Publ. Ma . 49 (2005), 249–255
D´
EFORMATION LOCALIS´
EE DE SURFACES DE
RIEMANN
Pe e Ha¨
ıssinsky
Abs ac
Le Ybe a Riemann su ace wi h compac bounda y embedded
in o a hype bolic Riemann su ace o ini e ype X. I is p o ed
ha he space o de o ma ions Do Yin o Xis an open subse o
he Teichm¨ulle space T(X) o X. Fu he mo e, Dhas compac
closu e i and only i Yis simply connec ed o isomo phic o a
punc u ed disk, and D=T(X) i and only i he componen s
o X Ya e all disks o punc u ed disks.
Soi Xune su ace de Riemann hype bolique de ype ini. Change sa
s uc u e complexe peu appa aˆı e comme un ph´enom`ene pu emen lo-
cal, alo s que sa m´e ique hype bolique es pe u b´ee globalemen . Dans
ce a ail, nous ˆachons d’explique l’in luence du changemen de s uc-
u e complexe su la s uc u e hype bolique.
A ce e in, on consid`e e Y⊂Xune su ace connexe e m´ee `a bo d
∂Y ∩Xcompac . Le ´esul a p incipal es alo s le sui an .
Th´eo `eme.
(i) L’espace des d´e o ma ions Dde la s uc u e complexe de Ydans X
o me un ou e de l’espace de Teichm¨ulle de X.
(ii) L’espace Des ela i emen compac si e seulemen si l’injec ion
de Ydans Xes homo ope `a un poin ou `a un disque ´epoin ´e.
(iii) L’espace D ecou e ou l’espace de Teichm¨ulle de Xsi e seule-
men si chaque composan e connexe de X Yes un disque ´e en-
uellemen ´epoin ´e.
L’´enonc´e du poin (i) es dˆu ind´ependammen `a J.-P. Demailly e
`a C. T. McMullen. Le poin (ii) con edi une umeu qui a i mai
au con ai e que l’on pou ai a eind e ous les poin s de l’espace de
Teichm¨ulle en ne changean la s uc u e complexe de la su ace ini iale
2000 Ma hema ics Subjec Classi ica ion. 30F60, 32G15.
Key wo ds. Teichm¨ulle heo y, hype bolic geome y, simple closed cu es.
250 P. Ha¨
ıssinsky
que su un disque ( oi aussi la P oposi ion 3.1). Le poin (iii) indique la
aille minimale de la sous-su ace n´ecessai e pou e ec i emen cou i
ou l’espace.
On applique ce h´eo `eme `a la a ia ion de Schi e .
Co ollai e. Les d´e o ma ions d’une su ace de Riemann hype bolique
de ype ini indui es pa la a ia ion de Schi e es en dans un compac
de l’espace de Teichm¨ulle .
D´emons a ion: La a ia ion de Schi e consis e `a incise la su ace le
long d’un a c plong´e e d’y ecolle un disque. Ce e d´e o ma ion peu
ˆe e d´ec i e pa une d´e o ma ion de Xlocalis´ee dans un oisinage de
l’a c [4]. Pa cons´equen , le poin (ii) s’applique.
Dans le de nie pa ag aphe, on p ´ecise le poin (ii) du h´eo `eme en
mon an que plus le disque es pe i , plus les d´e o ma ions possibles
son es ein es. Ceci ´epond `a une ques ion de F. Lo ay.
Reme ciemen s. Ce a ail es issu de discussions in o melles que j’ai
eues ces de ni`e es ann´ees su des d´e o ma ions es ein es `a des disques.
Je iens plus pa iculi`e emen `a eme cie J. H. Hubba d e C. T. Mc-
Mullen qui on eu la bon ´e de pa age leu s isions conc `e es de l’espace
de Teichm¨ulle . J’aime ais aussi eme cie F. Lo ay pou l’in ´e ˆe qu’il a
po ´e su ce a ail.
1. Une cons uc ion de l’espace de Teichm¨ulle de X
Ce e p ´esen a ion s’inspi e de l’ou age [4]. Nous p ions le lec eu
in ´e ess´e de s’y epo e pou ob eni les jus i ica ions n´ecessai es des
a i ma ions qui sui en . En ce qui conce ne la h´eo ie des hom´eomo -
phismes quasicon o mes, l’ou age [2] con ien les d´emons a ions des
´esul a s u ilis´es ici.
On consid`e e une su ace de Riemann Xquelconque. Soi B(X) l’es-
pace ec o iel des o mes de Bel ami su Xi.e., l’espace des (−1,1)- o -
mes di ´e en ielles mesu ables essen iellemen bo n´ees su X. Muni de
la no me du sup k · k∞, ce espace es un espace de Banach su C. On
no e De (X) la boule uni ´e de B(X). Se donne µ∈De (X) e ien pa le
h´eo `eme de Riemann mesu able `a se donne un hom´eomo phisme qua-
sicon o me ϕ:X→Z, o`u Zes une au e su ace de Riemann d´e inie
`a applica ion con o me p `es e o`u ϕ ´e i ie au sens des dis ibu ions
l’´equa ion di e de Bel ami
∂ϕ
∂¯z=µ·∂ϕ
∂z .
D´
e o ma ion Localis´
ee de Su aces de Riemann 251
L’espace QC0(X) des hom´eomo phismes quasicon o mes ω:X→X
iso opes `a l’iden i ´e agi su De (X) pa ω·(ϕ, Z) = (ϕ◦ω−1, Z). L’es-
pace quo ien De (X)/QC0(X) es l’espace de Teichm¨ulle de Xque l’on
no e a T(X).
Lo sque Xes de ype ini (su ace de Riemann compac e a ec un
nomb e au plus ini de poin (s) enle ´e(s)), ce espace es muni d’une
s uc u e de a i´e ´e complexe de dimension inie elle que la p ojec-
ion canonique $: De (X)→ T (X) es holomo phe. L’espace co an-
gen de T(X) en un poin ([ϕ], Z) s’iden i ie `a l’espace Q(Z) des o mes
di ´e en ielles quad a iques holomo phes in ´eg ables ia l’accouplemen
hµ, qi=ZZ
µ·q.
L’espace angen s’iden i ie alo s `a B(Z)/NZ, o`u
NZ={µ∈ B(Z),hµ, qi= 0 ∀q∈Q(Z)}.
Dans le con ex e de no e h´eo `eme, on d´e ini l’applica ion Φ:
De (Y)→De (X) pa Φ(µ)|Y=µe Φ(µ)|X Y= 0. On pose φ=
$◦Φ: De (Y)→ T (X). Ce e applica ion es holomo phe e on no e
D=φ(De (Y)). Le p emie poin du h´eo `eme e ien `a mon e la
p oposi ion sui an e.
P oposi ion 1.1. Si Xes de ype ini, alo s pou ou µ∈De (Y),
l’applica ion lin´eai e angen e Dµφes su jec i e.
D´emons a ion: T ai ons d’abo d le cas de la su jec i i ´e au poin µ= 0.
Si Dφ n’es pas su jec i e, alo s il exis e q∈Q(X) elle que, pou ou
µ∈De (Y), on ai hΦ(µ), qi= 0. Pou q∈Q(X), on d´e ini
µq=¯q
|q|·χY,
o`u χYd´esigne la onc ion indica ice de Y. Il s’ensui que µqes un
´el´emen de B(Y) e
hΦ(µq), qi=ZY
¯q
|q|·q=ZY
|q|>0.
Ceci ´e abli la su jec i i ´e de Dφ `a l’iden i ´e.
E udions main enan l’applica ion lin´eai e angen e en un poin µ∈
De (Y). On se am`ene `a l’a gumen p ´ec´eden de la mani`e e sui an e.
No ons Φ(µ) = ( , X0) e Y0= (Y). On consid`e e les applica ions
analogues Φ0: De (Y0)→De (X0), $0: De (X0)→ T (X0), ainsi que
φ0: De (Y0)→ T (X0). La p ´ecomposi ion pa −1indui des isomo -
phismes χ: De (Y)→De (Y0), Ψ: De (X)→De (X0) e ψ:T(X)→
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T(X0) els que χ(µ) = 0 e Ψ(Φ(µ)) = (id, X0), e els que φ=ψ−1◦
φ0◦χ.
Pa cons´equen , la su jec i i ´e de Dφ au poin µes ´equi alen e `a celle
de Dφ0`a l’o igine, qui d´ecoule du mˆeme a gumen que ci-dessus.
2. Fonc ions longueu s
Soi γune cou be e m´ee simple de X. On consid`e e l’applica ion
`γ:T(X)→R+qui associe `a ou poin ([ϕ], Z)∈ T (X) la longueu
hype bolique de la g´eod´esique su Ziso ope `a ϕ(γ). Ce e applica ion
es oujou s con inue ( oi [1], [3]).
Le es e de la d´emons a ion du h´eo `eme s’appuie su la p oposi ion
sui an e.
P oposi ion 2.1. Soi γune cou be e m´ee simple de X Y. Si
`γ([id], X)>0alo s il exis e une cons an e ( inie) C > 0 elle que
`γ(φ(µ)) ≤Cpou ou µ∈De (Y).
D´emons a ion: Puisque γ∩Y=∅, il exis e un anneau plong´e A(γ)⊂
X Yd’´equa eu γ. Il s’ensui que
0<mod A(γ) = π
`A(γ)(γ)
o`u `A(γ)d´esigne la longueu hype bolique dans la su ace A(γ). Comme
l’inclusion con ac e la m´e ique hype bolique, on a aussi `X(γ)≤`A(γ)
(γ).
Soi µ∈De (Y), on no e Φ(µ) = (ϕ, Z). Alo s ϕ|A(γ)es con o me
donc mod A(γ) = mod ϕA(γ). Du coup,
`γ(φ(µ)) ≤`Z(ϕ(γ)) ≤`ϕA(γ)(ϕ(γ)) = `A(γ)(γ).
Sui an S. P. Ke ckho [5], on di qu’une amille de cou bes e m´ees
simples Γ de X empli Xsi les cou bes son dans des classes d’iso opies
dis inc es, si `γ([id]) >0 pou ou γ∈Γ, e si chaque composan e
de X (∪Γγ) es un disque ´e en uellemen ´epoin ´e.
On econnaˆı la compaci ´e ela i e d’un sous-ensemble de T(X) g ˆace
`a la p oposi ion sui an e.
P oposi ion 2.2. Soi Xune su ace de ype ini. Si Γ empli Xalo s
l’applica ion
`Γ:T(X)→R+ {0}
d´e inie pa `Γ(τ) = Pγ∈Γ`γ(τ)es p op e.
D´
e o ma ion Localis´
ee de Su aces de Riemann 253
D´emons a ion: (c . Lemme 3.1 de [5]). Soi bγune cou be e m´ee simple
de X elle que `bγ([id]) >0. Mon ons que log `bγ es e bo n´ee quand on
pa cou l’ensemble
BK={τ∈ T (X), `Γ(τ)≤K},
pou un K > 0 assez g and.
Il exis e N=N(bγ) elle que bγsoi homo ope `a une cou be incluse
dans ∪γ∈Γγde mani`e e `a ce que chaque poin de ∪γ∈Γγn’es pas pa -
cou u plus de N ois. Du coup, `bγ(τ)≤N·`Γ(τ) pou ou τ∈ T (X).
D’au e pa , puisque Γ empli X,bγ encon e au moins une cou -
be γ∈Γ. Si `bγpou ai end e e s z´e o, alo s la longueu `γde ai
end e e s l’in ini pa le lemme du col. Ceci ´e abli l’a i ma ion.
On consid`e e main enan une amille b
Γ de g´eod´esiques e m´ees simples
de Xdeux `a deux disjoin es maximale. Elle nous pe me de pa am´e e
T(X) pa les coo donn´ees de Fenchel-Nielsen [1]. Chaque cou be bγ∈b
Γ
indui deux pa am`e es, l’un es log `bγ, l’au e es un pa am`e e d’en ou-
lemen : on peu d´ecoupe Xle long de bγe ecolle ses deux nou elles
ex ´emi ´es isom´e iquemen en e ec uan un d´ecalage de θ∈R ou s ;
ce nomb e θmesu e l’en oulemen .
On es e dans un compac de T(X) si ces pa am`e es es en dans
un compac de R
b
Γ. D’ap `es l’a gumen ci-dessus, on sai d´ej`a que log `bγ
es e bo n´e pou ou e cou be bγ∈b
Γ. Res e `a comp end e l’e e de
l’en oulemen d’une cou be bγ∈b
Γ su une cou be γ∈Γ qui encon e bγ.
Lo sque l’en oulemen de bγaugmen e, la cou be γs’en oule d’au an (ou
p esque) au ou de bγ, donc sa longueu es au moins l’en oulemen de
ois `bγ. Donc ce en oulemen doi es e bo n´e.
Pa cons´equen , l’ensemble BKes bo n´e donc compac dans T(X),
puisque c’es un espace de dimension inie.
D´emons a ion du h´eo `eme:
(1) S’il exis e une cou be γ e m´ee simple disjoin e de Y elle que
`γ([id]) >0, alo s la P oposi ion 2.1 mon e que φne peu ˆe e
su jec i e.
(2) En pa iculie , si Yes homo ope `a un poin ou `a un disque ´epoin ´e,
alo s il exis e une amille de cou bes Γ disjoin es de Yqui em-
pli X. A ec la P oposi ion 2.2, on en d´edui que Des ela i emen
compac e dans T(X). Ceci ´e abli la su isance de (ii).
R´ecip oquemen , s’il exis e γ⊂Y elle que `γ([id]) >0, alo s on
peu ou e un anneau A⊂Yd’´equa eu γe on peu d´e o me
sa s uc u e complexe pou que le module de ce anneau ende e s
254 P. Ha¨
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l’in ini. Cela implique que l’image de De (Y) ne se a pas bo n´ee.
La n´ecessi ´e de (ii) es ainsi ´e ablie.
(3) Le poin (1) mon e la n´ecessi ´e de (iii). Il es e donc `a mon-
e que φes su jec i e. On suppose donc que les composan es
connexes de X Yson des disques ´e en uellemen ´epoin ´es. Soi
τ= ([ϕ], Z)∈ T (X). No ons V1,...,Vkles composan es connexes
de X Y.
Comme Yes `a bo d compac , il exis e des disques ou e s
´e en uellemen ´epoin ´es Wj, oisinages de Vj, d’in ´e ieu s deux `a
deux disjoin s. Il su i de mon e que ϕ|Wjes iso ope el. ∂Wj`a
un hom´eomo phisme ψj, con o me su Vj. Pou cela, on peu se
amene `a la si ua ion o`u Wj=ϕ(Wj) = D,Vj=D(0, ) pou un
ce ain 1 > >0, e ϕ(Vj) es un domaine de Jo dan ela i emen
compac `a bo d lisse de D.
En u ilisan le h´eo `eme de Riemann mesu able, on cons ui
une iso opie (ψ ) de ϕ|D(0, )de ψ0=ϕ`a une applica ion con o me ψ1
qui ixe 0 pou ou e qui p ´ese e ϕ(D(0, )). Ensui e, en pas-
san aux e ˆe emen s uni e sels de D D(0, ) e de D ϕD(0, ),
l’ex ension de Douady-Ea le appliqu´ee aux ele ´es de ϕ|{|z|=1}e
ψ |{|z|= }nous ou ni l’iso opie eche ch´ee [4].
On d´e ini bϕ:X→Zpa bϕ|X ∪Wj=ϕ, e bϕ|Wj=ψ1. On a
pa cons uc ion [bϕ] = [ϕ] donc τ∈ D.
3. Pe i es d´e o ma ions
L’obje de pa ag aphe es d’´e abli la p oposi ion sui an e.
P oposi ion 3.1. Soien Xune su ace hype bolique de ype ini e
x∈X; pou ou oisinage de ([id], X)dans T(X), il exis e 0>0 elle
que, pou ou 0< < 0, les d´e o ma ions es ein es au disque cen ´e
en xe de ayon son con enues dans ce oisinage.
D´emons a ion: Si > 0, on no e Y =D(x, ), X =X Y , e
Φ : De (Y )→De (X) l’applica ion d´e inie ci-dessus. On no e que
si < 0alo s Φ (De (Y )) ⊂Φ 0(De (Y 0)).
Pou mon e la p oposi ion, il su i donc de mon e que
∩ >0Φ (De (Y )) = {([id], X)}.
On se donne (ϕ, Z)∈ ∩ >0Φ (De (Y )) e mon ons que (ϕ, Z) =
(id, X). Pa d´e ini ion, il exis e, pou chaque > 0 assez pe i , une
applica ion holomo phe injec i e ϕ :X →Z. Si on muni X e Zde
D´
e o ma ion Localis´
ee de Su aces de Riemann 255
la m´e ique hype bolique, alo s l’applica ion ϕ es 1-Lipschi zienne pa
le lemme de Schwa z-Pick, donc la amille (ϕ ) es ´equicon inue su ou
compac de X {x}.
X´e an de ype ini, (ϕ ) p ´ese e les ´epoin emen s ainsi que les
classes d’iso opie de cou bes non homo opes `a un poin ou un ´epoin e-
men (dans Xe Z). Du coup, (ϕ ) es une amille no male, e ou e
limi e es non cons an e. Ceci implique qu’il exis e une applica ion ho-
lomo phe injec i e ψ:X {x} → Z. O le poin xes une singula i ´e
e a¸cable, donc ψ ´ealise un isomo phisme en e Xe Z.
R´e ´e ences
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LATP/CMI
Uni e si ´e de P o ence
39, ue F ´ed´e ic Jolio -Cu ie
13453 Ma seille cedex 13
F ance
E-mail add ess:[email p o ec ed]
Rebu el 15 d’oc ub e de 2004.
