Rua k, P oc. Am. Phil. Soc.82 (1940), 253.
79Ibid., p. 51.
80Shea in i Pa due (1942): “Elec on-elec on collisions in he p ima y ene gy ange om
103 o 206 million elec on ol s”, p. 243.
4. Con as aci´o expe imen al 103
T0(KeV ) : 20 30 40
R: 1007 ±0009 0099 ±0011 1004 ±0012
Taula 3. Resul a s de Shea in i Pa due (1942). In e p e a com
aula 2.
o mula is essen ially co ec o he p ima y and seconda y ene gy anges
conside ed he e”.81
El que di e encia m´es cla amen aques s in en s del de Champion ´es el seu
o igen en una in enci´o expl´ıci a de con as a la ´o mula de Mølle . Es ac a
d’un eball d’equip di igi a la comp o aci´o de la ´o mula i a la se a com-
pa aci´o amb les al es ´o mules p oposades. A inals dels anys qua an a, es
q¨ues iona ia el ca `ac e decisiu d’aques s expe imen s. Pe `o m´es que la se a
co ecci´o expe imen al o la signi icaci´o de les se es conclusions, ens in e essa
obse a com hi e a alo ada la ´o mula. Ho nbeck i Howell ca ac e i za en
sense p ecissi´o les apo acions de Be he, B ei i Wol e, pe a egi desp ´es sim-
plemen que “[Mølle ’s] inal o mulas gi ing he c oss-sec ion o p oduc ion
o a b anch wi h ene gy in he ange T o T+dT, a e p esumably he mos
accu a e ones a alaible”.82 Shea in i Pa due pa la en d’una “ eo ia ela i is a
de la secci´o e ica¸c elec ´o-elec ´o”: “This heo y, due o Mølle , includes he
e ec s o exchange and e a da ion o po en ials, o e ms in ( p/c)2inclusi e,
pbeing he eloci y o he inciden elec on”.83 Al inal de l’a icle e en m´es
expl´ıci s: “We wish o emphasize he impo ance o ho ough es s o his o -
mula, he only one in which he in e ac ion o wo simila undamen al pa icles
has been calcula ed wi h pe ec symme y, in acco dance wi h he spi i o
B ei ’s conside a ions [B ei (1929)]”. En cap cas s’esmen a en expl´ıci amen
elemen s m´es onamen als del eball de Mølle , com el ecu s a l’equaci´o de
l’elec ´o de Di ac, pe no di la elaci´o de la ´o mula amb l’elec odin`amica
qu`an ica.
´
Es mol possible que no hi hagu´es m´es con as acions de la ´o mula ins
el 1950, quan un equip del Ins i u e o Nuclea S udies de la Uni e si a de
Chicago a publica una an`alisi de 98 col.lisions elec ´o-elec ´o. Les col.lisions
ha ien es a obse ades acciden almen : “As a by-p oduc o se e al cloud-
81Ibid., p. 243.
82Ho nbeck i Howell (1941), p. 40.
83Shea in i Pa due (1942), p. 243.
104 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
chambe in es iga ions ca ied ou in his labo a o y, a conside able numbe o
pho og aphs o as elec on-elec on sca e ing e en s ha e been ob ained”.84
L’es udi s’ha ia eali za , segons els seus au o s, pe qu`e l’e id`encia expe imen-
al d’aques ipus de col.lisions no e a mol abundan . A l’a icle es compa a en
la eo ia de Mølle , e sions ela i is es de les eo ies de Mo i Ru he o d, i
la eo ia cl`assica de Ru he o d, amb esul a s poc conclusius: “Ou da a dis-
c imina e de ini ely only agains he la e heo y. When combined wi h 122
elec on-elec on collisions obse ed by Champion, hey a e consis en only
wi h he i s wo heo ies, bu a e insu icien o disc imina e decisi ely be-
ween hem”. De la ´o mula de Mølle nom´es es deia que e a la eo ia de la
dispe si´o elec ´o-elec ´o “now gene ally accep ed”.85
A pa i d’aques momen es cons a a `acilmen , especialmen als Es a s
Uni s, un inc emen de l’in e `es pe la dispe si´o elec ´o-elec ´o. El 1951 un g up
de la Uni e si a d’Illinois l’anali za u ili zan un eix monocin`e ic d’elec ons
de 1507 MeV, p oceden s d’un be a ´o de 22 MeV.86 A inals del ma eix any,
un equip del Radia ion Labo a o y de Be keley conside a aques a in e acci´o
a al es ene gies, mi jan¸can elec ons de 200 MeV p oceden s del sinc o ´o de
Be keley.87 Al Mic owa e Labo a o y de la Uni e si a de S an o d, un
al e g up de ´ısics expe imen als es udia la dispe si´o d’elec ons de 601 MeV
p oceden s d’un accele ado lineal.88 Aques a s`e ie d’expe imen s culmina
l’ab il de 1954 amb la publicaci´o de l’a icle conside a m´es decisiu, on es
comp o a la alidesa de la ´o mula de Mølle en l’in e al d’ene gies de 006
a 102 MeV.89 La llis a, que no ol se exhaus i a, mos a su icien men el
que hem indica . En cap dels a icles ci a s no es elaciona di ec amen la
´o mula de Mølle amb l’elec odin`amica qu`an ica. En o s ells la ´o mula ´es
conside ada com la m´es sa is ac `o ia e`o icamen , pe `o no s’indiquen les aons.
La ca ac e i zaci´o m´es p ecisa que es a de la ´o mula ´es que es basa en la eo ia
de Di ac.
Els expe imen s decisius s’ha ien desen olupa en un dels nous labo a-
o is c ea s desp ´es de la gue a, el Labo a o y o Nuclea S udies de la Uni-
84G oe zinge , Lede , Ribe i Be ge (1950), p. 454.
85Ibid., pp. 454 i 455.
86Sco , Hanson i Lyman (1951).
87Ba kas, Deu sch, Gilbe i Viole , “High ene gy elec on-elec on sca e ing”, Phys. Re .
86 (1952), 59–63 [ eb. 10 desemb e 1951].
88Ba be , Becke i Chu, “Elec on-elec on sca e ing a 601 MeV”, Phys. Re . 89 (1953),
950–957.
89Ashkin, Page i Woodwa d (1954).
4. Con as aci´o expe imen al 105
e si a de Co nell, i en eali a no ep esen en la culminaci´o sin´o l’inici de
l’in e `es eno a pe la dispe si´o Mølle . El se emb e de 1950 un dels au o s de
l’a icle, Lo ne Albe Page, a de ensa la se a esi doc o al: A measu emen
o elec on-elec on sca e ing.90 Els seus esul a s no di e ien essencialmen
dels que an se publica s qua e anys desp ´es.
Page, nascu el 1921, ha ia inicia el seu doc o a a inals de 1945.91
M. Woodwa d, di ec o de la esi, de ia p oposa -li poc desp ´es el p oblema.
´
Es in e essan cons a a d’aques a mane a que la elaci´o en e els dos pe ´ıodes
que hem es a conside an ´es m´es es e a del que l’esmen de l’any 1954 com
a da a de la comp o aci´o de ini i a sugge eix. Tampoc Page quali ica a mol
p ecisamen la ´o mula:92
Mølle , using he Di ac heo y o he elec on, has gi en a o -
mula o he di e en ial c oss sec ion o pe ec ly elas ic elec on-
elec on sca e ing. Ca e ul measu emen s o he di e en ial c oss-
sec ion in he ela i is ic ene gy egion as a unc ion o inciden
ene gy should p o ide e i ica ion o denial o he Mølle o mula,
and by implica ion he p esen heo y o he elec on. As he expe-
imen o be desc ibed uses nega i e be a- ays sca e ed by a omic
elec ons, e idence is p o ided on he ques ion we he nega i e
be a-pa icles a e iden ical wi h a omic elec ons.
Els expe imen s de Page es cen a en en l’obse aci´o de les col.lisions en
qu`e la ans e `encia accional d’ene gia e a g an, aquelles en les quals els
e ec es d’esp´ı e en m´es p onuncia s, i la ´o mula de Mølle es dis ingia m´es
cla amen de les al es ´o mules de dispe si´o. Les mesu es s’ha ien eali za
en l’`ambi d’ene gies de 006 a 107 MeV, usan elec ons βp oceden s d’una
on adioac i a. La de ecci´o s’ha ia e ec ua mi jan¸can un disposi iu de co-
incid`encia basa en comp ado s Geige , una inno aci´o decisi a espec e els ex-
pe imen s an e io s i els que simul `aniamen s’es a en desen olupan , basa s
majo i `a iamen en la camb a de boi a.
Els expe imen s de Page no nom´es con i ma en expe imen almen la ´o -
mula de Mølle ; Page a i ma a complagu a les se es conclusions que “ he e is
90Page [1950], esi doc o al no publicada.
91El se emb e de 1940 Page ha ia ing essa a la Queen’s Uni e si y, Kings on, On a io, on
a ob eni el g au de “Bachelo in Science” en ´ısica el maig de 1944. El no emb e de 1945,
desp ´es d’ha e se i a l’ex`e ci , a inicia els seus es udis de doc o a a la Uni e si a de
Co nell, on omand ia ins el 1950 (c . Page [1950], “Biog aphical ske ch”).
92Page [1950], p. 1 (el sub a lla ´es meu).
112 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
6. La ´o mula nom´es a adqui i el seu ca `ac e ac ual de con as aci´o de
l’elec odin`amica qu`an ica desp ´es de la eno mali zaci´o.
L’in e `es pe la dispe si´o elec ´o-elec ´o desp ´es de la gue a no es limi a
a l’aspec e e`o ic. Al ol an de 1950 s´on nomb osos els in en s de con as a
la ´o mula, especialmen als Es a s Uni s. Conside a conjun amen amb la
indi e `encia expe imen al cap a la ´o mula du an el pe ´ıode c ´ı ic de la eo ia,
aques in e `es indica que nom´es amb pos e io i a a la se a e o mulaci´o el
1947, a adqui i la ´o mula el seu ca `ac e ac ual de con as aci´o de la eo ia.
La elaci´o en e els dos pe ´ıodes que delimi a la in oducci´o del p ocedimen
de eno mali zaci´o, ´es m´es es e a del que sugge eix l’esmen de 1954 com a
da a de la con as aci´o “de ini i a” de la ´o mula: L. A. Page ha ia inali za
el 1950 la se a esi doc o al, que con enia essencialmen els ma eixos esul a s
que se ien publica s qua e anys desp ´es en l’a icle conjun amb Ashkin i
Woodwa d.

113
Bibliog a ia
Aase ud, inn
[1990] Redi ec ing Science. Niels Boh , philan h opy, and he ise o nuclea physics,
Camb idge Uni e si y P ess 1990.
Ashkin, a hu , Page, lo ne albe i Woodwa d, w. m.
(1954) “Elec on-elec on and posi on-elec on sca e ing measu emen s”, Phys. Re .
94 (ab il 1954), 357-362 [sig. Co nell; eb. 27 no 1953].
Ashkin, a hu i Woodwa d, w. m.
(1952) “Posi on-elec on sca e ing”, Phys. Re . 87 (1952), p. 236 [sig. Co nell].
Be ns ein, je emy
[1979] Hans Be he, p ophe o ene gy, New Yo k: Basic Books 1980.
Be he, hans
(1930) “Zu Theo ie des Du chgangs schnelle Ko puskula s ahlen du ch Ma e ie”,
Ann. Physik (5) 5(1930), 325-400 [sig. Munic; eb. 3 ab il 1930].
(1932) “B ems o mel ¨u Elek onen ela i is ische Geschwindigkei ”, Zs. Phys. 76
(1932), 293-299 [sig. Roma; eb. 4 maig 1932].
Be he, hans i Fe mi, en ico
(1932) Ҭ
Ube die Wechselwi kung on zwei Elek onen”, Zs. Phys. 77 (1932), 296–306
[sig. Roma; eb. 9 juny 1932].
Blacke , pa ick m. s.
(1929) “On he design and use o a double came a o pho og aphying a i icial disin e-
g a ions”, P oc. Roy. Soc. A123 (ab il 1929), 613–629 [ eb. 21 eb e 1929].
Boh , niels
(1913) “On he heo y o he dec ease o eloci y o mo ing elec i ied pa icles on pass-
ing h ough ma e ”, Phil. Mag. 25 (1913), 10-31. Reimp `es a: Niels Boh .
Collec ed Wo ks, ol. 2, pp. [17]-[39].
(1915) “On he dec ease o eloci y o swi ly mo ing elec i ied pa icles in passing
h ough ma e ”, Phil. Mag. 30 (1915), 581-612. Reimp `es a: Niels Boh . Col-
lec ed Wo ks, ol. 2, pp. [57]-[90].
(1948) “The pene a ion o a omic pa icles h ough ma e ”, Kgl. danske Vid. Selsk.,
ma .- ys. Medd. 18 (1948), (114 p`ags.).
Bo he, wal e
(1922) “Un e suchungen an β-S alenbahnen”, Zs. Phys. 12 (1922), 117–127 [ eb. 23
oc ub e 1922].
B ei , g ego y
(1929) “The e ec o e a da ion on he in e ac ion o wo elec ons”, Phys. Re . 34
(15 agos 1929), 553–573 [sig. Washing on; eb. 31 maig 1929].
(1930) “The ine s uc u e o He as a es o he spin in e ac ions o wo elec ons”,
Phys. Re . 36 (1 agos 1930), 383–397 [sig. No a Yo k; eb. 16 juny 1930].
114 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
B ei , g ego y
(1932) “Quan um heo y o dispe sion. Pa s I–V”, Re . Mod. Phys. 4(July 1932),
504–576.
(1933) “Quan um heo y o dispe sion. Pa s VI and VII”, Re . Mod. Phys. 5(Ap il
1933), 91–140.
B own, lau ie i Hoddeson, lillian
[1983] The Bi h o Pa icle Physics (eds.), III In e na ional Symposium on he His o y
o Pa icle Physics (Fe milab 1980). Camb idge Uni e si y P ess 1983.
Cassidy, da id c.
(1981) “Cosmic- ay Showe s, High Ene gy Physics, and Quan um Field Theo ies: P o-
g amma ic In e ac ions in he 1930s”, H.S.P.S. 12 (1981), 1-39.
Chadwick, james i Me cie , p. h.
(1925) “The sca e ing o β- ays”, Phil. Mag. 50 (juliol 1925), 208–224.
Champion, . cli e
(1932a) “The dis ibu ion o ene gy in he β- ay spec um o adium E”, P oc. Roy. Soc.
A134 (gene 1932), 672–681 [ eb. 15 oc ub e 1931].
(1932b) “On some close collisions o as β-pa icles wi h elec ons, pho og aphed by he
expansion me hod”, P oc. Roy. Soc. A136 (1932), 630–637 [sig. Camb idge;
eb. 23 eb e 1932].
(1932c) “The sca e ing o as β-pa icles by elec ons”, P oc. Roy. Soc. A137 (1932),
688–695 [sig. Camb idge; eb. 25 juny 1932].
(1936) “The sca e ing o as β-pa icles by ni ogen nucleus”, P oc. Roy. Soc. A153
(gene 1936), 353–358 [ eb. 23 juliol 1935].
Champion, . cli e i Blacke , pa ick m. s.
(1931) “The sca e ing o slow α-pa icles by helium”, P oc. Roy. Soc. A130 (gene
1931), 380–388 [ eb. 3 no emb e 1930].
Da igol, oli ie
[1982] Les d´ebu s de la h´eo ie quan ique des champs, 1925-1948, esi doc o al, Uni e -
si ´e de Pa is 1982.
(1984) “La gen´ese du concep de champ quan ique”, Ann. Physique 9(1984), 433–501.
(1986) “The o igin o quan ized ma e wa es”, H.S.P.S. 16 (1986), 197–253.
Di ac, paul ad ien mau ice
(1928a) “The quan um heo y o he elec on”, P oc. Roy. Soc. A117 (1928), 610–624.
(1928b) “The quan um heo y o he elec on, pa II”, P oc. Roy. Soc. A118 (1928),
351–361.
Feynman, icha d p.
(1949) “Space-Time app oach o quan um elec odynamics”, Phys. Re . 76 (1949),
769–788 [ eb. 9 maig 1949].
Galison, pe e
(1983) “The disco e y o he muon and he ailes e olu ion agains quan um elec ody-
namics”, Cen au us 26 (1983), 262–316.
[1987] How expe imen s end, The Uni e si y o Chicago P ess 1987.
Bibliog a ia 115
Gaun , j. a.
(1929a) “The iple s o helium”, P oc. Roy. Soc. A122 (1929), 513–532 [sig. Camb idge;
eb. 6 no emb e 1928].
(1929b) “The iple s o helium”, Phil. T ans. Roy. Soc. 228 (1929), 151–196 [sig. Cam-
b idge; eb. 6 no emb e 1928].
Goenne , hube
(1980) “Ch is ian Mølle , 1904-1980”, Phys. Bl. 36 (1980), p. 341.
G oe zinge , g., Lede , l. b., Ribe, . l., i Be ge , m. j.
(1950) “S udy o elec on-elec on sca e ing”, Phys. Re . 79 (1950), 454.
Heilb on, john l.
(1967) “The sca e ing o αanb βpa icles and Ru he o d’s a om”, A.H.E.S. 4(1967/
1968), 247-307.
Heisenbe g, we ne
(1932) “Theo e ische ¨
Ube legungen zu H¨ohens ahlung”, Ann. Physik 13 (1932), 430–
452 [ eb. 13 eb e 1932].
Heisenbe g, we ne i Pauli, wol gang
(1929) “Zu Quan endynamik de Wellen elde ”, Zs. Phys. 56 (1929), 1–61 [ eb. 19
ma ¸c 1929].
(1930) “Zu Quan en heo ie de Wellen elde II”, Zs. Phys. 59 (1930), 168–190 [ eb. 7
se emb e 1929].
Hei le , wal he
[1936] The quan um heo y o adia ion, Ox o d Uni e si y P ess 1936, 21944, 31954.
Hende son, m. c.
(1929) “The sca e ing o be a-pa icles by ligh gases and he magne ic momen o he
elec on”, Phil. Mag. 8(1929), 847–857 [sig. Camb idge].
Hend y, john
[1984] Camb idge physics in he hi ies (ed.), B is ol: Adam Hilge 1984.
He mann, a min, . Me¨
yenn, ka l i Weisskop , ic o .
[1979] Wol gang Pauli. Wissenscha liche B ie wechsel. Vol. I (eds.), Sp inge 1979.
Ho nbeck, geo ge i Howell, i l
(1941) “P oduc ion o seconda y elec ons by elec ons o ene gy be ween 0.7 and 2.6 MeV”,
P oc. Ame . Phil. Soc. 84 (ab il 1941), 33–51 [sig. Uni e si y o No h Ca olina].
I zykson, c. i Zube , j.
[1985] Quan um Field Theo y, McG aw-Hill 1985.
Jauch, j. m. i Roh lich, i z
[1955] The Theo y o Pho ons and Elec ons, Addison-Wesley 1955.
K¨
all´
en, a. o. gunna
[1958] “Quan enelek odynamik”, a S. Fl¨ugge (ed.) Encyclopedia o Physics / Hand-
buch de Physik, Sp inge 1958.
K agh, helge
(1981) “The genesis o Di ac’s ela i is ic heo y o elec ons”, A.H.E.S. 24 (1981), 31–
67.
[1990] Di ac: A scien i ic biog aphy, Camb idge: Camb idge Uni e si y P ess 1990.
116 Dispe si´o Mølle i elec odin`amica qu`an ica
K ame s, hein ik a.
[1938] “Quan en heo ie des Elek ons und de S ahlung”, a Hand- und Jah buch de
chemischen Physik, Leipzig: Akademische Ve lagsgesellscha 1938.
Kuhn, homas s., Heilb on, john l., Fo man, paul i Allen, lini
[1967] Sou ces o His o y o Quan um Physics. An in en o y and epo , Philadelphia:
The Ame ican Philosophical Socie y 1967.
. Me¨
yenn, ka l
[1985] Wol gang Pauli. Wissenscha liche B ie wechsel. Vol. II (ed.), Sp inge 1985.
[1989] “Physics in he making in Pauli’s Z¨u ich”, a Physics in he making, A. Sa lemijn
i M. J. Spa naay (eds.), No h-Holland 1989.
. Me¨
yenn, ka l, S olzenbu g, Klaus i Sexl, Roman
[1985] Niels Boh . De Kopenhaguene Geis in de Physik, Vieweg 1985.
Mølle , ch is ian
(1929) “De Vo gang des adioak i en Ze alls un e Be ¨ucksich igung de Rela i i ¨a s-
heo ie”, Zs. Phys. 55 (1929), 451–466 [sig. Copenhaguen ab il 1929; eb. 26
ab il 1929].
(1930a) “Sca e ing o α-pa icles by ligh a oms”, Na u e 125 (22 ma ¸c 1930), sup.,
p. 459 [sig. Copenhaguen 21 eb e 1930].
(1930b) “Zu Theo ie de anomalen Ze s euung on α-Teilchen beim Du chgang du ch
leich e e Elemen e”, Zs. Phys. 62 (1930), 54–70 [sig. Copenhaguen eb e 1930;
eb. 15 ma ¸c 1930].
(1930c) Ҭ
Ube die h¨ohe en N¨ahe ungen de Bo nschen S ossme hode”, Zs. Phys. 66
(1930), 513–532 [sig. Copenhaguen oc ub e 1930; eb. 24 oc ub e 1930].
(1931) Ҭ
Ube den S oß zweie Teilchen un e Be ¨ucksich igung de Re a da ion de K ¨a -
e”, Zs. Phys. 70 (1931), 786–795 [sig. Copenhaguen maig 1931; eb. 21 maig
1931].
(1932) “Zu Theo ie des Du chgangs schnelle Elek onen du ch Ma e ie”, Ann. Physik
14 (1932), 531–585 [sig. Copenhaguen ab il 1932; eb. 3 maig 1932].
[1952] The heo y o ela i i y, Ox o d: Cla endon P ess 1952; 21972.
Mo , ne ille .
(1930) “The collision be ween wo elec ons”, P oc. Roy. Soc. A126 (1930), 259–267
[sig. Manches e ; eb. 7 no emb e 1929].
Mo , ne ille . i Massey, h. s. w.
[1933] The heo y o a omic collisions, Ox o d Uni e si y P ess 11933; 21949; 31965.
Moye , donald anklin
(1981a) “O igins o Di ac’s elec on, 1925–1928”, Am. J. Phys. 49 (Oc obe 1981), 944–
949.
(1981b) “E alua ions o Di ac’s elec on, 1928–1932”, Am. J. Phys. 49 (No embe 1981),
1055–1062.
(1981c) “Vindica ions o Di ac’s elec on, 1932–1934”, Am. J. Phys. 49 (Decembe 1981),
1120–1125.
Oppenheime , j. obe
(1929) “No e on he heo y o he in e ac ion o ield and ma e ”, Phys. Re . 35 (1
Ma ch 1930), 461–477.
Bibliog a ia 117
Page, lo ne albe
[1950] A measu emen o elec on-elec on sca e ing, esi doc o al no publicada, Co nell
Uni e si y, se emb e 1950.
(1951) “Elec on-Elec on sca e ing om 006 o 107 MeV”, Phys. Re . 81 (ma 1951),
1062-1063 [s. Co nell 11 gene 1951].
Pauli, wol gang
[1933] “Die allgemeinen P inzipien de Wellenmechanik”, a Hdb. Phys. xxi /1 (2a
¯
ed.), pp. 83–272. Be lin: Sp inge 1933.
Rosen eld, l´
eon
(1931) “Beme kung zu ko espondenzm¨assigen Behandlung des ela i is ischen Meh -
k¨o pe p oblems”, Zs. Phys. 71 (1931), 253–259 [sig. Copenhaguen se emb e 1931;
eb. 24 oc 1931].
R¨
uge , alexande
[1989] His o ical and me hodological s udies in he de elopmen o quan um ield heo y,
esi doc o al, Uni e si ¨a Kons anz 1989.
Ru he o d, e ns
(1911) “The sca e ing o αand βpa icles by ma e and he s uc u e o he a om”,
Phil. Mag. 21 (1911), 669.
Ru he o d, e ns , Chadwick, james i Ellis cha les d.
[1930] Radia ions om adioac i e subs ances, Camb idge Uni e si y P ess 1930.
Shea in, paul e. i Pa due, . eugene
(1942) “Elec on-elec on collisions in he p ima y ene gy ange om 1.3 o
2.6 million elec on ol s”, P oc. Ame . Phil. Soc. 85 ( eb e 1942), 243–249 [sig.
Uni e si y o No h Ca olina].
S udy Team o CERN His o y
[1987] His o y o CERN ( ol. I), No h-Holland 1987.
Wen zel, g ego
[1943] Ein ¨uh ung in die Quan en heo ie de Wellen elde , Viena: F ank Deu icke 1943;
aducci´o anglesa: Quan um Theo y o Fields, No a Yo k: In e science Publish-
e s 1949.
Williams, e an james
(1930) “Passage o slow β-pa icles h ough ma e . P oduc ion o b anches”, P oc.
Roy. Soc. A128 (1 jul 1930), 459–468 [sig. Manches e ; eb. 6 maig 1930].
Williams, e an james i Te oux, . .
(1930) “In es iga ion o he passage o ‘ as ’ β-pa icles h ough gases”, P oc. Roy. Soc.
A126 (1 ene 1930), 289–310 [ . Camb idge 6 no 1929].
Wol e, hugh c.
(1931) “Sca e ing o high eloci y elec ons in hyd ogen as a es o he in e ac ion
ene gy o wo elec ons”, Phys. Re . 37 (1 ma ¸c 1931), 591–601 [sig. Cal ech;
eb. 26 gene 1931].