Hacer matemáticas

INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS a HACER MATEMATICAS FRANCISCO HERNAN (del GRUPO CERO de Valencia) SUMMARY Keproductive thinking, the habit of using ready-made answers, has two advantages: it is easier both to reach and to test. Productive thinking, creating new answers and using new organizations is more difficult to teach and needs more time and more dynamic teaching relations. O Through the process of two problem-solving situations (one by 14-15 years old pupils and the other by 15-16 years old) some reasons are suggested in this paper which argue in favour of mathematical activities more creative than repetitive. - INTRODUCCION Favorecer el movimiento de puesta en marcha. ComUna peridista acababa de llegar a casa de Gabriel Carcia Márquez para despertarlo con la nueva de que ya cra Premio Nóbel. Enhorabuena, ¿como se siente?, ¿esta trabajando en algo actualmente? ((Pues sí. Estoy escribiendo una novela en la que la gente es feliz. Creo que hay que hacer algo para que la felicidad esté mas de moda)). ¿Quién no esperará com impaciencia una novela que nace de idea tan bonita? Cabe imaginar paralelamente que con ese talento Garcia Márquez no estará lejos de sentir, si no impaciencia, al menos alguna solidaridad con aquellos que quieran escribir sobre el éxito escolar. A ver si se pone de moda. Son muchos los que están de acuerdo en que en la enselianza de las maiemáticas se alcanza algún éxito cuando se ven realizados todos -o por lo menos algunosde los deseos siguientes: Presentar las matemáticas como una materia para usar y para disfrutar. Las matemáticas, como tantas otras cosas, deben proponerse que quien las practica supere tiri umbral mínimo de satisfacción. Esa satisfacción puede discurrir por tres canales: el del placer, el del conocimiento, el del uso. Cuando no se alcanza ese umbral mínimo se ha perdido miserablemente el tiempo. Promover una actitud favorable hacia ellas. LO cual beneficiará sin duda al profesor igualmente. Para los profesores de alumnos insatisfechos, la expriencia escolar es tambikn generalmente insatisfactoria. Desarrollar la confianza en su uso. Evitando el rechazo a algo que está fuera de los límites de la comprensión y del éxito, y el amargo sabor de derrota con que gran número de alumnos sale del colegio o del Instituto. ENSENANZA DE LAS CIENCIAS. 1983, pp. 9-14 prender ia solución de un problema que otra persona ha resuelto es algo muy simple a veces; pero generalmente es mucho inás difícil descubrir por uno mismo la solución. En realidad, la parte más dificil de la resolución de un problema matemático es. muy a menudo, ((empezar)), ((ponerse en marchan, <cconec!arn. Y es fácil subestimar las cualidades tanto de determinación como de imaginación que pueden necesitarse para ello. Ayudar a la solidificación de aspectos psicológicos que propician el aprendizaje: interés por el trabajo que se hace interés en el propio progreso significatividad de la tarea atención reflexiva ausencia de emoción no pertinente perdida de miedo al ridículo eliminación de los mecanismos de defensa que cualquiera tiene ante una situación nueva, en particular un problema. Fomentar la actitud básica en matemáticas: la de resolver problemas. Situar a todos los alumnos en igual de condiciones al comienzo de una tarea. Cuando se propone en clase calcular la ecuación de la tangente a la curva y = mx en el punto de ella que tiene como abscisa 7r/3, se establece indefectiblemante una partici6n que rompe la clase en tres bloques: el de los que tienen los conocimientos técnicos adecuados y la necesaria confianza en si mismos; el de los que saben que desconocen las herramientas imprescindibles INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DlDACTICAS y quedan automhticamente fuera de juego; y un tercer grupo intermedio que probablemente se verá frustado al final por algún error conceptual o algún fallo de memoria. Poco despuks: ((Ya lo tengo. Es mejor cambiarlos porque así. ..)) El profesor escribe en la pizarra la colocaci6n que la grzn mayoría considera adecuada y pregunta «iHay alguien que haya encontrado la soluci6n de otra manera, es decir, sin sumas?)) De acuerdo en que la mayor parte del trabajo matemBtico se hace sobre elementos tkcnicos que hay que tener adquiridos. Y en que no puede permanecerse en el bachillerato en un campo de problemas que no requieran conocimientos previos. Pero la importancia de la adquisición de herramientas tkcnicas no deberia hacer olvidar que la gran limitación que habitualmente rodea las matemáticas escolares y medias es la de proponer trabajos cerrados, de respuesta Única y ya respondidos por otros. Explorar, formular preguntas, conjeturar, reorganizar las propias conjeturas, producir generalizaciones, son los rasgos que constituyen la parte más atractiva de la actividad matemática y los que hacen que las matemáticas puedan ser de utilidad. O Pro Una alumna: ((Sí. Yo los he puesto de ese modo porqut he visto que había unas figuras con za, : criti Profesor.- «Bien.* Ahora, en lugar de recibir el cuadro hecho -o casi hechovais a producir vosotros vuestros propios cuadros. Este es el problema: ra 1, nob El pensamiento reproductivo, es decir, el hábito de usar respuestas aprendidas tiene dos ventajas: es más fácil de enseriar y es mas fácil de someter a exámenes. El pensamiento productivo, que consiste en crear nuevas soluciones y usar nuevas organizaciones, es más dificil de enseriar. requiere mhs tiempo y necesita de otros esquemas de temporalizaci6n de la ensefianza y de estructuracibn de la clase. te e, que con mie ((Busca un cuadro de tres filas y tres columnas tal que, estando formado por numeros todos distintos, la suma de cada fila, cada columna y cada diagonal sea la misma. Pro Tre, Seria preferible que no encontrases la solución por casualidad. sino que buscases un método, un procedimiento que te sirviese para más de una ocasión.)) Al cabo de pocos minutos casi todos tienen escrito uno de esos cuadrados mágicos. El profesor pide para el día siguiente que traigan escrita un cuadrado mágico que 'contenga en él infinitos a la vez, es decir que no tenga escritos solamente números sino letras que indiquen algo general' Anibos constituyen los polos del conflicto entre el principio de inercia y el principio de acci6n en la enserianzn. Lo que sigue, contado a través de dos historias, quiere sugerir algunas razones para inclinarse a favor del segundo principio. PRIMERA HISTORIA Muchos llegaron sin tener más que una solución particular. Otros tenían varias. otros tenian un método, pero no sabia11 hacerlo explicito. Hubo quien tenia la siguiente escritura 'general'. Octubre. Tres dias de trabajo. Principales personajes: 38 alumnos de primer curso de bachillerato. Comienza asi: Profesor.- ((En este cuadro o Yh ten, ros Ca: faltan los números 9, 12 y 13. ¿Dónde crees que deben colocarse?)' Siguen unos pocos minutos de silencio y actividad. Se levantan varias manos. El profesor acude a ver lo que quieren decir. «Aquí, aqui y aquí, porque así todas las filas suman lo mismo, 34)). Otras manos, ((Aquí, aqui y aqui, porque veo que todas las filas y todas las columnas suman lo mismo.)) Más manos. Profesor.- ((Quienes han puesto aquí el 9 y aqui el 12, ¿por quk no los han puesto en el otro orden?)) pensando, sin duda, que generalizar es poner letras sin dar leyes. Otro escribe en la pizarra ' El profesor habla esperado que este seria el procedimiento elcgido por la mayoría. ¿La raz6n? Que ese fue el procedimiento que el sigui6 cuando vio ese cuadrado en (<La rnelancoiían, de Albcrt Durero. ENSENANZA DE LAS CIENCIAS INVESTICACION Y EXPERIENCIAS DlDACTlCAS . , i I P.- «La clase ha terminado. El trabajo que propon- ! . . t go para que traigáis mafiana es: a elegir entre escribir ;j cuadrados mágicos 3 x 3 aún más generales o escribir cuadrados mágicos 4 x 4.)) i I 1 A la maiiana siguente traen algunas cosas interesantes: j I i! Profesor.- ((Pon un ejemplo)). Y rápidamente escribe a confundiendo así dos números pares que, en su cabeza, son distintos, con dos números pares que en la escritura son el mismo. Y revelando ese dato básico para la enseiianza que consiste en que la cantidad de conocimientos de que cada uno de nosotros es consciente es muy inferior a la cantidad de lo que sabemos, y que la cantidad de conocimientos de los que somos conscientes es muy superior a la cantidad de conocimientos que sabemos verbalizar. Preguntada la clase cómo se sale de tal situación, algunos seiialan que la escritura 'general' es incorrecta. Profesor.- ((¿Alguien tiene alguna que sea correcta?)) Tres alumnos escriben cosas como esta: mi a-z + y y comentamos ambas: En el de 4 x 4, ¿cómo lo has hecho)), «Muy fácil. he mirado el primero que hicimos.)) En el de 3 x 3, ((Estupendo, aquí tenemos tres posibilidades en lugar de dos. ¿Cómo lo has hecho?)); ((He partido del cuadro (11 y donde pone 1 he puesto z, y donde pone 5 he puesto y.)); ((Pon un ejemplo)); ((Elijo, a capricho, a = 5, y = 3, z=0, con lo cual queda l 1 P.- <<¡Pero eso no es un cuadrado mágico! No pue1 den elegirse a capricho a, z, y. Es preciso imponer condiciones. Mejor sera que lo vuelvas a mirar en casa con atención. » i En efecto, lo miró con más atención e impuso las sii / 1,: guientes condiciones: <<y es cualquier número; z es im1 b, Dar: a = zv.~ ; i c. P.- ((Yo puedo escribir otras. Voy a empezar desde Esa decisión de no darse por vencidos podría ser lo mas i I el centro, poniendo a y luego poco a poco y con cuida- * destacable de esta historia si no hubiese habido algo do iré ajustando lo que sea conveniente, así: aún más reconfortante: el hecho de aue afrontaron las . . a + 6 a-5 a+4 a-l diversas etapas que fueron presentándose sin buscar desesperadamente en su memoria y sin pedir con anrie- [il dad la solución a otra persona. :l SEGUNDA HISTORIA I j Un día de diciembre. Personajes: 30 alumnos de segun- [ Y hora podeis hacer vosotros otras más generales, mando CU~SO de bachillerato. En esta historia no hay conteniendo la a, pero quitando importancia a los númeversaciones, sino escritura. El hilo de la trama fue el ros que la rodean.)) siguiente: ((44 es un numero feliz porque Casi en seguida alguien escribe en la pizarra • 44+42+42=32+32+22=13+12+32= 10~12+02= @ a ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS Investiga sobre numero felices.)) El trabajo había de hacerse en casa, sin limitación de tiempo, pero entreganda por escrito el producto de la investigación. a INVESTICACION Y EXPERIENCIAS DlDACTlCAS IN\ - Se observará que el enunciado tiene un carácter ambi- - El cuadrado de 3 más el cuadrado de 1 da 10, por Coi guo: rio se dice, por ejemplo, cuantas cifras ha de telo que todos los números que la suma de sus cuadralOCj ner iiii número feliz; más aún, no se da una definición dos da 13 o 3 1, o estos mismos números son números dra precisa de lo que es un número feliz. Pero ¿es siempre felices. ley conveniente eliminar toda ambigüedad en la presenta3 14 3:+ 1: = IO 4 1: + 0 = 1 qui ción de un problema? La polivalencia es una caracte13+ 1: + 3: = 10 -B 1 + O2 = 1 ristica generalmente consustancial a las situaciones ri- - El cuadrado de 8 más el cuadrado de 6 da 100, por De no cas en contenido. Es del estudio de esas situaciones de lo que todos los números que la suma de sus cuadraestc donde debe venir la supresión de la ambigüedad, si ello dos da 68 o 86, o estos mismos numeros son numeros es posible, precisando las condiciones iniciales y Ilevanfelices. 2il do a la consideración de las diversas opciones. 68+ 6'+a2= 1004 1:+0+02= 1 feli De acuerdo con ello, los personajes han interpretado 86 -+ 8' + 6: = 1'00 -, 1' + 0 + 0 = 1 Ej< con libertad. No todos los papeles pueden traerse aquí, Conclusión: 94. pero incluiremos algunos significativos. Vamos a tomar como números felices todos los núme56. ros cuya suma de los cuadrados de las componentes de - - los siguientes números: 31, 13, 68, 86. También dichos 1 O: Alfredo. números seguidos de ceros, o que los ceros vayan en99' LOS números felices Son aquellos en que la S~ceSiva SUtre medias de las dos cifras. 1 .! ma de sus cuadrados da 1. Por ejemplo: Emilio. N@ 44 + 4: + 4' = 32 .$ 3' + 2' = 13 9 I2 + 3' = - Los niimcros felices del 1 al lo() qon 99' = 10 4 1: + 0: = 1. 1,7,10,13,19,23,28,3l,32,44,49.68,70,79.82,86,9l, da Son números felices: 94,97,100. el 44. el 23, el 32, el 3 1, el 13, el 10 y la unidad seguida - Todos los demás van dando sumas parciales que se Si de ceros. Todos 10s numeros que COnteIIgan las anterepiten constantemente y que siempre acaban en el No 4 riores cifras y que las restantes sean ceros: Ejemplo: 44000; 30004; 400400; etc. 15 + 12+5:= 1 + 25 = 26 32'+6?= 4 + 36 Todos los numcros que al surnr sus cuadrados nos de = 40 + 4'= 16 3 1?+ 6:= 1 + 36 = 37 + 4 aci Iii iinidad seguida de ceros. 3:+7'=9+49= 58 35:+8'=25+64= 894 ii n 8:+9:= 64 + 81 = 145 3 1'+4:+5:=1 + 16 + E j Cosine. 25 = 42 =)4:+2'= 16 + 4 = 20 +2!=0 1 ") Todai las potencias de 10-son ((numeras felices)). )' 10" -9 12+ 02+0-+ ...+ 02 = I 66 j6'+6:= 36+ 36= 72 +7'+ 2'=49+ 4 =53$S2+3'=25 +9= 34 932+42=9+ "a la: 2") Si tenemos un ((número feliz)) de dos cifras, y las + 16 = 25 + 2: + 52 = 4 + 25 = 29 + 22 + 92= lo:; permutamos o invertimos sus posiciones, obtenemos 4 + 81 = 85 +. 82+ 5:= 64 + 25 = 89 + Es: otro ((número feliz)). 82+92= 64 + 81 = 145 + 12+42+52= 1 + 16 + no: 134 1?+3? = 1 + 9 = 10-+l2 + O' = I 25 = 42 $. 4'+2'= 16 + 4 = 20 3 22+02=141 ro? 31+3?+1? = 9 + I = 10-+12 + o? = 1 - Por tanto, podemos decir que si en un no cualquie94. 32-+ 3'+ 2' = 9 + 4 = 13j 1' + 3' = 10+1'+02 ra efectuamos las primera sumas y no nos da alguno id = 1 de los números felices del I al 100, es que no es feliz 41' 73-+2'+3' = 4 + 9 = 1341' + 3' = 10+12+0' ejem. 1582 3 1'+ 5:+8:-t 2?= 1 + 25 + 64 + 4 = I = 94 y. bi 3") Un (criúmero feliz)) multiplicado por 10 O por POsi que es feliz, luego fii - rcricias dc 10 se transforma en otro «número feliz)): 1582 es feliz. 13 . lon+ 1:+ 3'+02+ ... O2 = I + 9 = 10 1$ 1'+02 = 1 2327 3 2:+32+22+7:= 4 + 9 + 4 + 49 = 66 l9 d: in Antonio A. no es feliz, luego - El 44 es un número feliz porque: 2327 tampoco lo es. 44+ 4?+42 = 32 43l+Z2 = 13+12+3' = ,lo+ B I2+o? = 1 e La definición de un número feliz es cuando la suma Antonio B. - de los cuadrados de las componentes esa El 44 es un número feliz. Números felices: A un número de dos o mas cifras se le considera feliz P - ~odos 10s números que esten compuestos por la unicuando la suma del cuadrado de cada una de SUS cila dad seguida de ceros. Ej.: fras da un número al cual aplicamos la misma fbrmud 1000-+ 12+02+02+02= 1 la y así sucesivamente hasta que de el número final 1. % ~ 12 ENSERANZA DE LAS CIENCIAS E - , .<. . . - . I , . . . . S .. . .< . . . . .... . .. . .. . .. e . .. .,. . . . ... . . .. , ..,., , . ::. .,:.. , ... ..:.:l:.::.::I:;S::;:r;~.::'i'&~Irit.rit"~;:a, ,; INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS LIIDACTICAS ~ a Como ejemplo mas sencillo diremos que el 10. 100, 1000 etc. son números felices ya qiie la surna del cuadrado de sus cifras es I por eso diremos como priincrn ley qiie todo número que sea un I seguido de los ceros que se quiera es un numero feliz. Deducimos así que numeros felices hay infiriitos pero no sólo de múltiples de 10 elevado a h sino que con csto deducimos una segunda ley que será que cualquier numero que dc como suma del cuadrado de sus cifras un numero que sea un 1 seguido de ceros, será numero feliz. Ejcm. O 94111 + 9?+4?+ 12+ 1?+ 1: = 100 $ I2-t O: to: = I 564331 3 5'+G?+4:+3?+32+ 1' = 100 $ I?.tO'+~ 1 103 + I2+O2+3: = 10 $ iZt O' = I 99999986 9 9'+92+92+92t9zt8zt6' = 1000 $ I:+o'+o?+o? = 1 Numero super feliz es: Y9999999999999999999999 y 100 nueves maz y scgiiidüiiiciiic 61 3 Y' + Y' etc. .. . .. . ... . . = 10000 + I Si se atreve v tiene tiemno comnruébclo. - 1-a manera de generar números felices. El hallazgo de un método: 'comenzar desde el final' como fornia de salir de lo empírico (a partir del 1 llego 21 10, del 10 llegoal 13 oal31 -y al310yal 103 ...-- del 103 llego al.. .); (a partir del I llego al 100 o al IOCMI.. .) - El sacar partido de circunstancias fortuitas: e! hecho imprevisto y chocante -sehalado solmaente por un alumnode que si no se llega al 1 se llega al 4. (No estaría bien ignorar que este alumno, Emilio, tenia un rendimiento 'académico' por debajo de la media.) 1 - La escritura final de los resultados. En la que se advierte en no pocos casos una destreza completamcnte inhabitual en las situaciones que hemos llamado de pensamiento reproductivo. Quizás le agrade al lector participar como un personaje más en una tercera historia. Basta con que dedique un poco de su tiempo (algunos alumnos de 3" han dedicado mucho) a este problema: ((En un papel cuadriculado se torna un rectángulo con sus vértices situados en puntos del retículo. Se traza una diagonal. Otra conclusión a la que podemos llegar es que cs tanie bién niimero feliz aqiirl al cual aplicando la fórmula ;icostuinhrrida nos da iin n<]niero qiic a su ve/ nos da , . -. ..- -- uri iiúriicro que sea IOh y así scgiiidamenrc I'.jcni. 622 9 43 3 32 3 13 =# 10 3 1 )' como ultima conclusión diré que para sacar 1115s nuriieros felices podemos cambiar y revolver el orden de las cifras ya que hay un dicho que dice ((El orden de LA cuantos cuadrados unidad corta esa diagonal? lo\ sumandos no altera la suma)). Es lo mismo poner 941 1 1 que 1041 19 o 4191 1 etc. Si Generaliza. Demuestra.)) 110s porieirios en este plan no dejamos de hacer numeSeguramente tendrá ocasión de comprobar que gran 1 I ros felices haita el dia del juicio final parte de las dificultades y de las recompensas qi;e ha9JIII 3 100 + I lle al resolverlo serán muy semejantes a las que iicnen • 104119 4 100 + I los alumnos. \.' tcrriiinarido con :os números felices yo diré que tambikii soy I'cliz porque mi cuadrado da 1 y porque por I'iri lo he sacado. La lectiira de los 30 trabajos permite observar una gradación de dificultades -y de éxitosen la investigación: -La etapa empírica (ver si tal y tal otro número son o no felices). Buena parte de los alumnos no pasa de esta etapa. -El descubrimiento de leyes generales: ceros intercalados. permutaciones de las cifras,. . . Pero este descubrimiento es s61o una parte dentro de la investigación porque hay que advertir la necesidad de considerar todos los casos, o dicho de otro modo, encontrar ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS No exagera Dienes cuando afirma que la t.n\erlari~a de las matemáticas [al como suele hacerse no mejora ninguna parte de la mente, excepto posiblemenre Id memoria. porque ni la inventiva, ni la in~e~iig~ci6n, ni la imaginación están presentes en su aprendizaje habitual. De ahí que el fracaso escolar no es s61o el de los que suspenden los exámenes, sino también el de los que los aprueban. Y yo no veo que se pueda despegar hacia el éxito más que desde dos puntos de partida que se apoyan mutuamente: 1) las matemhticas son un modo de conocer y no un modo de observar lo que otros conocen; 11) lo que pueda haber de estimulante en la labor de un profesor proviene menos de su pasión por ensefiar que de su pasión por aprender, menos de su habilidad para impartir conocimientos que de su capacidad para subordinar estos a la acrrvrdad cognosciliva de sus alumnos. INVESTIGACION Y EXPERIENCIAS DIDACTICAS 1 N - Bellas palabras tiene Caleb Gattegno ('Mathematics res), de modo que la ensefianza pueda ser desarroPP Teaching', no 100. Septiembre de 1982) para convollada como la ayuda que las viejas generaciones L/ car a esa tarea: ofrezcan a las más jóvenes con objeto de favorecer la evolución humana sobre la tierra. No hay ninnun - " otro significado para la educación. Hacer cualquier ((EL futuro exigirá mLis y más implicación en el esotra cosa es perder el tiempo. tudio del aprendizaje por parte de todos aquellos que P aprenden (entre los cuales se incluyen los profeso- ¿Deseas tú, querido lector, hacer realmento eso?)) E. en . pc: qu, vici mi Iib ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS +-