Educa , 17
(1990) 93-103
ALGUNES CONSIDERACIONS SOBRE
LA
RESOLUCIO
D'UN PROBLEMA
Xa ie
Valls
Aube
Dp . de D ca. Ma ema iques i Cikncies.
U.A.B.
RESUMEN
Pa iendo de la impo ancia que iene la esolución de p oblemas en la
enseñanza de las ma ema icas, se p esen a un p oblema que pe mi e explo-
a las nue as posibilidades. Se a a de e i a la o ma o almen e acabada
con que a menudo se p esen an, el au oma ismo que ige 10s calculos y el
ca ac e único y exclusi o con que a eces se p esen a la solución.
ABSTRACT
Beginning wi h he impo ance ha p oblem-sol ing has in he eaching
o ma hema ics, a p oblem ha allows he explo ing o new posibili ies is
shown. The objec is o y and a oid he comple ely obsole e way in which
hey a e o en p esen ed, he au oma ism ha iles he ope a ions as well
as he unique and exclusi e o m in which he answe in some imes gi es.
1.
In oducció
La me a expe ikncia com a ensenyan de ma ema iques m'ha demos a
que si es ol ob eni un endimen minim en l'ap enen a ge dels nos es alum-
nes els hi hem d'ensenya a esold e p oblemes. En la majo pa dels llib es
de p oblemes de ma ema iques la esolució d'aques s, s'hi dóna semp e de
o ma o almen acabada sense dona a la pe sona que ha in en a esol-
d e'ls sabe quines són les idees que han pe mes a iba a la solució ni si
aques a és la única solució possible. Com diu
G.
Polya eco dan les p egun-
es que es plan eja a en els seus emps d'es udian : <<Si, la solució sembla
se co ec a, pe o com és possible descob i aques a solució?
...
i com puc
jo ma eix in en a
i
descob i aques es coses?))(')
C ec que és de i al impo ancia, dona una p esen ació heu is ica, e
eu e en la esolució de p oblemes no únicamen la solució sinó ambé el
p océs que guia cap a aques a solució donan més que una exposició sin é i-
ca, el segui de me odes i idees que e po en cap a ella, doncs són aques s
me odes i aques es idees les que poden se ú ils pe la esolució d'al es p o-
blemes. A més, és no malmen du an la esolució de p oblemes on apa ei-
xen no es idees que poden dona lloc a nous descob imen s, i pe an on
el p océs de c eació ma ema ica es mani es a en o s els seus aspec es. En
aques sen i s'exp essa I. LAKATOS quan diu: ((Alguns ma ema ics p o es-
sionals
...
diuen eqiien men que la in oducció de l'es il heu ís ic exigi ia
esc iu e de nou els llib es de ex i els a ia an lla gs que mai es pod ien
llegi ins al inal. També els a icles s'alla ga ien mol . La espos a en aques
a gumen pedes e és: In en em-h~)).(~)
Aques es conside acions són les que han e que c egués que pod ia eni
un ce in e es e una p esen ació heu is ica de la esolució d'un p oblema.
El que segueix, és p ecisamen un in en en aques sen i . És I'exposició de
com aig esold e un p oblema." He p ocu a man eni la c onologia de
o es les idees i en a i es que se'm an oco e pe a iba a la solució i
ambé comunica un xic l'emoció dels di e en s descob imen s.
2.
El
p oblema
((Sandy McAllis e a p ome e a la se a dona un bonic p esen si ella
e a capaG d'es al i una quan i a de monedes, d'un dola , su icien pe al
que es puguin disposa en o ma de quad a (com amb
4
o
9
monedes), de
iangle (com amb
3
o
6),
de dos iangles i de es iangles. Quin e a
el
mínim núme o de monedes que a ha e d'es al ia ?. (S'exclou la espos a
i ial d'una moneda). L'any següen a eno a el seu comp omís pe b amb
la condició de que la quan i a de monedes os di e en . I així du an sis
anys. Quin a se I'es al i anual?.))
(1)
POLYA,
G.
Cóm0 plan ea
y
esol e p oblemas.
T illas. México.
1982.
Pg.
8.
(2)
LAKATOS,
I.
P uebas y e u aciones.
Alianza Uni e sidad. Mad id.
1978.
Pg.
167.
(3)
BEILER,
A.
Rec ea ions in he Theo y o Numbe s: The Queen o Ma hema ics
En e ains.
Do e .
New
Yo k.
1964.
Pg.
294.
P oblema
2.
Deixan de banda les conno acions més o menys masclis es del p oblema
el aig oba in e essan doncs p ecisamen amb els alumnes es a em ac-
an qües ions sob e núme os iangula s, quad a s, pen agonals, ...
3.
Acla imen s i p ime a sol.luciÓ
Qu6 ol di que el núme o de monedes el poguem disposa en o ma de
quad a no c ec necessi i cap acla imen . Que la quan i a de monedes es
pugui disposa en o ma de iangle ol di que podem cons ui un iangle
amb o es les monedes, de la següen o ma: p ime si ua una moneda com
un dels e exs, a so a un engle amb dues monedes desp és un al e amb
es,
...,
ins a col.loca un Úl im engle que se a el cos a ((n)) se a necessa i
que disposem de an es monedes com la suma dels ((n)) p ime s núme os,
és a di : (n+l)*n/2.
Un calcul men al més o menys apid ens po a a la p ime a solucio de
les dues condicions inicials és 36 (quad a de cos a 6 i iangle de cos a
8). Pe comp o a les al es dues condicions aig esc iu e els p ime s núme-
os iangula s 1,3,6, 10, 15,21,28 i 36 i apidamen s'obse a que e ec i a-
men ambé les e i ica doncs: 15 +21= 36 i 6+ 15
+
15
=
36. Pe an ja enia
una solució i aig passa a busca -ne de més g ans. Desp és d'una es ona
sense ob eni es aig enuncia i aig mi a quines e en les solucions que
en BEILER dona a.
4.
La solució d'en Beile i la e ce a condició
((Els següen s núme os són simul aniamen quad a s, núme os iangu-
la s, doble iangula s i iple iangula s:
nP quad a cos. q. cos. . cos a s 2 iang. cos a s 3 iang.
36
6 8 6i5 5,5i3
1225 3 5 49 35 i 34 33, 32 i 16
41616 204 288 204 i 203 192, 192 i 195
141371 1189 1681 1189 i 1188 1121, 1120 i 560
48024900 6930 9800 6930 i 6929 6533, 6533 i 3267
1631432881 40391 57121 40391 i 40390 38081, 38080 i 19040
Ces al i del p ime any és de 36 monedes i el sis6 any se ia p ecís es al ia
més mil cinc-cen s milions de dbla s!.))
A
la is a d'aques a solució la e i a és que pe un momen aig pensa
en deixa el p oblema, pe b la cu iosi a a pode més que jo. Immedia a-
men em a c ida l'a enció el e de que a la columna dels cos a s dels 2
iangles aques s ossin consecu ius i el g an igual al cos a del quad a co-
esponen . Aixo em a e pensa si la e ce a condició no se ia edun-
dan c4).
E iden !, doncs dona un núme o quad a pe ec e n2 el podem exp es-
sa com (n+l)*n/2+n*(n-1)/2 i pe an o quad a és suma de dos nú-
me os iangula s i la e ce a condició és s~p& lua(~).
5.
Apa eixen unes successions o qa cu ioses
To segui aig cen a el meu in e b en la columa dels cos a s dels qua-
d a s i d'en ada no aig eu e com es podia passa de I'un al següen . Pe
passa del 6 al 35 es podia e mul iplica pe 6 i eu e'n-hi un, pe b aixo
ja no és ce pe passa del 35 al 204. Alesho es s'em a oco e de e el
quocien en e dos e mes consecu ius i aig ob eni :
Ep!, aixo ja sembla a que unciona a un xic més. Quin podia se el lími
d'aques a succesió?. Amb aixo no em se ia possible calcula el cos a del
p ope quad a ?. P o em-ho:
Vaja!, no es a mal, no?. Pe o és cla s'ha ia de comp o a que ealmen
235416 e a el cos a d'un quad a que e a alho a un núme o iangula . Pe
al de con i ma les me es sospi es aig passa a calcula la successió de quo-
cien s de cos a s de iangles que em a dona :
(4)
Es ac a ia de segui un dels mkims consells que
G.
POLYA
a en el seu llib e
an e io men ci a d'in en a simpli ica el p oblema.
(5)
Al dia següen se'm a oc6 e una o ma geomb ica de eu e-ho mol més maca.
La diagonal del quad a di ideix aques en dos iangles, i si associem aques a a
un d'ells ja ho enim.
Bé!,
o na a a con e gi ,
i
a més la con e gkncia e a cap al ma eix lími
segons sembla a, enca a que, po se , ho eia un xic més len amen . Apa!,
a clacula el cos a del iangle:
U !, aixb no sembla a acla i quina podia se . Ah!, és cla , l'ap oximació
conside ada no e a p ou bona. E a millo conside a :
Vaja!, a a esul a a que pe comp es de pe me e'm decidi en e els a-
lo s possibles els amplia a o ~a.
Bé
de o es mane es podia u ili za 235416
pe calcula el quad a : 55420693056.
I
a pa i d'aqui a e igua quin dels
possibles cos a s del iangle e a la solució, aig oba 332928. Amb aques-
a aig oba els dos nous quocien s 5,828427125 pe quad a s i 5,82846939
pe iangles i alesho es podia calcula no es solucions com ha ia p ocedi .
El p ope cos a de quad a :
Quina xamba!, aques cop dona a exac e i pe an l'ap oximació ob in-
guda e a op ima pe a la maquina. Vaig in en a e el ma eix amb el cos a
del iangle i aig ob eni :
Massa di e kncia pe pode eballa amb comodi a i alesho es s'em a
oco e una al a possibili a e els quocien s en e els cos a s dels iangles
i els dels quad a s. E en aques s:
Ep!, aixo e a bas an més in e essan aques s quocien s sembla en eni
cap a 42 d'una o ma ben cla a. Lla o s aig u ili za aques e pe calcu-
la el p ope cos a del iangle:

No sembla a que hi hagués una pau a gai e cla i icado a
i
pe an aig
in en a no es descomposicions, eco dan que en la cinquhna columna de
la solució del BEILER els cos a s g ans e en en ce es ocasions iguals i en d'al-
es consecu ius i aques s se ien els que ens ocupen. Vaig p o a amb al es
descomposicions:
No en aig necessi a més, ja eia la pau a: El núme o iangula de cos-
a 3n+l és suma dels núme os iangula s de cos a s 2n+l, 2n i n:
Pe an podem esumi en gene al que o núme o iangula es po des-
composa com suma de es núme os iangula sc8).
7.
La
solució
inal
Bé, a iba s aquí enim que les dues condicions úl imes són innecessa ies
i pe an el nos e p oblema queda edul a la condició de oba núme os
que siguin alho a quad a s i núme os iangula s, és a di , que e i iquin
l'equació dio iin ica següen :
x2=(y+l) y/2 o 2x2=y2+y o millo y2+y-2x2=0
(8)
És una p opie a que no sé si mai ha es a enunciada. Si os així en eclamo la
pa e ni a . Fixeu- os en que a a es posa de mani es la idea de que a pa i del p o-
blema o igina1 hem ob ingu al es esul a s que ins alesho es desconeixiem.
i esolen l'equació en unció de x ob enim:
y
=
(-1
+
J1+ 8x2)/2
A a el p oblema queda edui a oba alo s de x que acin que l'exp es-
si6 1+8x2 sigui un quad a pe ec e, és a di :
p2
=
1
+
8x2
O
millo p2-8x2
=
1
I
a a aig eu e que es ac a a d'una equació de Pell-Fe ma (",
i
pe an
o a consis i en aplica la o ma en que es solucionen al nos e cas:
x2-Dy2
=
1
la podem esc iu e com segueix:
(x+ yJ~)*(~-yJ~)=
i
i
a a ele an a n:
(X
+
YJ~)n*(~-Y JD)~
=
i
on cada un dels ac o s é una exp essió de la següen o ma:
(X
+
yJ~)"
=
X,
+Y,JD
(1)
(X-~JD)"
=
x,-Y,JD
(2)
on X, i Y, són la suma dels e mes sena s o pa ells del binomi i com a més
són solucions de l'equació de Pell-Fe ma o iginal, ja que:
(X, +Y,)*(X,-Y,)
=
1
i
pe an
X2,- DY2,
=
1
(9)
Aquí es posa de mani es la impo ancia del consell de
G.
POLYA
sob e la sim-
pli icació del p oblema a que m'he e e i en la no a no
4,
doncs un cop simpli ica
el p oblema immedia amen aig se capaG de edui -10 a concep es conegu s.
i d'aquí alesho es aillan -les en les elacions (I) i (2) ob enim:
És a di , si
x
i
y
són solucions de l'equació de Pell-Fe ma alesho es (3)
i (4) ens donen el conjun de o es les solucions de I'equació. Aixb en el
nos e cas se ia a pa i de la nos a equació, p2-8x2
=
1, enim que com
a solució pa icula p= 3 i x= 1 i pe an el conjun de solucions ind a do-
nada pe :
i pe an
que una subs i ució de alo s pe n igual a 2 ins a 14 dóna els alo s que
ha iem ob ingu . Pe al a banda o es aquelles obse acions sob e els lími s
a que endien les di e en s succesions a a queden comple amen acla ides
doncs és e iden que el lími a on endeix el quocien dels cos a s de qua-
d a s succesius.
que segons la calculado a és 5,828427125, (ja ho sabiem, no?). El ma eix
és ce pel quocien de cos a s dels iangles i pel que a al quocien de cos a
iangle, cos a quad a enim:
que ambé ja coneixiem.
9.
Conclusió
Si el p oblema hagués es a esol en un llib e con encional de esolució
de p oblemes segu amen hau iem oba una esolució que no di e i ia gai-
e del següen ipus de aonamen :
Dona que o núme o quad a és suma de dos núme os iangula s i que
o núme o iangula és suma de es núme os iangula s el p oblema con-
sis eix en esold e l'equació x2
=
(y+
l)*y/2
que con enien men ans o ma-
da es edueix a un de Pell-Fe ma i dóna la solució desi jada.
Pe sonalmen c ec que, enca a que la me a p esen ació no és an elegan
i pe descomp a mol més lla ga, el sac i ici ens compensa sob adamen
doncs no únicamen hem sigu capaGos de eu e la necessi a de o s els pas-
sos sinó que a més hem ob ingu coneixemen s nous
i
nous p oblemes que
ens pe me an con inua la nos a eina.
BEILER,
A.
Rec ea ions in he Theo y o Numbe s: The Queen o Ma heme ics En-
e ains.
Do e . New Yo k. 1964.
ITARD,
J.
A i hmé ique e Théo ie des nomb es.
P.U.E Pa is. 1967.
LAKATOS,
I. P uebas
y
e u aciones.
Alianza Uni e sidad. Mad id. 1978.
POLYA,
G.
Cóm0 plan ea y esol e p oblemas.
T illas. México. 1982.