INVESTIGACION
Y
EXPERIENCIAS DIDACTICAS
ENSEÑANZA POR DIAGNOSTICO.
ALGUNOS PROBLEMAS SOBRE NUMEROS ENTEROS
BELL,
A.
Shell Cen e o Ma hema ical Educa ion, Uni e si y o No ingham
(T aducción de F ancisco He nán)
SUMMARY
The me hod o diagnos ic eaching in ol es in he i s place s udying he pupils' unde s anding o he opic in
ques ion, iden i ying e o s and he misconcep ions unde lying hem; hen designing eaching in which he mis-
concep ions a e exposed and esol ed h ough con lic -discussion. This a icle will epo expe imen s co e ing
bo h he es ing and he eaching phases on he opic o di ec ed quan i ies.
INTRODUCCION
El mé odo de ense ianza po diagnós ico implica en p i-
me luga el es udio de la comp ensión que los alum-
nos ienen del ema o si uación en cues ión, la iden i i-
cación de los allos y de los e o es concep uales que
es án as esos allos y después el dise io de la enseñanza
en la que los e o es concep uales sean expues os y e-
suel os a a és de una discusión-con lic o. Es e a í-
culo in o ma á de algunas expe iencias que cub en an-
o la ase de es udio de la comp ensión como la ase
de ense ianza en el ema de los núme os en e os.
An es de nada, nos pa ece que lo que impo a en la
in oducción de los núme os en e os es el a mazón que
ayude a desa olla los p ocedimien os co ec os días,
semanas
y
a ios más a de de que se haya hecho la p i-
me a in ioducción, cuando e¡ alumno- a on e cáicu-
los con núme os en e os y haya ol idado los de alles
de aquel p ime con ac o. Lo impo an e, es, pues, que
las concep ualizaciones co ec as es én ligadas a una
dila ada si uación amilia en la que las ope aciones en-
gan una in e p e ación bien comp endida y en la que
las eglas que hayan de memo iza se sean pocas y sóli-
das. «Res a un nega i o es equi alen e a suma un po-
si i o)) es una de esas eglas; adquie e signi icación en
si uaciones habi uales de empe a u a y dine o y hace
e e encia a núme os e ec i os, y no me amen e a sím-
bolos; en ambos aspec os es mejo que «dos menos ha-
cen un más». Es as conside aciones
han
es ado p esen-
es en las si uaciones de ense ianza que hemos elegido.
Pe o desc ibamos p ime amen e las en e is as y aná-
lisis que mos a on el g ado de comp ensión que los
alumnos ienen de es e e eno.
la ealidad que las que los núme os posi i os y sus ope-
aciones ienen. 8-5 puede ep esen a se ácilmen e, si
es necesa io, le an ando 8 dedos y e i ando 5, o pen-
sando cuán o mas la ga es una longi ud de 8 me os
que una de 5. De mane a semejan e
(+
8)
+
(-5) puede
ep esen a se ácilmen e como «Empieza con cualquie
núme o, aíiade
8,
qui a
5,
¿Cuál es el e ec o esul an e
sob e el núme o inicial?)) Pe o 8- (-5) es mucho más
di ícil de ep esen a in ui i amen e. «Lo que hay que
subi desde -5 has a 8)) y «Tengo 8 pese as y me cance-
lan una deuda de 5 pese as)) pueden se i , pe o es ne-
cesa io segui abajando pa a do a les de signi icado
y pa a hace que es én elacionados con la exp esión
simbólica.
Si los núme os nega i os y las ope aciones con ellos han
de log a el conc e o s a us amilia que ienen los po-
si i os, los alumnos necesi an mucha más expe iencia
en la explo ación y manipulación de las si uaciones a-
milia es en las que esos núme os se encuen an. Y eso
signi ica no s610 la ec a numé ica, sino dine o, em-
pe a u a y el plano de coo denadas. Pe o hay o as es-
uc u as -las lis as o ablas- que inco po an algu-
nas de esas mismas p opiedades y que me ecen a en-
ción po de echo p opio. Las lis as de «los cua en a
p incipales)) y la abla de la liga de ú bol p opo cio-
nan ejemplos amilia es en los que son de in e és los
mo imien os hacia a iba y hacia abajo. Es os con ex-
os podnan se i de base pa a algunas lecciones ex-
plo a o ias en las que se pueden conside a pau as y
elaciones en las ablas, y en las que pueden p opone -
se p egun as ace ca de cómo ecu e a in o mación
La necesidad p incipal es que los núme os nega i os pe did;? si una pa e de la abla es-ilegible o ha sido
y sus ope aciones engan los mismos ue es lazos con bo ada.
ENSEQANZA DE LAS CIENCIAS, 1986,
4
(3),
199-208 199
INVESTIGACION
Y
EXPERIENCIAS DIDACTICAS
Resul a que en ales explo aciones hay cie os ipos de (SA), incluyendo nume aciones e óneas de la ec a nu-
p egun as que son mucho más di íciles que o as, de- mé ica; ((igno a el signo)) (IS), «signo deno a egión
bid0 a que equie en un mayo ni el de abs acción o (SR), «omi i el signo mien as se es á ope ando))
ienen una i emediable mayo complejidad. En gene- (OSO), y ((con undi posición y mo imien o))
(PM).
a19
aunque
de
un
modo
di ec os
ambas
«Subi es aumen a )) consis e en la con usión de «i ha-
cosas es án ligadas a los cálculos con núme os nega i-
cia
con
aumen a
el
núme o,
sin
da se
cuen a
os, que p esen an exigencias simila es. De odas ma-
de
que
en
las
lis as
o
en
los
núme os
nega i os
un
mo-
neas, es á cla o que es necesa io que sean encidos 10s
imien o
del, digamos,
oc a o
al
segundo
es
una
subi-
obs áculos concep uales que los p oblemas den o de da,
aunque
numé icamen e
sea
i
a
un
núme o
más
pe-
sus p esen an, y
no
pa a la que io. De
mane a
del -8 al -2 hay una subida.
comp ensión de las si uaciones mismas, sino como e- (Cu iosamen e, noso os mismos a eces pedimos a los
quisi O p e io pa a
su
u i1izaci6n
pa a la alumnos
que
digan
que
-2
((es
mayo
que
-8,
y
a
la
ez
comp ensión de los cálculos con núme os en e os. les pedimos, al dibuja g á icas que omen alo es (me-
En es e a iculo expond emos los esul ados de una co- ga i os más g andes)). Debe íamos se más consecuen-
lección de en e is as y de una p ueba esc i a que cu- es ace ca del con lic o esencial que aquí se plan ea y
b e odos los ipos básicos de p oblemas con una ope- deci simplemen e que -2 es un núme o mayo que -8
ación que su gen en los con ex os de las ablas de «los en la ec a numé ica, y que ep esen a una empe a u-
cua en a p incipales)) y de la liga de ú bol, empe a- a mayo ).
u a
Y
dine o, jun o con un conjun o de p egun as e-
En
una
mues a
de
400
alumnos
de 8-9 aíios, el 30%
la i as a compa ación de edades. El conjun o de las es- de ellos come ie on el
e o
((subi
es
aumen a )) en las
de
los p oblemas
se
epa e
en
las cua o p egun as ela i as
a
ablas o lis as. Un núme-
que
un
un
y
un
o
muy
peque io,
pe o
consis en e, de alumnos
con a-
do inal,
Y
aquellas en las que dos cxnbios se combi-
on
mal, es o
es,
con a on,
po
ejemplo el p ime
y
úl-
nan
pa a
o ma
un
(( esul ac e)).
g ado
de
imo elemen o de
una
secuencia, o ninguno de los dos,
depende
de
mane a
muy
dando así espues as que e an la espues a co ec a
+
1
ancial de si lo desconocido es, en el p ime caso, el (en
la
abla
apa ecen
como
CE).
La
abla
mues a
es ado inal, el cambio o el es ado inicial, Y, en el se-
los
esul ados
ob enidos
y
ambién
ilus a
las
dis in as
gundo caso, el cambio esul an e o uno de 10s
campo-
es uc u as
de
las
p egun as
y
la
no ación.
nen es. Designa emos es os p oblemas con una no a-
ción del ipo [SITS, donde los pa én esis indican qué
es lo desconocido. Los p ime os ejemplos que siguen
TEMPERATURAS
NEGATIVAS
deja án es o cla o.
P egun as simila es a las an e io es, pe o conce nien-
ERRORES
CONCEPTUALES
EN
SITUACIO-
es a empe a u as nega i as e ela on que las espues-
NES DE LISTAS
Y
ESCALAS
as co ec as descendie on en un 25% ap oximadamen-
e. En es e caso apa ecie on ambién o os e o es; en
pa icula , igno a el signo nega i o (IS), o bien o al-
En es os p oblemas hemos obse ado cua o clases de
men e
o
bien
solamen e
en
la
espues a
(ISR).
obs áculos concep uales que a ec an al a amien o que
los alumnos hacen de los p oblemas. Esos obs áculos En el caso de las empe a u as nega i as, la suposición
son: de que «subi » signi ica aumen a el amaño del nú-
me o, y ice e sa, es un aspec o del acaso en en en-
(1) di icul ades en la concep ualización de can idades
de se
con
los
níime os
naga i os
y
su
o denación.
un
en e as o de 10s p opios núme os nega i os, en su o - acaso más comple o en econoce la impo ancia de
denación y en su uso pa a ep esen a posiciones o la nega i idad es el mos ado po los alumnos que en
mo imien os; la p egun a 7 dan espues as desp o is as de signo. Esos
(2) di icul ades en p oblemas pa a cuya solución se e- alumnos es án incluidos en la al a p opo ción de e o-
quie e una in e sión del pensamien o; es os p oblemas es de las o as dos p egun as, en las que las espues-
con ienen una palab a cla e ((engaíiosa)) como «más» as IS y SA no pueden sepa a se. Obsé ese ambién
o «sube»; el pequeíio pe o pe sis en e núme o de espues as «sig-
no deno a egión)), P.e., «baja -7')).
(3)
di icul ades asociadas con c uza el ce o;
(4)
di icul ades al manipula combinaciones de cam-
bios (po ejemplo, mo imien os o ansacciones de di-
NUMERANDO EL TERMOMETRO
ne o), en pa icula cuando los cambios se e ie en a
un es ado de pa ida desconocido. La mayo ía de los alumnos comp enden cómo uncio-
na un e móme o, saben que cuando el me cu io no
Los e o es concep uales incluidos en es e apa ado los llega muy lejos de la ampolla, hace ío y cuando es á
hemos designado con los i ulos «subi es aumen a )) ce ca del ex emo del e móme o hace calo . Sin em-
200
ENSE~~ANZA
DE LAS CIENCIAS
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EXPERIENCIAS DIDACTICAS
P egun a
R
Ti o
SR
[SI
P egun a 22
Tipo SI [SI
P egun a 10
Tipo SI11 S
p egun a 27
Tipo
S
[RI
S
Tabla
1
...........................................
En las Iis 3s de los 40 p i icipales lb? 10! lb b I l
*
I
el disco a<o i o de lane es aba
es luga es #as abajo de lo que
habia es ado la senana an e io .
55X
301 21
La an igua posician e a la 130
~cudl e a la nue a oosicibo?
En la abla de la liga de u bol 100 180 10
d
18
+
I
el Newcas le subib cua o pges os
una senana. An es es aba en el 57% ?SX
I'SX
140
.
&En
ciill es aba despues?
Baja
3
Sube 3 Subelbaja
3
1 11
Eo la lis a de 105 Cua en a P incipales
una seiana el disco a o i o de b8X 27X 2%
Susan pasb do1 120 al 150.
¿
Subib o
bajo' ~C ian os pues os?
...............................................
?
ls aje
B
nls al o
0
1
ll
En la lis a de los Cua en a P incipales
de una seaana el dixo a n i o
do
Pe e es aba el ll0
y
el de John el IP?, 571
35X
3X
Es aba el disco a o i o de lohii id5
a iba que el de Pe e o nds abajo
gle
el
de Pe e ? ~Codn ns pees os?
Tabla
11
SAIIS $1 ISR
P egun a
7
Un di, en Iloscd la empe a u a -13 1 -1 13
ST[S1 descendib
h.
en e I salida dcl so1
y
el nediodia.
A
i salida del sol 281 lb1 IIX 101
e a de
-7'.
~Cull e a al mediodia?
SAIIS SR SA SR
P egun a 20
-7'
en )loscJ; -3. en Budapes . Si sube 4 baja 4 baja
-4
sube -4
SlTIS alquien hubiese iajado de MscJ a
Budapes , ihab ia no ado una subida 321 411 4% 21
o una bajada de empe a u a?
SAllS SR SA SR
...................................
P egun a 14 Un dia en Abe deen hacia
-9'
a mediodia sube
7
baja
7
'baja
-7
sube
-7
SIT1S pe o
-P
a la ho a de nc enda . iSubib
o
bajd la enpe a u a du an e esas 4OI 421 SI 41
ho as? iCuln n q ados?
ENSEÑANZA
DE
LAS CIENCIAS
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E.XPERIENCIAS DIDACTICAS
ba go, eso no siemp e o ma pa e de un cue po de co- empezando con -1 desde la pa e de abajo del e mó-
nocimien os que incluya una comp ensión de la posi- me o. Es os e o es se mues an en (b) y (c).
ción que los núme os ocupan en un e móme o. En
una de las en e is as g abadas en ídeo, a una niña Unos cuan os alumnos ienen consolidado el e o con-
cep ual del ipo (c) po que lo usan pa a ob ene es-
(Ge maine) se le habia dado un dibujo de un e mó-
pues as
a
p egun as
de
empe a u as.
me o con e1
0
ma cado en el un o medio de su lonai-
ud, y se le pidió que esc ibieia en él las empe a u as
desde 10 has a
-10.
Lo hizo como indica la igu a:
igu a
1
Pe o la con e sación pos e io ace ca de dónde es a-
ían las empe a u as
«
calien es)) y
«
ias)) le pe mi ió
e y acep a su e o . Ge maine y Ke y es aban mi-
ando los dibujos que las dos habían hecho. El de Ke y
e a co ec o y el de Ge maine es el que hemos dicho.
La conse ación se desa olló así:
P o eso : ¿Cómo podéis sabe cuál de los dos es á bien?
Ambas (con segu idad): No se puede.
P o eso : ¿Cuáles son las empe a u as calien es y cuá-
les son las ias?
Ge maine: iAh! Ese ( e i iéndose al dibujo de Ke y)
es á bien, jno?
A doce alumnos se les enca gó la a ea de ano a las
empe a u as en e -10 y 10 en un dibujo de un e mó-
me o que enía odo en blanco menos e1 0. E an alum-
nos que en un es p e io habían enido di icul ades con
p egun as ace ca de empe a u as. Casi inmedia amen e
empeza on poniendo los núme os posi i os, y hubo dos
que se equi oca on po que p ocedie on hacia abajo,
comenzando en ce o como si es u ie an nume ando las
p egun as de un examen. Uno de ellos ue Ge maine;
y
hubo o os dos que ol ie on su dibujo de a iba aba-
jo an es de pone los núme os nega i os en él, pa a po-
de esc ibi de nue o los núme os de mane a descen-
den e. Su diag ama es como el (a) de la igu a
2.
Incluso cuando los alumnos pusie on co ec amen e las
empe a u as posi i as aún quedaba luga pa a come-
e e o es con las nega i as. Dos ipos de e o ue-
on obse ados. Dos alumnos omi ie on los signos ne-
ga i os y o os es esc ibie on los núme os nega i os
igu a
2
DIFERENCIAS AL CRUZAR EL CERO
En las p egun as de empe a u a y dine o puede habe
mo imien os en e es ados posi i os y nega i os, o e-
laciones en e ellos. En la p ueba esc i a habia cinco
p egun as en las que se daba a los alumnos dos empe-
a u as, una po encima de ce o y o a po debajo, y
enían que halla la di e encia en e ellas e indica en
qué sen ido enía luga el cambio o la elación. Aun
cuando el modo de edac a es as p egun as a iaba al-
go,
y
con ello los de alles de la a ea po cumpli , los
alumnos ue on ex ao dina iamen e consis en es en su
modo de a a las p egun as.
Si enían co ec a una de las espues as, e a muy p o-
bable que u iesen co ec as odas las demás. Además,
es as p egun as p oduje on una in o mación in e esan e
sob e la p ueba esc i a en su conjun o: los alumnos que
espondie on co ec amen e a ellas, casi sin excepción
hicie on bien el es o de las p egun as.
El e o más común que p o oca on es as p egun as
ue el de es a . El hecho de que se equie a una di e-
encia sugie e la es a; había además, siemp e, como
mínimo un signo menos en la p egun a, cosa que e-
o zaba es e sesgo cognosci i o. En muchísimos casos,
el luga cuya empe a u a es aba ep esen ada po el
núme o con mayo alo absolu o e a conside ado co-
mo el luga más cálido, y, as igno a el signo nega i-
o, la di e encia se hallaba es ando del núme o ma-
yo el meno .
La abla
3
mues a una p egun a ípica y las espues-
as ob enidas. O as es p egun as simila es die on e-
202
ENSEÑANZA
DE
LAS CIENCIAS
INVESTIGACION
Y
EXPERIENCIAS DIDACTICAS
sul ados muy pa ecidos. Apa ece o a ez con cla idad
que un g an núme o de alumnos es án e ec i amen e
igno ando el signo menos, y que un núme o meno de
alumnos ienen en men e el signo, pe o es an en luga
de suma (e o DC). El a amien o co ec o aquí es
p obable que sea el de llama su a ención especí ica-
men e al con lic o en e la idea de di e encia y la nece-
sidad de suma .
«Una niña ue a la ienda y gas o
8
p. más es a semana
que lo que había gas ado la semana pasada, y gas ó
65 p.»
Dos al e aciones hay aquí. El sen ido de la elación se
ha cambiado de
(L..
La semana pasada ... que ... es a
semana...)) a
(c..
es a semana... que
...
la semana pa-
sada)), y la can idad de dine o gas ado ha pe dido su
pun o de e e encia: ¿ ue la can idad gas ada es a se-
mana o la semana pasada?.
INVERSION
Y
PALABRAS CLAVE.
((ENGAÑOSAS)) COMBINACION DE MOVIMIENTOS
Es as di icul ades se p esen an en p egun as cuya so-
lución equie e una in e sión del sen ido del cambio
o elación dados en la p egun a; es o es, en p egun as
en las que el es ado inicial o, en el caso de elaciones,
el es ado e e en e, es desconocido ( abla
4).
Llama e-
mos a es e e o (( acaso en la in e sión))
(FI).
En las en e is as solíamos pedi a los alumnos que e-
pi iesen las p egun as u ilizando sus p opias palab as,
lo cual mos ó a menudo las di icul ades que la p e-
gun a p esen aba. Po ejemplo, cuando a And ea se
le hizo es a p egun a simila a la P25: «Una niña gas ó
en dulces la semana pasada
8
p. más que es a semana.
¿Cuán o ha gas ado es a semana?)) La espues a de An-
d ea ue
73
p., y cuando se le pidió que epi iese la p e-
gun a dijo:
Hemos conside ado has a aquí la p ime a de las dos
clases de p oblemas a los que nos hemos e e ido, la
de aquellos p oblemas que conlle an un es ado inicial,
un cambio y un es ado inal. T a a emos aho a la se-
gunda clase, aquella en que se combinan cambios. P e-
gun as de es e ipo, en las que lo desconocido es el mo-
imien o esul an e, no son concep ualmen e muy di-
e en es de los p oblemas STS; uno supone implíci a-
men e un pun o de pa ida ce o y lee el es ado inal
pa a da el esul an e. Nues as p egun as ue on o-
das del ipo más di ícil, las que equie en encon a uno
de los mo imien os componen es. Las dos p egun as
que siguen mues an ejemplos ípicos de es a es uc u-
a ( abla 5).
Tabla
IV
Fi
P egun a
13
-------------------------
El
c-cpu.a j-?
a?
Linda
~35 h
12
7-
'+h
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
203

INVESTIGACION
Y
EXPERIENCIAS DIDACTICAS
Tabla
V
.....................................
El disco aqo i n de Sheila es i
b
luga es mis a iba de lo
qL!
es aba
hace dos se lanas. Du an e la p iw a
de esas semanas subi 1
111
luga es, Subid
CI
+i
~1a
17%
10;
o
bajd en la segunda semana? LCuin os
luga es?
.....................................
Baj6
8
Eaj6
2
Cubib
2
.....................................
El disco a o i o de Cand a es d
5
luga es w6s abajo de la que es aba
hace dos semanas. Du an e !a p ime a
de esa5 dos semanas subid
3
luga es,
lSubib
o
bajb en
1-
segunda semana?
17'4
30%
147,
iCuln o5 luga es?
El e o p incipal eside en no econoce las elaciones
de iempo y en combina los dos da os como si uesen
componen es. Así, «subió 3, acabó 5 luga es más aba-
jo de lo que es aba al p incipio)) se in e p e a como
((a iba 3, abajo 5)). Es o no ocu e, sin emba go, en
el p ime p oblema, posiblemen e po que en «sube
10
y acaba
6
más a iba)) los cua o luga es se pie den pa -
iendo del
10
dado, mien as que en el o o p oblema
la subida de 3 no puede oma se simplemen e a pa i
de los 5 ((luga es hacia abajo)).
P egun as simila es en un con ex o de dine o ue on
algo más áciles, pe o p oduje on esquemas semejan-
es de espues a. Es as p egun as se p opusie on de un
modo lige amen e di e en e, domo en el ejemplo si-
guien e ( igu a 3):
Se g abó la con e sación que dos alumnos u ie on so-
b e la p egun a 34. P ime o se die on cuen a de que
«no puedes qui a
5
de 3 ¿no?>>, y se pe ca a on de que
no se les decía con cuán o dine o empezaba Ka hy po
la mañana. Finalmen e, uno de ellos dijo:
«Todo lo que se me ocu e es 5 de
3..
. . .
.
2))
O o g upo de alumnos dio una in e p e ación de la p e-
gun a que le pa eció acep able. Sos enían que Ka hy
ue de iendas y gas ó
£5,
pe o les pa eció que enía
sen ido deci que sólo gas ó
£2,
po que £3 p ocedían
de su abuelo, así que sólo £2 e an de su p opio dine o.
Las p egun as de compa ación de edades ue on de la
o ma
RRR,
( e igu a 4). La e e encia empo al no
e a necesa ia, pe o sí que lo e a la e e encia pe sonal,
igu a
3
He
ido de comp as
es a a de
y
aho a
engo
<
menos que
es a mañana.
n
Ka hy
Pe o a la ho a de come .
an es
de
que
sc uese de
as
le
di
3
pa a gas a .
Abuelo
de
Ka hy
¿Cuan o
gas16
Ka hy en las comp as?
ENSEÑANZA
DE
LAS CIENCIAS
INVESTIGACION
Y
EXPERIENCIAS DIDACTICAS
Pe e y
4
anos
mayo que Lesley.
iSoy yo mayo que Lesley o
meno que Laky?
iCuán os anos?
TIMOTHY
PET
ER
LESLEY
Pe e
es...
años
mayo /mcno
que
Lesley.
y, en odos los casos, pa a encon a la solución e a
necesa ia alguna in e sión de las elaciones dadas. Las
asas de éxi os ue on conside ablemen e mas al as, pe-
o los e o es p incipales es u ie on ambién en com-
bina los da os di ec amen e, sin ene es o en cuen a.
DISCUSION
Es á cla o que muchos alumnos a an es os p oblemas
con un ma co de ideas muy inadecuado y que se limi a
con ecuencia a la simple noción de que hay que com-
bina los dos núme os sumándolos o es ándolos, eli-
giendo la ope ación de acue do con la p esencia de un
signo menos o de una palab a cla e que indica la ope-
ación. En nues a opinión debe ía p esen á seles una
gama de p oblemas simila a la que aquí hemos expues-
o, ex ae los con lic os que p o engan de las di e en-
es espues as dadas po di e en es alumnos,
y
ano a
los dis in os ipos de p oblemas y las clases de e o es
que son comunes. En pa icula , los alumnos necesi-
an da se cuen a de la necesidad, en cie os casos, de
in e i elaciones o cambios. Muchos alumnos nece-
si an ambién mucha más expe iencia en la explo ación
de si uaciones que con engan can idades posi i as y ne-
ga i as, pa a sensibiliza se a la impo ancia y el signi-
icado del sen ido y del signo nega i o. No me ece la
pena in en a ense ia eglas pa a manipula núme os
nega i os has a que los alumnos comp endan aquellas
si uaciones que los con ienen. Además, cuando es as
si uaciones con ex uales son comp endidas se las pue-
de u iliza como si uaciones de e e encia pa a do a
de signi icado a las manipulaciones con núme os en e-
os, de modo que odos los signi icados que su jan pos-
e io men e con los núme os puedan se a ados po-
niéndolos en un con ex o. Po es a azón los con ex-
os que se empleen deben se con ex os amilia es y que
sigan siendo de uso po de echo p opio, condición es-
a que muchos mé odos no cumplen.
No que ía, sin emba go, exclui odos ellos po inú i-
les. Todos ienen un luga como si uaciones po explo-
a , no como modelos de ini o ios de los en e os, sino
como sis emas en los que se puede descub i que com-
pa en p opiedades simila es a las del sis ema del nú-
me o con su signo y sus ya amilia es conc eciones. En
pa icula , el modelo posi ódnega ón (cubos neg os
y ojos) es in e esan e e ins uc i o.
No hemos discu ido aquí la ep esen ación de si uacio-
nes adecuadas median e cálculos con núme os en e os;
es deci , hemos podido halla el cambio de empe a u-
a desde -3 a 3
1,
pe o no hemos pedido que eso se es-
c iba, ni como
31
-
(-3)
ni de ninguna o a o ma. So-
lamen e hemos conside ado el es ablecimien o de unas
bases su icien emen e i mes sob e las que esas cosas
puedan cons ui se.
ENSEÑANZA MEDIANTE CONFLICTO
DISCUSION: UN EXPERIMENTO
COMPARADO
Nues o p ime expe imen o de ense ianza sob e los nú-
me os en e os enía dos obje i os p incipales. Uno e a
some e a p ueba la e ec i idad de un mé odo de ense-
ianza basado en el con lic o, e lexibn y discusión pa-
a elimina los e o es concep uales que habían apa e-
cido en la p ueba ealizada con an e io idad. El segun-
do e a e en qué medida la supe ación de los e o es
concep uales en un con ex o se ans e ía a o os con-
ex os. Así que un g upo de clases abajó con ablas
de la liga de ú bol
y
lis as de los cua en a p incipales,
y el o o con dine o
y
empe a u a; pe o las p uebas
p e y pos ense ianza con u ie on p egun as de odos
ENSEÑANZA
DE
LAS CIENCIAS
205
INVESTIGACION
Y
EXPERIENCIAS
DIDACTICAS
es os con ex os, y obse amos en qué medida había un
e ec o de di usión.
El aspec o de mayo in e és del mé odo de ense ianza
ue la can idad e in ensidad de con lic o-discusión.
La ense ianza en el con ex o de liga de ú bol y abla
de los cua en a ue en ocada hacia los e o es concep-
uales siguien es: 1) conside a que i hacia a iba im-
plica núme os c ecien es, 2) con a an o el núme o del
comienzo como el del inal de una lis a al halla una
di e encia, 3) acasa al in e i en p egun as en las
que lo desconocido es el es ado inicial, es deci , supo-
ne que los enunciados en los que hay «subi » o «más»
implican necesa iamen e suma . En dine o y empe a-
u a se a a on los mismos e o es concep uales, y ade-
más los ela i os a can idades nega i as, es o es, (4) ig-
no a el signo, (5) conside a el signo como deno ado
de egión, (e.g. de
-6
a -2 hay una subida de 4), y
(6)
a a las di e encias que c uzan el ce o median e subs-
acción en luga de adición de las magni udes.
Las lecciones de con lic o-discusión u ie on es pa -
es. En la p ime a, pa a explo a el ema, se hacen al-
gunas p egun as cuyas espues as se espe a que mues-
en explíci amen e las equi ocaciones concep uales.
Po ejemplo, una lección sob e el clima mundial em-
pieza con una página de (( i ula es de pe iódicos)) y pi-
de, p ime amen e las empe a u as en Reykya ik y Lis-
boa,, y el cambio de empe a u a al i de Budapes a
Moscú
(-7
O
en Moscú, y -3
O
en Budapes ). Una ez que
los alumnos ya han enido iempo de esc ibi sus es-
pues as, empieza la discusión. El p o eso dice, po
ejemplo, «De Budapes a Moscú podéis habe esc i o
que hay una subida o bajada de 3'
6
4'
ó
So
Ó
4O,
¿Alguno iene o a espues a?)). Luego, p egun a cuán-
os alumnos ienen cada una de esas espues as, y les
pide que expliquen cómo han ob enido cada espues a
y p egun a a los demás si es án de acue do. El p o e-
so p e ende con ello que su ja y quede expues o an o
con lic o como sea posible en ese pun o, y, si es nece-
sa io, el mismo p o eso exp esa a gumen os mal he-
chos pa a susci a discusión. El p o eso in en a que
los alumnos exp esen en é minos gene ales las gene-
alizaciones equi ocadas y las ace adas. Después de
es a discusión los alumnos con inua án espondiendo
po esc i o a más p egun as, cuyas espues as p opo -
ciona án indicios de si hay un a ance en la
comp ensión.
La igu a 5 es un ejemplo de la in o mación sob e la
liga de ú bol y la abla de los cua en a p incipales.
P egun as como la de la asis encia de público al cam-
po de ú bol del Fo es ue on impo an es.
«1.800 pe sonas menos es a semana que la semana
pasada;
1.200 es a semana..
.»
Es a p odujo un ue e con lic o y en a ias clases ue
la p egun a cla e que hizo a los alumnos da se cuen a
igu a
5
INFORMACION
-
¡As on Villa con p oblemas! Ha bajado de
3'
a
6'.
-
S oke ma có
6
goles más el mes pasado que es e mes.
Es e mes ha ma cado
13
goles.
-
Los pa ida ios del To enham es an elices. Ha subido
4
luga es, has a el
12'.
-
Asis encia
al
campo de Fo es . Es a semana han ido
1800
pe sonas menos que el pasado. Es a semana han ido
12.00
pe sonas.
-
¡La di ec i a del Bi mingham eunida! El equipo ha bajado
7
luga es. Aho a es á el
19'.
-
Q.P.R.
mejo a. Ha subido
4
luga es y es á el
5'.
-
Du an Du an ha subido
4
luga es y aho a es á el
16'.
-
El disco de Billy Joel ha endido es a semana
5.665
copias
más que la pasada. Es a semana ha endido
19.556.
de la posible necesidad de in e i el p ocedimien o pa a
esis i se a la palab a cla e y ene en cuen a cuidado-
samen e la di ección de la elación.
Cua o clases u iliza on el ma e ial de Liga y P inci-
pales (LP) y es clases el de Dine o y Tempe a u a
(DT), du an e unas es lecciones. Los p opios p o e-
so es de los alumnos u ie on a su ca go las clases,
y
es u o p esen e un obse ado del equipo de expe imen-
ación. Se egis a on los de alles de las lecciones
y
se
p es ó a ención a la calidad e in ensidad de la discu-
sión. Aspec os pa icula es ano ados ue on la p opo -
ción de las con ibuciones de p o eso y alumno, la
a n-
pli ud de la pa icipación en clase, si hubo con lic o e i-
den e (a) en e alumnos, o (b) en el in e io de un indi-
iduo (exp esión de ince idumb e o ensión), has a
dónde ue e iden e la esolución del con lic o, y si los
equí ocos concep uales e an exp esados en é minos es-
pecí icos o en é minos gene ales, si e an explicados o
me amen e no ados, y si lo e an po un alumno o po
el p o eso . Po ejemplo, «subi del 12O signi ica que
iene que es a el 5O» es especí ico, mien as que ((en
es e diag ama los núme os más al os an con los luga-
es más bajos» es gene al.
La discusión ue cali icada po el obse ado como bue-
na, acep able, pob e, muy pob e o ninguna, en ela-
ción con el ni el gene al a lo la go de odas las leccio-
nes. En e los cua o g upos LP se omó la decisión
delibe ada de conduci una clase sin ninguna discusión.
Es a clase abajó el ma e ial como una clase «no mal»,
y en és a el p o eso in oducía b e emen e el ma e ial,
p oponiendo después p egun as pa a que uesen es-
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
INVESTIGACION
Y
EXPERIENCIAS DIDACTICAS
l
pondidas po esc i o po los alumnos y ayudando in-
di idualmen e cuando e a necesa io. En una de las o as
clases se puso pa icula én asis en un juego en el que
las a je as lle aban núme os en e os o ins ucciones
numé icas y. en el que las a je as habían de coloca se
de mane a que compusie an cadenas co ec as. El dia-
g ama siguien e ( igu a 6) mues a un es ado ípico del
juego.
igu a
6
El jugado se ano aba pun os po el n5me o de a je-
as jugadas, y podían juga se pa idas con o os juga-
do es. En o a clase se puso el én asis en la ac i idad
de p opone p egun as al jugado oponen e, p egun-
as del mismo ipo que las que ya se han mencionado.
Hay que se iala que es o no condujo a di e encias muy
signi ica i as en e las clases, compa adas con la can-
idad de las discusiones gene adas.
Ambas ac i idades se desa olla on de mane a más bien
len a, debido a su poca amilia idad y que el b e e pe-
iodo de es o cua o lecciones no ue su icien e iem-
po pa a que alcanzasen odo su po encial. (Desde en-
onces hemos obse ado que ambas ac i idades son
buenas y e ec i as as la len a pues a en ma cha ini-
cial). En las clases de DT se buscó que hubiese una dis-
cusión que uese lo mejo posible, pe o no se u o mu-
cho éxi o.
A
los obse ado es les pa eció que las azo-
nes de ello es u ie on en la combinación de ma e ial,
p o eso es y clases. El ma e ial DT con enía demasia-
das p egun as áciles y muy pocas di íciles pa a las eda-
des de los alumnos a los que se p opusie on es as p e-
gun as;
y
los p o eso es, en pa icula uno de los dos
que pa icipa on, es aban poco amilia izados con la
ense ianza po con lic o-discusión.
EXPECTATIVAS
El es con enía
20
p egun as que incluían cua o con-
ex os y que cub ían odas las equi ocaciones concep-
uales no adas con an e io idad.
Pa a su análisis se di idió en es secciones. Una p i-
me a con enía
6
p egun as de Liga y P incipales y o as
2
p egun as de es uc u a simila a la de ((asis encia al
campo del Fo es )),
y
eque ía el más bien di ícil ipo
de in e sión es a semanalla semana pasada, en el que
había que esis i se a una palab a cla e «engañosa» co-
mo «más». La segunda sección con enía las cua o p e-
gun as que implicaban c uza el ce o, en las que el sig-
no debe se a ado con cuidado y la ((di e encia)) e-
quie e suma . La e ce a sección con enía 6 p egun as
de dine o y 2 de empe a u a, que no con enían núme-
os nega i os. Todas es as eque ían que se a ase a en-
cion a an es/después y a la posible necesidad de in e -
i . El pun o de in e és aquí e a la ans e encia. De
las cua o p egun as de empe a u a c uzando el ce o
se espe aba que de i a ía el mayo p o echo debido a
la a ención que se había p es ado al signo en el ma e-
ial DT y que no se ían a ec adas po el ma e ial usa-
do en la ense ianza de LP, mien as que se espe aba
que las p egun as de la e ce a sección gana ían po el
én asis que en las clases de LP se había pues o en la
e e encia empo al y la in e sión.
Se
hicie on es es s:
uno p e io, o o inmedia amen e pos e io al inal de
la se ie de clases, y o o pos e io , ealizado a las seis
semanas. Pa a simpli ica sólo discu i emos aquí el p e-
io y el ealizado a las seis semanas. Las dos ablas 6
y
7
mues an los esul ados.
Hay una cla a elación en e la calidad de la discusión
y los a ances en los esul ados, an o en los g upos LP
y DT como en conjun o. Además, es e aspec o es el
único signi ica i o.
La ans e encia es amplia: en gene al, las clases es-
pondie on igualmen e bien o mal en los con ex os que
no habían sido obje o de ense ianza que en los que sí
lo habían .sido. Los esul ados son aún más des aca-
bles si se iene en cuen a que la clase LP2 es aba o -
mada po alumnos de endimien o bajo y que las cla-
ses LP e an gene almen e de meno endimien o que
las DT. En la clase LP2 hubo una discusión pa icu-
la men e igo osa sob e la p egun a ((asis encia de pú-
blico al campo del Fo es »; casi llega on a las manos.
Tan o en es a ocasión como en las o as quedó cla o
que la habilidad pa a conduci una discusión-con lic o
consis e en desa olla el con lic o has a un al o ni el
y en di igi lo hacia una esolución que los alumnos pue-
dan ap ecia y alo a . Además, un buen con lic o ne-
cesi a de una p egun a su icien emen e di ícil a la que
hinca le el dien e; los p oblemas ácilmen e esuel os
no son de ninguna u ilidad.
El al o g ado de ans e encia nos lle a a conclui que
con es os p oblemas, odos ellos en con ex os amilia-
es, lo que se necesi a pa a log a éxi o
es
a a los as-
gos es uc u ales, p es a a ención al ca ác e di eccio-
nal y ecapaci a sob e la necesidad de in e i y cuán-
do hay que hace lo. Los conocimien os pa icula es
ace ca de balances de cuen as mone a ias
y
empe a-
u as nega i as son ela i amen e menos impo an es.
Es o que decimos es á en algún desacue do con o as
in es igaciones que sugie en que la ans e encia en e
con ex os es mucho más di ícil de lo que gene almen e
se supone. Puede que sea impo an e el hecho de que
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