Conjunts evitables, conjunts invisibles i el viatjant de comerç, o com l'anàlisi real ajuda l'anàlisi complexa

Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques Vol. 18, núm. 2, 2003. Pàg. 73–104 Conjunts evitables, conjunts invisibles i el viatjant de comerç, o com l’anàlisi real ajuda l’anàlisi complexa Joan Verdera La vida es breu e l’art se mostra llonga Ausiàs March (1397-1459) 1 Introducció Recentment s’han demostrat diversos teoremes d’anàlisi complexa que resolen problemes que varen ser plantejats fa aproximadament trenta-cinc anys ([7], [8], [16] i [23]). La qüestió general, que és molt bàsica, consisteix a entendre la natura dels conjunts que són singularitats evitables per a les funcions analítiques i fitades. Aquests conjunts són els que gaudeixen de la propietat següent: sempre que tinguem una funció que sigui analítica i fitada fora del conjunt resulta que, de fet, la funció es pot estendre analíticament a tots els punts del conjunt. El problema central és el d’esbrinar si hi ha condicions de tipus geomètric que caracteritzin els conjunts evitables. Les condicions que s’arriben a conjecturar després de molt esforç es formulen en el llenguatge de la teoria geomètrica de la mesura i, en una primera anàlisi, estan molt allunyades de la definició d’evitabilitat, que és purament analítica. Cal recórrer a mètodes d’anàlisi real per establir una relació amb certs enunciats geomètrics que involucren la noció de curvatura i que finalment resultaran estar màgicament lligats al problema del viatjant de comerç, un vell i famós problema de geometria computacional. L’objectiu d’aquest article és presentar de la manera més entenedora possible el rerefons del problema que acabem d’esbossar i descriure les diverses contribucions que al llarg de les últimes tres dècades i mitja ens han anat apropant a la solució. La història que volem explicar és una mostra d’un fenomen conegut i recorrent en matemàtiques i en altres ciències: es poden plantejar amb certa facilitat enunciats la solució dels quals està fora de l’abast de les possibilitats 74 Joan Verdera de l’època, però que presenten un aspecte innocent i resulten perfectament naturals i plausibles. L’exemple típic, en una escala diferent, és el teorema de Fermat. Els mètodes i les idees que s’utilitzen en la solució dels problemes que esmentàvem s’han anat introduint a poc a poc, en alguns casos sense que els respectius autors fossin conscients de les possibles aplicacions dels seus teoremes en l’àmbit que ens interessa. Són resultats bàsics i profunds alhora, alguns amb un aire geomètric molt marcat, com una variant del problema del viatjant de comerç o la teoria de Besicovitch dels subconjunts del pla de longitud finita. L’eina essencial és, tanmateix, la teoria de CalderónZygmund, una sofisticada tècnica d’anàlisi real, que va ser desenvolupada per les seves possibles aplicacions a les equacions en derivades parcials. No desitgem, naturalment, que el lector d’aquest article es faci càrrec de certs detalls, ni tan sols aproximadament. Presentarem els fets i les idees centrals evitant aspectes tècnics intricats, però acompanyant-los de diversos exemples i introduint el material auxiliar que calgui. En algun moment caldrà, tanmateix, apel.lar a la imaginació del lector i, en altres, a la seva complicitat per defugir certes complicacions. Hi ha seccions que es poden llegir quasi independentment, com és ara la sis, en què expliquem el problema del viatjant de comerç i els nombres beta, o la set, en què parlem de la integral de Cauchy. En la secció vuit, en què tractem de la relació entre la curvatura de Menger i la integral de Cauchy, el lector tenaç i agosarat trobarà el germen d’on han sorgit els avenços més recents sobre el tema. 2 El problema de Painlevé Hi ha un teorema de Riemann que apareix en quasi tots el cursos d’anàlisi complexa per a llicenciats en matemàtiques que s’imparteixen arreu del món. És el teorema de la singularitat evitable, que afirma que, si es té una funció analítica fen un disc privat del centre c, i se sap que els valors f(z) es mantenen fitats quan zs’acosta a c, llavors es pot definir facde manera que la nova funció és analítica a tot el disc. La primera vegada que hom sent això ho troba sorprenent perquè sabem de l’anàlisi real elemental que una funció pot ser fitada al voltant d’un punt i no tenir-hi límit. L’exemple que tots coneixem és la funció definida a l’interval (−1,1)privat del 0 que val 0 a l’esquerra de 0 i 1 a la dreta de 0. L’argument pel teorema de la singularitat evitable és una mostra de l’elegància i la potència dels mètodes complexos i va així: suposem que el disc està centrat al 0 i desenvolupem la funció en sèrie de Laurent f(z)=···+ a−1 z+a0+a1z+··· . L’expressió pels coeficients de la sèrie amb índex negatiu és a−n=1 2πi |z|=f(z)zn−1dz, n =1,2,... Conjunts evitables, conjunts invisibles i el viatjant 75 on és qualsevol nombre positiu més petit que el radi del disc. Si prenem valors absoluts, obtenim la desigualtat |a−n|≤Mn en què Més una fita superior per a |f(z)|per zen el disc. Fent que →0 veiem que a−n=0,n=1,2,... i, per tant, que f(z)és la suma d’una sèrie de Taylor i, doncs, analítica al disc donat. Així, el misteriós valor que s’ha d’atribuir a fen el punt 0 per obtenir l’extensió desitjada resulta ser la integral (que no depèn de ) a0=1 2πi |z|= f(z) zdz . Ara ens preguntem, inexorablement, quins són els subconjunts del pla que gaudeixen de la propietat de ser «singularitats evitables» per a les funcions analítiques i fitades. Una definició més formal d’aquesta noció és la següent: Diem que un subconjunt compacte Kdel pla és un conjunt evitable per a les funcions analítiques fitades si, sempre que es dóna un obert Ωque conté K i una funció analítica i fitada faΩ\K, resulta que fes pot estendre a una funció analítica a tot Ω. Expressat d’una altra manera, sempre que ens donin una funció analítica i fitada que té Kcom a possible conjunt de singularitats (punts en què no és possible definir fanalíticament), llavors resulta que fno té singularitats a K. En francès a vegades s’utilitza l’expressió ensemble effaçable, que vol dir conjunt que es pot esborrar. Per exemple, un punt és evitable, segons el teorema de Riemann. Un conjunt finit també és evitable. Si el lector és un afeccionat a l’anàlisi funcional i recorda la noció de categoria, veurà clar que un compacte numerable també és evitable. En l’altre sentit, resulta que un disc (tancat) no és evitable, com es veu considerant la funció f(z) =1 z−cdefinida al complementari del disc, el centre del qual s’ha denotat per c. Però, ¿com podem decidir si un compacte que ens han donat és evitable? Per exemple, ¿com podem decidir si el famós conjunt ternari de Cantor és evitable? El principi general és bastant clar i només cal recordar la fórmula integral de Cauchy; així que paga la pena descriure’l en cert detall. Suposem que Kse’ns ha donat, que Ωés un obert que conté Kiquef és analítica i fitada a Ω\K. Considerem corbes Γ0,Γ1,...,Γnde manera que Γ=Γ1+Γ2+···+Γnenvolti K,talcomesveualafigura1. Aleshores, per la fórmula integral de Cauchy, tenim f(z)=1 2πi Γ0 f(ζ) ζ−zdζ −1 2πi Γ f(ζ) ζ−zdζ, (1) per zentre Γ0iΓ. 76 Joan Verdera Γn Γ0 Γ1 Γ2 z Figura 1 Notem que la integral sobre Γ0és una funció analítica de la variable za dins de Γ0, en particular a K. Així que, si per alguna raó ens sentim inclinats a sospitar que Kés evitable i volem confirmar-ho, el camí més senzill consisteix a comprovar que la integral sobre Γés nul.la. Si el conjunt Kés prou petit i el sistema de corbes Γprou proper a K, hi ha possibilitats reals de poder concloure que la integral sobre Γés tan petita com es vulgui; és a dir, nul.la. Si al lector li agrada fer desigualtats li recomanem que consideri el cas en què K és el conjunt ternari de Cantor. Llavors per a cada npodem prendre Γcom la unió de 2ncorbes semblants a la corba Γ1de la figura 1, en què cada un dels segments interiors té longitud 1/3n. L’afitament superior per al valor absolut de la integral sobre Γques’obtéés 2 π 2n 3nM,enquèMés una fita superior pel valor absolut de f(z) per z∈Ω\K. Així doncs, el conjunt ternari de Cantor és evitable, malgrat que no és numerable. En l’altra direcció, ¿de quins mètodes disposem per comprovar que el compacte que se’ns dóna no és evitable? El que s’ha de fer, d’acord amb la definició de conjunt evitable, és trobar un obert Ωque contingui Ki una funció analítica i fitada a Ω\Kque no es pugui estendre a una funció analítica a Ω. El que s’acaba fent és pensar només en el cas Ω=C(la qual cosa és, en realitat, equivalent). La dificultat ara rau a construir una funció f, analítica i fitada aC\Ki que no sigui constant. Notem que una tal fno es podrà estendre a una funció analítica a tot el pla: si es pogués, fseria una funció entera fitada i llavors, pel teorema de Liouville, fseria constant. Provem ara d’avaluar l’eficàcia de l’estratègia anterior intentant esbrinar si l’interval [0,1]és evitable. Si pensem que sí, hem de reprendre les corbes Γ0i Γd’abans. Ara Γ=Γ1i ens adonem que no hi ha manera evident de fitar la integral sobre Γ1per un nombre petit. La raó és que [0,1]és, essencialment, el domini de la integral i no hi ha cap motiu per què l’integrand es faci petit. Resulta que [0,1]no és evitable! Això es pot veure fulminantment si utilitzem una representació conforme: el complementari de [0,1]a l’esfera de Riemann és un domini simplement connex que no és tot el pla. Per tant, hi ha una representació conforme en el disc unitat, la qual és clarament analítica a C\[0,1], fitada i no constant. Conjunts evitables, conjunts invisibles i el viatjant 77 La idea que sorgeix d’aquesta discussió és que si un conjunt és prou petit llavors és evitable i si és prou gran no ho és. Suposem ara que ens entestem a caracteritzar els conjunts evitables d’una forma raonablement transparent. Llavors, l’ideal seria disposar d’una manera (com més senzilla millor) de mesurar els subconjunts del pla de tal manera que tenir mesura nul.la correspongués a ser un conjunt evitable i tenir mesura positiva a ser un conjunt no evitable. És clar que no es pot recórrer a l’àrea (mesura de Lebesgue al pla) perquè el segment [0,1]té àrea zero però no és evitable. El fet que hi hagi conjunts 1-dimensionals que no són evitables ens porta a sospitar que, per als nostres objectius, pot ser més adequat utilitzar la «longitud» en comptes de l’àrea per mesurar els conjunts. Si agafem la «longitud» per mesurar els conjunts del pla, ens trobem immediatament amb una dificultat col.lateral, que és la d’aclarir què entenem per «longitud» d’un subconjunt compacte arbitrari del pla. Recordem que per a corbes hi ha una noció natural de longitud que sorgeix de considerar aproximacions per poligonals. Tots sabem que hi ha una elegant fórmula clàssica que expressa la longitud d’una corba en termes de la derivada d’una parametrització. Però què passa amb conjunts compactes generals? La resposta és que hi ha una manera d’assignar un nombre Λ(E) a tot subconjunt Edel pla, de manera que 0 ≤Λ(E) ≤∞, i que Λ(E) coincideix amb la longitud d’arc per a subconjunts de corbes rectificables. La funció de conjunt Λs’anomena la mesura de Hausdorff 1-dimensional o longitud i és una veritable mesura quan es restringeix a conjunts Etals que Λ(E) < ∞. Per exemple, Λ(Q) =∞ si Qés un quadrat i Λrestringida a subconjunts de l’eix de les xés la mesura de Lebesgue 1-dimensional a la recta real. La definició de Λ(E) no és gaire complicada, però preferim, per ara, només dir que Λ(E) =0 si, i només si, E es pot recobrir per una família numerable (Qn)de quadrats amb costats paral.lels als eixos tal que la suma nl(Qn)és tan petita com es vol. Aquí l(Q) denota la longitud del costat del quadrat Q. Per exemple, el conjunt ternari de Cantor té longitud nul.la perquè es pot recobrir, per a cada n,per2 nquadrats de costat 1 3n. El primer resultat notable sobre evitabilitat posterior a Riemann va ser obtingut per Painlevé al 1888 en la seva tesi doctoral i diu el següent: 1 Teorema Un conjunt de longitud zero és evitable. El lector afeccionat a les desigualtats que s’hagi convençut que el conjunt ternari de Cantor és evitable sabrà segurament modificar el seu argument per demostrar el teorema de Painlevé. A finals del segle xix i a principis del xx hi va haver una gran activitat a París al voltant de la noció d’evitabilitat i diverses de les seves variants, sobretot després que la integral de Lebesgue s’anés fent més i més popular. Hi hagué contribucions notables de Denjoy, Pompeiu i, més tard, de Besicovitch. Però el problema que enunciem tot seguit no va ser resolt en aquell temps i, de fet, continua sent avui un problema obert. 78 Joan Verdera El problema de Painlevé: trobeu condicions necessàries i suficients (de tipus geomètric) perquè un conjunt sigui evitable.1 Si hom té la sort de gaudir d’una temporada en una universitat de qualitat s’adona del fet (completament obvi), que la qualitat comença en primer lloc pel pressupost. Entre altres meravelles inexistents a la majoria dels nostres campus hi trobareu una excel.lent biblioteca de matemàtiques amb personal propi, eficient, somrient i amable. Les obres completes de Painlevé potser no hi són, però les portaran ràpidament d’una altra biblioteca. Si hom les consulta se sorprendrà en comprovar que, malgrat que hi posi interès i entusiasme, no aconseguirà localitzar enlloc la formulació del problema de Painlevé. Al cap d’una bona estona, conclourà que el problema en qüestió mai va ser formulat per escrit per Painlevé i que, o bé la transmissió ha estat oral, o simplement l’atribució es deu al fet que Painlevé va ser la primera persona a ocupar-se’n. La referència més antiga del problema de Painlevé que l’autor coneix es troba en un article d’Ahlfors de l’any 1947 [1], en què s’insisteix que les condicions que es busquen han de tenir un caràcter geomètric. Paul Painlevé Paul Painlevé (1863-1933), nascut a París, on visqué la major part de la seva vida, va ser un personatge extraordinari. A part de ser professor de matemàtiques a diverses de les més prestigioses escoles superiors de la ciutat (l’Escola Normal i la Politècnica entre d’altres) i matemàtic famós a la seva època, es 1 Hi ha hagut una novetat que s’ha produït en el moment de fer l’última revisió de l’article i que ens permet afirmar que el problema s’ha resolt. Vegeu les pàgines següents. Conjunts evitables, conjunts invisibles i el viatjant 79 va interessar per multitud de qüestions de física (mecànica) i enginyeria aeronàutica. Va fer un dels primers viatges en un avió amb passatgers en un vol pilotat per Wilbur Wright l’any 1908. També va ser un polític dedicat i va ocupar càrrecs importants: ministre de les invencions (1915) i ministre de la guerra (1917) en plena Primera Guerra Mundial. Si mai aneu a París i entreu al Pantheon, on s’enterren «les grands hommes» de França, hi trobareu la seva tomba al costat de la de Louis Braille. Entre els millors teoremes sobre el problema de Painlevé n’hi ha un de molt recent, d’un matemàtic català de la Universitat Autònoma de Barcelona, Xavier Tolsa,2que podem enunciar immediatament sense cap dificultat (discutirem altres resultats més endavant) [23]. 2 Teorema Un subconjunt compacte Kdel pla no és evitable si, i només si, es pot construir una mesura positiva µ,nonul . la, suportada a K, tal que µ(D) ≤Cradi (D), per a cada disc D iK3 1 R(z,w,ζ)2dµ(z)dµ(w)dµ(ζ) < ∞, en què R(z,w,ζ) és el radi de la circumferència que passa per z,w iζ. Notem que la condició que caracteritza la no-evitabilitat en aquest enunciat no conté cap referència a funcions analítiques i redueix la comprovació de la no-evitabilitat a la construcció d’una mesura positiva de cert tipus. La condició conté elements geomètrics, com el radi R(z,w,ζ), i també en conté que aparentment no ho són, com l’existència d’una mesura amb certes propietats. Per tant, la condició globalment no es pot considerar geomètrica sense reflexionar-hi més. Es pot adduir amb fonament que el terme condició geomètrica és massa vague, però, com veurem ara, recorrent a la geometria bilipschitziana aquesta objecció desapareix. Una aplicació Tdel pla en si mateix es diu que és bilipschitziana si és bijectiva i la distorsió de les distàncies entre parelles de punts està controlada uniformement per dalt i per baix: C−1|z−w|≤|T(z)−T(w)|≤C|z−w|,z,w∈C. Llavors una possible concreció del problema de Painlevé consisteix a demanar condicions que caracteritzin els conjunts evitables i siguin geomètriques en el sentit precís de ser invariants per a les aplicacions bilipschitzianes. No està clar, en absolut, que la condició del teorema anterior sigui un invariant bilipschitzià, malgrat que hi ha indicacions que sí que ho és [11]. El problema de la invariància bilipschitziana dels conjunts evitables va ser plantejat per 2 Per aquest teorema a en X. Tolsa li ha estat concedit el premi Salem de l’any 2002; el premi Salem és una prestigiosa distinció per a analistes joves, de la qual no hi havia cap precedent a Catalunya (ni a l’Estat espanyol). 80 Joan Verdera primera vegada a [24]. La conclusió és que en un segle i escaig ens hem apropat moltíssim a la solució del problema de Painlevé, però encara no hi hem arribat.3 En la secció següent, descriurem una classe de compactes en què podem resoldre el problema de Painlevé. La discussió ens mostrarà la senzilla relació entre la noció d’evitabilitat i la integral de Cauchy entesa com una integral singular del tipus de Calderón-Zygmund. 3 La conjectura de Denjoy Hi ha una manera directa de veure que [0,1]no és un conjunt evitable que no utilitza representació conforme i que ens convé descriure per poder entendre el paper de les integrals singulars en relació amb la noció d’evitabilitat. Suposem que fés una funció analítica i fitada a C\[0,1]. Es pot veure fàcilment, aplicant la fórmula integral de Cauchy de cap per avall (per posarnos drets hem d’intercanviar 1 2i∞) al domini C\[0,1],quefés la integral de Cauchy dels seus valors frontera: f(z)=f(∞)−1 2πi 1 0 f(t) t−zdt, z ∉[0,1]. Doncs, si volem construir una funció analítica i fitada fque no sigui constant aC\[0,1], sembla una bona idea començar considerant expressions de la forma f(z)=1 0 g(t) t−zdt, z ∉[0,1], en què gés una funció a [0,1]. L’elecció més senzilla per gés g(t) =1,t∈ [0,1]ilafque obtenim és f(z)=1 0 1 t−zdt =log z−1 z,z∉[0,1], que és analítica i no constant a C\[0,1], però que òbviament no és fitada. Observem, però, que les úniques singularitats (punts en què fes fa infinita) són singularitats logarítmiques, per tant, molt moderades, als punts z=1iz=0. Qui hagi treballat amb les integrals singulars de Calderón-Zygmund reconeixerà aquí el fenomen fonamental que la transformada de Hilbert no envia l’espai L∞en ell mateix. La idea, ara, és aniquilar la singularitat logarítmica agafant una funció gque s’anul.li als punts 0 i 1; per exemple, la funció la gràfica de la qual es mostra a la figura 2. Calculant la integral obtenim f(z)=L(z +1 2)+L(z −1 2)−2L(z), z ∉[0,1], 3 En una conferència de primers de febrer de 2003, X. Tolsa ha anunciat que ha trobat una prova de la invariància bilipschitziana de la capacitat analítica, la qual cosa resol, brillantment, el problema de Painlevé. Conjunts evitables, conjunts invisibles i el viatjant 81 en què L(z) =−(z −1 2)log(z −1 2). 0 1 1 1/2 Figura 2 En l’expressió de més amunt el lector docte reconeixerà el fet que la transformada de Hilbert envia funcions Lipschitz en funcions de la classe de Zygmund. El que és important ara és que la funció fés analítica i fitada i clarament no és constant, amb la qual cosa tenim la feina feta: [0,1]no és evitable. Denjoy va trobar a pricipis del segle xx un argument per demostrar que, de fet, qualsevol subconjunt compacte de la recta real de longitud positiva no és evitable. Això no és del tot obvi, però està a l’abast de qualsevol que hagi seguit (no gaire enrere) un curs d’anàlisi real i recordi que la part real del nucli de Cauchy és el nucli de Poisson. És un resultat extremadament interessant, almenys per dues raons: la primera és que fa veure que el teorema de Painlevé és, en cert sentit, immillorable. La segona és que combinat amb el teorema de Painlevé caracteritza els subconjunts evitables de la recta real com aquells que tenen longitud zero. Clarament la condició anterior és de tipus geomètric (és un invariant bilipschitzià) i, per tant, el problema de Painlevé té una solució magnífica per a subconjunts de la recta. Pel que fa al resultat que acabem de mencionar, va passar un fet curiós: és que Denjoy es pensava que la seva demostració s’estenia al cas més general quan es consideren compactes de longitud positiva inclosos a una corba rectificable qualsevol. La realitat és que l’argument no s’aplica al cas general i quan la gent va adonar-se’n es va començar a parlar de la conjectura de Denjoy. La conjectura de Denjoy: un subconjunt compacte d’una corba rectificable és evitable si, i només si, té longitud zero. Notem que una solució positiva de la conjectura de Denjoy resol el problema de Painlevé per subconjunts de corbes rectificables. Resulta que la conjectura de Denjoy és un d’aquells problemes la solució dels quals involucra idees i tècniques de les quals no es disposa en el moment de llur formulació. La conjectura de Denjoy va ser demostrada l’any 1977 per Calderón, en un famós article sobre la integral de Cauchy en gràfiques lipschitzianes. Per 88 Joan Verdera 5 La conjectura de Vitushkin Durant els anys seixanta, es va desenvolupar una gran activitat al voltant del problema d’entendre quines funcions es poden aproximar uniformement a un compacte Kdel pla per funcions racionals amb pols fora de K.Hihadues condicions necessàries òbvies sobre la funció que es vol aproximar: ha de ser contínua a Ki analítica a l’interior de K(si n’hi ha). Es poden construir exemples enginyosos, però no gaire complicats, en què aquestes condicions necessàries no són suficients. El teorema de Runge dóna una condició suficient, que està molt lluny de ser necessària, que consisteix a demanar que la funció que es vol aproximar sigui analítica a un entorn de K. Com que la diferència entre un entorn arbitrari de Ki l’interior és la frontera, tot sembla indicar que, per a trobar condicions necessàries i suficients per a l’aproximabilitat d’una funció, s’hauria de pensar en condicions d’analiticitat feble, segurament subtils, que mesurin la frontera de K. Que això és bàsicament correcte va ser demostrat l’any 1967 pel matemàtic rus de Moscou Anatoly Vitushkin [27]. Les condicions de Vitushkin s’expressen mitjançant una funció de conjunt anomenada capacitat analítica que havia estat introduïda per Ahlfors vint anys abans. La capacitat analítica d’un compacte Kés un número no negatiu que mesura el conjunt de funcions analítiques i fitades en valor absolut per 1 a C\K.No és gens difícil comprovar que la capacitat analítica de Kés nul.la si, i només si, Kés evitable. Es va establir així una connexió entre evitabilitat i altres problemes d’anàlisi aparentment llunyans, cosa que va reactivar l’interès a entendre millor la natura dels conjunts evitables. Vitushkin formulà en el seu article de 1967 diversos problemes, el més famós dels quals és el següent: La conjectura de Vitushkin: un compacte del pla és evitable si, i només si, és invisible. El que probablement va portar Vitushkin a enunciar la conjectura anterior va ser l’existència de conjunts compactes evitables de longitud positiva. De fet ell mateix va construir-ne el primer exemple, abans que es demostrés que el conjunt de Cantor 1/4 n’és un. L’evidència per a la conjectura en aquell moment era bastant feble. En els anys vuitanta, Mattila en va construir un contraexemple, el qual, malgrat que realment demostrava que l’equivalència no és certa, va estar envoltat de misteri durant uns anys, perquè el seu mètode no permetia deduir, sorprenentment, quina implicació era falsa. L’explicació és que el que es demostrava és que la propietat d’invisibilitat no és un invariant conforme, mentre que l’evitabilitat òbviament sí que ho és. Uns anys després, Jones i Murai varen construir un conjunt compacte no evitable que és invisible, la qual cosa contradiu la condició suficient de la conjectura de Vitushkin. Encara avui no sabem si la condició necessària és certa. En la secció anterior vàrem presentar un argument senzill, basat en la conjectura de Denjoy i la teoria de Besicovitch, que mostra que un conjunt evitable de longitud finita ha de ser invisible. Així doncs, la condició necessària en la conjectura de Vitushkin és certa per a conjunts de longitud finita. D’altra banda, resulta que el conjunt construït per Jones i Murai té longitud infinita, així Conjunts evitables, conjunts invisibles i el viatjant 89 que no hi ha cap evidència en contra de la següent modificació de la conjectura de Vitushkin. La conjectura feble de Vitushkin: entre els conjunts compactes de longitud finita els evitables són precisament els invisibles. Notem que si l’enunciat anterior és cert, el problema de Painlevé queda resolt en el context dels conjunts de longitud finita, perquè la invisibilitat és una condició de tipus geomètric (és un invariant bilipschitzià). K Γ Figura 5 És clar que la direcció que no sabem fer és la que va d’invisible a evitable. Amb altres paraules, si tenim un compacte de longitud finita que no és evitable s’ha de veure que no és invisible. Si explicitem una mica més l’enunciat anterior trobem que el que se’ns demana és que, donat un compacte Kde longitud finita, construïm una corba rectificable Γtal que longitud(K ∩Γ)≠0, sabent que hi ha una funció analítica fitada i no constant a C\K(vegeu la figura 5). Si el lector hi reflexiona una mica arribarà a la conclusió que no es veu en absolut com fer-ho. De fet, no es veu ni tan sols com començar. No hi ha una relació clara entre una propietat de tipus analític com l’existència d’una funció que compleixi certes condicions i una propietat més aviat geomètrica com l’existència d’una corba rectificable que en satisfaci d’altres. Tal com es veu des de la perspectiva d’avui hi havia quatre duríssimes etapes que calia cobrir per establir un lligam entre la condició analítica i la geomètrica. Això explica perfectament el lapse entre l’article de Vitushkin de 1967 i el de Guy David [7] de 1998 en què s’acaba de demostrar la conjectura feble de Vitushkin. En les properes quatre seccions ens aturarem en cada una de les quatre etapes esmentades. Ens limitarem quasi sempre al cas homogeni, fet que facilita la comprensió de les idees centrals, però, en contrapartida, ens obliga a renunciar a entendre les contribucions de G. David i P. Mattila en el tram final de l’argument i que constitueixen l’etapa 4. En la figura 6 següent, s’esquematitzen les tres primeres etapes en el cas homogeni. En la secció següent, que correspon a l’última fletxa de la figura 6, discutirem un criteri, pràctic i elegant alhora, per decidir si es pot construir una 90 Joan Verdera corba rectificable que passi per un conjunt donat. Christ (1990) Desigualtat L2 per l’integral de Cauchy MMV (1996) Corba rectificable Jones (1990) Nombres beta K no evitable i longitud finita Figura 6 6 El viatjant de comerç i els nombres beta El viatjant de comerç és la persona que recorre diverses ciutats per atendre els seus clients habituals o trobar-ne de nous. Als Estats Units se l’anomena traveling salesman i a Catalunya, on també havia estat una professió molt popular, simplement viatjant. Suposem que un viatjant ha de visitar Nciutats i en sap les distàncies mútues. El problema que se li planteja consisteix a trobar un itinerari que passi una sola vegada per cada ciutat, torni al punt de sortida i sigui el més curt possible. Un instant de reflexió ens convencerà que el problema té solució. També és clar que si Nés gran i el nostre viatjant no disposa de gaire temps, més li val intentar concentrar-se a trobar un algorisme eficient per resoldre el problema en comptes d’anar comprovant els N−1! casos possibles un rere l’altre. Recordem que l’ordre de magnitud de N!és molt gran, inferior que el de NN, però superior que el de qualsevol successió exponencial del tipus aN. El problema del viatjant (o TSP, per traveling salesman problem)ésunproblema típic de complexitat computacional: ens interessa trobar algorismes que resolguin el problema en el mínim temps possible; és a dir, amb el mínim nombre possible d’operacions d’ordinador. Es diu que un problema computacional es pot resoldre en temps polinòmic (o que pertany a la classe P)sihihaun algorisme i un nombre natural ktals que l’algorisme resol els problemes de grandària Nen temps O(Nk). Aquests són els problemes que hom té l’esperança de poder implementar eficientment en un ordinador. Per exemple, el problema d’ordenar Nnombres donats de més petit a més gran es pot resol- Conjunts evitables, conjunts invisibles i el viatjant 91 dre fàcilment en temps O(N2). Si sofistiquem l’argument natural, l’exponent 2 es pot rebaixar i fins i tot s’arriba a trobar un algorisme que dóna una solució en temps O(N logN). La sorpresa monumental és que no se sap si el TSP es pot resoldre en temps polinòmic. Hi ha multimilionaris nord-americans que inverteixen quantitats astronòmiques de diners en obres filantròpiques, com ara museus, hospitals i centres de recerca i els posen el seu nom, que així segur que passarà a la posteritat. És el cas de Landon T. Clay, que ha fundat un institut, el Clay Mathematics Institute, que té la lloable finalitat d’augmentar i disseminar el coneixement matemàtic. És extraordinàriament instructiu llegir les dotze línies inicials de la pàgina [28], en què es descriuen les activitats de l’Institut. Tot aniria molt millor per a la matemàtica si els responsables de certs ministeris i conselleries n’haguessin absorbit l’esperit, cosa que molt probablement no passarà en un futur pròxim. L’Institut Clay donarà un milió de dòlars a qui resolgui un problema matemàtic d’entre una llista de set, que una comissió internacional d’experts ha confeccionat per encàrrec de l’Institut. Un d’aquests problemes és la hipòtesi de Riemann, fet que es menciona per donar una idea de la dificultat dels problemes. El que ens interessa està relacionat amb el TSP. Un problema computacional és de la classe NP (que és l’abreviació per a l’expressió Non-deterministic Polynomial) si cada vegada que es dóna una presumpta solució del problema es pot comprovar si efectivament ho és en temps polinòmic. Això és intuïtivament més fàcil que construir un algorisme que resolgui el problema en temps polinòmic. Així que P⊂NP. Un exemple que il.lustra molt ràpidament la relació entre les classes PiNP és el d’un trencaclosques de Npeces tal que cada peça encaixa com a màxim amb un nombre fix de peces (per exemple 5) (vegeu [29]). Llavors és evident que si ens presenten una possible solució del trencaclosques, podrem comprovar si és correcta en temps O(N) simplement examinant si cada peça encaixa amb les veïnes. Però l’experiència ens indica que és molt més difícil inventar-se un algorisme eficient per resoldre el trencaclosques. Conseqüentment, no és clar que el trencaclosques sigui de la classe P, malgrat que és senzill veure que és de la classe NP. Resulta que se sap demostrar des de finals dels anys setanta l’estranyíssim fet següent: si el TSP es pot resoldre en temps polinòmic, llavors tot problema NP es pot resoldre també en temps polinòmic i, per tant, P=NP. Els experts creuen que això últim no és cert però ningú no ho sap demostrar. Hi ha un milió de dòlars per a qui sigui capaç de decidir si P=NP o no. Ben pensat, oferir recompenses considerables en diner és un mètode excel.lent per convèncer la gent d’afrontar les immenses dificultats que comporta treballar en la solució d’un problema científic difícil. Si l’exemple de l’Institut Clay proliferés segur que augmentaria espectacularment el nombre de matriculats a les llicenciatures de matemàtiques de tot arreu. Hi ha moltes variants del TSP que es poden resoldre en temps polinòmic. En una d’aquestes variants es demana que es trobi un itinerari que visiti les Nciutats i la longitud del qual no superi el doble de la mínima longitud pos- 92 Joan Verdera sible (o, més generalment, Cvegades la mínima longitud possible). Tant si es continua exigint que l’itinerari sigui cíclic i cada ciutat es visiti una única vegada com si s’eliminen aquestes restriccions, aquest problema es pot resoldre en temps O(N logN). Deixem ara els problemes de complexitat computacional per interessar-nos pel nexe entre la conjectura feble de Vitushkin i les variants del TSP que acabem d’esmentar. Considerem un conjunt compacte Kde longitud finita que no és evitable. Tal com hem discutit a la secció anterior la conjectura feble de Vitushkin es redueix a construir una corba rectificable que interseca Ken un conjunt de longitud positiva. Això no és gens senzill. Per convèncer-nos-en canviem lleugerament el problema de la manera següent: agafem un subconjunt compacte de longitud positiva de K, diguem-ne H(per exemple el mateix K) i preguntemnos si hi podem fer passar una corba rectificable. La resposta és que a vegades sí i a vegades no. Per exemple, prenem com a Kla unió de [0,1]amb el conjunt de Cantor 1/4. Si H=[0,1]la resposta és que sí i si Hés el Cantor 1/4 la resposta és que no, perquè Hés invisible en aquest cas. El problema que ara es planteja de manera natural és trobar un criteri per decidir si es pot fer passar una corba rectificable per un compacte que no tingui cap altra propietat addicional. Aquest problema és més bàsic i primari que l’anterior. Quan tinguem aquest criteri a la nostra disposició i ens donin un compacte no evitable de longitud finita Kel que farem és intentar identificar un subconjunt compacte de Kque compleixi les condicions del criteri. Com veurem més endavant, aquesta estratègia afortunadament funciona, tot i que no resulta gens senzill implementar-la perquè hi ha multitud de dificultats menors que s’han d’afrontar. La relació amb el TSP prové del fet que hom es pot limitar a considerar conjunts finits i preguntar-se com calcular, mòdul constants universals, la longitud mínima d’una poligonal que visiti tots els punts del conjunt. Fixem, doncs, un compacte Kdel pla i intentem esbrinar si alguna corba rectificable el conté. És clar que, com que una corba rectificable té longitud finita, Kha de tenir longitud finita. També és evident que aquesta condició necessària no és suficient, tal com mostra el conjunt de Cantor 1/4. La condició que haurem d’afegir a la de tenir longitud finita haurà d’estar relacionada amb el fet que una corba rectificable té tangents en quasi tots els punts i, per tant, es pot aproximar localment per rectes a molts llocs. Peter Jones va introduir unes quantitats que donen la clau per resoldre el problema i que s’anomenen nombres beta, per una mera raó de notació [13], [14]. La inspiració prové dels mètodes L2de l’anàlisi harmònica clàssica a la recta i la motivació inicial va ser donar una demostració nova de la desigualtat L2per la integral de Cauchy en gràfiques lipschitzianes. La idea central és que una funció de Lipschitz s’aproxima molt bé localment per rectes i que la desigualtat L2ja la sabem per una recta. Els nombres beta es defineixen de la manera següent: s’agafa un quadrat Q, el costat del qual interpretem com l’escala en la qual estem observant el Conjunts evitables, conjunts invisibles i el viatjant 93 compacte Ki el centre com el lloc al voltant del qual fem l’observació. Posem βK(Q) =β(Q) =inf Lsup z∈K∩Q dist(z, L) (Q) , en què l’ínfim es pren sobre totes les rectes L. A la figura 7 es pot veure la recta Lque realitza l’ínfim. L Figura 7 Fixem-nos que β(Q) no té dimensió, perquè a la definició hem dividit per l’escala. El número 2β(Q)(Q) és l’amplària de la banda més estreta que conté K∩Qi, per tant, es pot interpretar 2β(Q) com la fracció (percentatge, si es vol) de (Q) que s’ha de prendre per obtenir aquesta amplària. Així doncs, βK(Q) mesura la precisió amb què Kes pot aproximar per una recta a l’escala i lloc determinats per Q. Per exemple, si Kés un segment, βK(Q) =0 per a qualsevol Q.SiKés l’arc de paràbola y=x2,0≤x≤1iQés el quadrat amb costats paral.lels als eixos, inclòs al primer quadrant i que té com a vèrtexs els punts de l’eix real 0 i2 −n, llavors βK(Q) ≈2−n. Un fet molt útil és que no ens caldrà treballar amb tots els quadrats, sinó que ens podrem limitar a considerar-ne una successió molt especial. Diem que un quadrat és diàdic si és de la forma k 2j,k+1 2j×l 2j,l+1 2j,en què j,k,l ∈Z. Convé que el lector que no hagi treballat mai amb quadrats diàdics es faci un dibuix dels quadrats diàdics de costat 1 (j=0) i que noti que cadascun conté 4 quadrats diàdics de costat 1/2 (els fills) i està contingut en un únic quadrat diàdic de costat 2 (el pare). Aquesta estructura de saga familiar es va reproduint en totes les escales. Es pot pensar que els quadrats diàdics són subdivisions del mapa d’un territori enorme que donaran informació sobre una escala (el costat) i un lloc determinats (el centre). El teorema de Peter Jones s’enuncia de la manera següent [14]. 94 Joan Verdera 3 Teorema Es pot fer passar una corba rectificable per un compacte Ksi, i només si,  Qdiàdic β2 K(Q)(Q) < ∞. A més, tenim la següent relació de comparabilitat per la longitud de la corba més curta que conté K: inf Γ⊃K(Γ)≃diam(K) + Qdiàdic β2 K(Q) (Q). (9) Hi ha un parell d’exemples que ajuden a entendre el resultat anterior. El primer és el quadrat unitat K=[0,1]×[0,1]. Llavors β(Q) =1/2siQ és un quadrat diàdic contingut a K. Doncs,  Qdiàdic β2(Q) (Q) ≥ n≥0 (Q)=2−n 1 2n+2= n≥0 2n−2=∞. El segon exemple és el conjunt de Cantor 1/4. En aquest cas obtenim β(Q) =1/2 només pels quadrats diàdics Qn j(vegeu la secció 4) dels quals n’hi ha 4nde costat 1/4n.Aixíque  Qdiàdic β2(Q) (Q) ≥ n≥0 4n  j=0 1 4n+1=∞ i, per tant, no hi ha cap corba rectificable que contingui K. També és il.lustratiu agafar com a Kel conjunt de 4Nciutats col.locades als centres dels quadrats QN j. Llavors trobem que  Qdiàdic β2(Q) (Q) ≃ N  n=0 4N  j=0 1 4N+1≃ N  n=0 1≃N. En aquest cas podem identificar sense gaire dificultat la corba més curta, mòdul constants numèriques, que passa per les 4Nciutats: és la poligonal que es dibuixa a la figura 8, en què hem pres N=2. Notem que es veu clarament que en cada nova generació s’ha d’afegir una longitud comparable a la unitat per poder passar per totes les ciutats. Així que el teorema de Peter Jones es comprova directament en aquest cas tan especial però tan important. Tenim, doncs, un criteri magnífic per saber si un compacte es pot incloure en una corba rectificable. La nostra intenció és aplicar-lo per resoldre la conjectura feble de Vitushkin, per la qual cosa necessitem relacionar la no evitabilitat d’un compacte de longitud finita amb els nombres beta. Això encara està immensament lluny. En la secció següent veurem que es poden obtenir conclusions sobre el comportament de la integral de Cauchy a L2de la mesura «longitud» sobre K, a partir de la mera existència d’una funció analítica, fitada i no constant a C\K. En l’altra secció farem el salt definitiu de l’anàlisi a la geometria relacionant la integral de Cauchy amb els nombres beta. Conjunts evitables, conjunts invisibles i el viatjant 95 ¼ 1 16 1 Figura 8 7 La integral de Cauchy En aquesta secció discutirem una de les idees centrals de la cadena que porta a la solució de la conjectura feble de Vitushkin. Es tracta de veure com de la hipòtesi que Kés un compacte no evitable de longitud finita es pot deduir que l’operador integral de Cauchy té un bon comportament en certs espais L2.És com una mena de camí invers al que ens va portar a resoldre la conjectura de Denjoy. Recordem que aleshores vàrem utilitzar les desigualtats L2de Calderón per la integral de Cauchy en gràfiques lipschitzianes per concloure que certs compactes no són evitables. Així com una corba rectificable té una mesura distingida que és la longitud d’arc, en un compacte Kde longitud finita la restricció de la mesura longitud a Kjuga el paper de mesura base. En direm ΛK. Suposem, doncs, que fés una funció no constant, analítica i fitada a C\K. Voldríem tenir definits els valors frontera de fencara que sigui en un sentit feble. Aplicant la fórmula integral de Cauchy a sistemes de corbes a C\Kque es van acostant a Ki fent un argument estàndard de compacitat s’arriba a obtenir la fórmula f(z)=f(∞)−1 2πi b(ζ) ζ−zdΛK(ζ), z ∈C\K, (10) en què bés una funció (essencialment) fitada a K. S’ha d’entendre la funció b com els valors frontera de fmalgrat que no hem parlat de convergència pun- 96 Joan Verdera tual de cap mena. La fórmula (10) diu, en particular, que la integral de Cauchy de la funció fitada btambé és acotada, perquè és bàsicament f. L’inconvenient de (10), però, és que no es pot donar de manera òbvia un sentit a la integral per als punts z∈K. Això és crucial per a poder parlar de l’operador integral de Cauchy com un operador que envia funcions definides a Ken funcions definides a K. Per analogia amb el que passa quan Kés una corba de classe C1, hom pot esperar que el valor principal C(b)(z) =lim →0|ζ−z|> b(ζ) ζ−zdΛK(ζ) (11) es pugui definir per ΛK-quasi tot z∈K. Però resulta que això no es pot fer amb les eines de què disposem en aquests moments. Llavors es recorre a una solució alternativa molt coneguda en teoria clàssica de Calderón-Zygmund, que és renunciar a tenir l’operador definit per una identitat explícita del tipus (11) i pensar que l’operador és, en realitat, la família d’operadors truncats (C(g))>0en què C(g)(z) =|ζ−z|> g(ζ) ζ−zdΛK(ζ), z ∈C. Notem que la integral precedent convergeix absolutament per a tot z,finsi tot per a funcions gintegrables respecte de ΛK. Que treballar amb els truncaments és un bon camí ho indica el fet que de l’afitament de faC\Kes dedueix sense gaire problema que per certa constant Ces té |C(b)(z)|≤C, z∈K, >0.(12) Si ho volem expressar concisament, la integral de Cauchy envia la funció fitada ben una funció fitada (en realitat en la família de funcions uniformement fitades C(b),  > 0). Aquí entra en escena un dels resultats més sofisticats de la teoria de Calderón-Zygmund, el teorema T(b) de David, Journé i Semmes. Aquest teorema afirma que un operador integral singular Tdel tipus de la integral de Cauchy respecte de la longitud, satisfà desigualtats L2sempre que es pugui trobar una funció bfitada tal que T(b)també sigui fitada i, a més a més, bcompleixi certa condició de no trivialitat que, en particular, exclou el cas b=0. Aquesta condició, que s’anomena paraacretivitat, diu simplement que les mitjanes de ben discs centrats al suport de ΛKestan fitades inferiorment: 1 ΛK(D(z, r))     D(z,r) b(ζ) dΛK(ζ)     ≥δ, z ∈suport ΛK,(13) en què δés un nombre positiu. El teorema T(b) és un criteri potentíssim, perquè només cal comprovar l’acció de Tsobre una funció particular per a poder concloure que hi ha afitament a L2. L’inconvenient és que la hipòtesi de paraacretivitat no és gaire senzilla de verificar en casos concrets perquè Conjunts evitables, conjunts invisibles i el viatjant 97 involucra tots els discs centrats al suport de ΛK. En el nostre cas, de la funció bque representa els valors frontera de fsabem que bdΛK≠0, perquè f no és constant. Per tant, (13) val amb un δapropiat sempre que D(z,r) ⊃K. Malauradament no hi ha res, en principi, que impedeixi que la integral de b sobre un disc petit s’anul.li i, doncs, que (13) no sigui certa. Michael Christ, un deixeble de Calderón, va saber demostrar amb un argument de temps d’aturada que, si hom llença certes parts de Ken què les coses van malament, s’obté un subconjunt K0de Kpel qual val (13) i que encara té longitud positiva. Fixem-nos que (12) ara pot deixar de complir-se, perquè en canviar Kper K0també canvia C(b). Però aquesta dificultat se supera amb cert esforç suplementari. Aplicant el teorema T(b) obtenim la desigualtat L2 |C(g)(z)|2dΛK0(z) ≤C|g(z)|2dΛK0(z) , (14) en què Cés una constant que no depèn de gni de . Resumint, el teorema de Christ es pot enunciar de la manera següent: 4 Teorema Si Kés un compacte no evitable de longitud finita, llavors hi ha un subconjunt compacte K0de Kde longitud positiva pel qual val la desigualtat (14). De fet, a l’article original de Christ hi ha una hipòtesi addicional sobre K, que és que la longitud a Ksigui localment positiva i finita de manera uniforme, o sigui que C−1r≤Λ(K ∩D(z,r)) ≤Cr, z ∈K, r ≤diam(K) . (15) Que el teorema de Christ [5] val sense aquesta hipòtesi addicional no és un fet evident i requereix un arsenal tècnic gens negligible. Malgrat que hem extret de la no-evitabilitat la valuosa informació continguda a la desigualtat (14), no hi ha res que ens indiqui que (14) està relacionat amb els nombres beta. El lligam el trobarem a la secció següent, en què veurem com saltar de la condició analítica (14) a una condició geomètrica propera als nombres beta. 8 La curvatura de Menger Per completar la demostració de la conjectura feble de Vitushkin només ens falta transformar la desigualtat L2per la integral de Cauchy que hem obtingut a la secció anterior en un enunciat geomètric. Recordem que la situació és la següent: tenim un compacte K(el K0de la secció anterior) de longitud positiva i finita pel qual val la desigualtat |C(g)(z)|2dΛK(z) ≤C|g(z)|2dΛK(z) , (16) 104 Joan Verdera [25] Verdera, J. «A new elementary proof of L2estimates for the Cauchy Integral on Lipschitz graphs». Manuscrit d’una conferència feta a la Conference on Geometric and Algebraic Aspects in Several Complex Variables. (Cetraro, 1994). http://mat.uab.es/∼jvm. [26] Verdera, J. «The L2boundedness of the Cauchy integral and Menger curvature». Contemp. Math., 277 (2001), 139–158. [27] Vitushkin, A. G. «The analytic capacity of sets in problems of approximation theory». Uspekhi Mat. Nauk, 22 (1967), 141–199. Traducció anglesa Math. Surveys Monographs, 22 (1967), 139–200 (in Russian). [28] http://www.claymath.org/aboutcmi/vision.htm [29] http://www.claymath.org/prizeproblems/milliondollarminesweeper.htm Departament de Matemàtiques Universitat Autònoma de Barcelona 08193 Bellaterra, Barcelona [email protected]