Los problemas aritméticos de la enseñanza primaria. Estudio de dificultades y propuesta didáctica

Educar, 17 (1990) 119-140 LOS PROBLEMAS ARITMETICOS DE LA ENSEÑANZA PRIMARIA. ESTUDIO DE DIFICULTADES Y PROPUESTA DIDACTICA* Marina Tomas Folch Dpt. de Pedagogia i Didactica. U.A.B. RESUMEN La presente investigación es un estudio de las dificultades que se encuentra el alumno de 10s cinco primeros cursos de la enseñanza primaria a la hora de resolver problemas. El trabajo ha permitido dar una secuenciación de problemas en orden a su dificultade, una categorización de variables que tipifican un problema y una clasificación de errores en su resolución. Todo el10 ha conducido a confeccionar una propuesta didáctica susceptible de tener en cuenta en la enseñanza/aprendizaje de la resolución de problemas aritméticos en la escuela. ABSTRACT The presented investigation is a study about the dificultaties that pupils have concerning the arithmetic problem-solving during the first five courses of primary education. The labour has permitted to give a sequenzation of problems in relation to their difficulty, an ordination of variables that characterizes a problem and an ordinatio of errors in their resolution. All of this have led to add a didactic proposa1 in order to take into account when work the teaching/learning of problem solving in the school. (*) Este estudio se ha realizado con una ayuda del ((Institut d'Estudis Catalans)). Los problemas aritméticos en la enseñanza primaria. Estudio de dificultades y propuesta didáctica Esta investigación es un estudio en relación a la enseñanza/aprendizaje de 10s problemas aritméticos. Nos preocupa el bajo rendimiento de esta tarea en la escuela primaria. Hemos abordado la cuestión analizando las dificultades que encuentran 10s escolares en la resolución de Cstos. El objetivo ultimo de la invesstigación es poder presentar una secuenciación de problemas y variables de clasificación en orden a las diversas categorias de corrección consideradas. Esta secuenciación constituye una propuesta de acción para 10s docentes. Algunas cuestiones sobre la resoluci6n de problemas, las Matemáticas y el curriculum El curriculum en la enseñanza obligatoria se caracteriza por tener un caracter globalizador, que agrupa diversas facetas de la cultura, del desarrollo personal y social, de las necesidades vitales de 10s individuos para desarrollarse en sociedad, destrezas y habilidades fundamentales. Dentro de este planteamiento hay que considerar las Matemáticas, como parte de un curriculum que favorezca una formación integral. Asi, las Matematicas deben posibilitar la adquisición de habitos intelectuales, técnicas de trabajo, conocimientos científicos, también deben contribuir a la capacitación para el ejercicio de actividades profesionales y deben preparar para la participación activa en la vida social y cultural. Desde un punto de vista lógico cabria preguntarse por la conveniencia o no de incluir las Matemhticas dentro del curriculum obligatorio para hacer posible este tipo de información. En este espiritu critico se ha hecho una revisión de literatura de referencia hallando una total aceptación en la conveniencia de su inclusión. Para ser breves diremos que 10s Planes de estudios de todos 10s paises incluyen esta parcela del saber desde que se sistematiza la enseñanza y ésta tiene un carácter mas o menos obligatorio. Véase a modo de ejemplo la Ley General de Educación de 1970, las Orientaciones y Programas de EGB de 1982, el Diseño Curricular de Enseñanza Primaria de la Reforma Educativa de 1990 para citar s610 algunas. A nivel europeo cabe destacar el Informe COCKCROFT (1985) como indicador del interés y de la preocupación que supone para 10s Organismos Internacionales. A nuestro entender las Matematicas contribuyen a conseguir 10s objetivos generales desde las siguientes perspectivas: - desarrollo de la capacidad de pensamiento y de la reflexión lógica y - adquisición de un conjunt0 de instrumentos para explorar la realidad, explicarla y predecirla a fin de actuar en ésta y sobre ésta. I Los problemas aritméticos deatro de las Matematicas Una vez fijado el papel que ocupan las Matematicas dentro del curriculum obligatori0 cabe pasar a situar el papel de 10s problemas aritméticos dentro de las Matemáticas. Los problemas representan a nuestro entender, dentro del área de las Matematicas: a. un curriculum prioritario puesto que: - son un medio de aprendizaje y refuerzo de 10s contenidos - dan sentido aplicativo al area - permiten la interrelación entre 10s diversos bloques y las áreas restantes b. uno de 10s principales objetivos de las Matematicas puesto que 10s conceptos, teorias, ... se explican para poder llegar a resolver problemas y c. un ensayo y aprendizaje para saber resolver problemas reales en un futuro. Son un instrumento metodológico. Siguiendo por el camino de delimitar su papel señalaremos tres funciones que desempeñan 10s problemas en las Matemáticas: - funcidn de enseñanza. Los problemas sirven de medio para la adquisición, ejercitación y consolidacion de sistemas de conocimiento matematico y para la formación de las habilidades y hábitos correspondientes y éstos son 10s objetivos principales de la enseñanza de las Matemáticas en 10s primeros grados. - funcidn educativa. Se refiere a la influencia que 10s problemas ejercen sobre la formación de la personalidad del niño, es decir, sobre el desarrollo de su concepción científica del mundo y de una posición activa y critica respecto 10s fenomenos y hechos naturales y sociales. - funcidn de desarrollo. Esta funcidn tiene que ver con la influencia que ejerce sobre el desarrollo intelectual del alumno y especialmente sobre la formación del desarrollo. I Nuestra concepción sobre problema aritmético Definimos problema aritmético en la enseñanza primaria como una situación imaginaria, susceptible de ser real, planteada en forma de enuncia- do verbal o escrito que se resuelve mediante alguna(s) de las operaciones elementales. En esta misma línea consideramos dos aspectos básicos en un problema: - el esqueleto, representa aquello que es esencial en un problema, las operaciones que se deben realizar, tipos de transformaciones necesarias, etc. - el envoltorio, representación aquello que envuelve al problema y que puede ser más o menos superfluo: la historia concreta, el lenguaje utilizado, el gráfico o dibujo que acompaña, etc. Así, con un mismo esqueleto puede existir diferentes envoltorios siendo, posiblemente, la dificultad de dos problemas será distinta si tienen igual esqueleto y distinto envoltorio. Por el contrario, el mismo envoltorio no puede tener dos esqueletos diferentes. La resolución de problemas Consideramos conveniente distinguir claramente entre lo que es un problema de lo que es la resolución de este. Cuando hablamos de problema hay que hacer a su vez otra distinción: problema resuelto o problema sin resolver. En el primer caso se utiliza como conjunto formado por el enunciado y de la resolución de éste mientras que en el segundo caso se referiría sólo al enunciado. Nuestra propuesta es que utilicemos los términos enunciado para referirnos a un problema sin resolver, resolución del problema a lo desarrollado por el alumno después de haber leído e interpretado el enunciado y problema a la suma del enunciado y la resolución. Una vez concretados los términos de uso indicaremos algunas de las ideas que consideramos más relevantes sobre la resolución de problemas. En este sentido citamos a ORTON (1990) cuando define: La resolución de problemas se entiende como generadora de un proceso a través del cual el que aprende combina elementos de conocimiento, reglas, técnicas, habilidades y conocimientos previamente adquiridos para dar solución a una situación nueva. A nuestro entender los problemas nunca pueden ser rutinarios. Sería incompatible con su propia definición. Cada problema presenta con mayor o menor grado una novedad para el que aprende. Su solución depende del hecho que el alumno no sólo tenga un conocimiento y las habilidades requeridas sinó que sea capaz de utilizarlas y establecer una red o estructura. El calificativo de rutinario es al menos temeraria. Depende del momento de maduración, evolución y de aprendizaje en que se encuentra el alumno. No se puede clasificar un problema en estos términos de una manera absoluta aunque si aplicada a un individuo y contexto. MAYER (1982) señala cuatro tipos de conocimientos necesarios en la resolución de problemas: . - factores lingüísticos: se refiere a la comprensión del texto - esquematico: relación entre 10s problemas tipo - conocimiento algorítmico: como se realizan 10s procedimientos de cálcu10, por ejemplo la suma,... - conocimiento estratégico: como se enfocan 10s problemas. La resolucion de problemas no s610 es el objetivo fundamental y prioritario del área sino que es un instrumento metodológico importantisimo. La reflexión que se lleva a término cuando se resuelve un problema ayuda a construir y a consolidar conceptos y a establecer relaciones entre ellos. Para aprender a resolver problemas es necesario proporcionar a 10s alumnos instrumentos, técnicas específicas y pautas generales de resolucion de problemas que les permitan enfrentarse a 10s enunciados sin miedo y con ciertas garantías de éxito. El proceso de resolucion de problemas es la actividad mental desplegada por parte del solucionador desde el momento en que se le presenta un problema, 10 asume para resolverlo y finaliza su tarea. Podemos señalar las siguientes fases de resolución de un problema: - Lectura y comprensión del problema - Concepción de un plan de resolución - traducción del enunciado al lenguaje matematico - elección de una estrategia - resolucion del problema - concretar una solución - Comprobación de 10s resultados. Las estrategias de resolución de problemas Las estrategias son métodos generales de resolucion de problemas. No son recetas, sino que son ayudas para comprender el problema y sugerir caminos para llegar a una solución. Una estrategia es un método que permite llegar a la solución de un problema partiendo del enunciado. REYS (1987) afirma que se pueden enseñar las estrategias, que estas son útiles y que ademas enseñando estrategias se enseña a abordar 10s problemas. Sin embargo no todos 10s estudiosos del tema coinciden con REYS y dudan si realmente se puede enseñar a resolver problemas (GAGNE). Nuestra opinión al respeto esta en linea de considerar Útil el uso de estrategias siempre y cuando éstas no lleguen a configurar un listado de instrucciones imprescindible para resolver cualquier problema. Distinguiriamos también entre bondad de unas estrategias que aprende/deduce el alumno guiado por su profesor de las estrategias que se enseñan deliberadamente. En definitiva el uso indiscriminado de estrategias puede llevar a hacer de la tarea de resolución de problemas una tarea meramente repetitiva. Seria peligroso reducir la solución de problemas en meros ejercicios absentos de creatividad, de imaginación con locual dejarian de ser una ocasión para desarrollar la capacidad de pensar. Variables estudiadas y plantilla de clasificación Teniendo en cuenta 10s aspectos basicos que conforman un problema se ha desarrollado un estudio mas pormenorizado de las caracteristicas de las variables relevantes en 61. Asi se han considerado cuatro grupos de variables de interés investigativo. Las dos primeras hacen referencia al envoltorio y las dos segundas al esqueleto. Estas variables son: - variables que hacen referencia al enunciado - variables que hacen referencia a la existencia o no y a la naturaleza del formato de resolución - variables respecto a 10s mecanismos mentales para poder resolver el problema - variables que hacen referencia a las operaciones concretas que deben realizarse para resolver el problema, es decir las habilidades mecanicas El orden en que se han citado dichas variables es el mismo orden que el de 10s obstaculos que el alumno va a encontrarse para llegar a buen fin en la resolución del problema. Previo a la elaboración de esta categorización de problemas fue menester llevar a cabo estudios sobre tipologias de problemas, aspectos que influian de todo tipo, diversas clasificaciones de variables cognitivas, etc. Fruto de este estudio se han desgranado estas variables. Cada grupo de variables contiene a su vez obras subvariables. A continuación detallamos cada grupo de variables: 125 Clasificación de Problemas FORMA DEL ENUNCIADO RESOLUCION HABILIDADES 1. Según la forma del enunciado: El enunciado del problema es el primer contacto que tiene el alumno con el problema. Este se puede analizar desde muchos angulos. Nos podemos fijar en el vocabulario utilizado, en como se presentan 10s datos (en números o en palabras, mas destacados o menos, ...), en 10s tipos de letra, pero en esta investigación nos hemos fijado en la estructura del planteamiento de la situación y la/las preguntas que se formulan. Asi distinguimos: 1.1. presentación y pregunta, cuando en el problema se narra una determinada situación y al final se formula la pregunta. Por ejemplo: Juan tiene dos boligrafos y David le da tres. ¿Cuantos boligrafos tiene ahora Juan? - 126 1.2. pregunta y explicación a la vez, cuando el problema empieza por la pregunta que engloba a la explicación de la situación planteada. Por ejemplo: ~Cuántos colores tiene Joaquín si su madre le da 10 y su hermano 6? 1.3. pregunta indirecta, cuando el problema no se formula de forma directa. Por ejemplo: En el patio de la escuela hay doce neumáticos para jugar. La maestra quiere saber cuántos debe sacar para que todos 10s 18 niños tengan uno. 1.4. explicación y diversaspreguntas, cuando el problema plante una situación y pide varias respuestas. Por ejemplo: Felipe tiene dos pelotas para jugar a tenis y Marcelo tiene 8. ¿Cuantas pelotas tienen entre 10s dos? ¿Cuantas pelotas tiene mas Marcelo? 1.5. preguntas internas no explícitas, cuando el problema formula además de las preguntas explicitas otras cuestiones que no nos dice directamente el enunciado. Por ejemplo: Juan ha recorrido en bicicleta 6.500 metros desde Sant Feliu a Molins sin parar. Su tio le ha prometido que le daria 10 duros por cada kilómetro. ¿Cuantas pesetas le ha dado su tio? 2. Según el forma de resolución El segundo punto de contacto que tiene el niño con el problema es el formato de resolución. Este puede ser muy divers0 pero nosotros hemos considerado esas tres subvariables: 2.1. inicio de resolución, cuando el problema va acompañado de unos gráficos, operaciones iniciales, etc. que de alguna forma le indican el camino de su resolución. Por ejemplo: valen 5 lapidez de 10 pesetas cada uno? 1 lapiz ..................... 10 ptas. 2 lapices ...................... 10+ 10= 20 ptas. 3 lapides.. .................. 10+ 10+ 10= .................... 2.2. formato general, cuando en el problema después del enunciado general aparece distribuido el espacio de resolución, compartimentado y con algunos sugerimentos. Por ejemplo: Oriol come 4 pastas y Laia come 6. ¿Cuantas pastas han comido entre 10s dos? Dibujo Operaciones .......................................................................... Respuesta: 2.3. no formato general, cuando el problema aparece solo con el enunciado y nada mas. Por ejemplo: Oriol come 4 pastas y Laia come 6. ¿Cuantas pastas han comido entre 10s dos? 3. Según 10s aspectos mentales Una vez el alumno ha leido el enunciado y 10 ha comprendido desde el punto de vista del lenguaje, es necesario que ponga en funcionamiento una estraategia para resolverlo. Para realizar esto hace falta que tegan lugar procesos como reconocer, comprender, aplicar, analizar datos, conceptos, hechos, transformaciones. En este sentido, la taxonomia de Bloom es una referencia obligada. Esta clasificacion puede ser muy amplia pero 10s problemas aritméticos de este nivel no requieren algunos apartados, porque no tienen tanta complejidad quedando por tanto reducida a: 3.1. Los problemas de comprension son aquellos en 10s que hay que relacionar el recuerdo de conceptos y generalizaciones. En estos problemas I Paquetes estadisticos utilizados 1 Para llevar a cabo el estudio de 10s datos de la investigacion se ha utilizado fundamentalmente 10s siguientes paquetes estadisticos: - SPSSX (medias, Xi-cuadrado, T-text, Correlaciones, ...) - LISREL (análisis causal): ver relación entre variables de clasificacion de un problema y resultados obtenidos. Algunos de 10s resultados más representatives La correción de 10s problemas nos ha permitido obtener unos resultados que nos dan luz sobre el tip0 de errores mas frecuentes, el curso de mayor incidencia de cada error, etc. También nos aporta datos sobre la facilidad o dificultad de 10s problemas segun cada variable de clasificacion. A continuación referenciamos algunos datos que son indicativos de la totalidad. Por ejemplo el siguiente problema ha obtenido el porcentaje (85 %) más alto en errores de comprension y en errores al elegir las operaciones. Este problema se ha pasado en ler curso: Jordi tiene 4 bolas y Marcelo tiene 5 más que Jordi. ¿Cuantas bolas tienen entre 10s dos? En cambio el problema menos difícil en este mismo curso con un porcentaje de acierto de 94% es el siguiente: Oriol come 4 pastas y Laia come 6. ¿Cuantas pastas han comido entre 10s dos? El errgr más alto en ((no dar correctamente la respuesta)) se ha dado en 3" curso (18 %) con el problema: ~Cuanto dinero toca a cada uno de 10s cuatro hermanos si la abuela tiene 44 ptas. para repartir? El error de cálculo más alto corresponde a 5O curso (27 070) con el problema: El palrno de una niña mide 17 cm. La cuerda de saltar mide 16 palmos de la niña. ¿Cuantos metros son? mientras que el problema con el porcentaje de errores en calculo mas bajo (0%) se obtiene en el problema de 2": ¿Cuantas ruedas tienen tres bicicletas juntas? El error ttno hacer nada del problema)) es muy bajo en 10s primeros cursos especialmente en 1". El problema siguiente ha obtenido un O % de error de este tipo: Oriol come cuatro pastas y Laia come 6. ¿Cuantas pastas comen entre 10s dos? En cambio el curso donde se ha obtenido un porcentaje mayor de este tipo de error es en 4" (17 %). Señalaremos un problema como ejemplo (37 %) mas destacado de este error: iCuántos litros de leche tiene una jarra si esta llena hasta sus 3/4 partes y su capacidad máxima es de 8 litros? El error tip0 cthacer parcialmente correcto el problema)) ha obtenido su máximo valor en 5" curso (13 %). Veamos el problema de mayor porcentaje que corresponde a 5" curso (50%): Mi hermana compra una caja de 20 rotuladores que cuestan 260 ptas. y 3 cuadernos de 75 Ptas. cada uno. Paga con un billete de 2.000ptas. iCuántasptas. le devuelven? ¿Cuunto vale cada rotulador? Si la caja de rotuladores llevara 16 rotuladores, jcuántas ptas. le habrían devuelto? Por ultimo señalaremos, el problema que ha resultado con un porcentaje mas alto de éxito (98 %) en 2" curso: ~Cuántas ruedas tienen entre las tres bicicletas juntas? y el mas difícil (7 070) en 5" curso: A la hora de repartir cararnelos a una cierta cantidad de niños tocan a 3 a cada uno y sobran 15. Aiíadimos 3 caramelos para que toque uno más. ¿Cuantos niños hay? ¿Cucintos caramelos había? El cuadro que mostramos a continuación pone de relieve la distribución de 10s tipos de errores en 10s cinco primeros cursos. Ordenación Total de Categorias de Corrección Probl: errores en la comprensi6n del enunciado Prob2: errores en la eleccidn de las operaciones Prob3: errores en dar la respuesta Prob4: errores en 10s ctilculos Prob5: errores por no hacer nada del problema Prob6: errores por hacer parcialmente el problema Prob7: totalmente correcto el problema Conclusiones El estudio que presentamos nos ha permitido llegar a las siguientes conclusiones: Respecto a las categorias de correccion: Por un lado cabe señalar que la corrección de 10s problemas nos indica que el porcentaje de acierto total es siempre superior al porcentaje de cualquier clase de error. Entrando en las diversas tipologias de errores se obtiene que 10s mds frecuentes en 10s cinco niveles corresponden a 10s errores de comprensión del problema y en la elección de las operaciones que conlleva. Los errores cometidos en dar correctamente la respuesta representan la tercera causa de error en 10s tres primeros cursos mientras que en 10s dos últimos es la última fuente de error. Ocupan un lugar destacado 10s errores de calculo. El porcentaje de problemas que se han dejado en blanco es insignificante en 10s tres primeros cursos. La realización parcialmente correcta del problema es una categoria mas comun en 10s cursos altos considerados que en 10s bajos. Respecto a las variables de clasificacidn: alos enunciados que expresan en primer lugar la situación y posteriormente formulan la pregunta)), ((10s enunciados expresados desde un principio formulando la pregunta)) y ((10s enunciados que plantean la pregunta de forma indirecta)) ofrecen un nivel de dificultad similar. No se han obtenido datos relevantes para indicar que cualquier de estas variables ofrece mayor dificultad. En cambio ((10s enunciados donde se formulan varias preguntas)) resultan mis difíciles tanto si estas se expresan de forma directa como de forma indirecta. el formato de resolucidn constituye una variable de clasfificaci6n que discrimina dificultades en el problema. Asi cuando el problema lleva unos graficos, dibujos o inicio de operación resulta significativamente mas faci1 que cuando se presenta el enunciado a secas. También existe diferencia significativa si se presenta un formato de resolución estándard. 10s aspectos mentales implicados en la resolucibn del problema resultan significativos en algunos casos y otros no. Cabe señalar que 10s problemas que implican transformaciones, analisis de datos o realizar comparaciones resultan significativamente mas difíciles. También se obtiene un incremento notori0 de dificultad cuando el problema se considera no rutinario. el estudio de las habilidades mecanicas que eran necesarias para resolver el problema nos ha ofrecido datos que nos permiten decir 10 siguiente: - las operaciones ofrecen un incremento de dificultad si se presentan antes de haberse obtenido la mecánica de calculo pero dejan de ser una causa de dificultad en el curso siguiente. - las habilidades mecánicas ofrecen, en proporción, mayor dificultad en 10s cursos cuarto y quinto que en 10s tres primeros. el numero de operaciones aritméticas que requiere un problema influye de forma significativa en la dificultad del mismo de manera que al aumentar el número de operaciones aumenta el fracaso. el numero de palabras que contiene el enunciado de un problema influye significativamente en la dificultad de resolución. Este hecho se produce en todos 10s cursos aunque en 10s tres primeros cursos influye mas que en 5O. Respecto a la propuesta de la enseñanza/aprendizaje de 10s problemas aritméticos Desde nuestro punto de vista el estudio realizado será valido en la medida que sea útil en la practica. Por el10 nuestro interés radica en su parte aplicativa. En este estudio se ha procurado obtener una muestra muy amplia, 10 más significativa posible a fin de poder generalizar 10s resultados. Desde esta perspectiva cabe señalar 10s extremos hallados que pueden ser orientativos para la tarea docente. Tales extremos son 10s referentes a la indicación del grado de dificultad de cada problema y a la ordenación de categorias de error en general y por curso. También es orientadora de la forma de concebir un problema, de las variables a considerar en cada uno y por 10 tanto de la propuesta curricular en resolución de problemas. En resumen cabe señalar en la propuesta que ofrecemos 10 siguiente: 1 P unas pruebas de problemas validadas y fiables que permiten diagnosticar a un alumno en resolución de problemas y 2P una ordenación de variables segun dificultad observada a fin de que se propongan problemas siguiendo el orden propuesto. ALONSO, V.; GONZALEZ CARMONA, A.; SAENZ BARRIO, O. Estrategias operativas en la resolución de problemas matematicos en el Ciclo Medio de la E.G.B. Revista Enseñanza de las Ciencias. Vol. 6 n? 3. Noviembre. Barcelona, 1988. ARRIETA GALLASTEGUI, J.J. La resolución de problemas y la educación matemática: Hacia una mayor interrelación entre investigación y desarrollo curricular. Revista Enseñanza de las Ciencias. Vol. 7 n? l. Febrero. Barcelona, 1989. BAUTISTA GARCWERA, A. Fundamentos de un mktodo de enseñanza basado en la resolución de problemas. Revista de Educación núm. 282. Madrid. 151-160. 1987. BOVENMYER, A. 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