Trace de Cauchy pour certaines fonctions localement intégrables sur un ouvert borné de C

Publ. Ma . 48 (2004), 69–102
TRACE DE CAUCHY POUR CERTAINES FONCTIONS
LOCALEMENT INT´
EGRABLES SUR UN OUVERT
BORN´
E DE C
Iban Ha louche
Abs ac
Le Ω be a bounded open subse o C, and le be a dis ibu ion
on Ω such ha ∂ is a Radon measu e o ini e o al mass. By
means o he Cauchy ans o m, we in oduce he “Cauchy ace”
o , which akes alues in he se o analy ic unc ionals on he
bounda y ∂Ω o Ω. The p ope ies o his applica ion a e s udied
in de ail. Fo ins ance, he cha ac e iza ion o i s ke nel is dis-
cussed acco ding o he p ope ies o he bounda y ∂Ω. Roughly
speaking, he Cauchy ace allows us o in e p e he Cauchy-
Pompeiu o mula in he same way as he Sobole ace allows o
in e p e he S okes o mula.
1. In oduc ion
Soi Ω un ou e bo n´e e ´egulie du plan complexe e soi Γ = ∂Ω la
on i`e e de Ω. Posons Ω = Ω ∪Γ e soi (z) une onc ion de classe C1
su Ω, pa ailleu s a bi ai e. Soi F(z) la onc ion qui es ´egale `a (z)
si z∈Ω e `a 0 si z /∈Ω. On a alo s (les d´e i ´ees ´e an p ises au sens des
dis ibu ions)
(1) ∂F = (∂ )χΩ+i
2 (z)dzΓ.
Puisque 1
πz es une solu ion ondamen ale de ∂, il ien
(z) = 1
πZZΩ
∂ (ξ)
z−ξdm(ξ) + 1
2iπ ZΓ
(ξ)
ξ−zdξ(2)
2000 Ma hema ics Subjec Classi ica ion. 30E25, 31, 46, 30A98.
Mo s-cl´es. T ans o m´ee de Cauchy, onc ionnelle analy ique, ace de Cauchy,
in ´eg ale de Poisson, mesu e ha monique, app oxima ion a ionnelle, cou be ec i-
iable, capaci ´e analy ique.
70 I. Ha louche
si z∈Ω, andis que
0 = 1
πZZΩ
∂ (ξ)
z−ξdm(ξ) + 1
2iπ ZΓ
(ξ)
ξ−zdξ(3)
si z /∈Ω.
Les iden i ´es (2) e (3) son les “c´el`eb es iden i ´es de Cauchy”. Le
poin de d´epa de no e a ail consis e `a in e p ´e e (2) e (3) d’une
a¸con un peu nou elle.
Supposons que (z) soi une dis ibu ion appa enan `a D0(Ω) elle
que ∂ =µsoi une mesu e de Radon de masse o ale inie. Nous nous
p oposons, dans ces condi ions, de donne un sens `a la ace de su Γ
en d´e inissan RΓ (z)R(z)dz pou ou e ac ion a ionnelle R(z) don
les pˆoles n’appa iennen pas `a Γ.
On consid`e e
g(z) = (z)−1
πZZΩ
dµ(ξ)
z−ξ,
qui appa ien `a D0(Ω), e l’on a ∂g = 0, pa cons uc ion. La dis ibu-
ion g(z) es donc une onc ion holomo phe dans Ω. En pa iculie g(z)
es d´e inie pou z∈Ω. Il en es ´e idemmen de mˆeme pou
g(z) = −1
πZZΩ
dµ(ξ)
z−ξ(z /∈Ω).
Finalemen les o mules (2) e (3) pe me en de donne un sens `a
ZΓ
(z)
ξ−zdξ (z /∈Γ).
Plus g´en´e alemen , soi Ω un ou e bo n´e quelconque de C, soi
O(∂Ω) l’alg`eb e des ge mes de onc ions holomo phes su ∂Ω, e soi
F(∂Ω) l’espace de F ´eche des onc ions holomo phes su C ∂Ω s’annu-
lan `a l’in ini. Le h´eo `eme de duali ´e de Sil a [G, p. 47] pe me d’iden-
i ie le dual de l’espace ´e lexi O(∂Ω) `a F(∂Ω) (Th´eo `eme 2.1).
Soi ∈ D0(Ω) elle que ∂ soi une mesu e de Radon de masse o ale
inie. On d´e ini la ace de su ∂Ω comme ´e an l’´el´emen T( ) de
F(∂Ω) = O0(∂Ω) d´e ini pa la o mule









T |Ω= −∂ ∗1
πz |Ω
T |C Ω=−∂ ∗1
πz |C Ω
.
T ace de Cauchy 71
Posons Rz(ξ) = 1
ξ−zpou ξ6=z. Dans ce cas, la dis ibu ion appa ien
`a L1
loc(Ω) e on a
(z) = 1
πZZΩ
d(∂ )(ξ)
z−ξ+hRz,T( )i(2’)
pou p esque ou z∈Ω
0 = 1
πZZΩ
d(∂ )(ξ)
z−ξ+hRz,T( )i(3’)
si z /∈Ω.
Les o mules (2’) e (3’) son des ex ensions `es g´en´e ales des o -
mules (2) e (3) (il n’y a aucune hypo h`ese de ´egula i ´e su ∂Ω), o`u
1
2iπ RΓ
(ξ)
ξ−zdξ es emplac´e pa hRz,T( )i.
En pa iculie , 2iπhR, T( )i“donne un sens” `a R∂ΩR(ξ) (ξ)dξ si R
es une ac ion a ionnelle `a pˆoles ho s de Ω.
On appelle a T( ) la ace de Cauchy de su ∂Ω. Ce e no ion de
ace appa aˆı d´ej`a dans [EV1], [EV2] dans le cas o`u Ω es le disque
uni ´e D. L’obje de ce a icle es d’´e udie de mani`e e sys ´ema ique les
p op i´e ´es de ce e ace.
En un ce ain sens, T( ) d´epend con inˆumen de Ω. Plus p ´ecis´emen
si (Kn)n≥1es une sui e exhaus i e de compac s de Ω alo s
hg, T( )i= lim
n→∞ g, T∂
◦
Kn |
◦
Kn
uni o m´emen su ou bo n´e de O(∂Ω) (P oposi ion 3.3).
D’au e pa si on pose
∗=T( )|Ω+∂ ∗1
πz |Ω
,
qui es ´egale p esque pa ou `a su Ω, il ´esul e du Lemme 3.4 que
si ∂Knes de classe C1, e si
Z∂KnZZΩ
|d∂ |(ξ)
|z−ξ||dz|<∞
alo s g, T∂
◦
Kn |
◦
Kn=1
2iπ Z∂Kn
∗(ξ)g(ξ)dξ (g∈ O(∂Kn)).
Dans ce ains cas on peu d´ec i e de mani`e e plus p ´ecise l’ac ion
de T su g∈ O(∂Ω). Soi Ω un domaine simplemen connexe de C,
72 I. Ha louche
e soi ϕ:D→Ω une ep ´esen a ion con o me de Ω su le disque uni ´e
ou e . Posons Ω =ϕ( D). Alo s
hg, T i= lim ess
→1−
1
2iπ Z∂Ω
g(ξ) (ξ)dξ.
En ai le Th´eo `eme 3.5 donne une o mule analogue dans le cas o`u Ω es
inimen connexe, bas´ee su l’´equi alence con o me de Ω `a un domaine
ci culai e.
Si de plus ∈ C(Ω) e si ∂Ω es une ´eunion inie disjoin e de cou bes
de Jo dan ec i iables, alo s hg, T( )i=1
2iπ R∂Ω (ξ)g(ξ)dξ (Th´eo `e-
me 3.6) e on ob ien no ammen une e sion `es g´en´e ale des o -
mules (2) e (3):
1
πZZΩ
d(∂ )(ξ)
z−ξ+1
2iπ Z∂Ω
(ξ)
ξ−zdξ =( (z) p.p. su Ω
0 su C Ω.
Soi M(Ω) l’ensemble des mesu es de Radon de masse o ale inie
su Ω e soi Mloc(Ω, ∂) = { ∈ L1
loc(Ω) : ∂ ∈ M(Ω)}le domaine
de d´e ini ion de la ace de Cauchy. On a main enan d´ec i e l’image
de Mloc(Ω, ∂) pa la ace de Cauchy. Ceci e ien `a ca ac ´e ise
C−(M(Ω)) = (µ∗1
πz |C Ω)µ∈M(Ω)
.
Dans le cas du disque uni ´e D, il es connu que C−(M(D)) = P−(L1(T)),
o`u
P−(h)(z) = 1
2iπ ZT
h(ξ)
ξ−zdξ
pou h∈ L1(T), |z|>1 [N], [S].
La cle de la desc ip ion de C−(M(Ω)) pou un ou e bo n´e quel-
conque de Ces donn´ee pa une p op i´e ´e connue, mais di icile `a ou e
dans la li ´e a u e, des mesu es ha moniques.
Si Ues un domaine bo n´e de Ce si h∈ C(∂U), la onc ion de
Pe on Hde h ´e i ie pou z∈Ula o mule
H(z) = Z∂U
h(ξ)dωz(ξ),
o`u ωzes la mesu e ha monique en z ela i emen `a U. Soi ω=ωz0,
a ec z0∈U. On d´edui de [Ra] que l’applica ion h→R∂U h(ξ)dωz(ξ)
es une isom´e ie de L∞(∂U, ω) dans l’espace des onc ions ha moniques
bo n´ees su U.
T ace de Cauchy 73
Soi main enan Ω un ou e bo n´e quelconque de C, e soi
(Ωn)0≤n<p≤∞ la amille inie ou d´enomb able des composan es con-
nexes de Ω. Pou 0 ≤n < p, choisissons a bi ai emen zn∈Ωn, e
soi ωznla mesu e ha monique de Ωnen zn, ´e endue `a ∂Ω pa la o -
mule ωzn(∂Ω ∂Ωn) = 0. On associe `a Ω la mesu e bo ´elienne
µ=X
0≤n<p
ωzn
2n,
e pou ∈ L1(∂Ω, µ) on pose
P−( )(z) = 1
2iπ Z∂Ω
(ξ)
ξ−zdµ(ξ) (z /∈Ω).
Alo s C−(M(Ω)) = P−(L1(∂Ω, µ)) e l’image de l’applica ion ace es
´egale `a H(Ω) ⊕ P−(L1(∂Ω, µ)).
Dans le cas o`u Ω es un domaine bo n´e don la on i`e e es une
´eunion inie disjoin e de cou bes de Jo dan ec i iables, le ´esul a p ´e-
c´eden es alable pou µ=|dz|, ca les mesu es ha moniques ωze
la mesu e longueu d’a c |dz|son alo s mu uellemen absolumen con-
inues. No ons que si de plus les cou bes de Jo dan son ´eguli`e es au
sens d’Ahl o s, alo s P−( ) adme des limi es non angen ielles p esque
pa ou su ∂Ω pou ∈ L1(∂Ω,|dz|), e P−( )(z) es la “A-in ´eg ale”
de Cauchy de sa limi e adiale pou z /∈Ω (Rema que 4.6(2)). Ceci
pe me , dans ce cas, d’in e p ´e e C−(ν), ν∈ M(Ω), comme la onc-
ion g∈ L1,∞
0(∂Ω) d´e inie p esque pa ou su ∂Ω pa la o mule g(ξ) =
lim n. .z→ξC−(ν)(z).
On no e Mc(Ω, ∂) l’ensemble des onc ions de Mloc(Ω, ∂) `a suppo
compac . On a alo s
Mc(Ω, ∂)⊂Ke T ⊂ L1(Ω).
Les s´e ies de Wol -Denjoy du disque donnen des exemples non i i-
aux de onc ions de Mloc(D, ∂) don la ace de Cauchy es nulle. Soi
c( esp. , esp. ∞) la opologie de la con e gence simple su Cc(Ω)
( esp. C(Ω), esp. Cb(Ω)). No ons k · k1la no me L1,k · k la no me
su M(Ω), e soi wla opologie duale aible de F(∂Ω). L’applica ion T
´e an ( c, )-w-con inue (P oposi ion 5.1), on a
Mc(Ω, ∂)(k·k1,k·k)⊂ Mc(Ω, ∂)( c, ∞)⊂ Mc(Ω, ∂)( c, )⊂Ke T.

74 I. Ha louche
Le bu pou sui i dans l’´e ude du noyau de T(Sec ion 5) es de che che
sous quelles condi ions su Ω les inclusions ci-dessus son des ´egali ´es.
No ons A(Ω) l’alg`eb e des onc ions analy iques su Ω con inues su Ω,
R(Ω) l’adh´e ence dans A(Ω) des onc ions a ionnelles `a pˆoles ho s de Ω
e H∞(Ω) l’alg`eb e des onc ions analy iques bo n´ees su Ω. On ´e i ie
que pou que Mc(Ω, ∂) soi ( c, )- ( esp. ( c, ∞)-) dense dans Ke T,
il au que R(Ω) soi w∗-dense dans A(Ω) ( esp. H∞(Ω)). Ceci en-
oi `a des ques ions classiques de la h´eo ie des alg`eb es uni o mes e
de l’app oxima ion a ionnelle, li´ees `a la h´eo ie de la capaci ´e analy-
ique. En u ilisan une cons uc ion de [Ga, p. 220], on peu en pa i-
culie cons ui e un ou e connexe Ω =
◦
Ω el que Mc(Ω, ∂) ne soi pas
( c, )-dense dans Ke T(P oposi ion 5.3).
Dans la di ec ion oppos´ee, on mon e au Th´eo `eme 5.5 que si Ω es
un domaine de Jo dan bo n´e, alo s Mc(Ω, ∂) es (k · k1,k · k)-dense
dans Ke T. Ce ´esul a ´equi au au sui an : ou e mesu e ν∈ M(Ω)
elle que C−(ν)≡0 es limi e en no me d’une sui e (µn) de mesu es
`a suppo compac dans Ω elle que C−(µn)≡0. Pou 0 < <1
d´e inissons Ω comme plus hau . La mesu e ν =ν|Ω es `a suppo
compac dans Ω, e lim →1−kν −νk= 0. Le p obl`eme es que C−(ν )
es en g´en´e al non nulle. La d´emons a ion epose su le ai qu’on peu
app oche con enablemen ν pa une mesu e µ ∈ Mc(Ω) elle que
C−(µ )≡0. Ce p oc´ed´e d’app oxima ion, assez echnique, epose su la
h´eo ie des espaces de Ha dy. Ce h´eo `eme es ´egalemen alable pou les
domaines bo n´es don le bo d es une ´eunion inie disjoin e de cou bes
de Jo dan.
Du Th´eo `eme 5.5 on d´edui en pa iculie que D(Ω) es ( c, )-dense
dans Ke T(Co ollai e 5.7). Comme le sous-espace C∞(Ω) es ( c, )-
dense dans Mloc(Ω, ∂) (Rema que 5.8), la ace de Cauchy n’es au e
que l’ex ension pa con inui ´e `a (Mloc(Ω, ∂),( c, )) de l’applica ion →
|∂Ωsu C∞(Ω). Ce e ace es donc une ace au sens le plus classique
du e me [LM, Chapi e 1] dans le cas o`u Ω es un domaine de Jo dan.
Ce a icle es issu d’un d´e eloppemen du Chapi e II de la h`ese
de l’au eu [H] p ´epa ´ee sous la di ec ion de J. Es e le, e donnan des
´esul a s pa iels dans le cas du disque. Des ema ques pe inen es de
Y. Meye su la p emi`e e e sion de ce a icle on amen´e l’au eu `a
´eo ganise compl`e emen ce a icle e `a s’in ´e esse aux ou e s bo n´es
g´en´e aux. L’au eu ien `a eme cie Y. Meye pou ses ema ques e
J. Es e le pou l’aide qu’il lui a appo ´ee pendan ou e la p ´epa a ion
de ce a ail.
T ace de Cauchy 75
2. Fonc ionnelles analy iques e ans o m´ee de Cauchy
2.1. Fonc ionnelles analy iques.
Soi Uun ou e de C; on no e H(U) l’alg`eb e des onc ions holomo -
phes su U. Si C Ues bo n´e, on no e a H0(U) l’alg`eb e des onc ions
holomo phes su Unulles `a l’in ini.
Soi Ω un ou e bo n´e de C; on no e O(∂Ω) l’alg`eb e des ge mes de
onc ions analy iques su ∂Ω, que l’on iden i ie `a l’alg`eb e opologique
lim
−→U⊃∂ΩH(U) o`u Upa cou l’ensemble des oisinages ou e s de ∂Ω.
On no e a F(∂Ω) l’espace H0(C ∂Ω) muni de la opologie de la
con e gence uni o me su ou compac , qui es un espace de F ´eche .
Dans le cas o`u ∂Ω es analy ique ´eelle, F(Ω) es l’espace usuel des
hype onc ions su ∂Ω (c . [BG2]).
Soien ϕ∈ F(Ω), g∈ O(∂Ω) e Vun oisinage ou e de ∂Ω el que
γ:= ∂V soi une ´eunion inie disjoin e de cou bes de Jo dan ec i iables
(c . pa exemple [T ]) e el que gsoi analy ique su un oisinage de V.
On muni γdu sens de pa cou s posi i au ou de V, e on pose
(2.1) hg, ϕi=−1
2iπ Zγ
g(ξ)ϕ(ξ)dξ.
L’in ´eg ale ci-dessus ne d´epend pas du choix de V, e on a (c . [G,
p. 47]):
Th´eo `eme 2.1 (J. Sil a).Pa le c oche de duali ´e d´e ini ci-dessus,
le dual de l’espace O(∂Ω) ( esp. F(∂Ω)) s’iden i ie `a l’espace F(∂Ω)
( esp. O(∂Ω)).
Pou z∈C ∂Ω, ξ∈C {z}, on pose Rz(ξ) = 1
ξ−z, de so e que
Rz∈ O(∂Ω).
Soien ϕ∈ F(∂Ω), z∈C ∂Ω, e soien ρ > 0 el que B(z, ρ)∩∂Ω = ∅,
R > max(supξ∈∂Ω|ξ|,|z|+ρ), V=B(0, R) B(z, ρ) e γ=∂V . D’ap `es
la o mule de Cauchy, on a alo s
hRz, ϕi=−1
2iπ ZC(0,R)
ϕ(ξ)
ξ−zdξ +1
2iπ ZC(z,ρ)
ϕ(ξ)
ξ−zdξ =ϕ(z).
Donc
(2.2) hRz, ϕi=ϕ(z) (ϕ∈ F(∂Ω), z ∈C ∂Ω).
En pa iculie ,
(2.3) Span{Rz:z∈C ∂Ω}=O(∂Ω),
Span d´esignan ici l’en eloppe lin´eai e e m´ee.
76 I. Ha louche
On donne ci-dessous deux exemples de onc ionnelles analy iques:
(1) Supposons que ∂Ω soi une ´eunion inie disjoin e de cou bes de
Jo dan ec i iables. Soi ∈ L1(∂Ω) e soi
ϕ( ): O(∂Ω) −→ C
g−→ 1
2iπ Z∂Ω
g(ξ) (ξ)dξ,
alo s ϕ( )∈ O0(∂Ω), e l’applica ion ϕ:L1(∂Ω) ,→ O0(∂Ω) es con inue.
Comme O(∂Ω) es dense dans C(∂Ω), ϕes injec i e.
(2) Supposons de plus que ∂Ω soi de classe C∞e consid´e ons D(∂Ω)=
C∞(∂Ω). Comme O(∂Ω) es dense dans D(∂Ω), l’espace des dis ibu-
ions D0(∂Ω) s’injec e con inˆumen dans O0(∂Ω). Les onc ionnelles an-
aly iques g´en´e alisen donc les no ions de onc ion in ´eg able e de dis-
ibu ion.
Posons O+(∂Ω) = lim
−→U⊃ΩH(U) o`u Upa cou l’ensemble des oisi-
nages ou e s de Ω, e O−(∂Ω) = lim
−→H0(C K) o`u Kpa cou l’ensemble
des pa ies compac es de Ω. Soi g∈ O(∂Ω); a ec les mˆemes no a ions
que dans (2.1), posons γ+=γ∩Ω, γ−=γ∩{Ω, munis de l’o ien a ion
indui e pa celle de γ, e
(2.4)
g+(z) = −1
2iπ Zγ−
g(ξ)
ξ−zdξ (z∈Ω∪V),
g−(z) = −1
2iπ Zγ+
g(ξ)
ξ−zdξ (z∈{Ω∪V).
Alo s g+∈ O+(∂Ω), g−∈ O−(∂Ω) e g+(z)+g−(z) = g(z), pou z∈V,
donc
(2.5) g=g++g−.
D’ap `es le h´eo `eme de Liou ille, la d´ecomposi ion ci-dessus es unique.
No ons qu’on a en pa iculie
(2.6) Rz=R+
z(z∈C Ω),
Rz=R−
z(z∈Ω).
Soi F+(∂Ω) = {ϕ∈ F(∂Ω) : ϕ|C Ω= 0}e F−(∂Ω) = {ϕ∈ F(∂Ω) :
ϕ|Ω= 0}. On a i ialemen
F(∂Ω) = F+(∂Ω) ⊕ F−(∂Ω).
T ace de Cauchy 77
Pou ϕ∈ F(∂Ω), no ons ϕ+la onc ion holomo phe ´egale `a ϕsu Ω,
nulle su C Ω. De mˆeme, no ons ϕ−la onc ion holomo phe ´egale `a ϕ
su C Ω, nulle su Ω, de so e que ϕ=ϕ++ϕ−. On a alo s
(2.7) hg+, ϕ+i= 0,hg−, ϕ−i= 0 (g∈ O(∂Ω), ϕ ∈ F(∂Ω)).
Le c oche de duali ´e (2.1) de ien
(2.8) hg, ϕi=−1
2iπ Zγ+
g−(ξ)ϕ+(ξ)dξ −1
2iπ Zγ−
g+(ξ)ϕ−(ξ)dξ.
E on a les ela ions d’o hogonali ´e sui an es
F±(∂Ω)⊥=O∓(∂Ω),O±(∂Ω)⊥=F∓(∂Ω).
2.2. T ans o m´ee de Cauchy de mesu es.
Soi Uun ou e de Ce soi C0(U) l’espace des onc ions con in-
ues su U, nulles `a l’in ini. On no e M(U) l’espace des mesu es com-
plexes su U. Muni de la no me kνk=|ν|(U), o`u |ν|es la a ia ion
o ale de ν,M(U) es un espace de Banach. D’ap `es le h´eo `eme de
Riesz, on peu iden i ie M(U) au dual de C0(U). D’ap `es le h´eo `eme
de Radon-Nikodym, l’espace L1(U) s’iden i ie isom´e iquemen au sous-
espace e m´e de M(U) o m´e des mesu es absolumen con inues pa ap-
po `a la mesu e de Lebesgue.
No ons Mc(C) l’espace des mesu es complexes su C`a suppo com-
pac muni de la opologie na u elle limi e induc i e des opologies des
MK(C) (espaces des mesu es `a suppo con enu dans K), o`u Kpa cou
l’ensemble des compac s de C. Soien ν∈ M(C) e ∈ L1(C); d’ap `es le
h´eo `eme de Fubini, l’in ´eg ale (ν∗ )(ξ) = RRC (ξ−η)dν(η) es d´e inie
p esque pa ou su Ce l’applica ion ν→ν∗ ,M(C)→ L1(C) es
con inue. De mˆeme, si ν∈ Mc(C) e ∈ L1
loc(C), l’in ´eg ale (ν∗ )(ξ) =
RRC (ξ−η)dν(η) es d´e inie p esque pa ou su Supp ν, pa ou ailleu s
dans C, e l’applica ion ν→ν∗ ,Mc(C)→ L1
loc(C) es con inue.
Soi β∈ L1
loc(C) la onc ion ξ→1
πξ . On appelle ans o m´ee de
Cauchy de ν∈ Mc(C) la onc ion d´e inie p esque pa ou pa la o mule
(2.9) C(ν)(z) = (ν∗β)(z) = 1
πZZC
dν(ξ)
z−ξ.
C(ν) es d´e inie p esque pa ou su Supp ν,C(ν)∈ H0(C Supp ν) e
l’applica ion C:Mc(C)→ L1
loc(C) es con inue.
Soi main enan Ω un ou e bo n´e de Ce soi ν∈ M(Ω). On no e ˜ν
la p olong´ee de ν`a Cpa 0 (i.e. ˜ν(B) = ν(B∩Ω) pou Bbo ´elien de C).
84 I. Ha louche
o`u L(Γ) d´esigne la longueu de la cou be ec i iable Γ, (c . [T , p. 59] pou
l’in´egali ´e ci-dessus). La onc ion ψ: →ϕ(aj+ jei ) es `a a ia ion
bo n´ee su [0,2π]. Elle es donc d´e i able p esque pa ou , e il exis e
une mesu e singuli`e e ν elle que
ψ( )−ψ(0) = Z
0
ψ0(s)ds +ν([0, ])
pou 0 ≤ ≤2π(c . [R, pp. 173–177]). De plus L(ϕ(Cj)) es la a ia ion
o ale de ψsu [0,2π]. Donc
L(ϕ(Cj)) = Z2π
0
|ψ0(s)|ds +|ν|([0,2π]).
De mˆeme que dans [T, p. 319], on ´e i ie que
ψ0( ) = i jei ϕ0(aj+ jei )
p esque pa ou , o`u ϕ0(aj+ jei ) es ob enue pa limi e non angen ielle
de ϕ0. Donc ν= 0,
(3.2) L(ϕ(Cj)) = ZCj
|ϕ0(ξ)||dξ|
e ψes absolumen con inue. On a donc (c . le h´eo `eme de changemen
de a iable [Na, p. 236])
(3.3) Z∂Ω
h(ξ)dξ =Z∂D
h(ϕ(η))ϕ0(η)dη (h∈ L1(∂Ω,|dξ|)).
Du Th´eo `eme 3.5 on d´edui alo s le ´esul a sui an :
Co ollai e 3.6. Soi Ωun domaine bo n´e de C el que ∂Ωsoi une
´eunion inie disjoin e de cou bes de Jo dan ec i iables.
Si ∈ Mloc(Ω, ∂)∩ C(Ω), alo s T = |∂Ω.
D´emons a ion: Soi g∈ O(∂Ω). A ec les no a ions ci-dessus, on a
Z2π
0
|ϕ0(a1+ρei )−ϕ0(a1+ 1ei )|d −→
ρ→ −
1
0,
Z2π
0
|ϕ0(aj+ρei )−ϕ0(aj+ jei )|d −→
ρ→ +
j
0 (j≥2).
Comme ◦ϕ·g◦ϕes uni o m´emen con inue su un oisinage de ∂Ω
dans Ω e comme
Z∂Ω
(ξ)g(ξ)dξ =Z∂D
(ϕ(η))g(ϕ(η))ϕ0(η)dη,

T ace de Cauchy 85
un calcul simple mon e que
Z∂Ω
(ξ)g(ξ)dξ = lim
→1−Z∂Ω
(ξ)g(ξ)dξ.
Le co ollai e ´esul e alo s di ec emen du Th´eo `eme 3.5.
On en d´edui imm´edia emen une o mule de Cauchy-Pompeiu g´en´e-
alis´ee:
Co ollai e 3.7. Soi Ωun domaine bo n´e de C el que ∂Ωsoi une
´eunion inie disjoin e de cou bes de Jo dan ec i iables. Si ∈ C(Ω), e
si ∂ ∈ M(Ω), alo s
1
πZZΩ
d(∂ )(ξ)
z−ξ+1
2iπ Z∂Ω
(ξ)
ξ−zdξ =(0, z ∈C Ω
(z)pou p esque ou z∈Ω.
4. Image de la ace de Cauchy
Pou ca ac ´e ise l’image de la ace de Cauchy, on ´enonce, e on
d´emon e, deux lemmes conce nan l’in ´eg ale de Poisson (c . [Ra] pou
plus de d´e ails).
Soien Ω un domaine bo n´e de C, e ∈ C(∂Ω). On no e V( )
l’ensemble des onc ions sous-ha moniques su Ω elles que
lim sup
z→ξ, z∈Ω
u(z)≤ (ξ) (ξ∈∂Ω),
e U( ) la onc ion de Pe on de , d´e inie pa
U( )(z) = sup u(z) (u∈ V( )).
Alo s, pou z∈Ω, l’applica ion → U( )(z) es lin´eai e, con inue e
posi i e su C(∂Ω), e , d’ap `es le h´eo `eme de Riesz, il exis e une unique
mesu e posi i e su ∂Ω ep ´esen an ce e o me lin´eai e. On l’appelle
mesu e ha monique de Ω en z, e on la no e ωz. La onc ion de Pe on
de es ha monique e bo n´ee su Ω e ´e i ie
lim
z→ξ, z∈ΩU( )(z) = (ξ) su ∂Ω E,
o`u Ees un sous-ensemble de ∂Ω de capaci ´e loga i hmique nulle.
Comme les mesu es {ωz:z∈Ω}son mu uellemen absolumen
con inues, les espaces {L∞(∂Ω, ωz) : z∈Ω}son iden iques. Fixons
z0∈Ω, e soien ω=ωz0e ∈ L∞(∂Ω, ω). L’in ´eg ale de Poisson de
es d´e inie pa la o mule
P( )(z) = Z∂Ω
(ξ)dωz(ξ) (z∈Ω).
86 I. Ha louche
On no e h∞(Ω) l’espace de Banach des onc ions ha moniques bo n´ees
su Ω. On a P( )∈h∞(Ω); e kP( )k∞≤ k k∞, ca ωzes une mesu e
de p obabili ´e.
Lemme 4.1. P:L∞(∂Ω, ω)→h∞(Ω) es une isom´e ie.
D´emons a ion: Soi ∈ L∞(∂Ω, ω); si es `a aleu s ´eelles, alo s [Ra,
p. 105, Exemple 2]
(ξ)≤lim sup
z→ξ,z∈Ω
P( )(z)ω-p.p.
En appliquan ce ´esul a `a − , on ob ien k k∞=kP( )k∞.
Soi 6= 0 une onc ion `a aleu s complexes. Soi 0 <a<k k∞e
soi Ua={z∈∂Ω : | (z)|> a}. Pou n∈N∗e pou 0 ≤k < n posons
Ua,k,n =z∈Ua:2kπ
n≤A g (z)<2(k+ 1)π
n.
Comme ω(Ua)>0, il exis e k el que ω(Ua,k,n)>0. Posons g= e−2ik
n;
alo s k k∞=kgk∞e kP( )k∞=kP(g)k∞. Si z∈Ua,k,n, on a
A g g(z)∈[0,2π
n[ donc Re g(z)>|g(z)|cos 2π
n> a cos 2π
n. Comme
ω(Ua,k,n)>0, kRe gk∞> a cos 2π
n. Re g´e an `a aleu s ´eelles, il
ien kRe P(g)k∞=kP(Re g)k∞=kRe gk∞> a cos 2π
n. A o io i,
kP( )k∞=kP(g)k∞> a cos 2π
n. En aisan end e a e s k k∞e n
e s l’in ini, il ien kP( )k∞≥ k k∞.
Plus g´en´e alemen , si Ω n’es pas connexe, soi (Ωn)0≤n<p≤∞ la amille
( inie ou d´enomb able) des composan es connexes de Ω. Pou z∈Ω e
pou n el que z∈Ωn, no ons ωzla mesu e ha monique de Ωnen z,
´e endue `a ∂Ω pa ωz(∂Ω ∂ωn) = 0. Pou 0 ≤n < p, soi zn∈Ωn. As-
socions main enan `a Ω la mesu e bo ´elienne inie d´e inie pa la o mule
(4.1) µ=X
0≤n<p
ωzn
2n.
Les mesu es {ωz:z∈Ω}´e an absolumen con inues pa appo `a µ, on
aωz∈ L1(∂Ω, µ). Soi ∈ L∞(∂Ω, µ); on d´e ini l’in ´eg ale de Poisson
de pa la o mule
P( )(z) = Z∂Ω
(ξ)dωz(ξ) (z∈Ω).
P( ) ´e an ha monique su chaque composan e connexe Ωn, elle l’es
´egalemen su Ω, e
kP( )k∞= sup
0≤n<p
kP( )|Ωnk∞= sup
0≤n<p
k kL∞(∂Ωn,ωzn)≤ k k|L∞(∂Ω,µ).
T ace de Cauchy 87
Lemme 4.2. P:L∞(∂Ω, µ)→h∞(Ω) es une isom´e ie.
D´emons a ion: Soi une onc ion bo ´elienne bo n´ee su ∂Ω. Comme
Ωnes une composan e connexe de Ω, on a ∂Ωn⊂∂Ω. Posons Vn=
{ξ∈∂Ωn:| (ξ)|>kP k∞}. Comme k kL∞(∂Ωn,ωzn)=kP( )|Ωnk∞,
ωzn(Vn) = 0. Pou ξ∈ ∪0≤n<p(∂Ωn Vn), on a | (ξ)| ≤ kP( )k∞. Il
su i donc de mon e que µ(∂Ω ∪0≤n<p(∂Ωn Vn)) = 0. O
∂Ω ∪0≤n<p(∂Ωn Vn) = (∂Ω ∪0≤n<p∂Ωn)∪(∩0≤n<pVn),
µ(∂Ω ∪0≤n<p∂Ωn) = 0 e µ(∩0≤n<pVn) = 0, donc k kL∞(∂Ω,µ)≤
kP k∞.
Rema que 4.3.Si h∈h∞(Ω) ∩ C(Ω), alo s P(h|∂Ω) = h. En e e ,
pou ou n,P(h|∂Ω)|Ωne h|Ωnson ha moniques su Ωn. Comme
h|Ωn∈ C(Ωn), on a limz→ξ,z∈Ωnh(z) = h(ξ) su ∂Ωn. D’au e pa , soi
z∈Ωn. Comme ωz(∂Ω ∂Ωn) = 0, on a
P(h|∂Ω)(z) = Z∂Ωn
h(ξ)dωz(ξ) (z∈Ωn).
Comme h∈ C(∂Ωn), on a
lim
z→ξ,z∈Ωn
P(h|∂Ω)(z) = h(ξ) (ξ∈∂Ωn E),
o`u Ees un sous-ensemble de ∂Ωnde capaci ´e loga i hmique nulle. Pa
unici ´e de la solu ion du p obl`eme de Di ichle g´en´e alis´e (c . [Ra, p. 95]),
il ien P(h|∂Ω)|Ωn=h|Ωn. Donc P(h|∂Ω) = h.
Th´eo `eme 4.4. Soi Ωun ou e bo n´e de C, e soi µ=P0≤n<p
ωzn
2n.
Alo s
C−(M(Ω)) = C−(L1(Ω)) = P−(L1(∂Ω, µ)),
o`u P−( )(z) = 1
2iπ Z∂Ω
(ξ)
ξ−zdµ(ξ) (z /∈Ω) pou ∈ L1(∂Ω, µ).
D´emons a ion: L’applica ion z→ωz, Ω → L1(∂Ω, µ) es con inue. En
e e , soien z, z0∈Ωn(0 ≤n < p); on a
kωz−ωz0k= sup
h∈C(∂Ω),khk≤1Z∂Ω
h(ξ)dωz(ξ)−Z∂Ω
h(ξ)dωz0(ξ)
= sup
h∈C(∂Ω),khk≤1
|P(h)(z)−P(h)(z0)|.
88 I. Ha louche
Les op´e a eu s ∂
∂x e ∂
∂y ´e an con inus su C∞(Ω) e , d’ap `es le h´eo `eme
du g aphe e m´e, P:C(∂Ω) → C∞(Ω) ´e an con inue, pou ou com-
pac Kde Ωn, il exis e une cons an e cK elle que
sup
z∈K
∂P (h)
∂x (z)+
∂P (h)
∂y (z)≤cKkhk∞.
Pa le h´eo `eme des acc oissemen s inis, il ien donc kωz−ωz0k ≤
cK|z−z0|.
On pose
(4.2) S(ν) = ZZΩ
ωzdν(z) (ν∈ M(Ω)).
Comme kωzkL1(∂Ω,µ)= 1, l’op´e a eu S:M(Ω) → L1(∂Ω, µ) es une
con ac ion. Posons h , gi=R∂Ω (ξ)g(ξ)dµ(ξ) pou ∈ L∞(∂Ω, µ) e
g∈ L1(∂Ω, µ). On a
ZZΩ
P( )(z)dν(z)
=ZZΩ
h , ωzidν(z)
= , ZZΩ
ωzdν(z)
=Z∂Ω
S(ν)(z) (z)dµ(z) ( ∈ L∞(∂Ω, µ), ν ∈ M(Ω)).
(4.3)
Pou z∈C Ω, Rz∈h∞(Ω) ∩ C(Ω) e P(Rz|∂Ω) = Rz, donc
C−(ν)(z) = −1
πZZΩ
P(Rz|∂Ω)(ξ)dν(ξ)
=−1
πZ∂Ω
S(ν)(ξ)Rz(ξ)dµ(ξ) = P−(−2iS(ν))(z).
Il su i donc de mon e que
S(L1(Ω)) = S(M(Ω)) = L1(∂Ω, µ).
Les inclusions S(L1(Ω)) ⊂S(M(Ω)) ⊂ L1(∂Ω, µ) son ´e iden es.
Pou z∈Ω, e pou ρ > 0 el que B(z, ρ)⊂Ω, posons ϕ=1
πρ2χB(z,ρ);
alo s ϕ∈ L1(Ω) e S(ϕ) = ωz, donc
Lin{ωz:z∈Ω} ⊂ S(L1(Ω)).
T ace de Cauchy 89
De plus, si ∈ L∞(∂Ω, µ) e si R∂Ω dωz= 0 pou z∈Ω, alo s P( ) = 0,
donc = 0 e , pa le h´eo `eme de Hahn-Banach,
Span{ωz:z∈Ω}=L1(∂Ω, µ).
Il su i donc de mon e que S(L1(Ω)) es e m´e dans L1(∂Ω, µ). En
ai , on a oi que l’applica ion
i:L1(Ω)/Ke S∩ L1(Ω) −→ L1(∂Ω, µ)
[G]7−→ S(G)
es une isom´e ie. D’ap `es (4.3),
Ke S∩ L1(Ω) =⊥P(L∞(∂Ω, µ))
:= F∈L1(Ω) : ZZΩ
F(z)P( )(z)dm(z) = 0 ( ∈ L∞(∂Ω, µ))
e P:L∞(∂Ω, µ)→ L∞(Ω) es w∗-con inue. Soi ( n)n≥1une sui e
de L∞(∂Ω, µ) elle que P( n)w∗
−→
n→∞ F∈ L∞(Ω). On a k nk∞=
kP( n)k∞. Comme la sui e ( n)n≥1es bo n´ee, on peu en ex ai e une
sous-sui e ( np)p≥1w∗-con e gen e e s ∈ L∞(∂Ω, µ). Pa cons´equen
P( np)w∗
−→
p→∞ P( ) e F=P( ). Donc le con exe P(L∞(∂Ω, µ)) es
w∗-s´equen iellemen e m´e dans L∞(Ω) e , puisque L1(Ω) es s´epa able,
il ´esul e du h´eo `eme de K ein-ˇ
Smulian [B, p. 53] que P(L∞(∂Ω, µ)) es
w∗- e m´e dans L∞(Ω). Donc le dual de L1(Ω)/Ke S∩ L1(Ω)
es isom´e iquemen isomo phe `a P(L∞(∂Ω, µ)), e on oi que pou
G∈ L1(Ω)
kS(G)k= sup
∈L∞(∂Ω,µ),k k≤1Z∂Ω
S(G)dµ
= sup
F∈P(L∞(∂Ω,µ)),kFk∞≤1ZZΩ
F G dm=k[G]k,
donc ies bien une isom´e ie.
No ons L1
loc(Ω, ∂) = { ∈ L1
loc(Ω) : ∂ ∈ L1(Ω)}.
Co ollai e 4.5. Soi Ωun ou e bo n´e de Ce soi µ=P0≤n<p
ωzn
2n;
on a
T(Mloc(Ω,∂)) = T(L1
loc(Ω, ∂)) = H(Ω) ⊕ P−(L1(∂Ω, µ)).

90 I. Ha louche
D´emons a ion: Il es clai que T(L1
loc(Ω, ∂))⊂T (Mloc(Ω, ∂)) ⊂ H(Ω)⊕
P−(L1(∂Ω, µ)). R´ecip oquemen , soi ∈ H(Ω); alo s ∈ L1
loc(Ω, ∂) e
T( ) = ( , 0). De mˆeme, soi g∈ P−(L1(∂Ω, µ)); d’ap `es le h´eo `eme
p ´ec`eden , il exis e G∈ L1(Ω) el que −C−(G) = g. Posons h=C+(G);
alo s h∈ L1
loc(Ω, ∂) e T(h) = (h− C+(∂h),−C−(∂h)) = (0, g). Donc
H(Ω) ⊕ P−(L1(∂Ω, µ)) ⊂ T (L1
loc(Ω, ∂)).
Rema ques 4.6.
(1) Supposons que la on i`e e de Ω soi une ´eunion inie disjoin e
de cou bes de Jo dan ec i iables, e soi ϕ:D→Ω une ep ´esen a ion
con o me de Ω su un domaine ci culai e D. Comme ∂D es ´eelle an-
aly ique, il ´esul e de [BG1, P oposi ion 4.7.21, p. 407], que la mesu e
ha monique ωze la mesu e longueu d’a c son mu uellemen absolu-
men con inues su ∂D pou z∈D. Il ´esul e d’au e pa de [Ga,
Lemme 4.3, p. 149], que pou h∈ L1(dωz) (z∈Ω), on a
Z∂Ω
h(ξ)dωz(ξ) = Z∂D
h(ϕ(η)) dωϕ−1(z)(η).
Comme ϕ|∂D es absolumen con inue, on a (c . (3.3))
Z∂Ω
h(ξ)|dξ|=Z∂D
h(ϕ(η))|ϕ0(η)||dη|(h∈ L1(|dξ|)).
Comme ϕ0(η)6= 0 p esque pa ou su ∂D (c . [T, p. 218]), e comme
d’ap `es (3.2) ϕ0
|∂D ∈ L1(∂D, |dη|), on en d´edui que ωze la mesu e
longueu d’a c son mu uellemen absolumen con inues su ∂Ω. On a
donc dans ce cas
C−(M(Ω)) = P−(L1(∂Ω,|dξ|))
(o`u l’on emplace le µde la d´e ini ion de P−pa |dξ|), qui es un ´esul a
bien connu pou le cas du disque uni ´e D[N], [S].
(2) Soi Uun domaine simplemen connexe don la on i`e e es une
cou be de Jo dan ec i iable ´eguli`e e au sens d’Ahl o s, c’es -`a-di e elle
qu’il exis e c≥0 ´e i ian L(∂U ∩B(z0, )) ≤c pou ou > 0 e ou
z0∈C(c . [D]). Pou ∈ L1(∂U, |dξ|), posons
P+( )(z) = 1
2iπ Z∂U
(ξ)
ξ−zdξ (z∈U),
P−( )(z) = 1
2iπ Z∂U
(ξ)
ξ−zdξ (z /∈U).
Il ´esul e d’un h´eo `eme de P i alo [P, pp. 192–194], que P+( ) e
P−( ) adme en des limi es non angen ielles p esque pa ou su ∂U
T ace de Cauchy 91
e que (ξ) = P+( )(ξ)−P−( )(ξ) p esque pa ou su ∂U. No-
ons L1,∞
0(∂U) l’ensemble des onc ions gmesu ables su ∂U elles que
L(Ea) = o1
a,a→ ∞, o`u Ea={ξ∈∂U :|g(ξ)|> a}. Une onc-
ion g∈ L1,∞
0(∂U) es di e (A)-in ´eg able si R∂U Eag(ξ)dξ adme une
limi e quand a end e s l’in ini. Ce e limi e es alo s no ´ee R(A)
∂U g(ξ)dξ.
Il ´esul e de h´eo `emes de Salimo [Sa, Th´eo `emes 6 e 6’], qui ´e enden
des a aux an ´e ieu s d’Ul’jano [U] que si ∈ L1(∂U, |dξ|), les onc-
ions ξ→P+( )(ξ) e ξ→P−( )(ξ) son (A)-in ´eg ables su ∂U, e
que l’on a
1
2iπ Z(A)
∂U
P+( )(ξ)
ξ−zdξ =(P+( )(z) (z∈U)
0 (z /∈U),
1
2iπ Z(A)
∂U
P−( )(ξ)
ξ−zdξ =(0 (z∈U)
−P−( )(z) (z /∈U).
Soi main enan Ω un domaine don la on i`e e es une ´eunion inie
disjoin e de cou bes de Jo dan ec i iables Ahl o s- ´eguli`e es. On pose
pou ∈ L1(∂Ω,|dz|), z /∈Ω,
P−( )(z) = 1
2iπ ZC1
(ξ)
ξ−zdξ −
n
X
i=2
1
2iπ ZCi
(ξ)
ξ−zdξ,
C1d´esignan la on i`e e de la composan e connexe non bo n´ee de
C Ω, e C2,...,Cnd´esignan les au es composan es connexes de ∂Ω.
Il ´esul e alo s du h´eo `eme de P i alo que P−( ) adme des limi es
non angen ielles p esque pa ou su ∂Ω, e il ´esul e du h´eo `eme de
Salimo que
P−( )(z) = −1
2iπ Z(A)
∂Ω
P−( )(ξ)
ξ−zdξ (z∈C Ω).
On oi donc que si ν∈ M(Ω) on peu in ´e p ´e e T(C+(ν)) =
(0,−C−(ν)) ∈ O0(∂Ω) comme la onc ion d´e inie p esque pa ou su
∂Ω pa la o mule
T(C+(ν))(ξ) := −lim n. .z→ξ, z /∈Ω
1
πZZΩ
dν(η)
z−η
(ca C−(ν) = P−( ) a ec ∈ L1(dΩ,|dξ|)), e on a alo s
T(C+(ν))(z) = −1
2iπ Z(A)
∂Ω
T(C+(ν))(ξ)
ξ−zdξ (z /∈∂Ω),
la (A)-in ´eg ale ci-dessus ´e an nulle pou z∈Ω.
92 I. Ha louche
5. Noyau de la ace de Cauchy
Soi Ω un ou e bo n´e de C, e soi Mc(Ω, ∂) l’ensemble des onc-
ions ∈ Mloc(Ω, ∂) `a suppo compac dans Ω; on a
(5.1) Mc(Ω, ∂)⊂Ke T ⊂ L1(Ω).
En e e , d’une pa l’inclusion Ke T ⊂ L1(Ω) es ´e iden e; d’au e pa ,
no ons ˜
la p olong´ee de `a Cnulle su C Ω; si ∈ Mc(Ω, ∂), alo s
∂˜
=
∂ ; donc C(∂ ) = ˜
e T = 0.
Un exemple in ´e essan de onc ions de Mloc(D, ∂) de ace nulle
es donn´e pa les s´e ies de Wol -Denjoy, c’es -`a-di e les s´e ies de la
o me P∞
k=1
Ak
z−λk, a ec P∞
k=1 |Ak|<+∞,λk∈D, qui s’annulen
pou |z|>1. En e e , si on pose µ=P∞
k=1 πAkδλk, on a C(µ)(z) =
P∞
k=1
Ak
z−λkpou z /∈{λk}k≥1. Donc si on pose (z) = P∞
k=1
Ak
z−λkpou
|z|<1, z /∈ {λk}k≥1, on a ∈ Mloc(D,∂), ∂ =µe T( ) = 0. Nous
en oyons `a [S] pou une desc ip ion d´e aill´ee des s´e ies de Wol -Denjoy
g´en´e ales.
On no e c( esp. , esp. ∞) la opologie de la con e gence simple
su Cc(Ω) ( esp. C(Ω), esp. Cb(Ω)) o`u Cb(Ω) d´esigne l’ensemble des onc-
ions con inues bo n´ees su Ω. On no e ´egalemen k·k1la no me L1e k·k
la no me de M(Ω). On che che `a d´e e mine des condi ions n´ecessai es
ou su isan es su Ω elles que Mc(Ω, ∂) soi dense dans Ke Tpou la
opologie ( c, ) ( esp. ( c, ∞), esp. (k · k1,k · k)).
On no e R(Ω) l’adh´e ence uni o me dans C(Ω) des onc ions a io-
nnelles `a pˆoles ho s de Ω, A(Ω) l’alg`eb e des onc ions analy iques su Ω,
con inues su Ω, e H∞(Ω) l’alg`eb e des onc ions analy iques bo n´ees
su Ω. On a R(Ω) ⊂ A(Ω) ⊂ H∞(Ω) ⊂ L∞(Ω) e H∞(Ω) es w∗- e m´e
dans L∞(Ω). Pa la o mule de Cauchy, e en consid´e an les sommes
de Riemann, on ´e i ie que l’on a la p op i´e ´e bien connue
(5.2) Span{Rz:z /∈Ω}=R(Ω).
P oposi ion 5.1. Soi Ωun ou e bo n´e de C; alo s T:Mloc(Ω, ∂)→
F(∂Ω) es ( c, )-w-con inue, wd´esignan la opologie duale aible su
F(∂Ω).
D´emons a ion: Soi g∈ O(∂Ω), e soi g=g++g−la d´ecomposi ion
canonique de g, a ec g+∈ O+(∂Ω) e g−∈ O−(∂Ω). Il exis e un
oisinage Ude ∂Ω el que g+∈ H(Ω ∪U) e g−∈ H0((C Ω) ∪U).
Soi Vun ou e el que ∂Ω⊂V⊂V⊂Ue el que ∂V soi une ´eunion
inie disjoin e de cou bes de Jo dan de classe C1, e soi ∈ Mloc(Ω, ∂);
T ace de Cauchy 93
d’ap `es (2.7), on a
hg, T i=hg−,T +i+hg+,T −i.
Pou z /∈Ω, on a
hRz,T −i=T −(z) = 1
πZZΩ
d(∂ )(ξ)
ξ−z,
donc, puisque Span{Rz:z /∈Ω}=O(Ω) = O+(∂Ω), on a
(5.3) hg+,T −i=1
πZZΩ
g+(ξ)d(∂ )(ξ).
Soi ϕune onc ion de classe C∞`a suppo con enu dans Ω ∩U el que
ϕ≡1 su un oisinage de ∂V ∩Ω. Alo s ϕ g−es de classe C∞su C.
On a
hg−,T +i=−1
2iπ Z∂V ∩Ω
(ϕ g−)(ξ)T +(ξ)dξ.
On a ∂V ∩Ω = ∂{V∩Ω, e l’o ien a ion canonique de ∂{V∩Ω es
l’oppos´ee de celle de ∂V ∩Ω dans la o mule ci-dessus. D’ap `es la o mule
de S okes,
hg−,T +i=1
πZZ{V∩Ω
∂(ϕ g−)(ξ)T +(ξ)dm(ξ).
Posons ψ=∂(ϕ g−)·χ{V∩Ω; alo s ψ∈ C∞
c(C) e Supp ψ⊂Ω. On a
alo s
hg−,T +i=1
πZZΩ
ψ(ξ)T +(ξ)dm(ξ).
Pa le h´eo `eme de Fubini,
−1
πZZΩ
C+(∂ )(ξ)ψ(ξ)dm(ξ) = 1
πZZΩ
C+(ψ)(ξ)d(∂ )(ξ).
Donc
hg, T i=1
πZZΩ
g+(ξ)d(∂ )(ξ)
+1
πZZΩ
ψ(ξ) (ξ)dm(ξ)
+1
πZZΩ
C+(ψ)(ξ)d(∂ )(ξ).
Comme C+(ψ)∈ C∞(Ω), ceci ach`e e la d´emons a ion.
P oposi ion 5.2. Si Mc(Ω, ∂)es ( c, ∞)-dense ( esp. ( c, )-dense)
dans Ke T, alo s R(Ω) es w∗-dense dans H∞(Ω) ( esp. A(Ω)).
100 I. Ha louche
On a n∈ C∞(Ω). Comme C(∂ ∗θsn) = C(∂ )∗θsn−→
n→∞ C(∂ ) dans
L1
loc(C), on a kC(∂ ∗θsn)|Ω− C+(∂ )k1−→
n→∞ 0, e
lim
n→∞( n− ) = lim
n→∞ Rn− +C+(∂ )
+ lim
n→∞ C(θsn∗∂ )|Ω− C+(∂ )= 0
dans L1
loc(Ω), e `a o io i dans (L1
loc(Ω), c). D’au e pa ,
∂( n− ) = (θsn∗∂ )|Ω−∂ .
Soi ϕ∈ Cb(Ω); d’ap `es le h´eo `eme de Fubini,
ZΩ
ϕ(ξ)(θsn∗∂ )(ξ)dm(ξ) = ZΩ
ψsn(η)d(∂ )(η),
a ec
ψsn(η) = ZΩ
θsn(ξ−η)ϕ(ξ)dm(ξ).
Comme limn→∞ ψsn(η) = ϕ(η) pou η∈Ω, d’ap `es le h´eo `eme de
con e gence domin´ee,
lim
n→∞ ZΩ
ψsn(η)d(∂ )(η) = ZΩ
ϕ(ξ)d(∂ )(ξ).
Donc limn→∞ ∂ n=∂ dans (M(Ω), ∞) e limn→∞ n= dans
(Mloc(Ω, ∂),( c, ∞)).
Dans le cas o`u Ω es un domaine de Jo dan, on oi alo s que Tes
l’ex ension pa con inui ´e `a (Mloc(Ω, ∂),( c, )) de l’applica ion →
|∂Ωsu C∞(Ω), e Ke Tes l’adh´e ence s´equen ielle dans (Mloc(Ω, ∂),
( c, )) de D(Ω). On a donc une ace au sens le plus classique du e me
(c . [LM, Chapi e 1], [G ], e [V]).
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P ime a e si´o ebuda el 10 de desemb e de 2002,
da e a e si´o ebuda el 5 de ma ¸c de 2003.