Déformation localisée de surfaces de Riemann

Publ. Mat. 49 (2005), 249–255 D´ EFORMATION LOCALIS´ EE DE SURFACES DE RIEMANN Peter Ha¨ ıssinsky Abstract Let Ybe a Riemann surface with compact boundary embedded into a hyperbolic Riemann surface of finite type X. It is proved that the space of deformations Dof Yinto Xis an open subset of the Teichm¨uller space T(X) of X. Furthermore, Dhas compact closure if and only if Yis simply connected or isomorphic to a punctured disk, and D=T(X) if and only if the components of X\Yare all disks or punctured disks. Soit Xune surface de Riemann hyperbolique de type fini. Changer sa structure complexe peut apparaˆıtre comme un ph´enom`ene purement local, alors que sa m´etrique hyperbolique est perturb´ee globalement. Dans ce travail, nous tˆachons d’expliquer l’influence du changement de structure complexe sur la structure hyperbolique. A cette fin, on consid`ere Y⊂Xune surface connexe ferm´ee `a bord ∂Y ∩Xcompact. Le r´esultat principal est alors le suivant. Th´eor`eme. (i) L’espace des d´eformations Dde la structure complexe de Ydans X forme un ouvert de l’espace de Teichm¨uller de X. (ii) L’espace Dest relativement compact si et seulement si l’injection de Ydans Xest homotope `a un point ou `a un disque ´epoint´e. (iii) L’espace Drecouvre tout l’espace de Teichm¨uller de Xsi et seulement si chaque composante connexe de X\Yest un disque ´eventuellement ´epoint´e. L’´enonc´e du point (i) est dˆu ind´ependamment `a J.-P. Demailly et `a C. T. McMullen. Le point (ii) contredit une rumeur qui affirmait au contraire que l’on pouvait atteindre tous les points de l’espace de Teichm¨uller en ne changeant la structure complexe de la surface initiale 2000 Mathematics Subject Classification. 30F60, 32G15. Key words. Teichm¨uller theory, hyperbolic geometry, simple closed curves. 250 P. Ha¨ ıssinsky que sur un disque (voir aussi la Proposition 3.1). Le point (iii) indique la taille minimale de la sous-surface n´ecessaire pour effectivement couvrir tout l’espace. On applique ce th´eor`eme `a la variation de Schiffer. Corollaire. Les d´eformations d’une surface de Riemann hyperbolique de type fini induites par la variation de Schiffer restent dans un compact de l’espace de Teichm¨uller. D´emonstration: La variation de Schiffer consiste `a inciser la surface le long d’un arc plong´e et d’y recoller un disque. Cette d´eformation peut ˆetre d´ecrite par une d´eformation de Xlocalis´ee dans un voisinage de l’arc [4]. Par cons´equent, le point (ii) s’applique. Dans le dernier paragraphe, on pr´ecise le point (ii) du th´eor`eme en montrant que plus le disque est petit, plus les d´eformations possibles sont restreintes. Ceci r´epond `a une question de F. Loray. Remerciements. Ce travail est issu de discussions informelles que j’ai eues ces derni`eres ann´ees sur des d´eformations restreintes `a des disques. Je tiens plus particuli`erement `a remercier J. H. Hubbard et C. T. McMullen qui ont eu la bont´e de partager leurs visions concr`etes de l’espace de Teichm¨uller. J’aimerais aussi remercier F. Loray pour l’int´erˆet qu’il a port´e sur ce travail. 1. Une construction de l’espace de Teichm¨uller de X Cette pr´esentation s’inspire de l’ouvrage [4]. Nous prions le lecteur int´eress´e de s’y reporter pour obtenir les justifications n´ecessaires des affirmations qui suivent. En ce qui concerne la th´eorie des hom´eomorphismes quasiconformes, l’ouvrage [2] contient les d´emonstrations des r´esultats utilis´es ici. On consid`ere une surface de Riemann Xquelconque. Soit B(X) l’espace vectoriel des formes de Beltrami sur Xi.e., l’espace des (−1,1)-formes diff´erentielles mesurables essentiellement born´ees sur X. Muni de la norme du sup k · k∞, cet espace est un espace de Banach sur C. On note Def(X) la boule unit´e de B(X). Se donner µ∈Def(X) revient par le th´eor`eme de Riemann mesurable `a se donner un hom´eomorphisme quasiconforme ϕ:X→Z, o`u Zest une autre surface de Riemann d´efinie `a application conforme pr`es et o`u ϕv´erifie au sens des distributions l’´equation dite de Beltrami ∂ϕ ∂¯z=µ·∂ϕ ∂z . D´ eformation Localis´ ee de Surfaces de Riemann 251 L’espace QC0(X) des hom´eomorphismes quasiconformes ω:X→X isotopes `a l’identit´e agit sur Def(X) par ω·(ϕ, Z) = (ϕ◦ω−1, Z). L’espace quotient Def(X)/QC0(X) est l’espace de Teichm¨uller de Xque l’on notera T(X). Lorsque Xest de type fini (surface de Riemann compacte avec un nombre au plus fini de point(s) enlev´e(s)), cet espace est muni d’une structure de vari´et´e complexe de dimension finie telle que la projection canonique $: Def(X)→ T (X) est holomorphe. L’espace cotangent de T(X) en un point ([ϕ], Z) s’identifie `a l’espace Q(Z) des formes diff´erentielles quadratiques holomorphes int´egrables via l’accouplement hµ, qi=ZZ µ·q. L’espace tangent s’identifie alors `a B(Z)/NZ, o`u NZ={µ∈ B(Z),hµ, qi= 0 ∀q∈Q(Z)}. Dans le contexte de notre th´eor`eme, on d´efinit l’application Φ: Def(Y)→Def(X) par Φ(µ)|Y=µet Φ(µ)|X\Y= 0. On pose φ= $◦Φ: Def(Y)→ T (X). Cette application est holomorphe et on note D=φ(Def(Y)). Le premier point du th´eor`eme revient `a montrer la proposition suivante. Proposition 1.1. Si Xest de type fini, alors pour tout µ∈Def(Y), l’application lin´eaire tangente Dµφest surjective. D´emonstration: Traitons d’abord le cas de la surjectivit´e au point µ= 0. Si Dφ n’est pas surjective, alors il existe q∈Q(X) telle que, pour tout µ∈Def(Y), on ait hΦ(µ), qi= 0. Pour q∈Q(X), on d´efinit µq=¯q |q|·χY, o`u χYd´esigne la fonction indicatrice de Y. Il s’ensuit que µqest un ´el´ement de B(Y) et hΦ(µq), qi=ZY ¯q |q|·q=ZY |q|>0. Ceci ´etablit la surjectivit´e de Dφ `a l’identit´e. Etudions maintenant l’application lin´eaire tangente en un point µ∈ Def(Y). On se ram`ene `a l’argument pr´ec´edent de la mani`ere suivante. Notons Φ(µ) = (f, X0) et Y0=f(Y). On consid`ere les applications analogues Φ0: Def(Y0)→Def(X0), $0: Def(X0)→ T (X0), ainsi que φ0: Def(Y0)→ T (X0). La pr´ecomposition par f−1induit des isomorphismes χ: Def(Y)→Def(Y0), Ψ: Def(X)→Def(X0) et ψ:T(X)→ 252 P. Ha¨ ıssinsky T(X0) tels que χ(µ) = 0 et Ψ(Φ(µ)) = (id, X0), et tels que φ=ψ−1◦ φ0◦χ. Par cons´equent, la surjectivit´e de Dφ au point µest ´equivalente `a celle de Dφ0`a l’origine, qui d´ecoule du mˆeme argument que ci-dessus. 2. Fonctions longueurs Soit γune courbe ferm´ee simple de X. On consid`ere l’application `γ:T(X)→R+qui associe `a tout point ([ϕ], Z)∈ T (X) la longueur hyperbolique de la g´eod´esique sur Zisotope `a ϕ(γ). Cette application est toujours continue (voir [1], [3]). Le reste de la d´emonstration du th´eor`eme s’appuie sur la proposition suivante. Proposition 2.1. Soit γune courbe ferm´ee simple de X\Y. Si `γ([id], X)>0alors il existe une constante (finie) C > 0telle que `γ(φ(µ)) ≤Cpour tout µ∈Def(Y). D´emonstration: Puisque γ∩Y=∅, il existe un anneau plong´e A(γ)⊂ X\Yd’´equateur γ. Il s’ensuit que 0<mod A(γ) = π `A(γ)(γ) o`u `A(γ)d´esigne la longueur hyperbolique dans la surface A(γ). Comme l’inclusion contracte la m´etrique hyperbolique, on a aussi `X(γ)≤`A(γ) (γ). Soit µ∈Def(Y), on note Φ(µ) = (ϕ, Z). Alors ϕ|A(γ)est conforme donc mod A(γ) = mod ϕA(γ). Du coup, `γ(φ(µ)) ≤`Z(ϕ(γ)) ≤`ϕA(γ)(ϕ(γ)) = `A(γ)(γ). Suivant S. P. Kerckhoff [5], on dit qu’une famille de courbes ferm´ees simples Γ de Xremplit Xsi les courbes sont dans des classes d’isotopies distinctes, si `γ([id]) >0 pour tout γ∈Γ, et si chaque composante de X\(∪Γγ) est un disque ´eventuellement ´epoint´e. On reconnaˆıt la compacit´e relative d’un sous-ensemble de T(X) grˆace `a la proposition suivante. Proposition 2.2. Soit Xune surface de type fini. Si Γremplit Xalors l’application `Γ:T(X)→R+\ {0} d´efinie par `Γ(τ) = Pγ∈Γ`γ(τ)est propre. D´ eformation Localis´ ee de Surfaces de Riemann 253 D´emonstration: (cf. Lemme 3.1 de [5]). Soit bγune courbe ferm´ee simple de Xtelle que `bγ([id]) >0. Montrons que log `bγreste born´ee quand on parcourt l’ensemble BK={τ∈ T (X), `Γ(τ)≤K}, pour un K > 0 assez grand. Il existe N=N(bγ) telle que bγsoit homotope `a une courbe incluse dans ∪γ∈Γγde mani`ere `a ce que chaque point de ∪γ∈Γγn’est pas parcouru plus de Nfois. Du coup, `bγ(τ)≤N·`Γ(τ) pour tout τ∈ T (X). D’autre part, puisque Γ remplit X,bγrencontre au moins une courbe γ∈Γ. Si `bγpouvait tendre vers z´ero, alors la longueur `γdevrait tendre vers l’infini par le lemme du col. Ceci ´etablit l’affirmation. On consid`ere maintenant une famille b Γ de g´eod´esiques ferm´ees simples de Xdeux `a deux disjointes maximale. Elle nous permet de param´etrer T(X) par les coordonn´ees de Fenchel-Nielsen [1]. Chaque courbe bγ∈b Γ induit deux param`etres, l’un est log `bγ, l’autre est un param`etre d’enroulement : on peut d´ecouper Xle long de bγet recoller ses deux nouvelles extr´emit´es isom´etriquement en effectuant un d´ecalage de θ∈Rtours ; ce nombre θmesure l’enroulement. On reste dans un compact de T(X) si ces param`etres restent dans un compact de R b Γ. D’apr`es l’argument ci-dessus, on sait d´ej`a que log `bγ reste born´e pour toute courbe bγ∈b Γ. Reste `a comprendre l’effet de l’enroulement d’une courbe bγ∈b Γ sur une courbe γ∈Γ qui rencontre bγ. Lorsque l’enroulement de bγaugmente, la courbe γs’enroule d’autant (ou presque) autour de bγ, donc sa longueur est au moins l’enroulement de fois `bγ. Donc cet enroulement doit rester born´e. Par cons´equent, l’ensemble BKest born´e donc compact dans T(X), puisque c’est un espace de dimension finie. D´emonstration du th´eor`eme: (1) S’il existe une courbe γferm´ee simple disjointe de Ytelle que `γ([id]) >0, alors la Proposition 2.1 montre que φne peut ˆetre surjective. (2) En particulier, si Yest homotope `a un point ou `a un disque ´epoint´e, alors il existe une famille de courbes Γ disjointes de Yqui remplit X. Avec la Proposition 2.2, on en d´eduit que Dest relativement compacte dans T(X). Ceci ´etablit la suffisance de (ii). R´eciproquement, s’il existe γ⊂Ytelle que `γ([id]) >0, alors on peut trouver un anneau A⊂Yd’´equateur γet on peut d´eformer sa structure complexe pour que le module de cet anneau tende vers 254 P. Ha¨ ıssinsky l’infini. Cela implique que l’image de Def(Y) ne sera pas born´ee. La n´ecessit´e de (ii) est ainsi ´etablie. (3) Le point (1) montre la n´ecessit´e de (iii). Il reste donc `a montrer que φest surjective. On suppose donc que les composantes connexes de X\Ysont des disques ´eventuellement ´epoint´es. Soit τ= ([ϕ], Z)∈ T (X). Notons V1,...,Vkles composantes connexes de X\Y. Comme Yest `a bord compact, il existe des disques ouverts ´eventuellement ´epoint´es Wj, voisinages de Vj, d’int´erieurs deux `a deux disjoints. Il suffit de montrer que ϕ|Wjest isotope rel. ∂Wj`a un hom´eomorphisme ψj, conforme sur Vj. Pour cela, on peut se ramener `a la situation o`u Wj=ϕ(Wj) = D,Vj=D(0, r) pour un certain 1 >r>0, et ϕ(Vj) est un domaine de Jordan relativement compact `a bord lisse de D. En utilisant le th´eor`eme de Riemann mesurable, on construit une isotopie (ψt) de ϕ|D(0,r)de ψ0=ϕ`a une application conforme ψ1 qui fixe 0 pour tout tet qui pr´eserve ϕ(D(0, r)). Ensuite, en passant aux revˆetements universels de D\D(0, r) et de D\ϕD(0, r), l’extension de Douady-Earle appliqu´ee aux relev´es de ϕ|{|z|=1}et ψt|{|z|=r}nous fournit l’isotopie recherch´ee [4]. On d´efinit bϕ:X→Zpar bϕ|X\∪Wj=ϕ, et bϕ|Wj=ψ1. On a par construction [bϕ] = [ϕ] donc τ∈ D. 3. Petites d´eformations L’objet de paragraphe est d’´etablir la proposition suivante. Proposition 3.1. Soient Xune surface hyperbolique de type fini et x∈X; pour tout voisinage de ([id], X)dans T(X), il existe r0>0telle que, pour tout 0< r < r0, les d´eformations restreintes au disque centr´e en xet de rayon rsont contenues dans ce voisinage. D´emonstration: Si r > 0, on note Yr=D(x, r), Xr=X\Yr, et Φr: Def(Yr)→Def(X) l’application d´efinie ci-dessus. On note que si r < r0alors Φr(Def(Yr)) ⊂Φr0(Def(Yr0)). Pour montrer la proposition, il suffit donc de montrer que ∩r>0Φr(Def(Yr)) = {([id], X)}. On se donne (ϕ, Z)∈ ∩r>0Φr(Def(Yr)) et montrons que (ϕ, Z) = (id, X). Par d´efinition, il existe, pour chaque r > 0 assez petit, une application holomorphe injective ϕr:Xr→Z. Si on munit Xret Zde D´ eformation Localis´ ee de Surfaces de Riemann 255 la m´etrique hyperbolique, alors l’application ϕrest 1-Lipschitzienne par le lemme de Schwarz-Pick, donc la famille (ϕr)rest ´equicontinue sur tout compact de X\ {x}. X´etant de type fini, (ϕr) pr´eserve les ´epointements ainsi que les classes d’isotopie de courbes non homotopes `a un point ou un ´epointement (dans Xet Z). Du coup, (ϕr) est une famille normale, et toute limite est non constante. Ceci implique qu’il existe une application holomorphe injective ψ:X\ {x} → Z. Or le point xest une singularit´e effa¸cable, donc ψr´ealise un isomorphisme entre Xet Z. R´ef´erences [1] W. Abikoff,“The real analytic theory of Teichm¨uller space”, Lecture Notes in Mathematics 820, Springer, Berlin, 1980. [2] L. V. Ahlfors,“Lectures on quasiconformal mappings”, Van Nostrand Mathematical Studies 10, D. Van Nostrand Co., Inc., Toronto, Ont.-New York-London, 1966. [3] A. Fathi, F. Laudenbach et V. Po´ enaru, Travaux de Thurston sur les surfaces, Ast´erisque 66–67 (1979). [4] F. Gardiner, P. Frederick et N. Lakic,“Quasiconformal Teichm¨uller theory”, Mathematical Surveys and Monographs 76, American Mathematical Society, Providence, RI, 2000. [5] S. P. Kerckhoff, The Nielsen realization problem, Ann. of Math. (2) 117(2) (1983), 235–265. LATP/CMI Universit´e de Provence 39, rue Fr´ed´eric Joliot-Curie 13453 Marseille cedex 13 France E-mail address:[email protected]r Rebut el 15 d’octubre de 2004.