Trace de Cauchy pour certaines fonctions localement intégrables sur un ouvert borné de C

Publ. Mat. 48 (2004), 69–102 TRACE DE CAUCHY POUR CERTAINES FONCTIONS LOCALEMENT INT´ EGRABLES SUR UN OUVERT BORN´ E DE C Iban Harlouchet Abstract Let Ω be a bounded open subset of C, and let fbe a distribution on Ω such that ∂f is a Radon measure of finite total mass. By means of the Cauchy transform, we introduce the “Cauchy trace” of f, which takes values in the set of analytic functionals on the boundary ∂Ω of Ω. The properties of this application are studied in detail. For instance, the characterization of its kernel is discussed according to the properties of the boundary ∂Ω. Roughly speaking, the Cauchy trace allows us to interpret the CauchyPompeiu formula in the same way as the Sobolev trace allows to interpret the Stokes formula. 1. Introduction Soit Ω un ouvert born´e et r´egulier du plan complexe et soit Γ = ∂Ω la fronti`ere de Ω. Posons Ω = Ω ∪Γ et soit f(z) une fonction de classe C1 sur Ω, par ailleurs arbitraire. Soit F(z) la fonction qui est ´egale `a f(z) si z∈Ω et `a 0 si z /∈Ω. On a alors (les d´eriv´ees ´etant prises au sens des distributions) (1) ∂F = (∂f)χΩ+i 2f(z)dzΓ. Puisque 1 πz est une solution fondamentale de ∂, il vient f(z) = 1 πZZΩ ∂f(ξ) z−ξdm(ξ) + 1 2iπ ZΓ f(ξ) ξ−zdξ(2) 2000 Mathematics Subject Classification. 30E25, 31, 46, 30A98. Mots-cl´es. Transform´ee de Cauchy, fonctionnelle analytique, trace de Cauchy, int´egrale de Poisson, mesure harmonique, approximation rationnelle, courbe rectifiable, capacit´e analytique. 70 I. Harlouchet si z∈Ω, tandis que 0 = 1 πZZΩ ∂f(ξ) z−ξdm(ξ) + 1 2iπ ZΓ f(ξ) ξ−zdξ(3) si z /∈Ω. Les identit´es (2) et (3) sont les “c´el`ebres identit´es de Cauchy”. Le point de d´epart de notre travail consiste `a interpr´eter (2) et (3) d’une fa¸con un peu nouvelle. Supposons que f(z) soit une distribution appartenant `a D0(Ω) telle que ∂f =µsoit une mesure de Radon de masse totale finie. Nous nous proposons, dans ces conditions, de donner un sens `a la trace de fsur Γ en d´efinissant RΓf(z)R(z)dz pour toute fraction rationnelle R(z) dont les pˆoles n’appartiennent pas `a Γ. On consid`ere g(z) = f(z)−1 πZZΩ dµ(ξ) z−ξ, qui appartient `a D0(Ω), et l’on a ∂g = 0, par construction. La distribution g(z) est donc une fonction holomorphe dans Ω. En particulier g(z) est d´efinie pour z∈Ω. Il en est ´evidemment de mˆeme pour g(z) = −1 πZZΩ dµ(ξ) z−ξ(z /∈Ω). Finalement les formules (2) et (3) permettent de donner un sens `a ZΓ f(z) ξ−zdξ (z /∈Γ). Plus g´en´eralement, soit Ω un ouvert born´e quelconque de C, soit O(∂Ω) l’alg`ebre des germes de fonctions holomorphes sur ∂Ω, et soit F(∂Ω) l’espace de Fr´echet des fonctions holomorphes sur C\∂Ω s’annulant `a l’infini. Le th´eor`eme de dualit´e de Silva [G, p. 47] permet d’identifier le dual de l’espace r´eflexif O(∂Ω) `a F(∂Ω) (Th´eor`eme 2.1). Soit f∈ D0(Ω) telle que ∂f soit une mesure de Radon de masse totale finie. On d´efinit la trace de fsur ∂Ω comme ´etant l’´el´ement T(f) de F(∂Ω) = O0(∂Ω) d´efini par la formule          Tf|Ω=f−∂f ∗1 πz |Ω Tf|C\Ω=−∂f ∗1 πz |C\Ω . Trace de Cauchy 71 Posons Rz(ξ) = 1 ξ−zpour ξ6=z. Dans ce cas, la distribution fappartient `a L1 loc(Ω) et on a f(z) = 1 πZZΩ d(∂f)(ξ) z−ξ+hRz,T(f)i(2’) pour presque tout z∈Ω 0 = 1 πZZΩ d(∂f)(ξ) z−ξ+hRz,T(f)i(3’) si z /∈Ω. Les formules (2’) et (3’) sont des extensions tr`es g´en´erales des formules (2) et (3) (il n’y a aucune hypoth`ese de r´egularit´e sur ∂Ω), o`u 1 2iπ RΓ f(ξ) ξ−zdξ est remplac´e par hRz,T(f)i. En particulier, 2iπhR, T(f)i“donne un sens” `a R∂ΩR(ξ)f(ξ)dξ si R est une fraction rationnelle `a pˆoles hors de Ω. On appellera T(f) la trace de Cauchy de fsur ∂Ω. Cette notion de trace apparaˆıt d´ej`a dans [EV1], [EV2] dans le cas o`u Ω est le disque unit´e D. L’objet de cet article est d’´etudier de mani`ere syst´ematique les propri´et´es de cette trace. En un certain sens, T(f) d´epend continˆument de Ω. Plus pr´ecis´ement si (Kn)n≥1est une suite exhaustive de compacts de Ω alors hg, T(f)i= lim n→∞ g, T∂ ◦ Knf| ◦ Kn uniform´ement sur tout born´e de O(∂Ω) (Proposition 3.3). D’autre part si on pose f∗=T(f)|Ω+∂f ∗1 πz |Ω , qui est ´egale presque partout `a fsur Ω, il r´esulte du Lemme 3.4 que si ∂Knest de classe C1, et si Z∂KnZZΩ |d∂f|(ξ) |z−ξ||dz|<∞ alors g, T∂ ◦ Knf| ◦ Kn=1 2iπ Z∂Kn f∗(ξ)g(ξ)dξ (g∈ O(∂Kn)). Dans certains cas on peut d´ecrire de mani`ere plus pr´ecise l’action de Tfsur g∈ O(∂Ω). Soit Ω un domaine simplement connexe de C, 72 I. Harlouchet et soit ϕ:D→Ω une repr´esentation conforme de Ω sur le disque unit´e ouvert. Posons Ωr=ϕ(rD). Alors hg, Tfi= lim ess r→1− 1 2iπ Z∂Ωr g(ξ)f(ξ)dξ. En fait le Th´eor`eme 3.5 donne une formule analogue dans le cas o`u Ω est finiment connexe, bas´ee sur l’´equivalence conforme de Ω `a un domaine circulaire. Si de plus f∈ C(Ω) et si ∂Ω est une r´eunion finie disjointe de courbes de Jordan rectifiables, alors hg, T(f)i=1 2iπ R∂Ωf(ξ)g(ξ)dξ (Th´eor`eme 3.6) et on obtient notamment une version tr`es g´en´erale des formules (2) et (3): 1 πZZΩ d(∂f)(ξ) z−ξ+1 2iπ Z∂Ω f(ξ) ξ−zdξ =(f(z) p.p. sur Ω 0 sur C\Ω. Soit M(Ω) l’ensemble des mesures de Radon de masse totale finie sur Ω et soit Mloc(Ω, ∂) = {f∈ L1 loc(Ω) : ∂f ∈ M(Ω)}le domaine de d´efinition de la trace de Cauchy. On va maintenant d´ecrire l’image de Mloc(Ω, ∂) par la trace de Cauchy. Ceci revient `a caract´eriser C−(M(Ω)) = (µ∗1 πz |C\Ω)µ∈M(Ω) . Dans le cas du disque unit´e D, il est connu que C−(M(D)) = P−(L1(T)), o`u P−(h)(z) = 1 2iπ ZT h(ξ) ξ−zdξ pour h∈ L1(T), |z|>1 [N], [S]. La clef de la description de C−(M(Ω)) pour un ouvert born´e quelconque de Cest donn´ee par une propri´et´e connue, mais difficile `a trouver dans la litt´erature, des mesures harmoniques. Si Uest un domaine born´e de Cet si h∈ C(∂U), la fonction de Perron Hde hv´erifie pour z∈Ula formule H(z) = Z∂U h(ξ)dωz(ξ), o`u ωzest la mesure harmonique en zrelativement `a U. Soit ω=ωz0, avec z0∈U. On d´eduit de [Ra] que l’application h→R∂U h(ξ)dωz(ξ) est une isom´etrie de L∞(∂U, ω) dans l’espace des fonctions harmoniques born´ees sur U. Trace de Cauchy 73 Soit maintenant Ω un ouvert born´e quelconque de C, et soit (Ωn)0≤n<p≤∞ la famille finie ou d´enombrable des composantes connexes de Ω. Pour 0 ≤n < p, choisissons arbitrairement zn∈Ωn, et soit ωznla mesure harmonique de Ωnen zn, ´etendue `a ∂Ω par la formule ωzn(∂Ω\∂Ωn) = 0. On associe `a Ω la mesure bor´elienne µ=X 0≤n<p ωzn 2n, et pour f∈ L1(∂Ω, µ) on pose P−(f)(z) = 1 2iπ Z∂Ω f(ξ) ξ−zdµ(ξ) (z /∈Ω). Alors C−(M(Ω)) = P−(L1(∂Ω, µ)) et l’image de l’application trace est ´egale `a H(Ω) ⊕ P−(L1(∂Ω, µ)). Dans le cas o`u Ω est un domaine born´e dont la fronti`ere est une r´eunion finie disjointe de courbes de Jordan rectifiables, le r´esultat pr´ec´edent est valable pour µ=|dz|, car les mesures harmoniques ωzet la mesure longueur d’arc |dz|sont alors mutuellement absolument continues. Notons que si de plus les courbes de Jordan sont r´eguli`eres au sens d’Ahlfors, alors P−(f) admet des limites non tangentielles presque partout sur ∂Ω pour f∈ L1(∂Ω,|dz|), et P−(f)(z) est la “A-int´egrale” de Cauchy de sa limite radiale pour z /∈Ω (Remarque 4.6(2)). Ceci permet, dans ce cas, d’interpr´eter C−(ν), ν∈ M(Ω), comme la fonction g∈ L1,∞ 0(∂Ω) d´efinie presque partout sur ∂Ω par la formule g(ξ) = lim n.t.z→ξC−(ν)(z). On note Mc(Ω, ∂) l’ensemble des fonctions de Mloc(Ω, ∂) `a support compact. On a alors Mc(Ω, ∂)⊂Ker T ⊂ L1(Ω). Les s´eries de Wolff-Denjoy du disque donnent des exemples non triviaux de fonctions de Mloc(D, ∂) dont la trace de Cauchy est nulle. Soit vc(resp. v, resp. v∞) la topologie de la convergence simple sur Cc(Ω) (resp. C(Ω), resp. Cb(Ω)). Notons k · k1la norme L1,k · k la norme sur M(Ω), et soit wla topologie duale faible de F(∂Ω). L’application T ´etant (vc, v)-w-continue (Proposition 5.1), on a Mc(Ω, ∂)(k·k1,k·k)⊂ Mc(Ω, ∂)(vc,v∞)⊂ Mc(Ω, ∂)(vc,v)⊂Ker T. 74 I. Harlouchet Le but poursuivi dans l’´etude du noyau de T(Section 5) est de chercher sous quelles conditions sur Ω les inclusions ci-dessus sont des ´egalit´es. Notons A(Ω) l’alg`ebre des fonctions analytiques sur Ω continues sur Ω, R(Ω) l’adh´erence dans A(Ω) des fonctions rationnelles `a pˆoles hors de Ω et H∞(Ω) l’alg`ebre des fonctions analytiques born´ees sur Ω. On v´erifie que pour que Mc(Ω, ∂) soit (vc, v)- (resp. (vc, v∞)-) dense dans Ker T, il faut que R(Ω) soit w∗-dense dans A(Ω) (resp. H∞(Ω)). Ceci renvoit `a des questions classiques de la th´eorie des alg`ebres uniformes et de l’approximation rationnelle, li´ees `a la th´eorie de la capacit´e analytique. En utilisant une construction de [Ga, p. 220], on peut en particulier construire un ouvert connexe Ω = ◦ Ω tel que Mc(Ω, ∂) ne soit pas (vc, v)-dense dans Ker T(Proposition 5.3). Dans la direction oppos´ee, on montre au Th´eor`eme 5.5 que si Ω est un domaine de Jordan born´e, alors Mc(Ω, ∂) est (k · k1,k · k)-dense dans KerT. Ce r´esultat ´equivaut au suivant: toute mesure ν∈ M(Ω) telle que C−(ν)≡0 est limite en norme d’une suite (µn) de mesures `a support compact dans Ω telle que C−(µn)≡0. Pour 0 <r<1 d´efinissons Ωrcomme plus haut. La mesure νr=ν|Ωrest `a support compact dans Ω, et limr→1−kνr−νk= 0. Le probl`eme est que C−(νr) est en g´en´eral non nulle. La d´emonstration repose sur le fait qu’on peut approcher convenablement νrpar une mesure µr∈ Mc(Ω) telle que C−(µr)≡0. Ce proc´ed´e d’approximation, assez technique, repose sur la th´eorie des espaces de Hardy. Ce th´eor`eme est ´egalement valable pour les domaines born´es dont le bord est une r´eunion finie disjointe de courbes de Jordan. Du Th´eor`eme 5.5 on d´eduit en particulier que D(Ω) est (vc, v)-dense dans Ker T(Corollaire 5.7). Comme le sous-espace C∞(Ω) est (vc, v)- dense dans Mloc(Ω, ∂) (Remarque 5.8), la trace de Cauchy n’est autre que l’extension par continuit´e `a (Mloc(Ω, ∂),(vc, v)) de l’application f→ f|∂Ωsur C∞(Ω). Cette trace est donc une trace au sens le plus classique du terme [LM, Chapitre 1] dans le cas o`u Ω est un domaine de Jordan. Cet article est issu d’un d´eveloppement du Chapitre II de la th`ese de l’auteur [H] pr´epar´ee sous la direction de J. Esterle, et donnant des r´esultats partiels dans le cas du disque. Des remarques pertinentes de Y. Meyer sur la premi`ere version de cet article ont amen´e l’auteur `a r´eorganiser compl`etement cet article et `a s’int´eresser aux ouverts born´es g´en´eraux. L’auteur tient `a remercier Y. Meyer pour ses remarques et J. Esterle pour l’aide qu’il lui a apport´ee pendant toute la pr´eparation de ce travail. Trace de Cauchy 75 2. Fonctionnelles analytiques et transform´ee de Cauchy 2.1. Fonctionnelles analytiques. Soit Uun ouvert de C; on note H(U) l’alg`ebre des fonctions holomorphes sur U. Si C\Uest born´e, on notera H0(U) l’alg`ebre des fonctions holomorphes sur Unulles `a l’infini. Soit Ω un ouvert born´e de C; on note O(∂Ω) l’alg`ebre des germes de fonctions analytiques sur ∂Ω, que l’on identifie `a l’alg`ebre topologique lim −→U⊃∂ΩH(U) o`u Uparcourt l’ensemble des voisinages ouverts de ∂Ω. On notera F(∂Ω) l’espace H0(C\∂Ω) muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact, qui est un espace de Fr´echet. Dans le cas o`u ∂Ω est analytique r´eelle, F(Ω) est l’espace usuel des hyperfonctions sur ∂Ω (cf. [BG2]). Soient ϕ∈ F(Ω), g∈ O(∂Ω) et Vun voisinage ouvert de ∂Ω tel que γ:= ∂V soit une r´eunion finie disjointe de courbes de Jordan rectifiables (cf. par exemple [Tr]) et tel que gsoit analytique sur un voisinage de V. On munit γdu sens de parcours positif autour de V, et on pose (2.1) hg, ϕi=−1 2iπ Zγ g(ξ)ϕ(ξ)dξ. L’int´egrale ci-dessus ne d´epend pas du choix de V, et on a (cf. [G, p. 47]): Th´eor`eme 2.1 (J. Silva).Par le crochet de dualit´e d´efini ci-dessus, le dual de l’espace O(∂Ω) (resp. F(∂Ω)) s’identifie `a l’espace F(∂Ω) (resp. O(∂Ω)). Pour z∈C\∂Ω, ξ∈C\ {z}, on pose Rz(ξ) = 1 ξ−z, de sorte que Rz∈ O(∂Ω). Soient ϕ∈ F(∂Ω), z∈C\∂Ω, et soient ρ > 0 tel que B(z, ρ)∩∂Ω = ∅, R > max(supξ∈∂Ω|ξ|,|z|+ρ), V=B(0, R)\B(z, ρ) et γ=∂V . D’apr`es la formule de Cauchy, on a alors hRz, ϕi=−1 2iπ ZC(0,R) ϕ(ξ) ξ−zdξ +1 2iπ ZC(z,ρ) ϕ(ξ) ξ−zdξ =ϕ(z). Donc (2.2) hRz, ϕi=ϕ(z) (ϕ∈ F(∂Ω), z ∈C\∂Ω). En particulier, (2.3) Span{Rz:z∈C\∂Ω}=O(∂Ω), Span d´esignant ici l’enveloppe lin´eaire ferm´ee. 76 I. Harlouchet On donne ci-dessous deux exemples de fonctionnelles analytiques: (1) Supposons que ∂Ω soit une r´eunion finie disjointe de courbes de Jordan rectifiables. Soit f∈ L1(∂Ω) et soit ϕ(f): O(∂Ω) −→ C g−→ 1 2iπ Z∂Ω g(ξ)f(ξ)dξ, alors ϕ(f)∈ O0(∂Ω), et l’application ϕ:L1(∂Ω) ,→ O0(∂Ω) est continue. Comme O(∂Ω) est dense dans C(∂Ω), ϕest injective. (2) Supposons de plus que ∂Ω soit de classe C∞et consid´erons D(∂Ω)= C∞(∂Ω). Comme O(∂Ω) est dense dans D(∂Ω), l’espace des distributions D0(∂Ω) s’injecte continˆument dans O0(∂Ω). Les fonctionnelles analytiques g´en´eralisent donc les notions de fonction int´egrable et de distribution. Posons O+(∂Ω) = lim −→U⊃ΩH(U) o`u Uparcourt l’ensemble des voisinages ouverts de Ω, et O−(∂Ω) = lim −→H0(C\K) o`u Kparcourt l’ensemble des parties compactes de Ω. Soit g∈ O(∂Ω); avec les mˆemes notations que dans (2.1), posons γ+=γ∩Ω, γ−=γ∩{Ω, munis de l’orientation induite par celle de γ, et (2.4) g+(z) = −1 2iπ Zγ− g(ξ) ξ−zdξ (z∈Ω∪V), g−(z) = −1 2iπ Zγ+ g(ξ) ξ−zdξ (z∈{Ω∪V). Alors g+∈ O+(∂Ω), g−∈ O−(∂Ω) et g+(z)+g−(z) = g(z), pour z∈V, donc (2.5) g=g++g−. D’apr`es le th´eor`eme de Liouville, la d´ecomposition ci-dessus est unique. Notons qu’on a en particulier (2.6) Rz=R+ z(z∈C\Ω), Rz=R− z(z∈Ω). Soit F+(∂Ω) = {ϕ∈ F(∂Ω) : ϕ|C\Ω= 0}et F−(∂Ω) = {ϕ∈ F(∂Ω) : ϕ|Ω= 0}. On a trivialement F(∂Ω) = F+(∂Ω) ⊕ F−(∂Ω). Trace de Cauchy 77 Pour ϕ∈ F(∂Ω), notons ϕ+la fonction holomorphe ´egale `a ϕsur Ω, nulle sur C\Ω. De mˆeme, notons ϕ−la fonction holomorphe ´egale `a ϕ sur C\Ω, nulle sur Ω, de sorte que ϕ=ϕ++ϕ−. On a alors (2.7) hg+, ϕ+i= 0,hg−, ϕ−i= 0 (g∈ O(∂Ω), ϕ ∈ F(∂Ω)). Le crochet de dualit´e (2.1) devient (2.8) hg, ϕi=−1 2iπ Zγ+ g−(ξ)ϕ+(ξ)dξ −1 2iπ Zγ− g+(ξ)ϕ−(ξ)dξ. Et on a les relations d’orthogonalit´e suivantes F±(∂Ω)⊥=O∓(∂Ω),O±(∂Ω)⊥=F∓(∂Ω). 2.2. Transform´ee de Cauchy de mesures. Soit Uun ouvert de Cet soit C0(U) l’espace des fonctions continues sur U, nulles `a l’infini. On note M(U) l’espace des mesures complexes sur U. Muni de la norme kνk=|ν|(U), o`u |ν|est la variation totale de ν,M(U) est un espace de Banach. D’apr`es le th´eor`eme de Riesz, on peut identifier M(U) au dual de C0(U). D’apr`es le th´eor`eme de Radon-Nikodym, l’espace L1(U) s’identifie isom´etriquement au sousespace ferm´e de M(U) form´e des mesures absolument continues par rapport `a la mesure de Lebesgue. Notons Mc(C) l’espace des mesures complexes sur C`a support compact muni de la topologie naturelle limite inductive des topologies des MK(C) (espaces des mesures `a support contenu dans K), o`u Kparcourt l’ensemble des compacts de C. Soient ν∈ M(C) et f∈ L1(C); d’apr`es le th´eor`eme de Fubini, l’int´egrale (ν∗f)(ξ) = RRCf(ξ−η)dν(η) est d´efinie presque partout sur Cet l’application ν→ν∗f,M(C)→ L1(C) est continue. De mˆeme, si ν∈ Mc(C) et f∈ L1 loc(C), l’int´egrale (ν∗f)(ξ) = RRCf(ξ−η)dν(η) est d´efinie presque partout sur Supp ν, partout ailleurs dans C, et l’application ν→ν∗f,Mc(C)→ L1 loc(C) est continue. Soit β∈ L1 loc(C) la fonction ξ→1 πξ . On appelle transform´ee de Cauchy de ν∈ Mc(C) la fonction d´efinie presque partout par la formule (2.9) C(ν)(z) = (ν∗β)(z) = 1 πZZC dν(ξ) z−ξ. C(ν) est d´efinie presque partout sur Supp ν,C(ν)∈ H0(C\Supp ν) et l’application C:Mc(C)→ L1 loc(C) est continue. Soit maintenant Ω un ouvert born´e de Cet soit ν∈ M(Ω). On note ˜ν la prolong´ee de ν`a Cpar 0 (i.e. ˜ν(B) = ν(B∩Ω) pour Bbor´elien de C). 84 I. Harlouchet o`u L(Γ) d´esigne la longueur de la courbe rectifiable Γ, (cf. [Tr, p. 59] pour l’in´egalit´e ci-dessus). La fonction ψ:t→ϕ(aj+rjeit) est `a variation born´ee sur [0,2π]. Elle est donc d´erivable presque partout, et il existe une mesure singuli`ere νtelle que ψ(t)−ψ(0) = Zt 0 ψ0(s)ds +ν([0, t]) pour 0 ≤t≤2π(cf. [R, pp. 173–177]). De plus L(ϕ(Cj)) est la variation totale de ψsur [0,2π]. Donc L(ϕ(Cj)) = Z2π 0 |ψ0(s)|ds +|ν|([0,2π]). De mˆeme que dans [T, p. 319], on v´erifie que ψ0(t) = irjeitϕ0(aj+rjeit) presque partout, o`u ϕ0(aj+rjeit) est obtenue par limite non tangentielle de ϕ0. Donc ν= 0, (3.2) L(ϕ(Cj)) = ZCj |ϕ0(ξ)||dξ| et ψest absolument continue. On a donc (cf. le th´eor`eme de changement de variable [Na, p. 236]) (3.3) Z∂Ω h(ξ)dξ =Z∂D h(ϕ(η))ϕ0(η)dη (h∈ L1(∂Ω,|dξ|)). Du Th´eor`eme 3.5 on d´eduit alors le r´esultat suivant: Corollaire 3.6. Soit Ωun domaine born´e de Ctel que ∂Ωsoit une r´eunion finie disjointe de courbes de Jordan rectifiables. Si f∈ Mloc(Ω, ∂)∩ C(Ω), alors Tf=f|∂Ω. D´emonstration: Soit g∈ O(∂Ω). Avec les notations ci-dessus, on a Z2π 0 |ϕ0(a1+ρeit)−ϕ0(a1+r1eit)|dt −→ ρ→r− 1 0, Z2π 0 |ϕ0(aj+ρeit)−ϕ0(aj+rjeit)|dt −→ ρ→r+ j 0 (j≥2). Comme f◦ϕ·g◦ϕest uniform´ement continue sur un voisinage de ∂Ω dans Ω et comme Z∂Ω f(ξ)g(ξ)dξ =Z∂D f(ϕ(η))g(ϕ(η))ϕ0(η)dη, Trace de Cauchy 85 un calcul simple montre que Z∂Ω f(ξ)g(ξ)dξ = lim r→1−Z∂Ωr f(ξ)g(ξ)dξ. Le corollaire r´esulte alors directement du Th´eor`eme 3.5. On en d´eduit imm´ediatement une formule de Cauchy-Pompeiu g´en´eralis´ee: Corollaire 3.7. Soit Ωun domaine born´e de Ctel que ∂Ωsoit une r´eunion finie disjointe de courbes de Jordan rectifiables. Si f∈ C(Ω), et si ∂f ∈ M(Ω), alors 1 πZZΩ d(∂f)(ξ) z−ξ+1 2iπ Z∂Ω f(ξ) ξ−zdξ =(0, z ∈C\Ω f(z)pour presque tout z∈Ω. 4. Image de la trace de Cauchy Pour caract´eriser l’image de la trace de Cauchy, on ´enonce, et on d´emontre, deux lemmes concernant l’int´egrale de Poisson (cf. [Ra] pour plus de d´etails). Soient Ω un domaine born´e de C, et f∈ C(∂Ω). On note V(f) l’ensemble des fonctions sous-harmoniques sur Ω telles que lim sup z→ξ, z∈Ω u(z)≤f(ξ) (ξ∈∂Ω), et U(f) la fonction de Perron de f, d´efinie par U(f)(z) = sup u(z) (u∈ V(f)). Alors, pour z∈Ω, l’application f→ U(f)(z) est lin´eaire, continue et positive sur C(∂Ω), et, d’apr`es le th´eor`eme de Riesz, il existe une unique mesure positive sur ∂Ω repr´esentant cette forme lin´eaire. On l’appelle mesure harmonique de Ω en z, et on la note ωz. La fonction de Perron de fest harmonique et born´ee sur Ω et v´erifie lim z→ξ, z∈ΩU(f)(z) = f(ξ) sur ∂Ω\E, o`u Eest un sous-ensemble de ∂Ω de capacit´e logarithmique nulle. Comme les mesures {ωz:z∈Ω}sont mutuellement absolument continues, les espaces {L∞(∂Ω, ωz) : z∈Ω}sont identiques. Fixons z0∈Ω, et soient ω=ωz0et f∈ L∞(∂Ω, ω). L’int´egrale de Poisson de f est d´efinie par la formule P(f)(z) = Z∂Ω f(ξ)dωz(ξ) (z∈Ω). 86 I. Harlouchet On note h∞(Ω) l’espace de Banach des fonctions harmoniques born´ees sur Ω. On a P(f)∈h∞(Ω); et kP(f)k∞≤ kfk∞, car ωzest une mesure de probabilit´e. Lemme 4.1. P:L∞(∂Ω, ω)→h∞(Ω) est une isom´etrie. D´emonstration: Soit f∈ L∞(∂Ω, ω); si fest `a valeurs r´eelles, alors [Ra, p. 105, Exemple 2] f(ξ)≤lim sup z→ξ,z∈Ω P(f)(z)ω-p.p. En appliquant ce r´esultat `a −f, on obtient kfk∞=kP(f)k∞. Soit f6= 0 une fonction `a valeurs complexes. Soit 0 <a<kfk∞et soit Ua={z∈∂Ω : |f(z)|> a}. Pour n∈N∗et pour 0 ≤k < n posons Ua,k,n =z∈Ua:2kπ n≤Arg f(z)<2(k+ 1)π n. Comme ω(Ua)>0, il existe ktel que ω(Ua,k,n)>0. Posons g=fe−2ik n; alors kfk∞=kgk∞et kP(f)k∞=kP(g)k∞. Si z∈Ua,k,n, on a Arg g(z)∈[0,2π n[ donc Re g(z)>|g(z)|cos 2π n> a cos 2π n. Comme ω(Ua,k,n)>0, kRe gk∞> a cos 2π n. Re g´etant `a valeurs r´eelles, il vient kRe P(g)k∞=kP(Re g)k∞=kRe gk∞> a cos 2π n. A fortiori, kP(f)k∞=kP(g)k∞> a cos 2π n. En faisant tendre avers kfk∞et n vers l’infini, il vient kP(f)k∞≥ kfk∞. Plus g´en´eralement, si Ω n’est pas connexe, soit (Ωn)0≤n<p≤∞ la famille (finie ou d´enombrable) des composantes connexes de Ω. Pour z∈Ω et pour ntel que z∈Ωn, notons ωzla mesure harmonique de Ωnen z, ´etendue `a ∂Ω par ωz(∂Ω\∂ωn) = 0. Pour 0 ≤n < p, soit zn∈Ωn. Associons maintenant `a Ω la mesure bor´elienne finie d´efinie par la formule (4.1) µ=X 0≤n<p ωzn 2n. Les mesures {ωz:z∈Ω}´etant absolument continues par rapport `a µ, on aωz∈ L1(∂Ω, µ). Soit f∈ L∞(∂Ω, µ); on d´efinit l’int´egrale de Poisson de fpar la formule P(f)(z) = Z∂Ω f(ξ)dωz(ξ) (z∈Ω). P(f) ´etant harmonique sur chaque composante connexe Ωn, elle l’est ´egalement sur Ω, et kP(f)k∞= sup 0≤n<p kP(f)|Ωnk∞= sup 0≤n<p kfkL∞(∂Ωn,ωzn)≤ kfk|L∞(∂Ω,µ). Trace de Cauchy 87 Lemme 4.2. P:L∞(∂Ω, µ)→h∞(Ω) est une isom´etrie. D´emonstration: Soit fune fonction bor´elienne born´ee sur ∂Ω. Comme Ωnest une composante connexe de Ω, on a ∂Ωn⊂∂Ω. Posons Vn= {ξ∈∂Ωn:|f(ξ)|>kPfk∞}. Comme kfkL∞(∂Ωn,ωzn)=kP(f)|Ωnk∞, ωzn(Vn) = 0. Pour ξ∈ ∪0≤n<p(∂Ωn\Vn), on a |f(ξ)| ≤ kP(f)k∞. Il suffit donc de montrer que µ(∂Ω\ ∪0≤n<p(∂Ωn\Vn)) = 0. Or ∂Ω\ ∪0≤n<p(∂Ωn\Vn) = (∂Ω\ ∪0≤n<p∂Ωn)∪(∩0≤n<pVn), µ(∂Ω\ ∪0≤n<p∂Ωn) = 0 et µ(∩0≤n<pVn) = 0, donc kfkL∞(∂Ω,µ)≤ kPfk∞. Remarque 4.3.Si h∈h∞(Ω) ∩ C(Ω), alors P(h|∂Ω) = h. En effet, pour tout n,P(h|∂Ω)|Ωnet h|Ωnsont harmoniques sur Ωn. Comme h|Ωn∈ C(Ωn), on a limz→ξ,z∈Ωnh(z) = h(ξ) sur ∂Ωn. D’autre part, soit z∈Ωn. Comme ωz(∂Ω\∂Ωn) = 0, on a P(h|∂Ω)(z) = Z∂Ωn h(ξ)dωz(ξ) (z∈Ωn). Comme h∈ C(∂Ωn), on a lim z→ξ,z∈Ωn P(h|∂Ω)(z) = h(ξ) (ξ∈∂Ωn\E), o`u Eest un sous-ensemble de ∂Ωnde capacit´e logarithmique nulle. Par unicit´e de la solution du probl`eme de Dirichlet g´en´eralis´e (cf. [Ra, p. 95]), il vient P(h|∂Ω)|Ωn=h|Ωn. Donc P(h|∂Ω) = h. Th´eor`eme 4.4. Soit Ωun ouvert born´e de C, et soit µ=P0≤n<p ωzn 2n. Alors C−(M(Ω)) = C−(L1(Ω)) = P−(L1(∂Ω, µ)), o`u P−(f)(z) = 1 2iπ Z∂Ω f(ξ) ξ−zdµ(ξ) (z /∈Ω) pour f∈ L1(∂Ω, µ). D´emonstration: L’application z→ωz, Ω → L1(∂Ω, µ) est continue. En effet, soient z, z0∈Ωn(0 ≤n < p); on a kωz−ωz0k= sup h∈C(∂Ω),khk≤1Z∂Ω h(ξ)dωz(ξ)−Z∂Ω h(ξ)dωz0(ξ) = sup h∈C(∂Ω),khk≤1 |P(h)(z)−P(h)(z0)|. 88 I. Harlouchet Les op´erateurs ∂ ∂x et ∂ ∂y ´etant continus sur C∞(Ω) et, d’apr`es le th´eor`eme du graphe ferm´e, P:C(∂Ω) → C∞(Ω) ´etant continue, pour tout compact Kde Ωn, il existe une constante cKtelle que sup z∈K ∂P (h) ∂x (z)+ ∂P (h) ∂y (z)≤cKkhk∞. Par le th´eor`eme des accroissements finis, il vient donc kωz−ωz0k ≤ cK|z−z0|. On pose (4.2) S(ν) = ZZΩ ωzdν(z) (ν∈ M(Ω)). Comme kωzkL1(∂Ω,µ)= 1, l’op´erateur S:M(Ω) → L1(∂Ω, µ) est une contraction. Posons hf, gi=R∂Ωf(ξ)g(ξ)dµ(ξ) pour f∈ L∞(∂Ω, µ) et g∈ L1(∂Ω, µ). On a ZZΩ P(f)(z)dν(z) =ZZΩ hf, ωzidν(z) =f, ZZΩ ωzdν(z) =Z∂Ω S(ν)(z)f(z)dµ(z) (f∈ L∞(∂Ω, µ), ν ∈ M(Ω)). (4.3) Pour z∈C\Ω, Rz∈h∞(Ω) ∩ C(Ω) et P(Rz|∂Ω) = Rz, donc C−(ν)(z) = −1 πZZΩ P(Rz|∂Ω)(ξ)dν(ξ) =−1 πZ∂Ω S(ν)(ξ)Rz(ξ)dµ(ξ) = P−(−2iS(ν))(z). Il suffit donc de montrer que S(L1(Ω)) = S(M(Ω)) = L1(∂Ω, µ). Les inclusions S(L1(Ω)) ⊂S(M(Ω)) ⊂ L1(∂Ω, µ) sont ´evidentes. Pour z∈Ω, et pour ρ > 0 tel que B(z, ρ)⊂Ω, posons ϕ=1 πρ2χB(z,ρ); alors ϕ∈ L1(Ω) et S(ϕ) = ωz, donc Lin{ωz:z∈Ω} ⊂ S(L1(Ω)). Trace de Cauchy 89 De plus, si f∈ L∞(∂Ω, µ) et si R∂Ωf dωz= 0 pour z∈Ω, alors P(f) = 0, donc f= 0 et, par le th´eor`eme de Hahn-Banach, Span{ωz:z∈Ω}=L1(∂Ω, µ). Il suffit donc de montrer que S(L1(Ω)) est ferm´e dans L1(∂Ω, µ). En fait, on va voir que l’application i:L1(Ω)/KerS∩ L1(Ω) −→ L1(∂Ω, µ) [G]7−→ S(G) est une isom´etrie. D’apr`es (4.3), Ker S∩ L1(Ω) =⊥P(L∞(∂Ω, µ)) := F∈L1(Ω) : ZZΩ F(z)P(f)(z)dm(z) = 0 (f∈ L∞(∂Ω, µ)) et P:L∞(∂Ω, µ)→ L∞(Ω) est w∗-continue. Soit (fn)n≥1une suite de L∞(∂Ω, µ) telle que P(fn)w∗ −→ n→∞ F∈ L∞(Ω). On a kfnk∞= kP(fn)k∞. Comme la suite (fn)n≥1est born´ee, on peut en extraire une sous-suite (fnp)p≥1w∗-convergente vers f∈ L∞(∂Ω, µ). Par cons´equent P(fnp)w∗ −→ p→∞ P(f) et F=P(f). Donc le convexe P(L∞(∂Ω, µ)) est w∗-s´equentiellement ferm´e dans L∞(Ω) et, puisque L1(Ω) est s´eparable, il r´esulte du th´eor`eme de Krein-ˇ Smulian [B, p. 53] que P(L∞(∂Ω, µ)) est w∗-ferm´e dans L∞(Ω). Donc le dual de L1(Ω)/Ker S∩ L1(Ω) est isom´etriquement isomorphe `a P(L∞(∂Ω, µ)), et on voit que pour G∈ L1(Ω) kS(G)k= sup f∈L∞(∂Ω,µ),kfk≤1Z∂Ω f S(G)dµ = sup F∈P(L∞(∂Ω,µ)),kFk∞≤1ZZΩ F G dm=k[G]k, donc iest bien une isom´etrie. Notons L1 loc(Ω, ∂) = {f∈ L1 loc(Ω) : ∂f ∈ L1(Ω)}. Corollaire 4.5. Soit Ωun ouvert born´e de Cet soit µ=P0≤n<p ωzn 2n; on a T(Mloc(Ω,∂)) = T(L1 loc(Ω, ∂)) = H(Ω) ⊕ P−(L1(∂Ω, µ)). 90 I. Harlouchet D´emonstration: Il est clair que T(L1 loc(Ω, ∂))⊂T (Mloc(Ω, ∂)) ⊂ H(Ω)⊕ P−(L1(∂Ω, µ)). R´eciproquement, soit f∈ H(Ω); alors f∈ L1 loc(Ω, ∂) et T(f) = (f, 0). De mˆeme, soit g∈ P−(L1(∂Ω, µ)); d’apr`es le th´eor`eme pr´ec`edent, il existe G∈ L1(Ω) tel que −C−(G) = g. Posons h=C+(G); alors h∈ L1 loc(Ω, ∂) et T(h) = (h− C+(∂h),−C−(∂h)) = (0, g). Donc H(Ω) ⊕ P−(L1(∂Ω, µ)) ⊂ T (L1 loc(Ω, ∂)). Remarques 4.6. (1) Supposons que la fronti`ere de Ω soit une r´eunion finie disjointe de courbes de Jordan rectifiables, et soit ϕ:D→Ω une repr´esentation conforme de Ω sur un domaine circulaire D. Comme ∂D est r´eelle analytique, il r´esulte de [BG1, Proposition 4.7.21, p. 407], que la mesure harmonique ωzet la mesure longueur d’arc sont mutuellement absolument continues sur ∂D pour z∈D. Il r´esulte d’autre part de [Ga, Lemme 4.3, p. 149], que pour h∈ L1(dωz) (z∈Ω), on a Z∂Ω h(ξ)dωz(ξ) = Z∂D h(ϕ(η)) dωϕ−1(z)(η). Comme ϕ|∂D est absolument continue, on a (cf. (3.3)) Z∂Ω h(ξ)|dξ|=Z∂D h(ϕ(η))|ϕ0(η)||dη|(h∈ L1(|dξ|)). Comme ϕ0(η)6= 0 presque partout sur ∂D (cf. [T, p. 218]), et comme d’apr`es (3.2) ϕ0 |∂D ∈ L1(∂D, |dη|), on en d´eduit que ωzet la mesure longueur d’arc sont mutuellement absolument continues sur ∂Ω. On a donc dans ce cas C−(M(Ω)) = P−(L1(∂Ω,|dξ|)) (o`u l’on remplace le µde la d´efinition de P−par |dξ|), qui est un r´esultat bien connu pour le cas du disque unit´e D[N], [S]. (2) Soit Uun domaine simplement connexe dont la fronti`ere est une courbe de Jordan rectifiable r´eguli`ere au sens d’Ahlfors, c’est-`a-dire telle qu’il existe c≥0 v´erifiant L(∂U ∩B(z0, r)) ≤c r pour tout r > 0 et tout z0∈C(cf. [D]). Pour f∈ L1(∂U, |dξ|), posons P+(f)(z) = 1 2iπ Z∂U f(ξ) ξ−zdξ (z∈U), P−(f)(z) = 1 2iπ Z∂U f(ξ) ξ−zdξ (z /∈U). Il r´esulte d’un th´eor`eme de Privalov [P, pp. 192–194], que P+(f) et P−(f) admettent des limites non tangentielles presque partout sur ∂U Trace de Cauchy 91 et que f(ξ) = P+(f)(ξ)−P−(f)(ξ) presque partout sur ∂U. Notons L1,∞ 0(∂U) l’ensemble des fonctions gmesurables sur ∂U telles que L(Ea) = o1 a,a→ ∞, o`u Ea={ξ∈∂U :|g(ξ)|> a}. Une fonction g∈ L1,∞ 0(∂U) est dite (A)-int´egrable si R∂U\Eag(ξ)dξ admet une limite quand atend vers l’infini. Cette limite est alors not´ee R(A) ∂U g(ξ)dξ. Il r´esulte de th´eor`emes de Salimov [Sa, Th´eor`emes 6 et 6’], qui ´etendent des travaux ant´erieurs d’Ul’janov [U] que si f∈ L1(∂U, |dξ|), les fonctions ξ→P+(f)(ξ) et ξ→P−(f)(ξ) sont (A)-int´egrables sur ∂U, et que l’on a 1 2iπ Z(A) ∂U P+(f)(ξ) ξ−zdξ =(P+(f)(z) (z∈U) 0 (z /∈U), 1 2iπ Z(A) ∂U P−(f)(ξ) ξ−zdξ =(0 (z∈U) −P−(f)(z) (z /∈U). Soit maintenant Ω un domaine dont la fronti`ere est une r´eunion finie disjointe de courbes de Jordan rectifiables Ahlfors-r´eguli`eres. On pose pour f∈ L1(∂Ω,|dz|), z /∈Ω, P−(f)(z) = 1 2iπ ZC1 f(ξ) ξ−zdξ − n X i=2 1 2iπ ZCi f(ξ) ξ−zdξ, C1d´esignant la fronti`ere de la composante connexe non born´ee de C\Ω, et C2,...,Cnd´esignant les autres composantes connexes de ∂Ω. Il r´esulte alors du th´eor`eme de Privalov que P−(f) admet des limites non tangentielles presque partout sur ∂Ω, et il r´esulte du th´eor`eme de Salimov que P−(f)(z) = −1 2iπ Z(A) ∂Ω P−(f)(ξ) ξ−zdξ (z∈C\Ω). On voit donc que si ν∈ M(Ω) on peut int´erpr´eter T(C+(ν)) = (0,−C−(ν)) ∈ O0(∂Ω) comme la fonction d´efinie presque partout sur ∂Ω par la formule T(C+(ν))(ξ) := −lim n.t.z→ξ, z /∈Ω 1 πZZΩ dν(η) z−η (car C−(ν) = P−(f) avec f∈ L1(dΩ,|dξ|)), et on a alors T(C+(ν))(z) = −1 2iπ Z(A) ∂Ω T(C+(ν))(ξ) ξ−zdξ (z /∈∂Ω), la (A)-int´egrale ci-dessus ´etant nulle pour z∈Ω. 92 I. Harlouchet 5. Noyau de la trace de Cauchy Soit Ω un ouvert born´e de C, et soit Mc(Ω, ∂) l’ensemble des fonctions f∈ Mloc(Ω, ∂) `a support compact dans Ω; on a (5.1) Mc(Ω, ∂)⊂Ker T ⊂ L1(Ω). En effet, d’une part l’inclusion Ker T ⊂ L1(Ω) est ´evidente; d’autre part, notons ˜ fla prolong´ee de f`a Cnulle sur C\Ω; si f∈ Mc(Ω, ∂), alors ∂˜ f=f ∂f; donc C(∂f) = ˜ fet Tf= 0. Un exemple int´eressant de fonctions de Mloc(D, ∂) de trace nulle est donn´e par les s´eries de Wolff-Denjoy, c’est-`a-dire les s´eries de la forme P∞ k=1 Ak z−λk, avec P∞ k=1 |Ak|<+∞,λk∈D, qui s’annulent pour |z|>1. En effet, si on pose µ=P∞ k=1 πAkδλk, on a C(µ)(z) = P∞ k=1 Ak z−λkpour z /∈{λk}k≥1. Donc si on pose f(z) = P∞ k=1 Ak z−λkpour |z|<1, z /∈ {λk}k≥1, on a f∈ Mloc(D,∂), ∂f =µet T(f) = 0. Nous renvoyons `a [S] pour une description d´etaill´ee des s´eries de Wolff-Denjoy g´en´erales. On note vc(resp. v, resp. v∞) la topologie de la convergence simple sur Cc(Ω) (resp. C(Ω), resp. Cb(Ω)) o`u Cb(Ω) d´esigne l’ensemble des fonctions continues born´ees sur Ω. On note ´egalement k·k1la norme L1et k·k la norme de M(Ω). On cherche `a d´eterminer des conditions n´ecessaires ou suffisantes sur Ω telles que Mc(Ω, ∂) soit dense dans Ker Tpour la topologie (vc, v) (resp. (vc, v∞), resp. (k · k1,k · k)). On note R(Ω) l’adh´erence uniforme dans C(Ω) des fonctions rationnelles `a pˆoles hors de Ω, A(Ω) l’alg`ebre des fonctions analytiques sur Ω, continues sur Ω, et H∞(Ω) l’alg`ebre des fonctions analytiques born´ees sur Ω. On a R(Ω) ⊂ A(Ω) ⊂ H∞(Ω) ⊂ L∞(Ω) et H∞(Ω) est w∗-ferm´e dans L∞(Ω). Par la formule de Cauchy, et en consid´erant les sommes de Riemann, on v´erifie que l’on a la propri´et´e bien connue (5.2) Span{Rz:z /∈Ω}=R(Ω). Proposition 5.1. Soit Ωun ouvert born´e de C; alors T:Mloc(Ω, ∂)→ F(∂Ω) est (vc, v)-w-continue, wd´esignant la topologie duale faible sur F(∂Ω). D´emonstration: Soit g∈ O(∂Ω), et soit g=g++g−la d´ecomposition canonique de g, avec g+∈ O+(∂Ω) et g−∈ O−(∂Ω). Il existe un voisinage Ude ∂Ω tel que g+∈ H(Ω ∪U) et g−∈ H0((C\Ω) ∪U). Soit Vun ouvert tel que ∂Ω⊂V⊂V⊂Uet tel que ∂V soit une r´eunion finie disjointe de courbes de Jordan de classe C1, et soit f∈ Mloc(Ω, ∂); Trace de Cauchy 93 d’apr`es (2.7), on a hg, Tfi=hg−,Tf+i+hg+,Tf−i. Pour z /∈Ω, on a hRz,Tf−i=Tf−(z) = 1 πZZΩ d(∂f)(ξ) ξ−z, donc, puisque Span{Rz:z /∈Ω}=O(Ω) = O+(∂Ω), on a (5.3) hg+,Tf−i=1 πZZΩ g+(ξ)d(∂f)(ξ). Soit ϕune fonction de classe C∞`a support contenu dans Ω ∩Utel que ϕ≡1 sur un voisinage de ∂V ∩Ω. Alors ϕ g−est de classe C∞sur C. On a hg−,Tf+i=−1 2iπ Z∂V ∩Ω (ϕ g−)(ξ)Tf+(ξ)dξ. On a ∂V ∩Ω = ∂{V∩Ω, et l’orientation canonique de ∂{V∩Ω est l’oppos´ee de celle de ∂V ∩Ω dans la formule ci-dessus. D’apr`es la formule de Stokes, hg−,Tf+i=1 πZZ{V∩Ω ∂(ϕ g−)(ξ)Tf+(ξ)dm(ξ). Posons ψ=∂(ϕ g−)·χ{V∩Ω; alors ψ∈ C∞ c(C) et Supp ψ⊂Ω. On a alors hg−,Tf+i=1 πZZΩ ψ(ξ)Tf+(ξ)dm(ξ). Par le th´eor`eme de Fubini, −1 πZZΩ C+(∂f)(ξ)ψ(ξ)dm(ξ) = 1 πZZΩ C+(ψ)(ξ)d(∂f)(ξ). Donc hg, Tfi=1 πZZΩ g+(ξ)d(∂f)(ξ) +1 πZZΩ ψ(ξ)f(ξ)dm(ξ) +1 πZZΩ C+(ψ)(ξ)d(∂f)(ξ). Comme C+(ψ)∈ C∞(Ω), ceci ach`eve la d´emonstration. Proposition 5.2. Si Mc(Ω, ∂)est (vc, v∞)-dense (resp. (vc, v)-dense) dans Ker T, alors R(Ω) est w∗-dense dans H∞(Ω) (resp. A(Ω)). 100 I. Harlouchet On a fn∈ C∞(Ω). Comme C(∂f ∗θsn) = C(∂f)∗θsn−→ n→∞ C(∂f) dans L1 loc(C), on a kC(∂f ∗θsn)|Ω− C+(∂f)k1−→ n→∞ 0, et lim n→∞(fn−f) = lim n→∞ Rn−f+C+(∂f) + lim n→∞ C(θsn∗∂f)|Ω− C+(∂f)= 0 dans L1 loc(Ω), et `a fortiori dans (L1 loc(Ω), vc). D’autre part, ∂(fn−f) = (θsn∗∂f)|Ω−∂f. Soit ϕ∈ Cb(Ω); d’apr`es le th´eor`eme de Fubini, ZΩ ϕ(ξ)(θsn∗∂f)(ξ)dm(ξ) = ZΩ ψsn(η)d(∂f)(η), avec ψsn(η) = ZΩ θsn(ξ−η)ϕ(ξ)dm(ξ). Comme limn→∞ ψsn(η) = ϕ(η) pour η∈Ω, d’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee, lim n→∞ ZΩ ψsn(η)d(∂f)(η) = ZΩ ϕ(ξ)d(∂f)(ξ). Donc limn→∞ ∂fn=∂f dans (M(Ω), v∞) et limn→∞ fn=fdans (Mloc(Ω, ∂),(vc, v∞)). Dans le cas o`u Ω est un domaine de Jordan, on voit alors que Test l’extension par continuit´e `a (Mloc(Ω, ∂),(vc, v)) de l’application f→ f|∂Ωsur C∞(Ω), et Ker Test l’adh´erence s´equentielle dans (Mloc(Ω, ∂), (vc, v)) de D(Ω). On a donc une trace au sens le plus classique du terme (cf. [LM, Chapitre 1], [Gr], et [V]). R´ef´erences [BG1] C. A. Berenstein et R. Gay,“Complex variables. An introduction”, Graduate Texts in Mathematics 125, Springer-Verlag, New York, 1991. [BG2] C. A. Berenstein et R. Gay,“Complex analysis and special topics in harmonic analysis”, Springer-Verlag, New York, 1995. [B] H. 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